Příklady: 22. Elektrický náboj 1. V krystalové struktuře chloridu cesného CsCl tvoří ionty Cs+ vrcholy krychle a iont Cl− leží v jejím středu (viz obrázek 1). Délka hrany krychle je 0,40 nm. Každému z iontů Cs+ chybí jeden elektron (má tedy náboj +e), iont Cl− má jeden elektron navíc (má tedy náboj −e). a) [0,3 b] Jaká je velikost a směr elektrostatické síly, kterou na iont Cl− působí jeden iont Cs+ nacházející se v jednom z rohů krychle? Nakreslete obrázek a směr síly vyznačte. b) [0,3 b] Jaká je velikost a směr výslednice elektrostatických sil, kterými na iont Cl− působí všech osm iontů Cs+ nacházejících se v každém z rohů krychle? Nakreslete další obrázek a směr výslednice vyznačte. c) [0,4 b] Jestliže jeden z iontů Cs+ chybí, říkáme, že krystal má defekt. Jaká je v tomto případě velikost a směr výslednice elektrostatických sil, kterými na iont Cl− působí sedm zbývajících iontů Cs+ ? Nakreslete další obrázek a směr výslednice vyznačte.
Obr. 1. 2. Na obr. 2 jsou dvě malé vodivé kuličky o stejné hmotnosti m a stejném náboji Q zavěšené v tíhovém poli Země na nevodivých závěsech o délce d. Předpokládejme, že úhel θ je tak malý, že přibližně platí tgθ ≈ sin θ. Soustava se nachází v rovnováze. a) [0,2 b] Jaká je velikost a směr elektrostatické síly, kterou působí kulička vlevo na kuličku vpravo? V obrázku vektor síly vyznačte. b) [0,8 b] Určete vzdálenost x mezi kuličkami pomocí zadaných veličin m, Q a d.
Obr. 2.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
1
3. Na obrázku 3 je centrální částice s nábojem −Q obklopená dvěma soustřednými kružnicemi s poloměry r a R, R > r. Na kružnicích jsou rozmístěny nabité částice. a) [0,6 b] Jakou velikost má výsledná elektrostatická síla, kterou na centrální částici působí všechny ostatní částice? b) [0,4 b] V obrázku směr této výsledné elektrostatické síly vyznačte.
Obr. 3. 4. Na obr. 4 leží ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka se stranou délky d tři stejné vodivé koule A, B, C, jejichž počáteční náboje jsou −2Q, −4Q, +8Q. a) [0,2 b] Jaká je velikost elektrostatické síly, která působí mezi koulemi A a C? b) [0,4 b] Pak proběhnou následující procesy: A a B jsou spojeny tenkým vodičem a pak rozpojeny; B je uzemněna vodičem a pak je vodič odstraněn; B a C jsou spojeny vodičem a pak rozpojeny. Jaká bude nyní velikost elektrostatické síly mezi koulemi A a C? c) [0,4 b] Jaká bude nyní velikost elektrostatické síly mezi koulemi B a C?
Obr. 4. 5. Dvě pevné částice s náboji Q1 = +1, 0 · 10−6 C a Q2 = −3, 0 · 10−6 C jsou ve vzdálenosti 10 cm. a) [0,2 b] Jaká je velikost a směr elektrostatické síly, kterou působí náboj Q1 na náboj Q2 ? Nakreslete obrázek a vektor síly vyznačte. b) [0,8 b] Určete bod (včetně vzdáleností od nábojů Q1 a Q2 ), kam by měl být umístěn náboj Q3 , aby výsledná elektrostatická síla, která na Q3 působí, byla nulová. Nakreslete další obrázek a polohu náboje Q3 vyznačte.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
2
6. Na obr. 5 je nevodivá tyč délky d zanedbatelné hmotnosti, otočná kolem svého středu. Na obou koncích tyče jsou připevněny malé vodivé koule zanedbatelných hmotností s kladnými náboji +Q1 a +2Q1 . Tyč je vyvážena závažím G dle obrázku. Ve vzdálenosti h přímo pod každou z koulí je pevně umístěna koule s kladným nábojem +Q. a) [0,5 b] Určete vzdálenost x, pro níž je tyč vodorovná a je v rovnováze. b) [0,5 b] Pro jakou hodnotu hR bude tyč v rovnováze ve vodorovné poloze a nebude přitom vůbec zatěžovat čep, na němž je upevněna? Vypočítejte též novou polohu xR , kam musíme umístit závaží G.
Obr. 5. 7. Náboje a souřadnice dvou nabitých částic, pevně umístěných v rovině xy, jsou: Q1 = +3, 0·10−6 C, x1 = 3, 5 cm, y1 = 0, 50 cm; Q2 = −4, 0 · 10−6 C, x2 = −2, 0 cm, y2 = 1, 5 cm. a) [0,5 b] Určete vektor elektrostatické síly působící na náboj Q2 . Nakreslete obrázek a vektor síly vyznačte. b) [0,5 b] Kam umístíte třetí náboj Q3 = +4, 0 · 10−6 C, aby výsledná elektrostatická síla působící na Q2 , byla nulová? Vyznačte do obrázku polohu náboje Q3 .
8. Dvě pohyblivé částice nabité souhlasným nábojem stejné velikosti jsou původně od sebe vzdálené d = 3, 2 · 10−3 m. Velikost počátečního zrychlení první částice je a1 = 7, 0 m/s2 , velikost počátečního zrychlení druhé částice je a2 = 9, 0 m/s2 . Hmotnost první částice je m1 = 6, 3 · 10−7 kg. a) [0,2 b] Určete velikost síly, která působí na první částici. Nakreslete obrázek a vektor síly vyznačte. b) [0,2 b] Určete hmotnost druhé částice. c) [0,6 b] Určete velikost náboje každé z částic.
9. Na obrázku 6a) jsou ve vzdálenosti d dva náboje Q1 a Q2 . Předpokládejme, že Q1 = Q2 = 20, 0 · 10−6 C a d = 1, 50 m. a) [0,5 b] Jaká je velikost elektrostatické síly, která působí na Q1 ? V obrázku 6a) vektor síly vyznačte. b) [0,5 b] Přidáme třetí náboj Q3 = 20, 0·10−6 C podle obrázku 6b). Jaká je nyní velikost elektrostatické síly, která působí na Q1 ? V obrázku 6b) vektor síly vyznačte.
Obr. 6.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
3
10. Na obr. 7 jsou čtyři náboje uspořádány do čtverce o straně a = 5, 0 cm, přičemž Q = 1, 0·10−7 C. Zvolte souřadný systém xy tak, aby osa x směřovala vodorovně zleva doprava a osa y svisle zdola nahoru. a) [0,8 b] Určete vektor (všechny složky) výsledné elektrostatické síly F~ , která působí na náboj v levém dolním rohu čtverce. b) [0,2 b] V obrázku vektor F~ vyznačte.
Obr. 7. 11. Mějme dva náboje Q1 = 26, 0 · 10−6 C a Q2 = −47, 0 · 10−6 C. a) [0,3 b] Jaká musí být vzdálenost d mezi oběma náboji, aby elektrostatická síla F~ , která mezi nimi působí, měla velikost F = 5, 7 N? b) [0,5 b] Přidejme třetí náboj Q3 = 13, 0 · 10−6 C. Do jaké vzdálenosti l od Q1 jej musíme umístit, aby výsledná elektrostatická síla, která na něj působí, byla rovna nule? (Použijte vzdálenost d mezi Q1 a Q2 z předchozí podúlohy.) c) [0,2 b] Nakreslete obrázek a polohy nábojů Q1 , Q2 a Q3 vyznačte.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
4
Příklady: 23. Elektrické pole 1. Tenká nevodivá tyč konečné délky d je rovnoměrně nabita nábojem Q (viz obr. 1). a) [0,2 b] Určete lineární hustotu τ náboje tyče. ~ elektrického pole v bodě P ve vzdálenosti y od středu tyče. V obrázku b) [0,6 b] Určete intenzitu E ~ vektor E vyznačte. c) [0,2 b] Ukažte, že je-li y d, vypočtená intenzita přechází na vztah pro intenzitu pole bodového náboje Q ve vzdálenosti y.
Obr. 1. 2. Mějme tenký prstenec poloměru R, který je rovnoměrně nabit kladným nábojem délkové hustoty τ. a) [0,2 b] Jaký celkový náboj Q se na prstenci nachází? ~ elektrického pole buzeného prstencem v bodě P , který se b) [0,4 b] Určete velikost a směr intenzity E nachází na ose prstence ve vzdálenosti z od jeho středu. Nakreslete obrázek a vyznačte směr intenzity. c) [0,4 b] Ze závislosti E(z) zjištěné v úloze (b) určete vzdálenost z = zm , ve které je velikost intenzity maximální.
Agojendzadani 3. Na obr. 2 je nevodivá tyč délky d rovnoměrně nabita nábojem −Q. a) [0,2 b] Určete délkovou hustotu τ náboje tyče. b) [0,5 b] Určete velikost a směr elektrické intenzity v bodě P ve vzdálenosti a od konce tyče. Nakreslete obrázek a vektor intenzity vyznačte. c) [0,3 b] Kdyby byl bod P velmi daleko od tyče vzhledem k její délce d, chovala by se tyč jako bodový náboj. Ukažte, že se velikost intenzity v předchozí podúloze pro a d redukuje na vztah pro intenzitu pole bodového náboje.
