probabilitas, peluang bisnis, cita-cita & harapan

7/27/2015

sdc/2 STMIK MI, SI & TI/_Statistik Dasar HW/

probabilitas, peluang bisnis, cita-cita & harapan planning, pengembangan, mau nikah, kredit motor, dll

sejarah, masa lalu, data time series, Succes Story past

present

Kita sekarang menjaga kesehatan, untuk lebih sehat di masa datang Manfaat : jarang lupa, tidak terkejut, Antisipatif, Ber-alternatif, Improvisasi, Kreatif & Inovatif

future Ada ketidakpastian, dg ilmu  peluang positip  Optimisme

Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

1

Teori Probabilitas  Teori Probabilitas merup. Cabang dari Ilmu

Matematika Terapan, dan mempelajari perilaku dari faktor untung-untung-an  Dipengaruhi :  pemikiran teoritis & hasil observasi perjudian  cara pemecahan : harapan matematis Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

~~ Statistik Probabilitas~~

2

1

7/27/2015

Perumusan Probabilitas • Mis. ada 10 bola merah & 10 bola putih yg identik (kec.

warnanya), dimasukkan ke wadah tertutup. Bila diambil 1 bola maka : terambil BOLA MERAH atau BOLA PUTIH • Ada 2 macam kondisi : – Kondisi yang diketahui  bola identik, kecuali warnanya ; bolanya

ada 10 MERAH & 10 PUTIH – Kondisi yang tidak diketahui  posisi/kedudukan bola-2 tsb ; tindakan pemilihan  berdasarkan kemauan saja, tanpa merencanakan ttg yg akan dipilih Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

3

Kondisi yang diketahui  tergantung dari OBYEK-nya, mis. pada obyek

sederhana  DADU, KARTU, MATA UANG. Obyek yang lebih komplek  merk sepeda motor, merk mie instan, jumlah penduduk suatu wilayah, dll.  harus diketahui terlebih dulu, bila perlu harus survai atau sensus. Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


4

2

7/27/2015

Kondisi yang tidak diketahui  tergantung dari proses eksperimen  bisa ditentukan dg perhitungan  tidak dapat diduga dg PASTI, tapi dapat

dianalisa atas dasar logika ilmiah  Teori Probabilitas memberikan cara pengukuran KUANTITATIF ttg terjadinya suatu peristiwa Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

5

Ada 3 Konsep Probabilitas 1. Pendekatan Klasik 2. Pendekatan Frekuensi Relatif a) Newbold, P. (1995) dan Anderson

(2002) b) Walpole, RE. (1982)

3. Pendekatan Subyektif Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


6

3

7/27/2015

KONSEP PROBABILITA 1. Pendekatan Klasik : berbasis obyek-nya 



Pendekatan ini menggunakan asumsi jika suatu percobaan memiliki n kemungkinan hasil, maka peluang masing-masing kejadian adalah 1/n. Contoh: Pelemparan sebuah dadu bermata 6 Percobaan : Pelemparan sebuah dadu Ruang Sampel : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilita : Masing-masing kejadian munculnya mata dadu memiliki peluang sama, yaitu 1/6 Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

7

KONSEP PROBABILITA 2. Pendekatan Frekuensi Relatif : eksperimen a. Newbold, P. (1995) dan Anderson (2002):

Jika NA merupakan banyaknya kejadian A muncul dalam suatu percobaan berulang sebanyak N, maka dengan konsep relative frequency, peluang bahwa A akan terjadi adalah

P ( A) 

NA N



8

4

7/27/2015

KONSEP PROBABILITA

2. Pendekatan Frekuensi Relatif: (Lanjutan) b. Walpole, RE. (1982):

Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan yg berbeda, dan masing-masing mempunyai kemungkinan yg sama untuk terjadi, dan bila tepat n diantara hasil percobaan itu menyusun suatu kejadian A, maka peluang kejadian A adalah

n N

P (A ) 

p ( E )  lim

atau

n 

m n


p ( E )  lim n 

9

m n

x

1

2

3

4

5

6

m

166

169

165

167

169

164

m/n

166/1000

169/1000

165/1000

167/1000

169/1000

164/1000

 Pada pelemparan dadu 1000 kali, m/n akan memiliki

tendensi/kecenderungan ke suatu NILAI KONSTAN (1/6)  p(E)  Probabilitas Statistik /Probabilitas Empiris.  Bila n 

 maka Probabilitas empiris akan mendekati

probabilitas teoritis Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


10

5

7/27/2015

KONSEP PROBABILITA 3. Pendekatan Subyektif Contoh: Pemilihan calon Manajer Pemasaran di sebuah perusahaan berdasarkan keputusan Pimpinan perusahaan, umumnya menggunakan pendekatan ini. Misalkan A yang memiliki pengalaman dan prestasi kerja yang lebih baik daripada B, maka A akan diberikan peluang yang lebih besar dibandingkan B. Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

11

Jadi, ...

