Prezident, pr´azdn´y tal´ıˇr, Lagrangeovy rovnice a tak v˚ ubec Jiˇr´ı Dolejˇs´ı Univerzita Karlova v Praze, Matematicko-fyzik´aln´ı fakulta, ´ Ustav ˇc´asticov´e a jadern´e fyziky. V Holeˇsoviˇck´ach 2, 180 00 Praha 8 14. prosince 2005 Prolog Lidov´e noviny, 22. 6. 2005: Prezident V´ aclav Klaus si vˇcera s akademiky vymˇen ˇoval n´ azory na to, jak moc jsou k vˇedeck´emu b´ ad´ an´ı potˇreba pen´ıze. A zejm´ena mlad´e vˇedce sv´ymi slovy pˇr´ıliˇs nepovzbudil. De facto jim totiˇz ˇrekl, ˇze by je nemˇelo nijak tr´ apit, pokud se v zaˇca ´tc´ıch sv´e kari´ery pot´ykaj´ı s chudobou. Klaus jako jeden z argument˚ u pouˇzil v´yrok rakousk´eho filozofa Josefa Poppera, kter´y ˇrekl, ˇze “pro vˇedu je lepˇs´ı chudoba neˇz opulentn´ı ˇzivot, kter´y ub´ıj´ı myˇslen´ı”. Nech´ av´ am se inspirovat nekoneˇcnˇe moudr´ymi myˇslenkami pana prezidenta a filosof˚ u, kter´e r´ ad cituje. Proto pˇred sebe pokl´ ad´ am pr´ azdn´y tal´ıˇr, jen pro zpestˇren´ı na nˇej mimodˇek pouˇst´ım kuliˇcku ze star´eho loˇziska. Kuliˇcka se v´ al´ı, kr´ asnˇe rachot´ı. Nen´ı to vlastnˇe zaj´ımav´e t´ema pro semin´ aˇr s ˇreˇsiteli Fyzik´ aln´ı olympi´ ady, kter´y uˇz brzo chceme poˇra ´dat?? Dok´ aˇz´ı mlad´ı nadˇsenci takovouto situaci popsat na z´ akladˇe standardn´ı stˇredoˇskolsk´e v´yuky? Asi ne – k prob´ıran´emu harmonick´emu oscil´ atoru m´ a kuliˇcka na tal´ıˇri hodnˇe daleko. Jak´y postup bych jim mohl nab´ıdnout, aby to nebylo sloˇzit´e a kaˇzd´y mˇel ˇsanci podobn´e poˇcty zvl´ adnout? Pl´ anujeme, ˇze kolegov´e tˇem nadan´ym stˇredoˇskol´ ak˚ um nˇeco ˇreknou o derivac´ıch, uk´ aˇzou jim, ˇze jednoduch´ych rovnic s derivacemi – diferenci´ aln´ıch rovnic – nen´ı tˇreba se b´ at. Na to se d´ a skvˇele nav´ azat. Tak to zkus´ım.
Tal´ıˇ rov´ y oscil´ ator Pˇred n´ ami leˇz´ı jednoduch´ y tal´ıˇr s hladk´ ym povrchem. Poloˇz´ıme-li na kraj kuliˇcku, v´ al´ı se po tal´ıˇri sem a tam, ale jej´ı v´ ychylka se postupem ˇcasu zmenˇsuje. Je to sv´er´ azn´ y oscil´ ator, jehoˇz chov´ an´ı lze napˇr´ıklad charakterizovat periodou. Ta se d´ a jistˇe zmˇeˇrit pomoc´ı stopek, um´ıme ji ale tak´e spoˇc´ıtat? Dok´ aˇzeme tedy pohyb kuliˇcky na tal´ıˇri kvantitativnˇe popsat? Na stˇredn´ı ˇskole se obvykle prob´ır´ a harmonick´ y oscil´ ator, kter´ y m˚ uˇze b´ yt napˇr´ıklad realizov´ an jako z´ avaˇz´ıˇcko kmitaj´ıc´ı na pruˇzinˇe. O vracen´ı do klidov´e polohy se zde star´ a s´ıla pruˇziny, kter´ a je v pouˇz´ıvan´em pˇribl´ıˇzen´ı pˇr´ımo u ´mˇern´ a v´ ychylce. Kuliˇcku do stˇredu tal´ıˇre v naˇsem pˇr´ıpadˇe vrac´ı sloˇzka t´ıhy na ˇsikm´em dnˇe tal´ıˇre. Je zcela jasn´e, ˇze nejdˇr´ıv bude tˇreba tal´ıˇr promˇeˇrit. Mˇeˇren´ım z´ısk´ ame profil tal´ıˇre, kter´ y tak´e ˇr´ık´ a, jakou potenci´ aln´ı energii m´ a kuliˇcka v kaˇzd´em m´ıstˇe.
