Prijzen van levensverzekeringscontracten met mogelijkheid tot vervroegde uitstap

Faculteit Wetenschappen Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica

Prijzen van levensverzekeringscontracten met mogelijkheid tot vervroegde uitstap

Joachim De Couvreur

Promotor: Prof. dr. D. Vyncke

Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van master in de wiskunde, afstudeerrichting toegepaste wiskunde

Academiejaar 2009-2010

Woord Vooraf Als laatstejaarsstudent in de opleiding Master in de Wiskunde werd ik geacht een Masterproef te schrijven. Als onderwerp koos ik het prijzen van levensverzekeringscontracten met mogelijkheid tot vervroegde uitstap. Op basis van een gekregen artikel van Bacinello, Biffis en Millossovich verdiepte ik me verder in deze materie. Na het bestuderen van levensverzekeringscontracten in het algemeen, werd gezocht naar een manier om dergelijke contracten te prijzen. Het hoofdbestanddeel van de Masterproef bestaat in het introduceren en uiteenzetten van de Least Squares Monte Carlo methode. Graag zou ik mijn promotor prof. dr. David Vyncke willen bedanken voor de begeleiding doorheen het volledige proces.

1

Inhoudsopgave 1 Afkoopopties

7

1.1

Het begrip afkoopoptie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Beschrijving van het contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Waardering van een Europese afkoopoptie . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1

Stochastische modellering van het termijnmodel . . . . . . . . . . . 11

2 Modellering en waardering van verzekeringscontracten

17

2.1

Financiële markt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2

Demografische onzekerheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3

Financiële en demografische risicofactoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4

Verzekeringscontracten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Verzekeringscontracten met vroegtijdige uitoefening 3.1

22

Voorbeelden van contracten met afkoopmogelijkheid . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.1

Equity-linked endowments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.2

Participating endowments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.3

Whole life assurances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.4

Uitgestelde annu¨ıteiten met uitbetaling bij overlijden . . . . . . . . 26

4 Least Squares Monte Carlo

27

4.1

Bespreking van de methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2

Voorbeeld: illustratie van de LSMC methode . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3

Waarderen van Amerikaanse put opties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4

Keuze van de basisfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Implementatie van de LSMC methode

45

5.1

Algoritme 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2

Algoritme 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2

5.3

Berekenen van de optieprijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4

Vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.5

Realistische waarderingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.6

Convergentieresultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6 Numerieke voorbeelden

52

6.1

Impact van de sterftegraad op de waarde van de afkoopoptie . . . . . . . . 52

6.2

Implementatie van de LSMC methode in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2.1

Toepassing van de algemene code op een specifiek voorbeeld . . . . 56

6.2.2

Implementatie van de verschillende soorten basisfuncties . . . . . . 57

6.2.3

Het 2-perioden model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.2.4

Het 3-perioden model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7 Algemeen besluit

67

A Implementatie van de grafieken voor een Europese afkoopoptie

68

A.1 Situatie in Frankrijk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 A.2 Situatie in België . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 B R code voor de verschillende toepassingen van de LSMC methode

74

B.1 Voorbeeld van de LSMC methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 B.2 Voorbeeld van LSMC methode met verschillende basisfuncties . . . . . . . 76 B.2.1 Laguerre veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 B.2.2 Hermite veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 B.2.3 Chebyshev veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 B.2.4 Legendre veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 B.3 Algemene code voor N paden en T tijdstippen . . . . . . . . . . . . . . . . 83 B.4 Algemene code voor verschillende soorten basisfuncties . . . . . . . . . . . 85 B.4.1 Laguerre veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 B.4.2 Hermite veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3

B.4.3 Legendre veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 B.5 Het 2-perioden model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 B.6 Het 3-perioden model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Referenties

93

4

Inleiding Voor deze Masterproef werd geopteerd voor een onderwerp uit de financiële wiskunde, namelijk het prijzen van levensverzekeringscontracten met mogelijkheid tot vervroegde uitstap. Ik heb gekozen voor dit onderwerp omdat ik erg geboeid ben door de financiële wiskunde in al haar facetten. Bovendien zal de kennis die ik bij het schrijven van deze tekst heb verworven, meer dan waarschijnlijk nog van pas komen in mijn toekomstige loopbaan. Als leidraad voor deze Masterproef gebruiken we een paper van A. Bacinello, E. Biffis en P. Millossovich uit 2008. Deze paper heeft dezelfde titel als de Masterproef. Beide teksten vertonen een gelijkaardige structuur. Vooraleer we levensverzekeringscontracten kunnen gaan prijzen, moeten we een duidelijke definitie geven van dergelijke contracten. De modellering van levensverzekeringscontracten gaat gepaard met het opbouwen van een financële markt en het invoeren van financiële en demografische risicofactoren. Aangezien we spreken van levensverzekeringscontracten met mogelijkheid tot vervroegde uitstap, moeten we het fenomeneen van vroegtijdige uitstap introduceren. Er moet een verklaring worden gegeven waarom verzekeringsnemers vroegtijdig een contract gaan beëindigen. Vanuit dit perspectief zal het begrip afkoopoptie worden ingevoerd. Opties zijn afgeleide producten die de houder het recht geven, maar niet de plicht, om een onderliggend aandeel te kopen of te verkopen op bepaalde toekomstige data tegen een contractueel vastgelegde prijs. Call opties geven het recht om het onderliggend aandeel te kopen, terwijl put opties het recht geven om te verkopen. We onderscheiden verschillende soorten opties. De Europese opties zijn enkel uit te oefenen op de vervaldatum, Bermuda opties kunnen eveneens uitgeoefend worden op specifieke tijdstippen voor de vervaldatum. Amerikaanse opties kunnen worden uitgeoefend op elk tijdstip voor de vervaldatum. Het is duidelijk dat een afkoopoptie een Amerikaanse optie is. Het prijzen van Amerikaanse opties is een van de meest besproken onderwerpen in de financiële wiskunde. Een veel gebruikte techniek om Amerikaanse opties te prijzen is de Least Squares Monte Carlo methode (LSMC). In deze tekst zal deze simulatiemethode uiteengezet worden. Bovendien zullen numerieke voorbeelden gegeven worden van de methode en zal ze vergeleken worden met andere methoden. De opbouw van de tekst is als volgt: in de eerste sectie wordt het begrip afkoopoptie ingevoerd en wordt een beschrijving gegeven van een verzekeringscontract. Bovendien wordt de waardering van een zogenaamde Europese afkoopoptie besproken. In de tweede sectie gaan we over tot het modelleren van de levensverzekeringscontracten. In de derde sectie koppelen we aan deze levensverzekeringscontracten de mogelijkheid tot vervroegde uitstap. Om deze sectie af te sluiten worden er voorbeelden gegeven van dergelijke contracten.

5

In de vierde sectie wordt de Least Squares Monte Carlo methode ingevoerd. Aanvankelijk wordt een verklaring gegeven voor het gebruik van deze methode bij het prijzen van Amerikaanse opties. Vervolgens wordt de methode uitvoerig beschreven en verduidelijkt aan de hand van een voorbeeld. Ten slotte worden verschillende soorten basisfuncties besproken die kunnen worden gebruikt bij de methode. Aan de hand van numerieke resultaten worden deze soorten met elkaar vergeleken. In de vijfde sectie wordt de effectieve implementatie van de LSMC methode besproken. Er worden twee algoritmen beschreven en met elkaar vergeleken. Bovendien wordt er ook een convergentiecriterium gegeven. In de zesde sectie worden enkele numerieke voorbeelden gegeven. Vooreerst wordt de impact van de sterftegraad op de waarde van een afkoopoptie ge¨ıllustreerd. Daarnaast wordt de LSMC methode ge¨ımplementeerd en toegepast op verschillende voorbeelden.

6

1 1.1

Afkoopopties Het begrip afkoopoptie

Volgens Albizzati en Geman (1994) hebben de economische en financiële ontwikkelingen van de laatste decennia heel wat mogelijkheden en uitdagingen met zich meegebracht voor de levensverzekeraars. Volatiele interestvoeten en competitie tussen banken en financiële instellingen die gelijkaardige types van producten aanbieden, hebben verzekeraars ertoe gedwongen om hogere opbrengsten bovenop de spaarcomponent van levensverzekeringen of annu¨ıteiten te garanderen. Indien de gegarandeerde opbrengst niet hoog genoeg is in vergelijking met andere investeringsvormen, kunnen verzekeringsnemers beslissen om de bestaande verzekeringscontracten vroegtijdig te beëindigen en een alternatief te kiezen op de kapitaalmarkt. Men spreekt in dit geval van een afkoopoptie. De afkoopbeslissing vergt een vergelijking, op elk mogelijk uitoefentijdstip en enkel indien de verzekerde nog in leven is, tussen de afkoopwaarde en de waarde van het contract, die zowel afhangt van financiële als demografische factoren. Als gevolg hiervan kan de optie niet nauwkeurig geprijsd worden, tenzij zowel de demografische als de financiële risicofactoren geanalyseerd worden. Het prijzen van afkoopopties is van belang voor verzekeraars vermits vroegtijdige afkoop de te behandelen activa vermindert en onevenwichten kan genereren in het sterfterisicoprofiel van de overige verzekeringsnemers. Om een beschrijving van het contract te geven en een Europese afkoopoptie te prijzen, doen we beroep op Albizzati en Geman (1994).

1.2

Beschrijving van het contract

De verzekering kan bestaan uit een eenmalige betaling van een som of uit een reeks betalingen. We gaan er hier van uit dat een enkele premie betaald werd bij het aangaan van het contract en we noteren door K0 de opbrengsten voor de verzekeraar op tijdstip nul. De duur van de verzekering bedraagt T = 8 jaar indien er geen vroegtijdige beëindiging is. Voor de eenvoud gaan we ervan uit dat de activa, geassocieerd met deze verzekeringen, nulcouponobligaties zijn die dezelfde vervaldatum hebben als het contract. Voor een achtjarig contract is er een minimumopbrengst voor de verzekeringsnemer. We stellen de effectief uitbetaalde opbrengst van de verzekeringsnemer voor door λR(0, T ), waarbij R(0, T ) de opbrengst van een nulcouponobligatie met vervaldatum T aanduidt en λ een positieve constante is die niet groter is dan 1. Rekening houdend met de beginwaarde K0 en de opbrengstvoet λR(0, T ), zal de waarde van de verzekering op de vervaldatum gelijk zijn aan K(T ) = K0 eλT R(0,T ) . Voor de eenvoud nemen we K0 = 1. Albizzati en Geman bespreken de situatie in Frankrijk. Interestopbrengsten op een verzekering zijn daar vaak vrij van belastingen op voorwaarde dat de verzekering gedurende acht jaar gehouden wordt. In het geval van vroegtijdige uitoefening, hangt de belastingvoet af van het feit of de terugtrekking gebeurt vóór of na vier jaar. Zo is een geschikte voorstelling voor deze belastingvoet op tijdstip t de volgende: x(t) = 0.381 It<4 + 0.181 I4≤t<8 7

(1)

Omwille van concurrentie is de boete als gevolg van vroegtijdige terugtrekking in de praktijk heel klein. Wij zullen hier voor de eenvoud aannemen dat er geen is. Bijgevolg zal het kapitaal dat de verzekeringsnemer, die het contract beëindigt op tijdstip t, ontvangt Vs (t) = eλtR(0,T ) bedragen. Na belastingen bedraagt de payoff voor de verzekeringsnemer K(t) = 1 + (eλtR(0,T ) − 1)(1 − x(t)). In België is de situatie anders. Het is namelijk zo dat voor de verschillende types van levensverzekeringen een andere belastingvoet geldt. Indien we te maken hebben met tak21 levensverzekeringen1 , moet men een roerende voorheffing betalen van 15%. Indien echter de looptijd langer dan 8 jaar is, wordt deze kwijtgescholden. Wanneer het gaat om een tak-23 levensverzekering2 , dan moet men sowieso geen roerende voorheffing betalen. Hieruit kunnen we besluiten dat voor contracten met een looptijd langer dan 8 jaar geen roerende voorheffing moet betaald worden. Een geschikte voorstelling voor de belastingvoet op tijdstip t bij tak-21 levensverzekeringen is dus: x(t) = 0.15 It<8 .

(2)

Voor de volledigheid geven we nog mee dat voor beide types wel een taks van 1.1% op de premie moet betaald worden.

1.3

Waardering van een Europese afkoopoptie

Voor de verzekeraar bedraagt de marktwaarde van de nulcouponobligaties geassocieerd met dit contract B(t, T ) . Vm (t) = B(0, T ) Merk op dat het aantal obligaties We kunnen schrijven dat

1 B(0,T )

bedraagt wanneer de opbrengsten 1 bedragen.

Vs (t) = eλR(0,T )t = Vm (t) + h(t),

(3)

waarbij de cash flow h(t) gegarandeerd wordt door de verzekeraar en positief of negatief kan zijn. De rationele verzekeringsnemer vergelijkt dan op elk tijdstip t de eindwaarde van het contract bij vervaldatum, K(T ), met de eindwaarde van een nieuw contract dat begint op tijdstip t en dezelfde financiële voorwaarden heeft. Dit laatste wordt voorgesteld door K(t)(1 − β)eλ(T −t)R(t,T ) 1

Levensverzekeringen van het type tak 21 bieden een oplossing aan mensen die verlangen naar zekerheid, maar toch een behoorlijk rendement willen op lange termijn. Zij worden meestal als spaarproduct beschouwd, want het gaat hier in feite om levensverzekeringen met een gewaarborgd rendement. Deze producten zijn namelijk niet gekoppeld aan beleggingsfondsen, wat het risico van deze producten verkleint 2 Tak 23-producten worden gekenmerkt door het feit dat ze geen gewaarborgd rendement geven. De cliënt zal op de einddatum een kapitaal ontvangen dat de financiële marktevolutie volgt, aangezien het aan een bepaald beleggingsfonds gekoppeld wordt. Hij zal dus zelf het financiële risico dragen. Bron: http://knack.rnews.be

8

waarbij β de management bijdragen voor een nieuw contract voorstelt. We hadden reeds dat K(T ) = eλT R(0,T ) . Wanneer we dan

D(t) =

(1 − β)K(t)eλ(T −t)R(t,T ) eλT R(0,T )

(4)

stellen, zien we dat D(t) > 1 een nodige voorwaarde voor afkoop op tijdstip t is. Deze D(t) wordt het beslissingscriterium genoemd en wordt soms ook als Dt genoteerd. De optie zal enkel uitgeoefend worden op tijdstip t door de rationele verzekeringsnemer wanneer Dt > 1. We kunnen dit nog even verder uitdiepen en het volgende bekomen D(t) > 1 ⇔ (1 − β)K(t)eλ(T −t)R(t,T ) > eλT R(0,T ) ⇔ ln[(1 − β)K(t)] + λ(T − t)R(t, T ) > λT R(0, T ) 1 T R(0, T ) − ln[(1 − β)K(t)]. ⇔ R(t, T ) > T −t λ(T − t) Voorts stellen we 1 T R(0, T ) − ln[(1 − β)K(t)] = γ(t). T −t λ(T − t)

(5)

We merken op dat de afkoopoptie in feite een Amerikaanse optie is, aangezien de uitoefendatum onbekend is bij het aangaan van het contract. Figuur 1 geeft de afkoopwaarde Vs (t) en de payoff aan de verzekeringsnemer K(t) weer over de tijd. We zien dat de payoff K(t) een sprong vertoont voor t = 4, dit komt doordat de belastingvoet x(t) op dat ogenblik een andere waarde aanneemt. Deze figuur illustreert het geval waarbij D(t) > 1 voor t = 3. Immers als we rekening houden met de managementbijdragen β, dan kunnen we de curve K(t)(1 − β)eλ(T −t)R(t,T ) berekenen. Als we deze curve tekenen vanaf tijdstip 3, dan zien we dat deze boven de Vs (t) curve zal liggen op tijdstip T . Bijgevolg zal voor tijdstip 3 de waarde K(t)(1 − β)eλ(T −t)R(t,T ) groter zijn dan eλT R(0,T ) . Dit betekent precies dat D(t) > 1. Aan de hand van Figuur 2 kunnen we de random cash flows bepalen die bekomen worden bij het uitoefenen van de Amerikaanse optie. Het gaat om de hoeveelheden h(t)ID(t)>1 met t ∈ [0, T ]. De nodige voorwaarde voor afkoop op tijdstip t is zoals gezegd D(t) > 1. De waarde h(t) is dan de cash flow die gegarandeerd wordt door de verzekeraar. Deze waarde is per definitie gelijk aan het verschil tussen de afkoopwaarde Vs (t) en de marktwaarde Vm (t).

9

Figuur 1: afkoopwaarde en payoff aan verzekeringsnemer, Bron: [2]

Figuur 2: random cash flows van Amerikaanse optie, Bron: [2] De onzekerheid in de economie wordt voorgesteld door een kansruimte (Ω, F, P ). De informatie beschikbaar voor alle agenten wordt voorgesteld door de filtratie (Ft )t≥0 . Als we aannemen dat de afkoopoptie enkel kan uitgeoefend worden op tijdstip t (t deterministisch en in het interval [0, T ] gelegen), dan bedraagt de waarde ervan op tijdstip nul h i R t − 0t r(s)ds C (0) = EQ h(t)ID(t)>1 e , (6) waarbij (r(s))s≥0 de korte termijnrente is; r(t) wordt Ft -meetbaar verondersteld. We gebruiken de notatie C t (0), ook al gaat het om een put optie. De maat Q is de risiconeutrale kansmaat, equivalent met P , waaronder de verdisconteerde aandeelprijzen martingalen zijn. Er geldt B(t, T ) h(t) = Vs (t) − Vm (t) = eλtR(0,T ) − . (7) B(0, T )

10

1.3.1

Stochastische modellering van het termijnmodel

We beschrijven de interestvoetwijzigingen aan de hand van nulcouponobligaties onder Q. We nemen aan dat deze obligaties gedreven worden door dB(t, T ) = r(t)dt + σ(t, T )dWt , B(t, T )

(8)

met (W (t))t≥0 een Q-Brownse beweging en waarbij we deterministische volatiliteiten veronderstellen van de vorm σ(t, T ) =

σ(1 − e−a(T −t) ) , a

met a en σ positieve constanten. De eerste moeilijkheid in de berekening van C in (6) is om de verdisconteringsfactor buiten de verwachtingswaarde te krijgen. Daarom voeren we een neutrale kansmaat Qt relatief ten opzichte van het tijdstip t in. Deze wordt gedefinieerd door de Radon-Nikodym afgeleide met betrekking tot Q Rt

Rt R 1 t dQt e− 0 r(s)ds 2 = = e 0 σ(s,t)dWs − 2 0 [σ(s,t)] ds . dQ B(0, t)

Wegens de stelling van Girsanov definieert dWst = dWs − σ(s, t)ds

(9)

(Wst )s≥0 als een Qt -Brownse beweging. We merken op dat deze verandering van kansmaat in feite bestaat in het nemen van de nulcouponobligatie met vervaldatum t als numeraire. Uit vergelijking (8) en de relatie B(t, t + T ) = e−T R(t,T ) , leiden we met behulp van de Itô formule af dat Z t Z 1 t σ 2 (s, t + T ) − σ 2 (s, t) σ(s, t + T ) − σ(s, t) dWs + ds R(t, T ) = f (0, t, T ) − T 2 0 T 0 waarbij f (0, t, T ) de forward rate voorstelt op tijdstip nul relatief ten opzichte van de periode [t, t + T ]. Met behulp van vergelijking (9) kunnen we dit ook schrijven als Z t σ(s, t + T ) − σ(s, t) T R(t, T ) = f (0, t, T ) − dWst + VarR(t, T ) (10) T 2 0 waarbij Z VarR(t, T ) = 0

t

[σ(s, t + T ) − σ(s, t)]2 σ2 ds = T2 2T 2

1 − e−aT a

2

1 − e−2at a

Zo bekomen we uiteindelijk, gebruik makend van (6) en de uitdrukking voor h(t) in (7), h i R B(t, T ) − R t r(s)ds t λtR(0,T ) − 0t r(s)ds C (0) = EQ e e ID(t)>1 − EQ e 0 ID(t)>1 . B(0, T ) 11

Als we nu de nieuwe kansmaat Qt invoeren, dan kan de eerste verwachtingswaarde eenvoudig geschreven worden als B(0, t)eλtR(0,T ) EQt [ID(t)>1 ]. De tweede verwachtingswaarde B(0,t) is gelijk aan B(0,T E [B(t, T )ID(t)>1 ]. Wanneer we gebruik maken van de algemene for) Qt mule voor verandering van numeraire X(0)EQX [Y (T )φ] = Y (0)EQY [X(T )φ], waarbij X en Y twee arbitraire producten zijn en φ een FT -meetbare random cash flow, dan herleidt de tweede verwachtingswaarde zich tot EQT [ID(t)>1 ]. De prijs van de put optie wordt dan C t (0) = eλtR(0,T ) B(0, t)EQt [ID(t)>1 ] − EQT [ID(t)>1 ].

