PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

PERANGKAT PEMBELAJARAN

MATA KULIAH

: ALJABAR LINIER 2

KODE

: MKK414515

DOSEN PENGAMPU : Annisa Prima Exacta, M.Pd.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

KONTRAK PEMBELAJARAN

ALJABAR LINIER 2 MKK414515

Semester IV / 2 SKS Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : Annisa Prima Exacta, M.Pd.

Universitas Veteran Bangun Nusantara Sukoharjo Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

I. Identitas Mata Kuliah Nama Mata Kuliah

: Aljabar Linier 2

Kode Matakuliah

: MKK414515

SKS

: 2 SKS

Semester

: IV

Prodi

: Pendidikan Matematika

Dosen

: Annisa Prima Exacta, M.Pd.

II. Manfaat Matakuliah Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan dapat :memahami kembali pengertian matriks dan transformasi linear, dapat penggunakan matriks dan transformasi linear dalam menyelesaikan permasalahan, memahami pengertian teorema spektral dan bentuk kuadratik, memahami pengertian bentuk Kanonik Jordan, dan memiliki pengetahuan untuk dapat menggunakan konsep transformasi linear, teorema Spektral, bentuk kuadratik dan bentuk Kanonik Jordan pada persoalan-persoalan yang berkaitan dengan ilmu-ilmu matematika atau ilmu-ilmu lainnya.

III. Deskripsi Matakuliah Dalam perkuliahan ini dibahas:

1. Ruang euclides, ruang vektor umum, ruang bagian, kebebasan linier, basis dan dimensi, ruang baris dan ruang kolom matriks, rank, penerapan terhadap pencarian basis, ruang hasil kali dalam, dan basis orthonormal. 2. Transformasi linier: sifat transformasi linier, kernel dan jangkauan transformasi linier dari Rn ke Rm, geometri transformasi linier dari R2 ke R2, matriks transformasi linier. 3. Nilai dan vektor eigen

IV. Kompetensi Dasar dan Indikator 

Standar Kompetensi :

Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya

maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. 

KD 1 : Menjelaskan konsep-konsep tentang ruang vektor, ruang vektor bagian Indikator : Mampu melakukan evaluasi terhadap suatu himpunan dan operasi padanya termasuk grup, field, ruang vektor, dan ruang vektor bagian, serta menunjukkan ruang baris dan ruang kolom pada matriks.



KD 2 : menunjukkan vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor, vektorvektor yang saling bergantung linier dan dapat mencari kombinasinya, serta menjelaskan konsep basis dan dimensi ruang vektor. Indikator :

1. Menentukan himpunan vektor yang bebas linier 2. Menentukan himpunan vektor yang bergantung linier. 3. Menemukan kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor-vektor lainnya. 4. Mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor. 

KD 3 :

Menjelasakan konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks

transformasi linier dari suatu transformasi, serta menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor. Indikator :. 1. Mampu melakukan evaluasi terhadap beberapa bentuk transformasi yang merupakan transformasi linier. 2. Mampu menentukan matriks transformasi linier. 3. Mampu menemukan basis dan dimensi dari ruang peta dan ruang nol. 

KD 4 :

Memahami konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang

mempresentasikan ruang inner product, menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses GramSchmidt. Indikator : 1. Mampu menghitung panjang dan sudut dari vektor-vektor. 2. Mampu menentukan matriks yang mempresentasikan ruang inner product.

3. Mampu menentukan basis ortogonal dan basis ortonormal dari ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.



KD 5 : Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier, menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier, serta menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier. Indikator : 1. Dapat mencari eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. 2. Dapat menemukan matriks yang similaritas dengan matriks transformasi linier. 3. Dapat mendiagonalkan matriks transformasi linier.



KD 6 : Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. Indikator : Dapat menentukan relasi kongruen, mencari bentuk bilinear, dan bentuk kuadrat.



KD 7 : Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung e A dengan menggunakan teorema Caely-hamilton Indikator : Dapat mencari bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung e A dengan menggunakan teorema Caely-hamilton.

V. Organisasi Materi a. Ruang-ruang vektor

1) Ruang vektor 2) Ruang vektor bagian 3) Ruang baris 4) Ruang kolom

b. Ruang Vektor

1) Bebas linier 2) Bergantung linier 3) Kombinasi linier 4) Basis dan dimensi c. Transformasi Linier 1) Transformasi linier 2) Koordinat relatif 3) Perubahan basis 4) Matriks transformasi linier 5) Ruang peta 6) Ruang nol d. Vektor di R2 dan R3 1) Ruang inner product 2) Panjang vektor 3) Jarak antar vektor 4) Sudut antara dua vektor 5) Unit vektor 6) Vektor yang ortogonal 7) Ortogonalisasi vektor dengan Gram-Schmidt e. Nilai Eigen 1) Eigenvalues dan eigen vektor 2) Similarita 3) Pendiagonalan matriks transformasi linier f. 1) Relasi kongruensi 2) Bentuk bilinier 3) Bentuk kuadrat g. Determinan 1) Bentuk kanonik jordan 2) Teorema Caley Hamilton

VI. Pendekatan dan Strategi Pembelajaran Perkuliahan diselenggarakan dengan perpaduan teori (metode ceramah, diskusi, tanya jawab dan studi kasus). Diskusi dilakukan secara kelompok, tanya jawab dan studi kasus dilaksanakan di setiap akhir perkuliahan.