Probabilitas dirumuskan sebagai RASIO atau PROPORSI atau PERBANDINGAN Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


12

6

7/27/2015

Variabel Random :  Variation + able = berbeda/bervariasi + dapat, lawannya =

konstanta  Variabel yg nilainya merup. suatu bilangan yg ditentukan oleh terjadinya hasil suatu percobaan  Variabel yg secara teoritis dapat menerima sembarang nilai  Terdiri atas :  Variabel Diskrit  bil. bulat, pencacahan, { 1, 2, 3 }  Variabel Kontinu  bil. pecahan, pengukuran, { 1  x  3 } Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

13

Diagram Venn & Ruang Sampel • Azas-azas Teori Kelompok : – Perumusan ttg Probabilitas Matematik menggunakan istilah & pengertian ttg Teori Kelompok = Teori Himpunan = Set Theory • Kelompok = set : – Kumpulan dari obyek, benda atau simbol yg dapat dibedakan dan diberi batasan/rumusan/definisi yg tegas – Definisi : Dorce, Mr. X Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


14

7

7/27/2015

Diagram Venn & Ruang Sampel  Tiap obyek secara kolektif membentuk suatu kelompok

dinamakan UNSUR (ELEMENT). Sehingga tiap unsur merup. anggota dari kelompok tsb.  Jika a merup. suatu obyek, sedangkan S adalah suatu Kelompok, maka :

a  S  a merup. satu unsur dari kel. S a  S  a bukan merup. satu unsur dari kel. S Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

15

Diagram Venn & Ruang Sampel Ada 3 jenis kelompok : 1. Kelompok yg TERBATAS / Finite Set, jika susunannya tertentu, dari awal sd akhir 2. Kelompok yg TIDAK TERBATAS / Infinite Set, jika susunannya tidak terbatas 3. Kelompok KOSONG/empty set/null set, jika tidak memiliki unsur atau  Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


16

8

7/27/2015

Diagram Venn & Ruang Sampel Perincian ttg KELOMPOK • Cara DAFTAR, semua unsur diuraikan. mis. mata dadu S = { 1,2,3,4,5,6 } • Cara KAEDAH, dg menuliskan definisi atau syaratnya. mis. mata dadu S = { x : x adalah bil. bulat dan 1x6} Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

17

Diagram Venn & Ruang Sampel Contoh  Bila S = { 1,2,3,4,5,6 } dan N merup, kelompok yg terdiri dari angka-angka kuadrat dari rumus S, maka N = { 1,4,9,16,25,36 } atau N = { x2 : x merup. unsur dari S }  Jika HH = { a,i,u,e,o } maka HH = { x : x ialah huruf hidup/vokal dari 26 abjad } Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


18

9

7/27/2015

Diagram Venn & Ruang Sampel Kelompok & Sub-Kelompok :  Keseluruhan obyek yg membentuk kelompok yg besar dan tetap = kelompok universil / universal set / populasi = disebut KELOMPOK saja  Kelompok yg dipilih dan dibentuk dari kelompok universil = sub kelompok / sampel Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

19

Diagram Venn & Ruang Sampel

Kelompok & Sub-Kelompok : • Kelompok A merup. sub-kelompok B, bila setiap unsur dari A juga merupakan unsur dari B, dan dinyatakan sbg A  B dan Kelompok Kosong sbg sub-kelompok dari tiap kelompok • Mis. { 2,4 }  { 1,2,4 } { 1,3 }  { x : x  1 } { 1,5 }  { 1,5 }  kelompok dpt merup. sub-kelompok dari dirinya sendiri. Bila kelompok A = kelompok B, maka A  B dan B  A = kelompok identik Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


20

10

7/27/2015

Unsur Sub-kelompok

• Bila n merup. bil. bulat positip, maka suatu

kelompok dg unsur sebanyak n, akan memiliki 2n sub-kelompok yg berbeda • n=1  21 = 2  {a}, {} • n=2  22 = 4  {a}, {b}, {a,b}, {} • n=3  23 = 8  {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, {} Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

21

Diagram Venn & Ruang Sampel Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok :

1. Komplemen atau yg bukan kel. tsb 2. Interseksi/Irisan 3. Gabungan/Union 4. Mutually Exclusive Events Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


22

11

7/27/2015

Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok 1. Komplemen suatu kejadian  Komplemen suatu kejadian A relatif terhadap S (semesta) adalah himpunan semua anggota S yang bukan anggota A, dilambangkan dengan Ac.  Diagram Venn berikut mengilustrasikan Ac.

C A Haryoso  AWicaksono, S.Si.,{M.M., x M.Kom.  U- Pengantar : x Probabilitas  A}

23

Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok 2. Interseksi/Irisan dari 2 atau lebih kejadian  Irisan dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A  B, adalah kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan B.  Diagram Venn berikut mengilustrasikan A  B. AB

A  B  { x : x  A dan

x  B }



24

12

7/27/2015

Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok 3. Union/Gabungan dari 2 atau lebih kejadian  Paduan dua kejadian A dan B, dilambangkan dengan A  B, adalah kejadian yang mencakup semua unsur anggota A atau B atau keduanya.  Diagram Venn berikut mengilustrasikan A  B.

A  B  { x : x  A atau

x B }


25

Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok 4.

Kejadian yang saling meniadakan (Mutually Exclusive Events)  adalah suatu kejadian yang meniadakan kejadian lain untuk muncul dalam suatu ruang contoh. A

B

S

A  B   Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


26

13

7/27/2015


27

Contoh :  Jika U = 26 abjad alfabet, A = sub-kelompok huruf

vokal { a,i,u,e,o }, dan B = sub-kelompok 3 huruf pertama dari alfabet { a,b,c }.  Tentukan : A c

 A

B

 Bc

B= AB=

 A 



28

14

7/27/2015

Contoh :  Jika U = { 1,2,3,4,5,6,7 }, A = { 1,2,3 },

B = { 2,4,6 } & C = { 1,3,5,7 }  Tentukan :

A

c

 A

B

 Bc  Cc

B= AB=

 A 

C Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

29

Contoh :  Sebuah

perusahaan industri menggolongkan pegawai A, B & C. Gol. A = pegawai yg rajin Gol. B = pegawai yg sehat Gol. C = pegawai yg berpendidikan dan mungkin saja seorang pegawai rajin, sehat dan berpendidikan. Dengan survei 100 orang. Berapa orang yang harus di PHK ? PHK = tidak rajin, tidak sehat & tidak berpendidikan. Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


