Metode Numerik Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
Metode Numerik Anwar Mutaqin Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA
10 Maret 2010
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
10 Maret 2010
1 / 16
Deret Taylor Metode Numerik
Ekspansi Taylor
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
Misalkan f 2 C∞ [a, b] dan x0 2 [a, b], maka untuk nilai-nilai x di sekitar x0 dan x 2 [a, b], f dapat dinyatakan dalam deret Taylor 0
f 0 (x0 ) f 0 ( x0 ) ( x x0 ) + (x 1! 2! f ( n ) ( x0 ) + (x x0 )n + n!
f ( x ) = f ( x0 ) +
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
x0 ) 2 +
10 Maret 2010
2 / 16
Deret Taylor Metode Numerik
Ekspansi Maclaurin
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
Untuk x0 = 0, maka deretnya dinamakan Deret Maclaurin f (x) = f (0) +
f 00 (0) 2 f 0 (0) x+ x + 1! 2!
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
+
f (n) ( 0 ) n x + n!
10 Maret 2010
3 / 16
Deret Taylor Metode Numerik
Contoh
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
Ekspansikan fungsi f (x) = cos x di sekitar x =
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
π 2!
10 Maret 2010
4 / 16
Deret Taylor Metode Numerik
Contoh
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
f 0 (x) = sin x 00 f (x) = cos x 000 f (x) = sin x f (4) (x) = cos x f (5) (x) = sin x f (6) (x) = cos x cos x =
x
f 0 π2 = 1 00 f π2 = 0 000 π f 2 =1 π ( 4 ) f 2 =0 π ( 5 ) f 1 2 = f (6) π2 = 0
x π2 π + 2 3!
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
3
π 5 2
x 5!
+
10 Maret 2010
5 / 16
Deret Taylor Metode Numerik
Contoh
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
Ekspansi fungsi f (x) = sin x, f (x) = cos x, f (x) = ex , dan f (x) = ln (x + 1) di sekitar 0 x3 x5 + 3! 5! 2 x x4 cos x = 1 + 2! 4! 2 x ex = 1 + x + + 2! x2 x3 ln (1 + x) = x + 2 3 sin x = x
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
x7 + 7! x6 + 6!
x4 + 4
10 Maret 2010
6 / 16
Deret Taylor Metode Numerik
Latihan
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
Ekspansikan fungsi-fungsi berikut di sekitar 0 : 2
1. f (x) = ex p 2. f (x) = 1 + x 3. f (x) =
1 1 x 0.4 R p
4. Hitunglah
1 + x4 dx
0
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
10 Maret 2010
7 / 16
Galat/Error Metode Numerik
Galat Eksak
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
Galat Mutlak: ε = jx
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
b xj
10 Maret 2010
8 / 16
Galat/Error Metode Numerik
Galat Eksak
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
Galat Mutlak: ε = jx
b xj
atau
εR =
Galat Relatif: εR =
ε x
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
ε .100% x
10 Maret 2010
8 / 16
Galat/Error Metode Numerik
Galat Hampiran
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
εRA =
xr + 1 xr xr + 1
Proses iterasi dihentikan jika
jεRA j < toleransi
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
10 Maret 2010
9 / 16
Galat/Error Metode Numerik
Contoh
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
Soal: Hitunglah akar persamaan x3 + 6x
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
3 = 0!
10 Maret 2010
10 / 16
Galat/Error Metode Numerik
Contoh
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
Soal: Hitunglah akar persamaan x3 + 6x Jawab: xn + 1 =
3 = 0!