Obr. 2. 4. Elektrický dipól se skládá z nábojů +2e a −2e, jejichž vzdálenost je d = 0, 78 nm. Nachází se v elektrickém poli o velikosti intenzity E = 3, 4 · 106 N/C. a) [0,1 b] Vypočítejte velikost elektrického dipólového momentu p tohoto dipólu. Nakreslete obrázek a směr vektoru p~ vyznačte. b) [0,3 b] Vypočítejte velikost momentu elektrostatických sil působícího na dipól, je-li dipólový moment orientován souhlasně rovnoběžně, c) [0,3 b] kolmo, ~ úhel 60◦ . d) [0,3 b] svírá-li dipólový moment p~ s vektorem intenzity E
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
1
5. Na obr. 3 dvě plastikové tyče ohnuté do tvaru půlkružnice tvoří kružnici o poloměru R ležící v rovině xy. Osa x prochází styčnými body půlkružnice a náboj na obou tyčích je rozložen rovnoměrně. Jedna tyč má kladný náboj +Q, druhá záporný náboj −Q. a) [0,2 b] Vypočítejte délkovou hustotu náboje τ na tyči s kladným nábojem. ~ v bodě P ve středu kružnice? Nakreslete obrázek b) [0,5 b] Jaká je velikost a směr vektoru intenzity E a vektor intenzity vyznačte. c) [0,3 b] Jaká by byla velikost intenzity E v bodě P ve středu kružnice, kdyby obě tyče měly stejný, homogenně rozložený kladný náboj +Q?
Obr. 3. 6. Elektron je uvolněn z klidu v homogenním elektrickém poli o velikosti intenzity E = 2, 0 · 104 N/C. Vliv gravitační síly zanedbejte. a) [0,5 b] Určete velikost a směr jeho zrychlení. Nakreslete obrázek a vektory intenzity elektrického pole a zrychlení vyznačte. b) [0,3 b] Vypočítejte velikost rychlosti v čase t1 = 1 ns po uvolnění. Do obrázku vyznačte směr vektoru rychlosti v tomto čase. c) [0,2 b] Změnila by se situace, kdyby byl ve stejném elektrickém poli z klidu uvolněn proton? Pokud ano, nakreslete nový obrázek a všechny vektory vyznačte.
7. Na obr. 4 je kruhový disk o poloměru R, v němž byl vyříznut otvor o poloměru r (r < R). Na disku je rovnoměrně rozložen elektrický náboj s konstantní plošnou hustotou σ. a) [0,2 b] b) [0,5 b] středu c) [0,1 b] d) [0,2 b]
Určete celkový náboj Q rozložený na disku s otvorem. Určete velikost intenzity E elektrického pole v bodě P , který se nachází ve vzdálenosti z od disku tak, jak ukazuje obrázek. ~ v bodě P vyznačte. Nakreslete obrázek a vektor elektrické intenzity E Jaká je velikost intenzity elektrického pole ve středu disku?
Obr. 4.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
2
8. Elektron pohybující se rychlostí v0 = 5, 00 · 108 cm/s vletí do homogenního elektrického pole o intenzitě velikosti E = 1, 00 · 103 N/C. Elektron se pohybuje ve směru vektoru intenzity. a) [0,6 b] Určete velikost síly, která působí na elektron. Nakreslete obrázek a vektory intenzity a síly vyznačte. b) [0,2 b] Za jak dlouho se elektron zastaví? c) [0,2 b] Jakou dráhu elektron během této doby urazí?
9. Elektron se nachází v homogenním elektrickém poli o velikosti intenzity E = 1, 40 · 106 N/C. Elektron je na počátku v klidu. Pro výpočty užijte newtonovskou mechaniku. a) b) c) d)
[0,3 [0,3 [0,2 [0,2
b] b] b] b]
Určete velikost zrychlení a elektronu. ~ a vektor zrychlení ~a elektronu nakreslete. Nakreslete obrázek a vektor elektrické intenzity E Za jak dlouho by dosáhl rychlosti rovné jedné desetině rychlosti světla? Jakou dráhu by za tuto dobu urazil?
10. Na obrázku 5 je polonekonečná nevodivá tyč rovnoměrně nabitá nábojem o délkové hustotě τ . a) [0,4 b] Určete x-ovou složku Ex elektrické intenzity v bodě P . b) [0,4 b] Určete y-ovou složku Ey elektrické intenzity v bodě P . c) [0,2 b] Určete velikost elektrické intenzity E v bodě P . Nakreslete obrázek a vektor elektrické intenzity ~ vyznačte. E
Obr. 5. 11. Elektrický kvadrupól (obrázek 6) je vytvořen dvěma elektrickými dipóly, jejichž dipólové momenty p~, −~p jsou stejně velké, opačně orientované a posunuté o d vůči sobě (d~ k p~). a) [1 b] Určete elektrickou intenzitu v bodě P na jeho ose daleko od jeho středu (z d).
Obr. 6.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
3
12. Na obr. 7 je elektrický dipól, který je tvořen dvěma náboji +Q a −Q vzdálených od sebe o d. ~ v bodě P ve a) [0,5 b] Zvolte vhodnou souřadnou soustavu a určete vektor elektrické intenzity E vzdálenosti r od středu spojnice nábojů dipólu (viz obr. 7). ~ v bodě P vyznačte. b) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vektor elektrické intenzity E ~ c) [0,3 b] Vyjádřete vektor elektrické intenzity E pro r d pomocí dipólového momentu p~.
Obr. 7. 13. V prostoru mezi dvěma opačně nabitými deskami (se stejnou velikostí plošné hustoty náboje) vyplněném vakuem je homogenní elektrické pole. Z povrchu záporně nabité desky se z klidu uvolní elektron a dopadne za dobu ∆t = 1, 5 · 10−8 s na protější desku, která je ve vzdálenosti d = 2, 0 cm. a) b) c) d)
[0,3 [0,2 [0,3 [0,2
b] b] b] b]
S jakou velikostí rychlosti v dopadne elektron na druhou desku? Jaká je velikost elektrické intenzity E mezi deskami? S jakou hustotou σ je náboj rozložen na kladné desce? ~ Nakreslete obrázek a vyznačte polaritu desek a vektor elektrické intenzity E.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
4
Příklady: 24. Gaussův zákon elektrostatiky 1. Na obrázku je řez dlouhou tenkostěnnou kovovou trubkou o poloměru R, která nese na povrchu náboj s plošnou hustotou σ. Vyjádřete velikost intenzity E jako funkci vzdálenosti r od osy trubky pro a) [0,4 b] r < R, b) [0,4 b] r ≥ R c) [0,2 b] Zakreslete obě závislosti do jednoho grafu a vyznačte na osách důležité hodnoty.
Obr. 1. 2. V plné nevodivé kouli o poloměru R je nerovnoměrně rozložen náboj s objemovou hustotou %(r) = %0 (r/R), kde %0 je konstanta a r je vzdálenost od středu koule. a) b) c) d)
[0,2 b] Určete celkový náboj Q, který je v kouli rozložen. [0,3 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti r od středu koule pro r ≥ R. [0,3 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti r od středu koule pro r < R. [0,2 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od středu koule. Určete maximální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r této hodnoty nabývá. Obojí vyznačte do grafu.
3. Na obrázku 2 je nevodivá kulová vrstva o vnitřním poloměru a, vnějším poloměru b s nerovnoměrnou objemovou hustotou náboje %(r) = A/r (uvnitř vrstvy), kde A je konstanta a r je vzdálenost od středu kulové vrstvy. Do středu kulové slupky je umístěn bodový náboj Q. a) [0,4 b] Jak velký náboj je v materiálu kulové vrstvy rozmístěn? b) [0,2 b] Určete velikost intenzity elektrického pole v dutině (tj. pro 0 < r < a) jako funkci r. c) [0,4 b] Jaká musí být hodnota konstanty A, aby velikost elektrické intenzity v materiálu vrstvy (tj. pro a ≤ r ≤ b) byla konstantní (tj. nezáležela na r)?
Obr. 2.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
1
4. Na obr. 3 je znázorněna část dvou velkých rovnoběžných nevodivých desek, z nichž každá nese na jedné stěně rovnoměrně rozložený náboj. Plošné hustoty nábojů jsou σ(+) = 6, 8 mC · m−2 pro kladně nabitou desku a σ(−) = −4, 3 mC · m−2 pro záporně nabitou desku. a) [0,3 b] vektor b) [0,3 b] c) [0,4 b]
~ vlevo od desek. Nakreslete obrázek a Určete velikost intenzity výsledného elektrického pole E výsledné intenzity vyznačte. Totéž určete pro výsledné elektrické pole vpravo od desek a mezi deskami.
Obr. 3. 5. Dva dlouhé nabité souosé válce mají poloměry r1 = 3 cm a r2 = 6 cm. Tloušťku stěn válců zanedbejte. Délková hustota kladného náboje na vnitřním válci je τ1 = +5 · 10−6 C/m, délková hustota záporného náboje na vnějším válci je τ2 = −7 · 10−6 C/m. a) b) c) d)
[0,2 b] Určete velikost elektrické intenzity E ve vzdálenosti r od osy válců, když r < r1 . [0,2 b] Určete velikost elektrické intenzity E ve vzdálenosti r od osy válců, když r1 ≤ r < r2 . [0,2 b] Určete velikost elektrické intenzity E ve vzdálenosti r od osy válců, když r ≥ r2 . [0,4 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od osy válců. Určete maximální a minimální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r těchto hodnot nabývá. Vše vyznačte do grafu.
6. V elektrickém poli je umístěna krychle o hraně a = 1, 40 m (obr. 4). Levý zadní dolní roh krychle splývá s počátkem souřadné soustavy. Vypočtěte tok elektrické intenzity pravou stěnou krychle, je-li intenzita vyjádřena v N/C: a) b) c) d)
[0,2 [0,2 [0,4 [0,2
b] b] b] b]
~ E(x, y, z) = 4~ı, ~ E(x, y, z) = −10~, ~ E(x, y, z) = 4~ı + 5y~ − 8y 2~k. Jaký je celkový tok elektrické intenzity povrchem krychle pro každé z těchto polí?