(11)

We gaven reeds aan dat D(t) > 1 ⇔ R(t, T ) > γ(t). Als we nu gebruik maken van de vergelijking voor R(t, T ) zoals beschreven in (10) en van het feit dat (R(s, T ))s≥0 een Gaussisch proces is onder Qt , is het gemakkelijk om aan te tonen dat EQt [ID(t)>1 ] = N (dt1 ), waarbij N de cumulatieve verdelingsfunctie van de standaardnormale verdeling voorstelt en −γ(t) + f (0, t, T ) + T2 VarR(t, T ) p . dt1 = VarR(t, T ) We introduceren voor u > t een analoge wijziging van Brownse beweging zoals in vergelijking (9): dWsu = dWs − σ(s, u)ds. Op die manier kunnen we schrijven Z t σ(s, t + T ) − σ(s, t) T R(t, T ) = f (0, t, T )+ VarR(t, T )−(u−t)Cov(R(t, T ), R(t, (u−t)))− dWsu 2 T 0 Bijgevolg, voor u > t, geldt EQu [R(t, T )] = EQt [R(t, T )] − (u − t)Cov(R(t, T ), R(t, u − t)), waarbij Cov(R(t, T ), R(t, u − t)) =

T 1 − e−a(u−t) VarR(t, T ) u−t 1 − e−aT

Voor de tweede term in formule (11), kunnen we schrijven EQT [ID(t)>1 ] = N (dt2 ), waarbij dt2 = dt1 −

(T − t)Cov(R(t, T − t), R(t, T )) p . VarR(t, T )

Zo bekomen we uiteindelijk C t (0) = eλtR(0,T ) B(0, t)N (dt1 ) − N (dt2 ). 12

(12)

Wanneer we numerieke waarden gaan berekenen voor de Europese opties, moeten we waarden geven aan de parameters. De parameter a, die in eerder uitgevoerde studies stabiel blijkt te zijn over lange tijdsperioden (El Karoui en Geman, 1991, 1993), stellen we bijvoorbeeld gelijk aan 0.1. In een studie van afgeleide producten met vlottende interestvoeten op verschillende tijdstippen tonen dezelfde auteurs aan dat de parameter σ ligt tussen 2 en 3 procent. We nemen respectievelijk de waarden 2%, 2.2%, 2.4%, 2.6%, 2.8% en 3% voor σ. Voor β en λ nemen we respectievelijk de waarden 5% en 0.9. De forward maat op tijdstip nul relatief ten opzichte van de periode [t, t + T ] is gelijk aan (R(0, t + T ) − R(0, t))/T . Hierbij veronderstellen Albizzati en Geman (1994) dat R(0, Θ) = 0.06 + 0.001 × Θ. We illustreren eerst het geval waarbij de belastingvoet van de vorm (1) is. We bekomen dan de volgende grafieken:

Figuur 3: Europese optieprijs in pro- Figuur 4: Europese optieprijs in procent voor σ = 2%

cent voor σ = 2.2%

Figuur 5: Europese optieprijs in pro- Figuur 6: Europese optieprijs in procent voor σ = 2.4%

cent voor σ = 2.6%

13


cent voor σ = 3%

De grafieken voor σ = 2% en σ = 3% komen overeen met deze uit Albizzati en Geman (1994). Op de grafieken wordt de waarde van de Europese afkoopoptie op tijdstip nul uitgezet als een functie van het uitoefentijdstip. Aangezien het hier gaat om Europese opties kunnen deze enkel op de vervaldatum uitgeoefend worden. Men zal zoals eerder gezegd de afkoopoptie uitoefenen indien voldaan is aan de voorwaarde D(t) > 1. We zien dat naarmate σ stijgt, de waarde van de Europese optie toeneemt. We maken nu twee belangrijke opmerkingen. Ten eerste wordt de maximale waarde van de Europese optie op tijdstip nul geobserveerd voor vervaldata die twee tot vier jaar na het aangaan van het contract gesitueerd zijn en niet voor vervaldata later dan vier jaar. Het effect van de belasting is dus ondergeschikt aan de tijdswaarde van de optie. Ten tweede moeten we in gedachten houden dat zoals bij Amerikaanse opties, de afkoopoptie een grotere waarde heeft dan het supremum van de waarden van de corresponderende Europese opties voor verschillende uitoefendata. Immers, elk mogelijk uitoefentijdstip voor de afkoopoptie zou kunnen corresponderen met de vervaldatum van een Europese optie. Nu zal de waarde van de afkoopoptie groter zijn dan het supremum van al deze Europese opties.

14

We gaan nu dieper in op de situatie in België. Meer specifiek zullen we ons richten tot levensverzekeringen van het tak-21 type met een belastingvoet zoals in (2). We bekijken een verzekering met vervaldatum T = 10 jaar. Opnieuw voeren we de procedure uit voor verschillende waarden van σ. We bekomen dan volgende grafieken:

Figuur 9: Europese optieprijs in pro- Figuur 10: Europese optieprijs in procent voor σ = 2%

cent voor σ = 2.2%


cent voor σ = 2.6%

15


cent voor σ = 3%

Merk op dat we enkel rekening houden met de roerende voorheffing van dit type verzekeringen. De premietaks en eventuele uitstapkosten laten we buiten beschouwing. Net zoals in het vorige geval, zien we dat de waarde van de afkoopoptie toeneemt naarmate de waarde van σ stijgt. De implementatie van de grafieken is voor beide gevallen terug te vinden in Appendix A.

16

2

Modellering en waardering van verzekeringscontracten

We bespreken hier het waarderingskader dat door Bacinello, Biffis en Millossovich in [4] werd opgebouwd. We voeren de verzekeringscontracten in zoals deze werden weergegeven in [4] en nemen dezelfde voorbeelden over.

2.1

Financi¨ ele markt

We nemen als gegeven een gefiltreerde kansruimte (Ω, F, F, P), waarbij P de werkelijke kansmaat is en F = (Ft )t≥0 is een filtratie die voldoet aan de voorwaarden van rechtscontinu¨ıteit en P-compleetheid, zo dat F0 = {∅, Ω}. We veronderstellen dat er d + 1 aandelen beschikbaar zijn voor handel, met prijsprocessen S 0 ,S 1 ,...,S d . De handel gebeurt continu in de tijd en zonder transactiekosten. Het aandeel S 0 stelt de balans van een geldmarktrekening voor in de vorm van een investering aan een continu samengestelde risicovrije R. interestvoet r. We stellen S.0 = exp( 0 rs ds) en nemen aan dat r voorspelbaar is en dat Rt E[ 0 |ru |du] < ∞ voor alle t ≥ 0. De overige d aandelen stellen risicovolle activa voor met gecumuleerde dividenprocessen D1 ,...,Dd , die aangepast zijn aan de tijd en die nul zijn op tijstip 0. Voor i = 1, ..., d noteren we door Sti de prijs van aandeel i op tijdstip i t exclusief het dividend. Dit betekent dat het aandeel een dividend ∆Dti = Dti − Dt− uitbetaalt en vervolgens beschikbaar is voor handel tegen een prijs Sti . De afwezigheid van arbitrage komt overeen met het bestaan van een kansmaat Q∗ , equivalent met P, waaronder de opbrengst van het houden van het Raandeel een Q∗ -martingaal is na det ling door de geldmarktrekening. Indien Git = Sti + 0 dDui de opbrengst voorstelt van het houden van aandeel i van tijdstip 0 tot tijdstip t, dan is wegens niet-arbitrage de volgende risiconeutrale prijsformule van toepassing i Z v Sti dDui Q∗ Sv =E + |Ft St0 Sv0 Su0 t

(13)

voor alle v ≥ t ≥ 0 en elke i = 1, ..., d waarbij we veronderstellen dat de prijs van elk aandeel 0 is op een gegeven tijdstip t indien daarna geen dividenden meer worden uitbetaald.

2.2

Demografische onzekerheid

Laat ons een individu met leeftijd x op het referentietijdstip 0 beschouwen. We noteren door τ de random resterende levensduur en door H de filtratie gegenereerd door het proces Nt = 1τ ≤t , dat gelijk is aan nul zolang het individu in leven is en naar één springt bij overlijden. We breiden de filtratie uit de vorige sectie nu uit tot G = F ∨ H, met G0 triviaal. We zien dat τ een G-stopping time is, aangezien op elk tijdstip t de informatie gedragen door G ons toelaat te zeggen of het individu al dan niet gestorven is op tijdstip t. We beschouwen dan een uitbreiding, (Ω, G, G, Q) van de gefiltreerde ruimte (Ω, F, F, Q∗ ) 17

en veronderstellen dat de arbitragevrije financiële markt zijn structuur behoudt na de uitbreiding. We nemen ook G strikt groter dan F, wat betekent dat kennis van F niet leidt tot kennis omtrent het optreden van τ . Elk G-voorspelbaar proces Y valt samen met een F-voorspelbaar proces Y¯ op {τ > t}; bovendien valt elke G-stopping time θ samen met een F-stopping time θ¯ op {τ > t}. We kunnen τ bijvoorbeeld definiëren door Z t µu du > ξ , τ = inf t|

(14)

0

met µ een nietnegatief F-voorspelbaar proces en ξ een standaard exponentiële random variabele onafhankelijk van F∞ . Deze constructie is equivalent met de zogenaamde conditionele Poisson constructie. Dit betekent dat, onder Q en conditioneel op F∞ , het random tijdstip τ het eerste sprongtijdstip is van een inhomogeen Poisson proces met intensiteit (µt )t≥0 . Dergelijk inhomogeen Poisson proces is een Poisson proces waarbij de parameter kan variëren in de tijd. De algemene snelheidsfunctie wordt dan voorgesteld door λ(t). Het verwachte aantal gebeurtenissen tussen tijdstip a en b is dan Z

b

λa,b =

λ(t)dt a

Het aantal arrivals in het tijdsinterval (a, b], gegeven door N (b) − N (a), volgt dan een Poisson verdeling met geassocieerde parameter λa,b . P [(N (b) − N (a)) = k] =

2.3

e−λa,b (λa,b )k k!

Financi¨ ele en demografische risicofactoren

Voor elk optieprijzingsmodel moeten drie basisveronderstellingen gemaakt worden: het onderliggend prijsproces, het interestvoetproces en de marktprijs van risico. Voor elk van de assumpties zijn er vele verschillende keuzes. Zo kan de onderliggende prijs ofwel een continue tijdsproces ofwel een discreet tijdsproces volgen. Onder de mogelijke continu tijdsprocessen kan het Markov en niet-Markov zijn, een diffusie of een nondiffusie, een Poisson of een non-Poisson proces, een mix van sprongen diffusiecomponenten al dan niet met stochastische volatiliteit en random sprongen. Voor het termijnmodel van de interestvoet zijn er eveneens vele keuzes. Empirische resultaten tonen aan dat de beslissingen om zich terug te trekken, gedreven worden door verschillende factoren waaronder distributiekanalen, slechte verkopen, financiële marktcondities en verslechtering of verbetering van de gezondheidstoestand van de verzekeringsnemer. We focussen ons hier op financiële en demografische factoren, in het bijzonder op interestvoetrisico, prestatie van de aandelenmarkt en sterfterisico. Beschouw een toestandsvariabele-proces X = (r, Y, K, µ, N ) dat waarden aanneemt in R+ × R × R+ × R+ × {0, 1}. De eerste drie componenten stellen financiële risicofactoren 18

voor: r is de korte termijnrente, Y het logaritmisch prijsproces van een referentiefonds S = eY , K het kwadraat van de ogenblikkelijke niet-sprong volatiliteit van S. Het proces µ stelt de sterfte-intensiteit voor van de polishouder die als referentie wordt genomen, terwijl N de dubbel-stochastische sterfte-indicator is. We modelleren de interestvoet aan de hand van een standaard Cox-Ingersoll-Ross model: √ drt = ζr (δr − rt )dt + σr rt dZtr met ζr , δr , σr > 0 en Z r een standaard Brownse beweging. Voor de marktwaarde van het referentiefonds beschouwen we de exponentiële functie S = eY , waarbij Y beschreven wordt door dYt =

1 r t − Kt − λ Y µ Y 2

q p K r S 2 2 dt + Kt ρSK dZt + ρSr dZt + 1 − ρSK − ρSr dZt + dJtY .

Merk hierbij de aanwezigheid op van de factor 12 Kt . Het feit dat deze opduikt wordt verklaard doordat S = eY . Immers, veronderstel dat we vertrekken van een differentiaalvergelijking voor S(t) van de vorm p dS(t) = [R(t) − λµJ ]dt + V (t)dωs (t) + J(t)dq(t), (15) S(t) met daarbij R(t) de ogenblikkelijke interestvoet; λ het aantal sprongen paar jaar; V (t) de diffusion component; ωs (t) en ωv (t) standaard Brownse bewegingen met Covt [dωS (t), dωv (t)] = ρdt; J(t) het percentage van de spronggroote dat lognormaal, identiek en onafhankelijk verdeeld is over de tijd, met onvoorwaardelijk gemiddelde µJ . q(t) een Poisson proces met intensiteit λ, d.w.z P [dq(t) = 1] = λdt en P [dq(t) = 0] = 1 − λdt; q(t) en J(t) ongecorreleerd met elkaar of met ωs (t) en ωv (t). 2 p V (t) = V (t), dan bekomen we met Indien we in gedachten houden dat K(t) = behulp van de formule van Itô S = exp(Y ) Y = ln(S) = f (S) 1 f 0 (S) = S −1 f 00 = S2 dY

1 = df (S) = f 0 (S)dS + f 00 (S)(dS)2 2 1 1 1 = dS − (dS)2 S 2 S2 p 1 1 = (R(t) − λµJ )dt + V (t)dωs (t) + J(t)dq(t) − (V (t)S 2 dt) 2 S2 19

In de laatste stap werd gebruik gemaakt van het feit dat dt.dt = dt.dw = 0, dw.dw = dt. Het model voor Y (t) dat wij hanteren, is inderdaad van dergelijke vorm. De component J Y is een samengesteld Poisson proces met jump-arrival rate λY > 0 en lognormaalverdeelde sprongen met gemiddelde µY en standaarddeviatie σY > 03 . De correlatiecoëfficiënten ρSK en ρSr voldoen aan ρ2SK + ρ2Sr ≤ 1. De factor K genereert stochastische volatiliteit. Het is het kwadraat van de ogenblikkelijke niet-sprong volatiliteit van S. p dKt = ζK (δK − Kt )dt + σK Kt dZtK met ζK , δK , σK > 0 We onderstellen dat het proces (Z r , Z S , Z K ) een driedimensionale Brownse beweging is, onafhankelijk van het sprongproces J Y . De sterfte-intensiteit wordt beschreven door √ dµt = ζµ (m(t) − µt )dt + σµ µt dZtµ + dJtµ met m(.), ζµ , σµ > 0, Z µ een standaard Brownse beweging en J µ een samengesteld Poisson proces onafhankelijk van Z µ , met jump arrival rate λµ ≥ 0 en exponentiële sprongen met gemiddelde γµ > 0. We veronderstellen dat het koppel (Z µ , J µ ) onafhankelijk is van (Z r , Z S , Z K , J Y ) zodanig dat financiële en demografische factoren onafhankelijk zijn. De keuze van risicofactoren die hier gemaakt werd, is bedoeld om een realistische setup weer te geven aan de hand waarvan dan de prestatie van de Least Squares Monte Carlo methode wordt besproken. De huidige setup is een goede test, gegeven het aantal factoren en de aanwezigheid van meervoudige uitoefendata.

2.4

Verzekeringscontracten

We breiden nu de financiële markt uit door te werken op de kansruimte (Ω, G, G, Q) en introduceren een levensverzekeringscontract dat uitgegeven wordt aan het hierboven beschreven individu. We noteren door V het prijsproces van een levensverzekering en door D de gecumuleerde dividenden. In tegenstelling tot het voorgaande, is D nu aangepast aan de grotere filtratie G, wat betekent dat D kan afhangen van het tijdstip van overlijden van het individu. We stellen D = Dd + Ds , waarbij Dd en Ds respectievelijk de gecumuleerde opbrengsten voorstellen bij sterven of overleven. Deze worden als volgt gedefinieerd:

Dtd

Z

t

=

d Bu− dNu = Bτd− 1τ ≤t

(16)

(1 − Nu )dBus = Bτs− 1τ ≤t + Bts 1τ >t

(17)

0

Dts

Z =

t

0 3

Een samengesteld Poisson proces met snelheid λ > 0 en sprongverdeling G is een tijdscontinu PN (t) stochastisch proces {Y (t) : t ≥ 0} gegeven door Y (t) = i=1 Di waarbij {N (t) : t ≥ 0} een Poisson proces is met snelheid λ en {Di : i ≥ 1} onafhankelijke en identiek verdeelde random variabelen zijn, met verdelingsfunctie G, die ook onafhankelijk zijn van {N (t) : t ≥ 0}.

20

voor F-aangepaste processen B d en B s , met B s van begrensde variatie. Terwijl Bud een som voorstelt die uitbetaald wordt in geval van overlijden op tijdstip u, noteert Bus de gecumuleerde opbrengsten die uitbetaald worden in het geval dat het individu overleeft tot op tijdstip u. De bovenstaande formulering omvat verschillende types van verzekeringscontracten zoals endowments, pure endowments, annu¨ıteiten, termijn- en levensverzekeringen. Het enige wat we moeten doen is de grootheden B d en B s geschikt specifiëren. Zo kunnen we bijvoorbeeld het volgende voorstellen: • één enkele uitbetaling b ∈ Ft in geval van overleven op een vaste vervaldatum T > 0, door Bts = 1t≥T b te stellen; • een F-aangepaste opbrengstenstroom (bt )t≥0 uitbetaald van tijdstip T tot aan het tijdstip van overlijden, door dBts = 1t≥T bt dt te stellen; • een discrete reeks van uitbetalingen b1 , b2 ,... op tijdstippen T1 , T2 ,... door P s Bt = i bi 1t≥Ti te stellen met bi ∈ FTi voor elke i. Onder de voorwaarde van geen arbitrage, kunnen we (13) voor de uitgebreide markt herschrijven als

Vt =

St0 E Q

Vv + Sv0

Z t

v

dDu |Gt Su0

(18)

voor alle v ≥ t. Voor het gemak, noteren we door V¯ de F-voorspelbare pre-death price van het product, in die zin dat Vv = 1τ >v V¯v . Wanneer τ gedefinieerd wordt door (14), bekomen we " Vt = 1τ >t Sˆt0 E Q

# Z v d Z v Bu dBus V¯v + µ du + |Ft , û0 u Sˆv0 Sû0 t S t

(19)

R. waarbij Sˆ.0 = exp( 0 (rs + µs )ds) een voor sterfterisico aangepaste geldmarktrekening voorstelt. Deze uitdrukking toont aan dat het standaard risiconeutrale mechanisme vrij eenvoudig overgaat naar de sterfte-afhankelijke opbouw, op voorwaarde dat we fictieve producten beschouwen die een fictief ogenblikkelijk dividend Bud µu du + dBus uitbetalen onder een fictieve kortetermijn interestvoet R r + µ. Inderdaad, de pre-death opbrengst van ¯ t = V¯t + t (Bud µu du + dBus ), is een F-martingaal onder Q, het houden van het product, G 0 na deflatie door Sˆ0 .

