PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA commit to user

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN SPEKTRUM ENERGI POTENSIAL GENDENSHTEIN DAN ROSEN MORSE II MENGGUNAKAN FUNGSI HYPERGEOMETRY BERBASIS KOMPUTER DENGAN BAHASA PEMROGRAMAN DELPHI 7.0

TESIS Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan untuk Mencapai Derajat Magister

Program Studi Ilmu Fisika

Oleh NURHAYATI S 911102004

PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA commit to user

2012


digilib.uns.ac.id


TESIS Oleh NURHAYATI S 911102004

Komisi Pembimbing

Nama

TandaTangan

Pembimbing I

Dra. Suparmi, MA. Ph.D NIP. 19520915 197603 2003

...........................

Pembimbing II Viska Inda Variani, M.Si NIP. 19720617 199702 2001

............................

Telah dinyatakan memenuhi syarat Pada tanggal..............................................2012

Mengetahui Ketua Program Studi Ilmu Fisika Program Pasca Sarjana UNS

Drs. Cari, M.A. commit toM.Sc, user Ph.D NIP. 19610306 198503 1002 ii

Tanggal


digilib.uns.ac.id


TESIS Oleh NURHAYATI S 911102004 Tim Penguji Jabatan

Nama

TandaTangan

Ketua

Drs. Cari, M.A. M.Sc, Ph.D NIP. 19610306 198503 1002

...........................

Sekretaris

Drs. Harjana, M.Si. M.Sc. Ph.D 95 NIP. 19590725 198601 1001

...........................

Anggota Penguji Dra. Suparmi, MA. Ph.D 1. NIP. 19520915 197603 2003 2.

Viska Inda Variani, M.Si NIP. 19720617 199702 2001

Tanggal

...........................

...........................

Telah dipertahankan didepan penguji Dinyatakan telah memenuhi syarat Pada tanggal.................................2012 Direktur Program Pascasarjana

Ketua Program Studi Ilmu Fisika

Drs. Cari, M.A. M.Sc, Ph.D Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S. commit to user NIP. 19610306 198503 1002 NIP. 19610717 198601 1 001 iii


digilib.uns.ac.id

PERNYATAAN ORISINILITAS DAN PUBLIKASI TESIS Saya menyatakan dengan benar-benar bahwa 1. Tesis yang berjudul “Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Gendenshtein dan Rosen Morse II Menggunakan Fungsi Hypergeometry Berbasis Komputer Dengan Bahasa Pemrograman Delphi 7.0“ iniadalahkaryapenelitiansayasendiridantidakterdapatkaryailmiah yang

pernahdiajukanoleh

orang

lain

untukmemperolehgelarakademiksertatidakterdapatkaryaataupendapat pernahditulisatauditerbitkanoleh

orang

yang lain

kecualisecaratertulisdikutipdalamnaskahinidandisebutkandalamsumberkutipan sertadaftarpustaka.

Apabilaternyata

di

dalamnaskahTesisinidapatdibuktikanterdapatunsur-unsurjiplakan, makasayabersediaTesisbesertagelar

MAGISTER

sayadibatalkansertadiperosessesuaidenganperaturanperundang-undangan yang berlaku (UU No. 20 Tahun 2003, pasal 25 ayat 2 danpasal 70). 2. Publikasi sebagian atau keseluruhan isi Tesis pada jurnal atau forum ilmiah lain harus seijin dan menyatakan tim pembimbing sebagai author dan PPs UNS sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu semester (6 bulan sejak pengesahan Tesis) saya tidak melakukan publikasi dari sebagian atau keseluruhan Tesis ini, maka Prodi Ilmu Fisika PPs UNS berhak mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi Ilmu Fisika PPs UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran ketentuan dari publikasi ini, maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang berlaku.

Surakarta, 30 April2012

Nurhayati commit to user

iv

S911102004


digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis haturkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga tesisyang berjudul “Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Gendenshtein dan Rosen MorseII Menggunakan Fungsi Hypergeometry Berbasis Komputer Dengan Bahasa Pemrograman Delphi 7.0” dapat diselesaikan. Penulis banyak mendapat bantuan, bimbingan, dan dorongan dari berbagai pihak, dalam menyelesaikan tesis ini. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penyusunan tesis, terutama kepada : 1. Prof.

Dr.

Ir.

Ahmad

Yunus,

selakuDirekturPascasarjanaUniversitasSebelasMaret

M.S, yang

telahberkenanmemberikanbantuanberupasegalasaranadanfasilitasdalammenem puhpendidikanpascasarjana. 2. Drs. Cari, MA, M.Sc, Ph.D, selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta. 3. Ibu Dra. Suparmi, MA, Ph.Dselaku dosen Pembimbing I yang telah meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penyusunan proposal tesis ini dengan penuh kesabaran. 4. Ibu Viska Inda Variani, M.Si selaku dosen Pembimbing II yang telah meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan pengarahan. commit to user

v


digilib.uns.ac.id

5. Ibu Dr.Yofentina Iriani, M.Siselaku dosen mata kuliah Metodologi Penelitian yang telah meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan pengarahan. 6. Segenap dosen Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan. 7. Suamiku tercinta yang selalu memberikanku dukungan dan semangat yang tiada hentinya untuk terus berjuang. 8. Kedua orang tuaku yang telah memberikan doa dan semangat yang tiada hentinya untuk terus mencari ilmu. 9. Serta semua pihak yang turut membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu. Penulis menyadari bahwa dalam tesis ini masih terdapat kekurangan. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi tercapainya kesempurnaan. Semoga tesis ini bermanfaat bagi kita semua. Amin.

Solo, April 2012

Penulis

commit to user

vi


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK Nurhayati. S 911102004. “Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Gendenshtein dan Rosen Morse II Menggunakan Fungsi Hypergeometry Berbasis Komputer Dengan Bahasa Pemrograman Delphi 7.0”. Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing (1). Dra. Suparmi, MA., Ph.D, (2) Viska Inda Variani, M.Si.

Persamaan schrodinger sistem potensial yang diselesaikan secara eksak mempunyai peranan penting dalam mekanika kuantum. Spektrum energi dan fungsi gelombang digunakan untuk mendeskripsikan perilaku partikel subatomik dapat diperoleh dari penyelesaian persamaan schrodinger secara langsung dan tidak langsung. Spektrum energi dan fungsi gelombang untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial “shape invariant” dapat dianalisis dengan penyelesaian langsung dengan cara mereduksi persamaan schrodinger menjadi persamaan diferensial fungsi khusus seperti fungsi Hermit, Legendre, Laguerre DAN Hypergeometry. Penyelesaian tidak langsung dilakukan dengan cara pendekatan operator supersimetri, WKB dan SWKB. Namun di antara fungsi-fungsi tersebut, persamaan diferensial fungsi hypergeometry yang mempunyai bentuk penyelesaian lebih umum karena persamaan diferensial fungsi yang lain dapat direduksi menjadi persamaan diferensial fungsi hypergeometry. Spektrum energi dan fungsi gelombang untuk partikel yang dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein I, Gendenshtein II dan hiperbolik Rosen Morse dianalisis menggunakan metode hypergeometry. Persamaan schrodinger untuk ketiga potensial tersebut diubah menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi hypergeometry dengan substitusi variabel dan parameter secara tepat. Spektrum energi dan fungsi gelombang diperoleh secara eksak. Selanjutnya grafik dari potensial efektif, fungsi gelombang dan probabilitas disimulasikan dengan menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0.

Kata Kunci : fungsi gelombang, spektrum energi, potensial Gendenshtein, potensial Rosen Morse,metode hypergeometry.

commit to user

vii


digilib.uns.ac.id

ABSTRACT Nurhayati. S 911102004. “An Analysis of Energy and Wave Function of Gendenshtein and Rosen Morse IIpotential by Using Hypergeometry MethodBase On The Computer With The Ianguage of Pemrograman Delphi 7.0”. Tesis: The Graduate Program in Physics Department, Postgraduate Program Sebelas Maret University, Surakarta, 2012. The advisor are (1). Dra. Suparmi, MA., Ph.D, (2) Viska Inda Variani, M.Si. Schrodinger equationsystemsaresolvedexactlypotentiallyhavean important rolein quantum mechanics. Spectrumenergy andwavefunctionsare usedtodescribethe behavior ofsubatomicparticlescan be obtainedfromthe completion ofthe Schrödinger equationdirectly andindirectly.Spectrumenergy andwave functionsforparticlesystemsthat are affectedby thepotential "shape invariant" can be analyzedbydirectsolutionby reducingthe Schrödinger equationintoa differential equationasa functionHermitspecialfunctions, Legendre, Laguerre, andHypergeometry. Indirecsolution bysupersymmetryoperator, WKBandSWKBapproach. But amongthese functions, differentialequationshypergeometryfunctionsthat havea more generalform ofthe settlementasafunction ofotherdifferentialequationscan bereduced todifferentialequationshypergeometryfunction. Behavior ofatomicparticlescanbe clearly understoodif theenergyandwave functionofthe particle isknown.Energyspectrumandwavefunctionsforparticles governedby theGendenshtein I, Gendenhtein II and RosenMorsepotentialis analyzedusinghypergeometrymethod. Schrodinger equationfor the potential third is reducedintoa second orderdifferentialequationsof hypergeometryfunctionsbyappropriatevariable andparameterssubstitution. Energyspectrumisexactlyand the wave functionis expressed in the form of hypergeometry function. The graphsof theeffectivepotential, wave functionsandprobabilityare visualized usingDelphi7.0.

Kata Kunci :

wave function, spectrum energy,Gendenshtein potential, Rosen Morse potential,hypergeometry method.

commit to user

viii


digilib.uns.ac.id

DAFTAR SIMBOL

m

= massa atom (kg)

n

= bilangan kuantum

h

= konstanta Planck (6,626x10-34 J.s)

ℏ

=

Veff

= Potensial Efektif

z

= Fungsi gelombang

|z|

= 1,054x10-34 J.s

= Probabilitas fungsi gelombang = Energi = kecepatan sudut (rad/s)

P

= momentum linier = panjang gelombang = frekuensi

commit to user

ix


digilib.uns.ac.id

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ..............................................................................

i

HALAMAN PERSETUJUAN .................................................................

ii

HALAMAN PENGESAHAN ..................................................................

iii

HALAMAN PERNYATAAN .................................................................

iv

KATA PENGANTAR .............................................................................

v

ABSTRAK ...............................................................................................

vii

ABSTRACT...............................................................................................

viii

DAFTAR SIMBOL .................................................................................

ix

DAFTAR ISI ............................................................................................

x

DAFTAR GAMBAR ...............................................................................

xiii

DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................

xiv

BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang ...............................................................................

1

B. Perumusan Masalah ........................................................................

6

C. Tujuan Penelitian ..........................................................................

6

D. Batasan Masalah ...........................................................................

7

E. Manfaat Penelitian .......................................................................

7

BAB II. KAJIAN TEORI, KERANGKA BERPIKIR DAN HIPOTESIS commit to user

x


digilib.uns.ac.id

A. Kajian Teori .....................................................................................

9

1. Persamaan Hypergeometry .........................................................

9

2. Persamaan Schrodinger ..............................................................

12

3. Fungsi Gelombang ......................................................................

14

4. Nilai Harap (Probabilitas) ...........................................................

15

5. Energi Potensial .........................................................................

16

6. Borland Delphi 7.0 .....................................................................

20

B. Kerangka Berpikir ............................................................................

22

C. Hipotesis ...........................................................................................

23

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN A. Lokasi dan Waktu Penelitian .........................................................

24

B. Alat dan Bahan Penelitian ...............................................................

24

C. Prosedur Penelitian .........................................................................

26

D. Penjabaran Penyelesaian Persamaan Schrodinger untuk Potensial Gendenshtein I, II, dan Rosen Morse II Menggunakan Metode Hypergeometry .................................................................................

29

E. Diagram Penelitian ..........................................................................

48

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Hasil Analitik Spektrum Energi dan Grafik Pemograman Delphi 7.0 .................................................................................................... commit to user

xi

55


digilib.uns.ac.id

B. Pembahasan ....................................................................................

69

BAB V. KESIMPULAN, IMPLIKASI DAN SARAN A. Kesimpulan .....................................................................................

72

B. Implikasi Hasil Penelitian ...............................................................

75

C. Saran ................................................................................................

76

DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................

77

commit to user

xii


digilib.uns.ac.id

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1

Halaman Lembar Kerja Borland Delphi ............................................. 21

Gambar3.1

Diagram Penelitian ..............................................................

29

Gambar 3.2

Flowchart potensial Gendenshtein I ...................................

49

Gambar 3.3

Flowchart potensial Gendenshtein II ..................................

51

Gambar 3.4

Flowchart potensial Rosen Morse II .....................................

52

Gambar 4.1

Grafiksimulasipotensialefektif Gendenshtein I .............

56

Gambar 4.2

Grafiksimulasipotensialefektif Gendenshtein II ............

58

Gambar 4.3

GrafiksimulasiFungsiGelombangDasar

Potensial

Gendenshtein II .................................................................... Gambar 4.4

GrafiksimulasiFungsiGelombangTingkat Pertama Potensial Gendenshtein II .....................................................

Gambar 4.5

GrafiksimulasiProbabilitas

Fungsi

Gelombang

62 Dasar

Potensial Gendenshtein II ..................................................... Gambar 4.6

60

63

GrafiksimulasiProbabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama Potensial Gendenshtein II .......................................

65

Gambar 4.7

Grafiksimulasipotensialefektif Rosen Morse II ................

68

Gambar 4.8

GrafiksimulasiFungsiGelombangDasar

Potensial

Rosen

MorseII ................................................................................ Gambar 4.9

GrafiksimulasiFungsiGelombangTingkat Pertama Potensial Rosen Morse II ......................................................

Gambar 4.10

72

GrafiksimulasiProbabilitas Gelombang Dasar Potensial Rosen MorseII .....................................................................

Gambar 4.11

70

73

GrafiksimulasiProbabilitas Gelombang Tingkat Pertama Potensial Rosen Morse II ...................................................... commit to user

xiii

76


digilib.uns.ac.id

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1

UraianLengkapAljabar Gendenshtein

Dari

II

Halaman PotensialGendenshtein I, 87

Dan

Rosen

Morse

DenganMetodeHypergeometry ..................................................................... Lampiran 2

GrafikPotensialEfektif,

FungsiGelombang,

Dan 101

KerapatanProbabilitasDenganPemograman Delphi 7.0 .... Lampiran 3

Simulasi Potensial Gendenshtein dan Rosen Morse II ......... 126

commit to user

xiv


digilib.uns.ac.id

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pada akhir abad 19 sampai awal abad 20 terjadi suatu krisis dalam kancah fisika. Serangkaian hasil-hasil eksperimen ternyata tidak dapat ditelaah secara memuaskan dengan fisika klasik (mekanika klasik, termodinamika, teori elektromagnetik) yang dianggap sudah terumus kokoh dan mantap pada waktu itu.Konsep-konsep baru dan berbeda dengan fisika klasik mulai diperlukan untuk menjelaskan hasil-hasil eksperimen tersebut. Masalah-masalah yang dimaksud di atas muncul terutama pada objekobjek fisis yang berukuran "kecil" (mikroskopik, atomistik), seperti partikelpartikel elementer dan atom serta interaksinya dengan radiasi atau medan elektromagnetik. Perbedaan-perbedaan dalam eksperimen fisika mula-mula dapat diatasi dengan postulat-postulat dan hipotesis-hipotesis. Akan tetapi karena jumlahnya semakin banyak dan persoalannya dipandang mendasarmaka fisikawan terdorong untuk melakukan penyempurnaan, dan perubahan pada formulasi dan konsep-konsep fisika. Hasilnya adalah konsep yang dinamakan "Mekanika Kuantum". Mekanika kuantumadalah suatu teoriuntuk mendeskripsikan perilaku partikel-partikel kecilseperti elektron, proton, neutron, inti atom, atom, dan molekul (Donald D. Fitts, 2002). Atom biasanya digambarkan sebagai sebuah sistem di mana elektron (yang bermuatan listrik negatif) beredar seputar nukleus atom

(yang

bermuatan commit to user

1

listrik

2 digilib.uns.ac.id


positif)(http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kuantum).

