Prohl´ aˇ sen´ı Pˇredkl´ad´am t´ımto k posouzen´ı a obhajobˇe diplomovou pr´aci zpracovanou na z´avˇer studia na Fakultˇe aplikovan´ ych vˇed Z´apadoˇcesk´e univerzity v Plzni.
Prohlaˇsuji, ˇze jsem diplomovou pr´aci vypracoval samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım odborn´e literatury a pramen˚ u, jejichˇz u ´pln´ y seznam je jej´ı souˇc´ast´ı.
V Plzni dne
...............................
1
Podˇ ekov´ an´ı V prvn´ı ˇradˇe bych velmi r´ad podˇekoval Prof. Ing. Miloˇsi Schlegelovi, CSc. za veden´ı, cenn´e rady, kritiku a pomoc pˇri vypracov´an´ı t´eto pr´ace. Velk´ y d´ık tak´e patˇr´ı m´ ym rodiˇc˚ um, za podporu pˇri studiu a za poskytnut´ı z´azem´ı.
2
Anotace V pr´aci je udeveden model parn´ıho kotle a jeho ˇr´ızen´ı. D˚ uvodem pro vytvoˇren´ı t´eto pr´ace je mal´a dostupnost takov´eho ˇr´ızen´ı. Pr´ace obsahuje detailn´ı popis modelu bojleru a k nˇemu navrˇzen´emu ˇr´ızen´ı dvou v´ ystupn´ıch veliˇcin jakosti p´ary a u ´rovnˇe hladiny vody v bubnu.
Kl´ıˇ cov´ a slova bojler, stoupaˇcky, nasycen´a p´ara, rozvazbovac´ı regul´ator, linearizace, anti-wind-up
Annotation This thesis presents a model of a steam boiler and its control. The reason for developing this thesis is poor availability of such proceedings. The work contains a detailed description of the model boiler and designed its control of two outputs quality of steam and water level in the drum.
Keywords boiler, risers, satured steam, decoupler, linearization, anti-wind-up
3
Obsah 1 Uvod
7
2 Pr´ ace bojleru
9
2.1
Zaˇrazen´ı v elektr´arnˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Urˇcen´ı modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3
Regulovan´e veliˇciny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4
Jin´e techniky regulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3 Modelov´ an´ı bojleru
14
3.1
Pozn´amky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.2
Popis jednoduch´eho syst´emu bojleru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.2.1
Z´akladn´ı vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3
Funkce a konstanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.4
Z´akladn´ı model bojleru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.5
Efekt smrˇsˇtov´an´ı a roztahov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.6
Rozloˇzen´ı p´ary ve stoupaˇck´ach a v bojleru . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.6.1
Rozloˇzen´ı p´ary ve stoupaˇck´ach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.6.2
Pr˚ umˇern´ y pomˇer objemu p´ary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.6.3
Rovnice pro stoupaˇcky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.6.4
Cirkulaˇcn´ı tok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.6.5
Rozloˇzen´ı p´ary v bubnu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.6.6
Hladina vody v bojleru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.7.1
Stavov´ y model
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.7.2
Tlak a v´ ypoˇcet objemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.7.3
Dynamika ve stoupaˇck´ach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.7.4
Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Zjednoduˇsen´e a linearizovan´e modely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.7
3.8
4
3.8.1
Parametry modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.8.2
Zjednoduˇsen´ y neline´arn´ı model s konstatn´ım tlakem . . . . . . . . .
33
3.8.3
Linearizace modelu s konstatn´ımi parametry matice E
. . . . . . .
34
3.8.4
Linear parametr varying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
V´ ystup linearizovan´eho syst´emu z prostˇred´ı Matlab . . . . . . . . . . . . .
37
3.10 Anal´ yza syst´emu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.10.1 Stabilita syst´emu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
ˇ 3.10.2 Riditelnost a pozorovatelnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.10.3 Skokov´a odezva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.11 Vstup je porucha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.11.1 Skokov´a odezva upraven´eho syst´emu . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.9
4 N´ avrh rozvazbovac´ıho regul´ atoru
44
´ 4.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.2
Ovlivˇ nov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.3
Obecn´a struktura rozvazbovac´ıho regul´atoru . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.4
N´avrh regul´atoru pomoci GMK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.4.1
N´avrh R1 (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.4.2
N´avrh R2 (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
N´avrh dynamick´eho rozvazbovac´ıho regul´atoru . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.5.1
51
4.5
Blokov´e sch´ema rozvazbovac´ıho regul´atoru . . . . . . . . . . . . . .
5 Model v simulinku
5.1
5.2
52
5.0.2
V´ ystup syst´emu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
5.0.3
Pouˇzit´ı prvk˚ u gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Nerovnomˇern´e spalov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.1.1
V´ ystup syst´emu s pˇridan´ ym Gaussovsk´ ym gener´atorem ˇsumu . . . .
56
Un´aˇsen´ı integraˇcn´ı sloˇzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
ˇ sen´ı s ”anti-wind-up” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reˇ
59
5.2.1
5
5.2.2
V´ ystup syst´emu s ”anti-wind-up” . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
5.3
V´ ystup syst´emu se zmˇenou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.4
Oˇsetˇren´ı pro praxi
65
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Z´ avˇ er
66
7 Literatura
68
8 Pˇ r´ılohy
69
´ y seznam vˇsech koeficient˚ 8.1 Upln´ u, parametr˚ u, funkc´ı a promˇenn´ ych . . . . .
6
69
1
Uvod
C´ılem t´eto pr´ace je sestavit model bojleru a jeho ˇr´ızen´ı. Podnˇetem k vypracov´an´ı takov´e pr´ace je pˇredevˇs´ım mal´a, dostupnost takov´eho zaˇr´ızen´ı, kter´e by dok´azalo pracovat v re´aln´em ˇcase. Samozˇrejmˇe takov´a zaˇr´ızen´ı jiˇz pracuj´ı, jinak bychom nemˇeli takov´e parn´ı kotle, ale na jin´em principu. Jedn´a se pˇredevˇs´ım o ruˇcn´ı ˇr´ızen´ı, kter´emu je nutn´a neust´al´a obsluha jednoho ˇci v´ıce oper´ator˚ u. Nebo je zde k dispozici metoda koneˇcn´ ych prvk˚ u, kter´a je velmi pˇresn´a, ovˇsem v´ ypoˇcetnˇe velmi sloˇzit´a a nelze tud´ıˇz dost dobˇre nasadit v re´aln´em ˇcase. Zde se proto otev´ıraj´ı br´any automatick´emu syst´emu, kter´ y dok´aˇze spravovat takov´ y syst´em na z´akladˇe ˇr´ızen´ ych vstup˚ u a mˇeˇren´ ych v´ ystup˚ u. V´ yhodou takov´eho ˇr´ızen´ı je u ´pln´a absence ˇcidel uvnitˇr bubnu, stoupaˇcek a sp´adov´eho potrub´ı. Takov´ y bojler, kter´ ym se tato pr´ace zab´ yv´a se pouˇz´ıv´a napˇr´ıklad v elektr´arn´ach a je souˇc´ast´ı hlavn´ıho okruhu pˇri v´ yrobˇe p´ary. Jedn´a se tedy o model bojleru vˇetˇs´ıch rzomˇer˚ ua do takov´eho modelu je proto nutn´e zahrnout v´ıce matematick´ ych a fyzik´aln´ıch informac´ı. Je nutn´e poˇc´ıtat i s t´ım, ˇze kaˇzd´ y parametr m˚ uˇze zcela z´asadnˇe ovlivnit chod takov´eho syst´emu a to i zd´anlivˇe nepatrn´e vˇeci, jako je napˇr´ıklad teplota kovu, resp. materi´alu, ze kter´eho je bojler a jeho ˇc´asti vyroben, to napˇr´ıklad u mal´ ych ”dom´ac´ıch” zaˇr´ızen´ıch tohoto typu lze zanedbat. Ale i v tomto pˇr´ıpadˇe dojde k u ´pravˇe syst´emu, tak aby l´epe vyhovoval zadan´ ym podm´ınk´am, samozˇrejmˇe pouze tak, aby nedoˇslo ke zmˇenˇe modelu. V´ıce v kapitole Modelov´an´ı bojleru. ´ Ukolem regulace je potom v takov´em pˇr´ıpadˇe dod´avat na v´ ystup syst´emu poˇzadovan´e mnoˇzstv´ı p´ary a jej´ı jakost, kter´a je pochopitelnˇe velmi d˚ uleˇzit´a. Tato pr´ace si neklade za c´ıl navrhnout funkˇcn´ı ˇr´ızen´ı toho typu, kter´e by mohlo b´ yt ihned implementovateln´e do elektr´arny do ostr´eho provozu, k tomu bude zb´ yvat jeˇstˇe mnoho dalˇs´ıch krok˚ u a f´az´ı v´ yvoje. To ovˇsem neznamen´a, ˇze takov´ y model nelze pouˇz´ıt k dalˇs´ımu v´ yzkumu, jako jsou napˇr´ıklad r˚ uzn´e dˇeje odehr´avaj´ıc´ı se aˇt uˇz v bubnu nebo ve stoupaˇck´ach. K dalˇs´ımu vyuˇzit´ı se zm´ın´ım v kapitole Z´avˇer, neboˇt to souvis´ı s vyhodnocen´ım pr´ace. V druh´e kapitole je osvˇetlen princip zaˇr´ızen´ı v r´amci cel´e elektr´arny, na zaˇc´atku tˇret´ı kapitoli je detailnˇeji pops´an princip samotn´eho bojleru a jeho jednotliv´ ych ˇc´ast´ı, n´asleduje jeho 7
matematick´ y popis a vytvoˇren´ı modelu bojelru. Dalˇs´ı ˇc´ast navazuje anal´ yzou syst´emu a podrobn´ y popis chov´an´ı jednotliv´ ych ˇc´ast´ı bojleru. Ve ˇcvrt´e kapitole je rozeps´an rozvazbovac´ı syst´em a regulace bojleru. V pat´e kapitole je pops´an model v Simulinku a v´ ystupy ˇr´ızen´eho syst´emu s dalˇs´ımi doplˇ nky. V posledn´ı kapitole pr´ace je zhodnocen´ı dosaˇzen´ ych v´ ysledk˚ u a z´avˇer. Veˇsker´a literatura, kter´a byla pouˇzita je uvedena na konci v kapitle Literatura.
8
2
Pr´ ace bojleru
Smyslem t´eto kapitoly je popsat z´akladn´ı princip bojleru v r´amci cel´e elektr´arny a tak´e proˇc je d˚ uleˇzit´e regulovat pr´avˇe n´ıˇze popsan´e veliˇciny jakost p´ary a u ´roveˇ n hladiny vody v bojleru.
2.1
Zaˇ razen´ı v elektr´ arnˇ e
Bojler je ned´ılnou souˇc´ast´ı elektr´aren aˇt uˇz tepeln´ ych jadern´ ych ˇci jin´ ych typ˚ u,ale lze pouˇz´ıt pro i mnoh´e jin´e u ´ˇcely, jako je napˇr´ıklad ohˇrev vody pro dom´ac´ı pouˇzit´ı. Bojler, kter´ ym se zab´ yv´a tato pr´ace by mohl naj´ıt sv´e um´ıstˇen´ı pˇredevˇs´ım v elektr´arn´ach. Jedn´a se o model bojleru vˇetˇs´ıch rozmˇer˚ u. Na obr´azku ˇc.1 je sch´ematicke zobrazen´ı tepeln´e elektr´arny a na obr´azku 2 potom, pro lepˇs´ı zn´azornˇen´ı, samotn´ y okruh vody a p´ary. Z obr´azku je pa-
Obr´azek ˇc. 1: Schematick´ y obr´azek elektr´arny zdroj : wikipedie.org
9
trn´e, ˇze bojler zauj´ım´a stˇeˇzejn´ı komponentu v produkci elektˇriny. V´ yroba elektˇriny spoˇc´ı v pˇremˇenˇe tepeln´e energie (kter´a vznik´a spalov´an´ım rozdrcen´eho uhl´ı na granul´at) na elektrickou energii. Vzniklou tepelnou energi´ı se ohˇr´ıv´a voda ve stoupaˇck´ach. Stoupaˇcky je ˇc´ast potrub´ı, kde se mˇen´ı voda v p´aru; z obr´azku ˇc.1 je patrn´e, ˇze ve skuteˇcnosti m´a toto potrub´ı velmi sloˇzitou geometrii, kter´a m´a vyuˇz´ıt co nejl´epe dod´avan´e teplo k ohˇrevu vody. Mnoˇzstv´ı paliva dod´avan´eho do kotle lze ˇr´ıdit, avˇsak je nutn´e br´at v potaz siln´e ruˇsen´ı. To je zejm´ena zp˚ usobeno nerovnomˇern´ ym hoˇren´ım paliva, ale i nepˇresn´ ym d´avkov´an´ım a to m˚ uˇze b´ yt aˇz do 10% z dod´avan´eho mnoˇzstv´ı. Pokud bude elektr´arna jadern´a ˇci plynov´a, lze pravdˇepodobnˇe regulovat dod´avan´e teplo mnohem kvalitnˇeji, ovˇsem to uˇz je mimo r´amec t´ato pr´ace. Ze stoupaˇcek jde ohˇr´at´a p´ara do zaˇr´ızen´ı, kter´e oddˇeluje jiˇz nasycenou p´aru od vody
Obr´azek ˇc. 2: Sch´ematick´ y okruhu p´ary a vody v elektr´arnˇe a z tohoto zaˇr´ızen´ı putuje p´ara jiˇz do bubnu bojleru. Funkce samotn´eho bojleru bude pops´ana detailnˇeji v n´asleduj´ıc´ıch kapitol´ach, zde tedy jen kr´atce. V bubnu bojleru je urˇcit´e mnoˇzstv´ı vody a p´ary, voda se doplˇ nuje z napajec´ıho potrub´ı a nasycen´a p´ara odch´az´ı d´ale do pˇrihˇr´ıv´aku, kde jeˇstˇe doch´az´ı k dodateˇcn´e regulaci p´ary. Pˇrihˇr´ıv´ak nen´ı souˇc´ast´ı 10
t´eto pr´ace, jedn´a se uˇz o jin´e zaˇr´ızen´ı. D´ale p´ara putuje do parn´ı turb´ıny, ta m˚ uˇze b´ yt jednostupˇ nov´a nebo v´ıcestupˇ nov´a. V´ıcestupˇ nov´a turb´ına pracuje ve dvou f´az´ıch s vysokotlakou p´arou a s n´ızkotlakou p´arou. Jsou zde um´ıstˇeny dvˇe turb´ıny. P´ara rozt´aˇc´ı turb´ınu a hˇr´ıdel pˇren´aˇs´ı toˇciv´ y moment do gener´atoru a zde se vyr´ab´ı elektrick´ y proud, kter´ y se pˇres mnoh´a dalˇs´ı zaˇr´ızen´ı pˇriv´ad´ı do rozvodn´e s´ıtˇe. Z turb´ıny je ochlazen´a p´ara odeb´ır´ana do kondens´atoru, kde doch´az´ı znovu k jej´ımu zkapalnˇen´ı. Zkapalnˇen´ı se prov´ad´ı vˇetˇsinou pomoc´ı dalˇs´ıho cirkulaˇcn´ıho obˇehu vody. V tomto dalˇs´ım obˇehu voda putuje z kondes´atoru, kde se ohˇr´ıv´a do chlad´ıc´ıch vˇeˇz´ı, kde se opˇet ochlazuje a znovu absolvuje sv˚ uj okruh. Nyn´ı uˇz zkapalnˇen´a p´ara z kondens´atoru putuje do z´asobn´ıku nap´ajec´ı vody, odkud je znvoa odeb´ır´ana a vracena jako nap´ajec´ı voda pro bojler. I napajec´ı voda m´a nest´alou teplotu a jeˇstˇe pˇredt´ım neˇz vstoup´ı do bojleru je pˇrihˇr´ıv´ana a mˇela by m´ıt konstatn´ı pˇredem nadefinovanou teplotu. Elektr´arna obsahuje mnoh´a dalˇs´ı zaˇr´ızen´ı, kter´a pom´ahaj´ı cirkulaci p´ary a vody. Jsou to napˇr´ıklad ˇcerpadla vody, pˇrepouˇstˇec´ı stanice, ventily a rychloz´avˇern´e ventily, n´ızkotlak´e a vysokotlak´e ohˇr´ıv´aky apod. Vˇsechna tato zaˇr´ızen´ı dohromady tvoˇr´ı velmi sloˇzit´ y syst´em, a pro kaˇzd´e jin´e pouˇzit´ı bojleru se budou vˇsechna tato zaˇr´ızen´ı mˇenit.