Obr´ azek 1: Opravdu, ale opravdu pr´azdn´ y tal´ıˇr s poˇzivatelnou, ale nev´ yˇzivnou ocelovou kuliˇckou
Bylo by hezk´e, kdyby n´ am znalost potenci´ aln´ı energie staˇcila a nemuseli jsme se starat o s´ılu. Pokusme se s t´ımto z´ amˇerem pˇreformulovat pohybovou rovnici. Nebudeme tu dˇelat v˚ ubec nic nov´eho, jen velmi povrchnˇe a zjednoduˇsenˇe dojdeme k tzv. Lagrangeov´ ym rovnic´ım II. druhu. Nenechte se zaplaˇsit t´ımto n´ azvem, nebudeme zde prob´ırat nic z tlust´ ych uˇcebnic teoretick´e mechaniky [2], [1]. Pokud v´ as vˇsak budou podobn´e triky zaj´ımat, smˇele se do citovan´ ych knih pod´ıvejte. V n´ asleduj´ıc´ım textu budete potˇrebovat vˇedˇet co je to derivace a jak nˇekter´e derivace spoˇc´ıtat. To je naps´ ano v mnoha knih´ ach a tak´e je to jedno z prvn´ıch t´emat na jak´ekoli vzdˇel´avac´ı akci pro stˇredoˇskol´ aky. Teprve pomoc´ı derivac´ı lze rozumnˇe pˇrehlednˇe r˚ uzn´e fyzik´ aln´ı jevy matematicky popisovat a nav´ıc derivace nen´ı zas tak obt´ıˇzn´e pochopit. V dalˇs´ım ale vedle ”obyˇcejn´ ych derivac´ı” jako dF (x)/dx potk´ ate parci´ aln´ı derivace, napˇr. ∂F (x, y, z, Karel, Klotylda)/∂x. D´ıvejte se na nˇe jako na obyˇcejn´e derivace podle dan´e promˇenn´e (zde x), kde ostatn´ı promˇenn´e (zde y, z, Karel, Klotylda povaˇzujete pˇri derivov´ an´ı za konstanty.
Lagrangeovy rovnice Vyjdˇeme z druh´eho Newtonova z´ akona, kter´ y dovoluje na z´ akladˇe znalosti p˚ usob´ıc´ı s´ıly F urˇcit zrychlen´ı a = d2 /dt2 x(t) (derivaci podle ˇcasu ˇcasto vyznaˇcujeme teˇckou – a = x ¨(t)): F = ma = m¨ x
(1)
S´ılu F na lev´e stranˇe rovnice chceme vyj´ adˇrit pomoc´ı potenci´ aln´ı energie. Naivnˇe to mus´ı b´ yt tak, ˇze s´ıla na k´ amen (nˇejak se mi nechce mluvit o hmotn´em bodu) na svahu p˚ usob´ı dol˚ u, do u ´dol´ı; t´ım vˇetˇs´ı, ˇc´ım je prudˇs´ı svah. Naopak, tlaˇc´ıme-li k´ amen proti t´eto s´ıle do kopce, pak se dˇreme a na kaˇzd´em kousku dr´ahy ds vykon´ ame pr´ aci dA = F.ds, o kterou se potenci´ aln´ı energie Ep kamene zvˇetˇs´ı.
2
Tedy dEp = dA = F.ds. My p˚ usob´ıme silou F = dEp /ds proti ”s´ıle svahu” opaˇcnˇe orientovan´e: dEp F =− (2) ds A ejhle, m´ ame s´ılu vyj´ adˇrenou pomoc´ı derivace potenci´ aln´ı energie podle dr´ahy po svahu. Pod´ıvejme se ted’ na pravou stranu Newtonova z´ akona. Kdyˇz jsme nalevo pouˇzili jako souˇradnici dr´ahu mˇeˇrenou po svahu a oznaˇcili ji s, pouˇzijme s jako promˇennou i na prav´e stranˇe. Kdyˇz uˇz jsme vyj´ adˇrili levou stranu pomoc´ı potenci´ aln´ı energie, zkusme i pravou stranu napsat pomoc´ı energie. Nalezen´ı u ´ˇceln´e ˇra´dky u ´prav chce chv´ıli ˇcasu a moˇzn´ a p´ ar poˇcm´ aran´ ych pap´ır˚ u, zkuste si to sami nebo postupnˇe odhalujte n´ asleduj´ıc´ı ˇra´dek: ma = m¨ s=m
d 1 d 2 d d 1 2 d d d (s) ˙ =m ( s˙ ) = ( ms˙ ) = ( Ek ) dt dt 2 ds˙ dt ds˙ 2 dt ds˙
(3)
Skvˇel´e v´ıtˇezstv´ı – Newton˚ uv pohybov´ y z´ akon jsme pˇrepsali do podoby rovnice, ve kter´e vystupuj´ı potenci´ aln´ı a kinetick´ a energie tˇelesa (ˇci sp´ıˇse hmotn´eho bodu, se kter´ ym jsme od zaˇca´tku mlˇcky pracovali). Potenci´ aln´ı energie tu z´ avis´ı na souˇradnici s, kinetick´ a energie pak na rychlosti s. ˙ −
d d d Ep = ( Ek ) ds dt ds˙
(4)
Abychom ted’ vypadali jako vzdˇelanci, zavedeme m´ısto Ek a Ep “Lagrangeovu funkci” L(s, s) ˙ = Ek − Ep (POZOR: L se liˇs´ı od celkov´e energie, kde jde o ˇ SOUCET kinetick´e a potenci´ aln´ı energie). Derivov´ an´ı podle jedn´e promˇenn´e (s nebo s˙ s t´ım, ˇze druhou povaˇzujeme za konstantn´ı) zd˚ urazn´ıme t´ım, ˇze v rovnici (4) s dosazenou Lagrangeovou funkc´ı budeme ps´ at parci´ aln´ı derivace: d ∂L ∂L = ( ) ∂s dt ∂ s˙
(5)
