POŽADAVKY K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE Z PŘEDMĚTU“MATEMATICKÁ ANALÝZA 1” KÓD NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR 2012–2013 LUBOŠ PICK
Popis předmětu Jde o první část čtyřsemestrálního základního kursu matematické analýzy. Věnuje se zejména základům diferenciálního počtu. Kurs se skládá z přednášek a cvičení a je hodnocen zápočtem a zkouškou. Přednáška se koná pro větší množství (desítky až stovky) studentů najednou, přičemž přednášející u tabule vykládá především teoretické poznatky a ilustrativní příklady. Otázky v průběhu přednášky a diskuse po ní jsou vítány, jiná forma studentské aktivity (pobyt u tabule atd.) se nepředpokládá. Z látky přednášené na přednášce je potřeba složit zkoušku. Cvičení se koná pro menší množství (15-25) studentů najednou, typicky pro jeden kroužek. Na cvičeních se počítají příklady určené k procvičení dané tématiky. S aktivní účastí studentů (někdy i u tabule) se počítá. Náplň a formu cvičení určuje cvičící. Z početních technik prováděných na cvičeních je potřeba složit zápočet. Přechody mezi paralelními přednáškami jsou vyloučeny. Přechody mezi cvičeními jsou možné pouze ve zcela výjimečných a dobře odůvodněných případech. Přechody schvaluje přednášející. Všechny žádosti o změnu cvičení musí být podány přednášejícímu do 12.10. 2012. Zápočet Zápočet bude udělen za 50% účast na cvičeních a dvě splněné zápočtové písemky. Studentům jiného než presenčního studia stačí k zápočtu dvě splněné zápočtové písemky. Během zimního semestru budou uspořádány celkem čtyři zápočtové písemky: Date: 11. ledna 2013. 1
2
LUBOŠ PICK
• ve čtvrtek 18.10. 2012 v 9:00 v posluchárně M1 (v rámci přednášky), • ve čtvrtek 8.11. 2012 v 9:00 v posluchárně M1 (v rámci přednášky), • v pátek 7.12. 2012 v 15:40 v posluchárně K1, • v pátek 4.1. 2013 v 15:40 v posluchárně K1. Každá zápočtová písemka bude obsahovat tři příklady z následujících oblastí matematické analýzy: opakování středoškolské látky (lineární a kvadratické rovnice a nerovnice případně s absolutními hodnotami, goniometrické, exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice, grafy jednoduchých funkcí), výpočet limity posloupnosti, vyšetření konvergence číselné řady a výpočet limity nebo derivace reálné funkce. Čas k vypracování každé zápočtové písemky je 30 minut. Běžné psací potřeby a veškeré písemné materiály jsou povoleny. Jakákoli technika (zejména kalkulačky, mobilní telefony apod.) je však zakázána. V každé písemce bude za každý příklad udělen buď 1 bod (příklad splněn) nebo 0 bodů (příklad nesplněn). Písemka bude hodnocena jako splněná, pokud z ní student získá alespoň 2 body. Zkouška Písemná část. K písemné části zkoušky se mohou elektronicky prostřednictvím systému SIS přihlásit pouze studenti, kteří získali zápočet. Pro písemnou část zkoušky bude vypsáno právě pět termínů, a to • v pondělí 21.1. 2013 v 8:30 v posluchárně K1, • v pondělí 28.1. 2013 v 8:30 v posluchárně K1, • v pondělí 4.2. 2013 v 8:30 v posluchárně K1, • v pondělí 11.2. 2013 v 8:30 v posluchárně K1, • poslední termín se bude konat během letního semestru a jeho datum bude oznámeno později. Mimo vypsané termíny nebude možné vykonat písemnou část zkoušky. Žádné další termíny nebudou vypsány. Studenti budou mít možnost se přihlašovat nebo odhlašovat do dne předcházejícího datu zkoušky včetně do 20:00 hodin. Pokud se student z vážného důvodu nemůže dostavit na písemnou část zkoušky, na kterou byl přihlášen a omluví se examinátorům elektronickou poštou, neztratí termín. V posluchárně K1 bude v době konání písemné části zkoušky vyvěšen zasedací pořádek. Prosíme studenty, aby se dostavili nejpozději v 8:15
POŽADAVKY
3