2.2
Urˇ cen´ı modelu
Model je urˇcen´ y k tomu, aby byl ˇr´ızen v´ ystupn´ımi veliˇcinami v u ´st´alen´em provozu. Slovn´ım spojen´ım ust´alen´y provoz se rozum´ı, ˇc´ast provozu, kdy nedoch´az´ı ke spuˇstˇen´ı ani k zastavov´an´ı v´ yroby. Syst´em pˇri sv´em spuˇstˇen´ı dost´av´a jist´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky, kdy uˇz je nastaven tlak, objem vody a p´ary, spuˇstˇen proces spalov´an´ı, ohˇrevu vody a jej´ı pˇremˇenu v p´aru. Proces ˇr´ızen´ı tedy generuje akˇcn´ı z´asahy v podobˇe regulace ventilu pro nap´ajec´ı vodu a mnoˇzstv´ı dod´avan´eho teplo pro jiˇz zabˇehnut´ y syst´em. Vzhledem k sloˇzitosti modelu je vhodn´e ho vyuˇz´ıt napˇr´ıklad v elektr´arn´ach ˇci v tepl´arn´ach, ale jeho nasazen´ı m˚ uˇze b´ yt i v menˇs´ıch projektech jako jsou napˇr´ıklad dom´acnosti nebo menˇs´ı tov´arny, kde je potˇreba pro v´ yrobu p´ary nebo tepl´a voda. Model lze upravit pro
11
jin´a zaˇr´ızen´ı.
2.3
Regulovan´ e veliˇ ciny
Regulovan´e veliˇciny jsou v t´eto pr´aci dvˇe, u ´roveˇ n vody v bojleru a jakost p´ary. Mohlo by jich b´ yt v´ıce napˇr´ıklad tlak, objem p´ary v bubnu a celkov´ y objem vody v syst´emu. Tyto parametry jsou zahrnuty v modelu, avˇsak v koneˇcn´e podobˇe nejsou vyuˇzity. Vzhledem k tomu, ˇze je tˇreba na v´ ystupu syst´emu dos´ahnout urˇcit´e jakosti p´ary a z´aroveˇ n drˇzet hladinu vody v bojleru na poˇzadvan´e u ´rovni, tak aby nedoˇslo k jeho zaplaven´ı nebo ke kriticky n´ızk´e hladinˇe, jsou ostatn´ı stavov´e veliˇciny zbyteˇcn´e. Tlak je samozˇrejmˇe d˚ uleˇzitou souˇc´ast´ı kaˇzd´eho parn´ıho kotle,ale a jak je pops´ano d´ale v kapitile Zjednoduˇsen´e a linearizovan´e modely lze v tomto pˇr´ıpadˇe povaˇzovat tlak za konstatn´ı. Za pˇredpokladu, ˇze syst´em, bude pracovat v pˇredem stanoven´ ych pracovn´ıch podm´ınk´ach z˚ ustane tak tlak konstantn´ı. Ve skuteˇcnosti lehce variuje kolem sv´e hodnoty, doch´az´ı k tomu vlivem zmˇeny dod´avan´eho tepla, avˇsak zmˇeny jsou pˇr´ıliˇs mal´e. Celkov´ y objem vody v bubnu lze tak´e vyuˇz´ıt jako dalˇs´ı informaˇcn´ı promˇennou, stejnˇe jako tlak popisuje stav syst´emu. Tato hodnota se mˇen´ı velmi podobnˇe jako u ´roveˇ n hladiny v bojleru, avˇsak ne stejnˇe, existuj´ı zde jin´e z´avislosti. Objem p´ary v bubnu se tak´e mˇen´ı, avˇsak nen´ı pˇr´ıliˇs d˚ uleˇzit´ y, protoˇze jednou z ˇr´ızen´ ych veliˇcin je jakost p´ary a mnoˇzstv´ı p´ary v bubnu je na n´ı z´avisl´e, t´ım p´adem je i nepˇr´ımo ˇr´ızen´ y objem p´ary. Existuj´ı zde i dalˇs´ı veliˇciny, kter´e mohou b´ yt v´ ystupem modelu jako jsou napˇr´ıklad hmotnostn´ı pr˚ utoky vody do sp´adov´eho potrub´ı nebo hmotnostn´ı odtok p´ary ze stoupaˇcek apod. Model bojleru je pˇripraven pokr´ yt i tyto poˇzadavky, ale vzhledem k poˇzadavk˚ um t´eto pr´ace nejsou pˇr´ıliˇs d˚ uleˇzit´e. Pˇr´ıpadn´ y v´ ystup syst´emu jak je vidˇet na obr´azku ˇc.5 m˚ uˇze b´ yt lehce definov´an rozˇs´ıˇren´ım v´ ystupn´ı matice a m˚ uˇze potom slouˇzit obsluze k z´ısk´av´an´ı dodateˇcn´ ych informac´ı.
12
2.4
Jin´ e techniky regulace
ˇ pomal´e, jedn´a se o Existuj´ı samozˇrejmˇe i jin´e techniky ˇr´ızen´ı, ale mnoh´e znich jsou bud v´ ypoˇcty metodami koneˇcn´ ych prvk˚ u, nebo vyˇzaduj´ı obsluhu od ˇclovˇeka, kter´ y bude na pr˚ ubˇeh ˇr´ızen´ı neust´ale dohl´ıˇzet. V posledn´ıch letech se zaˇcali objevovat matematick´e modely bojler˚ u [7], kter´e jsou neline´arn´ı a velmi sloˇzit´e. Na takov´ ych modelech uˇz lze stavˇet metody ˇr´ızen´ı, kter´e jiˇz splˇ nuj´ı poˇzadovanou kvalitu a pˇredevˇs´ım rychlost regulace (v re´aln´em ˇcase). ˇ Rada regulaˇcn´ıch technik pro bojlery samozˇrejmˇe existuje, ale vˇetˇsinou jsou to velmi zjednoduˇsen´e modely, kde lze ˇr´ıdit pouze mnoˇzstv´ı vody v cel´em syst´emu a tlak (viz kapitola Z´akladn´ı model bojleru. Tato pr´ace ovˇsem zach´az´ı d´ale, poˇzadavkem je ˇr´ızen´ı jakosti p´ary a hladina vody v bojleru a to vyˇzaduje mnohem sloˇzitˇejˇs´ı model, kter´ y mus´ı br´at v u ´vahu i ostatn´ı souˇc´asti bojleru.
13
3
Modelov´ an´ı bojleru
3.1
Pozn´ amky
V n´asleduj´ıc´ım textu se vyskytuj´ı nˇekter´a slova, kter´a by mohla ˇcten´aˇre m´ast. Aby nedoˇslo k omylu, pokus´ım se zde vysvˇetlit jejich v´ yznam, v pˇr´ıpadˇe, ˇze nebude uvedeno jinak, a bude to platit pro zbytek pr´ace. ˇ • Slovem buben se mysl´ı pouze ˇc´ast (v´alec), kde se shromaˇzduje voda i p´ara. Nepatˇr´ı sem sp´adov´e potrub´ı ani stoupaˇcky. • Slovem bojler, v pˇr´ıpadˇe, ˇze se nejedn´a o rovnice ˇci vztahy, se mysl´ı vˇsechny ˇc´asti syst´emu bojleru, tzv. buben, sp´adov´e potrub´ı a stoupaˇcky. Pr´ace byla vypracov´ana v prostˇred´ı Matlab a Simulink [4] a seps´ana v programu LATEX. Vytvoˇren´ y program je uloˇzen´ y na cd, kter´e je souˇc´ast´ı t´eto pr´ace.
3.2
Popis jednoduch´ eho syst´ emu bojleru
Sch´ematick´ y obr´azek zjednoduˇsen´eho bojleru (obr´azek ˇc.3) ukazuje, ˇze pˇri dod´av´an´ı tepla Q se vaˇr´ı voda ve stoupaˇck´ach a vytv´aˇr´ı se tak nasycen´a p´ara. Nasycen´a p´ara je samozˇrejmˇe lehˇc´ı neˇz voda a stoup´a. Gravitaˇcn´ı efekt potom zp˚ usobuje cirkulaci vody z bubnu smˇerem do sp´adov´eho potrub´ı a zpˇet do stoupaˇcky, kde je ohˇr´ıv´ana, tak jak je to zobrazeno pomoc´ı ˇsipek na sch´ematick´em obr´azku. Nap´ajec´ı voda qf je pˇriv´adˇena do bojleru a p´ara qs je z bojleru odeb´ır´ana do pˇrihˇr´ıv´aku a d´ale pak do turb´ıny [7]. Ve skuteˇcnosti je tento syst´em mnohem sloˇzitˇejˇs´ı neˇz jak je pops´an v tomto odstavci a zobrazen na obr´azku ˇc.3. Skuteˇcn´ y bojler m´a velmi velik´e rozmˇery, m´a velmi sloˇzitou geometrii a m´a velk´e mnoˇzstv´ı sp´adov´ ych potrub´ı a stoupaˇcek. V´ ystup ze stoupaˇcek nevede pˇr´ımo do bojleru, tak jak je to nakresleno na obr´azku ˇc.3, ale vede do oddˇelovaˇce. To je zaˇr´ızen´ı, kter´e oddˇeluje nasycenou p´aru od vody, avˇsak pro sch´ematick´e zn´azornˇen´ı to nen´ı d˚ uleˇzit´e.
14
nasycená pára qs
napájecí voda qf
Dodávané teplo Q
spádové potrubí
Obr´azek ˇc. 3: Sch´ematick´ y obr´azek zjednoduˇsen´eho bojleru. 3.2.1
Z´ akladn´ı vlastnosti
Zde jsou zaps´any, z´akladn´ı a d˚ uleˇzit´e principy chov´an´ı bojleru (podle [6]). • Z´akladn´ı modelov´an´ı je zjednoduˇsen´e t´ım, ˇze obˇe f´aze vody uvnitˇr syst´emu jsou vˇsude v nasycen´em termodynamick´em stavu. • Energie uloˇzen´a v p´aˇre a ve vodˇe se pˇri zmˇen´ach tlaku velmi rychle absorbuje. To zajiˇsˇtuje, ˇze r˚ uzn´e ˇc´asti kotle mˇen´ı svoj´ı teplotu stejn´ ym zp˚ usobem. • Teplota kovu je velmi bl´ızk´a teplotˇe saturace a zmˇeny v teplotˇe maj´ı pouze malou dynamiku. • Vznik´a ve vˇsech m´ıstech okamˇzit´a rovnov´aha mezi teplotou vody a kovu.
3.3
Funkce a konstanty
Vˇsechny funkce v textu, v rovnic´ıch a ve vztaz´ıch jsou zde uvedeny a d´ale pro vyˇsˇs´ı ˇcitelnost jiˇz nebudu v rovnic´ıch apod. uv´adˇet jejich parametry z´avislost´ı. Jejich detailn´ı popis je v 15
kaˇzd´e kapitole u pˇr´ısluˇsn´e rovnice, kde jsou poprv´e pouˇzity. Funkcemi ˇcasu jsou: • Vwt (t) - celkov´ y objem vody v syst´emu, • Vst (t) - celkov´ y objem p´ary v syst´emu, • Vsd (t) - objem p´ary v bojleru, • Vwd (t) - objem vody v bojleru, • qf (t) - hmotnostn´ı pˇr´ıtok nap´ajec´ı vody, • qr (t) - hmotnostn´ı pr˚ utok do stoupaˇcek, • qd c(t) - hmotnostn´ı pr˚ utok do sp´adov´eho potrub´ı, • qs d(t) - hmotnostn´ı pr˚ utok p´ary do bojleru, • p(t) - tlak. Funkcemi ˇcasu a tlaku jsou: • ρs (p, t) - hustota p´ary, • ρw (p, t) - hustota vody, • hs (p, t) - entalpie p´ary, • hw (p, t) - entalpie vody, • hc (p, t) - entalpie kondens´atu, • tm (p, t) - teplota kovu, • ts (p, t) - teplota p´ary, • αv (p, t) - pr˚ umˇern´ y pod´ıl objemu p´ary, • αr (p, t) - hmotnostn´ı pod´ıl p´ary, jakost. Vˇsechny konstatny i funkce jsou uvedeny v pˇrehledn´e tabulce s popisy a s jednotkami v pˇr´ıloze 8. 16
3.4
Z´ akladn´ı model bojleru
Hlavn´ı rysem bojleru je znaˇcn´e pˇresouv´an´ı energie a hmoty mezi vˇsemi ˇc´astmi kotle, a z´aroveˇ n vˇsechny ˇc´asti jsou v kontaktu s p´arou. Mechanismus odpovˇedn´ y za tepeln´ y pˇresun je vaˇren´ı a kondensace. Celkov´a hmotnostn´ı bilanˇcn´ı rovnice: d [ρs Vst + ρw Vwt ] dt
= qf − qs .
