Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel

Konzultace

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Luboš Marek Vysoká škola ekonomická v Praze, Praha

1. Úvod Mezi statistickou obcí se často diskutuje, který statistický program je nejlepší, přičemž se tyto programy posuzují z různých hledisek. Každý, kdo někdy pracoval s několika různými programy, ví, že na tuto jednoduchou otázku není jednoznačná odpověď. Každý z programů má totiž některé slabší a některé silnější stránky, a tak asi nikoho nepřekvapí, když uvedeme, že statistický program si často vybíráme až na základě úlohy, kterou chceme zpracovat. Podmínkou pochopitelně je, aby bylo z čeho vybírat. Mezi programy, které by asi málokdo zařadil mezi statistické, patří i statistiky často odmítaný MS Excel. Přitom, pokud pomineme nekvalitní, místy až zoufalý překlad z angličtiny v oblasti statistiky, se jedná o program, který umožňuje kvalitní aplikaci různých procedur, mnohdy na úrovni srovnatelné s procedurami ve specializovaných (a také daleko dražších) statistických programech. Umožňuje např. velmi snadnou aplikaci statistických funkcí z nejrůznějších oblastí. Nesmíme totiž zapomínat, že právě jednoduché ovládání a dostupnost (tento tabulkový procesor je dnes instalován téměř na každém počítači) je velkou devizou tohoto programu. V tomto článku bychom chtěli zhodnotit MS Excel z hlediska pravděpodobnostních rozdělení. V první řadě zhodnotíme nabídku pravděpodobnostních rozdělení v tomto programu. U každého rozdělení popíšeme možnosti výpočtů hodnot distribuční funkce a kvantilů a syntaxi příslušných funkcí. U každého spojitého rozdělení uvedeme obrázek s ukázkou průběhu hustoty pravděpodobnosti pro konkrétní parametry (je ovšem třeba ihned poznamenat, že při jiné volbě parametrů bychom obdrželi jiný tvar hustoty). V závěru rovněž zhodnotíme možnosti generování náhodných hodnot z pravděpodobnostních rozdělení.

2. Diskrétní rozdělení V oblasti diskrétních (nespojitých) rozdělení obsahuje MS Excel následující rozdělení, u kterých zároveň uvádíme název příslušné funkce:

Jedná se tedy o naprosto základní typy rozdělení, navíc ne vždy je možné spočítat distribuční funkci a kvantily. To ale není žádné neštěstí, neboť oboje jsme schopni poměrně snad6/2OO6

497

no spočítat z hodnot pravděpodobnostní funkce. Podívejme se nyní na jednotlivá rozdělení podrobněji. 2.1 Binomické rozdělení Náhodná veličina X má binomické rozdělení s parametry n a π, jestliže její pravděpodobnostní funkce má tvar . Střední hodnota a rozptyl mají tvar . V Excelu se jak pro distribuční funkci i pro pravděpodobnostní funkci používá funkce BINOMDIST. Její argumenty mají následující význam:

Úspěch – x (počet úspěchů). Hodnota, ve které počítáme F(x) či P(x). Pokusy – n (počet pokusů). Prst_úspěchu – π. Pravděpodobnost úspěchu. Počet – NEPRAVDA pro hodnotu pravděpodobnostní funkce P(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x).

498

Jako pro jediné z nespojitých rozdělení je v Excelu uvedena i funkce pro výpočet kvantilů: CRITBINOM. Její argumenty mají obdobný význam, jako u funkce BINOMDIST.

Pokusy – n (počet pokusů). Prst_s – π. Pravděpodobnost úspěchu. Alfa – pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu xP.

2.2 Negativně binomické rozdělení Náhodná veličina X má negativně binomické rozdělení s parametry n a π, jestliže její pravděpodobnostní funkce má pro n celočíselné tvar

. Připomeňme, že pro přirozená n můžeme náhodnou veličinu X chápat jako počet neúspěchů před n-tým úspěchem. Úmyslně uvádíme pravděpodobnostní funkci ve zjednodušeném tvaru, neboť takto je chápána v Excelu. Střední hodnota a rozptyl mají tvar .

