Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA. 17 Maret 2010

Solusi Persamaan Non Linear Anwar Mutaqin Pendahuluan Metode Bagi Dua

Solusi Persamaan Non Linear

Metode Regula Falsi

Anwar Mutaqin Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA

17 Maret 2010

Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) Persamaan Non Linear

17 Maret 2010

1 / 20

Pendahuluan Solusi Persamaan Non Linear

Rumusan Masalah

Anwar Mutaqin Pendahuluan Metode Bagi Dua Metode Regula Falsi

Tentukan solusi f (x) = 0 dengan f fungsi nonlinear.


17 Maret 2010

2 / 20


Metode Pencarian Akar


1

Metode Tertutup


17 Maret 2010

3 / 20




1

Metode Tertutup Metode Bagi 2 (Bisection)


17 Maret 2010

3 / 20




1

Metode Tertutup Metode Bagi 2 (Bisection) Regula Falsi


17 Maret 2010

3 / 20



Anwar Mutaqin Pendahuluan Metode Bagi Dua

1

Metode Regula Falsi


2

Metode Terbuka


17 Maret 2010

3 / 20




1

Metode Regula Falsi


2

Metode Terbuka Metode Iterasi Titik Tetap (…xed point Interation)


17 Maret 2010

3 / 20




1

Metode Regula Falsi


2

Metode Terbuka Metode Iterasi Titik Tetap (…xed point Interation) Metode Newton-Raphson


17 Maret 2010

3 / 20




1

Metode Regula Falsi


2

Metode Terbuka Metode Iterasi Titik Tetap (…xed point Interation) Metode Newton-Raphson Metode Secant


17 Maret 2010

3 / 20


Syarat Cukup


Theorem Misalkan f kontinu pada [a, b]. Jika f (a) f (b) < 0, maka terdapat paling sedikit c 2 (a, b) sedemikian sehingga f (c) = 0


17 Maret 2010

4 / 20


Gra…k

Anwar Mutaqin

y Pendahuluan

y=f(x)

Metode Bagi Dua Metode Regula Falsi

a

b


x

17 Maret 2010

5 / 20


Kelemahan


Hanya mampu menemukan sebuah akar


17 Maret 2010

6 / 20


Kelemahan


Hanya mampu menemukan sebuah akar Bila syarat cukup tidak terpenuhi karena selang terlalu lebar, maka seolah-olah tidak mempunyai akar


17 Maret 2010

6 / 20


Solusi


Ambil Selang yang cukup kecil


17 Maret 2010

7 / 20


Solusi


Ambil Selang yang cukup kecil Membuat gra…k


17 Maret 2010

7 / 20


Solusi


Ambil Selang yang cukup kecil Membuat gra…k Mencetak nilai fungsi pada selang yang tetap


17 Maret 2010

7 / 20

Pendahuluan Solusi Persamaan Non Linear Anwar Mutaqin Pendahuluan Metode Bagi Dua Metode Regula Falsi

Contoh x -0.50 -0.40 -0.30 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90

f (x) = ex 5x2 -0.643469 -0.129680 0.290818 0.618731 0.854837 1.000000 1.055171 1.021403 0.899859 0.691825 0.398721 0.022119 -0.436247 -0.974459 -1.590397


17 Maret 2010

8 / 20

Metode Bagi Dua Solusi Persamaan Non Linear

Metode Bagi Dua


1

Tentukan f (x)

2

Tentukan selang [a, b]

3

Bagi dua di c =

4

Jika f (c) = 0, maka proses selesai dan c adalah akar persamaan tersebut.

5

Jika f (a) f (c) < 0, maka b = c. Lakukan kembali proses dari no. 3.

6

Jika f (a) f (c) > 0, maka a = c. Lakukan kembali proses dari no. 3.