Obr. 4.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
2
7. V plné nevodivé kouli o poloměru R je rovnoměrně rozložen náboj s objemovou hustotou ρ. a) b) c) d)
[0,2 b] Určete celkový náboj Q, který je v kouli rozložen. [0,3 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti r od středu koule pro r < R. [0,3 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti r od středu koule pro r ≥ R. [0,2 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od středu koule. Určete maximální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r této hodnoty nabývá. Obojí vyznačte do grafu.
8. Ve výšce d1 = 350 m byla naměřena intenzita elektrického pole o velikosti E1 = 50 N/C, ve výšce d2 = 200 m pak E2 = 100 N/C. V obou případech směřovala elektrická intenzita svisle k Zemi. Uvažte krychli o hraně a = 150 m, jejíž spodní stěna leží ve výšce d2 . Zanedbejte zakřivení Země. a) [0,3 b] Určete tok elektrické intenzity ΦE,1 horní stěnou krychle. b) [0,3 b] Určete tok elektrické intenzity ΦE,2 dolní stěnou krychle. c) [0,4 b] Stanovte celkový náboj Q uzavřený v krychli.
9. Náboj je rovnoměrně rozložen v objemu nekonečně dlouhého nevodivého válce o poloměru R s konstantní objemovou hustotou náboje ρ. a) [0,4 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od osy válce pro r < R. b) [0,4 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od osy válce pro r ≥ R. c) [0,2 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od osy válce. Určete maximální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r této hodnoty nabývá. Obojí vyznačte do grafu.
~ = 4~i − 3(y 2 + 2)~j (N/C) je umístěna krychle (viz obrázek 5). 10. V elektrickém poli o intenzitě E Určete tok intenzity a) b) c) d) e)
[0,2 [0,2 [0,2 [0,2 [0,2
b] b] b] b] b]
horní podstavou, dolní podstavou, levou stěnou a zadní stěnou krychle. Jaký je celkový tok intenzity všemi stěnami krychle?
Obr. 5.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
3
11. Na obr. 6 je znázorněna nabitá kulová vrstva (vnitřní poloměr a = 10 cm, vnější poloměr b = 20 cm) s konstantní objemovou hustotou náboje ρ = 1, 0 · 10−6 C/m3 . a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q, který je v kulové vrstvě rozložen. b) [0,2 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od středu kulové vrstvy pro r < a. c) [0,2 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od středu kulové vrstvy pro a ≤ r < b. d) [0,2 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od středu kulové vrstvy pro r ≥ b. e) [0,2 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od středu kulové vrstvy. Určete maximální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r této hodnoty nabývá. Obojí vyznačte do grafu.
Obr. 6. 12. Tok elektrické intenzity každou stěnou hrací kostky (v jednotkách 103 Nm2 /C) má velikost danou počtem N ok na stěně (tj. má-li stěna např. dvě oka, tok elektrické intenzity touto stěnou je 2 · 103 Nm2 /C). Tok pro lichá čísla (tj. 1 , 3 a 5) je záporný, pro sudá čísla (tj. 2, 4, 6) je kladný. a) [0,5 b] Určete celkový tok elektrické intenzity celým povrchem hrací kostky. b) [0,5 b] Určete celkový náboj, který se uvnitř kostky nachází.
13. V nevodivé kouli je rovnoměrně rozložen náboj s objemovou hustotou ρ. Nechť ~r je polohový vektor obecného bodu P uvnitř koule vzhledem k jejímu středu. a) [0,5 b] Určete velikost intenzity E elektrického pole v bodě P . b) [0,5 b] Poté do koule vyvrtáme nesoustřednou kulovou dutinu, jak je znázorněno na obrázku 7. Určete velikost intenzity elektrického pole E1 v každém bodě dutiny. Je velikost intenzity v dutině konstantní?
Obr. 7.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
4
14. Kulově symetrické, ale nehomogenní rozložení nábojů v nevodivé kouli vytváří elektrické pole o velikosti intenzity E(r) = Kr4 , které směřuje radiálně od středu koule, přičemž r je vzdálenost od středu a K je konstanta. a) [0,5 b] Jaká je objemová hustota ρ nábojů? b) [0,5 b] Koule má poloměr R. Jaký úhrnný náboj Q je v kouli rozložen?
15. Rovinná vrstva tloušťky d je rovnoměrně nabitá s objemovou hustotou náboje ρ. Určete velikost elektrické intenzity E jako funkci x, tj. kolmé vzdálenosti měřené od střední roviny vrstvy, v bodech a) [0,5 b] uvnitř a b) [0,5 b] vně vrstvy.
16. Vodivá koule o poloměru R = 10 cm nese na svém povrchu neznámý náboj Q. Intenzita elektrostatického pole ve vzdálenosti d1 = 15 cm od středu koule má velikost E1 = 3, 0 · 103 N/C a směřuje ke středu koule. a) [0,5 b] Určete náboj Q na povrchu koule. b) [0,2 b] Určete plošnou hustotu σ náboje na povrchu koule. c) [0,3 b] Určete velikost elektrické intenzity E2 ve vzdálenosti d2 = 20 cm od středu koule.
17. Dvě tenké a rovnoběžné kovové desky tvaru čtverce o straně a = 8, 5 cm, leží ve vzdálenosti d = 1, 5 mm od sebe. Jedna deska nese náboj Q1 = −1, 2 · 10−16 , druhá Q2 = 1, 2 · 10−16 . a) [0,2 b] Určete plošné hustoty σ1 a σ2 nábojů na obou deskách (vliv konečných rozměrů desek zanedbejte). b) [0,3 b] Určete velikosti výsledné elektrické intenzity E mezi deskami a c) [0,3 b] vlevo a vpravo od desek. ~ v jednotlivých oblastech vyznačte. d) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vektor výsledné elektrické intenzity E
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
5
Příklady: 25. Elektrický potenciál 1. Na obrázku 1 je plochý prstenec o vnějším poloměru R a vnitřním poloměru r = 0, 2R, na němž je rozložen elektrický náboj s konstantní plošnou hustotou σ. Osa z je rovnoběžná s osou prstence, jak je naznačeno na obrázku. a) [0,2 b] Určete náboj Q, který se na prstenci nachází. b) [0,5 b] Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete potenciál v bodě P na ose prstence ve vzdálenosti z od jeho středu. c) [0,3 b] Pomocí potenciálu z předchozí úlohy určete velikost a směr z-ové složky vektoru elektrické ~ v bodě P . Nakreslete obrázek a vyznačte tuto složku. intenzity E
Obr. 1. 2. Částice o hmotnosti m s kladným elektrickým nábojem Q0 a s počáteční kinetickou energií Ek je vystřelena (z velké vzdálenosti) na střed velmi hmotného atomového jádra majícího elektrický náboj Q1 . Jádro považujte za nehybné. a) [0,5 b] Jak nejblíže ke středu jádra se částice přiblíží? b) [0,2 b] V jaké vzdálenosti od středu jádra bude velikosti zrychlení částice maximální? c) [0,3 b] Určete tuto maximální velikost zrychlení.
3. Potenciál ve středu rovnoměrně nabitého kruhového disku o poloměru R je ϕ0 . a) [0,5 b] Jak velký je celkový náboj Q na disku? b) [0,5 b] Jaký potenciál je na ose disku ve vzdálenosti z = 5R od středu disku?
4. Tyč z plastu, stočená do tvaru kružnice o poloměru R, nese kladný náboj +Q rovnoměrně rozložený na jedné čtvrtině obvodu a záporný náboj −6Q rovnoměrně rozložený na zbytku kružnice (obrázek 2). Zvolte ϕ’ = 0 v nekonečnu a vypočítejte hodnotu potenciálu a) [0,5 b] ve středu S kružnice, b) [0,5 b] v bodě P na ose symetrie kružnice kolmé k její rovině ve vzdálenosti z od jejího středu.
Obr. 2.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
1
5. Disk o poloměru R je nabit od svého středu r = 0 až do vzdálenosti r = R/2 s konstantní plošnou hustotou náboje σ1 a od r = R/2 až do r = R s konstantní hustotou σ2 . a) [0,2 b] Jaký je úhrnný náboj Q na disku? b) [0,5 b] Jaký je potenciál na ose disku ve vzdálenosti z od jeho středu, jestliže zvolíme ϕ = 0 v nekonečnu? c) [0,3 b] Z výsledku předchozí podúlohy (s využitím symetrie úlohy) určete intenzitu elektrického pole na ose disku ve vzdálenosti z od jeho středu. Nakreslete obrázek a vektor intenzity elektrického pole vyznačte.
6. Na obr. 3 je plastová tyč délky L, ležící v ose x, rovnoměrně nabitá kladným elektrickým nábojem Q. a) [0,2 b] Určete délkovou hustotu náboje τ na tyči. b) [0,5 b] Je-li ϕ = 0 v nekonečnu, vypočítejte potenciál v bodě P ležící na ose x ve vzdálenosti d od jejího levého konce. c) [0,3 b] Z výsledku předchozí podúlohy určete velikost intenzity elektrického pole v bodě P . Nakreslete obrázek a vektor intenzity vyznačte.
Obr. 3. 7. Obr. 4 znázorňuje nevodivou tyč délky L, která je rovnoměrně nabita kladným nábojem s délkovou hustotou τ . a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q na tyči. b) [0,5 b] Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete potenciál v bodě P . ~ elektrického pole c) [0,3 b] Z výsledku z předchozí úlohy a s využitím symetrie úlohy určete intenzitu E ~ v bodě P . V obrázku vektor intenzity E vyznačte.
Obr. 4. 8. Nevodivá tyč délky L na obr. 5 je nabita s proměnnou délkovou hustotou náboje τ (x) = cx, kde c je kladná konstanta. a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q na tyči. b) [0,5 b] Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete potenciál v bodě P . c) [0,3 b] Z výsledku z předchozí podúlohy určete velikost a směr y-ové složky intenzity elektrického pole v bodě P . Nakreslete obrázek a vektor y-ové složky intenzity vyznačte.