Menurut

mekanika

kuantum, ketika sebuah elektron berpindah dari tingkat energi yang lebih tinggi (misalnya dari n=2 atau kulit atom ke-2 ) ke tingkat energi yang lebih rendah (misalnya n=1 atau kulit atom tingkat ke-1) makaelektron akan menyerap energi berupa paket-paket energi yang disebut foton. Implikasi mekanika kuantum sangat luas terhadap perubahan peradaban manusia. Penjelasan tentang atom, molekul dan zat padat telah melahirkan material semikonduktor, laser, dan chips mikroskopis yang menghasilkan akselerasi kemajuan di bidang teknologi dan informasi(Donald D. Fitts, 2002). Implikasi filosofis fisika kuantum lebih dasyat diantaranya tentang prinsip ketidakpastian Heisenberg

dan participating observer (hasil eksperimen

tergantung pada pengamat dan suatu realitas tidak akan terjadi sebelum benarbenar diamati) sehingga pada dunia subatomik, hukum fisika tidak lagi merupakan suatu kepastian, tetapi gerak partikel diatur oleh konsep probabilitas. Jadi, mekanika kuantum mencakup sebagian besar dari ilmu pengetahuan modern dan teknologi. Sejak abad kedua puluh, para ilmuwan fisika telah mengembangkan teori kuantum.Sejak itu, muncul ilmu fisika kuantum yang dipelopori oleh Bohr, Heisenberg, Schrodinger dan teori relativitas yang diungkapkan Einstein. Pada tahun 1926,E.Schrodinger menyatakan bahwa perilaku elektron, termasuk tingkattingkat energi elektron yang diskrit dalam atom mengikuti suatu persamaan diferensial untuk gelombang (Beiser, 1992). Persamaan diferensial tersebut kemudian dikenal dengan persamaan Schrodinger. Persamaan Schrodinger commit to user

3 digilib.uns.ac.id


sekarang menjadi tulang punggung dalam memahami fenomena kuantum secara konsepsional dan matematika. Persamaan Schrodinger untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial yang mana energi potensialnya merupakan fungsi posisi dapat dianalisis dengan cara penyelesaian langsung dan tidak langsung. Penyelesaian persamaan schrodinger secara langsung yaitu dengan mereduksi persamaan Schrodinger menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi khusus seperti fungsi Hermite, Legendre, Laguerre, hypergeometric atau confluent hypergeometric. Pengubahan persamaan Schrodinger menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi khusus tersebut yaitu dengan substitusi variabel yang sesuai. Namun diantara fungsifungsi tersebut, hanya persamaan diferensial fungsi hypergeometry atau confluent hypergeometry (H-CH) yang mempunyai bentuk penyelesaian paling umum karena persamaan diferensial fungsi yang lain dapat direduksi menjadi persamaan diferensial H-CH. Sedangkan penyelesaian persamaan schrodinger dengan cara tidak langsung yaitu melalui pendekatan operator supersimetri (SUSY), Wentzel, Kramers,

Brillouin

(WKB)

dan

Supersimetry

Wentzel,

Kramers,

Brillouin.(SWKB). Penyelesaian persamaan Schrodinger secara langsung dari sistem partikel dapat menentukan energi dan fungsi gelombang suatu sistem partikel yang digunakan untuk mendiskripsikan perilaku sekelompok partikel. Dalam dua dasa warsa terakhir, para ilmuwan dalam bidang mekanika kuantum membahas tentang penyelesaian persamaan schrodinger untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial “shape invariance” yang dapat diselesaikan secara eksak. Beberapa commit to user

4 digilib.uns.ac.id


potensial tersebut seperti potensial Coulomb, osilator harmonik tiga dimensi bagian radial, Morse, Rosen Morse, Manning Rosen, kelompok Poschl-Teller, kelompok Gendenshtein, Symmetrical Top, Eckart, dan Kepler dalam sistem hypersphere, yang mana kelompok shape invariant ini mempunyai energi potensial yang fungsinya tidak cukup sederhana (S. Meyur and S. Debnath, 2009). Meyur

(2008)

menganalisis

scarf

potensial

(potensial

Gendenshtein)

menggunakan metode Nikivorov-Uvarov. Hasil analisis diperoleh persamaan fungsi gelombang dan tingkat energi sistem. Selain menganalisis secara analitik, Meyur juga mensimulasikan grafik dari potensial efektif.Penelitian serupa juga dilakukan oleh Akpan (2005) yang menganalisis potensial Rosen Morse II menggunakan metode Nikivorov-Uvarov dan Kleinert (1991) yang juga menganalisis potensial Rosen Morse II tetapi menggunakan sommerfeld watson transformation. Berdasarkan penelitian-penelitian tersebut, dilakukan penelitian lanjutan dengan menganalisispotensial kelompok Gendenshtein dan Rosen Morse II. Dipilihnya potensial Gendenshtein dan potensial Rosen Morse II dalam kajian tesis ini dikarenakan potensial tersebut merupakan potensial hiperbolik yang mempunyai peranan penting dalam sistem atomik, molekuler, dan chemical physics yang dapat digunakan untuk menjelaskan getaran molekul dan untuk menentukan spektrum energi pada sistem linier dan non linier. Selain itu, potensial Rosen Morse adalah salah satu potensial yang digunakan untuk menguraikan

fungsi

eigen

dan

spektrum

energipada

ChromodynamicsQuantum(Akpan dan Louis, 2010). Persamaaan Schrodinger commit to user

5 digilib.uns.ac.id


yang dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein dan potensial Rosen Morse II akan dianalisis

menggunakan

metode

hypergeometry.

Persamaan

diferensial

fungsihypergeometry diaplikasikan untuk pemecahan persamaan gelombang dan spektrum

energi

dari

potensial-potensial

tersebutdikarenakan

fungsi

hypergeometrydengan shape invariance memberikan hasil secara eksak dan merupakan metode yang lebih mudah daripada pemecahan dengan persamaan Schrodinger (Patricio Cordero, 1994). Penyelesaian persamaan schrodinger dengan fungsi hypergeometryyaitu dengan cara mensubstitusikan variabel ke dalam persamaan Schrodinger agar persamaan Schrodinger berubah menjadi persamaan

diferensial

orde

dua

fungsi

hypergeometry

atau

confluent

hypergeometry(S. Trachanas, 2011). Bila persamaan fungsihypergeometry telah diperoleh, tingkat-tingkat energi suatu sistem dan fungsi gelombang juga dapat diperoleh dengan mudah. Variabel baru yang disubstitusikan biasanya diperoleh dengan cara coba-coba, namun sekali dapat menemukan variabelbaru untuk suatu sistem, variabel baru untuk sistem yang lain dapat ditentukan dengan cara menebak yang lebih intelek dan terarah. Dalam

penelitian

metodehypergeometrysaja

ini, untuk

peneliti menganalisa

tidak

hanya

persamaan

menggunakan gelombang

dan

spektrum energi, namun peneliti juga mencoba untuk memvisualisasikan persamaan-persamaan yang diperoleh dari kajian analitik potensial-potensial tersebut dengan menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0.

commit to user

6 digilib.uns.ac.id


B. Perumusan Masalah Berdasarkan uraian dari latar belakang di atas, maka dapat dituliskan perumusan masalah sebagai berikut: 1.

Bagaimana analisis fungsi gelombang dan spektrum energi potensial Gendenshtein I, potensial Gendenshtein II, dan potensial Rosen Morse II menggunakan metodehypergeometry?

2.

Bagaimana bentuk visualisasi grafik potensial efektif Gendenshtein I menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0?

3.

Bagaimana bentuk visualisasi grafik potensial efektif, persamaan gelombang dan probabilitas (nilai harap) dari potensial Gendenshtein II dan Rosen Morse IImenggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0?

C. Tujuan Penelitian Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah : 1.

Mendeskripsikan hasil analisis fungsi gelombang dan spektrum energi potensial Gendenshtein I, potensial Gendenshtein II, dan potensial Rosen MorseII menggunakan metode hypergeometry.

2.

Mengetahui bentuk visualisasi grafik potensial efektif Gendenshtein I menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0.

3.

Mengetahui bentuk visualisasi grafik potensial efektif, persamaan gelombang dan probabilitas (nilai harap) dari potensial Gendenshtein II dan Rosen Morse II menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0. commit to user

7 digilib.uns.ac.id


D. Batasan Masalah Agar pembahasan masalah dalam penelitian ini lebih terarah maka peneliti membatasi permasalahan yang diajukan sebagai berikut : 1.

Potensial yang dianalisis yaitu potensial Gendenshtein I, Gendenshtein II dan Rosen Morse II.

2.

Metode penyelesaian persamaan schrodinger yang digunakan yaitu metode hypergeometry.

3.

Penyusunan program untuk analisis secara numerik fungsi gelombang potensial Rosen Morse II dibatasi untuk bilangan kuantum (n) = 1.

E. Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah : 1. Manfaat Teoritis a. Hypergeometry mekanika kuantum dapat dijadikan sebagai salah satu metode alternatif yang dapat digunakan untuk menentukan persamaan gelombang dan spektrum energi dari suatu potensial. b. Perumusan hypergeometry mekanika kuantum hanya menggunakan uraian aljabar biasa sehingga tidak terlalu sulit untuk dipahami, baik oleh mahasiswa tingkat awal sekalipun. c. Bahasa pemrograman Borland Delphi 7.0, yang merupakan bahasa visual, dapat digunakan sebagai suatu alat bantu untuk menganalisa grafik potensial, fungsi gelombang serta probabilitas (nilai harap). commit to user

8 digilib.uns.ac.id


2. Manfaat praktis Memberikan pengalaman penelitian dalam bidang simulasi dari partikel atomik dengan menggunakan bahasa pemrograman Delphi 7.0. Selain itu, dapat digunakan untuk mengkaji sifat partikel atom yang bermanfaat juga untuk pengembangan bidang lain yang terkait dengan potensialGendenshtein dan Rosen Morse II.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB II KAJIAN TEORI, KERANGKA BERPIKIR DAN HIPOTESIS A. Kajian Teori 1.

Fungsi Hypergeometry Persamaandiferensialordeduafungsihypergeometry

yang

diusulkanolehGau(Greiner, 1989) dinyatakansebagai ǂ

1−

ǂ.

+

− ( + 0 + 1)

ǂ

ǂ.

− 0Φ = 0 (2.1)

Persamaan (2.1) mempunyaiduabuahtitikreguler singular yaitu di titikz = 0 dan z =1, tetapi bukan merupakan singularitas yang mendasar. Parameterparameter , 0, nǴ

merupakan bilangan real. Dengan membuat perubahan yang

tepat dari variabel bebas dan variabel terikat, beberapa persamaan diferensial orde dua dengan dua buah titik regular singular dapat ditansformasikan ke dalam persamaan hypergeometry (2.1). Karena penyelesaian di titik z = 0 lebihsederhanadaripadapenyelesaian

di

titik

z

=

1,

makamula-

muladipilihpenyelesaian di sekitartitik z = 0. Persamaan (2.1) diselesaikan dengan bentuk deret di sekitar titik z = 0 yaitu Φ=

Ė

∑

(2.2)

Persamaan (2.2) merupakan solusi persamaan (2.1) di sekitar titik z = 0 yang dinyatakan dalam bentuk deret dengan s dan n merupakanorde dari z dan n merupakan bilangan bulat. Persamaan (2.2) kemudian dimasukkan ke dalam persamaan (2.1) dan ditemukan hubungan commit to user

9

10 digilib.uns.ac.id


− 0Φ = − 0(

Ė

Ė

+

+

nΦ n

− + 0+ 1

Ė

Ė

= ( − + 0 + 1 )( +

n Φ = ( − n

1−

− 0

Ė

+ ⋯)

+

Ė

+

1 − + 3

+

Ė

2

+

− 0 +

+

Ė

+ 2 − ( + 2)

+

− 1

+ 1

Ė

+

Ė

+

Ė

+ 2

− 1

+ 1

Ė

+

−

+

− 1

−2

Ė

Ė

− 0 +

+ 1

+ ⋯ Ė

+

Ė

+

+ 1

−1

+ 1

+

+

+ 1

+ ⋯

+ 2

+2

Ė

+

+ 2

Ė

Ė

(2.3)

+ 1 − + 0+ 1 + + 1 +

+ 3 − + 0+ 1

+ ⋯= 0

Ė

+ 1 2

+ ⋯ = 0

+ 2 − + 0+ 1

− 0 +

Ė

+ ⋯)

+ 1 1

+ 4 Ė

+ ⋯)

+

+ 4

− 1 0

)(

+ 3

+

+

+

− + 0+ 1

+

Ė

Ė

+ 3

Ė

+

+ 2

+ 2 +

+ 1 − +

(2.4)

Persamaan (2.4) merupakan persamaan identitas sehingga koefisien dari masing-masing suku z pangkat tertentu harus dinolkan dan dapat dijabarkan sebagai berikut. commit to user



Untuk zs-1 : (csa0 + s ( s - 1) a0 ) = 0 atau sa0 (c + ( s - 1)) = 0 yang tidak lain adalahmerupakan “index equation” yang memberikan harga s = 0atau s=1 - c

(2.5a) (Arfken and Weber, 2005)

Untuk zs : − 0 +

+ 1 − + 0+ 1 +

1) ) = 0atau − 0 − + 0 + 1 + 1

=

(Ė

= 0, maka diperoleh

(Ė

Ė

)(

Ė)

=

(Ė

=

(Ė

+ 1 − Ė

(Ė

atau =

(Ė

)(Ė

)(Ė

)(

Ė

Ė

)

)

− 1

(Ė

)(Ė

(Ė

)(

(− 0 +

zs+1:

Untuk + 2

)

−

)

Ė)

+

+ 1 − ( −

+ 1 +

(2.5b)

+ 2 − + 0+ 1

+ 1 = 0 sehingga diperoleh )

)

=

(Ė

(Ė

+ 1 +

atau

)(Ė

)(Ė

)(Ė

)(Ė

)(Ė

)(

Ė

)

)

(2.5c)

Dari pembahasan kedua koefisien di atas dapat digeneralisasikan bahwa

=

+

+ 1+ + 0 + 1 + 2 +

+ 1 + 0 . . . ( + Ǵ − 1 + )( + Ǵ − 1 + 0) + + 1 …. + Ǵ + Ǵ− 1 + )

(2.5d) Berdasarkan “index equation” diperoleh dua macam harga s=0 atau s=1-c. Untuk s = 0, persamaan (2.5d) menjadi commit to user



…(

=

…( )(

…

=

…

.( )(

)(

)

)

)…(

atau )

. !

(2.5e)

Jadi, bentuk penyelesaian PD Hypergeometry yang dinyatakan pada persamaan (2.1) adalah , 0; ;

Dimana

= Φ

(, 0, ; )

= ∑

dikenal

= ∑

sebagai

(2.6)

!

fungsi

hypergeometry atau

deret

hypergeometry dengan

= + 1 + 2 + 3 … … . . + Ǵ − 1 dan

= 1

(2.7) (Griffiths, 1995)

Penyelesaian di atas mempunyai harga bila semua penyebut dari deret tersebut tidak nol, maka c≠ -n, dimana n = 0, 1, 2, 3, 4, ...... Jika a = -n atau b = -n,

(2.7a)

sehingga bentuk penyelesaian yang berupa deret menjadi terputus sehingga diperoleh penyelesaian yang berhingga yaitu polynomial pangkat n. Dari kondisi yang dinyatakan pada persamaan (2.7a) dapat diperoleh tingkat energi sistem.

2.