Obvykle n´ am nestaˇc´ı jedna souˇradnice, ale potˇrebujeme jich nˇekolik. Pak m´ ame ˇ ık´ tolik rovnic typu (5), kolik je promˇenn´ ych. R´ a se jim Lagrangeovy rovnice II. druhu. Vid´ıme, ˇze n´ am ponˇekud usnadˇ nuj´ı ˇzivot, kdyˇz um´ıme napsat v´ yrazy pro kinetickou a potenci´ aln´ı energii – pak uˇz funguje pˇr´ımoˇcar´ a kuchaˇrka: spoˇc´ıtej derivace a napiˇs rovnice – vyˇreˇs je – raduj se z v´ ysledk˚ u. Vˇsimnˇete si naˇs´ı libov˚ ule ve volbˇe souˇradnice. Vyj´ adˇr´ıme-li novou souˇradnici u pomoc´ı star´e souˇradnice s, u = g(s), kde g je libovoln´a rozumn´ a funkce (sami hned nahl´ednete, co to znamen´ a), nez´avisej´ıc´ı na ˇcase, pak drobn´ ym cviˇcen´ım derivov´ an´ı sloˇzen´ ych funkc´ı najdete ∂L ∂L dg = , ∂s ∂u ds
u˙ =
dg s, ˙ ds
∂L ∂L dg = . ∂ s˙ ∂ u˙ ds
(6)
Hned vid´ıte, ˇze po dosazen´ı do rovnice (5) je derivace g podle s na obou stran´ ach rovnice, a pokud je nenulov´ a v cel´em oboru promˇenn´e s, pak ji lze vykr´ atit. Tak dostaneme Lagrangeovu rovnici v nov´e promˇenn´e u, tvar rovnice se ale v˚ ubec nemˇen´ı. Souˇcasnˇe jsme poznali, ˇze g(s) mus´ı m´ıt nenulovou derivaci – b´ yt monotonn´ı. Tuto kapitolku konˇc´ıme mal´ ym v´ıtˇezstv´ım – pop´ıˇseme-li syst´em dosti libovolnou souˇradnic´ı a um´ıme-li jej´ı pomoc´ı napsat kinetickou a potenci´ aln´ı energii syst´emu, um´ıme pak uˇz automaticky napsat pohybovou rovnici. 3
Ted’ uˇz to zb´ yv´ a jen vyzkouˇset na nˇejak´em trivi´ aln´ım pr˚ uhledn´em pˇr´ıkladu. Tˇreba padaj´ıc´ı k´ amen v t´ıhov´em poli popisovan´ y vzd´ alenost´ı s od ochozu rozhledny, ze kter´e byl upuˇstˇen, m´ a kinetickou a potenci´ aln´ı energii Ek =
1 2 ms˙ , 2
Ep = −mgs,
L=
1 2 ms˙ + mgs 2
(7)
a tak
∂L d ∂L ∂L = mg, = ms, ˙ = m¨ s. (8) ∂s ∂ s˙ dt ∂ s˙ s v´ yslednou Lagrangeovou rovnic´ı ve tvaru v naprosto, ale naprosto neoˇcek´ avan´em tvaru mg = m¨ s, resp. g = s¨ (9) Tak vid´ıme, ˇze sice nedost´ av´ ame nic nov´eho, ale snad bude nalezen´ y n´ astroj uˇziteˇcn´ y. Pojd’me ale zmˇeˇrit tal´ıˇr!
Tal´ıˇ rov´ y potenci´ al Pro mˇeˇren´ı tal´ıˇre jsem si zkonstruoval velmi komplikovan´e zaˇr´ızen´ı: lat’ku provrtanou v centimetrov´ ych vzd´ alenostech d´ırkami, do kter´ ych zasunuji mˇeˇric´ı dr´ at ˇcouhaj´ıc´ı z posuvn´eho mˇeˇr´ıtka, neboli ˇsupl´ery, jak ˇr´ıkali naˇsi dˇedeˇckov´e. V´ ysledkem mˇeˇren´ı je v´ yˇska horn´ı hrany lat’ky nad tal´ıˇrem. Namˇeˇren´ a data
Obr´ azek 2: Aparatura k mˇeˇren´ı tal´ıˇre by bylo vhodn´e zaznamenat do estetick´e tabulky a d´ ale opracov´ avat. Lidsk´ a pr´ ace je dnes drah´ a, vyuˇzijme stroje. Zvl´ aˇstˇe se k tomuto u ´ˇcelu hod´ı tabulkov´e kalkul´ atory jako napˇr. Excel, kter´ y se vnutil skoro vˇsude. Pod´ıvejte se na m˚ uj z´ aznam, kter´ y je z Excelu pˇrenesen´ y do obr´ azku 4. V prvn´ı tabulce jsou zaznamen´ any v´ yˇsky h od povrchu tal´ıˇre k horn´ı hranˇe lat’ky v z´ avislosti na vzd´ alenosti r od stˇredu tal´ıˇre. Pˇredpokl´ ad´ am, ˇze tal´ıˇr je rotaˇcnˇe symetrick´ y a tak ˇze je jedno, jak lat’ku natoˇc´ım. Tak´e je jedno, zda mˇeˇr´ım od stˇredu na jednu nebo druhou stranu. Pˇri kaˇzd´em mˇeˇren´ı se dopouˇst´ıme drobn´ ych nepˇresnost´ı; abych mˇel pˇredstavu o jejich velikosti, m´ am v tabulce ve 4
Obr´ azek 3: Detailn´ı pohled na komplikovan´e mˇeˇren´ı (vlevo) a stupnici mˇeˇric´ıho pˇr´ıstroje pˇred manu´ aln´ı digitalizac´ı (vpravo)