VII. Sumber Belajar

a. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. b. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. c. Modul Aljabar Linier 2

VIII. Penilaian dan Kriteria Pembelajaran

JENIS TES

BOBOT

a. Presensi, sikap, perilaku, keaktifan

30%

b. Diskusi, tanya jawab, studi kasus

20%

c. UTS

20%

d. UAS

30%

IX. Jadwal Pembelajaran

MINGGU KE-

MATERI

1

Ruang vektor, ruang vektor bagian

2

Ruang baris dan ruang kolom

3

Bebas linier, bergantung linier, kombinasi linier

4

Basis dan dimensi

5

Transformasi linier, koordinat relatif, perubahan basis

6

Matriks transformasi linier, ruang peta, ruang nol

7

Ruang inner product, panjang vektor, jarak antar vektor, sudut antara dua vektor, unit vektor.

8

Vektor yang ortogonal, ortogonalisasi vektor dengan Gram-Schmidt

9

Ujian Tengah Semester

10

Eigenvalues dan eigen vektor, similarita

11

Pendiagonalan matriks transformasi linier

12

Relasi kongruensi

13

Bentuk bilinier, bentuk kuadrat

14

Bentuk kanonik jordan, teorema Caley Hamilton

15

Review Materi

16

Ujian Akhir Semester

SILABUS MATA KULIAH Program Studi Kode Mata Kuliah Mata Kuliah Bobot Semester Mata Kuliah Prasyarat Deskripsi Mata Kuliah

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

1. Menjelaskan konsep-konsep tentang ruang vektor, ruang vektor bagian

: Pendidikan Matematika : MKK414515 : Aljabar Linier 2 : 2 SKS : IV : Aljabar Linier 1 : Dalam perkuliahan ini dibahas: (1) Ruang euclides, ruang vektor umum, ruang bagian, kebebasan linier, basis dan dimensi, ruang baris dan ruang kolom matriks, rank, penerapan terhadap pencarian basis, ruang hasil kali dalam, dan basis orthonormal; (2) Transformasi linier: sifat transformasi linier, kernel dan jangkauan transformasi linier dari Rn ke Rm, geometri transformasi linier dari R2 ke R2, matriks transformasi linier; dan (3) Nilai dan vektor eigen. : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya.

Indikator

Pengalaman Belajar

 Mampu melakukan  Memberikan penjelasan evaluasi terhadap tentang konsep ruang vektor suatu himpunan dan ruang vektor bagian. dan operasi  Mendiskusikan persoalan padanya termasuk tentang ruang vektor dan grup, field, ruang ruang bagian. vektor, dan ruang vektor bagian, serta menunjukkan ruang baris dan ruang kolom pada

Materi Pokok

 Ruang vektor  Ruang vektor bagian  Ruang baris  Ruang kolom

Alokasi Sumber/Bahan Waktu Ajar/Media (menit) 4 x 50 Sumber:

 Aljabar Linier Elementer  Aljabar Linier  Modul Aljabar Linier 2 Media: LCD,

Penilaian/ evaluasi

 Partisipasi dalam diskusi  Latihan soal-soal di bahan ajar.

matriks. 2. Menunjukkan vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor, vektorvektor yang saling bergantung linier dan dapat mencari kombinasinya, serta menjelaskan konsep basis dan dimensi ruang vektor.

5. Menentukan himpunan vektor yang bebas linier 6. Menentukan himpunan vektor yang bergantung linier. 7. Menemukan kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektorvektor lainnya. 8. Mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor.

whiteboard  Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bebas linier.  Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bergantung linier.  Mengkaji tentang kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor lainnya.  Menjelaskan tentang cara mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor.  Mendiskusikan persoalan tentang vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor.  Mendiskusikan persoalan tentang vektor-vektor yang saling bergantung linier.  Mendiskusikan persoalan tentang kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor lainnya.  Mendiskusikan persoalan mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor.

 Bebas linier  Bergantung linier  Kombinasi linier  Basis dan dimensi

4 x 50

Sumber:

 Aljabar Linier Elementer  Aljabar Linier  Modul Aljabar Linier 2 Media: LCD, whiteboard


3. Menjelasakan konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, serta menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor.

 Mampu melakukan evaluasi terhadap beberapa bentuk transformasi yang merupakan transformasi linier.  Mampu menentukan matriks transformasi linier.  Mampu menemukan basis dan dimensi dari ruang peta dan ruang nol.

 Mengkaji tentang konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi.  Menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor.  Mendiskusikan persoalan tentang ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor

 Transformasi linier  Koordinat relatif  Perubahan basis  Matriks transformasi linier  Ruang peta  Ruang nol

4 x 50

4. Memahami konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasika n ruang inner product, menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan

 Mampu menghitung panjang dan sudut dari vektor-vektor.  Mampu menentukan matriks yang mempresentasikan ruang inner product.