21

3

Verzekeringscontracten met vroegtijdige uitoefening

We koppelen nu aan het hierboven beschreven contract een afkoopoptie, die de polishouder toelaat zich terug te trekken uit het contract op elk tijdstip vóór de vervaldatum en waarbij hij dan een som uitbetaald krijgt, de zogenaamde afkoopwaarde. Zij nu B w een F-aangepast proces. We zeggen dat de polishouder een afkoopsom Bθw krijgt als hij zich terugtrekt uit het contract op tijdstip θ. We nemen voor θ een G-stopping time en noemen het een exercise policy. Wanneer de optie uitgeoefend wordt op tijdstip θ, dan is het gecumuleerd dividendproces gelijk aan Dθ + Dw (θ) waarbij Dθ de gecumuleerde dividenden (16), (17) voorstelt tot aan θ (Dtθ = Dt∧θ ) en waarbij Dw (θ) gegeven wordt door

Dtw (θ)

t

Z

(1 − Nu )Buw dLu (θ) = Bθw 1θ≤t,θ<τ

=

(20)

0

met Lu (θ) = 1θ≤u . Het geval waarbij er geen afkoop is, wordt weergegeven door θ = τ te stellen, wat leidt tot Dw (θ) = 0. Sommige polissen laten slechts afkoop toe in een tijdsinterval [t, T ], bijvoorbeeld om de kosten die optreden bij de uitgave van het contract te recupereren. Als dat het geval is, moeten we enkel Buw = 0 stellen voor u ∈ [0, t). Noteer door V w (θ) het prijsproces van het contract wanneer de afkoopoptie uitgeoefend wordt op tijdstip θ. Wegens (18) hebben we dan op {θ > t}:

Vtw (θ)

=

St0 E Q

θ

Z t

d(Du + Duw (θ)) |Gt Su0

(21)

τ

Noteren we met G de verzameling van alle eindige G-stopping times, dan wordt de prijs van ons contract gegeven door de oplossing van het optimale stopping problem V0w∗ = sup V0w (θ) = θ∈

τG

sup

θ∈

τ G ,θ≤τ

V0w (θ),

(22)

waarbij we gebruik maken van het feit dat V0w (θ) = V0w (θ ∧ τ ) wegens (20), (21). Een oplossing van dit probleem wordt een rationele exercise policy genoemd, in die zin dat het de oorspronkelijke arbitragevrije waarde van de claim maximaliseert. We kunnen nu ¯ voordeel halen uit de structuur van G om θ te vervangen door een F-stopping time θ, die samenvalt met θ tot op tijdstip τ . De uitdrukking (21) kan dan als volgt herschreven worden op {θ¯ > t}: 1τ >t St0 ¯ = EQ Vtw (θ) Q(τ > t|Ft )

"Z t

Het optimalisatieprobleem wordt dan 22

θ¯

¯ d(Du + Duw (θ)) 1τ >t |Ft Su0

# (23)

¯ = V0w∗ = sup V0w (θ) = sup V0w (θ) θ∈

τG

¯ θ∈

τF

sup

¯ θ∈

τ

¯ F ,θ≤τ

¯ V0w (θ),

(24)

τ

met F de verzameling van eindige F-stopping times. Wanneer de stopping time τ dubbel stochastisch is, kan formule (23) uiteindelijk herschreven worden op {τ ∧ θ¯ > t} als

¯ = Sˆ0 E Q Vtw (θ) t

"Z t

θ¯

# ¯ û + D ˆ w (θ)) d(D u |Ft , Sˆ0

(25)

u

¯ = B w dLu (θ). ¯ De waarde van het contract wordt ˆ u = dBus + Bud µu du en dD ˆ w (θ) met dD u u dan bekomen door het supremum te nemen van de laatste uitdrukking over F-stopping times, zoals in (24). Het model dat tot dusver werd beschreven, kan uitgebreid worden zodanig dat exogene beslissingen tot terugtrekking worden in acht genomen. Hiermee bedoelen we dat de beslissing om zich terug te trekken uit het contract kan be¨ınvloed worden door andere factoren dan enkel en alleen continuation values die lager zijn dan de uitbetalingen bij terugtrekking. Een manier om deze mogelijkheid op te nemen in het model is een nieuwe stopping time ν met F-voorspelbare intensiteit (φt )t≥0 te introduceren. We benadrukken dat F gegenereerd kan worden door niet-financiële en niet-demografische factoren. Wanneer we terugkeren naar uitdrukking (24), zien we dat het optimale stopping probleem kan gewijzigd worden door simpelweg τ te vervangen door τ ∧ ν. Aangezien τ en ν intensiteiten µ en φ hebben, zal de stopping time τ ∧ ν de intensiteit µ + φ hebben. Als τ ∧ ν verondersteld wordt aan de nodige condities te voldoen, eerder dan τ , dan kan onze waarderingsmethode toegepast worden zonder al te grote wijzigingen, enkel µ vervangen door µ + φ.

3.1 3.1.1

Voorbeelden van contracten met afkoopmogelijkheid Equity-linked endowments

Een endowment verzekering is een levensverzekeringscontract dat een som uitbetaalt na een bepaalde periode (op de vervaldatum) of bij vroegtijdig overlijden. Typische vervaldata zijn tien, vijftien of twintig jaar. Sommige verzekeringen betalen ook uit in geval van ernstige ziekte. Endowments kunnen vroegtijdig afgekocht worden. De houder ontvangt dan de afkoopwaarde die bepaald wordt door de verzekeringsmaatschappij, afhankelijk van hoelang de verzekering reeds loopt en hoeveel er reeds in ge¨ınvesteerd werd. Bij een equity-linked endowment zijn de bedragen gelinkt aan de prestatie van een referentiefonds. Naast uitbetalingen bij overleven en overlijden, laten deze verzekeringen de houders ervan ook toe uit het contract te stappen voor de vervaldatum. We beschouwen nu een persoon die de leeftijd x heeft wanneer hij op tijdstip nul een endowment contract aangaat. Het gaat hier om een levensverzekering met vervaldatum 23

T > 0, die een bedrag FTs op tijdstip T uitbetaalt in geval van overleven of een bedrag Ftd op tijdstip t ∈ (0, T ] indien t samenvalt met het tijdstip van overlijden τ . Als FTs = 0 dan herleidt het contract zich tot een termijnverzekering en als Ftd = 0 herleidt het contract zich tot een pure endowment. We zullen ons concentreren op equity-linked producten. Als er bij terugtrekking uit het contract een som Ftw betaald wordt op tijdstip t, dan zeggen we dat de verzekering afgekocht werd tegen voorziening van de afkoopwaarde Ftw . Noteer door S = (St )t≥0 de marktwaarde van het referentiefonds waaraan de uitbetalingen gelinkt zijn. Uitbetalingen bij equity-linked contracten leggen minimumvoorwaarden vast. Een typisch voorbeeld wordt gegeven door opbrengsten van de volgende vorm: Bts = FTs 1t≥T

Btd = Ftd 1t
Btw = Ftw 1t
(26)

met uiteindelijke garanties (de zogenaamde terminal guarantees)

Fte

= F0 max

St , exp(κe t) . S0

(27)

Hierbij is e = s, d, w naargelang we uitbetalingen bij overleven, overlijden of afkoop beschouwen. F0 stelt de oorspronkelijke waarde voor van het referentiefonds, die gefinancierd wordt door de initiële premie (vrij van alle kosten). Daarnaast stelt κe de minimuminterest voor die gegarandeerd wordt voor de verschillende uitbetalingen. We beperken ons tot het geval van single premium policies.4 We zien dat in bovenstaande uitdrukking de uitbetalingen enkel afhangen van de waarde van het referentiefonds op het relevante tijdstip. Sommige contracten daarentegen worden gekenmerkt door padafhankelijke voorwaarden. Zo zijn er bijvoorbeeld de zogenaamde cliquet guarantees, waarbij padafhankelijkheid wordt ingevoerd door periodieke herwaarderingen van het referentiefonds.

Fte

= F0

btc Y

max 1 + η

u=1

Su − 1 , exp(κe ) , Su−1

(28)

In de praktijk gaat het meestal om jaarlijkse herwaarderingen, maar er kan uiteraard ook een andere frequentie gehanteerd worden. Een cruciale rol wordt gespeeld door η die de proportie van de uitvoering van het fonds voor de polishouder voorstelt. Deze η heeft waarden in het interval (0, 1]: wanneer η = 1 wordt de gehele kost van de garantie betaald bij instap in het contract; als daarentegen η < 1 wordt de kost gedeeltelijk gerecupereerd door de verzekeraar wanneer opbrengsten van de referentieportefeuille de minimumgarantie overstijgen. Noteer met θ het tijdstip waarop de verzekeringsnemer besluit het contract te beëindigen. Vroegtijdige uitoefening kan optreden wanneer de persoon nog in leven is en de verzekering nog van kracht. Indien θ < τ ∧ T stelt dit geen probleem. Wanneer echter θ ≥ τ ∧ T , 4

Optie die een persoon toelaat eenmalig een bedrag te investeren. Op die manier elimineert men periodieke betalingen of de negatieve gevolgen van het verzuimen aan periodieke betalingen aan andere polissen

24

houden we geen rekening met afkoop. Het tijdstip θ is een kansvariabele die afhangt van markt- en demografische condities, die op elk tijdstip de afkoopwaarde meer of minder aantrekkelijk maken. We noemen θ de exercise policy. Voor gegeven θ en vast tijdstip t, definiëren we de gecumuleerde uitbetalingen van het contract tot op dat tijdstip door Gt (θ) = FTs 1τ >T,T ≤t∧θ + Fτd 1τ ≤t∧T ∧θ + Fθw 1θ≤t,θ<τ ∧T ,

(29)

waarbij de termen in het rechterlid gepaard gaan met het optreden van drie elkaar uitsluitende gebeurtenissen. Het doel is om een arbitrage-vrije markt te introduceren en een θ∗ te vinden die optimaal is voor een rationele verzekeringshouder.

3.1.2

Participating endowments

Bij participating contracts deelt de verzekeraar op verschillende manieren winsten met polishouders. Als voorbeeld beschouwen we de zogenaamde ‘reversionary bonus’ methode, waarbij gedeelde winsten als op het einde van het jaar als bonussen gecrediteerd worden bij de polisreserves. Zoals bij equity-linked endowments, kunnen de opbrengsten nog steeds uitgedrukt worden door

Fte

= F0

btc Y

max 1 + η

u=1

Su − 1 , exp(κe ) , Su−1

(30)

in het geval van unsmoothed profitsharing of door ! btc u∧y X Y S η u−j+1 Fte = F0 − 1 , exp(κe ) , max 1 + u ∧ y j=1 Su−j u=1 in het geval van smoothed profit sharing, waarbij smoothing gebeurt over y jaar. Het eerste geval is formeel identiek aan het geval van equity-linked endowments met cliquet guarantees, maar nu staat F0 voor de poliswaarde bij instap in het contract en S voor een index die de prestatie van de portefeuille van de verzekeraar samenvat. In het smoothed profit sharing geval, hangen de bonussen niet enkel af van de meest recente prestatie van de portefeuille van de verzekeraar, maar ook van de gemiddelde prestatie over de laatste y jaar van het contract. We merken op dat zowel in het unsmoothed als in het smoothed geval, de afwezigheid van arbitrage voorwaarden oplegt aan de parameters η en {κe }e=s,d,w indien de initiële poliswaarde F0 samenvalt met de enkelvoudige premie. 3.1.3

Whole life assurances

Whole life assurances betalen een bedrag uit wanneer de verzekerde overlijdt. De uitbetalingen kunnnen in dit geval uitgedrukt worden als: Bts = 0

Btd = Ftd 25

Btw = Ftw ,

(31)

met {Fte }e=d,w gedefinieerd zoals in de vorige voorbeelden, afhankelijk van het feit of het contract equity-linked of with-profit is. Merk op dat we (31) kunnen bekomen als een bijzonder geval van (26) door T = ∞ en FTs = 0 te stellen. 3.1.4

Uitgestelde annu¨ıteiten met uitbetaling bij overlijden

Uitgestelde annu¨ıteiten betalen uit wanneer de verzekerde in leven is op tijdstip T0 ,T1 ,..., met T0 het einde van de uitstelperiode. Wanneer dit contract gecombineerd wordt met een termijnverzekering met maturiteit T0 , is er een mogelijkheid tot afkoop vóór tijdstip T0 . Voorbeelden worden bekomen door te stellen: Bts =

X

bi 1t≥Ti

Btd = Ftd 1t
Btw = Ftw 1t
(32)

i

met

Fs bi = T0 max aT0

STi , exp(κa (Ti − T0 )) , ST0

waarbij {Fte }e=s,d,w gedefinieerd wordt zoals in het geval van equity-linked endowments met terminal of cliquet guarantees, κa ≥ 0 een minimum interest is die gegarandeerd wordt na de uitstelperiode en aT0 een snelheid is van omzetting naar een levensannu¨ıteit. Indien deze snelheid van omzetting niet gefixeerd wordt bij instap in het contract, dan hangt deze af van marktvoorwaarden (en demografische voorwaarden) die zullen heersen op tijdstip T0 . Dit is een voorbeeld waarbij stochastische sterftegraadsmodellen een belangrijke rol spelen. De belangrijkste oplossing van het prijzingsprobleem is de Black-Scholes formule, die ons de prijs van een Europese optie levert wanneer de enige stochastische factor de aandeelprijs is. Voor de Amerikaanse opties bestaat er geen analytische oplossing, zelfs niet in het kader van Black-Scholes. Men moet in plaats hiervan numerieke oplossingen zoeken. Weixi Shen en Huiping Xu trachten in [9] een model met partiële differentiaalvergelijkingen op te stellen en daarvan de analytische oplossing te bepalen. Het blijkt echter dat men steeds moet terugvallen op numerieke methoden om de oplossing te bepalen. De meest bekende methode is ongetwijfeld het Binomiaal Model voorgesteld door Cox, Ross en Rubenstein. Een groot probleem bij deze binomiale aanpak, alsook bij heel wat andere numerieke methoden, is het feit dat de prijs van het onderliggend aandeel de enige factor is die als onbekend wordt beschouwd. De andere bepalende factoren worden als constanten beschouwd. Deze assumptie is duidelijk niet geldig voor de interestvoet en mogelijk ook niet voor de betaalde dividenden. Het probleem is nu echter dat wanneer we meer dan twee stochastische factoren in het Binomiale Model opnemen, het rekenkundig onhandelbaar wordt. Het aantal vereiste knopen groeit exponentieel in het aantal factoren. Dit is gekend als de “curse of dimensionality” en maakt het moeilijk om meervoudige stochastische factoren zoals interestvoeten, dividenden, volatiliteiten of meervoudige onderliggende aandelen toe te laten.

26

4

Least Squares Monte Carlo

Longstaff en Schwartz (2001) introduceerden een eenvoudige maar toch krachtige nieuwe aanpak om de waarde van Amerikaanse opties te benaderen door middel van simulatie. Er wordt gebruik gemaakt van de kleinstekwadratenmethode om de conditionele verwachtingswaarde van de payoff te schatten in het geval men de optie behoudt. Ondanks recente vooruitgang, blijft de waardering en optimale uitoefening van Amerikaanse opties een van de moeilijkste problemen binnen het financieel domein van afgeleide producten, in het bijzonder wanneer de waarde van de optie door meer dan één factor wordt be¨ınvloed. Dit is voornamelijk te wijten aan het feit dat eindige differentie en binomiale technieken onpraktisch worden in situaties met meervoudige factoren. In dergelijke situatie is simulatie een veelbelovend alternatief. Bij een simulatie mogen de toestandsvariabelen stochastische processen volgen. Vanuit praktisch standpunt is simulatie uitermate geschikt voor ‘parallel computing’, wat significante verbeteringen oplevert qua snelheid van berekening en efficiëntie. Zo kunnen we bijvoorbeeld 5000 paden genereren door gebruik te maken van een enkele CPU of we kunnen telkens 100 paden genereren op 50 CPU’s. In vele gevallen is de snelheid van berekening veel belangrijker dan de kosten van de hardware. Bovendien voor grootschalige toepassingen, zoals het waarderen van bepaalde grote portefeuilles, kunnen dezelfde paden gebruikt worden voor alle opties. Wanneer we de paden slechts eenmaal moeten genereren, leidt dit tot significante verbetering in rekenkundige efficiëntie. Daarenboven zijn simulatietechnnieken eenvoudig, transparant en flexibel. In het geval van Amerikaanse opties vergelijkt de houder van de optie, op elk potentieel uitoefentijdstip, de payoff bij onmiddellijke uitoefening met de payoff die men kan verwachten als er op dat tijdstip niet wordt uitgeoefend. De optie zal dan worden uitgeoefend indien de onmiddellijke payoff groter is. De optimale uitoefenstrategie wordt dus eigenlijk bepaald door de conditionele verwachtingswaarde van de payoff. Deze conditionele verwachtingswaarden worden geschat uit de informatie in de simulatie door middel van kleinste kwadratenmethoden. Meer specifiek zullen we een regressie uitvoeren voor de uiteindelijk gerealiseerde payoffs (bij voortzetting van de optie) aan de hand van functies van de waarden van de toestandsvariabelen. De waarde die uit deze regressie volgt zal een schatting opleveren voor de conditionele verwachtingsfunctie. Door dan de conditionele verwachtingsfunctie te schatten voor alle uitoefendata, bekomen we een complete beschrijving van de optimale uitoefenstrategie langs elk pad. Aan de hand van deze beschrijving kunnen Amerikaanse opties dan nauwkeurig gewaardeerd worden via simulatie. Deze techniek wordt de Least Squares Monte Carlo methode genoemd. Deze methode is eenvoudig te implementeren aangezien enkel kleinstekwadratenregressie vereist is. Dat deze methode een goed alternatief is voor de eindige differentiemethode, wordt ge¨ıllustreerd aan de hand van een voorbeeld in sectie 4.3. We zullen daar aantonen dat voor het prijzen van een Amerikaanse put optie beide methoden vergelijkbare resultaten leveren.

27

4.1

Bespreking van de methode

De bespreking die hier wordt gegeven is afkomstig van Longstaff en Schwartz en is terug te vinden in [7]. We veronderstellen een complete kansruimte (Ω, F, P ) en een eindig tijdsinterval [0, T ], waarbij de ruimte Ω de verzameling is van alle mogelijke realisaties van de stochastische economie tussen de tijdstippen 0 en T met elementen ω die paden voorstellen. F is de sigma-algebra , P is de kansmaat gedefinieerd op de elementen van F. We definiëren dan F = {Ft ; t ∈ [0, T ]} als de uitgebreide filtratie gegenereerd door de relevante prijsprocessen voor de derivaten in de economie en nemen aan dat FT = F. In overeenstemming met de niet-arbitrage voorwaarde nemen we aan dat er een equivalente kansmaat Q bestaat voor deze economie. We zijn ge¨ınteresseerd in het prijzen van Amerikaanse afgeleide producten met random cash flows die kunnen optreden gedurende het tijdsinterval [0, T ]. De waarde van een Amerikaanse optie is gelijk aan de maximale waarde van de verdisconteerde cash flows van de optie, waarbij het maximum genomen wordt over alle stopping times met betrekking tot de filtratie F . We voeren de notatie C(ω, s; t, T ) in om het pad van cash flows aan te duiden gegenereerd door de optie, op voorwaarde dat de optie niet wordt uitgeoefend vóór of op tijdstip t en dat de optiehouder de optimale uitoefenstrategie volgt voor alle s met t < s ≤ T . Het doel van het LSMC algoritme is om een padsgewijze benadering te geven voor de optimale stopping rule die de waarde van de Amerikaanse optie maximaliseert. Voor de eenvoud bespreken we het geval waar de Amerikaanse optie enkel kan uitgeoefend worden op K discrete tijdstippen 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ ... ≤ tK = T en beschouwen we de optimale uitoefenstrategie op elke uitoefendatum. In de praktijk kunnen vele Amerikaanse opties echter continu uitgeoefend worden. Het LSMC algoritme kan gebruikt worden om de waarde van deze opties te benaderen door K voldoende groot te nemen. Op de uiteindelijke vervaldatum van de optie zal de investeerder de optie uitoefenen als ze in-the-money is, zoniet zal hij ze laten verlopen. Op uitoefendatum tk , voorafgaand aan de uiteindelijke vervaldatum, moet de optiehouder echter beslissen om ofwel onmiddellijk uit te oefenen of om de optie in stand te houden en op het volgende tijdstip opnieuw de beslissing te maken. Op tijdstip tk is de cash flow bij onmiddellijke uitoefening gekend door de investeerder en deze is gelijk aan de waarde bij onmiddellijke uitoefening. De cash flows bij het in stand houden van de optie zijn uiteraard niet gekend op tijdstip tk . De arbitragevrije waarderingstheorie impliceert dat de waarde van de optie, in de veronderstelling dat ze niet kan uitgeoefend worden tot na tijdstip tk , gegeven wordt door de verwachtingswaarde van de resterende verdisconteerde cash flows C(ω, s; tk , T ) onder de risiconeutrale maat Q. In het bijzonder wordt de zogenaamde continuation value F (ω, tk ) op tijdstip tk gegeven door " F (ω, tk ) = EQ

K X j=k+1

Z exp −

tj

#

r(ω, s)ds C(ω, tj ; tk , T )|Ftk ,

(33)

tk

waarbij r(ω, t) de risicoloze discontovoet is en de verwachtingswaarde conditioneel op de informatieverzameling Ftk genomen wordt. Het probleem van optimale uitoefening herleidt zich dus tot het vergelijken van de waarde bij onmiddellijke uitoefening met deze conditionele verwachtingswaarde en dan uit te oefenen als de waarde bij onmiddellijke uitoefening positief is en groter dan de conditionele verwachtingswaarde. 28

Longstaff en Schwartz (2001) hebben recent voorgesteld om de conditionele verwachting van de payoff bij voortzetting te schatten aan de hand van de informatie in de simulatie. Dus, als we schrijven dat g(x) = E[y|x], waarbij y de payoff bij voortzetting is en x de huidige toestand voorstelt, dan kan een benadering van de conditionele verwachting van de voortzetting gebruikt worden om de optimale uitoefenstrategie te bepalen. De motivatie voor deze aanpak kan gegeven worden in termen van Hilbertruimten, de ruimte van kwadratisch integreerbare functies met de norm Z hf (x), h(x)i = f (x)h(x)dx. Een eigenschap van Hilbertruimten is dat elke functie g(x) die behoort tot deze ruimte kan voorgesteld worden als een aftelbare lineaire combinatie van basisfuncties voor deze vectorruimte. We kunnen dus schrijven g(x) =

∞ X

ak φk (x),

k=0

waarbij {φk (x)}∞ k=0 een basis vormt. Om dit te kunnen gebruiken in de praktijk, moeten we g(x) benaderen door gebruik te maken van een eindige lineaire combinatie, die we noteren als gK (x) waarbij K het aantal basisfuncties is naast het intercept φ0 (·) ≡ 1. Het eenvoudigste benaderingsconcept is waarschijnlijk dat van kleinstekwadratenbenadering waar de coëfficiënten {ak }K k=0 geschat worden aan de hand van M (≥ K + 1) datapunten (yj , xj ), j = 1, ..., M door volgend minimalisatieprobleem op te lossen min

{ak }K k=0

M X

(a0 φ0 (xj ) + a1 φ1 (xj ) + ... + aK φK (xj ) − yj )2 .

