Průmyslová střední škola Letohrad
Ing. Soňa Chládková
Sbírka příkladů ze stavebních konstrukcí
©2014 Tento projekt je realizovaný v rámci OP VK a je financovaný ze Strukturálních fondů EU (ESF) a ze státního rozpočtu ČR.
ÚVOD Návod k použití Sbírka je doplňkovým studijním materiálem k učebnicím stavebních konstrukcí. Neobsahuje potřebné výňatky z norem (tabulky, grafy,...), proto doporučuji pracovat společně s učebnicí. Do sbírky jsou zařazeny typové příklady pro návrh a posouzení zděných konstrukcí, betonových konstrukcí z prostého betonu a ţelezobetonu, ocelových a dřevěných konstrukcí. Na konci jednotlivých kapitol jsou uvedeny kontrolní otázky z teorie, které shrnují danou problematiku. Doporučuji k promyšlení. Přeji vám dostatek píle a trpělivosti.
2
OBSAH 1.
ZDĚNÉ KONSTRUKCE
4
Zděné konstrukce namáhané tlakem Zděné konstrukce namáhané soustředěným tlakem Zděné konstrukce namáhané tlakem a smykem
2.
KONSTRUKCE Z PROSTÉHO BETONU
29
Tlačené konstrukce Prvky namáhané tlakem a smykem Za předpokladu vzniku trhlin Bez trhlin
3.
ŽELEZOBETONOVÉ KONSTRUKCE
32
Tlačené konstrukce Prvky namáhané tlakem a smykem Ţelezobetonová deska Ţelezobetonový trám
4.
OCELOVÉ KONSTRUKCE
41
Vzpěrný tlak – celistvé průřezy Členěné pruty – s příhradovinou a rámovými spojkami Ohýbané prvky – nosníky
5.
DŘEVĚNÉ KONSTRUKCE
63
Tlačený členěný sloup Tlačený celistvý sloup a otlačení Ohýbané prvky – nosníky
ZDROJE Skripta Zděné konstrukce, Betonové konstrukce, Kovové konstrukce a Dřevěné konstrukce – autor Ing. Ludvík Motyčka (Studijní materiál pro výuku Stavebních konstrukcí na SPŠ Letohrad).
3
ZDĚNÉ KONSTRUKCE
1.
ZDĚNÉ KONSTRUKCE NAMÁHANÉ TLAKEM PŘÍKLAD č. 1 Určete únosnost a posuďte obvodovou zeď v hlavě a patě, jednostranně zatíţenou dřevěnou stropní konstrukcí. zadání :
zdicí prvky – cihelné bloky CD INA (rozměry 365/245/140 mm) P 10 – fb – pevnost zdicích bloků udaná výrobcem (MPa) ρ = 1000 kg/m3 (objemová hmotnost zdiva) skupina zdicích prvků 3; kategorie I malta obyčejná (tl. spáry > 3mm) návrhová MVC 5 – pevnost –
fm výška zdi h = 4,0m vzdálenost ztuţujících stěn l = 5,0 m návrhová hodnota zatíţení nad vyšetřovanou zdí NEd = 150 kN počáteční výstřednost e = 0,1 m (Mid/Nid)
nápověda :
Uvědomte si o jakou konstrukci jde, jakým způsobem je podepřená. Proveďte rozbor vzorce pro výpočet únosnosti konstrukce – maximální síly, kterou je konstrukce schopna přenést (NRd). 4
Ujasněte si význam veličin obsaţených i v ostatních vzorcích, uvědomte si, na čem a jak únosnost konstrukce závisí.