6/2OO6

499

V Excelu se pro pravděpodobnostní funkci používá funkce NEGBINOMDIST. Její argumenty mají následující význam:

Číslo_f – x (počet neúspěchů před n-tým úspěchem). Hodnota, ve které počítáme F(x) či P(x). Číslo_s – n (počet pokusů). Prst_s – π. Pravděpodobnost úspěchu.

Hodnoty distribuční funkce je nutné napočítat z hodnoty pravděpodobnostní funkce, stejně tak i hodnoty kvantilů. Speciálním případem negativně binomického rozdělení je rozdělení geometrické. Toto rozdělení obdržíme velmi snadno, pokud v negativně binomickém rozdělení položíme n=1. Potom se předchozí pravděpodobnostní funkce zjednoduší do tvaru . Náhodnou veličinu X lze potom chápat jako počet neúspěchů před prvním úspěchem. Pro střední hodnotu a rozptyl obdržíme . V Excelu použijeme funkci NEGBINOMDIST, ve které položíme Číslo_s = 1. 2.3 Poissonovo rozdělení Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení s parametrem λ, jestliže její pravděpodobnostní funkce má tvar .

500

Střední hodnota a rozptyl mají tvar . V Excelu se pro distribuční funkci i pro pravděpodobnostní funkci používá funkce POISSON. Její argumenty mají následující význam:

X – x. Hodnota, ve které počítáme F(x) či P(x). Střední – λ. Parametr a zároveň střední hodnota rozdělení. Součet – NEPRAVDA pro hodnotu pravděpodobnostní funkce P(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x).

2.4 Hypergeometrické rozdělení Náhodná veličina X má hypergeometrické rozdělení s parametry N, M a n, jestliže její pravděpodobnostní funkce má tvar

.

Přitom N, M a n jsou přirozená čísla,

.

Střední hodnota a rozptyl mají tvar .

6/2OO6

501

V Excelu se pro pravděpodobnostní funkci používá funkce HYPGEOMDIST. Její argumenty mají následující význam:

Úspěch – x. Hodnota, ve které počítáme P(x). Celkem – n (rozsah výběru). Základ_úspěch – M. Počet prvků s vlastností M. Základ_celkem – N (rozsah základního souboru).

3. Spojitá rozdělení V oblasti spojitých rozdělení obsahuje MS Excel řadu rozdělení, u kterých opět uvádíme název příslušné funkce pro výpočet distribuční funkce, hustoty a kvantilu:

Je tedy zřejmé, že nabídka spojitých rozdělení je podstatně širší, než je tomu u rozdělení nespojitých. Pouze čtyři rozdělení však mají uveden vzorec pro výpočet hustoty, což v ostatních případech pochopitelně bude komplikovat její výpočet a případné grafické zobrazení. V takových případech bude nutné zadat vzorec hustoty pravděpodobnosti ručně dle tvaru příslušné funkce.

502

3.1 Normální rozdělení Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry µ a σ 2, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar . Střední hodnota a rozptyl mají tvar . V Excelu se pro distribuční funkci a hustotu používá funkce NORMDIST. Její argumenty mají následující význam:

X – x. Hodnota, ve které počítáme F(x), resp. f(x). Střed_hodn – µ. Parametr rozdělení a zároveň střední hodnota. Sm_odch – σ . Parametr rozdělení a zároveň odmocnina z rozptylu (tedy směrodatná odchylka). Součet – NEPRAVDA pro hodnotu hustoty f(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x).

6/2OO6

503

Funkce pro výpočet kvantilů normálního rozdělení má v Excelu název NORMINV. Jedná se skutečně o kvantilovou funkci F(xp) = P, která má následující argumenty:

Prst – pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu xp . Střední – µ. Parametr rozdělení a zároveň střední hodnota. Sm_odch – σ . Parametr rozdělení a zároveň odmocnina z rozptylu (tedy směrodatná odchylka).