(34)

j=1

Met de parameterschattingen {ˆ ak }K k=0 schatten we gK (x) door gˆK (x) =

K X

a ˆk φk (x).

(35)

k=0

In het bijzonder veronderstellen we op tijdstip tK−1 dat de functie F (ω; tK−1 ) in (33) kan voorgesteld worden als een lineaire combinatie van een aftelbare verzameling van FtK−1 -meetbare basisfuncties. Om de LSMC methode te implementeren benaderen we F (ω, tK−1 ) door gebruik te maken van de eerste M basisfuncties (M < ∞) en we noteren deze benadering door FM (ω, tK−1 ). Eens deze deelverzameling van basisfuncties bepaald is, wordt FM (ω, tK−1 ) geschat door de verdisconteerde waarden van C(ω, s; tK−1 , T ) te projecteren of te regresseren op de basisfuncties voor de paden waar de optie in the money is op tijdstip tK−1 . Merk op dat we enkel in-the-money paden gebruiken voor de schatting omdat de uitoefenbeslissing enkel relevant is als de optie in-the-money is. Door ons enkel te concentreren op de in-the-money paden, beperken we het domein waarover de conditionele verwachtingswaarde moet geschat worden en zijn er veel minder basisfuncties nodig om een nauwkeurige benadering te krijgen van de conditionele verwachtingsfunctie. Aangezien de waarden van de basisfuncties onafhankelijk en identiek verdeeld zijn langs de paden, kunnen we aantonen dat de geschatte waarde van deze regressie FˆM (ω, tK−1 ) 29

convergeert naar FM (ω, tK−1 ) in mean square en in kans als het aantal in-the-money paden in de simulatie, N , naar oneindig gaat (White, [12]). Ook kan aangetoond worden dat FˆM (ω, tK−1 ) de beste lineaire onvertekende schatter is van FM (ω, tK−1 ) (Amemiya, [3]). Eens de conditionele verwachtingsfunctie op tijdstip tK−1 geschat is, kunnen we bepalen of vroegtijdig uitoefenen op tijdstip tK−1 optimaal is voor een in-the-money pad ω door de onmiddellijke uitoefenwaarde te vergelijken met FˆM (ω, tK−1 ) en dit herhalen we voor elk in-the-money pad. Eens de uitoefenbeslissing bepaald is, kunnen de cash flow paden C(ω, s; tK−2 , T ) benaderd worden. De recursie gaat verder door terug te keren naar tijdstip tK−2 en de procedure te herhalen tot de uitoefenbeslissingen op elk tijdstip langs elk pad bepaald zijn. De Amerikaanse optie wordt dan gewaardeerd door te vertrekken op tijdstip nul, elk pad af te lopen tot de eerste stopping time opduikt, dan de resulterende cash flow bij uitoefening te verdisconteren tot op tijdstip nul en ten slotte het gemiddelde te nemen over alle paden ω. • Genereer n paden van telkens τ tijdstippen onder de risiconeutrale maat met behulp van Monte Carlo simulaties. • Voor j van τ − 1 tot 1 – Voor elk pad ω ∗ Vind schatter Fˆ (ω, tj ) van de continuation value voor ω op tj . ∗ De uitoefenwaarde op tijstip tj voor pad ω is E(ω, tj ) = max (K − S(tj , ω), 0) voor een put optie, waarbij S(tj , ω) de gesimuleerde aandeelprijs is op tijdstip tj langs pad ω. ∗ Als Fˆ (ω, tj ) ≤ E(ω, tj ) · De optimale strategie is om de optie uit te oefenen op tijdstip tj . ∗ Anders · De optimale strategie op tijdstip tj is die van tj+1 . Genereer paden, elk van τ tijdstippen met behulp van Monte Carlo simulaties. Vind optimale stopping points voor deze paden aan de hand van de schattingen voor de continuation value. Verdisconteer de resulterende cash flow van de stopping time terug naar tijdstip 0. Geef de gemiddelde startprijs van de optie weer over alle gegenereerde paden. Wanneer het aankomt op het effectief implementeren van de methode, duiken er ten minste drie bedenkingen op. Ten eerste is het interessant om de resultaten te onderzoeken van het gebruik van een verschillend aantal regressoren en paden. Ten tweede is de keuze van basisfuncties van belang en moeten dus alternatieve specificaties van het regressiemodel onderzocht worden. Ten derde is vanuit praktisch standpunt de rekentijd beperkt en wanneer men bepaalt welke regressoren en welke combinatie van M en K moet gebruikt worden, dan moet men de precisie en de rekentijd tegenover elkaar afwegen. Om precies te zijn, moeten we opmerken dat de methode kan lijden onder twee types van vertekening. Ten eerste is er een benaderingsbias wanneer de conditionele verwachtingsfunctie wordt 30

geschat. Dit leidt tot een kleine bias die verdwijnt als het aantal regressoren naar oneindig gaat. Ten tweede zou er een bias kunnen opduiken indien men dezelfde paden gebruikt om de conditionele verwachtingsfunctie te schatten en om de waarde van de optie te berekenen. Dit leidt tot een grote bias die mogelijk kan verdwijnen als het aantal paden wordt verhoogd. Echter, in het algemeen is de bias niet gekend en zal deze afhangen van zowel het aantal gesimuleerde paden als het aantal basisfuncties die gebruikt worden als regressoren. Wanneer het aantal paden verhoogd wordt, kan het effect van de hoge bias verdwijnen. Echter, het grootste voordeel van het verhogen van het aantal paden is dat de standaarderrors van de schattingen verkleind worden. We stellen voor om de Root Mean Squared Error (RMSE) te gebruiken als maat voor de precisie. Deze wordt gedefinieerd door RMSE(PLSM C ) =

q

Var(PLSM C ) + (E[PLSM C ] − P )2 .

Wanneer deze waarde nadert naar nul, is de schatting consistent.

31

4.2

Voorbeeld: illustratie van de LSMC methode

In [7] geven Longstaff en Schwartz een eenvoudig voorbeeld van de Least Squares Monte Carlo methode. Dit voorbeeld illustreert op een overzichtelijke manier de verschillende stappen die in de methode worden toegepast. Beschouw een Amerikaanse put optie op een aandeel zonder dividend. De optie is uitoefenbaar tegen een uitoefenprijs van 1.10 op tijdstippen 1, 2 en 3, waarbij tijdstip 3 de uiteindelijke vervaldatum is van de optie. De risicovrije rente bedraagt 6%. Voor de eenvoud illustreren we het algoritme aan de hand van slechts acht sample paden voor de prijs van het aandeel. Deze sample paden worden gegenereerd onder de risiconeutrale maat en worden weergegeven in de volgende matrix: Aandeelprijspaden Pad t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 1 1.00 1.09 1.08 1.34 2 1.00 1.16 1.26 1.54 3 1.00 1.22 1.07 1.03 4 1.00 0.93 0.97 0.92 5 1.00 1.11 1.56 1.52 6 1.00 0.76 0.77 0.90 7 1.00 0.92 0.84 1.01 8 1.00 0.88 1.22 1.34 Het doel is de stopping rule te bepalen die de waarde van de optie maximaliseert in elk punt op elk pad. Het algoritme is recursief, waardoor eerst een aantal intermediaire matrices moeten berekend worden. Op voorwaarde dat de optie niet wordt uitgeoefend vóór de uiteindelijke vervaldatum op tijdstip 3, worden de cash flows na het volgen van de optimale strategie op tijdstip 3 gegeven door: Cash flow matrix op tijdstip 3 Pad t = 1 t = 2 t=3 1 − − .00 2 − − .00 3 − − .07 4 − − .18 5 − − .00 6 − − .20 7 − − .09 8 − − .00 Deze cash flows zijn identiek aan de cash flows die men zou ontvangen indien de optie Europees was in plaats van Amerikaans. Indien de put optie in-the-money is op tijdstip 2, moet de optiehouder beslissen om de optie onmiddellijk uit te oefenen of om de optie voort te zetten tot aan de uiteindelijke 32

vervaldatum op tijdstip 3. Uit de aandeelprijsmatrix zien we dat er slechts vijf paden zijn waarvoor de optie in-the-money is op tijdstip 2. We noteren door X de aandeelprijzen op tijdstip 2 voor deze vijf paden en door Y de corresponderende verdisconteerde waarden van de cash flows die bekomen worden op tijdstip 3 indien de put optie niet uitgeoefend is op tijdstip 2. We gebruiken enkel in-the-money paden aangezien dit toelaat om de conditionele verwachtingsfunctie beter te schatten en het de efficiëntie van het algoritme significant verbetert. Regressie op tijdstip 2 Pad Y X 1 .00 × 0.94176 1.08 2 − − 3 .07 × 0.94176 1.07 4 .18 × 0.94176 .97 5 − − 6 .20 × 0.94176 .77 7 .09 × 0.94176 .84 8 − − Om de verwachte cash flow te schatten bij voortzetting van de optie, conditioneel op de aandeelprijs op tijdstip 2, regresseren we Y op een constante, X en X 2 . Deze specificatie is een van de meest eenvoudige. De resulterende conditionele verwachtingsfunctie is E[Y |X] = −1.070 + 2.983X − 1.813X 2 . Aan de hand van deze conditionele verwachtingsfunctie, vergelijken we nu de waarde bij onmiddellijke uitoefening op tijdstip 2 met de waarde bij voortzetting van de optie. De waarde van onmiddellijke uitoefening is gelijk aan de intrinsieke waarde 1.10 − X voor de in-the-money paden, terwijl de waarde bij voortzetting bekomen wordt door X te substitueren in de conditionele verwachtingsfunctie. Optimale vroegtijdige uitoefenbeslissing op tijdstip 2 Pad Uitoefening Voortzetting 1 .02 .0369 2 − − 3 .03 .0461 4 .13 .1176 5 − − 6 .33 .1520 7 .26 .1565 8 − − De vergelijking impliceert dat het optimaal is om uit te oefenen op tijdstip 2 voor het vierde, zesde en zevende pad. Dit leidt tot de volgende matrix, die de ontvangen cash flows weergeeft, op voorwaarde dat niet vóór tijdstip 2 wordt uitgeoefend.

33

Cash flow matrix op tijdstip 2 Pad t = 1 t = 2 t=3 1 − .00 .00 2 − .00 .00 3 − .00 .07 4 − .13 .00 5 − .00 .00 6 − .33 .00 7 − .26 .00 8 − .00 .00 Merk op dat wanneer de optie uitgeoefend wordt op tijdstip 2, de cash flows in de laatste kolom nul worden. Dit komt doordat de optie slechts eenmaal kan uitgeoefend worden. Wanneer we recursief verdergaan, gaan we na of de optie zou moeten worden uitgeoefend op tijdstip 1. Uit de aandeelprijsmatrix zien we dat er opnieuw vijf paden zijn waarvoor de optie in the money is op tijdstip 1. Voor deze paden definiëren we Y nu als de verdisconteerde waarde van de cash flows op tijdstip 2. Merk op dat we hierbij de werkelijk gerealiseerde cash flows langs elk pad gebruiken. We maken dus bij het definiëren van Y op tijdstip 1 geen gebruik van de conditionele verwachte waarde van Y die geschat werd op tijdstip 2. Wanneer we de conditionele verwachte waarde zouden verdisconteren in plaats van de werkelijke cash flows, dan kan er een bias ontstaan in de waarde van de optie. Aangezien de optie slechts eenmaal kan uitgeoefend worden, treden toekomstige cash flows op op tijdstip 2 of tijdstip 3, maar niet op beide. Cash flows ontvangen op tijdstip 2 worden over één periode terugverdisconteerd tot tijdstip 1 en cash flows ontvangen op tijdstip 3 worden over twee periodes terugverdisconteerd . Analoog als voorheen stelt X de aandeelprijzen voor op tijdstip 1 voor de paden waar de optie in-the-money is. Regressie op tijdstip 1 Pad Y X 1 .00 × .94176 1.09 2 − − 3 − − 4 .13 × .94176 .93 5 − − 6 .33 × .94176 .76 7 .26 × .94176 .92 8 .00 × .94176 .88 De conditionele verwachtingsfunctie op tijdstip 1 wordt opnieuw geschat door Y te regresseren op een constante, X en X 2 . De geschatte conditionele verwachtingsfunctie is E[Y |X] = 2.038 − 3.335X + 1.356X 2 . Substitutie van de waarden van X in deze regressie geeft de geschatte conditionele verwachtingsfunctie. Deze geschatte continuation values en de onmiddellijke uitoefenwaarden op tijdstip 1 worden gegeven in de tabel hieronder. Wanneer we beide vergelijken zien we dat uitoefening op tijdstip 1 optimaal is voor het vierde, zesde, zevende en achtste pad. 34

Optimale vroegtijdige uitoefenbeslissing op tijdstip 1 Pad Uitoefening Voortzetting 1 .01 .0139 2 − − 3 − − 4 .17 .1092 5 − − 6 .34 .2866 7 .18 .1175 8 .22 .1533 Nu we de uitoefenstrategie hebben bepaald op tijdstippen 1, 2 en 3, kan de stopping rule voorgesteld worden door de volgende matrix, waarbij de enen staan voor uitoefening van de optie. Stopping rule Pad t = 1 t = 2 t = 3 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 1 4 1 0 0 5 0 0 0 6 1 0 0 7 1 0 0 8 1 0 0 Met deze specificatie van de stopping rule, is het nu eenvoudig om de cash flows te bepalen die gerealiseerd worden bij het volgen van deze stopping rule. We bekomen de volgende cash flow matrix: Optie cash flow matrix Pad t = 1 t = 2 t = 3 1 .00 .00 .00 2 .00 .00 .00 3 .00 .00 .07 4 .17 .00 .00 5 .00 .00 .00 6 .34 .00 .00 7 .18 .00 .00 8 .22 .00 .00 De optie kan nu geprijsd worden door elke cash flow in de matrix terug naar tijdstip nul te verdisconteren en het gemiddelde te nemen over alle paden. Toepassing van deze procedure resulteert in een waarde van 0.1144 voor de Amerikaanse put optie. Dit is

35

ruwweg tweemaal de waarde van de Europese put optie (0.0564) die bekomen wordt door de cash flows op tijdstip 3 uit de eerste cash flow matrix terug te verdisconteren. Dit voorbeeld toont aan hoe least squares de informatie in de gesimuleerde paden kan gebruiken om de conditionele verwachtingsfunctie te schatten. Op haar beurt wordt de conditionele verwachtingsfunctie gebruikt om de uitoefenstrategie te bepalen die de waarde van de optie op elk tijdstip langs elk pad maximaliseert. Zoals getoond in dit voorbeeld, is de LSMC-methode gemakkelijk te implementeren aangezien enkel eenvoudige regressie wordt gehanteerd.

36

4.3

Waarderen van Amerikaanse put opties

Longstaff en Schwartz (2001) geven nu een uitgewerkt voorbeeld van de toepassing van het LSMC algoritme op Amerikaanse put opties. Ze beschouwen een put optie op een aandeel waarvan het risiconeutrale aandeelprijsproces de volgende stochastische differentiaalvergelijking volgt dS = rSdt + σSdZ en waarbij r en σ constanten zijn en Z een standaard Brownse beweging. Het aandeel betaalt geen dividenden uit. We veronderstellen dat de optie 50 keer per jaar uitoefenbaar is tot en met de vervaldatum T en tegen een prijs K. Als verzameling van basisfuncties nemen we een constante en de eerste drie Laguerre veeltermen

L0 (X) = exp(−X/2), L1 (X) = exp(−X/2)(1 − X), L2 (X) = exp(−X/2)(1 − 2X + X 2 /2).

We gaan dus de regressie uitvoeren voor de verdisconteerde cash flows door middel van een constante en drie niet-lineaire functies van de aandeelprijs. Aangezien we lineaire regressie toepassen om de conditionele verwachtingsfunctie te schatten, kunnen we bijkomende basisfuncties als verklarende variabelen in de regressie opnemen indien nodig. Er blijkt echter dat drie basisfuncties voldoende zijn om convergentie te bekomen. Om de resultaten te illustreren, geeft tabel 1 de waarden van de optie weer ge¨ımpliceerd door enerzijds eindige differentiemethoden en anderzijds de LSMC methode. De waarde van de vroegtijdig uitoefenbare optie is het verschil tussen de Amerikaanse en de Europese waarden. De waarde van de Europese put optie wordt gegeven door de Black-Scholes formule. De eindige differentie resultaten in tabel 1 zijn afkomstig van een impliciet eindig differentieschema met 40000 tijdsstappen per jaar en 1000 stappen voor de aandeelprijs. De partiële differentiaalvergelijking waaraan de put prijs P (S, t) voldoet is σ2S 2 PSS + rSPS − rP + PT = 0, 2

(36)

onder de uitoefenvoorwaarde P (S, T ) = max(0, K − ST ).

(37)

De impliciete eindige differentie resultaten werden ook vergeleken met de resultaten van een expliciete eindige differentiemethode en er bleek dat de waarden in het algemeen een honderdste van elkaar lagen. De LSMC schattingen zijn gebaseerd op 100000 paden die gebruik maken van 50 uitoefenpunten per jaar. 37

Zoals blijkt zijn de verschillen tussen de eindige differentie en het LSMC algoritme heel klein. Bovendien zijn de verschillen zowel positief als negatief. Deze resultaten tonen aan dat het LSMC algoritme in staat is om de eindige differentiewaarden dicht te benaderen.

Tabel 1: Eindige differentie- en simulatiewaarden voor Amerikaanse put opties, Bron: [7]

38

4.4

Keuze van de basisfuncties

Er kan een onderscheid gemaakt worden tussen verschillende soorten basisfuncties. We baseren ons op Moreno en Navas (2003) om deze functies voor te stellen en met elkaar te vergelijken. Op die manier kan men dan bepalen welke basisfuncties men het best gebruikt voor een specifiek geval. Zo kunnen bijvoorbeeld de volgende verzamelingen van basisfuncties beschouwd worden: Naam Power Legendre Laguerre Hermite A Hermite B Chebyshev Chebyshev Chebyshev Chebyshev Chebyshev

1e 1e 1e 2e 2e

soort soort soort soort soort

A B C A A

fn (x) Wn (x) Pn (x) Ln (x) Hn (x) Hen (x) Tn (x) Cn (x) Tn∗ (x) Un (x) Sn (x)

waarbij n ≥ 0 de graad van de veelterm aanduidt. Deze veeltermen kunnen op drie verschillende wijzen uitgedrukt worden 1. Expliciete uitdrukking fn (x) = dn

N X

cm gm (x)

m=0

Tabel 2: Expliciete uitdrukking van basisfuncties, Bron: [8]

39

2. Formule van Rodrigues ∂n 1 fn (x) = [ρ(x)(g(x))n ]. n an ρ(x) ∂x

Tabel 3: Basisfuncties d.m.v. formule van Rodrigues, Bron: [8]

3. Recursieformule an+1 fn+1 (x) = (an + bn x)fn (x) − an−1 fn−1 (x)

Tabel 4: Recurrente betrekking voor basisfuncties, Bron: [8]

Vanuit theoretisch standpunt is het wenselijk om een orthonormale basis van functies te gebruiken waarop de continuation values geprojecteerd worden. Dit betekent dat: Z b 0 n 6= m fn (x)fm (x)dx = 1 n = m. a

40

De verschillende elementen van de Laguerre familie {Lk }∞ k=0 hebben de eigenschap dat ze onderling orthogonaal zijn op het interval [0, ∞) met betrekking tot de gewichtsfunctie w(x) = exp(−x). Orthogonaliteit is een eigenschap die gedeeld wordt door andere families van polynomen en het is niet meteen duidelijk of deze Laguerre familie verkozen moet worden boven de andere families om g(x) te benaderen. In feite, een kritiek op de Laguerre polynomen is dat het interval waarover de conditionele verwachtingswaarde benaderd wordt, (0, 1) is na normalisatie met de uitoefenprijs en niet [0, ∞) en de regressoren zijn sterk gecorreleerd over dit interval. Daarom kunnen we andere families van orthogonale polynomen beschouwen, zoals bijvoorbeeld de Chebyshev familie {Tk }∞ k=0 en de Legendre familie die beide orthogonaal zijn op het interval (0, 1). {Pk }∞ k=0 Chebyshev polynomen zijn in het bijzonder nuttig wanneer men gladde niet-periodieke functies wil benaderen. Anderzijds is het grote voordeel van Legendre polynomen hun relatieve eenvoud en aangezien geen rekenkundig intensieve gewichten moeten berekend worden, zijn de elementen gewoonweg speciale combinaties van {xk }∞ k=0 . In de meeste gevallen zal de reikwijdte van de onderliggende prijzen (X) verschillend zijn van het interval [a, b] zodat de basisfuncties niet orthonormaal zullen zijn. Bijgevolg zullen we het aantal termen in de regressie moeten verhogen. Een lineaire regressie kan ge¨ınterpreteerd worden als de projectie van de afhankelijke variabele op de ruimte voortgebracht door de onafhankelijke variabelen. Bijgevolg, om de robuustheid van de LSMC te bestuderen met betrekking tot bovenstaande polynomen, moeten we zeker zijn dat ze niet dezelfde ruimte voortbrengen. Abramowitz en Stegun (1972) geven de volgende relatie weer tussen enkele van deze polynomen:

−n/2

Hen (x) = 2

Hn

x √ 2

,

1 [Un (x) − Un−2 (x)], 2 x Cn (x) = 2Tn , 2 x . Sn (x) = Un 2 Tn (x) =

Het is gemakkelijk in te zien dat Tn∗ (x) = 21−n Tn (x). Dus eigenlijk moeten we enkel het effect van Wn (x), Pn (x), Ln (x), Hen (x) of Tn (x) op optieprijzen bestuderen. Bovendien tonen Abramowitz en Stegun (1972) aan dat de coëfficiënten van elk van deze polynomen met betrekking tot de powerfuncties een nietsinguliere matrix vormen. Dit impliceert dat de ruimte voortgebracht door elk van hen dezelfde is als deze voortgebracht door de powerfuncties. Als gevolg hiervan zou de LSMC methode identieke optieprijzen moeten geven voor verschillende polynomen. Numerieke voorbeelden leren ons dat we, voor een vast aantal termen, inderdaad gelijkaardige optieprijzen krijgen voor verschillende basisfuncties. Het verschil is te wijten aan 41

numerieke fouten. Voor een gegeven veelterm kunnen we besluiten dat de optieprijs niet monotoon stijgt met het aantal termen. Dit blijkt bijvoorbeeld uit volgende tabellen van Stentoft (2004). Deze tabellen geven de prijsschattingen voor Amerikaanse put opties met behulp van het LSMC algoritme. De opties hebben een vervaldatum van 1 jaar, met tien mogelijke uitoefendata. De uitoefenprijs is 40, de oorspronkelijke aandeelprijs is 36 en de interestvoet bedraagt 6%.