řešení : ÚNOSNOST ZDIVA (obecně)
NRd i,m = Фi,m * b * t * fd Nrdi,m – návrhová únosnost jednovrstvé stěny v tlaku Фi,m – zmenšující součinitel vyjadřující vliv štíhlosti konstrukce a výstřednosti zatíţení v hlavě a patě konstrukce (ei), ve střední části výšky konstrukce (emk) t – skutečná tloušťka stěny b – šířka průřezu stěny fd =
=
= 1,421 MPa
fk = K * fb0,7 * fm0,3 = 0,35 * 10 0,7 * 50,3 = 2,842 MPa K = 0,35 (tabulková hodnota – skupina zdicích prvků 3, obyčejná malta, bez podélné spáry) γM = 2,0 (normová hodnota – kategorie zdicích prvků I, malta návrhová)
pevnost zdiva návrhová charakteristická
NRd i = Фi * b * t * fd = 0,425 * 1,0 * 0,365 * 1,421*103 = 220,432 kN Фi = 1 –
=1–
ÚNOSNOST v hlavě a patě
= 0,425
ei – excentricita v hlavě a patě konstrukce ei =
+ ehe + einit = 0,1 + 0 + 0,005 = 0,105 m
0,105 m ≥ 0,018 → dosazujeme větší hodnotu → ei = 0,105 m
PODMÍNKA ei ≥ 0,05 * t
na konstrukce nepůsobí boční zatíţení → ehe = 0 einit – výstřednost od nepřesností einit =
=
= 0,005 m
hef = ρn * h = 0,610 * 4 = 2,44 m
30 * 0,365 > 5 → 10,95 > 5 → ρn = ρ4 (konstrukce je čtyřikrát podepřená)
hef vzpěrná výška ρn - součinitel podepření konstrukce PODMÍNKA 30 * t > l PODMÍNKA h ≤ 1,15 *l
5
4 ≤ 1,15 *5 → 3,2 ≤ 5,75 → 4
2
=
= 0,610
dřevěné stropní konstrukce → 2 = 1,0 Při výpočtu se vracíme zpět a doplňujeme vypočítané hodnoty jednotlivých veličin.
PODMÍNKA u≥ t u ≥ 85 mm
POZNÁMKA :
závěr : Únosnost tlačené zdi v hlavě nebo patě 220 kN.
NRdi ≥ NEdi zatíţení hlavy konstrukce :
POSOUZENÍ v hlavě a patě PODMÍNKA SPOLEHLIVOSTI
NEdi = 150 kN zatíţení paty konstrukce : NEdi = 150 + 1,0 * 0,365 * 4 * 10 * 1,35 = 169,71 kN 220 kN > 169,71 kN → konstrukce vyhovuje
závěr : Zděná konstrukce v hlavě i patě vyhovuje.
PŘÍKLAD č. 2 Posuďte únosnost střední zdi oboustranně zatíţené dřevěnými stropy (dostředné zatíţení). zadání zdicí prvky – cihelné bloky CDm (rozměry 240/115/113 mm) P 10 – fb – pevnost zdicích bloků udaná výrobcem (MPa) ρ = 1800 kg/m3 (objemová hmotnost zdiva) skupina zdicích prvků 2; kategorie I MC 2,5 – malta obyčejná, předpisová – pevnost malty fm h = 3,2m (výška vyšetřované zdi je stejná jako výška příčných stěn) l = 2,0 m – vzdálenost příčných stěn (délka vyšetřované stěny) tp = 0,115 m – tloušťka krátké příčné stěny lp = 1,20 m – délka příčné stěny NEd = 200 kN – návrhová hodnota zatíţení nad vyšetřovanou zdí 6
nápověda:
V tomto případě je nutné pro výpočet prověřit a zhodnotit způsob podepření, je-li daná konstrukce podepřená třikrát nebo čtyřikrát. Je třeba zjistit, zda můţeme krátkou příčnou stěnu povaţovat za ztuţující. Podmínky jsou uvedeny v učebnici na straně 4. Při výpočtu postupujeme tak, ţe vycházíme ze základního vzorce a postupně dopočítáváme potřebné veličiny. Tím si ujasníme postup.