 Menkaji tentang konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product.  Menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses GramSchmidt.  Mendiskusikan persoalan tentang panjang dan sudut

 Ruang inner product  Panjang vektor  Jarak antar vektor  Sudut antara dua vektor  Unit vektor  Vektor yang ortogonal  Ortogonalisas

4 x 50

 Mampu menentukan basis ortogonal dan basis ortonormal dari ruang vektor dengan proses

Sumber:

 Aljabar Linier Elementer  Aljabar Linier  Modul Aljabar Linier 2


Media: LCD, whiteboard Sumber:



ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.

Gram-Schmidt.

4. Dapat mencari 5. Menjelaskan eigenvalues dan eigen konsep vektor dari suatu eigenvalues dan matriks transformasi eigen vektor dari linier. suatu matriks 5. Dapat menemukan transformasi matriks yang linier, similaritas dengan menjelaskan matriks transformasi konsep-konsep linier. similaritas  Dapat matriks mendiagonalkan matriks transformasi transformasi linier. linier, serta menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier.





  

 

dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product Mendiskusikan persoalan tentang proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt. Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. Menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier. menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier. Mendiskusikan persoalan tentang eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. Mendiskusikan persoalan tentang similaritas matriks transformasi linier. Mendiskusikan persoalan tentang pendiagonalan matriks transformasi linier.

i vektor dengan GramSchmidt

 Eigenvalues dan eigen vektor  Similaritas  Pendiagonala n matriks transformasi linier

4 x 50

Sumber:



 Dapat menentukan  Menjelaskan 6. Menjelaskan relasi relasi kongruen, relasi kongruensi kongruensi antara matriks mencari bentuk antara matriks transformasi, bentuk bilinier, bilinear, dan bentuk transformasi, dan bentuk kuadrat. kuadrat. bentuk bilinier,  Mendiskusikan persoalan dan bentuk tentang relasi kongruensi kuadrat. antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat.

 Relasi kongruensi  Bentuk bilinier  Bentuk kuadrat

4 x 50

Sumber:

 Aljabar Linier Elementer  Aljabar Linier  Modul Aljabar Linier 2


Media: LCD, whiteboard 7. Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung eA dengan menggunakan teorema Caelyhamilton

 Dapat

mencari  Menjelaskan

konsep bentuk kanonik jordan dari matriks bentuk kanonik dengan menghitung e A dengan jordan dari matriks menggunakan teorema Caelyhamilton. dengan  Mendiskusikan persoalan A menghitung e tentang bentuk kanonik jordan dengan dari matriks dengan A menghitung dengan e menggunakan menggunakan teorema Caelyteorema Caelyhamilton.

hamilton

 Bentuk kanonik jordan  Teorema Caley Hamilton

2 x 50

Sumber:



RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)

Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK414515 Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke: 1 dan 2 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 1. Menjelaskan konsep-konsep tentang ruang vektor, ruang vektor bagian. Indikator : 1.1 Mampu melakukan evaluasi terhadap suatu himpunan dan operasi padanya termasuk grup, field, ruang vektor, dan ruang vektor bagian, serta menunjukkan ruang baris dan ruang kolom pada matriks.

A. MATERI RUANG VEKTOR Misalkan V sebarang himpunan benda yang operasinya didefinisikan, yakni penambahhan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penambahan tersebut dipahami untuk mengasosiasikan suatu aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v, yang dinamakan jumlah u dan v; dengan perkalian skalar diartikan aturan untuk mengasosiasikan baik untuk setiap skalar k maupun setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian skalar (scalar multiple) u oleh k. jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, dan w pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka dinamakan V sebagai ruang vektor (vector space) dan bendabenda pada V dinamakan vektor. 1. Jika u dan v adalah benda-benda pada V, maka u  v berada di V 2. u  v  v  u 3. u   v  w   u  v   w 4. Ada suatu benda 0 di V sehingga 0  u  u  0  u untuk semua u di V 5. Untuk setiap u di V, maka ada suatu benda –u di V yang dinamakan negatif u sehingga

u   u    u   u  0

6. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku berada di V 7. k  u  v   ku  kv 8. 9.

 k  l  u  ku  lu k  lu    kl  u

10. 1u  u

Sub Ruang Vektor

Misalkan W himpunan bagian dari ruang vektor V maka W disebut sub ruang vektor (subspace vector) dari V, bila vektor-vector didalam W memenuhi sifat penjumlahan dan perkalian skalar dari V. Teorema 1.4 Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari suatu ruang vektor V, maka W adalah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku. 1. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u  v terletak di W 2. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, maka ku berada di W. Ruang Baris dan Ruang Kolom Misal matriks A berukuran mxn

 a11 a A   21    am1

a12 a22 am 2

Vektor baris:

r1   a11 a12

r2   a21 a22 rm   am1 am 2

a1n  a2 n    amn 

a1n    a2 n     amn 

Sub ruang Rn yang direntang oleh vektor baris disebut ruang baris (row space) dari A

Vektor kolom:

 a11   a12  a  a  21   c1  , c   22  ,   2       1m1  1m 2 

 a1n   a    , cn   2 n       1mn  

Sub ruang Rn yang direntang oleh vektor kolom disebut ruang kolom (colomn space) dari A

B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.

