ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
Příklad 1 Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) = 0, = −1, = b) = 4 − , = 0
c) = 1, = 1, = 3, = 0
d) = 2 + 1, − − 1 = 0 e) 1 + ) = 1, =
f) = − + 4 − 2, + = 2 g) = arcsin , = 0, = 1
h) = sin , = 0, ∈ 〈0; %〉
i) = , = 1, = 4, = 0 ' (
j) = , =
k) = − − 6, = − + 5 − 14 l) = 4, + = 5
m) = / + − 6 , = 0, ∈ 〈−3; 3〉
n) 4 + 9 = 36
o) + = 16, = 6 , ≥ 0
Poznámka Je velmi vhodné udělat si před řešením každého z těchto příkladů obrázek, aby bylo jasné, co vlastně integrujeme. Integraci pak provedeme podle jednoho ze vzorců pro výpočet plochy: 6
6
3 = 4 5 ; 3 = 4 85 − 9 : 7
7
Zde 〈;; 〉 je interval, přes který integrujeme. Všechny úlohy budeme řešit obdobně. Vyjádříme si křivku omezující plochu shora jako funkci 5 a křivku omezující plochu zdola jako funkci 9 . Poté v případě, že integrační meze nejsou explicitně zadány, nalezneme průsečíky těchto funkcí. Tak získáme interval 〈;; 〉, přes který budeme integrovat. Výpočet standardně povedeme podle druhého vzorce, jen v některých případech (dolní omezení je shodné s osou ) použijeme první vzorec. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: = 0, = −1, = Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. ∀∃
1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit < = 5 = = = 9 = 0 = = ; = −1 < = = 0
Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. ? 6 ? −1/ / 0 0/ 0 −1 3 = 4 85 ) − 9 ): = 4 − 0) = 4 = B C = D E−D E=F G−F G 3 −1 3 3 3 3 7 @A @A =0
1 1 = 3 3
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1b Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: = 4 − , = 0 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.
Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit < 5 4 = 9 0 = ; 2 < 2
Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy.
∀∃
2
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A 6
ČÁST 14
3 4 85 9 : 4 4 0 4 4 B4 7
D4 ∙ 2
@
2 E D4 2 3 /
2/
16 16 16 16 32 3 3 3 3 3
3
@
/ 2 C 3 2
8 8 24 8 24 8 E F8 G F 8 G 3 3 3 3
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1c Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 1, 1, 3, 0 První křivku vyjádříme ve standardním tvaru 1 , 1, 3, 0 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.
Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit 1 < 5 = 9 0 = ; 1
< 3
Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. 6 / / 1 1 3 3 4 85 9 : 4 F 0G 4 Jln| |L ln|3| ln|1| ln 3 ln 1 1 7 A A ln 3 0 ln 3
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1d Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 2 1, 1 0 Obě křivky vyjádříme ve standardním tvaru, přičemž musíme dát pozor u první křivky, kterou musíme vyjádřit jako dvě funkce ∀∃
3
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
√2 1, √2 1, 1 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.
Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že je výpočet celkové plochy nutné rozdělit na součet dvou ploch. Můžeme označit (ve dvou sloupcích pro obě plochy) N< = 5N = √2 1 O< = 5O = √2 1 N= 9N √2 1 O= = 9O = − 1 1 N= = ;N = − O= = ;O = 0 2
N< = N = 0 O< = O = 4
Nyní můžeme dvakrát dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. 6P
6Q
3 = 4 85N − 9N : 4 85O − 9O : 7P
7Q
?
'
= 4 R√2 1 8 √2 1:S 4 R√2 1 1S A @ ?
?
'
4 8√2 1 √2 1: 4 8√2 1 1: A @ ?
?
'
'
'
4 2√2 1 4 √2 1 4 4 1 A @
?
/
/
?
?
2 1 0 1 2 1 4 4 4 T U 1T ∙ U B C J L 3 3 2 0 2 0 0 2 2 2 /
/
2 1 4 4 4 22 1 0 T U 1T U B C J L 3 3 0 2 0 0 2 22 ∙ 0 V 3
∀∃
D
/ 1
/
/ / 1 2 ∙ 4 1 2 ∙ 0 1 Z2 R2 R 2S 1S ] W Y W V W \V 3 3 3
X
4 0 E — 4 0 2 2
[
4
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14 /
/
/
/
2 ∙ 0 9 1 4 0 2 ∙ 1 W V W V W V W D E D E 4 0 V 3 3 3 3 2 2
2 1 1 16 09 8 04 0 5 3 3 3 3 1 _ = 2 1; d_ = 2d ; d_ = d 2
První dva integrály byly počítány substitucí
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1e 1, 2
Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 1
První křivku vyjádříme ve standardním tvaru
Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.