řešení :
NRd i,m = Фi,m * b * t * fd
ÚNOSNOST ZDIVA (obecně)
fd =
pevnost zdiva
=
= 1,349 MPa
návrhová fk = K * fb
0,7
*
fm0,3
= 0,45 * 10
0,7
0,3
* 2,5
= 2,969 MPa
charakteristická 7
K = 0,45 (tabulková hodnota – skupina zdicích prvků 2, obyčejná malta, bez podélné spáry) γM = 2,2 ( normová hodnota – kategorie zdicích prvků I, malta předpisová) NRd i = Фi * b * t * fd = 0,9 * 1,0 * 0,24 * 1,349 *103 = 291,384 kN Фi = 1 –
=1–
ÚNOSNOST v hlavě a patě
0,9
ei – exentricita v hlavě a patě konstrukce ei =
+ ehe + einit = 0 + 0 + 0,0022 = 0,0022 m
e init =
=
= 0,0022 m
0,05 * 0,24 = 0,012 > 0,0022 0,0022 m < 0,012 → ei = 0,012 m hef = ρn * h = ρ4 * h = 0,313 * 3,2 = 1,002 m 1,2 ≥ 3,2 / 5 0,115 ≥ 0,3 * 0,24 1,2 > 0,64
0,115 > 0,072
→ příčná stěna je ztuţující → ρ4
30 * 0,24 > 2 → 7 > 2 → ρn = ρ4
PODMÍNKA lp ≥ h / 5 tp ≥ 0,3*t
PODMÍNKA h ≤ 1,15 *l
3,2 ≤ 1,15 *2 → 3,2 > 2,3 → =
hef vzpěrná výška
PODMÍNKA 30 * t > l
Konstrukce je čtyřikrát podepřená.
ρ4 =
PODMÍNKA ei ≥ 0,05 * t
= 0,313
závěr : Únosnost tlačené zdi v hlavě nebo patě 291 kN (zaokrouhleno). POSOUZENÍ v hlavě a patě
NRdi ≥ NEdi 291 kN > 218,662 kN → konstrukce vyhovuje zatíţení hlavy konstrukce :
NEdi = 200kN
PODMÍNKA SPOLEHLIVOSTI
zatíţení paty konstrukce : NEdi = 200 + 1,0 * 0,24* 3,2 * 18 * 1,35 = 218,662 kN závěr :
Zděná konstrukce v hlavě i patě vyhovuje.
NRd m = Фm * b * t * fd
ÚNOSNOST 8
= 0,895 * 1,0 * 0,24 * 1,349*103 = 289,76 kN = 289 kN (zaokrouhleno) Фm =
střední části
0,895 ( e = 2,71828 ) = 0,106 ;
λ=
=
=
= 0,0056
= 4,175 * 0,032 = 0,134 KE – učebnice str. 6
E = KE * fk = 1000 * 2,969 MPa A1 = 1 – 2 *
=1–2*
= 0,9
emk – excentricita uprostřed výšky zdi emk = em + ek emk = 0,0022 + 0 = 0,0022m ≥ 0,05 * t = 0,012 m emk = 0,012 m ek – výstřednost od dotvarování λ = hef / tef = 1,002 / 0,24 = 4,175 ; λ < 15 → 4,175 < 15 → ek = 0
PODMÍNKA emk ≥ 0,05 * t PODMÍNKA : λ < 15 → ek = 0
tef = t
einit = 0,0022 m (z předchozího výpočtu) em – výstřednost od zatíţení em =
+ ehm + einit = 0 + 0 + 0,0022 = 0,0022 m
ehm – na konstrukce nepůsobí boční zatíţení → – počáteční výstřednost →
ehm = 0
=0
0,0022 m 0,012 m→ dosazujeme větší hodnotu → emk = 0,012 m závěr : Únosnost uprostřed tlačené zdi je 289 kN.
NRdm ≥ NEdm
POSOUZENÍ střední části PODMÍNKA SPOLEHLIVOSTI
289 kN > 209,331 kN → konstrukce vyhovuje zatíţení paty konstrukce v polovině výšky:
NEdm = 200 + 1,0 * 0,24 * 1,6 * 18 * 1,35 = 209,331 kN závěr : Zděná konstrukce v polovině výšky vyhovuje.
návrhová hodnota zatížení
9
PŘÍKLAD č. 3 zadání : Zjistěte únosnost stěny zatíţené oboustranně ţb. stropy.