a zaujali svá místa podle zasedacího pořádku. Před začátkem písemné části zkoušky bude provedena kontrola totožnosti studentů. Každý student se musí prokázat nějakým platným dokladem s fotografií (index, OP, ŘP, pas a podobně). Písemná část zkoušky bude obsahovat čtyři příklady z následujících partií matematické analýzy: • výpočet limity posloupnosti (10 bodů), • výpočet limity reálné funkce jedné reálné proměnné (10 bodů), • vyšetření konvergence číselné řady (10 bodů), • vyšetření průběhu reálné funkce jedné reálné proměnné (20 bodů). Jestliže student získá z písemné části zkoušky 28 nebo více bodů, postoupí k ústní části zkoušky. Jestliže získá 27 nebo méně bodů, bude zkouška hodnocena známkou neprospěl(a). Čas k vypracování písemné části je 120 minut. Běžné psací potřeby a veškeré písemné materiály jsou povoleny. Jakákoli technika (zejména kalkulačky, mobilní telefony apod.) je však zakázána. Bezprostředně po skončení písemné části (tedy přibližně v 10:35) bude na tabuli v posluchárně K1 předvedeno vzorové řešení. Účast na předvedení vzorového řešení je povolena (a doporučena) i studentům, kteří ten den písemnou zkoušku neskládali a teprve se připravují na některý z budoucích termínů. Odevzdané písemky budou opraveny během odpoledne v den konání písemné části zkoušky. Výsledky budou zveřejněny na webové stránce přednášejícího. Studentům, kteří úspěšně složí písemnou část zkoušky, bude přidělen čas ústní části zkoušky. Tento čas bude pro všechny studenty závazný, počítejte tedy s tím při plánování rozvrhu zkoušek. Podrobný rozvrh ústní části zkoušky budou též zveřejněny na webové stránce přednášejícího. Studenti, jejichž písemná část zkoušky bude hodnocena známkou neprospěl(a), se mohou dostavit následujícího dne (po řadě úterý 22.1., 29.1., 5.2. a 12.2. 2013 v 8:30) hodin do posluchárny K2, kde jim bude, pokud o to projeví zájem, jejich písemná práce podrobně vysvětlena. Ústní část. Ústní část zkoušky se bude konat zpravidla následující den po písemné části zkoušky. V případě prvních čtyř termínů tedy po řadě v úterý 22.1., 29.1., 5.2. a 12.2. 2013 v posluchárně K2. Ústní část zkoušky bude obsahovat sedm otázek uspořádaných a přibližně hodnocených podle následujícího klíče:
4
LUBOŠ PICK
• definice klíčového pojmu (0 bodů), • formulace dvou vět a jedné definice (5+5+5 body), • formulace a důkaz tří vět (celkem 35 bodů). K úspěšnému složení ústní části je třeba napsat správně definici klíčového pojmu a získat minimálně 30 bodů. Uvedené body jsou ovšem pouze orientační a slouží jako pomůcka pro zkoušejícího, nelze na jejich základě vznášet žádné námitky proti výsledku zkoušky. Po celou dobu ústní zkoušky platí, že student musí bezpečně ovládat veškeré klíčové pojmy, nejen ten, který si vylosuje. Prokáže-li se kdykoli během zkoušky, že student bezpečně neovládá kterýkoli z klíčových pojmů, bude zkouška hodnocena známkou neprospěl(a). Bude-li zkouška po ústní části hodnocena známkou neprospěl(a), je student povinen znovu složit obě části zkoušky (tedy i písemnou). Celkové hodnocení zkoušky K celkovému hodnocení známkou výborně je třeba, aby student ovládal všechny klíčové pojmy, dále aby s porozuměním ovládal definice a věty, znal důkazy všech vět a byl schopen aplikovat dosažené vědomosti na více či méně jednoduchých teoretických příkladech. Orientačně známka “výborně” odpovídá přibližně bodovému rozmezí 85– 100. K celkovému hodnocení známkou velmi dobře je třeba, aby student ovládal všechny klíčové pojmy, dále aby s porozuměním ovládal definice a věty, znal důkazy lehčích vět a byl schopen aplikovat dosažené vědomosti v jednoduchých teoretických příkladech. Může mít menší mezery v obtížnějších partiích. Orientačně známka “velmi dobře” odpovídá přibližně bodovému rozmezí 72–84. K celkovému hodnocení známkou dobře je třeba, aby student ovládal všechny klíčové pojmy, dále aby s porozuměním ovládal definice a jednoduché věty a znal důkazy lehčích vět. Orientačně známka “dobře” odpovídá přibližně bodovému rozmezí 58–71. Hodnocení známkou neprospěl(a) bude uplatněno, jestliže se během zkoušky prokáže, že student nezná některý z klíčových pojmů, neovládá věty nebo definice nebo není schopen dokázat ani nejjednodušší tvrzení. Orientačně hodnocení “neprospěl(a)” odpovídá přibližně bodovému rozmezí 0–57.