30

15

7/27/2015

Contoh :  Hasil survei :

Golongan A B C A dan B A dan C B dan C A dan B dan C

Diagram Venn menggambarkan secara sistimatis jumlah pegawai yg termasuk ke dalam suatu golongan saja TANPA pencatatan rangkap

Jumlah pegawai 50 52 40 20 13 15 5

A

AB C

A BC

AB C

15

22

22

ABC A BC

8

5

A BC

10

AB C

17

C ? Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

Solusi :

ABC

Golongan A B C A dan B A dan C B dan C A dan B dan C

31

Jumlah pegawai 50 52 40 20 13 15 5

Solusi : ABC 1. AB C = 5 ABC 2. A B C = AB – ABC = 20 – 5 = 15 3. A BC = AC – ABC = 13 – 5 = 8 A ABC AB C A B C A BC AB C 4. = BC – = 15 – 5 = 10 A BC AB C 15 5. A B C = A – (ABC +AB C +A BC ) 22 22 ABC 6. = 50 – ( 5 + 15 + 8 ) = 22 A BC 5 A BC AB C ABC A B C A BC 8 10 7. =B– ( + + ) 8. ABC= 52 – ( 5 + 15 + 10 ) = 22 AB C 17 9. =C– ( + + ) ABC ? C 10. = 40 – ( 5 + 8 +Haryoso 10 ) Wicaksono, = 17 S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


B

B

32

16

7/27/2015

Ruang Sampel  Bila tiap hasil suatu percobaan sesuai dg

salah satu unsur suatu kelompok, maka kelompok tsb  Ruang Sampel  Atau, semua kemungkinan hasil percobaan  Termasuk, dalam KONDISI YG DIKETAHUI  Harus ditentukan terlebih dahulu, sebelum menentukan nilai probabilitas Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

33

Ruang Sampel  Sebuah ruang sampel S merup. sebuah

kelompok yg :

 tiap unsur dari S menyatakan satu hasil

percobaan  Tiap hasil percobaan harus sesuai dg satu dan hanya satu dari unsur S

 Ruang sampel sangat khas, tergantung dari

obyek yang akan probabilitasnya

ditentukan



nilai

34

17

7/27/2015

Ruang Sampel Obyek Ruang Sampel :  Uang Logam, bersisi 2  2keping  K=kepala, E=ekor

 1 keping  RS = 21 = 2  {K, E}  2 keping  RS = 22 = 4  {KK, KE, EK, EE}  3 keping  RS = 23 = 8  {KKK, KKE, KEK,

KEE, EKK, EKE, EEK, EEE}  4 keping  RS = 24 = 16  .........


35

Ruang Sampel



36

18

7/27/2015

Ruang Sampel : 52 kartu bridge


37

Ruang Sampel

Obyek Ruang Sampel :  Dadu, bersisi 6  6keping  1 dadu  RS = 61 = 6  2 dadu  RS = 62 = 36  3 dadu  RS = 63 = 216  Bila dadu MERAH & dadu PUTIH dilempar bersama, maka JUMLAH MATA DADU-nya mempunyai Ruang Sampel S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } x,y

1

2

3

4

5

6

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)



38

19

7/27/2015

 Ruang Sampel pelemparan 2 dadu tsb bisa ditulis :

Ruang Sampel

S = { (x,y) | 1  x  6 ; 1  y  6 }  Maka :  Ruang Sampel terdiri atas 36 titik sampel  Probabilitas terwujudnya tiap titik sampel = 1/36  Contoh :  Buktikan probabilitas x = y sebesar 1/6  Buktikan probabilitas y  x + 3 sebesar 1/6 x,y

1

2

3

4

5

6

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)


39

RS ATURAN PENGHITUNGAN  Bila obyek masih sederhana (bisa diuraikan unsur-2-

nya), maka Ruang Sampel bisa di tentukan dari menguraikan unsur-2 Ruang Sampel-nya. Obyek sederhana, misal. mata uang & dadu  Bila obyeknya lebih KOMPLEK, maka digunakan : ATURAN PENGHITUNGAN (COUNTING RULES) Terdiri :  Kaidah penggandaan (Multiplication rule)  Permutasi (seluruhnya, sebagian & berbeda)  Kombinasi Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


40

20

7/27/2015

ATURAN PENGHITUNGAN 1. Kaidah penggandaan (Multiplication rule).

Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, bila untuk setiap pasangan dua cara yang pertama operasi ketiga bisa dilakukan dalam n3 cara, dan demikian seterusnya, maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n1×n2×…×nk cara. – Dapat dijabarkan secara mudah dengan bantuan diagram pohon (tree diagram) Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

41

ATURAN PENGHITUNGAN CONTOH: INVESTASI BRADLEY 

Bradley menginvestasikan uangnya pada 2 saham, yaitu Markley Oil dan Collins Mining. Bradley telah menghitung kemungkinan hasilnya selama 3 bulan dari sekarang. Berikut kemungkinannya :

Keuntungan (+)/kerugian (–) investasi dalam 3 bulan ($000) Markley Oil

Collins Mining

10

8

5

-2

0 -20 Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


42

21

7/27/2015

ATURAN PENGHITUNGAN 

Diagram Pohon Markley Oil (Stage 1)

Collins Mining (Stage 2) U n tu n g 8

$ 1 8 ,0 0 0 $ 8 ,0 0 0

U n tu n g 8

(5 , 8 )

U n tu n g

$ 1 3 ,0 0 0

R ugi 2

(5 , - 2 )

U n tu n g

$ 3 ,0 0 0

(0 , 8 )

U n tu n g

$ 8 ,0 0 0

(0 , - 2 )