zdicí prvky – cihla plná (290/140/65 mm); P 15; kategorie I; ρ = 1900 kg/m3 MVC 10 – malta obyčejná, návrhová h = 2,6 m (výška vyšetřované zdi je stejná jako výška příčných stěn) l = 5,0 m – vzdálenost příčných stěn (délka vyšetřované stěny) t = 0,3 m zatíţení : NEd1 = 200 kN Ned2 = 300 kN
řešení : podepření stěna s otvory 10
0,9 ≥
≥ t
0,9 ≥
≥ 0,3
0,9 ≥
PODMÍNKA
1,5 > 0,52 → vyhovuje
→ 1,5 >
1,5 >
PODMÍNKA
≥ 0,3 → stěna s otvory je ztuţující PODMÍNKA
délka zdi l ≤ 30 * t 5,0 ≤ 30 * 0,3 5,0 ≤ 9,0 → boční stěny jsou ztuţující → ρ4
PODMÍNKA
e = 0,1 m > 0,25 * t 0,1 > 0,075 → ρ2 = 1,0 h ≤ 1,15 * l 2,6 ≤ 1,15 * 5,0 2,6 ≤ 5,75 → ρ4 =
2
=
* 1,0 = 0,787
hef = ρn * h = ρ4 * h = 0,787 * 2,6 = 2,046 m
vzpěrná výška hef pevnost zdiva
fd =
=
= 3,653 MPa
fk = K * fb0,7 * fm0,3 = 0,55 * 15 0,7 * 100,3 = 7,305 MPa K = 0,55 (tabulková hodnota – skupina zdicích prvků 1, obyčejná malta, bez podélné spáry) γM = 2,0 (normová hodnota – kategorie zdicích prvků I, malta návrhová) N3 = 0,3 * 2,6 * 1,0 * 19 * 1,35 = 20,007 kN
Mid (v patě) = N1 * 0,1 – N2 * 0,1 + N3 * 0 = 200 * 0,1 – 300 * 0,1 Mid (v patě) = –10 kNm (umístění vpravo od osy zdi) Nid = 200 + 300 + 20,007 = 520,007 kN
=
= 0,0192
0,02 m
návrhová charakteristická
počáteční výstřednost zatíţení vlastní tíhou zdi statický moment výslednice výslednice zatíţení výstřednost výslednice
11
V střední části zdi je počáteční excentricita přibliţně stejná.
POZNÁMKA
ÚNOSNOST v hlavě a patě
NRd i = Фi * b * t * fd = 0,833 * 1,0 * 0,3 * 3,653 *103 = 921 kN Фi = 1 –
=1–
0,833
ei – excentricita v hlavě a patě konstrukce ei =
+ ehe + einit = 0,02 + 0 + 0,005 = 0,025 m
e init =
=
= 0,005 m
PODMÍNKA ei ≥ 0,05 * t
ei = 0,025 m > 0,05 * 0,30 = 0,015 → ei = 0,025 m závěr : Únosnost tlačené zdi v hlavě a patě je 921 kN.
ÚNOSNOST ve střední části
NRd m = Фm * b * t * fd = 0,808 * 1,0 * 0,3 * 3,653 *103 = 885 kN (zaokrouhleno)
( e = 2,71828 )
Фm =
0,808 = 0,245 ;
λ=
=
=
= 0,03
= 6,82* 0,032 = 0,218
KE – učebnice str. 6
E = KE * fk = 1000 * 7,305 MPa A1 = 1 – 2 *
=1–2*
= 0,833 emk – exentricita střední část
emk = em + ek emk = 0,025 + 0 = 0,025 m ek – výstřednost od dotvarování λ=
=
= 6,82 ;
tef = t
PODMÍNKA : λ < 15 → ek = 0
λ < 15 → 6,82 < 15 → ek = 0 einit = 0,005 m (z předchozího výpočtu) em – výstřednost od zatíţení em =
+ ehm + einit = 0,02 + 0 + 0,005 = 0,025 m PODMÍNKA
ehm – na konstrukce nepůsobí boční zatíţení → ehm = 0 0,025 m ≥ 0,015 → dosazujeme větší hodnotu → emk = 0,025 m
emk ≥ 0,05 * t
12
závěr : Únosnost tlačené zdi ve střední části je 885 kN. PŘÍKLAD č. 4 Určete únosnost střední zdi oboustranně zatíţené dřevěnými stropy (dostředné zatíţení).
zadání : zdicí prvky – Porotherm 30 P+D (rozměry 300/240/248 mm) P 15 – fb – pevnost zdicích bloků udaná výrobcem (MPa) ρ = 900 kg/m3 (objemová hmotnost zdiva) skupina zdicích prvků 3; kategorie II tl.spáry = 12 mm) návrhová MVC 5 – pevnost – fm výška zdi h = 3,0m l = 2,35 m návrhová hodnota zatíţení nad vyšetřovanou zdí : NEd = 356 kN nápověda : Uvědomte si o jakou konstrukci jde, jakým způsobem je podepřená. Proveďte rozbor vzorce pro výpočet únosnosti konstrukce (NRd).