Obr. 5. 16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
2
9. Náboj Q je rovnoměrně rozložen v celém objemu nevodivé koule o poloměru R. a) [0,5 b] Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu. Určete potenciál ϕ(r) ve vzdálenosti r < R od středu koule. b) [0,5 b] Jak velké je napětí U mezi povrchem a středem koule?
10. Tlustá kulová slupka s vnitřním poloměrem r1 a vnějším r2 je nabita nábojem Q rovnoměrně rozloženým v celém jejím objemu s hustotou ρ. Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete elektrický potenciál ϕ(r) jako funkci vzdálenosti r od středu kulové slupky. Uvažujte samostatně oblasti: a) [0,3 b] r > r2 , b) [0,4 b] r2 > r > r1 a c) [0,3 b] r < r1 .
11. Disk z nevodivého plastu byl nabit s konstantní plošnou hustotou σ. Poté byly tři kvadranty disku odstraněny. Zbývající čtvrtina disku je zobrazena na obr. 6. Osa z je rovnoběžná s osou disku, jak je naznačeno na obrázku. a) [0,2 b] Určete náboj Q, který se nachází na zbývající čtvrtině disku. b) [0,5 b] Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete potenciál v bodě P , který leží na ose disku ve vzdálenosti z od jeho středu. c) [0,3 b] Pomocí výsledku z předchozí podúlohy určete z-ovou složku intenzity elektrického pole v bodě P.
Obr. 6. 12. a) [1 b] Jaký je potenciál v bodě P uprostřed čtverce, v jehož rozích se nacházejí bodové elektrické náboje (obr. 7) Délka strany čtverce je d = 1,3 m a náboje mají velikosti Q1 = +12 nC, Q2 = -24 nC, Q3 = +31 nC, Q4 = +17 nC
Obr. 7.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
3
Příklady: 26. Kapacita 1. Baterie B na obr. 1 poskytuje napětí 12 V. Kapacity kondenzátorů mají hodnoty C1 = 1, 0 µF, C2 = 2, 0 µF, C3 = 3, 0 µF a C4 = 4, 0 µF. a) [0,5 b] Určete náboje Q1 , Q2 , Q3 a Q4 na kondenzátorech v případě, že je zapnut pouze spínač S1 . b) [0,5 b] Určete náboje Q1 , Q2 , Q3 a Q4 na kondenzátorech v případě, že jsou sepnuty oba spínače S1 i S2 .
Obr. 1. 2. Na horní elektrodu deskového kondenzátoru s elektrodami o obsahu S byl přiveden náboj +Q a na spodní elektrodu náboj −Q. Poté byla měděná deska tloušťky b vsunuta doprostřed mezi elektrody tak, jak ukazuje obr. 2. a) b) c) d)
[0,2 b] Jaká je kapacita C0 kondenzátoru před vsunutím měděné vodivé desky? [0,2 b] Jaká je kapacita C1 kondenzátoru po vsunutí měděné vodivé desky? [0,2 b] Jaká je energie kondenzátoru Eel,0 před vsunutím desky? [0,2 b] Jaká je energie kondenzátoru Eel,1 po vsunutí desky, jestliže náboj na elektrodách zůstane nezměněn? e) [0,2 b] Jak velká práce W je vykonána při vsunutí desky?
Obr. 2. 3. Deskový kondenzátor má elektrody o obsahu S, které se nacházejí ve vzdálenosti d od sebe. Na elektrodách je napětí U0 . Mezi elektrody byla vsunuta deska z dielektrika tloušťky b (b < d) o relativní permitivitě εr . Pomocí zadaných veličin určete, a) b) c) d) e) f)
[0,1 b] [0,1 b] [0,2 b] [0,2 b] [0,2 b] [0,2 b]
jaká byla kapacita C0 kondenzátoru před vsunutím dielektrika, jak velký je volný náboj Q na kondenzátoru, jaká je velikost intenzity elektrického pole E0 v mezeře mezi elektrodami a dielektrickou deskou, jaká je velikost intenzity elektrického pole E1 v dielektrické desce, jaké je napětí U1 mezi elektrodami po vsunutí dielektrické desky a jaká je kapacita C1 kondenzátoru se vsunutým dielektrikem.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
1
4. Kapacity kondenzátorů v bloku na obrázku 3 jsou C1 =10,0 µF, C2 =5,0 µF, C3 =4,0 µF, napětí U = 120 V. a) b) c) d)
[0,3 b] Určete výslednou kapacitu bloku kondenzátorů. [0,3 b] Určete náboj na kondenzátoru C1 . [0,1 b] Určete napětí na kondenzátoru C2 . [0,3 b] V kondenzátoru C2 došlo k elektrickému průrazu a kondenzátor se stal pro elektrický proud průchodným. Jaké změny napětí a náboje následovaly na svorkách kondenzátoru C1 ?
Obr. 3. 5. Kapacity kondenzátorů v bloku na obrázku 4 jsou C1 =15,0 µF, C2 =2,0 µF, C3 =10,0 µF, napětí U = 220 V. a) b) c) d)
[0,3 b] Určete výslednou kapacitu bloku kondenzátorů. [0,3 b] Určete náboj na kondenzátoru C2 . [0,1 b] Určete napětí na kondenzátoru C3 . [0,3 b] V kondenzátoru C3 došlo k elektrickému průrazu a kondenzátor se stal pro elektrický proud průchodným. Jaké změny napětí a náboje následovaly na svorkách kondenzátoru C1 ?
Obr. 4. 6. Deskový kondenzátor má elektrody kruhového tvaru o poloměru R = 8, 2 cm vzdálené od sebe d = 1, 3 mm. Prostor mezi elektrodami je vyplněn dielektrikem mající relativní permitivitu εr = 4, 8. a) [0,5 b] Vypočítejte jeho kapacitu. b) [0,2 b] Jak velký náboj Q se objeví na elektrodách, když na kondenzátor vložíme napětí U0 = 120 V? c) [0,3 b] Použijte náboj vypočítaný v předchozí podúloze a určete napětí na kondenzátoru U1 , když odstraníme dielektrikum mezi deskami (počítejte s relativní permitivitou vzduchu rovnou 1).
7. Elektrody kulového kondenzátoru mají poloměry r1 a r2 (r2 > r1 ). Prostor mezi elektrodami je vyplněn vzduchem s relativní permitivitou εr ∼ = 1. a) [0,3 b] Na vnitřní elektrodu přivedeme náboj Q, na vnější elektrodu přivedeme náboj −Q. Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od středu elektrod, pro r1 ≤ r < r2 . b) [0,3 b] Určete napětí U mezi elektrodami. c) [0,2 b] Vypočítejte kapacitu kulového kondenzátoru. d) [0,2 b] Jaká by byla kapacita kulového kondenzátoru, kdyby se poloměr r2 blížil nekonečnu?
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
2
8. Deskový kondenzátor s elektrodami o obsahu S a vzdáleností d mezi elektrodami je vyplněn dvěma dielektriky s relativními permitivitami εr,1 a εr,2 . Obě dielektrika mají stejnou tloušťku d/2 (viz obr. 5). Na jednu elektrodu byl přiveden náboj +Q a na druhou −Q. a) [0,4 b] Určete velikosti elektrických intenzit E1 v prvním dielektriku a E2 v druhém dielektriku. b) [0,4 b] Určete napětí U mezi elektrodami. c) [0,2 b] Určete kapacitu C tohoto deskového kondenzátoru.
Obr. 5. 9. Deskový kondenzátor s elektrodami o obsahu S je vyplněn dvěma dielektriky s relativními permitivitami εr,1 a εr,2 tak, jak je znázorněno na obrázku 6. Na jednu z elektrod byl přiveden náboj +Q, na druhou −Q. Určete a) [0,4 b] jeho kapacitu C, b) [0,3 b] hustoty náboje σ1 a σ2 na levé, resp. pravé polovině elektrody a c) [0,3 b] napětí U mezi elektrodami.
Obr. 6. 10. Tři kondenzátory jsou zapojeny podle obrázku 7. Jejich kapacity mají hodnoty C1 = 10, 0 mF, C2 = 5, 00 mF a C3 = 4, 00 mF. Přiložené napětí je U = 100 V. a) [0,2 b] Vypočítejte výslednou kapacitu C bloku všech tří kondenzátorů. b) [0,4 b] Určete pro každý z kondenzátorů jejich náboje Q1 , Q2 a Q3 c) [0,4 b] a jejich napětí U1 , U2 a U3 .
Obr. 7. 11. Na mýdlovou bublinu poloměru R0 je pomalu předáván náboj Q. V důsledku vzájemného odpuzování povrchových nábojů se poloměr bubliny mírně zvětší na velikost R. Následkem expanze se tlak vzduchu uvnitř bubliny sníží na velikost p = p0 V0 /V , kde p0 je atmosférický tlak, V0 je počáteční objem a V je koncový objem. a) [1 b] Dokažte, že mezi uvedenými veličinami platí vztah Q2 = 32π 2 ε0 p0 R(R3 − R03 ).
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
3
12. Deskový vzduchový kondenzátor o ploše elektrod S = 40 cm2 a vzdálenosti elektrod d = 1, 0 mm je nabit na napětí U = 600 V. Určete a) b) c) d) e)
[0,2 [0,2 [0,2 [0,2 [0,2
b] b] b] b] b]
jeho kapacitu C, velikost náboje Q na každé z elektrod, energii Eel elektrického pole vzniklého mezi jeho elektrodami, velikost intenzity elektrického pole E mezi elektrodami a hustotu energie wel elektrického pole mezi elektrodami.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
4
Příklady: 27. Proud a odpor 1. Velikost hustoty proudu v prvním válcovém vodiči o poloměru R se mění podle vztahu J1 = J0 (1 − r/R), kde r je vzdálenost od osy válce. Hustota proudu tedy dosahuje maximální hodnoty J0 v ose vodiče (r = 0) a lineárně klesá k nule na povrchu vodiče (r = R). Velikost hustoty proudu ve druhém válcovém vodiči o stejném poloměru R se mění podle vztahu J2 = J0 r/R, kde r je opět vzdálenost od osy válce. Hustota proudu tedy v tomto případě dosahuje maximální hodnoty J0 na povrchu vodiče (r = R) a lineárně klesá k nule směrem k ose vodiče (r = 0). a) [0,4 b] Vypočítejte celkový proud I1 tekoucí prvním vodičem. b) [0,4 b] Vypočítejte celkový proud I2 tekoucí druhým vodičem. c) [0,2 b] Zdůvodněte, proč se oba proudy I1 a I2 nerovnají.