Persamaan Schrodinger Persamaan Schrodinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan

commit to user untuk memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Suatu



persamaandiferensial akan menghasilkan pemecahan yang sesuai dengan fisika kuantum. Aplikasi persamaan Schrodinger dalam banyak hal akan berkaitan dengan energi potensial, yaitu besaran yang merupakan fungsi posisi dan tidak merupakanfungsi waktu. Perhatian kita tidak tertuju pada keberadaan elektron dari waktu kewaktu, melainkan tertuju pada kemungkinan dia berada dalam selang waktu yangcukup panjang. Jadi jika faktor waktu dapat dipisahkan dari fungsi gelombang,

makahal

itu

akan

menyederhanakan

persoalan.

Persamaan

Schrodinger satu dimensi dan persamaan gelombang sebagai berikut. −

ℎ

9

9

+

Ze =

Ze

Dalam ungkapan ini

(2.8) merupakan massa partikel,

bebas waktu, e merupakan posisi partikel dan

merupakan potensial

merupakan energi. Dengan

persamaan Schrodinger bebas-waktu (2.8) maka fungsigelombang yang dilibatkan dalam persamaan ini juga fungsi gelombang bebas-waktu, Z(e). Dari persamaan bentuk gelombang komposit untuk elektron = (e)

e,

9

dengan

e,

= ∑

9

(2.9)

Dari persamaan (2.9) dapat ditentukan bentuk Z(e) sebagaiZ e = 9

, dengan

adalah paket gelombang

dan A(x) adalah selubung

paket gelombang, untuk mencari solusi persamaan Schrodinger. Persamaan Schrodinger adalah persamaan gelombang dan gelombang sebagai representasi elektron atau partikel. Mencari solusi persamaan Schrodinger adalah untuk memperoleh fungsi gelombang yang selanjutnyadigunakan untuk melihat commit to user



bagaimana perilaku atau keadaan elektron. Hubungan antaramomentum p dan energi E dengan besaran-besaran gelombang( , , , )adalah = ℎ = ℎ

= ℎ = ℎ

3.

=

(2.10) (2.11)

Fungsi Gelombang Persamaan Schrodinger adalah persamaan diferensial parsial dengan

Zadalah fungsi gelombang, dengan pengertian bahwa Z ∗ Znengn

(2.12)

Persamaan (2.12) adalah persamaan yang menyatakan probabilitas

keberadaan elektron pada waktu t tertentu dalam volume dx dy dz di sekitar titik (x, y, z),Z ∗ adalah konjugat dariZ. Jadi persamaan Schrodingertidak menentukan posisi

elektron

melainkan

memberikan

probabilitas

bahwa

elektron

akanditemukan di sekitar posisi tertentu. Selain itu, juga dapat dikatakan secara pastibagaimana elektron bergerak sebagai fungsi waktu karena posisi dan momentumelektron dibatasi oleh prinsip ketidakpastianHeisenberg. Dalam kasus satu dimensi dengan bentuk gelombang Z e = Maka Z ∗ Z =

2sin ( C

̊(

9

e

9

)

)

9

∗

danZ e =

commit to user

2sin ( e

9

)

9

(2.13)



C

̊(

9

)

pada (2.13) adalah selubung paket gelombang yang merupakan

fungsi x sedangkan A0memiliki nilai konstan. Jadi selubung paketgelombang itulah yang menentukan probabilitas keberadaan elektron. Persyaratan fungsi gelombang Z e hasil solusi persamaan Schrodinger

mempunyai arti fisis. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai berikut. 1.

Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh karena itufungsi gelombang (untuk satudimensi) harus memenuhi

2.

Z ∗ Zdx = 1.

Fungsi gelombang Z x , harus kontinyu sebab jika terjadi ketidak-kontinuan,

halitu dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang tidak dapatditerima. 3.

Turunan fungsi gelombang terhadap posisi,

, juga harus kontinu. Turunan

fungsi gelombang terhadap posisi terkait denganmomentumelektron sebagai gelombang. Oleh karena itu persyaratan ini dapatdiartikan sebagai persyaratan kekontinuan momentum. 4.

Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak akan berartiada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron.

5.

Fungsi

gelombang tidak

sebabkemungkinan

boleh

elektron

sama dengan

haruslah

(Greiner,1989).

4.

Nilai Harap (Probabilitas) commit to user

nyata,

nol

disemua posisi

betapapun

kecilnya



Max Born memperkenalkan suatu cara untuk menginterpretasikan secara statistik fungsi gelombang yang menggambarkan suatu potensial dari suatu partikel yaitu medan pemandu sebagai sebuah penginterpretasian dari fungsi gelombang. Ide dari Max Born sebenarnya telah dimulai oleh Einstein yang disebut “Ghosfield”. Medan pemandu merupakan fungsi skalarZdari koordinat semua partikel dan waktu. Berdasarkan ide dasarnya, pergerakan dari suatu partikel ditentukan hanya dengan hukum kekekalan energi dan hukum kekekalan momentum dan oleh kondisi batas yang bergantung pada peralatan-peralatan eksperimen. Kebolehjadian dari suatu partikel akan mengikuti bagian-bagian tertentu yang diberikan oleh intensitas, yaitu harga mutlak kuadrat dari medan pemandu. Dalam kasus pada penelitian ini, diartikan bahwa besarnya potensial dari suatu partikel ditentukan pada setiap titik kebolehjadian ditemukannya partikel (Serway dan Jewet, 2010:331). Kuadrat dari amplitudo fungsi gelombang Z adalah intensitas. Hal ini

seharusnya untuk menentukan kebolehjadian ditemukannya suatu partikel pada tempat-tempat tertentu. Sejak Z diperbolehkan sebagai bilangan kompleks, dimana kebolehjadian selalu real, maka tidak didefinisikan Z untuk pengukuran intensitas, tetapi menggunakan persamaan |Z| = ZZ ∗

(2.14)

Dimana Z ∗ adalah konjugate kompleks dari Z. n7 e, g, ,

menjadi

kebolehjadian dari penemuan partikel dalam volume tertentu dari suatu elemen n = ne ng n pada waktu . Berdasarkan penginterpretasian statistik dari fungsi gelombang, mengikuti hipotesis yang telahtodisetujui yaitu commit user



n7 e, g, ,

= |Z(e, g, , )| n

(2.15)

Untuk memperoleh besaran yang tidak bergantung dari volume, maka diperkenalkan suatu persamaan yang berhubungan dengan probability density yaitu

5.

e, g, ,

=

ǂ

= |Z(e, g, , )|

ǂ

(2.16)

Energi Potensial Energi potensial adalah bentuk energi yang dimiliki oleh suatu partikel,

benda atau sistem akibat posisinya dalam ruang parameter atau akibat konfigurasinya (Lily Maysari, 2010:28). Energi dalam bentuk ini membuat partikel, benda atau sistem tersebut memiliki kecendrungan untuk berubah keadaannya (posisi atau konfigurasinya) dari keadaan dengan suatu energi potensial tertentu menjadi keadaan dengan energi potensial yang lebih rendah atau lebih tinggi. Ke arah mana kecenderungan tersebut menuju tak lain terkait dengan arah

dari

gaya

yang

ditimbulkan

dari

energi

potensial

tersebut

(www.wikipedia.com). a.

Potensial Gendenshtein I Potensial Gendenshtein I merupakan potensial fungsi sinus hiperbolik dan

secans kuadrat hiperbolik. Potensial Gendenshtein ini banyak diaplikasian dalam ilmu fisika yaitu pada elektrodinamika dan fisika zat padat untuk teori partikel. Pada fisika zat padat, potensial Gendenshtein I digunakan dalam mengkonstruksi potensial periodik dalam kristal(Castillo, 2007). Energi potensial partikel yang dipengaruhi oleh potensialGendenshtein Idapatdituliskansebagaiberikut (Castillo, 2007): commit to user



ℎ

aa=

(

2Ė 9

)

+

(

ℎ

)C

2Ė 9

̊ú 9

(2.17)

Persamaan Schrodinger untuk potensial Gendeshtein I dapat dinyatakan sebagai −

ℎ ǂ

ℎ

+

ǂ9

2Ė 9

+

(

ℎ

)C

2Ė 9

̊ú 9

Z=

Z

(2.18)

Persamaan (2.18) dapat diubah menjadi persamaan diferensial orde dua

fungsi hypergeometry dengan cara melakukan substitusi variabel secara tepat. Pemisalan variabel untuk persamaan (2.18) adalah ℎeǴ = (1 − 2 )

(2.19)

Substitusi varabel ini (2.19) terinspirasi dari pengubah variabel pada

formula SUSY WKB (A.

Inomata, A. Suparmi , and S Kurth: 1991) dan

pengubahan persamaan shcrodinger untuk potensial Poschl-Teller I (Flugge, Siegfried: 1994). b. Potensial Gendenshtein II Potensial Gendenshtein II merupakan potensial fungsi cosinus hiperbolik dan invers sinus kuadrat hiperbolik. Potensial hiperbolik ini dapat digunakan untuk menjelaskan gaya antar atom maupun antar molekul. Energi potensial partikel yang dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein II dinyatakan sebagai (Castillo, 2007): aa=

ℎ

Ė

9

−

ℎ

(

Ė

)

9

Cú 9

commit to user

(2.20)



Persamaan

Schrodinger

untukpotensialGendenshtein

II

dapatdinyatakansebagai

−

ℎ ǂ Z ǂ9

+

ℎ

Ė

9

−

(

ℎ

Ė

)

9

Cú 9

Z= Z

(2.21)

Persamaaan shcrodinger yang dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein II terdiri dari fungsi cosinus hiperbolik dan cosecans kuadrat hiperbolik, maka agar persamaan schrodinger (2.21) hanya terdiri dari satu fungsi dilakukan pengubahan variabel dengan mensubstitusikan variabel yang sesuai. Variabel yang akan disubstitusikan ke dalam persamaan (2.21) adalah coshx =1-2z makasinh x= 2 c.

( − 1)

(2.22)

Potensial Rosen Morse II Potensial Rosen Morse terdiri dari potensial Rosen Morse I dan II.

Potensial Rosen Morse I merupakan potensial trigonometri yang terdiri dari cosecan kuadrat dan cotangen sedangkan potensial Rosen Morse II merupakan potensial hiperbolik yang terdiri dari fungsi secans kuadrat hiperbolik dan tangen hiperbolik. Potensial Rosen Morse II ini mempunyai peranan yang penting dalam atomik, molekuler, dan chemical physics. Potensial ini dapat digunakan untuk menjelaskan getaran molekul dan untuk menentukan spektrum energi pada sistem linier maupun non linier. Selain itu, potensial Rosen Morse II juga merupakan salah satu potensial yang digunakan untuk menjabarkan fungsi eigen dan spektrum energi dalam chromodynamics kuantum (Ikot, 2010). commit to user



Energi partikel yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse dinyatakan sebagai (Ikot, 2010): aa=

−

ℎ

(

)

2Ė 9

Persamaan

− 2

Ǵ ℎe

(2.23) Schrodinger

untukpotensialRosen

Morsedapatdinyatakansebagai: −

ℎ ǂ Z ǂ9

−

ℎ

2Ė 9

− 2

Ǵ ℎe Z =

Z

(2.24)

Variabel yang akan disubstitusikan ke dalam persamaan (2.24) adalah

Ǵ ℎe = 1 − 2

6.

(2.25)

Borland Delphi 7.0 Delphi

adalahsebuahbahasapemrogramandanlingkunganpengembanganperangkatlunak.Pr odukinidikembangkanoleh

Borland.Denganmenggunakanperangkatlunakini,

dapatdibangunberbagaiaplikasiwindows (permainan, multimedia, database, dan lain-lain)

dengancepatdanmudah.Denganpendekatan

dapatdiciptakanaplikasicanggih, karenatidakperlulagimenuliskankode

visual,

mempersingkatwaktupemrograman, program

yang

rumitdanpanjanguntukmenggambar, meletakkandanmengaturkomponen.Keunggulanbahasapemrogramandelphiterletak padaproduktivitas,

kualitas,pengembanganperangkatlunak,kecepatankompilasi,

poladesain yangmenarik yang menariksertadiperkuatdenganpemrogramannya commit to user yang terstruktur. Keunggulan lain dari Delphi



adalahdapatdigunakanuntukmerancang program aplikasi yang memilikitampilan program

aplikasi

lain

yang

berbasiswindows.Delphi

menyediakancukupbanyakpilihankomponeninterfaceaplikasi,

antara

lain

berupatombol menu, drop down, ataupunmenu pop up, kotaktext, radio button, check box, dansebagainya. Delphi

termasukdalambahasatingkattinggi

(high

level

language),

dimanaperintah-perintahdalamprogramnyamenggunakanbahasa mudahdipahamiolehmanusiadandapatdilakukansecara tinggalmemilihobjek

yang

yang

visual.Programmer

ingindimasukkankedalamformatauwindow,

selanjutnyatingkahlakuobjeksaatmenerimaeventatauaksidisusunprogramnya. Program Delphi dikenaldengannama IDE (Integrated development Environment),

yaitulingkunganpengembanganaplikasi

yang

terpadu.

MelaluiIDEinidibangunaplikasi-aplikasidarimerancangtampilanuntukpemakai (antarmukapemakai),menuliskankodesampaimencaripenyebabkesalahan (debugging).IDE (Integrated Development Environment) pada program Delphi terbagimenjadidelapanbagianutama, yaitu: Main Window, ToolBar, Component Palette, Form Designer, Code Editor, Object Inspector, Code Explorer, Object TreeView.

commit to user



Gambar 2.1 Lembar Kerja Borland Delphi

Main

Windowadalahbagiandari

samadengansemuafungsiutamadari

IDE

program

yang

mempunyaifungsi

aplikasi

Windows

yang

lainnya.

Jendelautama Delphi terbagimenjaditigabagian, yaitu: Main Menu, Toolbar danComponenPallete.Toolbarterletakpadabagianbawahbaris

menu.Delphi

memilikibeberapa toolbar yang masing-masing memiliki perbedaan fungsi dan setiap tombol pada bagian toolbar berfungsi sebagai pengganti suatu menu perintah yang sering digunakan.Component Paletteberisikumpulanikon yang melambangkankomponen-komponen yang terdapatpada VCL (Visual Component Library).PadaComponen Paletteterdiri daribeberapapage controlsepertistandart, additional, win32, system, dataaccess.Form Designermerupakansuatuobjek yang dapat dipakai sebagai tempat untuk merancang program aplikasi. Form berbentuksebuahmejakerja yang dapatdiisidengankomponen-komponen yang diambildariComponent

Palette.Code

Editormerupakantempatuntukmenuliskankode

program.

Object

Inspectordigunakanuntukmengubahpropertiataukarakteristikdarisebuahkomponen yang

terdiridaridua

tabyaitupropertiesdanevents.

Code

Explorermerupakanlembarkerjabaru yang terdapat di dalam Delphi7 yang tidakditemukanpadaversi-versisebelumnya.Code commit to user Explorerdigunakanuntukmemudahkanpemakaiberpindahantar

file

unit

yang



terdapat di dalamjendelacode editor. Object TreeViewmenampilkan diagram pohondarikomponen-komponen yang bersifat visual maupun nonvisual yang telahterdapatdalam

form,

data

module,

atau

frame

sertamenampilkanhubunganlogikaantarkomponen (Jaja, 2010).

B. Kerangka Berpikir 1.

Energi potensial merupakan energi diam dari suatu partikel. Banyak macam dari energi potensial partikel yang telah dikenal. Potensial-potensial tersebut dikelompokkan ke dalam potensial yang invarian dan tidak invarian. Potensial invarian diartikan juga potensial simetri yang menggambarkan suatu sistem yang bertranslasi atau berotasi dalam ruang. Adapun potensial yang termasuk kelompok invarian di antaranya osilator harmonik tiga dimensi, potensial Coulumb, Rosen Morse, Gendenshtein, Eckart, Simetrikal top, Poschl Teller, Poschl Teller termodifikasi dan potensial Manning Rosen. Sedangkan potensial tidak invarian di antaranya potensial periodik dan Diract. Pada buku Practical Quantum Mechanicsada beberapa potensial dapat diubah ke persamaan hypergeometry, di antaranya osilator harmonik, dan potensial poschl teller. Persamaan hypergeometry merupakan persamaan diferensial yang digunakan untuk menentukan spektrum energi dan fungsi gelombang dari suatu sistem partikel. Karena persamaan hypergeometry mempunyai bentuk penyelesaian paling umum sehingga diduga semua jenis potensial dapat diselesaikan menggunakan metode hypergeometry baik potensial yang invarian maupun yang tidak invarian. commit to user



2.