R ugi

$ 2 ,0 0 0

U n tu n g 8

Im p a s R ugi 20

U n tu n g

(1 0 , - 2 ) U n tu n g

R ugi 2

U n tu n g 1 0

U n tu n g 5

(1 0 , 8 )

Hasil Percobaan

R ugi 2 U n tu n g 8

(-2 0 , 8 ) R u g i

$ 1 2 ,0 0 0

R ugi 2

(-2 0 , -2 ) R u g i

$ 2 2 ,0 0 0


43

ATURAN PENGHITUNGAN 2. Permutasi (berbeda  sama & berbeda n & r-nya) :

Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda yang berbeda adalah n Pr 

dimana

n! (n  r )!

n! = n.(n-1).(n-2) … (2).(1) (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2) … (2).(1) 0! = 1 Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


44

22

7/27/2015

ATURAN PENGHITUNGAN

Contoh : Permutasi Seluruhnya : bila n = r Dalam berapa cara 3 buku A, B & C yg berbeda dapat diletakkan secara teratur di rak buku ?  ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA 3

P3 

3! 3! 1.2.3   6 (3  3)! 0! 1

Permutasi Sebagian : bila n > r Dalam berapa carakah 2 huruf yg berbeda dari kata “ l a u t “ dapat diatur atau dipilih dalam suatu urutan tertentu ?  {l,a}, {l,u}, {l,t}, {a,l}, {a,u}, {a,t}, {u,l}, {u,a}, {u,t}, {t,l}, {t,a} & {t,u} 4

P2 

4! 4! 2!.3.4    12 (4  2)! 2! 2!


45

ATURAN PENGHITUNGAN Contoh : Dua kupon lotere diambil dari 20 kupon untuk menentukan hadiah pertama dan kedua, maka banyaknya titik contoh [ruang sampel / sample space] adalah 20 P2 

n! 20! 20! 18!.19.20     19.20  380 (n  r )! (20  2)! 18! 18! Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


46

23

7/27/2015

ATURAN PENGHITUNGAN 3. Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, …, nk berjenis ke-k adalah (n )! (n  n  ...  n )! i

n !n !...n !



1

2

k

n !n !...n !

i 2 k 1 2 k Contoh: Banyak susunan yang berbeda bila kita ingin membuat sebuah rangkaian lampu hias yang terdiri dari 3 lampu merah, 4 kuning, dan 2 biru adalah

(3  4  2)! 9!   1260 3! . 4! . 2! 3!4!2! Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

47

ATURAN PENGHITUNGAN

4. Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda adalah

n n!    C  r n r r!( n  r )!  

Contoh: Jika dari 4 orang anggota partai X akan dipilih 2 orang untuk menjadi anggota suatu tim Pansus, maka banyaknya kombinasi adalah  4 4! 4! 2!.3.4 12    C     6 4 2  2 2 !.( 4  2 )! 2 !. 2 ! 2 !. 2 2   Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


48

24

7/27/2015

ATURAN PENGHITUNGAN Contoh: Berapa jumlah kombinasi sebanyak 3 unsur yg diambil dari kelompok {a,b,c,d,e} ?  5 5! 5! 3!.4.5 20   3   5 C3  3!.(5  3)!  3!.2!  3!.1.2  2  10  

 {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e} Probabilitas untuk memilih sebuah sampel yg terdiri dari 3 orang dari populasi yg terdiri 30 orang adalah : p (3 orang ) 

1  C3

30

1 1 1 1 1     30! 30! 27!.28.29.30 28.29.30 4060 3!.(30  3)! 3! . 27! 1.2.3 . 27! 1.2.3


49

Perhitungan dalam Probabilitas 1.Probabilitas suatu Peristiwa :  Bila suatu percobaan dapat menimbulkan sejumlah n (ruang sampel) hasil yg berbeda & memiliki kesempatan terwujud yg sama (var. random), dan bila m (suatu kejadian tertentu) dari hasil diatas merup. peristiwa A, maka Probabilitas peristiwa A adalah : p( A) 

m kejadian  n seluruh

tertentu kejadian



kejadian ruang

 Probabilitas peristiwa bukan A adalah : p( A)  1  p( A) 

tertentu sampel

n m n



50

25

7/27/2015

Perhitungan dalam Probabilitas 1.Probabilitas suatu Peristiwa : Contoh :  Sebutir dadu empat sisinya dicat MERAH, dua sisinya dicat PUTIH. Bila dadu dilempar sekali, maka :  berapakah probabilitas muncul sisi MERAH ?  berapakah probabilitas muncul sisi PUTIH ?  Jawab : m merah 4 2 p ( merah )     0 , 667  Prob (Merah) : n 6 3  Prob (Putih) :

atau

p ( putih ) 

m

putih

n



2 1   0 , 333 6 3

p ( putih )  1  p ( putih )  1  p ( merah )  1  Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

2 1  3 3 51

Perhitungan dalam Probabilitas 2.Peristiwa yg Eksklusif : tidak ada yg sama satu sama lain  Bila A & B EKSKLUSIF secara Bersama dan merup. peristiwa, dalam sebuah ruang sampel terbatas, maka :

p( A  B )  p( A)  p(B ) dimana A  B =  dan p (A  B) = 0  Mis. Sebutir dadu dilempar sekali, Berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1 ATAU mata dadu 5 ? Jawab : p (A  B) = p (A) + p(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3 Berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1 ATAU 3 ATAU 5 ATAU 6 ?  1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3 Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


52

26

7/27/2015

Perhitungan dalam Probabilitas 3.Peristiwa yg BUKAN Eksklusif : ada yg sama/kembar  Bila peristiwa A & B merup. suatu gabungan (union) dan TIDAK EKSKLUSIF secara bersama dan terdapat pada sebuah ruang sampel terbatas, maka :

p( A  B )  p( A)  p(B )  p( A  B )