Tabel 5: LSMC voor Amerikaanse put optie, (K) Laguerre polynomen, (M ) paden, Bron: [11]

Tabel 6: LSMC voor Amerikaanse put optie, (K) Chebyshev polynomen, (M ) paden, Bron: [11]

Tabel 7: LSMC voor Amerikaanse put optie, (K) Legendre polynomen, (M ) paden, Bron: [11]

42

Het eerste dat we kunnen opmerken uit tabel 6 is dat het aantal regressoren en het aantal paden verhoogd moeten worden om een arbitrair dichte benadering te krijgen met de Chebyshev veeltermen, zoals ook het geval was bij de Laguerre veeltermen. Het kan echter zijn dat bepaalde problemen die bij de Laguerre polynomen voorkomen, bij de Chebyshev polynomen niet optreden. Tabel 6 toont ook aan dat de voornaamste bijdrage van het verhogen van het aantal paden zich situeert in de verlaagde standaardfouten. Wanneer we de RMSE gebruiken als maat voor de precisie, moet zowel K als M naar oneindig gaan om convergentie van de geschatte prijs te bekomen. Uit tabel 7 blijkt dat dezelfde conclusies gelden wanneer Legendre polynomen worden gebruikt, nochtans is voor een klein aantal regressoren de bias kleiner dan wanneer we hetzelfde aantal Chebyshev regressoren gebruiken. Dus de Legendre polynomen lijken zich beter te gedragen dan elk van de andere veeltermfamilies. Numerieke resultaten tonen aan dat het aantal basisfuncties dat nodig is om convergentie te bekomen, veel trager groeit dan exponentieel. De ervaring leert dat het aantal basisfuncties dat nodig is om de conditionele verwachtingsfunctie te benaderen uitermate handelbaar kan zijn, zelfs voor hogerdimensionale problemen. Uit Moreno en Navas (2003) halen we volgende tabel

Tabel 8: prijs voor Amerikaanse put optie, σ = 0.2, r = 0.06, T = 1, S0 = 40, Bron: [8] Wanneer het aantal termen groot is (20 of meer), dan kunnen numerieke problemen opduiken voor enkele polynomen. Dit is niet te wijten aan het LSMC algoritme, maar aan de kleinstekwadratenroutine. We zien bijvoorbeeld dat voor de Hermite A veeltermen de fout toeneemt met het aantal termen, wat de fit van de regressies niet ten goede komt. Hoewel het LSMC algoritme nogal robuust is voor de keuze van de basisfuncties, moeten we rekening houden met de numerieke gevolgen van deze keuze. Bijvoorbeeld, de gewogen Laguerre veeltermen die gebruikt werden bij de Amerikaanse put optie in sectie 4.3 bevatten een exponentiële term in de aandeelprijs S. In tabel 1, echter, gaat de aandeelprijs van 36 tot 44. Dus rechtstreeks toepassen van de gewogen Laguerre veeltermen op het probleem zou kunnen resulteren in rekenkundige afrondingsfouten. Om dit probleem te vermijden, normaliseren we alle cash flows en prijzen in het Amerikaanse put voorbeeld 43

door te delen door de uitoefenprijs en de conditionele verwachtingsfunctie te schatten in de genormaliseerde ruimte. De resultaten in tabel 1 zijn gebaseerd op dergelijke normalisatie. Merk op dat dit enkel voor rekenkundig gemak is; de optiewaarde is onaangetast aangezien we de niet-genormaliseerde waarde van de cash flows langs elk pad terugverdisconteren om deze waarde te bekomen. Verder heeft onze keuze ook gevolgen voor de statistische significantie van individuele basisfuncties in de regressie. Zo zijn sommige basisfuncties erg gecorreleerd, wat leidt tot moeilijkheden bij het schatten van individuele regressiecoëfficiënten. Dit is verwant met het multicollineariteitsprobleem in de econometrie. Deze moeilijkheid be¨ınvloedt het LSMC algoritme echter niet aangezien de nadruk daar ligt op de gefitte regressiewaarden, eerder dan op individuele coëfficiënten. De gefitte waarde van de regressie wordt niet be¨ınvloed door de graad van correlatie tussen de verklarende variabelen. Hoewel, als de keuze van basisfuncties leidt tot een matrix die nagenoeg singulier is, dan kunnen numerieke onnauwkeurigheden in enkele least squares algoritmen de geschatte conditionele verwachtingsfunctie be¨ınvloeden. Om deze vorm van numerieke problemen te vermijden, worden regressies geschat door middel van het double-precision DLSBRR algoritme die least squares schat via een iteratief algoritme. Deze sectie toonde aan dat wanneer het aantal paden en het aantal regressoren verhoogd werden, de root mean squared error (RMSE) verkleinde. Echter, een wijziging van de specificatie kan een dramatisch effect hebben op de rekentijd. Immers, in het algoritme nemen regressies veruit het meeste tijd in beslag en het toevoegen van regressoren zal bijgevolg leiden tot een significante stijging in de rekentijd. Verhoging van het aantal paden in de simulatie zal eveneens de tijd die nodig is om de prijsschattingen te berekenen, verhogen aangezien meer observaties gebruikt worden. Beide effecten zullen in het bijzonder van belang zijn voor “deep in-the-money” opties waarbij een groot deel van de observaties gebruikt wordt in de regressies. Bovendien, hoewel de evaluatie van elke Laguerre veelterm vereenvoudigd kan worden door recursieve formules, bevatten de gewichten de exponentiële functie, die rekenkundig intensief is. Wijziging van de gewichten be¨ınvloedt dus ook de nodige rekentijd. Aangezien de rekentijd een relevante voorwaarde is, moet bij de keuze van de regressie de precisie van de schattingen vergeleken worden met de tijd die nodig is om deze te berekenen. De specificatie die een optimaal evenwicht levert tussen beide, moet gekozen worden. Als maat voor de precisie wordt de RMSE gekozen en de rekentijd wordt gemeten als het aantal prijzen dat per seconde kan berekend worden met behulp van een bepaalde computer. Uit numerieke resultaten blijkt dat de specificatie met Legendre polynomen beter is dan de specificatie met Laguerre polynomen. In het algemeen neemt het berekenen van een prijsschatting met Legendre veeltermen ongeveer 90% in van de tijd die nodig is om een prijsschatting te berekenen met hetzelfde aantal paden en Laguerre regressoren.

44

5

Implementatie van de LSMC methode

De Least Squares Monte Carlo methode (LSMC) steunt op de combinatie van Monte Carlo simulatie en Least Squares regressie in een omgeving waarin randomisatie gegenereerd wordt door een multidimensionaal Markov proces X. De methode omvat drie belangrijke benaderingen. Een eerste benadering wordt voorgesteld door de discretisatie van de tijd, wat ervoor zorgt dat de Amerikaanse claim vervangen wordt door een Bermuda claim. Zonder de algemeenheid te schaden, beschouwen we dan een eenheidsdiscretisatiestap en stellen we T = {0, 1, ..., n} voor gepaste gehele n. Het originele stopping problem wordt dan vervangen door zijn discrete versie langs het tijdsrooster T, sup E Q [gθ ], θ∈

(38)

τ G,T

τ

met G,T de familie van T-waardige G-stopping times en g het kwadratisch integreerbaar G-aangepast proces van verdisconteerde toekomstige dividenden afkomstig R t van het contract. Gebruik makend van de eerder geziene notatie, hebben we gt = 0 dGu /Su0 . Zoals gebruikelijk kunnen we een achterwaartse procedure ontwikkelen die een vergelijking inhoudt, op elk tijdstip, tussen de payoff van de optie en de beloning wanneer niet wordt uitgeoefend (continuation value). Het is kenmerkend voor de LSMC methode om te kijken naar zo een procedure in termen van optimale stopping times. Een optimale exercise policy θ∗ = θ0∗ wordt berekend aan de hand van het achterwaarts algoritme

θn∗ = n ∗ 1gj ≤Uj , θj∗ = j1gj >Uj + θj+1

voor j = n − 1, ..., 0,

∗ waarbij Uj = E Q [gθj+1 |Gj ]. Aangezien we werken in een Markoviaanse omgeving, hebben Q ∗ we Uj = E [gθj+1 |Xj ] en kunnen we schrijven Uj = u(j, Xj ) voor een zekere Borelfunctie u(j, ·), j ∈ T. Een tweede benadering wordt nu ge¨ıntroduceerd door elke u(j, Xj ) te vervangen door de orthogonale projectie van L2 (Ω) op de vectorruimte gegenereerd door een eindige verzameling van functies {e1 (X), ..., eH (X)}, gekozen uit een geschikte basis. Voor vaste H en elke j, noteren we door u˜(j, Xj ) zo een projectie en we stellen u˜(j, Xj ) = βj · e(Xj ), met e de vectorfunctie (e1 , ..., eH )0 en βn een geschikte coëfficiëntenvector (βj1 , ..., βjH )0 . Een derde benadering wordt ge¨ıntroduceerd door het toestandsvariabele-proces X te simuleren over het tijdsrooster T om dan door middel van kleinste kwadratenregressie de projecties (˜ u(j, Xj ))j∈T te berekenen. Als M het aantal simulaties is en Xjm en gjm (met m = 1, ..., M ) respectievelijk de waarden van Xj en gj voorstellen in de m-de simulatie, dan stellen we u˜(j, Xjm ) = βj∗ ·e(Xjm ) met βj∗ de kleinste kwadratenschatter bekomen door het oplossen van

βj∗ = arg min

βj ∈RH

M X

2 m gθmj+1 − β · e(X ) . ∗ j j

m=1

45

(39)

Clément, Lamberton en Protter ([5]) tonen aan dat wanneer H naar oneindig gaat, de waardefunctie van het probleem (38), met Uj vervangen door u˜(j, Xj ), de waardefunctie van het oorspronkelijk probleem benadert. Ze bewijzen ook bijna zekere convergentie van de Monte Carlo procedure voor vaste H en geven de asymptotische verdeling van de fout. We beschrijven nu de implementatie van de algemene procedure en verwijzen hierbij naar onze waarderingssetup. We stellen twee algoritmen voor.

5.1

Algoritme 1

Met verwijzing naar de m-de iteratie (m = 1, ..., M ) voeren we de volgende notatie in: • τ m : gesimuleerd tijdstip van overlijden. • Xtm : gesimuleerde vector van de toestandsvariabelen op tijdstip t ∈ T+ = {1, ..., n}. • Ptm : gesimuleerde payoff van het contract op tijdstip t ∈ T+ . Afhankelijk van het beschouwde contract, kan het gaan om: m – een uitbetaling bij overlijden Bτd,m , m als t = τ

– een opbrengst bij terugtrekking Btw,m die uitbetaald wordt wanneer het individu nog in leven is en zich terugtrekt op tijdstip t, – een uitbetaling bij overleven Bts,m die de gesimuleerde waarde van Z t 0 St 1 dBus 0 {τ >u} S t−1 u voorstelt. m : verdisconteringsfactor voor de periode [t, u], met t, u ∈ T en t < u. Meer • vt,u m expliciet hebben we vt,u = in de m-de iteratie.

St0,m , Su0,m

met (St0,m )t∈T de gesimuleerde geldmarktrekening

Het waarderingsalgoritme vereist de uitvoering van de volgende stappen: • Stap 0 [simulatie]: Simuleer M paden van X over het tijdsrooster T en stel n = dmaxm τ m e, waarbij dte het kleinste geheel getal groter dan of gelijk aan t voorstelt. • Stap 1 [initialisatie]: Neem θ∗,m = dτ m e en Pθm∗,m = Bθd,m ∗,m voor m = 1, ..., M . • Stap 2 [achterwaartse iteratie]: Voor j = n − 1, n − 2, ..., 1: 1. (continuation values) Stel Ij = {1 ≤ m ≤ M : τ m > j} en, voor m ∈ Ij , stel P ∗,m m Cjm = θh=j+1 Phm vj,h . 2. (regressie) Regresseer de continuation values (Cjm )m∈Ij tegenover (e(Xjm ))m∈Ij om te komen tot C˜jm = βj∗ · e(Xjm ) voor m ∈ Ij . Als Bjw,m > C˜jm , stel dan θ∗,m = j en Pjm = Bjw,m + Bjs,m , in het andere geval stel Pjm = Bjs,m . 46

• Stap 3 [initi¨ ele waarde]: Bereken de enkelvoudige premie van het contract ∗,m

M θ 1 XX m m ∗ P v . V0 = M m=1 j=1 j 0,j

5.2

Algoritme 2

Zoals beschreven in sectie 2.4 kunnen we contracten prijzen door gebruik te maken van (19) en (25) in plaats van (18) en (21). Zelfs als de onderliggende voorwaarde is dat τ dubbel stochastisch is in beide gevallen, dan reduceert uitdrukking (19) het prijzen tot het berekenen van conditionele verwachtingswaarden met betrekking tot de kleinere filtratie F. De algoritmen moeten dan op analoge wijze aangepast worden. We fixeren eerst n groot genoeg om de maximale resterende levensduur voor te stellen van onze referentieverzekerde. De achterwaartse procedure zal gestart worden vanaf n in elke simulatie, waardoor dus de gesimuleerde waarden τ m overbodig worden. De notatie voor de andere gesimuleerde grootheden is zoals voorheen, behalve voor de volgende: • Bts,m : gesimuleerde waarde van Z

t

t−1

Sˆt0 (dBus + Bud µu du). 0 ˆ Su

(40)

m : de voor risico-aangepaste verdisconteringsfactor voor de periode [t, u], met • vˆt,u Sˆ0,m t, u ∈ T en t < u. Meer expliciet hebben we vˆm = t0,m , met (Sˆt0,m )t∈T de gesimut,u

Sû

leerde, voor sterfterisico-aangepaste, geldmarktrekening. Het waarderingsalgoritme wordt als volgt gewijzigd: • Stap 0 [simulatie]: Simuleer M paden van X over het tijdsrooster T. • Stap 1 [initialisatie]: Neem Pnm = Bns,m ,θ¯∗,m = n voor m = 1, ..., M . • Stap 2 [achterwaartse iteratie]: Voor j = n − 1, n − 2, ..., 1: P ¯∗,m m 1. (continuation values) Voor m = 1, ..., M , stel Cjm = θh=j+1 Phm vˆj,h . 2. (regressie) Regresseer de continuation values (Cjm )m=1,...,M tegenover (e(Xjm ))m=1,...,M om te komen tot C˜jm = βj∗ · e(Xjm ) voor elk gesimuleerd pad. Als Bjw,m > C˜jm , stel dan θ¯∗,m = j en Pjm = Bjw,m + Bjs,m , in het andere geval stel Pjm = Bjs,m . • Stap 3 [initi¨ ele waarde]: Bereken de enkelvoudige premie van het contract M θ¯ 1 XX m m ∗ P vˆ . V0 = M m=1 j=1 j 0,j ∗,m

We merken op dat we in bovenstaand algoritme de F-stopping time θ¯ hebben beschouwd, die samenvalt met θ tot op τ . 47

5.3

Berekenen van de optieprijs

De meest eenvoudige manier om de waarde van de afkoopoptie op tijdstip 0 te bepalen, is om, naast V0∗ , ook de initiële waarde van de Europese versie van het contract, V0 , te berekenen. We bekomen dan de optieprijs door V0 af te trekken van V0∗ . Indien V0 niet in analytische vorm kan geschreven worden, kan deze berekend worden door de voorgaande algoritmen uit te voeren waarbij stap 2 wordt vervangen door • Stap 2 [achterwaartse iteratie]: Voor j = n − 1, n − 2, ..., 1 stel Ij = {1 ≤ m ≤ M : τ m > j} en voor m ∈ Ij , stel Pjm = Bjs,m . in algoritme 1 en door • Stap 2 [achterwaartse iteratie]: Voor j = n − 1, n − 2, ..., 1 en voor m = 1, ..., M , stel Pjm = Bjs,m . in algoritme 2.

5.4

Vergelijking

Het voornaamste verschil tussen beide algoritmen is dat het tweede de simulatie van het tijdstip van overlijden vermijdt, ten koste van het simuleren van alle relevante risicofactoren tot aan een maximum tijdstip n. Als gevolg hiervan kan het ene algoritme efficiënter zijn dan het andere, afhankelijk van de beschouwde contracten. Zo zal bijvoorbeeld de eerste methode te verkiezen zijn bij whole life contracts of annu¨ıteiten waarbij de vervaldatum samenvalt met het tijdstip van overlijden. Anderzijds kan dit voordeel aanzienlijk gereduceerd worden voor contracten met vaste vervaldatum en lage leeftijd bij overlijden, waar slechts enkele gesimuleerde paden verkort worden door het feit dat de dood optreedt voor de vervaldatum. Numerieke resultaten tonen echter aan dat voor het eerste algoritme de rekensnelheid 15% lager is in vergelijking met het tweede algoritme. Dit kan ook te wijten zijn aan een aantal andere redenen. In het eerste algoritme kunnen de berekeningen vereenvoudigd worden door in de regressiestap, op elke uitoefendatum, enkel paden te beschouwen waarbij de verzekerde in leven is. In de overige paden is de continuation value immers gelijk aan nul en moet deze dus niet geschat worden. Anders gezegd kan het indicatorproces N voor de dood, uitgesloten worden van de verzameling van toestandsvariabelen. Dit kan relevant zijn, afhankelijk van het relatief belang van de “no survival” paden ten opzichte van de “survival” paden op de uitoefendata. Ten slotte vereist het tweede algoritme een bijkomende approximatie bij het berekenen van de integraal in (40). Voor contracten die uitbetalingen bij overlijden voorzien, kan dit resulteren in bijkomende approximatiefouten of bijkomend rekenwerk om deze fouten te beperken. Het eerste algoritme wordt niet be¨ınvloed door dergelijk struikelblok zolang het contract enkel “lump sum” opbrengsten voorziet.