druh´em sloupci sv´e mˇeˇren´ı jedn´ım smˇerem od stˇredu a ve tˇret´ım sloupci mˇeˇren´ı ve druh´em smˇeru od stˇredu. Kaˇzd´ a osoba se bude dopouˇstˇet nepˇresnost´ı jin´ ych – proto jsem poprosil syna Milana, aby tak´e tal´ıˇr zmˇeˇril; jeho v´ ysledky jsou ve ˇctvrt´em a p´ at´em sloupci. Vid´ıte, ˇze hodnoty se liˇs´ı v setin´ ach mm, to je docela ˇ adn´ pˇrirozen´e. Z´ a z hodnot nen´ı ˇspatnˇe nebo lepˇs´ı neˇz jin´ a, proto jsem z nich v posledn´ım sloupci spoˇc´ıtal stˇredn´ı hodnotu. Pro Lagrangeovu rovnici, o kter´e jsme mluvili v pˇredch´ azej´ıc´ı ˇca´sti, potˇrebuji vhodnou souˇradnici pro popis pohybu kuliˇcky. V roli t´eto souˇradnice se mi nel´ıb´ı vzd´ alenost r od stˇredu tal´ıˇre mˇeˇren´ a na stole nebo na lat’ce, ale radˇeji bych jako souˇradnici pouˇzil vzd´ alenost od stˇ redu tal´ıˇ re mˇ eˇ renou po povrchu tal´ıˇ re, s kladn´ ymi hodnotami na jednu stranu, se z´ aporn´ ymi na druhou. Pojmenuji si ji s. Nejjednoduˇsˇs´ım postupem, jak spoˇc´ıtat s v z´ avislosti na r, bude zjednoduˇsenˇe pˇredpokl´ adat, ˇze tal´ıˇr od jednoho m´ısta mˇeˇren´ı line´ arnˇe stoup´ a k dalˇ s ´ ımu m´ ıstu mˇ e ˇ r en´ ı – pak z Pythagorovy vˇ e ty budu m´ ıt s − i+1 p nov´ an´ı si = (ri+1 − ri )2 + (hi+1 − hi )2 . Tento vzoreˇcek jsem pouˇzil pˇri vyplˇ prvn´ıho sloupce druh´e tabulky na obr. 4. Do druh´eho sloupce pak vyplˇ nuji hodnotu g.(h(0)−h) (rozd´ıl je tam k tomu, abych dostal nulu ve stˇredu tal´ıˇre). To je aˇz na hmotnost kuliˇcky jej´ı potenci´ aln´ı energie, ˇr´ık´ a se tomu potenci´ al (podobnˇe v elektrostatice staˇc´ı vyn´ asobit potenci´ al n´ abojem a m´ ate potenci´ aln´ı energii). Pro kontrolu se hod´ı z hodnot v tabulce zkonstruovat obr´ azek tal´ıˇrov´eho potenci´ alu. Nejjednoduˇsˇs´ı je asi oznaˇcit ty dva zaj´ımav´e sloupce, t’uknou na ikonku grafu, vybrat XY bodov´ y a z jeho moˇznost´ı jen osamˇel´e body. A m´ ame obr´ azek, jasnˇe ukazuj´ıc´ı, jak dno tal´ıˇre stoup´ a od stˇredu. To je hezk´e, ale jeˇstˇe hezˇc´ı by bylo m´ıt nˇejakou funkci, kter´ a by pr˚ ubˇeh poˇ tenci´ alu popisovala. Tuknˇ ete na nˇejak´ y ze zobrazen´ ych bod˚ u na grafu pomoc´ı prav´eho tlaˇc´ıtka myˇsi. Objev´ı se nab´ıdka, z n´ıˇz si m˚ uˇzete vybrat “Pˇridat spojnici trendu”. To znamen´ a pˇridat graf nˇekter´e z nab´ızen´ ych jednoduch´ ych funkc´ı, kterou Excel proloˇz´ı bl´ızko zadan´ ym bod˚ um. V zad´ avac´ım ok´enku “Pˇridat spojnici trendu” si vyberte polynomick´ y typ, mnˇe nejv´ıce vyhovoval ˇctvrt´ y stupeˇ n (ale vyzkouˇsejte si sami, jak vypadaj´ı r˚ uzn´e stupnˇe). V tomt´eˇz ok´enku t’uknˇete na z´ aloˇzku “Moˇznosti” a na n´ı zaˇskrtnˇete vˇsechny tˇri ok´enka ve spodn´ı polovinˇe: Chcete, aby funkce proch´ azela nulou, tak nulu mus´ıte napsat do ok´enka; chcete vidˇet rovnici funkce a koneˇcnˇe m˚ uˇzete m´ıt kontrolu nad t´ım, jak dobˇre nalezen´ a 5
Talířový oscilátor tíhové zrychlení [cm s-2] =
981
r [cm] já 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3,45 3,44 3,44 3,32 3,26 3,15 3,07 3,00 2,90 2,63 2,21 1,63
3,45 3,37 3,32 3,27 3,15 3,06 3,00 2,90 2,64 2,23 1,66
h [cm] Milan 3,46 3,45 3,40 3,32 3,22 3,12 3,03 2,98 2,90 2,65 2,20 1,63
s [cm]
3,47 3,40 3,31 3,21 3,11 3,02 2,98 2,90 2,65 2,20 1,57
střed 3,455 3,451 3,403 3,318 3,240 3,133 3,045 2,990 2,900 2,643 2,210 1,623
g.(h0-h) [m2/s2]
0 1,000 2,001 3,005 4,008 5,014 6,017 7,019 8,023 9,056 10,145 11,305
0,00 3,68 51,50 134,89 210,92 316,37 402,21 456,17 544,46 797,06 1221,35 1797,68
Talířový potenciál
g.h [m2/s2]
2000,00 1800,00
y = 0,4629x4 - 7,8131x3 + 46,572x2 - 36,045x R2 = 0,9981
1600,00 1400,00 1200,00 1000,00 800,00 600,00 400,00 200,00 0,00 0
2
4
6
8
10
12 s [cm]
Konstanty v potenciálu s1 s2 s3 s4 -36,045 46,572 -7,8131 0,4629
Obr´ azek 4: Kus listu v Excelu s hled´ an´ım tal´ıˇrov´eho potenci´ alu
6
funkce vystihuje zadan´e body – ˇc´ım je R vˇetˇs´ı, t´ım l´epe. Takhle jsem dostal ˇcerven´ y graf funkce na obr´ azku a rovnici polynomu ˇctvrt´eho stupnˇe zobrazenou tak´e na grafu. Konstanty polynomu jsem si opsal do tabulky na spodku obr. 4. To je dalˇs´ı ˇca´steˇcn´e v´ıtˇezstv´ı – m´ am “zmˇeˇren” potenci´ al kuliˇcky na tal´ıˇri zp˚ usoben´ y t´ım, ˇze tal´ıˇr od stˇredu stoup´a a je um´ıstˇen v gravitaˇcn´ım poli s t´ıhov´ ym zrychlen´ım g.