(1)
Celkov´a eneregetick´a bilanˇcn´ı rovnice: d [ρs Vst hs + ρw Vwt hw − pVt + mt cp tm ] dt
= Q + qf hf − qs hs .
(2)
A celkov´ y objem bojleru, ve stoupaˇck´ach a ve sp´adov´em potrub´ı je: Vt = Vst + Vwt .
(3)
Kde ρs a ρw 1 reprezentuj´ı hustotu p´ary a vody, hs a hw reprezentuj´ı entalpii p´ary a vody na jednotku hmotnosti, Vt je celkov´ y objem bojleru, Vst a Vwt reprezentuj´ı celkov´e objemy p´ary a vody v bojleru, mt zastupuje celkovou hmotnost kovu, tm reprezentuje teplotu kovu a cp je specifick´a teplota kovu. Jednoduch´ y model lze z´ıskat kombinac´ı rovnic ˇc. (1), (2) a (3) a s pomoc´ı tabulek pro sytou p´aru [1]. Pro lepˇs´ı pochopen´ı kl´ıˇcov´ ych fyzik´aln´ıch mechanism˚ u, kter´e ovlivˇ nuj´ı dynamick´e chov´an´ı syst´emu budeme uvaˇzovat variabiln´ı pˇr´ıstup. Prvn´ı stavov´a promˇenn´a je vybr´ana jako celkov´ y objem vody v bojleru, Vwt . Tlak p, druh´a stavov´a promˇenn´a, je vybr´ana jako kl´ıˇcov´a stavov´a promˇenn´a, protoˇze vykazuje nejˇcastˇejˇs´ı zmˇeny(velmi mal´e) v bojleru a je tak´e samozˇrejmˇe velmi lehce mˇeˇriteln´a. Promˇenn´e ρs , ρw , hs a hw jsou vyj´adˇreny jako funkce z tabulek nasycen´e p´ary. 1
Indexy promˇenmn´ ych poch´ azej´ı z anglick´ ych slov: w - water, s - steam, t - total a m - metal.
17
Pro obdrˇzen´ı stavov´ ych rovnic je tˇreba rovnice (1) a (2) n´asledovnˇe upravit: d [ρs Vst + ρw Vwt ] dt Vst
dρs dt
+ ρs
Vst dt
+ Vwt
Celkov´ y objem Vt je konstanta a proto
ρw dt
dVt
= qf − qs , (4)
+ ρw
Vwt dt
= qf − qs .
= 0 a podle (3) vypad´a prvn´ı ˇc´ast rovnice
dt
n´asledovnˇe: dVst dt dVst dt
d =
dt
=−
(Vt − Vwt ) , (5)
dVwt dt
.
Po dosazen´ı (5) do (4) lze d´al upravit: ∂ρw dp dVwt + Vwt + ρw = qf − qs , ∂p dt dt ∂p dt dt ∂ρs dVwt ∂ρw dp + Vst + Vwt = qf − qs . (ρw − ρs ) dt ∂p ∂p dt Vst
∂ρs dp
− ρs
Vwt
(6)
Zde jsou z´ıskana e11 a e22 : e11 = ρw − ρs , e12 = Vst
∂ρs ∂p
+ Vwt
∂ρw ∂p
(7) .
´ Uprava rovnice (2): d [ρs hs Vst + ρw hw Vwt + mt cp tm ] dt
18
= Q + qf hf − qs hs .
(8)
Derivace prvn´ıho ˇclenu: d
d
Vst (ρs hs )Vst + ρs hs , dt dt dt d dhs dVt dVwt dρs Vst + ρs hs , (ρs hs Vst ) = hs + ρs − dt dt dt dt dt d ∂ρs dp ∂hs dp dVt dVwt Vst + ρs hs . (ρs hs Vst ) = hs + ρs − dt ∂p dt ∂p dt dt dt (ρs hs Vst ) =
(9)
Protoˇze Vt je konstantn´ı tak jej´ı derivace bude nulov´a:
dp dVwt − ρs hs (ρs hs Vst ) = Vst hs + ρs . dt ∂p ∂p dt dt d
∂ρs
∂hs
(10)
Derivace druh´eho ˇclenu rovnice (2): d
d
dVwt (ρw hw )Vwt + ρw hw , dt dt dt d dVwt dρw dhw + ρw hw (ρw hw Vwt ) = Vwt hw + ρw , dt dt dt dt d ∂ρw dp ∂hw dp dVwt + ρw hw (ρw hw Vwt ) = Vwt hw + ρw , dt ∂p dt ∂p dt dt d ∂hw dp dVwt ∂ρw + ρw hw (ρw hw Vwt ) = Vwt hw + ρw . dt ∂p ∂p dt dt (ρw hw Vwt ) =
(11)
Derivace tˇret´ıho ˇclenu rovnice (2): d dt
(pVt ) = Vt
19
dp . dt
(12)
A derivace ˇctvrt´eho ˇclenu rovnice (2): d dt
(mt cp tm ) = mt cp
∂tm dp ∂p dt
.
(13)
V posledn´ı rovnici je uvedena teplota kovu jako tm , tuto hnodnotu lze velmi dobˇre aproximovat teplotou p´ary ts . Jejich rozd´ıl je zanedbateln´ y a proto byl posledn´ı vzorec upraven podle tm = ts : d dt
(mt cp tm ) = mt cp
∂ts dp ∂p dt
.
(14)
Dosazen´ım d´ılˇc´ıch v´ ysledk˚ u (10), (11), (12) a (14) byla z´ısk´ana upraven´a energetick´a bilanˇcn´ı rovnice:
(ρw hw − ρs hs )
dVwt
dt ∂ρs ∂ρw ∂ts dp ∂hs ∂hw + Vwt hw − Vt + mt cp + Vst hs + ρs + ρw ∂p ∂p ∂p ∂p ∂p dt
(15)
= Q + qf hf − qs hs . Z rovnice (6) a (15) lze jednoduchou u ´pravou z´ıskat stavov´e rovnice:
e11 e21
dVwt dt dVwt dt
dp + e12
dt dp
+ e22
dt
= qf − qs , (16) = Q + qf hf − qs hs .
20
Kde: e11 = ρw − ρs , e12 = Vst
∂ρs ∂p
+ Vwt
∂ρw ∂p
,
e21 = ρw hw − ρs hs , ∂ρs ∂ρw ∂ts ∂hs ∂hw + Vwt hw − Vt + mt cp . e22 = Vst hs + ρs + ρw ∂p ∂p ∂p ∂p ∂p
(17)
V´ yˇse uveden´e rovnice (16) a (17) pˇredstavuj´ı model druh´e ˇr´adu, kter´ y sice dobˇre popisuje chov´an´ı bojleru, ale popisuje jen zmˇeny tlaku v bojleru z´avis´ıc´ı na toku nap´ajec´ı vody, na mnoˇzstv´ı dod´avan´eho tepla a mnoˇzstv´ı odeb´ıran´e p´ary. Z tohoto modelu pochopitelnˇe nelze z´ıskat u ´roveˇ n vody v bojleru, dokonce ani nepopisuje rozloˇzen´ı vody a p´ary v syst´emu.
3.5
Efekt smrˇ sˇ tov´ an´ı a roztahov´ an´ı
Efekt smrˇsˇtov´an´ı a roztahov´an´ı zp˚ usobuje zmˇeny v u ´rovni hladiny vody v bojleru, coˇz komplikuje jeho ˇr´ızen´ı. Toto chov´an´ı je silnˇe ovlivnˇeno aktu´aln´ım uspoˇr´ad´an´ım p´ary v potrub´ı a v bubnu. Zv´ yˇsen´ y odbˇer p´ary zp˚ usob´ı n´ahl´ y pokles tlaku v bubnu, coˇz zapˇriˇcin´ı vzniku parn´ıch bublin v kotli a t´ım dojde ke zv´ yˇsen´ı objemu a tud´ıˇz ke zv´ yˇsen´ı hladiny vody. Tento jev se naz´ yv´a roztahov´an´ı. Vzhledem k tomu, ˇze hmotnostn´ı bilance kotle se sn´ıˇzila, oˇcek´av´a se tak´e, ˇze se hladina vody sn´ıˇz´ı. Nakonec hladina vody se zpoˇzdˇen´ım klesne, za pˇredpokladu, ˇze je tok nap´ajec´ı vody udrˇzov´an na konstatn´ı u ´rovni. Smrˇsˇtovac´ı efekt m´a opaˇcn´ yu ´ˇcinek oproti roztahov´an´ı. Tento jev nast´av´a, kdyˇz je popt´avka po p´aˇre menˇs´ı. Na z´akladˇe stejn´eho principu stoup´a tlak a parn´ı bubliny se zmˇenˇsuj´ı a t´ım doch´az´ı ke sniˇzov´an´ı vodn´ı hladiny. Nakonec vodn´ı hladina stoup´a, pokud je tok nap´ajec´ı vody udrˇzov´an konstatn´ı. Efekt smrˇsˇtov´an´ı a roztahov´an´ı pˇredstavuje silnou pˇrek´aˇzku v ˇr´ızen´ı hladiny vody v kotli, kv˚ uli jeho neminim´alnˇe f´azov´em chov´an´ı [3]. 21
3.6
Rozloˇ zen´ı p´ ary ve stoupaˇ ck´ ach a v bojleru
Popis zmˇeny u ´rovnˇe vody v bubnu lze popsat rozloˇzen´ım vody a p´ary v cel´em syst´emu. Jejich popis je rozdˇelen na ˇc´asti stoupaˇcek, sp´adov´eho potrub´ı a bubnu. 3.6.1
Rozloˇ zen´ı p´ ary ve stoupaˇ ck´ ach
Smˇes p´ary a vody je r˚ uznorod´a po cel´e d´elce stoupaˇcky. Ve stoupaˇck´ach se voda nach´az´ı ve dvou f´az´ıch a to v tekut´e f´azi a ve f´azi v´ ypar˚ u ˇci par. Ve smˇesi vody a p´ary, je j d´ano mv
jako jeho jakost. Potom j =
, kde mv je hmotnost p´ary a ml je hmotnost vody. mv + ml Hodnota j m˚ uˇze nab´ yvat hodnot 0 aˇz 1. Aby bylo moˇzn´e definovat pr˚ umˇernou hustotu smˇesi vody a p´ary v potrub´ı, je nutn´e tak´e definovat pr´azdn´e ˇc´asti. Pr´azdn´ y pod´ıl α ze dvou f´az´ı smˇes´ı je objemov´e mnoˇzstv´ı, je d´ano jako: α = objem p´ary / (objem p´ary + objem vody). α a j maj´ı mezi sebou vztah: α=
1+
1 1−j j
nebo j =
ϕ
1
, 1 1+ j ϕ 1−j
υf
. υf a υg jsou specifick´e objemy saturovan´e vody a p´ary a s je klouzaj´ıc´ı pomˇer υg mezi dvouf´azovou smˇes´ı. Dvouf´azov´a smˇes nikdy neproud´ı stejnou rychlost´ı. Vlastnˇe mezi
kde ϕ = s
nimi existuje urˇcit´a klouzavost, kter´a zapˇriˇciˇ nuje vyˇsˇs´ı rychlost p´ary; s je bezrozmˇern´a jednotka, kter´a je vˇetˇs´ı neˇz 1 a je definovan´a jako pr˚ umˇern´ y pod´ıl rychlosti p´ary ku pr˚ umˇern´emu pod´ılu rychlosti vody v jak´emkoliv u ´seku stoupaˇcek. Podle [7] nem´a s t´emˇeˇr ˇz´adn´ y vliv na model, a proto bude d´ale vynech´ana. Chov´an´ı toku dvouf´azov´eho syst´emu je komplikovan´e a je typicky modelov´ano parci´aln´ımi diferenci´aln´ımi rovnicemi, avˇsak existuje i line´arn´ı rozdˇelen´ı ( [7]) pomˇeru vody a p´ary v potrub´ı. Tento pomˇer se mˇen´ı podle n´asleduj´ıc´ıho vzorce: αm (ξ) = ξαr , 0 ≤ ξ ≤ 1,
22
(18)
kde ξ je normalizovan´a d´elka souˇradnice pod´el stoupaˇcky a αr je hmotnostn´ı pomˇer na v´ ystupu stoupaˇcky. Objemov´ y pod´ıl p´ary αv a hmotnostn´ı pod´ıl p´ary αm maj´ı mezi sebou vztah: αv = f (αm ), kde f (αm ) = 3.6.2
ρw αm ρs + (ρw − ρs )αm
.
Pr˚ umˇ ern´ y pomˇ er objemu p´ ary
Pro modelov´an´ı u ´rovnˇe vody v bubnu je d˚ uleˇzit´e z´ıskat celkov´ y objem p´ary ve stoupaˇck´ach. To se ˇr´ıd´ı pr˚ umˇern´ ym objemov´ ym pod´ılem ve stoupaˇck´ach. Je pˇredpokl´ad´ano, ˇze hmotnostn´ı pod´ıl je line´arn´ı pod´el cel´e stoupaˇcky, jak jiˇz bylo vyj´adˇreno v rovnici ˇc. 18. Z toho lze vypoˇc´ıtat pr˚ umˇern´ y pod´ıl objemu p´ary (αv ): Z
1
αv =
αv (ξ) dξ 0
1 Z =
αr
f (αr ξ) d(αr ξ)
αr
0
1 Z =
=
3.6.3
αr
(19)
αr 0
ρw ρw − ρs
f (ξ) dξ 1 −
ρs
(ρw − ρs )αr
ln 1 +
ρw − ρs ρs
αr
Rovnice pro stoupaˇ cky
Promˇena hmoty a energie mezi p´arou a vodou kondensov´an´ım a vypaˇrov´an´ım jsou hlavn´ımi elementy v modelov´an´ı. Pˇri modelov´an´ı jednotliv´ ych f´az´ı mus´ı b´ yt pˇrenos uvaˇzov´an explicitnˇe. To lze vyj´adˇrit hmotnostn´ı bilanˇcn´ı rovnic´ı pro vodu a p´aru ve stoupaˇck´ach: d [ρs αv Vr + ρw (1 − αv )Vr ] dt 23
= qdc − qr .
(20)
Obr´azek ˇc. 4: Pr˚ uˇrez stoupaˇckou. Kde qr 1 je hmotnostn´ı pr˚ utok vystupuj´ıc´ı ze stoupaˇcek, qdc 2 je hmotnostn´ı pr˚ utok vstupuj´ıc´ı do stoupaˇcek a Vr je objem stoupaˇcek. A potom tedy rovnice popisuj´ıc´ı energetickou bilanci ve stoupaˇck´ach je n´asleduj´ıc´ı: d[ρs hs αv Vr + ρw hw (1 − αv )Vr − pVr + mr cp ts ] dt
= Q + qdc hw − (αr hc + hw )qr .