48

5.5

Realistische waarderingen

Tot dusver hebben we een equivalente martingaalmaat Q gefixeerd, die de preferenties van de verzekeringsnemer op vlak van risico weerspiegelt. Aangezien de verzekeringsmaatschappij werkt op portefeuilleniveau, kan Q diversificatie-effecten aanduiden waar de polishouder niet kan van genieten. Meer algemeen kan onze representatieve polishouder verschillende risicovoorkeuren hebben en beslissen om het contract al dan niet te beëindigen op basis van een andere kansmaat die we noteren door Q] . Omwille van de handelbaarheid, veronderstellen we dat Q] een equivalente martingaalmaat is. We kunnen dan door θ],∗ de oplossing van het stopping time probleem onder Q] voorstellen, d.w.z. ]

sup E Q [gθ ]. θ∈

τ G,T

Gegeven de optimale exercise policy θ],∗ kan de verzekeringsmaatschappij dan elke stroom van cashflows die afhangt van θ],∗ waarderen door gebruik te maken van risiconeutrale prijzing onder de ‘prijzingsmaat’ Q. Alle levensverzekeringen die tot nog toe werden beschouwd, kunnen dan gewaardeerd worden door E Q [gθ],∗ ] te berekenen. De ongelijkheid V0],∗ = E Q [gθ],∗ ] ≤ sup E Q [gθ ]. θ∈

τ G,T

toont dat directe waardering van (38) onder Q voorzichtig zou zijn vanuit het standpunt van de verzekeraar. Anderzijds, kan de hierboven beschreven aanpak een waarde voor het Amerikaans contract, V0],∗ , leveren die lager is dan de waarde van het corresponderende Europese contract, V0 , opnieuw berekend onder Q. In dat geval zou de afkoopoptie een actief (eerder dan een passief) zijn voor de verzekeraar. Hoewel boekhoudkundige regels niet toelaten dat dit op de balans wordt geplaatst, is een geschikte kwantificering van V0],∗ − V0 zeker nuttig voor realistische waarderingen. Om dit te doen, kunnen we de voorgaande algoritmen aanpassen aan de huidige situatie. Aangezien Algoritme 1 en Algoritme 2 in dezelfde lijnen kunnen aangepast worden, beschrijven we enkel het eerste als voorbeeld. De notatie is zoals in het originele algoritme voor realisaties onder Q, maar we voegen het superscript ] toe aan de corresponderende realisaties onder Q] . Algoritme 1]

• Stap 0: Construeer M paden van X (onder Q) en, overeenkomstig, M paden van X ] (onder Q] ) over het tijdsrooster T, met n = dmaxm τ m e ∨ maxm τ ],m . ],d,m • Stap 1 [initialisatie]: Voor m = 1, ..., M , neem θ],m = τ ],m , Pθ],m ],m = Bθ ],m , θm = dτ m e, Pθmm = Bθd,m m . • Stap 2 [achterwaartse iteratie]: Voor j = n − 1, n − 2, ..., 1: 1. (continuation values) Stel Ij] = {1 ≤ m ≤ M : τ ],m > j} en, voor m ∈ Ij] , stel P ],m ],m Cj],m = θh=j+1 Ph],m vj,h ; stel Ij = {1 ≤ m ≤ M : τ m > j} en, voor m ∈ Ij , s,m m neem Pj = Bj . 49

2. (regressie) Regresseer de continuation values (Cj],m )m∈I ] tegenover (e(Xj],m ))m∈I ] j j ],m ] ],m ] ],w,m ],m ˜ ˜ om te komen tot C = β · e(X ) voor m ∈ I . Als B > C , stel dan j

θ

],m

= j en

Pj],m

=

j

Bj],w,m

+

j ],s,m Bj ,

j

j

in het andere geval stel

j

Pj],m

= Bj],s,m .

• Stap 3 [initi¨ ele waarde]: Voor m = 1, ..., M , als θ],m < τ ],m ∧ τ m , stel dan ],m Pθm],m = Pθm],m + Bθw,m = θm . Bereken ten slotte de ],m , in het andere geval stel θ enkelvoudige premie van het contract ],m

V0],∗

5.6

M θ 1 XX m m = P v . M m=1 j=1 j 0,j

Convergentieresultaten

Het LSMC algoritme levert ons een eenvoudige en elegante manier om de optimale uitoefenstrategie voor een Amerikaanse optie te benaderen. Het resultaat van het algoritme is een stopping rule voor een Amerikaanse optie. De waarde van een Amerikaanse optie is echter gebaseerd op de stopping rule die de waarde van de optie maximaliseert. Alle andere stopping rules, inclusief deze geleverd door het LSMC algoritme, resulteren in waarden kleiner dan of gelijk aan de waarde ge¨ımpliceerd door de optimale stopping rule. N 1 X LSM C(ωi ; M, K) V (X) ≥ lim N →∞ N i=1

Dit resultaat is bijzonder nuttig aangezien het een convergentiecriterium oplevert. Zo helpt dit criterium bijvoorbeeld met het bepalen van het aantal basisfuncties dat nodig is om een nauwkeurige benadering te bekomen. Het komt er eenvoudigweg op aan om M te verhogen tot wanneer de waarde ge¨ımpliceerd door het LSMC algoritme niet meer stijgt. Een algemeen convergentieresultaat opstellen voor het LSMC algoritme is moeilijk omdat we limieten naar oneindig moeten beschouwen voor het aantal discretisatiepunten, het aantal basisfuncties en het aantal paden. Daarenboven moeten we de effecten beschouwen van het achterwaarts voortbewegen van de stopping rule doorheen de tijd van tK−1 tot t1 . Propositie: Stel dat de waarde van een Amerikaanse optie afhangt van een toestandsvariabele X, met drager op (0, ∞), die een Markov proces volgt. Veronderstel verder dat de optie enkel kan uitgeoefend worden op tijdstippen t1 en t2 en dat de conditionele verwachtingsfunctie F (ω; t1 ) absoluut continu is met

Z

∞

Z 0∞

e−X F 2 (ω; t1 )dX < ∞, e−X FX2 (ω; t1 )dX < ∞.

0

50

Dan bestaat er voor elke > 0 een M < ∞ zodanig dat " # N 1 X LSM C(ωi ; M, K) > = 0. lim P V (X) − N →∞ N i=1

Door M groot genoeg te kiezen en N naar oneindig te laten gaan, resulteert het LSMC algoritme in een waarde voor de Amerikaanse optie die in kans maximaal afwijkt van de echte waarde. Aangezien arbitrair is, convergeert het LSMC algoritme naar elke gewenste graad van nauwkeurigheid. De spil tot dit resultaat is dat de convergentie van FM (ω; t1 ) naar F (ω; t1 ) uniform is op (0, ∞) wanneer de aangegeven integreerbaarheidsvoorwaarden voldaan zijn. Dit begrenst de maximale fout bij het schatten van de conditionele verwachting, waardoor dan ook de maximale prijzingsfout begrensd wordt. Een belangrijk gevolg van dit resultaat is dat het aantal basisfuncties dat nodig is om een gewenste graad van nauwkeurigheid te bekomen, niet naar oneindig moet gaan als N naar oneindig gaat. Hoewel deze eigenschap zich beperkt tot eendimensionale problemen, is er een vermoeden dat gelijkaardige resultaten bekomen kunnen worden voor hogerdimensionale problemen door het vinden van voorwaarden waaronder uniforme convergentie optreedt.

51

6 6.1

Numerieke voorbeelden Impact van de sterftegraad op de waarde van de afkoopoptie

We beschrijven het voorbeeld van Bacinello, Biffis en Millossovich uit [4]. We beschouwen de unit-linked of participating endowments die we eerder hebben beschreven. Als referentieverzekeringsnemer kiezen we een man met een leeftijd van 40 jaar op tijdstip 0. Het contract heeft een vervaldatum van T = 15 jaar en voorziet ofwel terminal ofwel cliquet guarantees in geval van uitbetaling bij overleven, overlijden of terugtrekking. We passen beide algoritmen toe met veeltermfuncties van orde 3 als basisfuncties. De eerste benadering is de discretisatie van de tijd, wat leidt tot vervanging van de Amerikaanse optie door een Bermuda optie: we noemen de Backward Discretization Step (BDS) de lengte in jaren van elk tijdsinterval dat ontstaat uit de discretisatie. Om het toestandsvariabeleproces X te simuleren, gebruiken we een tijdsrooster dat fijner is dan T en we noemen de Forward Discretization Step (FDS) de lengte in jaren van elk tijdsinterval in het fijner rooster. De parameters die gebruikt werden voor onze simulaties, zijn weergegeven in tabel 9. Met betrekking tot de sterftegraad merken we op dat de functie m bekomen wordt door een c2 −1 2 Weibull-intensiteit te fitten, gegeven door m(t) = c−c (met c1 > 0, c2 > 1), 1 c2 (x + t) tegenover de overlevingskansen die ge¨ımpliceerd worden door tabel SIM2001, veel gebruikt in de Italiaanse endowment markt.

Tabel 9: Parameters gebruikt in de simulatie, Bron:[4]

Resultaten voor het geval van terminal guarantees worden gegeven in tabel 10, die voor cliquet guarantees in tabel 11. Kolom A1 (A2 ) geeft de waarden van de Amerikaanse contracten op tijdstip 0 bekomen door Algoritme 1 (Algoritme 2), terwijl kolom E1 (E2 ) de waarden van het onderliggende Europese contract geeft, berekend door het aangepaste Algoritme 1 (Algoritme 2). De waarden van de afkoopopties O1 en O2 worden bekomen door de kolommen E1 en E2 af te trekken van de kolommen A1 en A2 . De corresponderende standaardfouten worden weergegeven tussen haakjes. Wanneer 19000 simulaties met 140 verschillende seeds voor terminal guarantees en 30000 simulaties met 100 verschillende seeds voor cliquet guarantees uitgevoerd werden, vonden we dat Algoritme 1 15% tot 20% sneller is dan Algoritme 2 in beide gevallen. Dit is opmerkelijk aangezien het beschouwde contract een voorbeeld is waarbij we kleine verschillen verwachten. 52

Tabel 10: Terminal guarantee, Bron:[4]

Tabel 11: Cliquet guarantee, Bron:[4] In het geval van terminal guarantees hebben we verschillende waarden voor de minimum interesten bij overlijden of overleven (κ = κd = κs ) en terugtrekking (κw ) beschouwd. Uiteraard hangt de prijs van het Europese contract niet af van κw . In het geval van cliquet guarantees hebben we κe = κ gesteld voor e = s, d, w en κ laten wijzigen met de participatiecoëfficiënt η. Uit tabel 10 kunnen we zien dat de resultaten die bekomen worden met het eerste en het tweede algoritme zeer dicht bij elkaar liggen. Zoals verwacht stijgt de waarde van het Europees contract met de minimum interestvoet bij overlijden en overleven, κ, terwijl de waarde van het Amerikaans contract zowel stijgt met κ als met de minimum interest bij terugtrekking, κw (zie figuur 15). De waarde van de afkoopoptie daarentegen stijgt met κw en daalt met κ. De optie wordt waardeloos wanneer κ groot wordt in verhouding tot κw , aangezien het beëindigen van het contract dan minder aantrekkelijk wordt. In het geval van cliquet guarantees moet de vector van toestandsvariabelen, X, uitgebreid worden zodat deze de waarde van de guarantee F e bevat. Dit komt doordat op elk tijdstip t de waarde van Fte niet kan worden afgeleid uit Xt . Uit tabel 11 kunnen we zien dat de waarde van de afkoopoptie zowel daalt met de participatiecoëfficiënt η als met de minimum interest κ. Ze wordt verwaarloosbaar van zodra η gelijk is aan 60% of meer. Dit is te wijten aan het feit dat voorziening van hoge participatiecoëfficiënten samen met minimum garanties de polishouder aanmoedigen om in het contract te blijven. De afkoopoptie heeft daarentegen een significante waarde indien zowel η als κ laag zijn. De waarde van het Amerikaans contract voor verschillende waarden van het koppel (η, κ) is weergegeven in figuur 16. We merken op dat wanneer de waarde van het Europees contract lager is dan S0 = 100, noch de prijs van de minimumgarantie, noch S0 gedekt zijn door de premie die 53

betaald werd bij instap in het contract: ze worden beiden gefinancierd door de jaarlijkse opbrengsten bovenop κ, bekomen door de verzekeraar. Dit is de reden dat de waarde van de afkoopoptie erg significant wordt en de prijs van het Amerikaans contract dichtbij S0 komt te liggen.

Figuur 15: Terminal guarantees, Algoritme 1: waarde van het Amerikaans contract, Bron:[4]

Figuur 16: Cliquet guarantees, Algoritme 1: waarde van het Amerikaans contract, Bron:[4]

54

Om de impact van de sterftegraad op onze resultaten te begrijpen, berekenen we de waarden van de afkoopoptie bij een daling van 9.67% in de verwachte levensduur (van 38.79 tot 35.04 jaar). Deze worden bekomen door de ogenblikkelijke volatiliteit te verhogen tot σµ = 0.10 en de gemiddelde spronggrootte tot γµ = 0.04. We geven de resultaten weer in onderstaande tabel, samen met de percentagewijziging ten opzichte van tabel 10. κ 0%

κw O1 0% 6.402 2% 9.884 4% 15.968 6% 27.980 2% 0% 2.950 2% 4.994 4% 10.856 6% 23.105 4% 0% 0.273 2% 0.407 4% 1.639 6% 14.148

(+0.47%) (−1.53%) (−3.24%) (−6.56%) (+9.02%) (+2.42%) (−1.77%) (−6.27%) (+46.77%) (+4.35%) (+2.08%) (−4.46%)

Tabel 12: Prijzen van afkoopoptie bij daling in de verwachte levensduur, Bron: [4]

We zien dat bij deze hogere sterftegraad de afkoopopties meer waard zijn zolang κ ≥ κw . We zullen nu uitleggen hoe dit komt. Terwijl een hogere sterftegraad gepaard gaat met een lagere kans op uitbetalingen bij overleven, verhoogt deze de totale waarde van het standaard endowment contract. Er spelen dus twee effecten bij het optimale stopping problem: aan de ene kant verhoogt de toegenomen sterftegraad het argument van het supremum, aan de andere kant verlaagt deze de kans op uitoefening vóór overlijden. Wanneer κ < κw zijn afkoopgaranties meer waard dan garanties bij overlijden en overleven, maar de lagere kans op uitoefening vóór overlijden genereert een daling in de optiewaarde. Wanneer daarentegen κ ≥ κw , zijn afkoopgaranties minder waard dan uitbetalingen bij overlijden en overleven, maar de toegenomen waarde van het beëindigde contract (ge¨ınduceerd door de hogere sterftegraad) doet de optiewaarden stijgen in vergelijking met de basissituatie.

55

6.2

Implementatie van de LSMC methode in R

We implementeren het voorbeeld van de LSMC methode uit sectie 4.2 met behulp van het programma R. We stellen eveneens een algemene code op voor T tijdstippen en N paden. Op die manier kunnen we de impact van wijzigingen in de aandeelprijzen of in het aantal paden onderzoeken. De code voor elk van volgende toepassingen is terug te vinden in Appendix B.

6.2.1

Toepassing van de algemene code op een specifiek voorbeeld

We passen de algemene code toe op de volgende matrix van aandeelprijspaden: Aandeelprijspaden Pad t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 1 1.00 1.09 1.08 1.34 1.07 2 1.00 1.16 1.26 1.54 1.17 3 1.00 1.22 1.07 1.03 1.23 4 1.00 0.93 0.97 0.92 1.06 5 1.00 1.11 1.56 1.52 1.15 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.95 7 1.00 0.92 0.84 1.01 1.03 8 1.00 0.88 1.22 1.34 1.30 9 1.00 1.05 1.07 1.01 0.86 10 1.00 1.24 1.12 1.01 1.13 11 1.00 0.98 0.83 0.95 0.97 12 1.00 1.12 1.48 1.45 1.20 13 1.00 0.78 0.92 1.02 0.97 14 1.00 1.21 1.06 1.04 1.25 15 1.00 0.87 1.19 1.33 1.29 16 1.00 1.14 1.23 1.53 1.17 We bekomen een optieprijs van 0.1106.

56

6.2.2

Implementatie van de verschillende soorten basisfuncties

We kunnen de verschillende soorten basisfuncties implementeren. Hiervoor keren we terug naar het oorspronkelijke voorbeeld van de LSMC methode. We zullen respectievelijk de Laguerre polynomen, Hermite polynomen, Chebyshev polynomen en Legendre polynomen kiezen als basisfuncties en de resultaten vergelijken. Er wordt telkens vertrokken van de volgende matrix voor de aandeelprijzen Aandeelprijspaden Pad t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 1 1.00 1.09 1.08 1.34 2 1.00 1.16 1.26 1.54 3 1.00 1.22 1.07 1.03 4 1.00 0.93 0.97 0.92 5 1.00 1.11 1.56 1.52 6 1.00 0.76 0.77 0.90 7 1.00 0.92 0.84 1.01 8 1.00 0.88 1.22 1.34

De cash flow matrix op tijdstip 3 verandert niet: Cash flow matrix op tijdstip 3 Pad t = 1 t = 2 t=3 1 − − .00 2 − − .00 3 − − .07 4 − − .18 5 − − .00 6 − − .20 7 − − .09 8 − − .00

De verdisconteerde cash flows voor de in-the-money paden blijven ook dezelfde Regressie op tijdstip 2 Pad Y X 1 .00 × 0.94176 1.08 2 − − 3 .07 × 0.94176 1.07 4 .18 × 0.94176 .97 5 − − 6 .20 × 0.94176 .77 7 .09 × 0.94176 .84 8 − − 57

Laguerre veeltermen Om de verwachte cash flow te schatten bij voortzetting van de optie, conditioneel op de aandeelprijs op tijdstip 2, regresseren we Y op de eerste drie Laguerre veeltermen.

L0 (X) = exp(−X), L1 (X) = exp(−X)(1 − X), L2 (X) = exp(−X)(1 − 2X + X 2 /2).

De resulterende conditionele verwachtingsfunctie is E[Y |X] = −386.1944 + 1532.625L0 − 2013.755L1 + 964.7454L2 . Aan de hand van deze conditionele verwachtingsfunctie, vergelijken we nu de waarde bij onmiddellijke uitoefening op tijdstip 2 met de waarde bij voortzetting van de optie. Optimale vroegtijdige uitoefenbeslissing op tijdstip 2 Pad Uitoefening Voortzetting 1 .02 .01416444 2 − − 3 .03 .04924743 4 .13 .17325186 5 − − 6 .33 .18905825 7 .26 .08283086 8 − −

De vergelijking impliceert dat het optimaal is om uit te oefenen op tijdstip 2 voor het eerste, zesde en zevende pad. Dit leidt tot de volgende matrix, die de ontvangen cash flows weergeeft, op voorwaarde dat niet vóór tijdstip 2 wordt uitgeoefend. Cash flow matrix op tijdstip 2 Pad t = 1 t = 2 t=3 1 − .02 .00 2 − .00 .00 3 − .00 .07 4 − .00 .18 5 − .00 .00 6 − .33 .00 7 − .26 .00 8 − .00 .00

58

Regressie op tijdstip 1 Pad Y X 1 .02 × .94176 1.09 2 − − 3 − − 4 .13 × .94176 .93 5 − − 6 .33 × .94176 .76 7 .26 × .94176 .92 8 .00 × .94176 .88

De conditionele verwachtingsfunctie op tijdstip 1 wordt opnieuw geschat door Y te regresseren op de eerste drie Laguerre veeltermen. De geschatte conditionele verwachtingsfunctie is E[Y |X] = −610.9826 + 2436.661L0 − 3212.787L1 + 1550.523L2 . Deze geschatte continuation values en de onmiddellijke uitoefenwaarden op tijdstip 1 worden gegeven in onderstaande tabel. Wanneer we beide vergelijken zien we dat uitoefening op tijdstip 1 optimaal is voor het vierde, zesde, zevende en achtste pad. Optimale vroegtijdige uitoefenbeslissing op tijdstip 1 Pad Uitoefening Voortzetting 1 .01 .01787701 2 − − 3 − − 4 .17 .11791102 5 − − 6 .34 .30947273 7 .18 .09857064 8 .22 .03064498

Nu we de uitoefenstrategie hebben bepaald op tijdstippen 1, 2 en 3, kan de stopping rule voorgesteld worden door de volgende matrix, waarbij de enen staan voor uitoefening van de optie. Stopping rule Pad t = 1 t = 2 t = 3 1 0 1 0 2 0 0 0 3 0 0 1 4 1 0 0 5 0 0 0 6 1 0 0 7 1 0 0 8 1 0 0 59

Met deze specificatie van de stopping rule, is het nu eenvoudig om de cash flows te bepalen die gerealiseerd worden bij het volgen van deze stopping rule. We bekomen dan de volgende cash flow matrix: Optie cash flow matrix Pad t = 1 t = 2 t = 3 1 .00 .02 .00 2 .00 .00 .00 3 .00 .00 .07 4 .17 .00 .00 5 .00 .00 .00 6 .34 .00 .00 7 .18 .00 .00 8 .22 .00 .00

De optie kan nu geprijsd worden door elke cash flow in de matrix terug naar tijdstip nul te verdisconteren en het gemiddelde te nemen over alle paden. Toepassing van deze procedure resulteert in een waarde van 0.11665 voor de Amerikaanse put optie. Hermite veeltermen Om de verwachte cash flow te schatten bij voortzetting van de optie, conditioneel op de aandeelprijs op tijdstip 2, regresseren we Y op de eerste drie Hermite veeltermen.

H0 (X) = exp(−X 2 /2), H1 (X) = exp(−X 2 /2)X, H2 (X) = exp(−X 2 /2)(X 2 − 1).