x3n + 3 , x1 = 0, 5 6
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
10 Maret 2010
10 / 16
Galat/Error Metode Numerik
Sumber Galat
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
1
Galat Bawaan (inheren): Galat dalam nilai data disebabkan oleh ketidakpastian dalam pengukuran atau oleh perlunya pendekatan untuk menyatakan suatu bilangan yang angkanya tidak secara tepat dapat dinyatakan dengan banyaknya angka yang tersedia
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
10 Maret 2010
11 / 16
Galat/Error Metode Numerik
Sumber Galat
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
1
Galat Bawaan (inheren): Galat dalam nilai data disebabkan oleh ketidakpastian dalam pengukuran atau oleh perlunya pendekatan untuk menyatakan suatu bilangan yang angkanya tidak secara tepat dapat dinyatakan dengan banyaknya angka yang tersedia
2
Galat Pemotongan: Galat yang timbul karena penggunaan aproksimasi sebagai pengganti metode eksak
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
10 Maret 2010
11 / 16
Galat/Error Metode Numerik
Sumber Galat
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
1
Galat Bawaan (inheren): Galat dalam nilai data disebabkan oleh ketidakpastian dalam pengukuran atau oleh perlunya pendekatan untuk menyatakan suatu bilangan yang angkanya tidak secara tepat dapat dinyatakan dengan banyaknya angka yang tersedia
2
Galat Pemotongan: Galat yang timbul karena penggunaan aproksimasi sebagai pengganti metode eksak
3
Galat Pembulatan: Galat yang timbul karena keterbatasan (komputer) menyajikakn bilangan real
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
10 Maret 2010
11 / 16
Galat/Error Metode Numerik
Galat Pemotongan
Anwar Mutaqin Deret Taylor
Deret Taylor memiliki suku tak hingga buah
Galat/Error
f ( x ) = f ( x0 ) +
+
(x
(x
x0 )
f 0 ( x0 ) +
1! x0 ) n ( n ) f ( x0 ) + n!
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
(x
x0 )2 00 f ( x0 ) + 2!
10 Maret 2010
12 / 16
Galat/Error Metode Numerik
Galat Pemotongan
Anwar Mutaqin Deret Taylor
Deret Taylor memiliki suku tak hingga buah
Galat/Error
f ( x ) = f ( x0 ) +
+
(x
(x
x0 )
f 0 ( x0 ) +
(x
1! x0 ) n ( n ) f ( x0 ) + n!
x0 )2 00 f ( x0 ) + 2!
Karena keterbatasan alat, maka dilakukan pemotongan f ( x ) = f ( x0 ) +
+
(x
(x
x0 )
f 0 ( x0 ) +
1! x0 ) n ( n ) f ( x0 ) + n!
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
(x
x0 )2 00 f ( x0 ) + 2!
+ Rn (x)
10 Maret 2010
12 / 16
Galat/Error Metode Numerik
Galat Pemotongan
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
f ( x ) = Pn ( x ) + Rn ( x ) dengan Rn (x) =
(x x0 )n+1 (n+1) f (x0 ) , (n + 1) !
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
x0 < c < x
10 Maret 2010
13 / 16
Galat/Error Metode Numerik
Rumus
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
Besarnya Galat Pemotongan pada Deret Taylor adalah:
jRn (x)j < max f (n+1) (c) x0
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
( x x0 ) n + 1 (n + 1) !
10 Maret 2010
14 / 16
Galat/Error Metode Numerik
Contoh
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
Soal: Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar 0 untuk menghitung ln (1, 1) dan berikan taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang dibuat!
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
10 Maret 2010
15 / 16
Galat/Error Metode Numerik
Contoh
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
Soal: Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar 0 untuk menghitung ln (1, 1) dan berikan taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang dibuat! Jawab: x2 x3 x4 + + R4 (x) 2 3 4 0.12 0.13 0.14 ln (1.1) = 0.1 + + R4 ( x ) 2 3 4 = 9. 530 8 10 2 + R4 (x)
ln (1 + x) = x
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
10 Maret 2010
15 / 16
Galat/Error Metode Numerik
Contoh
Anwar Mutaqin Deret Taylor Galat/Error
R4 (1.1) < max 24.c5 . 0
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode Numerik
0)5
(0.1 5!
10 Maret 2010
16 / 16