(21)
Kde mr je hmotnost stoupaˇcek a sp´adov´eho potrub´ı a hc je entalpie kondens´atu. Lze ji z´ıskat ze vztahu hc = hs − hw . 3.6.4
Cirkulaˇ cn´ı tok
Pˇrirozen´a cirkulace toku v bojleru je d´ana poˇctem sklon˚ u ve sp´adov´em potrub´ı a ve stoupaˇck´ach. Pr˚ utok ve sp´adov´em potrub´ı (qdc ) lze obdrˇzet z momentov´e rovnice. Tato rovnice se skl´ad´a ze tˇr´ı ˇc´ast´ı, jmenovitˇe vnitˇrn´ı s´ıla, hnac´ı s´ıla, kter´a je v tomto pˇr´ıpadˇe rozd´ıl hustot a tˇrec´ı s´ıla, kter´a p˚ usob´ı v potrub´ı. 1 2
Index r poch´ az´ı z anglick´eho slova riser. Index dc p˚ uvodnˇe z anglick´eho v´ yrazu pro sp´adov´e potrub´ı - downcomer.
24
• Vnitˇrn´ı s´ıla: (Lr + Ldc )
dqdc dt
.
• Hnac´ı s´ıla: (ρw − ρs )αv Vr g. • Tˇrec´ı s´ıla:
2 kqdc
2ρw Adc
.
Kombinac´ı tˇr´ı v´ yˇse uveden´ ych ˇc´ast´ı je z´ısk´ana momentov´a rovnice, kterou lze zapsat jako:
(Lr + Ldc )
qdc dt
= (ρw − ρs )αv Vr g −
2 kqdc
2ρw Adc
.
(22)
Rovnice (22) je prvn´ıho ˇr´adu a m´a ˇcasovou konstantu τ (pˇribliˇznˇe 1s podle [7]):
τ=
(Lr + Ldc )Adc ρw kqdc
.
(23)
Kde Lr a Ldc jsou d´elky stoupaˇcek a sp´adov´eho potrub´ı, k je tˇrec´ı koeficient, Adc je plocha pr˚ utoku sp´adov´eho potrub´ı a g je gravitaˇcn´ı konstanta. V ust´alen´em stavu je syst´em d´an: 1 kq 2 = ρw Adc (ρw − ρs )αv Vr g. 2 dc 3.6.5
(24)
Rozloˇ zen´ı p´ ary v bubnu
Fyzik´aln´ı jev v bojleru je sloˇzit´a z´aleˇzitost. P´ara vstupuje do bojleru z mnoha stoupaˇcek, nap´ajec´ı voda vstupuje ze sloˇzit´eho zaˇr´ızen´ı a opouˇst´ı buben ve sp´adov´em potrub´ı a nakonec p´ara bojler opouˇst´ı pˇres parovodn´ı ventil. Geometrie a pr˚ utokov´e vzorce pro takov´ y syst´em jsou velmi sloˇzit´e. Z´akladn´ı mechanismy, kter´e se vyskytuj´ı v bojleru, oddˇeluj´ı vodu, p´aru a kondes´at. Hmotnostn´ı bilanˇcn´ı rovnice pro p´aru pod u ´rovn´ı bubnu je: d(ρs Vsd ) dt
= αr qr − qsd − qcd .
25
(25)
Kde Vsd je objem p´ary v bojleru, v n´asleduj´ıc´ıch v´ ypoˇctech potom Vwd reprezentuje objem vody v bojleru a qcd je hmotnostn´ı tok kondes´atu a je d´an:
qcd =
hw − hf hc
1 qf +
hc
ρs Vsd
dhs dt
+ ρw Vwd
dhw dt
− (Vsd + Vwd )
dp dt
+ md cp
dts dt
.
(26)
Kde hf je entalpie nap´ajec´ı vody a md je hmotnost bubnu. Tok qsd je hn´an rozd´ılem hustot vody, p´ary a momentem toku vstupuj´ıc´ıho do bubnu. V´ yraz pro qsd je empirick´ y model a je vhodn´ y pro experiment´aln´ı data (podle [7]) a je d´an:
qsd =
ρs Td
Vsd − Vsd0 + αr qdc + αr β (qdc − qr ) .
(27)
Kde Vsd0 je objem p´ary v bojleru v hypotetick´e situaci, kdy nen´ı ve v´alci ˇz´adn´ y kondens´at, β je empirick´ y parametr [3] a Td je doba zdrˇzen´ı p´ary v bojleru. 3.6.6
Hladina vody v bojleru
V pˇredchoz´ıch kapitol´ach bylo pops´ano rozloˇzen´ı p´ary pod u ´rovn´ı bubnu, nyn´ı se vytvoˇr´ı ´ na u ´rovni bubnu. Uroveˇ n vody v bubnu se skl´ad´a ze dvou ˇc´ast´ı, a to: • celkov´ y objem vody v bubnu: Vwd = Vwt − Vdc − (1 − αv )Vr ,
(28)
• posun vzhledem ke zmˇen´am v pomˇeru voda-p´ara ve stoupaˇck´ach. Odvozen´ı u ´rovnˇe vody l je mˇeˇreno pˇri norm´aln´ıch provozn´ıch podm´ınk´ach a je d´ano:
l=
Vsd + Vwd Ad
26
= lw + ls .
(29)
Kde lw =
Vwd
a ls =
Vsd
, lw je u ´roveˇ n vody zp˚ usoben´a zmˇenami mnoˇzstv´ı vody v bubnu, ls Ad Ad je u ´roveˇ n obmˇeny p´ary ve v´alci zp˚ usoben´a zmˇenami mnoˇzstv´ı p´ary a Ad je aktu´aln´ı mokr´a
plocha v bubnu.
3.7
Model
Pro z´ısk´an´ı modelu bojleru je nutn´e spojit z´akladn´ı model bojleru a jeho rozˇs´ıˇren´ı, kter´e se zab´ yv´a rozloˇzen´ım vody a p´ary v jednotliv´ ych ˇc´astech bojleru. Model potom budou tvoˇrit rovnice (1), (2), (20), (21) a (25) spolu s dalˇs´ımi algebraick´ ymi rovnicemi. Cirkulaˇcn´ı tok qdc do sp´adov´eho potrub´ı je d´an rovnic´ı (24), tok p´ary qsd skrze hladinu vody v bubnu je d´an rovnic´ı (27) a u ´roveˇ n hladiny vody l v bubnu je d´ana rovnic´ı (29). Celkov´e objemy vody a p´ary, nebo v r˚ uzn´ ych ˇc´astech syst´emu, lze poˇc´ıtat podle vztah˚ u (3) a (28). 3.7.1
Stavov´ y model
Jako stavov´e promˇenn´e je vhodn´e vybrat takov´e promˇenn´e, kter´e budou dobˇre fyzik´alnˇe mˇeˇriteln´e. • Stavov´e promˇenn´e: celkov´ y objem vody v syst´emu Vwt , tlak p, jakost p´ary αr a objem p´ary ve v´alci Vsd . ˇ • Riditeln´ e vstupy: p˚ usob´ıc´ı teplo na soupaˇcky Q, tok nap´ajec´ı vody qf . • Mˇeˇren´ y v´ ystup: u ´roveˇ n hladiny vody v bubnu l a jakost p´ary αr Vstup qs je vlastnˇe odbˇer p´ary a tento vstup je posuzov´an jako porucha. V´ıce je v kapitole o ˇr´ızen´ı 3.11. 3.7.2
Tlak a v´ ypoˇ cet objemu
Stavov´e rovnice pro tlak p a objem vody v syst´emu Vwt lze z´ıskat z rovnic celkov´e hmotnostn´ı bilanˇcn´ı rovnice (1) a z celkov´e energetick´e bilaˇcn´ı rovnice (2). Tyto rovnice lze zapsat jako stavov´e rovnice viz (16). 27
3.7.3
Dynamika ve stoupaˇ ck´ ach
Dynamika ve stoupaˇck´ach je z´ısk´ana z rovnice (20) a z rovnice (21) a jejich dalˇs´ım zjednoduˇsen´ım (eliminac´ı qr ) a vyn´asoben´ım rovnice (20) v´ yrazem (hw + αr hc ) a pˇrid´an´ım rovnice (21). V´ ysledkem je n´asleduj´ıc´ı rovnice: d dt
(ρs hs αv Vr ) − (hw + αr hc )
d dt
d
(ρs αv Vr ) +
[ρw hw (1 − αv )Vr ] dt
(30)
d dp dts −(hw + αr hc ) (ρw (1 − αv )Vr ) − Vr + mr cp = Q − αr hc qdc . dt dt dt Rovnice (30) lze zjednoduˇsit na: d dhw d hc (1 − αr ) (ρs αv Vr ) + pw (1 − αv )Vr − αr hc [ρw (1 − αv )Vr ] dt dt dt +ρs αv Vr
dhs dt
− Vr
dp dt
+ mr cp
dts dt
(31)
= Q − αr qdc hc .
Pokud jsou zn´am´e stavov´e promˇenn´e p a αr , tak lze vypoˇc´ıtat tok stoupaˇckami qr z rovnice (20). To lze vyj´adˇrit:
qr = qdc −
d
d (ρs αv Vr ) − (ρw (1 − αv )Vr ) dt dt
= qdc − Vr = qdc − Vr = qdc − Vr
d
[(1 − αv )ρw + αv ρs ] dt
(32)
d
[ρw − αv (ρw − ρs )] dt ∂ ∂p
[(1 − αv )ρw + αv ρs ]
28
dp dt
+ Vr (ρw − ρs )
∂αv dαr ∂αr dt
.
Dynamiku bojleru lze zachytit hmotnostn´ı bilanˇcn´ı rovnic´ı (25). Ve stejn´e rovnici jsou i nahrazeny v´ yrazy qr z (32), qsd z (27) a qcd z (26). V´ ysledek je zjednoduˇsen na: ρs
dVsd dt
+ Vsd
dρs dt
1 +
hc
ρs Vsd
dhs dt
+ ρw Vwd
dhw dt
− (Vsd + Vwd )
dp dt
+ md cp
dts dt
+ (33)
hf − hw ρs [(1 − αv )ρw + ρs αv ] = (Vsd0 − Vsd ) + qf . dt Td hc d
αr (1 + β)Vr 3.7.4
Shrnut´ı
Stavov´e rovnice vypadaj´ı n´asledovnˇe:
e11 e21
dVwt dt dVwt dt
dp + e12
dp + e22
dp e32 dp e42
dt
+ e43
dt
dαr dt
dt
+ e33
+ e44
dt
dαr dt
dVsd dt
= qf − qs , = Q + qf hf − qs hs , (34) = Q − αr hc qdc , =
ρs Td
29
(hf − hw ) Vsd0 − Vsd + qf . hc
Kde: e11 = ρw − ρs , e12 = Vwt
∂ρw ∂p
+ Vst
∂ρs ∂p
,
e21 = ρw hw − ρs hs , ∂ρw ∂ρs ∂ts ∂hw ∂hs + Vst hs − Vt + mt cp , e22 = Vwt hw + ρw + ρs ∂p ∂p ∂p ∂p ∂p ∂ρw ∂ρs ∂hs ∂hw (1 − αv )Vr + (1 − αr )hc αv V r , − αr hc + ρs e32 = ρw ∂p ∂p ∂p ∂p + (ρs + (ρw − ρs )αr )hc Vr
∂αv ∂p
− Vr + mr cp
∂ts ∂p
,
∂αv e33 = ((1 − αr )ρs + αr ρw ) hc Vr , ∂αr 1 ∂hs ∂ρs ∂hw ∂ts e42 = Vsd + ρs Vsd + ρw Vwd − Vsd − Vwd + md cp , ∂p hc ∂p ∂p ∂p ∂ρw ∂ρs ∂αv , + αr (1 + β)Vr αv + (1 − αv ) + (ρs − ρw ) ∂p ∂p ∂p e43 = αr (1 + β)(ρs − ρw )Vr
∂αv ∂αr
,
e44 = ρs .
30
(35)
A d´ale:
l=
Vsd + Vwd Ad
,
Vt = Vst + Vwt , hc = hs − hw , ρw ρs ρw − ρs 1 − αv = ln 1 + αr , ρw − ρs (ρw − ρs )αr ρs v u u t 2ρw Adc (ρw − ρs )gαv Vr qdc = , k ρw 1 ∂αv 1 ρs + ρw ∂ρs ∂ρw 1 + ρw = − ρs − ln(1 + η) , ∂p (ρw − ρs )2 ∂p ∂p ρs η + 1 ηρs ∂αv ρw 1 1 ln(1 + η) − , = ∂αr ρs η η 1+η η = αr
(36)
(ρw − ρs ) . ρs
V´ ysledn´ y syst´em je typu: E(t)x(t) ˙ = f (x(t), u(t)), (37) y(t) = l(x(t)).
31
Kde: e 11 e21 E(t) = 0 0
3.8 3.8.1
V wt q f p 0 0 , x(t) = , u(t) = Q , αr e33 0 qs e43 e44 Vsd0 qf − qs Q − qf hf − qs hs . f (x(t), u(t)) = Q − αr hc qdc 0 Vsd + Vsd hf − hw ρs + qf Td hc
e12 e22 e32 e42
0
0
(38)
Zjednoduˇ sen´ e a linearizovan´ e modely Parametry modelu
V n´asleduj´ıc´ıch modelech jsou pouˇzity parametry z [7] a jsou to: • celkov´ y objem Vt = 85[m3 ], objem stoupaˇcek Vr = 37[m3 ], objem sp´adov´eho potrub´ı Vdc = 11[m3 ], celkov´ y objem vody Vwt = 57.5[m3 ], poˇc´ateˇcn´ı objem p´ary v bojleru Vsd0 = 4.8[m3 ], • celkov´a hmotnost mt = 30000[kg], hmotnost stoupaˇcek a spadov´eho potrub´ı mr = 160000[kg], hmotnost bojleru md = 10000[kg] • gravitaˇcn´ı konstanta g = 9.81[m/s−2 ], • mokr´a plocha v bojleru Ad = 20[m2 ], plocha pr˚ uˇrezu sp´adov´eho potrub´ı Adc = 0.355[m2 ], • hmotnostn´ı pod´ıl p´ary (jakost p´ary) αr = 0.051, • tlak p = 8.5[M P a], • tˇrec´ı koeficient k = 25, 32
• doba zdrˇzen´ı p´ary v bojeru Td = 12[s], • empirick´ y parametr β = 0.3, • specifick´a teplota kovu cp = 550[J/Kg ◦ C] 3.8.2
Zjednoduˇ sen´ y neline´ arn´ı model s konstatn´ım tlakem dp
Zjednoduˇsen´ y model spoˇc´ıv´a v uvaˇzov´an´ı konstantn´ıho tlaku
= 0. Zmˇeny tlaku jsou ve dt skuteˇcnosti pˇriliˇs mal´e (variuj´ı okolo st´ale hodnoty). Upraven´ım rovnice (16) vznikne:
e11 e21
dVwt dt dVwt dt
= qf − qs , (39) = Q + qf hf − qs hs .