Kromě normálního rozdělení s obecnými parametry µ a σ 2 nabízí Excel i normované normální rozdělení, tedy rozdělení s parametry µ = 0 a σ 2 = 1. 3.2 Normované normální rozdělení Náhodná veličina U má normální rozdělení s parametry 0 a 1, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar . Střední hodnota a rozptyl mají tvar .

504

V Excelu se pro distribuční funkci používá funkce NORMSDIST. Tato funkce má jediný argument:

Z – u. Hodnota, ve které počítáme F(u).

Graf hustoty pravděpodobnosti pro normované normální rozdělení vytvořený v Excelu vidíme na následujícím obrázku.

Hodnoty hustoty pomocí funkce NORMSDIST počítat nelze, je třeba je napočítat z obecného normálního rozdělení při vhodné volbě parametrů. To ostatně platí i pro hodnoty kvantilů. 3.3 Logaritmicko normální rozdělení Náhodná veličina X má logaritmicko normální rozdělení s parametry µ a σ 2, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar

6/2OO6

505

.

Střední hodnota a rozptyl mají tvar . Připomeňme, že náhodná veličina Y = 1n(X), má potom normální rozdělení s parametry µ a σ 2 – tedy přirozený logaritmus náhodné veličiny s logaritmicko normálním rozdělením má normální rozdělení se stejnými parametry µ a σ 2. V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce LOGNORMDIST. Její argumenty mají následující význam:

X – x. Hodnota, ve které počítáme F(x). Střední – µ. Parametr rozdělení. Pozor, nejedná se o střední hodnotu X, nýbrž o střední hodnotu ln(X). Sm_odchylka – σ . Parametr rozdělení. Opět se nejedná o směrodatnou odchylku X, nýbrž o směrodatnou odchylku hodnoty ln(X).

506

Funkce pro výpočet kvantilů logaritmicko normálního rozdělení má v Excelu název LOGINV. Jedná se o kvantilovou funkci F(xp) = P, která má následující argumenty:

Prst – pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu xp. Stř_hodn – µ. Parametr rozdělení a zároveň střední hodnota veličiny ln(X). Sm_odch – σ . Parametr rozdělení, odmocnina ze σ 2. Zároveň směrodatná odchylka veličiny ln(X).

3.4 Exponenciální rozdělení Náhodná veličina X má exponenciální normální rozdělení s parametrem λ, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar .

6/2OO6

507

Pokud položíme λ = δ1 , dostali bychom tvar rozdělení, v jakém je obvykle uváděn v literatuře. Tento tvar je prezentován pro hodnoty x > 0, neuvažujeme tedy možné posunutí A. Střední hodnota a rozptyl mají tvar . V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce a hustoty používá funkce EXPONDIST. Její argumenty mají následující význam:

X – x. Hodnota, ve které počítáme F(x), resp. f(x). Lambda – λ. Parametr rozdělení. Součet – NEPRAVDA pro hodnotu hustoty f(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x).

Funkce pro výpočet kvantilů tohoto rozdělení není k dispozici. S jejím výpočtem si však snadno poradíme, neboť pro 100P% kvantil exponenciálního rozdělení platí vztah .

508

3.5 Weibullovo rozdělení Náhodná veličina X má Weibullovo rozdělení s parametry δ a c, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar

.

Střední hodnota a rozptyl mají tvar vyjádřený pomocí gama funkce

.

Speciálním případem Weibullova rozdělení je pro c = 1 exponenciální rozdělení.

6/2OO6

509

V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce a hustoty používá funkce WEIBULL. Její argumenty mají následující význam:

X – x. Hodnota, ve které počítáme F(x), resp. f(x). Alfa – c. Parametr rozdělení. Beta – δ. Parametr rozdělení. Typ – NEPRAVDA pro hodnotu hustoty f(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x).

Funkce pro výpočet kvantilů tohoto rozdělení není v Excelu k dispozici. Pro výpočet 100P% kvantilu Weibullova rozdělení můžeme použít vztah

.