řešení :
NRd i,m = Фi,m * b * t * fd Nrdi,m – návrhová únosnost jednovrstvé stěny v tlaku Фi,m – zmenšující součinitel vyjadřující vliv štíhlosti konstrukce a výstřednosti zatíţení v hlavě a patě konstrukce (ei), ve střední části výšky konstrukce (em) t – skutečná tloušťka stěny b – šířka průřezu stěny fd =
=
= 1,510 MPa
ÚNOSNOST ZDI (obecně)
pevnost zdiva návrhová charakteristická
fk = K * fb0,7 * fm0,3 = 0,35 * 15 0,7 * 50,3 = 3,776 MPa K = 0,35 (tabulková hodnota – skupina zdicích prvků 3, obyčejná malta, bez podélné spáry) γM = 2,5 ( normová hodnota – kategorie zdicích prvků II) 13
ÚNOSNOST v hlavě a patě NRd i = Фi * b * t * fd = 0,9 * 1,0 * 0,30 * 1,510 *103 = 407,7 ~ 407 kN Фi = 1 –
=1–
= 0,9
ei – excentricita v hlavě a patě konstrukce ei =
výstřednost v hlavě a patě
+ ehe + einit = 0 + 0 + 0,006 = 0,006 m ≥ 0,05 * 0,3
0,006 m ≥ 0,015 ei = 0,015 m na konstrukce nepůsobí boční zatíţení → ehe = 0 einit =
=
= 0,0056 m ~ 0,006 m (zaokrouhleno)
výstřednost od nepřesností einit efektivní výška PODMÍNKY
hef = ρn * h = 0,847 * 3,0 = 2,541 m 0,65 ≥
0,65 ≥ 0,6 vyhovuje
0,24 ≥ 0,3 * 0,3 0,24 ≥ 0,09 vyhovuje
podepření lp ≥ h / 5 tp ≥ 0,3*t
PODMÍNKA
příčná stěna je ztuţující → ρ3
15 * t > l
15 * 0,24 > 2,35 3,6 > 2,35 ρn = ρ3 Konstrukce je třikrát podepřená.
PODMÍNKA h 3,5*l
3 ≤ 8,225
3 ≤ 3,5 *2,35 3
* 2 =
1,0 = 0,847
závěr : Únosnost tlačené zdi v hlavě nebo patě 407 kN.
ÚNOSNOST střední části
NRd m = Фm * b * t * fd = 0,858 * 1,0 * 0,3 * 1,510*103 = 388,67 kN = 388, kN (zaokrouhl.)
( e = 2,71828 )
Фm =
0,858 = 0,30975 ~ 0,310 ;
= λ=
KE – učebnice str. 6
= 0,048 =
E = KE * fk = 1000 * 2,969 MPa
= 8,47 * 0,032 = 0,271 výstřednost ve střední části 14
A1 = 1 – 2 *
=1–2*
emk
= 0,9
emk = em + ek emk = 0,015 + 0 = 0,015m
PODMÍNKA λ < 15 → ek = 0
ek – výstřednost od dotvarování λ = hef / tef = 2,541 / 0,3 = 8,47 ;
tef = t
λ < 15 → 8,47 < 15 →
ek = 0 einit = 0,006m (z předchozího výpočtu) em – výstřednost od zatíţení em =
+ ehm + einit = 0 + 0 + 0,006 = 0,006 m
PODMÍNKA emk ≥ 0,05 * t
0,006 m ≥ 0,05 * 0,3 → dosazujeme větší hodnotu → em = 0,015 m ehm – na konstrukce nepůsobí boční zatíţení → ehm = 0 – počáteční výstřednost →
=0
závěr : Únosnost ve střední části zdi je 388 kN.
OTÁZKY k zamyšlení
Jak se změní únosnost zdi pokud se změní délka zdi na 5,0 m ? Jak se tato změna projeví ve výpočtu ?
15
Celý výukový materiál je možno zdarma získat na vyžádání na
[email protected] nebo na telefonu +420 465 676 310
16