Po vyn´asoben´ı rovnice koeficienty e11 a e21 jsou rovnice od sebe odeˇcteny a pak d´ale upraveny: 1 0=
e11 e21
Q=
e11
(qf − qs ) −
1 e21
(Q + qf hf − qs hs ), (40)
(qf − qs ) − qf hf + qs hs .
V´ ysledek ze (40) lze dosadit spolu s konstatn´ım tlakem do rovnic (34) a je obdrˇzen n´asleduj´ıc´ı zjednoduˇsen´ y model:
e21
dVwt dt
e33 e43
dαr dt
+ e44
dαr dt
dVsd dt
= = =
e21 e11 e21 e11 ρs Td
(qf − qs ), (qf − qs ) − qf hf + qs hs − αr hc qdc ,
(Vsd0 − Vsd )
33
hf − hw hc
qf .
(41)
3.8.3
Linearizace modelu s konstatn´ımi parametry matice E
Rovnice linearizovan´eho modelu: ˆ˙ E k x(t) = J1 xˆ(t) + J2 u(t),
(42)
y(t) = J3 xˆ(t), kde E k je konstatn´ı matice E. Nov´e matice A, B a C budou vypoˇcteny z Jacobiov´ ych matic J1 , J2 a J3 : 3.8.4
Linear parametr varying
Model je linearizov´an podle poˇzadavk˚ u na ˇr´ızen´ı, to znamen´a, ˇze vstupn´ı vektor je nastaven na:
h
u0 = 32 1 · 10
6
i 32 ,
(43)
kde prvn´ı prvek vektoru u0 je hmotnostn´ı pˇr´ıtok qf a druh´ y prvek je dod´avan´e teplo Q. Nyn´ı lze vypoˇc´ıtat vektor x0 : f (x, u0 ) = 0.
(44)
f (x0 , u0 ) = 0,
(45)
A pak
h i x0 = 5, 02 · 10−7 3, 49 · 10−5 8, 65 · 10−3 −9.27 ,
34
kde x0 je potom rovnov´aˇzn´ y stav pro zvolen´e ˇr´ızen´ı u0 . ∂f , J1 = ∂x x=x0 ,u=u0 ∂f , J2 = ∂u x=x0 ,u=u0
(46)
∂f J3 = , ∂x x=x0
∂f1 ∂Vwt ∂f2 ∂V wt J1 = ∂f3 ∂V wt ∂f4
∂f1
∂f1
∂Vwt
∂p
∂αr ∂Vsd
∂f1
∂p ∂αr ∂Vsd ∂f2 ∂f2 ∂f2 ∂p ∂αr ∂Vsd , ∂f3 ∂f3 ∂f3 ∂p ∂αr ∂Vsd ∂f4 ∂f4 ∂f4
0 0 0 0 0 0 0 0 ∂qdc ∂αv J1 = 0 , −h q − α h 0 α h c dc r c r c ∂p ∂αr 0 ∂ρs Vsd − Vsd ∂ hf ρs 0 0 − ∂p Td ∂p hc Td
35
(47)
kde
∂αv ∂p
viz v´ yˇse a zbytek:
∂qdc ∂αr
∂p
=
∂
1
hf hc
=
2
2ρw Adc (ρw − ρs )gαv Vr k
(hw − hf )
∂hs ∂p
+ (hf − hs )
−
1 2
·
2ρw Adc (ρw − ρs )gVr ∂αv k
∂αr
,
∂hw ∂p
e
(hs − hw )2 ,
∂f1 ∂f1 ∂f1
∂q ∂Q ∂q f s ∂f2 ∂f2 ∂f2 ∂qf ∂Q ∂qs J2 = , ∂f ∂f ∂f 3 3 3 ∂qf ∂Q ∂qs ∂f4 ∂f4 ∂f4 ∂qf
∂Q
∂qs
1 0 1 −hf 1 −hs J2 = 0 1 0 , hf − hw 0 0 hc " #T ∂l ∂l ∂l ∂l J3 = ∂Vwt ∂p ∂αr ∂Vsd
(48)
a #T
" J3 =
1 Ad
Vr
∂αr
1
∂p
Ad
36
Vr
∂αv
1
∂αr
Ad
.
(49)
Z vypoˇcten´ ych Jacobiov´ ych matich J, J2 a J3 [(47), (55) a (49)] je z´ısk´ana linearizovan´a stavov´a rovnice: ˆ˙ x(t) = Ek
−1
J1 xˆ(t) + E k
−1
J2 u(t),
(50)
y(t) = J3 xˆ(t),
3.9
V´ ystup linearizovan´ eho syst´ emu z prostˇ red´ı Matlab
Pro u ´plnost zde doplˇ nuji v´ ystup z Matlabu, kdyˇz dojde k vytvoˇren´ı spojit´eho syst´emu z matice J1 , J2 , J3 a D pˇr´ıkazem ss(a,b,c,d): a= x1
x2
x3
−2.252e−14 1.133e−14
x4
x1
0
x2
0
0
0
0
x3
0
2.095
−1.053
0
x4
0
7012
−3527
−0.0833
b=
x1
u1
u2
0.001126
−2.027e−9
x2 −4.0533e−8
3.5e−11
x3
2.43e−5
1.84e−8
x4
0.09142
2.446e−5
c= x1
x2
y1 0.05
0
y2
0
0
37
x3
x4
12.5 0.05 1
0
0
kde matice D obsahuje sam´e nuly s respaktov´an´ım poˇctu ˇr´adk˚ u a sloupeˇck˚ u podle matic J2 a J3 , resp. matic b a c.
3.10
Anal´ yza syst´ emu
3.10.1
Stabilita syst´ emu
Z linearizovan´eho modelu a z jeho ust´alen´eho stavu (50) byly vypoˇcteny vlatn´ı ˇc´ısla matice A: λ1 = 0, λ2 = −0.0833,
(51)
λ3 = −1.0534, λ4 = 0.
Stabilita rovnov´aˇzn´eho stavu je typem sedlo, tedy je vˇzdy nestabiln´ı a ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh x(t) je nekmitav´ y a aperiodick´ y. Syst´em nen´ı BIBO stabiln´ı; nereaguje na omezen´ y vstup omezen´ ym v´ ystupem. 3.10.2
ˇ Riditelnost a pozorovatelnost
• Syst´em je ˇriditeln´ y a dosaˇziteln´ y, protoˇze hodnost matice ˇriditelnosti je rovna dimenzi vektoru stavu. h[b, Ab, A2 b, ..., An−1 b] = dim x(t) (52) h[J2 , J1 J2 ,
J12 J2 ,
J13 J2 ]
= dim x(t)
1.2385 −0.0081 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0 0 0 0 0 0 =4 h 0.026 0.073 −0.028 −0.072 0.029 0.081 −0.031 −0.085 100.56 97.88 −102.97 −266.77 108.22 294.66 −113.98 −311.53
38
dim x(t) = 4 • Syst´em je pozorovateln´ y a rekonstruovateln´ y, protoˇze hodnost matice pozorovatelnosti je rovna dimenze vektoru stavu. h[cT cT A ... cT An−1 ] = dim x(t) (53) h[J3T J3T J1 J3T J12 J3T J13 ] = dim x(t) 0.05 0 12.5034 0.05 0 0 1 0 0 376.7743 −189.5053 −0.0042 0 2.0946 −1.0534 0 =4 h 0 −426.1408 214.3189 0.0003 0 −2.2064 1.1097 0 0 451.3373 −226.9899 0 0 2.2343 −1.1689 0 dim x(t) = 4 3.10.3
Skokov´ a odezva
Na obr´azku ˇc. 5 je zobrazena skokov´a odezva syst´emu. Rovnice byly pro tuto chv´ıli upraveny tak, aby funkce step v prostˇred´ı Matlab zobrazila vˇsechny v´ ystupy najednou, tak aby na v´ ystupu syst´emu byla vidˇet jejich z´avislost a dynamika syst´emu. Jelikoˇz pˇr´ıkaz step neumoˇzn ˇuje nastaven´ı poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek, tak vˇsechny stavov´e promˇenn´e zaˇc´ınaj´ı od nuly, t´ım p´adem tyto grafy nevypov´ıdaj´ı nic o skuteˇcn´em syst´emu, ˇ odezvy je nastaven na 200 sekund. ale lze z nich pozorovat chov´an´ı syst´emu. Cas V prvn´ım ˇr´adku je u ´roveˇ n hladiny vody v bubnu l v [m3 ], v druh´em je jakost p´ary αr , ve tˇret´ım je objem p´ary v bubnu Vsd v [m3 ], ve ˇcvrt´em je celkov´ y objem vody v bojleru Vwt v [m3 ] a v p´atem ˇr´adku je tlak p v [M P a]. Posledn´ı ˇctyˇri ˇr´adky jsou vlastnˇe stavov´e promˇenn´e. Pˇri pˇr´ıtoku nap´ajec´ı vody qf v [kg/s] stoup´a hladina vody v bubnu, na jakost 39
p´ary m´a minim´aln´ı vliv, ale pˇresto trochu kles´a, stejnˇe tak se t´emˇeˇr nemˇen´ı objem p´ary v bubnu, stoup´a celkov´ y objem vody v bojleru a kles´a tlak. Nepatrn´a zmˇena v objemu p´ary v bubnu je zp˚ usobena neminim´aln´ı f´azovost´ı syst´emu a klesaj´ıc´ı tlak kvalita p´ary dolit´ım studenˇejˇs´ı vody. V druh´em sloupeˇcku je dod´avan´e teplo Q v [M W ] do syst´emu, resp. do stoupaˇcek, kde ´ doch´az´ı k ohˇrevu vody a vzniku p´ary. Uroveˇ n hladiny vody kles´a v d˚ usledku vytv´aˇren´ı p´ary, dod´av´an´ı tepla do syst´emu ovlivˇ nuje jakost p´ary, kter´a t´ım stoupne, zved´a se tak´e mnoˇzstv´ı p´ary v bubnu, celkov´ y objem vody v bojelru kles´a a tlak stoup´a. Zde je patrn´ y efekt smrˇstov´an´ı a roztahov´an´ı v jakosti p´ary. Ve tˇret´ım sloupeˇcku je hmotnostn´ı odtok p´ary qs v [kg/s]. Hladina napˇred stoupne a potom opˇet zaˇcne klesat, to je d´ano neminim´aln´ı f´azovost´ı syst´emu, jakost p´ary je t´ımto ovlivnˇena m´alo, objem p´ary v bubnu kles´a, celkov´ y objem vody v bojleru se nemˇen´ı a tlak kles´a.
3.11
Vstup je porucha
Na n´asleduj´ıc´ım obr´azku (ˇc.6) je blokovˇe zobrazen´ y model bojleru. T´ımto modelem lze ˇr´ıdit u ´roveˇ n vody l v bubnu. Na v´ ystupu bojleru, a nyn´ı je myˇsleno pˇr´ımo konec potrub´ı, ˇ je pˇripojeno dalˇs´ı zaˇr´ızen´ı. Casto se jedn´a o zaˇr´ızen´ı typu pˇrihˇr´ıv´ak, toto zaˇr´ızen´ı nen´ı tak d˚ uleˇzit´e pro dalˇs´ı v´ yvoj modelu bojleru, mnohem d˚ uleˇzitˇejˇs´ım zaˇr´ızen´ım je parn´ı turb´ına. Takov´e zaˇr´ızen´ı potˇrebuje pro svou pr´aci p´aru v poˇzadovan´e kvalitˇe a v poˇzadovan´em mnoˇzstv´ı. Je velmi d˚ uleˇzit´e, aby ot´aˇcky parn´ı turb´ıny nekol´ısaly a to se zajiˇsˇtuje pˇredevˇs´ım dod´av´an´ım st´ale stejn´eho mnoˇzstv´ı p´ary. D´ale je d˚ uleˇzit´e, aby p´ara byla ve st´ale stejn´e kvalitˇe, v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe by mohlo doj´ıt k poˇskozen´ı lopatek turb´ıny, napˇr. vlivem obsahu mal´ ych kapiˇcek vody v p´aˇre (kavitace), a t´ım p´adem n´aslednˇe k odstavˇen´ı parn´ı turb´ıny, odstavˇen´ı v´ yroby, odstaven´ı parn´ıho kotle a nakonec k odstaven´ı cel´eho zaˇr´ızen´ı. S t´ımto samozˇrejmˇe souvis´ı nemal´e finanˇcn´ı v´ ydaje, jednak na opravu turb´ıny a jednak s neschopnost´ı vyr´abˇet elektrickou energii. Model je potˇreba upravit tak, aby na sv´em v´ ystupu (matematick´em) bylo moˇzno sledovat
40
Skokova odezva q
q
Q
f
s
200
l [m]
100 0 −100 −200 0.2
α
r
0.15 0.1 0.05
Vsd [m3]
0 500
0
−500 1000
Vwt [m3]
500 0 −500 −1000
p [MPa]
0.04 0.02 0 −0.02 −0.04
0
50
100
150
200 0
50
100 cas (sec)
150
200 0
50
Obr´azek ˇc. 5: Skokov´a odezva syst´emu
41
100
150
200
Obr´azek ˇc. 6: Blokov´e sch´ema modelu bojleru jakost p´ary na v´ ystupu. Protoˇze jakost p´ary αr je jednou ze stavov´ ych veliˇcin modelu, tak pro jej´ı v´ ystup je upravena matice J3 n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem:
T
1 ∂αr 1 ∂αv 1 V Vr r J3 = ∂p Ad ∂αr Ad Ad , 0 0 1 0
(54)
tak´e byla upravena matice D, pˇr´ım´ y pˇrenos ze vstupu na v´ ystup, o pˇridan´e nuly. Dalˇs´ı d˚ uleˇzitou u ´pravou je nastaven´ı hmotnostn´ıho odtoku p´ary qs jako poruchy (viz obr´azek ˇc.7). Tento matematick´ y vstup je vlastnˇe v´ ystupem ze syst´emu, protoˇze mus´ı b´ yt zachov´ana
Obr´azek ˇc. 7: qs hmotnostn´ı odtok p´ary je porucha rovnov´aha v hmotnostn´ım pˇr´ıtoku qf a hmotnostn´ım odtoku qs za p˚ usoben´ı dod´avan´eho tepla Q. Tato porucha je nastevena jako konstatn´ı hodnota a n´aslednˇe pˇri linearizaci je zderivov´ana do nuly. Upraven´ y syst´em modelu bojleru je zobrazen na obr´azku ˇc.8. Jedn´a se tedy o syst´em se dvˇema vstupy a dvˇema v´ ystupy; v literatuˇre oznaˇcovan´ y jako TITO (two input, two output) syst´em [5]. Pro takov´ y syst´em lze pouˇz´ıt techniku rozvazben´ı. Potom 42
Obr´azek ˇc. 8: Upraven´ y model bojleru se dvˇema vstupy a dvˇema v´ ystupy lze navrhnout regul´atory tak, aby se navz´ajem neovlivˇ novali, tedy klasick´ ymi metodami n´avrhu pro SISO syst´emy. Jak jiˇz bylo v´ yˇse pops´ano byla upravena i vstupn´ı matice J2:
1
0
−hf 1 J2 = 0 1 . hf − hw 0 hc
(55)
Do syst´emu jsou nyn´ı zavedeny dva vstupy qf a Q. 3.11.1
Skokov´ a odezva upraven´ eho syst´ emu
U skokov´e odezvy pˇr´ıkazem step plat´ı stejn´e podm´ınky jako u pˇredchoz´ı skokov´e odezvy pro neupraven´ y syst´em. Na obr´azku ˇc.9 je patrn´e, ˇze pˇri dod´av´an´ı vody do bubnu se zved´a hladina a z´aroveˇ n kles´a kvalita p´ary. Pˇri dod´av´an´ı tepla kles´a hladina vody v bubnu a stoup´a jakost p´ary.