C. LANGKAH PEMBELAJARAN  Pertemuan ke-1 No

Tahap

Kegiatan Pembelajaran

1.

Pendahuluan

Apersepsi dan motivasi: 1. Memberikan kontrak perkuliahan 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

2.

Penyajian

a. Eksplorasi 1. Memberikan penjelasan tentang konsep ruang vektor dan ruang vektor bagian. 2. Memberikan contoh persoalan yang berkaitan dengan ruang vektor dan ruang vektor bagian. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru mengenai ruang vektor dan ruang vektor bagian. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

3.

Penutup

Refleksi

Dosen bersama mahasiswa rangkuman/ kesimpulan.

membuat

Alokasi waktu 15 menit

60 menit

50 menit

15 menit

10 menit

 Pertemuan ke-2 No

Tahap


1.

Pendahuluan

Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi sebelumnya 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

2.

Penyajian

a. Eksplorasi 1. Memberikan penjelasan tentang konsep ruang baris dan ruang kolom.


3.

Penutup

2. Memberikan contoh persoalan yang berkaitan dengan ruang baris dan ruang kolom. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru mengenai ruang baris dan ruang kolom. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas.

60 menit

c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

15 menit

Refleksi


membuat

D. MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD dan Laptop

E. SUMBER BELAJAR d. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. e. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. f.

Modul Aljabar Linier 2

F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

50 menit

10 menit


Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK414515 Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke: 3 dan 4 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 2. Menunjukkan vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor, vektor-vektor yang saling bergantung linier dan dapat mencari kombinasinya, serta menjelaskan konsep basis dan dimensi ruang vektor. Indikator : 2.1 Menentukan himpunan vektor yang bebas linier

2.2 Menentukan himpunan vektor yang bergantung linier. 2.3 Menemukan kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor-vektor lainnya. 2.4 Mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor.

A. MATERI RUANG VEKTOR Kombinasi Linier Vektor w dikatakan kombinasi linear dari vektor-vektor v1 , v2 ,....., vr bila vektor w dapat dinyatakan sebagai persamaan vektor (SPL) berikut: w  k1v1  k2v2   kr vr , di mana k1 , k2 , , kr adalah skalar. Merentang Misalkan v1 , v2 ,

, vr di V dan tiap-tiap vektor tersebut kombinasi linear dari v1 , v2 ,

maka vektor tersebut dikatakan merentang ruang V

, vr

Bebas Linier Jika S  v1 , v2 ,

, vr  adalah himpunan vektor dan suatu persamaan vektor:

k1v1  k2v2 

 kr vr  0

Persamaan tersebut pasti mempunyai “satu pemecahan” (Pemecahan trivial) yaitu:

k1  k2  k3 

 kr  0

Jika demikian maka vektor S dinamakan himpunan bebas linear (linearly independent) dan jika ada pemecahan lain (pemecahan tak trivial), maka S dinamakan tak bebas linear (linearly independent). Basis dan Dimensi Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S  v1 , v2 ,

, vr  merupakan himpunan

berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S disebut basis untuk V jika: a. S bebas linear b. S merentang V Contoh 1.10 Apakah himpunan

S  v1 , v2 , v3 

di

mana

v1  1, 2,1 ; v2   2,9,0  ; v3   3,3, 4 

merupakan basis untuk R3? Solusi: a. Buktikan S bebas linear  syarat: punya pemecahan k1  k2  k3  0

k1v1  k2v2  k3v3  0

 k1 2k2  SPL 2k1 9k2  k  1

3k3 3k3 4k3

0

 1 2 3  0  A   2 9 3 0  1 0 4 

b. Buktikan S merentang R3  syarat : kominasi linear  Konsisten/tidak?

 Det (A)  0 A dapat dibalik (punya invers)  S merentang R3 Kesimpulan: S adalah sebuah basis untuk R3

Punya invers Det (A)  0

Definisi: Dimensi suatu ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V. Teorema: 1. Jika S  v1 , v2 ,

, vn  adalah suatu himpunan n vektor bebas linear pada suatu ruang

2.

V yang berdimensi n, maka S adalah suatu basis untuk V Jika S  v1 , v2 , , vn  adalah suatu himpunan n vektor yang merentang pada suatu

3.

ruang V yang berdimensi n, maka S adalah suatu basis untuk V Jika S  v1 , v2 , , vn  adalah suatu himpunan n vektor bebas linear pada suatu ruang V yang berdimensi n, dan r  n , maka S adalah dapat diperbesar menjadi basis untuk

V; yakni vektor-vektor vr 1 ,

, vn sehingga v1 , v2 ,

, vr , vr 1 , vn  adalah suatu basis

untuk V

B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok. C. LANGKAH PEMBELAJARAN  Pertemuan ke-3 No

Tahap


1.