Permasalahan-permasalahan dalam bidang fisika dapat digambarkan dalam bentuk

persamaan

matematika.

Persamaan-persamaantersebut

dapat

diselesaikansecara analitis. Untuk lebih memahami arti secara fisis dari suatu persamaan matematik diperlukan visualisasi menggunakan simulasi komputasi. Visualisasi dari persamaan-persamaan matematik tersebut telah banyak dilakukan dewasa ini. Banyak bahasa pemograman yang dapat digunakan untuk membuat simulasi grafik suatu persamaan matematik. Diduga semua persamaan

matematik dapat divisualisasikan menggunakan simulasi komputasi.

C. Hipotesis 1.

Diduga semua jenis potensial dapat diselesaikan menggunakan metode hypergeometry.

2.

Diduga semua persamaan matematik dapat divisualisasikan menggunakan simulasi komputasi.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB III METODE PENELITIAN

A. Lokasi dan Waktu Penelitian Waktu penelitian selama 8 bulan mulai dari bulan Oktober2011 sampai Mei 2012 dan penelitian dilakukan di Laboratorium Komputasi Fakultas MIPA Universitas Sebelas Maret. B. Alat dan Bahan Penelitian 1.

Alat penelitian Netbook Intel (R) Atom (TM) CPUN270 @ 1.6 GHz, 1GB DDR2,

software Delphi 7.0. 2.

Bahan penelitian Persamaan yang digunakan dalam kajian analitik dengan mengggunakan

metode hypergeometry dilengkapi dengan simulasi menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0 adalah sebagai berikut: a.

Potensial Gendenshtein I

1) Persamaan fungsi gelombang baru =

1−

( )

(3.1)

2) Persamaan substitusi parameter {. − k

{. + k

+

+

} +

} +

= −2

2 − 1

(3.2a)

= − 2 (2 − 1)

3) Persamaan perantara hypergeometry

commit to user

24

(3.2b)



2 + H

1−

2 H

−

+

+

H

+

H

= 0 (3.3)

4) Persamaan tipe hypergeometry ))

1−

+

2 +

)

− 2 + 2 + 1

+

5) Persamaan umum fungsi gelombang = (

ȬS

)

(

n

)

( ), .); ), )

6) Persamaan energi potensial

b.

"n = −

ℎ

− ( +

)

= 0(3.4)

(3.5)

( − Ǵ)

(3.6)

Potensial Gendenshtein II

1) Persamaan substitusi parameter +

+

− .

+ .

−

−

= 2 (2 − 1)

(3.7a)

= 2 (2 − 1)

(3.7b)

2) Persamaan perantara hypergeometry 1−

2 + H

−

2 H

+

−

{

H

}

−

{

(

}

H)

= 0(3.8)

3) Persamaan umum fungsi gelombang potensial Gendenshtein II =

c.

>Ė

(3.9)

>Ė

Potensial Rosen Morse II

1) Persamaan substitusi parameter 2 −

−2 −

= 4

= 4

(3.10a) commit to user

(3.10b)



7) Persamaan perantara hypergeometry 1−

2 + H

1− 2

2 H

+

( + 1) −

8) Persamaan tipe hypergeometry ))

1−

+ 1)

= 0

+

H

2 + 1 − 2 + 2 + 2

− )

(

H)

+

= 0

(3.11)

+ 1 − ( +

)( +

(3.12)

9) Persamaan umum fungsi gelombang potensial Rosen Morse II =

>

"n = −

ℎ

(

n) >Ė

n

(3.13)

10) Persamaan energi potensial Rosen Morse II n

+

C. Prosedur Penelitian

− Ǵ

(3.14)

Dalam penelitian ini metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan schrodinger dari masing-masing potensial tersebut di atas, yaitu metode hypergeometry. Adapun langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut: 1.

Penyelesaian persamaan schrodinger potensial Gendenshtein I a. Menggunakan persamaan potensial efektif Gendenshtein I (2.17). b. Memasukkan persamaan potensial (2.17) ke dalam persamaan schrodinger (2.8) sehingga menghasilkan persamaan schrodinger untuk potensial Gendenshtein I (2.18). c. Mengubah

persamaan

schrodinger

(2.18)

menjadi

persamaan

perantarahypergeometry(3.3) dengan cara mensubstitusikan variabel yang sesuai (2.19).

commit to user



d. Melakukan substitusi parameter (3.2a dan 3.2b) dan fungsi gelombang baru (3.1) sehingga persamaan perantara hypergeometry(3.3) berubah menjadi persamaan tipe hypergeometry (3.4). e. Membandingkan parameter persamaan fungsi hypergeometry (2.1) dengan persamaan tipe hypergeometry (3.4)sehingga diperoleh fungsi gelombang (3.5) dan tingkat energi sistem(3.6). f. Membuat

program

simulasi

potensial

Gendenshtein

I

dengan

menggunakan bahasa pemograman Delphi untuk menampilkan tabel tingkat energi, dan grafik potensial. g. Menganalisa hasil persamaan dan simulasi 2.

Penyelesaian persamaan schrodinger potensial Gendenshtein II a. Menggunakan persamaan potensial efektif Gendenshtein II (2.20). b. Memasukkan persamaan potensial (2.20) ke dalam persamaan schrodinger (2.8) sehingga menghasilkan persamaan schrodinger untuk potensial Gendenshtein II (2.21). c. Mengubah persamaan schrodinger (2.21) menjadi persamaan perantara hypergeometry (3.8) dengan cara mensubstitusikan variabel yang sesuai (2.22). d. Melakukan substitusi parameter (3.7a dan 3.7b) dan fungsi gelombang baru (3.1) sehingga persamaan perantara hypergeometry(3.8) berubah menjadi persamaan tipe hypergeometry (3.4).

commit to user



e. Membandingkan parameter persamaan fungsi hypergeometry (2.1) dengan persamaan tipe hypergeometry (3.4) sehingga diperoleh fungsi gelombang (3.9) dan tingkat energi sistem (3.6). f. Membuat

program

simulasi

potensial

Gendenshtein

II

dengan

menggunakan bahasa pemograman Delphi untuk menampilkan tabel tingkat energi, grafik potensial,grafik fungsi gelombang dan grafik probabilitas. g. Menganalisa hasil persamaan dan simulasi 3.

Penyelesaian persamaan schrodinger potensial Rosen Morse II a. Menggunakan persamaan potensial efektif hiperbolik Rosen Morse (2.23). b. Memasukkan persamaan potensial (2.23) ke dalam persamaan schrodinger (2.8) sehingga menghasilkan persamaan schrodinger untuk potensial hiperbolik Rosen Morse (2.24). c. Mengubah persamaan schrodinger (2.24) menjadi persamaan perantara hypergeometry(3.11) dengan cara mensubstitusikan variabel yang sesuai (2.25). d. Melakukan substitusi parameter (3.10a dan 3.10b) dan fungsi gelombang baru (3.1) sehingga persamaan perantara hypergeometry(3.11) berubah menjadi persamaan tipe hypergeometry (3.12). e. Membandingkan parameter persamaan fungsi hypergeometry (2.1) dengan persamaan

tipe

hypergeometry

(3.12)

sehingga

gelombang (3.13) dan tingkat energi sistem (3.14). commit to user

diperoleh

fungsi



f. Membuat program simulasi potensial hiperbolik Rosen Morse II dengan menggunakan bahasa pemograman Delphi untuk menampilkan tabel tingkat energi, grafik potensial, grafik fungsi gelombang dan grafik probabilitas. g. Menganalisa hasil persamaan dan simulasi D. Penjabaran Penyelesaian Persamaan Schrodinger untuk Potensial Gendenshtein I, Gendenshtein II dan Rosen Morse II Menggunakan Metode Hypergeometry. 1.

Penjabaran Penyelesaian Persamaan Schrodinger untuk Potensial Gendenshtein I Menggunakan Metode Hypergeometry Persamaan potensial efektif untuk Gendenshtein I adalah: ℎ

33=

>Ė

(

)

+

(

ℎ

>Ė

)ȬDS

(3.15)

Persamaan (3.15) dimasukkan ke persamaan schrodinger (2.8) sehingga

diperoleh persamaan schrodinger untuk potensial Gendeshtein I sebagai berikut. ℎ

−

+

ℎ

>Ė

Pemisalan variabel yaitu

+

ℎ

(

>Ė

)ȬDS

kǴ ℎ9 = k(1 − 2 )

eℎ9

= k

= "

(3.16)

(3.17)

9= − 2k

eℎ9 = 9 − 2k

H

(1 − )

eℎ 9 −

kǴ ℎ9= 1

(3.18) commit to user



eℎ 9 = 1 +

kǴ ℎ9

eℎ 9 = 1 + (k(1 − 2 )) eℎ 9 = 4 − 4 eℎ9 = 2 9 9

=

. 9

= k

= −

(1 − ) .

. 9

(1 − )

1−

(3.19)

k H

(1 − )

− ( − )

(3.20)

H

Penggunaan Persamaan (3.17) pada pemisalan variabel yang akan

disubstitusikan ke dalam persamaan Schrodinger untuk potensial Gendenshtein I dimaksudkan agar persamaan schrodinger dapat berubah menjadi persamaan perantara hypergeometry. Dengan mensubstitusikan persamaan (3.17), (3.18), (3.19) dan (3.20) ke dalam persamaan (3.16) serta memisalkan

ℎ

E = − k (3.20a)

maka diperoleh persamaan perantara hypergeometry sebagai berikut. 2 H

1−

+

−

2 + H

H

+

H

+

= 0

(3.21)

Persamaan (3.21) merupakan persamaan perantara hypergeometry yang mempunyai titik regular singular di titik z = 0 dan z = 1. Dengan mensubstitusikan harga z mendekati nol maka persamaan (3.21) berubah menjadi 1−

2 H

+

−

2 + H

H

= 0

(3.22)

Dimana {. − k

+

} +

= −2

2 − 1 maka =

(

commit to user

)

(3.23)



Dengan mensubstitusikan persamaan (3.23) ke persamaan (3.22) maka persamaan (3.22) menjadi 2 H

1−

+

2 + H

−

= 0

H

(3.24)

Penyelesaian persamaan (3.24) untuk harga z mendekati nol berbentuk

deret yang dinyatakan sebagai ∑~

≈ −

H

−

n

(3.25)

= −

2 H

1−

n

2 H

=

( + 2)( + 3)

(

H

=

−

1−

+

( (

+ ⋯)

+

− 1

+

+

+ 1 +

+ ( + 2) + 1

+ ⋯)

(3.25a) +

+ 3

+

⋯ ) (3.25b)

+ ( + 1)( + 2)

+

(3.25c)

Persamaan (3.25a), (3.25b), (3.25c) disubstitusikan ke dalam persamaan

(3.24) sehingga diperoleh persamaan identitas atau persamaan polynomial dalam z dimana dari harga koefisien untuk z terendah yang sama dengan nol menghasilkan index equation sehingga diperoleh dua harga s yaitu = ± ~

(3.26) Dan penyelesaian di sekitar titik z = nol dapat dinyatakan sebagai (3.27) Untuk z = 1 maka persamaan (3.21) menjadi

1−

2 H

.+ k

+

Dimana

+

− +

2 − H

H

= 0

commit to user )

= − 2 (2 − 1) maka =

(3.28)

(3.29)



Dengan

cara

yang

sama

seperti

pada

persamaan

(3.24)maka

penyelesaiannya dapat ditulis ~ 1 −

(3.30) Sehingga penyelesaian bentuk umum potensial Gendenshtein I dapat

dinyatakan sebagai =

1−

( )

(3.31)

Dengan menentukan turunan pertama dan kedua terhadap fungsi z

persamaan (3.31) dan mensubstitusikan ke persamaan perantara hypergeometry (3.21) maka diperoleh 3 H

1−

+

2 +

3 H

− (2 + 2 + 1)

+{

− ( +

) } = 0

(3.32)

Persamaan (3.32) merupakan persamaan tipe hypergeometry yang

penyelesaiannya dinyatakan sebagai ( ), .); ), )

=

dimana

)

=

+

+ , .) =

(3.33) +

− dan

)

= 2 +

,

+

= −

Persamaan (3.33) merupakan deret pangkat tinggi hypergeometry yang akan memberikan deret terbatas bila deret pada persamaan (3.33) terputus dan deret terputus pada derajat ke n bila )

= − Ǵatau. ) = − Ǵ

(3.34)

Bila pada persamaan (3.34) kita pilih a) = − n maka α + β + k = − n

sehingga diperoleh =

− Ǵ




Dengan mensubstitusikan persamaaan (3.35) ke persamaan (3.20a) maka diperoleh spektrum energi untuk potensial Gendenshtein I, yaitu

ℎ

2 "= − ℎ

" = − ( − Ǵ)

"n = −

ℎ

( − Ǵ)

(3.36)

Persamaan (3.36) mengandung variabel

dan Ǵ. Dengan

adalah

konstanta bilangan bulat yang menunjukkan kedalaman suatu partikel di dalam sumur potensial Gendenshtein, sedangkan Ǵ merupakan bilangan kuantum.

Persamaan gelombang untuk potensial Gendenshtein I diperoleh dengan

mensubstitusikan persamaan (3.17), (3.23), (3.29) ke persamaan (3.31) sehingga diperoleh

=(

n

) (

=(

n

) (

n n

)

n

)

=(

a.

ȬS

)

n

=

(

( ), .); ), )

)

(1 − )

( )

( ), .); ), )

( ), .); ), )

(3.37)

Persamaan Gelombang Tingkat Dasar Persamaan gelombang tingkat dasar diperoleh dengan penjabaran sebagai

berikut: )

, .); ) ,

= 1+

>

H !




)

Dimana )

= − Ǵ,

= − + , .′ = − − ,

′

= −

− Ǵ dan Ǵ = 0, maka

=

)

)

, .); ),

, .); ) ,

− k. +

= 1+

= 1+

1 2

,

n

Ǵ=

(− Ǵ)(−

,

dengan

− )

(− − k. + ) 1!

(0)(− 2 + Ǵ) 1 − k kǴ ℎ9 2 (− − k. + )

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat dasar sebgai berikut: = (

b.

ȬS

)

(

n

)

(3.39)

Persamaan Gelombang Tingkat Pertama Persamaan gelombang tingkat pertama diperoleh dengan penjabaran

sebagai berikut: ) )

Dimana )

= − Ǵ,

)

=

, .); ),

= 1+

)

= − + , .′ = − − ,

− Ǵ

, .); ),

Ǵ = 1, maka

= 1+

)

, .); ),

(− Ǵ)(−

)

′

1!

= −

(− − k. + ) 1!

= 1+ +

− )

.)

+

+

)

)

(

− k. +

+ 1). ) (. ) + 1) ) ) + 1 2!

1 2

,

Ǵ=

n

,

dengan

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− − )(− −

(− Ǵ)(− − ( − Ǵ)) (− − k. + )

− − k. +

− − k. +

1!

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− − ( − Ǵ))(− − ( − Ǵ) + 1) − − k. +

commit to user

+ 1)

− − k. +

2!

2!



)

, .); ),

= 1+ +

)

, .); ),

(− Ǵ)(− 2 + Ǵ)

(− − k. + ) 1!

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1) − − k. +

(− 1)(− 2 + 1)

= 1+ )

(− − k. + ) 1!

, .); ),

= 1+

− − k. +

2!

(− 1)(− 1 + 1)(− 2 + 1)(− 2 + 2)

+

− − k. +

− − k. +

(− 1)(− 2 + 1) 1 − k kǴ ℎ9 2 (− − k. + )

2!

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat pertama sebgai berikut: = (

c.