Rovnice pro kuliˇ cku na tal´ıˇ ri a jej´ı ˇ reˇ sen´ı Potenci´ aln´ı energii kuliˇcky na tal´ıˇri uˇz zn´ ame, jak´a bude jej´ı kinetick´ a energie? Pohledem snadno zjist´ıme, ˇze kuliˇcka se na tal´ıˇri koul´ı, neprokluzuje a delik´ atnˇe rachot´ı. Vˇsechna tato pozorov´ an´ı posl´eze vyuˇzijeme. Pohybuje-li se kuliˇcka postupnou rychlost´ı v = s, ˙ pak kinetick´ a energie tohoto pohybu je d´ ana standardn´ım v´ yrazem Ekp = 1/2 ms˙ 2 . Ke kinetick´e energii ale pˇrisp´ıv´ a i rotaˇcn´ı pohyb: Ekr = 1/2 J φ˙ 2 , kde J je moment setrvaˇcnosti kuliˇcky a φ˙ = ω je u ´hlov´ a ˙ moment rychlost. Pokud kuliˇcka neprokluzuje a r je jej´ı polomˇer, pak s˙ = r.φ, setrvaˇcnosti koule si bud’ uˇz um´ıte spoˇc´ıtat nebo ho najdete v moudr´e knize – J = 2/5 mr2 . Tak m˚ uˇzeme napsat pro celkovou kinetickou energii Ek
1 1 2 1 2 1 ˙2 ms˙ + J φ = ms˙ 2 + . mr2 φ˙ 2 = 2 2 2 2 5 7 1 2 1 2 2 ms˙ + ms˙ = ms˙ 2 5 10
= Ekp + Ekr = =
(10)
Se znalost´ı kinetick´e a potenci´ aln´ı energie m˚ uˇzeme ps´ at lagrangi´an L = Ek −Ep =
7 ms˙ 2 −m.(0, 4629s4 −7, 8131|s|3 +46, 572s2 −36, 045|s|) (11) 10
V´ yraz pro potenci´ aln´ı energii jsem opsal z obr. 4, jen jsem u lich´ ych mocnin s doplnil absolutn´ı hodnotu, protoˇze tvar potenci´ alu nalezen´ y v Excelu pro kladn´ a s chci symetricky rozˇs´ıˇrit pro z´ aporn´ a s. Lagrangeovu rovnici sestav´ıme opˇet z derivac´ı lagrangi´ anu, jen mne t´ıˇz´ı ot´ azka, jak derivovat absolutn´ı hodnotu |s|. Napravo od nuly, pro kladn´a s je |s| = s, ∂/∂s |s| = +1, nalevo od nuly, pro z´ aporn´ a s je |s| = −s, ∂/∂s |s| = −1. Zkontrolujte mne, ˇze to oboje mohu zapsat jedn´ım vztahem ∂/∂s |s| = s/|s|. Podobnˇe ∂/∂s |s|3 = s3 /|s|. Pak ∂L ∂s ∂L ∂ s˙ d ∂L dt ∂ s˙
= −m.(4 × 0, 4629s3 − 3 × 7, 8131
s3 s + 2 × 46, 572s − 36, 045 ), |s| |s|
7 7 ms˙ = ms, ˙ 10 5
=
2.