De resulterende conditionele verwachtingsfunctie is E[Y |X] = −109.9821 + 310.4660H0 − 128.8491H1 + 154.9092H2 . Aan de hand van deze conditionele verwachtingsfunctie, vergelijken we nu de waarde bij onmiddellijke uitoefening op tijdstip 2 met de waarde bij voortzetting van de optie. Optimale vroegtijdige uitoefenbeslissing op tijdstip 2 Pad Uitoefening Voortzetting 1 .02 .01334154 2 − − 3 .03 .05016253 4 .13 .17318221 5 − − 6 .33 .18911454 7 .26 .08275202 8 − − 60

De vergelijking impliceert dat het optimaal is om uit te oefenen op tijdstip 2 voor het eerste, zesde en zevende pad. Dit leidt tot de volgende matrix, die de ontvangen cash flows weergeeft, op voorwaarde dat niet vóór tijdstip 2 wordt uitgeoefend. Cash flow matrix op tijdstip 2 Pad t = 1 t = 2 t=3 1 − .02 .00 2 − .00 .00 3 − .00 .07 4 − .00 .18 5 − .00 .00 6 − .33 .00 7 − .26 .00 8 − .00 .00

Regressie op tijdstip 1 Pad Y X 1 .02 × .94176 1.09 2 − − 3 − − 4 .13 × .94176 .93 5 − − 6 .33 × .94176 .76 7 .26 × .94176 .92 8 .00 × .94176 .88

De conditionele verwachtingsfunctie op tijdstip 1 wordt opnieuw geschat door Y te regresseren op de eerste drie Hermite veeltermen. De geschatte conditionele verwachtingsfunctie is E[Y |X] = −173.0123 + 501.328H0 − 215.7178H1 + 251.0141H2 . Deze geschatte continuation values en de onmiddellijke uitoefenwaarden op tijdstip 1 worden gegeven in onderstaande tabel. Wanneer we beide vergelijken zien we dat uitoefening op tijdstip 1 optimaal is voor het vierde, zesde, zevende en achtste pad. Optimale vroegtijdige uitoefenbeslissing op tijdstip 1 Pad Uitoefening Voortzetting 1 .01 .01793643 2 − − 3 − − 4 .17 .11777830 5 − − 6 .34 .30935723 7 .18 .09807916 8 .22 .03132526 61

Stopping rule Pad t = 1 t = 2 t = 3 1 0 1 0 2 0 0 0 3 0 0 1 4 1 0 0 5 0 0 0 6 1 0 0 7 1 0 0 8 1 0 0

Optie cash flow matrix Pad t = 1 t = 2 t = 3 1 .00 .02 .00 2 .00 .00 .00 3 .00 .00 .07 4 .17 .00 .00 5 .00 .00 .00 6 .34 .00 .00 7 .18 .00 .00 8 .22 .00 .00

We bekomen opnieuw een optieprijs van 0.11665. Chebyshev veeltermen Om de verwachte cash flow te schatten bij voortzetting van de optie, conditioneel op de aandeelprijs op tijdstip 2, regresseren we Y op de eerste drie Chebyshev veeltermen.

1 , 1 − X2 1 T1 (X) = √ X, 1 − X2 1 T2 (X) = √ (2X 2 − 1) 2 1−X T0 (X) = √

We zien echter dat voor bepaalde aandeelprijzen deze functies niet berekend kunnen worden. Immers, wanneer X 2 > 1 zouden we de vierkantswortel moeten nemen uit een negatief getal. Aangezien we dus de continuation values niet kunnen berekenen, kunnen we deze ook niet vergelijken met de waarden bij onmiddellijke uitoefening.

62

Legendre veeltermen Om de verwachte cash flow te schatten bij voortzetting van de optie, conditioneel op de aandeelprijs op tijdstip 2, regresseren we Y op de eerste drie Legendre veeltermen.

P0 (X) = 1, P1 (X) = X, 1 P2 (X) = (3X 2 − 1). 2

De resulterende conditionele verwachtingsfunctie is E[Y |X] = −1.674513 + 2.983411P1 − 1.209051P2 . Aan de hand van deze conditionele verwachtingsfunctie, vergelijken we nu de waarde bij onmiddellijke uitoefening op tijdstip 2 met de waarde bij voortzetting van de optie. Optimale vroegtijdige uitoefenbeslissing op tijdstip 2 Pad Uitoefening Voortzetting 1 .02 .03674056 2 − − 3 .03 .04589834 4 .13 .11752682 5 − − 6 .33 .15196921 7 .26 .15641792 8 − − De vergelijking impliceert dat het optimaal is om uit te oefenen op tijdstip 2 voor het vierde, zesde en zevende pad. Dit leidt tot de volgende matrix, die de ontvangen cash flows weergeeft, op voorwaarde dat niet vóór tijdstip 2 wordt uitgeoefend. Cash flow matrix op tijdstip 2 Pad t = 1 t = 2 t=3 1 − .00 .00 2 − .00 .00 3 − .00 .07 4 − .13 .00 5 − .00 .00 6 − .33 .00 7 − .26 .00 8 − .00 .00

63

Regressie op tijdstip 1 Pad Y X 1 .00 × .94176 1.09 2 − − 3 − − 4 .13 × .94176 .93 5 − − 6 .33 × .94176 .76 7 .26 × .94176 .92 8 .00 × .94176 .88 De conditionele verwachtingsfunctie op tijdstip 1 wordt opnieuw geschat door Y te regresseren op de eerste drie Legendre veeltermen. De geschatte conditionele verwachtingsfunctie is E[Y |X] = −2.489665 − 3.335443P1 + 0.9043044P2 . Deze geschatte continuation values en de onmiddellijke uitoefenwaarden op tijdstip 1 worden gegeven in onderstaande tabel. Wanneer we beide vergelijken zien we dat uitoefening op tijdstip 1 optimaal is voor het vierde, zesde, zevende en achtste pad. Optimale vroegtijdige uitoefenbeslissing op tijdstip 1 Pad Uitoefening Voortzetting 1 .01 .01348511 2 − − 3 − − 4 .17 .10874928 5 − − 6 .34 .28606468 7 .18 .11700927 8 .22 .15276213 Stopping rule Pad t = 1 t = 2 t = 3 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 1 4 1 0 0 5 0 0 0 6 1 0 0 7 1 0 0 8 1 0 0

64

Optie cash flow matrix Pad t = 1 t = 2 t = 3 1 .00 .00 .00 2 .00 .00 .00 3 .00 .00 .07 4 .17 .00 .00 5 .00 .00 .00 6 .34 .00 .00 7 .18 .00 .00 8 .22 .00 .00 De optieprijs bedraagt 0.11443.

65

6.2.3

Het 2-perioden model

We kunnen de procedure ook toepassen op andere voorbeelden. Zo kunnen we bijvoorbeeld de prijs berekenen van een Amerikaanse put optie, zoals in Shreve (2004). Veronderstel dat de optie vervalt op tijdstip 2 en een uitoefenprijs van 5 heeft. De initiële aandeelprijs bedraagt 4, de interestvoet r = 0.25.

Figuur 17: 2-perioden model, Bron: [10] In Shreve (2004) vinden we dat de prijs van deze optie 1.36 bedraagt. Wanneer we onze implementatie toepassen op dit specifieke voorbeeld, bekomen we hetzelfde resultaat.

6.2.4


In hetzelfde model beschouwen we nu een Europese put optie die vervalt op tijdstip 3.

Figuur 18: Binomiaal model: 3-perioden model, Bron: [10] We implementeren dit eveneens in R om te komen tot hetzelfde resultaat als in Shreve (2004). De prijs van dergelijke Europese optie bedraagt 0.864. 66

7

Algemeen besluit

We zijn deze tekst begonnen met een invoering van het begrip afkoopoptie. Vervolgens introduceerden we verschillende soorten levensverzekeringscontracten en zijn we op zoek gegaan naar een manier om deze contracten te prijzen. Meer specifiek hebben we ons toegelegd op de Least Squares Monte Carlo methode. Deze methode werd uitvoerig beschreven en toegepast op een aantal voorbeelden. We hebben verschillende soorten basisfuncties ingevoerd en de resultaten vergeleken. Naargelang de situatie is het mogelijk dat de ene soort moet verkozen worden boven de anderen om de regressie uit te voeren. Daarnaast hebben we ook een convergentiecriterium besproken voor de LSMC methode. Uit numerieke resultaten kunnen we besluiten dat deze methode uitermate geschikt is voor het prijzen van Amerikaanse opties. Ze is relatief eenvoudig aangezien enkel een kleinstekwadratenregressie nodig is. Bovendien vormt de methode een handig alternatief wanneer andere methoden, zoals de eindige differentiemethode of het binomiale model, niet toepasbaar zijn.

67

A

A.1

Implementatie van de grafieken voor een Europese afkoopoptie Situatie in Frankrijk

De belastingvoet is van de vorm x(t) = 0.381 It<4 + 0.181 I4≤t<8 . Voor de verschillende waarden van σ wordt telkens dezelfde code gebruikt. Deze code is van de vorm: sigma<-0.02 a<-0.1 T<-8 r<-0.06 R0T<-r+0.001*T beta<-0.05 lambda<-0.9 for(t in 1:(T-1)) { VarR<-function(t)(sigma^2/(2*T^2))*(((1-exp(-a*T))/a)^2)*((1-exp(-2*a*t))/a) x<-function(t) 0.381*(t<4)+0.181*((t>=4)&(t<8)) K<-function(t) 1+(exp(lambda*t*R0T)-1)*(1-x(t)) f<-function(t) ((r+0.001*(T+t))*(T+t)-(r+0.001*t)*t)/T B<-function (t) exp(-t*(r+0.001*t)) Cov<-function(t)(T/(T-t))*VarR(t)*((1-exp(-a*(T-t)))/(1-exp(-a*T))) gamma<-function(t)(T/(T-t))*R0T-(1/(lambda*(T-t)))*log((1-beta)*K(t)) d1<-function(t) (-gamma(t)+f(t)+(T/2)*VarR(t))/sqrt(VarR(t)) d2<-function(t) d1(t)-((T-t)*Cov(t))/sqrt(VarR(t)) print(d1(t)) print(d2(t)) } x4bis<-0.381 K4bis<- 1+(exp(lambda*4*R0T)-1)*(1-x4bis) gamma4bis<-(T/(T-4))*R0T-(1/(lambda*(T-4)))*log((1-beta)*K4bis) d14bis<-(-gamma4bis+f(4)+(T/2)*VarR(4))/sqrt(VarR(4)) d14bis d24bis<-d14bis-((T-4)*Cov(4))/sqrt(VarR(4)) d24bis #Optieprijs #Voor de cumulatieve verdelingsfunctie van de standaardnormale verdeling #werd gebruik gemaakt van Excel C1<-exp(lambda*1*R0T)*B(1)*N(d^1_1)-N(d^1_2) C2<-exp(lambda*2*R0T)*B(2)*N(d^2_1)-N(d^2_2) C3<-exp(lambda*3*R0T)*B(3)*N(d^3_1)-N(d^3_2) C4<-exp(lambda*4*R0T)*B(4)*N(d^4_1)-N(d^4_2) 68

C4bis<-exp(lambda*4*R0T)*B(4)*N(d^4_1bis)-N(d^4_2bis) C5<-exp(lambda*5*R0T)*B(5)*N(d^5_1)-N(d^5_2) C6<-exp(lambda*6*R0T)*B(6)*N(d^6_1)-N(d^6_2) C7<-exp(lambda*7*R0T)*B(7)*N(d^7_1)-N(d^7_2) C<-100*cbind(0,C1,C2,C3,C4bis,C4,C5,C6,C7) C X<-cbind(0,1,2,3,4,4,5,6,7) X #Tekenen van de grafiek pts <-list(x=X, y=C) plot(pts,xlab="tijdstip",ylab="Europese optieprijs in procent") lines(pts)

69

Voor het berekenen van de waarden N (dt1 ) en N (dt2 ) werd gebruik gemaakt van Excel. Deze waarden zijn terug te vinden in onderstaande tabel.

N (d11 ) N (d12 ) N (d21 ) N (d22 ) N (d31 ) N (d32 ) N (d41 ) N (d42 ) N (d41 bis) N (d12 bis) N (d51 ) N (d52 ) N (d61 ) N (d62 ) N (d71 ) N (d72 )

σ = 2% σ = 2.2% 0, 244072573 0, 267553285 0, 215022602 0, 234021376 0, 238642828 0, 263507013 0, 204251442 0, 223623557 0, 18724332 0, 214304527 0, 157136362 0, 178371134 0, 251523123 0, 277133589 0, 2179564 0, 238316582 0, 108936818 0, 135070045 0, 089860917 0, 110647853 0, 156351393 0, 184300099 0, 135291275 0, 158541796 0, 038053994 0, 055599167 0, 032774526 0, 04772013 0, 0000127022 0, 0000700652 0, 0000107788 0, 0000594042

σ = 2.4% 0, 28825297 0, 25030871 0, 285593061 0, 240301514 0, 238927419 0, 197220069 0, 299936484 0, 255952567 0, 160274216 0, 130374412 0, 210291648 0, 179834549 0, 07488208 0, 064044014 0, 000260108 0, 00022033

N (d11 ) N (d12 ) N (d21 ) N (d22 ) N (d31 ) N (d32 ) N (d41 ) N (d42 ) N (d41 bis) N (d12 bis) N (d51 ) N (d52 ) N (d61 ) N (d62 ) N (d71 ) N (d72 )

σ = 2.6% 0, 306620421 0, 26432737 0, 30532449 0, 254703832 0, 261328659 0, 213915101 0, 320372041 0, 271298478 0, 184233264 0, 148802991 0, 234340016 0, 199214582 0, 09513632 0, 081076054 0, 000729697 0, 000617524

σ = 3% 0, 337795545 0, 286967536 0, 339119964 0, 278047942 0, 300437581 0, 241827156 0, 355570361 0, 296519198 0, 22803818 0, 181559749 0, 277105321 0, 232788288 0, 136384529 0, 115388838 0, 003280063 0, 002770329

σ = 2.8% 0, 323031453 0, 276446106 0, 323065201 0, 267186951 0, 281752787 0, 228705242 0, 338813417 0, 284719943 0, 206824802 0, 165858584 0, 256559511 0, 216811794 0, 115776882 0, 098310234 0, 001669378 0, 001411365

70

A.2

Situatie in Belgi¨ e

De belastingvoet is van de vorm x(t) = 0.15 It<8 . sigma<-0.02 a<-0.1 T<-10 r<-0.06 R0T<-r+0.001*T beta<-0.05 lambda<-0.9 for(t in 1:(T-1)) { VarR<-function(t)(sigma^2/(2*T^2))*(((1-exp(-a*T))/a)^2)*((1-exp(-2*a*t))/a) x<-function(t) 0.15*(t<8) K<-function(t) 1+(exp(lambda*t*R0T)-1)*(1-x(t)) f<-function(t) ((r+0.001*(T+t))*(T+t)-(r+0.001*t)*t)/T B<-function (t) exp(-t*(r+0.001*t)) Cov<-function(t)(T/(T-t))*VarR(t)*((1-exp(-a*(T-t)))/(1-exp(-a*T))) gamma<-function(t)(T/(T-t))*R0T-(1/(lambda*(T-t)))*log((1-beta)*K(t)) d1<-function(t) (-gamma(t)+f(t)+(T/2)*VarR(t))/sqrt(VarR(t)) d2<-function(t) d1(t)-((T-t)*Cov(t))/sqrt(VarR(t)) print(d1(t)) print(d2(t)) } x8bis<-0.15 K8bis<- 1+(exp(lambda*8*R0T)-1)*(1-x8bis) gamma8bis<-(T/(T-8))*R0T-(1/(lambda*(T-8)))*log((1-beta)*K8bis) d18bis<-(-gamma8bis+f(8)+(T/2)*VarR(8))/sqrt(VarR(8)) d18bis d28bis<-d18bis-((T-8)*Cov(8))/sqrt(VarR(8)) d28bis #Optieprijs #Voor de cumulatieve verdelingsfunctie van de standaardnormale verdeling #werd gebruik gemaakt van Excel C1<-exp(lambda*1*R0T)*B(1)*N(d^1_1)-N(d^1_2) C2<-exp(lambda*2*R0T)*B(2)*N(d^2_1)-N(d^2_2) C3<-exp(lambda*3*R0T)*B(3)*N(d^3_1)-N(d^3_2) C4<-exp(lambda*4*R0T)*B(4)*N(d^4_1)-N(d^4_2) C5<-exp(lambda*5*R0T)*B(5)*N(d^5_1)-N(d^5_2) C6<-exp(lambda*6*R0T)*B(6)*N(d^6_1)-N(d^6_2) C7<-exp(lambda*7*R0T)*B(7)*N(d^7_1)-N(d^7_2) C8<-exp(lambda*8*R0T)*B(8)*N(d^8_1)-N(d^8_2) C8bis<-exp(lambda*8*R0T)*B(8)*N(d^8_1bis)-N(d^8_2bis) C9<-exp(lambda*9*R0T)*B(9)*N(d^9_1)-N(d^9_2) 71

C<-100*cbind(0,C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8bis,C8,C9) C X<-cbind(0,1,2,3,4,5,6,7,8,8,9) X #Tekenen van de grafiek pts <-list(x=X, y=C) plot(pts,xlab="tijdstip",ylab="Europese optieprijs in procent") lines(pts)

72

De waarden voor N (dt1 ) en N (dt2 ) zijn terug te vinden in onderstaande tabel.

N (d11 ) N (d12 ) N (d21 ) N (d22 ) N (d31 ) N (d32 ) N (d41 ) N (d42 ) N (d51 ) N (d52 ) N (d61 ) N (d62 ) N (d71 ) N (d72 ) N (d81 ) N (d82 ) N (d81 bis) N (d82 bis) N (d91 ) N (d92 )

σ = 2% 0, 346730572 0, 306023314 0, 39564968 0, 342362116 0, 406474366 0, 349064483 0, 394905211 0, 338598795 0, 359821521 0, 308946581 0, 292705425 0, 251828121 0, 18120573 0, 155915381 0, 356237884 0, 32962286 0, 043149976 0, 036914713 0, 083700992 0, 07787927

σ = 2.2% 0, 364355499 0, 318773344 0, 410961165 0, 351744623 0, 421918895 0, 358178072 0, 412040137 0, 34937555 0, 380239742 0, 323208971 0, 317981712 0, 271287143 0, 210536961 0, 180035843 0, 377929503 0, 348051231 0, 062366249 0, 053169208 0, 109266753 0, 101472299

σ = 2.4% 0, 379648912 0, 329247099 0, 424356109 0, 359257788 0, 435505711 0, 365482443 0, 427135663 0, 358171163 0, 39823911 0, 335130146 0, 340441938 0, 288027288 0, 237614239 0, 201935549 0, 397119362 0, 364026589 0, 083321395 0, 070783856 0, 134981015 0, 12511148

N (d11 ) N (d12 ) N (d21 ) N (d22 ) N (d31 ) N (d32 ) N (d41 ) N (d42 ) N (d51 ) N (d52 ) N (d61 ) N (d62 ) N (d71 ) N (d72 ) N (d81 ) N (d82 ) N (d81 bis) N (d82 bis) N (d91 ) N (d92 )

σ = 2.6% 0, 393095304 0, 337918762 0, 436251291 0, 365309515 0, 447640337 0, 371374138 0, 440630171 0, 36541363 0, 414315692 0, 345193254 0, 360583522 0, 3025348 0, 26255728 0, 221757267 0, 414312847 0, 378047536 0, 105212437 0, 089063087 0, 160243404 0, 148241769

σ = 2.8% 0, 405057064 0, 345142879 0, 446952085 0, 370198523 0, 458619195 0, 376143124 0, 452846166 0, 3714178 0, 428842083 0, 353760848 0, 378805683 0, 315198338 0, 285551195 0, 239696215 0, 429891698 0, 390490712 0, 127437518 0, 107491581 0, 184701633 0, 170541822

σ = 3% 0, 415809501 0, 351188701 0, 456686868 0, 374148354 0, 46866355 0, 380005897 0, 46402567 0, 376419892 0, 442102202 0, 361109245 0, 395427505 0, 326328145 0, 306797926 0, 255957264 0, 444148198 0, 401644499 0, 149572186 0, 125711063 0, 208170439 0, 191847457

73

B

B.1

R code voor de verschillende toepassingen van de LSMC methode Voorbeeld van de LSMC methode

aandeelprijzen<-read.table("C:/temp/dataset.txt") aandeelprijzen K<-1.10 r<-0.06 CFmatrixt3<-rep(K-aandeelprijzen[,4])*(K>aandeelprijzen[,4]) # Regressie op tijdstip 2 model2<-lm(Y2~X2+X2kwadr) Xt2<-rep(aandeelprijzen[,3])*(K>aandeelprijzen[,3]) X2<-replace(Xt2,(Kcontinuation2)) CF3<-CFmatrixt3*((!is.na(exercise2))&(!is.na(continuation2))& (exercise2aandeelprijzen[,2]) X1<-replace(Xt1,(K
74

summary(model1) #Optimale uitoefenstrategie op tijdstip 1 exercise1<-rep(K-X1) continuation1<-rep(coef(summary(model1))[1]+coef(summary(model1))[2]*X1 +coef(summary(model1))[3]*X1kwadr) optimalt1<-cbind(exercise1,continuation1) optimalt1 #Cash flow matrix op tijdstip 1 CF1<-(K-Xt1)*((!is.na(exercise1))&(!is.na(continuation1))& (exercise1>continuation1)) CF2<-CF2*((!is.na(exercise1))&(!is.na(continuation1))& (exercise1continuation1)) stop2<-1*((!is.na(exercise2))&(!is.na(continuation2))& (exercise2>continuation2)&(exercise10)) stoppingrule<-cbind(stop1,stop2,stop3) stoppingrule #Optieprijs Europeseput<-(1/8)*(sum(CFmatrixt3)*exp(-r)^3) Europeseput Amerikaanseput<-(1/8)*(sum(CF1)*exp(-r)+sum(CF2)*exp(-r)^2+sum(CF3)*exp(-r)^3) Amerikaanseput