ȬS

)

(

n

)

(

1+

(

)(

)

)

n

(3.40)

Persamaan Gelombang Tingkat Kedua Persamaan gelombang tingkat kedua diperoleh dengan penjabaran sebagai

berikut: )

)

Dimana )

= − Ǵ,

)

, .); ),

= 1+ +

= − + , .′ = − − , =

− Ǵ

, .); ),

)

′

)

(

.)

)

)

+ 1)(

= −

Ǵ = 2, maka

= 1+ +

(− Ǵ)(−

− )

1!

+

(− − k. + ) 1!

)

− k. +

+

) )

(

)

+ 1). ) (. ) + 1) ) ) + 1 2!

+ 2). ) (. ) + 1)(. ) + 2) ) + 1 )+ 2 3!

1 2

,

Ǵ=

n

,

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− − )(− − − − k. +

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− − )(− − (− − k. + ) − − k. +

commit to user

− − k. +

+ 1)(− −

− − k. +

dengan

+ 1)

2!

+ 2)

3!



)

, .); ),

−Ǵ − −

= 1+

−Ǵ −Ǵ+ 1 − −

+

− − k. +

, .); ),

+

− −

− − k. +

− Ǵ + 1

− Ǵ )(− −

2!

− Ǵ + 1)(− −

− k. +

− − k. +

(− Ǵ)(− 2 + Ǵ)

(− − k. + ) 1!

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1) − − k. +

− − k. +

2!

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ + 2)

+ , .); ),

− Ǵ

(− − k. + ) −

= 1+

)

1!

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− −

+ )

− − k. +

− Ǵ

(− − k. + ) − − k. +

(− 2)(− 2 + 2)

= 1+

(− − k. + ) 1!

+ )

+

− − k. +

(− 2)(− 2 + 1)(− 2 + 2)(− 2 + 3) − − k. +

− − k. +

(− 2)(− 2 + 1)(− 2 + 2)(− 2 + 2)(− 2 + 3)(− 2 + 4) , .); ), +

(− − k. + ) − − k. + = 1+

− − k. +

(− 2)(− 2 + 2) 1 − k kǴ ℎ9 2 (− − k. + )

(− 2)(− 1)(− 2 + 2)(− 2 + 3) 1 − k − − k. +

− − k. +

8

2!

3!

kǴ ℎ9

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat kedua sebagai berikut: = (

ȬS

1+

)

(

(

)(

n

( )

)

)

n

+

( )(

_

)(

)

commit to user

n

(3.41)

3!

− Ǵ +



d.

Persamaan Gelombang Tingkat Ketiga Persamaan gelombang tingkat ketiga diperoleh dengan penjabaran sebagai

berikut: )

, .); ), +

)

Dimana )

= − Ǵ,

)

+

− Ǵ

, .); ),

.) )

)

(

)

+ 1)(

)

)

(

)

+ 1)(

)

)

= − + , .′ = − − , =

)

= 1+

′

= −

+ + )

(− Ǵ)(−

− )

+ 1). ) (. ) + 1) ) ) + 1 2!

− k. +

+

1 2

,

Ǵ=

n

,

dengan

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− − )(− − − − k. +

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− − )(− − (− − k. + ) − − k. + (− − k. + ) −

+

− k. +

+ 1)

− − k. +

+ 1)(− −

− − k. +

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− Ǵ + 3)(− − )(− −

= 1+

+

)

(

+ 2)( ) + 3). ) (. ) + 1)(. ) + 2)(. ) + 3) ) ) + 1 )+ 2 )+ 3 4!

(− − k. + ) 1!

, .); ),

+

)

+ 2). ) (.) + 1)(. ) + 2) ) + 1 )+ 2 3!

Ǵ = 3, maka

= 1+

1!

+

2!

+ 2)

3!

+ 1)(− −

− − k. +

+ 2)(− −

− − k. +

(− Ǵ)(− 2 + Ǵ)

(− − k. + ) 1!

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1) − − k. +

− − k. +

2!

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ + 2) (− − k. + ) − − k. +

− − k. +

3!

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− Ǵ + 3)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ + 2)(− 2 (− − k. + ) −

commit to user

− k. +

− − k. +

− − k. +



)

, .); ),

(− 3)(− 2 + 3)

= 1+

(− − k. + ) 1! +

)

(− 3)(− 3 + 1)(− 2 + 3)(− 2 + 4) − − k. +

− − k. +

(− 3)(− 2)(− 1)(− 2 + 3)(− 2 + 4)(− 2 + 5)

, .); ), +

+

+

(− − k. + ) − − k. + = 1+

− − k. +

(− 3)(− 2 + 3) 1 − k kǴ ℎ9 2 (− − k. + )

(− 3)(− 2)(− 2 + 3)(− 2 + 4) 1 − k − − k. +

− − k. +

8

2!

3!

kǴ ℎ9

(− 3)(− 2)(− 1)(− 2 + 3)(− 2 + 4)(− 2 + 5) 1 − k kǴ ℎ9 48 (− − k. + ) − − k. + − − k. +

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat ketiga sebagai berikut: = (

ȬS

1+

(

2.

(

)

(

)(

(

)(

)

(

n

)

)(

)

)

n )(

+

( )(

)

n

)(

)

n

+

(3.42)

Penjabaran Penyelesaian Persamaan Schrodinger untuk Potensial Gendenshtein II Menggunakan Metode Hypergeometry Energi potensial partikel yang dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein II

dinyatakan sebagai ℎ

33=

n

−

ℎ

(

n

) ȬS

(3.43)

Persamaan Schrodinger untuk potensial Gendenshtein II dapat dinyatakan sebagai commit to user



−

ℎ 2

ℎ

+

ℎ

−

n

(

n

) ȬS

= "

(3.44)

Variabel yang akan disubstitusikan ke dalam persamaan (3.44) adalah cosh x =1-2z makasinh x= 2

( − 1)

(3.45)

Dengan mensubstitusikan varibel ke dalam persamaan (3.45) maka

diperoleh bentuk umum sebagai berikut − 1

2 H

+

2 H

−

–

− 2.

H H

+

H H

H

= −

ℎ

"

(3.46)

Jika dimisalkan ℎ

"= −

(3.47)

dan karenaH( 1−

2 H

H)

+

=

H

−

+

H

, maka persamaan (3.46) menjadi

2 + H

−

{

H

}

−

{

(

}

H)

= 0 (3.48)

Persamaan (3.48) merupakan persamaan perantara hypergeometry yang mempunyai dua buah titik regular singular di titik z = 0 atau z = 1. Dengan menggunakan langkah yang sama seperti pada potensial Gendenshtein I maka penyelesaian umum untuk potensial Gendenshtein II dapat dinyatakan sebagai =

(1 − )

( )

(3.49)

Untuk z = 0 maka ψ~z (3.50a) dan untuk z = 1 maka ψ~(1 − z) (3.50b).

Dimana dilakukan substitusi parameter yang diperoleh dari index equation sebagai berikut

commit to user



{

+

− .} −

= 2 (2 − 1) dengan =

{

+

+ .} −

= 2 (2 − 1)dengan =

(3.51a)

(3.51b)

Dengan menentukan turunan pertama dan kedua terhadap fungsi z persamaan (3.49) dan mensubstitusikan ke persamaan (3.48) maka diperoleh 3 H

1−

+

2 +

− (2 + 2 + 1)

3 − {( H

+

) −

} = 0

(3.52)

Persamaan (3.52) merupakan persamaan tipe hypergeometry, dengan membandingkan parameter persamaan (2.1) dengan persamaan (3.52) maka diperoleh )

=

+

+ , .) =

Apabila diambil =

)

− Ǵ

+

−

= −Ǵ =

dan +

)

= 2 + ,

+

= −

(3.53)

+ maka akan diperoleh

(3.54)

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.54) ke persamaan (3.47) diperoleh

spektrum energi potensial Gendenshtein II sebagai berikut. "n = −

ℎ

( − Ǵ)

(3.55)

Dengan membandingkan persamaan (2.1) dengan persamaan (3.52) dapat diperoleh penyelesaian persamaan (3.52) yang merupakan fungsi hypergeometry yaitu ( )=

)

, .); );

= ∑n

(

) ( ) H (> ) n!

commit to user

(3.56)



Dengan memasukkan persamaan (3.45), (3.51a),(3.51b) dan (3.56) ke dalam persamaan (3.49), maka diperoleh persamaan fungsi gelombang untuk potensial Gendenshtein II yang dituliskan sebagai berikut. = >Ė

=

a.

2 1

>Ė

−

1− +

2

,−

eℎ9 −

1+

;−

+ .+

2 1 2

eℎ9 >Ė

;

(3.57)


berikut: )

, .); ) ,

= 1+

>

H !

(3.58) 1

Dimana ′ = − + , .′ = − − , ′ = − + . + 2 , − Ǵ,

=

− Ǵ

Ǵ = 0, maka )

)

, .); ),

, .); ),

= 1+

= 1+

Ǵ=

(− Ǵ)(−

>Ė

dengan

)

=

− )

(− + . + ) 1!

(0)(− 2 + Ǵ) 1 − (− + . + )

,

2

eℎ9

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat dasar sebgai berikut: =

b.

>Ė

(3.59)

>Ė


sebagai berikut: commit to user



)

)

)

,. ; ,

)

= 1+

.) )

1!

+

)

)

(

1

Dimana ′ = − + , .′ = − − , ′ = − + . + 2 , − Ǵ,

=

)

− Ǵ

Ǵ = 1, maka

, .); ),

= 1+ )

(− Ǵ)(−

(− + . + ) 1!

, .); ),

= 1+ +

)

− )

− + .+

+ .+ )

− + .+

, .); ),

+ , .); ),

>Ė

,

)

+ 1)

− + .+

=

2!

1!

− + .+

2!

(− Ǵ)(− 2 + Ǵ)

+ . + ) 1!

(−

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1) − + .+

(− 1)(− 2 + 1)

= 1+

)

dengan

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− − ( − Ǵ))(− − ( − Ǵ) + 1)

= 1+

)

Ǵ=

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− − )(− −

+

(− Ǵ)(− − ( − Ǵ)) (−

+ 1). ) (. ) + 1) ) ) + 1 2!

(− + . + ) 1!

, .); ),

= 1+

+

− + .+

2!

(− 1)(− 1 + 1)(− 2 + 1)(− 2 + 2) − + .+

(− 1)(− 2 + 1) 1 − (− + . + )

− + .+

2

eℎ9

2!

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat pertama sebagai berikut: >Ė

=

c.

>Ė

1+

(

(

)(

)

)

>Ė

(3.60)


berikut:

commit to user



)

)

)

,. ; ,

= 1+

)

+

)

(

.)

)

)

1!

+

+ 1)( )

) ) 1

)

(

+ 1). ) (. ) + 1) ) ) + 1 2!

+ 2). ) (. ) + 1)(. ) + 2) ) + 1 )+ 2 3!

Dimana ′ = − + , .′ = − − , ′ = − + . + 2 , − Ǵ,

=

)

− Ǵ

Ǵ = 2, maka

, .); ),

= 1+ + )

(− Ǵ)(−

(− + . + ) 1!

)

−Ǵ − − −

−Ǵ −Ǵ+ 1 − −

− + .+ (−

= 1+ +

)

, .); ),

= 1+

1!

− Ǵ

dengan

− −

− + .+

+ 1)(− −

− Ǵ + 1

− Ǵ )(− −

+ .+ ) − + .+

)

+ 1)

− + .+

− + .+

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− −

, .); ),

+

− + .+

− Ǵ

+ .+

,

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− − )(− −

(− + . + ) − + . +

= 1+

+

+

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− − )(− −

, .); ),

+

− )

>Ė

Ǵ=

=

2!

+ 2)

3!

2!

− Ǵ + 1)(− −

− + .+

(− Ǵ)(− 2 + Ǵ) (−

+ . + ) 1!

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1) − + .+

− + .+

2!

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ + 2) (− + . + ) − + . +

(− 2)(− 2 + 2)

(− + . + ) 1!

+

− + .+

(− 2)(− 2 + 1)(− 2 + 2)(− 2 + 3)

commit to user

− + .+

− + .+

2!

3!

− Ǵ +



(− 2)(− 2 + 1)(− 2 + 2)(− 2 + 2)(− 2 + 3)(− 2 + 4)

+ )

(− + . + ) − + . +

, .); ), +

= 1+

(− 2)(− 2 + 2) 1 − (− + . + )

− + .+ 2

eℎ9

(− 2)(− 1)(− 2 + 2)(− 2 + 3) 1 − − + .+

−

+ .+

8

3!

eℎ9

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat kedua sebagai berikut: >Ė

=

1+

d.

>Ė (

(

)(

)

)

>Ė

( )(

+

_

)(

)

>Ė

(3.61)


berikut: )

, .); ), + +

)

= 1+

.) )

)

(

)

+ 1)(

)

)

(

)

+ 1)(

)

)

1!

)

+

=

)

− Ǵ

, .); ),

= 1+ +

(− Ǵ)(−

− )

+ 1). ) (. ) + 1) ) ) + 1 2!

+ 2)( ) + 3). ) (. ) + 1)(. ) + 2)(. ) + 3) ) ) + 1 )+ 2 )+ 3 4! 1

Ǵ = 3, maka

)

+ 2). ) (.) + 1)(. ) + 2) ) + 1 )+ 2 3!

Dimana ′ = − + , .′ = − − , ′ = − + . + 2 , − Ǵ,

(

(− + . + ) 1!

+

Ǵ=

>Ė

,

dengan

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− − )(− − − + .+

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− − )(− − (− + . + ) − + . +

commit to user

− + .+

+ 1)(− −

− + .+

)

+ 1)

=

2!

+ 2)

3!



+ )

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− Ǵ + 3)(− − )(− − (− + . + ) −

, .); ),

= 1+ +

+ + )

, .); ),

+ .+

+ 1)(− −

− + .+

(−

+ . + ) 1!

− + .+

− + .+

2!

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ + 2) (− + . + ) − + . +

− + .+

3!

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− Ǵ + 3)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ + 2)(− 2

= 1+

(− 3)(− 2 + 3)

+

− + .+

(− 3)(− 3 + 1)(− 2 + 3)(− 2 + 4) − + .+

− + .+

(− 3)(− 2)(− 1)(− 2 + 3)(− 2 + 4)(− 2 + 5)

, .); ), +

+

(− + . + ) − + . +

(− + . + ) 1!

)

(− + . + ) − + . + = 1+

(− 3)(− 2 + 3) 1 − (− + . + )

− + .+ 2

eℎ9

(− 3)(− 2)(− 2 + 3)(− 2 + 4) 1 − − + .+

−

+ .+

8

(− 3)(− 2)(− 1)(− 2 + 3)(− 2 + 4)(− 2 + 5) 1 − (−

+ .+ ) − + .+

− + .+

>Ė

commit to user

2!

3!

eℎ9

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat ketiga sebagai berikut: >Ė

− + .+

(− Ǵ)(− 2 + Ǵ)

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)

+

=

+ 2)(− −

eℎ9 48



(

1+

)(

(

3.