510

3.6 Studentovo rozdělení (t-rozdělení) Náhodná veličina X má Studentovo rozdělení s parametrem n (počet stupňů volnosti), jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar

Střední hodnota existuje, pokud n > 1 a je rovna E(X) = 0. Rozptyl existuje, pokud n > 2 a je roven

.

V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce TDIST. Pozor – Excel nepočítá přímo hodnotu distribuční funkce, ale počítá P(X > x), tedy výraz 1 – F(x)! Navíc není možné za x dosadit záporné číslo – pro záporná x je tedy nutné využít symetrie Studentova rozdělení kolem nuly (F(–x) = 1 – F(x)). Argumenty funkce TDIST mají následující význam:

X – x. Hodnota, ve které počítáme výraz 1–F(x). Volnost – n. Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti. Strany – lze dosadit hodnoty 1 a 2. Pro 1 se počítá výraz 1–F(x), pro 2 se počítá pravděpodobnost 2*(1 – F(x)), tj. 1 – P(–x < X < x) = P(|X | > x).

6/2OO6

511

Funkce pro výpočet kvantilů Studentova rozdělení má v Excelu název TINV. Výpočet kvantilů se přitom vymyká postupům u předchozích rozdělení. Nepočítá se totiž kvantilová funkce, počítá se funkce kritických hodnot F’(xp) = P(|X| > xp) = P. Pro výpočet kvantilu tedy platí, že pro zadanou pravděpodobnost P počítá funkce TINV kvantil x1–p/2 – a pozor, nerespektuje se znaménko u kvantilu! Znaménko tedy musí uživatel doplnit sám tak, že od 0 do 50 % kvantilu přiřadí znaménko záporné, od 50 % do 100 % znaménko kladné. Funkce TINV je tedy inverzní funkcí k TDIST pro hodnotu argumentu Strany = 2 a má následující argumenty:

Prst – pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x1–p/2 (až na znaménko). Volnost – n. Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti.

512

3.7 Fischer-Schnedecorovo rozdělení (F rozdělení) Náhodná veličina X má Fischer-Schnedecorovo rozdělení s parametry n a m (počty stupňů volnosti), jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar

.

Střední hodnota existuje, pokud m > 2 a je rovna

Rozptyl existuje, pokud M > 4 a je roven

.

.

V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce FDIST. Pozor – Excel nepočítá přímo hodnotu distribuční funkce, ale počítá P(X > x), tedy výraz 1 – F(x)! Argumenty funkce FDIST mají následující význam:

X – x. Hodnota, ve které počítáme výraz 1–F(x). Volnost1 – n. Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti. Volnost2 – m. Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti.

6/2OO6

513

Funkce pro výpočet kvantilů Fischer-Schnedecorova rozdělení má v Excelu název FINV. Název je opět zavádějící, protože se nejedná o kvantilovou funkci, nýbrž o funkci kritických hodnot F’(xp) = P(X > xp) = P. Pro zadanou pravděpodobnost P se tedy počítá kvantil x1–p! Funkce FINV má následující argumenty:

Prst – pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x1–p. Volnost1 – n. Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti. Volnost2 – m. Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti.

Při výpočtu kvantilů Fischer-Schnedecorova rozdělení můžeme využít vztah .

514

3.8 Chí kvadrát rozdělení (χ2 rozdělení) Náhodná veličina X má chí-kvadrát rozdělení s parametrem n (počet stupňů volnosti), jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar .

Střední hodnota a rozptyl mají tvar . V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce CHIDIST. Pozor – Excel nepočítá přímo hodnotu distribuční funkce, ale počítá P(X > x, tedy výraz 1 – F(x)! Argumenty funkce CHIDIST mají následující význam:

X – x. Hodnota, ve které počítáme výraz 1–F(x). Volnost – n. Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti.