POŽADAVKY
5
Seznamy požadovaných vět, definic a klíčových pojmů Seznamy požadovaných vět, definic a klíčových pojmů se mohou v průběhu semestru mírně měnit v závislosti na přednášce. Jejich definitivní podoba bude včas oznámena na přednášce. Seznam klíčových pojmů. • kartézský součin, binární relace, zobrazení, binární operace • prosté zobrazení, zobrazení na, bijektivní zobrazení, restrikce, složené zobrazení, inverzní zobrazení, obraz množiny, vzor množiny • supremum, infimum (i v rozšířeném smyslu) • množina konečná, nekonečná, spočetná a nespočetná • limita posloupnosti (vlastní i nevlastní), konvergentní a divergentní posloupnost • monotónní posloupnost • vybraná posloupnost • limes superior, limes inferior • okolí bodu včetně nevlastních bodů, jednostranné okolí, prstencové (redukované) okolí • konvergentní, divergentní a oscilující řada • limita funkce včetně jednostranných limit ve vlastním i nevlastním bodě • spojitost funkce v bodě (i jednostranná), spojitost funkce na intervalu • extrémy funkce na dané množině (ostré i neostré, lokální i globální) • derivace a jednostranné derivace reálné funkce v bodě (vlastní i nevlastní) • inflexní bod • funkce konvexní a konkávní Seznam požadovaných definic. Úvod. • reflexivní, symetrická, tranzitivní relace • ekvivalence, uspořádání, částečné uspořádání, ostré uspořádání, lineární uspořádání • prázdná množina, podmnožina, vlastní podmnožina, sjednocení, průnik, disjunktní množiny • potenční množina • množiny stejné a menší nebo rovné mohutnosti
6
LUBOŠ PICK
• zdola omezená množina, shora omezená množina, omezená množina • horní závora, dolní závora • těleso, uspořádané těleso • maximum (největší prvek) a minimum (nejmenší prvek) • axiom úplnosti (suprema)
Posloupnosti reálných čísel. • shora omezená posloupnost, zdola omezená posloupnost, omezená posloupnost • neklesající posloupnost, nerostoucí posloupnost, rostoucí posloupnost, klesající posloupnost, ryze monotónní posloupnost • rozšířená reálná osa • otevřený interval, uzavřený interval, polootevřený interval, polouzavřený interval, nedegenerovaný interval, krajní bod intervalu, vnitřní bod intervalu • číslo e • hromadná hodnota posloupnosti • Bolzanova – Cauchyova podmínka pro posloupnosti
Řady reálných čísel. • absolutně konvergentní řada, neabsolutně konvergentní řada
Reálné funkce jedné reálné proměnné. • rostoucí funkce, klesající funkce,nerostoucí funkce,neklesající funkce, monotónní funkce, ryze monotónní funkce • sudá funkce, lichá funkce, periodická funkce • funkce shora omezená, zdola omezená, omezená na dané množině • Dirichletova funkce, Riemannova funkce, konstantní funkce Derivace a elementární funkce. • exponenciální funkce, přirozený logaritmus, logaritmus o obecném základu, obecná mocnina, n-tá odmocnina • goniometrické funkce, cyklometrické funkce, hyperbolické funkce • tečna ke grafu funkce v bodě • ryze konvexní funkce na intervalu, ryze konkávní funkce na intervalu • asymptota funkce
POŽADAVKY
7
Seznam požadovaných vět (není-li výslovně stanoveno jinak, jsou požadovány úplné důkazy). Úvod. • • • • • • • • • • •
de Morganova pravidla Cantorova–Bernsteinova věta Cantorova věta existence a jednoznačnost reálných čísel (bez důkazu) induktivnost přirozených čísel vlastnosti přirozených čísel Archimédova vlastnost reálných čísel existence celé části reálného čísla hustota Q a R \ Q v R o existenci n-té odmocniny existence infima
Posloupnosti reálných čísel. • jednoznačnost limity posloupnosti • změna konečně mnoha členů posloupnosti • limita posloupnosti a omezenost posloupnosti • limita vybrané posloupnosti • aritmetika limit pro posloupnosti • limita posloupnosti a uspořádání • o dvou strážnících pro posloupnosti • o limitě odmocniny • o nevlastní limitě posloupnosti a jednostranné omezenosti • o andělovi a ďáblovi • limita posloupnosti a absolutní hodnota • limita součinu omezené posloupnosti a posloupnosti s nulovou limitou • limita monotónní posloupnosti • vztah limity, limes inferior a limes superior • Bolzanova – Weierstrassova věta • vztah limes superior, limes inferior a hromadných hodnot • hromadné body konvergentní posloupnosti • Bolzanova – Cauchyova podmínka pro posloupnosti Řady reálných čísel. • nutná podmínka konvergence řady • Bolzanova-Cauchyova podmínka konvergence řady • linearita množiny konvergentních řad • srovnávací kritérium