(

)(

( )

)

)(

)

>Ė

+

)(

)

( )(

)(

)

>Ė

>Ė

+

(3.62)

Penjabaran Penyelesaian Persamaan Schrodinger untuk Potensial Rosen Morse II Menggunakan Metode Hypergeometry Energi partikel yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse II

dinyatakan sebagai: 33=

−

ℎ

( >Ė

)

− 2

N ℎ9 Ǵ

(3.63)

Persamaan Schrodinger untuk potensial Rosen Morse II dapat dinyatakan

sebagai: −

ℎ 2

−

ℎ

>Ė

− 2 N Ǵℎ9 = "

(3.64)

Dari persamaan (3.64) dapat dilihat bahwa variabel fungsi pada potensial

Rosen Morse II dapat dinyatakan sebagai fungsi tunggal yaitu tanhx, maka substitusi variabelnya adalah N Ǵℎ9 = 1 − 2

(3.65)

Dengan cara yang sama dengan uraian pada potensial Gendenshtein I dan

II, maka hasil penyelesaian persamaan schrodinger untuk potensial Rosen Morse diperoleh sebagai berikut. 1−

2 H

+ 1− 2

2 H

+

( + 1) −

H

−

(

H)

= 0

(3.66)

Persamaan (3.66) adalah persamaan tipe hypergeometry yang mempunyai

dua buah titik regular singular di titik z=0 dan z=1, maka dapat diselesaikan seperti pada penyelesaian persamaan (3.21) dan (3.48) sehingga diperoleh dua commit to user buah penyelesaian pendekatan yaitu



Untuk z =0, ~ dengan2 −

= 4

(3.66a)

Untuk z = 1, ~(1 − ) dengan− 2 −

= 4

(3.66b)

Berdasarkan penyelesaian pendekatan di titik z=0 dan z=1 dapat diperoleh

bentuk penyelesaian secara umum yaitu =

(1 − )

( )

(3.67)

Dengan cara yang sama seperti pada potensial Gendenshtein I dan II maka

diperoleh spektrum energi untuk potensial Rosen Morse II sebagai berikut. "n = −

ℎ

n

+

− Ǵ

Persamaan

(3.68)

(3.68)

mengandung

variabel

q, ν dan n.

Dengan

q dan ν merupakan konstanta bilangan bulat yang menunjukkan kedalaman partikel dalam suatu sumur potensial Rosen Morse II. Jika membandingkan

persamaan (3.36) dan (3.55) dengan (3.68) dan menganggap a = ν, tampak bahwa persamaan (3.36), (3.55) dan (3.68) memiliki kesamaan namun pada persamaan (3.68) terdapat faktor tambah yaitu faktor koreksi.

D

. Dimana faktor tambah ini merupakan

Persamaan gelombang secara umum dapat dituliskan sebagai = n

= = = =

n

n

(

>

(

n)

>

(

n) >Ė

( )

( ) , .); ) , ) n

)

n n

(1 − )

(

n

) (

(

)

( ), .); ), )

( ), .); ), )

) commit to user ( ) , .); ) , )

(3.69)



a.


berikut: )

Dimana )

, .); ) , )

= −Ǵ

= 1+

H !

>

(3.70)

= − Ǵ, .′ = 2 − Ǵ + 1, Ǵ = 0, maka

)

)

′

=

, .); ) ,

, .); ),

− Ǵ+

+

1 2

,

n

Ǵ=

,

dengan

(− Ǵ)( 2 − Ǵ + 1)

= 1+

= 1+

−Ǵ

( − Ǵ+

−Ǵ

1 + ) 1! 2

(0)( 2 − Ǵ + 1) 1 − N Ǵℎ9 1 2 ( − Ǵ+ + ) −Ǵ

2

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat dasar sebagai berikut: >

=

b.

(

n) >Ė

n

(

)

(3.71)


sebagai berikut: )

Dimana )

= −Ǵ

)

, .); ),

= 1+

= − Ǵ, .′ = 2 − Ǵ + 1, Ǵ = 1, maka )

, .); ),

= 1+ +

′

=

)

.) )

1!

− Ǵ+

)

+ −Ǵ

)

(

+

1 2

,

+ 1). ) (. ) + 1) ) ) + 1 2! n

Ǵ=

,

(− Ǵ)( 2 − Ǵ + 1) ( − Ǵ+

−Ǵ

1 + ) 1! 2

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 2) 1 commit − Ǵ + to user + −Ǵ

2

− Ǵ+

−Ǵ

+

3 2

2!

dengan



)

, .); ),

(− 1)( 2 − 1 + 1)

= 1+

( − 1+ )

−1

, .); ),

1

+ ) 1! 2

= 1+

+

(− 1)(− 1 + 1)( 2 − 1 + 1)( 2 − 1 + 2) − 1+

−1

+

1

− 1+

2

(− 1)( 2 ) 1 − N Ǵℎ9 + 0 1 2 ( + − ) −1

−1

3

+

2

2!

2

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat pertama sebagai berikut: >

=

c.

(

n) >Ė

n

(

)

1+

(

(

)(2 )

n

1 + − ) −1 2

(3.72)


berikut: )

Dimana −Ǵ

)

, .); ),

= 1+ +

= − Ǵ, .′ = 2 − Ǵ + 1,

Ǵ = 2, maka

)

, .); ),

= 1+ +

+

)

′

(

=

)

.)

)

+ 1)(

)

)

+

1!

)

)

− Ǵ+

)

(

+ 1). ) (. ) + 1) ) ) + 1 2!

+ 2). ) (.) + 1)(. ) + 2) ) + 1 )+ 2 3!

−Ǵ

+

1 2

,

n

Ǵ=

,

dengan

)

=

(− Ǵ)( 2 − Ǵ + 1) ( − Ǵ+

−Ǵ

1 + ) 1! 2

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 2) − Ǵ+

−Ǵ

+

1

− Ǵ+

2

−Ǵ

+

3 2

2!

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)( 2 − Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 2)( 2 − Ǵ + 3) − Ǵ+

−Ǵ

+

1 2

− Ǵ+

commit to user

−Ǵ

+

3 2

− Ǵ+

−Ǵ

+

5 2

3!



)

, .); ),

(− 2)( 2 − 2 + 1)

= 1+

( − 2+ +

)

−2

1

+ ) 1! 2

+

(− 2)(− 2 + 1)( 2 − 2 + 1)( 2 − 2 + 2) − 2+

−2

+

1

− 2+

2

+

−2

3 2

2!

(− 2)(− 2 + 1)(− 2 + 2)( 2 − 2 + 1)( 2 − 2 + 2)( 2 − 2 + 3) − 2+

, .); ),

= 1+ +

−2

+

1

− 2+

2

−2

+

3

− 2+

2

(− 2)( 2 − 1) 1 − N Ǵℎ9 3 2 ( + − )

+

−2

2

(2)( 2 − 1)( 2 ) −2

3

−

+

2

−

−2

1 2

1 − N Ǵℎ9 8

−2

+

5 2

3!

+ 0

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat kedua sebagai berikut:

1+

d.

(

(

)( 2 − 1)

=

n

3 + − ) −2 2

+

(

ℎ9 2

n)

( )( 2 − 1)( 2 )

3 + − −2 2

eℎ9 + 2

kǴ ℎ9

(

)

n

1 + − −2 2

(3.73)


berikut: )

Dimana )

= −Ǵ

)

, .); ),

+

)

)

.)

(

)

+ 1)(

+ 1)(

)

= 1+

(

)

= − Ǵ, .′ = 2 − Ǵ + 1, Ǵ = 3, maka

)

+

′

=

)

1!

+

) )

)

(

+ 1). ) (. ) + 1) ) ) + 1 2!

+ 2). ) (.) + 1)(. ) + 2) ) ) + 1 3!

+ 2)( ) + 3). ) (. ) + 1)(. ) + 2)(. ) + 3) ) ) + 1 )+ 2 )+ 3 4!

− Ǵ+

−Ǵ

+

commit to user

1 2

,

Ǵ=

n

,

dengan



)

, .); ),

(− Ǵ)( 2 − Ǵ + 1)

= 1+ +

+ + )

, .); ),

= 1+

( − Ǵ+

1 + ) 1! 2

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 2) − Ǵ+

1

+

−Ǵ

− Ǵ+

2

−Ǵ

+

3 2

2!

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)( 2 − Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 2)( 2 − Ǵ + 3) − Ǵ+

−Ǵ

+

1

− Ǵ+

2

+

−Ǵ

3

− Ǵ+

2

−Ǵ

3!

5

+

2

(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− Ǵ + 3)( 2 − Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 2)( 2 − Ǵ + 3)( 2 − − Ǵ+

−Ǵ

(− 3)( 2 − 3 + 1) ( − 3+ +

−Ǵ

−3

1

+ ) 1! 2

+

+

1

− Ǵ+

2

−Ǵ

3

+

− Ǵ+

2

+

−Ǵ

5

− Ǵ+

2

(− 3)(− 3 + 1)( 2 − 3 + 1)( 2 − 3 + 2) − 3+

+

−3

1

− 3+

2

3

+

−3

2

2!

(− 3)(− 3 + 1)(− 3 + 2)( 2 − 3 + 1)( 2 − 3 + 2)( 2 − 3 + 3)

+ 0

− 3+ )

−3

+

1

− 3+

2

, .); ),

= 1+ + +

−3

+

3

− 3+

2

−3

+

=

(

n)

2

(− 3)( 2 − 2) 1 − N Ǵℎ9 5 2 ( + − ) −3

2

(6)( 2 − 2)( 2 − 1) +

−3

−

+

−3

−

5 2

+

−3

−

+

−3

−

3 2

1 − N Ǵℎ9 8

(− 6)( 2 − 2)( 2 − 1)( 2 ) 5 2

3 2

+

−3

Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat ketiga sebagai berikut: ℎ9 2

5

eℎ9 + 2

commit to user

kǴ ℎ9

(

)

−

1 2

3!

3!

−Ǵ

+

7 2



1+

+

5 −1 2

+

n

2 −2 −

(

+

+

5 −2 2

−

)( 2 − 2)( 2 − 1)( 2 )

5 + − −3 2

3 + − −3 2

n

2 −2 2 −1

3 −2 2

+

−

1 + − −3 2

(3.74)

n

E. Diagram Penelitian a. KajianpotensialGendeshtein I b. KajianpotensialGendeshtein II c. KajianpotensialRosen Morse II

Pembuatan Program

Analisa Gambar 3.1 Diagram Penelitian

Gambar 3.1 menunjukkan digram atau alur penelitian yang dilakukan. Penelitian dimulai dari kajian potensial yang terdiri dari potensial Gendenshtein I, Gendenshtein II dan Rosen Morse II menggunakan metode hypergeometry. Hasil kajian ini diperoleh persamaan fungsi gelombang dan spektrum energi masingmasing potensial. Setelah mengkaji ketiga potensial tersebut, membuat program simulasi

dengan

memvisualisasikan

menggunakan

bahasa

pemograman

persamaan-persamaan

yang

Delphi

diperoleh.

7.0

untuk

Selanjutnya

menganalisa hasil grafik dengan mengghubungkan grafik simulasi yang diperoleh dengan persamaan yang digunakan. 1.

Flowchart Pemrograman dengan operator

a. Gendeshtein I START

commit to user

Masukkannilaia dan b

Persamaan(3.15)



Persamaan (3.36)

Gambar 3.2 Flowchart potensial Gendenshtein I

Gambar 3.2 menunjukkan flowchart atau diagram untuk program simulasi potensial Gendenshtein I menggunakan bahasa Delphi 7.0. Adapun langkahlangkah pengoperasian program sebagai berikut. Program dimulai dari start yaitu dengan mengklik tombol run pada program yang telah dibuat. Kemudian program akan meminta masukkan data yaitu a dan b dimana a dan b merupakan konstanta yang nilainya berupa bilangan bulat. Data kemudian akan diolah sesuai persamaan (3.15), (3.36), dan (3.39) untuk menampilkan grafik potensial efektif, fungsi gelombang, probabilitas dan tabel tingkat energi. Program ini diakhiri dengan stop artinya mengakhiri program atau keluar dari program yaitu dengan mengklik tombol exit. b. Gendenshtein II Gambar 3.3 menunjukkan flowchart atau diagram untuk program simulasi commit tobahasa user Delphi 7.0. Adapun langkahpotensial Gendenshtein II menggunakan



langkah pengoperasian program sebagai berikut. Program dimulai dari start yaitu dengan mengklik tombol run pada program yang telah dibuat. Kemudian program akan meminta masukkan data yaitu a dan b dimana a dan b merupakan konstanta yang nilainya berupa bilangan bulat. Jika data yang dimasukkan tidak memenuhi syarat yang telah ditentukan (Gambar 3.3) maka program akan meminta mengulangi masukan. Jika data memenuhi syarat maka data akan diolah sesuai persamaan (3.43), (3.59), (3.60) dan (3.55) untuk menampilkan grafik potensial efektif, gelombang dasar, gelombang tingkat pertama, probabilitas tingkat dasar, probabilitas tingkat pertama dan tabel tingkat energi. Program ini diakhiri dengan stop artinya mengakhiri program atau keluar dari program yaitu dengan mengklik tombol exit. START tidak Masukkannilai a dan b

-a+b = bilangan genap

ya Persamaan (3.43)

Persamaan (3.59)

Persamaan (3.60)

Persamaan (3.61)

Persamaan (3.62)

commit to Persamaan (3.55)

user

GrafikVeff,fungsi gelombang (psi), probabilitas dan tabel tingkat energi



Gambar 3.3 Flowchart potensial Gendenshtein II

c. Rosen Morse II

START

tidak Masukkannilai , q dan Ǵ

> Ǵ

Persamaan (3.63)

Persamaan (3.71)

Persamaan (3.72)

Persamaan (3.73)

Persamaan (3.74)

commit to user Persamaan (3.68)

Grafik Veff, fungsi gelombang (psi), probabilitas dan tabel tingkat energi

ya



Gambar 3.4 Flowchart potensial Rosen Morse II

Gambar 3.4 menunjukkan flowchart atau diagram untuk program simulasi potensial Rosen Morse II menggunakan bahasa Delphi 7.0. Adapun langkahlangkah pengoperasian program sebagai berikut. Program dimulai dari start yaitu dengan mengklik tombol run pada program yang telah dibuat. Kemudian program akan meminta masukkan data yaitu , q dan n.

dan q merupakan konstanta yang

nilainya berupa bilangan bulat sedangkan n merupakan bilangan kuantum (0, 1, 2, ....). Jika data yang dimasukkan tidak memenuhi syarat yang telah ditentukan (Gambar 3.4) maka program akan meminta mengulangi masukan. Jika data memenuhi syarat maka data akan diolah sesuai persamaan (3.63), (3.71), (3.72), (3.73), (3.74) dan (3.68) untuk menampilkan grafik potensial efektif, gelombang dasar, probabilitas dan tingkat energi. Program ini diakhiri dengan stop artinya mengakhiri program atau keluar dari program yaitu dengan mengklik tombol keluar.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Fungsi gelombang dan spektrum energi potensial Gendenshtein I, Gendenshtein II dan potensial Rosen Morse IIdianalisis menggunakan metode hypergeometry. Potensial efektif, rapat probabilitas dan fungsi gelombang dari masing-masing potensial selanjutnya divisualisasikan menggunakan program simulasi komputer dengan bahasa pemograman Delphi7. Dalam penelitian ini juga dihitung tingkat energi dari masing-masing potensial secara numerik. Berikut hasil analisis simulasi untuk masing-masing potensial. A. Hasil Analitik Spektrum Energi dan Grafik Pemrograman Delphi 7.0 Simulasi potensial Gendenshtein dijalankan untuk mendapatkan Tabel tingkat energi, grafik potensial, grafik fungsi gelombang dan grafik probabilitas. Berikut merupakan hasil output simulasi. 1.