43
Skokova odezva q
Q
f
50
l [m]
0
−50
−100 0.2
αr
0.15
0.1
0.05
0
0
50
100
150
200 0 cas (sec)
50
100
150
200
Obr´azek ˇc. 9: Skokov´a odezva systemu se dvˇema vstupy a se dvˇema v´ ystupy
4 4.1
N´ avrh rozvazbovac´ıho regul´ atoru ´ Uvod
Vˇetˇsina ˇr´ızen´ ych syst´em˚ u jsou komplexn´ı a v´ıce promˇenn´e, tzn. skl´adaj´ı se z nˇekolika mˇeˇren´ ych sign´al˚ u a z nˇekolika ˇr´ızen´ ych sign´al˚ u, ˇcasto zde existuj´ı vazby mezi r˚ uzn´ ymi sign´aly. Typick´ y proces ˇr´ızen´ı elektr´arny m˚ uˇze obsahovat tis´ıce vstup˚ u a tis´ıce v´ ystup˚ u. Je bˇeˇzn´e, ˇze se r˚ uzn´e hodnoty proces˚ u ovlivˇ nuj´ı, to znamen´a, ˇze r˚ uzn´e ˇr´ıd´ıc´ı smyˇcky se navz´ajem ruˇs´ı. V pr˚ umyslu je takov´ y probl´em ˇcasto ˇreˇsen t´ım, ˇze se nalad´ı nejd˚ uleˇzitˇeˇs´ı smyˇcka tak, aby d´avala alespoˇ n dobr´ y v´ ykon, zat´ım co ostatn´ı se rozlad´ı tak, aby jejich ovlivˇ nov´an´ı hlavn´ı smyˇcky bylo v pˇrijateln´ ych mez´ıch. Toto nastaven´ı je pochopitelnˇe velmi vzd´alen´e optim´aln´ımu nastaven´ı.
44
V pˇr´ıpadˇe syst´em˚ u se dvˇema vstupy a dvˇema v´ ystupy lze pouˇz´ıt rozvazbovac´ı regul´ator, kter´ y by mˇel interakce mezi r˚ uzn´ ymi vstupy a v´ ystupy potlaˇcit, aby bylo vz´ajemn´e ovlivnˇen´ı co nejmenˇs´ı.
4.2
Ovlivˇ nov´ an´ı
Na obr´azc´ıch ˇc.5 a ˇc.9 lze pozorovat vz´ajemn´e ovlivˇ nov´an´ı v´ ystup˚ u vstupy. Je zˇrejm´e, ˇze kdyˇz bude do bubnu nalita studen´a napajec´ı voda tak v koneˇcn´em d˚ usledku stoupne hladina vody v bubnu, ale tak´e klesne jakost vyr´abˇen´e p´ary a obr´acenˇe v d˚ usledku dod´av´an´ı tepla do syst´emu pˇres stoupaˇcky dojde k poklesu hladiny vody v bubnu a zv´ yˇs´ı se jakost p´ary na v´ ystupu. Tyto efekty jsou neˇz´adouc´ı a mˇeli by b´ yt co nejv´ıce potlaˇceny. Poˇzadavek je takov´ y, aby se pˇri nalit´ı studen´e vody, co moˇzn´a nejm´enˇe zmˇenila jakost p´ary a pˇri dod´av´an´ı tepla pro v´ yrobu p´ary, se co moˇzn´a nejm´enˇe zmˇenila u ´roveˇ n hladiny vody. Je pochopiteln´e, ˇze tyto jevy se mus´ı navz´ajem ovlivˇ novat, protoˇze se jedn´a o z´akladn´ı fyzik´aln´ı principy, ovˇsem tento jev lze minimalizovat pomoc´ı rozvazbovac´ıho regul´atoru.
4.3
Obecn´ a struktura rozvazbovac´ıho regul´ atoru
Obecn´a struktura rozvazbovac´ıho regulk´atoru ve zpˇetn´e vazbˇe je zobrazena na obr´azku ˇc. 10, kde G(p) je matice pˇrenosov´ ych funkc´ı ˇr´ızen´eho syst´emu, matice R(p) je matice
Obr´azek ˇc. 10: Obecn´a struktura rozvazbovac´ıho regul´atoru ve zpˇetn´e vazbˇe pˇrenosov´ ych funkc´ı regul´atoru a matice D(p) je matice pˇrenosov´ ych funkc´ı rozvazbovac´ıho ´ regul´atoru. Ukolem rozvazbovac´ıho regul´atoru je, jak uˇz bylo v´ yˇse pops´ano, dos´ahnout co nejmenˇs´ıho ovlivˇ nov´an´ı mezi r˚ uzn´ ymi vazbami. Konkr´etnˇe pro syst´emy se dvˇema vstupy a dvˇema v´ ystupy to vypad´a n´asledovnˇe (viz obr´azek ˇc.11): Tedy matice D(p) mus´ı b´ yt diagon´aln´ı matice pˇrenosov´ ych funkc´ı rozvazbovac´ıho regul´atoru. 45
Obr´azek ˇc. 11: Vlevo nerozvazben´ y ˇr´ızen´ y syst´em, vpravo rozvazben´ y ˇr´ızen´ y syst´em
4.4
N´ avrh regul´ atoru pomoci GMK
N´avrh regul´atoru R1 (p) a R2 (p) bude prob´ıhat pomoc´ı metody GMK. Protoˇze bude pouˇzit rozvazbovac´ı regul´ator, tak prvn´ı f´aze n´avrhu spoˇc´ıv´a v neuvaˇzov´an´ı interakc´ı. N´avrh regul´atoru bude br´at v u ´vahu pouze pˇrenos na diagon´ale. Tedy pro R1 (p) to bude pˇrenos g11 (p) a pro R2 (p) to bude pˇrenos g22 (p). Pˇrenosy g11 (p) a g22 (p) jsou diagon´aln´ı pˇrenosy z matice pˇrenosu ˇr´ızen´eho syst´emu G(p). Oba regul´atory byli zvoleny z GMK a pak byli jeˇstˇe n´aslednˇe nepatrnˇe upraveny ruˇcnˇe, tak aby mˇeli co moˇzn´a nejlepˇs´ı odezvu v uzavˇren´e zpˇetn´e vazbˇe. 4.4.1
N´ avrh R1 (p)
Z n´asleduj´ıc´ıho obr´azku ˇc.12 je vidˇet, ˇze t´emˇeˇr vˇsechny nuly a p´oly jsou um´ıstˇeny v bl´ızkosti imagin´arn´ı osy. Jeden z p´olu je um´ıstˇen vpravo od imagirn´arn´ı osy, ale je tak bl´ızko, ˇze ho lze povaˇzovat jako nulov´ y. Je v ˇr´adu 10−18 . Navrˇzen´ y regul´ator je typu PI, proporcion´aln´ı a integraˇcn´ı sloˇzka a vypad´a n´asledovnˇe:
R1 (p) = 0.35 1 +
1 4p
GMK pˇrenosov´e funkce g11 (p) a R1 (p) je na obr´azku 13.
46
(56)
Root Locus
0.01 0.008 0.006 Imaginary Axis
0.004 0.002 0 −0.002 −0.004 −0.006 −0.008 −0.01 −1
−0.8
−0.6 −0.4 Real Axis
−0.2
0
Obr´azek ˇc. 12: GMK pˇrenosu funkce g11 (p)
Obr´azek ˇc. 13: GMK pˇrenosu funkce g11 (p) a R1 (p)
47
4.4.2
N´ avrh R2 (p)
Z n´asleduj´ıc´ıho obr´azku ˇc.14 je vidˇet rozm´ıstˇen´ı pol˚ u a nul pˇrenosov´e funkce g22 (p). Vˇsechny nuly a p´oly, kromˇe astatismu jsou um´ıstˇeny vlevo od imagin´arn´ı osy, avˇsak jsou tak bl´ızko, ˇze je lze povaˇzovat za to, ˇze jsou na imagin´arn´ı ose. Navrˇzen´ y regul´ator by mˇel posunout nuly syst´emu tak, aby byly moˇzn´a co nejd´ale vlevo od imaginarn´ı osy. Navrhl jsem regul´ator PI, kter´ y posunuje nuly k nimˇz se p´oly putuj´ı. N´avrhˇzen´ y regul´ator m´a GMK Root Locus 0.2 0.15
Imaginary Axis
0.1 0.05 0 −0.05 −0.1 −0.15 −0.2 −3.5
−3
−2.5
−2
−1.5 Real Axis
−1
−0.5
0
0.5
Obr´azek ˇc. 14: GMK pˇrenosu funkce g22 (p) na obr´azku ˇc.15, kde je vlevo zobrazeno cel´ y pohled a vpravo je detail na p´oly a nuly. Navrˇzen´ y regul´ator je tedy:
R2 (p) = 3.6 1 +
48
1 2.9p
(57)
Obr´azek ˇc. 15: GMK pˇrenosu funkce g22 (p) regul´atorem R1 (p)
4.5
N´ avrh dynamick´ eho rozvazbovac´ıho regul´ atoru
N´avrh podle [2] urˇc´ıme matici pˇrenos˚ u rozvazbovac´ıho regul´atoru: [G(p)]Adj
−1
Rz (p) = [G(p)] D(p) =
D(p), det G(p)
(58)
kde matice Rz (p) je matice rozvazbovac´ıho regul´atoru, matice G(p) je matice ˇr´ızen´eho syst´emnu, zb´ yv´a tedy urˇcit matici D(p). Ta je z´ısk´ana, tak, ˇze nen´ı uvaˇzov´ana interakce v matici G(p). Matice D(p) by mˇela b´ yt diagon´aln´ı a pr´avˇe bez uvaˇzov´an´ı interakc´ı bude vypadat n´asledovnˇe:
g11 (p)R1 (p) 0 , D(p) = 0 g22 (p)R2 (p)
(59)
kde g11 (p) a g22 (p) jsou pˇrenosov´e funnkce z matice pˇrenosov´ ych funkc´ı G(p) ˇr´ızen´eh´e syst´emu. R1 (p) a R2 (p) jsou regul´atory navrˇzen´e bez uvaˇzov´an´ı interakc´ı.
49
Nyn´ı tedy podle 58 a podle [2] bude navrˇzen rozvazbovac´ı regul´ator: −1 g11 (p) g12 (p) g11 (p)R1 (p) 0 Rz (p) = g21 (p) g22 (p) 0 g22 (p)R2 (p) g22 (p) −g12 (p) g11 (p)R1 (p) 0 −g21 (p) g11 (p) 0 g22 (p)R2 (p) = g11 (p)g22 (p) − g12 (p)g22 (p) g (p)g22 (p)R1 (p) −g12 (p)g22 (p)R2 (p) 11 −g21 (p)g11 (p)R1 (p) g11 (p)g22 (p)R2 (p) = . g11 (p)g22 (p) − g12 (p)g22 (p)
(60)
Provn´an´ım stejnolehl´ ych prvk˚ u jsou obrdrˇzeny d´ılˇc´ı pˇrenosy rozvazbovac´ıho regul´atoru (podle [2]): 1 R1 (p) = R1 (p) = K −1 (p)R1 (p) g11 (p)g22 (p) − g12 (p)g21 (p) 1 − K(p) g11 (p) − g12 (p)g22 (p) g12 (p) = −K −1 (p)R2 (p) r12 (p) = R2 (p) g11 (p)g22 (p) − g12 (p)g21 (p) g11 (p) g11 (p) − g21 (p)g11 (p) g21 (p) g22 (p) = −K −1 (p)R1 (p) r21 (p) = R1 (p) g11 (p)g22 (p) − g12 (p)g21 (p) g22 (p) g22 (p) r11 (p) =
r22 (p) =
g11 (p)g22 (p)
g11 (p)g22 (p)
1 R2 (p) = R2 (p) = K −1 (p)R2 (p) g11 (p)g22 (p) − g12 (p)g21 (p) 1 − K(p)
kde K(p) = 1 − K(p) =
g11 (p)g21 (p) − g12 (p)g21 (p) g11 (p)g22 (p)
a K(p) =
g12 (p)g21 (p) g11 (p)g22 (p)
50
(61)
Nyn´ı je d˚ uleˇzit´e ovˇeˇrit zda takov´ y regul´ator je realizovateln´ y. Regul´ator Rz (p) je realizovateln´ y pokud plat´ı, ˇze: st {a11 (p)b12 (p)} ≤ st {b11 (p)a12 (p)} ∧ st {a22 (p)b21 (p)} ≤ st {b22 (p)a21 (p)} ,
(62)
kde aij (p) je polynom ˇcitatele a bij (p) je polynom jmenovatele jednotliv´ ych pˇrenosov´ ych funkc´ı gij (p). Tato podm´ınka je splnˇena a regul´ator Rz (p) je tedy realizovateln´ y: 12 ≤ 12 ∧ 2 ≤ 2. 4.5.1
(63)
Blokov´ e sch´ ema rozvazbovac´ıho regul´ atoru
Na n´asleduj´ıc´ım obr´azku ˇc.16 je blokov´e sch´ema zapojen´ı rozvazbovac´ıho regul´atoru, podle kter´eho je potom zapojen model v Simulinku.