 Contoh :

Kelompok brigade tempur sukarela, ½-nya adalah SUKARELAWAN & ½-nya adalah SUKARELAWATI. 20% dari SUKARELAWATI adalah MAHASISWI, dan 60% dari SUKARELAWAN adalah MAHASISWA. Bila dipilih secara random seorang dari brigade tsb, berapakah probabilitas seorang WANITA atau seorang Mahasiswa terpilih ? Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

53

Perhitungan dalam Probabilitas 3.Peristiwa yg BUKAN Eksklusif : Bila digambar Diagram Pohon-nya (Tree Diagram) :

N ½N Sukarelawan

60% Mahasiswa

40% bukan Mahasiswa

mahasiswa

½N Sukarelawati

20% Mahasiswi

80% bukan Mahasiswi



54

27

7/27/2015

Perhitungan dalam Probabilitas 3.Peristiwa yg BUKAN Eksklusif : Jawab : • Bila A = peristiwa WANITA terpilih = 0,5  SUKARELAWATI • Pengertian Mahasiswa  PEREMPUAN & LAKI-LAKI. Bila B = peristiwa MAHASISWA terpilih  ada 2 asal MAHASISWA = yg Perempuan + yg Laki-laki = (20% x ½) + (60% x ½) = 10% + 30% = 40% = 0,4 • Yang RANGKAP = p (AB) = 20% x ½ = 0,1  ada mahasiswi yg WANITA sekaligus Kuliah (mahasiswa). • Maka : A S p (A  B) = p (A) + p(B) - p (A  B) 0,4 0,1 0,3 = 0,5 + 0,4 – 0,1 = 0,8 N.

B


55

Perhitungan dalam Probabilitas 4.Peristiwa yg KOMPLIMENTER : _  Bila terdapat peristiwa A dan peristiwa_ A dalam _ _ bila A meliputi sebuah ruang sampel yg sama dan semua unsur _ kecuali A, maka A merup. peristiwa KOMPLIMENTER bagi A  Notasi : p (A) = 1 – p(A)  Contoh lihat Perhitungan no. 1 Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


56

28

7/27/2015

Perhitungan dalam Probabilitas


57


5.Peristiwa yg INDEPENDEN :  Bila dan hanya bila terjadi atau tidak terjadinya peristiwa PERTAMA, tidak mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya peristiwa KEDUA. Peristiwa Pertama TIDAK TERKAIT dengan peristiwa Kedua. Notasi : p (A  B) = p (A) . p(B)  Contoh : Pada pelemparan dua butir dadu MERAH & PUTIH, tentukan probabilitas DADU MERAH X  3 dan DADU PUTIH Y  5 !  Jawab :  Siapkan Ruang Sampelnya  tentukan P(X  3)  tentukan P(Y  5) Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


58

29

7/27/2015

Perhitungan dalam Probabilitas 5.Peristiwa yg INDEPENDEN :  Probabilitas dadu MERAH X  3 = 18/36 = 1/2  Probabilitas dadu PUTIH Y  5 = 12/36 = 1/3 x,y

1

2

3

4

5

6

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

 p (A  B) = p (A) . p(B) = 1/2 . 1/3 = 1/6 Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

59


6.Probabilitas BERSYARAT :  Probabilitas mengenai sebagian dari ruang sampel TERKADANG lebih penting dibandingkan seluruh dari ruang sampel  Mempersempit Ruang Sampel  Misal :  Penderita JANTUNG  KOTA BANDUNG  RS HS.  Daerah rawan KEBAKARAN  KOTA BANDUNG  Padat penduduk & industri  Terdapat perbedaan pengertian antara probabilitas peristiwa dlm SUBKELOMPOK & probabilitas ruang sampel ASAL (kelompok)  diperlukan syarat tambahan  Probabilitas yg berhubungan dg peristiwa dalam sub-kelompok dinamakan PROBABILITAS BERSYARAT. Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


60

30

7/27/2015

Perhitungan dalam Probabilitas 6.Probabilitas BERSYARAT : • Pada pelemparan dadu MERAH (x) & PUTIH (y), bila x + y < 4, berapakah probabilitas x = 1 ? 1. Hasil x + y < 4  B = {(1,1), (1,2), (2,1)}  dari RS semula 36, dipersempit menjadi 3 saja. Dari RS = 3, hanya 2 dari 3 yg memenuhi x = 1  prob. x = 1 dengan syarat x + y < 4 = p(B) = 2/3. 2. Bila prob. x = 1 TANPA SYARAT x + y < 4  A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)}  p(A) = 6/36 = 1/6 3. Interseksi (yg rangkap) antara peristiwa A & B = A  B :

p(A) = 1/6 & p(B) = 3/36  p (A  B) = 2/36 Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

61

Perhitungan dalam Probabilitas 6.Probabilitas BERSYARAT : 4. Bila prob. peristiwa x = 1 dengan syarat peristiwa x+y<4 dinotasikan dg p(A|B) = 2/3, maka : p (A  B) = p (B) . p (A|B) 2/36 = (3/36) . (2/3) atau : p(A  B)

p(A | B) 

p(B ) p(B  A) p( A)

p(A  B) p( A)

5. Bila probabilitas B dg syarat peristiwa A, maka : p ( B | Aperistiwa )  Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


62

31

7/27/2015

Variabel Random Definisi :  Variabel = variatif + able = dapat bervariasi  Random = acak, tidak beraturan, tidak diketahui  Variabel yg nilainya merupakan suatu bilangan yg ditentukan oleh terjadinya hasil suatu percobaan  Or, Outcomes of an experiment expressed numerically Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