Potensial Gendenshtein I

a)

Spektrum Energi Persamaan energi untuk potensial Gendenshtein I dan II adalah

samaseperti yang ditunjukkan pada persamaan (3.36) dan (3.55). Dengan menentukan nilai dari variabel yaitu konstanta bilangan bulat yang berhubungan dengan kedalaman partikel pada suatu potensialdan

merupakan bilangan

kuantum maka energi dari potensial Gendenshtein dapat dianalisis secara numerik. Adapun hasil perhitunganenergi untuk potensial Gendenshtein dengan ℎ:

= 1dapat di lihat pada Tabel 4.1.

commit to user

54



Tabel 4.1 Tingkat energi potensial Gendenshtein 1

0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4

2 3

4

5

-1 -4 -1 -9 -4 -1 -16 -9 -4 -1 -25 -16 -9 -4 -1

Berdasarkan Tabel 4.1, tampak bahwa nilai energi untuk potensial Gendenshtein berharga negatif. Hal tersebut menunjukan bahwa partikel berada di dalam kotak atau sumur (boundstate). b) Potensial efektif Gambar 4.1 menunjukkan grafik potensial Gendenshtein Iyang diperoleh dengan menggunakan pemograman Delphi7.0. Tampak bahwa grafik potensial Gendenshtein I ini mirip dengan potensial sumur, di mana partikel terkurung di dalam sumur pada batas tertentu (lihat Gambar 4.1a, 4.1b, 4.1c). Selama partikel berada di dalam sumur, energi potensial dari sistem tidak akan terpengaruh oleh lokasi partikel dan dapat diasumsikan bahwa energi potensial partikel sama dengan nol dan bernilai tak terhingga jika partikel berada di luar sumur atau batas.Oleh karena itu, syarat agar partikel dapat keluar atau berada di luar kotak adalah jika sistem tersebut memiliki jumlah energi yang tak terhingga.

commit to user



Grafik Potensial Efektif Gendenshtein I

Gambar 4.1a. Grafik simulasi potensial efektif dengan a = 10, b = 5,


Gambar 4.1b. Grafik simulasi potensial efektif dengan a = 5, b = 10,

commit to user

ℎƴ ƴ0

ℎƴ ƴ0

=

=




Gambar 4.1c. Grafik simulasi potensial efektif dengan a = 10, b = 10,

ℎƴ ƴ0

=

Grafik pada Gambar 4.1a, 4.1b, dan 4.1c mempunyai bentuk yang sama walaupun nilai dari variabel-variabelnya berubah-ubah. Hal ini dikarenakan potensial Gendenshtein I merupakan potensial shape invariance. Bentuk grafik menunjukkan fungsi secans kuadart hiperbolik. Semakin kecil sudut (x) maka nilai potensial efektif semakin mendekati nol. Nilai ini disebabkan oleh fungsi secans hiperbolik. Sedangkan semakin besar sudut (x), maka nilai potensial efektif semakin meningkat kemudian menurun pada sudut 0,15 (dalam radian).Hal ini disebabkan karena faktor tambah dalam fungsi sinus hiperbolik. Pada Gambar 4.1b, sumur tampak lebih dangkal dibandingkan grafik pada Gambar 4.1a dan 4.1b, hal ini dikarenakan nilai dari variabel a lebih kecil daripada b. Semakin besar variabel a maka semakin dalam sumur potensial. Adapun persamaan yang menunjukkan hasil grafik pada Gambar 4.1 adalah persamaan (3.15).

commit to user



2.

Potensial Gendenshtein II

a)

Potensial efektif Gambar 4.2 menunjukkan grafik potensial Gendenshtein IIyang diperoleh

dengan menggunakan pemograman Delphi 7.0. Jika diamati, grafik potensial Gendenshtein II mirip dengan sumur potensial dimana sebuah sumur adalah daerah yang menghadap ke atas dari kurva dalam sebuah diagram energi potensial. Sumur potensial adalah daerah yang tidak mendapat pengaruh potensial. Karena dinding potensial relatif dangkal (tidak tinggi), maka kemungkinan elektron dapat ditemukan di daerah luar batas atau daerah di luar sumur potensial. Grafik Potensial Efektif Gendenshtein II

Gambar 4.2a. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk a = 6 dan b = 10,

commit to user

ℎƴ ƴ0

=

.



Grafik Potensial Efektif Gendenshtein II

Gambar 4.2b. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk a = 10 dan b = 6,

Grafik Potensial Efektif Gendenshtein II

Gambar 4.2c. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk a = 10 dan b = 10,

ℎƴ ƴ0

=

.

ℎƴ ƴ0

=

.

Bentuk grafik (4.2adan 4.2b) menunjukkan fungsi cosecans kuadrat hiperbolik. Dari Gambar 4.2a, dan 4.2b tampak bahwa semakin x (sudut) mendekati nol, maka harga potensial efektif semakin menuju tak terhingga. Nilai tak berhingga ini disebabkan oleh faktor pengurang dalam fungsi cosinus hiperbolik.Namun pada Gambar 4.2c dengan nilai variabel a dan b sama besar, user bentuk grafiknya berbeda. Bentukcommit grafiktomenunjukkan fungsi secans hiperbolik.



Adapun persamaan yang menunjukkan hasil grafik pada Gambar 4.2 adalah persamaan (3.43). b) Gelombang Dasar Gambar 4.3 menunjukkan grafik fungsi gelombang dasar potensial Gendenshtein II yang diperoleh dengan menggunakan pemograman Delphi. Tampak bahwa secara fisis fungsi gelombang tersebut memiliki arti bahwa pada keadaan dasar (groundstate) maka energi yang dimiliki oleh partikel Gendenshtein

II

dapat

dipresentasikan

oleh

fungsi

gelombang

yang

ternormalisasi. Normalisasi adalah sebuah pernyataan bahwa partikel berada pada suatu titik dalam ruang. Semakin besar nilai x (sudut) maka nilai dari fungsi gelombang pada keadaan groundstate semakin mendekati nol. Nilai ini disebabkan fungsi secans hiperbolik. Karena jika melihat dari persamaan gelombang yang dihasilkan dari persamaan (4.30), fungsi sinus hiperbolik dibagi cosinus hiperbolik menuju nol atau mendekati nol. Grafik Fungsi Gelombang Dasar Potensial Gendenshtein II

Gambar 4.3a. Grafik Simulasi Fungsi Gelombang Dasar dengan a = 6 dan b = 10.

commit to user



Grafik Fungsi Gelombang Dasar Potensial Gendenshtein II

Gambar 4.3b. Grafik Simulasi Fungsi Gelombang Dasar dengan a = 10 dan b = 10.

Berdasarkan Gambar 4.3a dan 4.3b, tampak bahwa semakin besar nilai a maka grafik akan bergeser ke arah kiri (x negatif). Menurut Max Born pada tahun 1926 (Agus Purwanto, 2006: 51) menyatakan bahwa fungsi gelombang atau fungsi keadaan tidak memiliki arti secara fisis tetapi diinterpretasikan sebagai kerapatan probabilitas. Apabila fungsi gelombang dari sebuah partikel sudah diketahui maka kita dapat menghitung posisi rata-rata di mana kita berharap untuk menemukan partikel setelah melakukan banyak pengukuran. Adapun persamaan yang menunjukkan hasil grafik pada Gambar 4.3 adalah persamaan (3.59). c)

Gelombang Tingkat Pertama Gambar 4.4 menunjukkan grafik fungsi gelombang tingkat pertama untuk

potensial Gendenshtein II yang diperoleh dengan menggunakan perhitungan Delphi. Gambar (4.4) dapat dibentuk dari simulai persamaan (3.60). Hasil simulasi persamaan (3.60) menunjukkan fungsi gelombang terdiri dari satu bukit dan satu lembah yang terdiri dari dua amplitudo. Nilai x (sudut) semakin besar maka fungsi gelombangnya semakin keciltodan mendekati nol. Hal ini dikarenakan commit user



dalam persamaan (3.60) berbentuk eksponensial. Berdasarkan Gambar 4.4a dan 4.4b, dengan variasi nilai a, tampak bahwa semakin besar nilaivariabel a grafik semakin bergeser ke arah kiri sumbu x (x negatif). Grafik Fungsi Gelombang Tingkat Pertama Potensial Gendenshtein II

Gambar 4.4a Grafik Simulasi Fungsi Gelombang Tingkap Pertama dengan a = 6 dan b = 10.

Grafik Fungsi Gelombang Tingkat Pertama Potensial Gendenshtein II

Gambar 4.4b Grafik Simulasi Fungsi Gelombang Tingkap Pertama dengan a = 10 dan b = 10.

commit to user



d) Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar Gambar 4.5 menunjukkan grafik probabilitas fungsi gelombang dasaryang diperoleh dengan menggunakan perhitungan Delphi. Berdasarkan Gambar 4.5, tampak bahwa grafik probabilitas fungsi gelombang dasar yang dihasilkan lebih lancip dibandingkan grafik fungsi gelombang dasar. Menurut Max Born (Halliday dan Resnick, 1984: 883) bahwa kuantitas probabilitas

di setiap titik adalah

ukuran dari kemungkinan adanya partikel tersebut di dekat titik tersebut. Secara lebih tepat, maka jika sebuah elemen volume dV dibentuk pada titik tersebut, kemungkinan bahwa partikel akan ditemukan di dalam elemen volume tersebut pada suatu saat yang diberikan adalah

. Tafsiran

menyediakan sebuah

hubungan statistik di antara gelombang dan partikel yang diasosiasikan dengan gelombang tersebut. Tafsiran tersebut menyatakan di mana partikel akan cenderung berada, bukan di mana partikel tersebut berada. Grafik Probabilitas Gelombang Dasar Potensial Gendenshtein II

Gambar 4.5a. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar dengan a = 6 dan b = 10.

commit to user



Grafik Probabilitas Gelombang Dasar Potensial Gendenshtein II

Gambar 4.5b. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar dengan a = 10 dan b = 10.

Untuk partikel yang dibatasi di antara dinding-dinding tegar seperti pada Gambar 4.5a, maka kemungkinan bahwa partikel akan terletak di antara dua bidang yang jaraknya adalah x dan x+dx dari sebuah dinding yaitu pada rentang 0,04 < x <0,24(dalam radian). Pada Gambar 4.5a, tampak bahwa partikel lebih cenderung berada di dekat pusat (puncak) daripada di ujung-ujung. Hal ini sangat bertentangan dengan hasil-hasil fisika klasik, dimana partikel tersebut mempunyai kemungkinan yang sama untuk ditempatkan di mana saja di antara dindingdinding tersebut.Pada Gambar 4.5b, grafik bergeser kearah sumbu x negatif. Hal ini dikarenakan nilai variabel a diperbesar. Gambar 4.5 dibentuk dari simulasi persamaan | | =

1 − Ėú ℎ 1 + Ėú ℎ

:

commit to user


e)


Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama

Grafik Probabilitas Gelombang Tingkat Pertama Potensial Gendenshtein II

Gambar 4.6a. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama dengan a = 6 dan b = 10.

Grafik Probabilitas Gelombang Tingkat Pertama Potensial Gendenshtein II

Gambar 4.6b. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama dengan a = 10 dan b = 10.

Gambar 4.6 menunjukkan probabilitas fungsi gelombang tingkat pertama potensial Gendenshtein II. Probabilitas ini merupakan representasi dari kuadrat fungsi gelombang tingkat pertama yang menunjukkan peluang terdapatnya suatu commit to user partikel dalam suatu daerah atau kawasan tertentu.Dua puncak grafik dapat



direpresentasikan sebagai peluang ditemukannya partikel terbesar. Grafik pada Gambar 4.6a menunjukkan probabilitas maksimum ditemukannya partikel pada sudutx = 0,07 dan x = 0,17 dalam radian. Semakin menjauh dari sudut x = 0,07 dan x = 0,17 peluang ditemukannya partikel semakin kecil hingga menuju 0. Sedangkan pada Gambar 4.6b, tampak bahwa puncak grafik semakin bergeser ke arah sumbu x negatif. Hal ini dikarenakan nilai dari variabel a semakin diperbesar. Gambar 4.6 dibentuk dari simulasi persamaan

|

| =

1−

1+

2

Ėú ℎ

Ėú ℎ

3.

Potensial Rosen Morse II

a)

Spektrum Energi

− + 2

1+

(− 1)(− 2 + 1) 1 − Ėú ℎ 1 2 (− + + 2)

Persamaan energi potensial Rosen Morse IIdinyatakan pada persamaan (3.63).

Dengan

menentukan

nilai

dari

variabel

, yaitu konstanta bilangan bulat yang menunjukkan kedalaman partikel dalam suatu sumur potensialdan

merupakan bilangan kuantum maka energi dari

potensial Rosen Morse II dapat dianalisis secara analitik. Adapun hasil perhitungan energi untuk potensial Rosen Morse II dengan

ℎ:

pada Tabel 4.2.

= 1 dapat di lihat

Pada Tabel 4.2, tampak bahwa harga atau nilai energi untuk potensial Rosen Morse dipengaruhi oleh tiga variabel yaitu variabel ,

dan . Semakin

jauh partikel (dalam hal ini elektron) dari inti atom maka nilai energinya semakin kecil sebaliknya semakin dekat dari inti energi partikel akan semakin besar dan commit to user



akan mencapai maksimum ketika partikel berada pada keadaan dasar (groundstate). Tabel 4.2Tingkat energi potensial Rosen Morse

5

5

6

6

7

7

8

8

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7

-26 -17,5625 -11,7778 -10,25 -26 -37 -26,44 -18,25 -13 -13 -37 -50,00 -37,36 -26,96 -19,06 -14,44 -16,25 -50,00 -65,00 -50,31 -37,78 -27,56 -20,00 -16,11 -20,00 -65,00

b) Potensial Efektif Pada Gambar 4.7 menunjukkan hasil grafik potensial efektif yang diperoleh dengan menggunakan pemograman Delphi. Bentuk grafik menunjukkan fungsi secans kuadrat hiperbolik. Tampak bahwa semakin jauh nilai x (sudut) dari nol maka potensial semakin besar. Hal ini disebabkan karena faktor pengurang dalam fungsi tangen hiperbolik. Grafik potensial Rosen Morse IIpada Gambar 4.7a, 4.7b dan 4.7c memiliki bentuk sama yang mirip dengan potensial sumur. Hal ini dikarenakan potensial commit to user Rosen Morse II termasuk dalam kelompok potensial shape invariance.Potensial



shape invariance yaitu potensial yang memiliki bentuk grafik yang sama walaupun variabel-vriabelnya diubah-ubah. Dengan memvariasikan nilai dari variabel

dan q, tampak bahwa semakin kecil nilai

daripada qmaka semakin

dalam potensial sumur yang terbentuk. Pada potensial sumur, partikel diilustrasikan terkurung di dalam kotak dengan batas tertentu seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.7. Sama halnya dengan potensial Gendenshtein I dan II, bila partikel berada di dalam kotak, energi potensial elektron nol dan benilai tak tehingga jika berada di luar kotak.Adapun persamaan yang menunjukkan hasil grafik pada Gambar 4.7 adalah persamaan (3.63). Grafik Potensial Efektif Rosen Morse II

Gambar 4.7a. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk

commit to user

= 10 , q = 10, dan

ℎƴ ƴ0

=

.



Grafik Potensial Efektif Rosen Morse II

Gambar 4.7b. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk

= 5 , q = 10, dan

Grafik Potensial Efektif Rosen Morse II

Gambar 4.7c. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk

c)

Gelombang Dasar

= 10 , q = 5, dan

ℎƴ ƴ0

=

.

ℎƴ ƴ0

=

.

Gambar 4.8 menunjukkan grafik fungsi gelombang keadaan dasar yang diperoleh dengan menggunakan perhitungan Delphi. Secara fisis fungsi gelombang tersebut memiliki arti bahwa pada keadaan dasar (groundstate) maka commit to user energi yang dimiliki oleh partikel Rosen Morse II dapat dipresentasikan oleh



fungsi gelombang yang ternormalisasi. Gambar 4.8a dan 4.8c memiliki bentuk grafik yang sama, tampak bahwa semakin jauh harga x (sudut) dari nol maka nilai dari fungsi gelombang pada keadaan groundstate semakin mendekati nol. Sedangkan Gambar 4.8b, terlihat puncak grafik bergeser ke arah x negatif. Hal ini dikarenakan nilai

lebih kecil daripada nilai q.

Adapun persamaan yang menunjukkan hasil grafik pada Gambar 4.8 adalah persamaan (3.71). Grafik Fungsi Gelombang Dasar Potensial Rosen Morse II

Gambar 4.8a Grafik simulasi Fungsi Gelombang Dasar dengan

= 10 , q = 10 dan n = 1.

Grafik Fungsi Gelombang Dasar Potensial Rosen Morse II

commit to user Gambar 4.8b Grafik simulasi Fungsi Gelombang Dasar dengan

= 5 , q = 10 dan n = 1.