Obr´azek ˇc. 16: Blokov´e sch´ema zapojen´ı rozvazbovac´ıho regul´atoru
51
5
Model v simulinku
Program bojleru byl naps´an v prostˇred´ı Matlab a Simulink. Na n´asleduj´ıc´ım obr´azku ˇc. 17 je zapojen´ı v Simulinku a zbytek programu je uloˇzen na cd, kter´e je souˇc´ast´ı t´eto pr´ace. Cel´ y program se spouˇst´ı v prostˇred´ı Matlab jako soubor s n´azvem bojler.m. Na obr´azku
Obr´azek ˇc. 17: Blokov´e sch´ema zapojen´ı v simulinku jsou vidˇet bloky zapojen´ı v Simulinku asjejich popisem.Pro pˇrehlednost jsou tyto popisy uvedeny a rozebr´any n´ıˇze. Tyto popisy bloku budou platit i v n´asleduj´ıc´ıch sch´ematech a jeˇstˇe se k tomu dalˇs´ı popisy pˇridaj´ı. • K R1, K R2 - proporcion´aln´ı sloˇzky regul´ator˚ u R1 (p) a R2 (p), • Ti R1, Ti R2 a jejich integr´atory - integraˇcn´ı sloˇzky regul´ator˚ u R1 (p) a R2 (p), • pozadovane l - poˇzadovan´a u ´roveˇ n vody v bubnu, • pozadovane alfa r - poˇzadovan´a jakost p´ary αr , • zesileni1 a zesileni2 - vysvˇetleno v kapitole Pouˇzit´ı prvk˚ u gain, • Ka a Kb - jsou matice K (viz kapitola N´avrh dynamick´eho rozvazbovac´ıho regul´ atoru), 52
• g 11(p), g 12(p), g 21(p) a g 22(p) - jsou pˇrenosov´e funkce matice G(p). 5.0.2
V´ ystup syst´ emu
Syst´em byl simulov´an pro t = 400s a v´ ysledeky jsou vidˇet na n´asleduj´ıc´ıch obr´azc´ıch. Zelen´a pˇreruˇsovan´a ˇc´ara je poˇzadovan´a hodnota a modr´a je odezva syst´emu, to bude platit i pro n´asleduj´ıc´ı grafy. Na obr´azku ˇc. 18 je vidˇet ˇr´ızen´ı na poˇzadovanou u ´roveˇ n vody v uroven vody v bubnu
4 3.5 3
l [m]
2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
50
100
150
200 cas [s]
250
300
350
400
ˇ ızen´ı u Obr´azek ˇc. 18: R´ ´rovnˇe vody na poˇzadovanou hodnotu bojleru, v tomto pˇr´ıpadˇe jsou to 4m. Regulace probˇehne velmi rychle, protoˇze zde nen´ı ˇz´adn´e omezen´ı, co se t´ yk´a mnoˇzstv´ı dod´avan´e vody do syst´emu, regul´ator vygenruje velik´ y z´asah, kter´ y je vidˇet na obr´azku ˇc.20. Dojde zde k mal´emu pˇreregulov´an´ı, protoˇze syst´em m´a astatismus druh´e ˇr´adu. Takov´e chov´an´ı syst´emu v praxi nen´ı re´aln´e a bude ˇreˇseno v kapitole Un´aˇsen´ı integraˇcn´ı sloˇzky. Na dalˇs´ım obr´azku ˇc. 19 je regulace jakosti p´ary. 53
jakost pary
0.05
αr
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
50
100
150
200 cas [s]
250
300
350
400
ˇ ızen´ı na poˇzadovanou hodnotu jakosti p´ary Obr´azek ˇc. 19: R´ Zde doch´az´ı tak´e k pˇreregulov´an´ı kv˚ uli astatismu. U t´eto odezvy to vlastnˇe tolik nevad´ı, vysvˇetlen´ı bude v n´asleduj´ıc´ı kapitole Nerovnomˇern´e spalov´ an´ı. Akˇcn´ı z´asah regul´ator˚ u je vidˇet na obr´azku ˇc. 20 a je zde patrn´e, ˇze akˇcn´ı z´asah regul´atoru R2 (p) je ve spr´avn´ ych hodnot´ach, protoˇze je nutn´e topit v ˇr´adech MW. V´ıce je v n´asleduj´ıc´ı kapitole.
54
akcni zasah regulatoru 1 − regulace pritoku napajeci vody
qf [kg/s]
15000
10000
5000
0
0
50 6
x 10
100
150
200 250 300 cas [s] akcni zasah regulatoru 2 − dodavaneho teplo
100
150
350
400
350
400
2.5 Q [MW]
2 1.5 1 0.5 0
0
50
200 cas [s]
250
300
Obr´azek ˇc. 20: Akˇcn´ı z´asah regul´ator˚ u, nahoˇre pro u ´roveˇ n vody, dole pro jakost p´ary 5.0.3
Pouˇ zit´ı prvk˚ u gain
Akˇcn´ı z´asah regul´atoru je u ´myslnˇe zes´ılen, prvkem typu gain, tak aby doch´azelo ke spr´avn´e ˇ regulaci. Casto b´ yv´aj´ı v praxi regul´atory nastaven´e tak, ˇze na jejich v´ ystupu je rozmez´ı od 0 aˇz 1 a to je potom zes´ıleno a n´aslednˇe zobrazeno obsluze. Tento pˇr´ıpad je podobn´ y, avˇsak nav´ıc to m´a i sv˚ uj praktick´ y v´ yznam. Regul´ator generuje akˇcn´ı z´asah v ˇr´adech jednotek a potom je zes´ılen tak, aby se do syst´emu dostalo spr´avn´e mnoˇzstv´ı paliva nebo vody. Napˇr´ıklad dod´avan´e teplo mus´ı b´ yt v M W a proto je zde zes´ılen´ı 106 , zes´ılen´ı hmotnostn´ıho pˇr´ıtoku napajec´ı vody je obdobn´e zde je zes´ılen´ı 103 . Toto opatˇren´ı m´a praktick´ y pˇr´ınos pro obsluhu, kter´a na informaˇcn´ım panelu ihned uvid´ı spr´avnou hodnotu a pak tak´e pro regul´ator, kter´ y bude um´ıstˇen pravdˇepodobnˇe mimo regulaˇcn´ı ventil (myˇsleno
55
v jin´e m´ıstnosti) a t´ım p´adem sign´aly, kter´e bude pos´ılat k ventilu, budou mal´e hodnoty a aˇz u nˇej dojde k zes´ılen´ı a k spr´avn´emu otevˇren´ı ˇci zavˇren´ı.
5.1
Nerovnomˇ ern´ e spalov´ an´ı
Spalov´an´ı paliva (uhl´ı, plynu, atd.) nen´ı stejnomˇern´e a doch´az´ı velik´ ym a rychl´ım zmˇen´am v kr´atk´em ˇcase a v mnoˇzstv´ı dod´avan´eho tepla. Pro vyˇsˇs´ı vˇerohodnost modelu byl pˇrid´an na akˇcn´ı z´asah regul´atoru R2 (p) Gaussovsk´ y gener´ator ruˇsen´ı s stˇredn´ı hodnotou 0 a rozptyl 0,01. V pˇr´ıpadˇe spalov´an´ı u ´hl´ı m˚ uˇze b´ yt rozptyl nastaven aˇz na 0.1, coˇz ud´av´a 10% chybu. Pro pˇrehlednost graf˚ u je nastaven rozptyl pouze na 0.01. V pˇr´ıpadˇe akˇcn´ıho z´asahu hmotnostn´ıho pˇr´ıtoku vody nen´ı tˇreba generovat ruˇsen´ı, ponevadˇz zde nedoch´az´ı k takov´ ym zmˇen´am. Do modelu lze pˇridat i dalˇs´ı chyby na akˇcn´ı z´asahy regul´atoru na v´ ystup ˇr´ızen´eho syst´emu nebo do zpˇetn´e vazby, to uˇz ale pˇrekraˇcuje r´amec t´eto pr´ace. Chyba vlivem nerovnomˇern´eho spalov´an´ı je natolik v´ yznamn´a, ˇze jsem ji zahrnul i do modelu (viz obr´azek 21).
Obr´azek ˇc. 21: Sch´ematick´ y obr´azek pˇrid´an´ı Gaussovsk´eho ˇsumu k akˇcn´ımu z´asuhu regul´atoru
5.1.1
V´ ystup syst´ emu s pˇ ridan´ ym Gaussovsk´ ym gener´ atorem ˇ sumu
Do modelu byl pˇrid´an Gaussovsk´ y gener´ator ˇsumu (viz obr´azek ˇc.22). V´ ystup syst´emu je potom zobrazen na obr´azku ˇc.23 a akˇcn´ı z´asah regul´atoru na obr´azku ˇc. 24. V´ ystup ˇr´ızen´ı u ´rovnˇe vody je stejn´ y jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe a proto ho zde nebudu uv´adˇet. Nyn´ı je vidˇet, ˇze pˇreregulov´an´ı u jakosti p´ary tolik nevad´ı, protoˇze je existuje ruˇsen´ı, kter´e se hlavnˇe vyskytuje v re´aln´em syst´emu a m˚ uˇze dosahovat aˇz 10%, zde je pouze pro u ´ˇcel pˇrehlednosti 1% ruˇsen´ı. 56
Obr´azek ˇc. 22: Blokov´e sch´ema zapojen´ı v simulinku s Gaussovsk´ ym gener´atorem ˇsumu jakost pary 0.06
0.05
αr
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
50
100
150
200 cas [s]
250
300
350
400
ˇ ızen´ı na poˇzadovanou hodnotu jakosti p´ary s Gaussovsk´ Obr´azek ˇc. 23: R´ ym ˇsumem
57
akcni zasah regulatoru 1 − regulace pritoku napajeci vody
qf [kg/s]
15000
10000
5000
0
0
50 6
x 10
100
150
200 250 300 cas [s] akcni zasah regulatoru 2 − dodavaneho teplo
100
150
350
400
350
400
Q [MW]
2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
50
200 cas [s]
250
300
Obr´azek ˇc. 24: Akˇcn´ı z´asah regul´ator˚ u, nahoˇre pro u ´roveˇ n vody, dole pro jakost p´ary s Gaussovsk´ ym ˇsumem
5.2
Un´ aˇ sen´ı integraˇ cn´ı sloˇ zky
V modelu, kter´ y se simuluje v poˇc´ıtaˇci to nen´ı nutnost´ı, pouze vylepˇsen´ım, ale v praxi je vˇzdy nutn´e oˇsetˇrit un´aˇsen´ı integraˇcn´ı sloˇzky a nejen to. Un´aˇsen´ı integraˇcn´ı sloˇzky je, kdyˇz je na v´ ystupu je regul´atoru pˇrid´ana nelinearita v podobˇe saturace. Ta propust´ı pouze urˇcitou maxim´aln´ı/minim´aln´ı hodnotu a pokud regulaˇcn´ı odchylka trv´a, tak integr´ator st´ale integruje, zat´ım co saturace sign´al omezuje. Doch´az´ı tak k integrovan´ı daleko za hranice saturace a k un´aˇsen´ı integraˇcn´ı sloˇzky. Kdyˇz pozdˇeji dojde ke zmˇenˇe regulaˇcn´ı odchylky, tak integr´ator zaˇcne mˇenit sv˚ uj v´ ystup tak, aby byla regulaˇcn´ı odchylka co nejmenˇs´ı. Vlivem toho, ˇze integrace pokraˇcovala i pˇres dosaˇzen´ y limit ˇ nˇejakou chv´ıli trvat, neˇz integrator dos´ahn´e spr´avn´e hodnoty. v podobˇe saturace, bude ted 58
To je neˇz´adouc´ı. Hmotnostn´ı pr˚ utok nap´ajec´ı vody by mˇel b´ yt nˇejak´ ym zp˚ usobem omezen, jelikoˇz akˇcn´ı z´asah regul´atoru nem˚ uˇze b´ yt pˇr´ıliˇs velik´ y a to z d˚ uvodu maxim´aln´ıho hmotnostn´ıho pr˚ utoku nap´ajec´ı vody potrub´ım. Kaˇzd´e potrub´ı m´a jist´ y omezen´ y obsah a je moˇzn´e, ˇze regul´ator vygeneruje na sv´em v´ ystupu vˇetˇs´ı akˇcn´ı z´asah neˇz je potrub´ı schopn´e propustit. V takov´em pˇr´ıpadˇe je nutn´e pouˇz´ıt saturaci. Pouˇzit´ım pouze saturace by mohlo v´est aˇz k velmi neˇcekan´emu chov´an´ı a destabilizaci regulovan´eho syst´emu. Tomu lze zamezit pˇrid´an´ım ”Anit-Wind-up” syst´emu obr´azek ˇc.25. V pˇr´ıpadˇe, ˇze dojde k saturaci, tak se na jej´ım v´ ystupu objev´ı konstantn´ı akˇcn´ı z´asah a to znamen´a, ˇze se tato konstatn´ı hodnota odeˇcte od vstupu do integr´atoru a na jeho vstupu se objev´ y nulov´a v´ ychylka a integr´ator pˇrest´av´a integrovat. V po t´e co se zmˇen´ı regulaˇcn´ı odchylka, tak integr´ator ihned zareaguje. Plat´ı, ˇze Ti = Tt . Podobn´ ym zp˚ usobem
ˇ sen´ı un´aˇsen´ı integrace ”Anti-wind-up” Obr´azek ˇc. 25: Reˇ je oˇsetˇreno i mnoˇzstv´ı dod´av´an´ı paliva k spalov´an´ı. 5.2.1
ˇ sen´ı s ”anti-wind-up” Reˇ
Na n´asleduj´ıc´ım obr´azku ˇc.26 je zobrazen syst´em s ”anti-wind-up”. V tomto zapojen´ı je nˇekolik nov´ ych blok˚ u a tak´e je pˇripojen Gaussovsk´ y gener´ator ˇsumu. • Tt1 a Tt1a - jsou stejn´e z definice ”anti-wind-up” jako Ti R1, tedy Ti = Tt pro R1 (p), 59
• Tt2 a Tt2a - stejnˇe jako v pˇredchoz´ım;Tt2 a Tt2a = Ti R2, tedy Ti = Tt pro R2 (p), • ventil1 - nastaven´ı saturace pro ventil napajec´ı vody, • ventil2 - nastaven´ı saturace pro ventil dod´avan´eho paliva.