63

Variabel Random Terdiri :  V.R. diskrit/discrete : dinyatakan dg nilai-nilai atau harga-harga yg terbatas jumlahnya, atau dinyatakan dg bilangan bulat  {-2, -1, 0, 1, 2}  V.R. kontinu/continous : dinyatakan dg sembarang nilai atau harga-harga yg terdapat dalam suatu interval atau kelompok interval tertentu, atau dinyatakan dg bilangan pecahan  {-2  x  2} Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


64

32

7/27/2015

Variabel Random DISKRIT Mis. :  Histogram distribusi frekuensi relatif dari hasil pengukuran/observasi variabel random X yg DISKRIT dalam suatu percobaan sebanyak 100 kali, yg juga merup. DISTRIBUSI EMPIRIS

• Apa bedanya percobaan 100 dg 1000 kali ? – Bila n=100  ukuran histogram renggang – Bila n=1000  ukuran histogram lebih rapat – Bila n=   mendekati kurva kontinu  distribusi

teoritis


boredom = boring = bosan = jenuh



65

66

33

7/27/2015


67

Variabel Random DISKRIT Contoh :  Distribusi frekuensi timbulnya JUMLAH MATA DADU sebagai hasil percobaan sebanyak 100 kali  EKSPERIMEN  Bagaimana bila dibandingkan dg frekuensi relatif TEORITIS  kalau yg TEORITIS dirumuskan dari RUANG SAMPEL yg memenuhi. Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


68

34

7/27/2015


69

Metode Eksperimen/Empiris



70

35

7/27/2015

Variabel Random DISKRIT  Meskipun histogram frekuensi relatif TEORITIS tidak sama dg

yg EMPIRIS (eksperimen), tapi jika percobaan diulang sampai TAK HINGGA, maka frekuensi relatif EMPIRIS akan mendekati histogram TEORITIS-nya.  Ada dua jenis Fungsi Probabilitas :

 f (x) = 1



f (x) = p (X = x) ; f (x)  0 ;



F (x) = p (X  x) ; lim F(x) = 1 untuk x   ; lim F(x) = 0 untuk x   Distribusi Kumulatif.

-


71

Variabel Random DISKRIT Dari Ruang Sampel : Pelemparan 2 dadu x,y

1

2

3

4

5

6

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

Ruang Sampel di atas : S = { (x,y) | 1  x  6 ; 1  y  6 } Fungsi probabilitas Jumlah Mata Dadu, X= 2, 3, ..., 12. Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


72

36

7/27/2015

VR Diskrit  Jika X menyatakan variabel random yang harganya bagi

   

sembarang unsur dalam S (ruang sampel) ialah JUMLAH mata dadu dari sepasang dadu dalam percobaan maka fungsi probabilitas f(x) adalah : f(x) = p( X = x ) ; f(x)  0 ;  f(x) = 1. Dalam pengambilan keputusan, selain X = x, juga probabilitas X  x atau X  x. Maka probabilitas untuk X  100 atau X  100 dinyatakan dg : F(100) = p( X  100 ) atau F(100) = p( X  100 ). F (x) = fungsi probabilitas kumulatif Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

73

Variabel Random DISKRIT

Tentukan : ada perbedaan antara f(x) & F(x)  f(5) =  f(7) =  F(3) =  F(6) = Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


74

37

7/27/2015


Metode Teoritis Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

75




76

38

7/27/2015



77

Rata-rata & Standart Deviasi untuk VR Diskrit



78

39

7/27/2015


79

Contoh :  Tentukan Rata-rata & Standart Deviasi untuk Jumlah Mata Dadu

yg timbul sebagai hasil pelemparan sepasang dadu.

 ܴܽ‫ ܽݐ‬െ ‫׷ ߤܽݐܽݎ‬ ଺ ଷ଺

௜


ହ ଷ଺

௜

ସ ଷ଺

ଵ ଷ଺

ଷ ଷ଺

ଶ ଷ଺

ଷ ଷ଺ ଶ ଷ଺

ସ ଷ଺ ଵ ଷ଺

7


ହ ଷ଺ 80

40

7/27/2015

Contoh :

ܸܽ‫ߪ(݅ݏ݊ܽ݅ݎ‬ଶ) :



ଵ ଶ ଷ + (3 − 7)ଶ. + (4 − 7)ଶ. + ଷ଺ ଷ଺ ଷ଺ ହ ଺ ହ (6 − 7)ଶ. + (7 − 7)ଶ. + (8 − 7)ଶ. + ଷ଺ ଷ଺ ଷ଺ ଵ ଶ ଷ ଶ ଶ (10 − 7) . + (11 − 7) . + (12 − 7)ଶ. = 5.833 ଷ଺ ଷ଺ ଷ଺

ߪଶ ൌ ȭሺ‫ݔ‬௜െߤሻଶǤ݂ ‫ݔ‬௜ = (2 − 7)ଶ. ସ + ଷ଺ ସ 7)ଶ. + ଷ଺

(5 − 7)ଶ. (9 −

Maka, Standart Deviasi =  =  VAR =  (5.833) = 2.415 Xi

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Jumlah

f(xi)

1/36

2/36

3/36

4/36

5/36

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

1

Xi . f(xi)

2/36

6/36 12/36 20/36 30/36 1 6/36 1 4/36

30/36 22/36 12/36

7

2

(Xi - m) . f(xi) 0.694 0.889 0.750 0.444 0.139

0

1

0.139 0.444 0.750 0.889 0.694

5.833


Contoh : Jika 4 (empat) keping uang logam di lempar, berapakah rata-rata & standar deviasi munculnya K (kepala) ?  Uang Logam mempunyai 2 sisi (Kepala & Ekor)  Fungsi Probabilitas :