Pendahuluan

Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

2.

Penyajian

a. Eksplorasi 1. Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bebas linier. 2. Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bergantung linier. 3. Mengkaji tentang kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor lainnya. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan mengenai vektor yang bebas linier, vektor yang bergantung linier, dan kombinasi linier. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

3.

Penutup


60 menit

50 menit

15 menit

Refleksi


membuat

15 menit


Tahap


1.

Pendahuluan

Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

2.

Penyajian

a. Eksplorasi 1. Menjelaskan tentang cara mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan mengenai vektor yang bebas linier, vektor yang bergantung linier, dan kombinasi linier. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

3.

Penutup

Refleksi


membuat


E. SUMBER BELAJAR 1. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. 2. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. 3. Modul Aljabar Linier 2 F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi


50 menit

60 menit

20 menit

10 menit


Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK414515 Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke: 5 dan 6 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 3. Menjelasakan konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, serta menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor. Indikator : 3.1 Mampu melakukan evaluasi terhadap beberapa bentuk transformasi yang merupakan transformasi linier.

3.2 Mampu menentukan matriks transformasi linier. 3.3 Mampu menemukan basis dan dimensi dari ruang peta dan ruang nol.

A. MATERI RUANG VEKTOR Kombinasi Linier Jika F : V  W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dikatakan transformasi linear (linear transformation) jika

1. F  u  v   F  u   F  v  untuk semua vektor u dan v di V 2. F  ku   kF  u  untuk semua vektor u di V dan semua skalar k Sifat Transformasi Linear; Kernel dan Jangkauan Jika T : V  W adalah transformasi linear, maka himpunan vektor di V yang dipetakan T ke dalam 0 dinamakan kernel (atau ruang nol) dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh ker T  . Himpunan semua vektor di W yang merupakan bayangan di bawah T dari paling sedikit satu vektor di V dinamakan jangkauan dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh R T  .

Teorema: Jika T : V  W adalah transformasi linear, maka 1. T  0   0 2. T  v   T  v  untuk semua v di V 3. T  v  w  T  v   T  w untuk semua v dan w di V Teorema: Jika T : V  W adalah transformasi linear, maka dimensi jangkauan dari T dinamakan rank T dan dimensi kernel dinamakan nulitas (nullity) T. Teorema: Jika T : V  W adalah transformasi linear, maka 1. Kernel dari T adalah subruang dari V 2. Jang/kauan dari T adalah subruang dari W Teorema: Jika T : V  W adalah transformasi linear dari ruang vektor V yang berdimensi n kepada suatu ruang vektor W, maka:

 rank dari T    nulitas dari T   n

Teorema: Jika A adalah matriks m x n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax  0 adalah:

n  rank  A

Misalkan  v1 , v2 ,

, vn  adalah basis untuk ruang vektor v dan T : V  W adalah

transformasi linear. Jika bayangan vektor basisnya diketahui yaitu:

T  v1  , T  v2  ,

, T  vn 

Maka kita dapat memperoleh bayangan T  v  dari sebarang vektor v dengan menyatakan dulu v dalam basis tersebut, misalkan:

v  k1v1  k2v2 

Dan kemudian dapat ditulis:

 knvn

T  v   k1T  v1   k2T  v2  

 knT  vn 


Tahap


1.

Pendahuluan


2.

Penyajian

a. Eksplorasi 1. Mengkaji

tentang

konsep


50 menit

transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi. 2. Menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor. b. Elaborasi 1. Mahasiswa dibagi menjadi beberapa kelompok secara heterogen. 2. Setiap kelompok diberikan persoalan mengenai transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor. 3. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi perkelompok. 4. Dosen memilih secara acak salah satu perwakilan kelompok untuk mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3.

Penutup

Refleksi


membuat

70 menit

15 menit

10 menit


Tahap


1.

Pendahuluan


2.

Penyajian

a. Eksplorasi Mendiskusikan persoalan tentang ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor

b. Elaborasi


45 menit

1. Mahasiswa diberi persoalan tentang ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3.

Penutup

Refleksi


membuat



60 menit

20 menit

10 menit


Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK414515 Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke: 7 dan 8 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 4. Memahami konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product, menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt. Indikator : 4.1 Mampu menghitung panjang dan sudut dari vektor-vektor.

4.2 Mampu menentukan matriks yang mempresentasikan ruang inner product. 4.3 Mampu menentukan basis ortogonal dan basis ortonormal dari ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.