Grafik Fungsi Gelombang Dasar Potensial Rosen Morse II

Gambar 4.8c Grafik simulasi Fungsi Gelombang Dasar dengan

= 10 , q = 5 dan n = 1.

d) Gelombang Tingkat Pertama Gambar 4.9 menunjukkan grafik fungsi gelombang tingkat pertama untuk potensial Rosen Morse II yang diperoleh dengan menggunakan perhitungan Delphi. Gambar 4.9 dibentuk dari simulai persamaan (3.72). Hasil simulasi persamaan (3.72) menunjukkan fungsi gelombang terdiri dari satu lembah dan satu bukit yang terdiri dari dua amplitudo. Nilai x (sudut) semakin besar maka fungsi gelombangnya semakin kecil dan mendekati nol. Hal ini dikarenakan dalam persamaan (3.72) berbentuk eksponensial atau hipebolik.

commit to user



Grafik Fungsi Gelombang Tingkat Pertama Potensial Rosen Morse II

Gambar 4.9a. Grafik simulasi Fungsi Gelombang Tingkat Pertama dengan = 10 , q = 10 dan n = 1.


Gambar 4.9b. Grafik simulasi Fungsi Gelombang Tingkat Pertama dengan = 5 , q = 10 dan n = 1.

commit to user




Gambar 4.9c. Grafik simulasi Fungsi Gelombang Tingkat Pertama dengan = 10 , q = 5 dan n = 1.

e)

Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar Sama halnya dengan pengertian probabilitas pada potensial Gendenshtein

yaitu probabilitas merupakan representasi dari kuadrat fungsi gelombang yang menunjukkan peluang terdapatnya suatu partikel dalam suatu daerah atau kawasan tertentu. Probabilitas akan menyangkut peluang dimana syarat probabilitas yaitu bernilai tunggal dan fungsi gelombangnya ternormalisasi. Grafik Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar Potensial Rosen Morse II

Gambar 4.10a. Grafik simulasi ProbabilitasFungsi Gelombang Dasar dengan = commit 10, q = 10todan n = 1. user



Grafik Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar Potensial Rosen Morse II

Gambar 4.10b. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar dengan = 5, q = 10 dan n = 1.

Grafik Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar Potensial Rosen Morse II

Gambar 4.10c. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar dengan = 10, q = 5 dan n = 1.

Probabilitas fungsi gelombang untuk keadaan dasar, pada Gambar 4.10 menunjukkan hasil yang diperoleh dengan menggunakan pemograman Delphi. Berdasarkan Gambar 4.10, tampak bahwa grafik probabilitas yang dihasilkan lebih lancip dan nilai probabilitas lebih besar dibandingkan grafik fungsi gelombang yang dihasilkan. Gambar 4.10a dan 4.10c menunjukkan bahwa probabilitas maksimum ada di sekitar 0,025 sedangkan di luar x = 0,025 commitxto=user



probabilitas ditemukannya elektron dengan cepat menurun. Hal ini berarti bahwa keberadaan elektron terkonsentrasi di sekitar x = 0,025 (dalam radian). Inilah struktur atom yang memiliki hanya satu elektron di sekitar inti atomnya dan ini disebut keadaan dasar atau groundstate.Sedangkan pada gambar 4.10b, puncak grafik bergeser ke arah sumbu x negatif. Probabilitas terbesar ditemukannya partikel yaitu pada x = 0,14.Gambar 4.10 dibentuk dari simulasi persamaan |

f)

| =

úǴ ℎ 2

( − )

Ėú ℎ +ú ℎ 2

−( − )

Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama

Gambar 4.11 menunjukkan probabilitas fungsi gelombang tingkat pertama potensial Rosen Morse II. Probabilitas ini merupakan representasi dari kuadrat fungsi gelombang tingkat pertama yang menunjukkan peluang terdapatnya suatu partikel dalam suatu daerah atau kawasan tertentu. Dua puncak grafik dapat direpresentasikan sebagai peluang ditemukannya partikel terbesar. Grafik pada Gambar 4.11a dan 4.11c menunjukkan probabilitas maksimum ditemukannya partikel pada sudut x = -0,05 dan x = 0,03. Semakin menjauh dari sudut x = -0,05 dan x = 0,03 peluang ditemukannya partikel semakin kecil hingga menuju 0. Sedangkan pada Gambar 4.11b,kebolehjadian ditemukannya partikel yaitu pada x = -0,17 dan x = 0,04. Gambar 4.6 dibentuk dari simulasi persamaan |

| =

úǴ ℎ 2

( − )

Ėú ℎ +ú ℎ 2

−( − )

commit to user

1+

(− 1)(2 ) 1 − ℎ 2 ( + − 1 − 12)



Grafik Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama Potensial Rosen Morse II

Gambar 4.11a. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama dengan = 10, q = 10 dan n = 1.


Gambar 4.11b. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama dengan = 5, q = 10 dan n = 1.

commit to user




Gambar 4.11c. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama dengan = 10, q = 5 dan n = 1.

B. Pembahasan Potensial yang dianalisis dalam penelitian ini terdiri dari potensial Gendenshtein I, Gendenshtein II dan Rosen Morse IIyang mana potensialpotensial ini merupakan potensial yang termasuk dalam kelompok shape invariantyang

dapat

diselesaikan

secara

eksak

menggunakan

metode

hypergeometry. Penyelesaian persamaan schrodinger secara langsung dari suatu sistem partikel tersebut dapat menentukan persamaan fungsi gelombang dan spektrum energi yang digunakan untuk mendeskripsikan atau menjelaskan perilaku sekelompok partikel.Fungsi gelombang dan spektrum energi untuk partikel yang dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein I, Gendenshtein II dan Rosen Morse dianalisis

menggunakan

metode hypergeometry. commit to user

Penyelesaian

persamaan



schrodinger dengan metode hypergeometry yaitu dengan mengubah persamaan schrodinger menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi hypergeometry dengan substitusi variabel dan parameter secara tepat (S. Trachanas, 2011). Pemisalan variabel ini terinspirasi dari pengubah variabel pada formula SUSY WKB (A. Inomata, A. Suparmi , and S Kurth, 1991) dan pengubahan persamaan shcrodinger untuk potensial Poschl-Teller I yang terdapat dalam buku Practical Quantum Mechanics (Flugge, Siegfried, 1994). Bila persamaan fungsi hypergeometry telah diperoleh, tingkat-tingkat energi suatu sistem dan fungsi gelombang juga dapat diperoleh dengan mudah. Pada dasarnya tujuan untuk menentukan persamaan fungsi gelombang dasar (groundstate wave function) dan spektrum energi dari suatu potensial adalah sebagai titik awal dalam menentukan fungsi gelombang untuk tingkat yang lebih tinggi, nilai harap (probability density) dan tingkat-tingkat energi dari suatu potensial (Lili Maysari, 2010:75).Mengetahui nilai dari besaran-besaran tersebut, sangat berguna untuk menentukan baik atau tidaknya suatu material (bahan). Selain itu, besaran-besaran tersebut juga digunakan dalam bidang nanoteknologi yang sekarang sedang berkembang pesat, yang mengacu pada perancangan dan aplikasi dari perangkat-perangkat yang memiliki ukuran mulai dari 1 hingga 100nm. Setiap sistem fisis dinyatakan dengan fungsi gelombang atau fungsi keadaan yang secara implisit memuat informasi lengkap mengenai observabelobservabel yang dapat diketahui pada sistem tersebut. Observabel-obervabel tersebut yaitu posisi, energi dan momentum. Oleh karena itu, dengan mengetahui commit to user



persamaan gelombang dasar dari suatu potensial maka akan diperoleh persamaan probabilitas (nilai harap). Persamaan probabilitas inilah yang menunjukkan posisi kebolehjadian yang paling mungkin ditemukannya partikel. Untuk potensial Gendenshtein I dan II, nilai variabel a dan b telah ditentukan dan dengan memisalkan

ℎ:

= 1, untuk menunjukkan posisi kebolehjadian yang paling

mungkin ditemukan suatu partikel ditunjukkan dengan angka real. Berdasarkan

grafik probabilitas, dapat dikatakan bahwa posisi kebolehjadian yang paling mungkin ditemukan partikel adalah di daerah puncak grafik. Jika ditinjau ulang perbedaan mendasar antara mekanika klasik dengan mekanika kuantum terletak pada cara penggambarannya terhadap suatu objek. Dalam mekanika klasik, masa depan partikel dapat ditentukan secara pasti apabila diketahui kedudukan awal, momentum awal, serta gaya-gaya yang bekerja padanya. Dalam dunia makro besaran ini semuanya dapat ditentukan dengan ketelitian yang cukup, sehingga memperoleh ramalan mekanika klasik yang cocok dengan pengamatan. Sedangkan mekanika kuantum juga menghasilkan hubungan antara besaran yang teramati, tetapi prinsip ketidakpastian mensyaratkan bahwa besaran teramati bersifat berbeda dengan kawasan atomik yang bersifat mikro. Dalam mekanika kuantum, ketentuan tentang karakteristik masa depan partikel seperti pada mekanika klasik tidak mungkin diperoleh, karena kedudukan (posisi) dan momentum awal suatu partikel tidak dapat diperoleh dengan pasti secara bersamaan. Besaran yang dapat ditentukan dalam mekanika kuantum hanyalah berupa probabilitas atau (nilai harap). commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB V KESIMPULAN, IMPLIKASI DAN SARAN

A. Kesimpulan Berdasarkan hasil analisa dan pembahasan, maka dapat disimpulkan sebagai berikut: Kesimpulan pertama, metode hypergeometry dapat digunakan dalam menentukan persamaan fungsi gelombang dasar dan spektrum energi dari potensial Gendenshtein I, Gendenshtein II dan Rosen Morse. Adapun hasil yang diperoleh berturut-turut adalah 1.

2.

Persamaan gelombang dasar potensial Gendenshtein I f = (

ǐ.

(

1 + ßoßhℏ ) 2

ǐ.

Persamaan gelombang tingkat pertama potensial Gendenshtein I

f = ( 3.

cosh ) 2

cosh ) 2

ǐ.

(

1 + ßoßhℏ ) 2

ǐ.

1+

(− 1)(− 2 + 1) 1 − ßoßhℏ 2 (− − ß + )

Persamaan gelombang tingkat kedua potensial Gendenshtein I f = (

) 1+

ǐ.

(

ǐ ǐ

)

ǐ.

(− 2)(− 2 + 2) 1 − ßoßhℏ 2 (− − ß + ) +

(2)(− 2 _ + 2)(− 2 + 3)

− − ß +

− − ß +

commit to user

80

1 − ßoßhℏ 8



4.

Persamaan gelombang tingkat ketiga potensial Gendenshtein I f = (

ǐ.

) 1+ + +

5.

6.

ǐ ǐ

)

ǐ.

(− 3)(− 2 + 3) 1 − ßoßhℏ 2 (− − ß + )

(6)(− 2 + 3)(− 2 + 4) − − ß +

1 − ßoßhℏ 8

(− − ß + ) − − ß +

− − ß +

− − ß +

(− 6)(− 2 + 3)(− 2 + 4)(− 2 + 5)

1 − ßoßhℏ 48

Persamaan gelombang dasar potensial Gendenshtein II f =

. oßhℏ (1 + oℏ ) .

Persamaan gelombang tingkat pertama potensial Gendenshtein II

f = 7.

(

1− 1+

ℏo ℏo

.

1+

(− 1)(− 2 + 1) 1 − (− +

+ )

2

Persamaan gelombang tingkat kedua potensial Gendenshtein II

f = commit to user

ℏo



1+

(− 2)(− 2 + 2) 1 − (− +

+ )

+ 8.

2

(2)(− 2 _ + 2)(− 2 + 3) − +

+

− +

+

1−

ℏo

8

Persamaan gelombang tingkat ketiga potensial Gendenshtein II

f = 1+

+

(− 3)(− 2 + 3) 1 − (− +

2

+ )

ℏo

(6)(− 2 + 3)(− 2 + 4)

+

9.

ℏo

− +

+

− +

+

+ ) − +

+

1−

ℏo

8

(− 6)(− 2 + 3)(− 2 + 4)(− 2 + 5)

(− +

− +

1−

+

48

ℏo

Persamaan gelombang dasar potensial Rosen Morse o0 ℏ f = 2

(

)

ℏo + oßhℏ 2

10. Persamaan gelombang tingkat pertama potensial Rosen Morse II o0 ℏ f = 2

(

)

ℏo + oßhℏ 2

(

)

1+

(− 1)( 2 ) 1 −

( +

−1

−

1

11. Persamaan gelombang tingkat kedua potensial Rosen Morse II o0 ℏ ( ) ℏo + oßhℏ f = commit to user 2 2

(

)

)

2

2

ℏh



1+

(− 1)(2 − 1) 1 − ( +

−2

−

1

)

2

ℏh

2

+

+

(2)( 2 − 1)( 2 ) −2

−

3

+

2

−2

1−

1

−

2

8

12. Persamaan gelombang tingkat ketiga potensial Rosen Morse II

1+

(

o0 ℏ f = 2

−3 2 − 2 1− +

+

−3

−

+

5 2

2

)

ℏh

ℏo + oßhℏ 2

+

5 2

+

−3

)

6 2 −2 2 −1

+

+

−3

−

5

−

3

+

2

+

2

(− 6)(2 − 2)( 2 − 1)( 2 )

−3

(

−3

−

1 2

ℏ ( − h) 2

= −

ℏ ( − h) 2

−3

−

1−

13. Persamaan umum tingkat energi potensial Gendenshtein I = −

ℏh

3 2

48

1−

ℏh

8

ℏh

14. Persamaan umum tingkat energi potensial Gendenshtein I

15. Persamaan umum tingkat energi potensial Rosen Morse = −

ℏ 2

− h

+

− h

Kesimpulan kedua, bahasa pemograman Delphi dapat digunakan untuk membuat simulasi sederhana berupa grafik untuk potensial efektif, fungsi gelombang dan nilai harap (probabilitas) dari masing-masing potensial. 1.

Untuk potensial Gendenshtein I, bentuk grafik potensial mirip dengan potensial sumur di mana partikel terkurung di dalam sumur pada batas -0,45 < x < 0,15 (x dalam radian). commit to user


2.


Untuk potensial Gendenshtein II, bentuk grafik potensial efektifnya mirip dengan sumur potensial dangkal. Bentuk grafik fungsi gelombang dasar dan probabilitas (nilai harap) berupa gelombang dengan satu bukit. Bentuk grafik fungsi gelombang tingkat pertama terdiri dari satu bukit dan satu lembah sedangkan bentuk grafik probabilitas fungsi gelombang tingkat pertama terdiri dari dua bukit.

3.

Untuk potensial Rosen Morse II, bentuk grafik potensial efektifnya mirip dengan potensial sumur. Bentuk grafik fungsi gelombang dasar dan probabilitas berupa gelombang dengan satu bukit. Bentuk grafik fungsi gelombang tingkat pertama terdiri dari satu bukit dan satu lembah sedangkan bentuk grafik probabilitas fungsi gelombang tingkat pertama terdiri dari dua bukit.

B. Implikasi Hasil Penelitian Berdasarkan kesimpulan di atas, implikasi yang dapat disampaikan adalah: 1.

Implikasi Teoritik Implikasi teoritik dalam penelitian ini yaitu dalam menerapkan metode

hypergeometry untuk menentukan persamaan gelombang dasar dari potensialpotensial yang termasuk dalam kelompok shape invariance potential diperlukan kejelian dan ketelitian dalam menentukan variabel yang akan disubstitusi ke dalam persamaan Schrodinger sehingga persamaan Schrodinger berubah menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi hypergeometry. Sekali persamaan diferensial fungsi hypergeometry terbentuk, spektrum energi dan fungsi gelombang dapat ditentukan dengan sederhana. commit to user



2.

Implikasi Praktis Metode hypergeometry dapat dijadikan sebagai salah satu alternatif untuk

menyelesaikan persamaan Schrodinger untuk menentukan persamaan gelombang dan spektrum energi suatu potensial. C. Saran Berdasarkan hasil penelitian, maka penulis mengajukan saran kepada peneliti selanjutnya untuk menganalisis persamaan fungsi gelombang untuk tingkat yang lebih tinggi.

commit to user

PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA commit to user

Recommend Documents