2. Na obrázku 1 je nakreslen elektrický obvod se spirálou umístěnou uvnitř tepelně izolovaného válce s ideálním plynem. Válec je uzavřen pístem, který se pohybuje bez tření. Spirálou prochází proud I = 240 mA, její odpor je R = 550 Ω, hmotnost pístu je m = 12 kg. a) [1 b] Jak velkou rychlostí v se musí píst zvedat, aby se teplota T plynu ve válci neměnila?
Obr. 1. 3. Ke koncům měděného drátu o průměru d = 1 mm a délce l = 33, 0 m je přiloženo napětí U = 1, 20 V. Rezistivita mědi je ρCu = 1, 69 · 10−8 Ωm. Vypočtěte a) b) c) d)
[0,3 [0,2 [0,3 [0,2
b] b] b] b]
proud I tekoucí drátem, velikost hustoty proudu J v drátu, velikost intenzity E elektrického pole v drátu, výkon P , s jakým se v drátu vyvíjí teplo.
4. Vzdálenost mezi přední a zadní stěnou kvádru je a = 15, 8 cm, obsah každé z nich je S = 3, 50 cm2 a odpor (měřený mezi nimi) je R = 935 Ω. Koncentrace vodivostních elektronů v materiálu, z něhož je kvádr vyroben, je n = 5, 33 · 1022 m−3 . Mezi přední a zadní stěnu kvádru je přiloženo napětí U = 35, 8 V. a) b) c) d) e)
[0,2 [0,2 [0,2 [0,2 [0,2
b] b] b] b] b]
Jaký proud I prochází kvádrem? Jaká je velikost hustoty proudu J (předpokládáme-li, že je konstantní v celém průřezu)? Jaká je velikost driftové rychlosti vd vodivostních elektronů? Jaká je velikost intenzity E elektrického pole v kvádru? ~ ~vd a E. ~ Nakreslete obrázek a vyznačte směr proudu I a vektory J,
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
1
5. Rezistor má tvar komolého kužele (viz obrázek 2). Poloměry jeho kruhových podstav jsou a, b a jeho výška je L. Jestliže se kužel zužuje jen málo, můžeme předpokládat, že zvolíme-li libovolný průřez kolmý k ose, bude v něm hustota proudu konstantní (a ovšem jiná než v jiném průřezu). Materiál, z něhož je rezistor vyroben, má rezistivitu ρ. a) [0,6 b] Vypočtěte odpor R rezistoru. b) [0,4 b] Určete odpor R0 rezistoru v případě, že a = b, tj. rezistor má tvar válce.
Obr. 2.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
2
Příklady: 28. Obvody 1. V obvodu na obrázku je dáno E1 = 6, 0 V, E2 = 5, 0 V, E3 = 4, 0 V, R1 = 100 Ω, R2 = 50 Ω. Obě baterie jsou ideální. Vypočtěte a) [0,3 b] napětí mezi body a a b a b) [0,7 b] proudy I1 a I2 procházející oběma rezistory.
Obr. 1. 2. V obvodu na obrázku je dáno E1 = 3, 00 V, E2 = 1, 00 V, R1 = 5, 00 Ω, R2 = 2, 00 Ω, R3 = 4, 00 Ω. Obě baterie jsou ideální. a) [0,4 b] Určete proudy I1 , I2 a I3 tekoucí rezistory R1 , R2 a R3 . b) [0,3 b] S jakým výkonem je elektrická energie disipována v rezistorech R1 , R2 a R3 ? c) [0,3 b] Jaký je výkon baterií 1 a 2?
Obr. 2. 3. Uvažujme dva stejné kondenzátory o kapacitách C1 = C2 = C. Jeden kondenzátor je nabit nábojem Q0 . Druhý nenabitý kondenzátor je pak k němu připojen vodiči o odporu R. a) b) c) d)
[0,2 b] [0,2 b] [0,4 b] [0,2 b]
Vypočtěte celkovou energii obou kondenzátorů před jejich spojením. Určete náboje Q1 a Q2 na obou kondenzátorech po jejich spojení a dosažení ustáleného stavu. Vypočtěte celkovou energii kondenzátorů po jejich spojení a dosažení ustáleného stavu. Případný rozdíl energií před a po spojení kondenzátorů vysvětlete.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
1
4. Je dán obvod na obrázku. Jaký odpor musí mít rezistor R, aby ideální baterie dodávala do obvodu energii s výkonem a) b) c) d)
[0,2 [0,2 [0,4 [0,2
b] b] b] b]
60,0 W, maximálně možným, minimálně možným? Vypočtěte výkon v případech (b) a (c).
Obr. 3. 5. V obvodu na obr. 4 je kondenzátor o kapacitě C = 10 µF, dvě ideální baterie o elektromotorických napětích E1 = 1, 0 V a E2 = 3, 0 V, dva rezistory o odporech R1 = 0, 20 Ω a R2 = 0, 40 Ω a spínač S. Spínač byl nejprve dlouhou dobu rozpojen. a) [0,2 b] Určete náboj na kondenzátoru. b) [0,3 b] Poté, co byl spínač S velmi dlouho rozpojen, byl na dlouhou dobu sepnut. Určete proud (velikost a směr) protékající rezistory R1 a R2 . V obrázku vyznačte směry proudů. c) [0,3 b] Jak se změnil náboj na kondenzátoru? d) [0,2 b] Poté, co byl spínač S na dlouhou dobu sepnut, byl opět rozpojen. Určete proud (velikost a směr), který poteče rezistorem R2 ihned po rozpojení spínače S.
Obr. 4.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
2
6. Máte k dispozici dvě stejné baterie o elektromotorickém napětí E = 12 V a vnitřním odporu r = 25 mΩ. Baterie mohou být spojeny paralelně – obrázek (a), nebo sériově – obrázek (b) a připojeny k rezistoru o odporu R = 10 Ω. Určete a) b) c) d)
[0,2 [0,2 [0,3 [0,3
b] b] b] b]
proud tekoucí rezistorem R pro zapojení (a) a pro zapojení (b) a rychlost disipace energie rezistorem R pro zapojení (a) a pro zapojení (b).
Obr. 5. 7. Na obr. 6 je obvod, jehož prvky mají hodnoty E1 = 3, 0 V, E2 = 6, 0 V, R1 = 2, 0 Ω, R2 = 4, 0 Ω. Tři baterie v obvodu jsou ideální zdroje. a) [0,3 b] Pomocí 1. Kirchhoffova zákona sestavte rovnici pro proudy I1 , I2 a I3 (uvažujte směry proudů zvolené na obrázku). b) [0,3 b] Pomocí 2. Kirchhoffova zákona sestavte další dvě rovnice takové, aby dohromady tvořily systém tří lineárních rovnic tří neznámých I1 , I2 a I3 . c) [0,4 b] Určete velikosti a směry proudů v každé ze tří větví obvodu. Nakreslete obrázek a směry proudů vyznačte.
Obr. 6.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
3
8. Na obrázku je obvod, jehož prvky mají hodnoty E1 = 3, 0 V, E2 = 6, 0 V, R1 = 2, 0 Ω, R2 = 4, 0 Ω. Tři baterie v obvodu jsou ideální zdroje. a) [0,3 b] Pomocí 1. Kirchhoffova zákona sestavte rovnici pro proudy I1 , I2 a I3 (uvažujte směry proudů zvolené na obrázku.) b) [0,3 b] Pomocí 2. Kirchhoffova zákona sestavte další dvě rovnice takové, aby dohromady tvořily systém tří lineárních rovnic tří neznámých I1 , I2 a I3 . c) [0,4 b] Určete velikosti a směry proudů v každé ze tří větví obvodu. Nakreslete obrázek a směry proudů vyznačte.
Obr. 7. 9. Na obrázku je obvod, jehož prvky mají hodnoty E1 = 3, 0 V, E2 = 6, 0 V, R1 = 2, 0 Ω, R2 = 4, 0 Ω. Tři baterie v obvodu jsou ideální zdroje. a) [0,3 b] Pomocí 1. Kirchhoffova zákona sestavte rovnici pro proudy I1 , I2 a I3 (uvažujte směry proudů zvolené na obrázku.) b) [0,3 b] Pomocí 2. Kirchhoffova zákona sestavte další dvě rovnice takové, aby dohromady tvořily systém tří lineárních rovnic tří neznámých I1 , I2 a I3 . c) [0,4 b] Určete velikosti a směry proudů v každé ze tří větví obvodu. Nakreslete obrázek a směry proudů vyznačte.
Obr. 8. 10. Kondenzátor o kapacitě C se vybíjí přes rezistor o odporu R. a) [0,3 b] Vyjádřete pomocí časové konstanty, za jak dlouho klesne náboj kondenzátoru na polovinu své počáteční hodnoty. b) [0,5 b] Za jak dlouho klesne elektrická potenciální energie kondenzátoru na polovinu své počáteční hodnoty? c) [0,2 b] S jakým výkonem se v rezistoru vyvíjí teplo během vybíjení?
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
4
11. Na obr. 9 je obvod s pěti rezistory připojenými k ideální baterii o elektromotorickém napětí E = 12, 0 V. a) [0,3 b] Určete ekvivaletní odpor R systému rezistorů připrojených k baterii. b) [0,3 b] Určete proud I tekoucí baterií. c) [0,4 b] Jaké napětí je na rezistoru o odporu 5, 0 Ω?