A. MATERI RUANG VEKTOR di R2 dan R3 Ruang Hasil Kali Dalam ( Ruang Inner Product)

Hasil kali dalam atau perkalian dalam adalah pemetaan suatu bilangan rill  u, v  pada

setiap pasangan vektor u dan v di ruang V yang memenuhi keempat aksioma berikut: 1. u, v  v, u  simetris 2.

u  v, w  u, w  v, w  aditivitas

3.

 ku, v  k u, v  homogenitas

4.

v, v  0; dan v, v  0 jhj v  0  positivitas

Suatu ruang vektor yang dilengkapi dengan perkalian dalam (memenuhi 4 aksioma) disebut ruang perkalian dalam V u, v 

Ketaksamaan Cauchy-Scwarz Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam V maka berlaku:

u, v

2

 u, u

v, v

Panjang, Jarak dan Sudut Dalam Ruang Perkalian Dalam Misalkan u dan v vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam maka panjang (norma) dari 1

u didefinisikan: u 

vektor

u, u

2

dan jarak vektor u dan v didefinisikan:

d  u, v   u  v Jadi, jika dan v   v1 , v2 ,....., vn  adalah vektor di Rn maka:

u  u, u

1

 u 21  u22  .

2

d  u, v   u  v  u  v, u  v

 un 2 1

2



u1  v1   u2  v2  2

2

 un  vn 



2

Dari ketaksamaan CHAUCHY-SCHWARZ jika u dan v vektor-vektor pada dalam ruang hasil kali dalam, maka:

u, v u, v

2

 u, u

2

 u

2

v

v, v 2

2

 u, v    1  u v  u, v u, v 1   1  cos   dan 0     u v u v

 didefinisikan sebagai sudut di antara vektor u dan vektor v. Teorema: Jika V adalah ruang hasil kali dalam, maka norma u  u, v

1

2

dan jarak d u, v  u  v

memenuhi semua sifat yang didaftarkan pada tabel di atas Definisi: Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor u dan v disebut orthogonal jika u, v  0 . Selanjutnya, jika u orthogonal terhadap setiap vektor sebarang di dalam himpunan W, maka: u orthogonal kepada W. Teorema (Teorema Pythagoras yang digeneralisasikan): Jika u dan v adalah vektor-vektor orthogonal pada ruang hasil kali dalam, maka:

uv  u  v 2

2

2

Basis Orthonormal dan Proses Gram Schmidt Suatu himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan orthogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut orthogonal. Selanjutnya himpunan orthogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 dinamakan orthonormal. Contoh:

1  1   1  1 , 0, , 0,   , v3    . Apakah S  v1 , v2 , v3  di 2 2  2  2

Diketahui v1   0,1, 0  , v2  

ruang hasil kali dalam Euclidis orthonormal? Solusi:  Cek orthogonalitas masing-masing vektor

v1 , v2  v2 , v3  v1 , v3  0  Cek jarak : v1  v2  v3  1 Jika v adalah vektor taknol pada ruang hasil kali dalam, maka dapat dibuat mempunyai panjang (norma) 1 dengan jalan menormalisasikan vektor v yaitu mengalikan vektor v taknol dengan kebalikan panjangnya.

1 v v Misal:

v  1,1,1 

1 1,1,1 3

 1 1 1   , ,   v 1  3 3 3 Teorema: Jika S  v1 , v2 ,

, vn  adalah baris orthonormal untuk ruang hasil kali dalam V dan u

adalah sebarang vektor dalam V maka:

u  u, v1 v1  u, v2 v2 

 u, vn vn

atau u sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di dalam S Bukti:

S  v1 , v2 , v3  : basis u  k1v1  k2v2 

 knvn

Harus dibuktikan: ki  u, vi , i  1, 2,

u, vi  k1v1  k2v2 

,n

 kn vn , vi

 k1 v1 , vi  k2 v2 , vi 

 kn vn , vi

Karena S: orthonormal  vi , vi  vi

2

*

1

vi , v j  0 jika j  1 Sehingga persamaan (*) dapat disederhanakan menjadi u, vi  k1 (terbukti) Contoh: Misal: v1   0,1,0  , v2   4 / 5,0,3/ 5 , v3  3/ 5,0, 4 / 5

A. Apakah S  v1 , v2 , v3  basis orthonormal untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidis? B. Nyatakan u  1,1,1 sebagai kombinasi linear vektor-vektor S Solusi: a. v1 , v2  v2 , v3  v1 , v3  0

v1  v2  v3  1 b.

1 7 k1 u, v1  1, k2 u, v2   , k3 u, vn  5 5 1 7 u  v1  v2  v3 5 5 1 4 3 7 3 4  1,1,1   0,1, 0     , 0,     , 0,   5  5 5  5  5 5 

Teorema: Jika S  v1 , v2 ,

, vn  adalah himpunan orthogonal vektor taknol di ruang hasil kali

dalam, maka S bebas linear Bukti S bebas linear k1v1  k2v2  k3v3  Harus dibuktikan: k1  k2 

k1v1  k2v2  k3v3 

 knvn  0

 kn  0

 knvn , vi  0

k1 v1 , vi  k2 v2 , vi  k3 v3 , vi 

 kn vn , vi  0

Karena:

i  j  vi , v j  0 i  j  vi , v j  0 Sehingga persamaan di atas menjadi ki vi , v j  0  ki  0, i  1, 2

,n

 S bebas linear Contoh: Terdapat

himpunan

vektor

1  1   1  1 v1   0,1, 0  , v2   , 0, , 0,   , v3    2 2  2  2

.