6/2OO6

515

Funkce pro výpočet kvantilů chí-kvadrát rozdělení má v Excelu název CHINV. Opět platí, že název je zavádějící, protože se nejedná o kvantilovou funkci, nýbrž o funkci kritických hodnot F’(xp) = P(X > xp) = P. Pro zadanou pravděpodobnost P se tedy počítá kvantil x1–p! Funkce CHINV má následující argumenty:

Prst – pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x1–p. Volnost – n. Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti.

3.9 Beta rozdělení (4 parametrické) Náhodná veličina X má Beta rozdělení s parametry a, b, α, β, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar .

516

Připomeňme, že B(α, β) je Beta funkce, definovaná jako . Střední hodnota a rozptyl mají tvar .

Pokud bychom položili a = 0 a b = 1, obdržíme „klasické“ dvouparametrické Beta rozdělení ve tvaru .

V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce BETADIST. Argumenty funkce BETADIST mají následující význam:

X – x. Hodnota, ve které počítáme hodnotu distribuční funkce F(x). Alfa – α, parametr rozdělení. Beta – β, parametr rozdělení. A – a, parametr rozdělení, dolní mez pro hodnoty x. Jedná se o nepovinný argument. B – b, parametr rozdělení, horní mez pro hodnoty x. Jedná se o nepovinný argument. Pokud nejsou argumenty A a B zadány, automaticky platí A = 0 a B = 1.

6/2OO6

517

Funkce pro výpočet kvantilů Beta rozdělení má v Excelu název BETAINV. Jedná se o kvantilovou funkci F(xp) = P(X < xp) = P, která má následující argumenty:

Prst – pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu xp. Alfa – α, parametr rozdělení. Beta – β, parametr rozdělení. A – a, parametr rozdělení, dolní mez pro hodnoty x. Jedná se o nepovinný argument. B – b, parametr rozdělení, horní mez pro hodnoty x. Jedná se o nepovinný argument. Pokud nejsou argumenty A a B zadány, automaticky platí A = 0 a B = 1.

3.10 Gama rozdělení Náhodná veličina X má Gama rozdělení s parametry α, β, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar

518

.

Připomeňme, že Γ(α) je Gama funkce, definovaná jako . Střední hodnota a rozptyl mají tvar . Excel nemá přímo funkci, která by počítala hodnoty funkce Gama. Obsahuje však funkci GAMMALN, která vrací hodnotu přirozeného logaritmu funkce Gama. Hodnotu Gama funkce v bodě α pak snadno získáme složením funkce EXP a GAMMALN ve tvaru EXP (GAMMALN (α)). V Excelu rovněž není funkce Beta (viz předchozí rozdělení). Pro její výpočet je možné využít vztah . Pro výpočet hodnot distribuční funkce rozdělení gama se v Excelu používá funkce GAMMADIST. Argumenty funkce GAMMADIST mají následující význam:

X – x. Hodnota, ve které počítáme hodnotu distribuční funkce F(x). Alfa – α, parametr rozdělení. Beta – β, parametr rozdělení. Součet – NEPRAVDA pro hodnotu hustoty f(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x).

6/2OO6

519

Funkce pro výpočet kvantilů Gama rozdělení má v Excelu název GAMMAINV. Jedná se o kvantilovou funkci F(xp) = P(X < xp) = P, která má následující argumenty:

Prst – pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu xp. Alfa – α, parametr rozdělení. Beta – β, parametr rozdělení.

Pokud položíme parametr α = 1, obdržíme exponenciální rozdělení (λ = 1 / β).