Obr. 9. 12. Na obrázku je rezistorová síť připojená k ideální baterii. Údaje na jednotlivých prvcích jsou: R1 = 100 Ω, R2 = R3 = 50 Ω, R4 = 75 Ω, E = 6, 0 V. a) [0,4 b] Určete ekvivaletní odpor R systému rezistorů připrojených k baterii. b) [0,4 b] Jaké proudy procházejí jednotlivými rezistory? c) [0,2 b] Jaký výkon dodává obvodu baterie?
Obr. 10. 13. V sériovém RC obvodu je E = 12, 0 V, R = 1, 40 MΩ, C = 1, 80 mF. a) [0,2 b] Vypočtěte časovou konstantu τc . b) [0,4 b] Určete maximální náboj Qmax , který kondenzátor získá během nabíjení. c) [0,4 b] Za jak dlouho se kondenzátor nabije nábojem Q = 16 mC?
14. V okamžiku t = 0 je sepnut spínač a kondenzátor o počátečním napětí U0 = 100 V se začne vybíjet přes rezistor o odporu R = 0, 1 Ω. V okamžiku t1 = 10, 0 s je napětí na kondenzátoru U1 = 1, 00 V. a) [0,2 b] Vypočtěte časovou konstantu τc . b) [0,4 b] Jaké bude napětí U2 na kondenzátoru v čase t2 = 17, 0 s? c) [0,4 b] Jaký bude proud I2 tekoucí obvodem v čase t2 = 17, 0 s?
15. Kondenzátor o kapacitě C = 25 µF s počátečním nábojem Q0 se vybíjí přes rezistor o odporu R = 80 kΩ. a) [0,2 b] Vypočtěte časovou konstantu τc . b) [0,4 b] Za jak dlouho kondenzátor ztratí třetinu svého náboje a c) [0,4 b] dvě třetiny svého náboje?
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
5
16. V obvodu na obrázku 11 je E = 1, 2 kV, C = 6, 5 mF, R1 = R2 = R3 = 0, 73 MΩ. Kondenzátor C je bez náboje, v okamžiku t = 0 je sepnut spínač S. a) b) c) d)
[0,3 [0,3 [0,2 [0,2
b] b] b] b]
Vypočtěte hodnotu napětí U2 na rezistoru R2 pro t = 0 a pro t → ∞. Vypočtěte proudy I1 , I2 a I3 procházející každým z rezistorů pro t = 0 a pro t → ∞.
Obr. 11. 17. Dva rezistory R1 a R2 mohou být připojeny sériově, nebo paralelně k ideální baterii o elektromotorickém napětí E. a) [0,3 b] Určete celkový ztrátový výkon Pp při paralelním zapojení těchto rezistorů a b) [0,3 b] celkový ztrátový výkon Ps při sériovém zapojení těchto rezistorů. c) [0,4 b] Je dán odpor R1 = 100 Ω. Jaký má být odpor R2 , aby ztrátový výkon Pp při jejich paralelním zapojení byl pětinásobkem ztrátového výkonu Ps při jejich sériovém zapojení?
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
6
Příklady: 29. Magnetické pole 1. Na obrázku je obdélníková cívka skládající se z N závitů drátu. Strany cívky mají délku a a b a protéká jí elektrický proud I naznačeným směrem. Osa, kolem níž se může cívka otáčet, má směr její ~ svírá delší strany a je totožná s osou y. Magnetické pole má velikost indukce B a směr vektoru B ◦ úhel 30 s rovinou xy, v níž cívka leží. a) [0,5 b] Určete velikost a směr magnetického dipólového momentu µ ~ cívky. Nakreslete obrázek a vektor µ ~ vyznačte. ~ působícího na cívku vzhledem k její ose otáčení. b) [0,5 b] Určete velikost a směr silového momentu M ~ Do stejného obrázku vyznačte vektor M .
Obr. 1. 2. Kovový vodič má hmotnost m a klouže bez tření po dvou vodorovných kolejnicích s rozchodem d, jak je ukázáno na obrázku. Celá soustava se nachází ve svislém magnetickém poli o indukci B. Stejnosměrný elektrický proud I, dodávaný generátorem G, protéká první kolejnicí, vodičem a druhou kolejnicí, kterou se vrací zpět. a) [0,4 b] Určete velikost magnetické síly, kterou působí magnetické pole na kovový vodič. b) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte směr pohybu vodiče. c) [0,4 b] Určete velikost jeho rychlosti jako funkci času za předpokladu, že v čase t = 0 byl v klidu.
Obr. 2.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
1
3. Na obr. 3 je schematicky znázorněn princip hmotnostního spektrometru, který slouží k měření hmotností iontů: iont o hmotnosti m (která má být změřena) s nábojem Q vzniká s nulovou počáteční rychlostí ve zdroji Z a poté je urychlen elektrickým polem vytvořeným napětím U . Iont opustí zdroj ~ Z a vlétá štěrbinou do separační komory, ve které na něj působí homogenní magnetické pole B, ~ kolmé k jeho rychlosti (B je kolmé k rovině obrázku a směřuje k nám). Magnetické pole způsobí, že se iont bude pohybovat po půlkružnici, dopadne na fotografickou desku ve vzdálenosti x od štěrbiny a exponuje ji tam. Pomocí zadaných veličin určete, a) [0,4 b] s jakou rychlostí vlétne iont do magnetického pole, b) [0,4 b] jaká je velikost síly, kterou působí magnetické pole na iont a c) [0,2 b] jaká je hmotnost iontu.
Obr. 3. 4. Částice s nábojem Q se pohybuje po kružnici poloměru r rychlostí velikosti v. Považujte její kruhovou dráhu za proudovou smyčku. a) [0,2 b] Jaký proud I představuje tato částice pohybující se po kružnici? b) [0,4 b] Určete velikost magnetického dipólového momentu µ této myšlené proudové smyčky. c) [0,4 b] Určete velikost momentu sil, kterým působí na tuto smyčku s magnetickým dipólovým momentem µ ~ homogenní magnetické pole s indukcí velikosti B svírající s normálou smyčky úhel ϕ = 90◦ .
5. Elektron má kinetickou energii Ek = 1, 20 keV a pohybuje se po kružnici v rovině kolmé k vektoru ~ Poloměr této kružnice je r = 25, 0 cm. Určete: magnetické indukce B. a) b) c) d)
[0,2 [0,4 [0,2 [0,2
b] b] b] b]
velikost rychlosti v elektronu, velikost magnetické indukce B pole, frekvenci f pohybu a periodu T pohybu.
6. Elektron je urychlován z klidu napětím U = 350 V. Poté vletí do homogenního magnetického pole o indukci B = 300 mT kolmo k vektoru magnetické indukce. Vypočtěte: a) [0,3 b] velikost rychlosti v elektronu v magnetickém poli, b) [0,3 b] velikost magnetické síly FB , která působí na elektron v magnetickém poli, a c) [0,4 b] poloměr r jeho dráhy v magnetickém poli.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
2
7. Vodičem dlouhým l = 50 cm a rovnoběžným s osou x protéká proud I = 0, 50 A v kladném směru ~ = (0, 003~j + 0, 010~k) T. osy x. Vodič se nachází v magnetickém poli o indukci B a) [0,5 b] Určete velikost Ampérovy síly FB působící na vodič. b) [0,5 b] Nakreslete obrázek a osy, vodič i vektor Ampérovy síly vyznačte.
8. Kovový vodič má hmotnost m = 0, 1 kg a klouže bez tření po dvou vodorovných kolejnicích s rozchodem d = 50 cm, jak je ukázáno na obr. 4. Celá soustava se nachází ve svislém magnetickém ~ o velikosti B = 10 mT. Stejnosměrný elektrický proud I, dodávaný generátorem G, poli o indukci B protéká první kolejnicí, vodičem a druhou kolejnicí, kterou se vrací zpět. Závislost velikosti rychlosti tyče na čase je dána funkcí v(t) = 0, 125 t. a) [0,3 b] Určete velikost výsledné síly F působící na vodič. b) [0,5 b] Určete velikost proudu I tekoucí vodičem. c) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vektor rychlosti ~v vodiče vyznačte.
Obr. 4. 9. Měděný proužek široký d = 150 mm, mající tloušťku t = 10 mm se nachází v homogenním ~ jejíž velikost je B = 1, 5 T; B ~ je kolmé k ploše proužku. Jestliže magnetickém poli o indukci B, proužkem protéká elektrický proud I = 10, 3 A, naměříme na jeho šířce Hallovo napětí UH = 1, 1 · 10−7 V. Určete a) b) c) d)
[0,2 [0,2 [0,3 [0,3
b] b] b] b]
velikost hustoty proudu J v proužku, velikost intenzity elektrického pole EH napříč proužku, driftovou rychlost vd elektronů procházejících proužkem a počet n elektronů v objemové jednotce.
10. Při experimentu s Hallovým jevem protéká vodivým proužkem v podélném směru elektrický proud I = 3, 0 A. Proužek je dlouhý l = 4, 0 cm, široký d = 1, 0 cm a tlustý t = 10 mm. Magnetické pole o indukci B = 1, 5 T je kolmé k ploše proužku (ve směru tloušťky) a na jeho šířce bylo naměřeno Hallovo napětí UH = 10 mV. Z uvedených údajů určete a) [0,4 b] driftovou rychlost vd nosičů náboje a b) [0,4 b] počet nosičů n náboje v objemové jednotce vodiče. c) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte směr proudu I tekoucího proužkem, vektor magnetické indukce ~ a polaritu Hallova napětí UH . Nosiče náboje jsou elektrony. B
11. Proudovou smyčkou, tvořenou jedním závitem, protéká proud I = 4, 00 A. Smyčka má tvar pravoúhlého trojúhelníku se stranami a = 50, 0 cm, b = 120 cm a c = 130 cm. Smyčka se nachází v homogenním magnetickém poli o indukci velikosti B = 75, 0 mT a směru rovnoběžném se směrem elektrického proudu tekoucího nejdelší stranou (přeponou) smyčky. a) [0,5 b] Určete velikosti Ampérových sil Fa , Fb a Fc působících na každou ze tří stran smyčky. b) [0,5 b] Jaká je celková síla F~ působící na smyčku?