S  v1 , v2 , v3   membentuk himpunan orthonormal terhadap hasil kali R3 sehingga himpunan vektor tersebut bebas linear  k1  k2  k3  0  . Cek! Teorema: Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam dan S  v1 , v2 ,

, vr  adalah himpunan

orthonormal dari vektor-vektor V. Jika W menyatakan ruang yang direntang oleh v1 , v2 , , vr , maka untuk setiap vektor u dalam V dapat dinyatakan sebagai:

u  w1  w2

Di mana w1 terletak di W dan w2 orthogonal terhadap W dengan memisalkan:

w1  u, v1 v1  u, v2 v2 

 u, vr vr

*

dan

w1  u  u, v1 v1  u, v2 v2 

**

 u, vr vr

Bukti

u

w2

w1 W

Gambar Proyeksi Orthogonal pada u dan W dan komponen u orthogonal terhadap W w1 = proyeksi orthogonal u pada W (proy w u) w2 = proyeksi u yang orthogonal terhadap W (u-proy w u) Jadi (*) dan (**) menjadi Proy w u  u, v1 v1  u, v2 v2 

 u, vr vr

u  proy wu  u   u, v1  v1  u, v2  v2 

u, ur vr

Contoh: Misalkan R3 mempunyai ruang hasil kali dalam Euclidis dan W adalah subruang yang

 4  5

3 5

direntang oleh vektor-vektor orthonormal: v1   0,1, 0  , v2    , 0,  . Tentukan proyeksi orthogonal u pada W dan komponen u yang orthogonal terhadap W. Solusi: Proyeksi orthogonal u  1,1,1 pada W adalah:

Proy wu  u, v1 v1  u, v2 v2  1  4 3   1 0,1, 0       , 0,   5  5 5  3   4   ,1,   25 25  Komponen u yang orthogonal terhadap w adalah:

3   4 u  proy wu  1,1,1   ,1,   25   25  21 28    , 0,   25 25   cek apakah u  proy wu orthogonal terhadap v1 , v2 ?

u  proy wu, v1  u  proy wu, v2  0 Teorema: Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol mempunyai satu basis orthonormal. Bukti: Misalkan S  u1 , u2 , u3 , , un  adalah sebarang basis untuk V yang merupakan sebarang ruang hasil kali dalam berdimensi n taknol, akan dibangun basis orthonormal v1 , v2 , v3 , , vn  untuk V dengan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1 Andaikan v1 

u1  v 1 u1

Langkah 2 Misalkan w1 sub ruang yang direntang untuk v1  Mencari komponen u2 yang tegak lurus (orthogonal) pada w1

u2  Proy w1 u2  u2  u2 , v1 v1  Normalisasi u2 maka didapat v2

v2 

u2  proy wu2  v2  1 u2  proy wu2

proy w1 u2

u2

v2 W1 v1

proy w1 u2

Gambar Normalisasi Komponen u2 Langkah 3: Misalkan w2 pada sub ruang yang direntang untuk v1 dan v2  Komponen u3  w2

u3  Proy w2 u3  u3  u3 , v1 v1  u3 , v2 v2  Normalisasi u3 maka didapat v3

v3 

u3  u3 , v1 v1  u3 , v2 v2 u3  u3 , v1 v1  u3 , v2 v2

 v3  1

u3  proy w2u2 u1 v1

v2

p ro y w 2 u 2 W2 Gambar Normalisasi Komponen u3

Dengan meneruskannya dalam cara ini (analog dengan langkah 2 dan 3  v4 , v5 , akan didapat himpunan orthonormal dari vektor-vektor v1 , v2 , v3 ,

, vn 

, vn  di ruang hasil

kali dalam V berdimensi n dan bebas linear.  basis orthonormal untuk V Kesimpulan: Proses pembentukan langkah demi langkah untuk mengubah basis ke basis orthonormal disebut proses Gram-Schmid


Tahap


1.

Pendahuluan


2.

Penyajian

a. Eksplorasi Mengkaji tentang konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product. b. Elaborasi 1. Mahasiswa dibagi menjadi beberapa kelompok secara heterogen. 2. Setiap kelompok diberikan persoalan mengenai panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product. 3. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi perkelompok. 4. Dosen memilih secara acak salah satu perwakilan kelompok untuk mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.


50 menit

70 menit

15 menit

3.

Penutup

Refleksi


membuat

10 menit


Tahap


1.

Pendahuluan


2.

Penyajian

a. Eksplorasi Menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses GramSchmidt.

b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan tentang proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses GramSchmidt. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3.

Penutup


45 menit

60 menit

20 menit

Refleksi



membuat

10 menit



Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK414515 Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke: 10 dan 11 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 5. Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier, menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier, serta menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier. Indikator : 5.1 Dapat mencari eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. 5.2 Dapat menemukan matriks yang similaritas dengan matriks transformasi linier. 5.3 Dapat mendiagonalkan matriks transformasi linier.