4. Generování hodnot z pravděpodobnostních rozdělení Co se týče generování náhodných čísel (přesněji řečeno pseudonáhodných čísel), obsahuje MS Excel pouze jedinou funkci pro generování. Jedná se o funkci NÁHČÍSLO, která

520

generuje hodnoty ze spojitého rovnoměrného rozdělení na intervalu (0,1). Hodnoty z dalších pravděpodobnostních rozdělení získáme vhodnou transformací. Funkce NÁHČÍSLO má velmi jednoduchou syntaxi – nemá totiž žádný argument. Není tudíž bohužel ani možné nastavit počáteční hodnotu generátoru. Navíc je potřeba počítat s tím, že hodnota této funkce se neustále přepočítává při každé editaci libovolné buňky (samozřejmě pokud je nastaven automatický přepočet tabulky, což je ale standardní nastavení). Chceme-li tedy generovat hodnoty z jiných pravděpodobnostních rozdělení, nezbývá než vyhledat vhodnou literaturu a aplikovat příslušné vzorce.

5. Další pravděpodobnostní rozdělení Mohlo by se zdát, že nabídka pravděpodobnostních rozdělení v Excelu je proti statistickým programům chudá. Nicméně je třeba si uvědomit, že není žádný problém zadat vhodným vzorcem výpočet pravděpodobnostní funkce či distribuční funkce pro libovolné nespojité rozdělení. Poněkud složitější je situace u spojitých rozdělení. I zde sice platí, že poměrně snadno spočítáme hustotu pravděpodobnosti pro libovolné rozdělení (tak ostatně byly konstruovány grafy hustot u rozdělení, u kterých Excel vzorec pro výpočet hustoty neobsahuje), horší je to však již při výpočtu distribuční funkce a příslušných kvantilů. To však platí pouze v případě, že neznáme tvar distribuční funkce. Tato situace je pak pro běžného uživatele (nestatistika) obtížně řešitelná. V takovém případě nezbývá, než vyhledat tvar příslušné distribuční funkce v literatuře a zadat ho do Excelu ve formě vzorce (stejně jako při výpočtu hustoty). Bohužel však daleko častěji než vzorec distribuční funkce bývá publikován vzorec hustoty pravděpodobnosti.

6. Přesnost výpočtů Na závěr je třeba uvést, že všechna uvedená pravděpodobnostní rozdělení byla v Excelu podrobně prozkoumána a přepočítána. Dosažené výsledky (hodnoty pravděpodobnostní funkce, distribuční funkce, hustoty pravděpodobnosti, kvantilů) byly porovnávány s programem Statgraphics Centurion (trial verze). Tento program nám velmi pomohl, neboť v nápovědě obsahuje popis všech obsažených pravděpodobnostních rozdělení a hlavně ke 6/2OO6

521

každému rozdělení uvádí vzorec pravděpodobnostní funkce nebo hustoty pravděpodobnosti. Srovnání dopadlo pro Excel velmi uspokojivě, neboť jsme nezaznamenali žádné výrazné rozdíly v obou programech. Lze tedy konstatovat, že MS Excel (verze 2003) je, co se týče popsaných pravděpodobnostních rozdělení, zcela srovnatelný s tímto statistickým programem (ten má pochopitelně mnohem širší nabídku pravděpodobnostních rozdělení). Pokud se vyskytly nějaké rozdíly, byly většinou způsobeny tvarem parametrů rozdělení (Excel např. počítá s převrácenou hodnotou parametru oproti Statgraphicsu apod.). Pokud jsme však respektovali tyto odlišnosti, vycházely výsledky stejně.

Literatura [1] Nápověda k programu MS Excel. [2] Nápověda k programu Statgraphics Centurion. Luboš Marek, Katedra statistiky a pravděpodobnosti Vysoké školy ekonomické v Praze, nám W. Churchilla 4, 130 67 Praha 3 - Žižkov, e-mail: [email protected]

Abstract The aim of this article is to evaluate the offer of probability distributions in MS Excel. Each division is firstly described theoretically (including formulas for the mean value and variance), further the way of calculating the values of probability or distribution function including their syntax is practically described as well. Attention is also given to possibilities of calculating values of probability density in continuous distribution and quantiles. In each continuous distribution a picture is given, showing the course of density probability for concrete parameters. In the end a possibility of generating random values from continuous uniform distribution in the interval (0.1) is shown. Key words: MS Excel, probability distribution, probability function, distribution function, probability density, quantile, critical value.

522