81

KKKK

KEKK

EKKK

EEKK

KKKE

KEKE

EKKE

EEKE

KKEK

KEEK

EKEK

EEEK

KKEE

KEEE

EKEE

EEEE

Xi

0

1

2

3

4

Jumlah

f(xi)

1/16

4/16

6/16

4/16

1/16

1.00

X i . f(xi)

0

4/16

12/16

12/16

4/16

2.00

0.250

0.250

0

0.250

0.250

1.00

2

(X i - m) . f(xi)

 ܴܽ‫ ܽݐ‬െ ‫ ߤ׷ ܽݐܽݎ‬ൌ ȭ‫ݔ‬௜Ǥ݂ ‫ݔ‬௜ = 2.00  ܸܽ‫ߪ׷݅ݏ݊ܽ݅ݎ‬ଶ = 1.00  Maka, Standart Deviasi =  =  VAR =  (1.00) = 1.00



82

41

7/27/2015

Harapan Matematis  Bila peristiwa A1, A2, A3, ..., Ak merupakan peristiwa

independen yg lengkap terbatas, sedangkan p1, p2, p3, ..., pk merupakan probabilitas terjadinya masing-2 peristiwa di atas. Maka, andaikan seseorang memenangkan sejumlah uang U1 bila peristiwa A1 , uang U2 bila peristiwa A2 , dst. terjadi maka :  Harapan Matematis memperoleh kemenangan A(U) :

A(U) = U1.p1 + U2.p2 + ... + Uk.pk

 Diterapkan dalam pertaruhan (konsep judi) & asuransi Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

83

Harapan Matematis [contoh] Pada permainan judi/taruhan/games of chance pelemparan 2 (dua) uang logam dilakukan oleh si X & Y. Si X akan menerima sejumlah uang dari Y. X akan menerima :  Rp 1,000,- bila hasil pelemparan memperoleh 2K.  Rp 500,- bila hasil pelemparan memperoleh 1K.  Rp 0,- bila hasil pelemparan TIDAK memperoleh K (0K). Berapakah yg harus dibayar oleh X kepada Y untuk setiap permainan agar taruhan dikatakan seimbang ?



84

42

7/27/2015

Harapan Matematis [contoh] Pada permainan judi/taruhan/games of chance pelemparan 2 (dua) uang logam dilakukan oleh si X & Y. Si X akan menerima sejumlah uang dari Y. X akan menerima :  Rp 1,000,- bila hasil pelemparan memperoleh 2K.  Rp 500,- bila hasil pelemparan memperoleh 1K.  Rp 0,- bila hasil pelemparan TIDAK memperoleh K (0K). Berapakah yg harus dibayar oleh X kepada Y untuk setiap permainan agar taruhan dikatakan seimbang ? Soal di atas memiliki 3 peristiwa : Pelemparan 2 keping Uang Logam : KK

2K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4 --> Rp 1,000,-

KE

1K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4

EK

1K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4

EE

0K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4 --> Rp 0,- (kalah)

--> Rp 500,-


85

Harapan Matematis [contoh] Soal di atas memiliki 3 peristiwa : Pelemparan 2 keping Uang Logam : Xi

0

1

2

Jumlah

f(xi) = pk

1/4

2/4

1/4

1

Uk

0

500

1000

1500

U k . pk

0

250

250

500

Kemenangan rata-rata tiap permainan (nilai taruhan tiap pengundian) :

A(U) = U1.p1 + U2.p2 + U3.p3 = Rp. 500,Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


86

43

7/27/2015

Harapan Matematis [contoh] Pada Jasa Asuransi, dari tabel Mortalita diketahui bahwa seseorang usia 25 tahun dapat hidup selama setahun adalah 0.992 (992/1000), yang berarti probabilitas mortalitanya (kematiannya) adalah 0.008 (8/1000). Bila perusahaan asuransi akan menjual Polis kepada seseorang usia 25 tahun untuk jangka waktu setahun dg Premi Rp 10,000,- Berapakah keuntungan dari perusahaan asuransi tsb ? Dengan polis asuransi sebesar Rp 1,000,000,Ada 2 peristiwa : [Prob.Kecil x UangBesar] vs [Prob.Besar x UangKecil]  Peristiwa pertama/meninggal dalam setahun p1 = 0.008  Peristiwa kedua/tidak meninggal dalam setahun p2 = 0.992  Peristiwa pertama mengeluarkan uang U1 = - (1,000,000-10,000) = 990,000  Peristiwa kedua menerima uang U2 = + 10,000 Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

87

Harapan Matematis [contoh]

Pada Jasa Asuransi, dari tabel Mortalita diketahui bahwa seseorang usia 25 tahun dapat hidup selama setahun adalah 0.992 (992/1000), yang berarti probabilitas mortalitanya (kematiannya) adalah 0.008 (8/1000). Bila perusahaan asuransi akan menjual Polis kepada seseorang usia 25 tahun untuk jangka waktu setahun dg Premi Rp 10,000,- Berapakah keuntungan dari perusahaan asuransi tsb ? Dengan polis asuransi sebesar Rp 1,000,000,Maka harapan matematisnya : A(U) = U1.p1 + U2.p2 = [- 990,000 x 0.008 ] + [10,000 x 0,992] = 2,000,dan selama positip, pihak asuransi memperoleh keuntungan. Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


masih 88

44

7/27/2015

Konsep Integral


89

Konsep Integral



90

45

7/27/2015

Konsep Integral


91

Konsep Integral



92

46

7/27/2015

Konsep Integral


93

Variabel Random Kontinu  Pengukuran-2

berat badan, panjang, diameter, dsb, dinyatakan dg variabel kontinu. Variabel kontinu menyatakan sembarang nilai dalam suatu interval. Fungsinya dinamakan Fungsi Kepadatan Probabilitas (probability density function).  Jika X merupakan variabel random kontinu yg bernilai - ~ s/d + ~ maka Fungsi Kepadatan yang menggambarkan probabilitas X dalam interval a s/d b dimana a  b ialah : ௕ ௔ Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