=
7 m¨ s. 5
Sestav´ıme Lagrangeovu rovnici: 7 s3 s m¨ s = −m(4 × 0, 4629s3 − 3 × 7, 8131 + 2 × 46, 572s − 36, 045 ) 5 |s| |s| s3 s 5 s¨ = − (4 × 0, 4629s3 − 3 × 7, 8131 + 2 × 46, 572s − 36, 045 ) 7 |s| |s|
(12) (13)
To je pohybov´ a rovnice pro kuliˇcku na tal´ıˇri. Vˇsimnˇeme si, ˇze jsme nedostali nic moc pˇrekvapiv´eho – na lev´e stranˇe rovnice (12) je hmotnost kr´ at zrychlen´ı, 7
jen je zapoˇctena skuteˇcnost, ˇze zrychlov´ an´ım tak´e kuliˇcku rozt´ aˇc´ıme. Na prav´e stranˇe je pak s´ıla d´ ana z´ apornou derivac´ı potenci´ alu. Kdyˇz si ted’ dodateˇcnˇe vzpom´ın´ am, ˇze do popisu by bylo vhodn´e zabudovat valiv´e tˇren´ı kuliˇcky (i kdyˇz pro jeho velikost zat´ım nem´ am ˇza´dn´ y odhad), pak bych ho asi mohl pˇridat jako dalˇs´ı ˇclen na pravou stranu rovnice (12). Protoˇze valiv´e tˇren´ı kuliˇcky na tal´ıˇri nen´ı velk´e, vystaˇc´ım snad s nejjednoduˇsˇs´ım pˇribl´ıˇzen´ım, kdy tˇrec´ı s´ılu ponech´ am konstantn´ı. Jen se mus´ım postarat, aby tato tˇrec´ı s´ıla p˚ usobila proti pohybu, tj. aby jej´ı smˇer byl opaˇcn´ y neˇz smˇer rychlosti. Na pravou stranu (12) tak pˇrid´ av´ am ˇclen −Ft .s/|s|. ˙ Do rovnice (12) pak pˇribude tento tˇrec´ı ˇclen ve tvaru −(5/7).at .s/|s|, ˙ kde symbol at = Ft /m oznaˇcuje zrychlen´ı (zpoˇzdˇen´ı) d´ıky tˇren´ı. Nem´ am zat´ım odhad pro jeho velikost, snad se mi podaˇr´ı ji nˇejak urˇcit. Pohybovou rovnici staˇc´ı vyˇreˇsit. To sice zn´ı jednoduˇse, ale rovnici s druhou derivac´ı hledan´e funkce s(t), tedy diferenci´ aln´ı rovnici druh´eho ˇra´du (12), asi na prvn´ı pohled ˇreˇsit neum´ıte. Docela jednoduˇse ji ale lze ˇreˇsit numericky, napˇr´ıklad v jiˇz pouˇzit´em tabulkov´em kalkul´ atoru, napˇr. Excelu. Pˇredt´ım, neˇz zaˇcneme plnit buˇ nky v Excelu, je u ´ˇceln´e si uvˇedomit, jak pohybov´ a rovnice funguje. V poˇca´teˇcn´ım ˇcasov´em okamˇziku zad´ ame polohu kuliˇcky a jej´ı rychlost. Pak m˚ uˇzeme pˇribliˇznˇe ˇr´ıci, jak se zmˇen´ı poloha kuliˇcky bˇehem n´ asleduj´ıc´ıho ˇcasov´eho intervalu dt: s(t + dt) = s(t) + s(t).dt, ˙ nebot’ s(t) i s(t) ˙ zn´ ame z poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek. Podobnˇe se zmˇen´ı rychlost: s(t ˙ + dt) = s(t) ˙ + s¨(t).dt, tady ale potˇrebujeme m´ıt spoˇc´ıtan´e zrychlen´ı s¨(t). To ale m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat z poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek pomoc´ı pohybov´e rovnice.
Struˇ cn´ y n´ avod na ˇ reˇ sen´ı pohybov´ e rovnice v Excelu 1. Ponech si nˇekolik ˇra´dek tabulky na koment´ aˇre atd.; 2. Nadepiˇs si n´ıˇze sloupeˇcky: ˇcas [s], souˇradnice [cm], rychlost [cm/s], zrychlen´ı [cm/s2 ] nebo jinak podle sv´eho; 3. Naplˇ n prvn´ı sloupeˇcek ˇcasy rostouc´ımi od nuly po mal´ ych kroc´ıch (j´ a jsem zkusil 0,01 s) aˇz do ˇcasu napˇr. 5 s; 4. Do ˇra´dku s ˇcasem 0 dopiˇs poˇca´teˇcn´ı podm´ınky pro s(t) a s. ˙ J´ a jsem zaˇc´ınal s kuliˇckou na okraji tal´ıˇre v klidu; 5. Do ˇra´dku s ˇcasem 0 dopiˇs do patˇriˇcn´e buˇ nky zrychlen´ı s¨(t) spoˇc´ıtan´e z pohybov´e rovnice (13). K tomu u ´ˇcelu si moˇzn´ a pˇreneseˇs nad tabulku konstanty v potenci´ alu resp. v jeho derivaci. 6. Do ˇra´dku s n´ asleduj´ıc´ım ˇcasem zadej do bunˇek pro rychlost a zrychlen´ı vzorce s(t+dt) = s(t)+ s(t).dt ˙ a s(t+dt) ˙ = s(t)+ ˙ s¨(t).dt. Jako ˇcasov´ y krok dt pouˇz´ıvej rozd´ıl dvou po sobˇe n´ asleduj´ıc´ıch bunˇek v ”ˇcasov´em” sloupci. D´ ale ”nat´ ahni” vzorec pro v´ ypoˇcet zrychlen´ı do tohoto ˇra´dku. 7. Rozt´ ahni vzorce v buˇ nk´ach pro s(t), s˙ a s¨(t) na vˇsechny ˇra´dky s pˇripraven´ ymi ˇcasy. 