75

B.2

Voorbeeld van LSMC methode met verschillende basisfuncties

aandeelprijzen<-read.table("C:/temp/dataset.txt") aandeelprijzen K<-1.10 r<-0.06 CFmatrixt3<-rep(K-aandeelprijzen[,4])*(K>aandeelprijzen[,4]) Xt2<-rep(aandeelprijzen[,3])*(K>aandeelprijzen[,3]) X2<-replace(Xt2,(K
B.2.1

Laguerre veeltermen

L0<-function(X) exp(-X) L1<-function(X) exp(-X)*(1-X) L2<-function(X) exp(-X)*(1-2*X+X^2/2) #Regressie op tijdstip 2 model2L<-lm(Y2~L0(X2)+L1(X2)+L2(X2)) summary(model2L) #Optimale uitoefenstrategie op tijdstip 2 exercise2<-rep(K-X2) continuation2L<-rep(coef(summary(model2L))[1]+coef(summary(model2L))[2]*L0(X2) +coef(summary(model2L))[3]*L1(X2)+coef(summary(model2L))[4]*L2(X2)) optimalt2<-cbind(exercise2,continuation2L) optimalt2 if(is.na(continuation2L)) { stop("ongeldige data") } #Cash flow matrix op tijdstip 2 CF2L<-(K-Xt2)*((!is.na(exercise2))&(!is.na(continuation2L))& (exercise2>continuation2L)) CF3L<-CFt3*((!is.na(exercise2))&(!is.na(continuation2L))& (exercise2
76

#Regressie op tijdstip 1 Xt1<-rep(aandeelprijzen[,2])*(K>aandeelprijzen[,2]) X1<-replace(Xt1,(Kcontinuation1L)) CF2L<-CF2L*((!is.na(exercise1))&(!is.na(continuation1L))& (exercise1continuation1L)) stop2L<-1*((!is.na(exercise2))&(!is.na(continuation2L))& (exercise2>continuation2L)&(exercise10)) stoppingruleL<-cbind(stop1L,stop2L,stop3L) stoppingruleL #Optieprijs AmerikaanseputL<-(1/8)*(sum(CF1L)*exp(-r)+sum(CF2L)*exp(-r)^2+sum(CF3L)*exp(-r)^3) AmerikaanseputL

77

B.2.2

Hermite veeltermen

H0<-function(X) exp(-X^2/2) H1<-function(X) exp(-X^2/2)*X H2<-function(X) exp(-X^2/2)*(X^2-1) #Regressie op tijdstip 2 model2H<-lm(Y2~H0(X2)+H1(X2)+H2(X2)) summary(model2H) #Optimale uitoefenstrategie op tijdstip 2 exercise2<-rep(K-X2) continuation2H<-rep(coef(summary(model2H))[1]+coef(summary(model2H))[2]*H0(X2) +coef(summary(model2H))[3]*H1(X2)+coef(summary(model2H))[4]*H2(X2)) optimalt2<-cbind(exercise2,continuation2H) optimalt2 if(is.na(continuation2H)) { stop("ongeldige data") } #Cash flow matrix op tijdstip 2 CF2H<-(K-Xt2)*((!is.na(exercise2))&(!is.na(continuation2H))& (exercise2>continuation2H)) CF3H<-CFmatrixt3*((!is.na(exercise2))&(!is.na(continuation2H))& (exercise2aandeelprijzen[,2]) X1<-replace(Xt1,(K
78

optimalt1 if(is.na(continuation1H)) { stop("ongeldige data") } #Cash flow matrix op tijdstip 1 CF1H<-(K-Xt1)*((!is.na(exercise1))&(!is.na(continuation1H))& (exercise1>continuation1H)) CF2H<-CF2H*((!is.na(exercise1))&(!is.na(continuation1H))& (exercise1continuation1H)) stop2H<-1*((!is.na(exercise2))&(!is.na(continuation2H))& (exercise2>continuation2H)&(exercise10)) stoppingruleH<-cbind(stop1H,stop2H,stop3H) stoppingruleH #Optieprijs AmerikaanseputH<-(1/8)*(sum(CF1H)*exp(-r)+sum(CF2H)*exp(-r)^2+sum(CF3H)*exp(-r)^3) AmerikaanseputH

B.2.3

Chebyshev veeltermen

T0<-function(X) (1-X^2)^(-0.5) T1<-function(X) (1-X^2)^(-0.5)*X T2<-function(X) (1-X^2)^(-0.5)*(2*X^2-1) #Regressie op tijdstip 2 model2T<-lm(Y2~T0(X2)+T1(X2)+T2(X2)) summary(model2T) #Optimale uitoefenstrategie op tijdstip 2 exercise2<-rep(K-X2) continuation2T<-rep(coef(summary(model2T))[1]+coef(summary(model2T))[2]*T0(X2) +coef(summary(model2T))[3]*T1(X2)+coef(summary(model2T))[4]*T2(X2)) optimalt2<-cbind(exercise2,continuation2T) optimalt2

79

if(is.na(continuation2T)) { stop("ongeldige data") } #Cash flow matrix op tijdstip 2 CF2T<-(K-Xt2)*((!is.na(exercise2))&(!is.na(continuation2T))& (exercise2>continuation2T)) CF3T<-CFmatrixt3*((!is.na(exercise2))&(!is.na(continuation2T))& (exercise2aandeelprijzen[,2]) X1<-replace(Xt1,(Kcontinuation1T)) CF2T<-CF2T*((!is.na(exercise1))&(!is.na(continuation1T))& (exercise1
80

stop1T<-1*((!is.na(exercise1))&(!is.na(continuation1T))& (exercise1>continuation1T)) stop2T<-1*((!is.na(exercise2))&(!is.na(continuation2T))& (exercise2>continuation2T)&(exercise10)) stoppingruleT<-cbind(stop1T,stop2T,stop3T) stoppingruleT #Optieprijs AmerikaanseputT<-(1/8)*(sum(CF1T)*exp(-r)+sum(CF2T)*exp(-r)^2+sum(CF3T)*exp(-r)^3) AmerikaanseputT

B.2.4

Legendre veeltermen

P1<-function(X) X P2<-function(X) (1/2)*(3*X^2-1) #Regressie op tijdstip 2 model2P<-lm(Y2~P1(X2)+P2(X2)) summary(model2P) #Optimale uitoefenstrategie op tijdstip 2 exercise2<-rep(K-X2) continuation2P<-rep(coef(summary(model2P))[1]+coef(summary(model2P))[2]*P1(X2) +coef(summary(model2P))[3]*P2(X2)) optimalt2<-cbind(exercise2,continuation2P) optimalt2 if(is.na(continuation2P)) { stop("ongeldige data") } #Cash flow matrix op tijdstip 2 CF2P<-(K-Xt2)*((!is.na(exercise2))&(!is.na(continuation2P))& (exercise2>continuation2P)) CF3P<-CFmatrixt3*((!is.na(exercise2))&(!is.na(continuation2P))& (exercise2aandeelprijzen[,2]) X1<-replace(Xt1,(K
81

Y1<-rep(exp(-r)*CF2P) Y1<-replace(Y1,(Kcontinuation1P)) CF2P<-CF2P*((!is.na(exercise1))&(!is.na(continuation1P))& (exercise1continuation1P)) stop2P<-1*((!is.na(exercise2))&(!is.na(continuation2P))& (exercise2>continuation2P)&(exercise10)) stoppingruleP<-cbind(stop1P,stop2P,stop3P) stoppingruleP #Optieprijs AmerikaanseputP<-(1/8)*(sum(CF1P)*exp(-r)+sum(CF2P)*exp(-r)^2+sum(CF3P)*exp(-r)^3) AmerikaanseputP

82

B.3

Algemene code voor N paden en T tijdstippen

aandeelprijzen<-read.table("C:/temp/dataset2.txt") aandeelprijzen N<-16 K<-1.1 r<-0.06 T<-4 CFmatrix<-matrix(data=0,nrow=N, ncol=T,byrow=FALSE) CFmatrix[,T]<-(K-aandeelprijzen[,T+1])*(K>aandeelprijzen[,T+1]) stop<-matrix(data=NA,nrow=N, ncol=T,byrow=FALSE) stop[,T]=1*(K-aandeelprijzen[,T+1]>0) # Regressie en optimale uitoefenstrategie for(i in 1:(T-1)) { X<-(aandeelprijzen[,T-i+1])*(K>aandeelprijzen[,T-i+1]) X<-replace(X,(K<=aandeelprijzen[T-i+1]),NA) Xkwadr<-X*X Y<-rep(exp(-r)*CFmatrix[,T-i+1]) Y<-replace(Y,(K<=aandeelprijzen[T-i+1]),NA) regr<-cbind(Y,X) regr model<-lm(Y~X+Xkwadr) print(summary(model)) exercise<-rep(K-X) continuation<-rep(coef(summary(model))[1]+coef(summary(model))[2]*X +coef(summary(model))[3]*Xkwadr) optimal<-cbind(exercise,continuation) print(optimal) CFmatrix[,T-i]<-(K-(rep(aandeelprijzen[,T-i+1])*(K>aandeelprijzen[,T-i+1]))) *((!is.na(exercise))&(!is.na(continuation))& (exercise>continuation)) stop[,T-i]<-1*((!is.na(exercise))&(!is.na(continuation))& (exercise>continuation)) } #Stopping rule for(i in 1:N) { for(j in 1:(T-1)) { if(stop[i,j]>0) { for(k in (j+1):T) { stop[i,k]<-0

83

} } } } stop #Cash flow matrix for(i in 1:N) { for(j in 1:(T-1)) { if(CFmatrix[i,j]>0) { for(k in (j+1):T) { CFmatrix[i,k]<-0 } } } } CFmatrix #Optieprijs Amerikaanseput<-0 for(k in 1:T) { Amerikaanseput<-Amerikaanseput+(1/N)*(sum(CFmatrix[,k])*exp(-r)^k) } Amerikaanseput

84

B.4

Algemene code voor verschillende soorten basisfuncties

aandeelprijzen<-read.table("C:/temp/dataset.txt") aandeelprijzen N<-8 K<-1.1 r<-0.06 T<-3

B.4.1

Laguerre veeltermen

L0<-function(X) exp(-X) L1<-function(X) exp(-X)*(1-X) L2<-function(X) exp(-X)*(1-2*X+X^2/2) CFmatrix<-matrix(data=0,nrow=N, ncol=T,byrow=FALSE) CFmatrix[,T]<-(K-aandeelprijzen[,T+1])*(K>aandeelprijzen[,T+1]) stop<-matrix(data=NA,nrow=N, ncol=T,byrow=FALSE) stop[,T]=1*(K-aandeelprijzen[,T+1]>0) #Regressie en optimale uitoefenstrategie for(i in 1:(T-1)) { X<-(aandeelprijzen[,T-i+1])*(K>aandeelprijzen[,T-i+1]) X<-replace(X,(K<=aandeelprijzen[T-i+1]),NA) Xkwadr<-X*X Y<-rep(exp(-r)*CFmatrix[,T-i+1]) Y<-replace(Y,(K<=aandeelprijzen[T-i+1]),NA) regr<-cbind(Y,X) regr model<-lm(Y~L0(X)+L1(X)+L2(X)) print(summary(model)) exercise<-rep(K-X) continuation<-rep(coef(summary(model))[1]+coef(summary(model))[2]*L0(X) +coef(summary(model))[3]*L1(X)+coef(summary(model))[4]*L2(X)) optimal<-cbind(exercise,continuation) print(optimal) CFmatrix[,T-i]<-(K-(rep(aandeelprijzen[,T-i+1])*(K>aandeelprijzen[,T-i+1]))) *((!is.na(exercise))&(!is.na(continuation))& (exercise>continuation)) stop[,T-i]<-1*((!is.na(exercise))&(!is.na(continuation))& (exercise>continuation)) } #Stopping rule for(i in 1:N)

85

{ for(j in 1:(T-1)) { if(stop[i,j]>0) { for(k in (j+1):T) { stop[i,k]<-0 } } } } stop #Cash flow matrix for(i in 1:N) { for(j in 1:(T-1)) { if(CFmatrix[i,j]>0) { for(k in (j+1):T) { CFmatrix[i,k]<-0 } } } } CFmatrix #Optieprijs AmerikaanseputL<-0 for(k in 1:T) { AmerikaanseputL<-AmerikaanseputL+(1/N)*(sum(CFmatrix[,k])*exp(-r)^k) } AmerikaanseputL

B.4.2

Hermite veeltermen

H0<-function(X) exp(-X^2/2) H1<-function(X) exp(-X^2/2)*X H2<-function(X) exp(-X^2/2)*(X^2-1) CFmatrix<-matrix(data=0,nrow=N, ncol=T,byrow=FALSE) CFmatrix[,T]<-(K-aandeelprijzen[,T+1])*(K>aandeelprijzen[,T+1]) stop<-matrix(data=NA,nrow=N, ncol=T,byrow=FALSE)

86

stop[,T]=1*(K-aandeelprijzen[,T+1]>0) #Regressie en optimale uitoefenstrategie for(i in 1:(T-1)) { X<-(aandeelprijzen[,T-i+1])*(K>aandeelprijzen[,T-i+1]) X<-replace(X,(K<=aandeelprijzen[T-i+1]),NA) Xkwadr<-X*X Y<-rep(exp(-r)*CFmatrix[,T-i+1]) Y<-replace(Y,(K<=aandeelprijzen[T-i+1]),NA) regr<-cbind(Y,X) regr model<-lm(Y~H0(X)+H1(X)+H2(X)) print(summary(model)) exercise<-rep(K-X) continuation<-rep(coef(summary(model))[1]+coef(summary(model))[2]*H0(X) +coef(summary(model))[3]*H1(X)+coef(summary(model))[4]*H2(X)) optimal<-cbind(exercise,continuation) print(optimal) CFmatrix[,T-i]<-(K-(rep(aandeelprijzen[,T-i+1])*(K>aandeelprijzen[,T-i+1]))) *((!is.na(exercise))&(!is.na(continuation))& (exercise>continuation)) stop[,T-i]<-1*((!is.na(exercise))&(!is.na(continuation))& (exercise>continuation)) } #Stopping rule for(i in 1:N) { for(j in 1:(T-1)) { if(stop[i,j]>0) { for(k in (j+1):T) { stop[i,k]<-0 } } } } stop #Cash flow matrix for(i in 1:N) { for(j in 1:(T-1)) {

87

if(CFmatrix[i,j]>0) { for(k in (j+1):T) { CFmatrix[i,k]<-0 } } } } CFmatrix #Optieprijs AmerikaanseputH<-0 for(k in 1:T) { AmerikaanseputH<-AmerikaanseputH+(1/N)*(sum(CFmatrix[,k])*exp(-r)^k) } AmerikaanseputH

B.4.3

Legendre veeltermen

P1<-function(X) X P2<-function(X) (1/2)*(3*X^2-1) CFmatrix<-matrix(data=0,nrow=N, ncol=T,byrow=FALSE) CFmatrix[,T]<-(K-aandeelprijzen[,T+1])*(K>aandeelprijzen[,T+1]) stop<-matrix(data=NA,nrow=N, ncol=T,byrow=FALSE) stop[,T]=1*(K-aandeelprijzen[,T+1]>0) #Regressie en optimale uitoefenstrategie for(i in 1:(T-1)) { X<-(aandeelprijzen[,T-i+1])*(K>aandeelprijzen[,T-i+1]) X<-replace(X,(K<=aandeelprijzen[T-i+1]),NA) Xkwadr<-X*X Y<-rep(exp(-r)*CFmatrix[,T-i+1]) Y<-replace(Y,(K<=aandeelprijzen[T-i+1]),NA) regr<-cbind(Y,X) regr model<-lm(Y~P1(X)+P2(X)) print(summary(model)) exercise<-rep(K-X) continuation<-rep(coef(summary(model))[1]+coef(summary(model))[2]*P1(X) +coef(summary(model))[3]*P2(X)) optimal<-cbind(exercise,continuation) print(optimal) CFmatrix[,T-i]<-(K-(rep(aandeelprijzen[,T-i+1])*(K>aandeelprijzen[,T-i+1]))) *((!is.na(exercise))&(!is.na(continuation))&

88

(exercise>continuation)) stop[,T-i]<-1*((!is.na(exercise))&(!is.na(continuation))& (exercise>continuation)) } #Stopping rule for(i in 1:N) { for(j in 1:(T-1)) { if(stop[i,j]>0) { for(k in (j+1):T) { stop[i,k]<-0 } } } } stop #Cash flow matrix for(i in 1:N) { for(j in 1:(T-1)) { if(CFmatrix[i,j]>0) { for(k in (j+1):T) { CFmatrix[i,k]<-0 } } } } CFmatrix #Optieprijs AmerikaanseputP<-0 for(k in 1:T) { AmerikaanseputP<-AmerikaanseputP+(1/N)*(sum(CFmatrix[,k])*exp(-r)^k) } AmerikaanseputP

89

B.5


aandeelprijzen<-read.table("C:/temp/voorbeeld.txt") aandeelprijzen N<-4 K<-5 r<-0.25 T<-2 CFmatrix<-matrix(data=0,nrow=N, ncol=T,byrow=FALSE) CFmatrix[,T]<-(K-aandeelprijzen[,T+1])*(K>aandeelprijzen[,T+1]) stop<-matrix(data=NA,nrow=N, ncol=T,byrow=FALSE) stop[,T]=1*(K-aandeelprijzen[,T+1]>0) #Regressie en optimale uitoefenstrategie for(i in 1:(T-1)) { X<-aandeelprijzen[,T-i+1] Xkwadr<-X*X Y<-(1/(1+r))*CFmatrix[,T-i+1] regr<-cbind(Y,X) regr model<-lm(Y~X+Xkwadr) print(summary(model)) exercise<-rep(K-X) continuation<-rep(coef(summary(model))[1]+coef(summary(model))[2]*X) optimal<-cbind(exercise,continuation) print(optimal) CFmatrix[,T-i]<-(K-(rep(aandeelprijzen[,T-i+1])*(K>aandeelprijzen[,T-i+1]))) *((!is.na(exercise))&(!is.na(continuation))& (exercise>continuation)) stop[,T-i]<-1*((!is.na(exercise))&(!is.na(continuation))& (exercise>continuation)) } #Stopping rule for(i in 1:N) { for(j in 1:(T-1)) { if(stop[i,j]>0) { for(k in (j+1):T) { stop[i,k]<-0 } } }

90

} stop #Cash flow matrix for(i in 1:N) { for(j in 1:(T-1)) { if(CFmatrix[i,j]>0) { for(k in (j+1):T) { CFmatrix[i,k]<-0 } } } } CFmatrix #Optieprijs Amerikaanseput<-0 for(k in 1:T) { Amerikaanseput<-Amerikaanseput+(1/N)*(sum(CFmatrix[,k])*(1/(1+r))^k) } Amerikaanseput

91

B.6


aandeelprijzen<-read.table("C:/temp/voorbeeld2.txt") aandeelprijzen K<-5 r<-0.25 #Cash flow op tijdstip 3 CFt3<-rep(K-aandeelprijzen[,4])*(K>aandeelprijzen[,4]) #Optieprijs Europeseput<-(1/8)*(sum(CFt3)*(1/(1+r))^3) Europeseput

92

Referenties [1] W. Abramowitz, I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications (1972). [2] M.-0. Albizzati, H. Geman, Interest rate risk management and valuation of the surrender option in life insurance policies, The journal of Risk and Insurance 61(4) (1994) 616-637. [3] T. Amemiya, Advanced Econometrics, Basil Blackwell, London, UK (1985). [4] A. Bacinello, E. Biffis, P. Millossovich, Regression-based algorithms for life insurance contracts with surrender guarantees, Working paper, tanaka,Business School, Imperial College, London, 2007. [5] E. Clément, D. Lamberton, P. Protter, An analysis of a least squares regression method for american option pricing, Finance and stochastics 6(4) (2002) 449-471. [6] N. El Karoui, H. Geman, A stochastic approach to pricing FRN’s, RISK, 4(3) (1991). [7] F.A. Longstaff, E.S. Schwartz, Valuing American options by simulation: A simple least squares approach, The Review of Financial Studies 14(1) (2001) 113-147. [8] M. Moreno, J.F. Navas, On the robustness of Least Squares Monte Carlo for pricing American Derivatives, Review of Derivatives Research 6(2) (2003) 107-128. [9] W. Shen, H. Xu, The valuation of unit-linked policies with or without surrender options, Insurance: mathematics and economics 36(1) (2005) 79-92. [10] S. Shreve, Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model (2004). [11] L. Stentoft, Assessing the Least Squares Monte Carlo Approach to American Option Valuation, Review of Derivatives Research 7(2) (2004) 129-168. [12] H. White, Asymptotic Theory for Econometricians, Academic Press, New York (1984).

93

Prijzen van levensverzekeringscontracten met mogelijkheid tot vervroegde uitstap

Recommend Documents