94

47

7/27/2015

V.R. Kontinu – Contoh #1 Variabel random X memiliki Fungsi Kepadatan sbb. :  ݂ ‫ ݔ‬ൌ ͲǢ‫ ݔ‬൑ ʹ

݂‫ ݔ‬ൌ

ଵ . ଵ଼

͵ ൅ ʹǤ‫ ݔ‬Ǣʹ ൏ ‫ ݔ‬൏ Ͷ

 ݂ ‫ ݔ‬ൌ ͲǢ‫ ݔ‬൒ Ͷ

Jika x = 2 dan x’ = 3, berapakah p( x < X < x’ ) atau berapakah p ( a < X

V.R. Kontinu – Contoh #1 x

f(x)

1

2,00

0,3889

2

2,10

0,4000

3

2,20

0,4111

4

2,30

0,4222

5

2,40

0,4333

6

2,50

0,4444

7

2,60

0,4556

8

2,70

0,4667

9

2,80

0,4778

10

2,90

0,4889

11

3,00

0,5000

12

3,10

0,5111

13

3,20

0,5222

14

3,30

0,5333

15

3,40

0,5444

16

3,50

0,5556

17

3,60

0,5667

18

3,70

0,5778

19

3,80

0,5889

20

3,90

0,6000

21

4,00

0,6111

f ( x) 

1 .(3  2.x ) 18

.7

.6

.5 Luas Segitiga=½ x alas x tinggi = ½ x 1 x 0,1111 = 0,0556 0.1111

.4

VAR00002

no

Luas Total = L.Segitiga + L.Persegi Panjang = 0,0566 + 0,3889 = 0,4445 = 4/9 Luas Persegi Panjang = panjang x lebar = 1 x 0,3889 = 0,3889

0.3889

.3 1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

VAR00001



95

96

48

7/27/2015

V.R. Kontinu – Contoh #2 Variabel random X memiliki Fungsi Kepadatan sbb. :  ݂ ‫ ݔ‬ൌ ʹǤ‫ݔ‬ǢͲ ൏ ‫ ݔ‬൏ ͳ  ݂ ‫ ݔ‬ൌ ͲǢ݈ܽ݅݊݊‫ܽݕ‬Ǥ ଵ ଶ

a. Berapakah ‫݌‬ሺ ൏ ܺ ൏ ଵ ଶ

b. Berapakah ‫݌‬ሺെ ൏ ܺ Jawab : a. ‫݌‬

ଵ ଶ

b. ‫ ݌‬−

൏ܺ൏ ଵ ଶ

ଷ ସ

<ܺ<

య ర భ మ

ଷ )? ସ ଵ ൏ ) ଶ

?

= ∫ ʹǤ‫ ݔ݀ݔ‬ൌ

ଵ ଶ

భ మ భ ି మ

ହ ଵ଺

଴

భ

ଵ ସ

= ∫ 2. ‫ ି∫ = ݔ݀ ݔ‬భ 2. ‫ ݔ݀ ݔ‬+ ∫଴మ 2. ‫ = ݔ݀ ݔ‬0 + = మ


ଵ ସ

97

V.R. Kontinu – Contoh #2 Grafik f(x) = 2.x. No

x

f(x)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00

Luas Segitiga = = ½ x alas x tinggi = ½ x ¼ x ½ = 1/16

Luas Total = = L.Segitiga + L.Persegi Panjang = 1/16 + 4/16 = 5/16

Luas Persegi Panjang = = panjang x lebar = 1 x ¼ = ¼ = 4/16



98

49

7/27/2015

V.R. Kontinu – Contoh #2 Grafik f(x) = 2.x. No

x

f(x)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00


99

VRK – Rata-rata & Standart Deviasi

#1

#2



100

50

7/27/2015

VRK – Rata-rata & Standart Deviasi Variabel random X memiliki fungsi kepadatan probabilitas sbb. :  ݂ ‫ ݔ‬ൌ ͲǢ‫ ݔ‬൑ Ͳ  ݂‫ ݔ‬ൌ

ଷ ଼

Ǥሺ‫ ݔ‬െ ʹሻଶǢͲ ൏ ‫ ݔ‬൏ 2

 ݂ ‫ ݔ‬ൌ ͲǢ‫ ݔ‬൒ ʹ

Tentukan Rata-rata, Varians & Standart Deviasi-nya ! Jawab :


101

VRK – Rata-rata & Standart Deviasi Jawab :



102

51

7/27/2015

VRK – Rata-rata & Standart Deviasi Jawab :


103

Info UAS & TUGAS PraUAS  UAS boleh OpenBook, waktu 80-90 menit, Perhitungan

&/ Teoritis, materi : Probabilitas s/d Dist.Kontinu  Soal Tugas PraUAS : di PUSTAKA-MAYA di folder:

192.168.1.10 - /ebook/1_MK_DASAR/STATISTIK DASAR & STAT EKO BISNIS 1/Haryoso_Wicaksono/3_Stat.Dasar STMIK pra UAS/ Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas


104

52

7/27/2015



105


106

53

7/27/2015

Microsoft Mathematic - V.R. Kontinu – Contoh #1



107

54

probabilitas, peluang bisnis, cita-cita & harapan

Recommend Documents