8. Oznaˇc oblast hodnot ˇcas˚ u a souˇradnic a nech si je nakreslit jako ”XY bodov´ y graf”; 9. Kochej se kr´ asnˇe vykreslenou vlnitou kˇrivkou popisuj´ıc´ı kmity kuliˇcky na tal´ıˇri. Pokud nevid´ıˇs rozumnou vlnovku, odstraˇ nuj dalˇs´ı posledn´ı chyby tak dlouho, aˇz budeˇs sv´ ym v´ ysledk˚ um vˇeˇrit. 10. Zmˇen ˇ ˇcasov´ y krok v prvn´ım sloupci a najdi takovou hodnotu, kdy jej´ı zmenˇsov´ an´ı uˇz nebude vidˇet na v´ ysledku. 11. Pro srovn´ an´ı s harmonick´ ym pohybem si do dalˇs´ıho sloupeˇcku dopoˇc´ıtej 8
A.cos(2πt/T ), kdyˇz jsi si do nˇejak´ ych bunˇek v u ´vodu pˇripravil rozumn´e hodnoty amplitudy A a periody T . Nastav tyto hodnoty tak, aby perioda harmonick´eho pohybu odpov´ıdala periodˇe kuliˇcky na tal´ıˇri a amplituda maxim´ aln´ı v´ ychylce kuliˇcky; 12. Pˇridej si do u ´vodu buˇ nku s hodnotou konstanty tˇrec´ıho zrychlen´ı a doplˇ n do v´ ypoˇctu zrychlen´ı ˇclen popisuj´ıc´ı tˇren´ı. Zaˇcni s nulovou konstantou a postupnˇe ji zvˇetˇsuj. Na ˇcasov´em pr˚ ubˇehu souˇradnic bys mˇel vidˇet vlnovku se zmenˇsuj´ıc´ı se amplitudou. Moˇzn´ a uvid´ıˇs i mˇen´ıc´ı se periodu. Pokud se budou v´ ysledky chovat neoˇcek´ avanˇe, opravuj chyby, dokud nebudeˇs ˇreˇsen´ı vˇeˇrit. 13. J´ asej! Vyˇreˇsil jsi pohybovou rovnici kuliˇcky na tal´ıˇri a jsi pˇripraven srovnat svou teorii s experimentem. Ilustrace m´eho snaˇzen´ı je na obr. 5 d´ ale.
Talířový oscilátor Konstanty v potenciálu s1 s2 s3 s4 -36,045 46,572 -7,8131 Konstanty v derivaci potenciálu -36,045 93,144 -23,4393 1,8516
Harmonický průběh Perioda [s] Amplituda [cm]
0,4629
1,29 11
Třecí zrychlení [cm/s2]
čas [s] s [cm] ds [cm/s] dds [cm/s2] Harmonický Měření 0,00 11,00 0,00 -440,62 11 0,01 10,96 -4,41 -428,03 10,9869546 0,02 10,87 -8,69 -412,95 10,9478494 0,03 10,74 -12,82 -391,42 10,882777 0,04 10,57 -16,73 -364,60 10,791892 0,05 10,37 -20,38 -333,83 10,6754097 0,06 10,13 -23,71 -300,57 10,5336066 0,07 9,87 -26,72 -266,25 10,3668189 0,08 9,57 -29,38 -232,20 10,1754423 15,00 0,09 9,25 -31,70 -199,57 9,95993061 0,10 8,92 -33,70 -169,27 9,7207951 10,00 0,11 8,56 -35,39 -142,01 9,45860293 0,12 8,20 -36,81 -118,23 9,173976 5,00 0,13 7,82 -38,00 -98,17 8,86758941 0,14 7,43 -38,98 -81,87 8,54016988 0,00 0,15 7,03 -39,80 -69,20 8,19249401 0,16 6,62 -40,49 -59,94 7,82538645 -5,00 0,17 6,21 -41,09 -53,73 7,43971794 0,18 5,80 -41,62 -50,16 7,03640324 -10,00 0,19 5,37 -42,13 -48,76 6,61639897 0,20 4,95 -42,61 -48,98 6,18070133 -15,00 0,21 4,52 -43,10 -50,28 5,73034375 0,22 0,00 4,08 -43,61 -52,042,00 5,26639442 3,00 1,00 0,23 3,64 -44,13 -53,60 4,78995379 0,24 3,19 -44,66 -54,26 4,30215193 0,25 2,74 -45,21 -53,28 3,80414583
6,7
0
4,00
5,00
Obr´ azek 5: Kus listu v Excelu s ˇreˇsen´ım pohybov´e rovnice
Srovn´ an´ı teorie s experimentem Experiment´ aln´ı v´ yzkum kuliˇcky na tal´ıˇri m˚ uˇze b´ yt r˚ uznˇe podrobn´ y a r˚ uznˇe rafinovan´ y. Nejjednoduˇsˇs´ı je zmˇeˇrit alespoˇ n periodu kmit˚ u, coˇz lze pomoc´ı hodinek nebo stopek, v kaˇzd´em pˇr´ıpadˇe to ale vyˇzaduje postˇreh. Protoˇze jsem pohodln´ y 9
a pomal´ y, zjednoduˇsil jsem si mˇeˇren´ı programem pro z´ aznam zvuku, speci´ alnˇe programem Audacity – kuliˇcka totiˇz pˇri koulen´ı pˇeknˇe rachot´ı a polohy, v nichˇz se obrac´ı, lze docela snadno identifikovat podle ticha: pod´ıvejte se na obr. 6.