A. MATERI NILAI EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Jika A adalah matriks n x n, maka vektor taknol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yakni:

Ax   x

Untuk suatu skalar  . Skalar  dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan  . Teorema: Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain: 1.  adalah nilai eigen dari A 2. Sistem persamaan   I  A x  0 mempunyai pemecahan taktrivial 3. Ada vektor tak nol x di dalam Rn sehingga Ax   x 4.  adalah pemecahaan riil dari persamaan karakteristik dari   I  A x  0

Diagonalisasi Matriks kuadrat A dinamakan didiagonalisasi (diagonalizable) jika terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P 1 AP diagonal, matriks P dikatakan mendiagonalisasi A. Teorema: Jika A adalah matriks n ' n , maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain. 1. A dapat didiagonalisasi 2. A mempunyai n vektor eigen bebas linear Teorema: Jika v1 , v2 ,

, vk adalah vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen

yang berbeda 1 , 2 ,

, k maka v1 , v2 ,

, vk  adalah himpunan bebas linear

Teorema: Jika matriks A yang berukuran n x n mempunyai n nilai eigen yang berbeda, maka A dapat didiagonalisasi. Prosedur untuk mendiagonalisasi matriks: Teorema sebelumnya menjamin bahwa suatu matriks A berukuran n x n, dengan v vektor eigen yang bebas linear dapat didiagonalkan, dan buktinya memberikan metode berikut ini untuk mendiagonalkan A. Langkah 1: Cari n vektor eigen yang bebas secara linear dari A, katakanlah P1 , P1 , P3 , Pn Langkah 2: Bentuk matriks P yang mempunyai P1 , P1 , P3 , Pn sebagai vektor kolom-kolomnya Langkah 3: Bentuk matriks P 1 AP akan menjadi matriks diagonal dengan P1 , P1 , P3 , Pn berturutturut sebagai anggota diagonalnya, di mana i adalah nilai eigen yang berpadanan dengan

Pi untuk i  1, 2,3

,n

Contoh:

 3 2   1 0 

Carilah nilai-nilai eigen dari matriks A   Jawab:

 3 2  1 0  3   2  A  I         1 0  0 1   1  

Polinomial karakteristik dariA;

3   2  det   I  A  det    3        2   3   2  2   1  

Persamaan karakteritik dari A’

3   2  2  0     2    1  0

Jadi, nilai-nilai eigen dari A adalah   2,   1


Tahap


1.

Pendahuluan


2.

Penyajian

a. Eksplorasi

1. Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. 2. Menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier.

b. Elaborasi 1. Mahasiswa dibagi menjadi beberapa kelompok secara heterogen. 2. Setiap kelompok diberikan persoalan mengenai eigenvalues, eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier, dan similaritas matriks transformasi linier. 3. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi perkelompok. 4. Dosen memilih secara acak salah satu perwakilan kelompok untuk mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3.

Penutup

Refleksi


membuat


50 menit

70 menit

15 menit

10 menit


Tahap


1.

Pendahuluan


2.

Penyajian

a. Eksplorasi Menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier.

b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan tentang proyeksi ortogonal dari suatu vektor, pendiagonalan matriks transformasi linier. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3.

Penutup


45 menit

60 menit

20 menit

Refleksi


membuat



10 menit


Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK414515 Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke: 12 dan 13 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 6. Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. Indikator : 6.1 Dapat menentukan relasi kongruen, mencari bentuk bilinear, dan bentuk kuadrat.

A. MATERI 1. Relasi Kongruensi 2. Bentuk Bilinier 3. Bentuk Kuadrat B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok. C. LANGKAH PEMBELAJARAN  Pertemuan ke-12 No

Tahap


1.

Pendahuluan

Apersepsi dan motivasi: 1. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

2.

Penyajian

a. Eksplorasi 1. Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi. 2. Memberikan contoh persoalan tentang relasi kongruensi antara matriks transformasi.


60 menit

b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru mengenai relasi kongruensi antara matriks transformasi. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3.

Penutup

Refleksi


membuat

50 menit

15 menit 10 menit


Tahap


1.

Pendahuluan

Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi sebelumnya 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

2.

Penyajian

a. Eksplorasi 1. Memberikan penjelasan tentang konsep bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. 2. Memberikan contoh persoalan yang berkaitan dengan bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru mengenai bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

3.

Penutup


60 menit

50 menit

15 menit

Refleksi


membuat

10 menit




Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK414515 Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke: 14 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 7. Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung e A dengan menggunakan teorema Caely-hamilton. : 7.1 Dapat mencari bentuk kanonik jordan dari matriks dengan

Indikator

menghitung e A dengan menggunakan teorema Caely-hamilton.

A. MATERI 1. Bentuk kanonik Jordan 2. Teorema Caley Hamilton B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok. C. LANGKAH PEMBELAJARAN  Pertemuan ke-14 No

Tahap


1.

Pendahuluan

Apersepsi dan motivasi: 1. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

2.

Penyajian

a. Eksplorasi 1. Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan A menghitung e dengan menggunakan teorema Caely-hamilton.


60 menit

b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru mengenai bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung e A dengan menggunakan teorema Caelyhamilton. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3.

Penutup

50 menit

15 menit

Refleksi


membuat



10 menit

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

Recommend Documents