Obr´azek ˇc. 26: Blokov´e sch´ema zapojen´ı v simulinku s Gaussovsk´ ym gener´atorem ˇsumu a s ”anti-wind-up”
5.2.2
V´ ystup syst´ emu s ”anti-wind-up”
Na n´asleduj´ıc´ım obr´azku ˇc.27 a na obr´azku ˇc.28 je vidˇet v´ yraznˇe pomalejˇs´ı regulace, to je z d˚ uvodu uplatnˇen´ı ventilu v podobˇe saturace v modelu. Na obr´azku ˇc. 29 jsou potom vidˇet akˇcn´ı z´asahy regul´ator˚ u, kde lze pozorovat maxim´aln´ı hodnotu z´asahu, kter´a je omezen´a saturac´ı. Tak´e je zde vidˇet, ˇze oba regul´atory, uˇz nemaj´ı pˇreregulov´an´ı, v tomto pˇr´ıpadˇe uˇz nen´ı regulace tak agresivn´ı, ve skuteˇcnosti ”anti-wind-up” syst´em pracuje, tak ˇze na v´ ystupu integr´atoru je konstantn´ı hodnota. A pozdˇeji aˇz dojde k naplnˇen´ı bubnu vodou a zmˇen´ı se regulaˇcn´ı odchylka, tak regul´ator m˚ uˇze rychle reagovat v podobˇe ub´ır´an´ı akˇcn´ıho ˇ simulace je t=1000s. z´asahu a lehce tak dojede na poˇzadovanou hodnotu. Cas
60
uroven vody v bubnu
4 3.5 3
l [m]
2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
100
200
300
400
500 cas [s]
600
700
800
900
1000
ˇ ızen´ı u Obr´azek ˇc. 27: R´ ´rovnˇe vody na poˇzadovanou hodnotu s ”Anti-wind-up”
61
jakost pary 0.06
0.05
αr
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
100
200
300
400
500 cas [s]
600
700
800
900
1000
ˇ ızen´ı jakosti na poˇzadovanou hodnotu s ”Anti-wind-up” Obr´azek ˇc. 28: R´ akcni zasah regulatoru 1 − regulace pritoku napajeci vody 100
60
f
q [kg/s]
80
40 20 0
0
100
200
300
400
100
200
300
400
6
x 10
500 600 700 800 cas [s] akcni zasah regulatoru 2 − dodavaneho teplo
900
1000
900
1000
Q [MW]
2 1.5 1 0.5 0
0
500 cas [s]
600
700
800
ˇ ızen´ı jakosti na poˇzadovanou hodnotu s ”Anti-wind-up” Obr´azek ˇc. 29: R´
62
5.3
V´ ystup syst´ emu se zmˇ enou
Posledn´ı ˇc´ast simulace je vˇenov´ana zmˇenˇe v syst´emu, bˇehem simulace bude odpuˇstˇena voda z bojleru a zmˇenˇena jakost p´ary. To jsou obyˇcejn´e dˇeje, ke kter´ ym doch´az´ı v bojleru, vlivem odpoˇstˇen´ı p´ary se zmˇen´ı jak u ´roveˇ n vody tak jakost p´ary. Oba jevy jsou skokovˇe ˇ simulace je t=2000s. Na obr´azc´ıch ˇc.30 a ˇc.31 je vidˇet simulov´any v ˇcase t1 =1200s. Cas uroven vody v bubnu
4 3.5 3
l [m]
2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
200
400
600
800
1000 1200 cas [s]
1400
1600
1800
2000
ˇ ızen´ı u Obr´azek ˇc. 30: R´ ´rovnˇe vody na poˇzadovanou hodnotu se zmˇenou v ˇcase t1 =1200s skokova zmˇena v podobˇe simulovan´eho odpuˇstˇen´ı p´ary a regul´atory, kter´e se ihned snaˇz´ı vr´atit na poˇzadovanou hodnotu. Jejich akˇcn´ı z´asahy jsou potom vidˇet na obr´azku ˇc. 32.
63
jakost pary 0.06
0.05
αr
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
200
400
600
800
1000 1200 cas [s]
1400
1600
1800
2000
ˇ ızen´ı jakosti na poˇzadovanou hodnotu se zmˇenou v ˇcase t1 =1200s Obr´azek ˇc. 31: R´ akcni zasah regulatoru 1 − regulace pritoku napajeci vody 100
60
f
q [kg/s]
80
40 20 0
0
200
400
600
800
200
400
600
800
6
x 10
1000 1200 1400 1600 cas [s] akcni zasah regulatoru 2 − dodavaneho teplo
1800
2000
1800
2000
Q [MW]
2 1.5 1 0.5 0
0
1000 1200 cas [s]
1400
1600
ˇ ızen´ı jakosti na poˇzadovanou hodnotu se zmˇenou v ˇcase t1 =1200s Obr´azek ˇc. 32: R´
64
5.4
Oˇ setˇ ren´ı pro praxi
V kapitole Un´aˇsen´ı integraˇcn´ı sloˇzky jsem jiˇz zm´ınil nezbytnost tohoto opatˇren´ı v praxi. Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym prvek je napˇr´ıklad plynul´ y pˇrechod z automatick´eho ˇr´ızen´ı na ruˇcn´ı ˇr´ızen´ı. M˚ uˇze se st´at, ˇze automatick´e ˇr´ızen´ı bude ˇspatnˇe regulovat, to znamen´a, ˇze nastala chyba a syst´em bude ˇspatnˇe generovat akˇcn´ı z´asah pro ventil nap´ajec´ı vody. M˚ uˇze doch´azet napˇr´ıkald k zaplaven´ı bubnu bojleru a ˇspatn´ y pˇrechod z automatick´eho ˇr´ızen´ı k ruˇcn´ımu m˚ uˇze zapˇr´ıˇcinit jeˇstˇe dalˇs´ı zv´ yˇsen´ı mnoˇzstv´ı nap´ajec´ı vody, kterou obsluha uˇz nestihne vˇcas ruˇcnˇe pˇrenastavit a dojde tak ke kritick´e situaci a pravdˇepodobnˇe i k odstaven´ı syst´emu. To je samozˇrejmˇe neˇz´adouc´ı a je tˇreba db´at na spr´avn´e oˇsetˇren´ı, jak uˇz un´aˇsen´ı integraˇcn´ı sloˇzky, tak pˇrepnut´ı z automatick´eho ˇr´ızen´ı na ruˇcn´ı. V praxi pak existuje jeˇstˇe mnoho dalˇs´ıch nezbytn´ ych opatˇren´ı, jako napˇr´ıklad kontrola rozsah˚ u, vstup˚ u a v´ ystup˚ u apod.
65
6
Z´ avˇ er
C´ılem pr´ace bylo navrhnout model bojleru a jeho ˇr´ızen´ı. Zad´an´ı bylo ve vˇsech bodech splnˇeno. V´ ysledn´ y syst´em naprogramovan´ y v prostˇred´ı Matlabu a Simulink pracuje podle zad´an´ı a nav´ıc jsou v nˇem zahrnuty nˇekter´e mal´e prvky nav´ıc, napˇr´ıklad opatˇren´ı proti un´aˇsen´ı integraˇcn´ı sloˇzky. Kaˇzd´a z kapitol obsahuje m˚ uj vlastn´ı pˇr´ınos, aˇckoliv jsem postupoval pˇri v´ yvoji modelu bojleru pˇredevˇs´ım podle ˇcl´anku [7], tak jsem i zde musel vynaloˇzit znaˇcn´e usil´ı, abych takov´ y model zprovoznil. Zpoˇc´atku to byla pˇredevˇs´ım nejasn´a definice jednotliv´ ych parametr˚ u modelu, kterou jsem musel pracnˇe dohled´avat a objsaˇ novat v termomechanick´ ych a fyzik´aln´ıch knih´ach aˇz po rovnice, kter´e jsem musel prakticky vˇsechny pˇrepoˇc´ıt´avat, jednak abych tomu porozumnˇel a jednak, protoˇze se v ˇcl´anku objevilo i p´ar chyb a potom mi to jako celek ned´avalo smysl. Dalˇs´ım pˇr´ınosem v modelu bojleru je cel´a jeho linearizace, nastaven´ı vstup˚ u a v´ ystup˚ u, co se t´ yk´a pˇredevˇs´ım rozsah˚ u vstupn´ıch hodnot. N´aslednˇe tak´e u ´prava modelu do podoby, kter´a je vhodn´a k dosaˇzen´ı podm´ınek stanoven´ ych na zaˇc´atku pr´ace. Vzhledem k tomu, ˇze modelov´an´ı bojleru mˇela b´ yt jen ˇc´ast, kterou jsem mˇel z´ıskat jiˇz ze zn´am´ ych pramen˚ u, tak to byla jedna z nejsloˇzitˇejˇs´ıch ˇc´ast´ı pr´ace a odevaˇzuji se zde napsat, ˇze jsem na ni patˇriˇcnˇe pyˇsn´ y. Je pˇresvˇedˇcen, ˇze pr´ace je kvalitnˇe proveden´a a pr´avˇe d´ıky tomu, ˇze jsem musel t´emˇeˇr vˇsechny rovnice znovu pˇrepoˇc´ıt´avat, jsem do t´eto problematiky hluboko pronikl. Pro ˇr´ızen´ı jsem sestavil regul´atory bez uvaˇzov´an´ı interakc´ı a n´asledni k nim sestrojil rozvazbovac´ı regul´ator. Regul´ator nen´ı typu gain scheduling jak je uvedneno v zad´an´ı, protoˇze nakonec jsem schledal vhodnˇej´ı pouˇzit´ı metody linear parameter varying. To znamen´a nastaven´ı regul´atoru podle operaˇcn´ıch podm´ınek. Tato metoda se uk´azala jako vhodn´a, ale pˇresto zde pˇripouˇst´ım, ˇze je zde prostor pro dalˇs´ı n´avrhy regul´ator˚ u. Jak jiˇz bylo naps´ano v u ´vodu a i jinde, model bojleru je neline´arn´ı syst´em s mnoha r˚ uzn´ ymi jevy. Toto chov´an´ı lze d´ale pozorovat a vyuˇz´ıt pro dalˇs´ı v´ yzkum. Model bojleru m´a mnoho dalˇs´ıch vlastnost´ı, kter´e z˚ ustali skryty, protoˇze pro tuto pr´aci nebyly vhodn´e, nebo byly zbyteˇcn´e, ale lze je vyuˇz´ıt v jin´ ych aplikac´ıch. Samozˇrejmˇe lze model bojleru d´ale rozˇsiˇrovat jednak jeho detailnˇejˇs´ım matematick´ ym popisem, ale tak´e pouˇzit´ım v ˇsirˇs´ı sou66
vislosti, napˇr´ıklad jeho zasazen´ı mezi dalˇs´ımi komponenty elektr´arny a defakto tak rozˇs´ıˇrit p˚ uvodn´ı model o dalˇs´ı ˇc´asti jako jsou napˇr´ıklad, pˇrihˇr´ıv´aky, parn´ı turb´ına, o ohˇrev vody pˇred vstupem do bubnu, potrub´ı vnˇe syst´em bojleru atd., moˇznost´ı dalˇs´ıho vyuˇzit´ı je mnoho.
67
7
Literatura
[1] X steam tables. http://www.x-eng.com/XSteam_Matlab.htm. ˇ´ı Melichar, C. Decentralizovan´e a Hierarchick´e ˇr´ızen´ı. Katedra [2] Doc. Ing. jir ˇ Plzeˇ Kybernetiky, Fakulta aplikovan´ ych vˇed, ZCU n, 2012. [3] Iacob, M., and Andreescu, G. Drum-boiler control system employing shrink and swell effect remission in thermal power plants. In Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), 2011 3rd International Congress on (oct. 2011), pp. 1 –8. [4] Karban, P. V´ypoˇcty a simulace v programech Matlab a Simulink. Computer Press a.s., Brno, 2006. [5] Pontus Nordfeldt, T. H. Decoupler and pid controller design of tito systems. Journal of Process Control 16 (2006), 923–936. [6] Seshu K. Damarla, M. K. Monitoring of drum-boiler process using statistical techniques. 173–180. ¨ m, K., and Bell, R. Drum-boiler dynamics. Automatica 36, 3 (2000), 363– [7] ˚ Astro 378.
68
8
Pˇ r´ılohy
8.1
´ Upln´ y seznam vˇ sech koeficient˚ u, parametr˚ u, funkc´ı a promˇ enn´ ych Znaˇcka
∗∗
Jednotky
ρs (p, t)
hustota p´ary
[Kg/m3 ]
ρw (p, t)
hustota vody
[Kg/m3 ]
Vst (t)
celkov´ y objem p´ary
[m3 ]
Vwt (t)
celkov´ y objem vody
[m3 ]
Vt
celkov´ y objem v syst´emu
[m3 ]
Vr
objem stoupaˇcek
[m3 ]
Vd
objem bubnu
[m3 ]
Vwd (t)
objem vody v bubnu
[m3 ]
Vsd (t)
objem p´ary v bubnu
[m3 ]
Vsd0 (t)
objem p´ary v bubnu bez kondens´atu
[m3 ]
qf (t)
hmotnostn´ı pr˚ utok nap´ajec´ı vody
[Kg/s]
hmotnostn´ı pr˚ utok p´ary
[Kg/s]
qr (t)
hmotnostn´ı pr˚ utok ze stoupaˇcek
[Kg/s]
qdc (t)
hmotnostn´ı pr˚ utok do stoupaˇcek
[Kg/s]
qsd (t)
hmotnostn´ı pr˚ utok p´ary do bubnu
[Kg/s]
hs (p, t)
entalpie p´ary
[J/Kg]
hw (p, t)
entalpie vody
[J/Kg]
hc (p, t)
entalpie kondens´atu
[J/Kg]
h∗∗ f
entalpie nap´ajec´ı vody
[J/Kg]
mt
celkov´a hmotnost
[kg]
mr
hmotnost stoupaˇcek a sp´adov´eho potrub´ı
[kg]
md
hmotnost bubnu
[kg]
qs∗
∗
Popis
qs je konstanta, viz kapitola ??. hf je tak´e konstanta, protoˇze entalpie napaj´ac´ı vody je st´ale stejn´a. 69
Znaˇcka
Popis
P (t)
tlak
Q(t)
dod´avan´e teplo
cp
Jednotky [M P a] [W ] [J/Kg ◦ C]
specifick´a teplota kovu
tm (p, t)
teplota kovu
[ ◦ C]
ts (p, t)
teplota p´ary
[ ◦ C]
Adc
plocha pr˚ utoku sp´adov´eho potrub´ı
[m2 ]
Ad
mokr´a plocha v bojleru
[m2 ]
Lr
d´elka stoupaˇcek
[m]
Ldc
d´elka sp´adov´eho potrub´ı
[m] [m/s2 ]
g
gravitaˇcn´ı konstanta
β
empirick´ y parametr k qsd
Td
doba zdrˇzen´ı p´ary v bubnu
k
tˇrec´ı koeficient ve stoupaˇck´ach
l
u ´roveˇ n vody
[m]
lw
u ´roveˇ n zmˇeny vody
[m]
ls
u ´roveˇ n zmˇeny p´ary
[m]
τ
ˇcasov´a konstanta
[s]
αv (p, t)
pr˚ umˇern´ y pod´ıl objemu p´ary
αr (p, t)
hmotnostn´ı pod´ıl p´ary na v´ ystupu ze stoupaˇcky (jakost p´ary)
70