8
LUBOŠ PICK
• • • • • • • • • • • Reálné • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
limitní srovnávací kritérium vztah absolutní konvergence a konvergence Cauchyovo odmocninové kritérium d’Alembertovo podílové kritérium kondenzační kritérium P −α konvergence řad n Leibnizova věta Raabeovo kritérium (bez důkazu) Abelova parciální sumac Abelovo-Dirichletovo kritérium vztah absolutní konvergence řady a konvergence řady funkce jedné reálné proměnné. jednoznačnost limity funkce vztah limity funkce a jednostranných limit Heineova věta Heineova věta pro spojitost vlastní limita funkce a omezenost aritmetika limit funkcí aritmetika limit funkcí pro spojitost limita funkce a uspořádání o dvou strážnících pro funkce o andělovi pro funkce o ďáblovi pro funkce limita složené funkce limita monotónní funkce Bolzanova věta o nabývání mezihodnot zobrazení intervalu spojitou funkcí sekvenciální charakterisace suprema existence extrémů spojité funkce na intervalu omezenost spojité funkce na intervalu zobrazení uzavřeného intervalu spojitou funkcí spojitost inverzní funkce
Derivace a elementární funkce. • vztah derivace a spojitosti • aritmetika derivací • derivace složené funkce • derivace inverzní funkce • nutná podmínka existence extrému • Rolleova věta • Lagrangeova věta o střední hodnotě
POŽADAVKY
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Cauchyova věta o střední hodnotě l’Hospitalovo pravidlo věta o limitě derivací vztah derivace a monotonie vztah nulové derivace a konstantnosti základní vlastnosti exponenciály existence a jednoznačnost exponenciály základní vlastnosti sinu a kosinu vlastnosti funkcí sin a cos vlastnosti funkce tangens(bez důkazu) vlastnosti funkce kotangens (bez důkazu) vlastnosti cyklometrických funkcí (bez důkazu) ekvivalentní podmínky pro konvexitu vztah konvexity a existence jednostranných derivací lemma: ekvivalentní podmínky pro konvexitu spojitost a konvexita vztah konvexity a spojitosti vztah druhé derivace a konvexity nutná podmínka pro inflexi postačující podmínka pro inflexi konvexita a jednostranné derivace druhá derivace a konvexita tvar asymptoty
9
10
LUBOŠ PICK
Vzorové příklady ze zápočtových písemkek Příklad 1. Řešte nerovnici 1 + |x + 3| ≤ |x − 5|.
Příklad 2. Řešte rovnici
log(x2 + 5x − 3) = 0.
Příklad 3. Načrtněte graf funkce
f (x) =
x−1 . 2x + 1
Příklad 4. Řešte nerovnici x2 − 2|x| + 1 > 0.
Příklad 5. Najděte limitu posloupnosti {an }, jestliže √ √ n2 + n − n2 − n √ , n ∈ N. an = 2 n+3 Příklad 6. Rozhodněte, zda řada ∞ n X n2 + 1 (−1) 3n n=1
konverguje či diverguje a výsledek pečlivě zdůvodněte. Příklad 7. Spočtěte cos(2x) + 2x2 − 1 x→0 ((sin x)2 (arcsin x)2 )2 lim
POŽADAVKY
11
Vzorové zadání písemné části zkoušky Příklad 8. Spočtěte limitu n 1 lim n 1+ −e . n→∞ n
(10 bodů)
Příklad 9. Vyšetřete konvergenci řady v závislosti na parametru x ∈ R, x ≥ 0. n ∞ X log n 1 3+ xn (10 bodů) n + 1 n n=1
Příklad 10. Spočtěte limitu √ √ 2 1 + x − 3 3 1 + x + cos x lim . (10 bodů) x→0 x2 Příklad 11. Vyšetřete průběh funkce ( exp − sin12 x , x ∈ R \ {kπ; k ∈ Z}; (20 bodů) f (x) = 0, x ∈ {kπ; k ∈ Z}.
Vzor zadání zkušebních otázek pro ústní část zkoušky Otázka 1. Napište definici klíčového pojmu: konvergentní, divergentní a oscilující řada. Otázka 2. Napište definici pojmu: hromadná hodnota posloupnosti. Otázka 3. Napište znění věty: Archimédova vlastnost reálných čísel. Otázka 4. Napište znění věty: Heineova věta. Otázka 5. Zformulujte a dokažte větu: vztah derivace a spojitosti. Otázka 6. Zformulujte a dokažte větu: d’Alembertovo podílové kritérium. Otázka 7. Zformulujte a dokažte větu: Lagrangeova věta o střední hodnotě.