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
3
12. Obrázek 5 zobrazuje dřevěný válec o hmotnosti m = 0, 250 kg a délce L = 0, 100 m, kolem něhož je v podélném směru hustě navinuto N = 10 závitů vodiče. a) [1 b] Jaký minimální proud I, protékající cívkou, zabrání válci ve valivém pohybu po nakloněné rovině, jestliže se válec s cívkou nachází v magnetickém poli o indukci B = 0, 500 T, které je orientováno svisle vzhůru? Rovina závitů cívky je rovnoběžná s nakloněnou rovinou, úhel nakloněné roviny je θ.
Obr. 5. 13. Elektrické pole o velikosti intenzity E = 1, 50 kV/m a magnetické pole o velikosti indukce B = 0, 400 T působí současně na pohybující se elektron, přičemž výslednice těchto dvou sil je rovna nulovému vektoru. a) [0,5 b] Určete minimální velikost rychlosti vmin elektronu. ~ B ~ a ~vmin vyznačte. b) [0,5 b] Nakreslete obrázek a vektory E,
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
4
Příklady: 30. Magnetické pole elektrického proudu 1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. a) [1 b] Jaký musí být proud (velikost a směr) ve vodiči 2, aby výsledné magnetické pole v bodě P bylo nulové?
Obr. 1. 2. Na obrázku 2 protéká dlouhým přímým vodicem proud 30 A a obdélníkovou smyčkou proud 20 A. Dosaďte hodnoty a = 1,0 cm, b = 8,0 cm a L = 30 cm. a) [1 b] Vypočtěte výslednou sílu působící na smyčku.
Obr. 2. 3. Čtvercovou smyčkou s délkou strany a protéká proud I. a) [0,6 b] Určete velikost magnetické indukce B1 , kterou vytváří proud tekoucí jednou z jejích stran, ve středu smyčky. b) [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B, kterou vytváří proud tekoucí celou smyčkou, ve středu smyčky. ~ ve středu smyčky vyznačte. c) [0,2 b] Nakreslete obrázek a směr proudu a vektoru magnetické indukce B
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
1
4. Na obrázku 3 je průřez dlouhým válcovým vodičem o poloměru a, kterým protéká homogenně rozložený proud I směrem k nám. Dosaďte hodnoty a = 2, 0 cm a I = 100 A. ~ pro r ≥ a. V obrázku vektor B ~ vyznačte. a) [0,4 b] Určete magnetickou indukci B ~ ~ b) [0,4 b] Určete magnetickou indukci B pro r < a. V obrázku vektor B vyznačte. c) [0,2 b] Nakreslete závislost B(r) pro 0 < r < 6, 0 cm.
Obr. 3. 5. Na obr. 4 je průřez dlouhým přímým vodičem válcového tvaru o poloměru a s válcovou dutinou o poloměru b. Osy válce a dutiny jsou rovnoběžné a jejich vzdálenost je d. Proud I je ve vodiči rozložen homogenně v celém vyznačeném průřezu. a) [0,3 b] Určete velikost magnetické indukce B ve středu dutiny. b) [0,3 b] Určete velikost magnetické indukce B ve středu dutiny, jestliže b = 0 nebo d = 0. c) [0,4 b] Dokažte, že velikost magnetické indukce v dutině je konstantní.
Obr. 4. ~ = (3, 0~i + 8, 0(x2 /d2 )~j) mT, kde 6. Magnetická indukce v určité oblasti prostoru je dána vztahem B d je konstanta s rozměrem délky a x i d jsou vyjádřeny v metrech. Víme, že toto pole je způsobeno elektrickým proudem. a) [0,3 b] Vypočítejte integrál
H
~ · d~s po lomené Ampérově křivce c vedoucí po úsečkách z bodu (0, 0, 0) B
c
přes (d, 0, 0), (d, d, 0) a (0, d, 0) zpět do (0, 0, 0). ~ a pomocí Ampérova zákona vypočtěte b) [0,5 b] Dosaďte hodnotu d = 0, 50 m do výrazu pro indukci B velikost elektrického proudu I tekoucího ve směru kolmém ke čtverci o délce strany a = 0, 5 m. Čtverec leží v prvním kvadrantu roviny xy a má jeden z vrcholů v počátku soustavy souřadnic. c) [0,2 b] Určete, zda-li je tento proud ve směru jednotkového vektoru +~k, nebo −~k.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
2
7. Na obr. 5 je průřez dutého dlouhého přímého válcového vodiče, jehož vnější, resp. vnitřní poloměr je a, resp. b. Vodičem protéká proud I homogenně rozložený v celém průřezu vodiče (tj. s konstantní proudovou hustotou) směrem k nám. ~ pro r ≥ a, kde r je vzdálenost od osy vodiče. V obrázku vektor a) [0,4 b] Určete magnetickou indukci B ~ B vyznačte. ~ pro b ≤ r < a. V obrázku vektor B ~ vyznačte. b) [0,4 b] Určete magnetickou indukci B ~ pro r < b. V obrázku vektor B ~ vyznačte. c) [0,2 b] Určete magnetickou indukci B
Obr. 5. 8. Na obr. 6 je řez dlouhým přímým koaxiálním kabelem. Každým z vodičů protéká co do velikosti stejný, ale co do směru opačný proud I homogenně rozložený v jejich průřezu. a) b) c) d) e)
[0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro r < c. [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro c ≤ r < b. [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro b ≤ r < a. [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro r ≥ a. [0,2 b] Dosaďte hodnoty a = 2, 0 cm, b = 1, 8 cm, c = 0, 40 cm a I = 120 A a vyneste závislost B(r) pro r v intervalu 0 < r < 3 cm.
Obr. 6. 9. Hustota elektrického proudu J~ uvnitř dlouhého válcového vodiče o poloměru a má směr jeho osy a její velikost lineárně roste se vzdáleností r od osy podle vztahu J = J0 r/a, kde J0 je hustota proudu na povrchu vodiče. a) b) c) d)
[0,2 [0,3 [0,3 [0,2
b] b] b] b]
Určete celkový proud I tekoucí vodičem. Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro r < a. Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro r ≥ a. Nakreslete závislost B(r) a vyznačte na osách všechny důležité hodnoty.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
3
10. Smyčka má tvar podle obr. 7 a protéká jí elektrický proud I. a) [0,5 b] Určete velikost magnetické indukce B v bodě P . ~ vyznačte. b) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vektor magnetické indukce B c) [0,3 b] Určete velikost magnetického dipólového momentu µ smyčky.
Obr. 7. 11. Dlouhým solenoidem s hustotou n = 100 závitů na centimetr protéká proud I. Elektron se pohybuje uvnitř solenoidu po kružnici o poloměru r = 2, 30 cm kolmo na osu solenoidu (osa kružnice je shodná s osou solenoidu). Velikost rychlosti elektronu je v = 0, 046c, kde c = 3 · 108 m/s je rychlost světla. a) [0,2 b] Určete velikost výsledné síly F , která působí na elektron. Nakreslete obrázek a směr pohybu elektronu a vektor síly F~ vyznačte. b) [0,3 b] Určete velikost indukce B magnetického pole, ve kterém se elektron pohybuje. Do obrázku ~ dokreslete vektor magnetické indukce B. c) [0,5 b] Určete proud I, který za těchto okolností solenoidem protéká.
12. Toroid byl vytvořen stočením solenoidu s N = 500 čtvercovými závity o délce strany a = 5 cm do prstence s vnitřním poloměrem r1 = 25 cm (vnější poloměr je tedy r2 = 30 cm). Toroidem teče proud I. Určete [0,2 b] závislost velikosti magnetické indukce B na vzdálenosti r od jeho osy pro 0 ≤ r < r1 , [0,2 b] závislost velikosti magnetické indukce B na vzdálenosti r od jeho osy pro r1 ≤ r ≤ r2 a [0,2 b] závislost velikosti magnetické indukce B na vzdálenosti r od jeho osy pro r > r2 . [0,2 b] Nakreslete graf závislosti B(r) pro 0 ≤ r ≤ 40 cm a na osách vyznačte všechny důležité hodnoty. e) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte směr proudu I a indukční čáry. Zakreslete též vektor magnetické ~ v jednom libovolném bodě, kde je pole nenulové. indukce B
a) b) c) d)
13. Na obr. 8 je průřez dlouhého vodiče obdélníkového průřezu o šířce D a zanedbatelné výšky. Vodičem protéká stejnoměrně rozložený elektrický proud I kolmo k obrázku, směrem od nás. a) [0,5 b] Určete velikost magnetické indukce B v bodě P ležícím v rovině proužku ve vzdálenosti d od jeho hrany. ~ v bodě P vyznačte. b) [0,4 b] Nakreslete obrázek a vektor magnetické indukce B c) [0,1 b] Ze závislosti B(d) určené v první podúloze ukažte, že pro d >> D velikost magnetické indukce . B přechází ve vztah pro magnetické pole tenkého vodiče, kterým prochází proud I. (Tip: ln(1+x) = x.)
Obr. 8. 16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
4
14. Na obr. 9 je přímý vodič o délce L, kterým protéká proud I. a) [0,5 b] Určete velikost magnetické indukce B v bodě P ležícím ve vzdálenosti R od středu vodiče (viz obrázek 9). ~ v bodě P vyznačte. b) [0,3 b] Nakreslete obrázek a vektor magnetické indukce B c) [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B v tomtéž bodě pro případ, že L → ∞.