7

Lakukan proses tersebut sampai toleransi terpenuhi

a+b 2


17 Maret 2010

9 / 20


Toleransi


Iterasi dihentikan jika:

ja

bj < ε


17 Maret 2010

10 / 20


Toleransi



Metode Regula Falsi

ja

bj < ε

atau f (c) < εm


17 Maret 2010

10 / 20


Toleransi



Metode Regula Falsi

ja

bj < ε

atau f (c) < εm atau

cr + 1 cr <δ cr + 1


17 Maret 2010

10 / 20


Flowchart

Anwar Mutaqin

ST A RT

Pendahuluan

f( c )


In p u t a d a n b

c = (a + b )/ 2 f ( c)

b=c

Ya

f ( a ) ( c) < 0

Ti d a k

f( c )< e p s _ m

T id a k

a=c

a b s ( a - b ) <e p s Ya

Ya C e ta k c

T id a k Ti d a k

a b s ( (c r+ 1 - c r ) / c r +1 ) < d

Ya Fin ish


17 Maret 2010

11 / 20


Contoh


Carilah akar persamaan dengan toleransi ε = 0, 0001: 1

ex

5x2 = 0

2

x3

3x + 1 = 0


17 Maret 2010

12 / 20


Jawab

Anwar Mutaqin Pendahuluan

f ( x ) = x3

Metode Bagi Dua

f (0) = 1 dan f (1) =

3x + 1 1.

selang lokasi akar [0, 1]

Metode Regula Falsi

Iterasi ke-1 0+1 = 0.5 2 f (0.5) = (0.5)3 3 (0.5) + 1 = c =

0.375

f (0) f (0.5) < 0 ! b = c = 0.5

j0

0.5j = 0.5 > ε

toleransi belum terpenuhi, lanjutkan ke iterasi ke-2 Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika Solusi UNTIRTA) Persamaan Non Linear

17 Maret 2010

13 / 20


Jawab


Iterasi ke-2 0 + 0.5 = 0.25 2 f (0.25) = (0.25)3 3 (0.25) + 1 = 0.265 63 c =

f (0) f (0.25) > 0 ! a = c = 0.25

j0.25

0.5j = 0.25 > ε

Toleransi belum terpenuhi, lanjutkan ke iterasi ke-3


17 Maret 2010

14 / 20


Jawab

Anwar Mutaqin Pendahuluan

Iterasi ke-3


0.25 + 0.5 = 0.375 2 f (0.375) = (0.375)3 3 (0.375) + 1 = c =

7. 226 6

10

2

f (0.25) f (0.375) < 0 maka b = c = 0.25

j0.25

0.375j = 0.125 > ε


17 Maret 2010

15 / 20


Jawab


Iter 1 2 3 4 5 6 7

a 0 0 0.25 0.25

b 1 0.5 0.5 0.375

c 0.5 0.25 0.375

f (a) 1 1 0.265


f (b) 1 0.375 0.375

f (c) 0.375 0.265 0.07 2

17 Maret 2010

ε 0.5 0.25 0.125

16 / 20


Jumlah Iterasi


Sampai berapa iterasi?


17 Maret 2010

17 / 20


Jumlah Iterasi


Sampai berapa iterasi?

Theorem jika f kontinu pada [a, b] dengan f (a) f (b) < 0 dan b x 2 (a, b) ar +br b sedemikian sehingga f (x) = 0 dan cr = 2 , maka b a b a x cr j < j r 2 r j dan jb x cr j < j2r+1j . jb


17 Maret 2010

17 / 20

Metode Regula Falsi Solusi Persamaan Non Linear Anwar Mutaqin Pendahuluan Metode Bagi Dua

1

Metode bagi dua selalu berhasil menemukan akar, tetapi kecepatan konvergensi rendah

2

Metode Regula Falsi memiliki kecepatan konvergensi yang tinggi.

3

Algoritma hampir serupa, hanya beda dalam mencari c.

Metode Regula Falsi


17 Maret 2010

18 / 20

Metode Regula Falsi Solusi Persamaan Non Linear Anwar Mutaqin

y

Pendahuluan Metode Bagi Dua Metode Regula Falsi

a

c


b

x

17 Maret 2010

19 / 20

Metode Regula Falsi Solusi Persamaan Non Linear Anwar Mutaqin Pendahuluan Metode Bagi Dua Metode Regula Falsi

f (b) b

f (a) a

f (b) 0 b c f (b) (b a) c = b f (b) f (a)

=


17 Maret 2010

20 / 20

Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA. 17 Maret 2010

Recommend Documents