Obr´ azek 6: Z´ aznam rachotu kuliˇcky z programu Audacity Z tohoto z´ aznamu jsem odmˇeˇril ˇcasy obracen´ı a zahrnul je do tabulky v Excelu – hodnota nula, ˇzlut´e ˇctvereˇcky, ke kter´ ym jsem dokreslil chybov´e ˇzlut´e chybov´e u ´seˇcky. Tak jsou na grafu v obr. 5 vyznaˇceny ˇcasy, ve kter´ ych se kuliˇcka obrac´ı. Do tˇechto ˇcas˚ u je tˇreba se strefit ˇreˇsen´ım a jedin´ y voln´ y parametr, kter´ y m´ ame k dispozici, je tˇrec´ı zrychlen´ı. Na obr´ azku vid´ıte, ˇze se mi podaˇrilo se do ˇcas˚ u obratu opravdu strefit. Kdybych byl rychl´ y a ˇsikovn´ y, mohl bych si jeˇstˇe poznamen´ avat polohy obratu kuliˇcky, abych zmˇeˇril zmenˇsov´ an´ı amplitudy kmit˚ u. Tak´e bych mohl kuliˇcku filmovat a pak analyzovat jednotliv´e sn´ımky... Tˇrec´ı zrychlen´ı jsem nepˇr´ımo zjistil srovn´an´ım sv´eho teoretick´eho v´ ypoˇctu a experiment´ aln´ıch dat: at = 6, 7cm.s−2 . Citlivost v´ ypoˇctu je takov´ a, ˇze pozn´ am zmˇeny at o velikosti asi 0, 15cm.s−2 , tedy chyba (nejistota) at je zhruba 2%. Je zjiˇstˇen´ a hodnota rozumn´ a? Odporov´ a s´ıla valiv´eho tˇren´ı se obvykle uvaˇzuje ve tvaru Ft = ξ.Fn /R, kde ξ je rameno valiv´eho tˇren´ı, Fn norm´alov´ a s´ıla, v naˇsem pˇr´ıpadˇe t´ıha, R polomˇer val´ıc´ıho se tˇelesa. Zjiˇstˇen´ a hodnota tˇrec´ıho zrychlen´ı at = Ft /m = (6, 7 ± 0, 15)ms−2 a polomˇer kuliˇcky R = (4, 0 ± 0, 1) mm vedou k hodnotˇe ramene valiv´eho tˇren´ı ξ = (0, 027 ± 0, 001) mm. V tabulk´ ach [3] nach´ az´ım hodnoty od 0,01 mm pro ocel na oceli v kuliˇckov´ ych loˇzisc´ıch pˇres 0,03 mm pro ocelov´e kuliˇcky na ocelov´e desce po 0,5 mm pro kolo na kolejnici. V tomto kontextu je z´ıskan´ a hodnota pro kuliˇcku na tal´ıˇri docela d˚ uvˇeryhodn´ a.
Shrnut´ı Pokud jste vydrˇzeli aˇz sem, tuˇs´ıte, jak vypad´ a Lagrangeova rovnice II. druhu, jak ji pouˇz´ıt, jak m˚ uˇze vypadat v konkr´etn´ım pˇr´ıpadˇe nalezen´ı potenci´ alu, jak jednoduˇse pohybovou rovnici ˇreˇsit, ˇze ze srovn´an´ı teoretick´eho popisu syst´emu s experimentem lze z´ıskat i dalˇs´ı vlastnosti syst´emu. Byli jste zdatn´ı, odv´aˇzn´ı a vytrval´ı. Kdyˇz se zamysl´ıte takˇrka nad kter´ ymkoli krokem, kter´ y jsme udˇelali,
10
zjist´ıte, ˇze potˇrebuje dalˇs´ı upˇresˇ nov´ an´ı, hlubˇs´ı pohled, dalˇs´ı studium. Jeˇstˇe nerozum´ıte ani zdaleka vˇsemu, ale udˇelali jste pˇekn´ y krok.
Epilog Dˇr´ıve, neˇz jsem dopsal tento ˇcl´ aneˇcek, pokusil jsem se toto t´ema olympionik˚ um pˇredn´est. Sice neprotestovali, ale tak´e nev´ım, jestli si sami doma zkusili podobn´e poˇcty prov´est. Moˇzn´ a jim tento ˇcl´ anek pom˚ uˇze udˇelat dalˇs´ı krok za standardn´ı n´ aplˇ n gymnazi´ aln´ı fyziky. Tˇreba se inspiruje tak´e nˇejak´y kantor a bude uvaˇzovat, jestli podobn´ a t´emata na stˇredn´ı ˇskolu patˇr´ı nebo ne. J´ a si mysl´ım, ˇze ano, ale zˇrejmˇe ne pro vˇsechny studenty, sp´ıˇse jen pro z´ ajemce. O z´ ajemce, kter´e fyzika bav´ı. Jestlipak by tuto trivi´ aln´ı u ´lohu zvl´ adl n´ aˇs opulentnˇe ˇzij´ıc´ı pan prezident?
Reference [1] Brdiˇcka M., Hlad´ık A.: Teoretick´ a mechanika. Academia Praha 1987 ˇ [2] Trkal V.: Mechanika hmotn´ ych bod˚ u a tuh´eho tˇelesa. NCSAV Praha 1956 [3] Mikulˇca´k J., Charv´ at J., Mach´ aˇcek M., Zem´ anek F.: Matematick´e, fyzik´ aln´ı a chemick´e tabulky a vzorce pro stˇredn´ı ˇskoly, Prometheus Praha 2003
11