Obr. 9. 15. Na obrázku 10 protéká dlouhým přímým vodičem proud I1 = 30 A a obdélníkovou smyčkou proud I2 = 20 A. Jsou dány rozměry: a = 1, 0 cm, b = 8, 0 cm a L = 30 cm. a) [0,4 b] Určete velikost magnetické indukce B od přímého vodiče ve vzdálenosti R od tohoto přímého vodiče. b) [0,4 b] Vypočtěte velikost výsledné síly F působící na smyčku. c) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte směry proudů I1 a I2 a vektor výsledné síly F~ působící na smyčku. Rovněž naznačte magnetické pole od přímého vodiče.
Obr. 10.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
5
Příklady: 31. Elektromagnetická indukce 1. Tuhý drát ohnutý do půlkružnice o poloměru a se rovnoměrně otáčí s úhlovou frekvencí ω v ho~ jak ukazuje obr. 1. Pomocí kontaktů tvoří vodivou smyčku mogenním magnetickém poli o indukci B, s celkovým odporem R. a) [0,3 b] Je-li drát v pozici jako na obrázku, tok magnetické indukce smyčkou je maximální a je roven ΦB,max . Určete závislost toku magnetické indukce ΦB na čase t. b) [0,3 b] Určete indukované emn Eind v závislosti na čase t. c) [0,1 b] Jaká je amplituda Emax indukovaného emn? d) [0,2 b] Určete indukovaný proud I ve smyčce v závislosti na čase t. e) [0,1 b] Jaká je amplituda Imax indukovaného proudu?
Obr. 1. 2. Kovovou tyč posunujeme podle obr. 2 konstantní rychlostí ~v po dvou rovnoběžných kovových kolejnicích spojených kovovým páskem na jednom konci. Magnetické pole o indukci velikosti B = 0, 350 T směřuje k nám. a) [0,5 b] Jaké indukované emn vzniká, jsou-li kolejnice vzdáleny L = 25, 0 cm a rychlost tyče má velikost v = 55, 0 cm/s? b) [0,3 b] Jaký proud teče tyčí, má-li odpor R = 18, 0 Ω a kolejnice a spojovací pásek mají odpor zanedbatelný? c) [0,2 b] S jakým výkonem se uvolňuje Joulovo teplo ve smyčce?
Obr. 2.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
1
3. Obr. 3 ukazuje v průřezu dva souosé solenoidy. Solenoidem 1, který má n1 závitů na jednotku délky a poloměr R1 , protéká proud, který závisí na čase vztahem I1 (t) = I1,m sin(ωt). Solenoid 2 má n2 závitů na jednotku délky, poloměr R2 a délku l. a) [0,5 b] Jaké indukované emn Eind vzniká v solenoidu 2? b) [0,5 b] Jaká je vzájemná indukčnost M této sestavy?
Obr. 3. 4. Obr. 4 znázorňuje tyč o délce L, která se pohybuje konstantní rychlostí v po vodivých vodorovných kolejnicích. Magnetické pole není v tomto případě homogenní, ale je vytvořeno proudem I v dlouhém vodiči, rovnoběžném s kolejnicemi. Je dáno: v = 5, 00 m/s, a = 10, 0 mm, L = 10, 0 cm a I = 100 A. a) [0,3 b] Vypočtěte emn Eind indukované ve smyčce tvořené kolejnicemi, spojovacím páskem a tyčí). b) [0,1 b] Jak velký bude proud ve vodivé smyčce? Odpor tyčky je R = 0, 400 Ω, odpor kolejnic a spojovacího pásku je zanedbatelný. c) [0,2 b] S jakým výkonem P1 se vyvíjí teplo v tyči? d) [0,2 b] Jaká velikost vnější síly F je nutná k udržení tyče v pohybu? e) [0,2 b] Jaký je při tom výkon P2 této síly?
Obr. 4. 5. Měděný drát o délce l = 50, 0 cm a průměru d = 1, 00 mm má tvar kruhové smyčky, jejíž plocha je kolmá k homogennímu magnetickému poli rostoucímu konstantní rychlostí ∆B/∆t = 10, 0 mT/s. Rezistivita mědi je ρCu = 1, 62 · 10−8 Ωm. a) [0,3 b] Vypočtěte emn Eind indukované ve smyčce. b) [0,3 b] Vypočtěte indukovaný proud Iind ve smyčce. ~ a vyznačte odpovídající c) [0,2 b] Nakreslete obrázek s kruhovou smyčkou, zvolte orientaci vektoru B směr indukovaného proudu Iind . d) [0,2 b] Vypočtěte Joulovo teplo Qt , které se vyvine ve smyčce za dobu 10 s.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
2
6. Elektrický generátor používá cívku o N = 100 závitech drátu ve tvaru obdélníkové smyčky rozměrů a = 50, 0 cm, b = 30, 0 cm. Cívka je umístěna v homogenním magnetickém poli velikosti B = 3, 50 T. ~ Smyčka se otáčí s frekvencí f = 1000 krát za minutu kolem osy kolmé k B. a) [0,3 b] netické b) [0,4 b] c) [0,3 b]
Určete tok magnetické indukce ΦB plochou smyčky, když její normála svírá s vektorem mag~ úhel α. indukce B Vypočtěte indukované napětí v cívce v závislosti na čase. Určete maximální napětí, které se v cívce indukuje.
7. Homogenní magnetické pole je kolmé k rovině kruhové smyčky o průměru D = 10 cm zhotovené z měděného drátu o průměru d = 2, 5 mm. a) [0,3 b] Vypočtěte odpor R drátu, jestliže rezistivita mědi je ρCu = 1, 62 · 10−8 Ωm. b) [0,3 b] Velikost magnetické indukce je nějaká neznámá hodnota B. Určete tok magnetické indukce ΦB plochou smyčky. c) [0,4 b] Jakou rychlostí ∆B/∆t se musí měnit velikost magnetické indukce, aby se ve smyčce indukoval proud I = 10 A?
8. Dvě rovnoběžné vodivé smyčky na obrázku 5 mají společnou osu. Menší smyčka (poloměr r) je nad větší smyčkou (poloměr R) ve vzdálenosti x, přičemž x R. Proto můžeme považovat magnetické pole způsobené proudem I větší smyčkou za přibližně konstantní v oblasti menší smyčky. Předpokládejme, že vzdálenost x roste konstantní rychlostí dx/dt = v. a) [0,2 b] Učete velikost magnetické indukce B v oblasti malé smyčky buzenou proudem I. (Připomínáme, že pro vzdálenost x R můžeme magnetické pole v oblasti malé smyčky považovat za stejné jako na ose smyček). b) [0,2 b] Určete magnetický indukční tok ΦB plochou ohraničenou malou smyčkou jako funkci x. c) [0,4 b] Určete indukované emn v menší smyčce. d) [0,2 b] Nakreslete obrázek a směr indukovaného proudu vyznačte.
Obr. 5.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
3
9. Dvě přímé vodivé kolejnice jsou svařeny do pravého úhlu. Vodivá tyč (v kontaktu s nimi) začíná pohyb v čase t = 0 od místa spoje a pohybuje se konstantní rychlostí o velikosti v = 5, 20 m/s podél kolejnic, jak ukazuje obrázek 6. Magnetické pole o velikosti indukce B = 0, 350 T směřuje kolmo k nám. Tyč má průřez S = 0, 1 cm2 a je vyrobena z mědi (ρCu = 1, 69 · 10−8 Ωm). Odpor kolejnic je zanedbatelný. Vypočtěte a) [0,3 b] magnetický indukční tok ΦB trojúhelníkem tvořeným kolejnicemi a tyčí v závislosti na čase a jeho hodnotu v čase t1 = 2 s, b) [0,4 b] elektromotorické napětí indukované v trojúhelníku v závislosti na čase a jeho hodnotu v čase t2 = 3 s, c) [0,3 b] proud indukovaný v trojúhelníku v závislosti na čase a jeho hodnotu v čase t3 = 4 s. Nakreslete obrázek a směr indukovaného proudu vyznačte.
Obr. 6. 10. V situaci na obr. 7 je a = 12, 0 cm a b = 16, 0 cm. Závislost proudu dlouhým drátem na čase je dána vztahem I(t) = 4, 50t2 − 10, 0t, kde I a t jsou v jednotkách SI. Čtvercová smyčka má celkový odpor R = 2, 5 Ω. a) b) c) d) e)
[0,2 [0,3 [0,2 [0,1 [0,2
b] b] b] b] b]
Určete závislost velikosti magnetické indukce B na vzdálenosti r od dlouhého drátu. Jaký je magnetický tok ΦB čtvercovou smyčkou? Vypočítejte emn indukované v čtvercové smyčce v čase t = 3, 00 s. Určete proud indukovaný ve smyčce v čase t = 3, 00 s. Nakreslete obrázek a směr magnetického pole i indukovaného proudu vyznačte.
Obr. 7.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
4
11. Dlouhý solenoid má průměr D = 12, 0 cm. Protéká-li jeho závity proud I = 48 A, vytvoří uvnitř solenoidu homogenní magnetické pole o velikosti indukce B = 30, 0 mT. Rovnoměrným snižováním proudu slábne rovnoměrně i magnetické pole, a to rychlostí ∆B/∆t = 6, 50 mT/s. a) [0,2 b] b) [0,3 b] a c) [0,3 b] d) [0,2 b] vektor
Určete počet závitů n solenoidu na jeden metr. Vypočítejte velikost intenzity E indukovaného elektrického pole ve vzdálenosti r1 = 2, 20 cm r2 = 8, 20 cm od osy solenoidu. ~ Dále vyznačte Nakreslete obrázek a vyznačte směr proudu I a vektor magnetické indukce B. ~ elektrické intenzity E v obou vzdálenostech r1 a r2 od osy solenoidu.
16. prosince 2008
FI FSI VUT v Brn
5