1 , 1 2
Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit 1 < 5 1 = 9 2 = ; 1 < 1
Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. 6 A A 1 1 1 A 3 4 85 9 : 4 D 4 4 E 2 @A 2 7 @A 1 @A 1 Jarctg L
1/ 1 1 / 1 1 1/ B C arctg 1 arctg 1 BD E D EC 1 2 3 1 2 3 3
% % 1 1 1 % % 1 1 1 % 1 R S R S aF G F Gb aF G F Gb 4 4 2 3 3 4 4 2 3 3 2 3
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀∃
5
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
Řešení 1f Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 4 2, 2 Druhou křivku napíšeme ve standardním tvaru 4 2, 2 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.
Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit < 5 4 2 = 9 2 = ; 1
6
'
< 4
'
Nyní můžeme dosadit do druhého, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy.
3 4 85 9 : 4 8 4 2 2 : 4 4 2 2 7
'
A
4 5 4 B A
D
4 5 4 C 3 2 1 /
A
4/ 4 1/ 1 5 4 ∙ 4E D 5 4 ∙ 1E 3 2 3 2
64 16 1 1 64 16 1 1 5 16G F 5 4G 5 16 5 4 3 2 3 2 3 2 3 2 63 15 75 75 75 66 9 5 12 21 12 33 3 2 2 2 2 2 2 F
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1g Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: arcsin , 0, 1 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Je zřejmé, že není zadána křivka pro dolní omezení plochy. Tou tedy zřejmě má být osa . ∀∃
6
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit 5 arcsin = ; 0 < 1
Nyní můžeme dosadit do prvního vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. 6 A A 1 1 3 4 5 4 arcsin J arcsin L 4 0 √1 7 ? ?
1 1 √1 1 1 1 J arcsin L T U J arcsin L de1 f 1 0 2 0 0 0 2 1 arcsin 1 0 arcsin 0 Re1 1 S Re1 0 S
% % % R1 ∙ S 0 ∙ 0 8√1 1: 8√1 0: 0 0 1 1 2 2 2
Integrace byla provedena metodou per partes při volbě
g arcsin ; h i 1; h ; gi
1
√1
Vnitřní integrace byla provedena metodou substituce při volbě 1 _ 1 ; d_ 2 d ; _ d 2
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1h Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: sin , 0, ∈ 〈0; %〉
∀∃
7
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
Zobrazili jsme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit < 5 sin = 9 0 = ; 0
< %
Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. 6 j j j % 3 4 85 9 : 4 sin 0 4 sin J cos L 4 cos 0 7 ? ? ? J cos L
j % % % 4 cos J cos L Jsin L 0 0 0 ?
% cos % 0 cos 0 sin % sin 0 8 % 1: 0 ∙ 1 0 0
% 00 0 %
Integrace byla provedena metodou per partes při volbě g ; h i sin ; h cos ; gi 1
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1i
Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 4 , 1, 4, 0 První křivku si přepíšeme do standardního tvaru 4 , 1, 4, 0 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.
Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že je výpočet celkové plochy nutné rozdělit na součet dvou ploch. Můžeme označit (ve dvou sloupcích pro obě plochy) 4 N< = 5N = 4 O< = 5O = N= = 9N = 1 O= = 9O = 1 ∀∃
N= = ;N = 1 O= = ;O = 4
8
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14 N< = N = 0 O< = O = 1
Nyní můžeme dvakrát dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. 6P 6Q A ' 4 3 = 4 85N − 9N : 4 85O − 9O : = 4 4 − 1 4 F 1G 7P 7Q ? A
' 4 1 4 4 4 1 J3 L J4 ln| |L J L 0 1 1 ? A A 3 ∙ 1 3 ∙ 0 4 ln|4| 4 ln|1| 4 1 3 0 4 ln 2 4 ∙ ln 1 4 1 4 ∙ 2 ln 2 4 ∙ 0 8 ln 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… A
4 3 4
'
Řešení 1j Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: , První z těchto křivek si přepíšeme do standardního tvaru
√ , √ , Jak se ukáže dále, variantu s minusem nebudeme potřebovat. Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.
< 5 √ = 9
Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit = ; 0
< 1
/
/
Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy.
1 / 1 2 1 / 1 3 4 85 9 : 4 8√ : T U B C T U B C 3 0 3 0 3 0 3 0 7 ? 2 6
A
/
/
2 ∙ 1 2 ∙ 0 1/ 0/ 2 0 1 0 V W V W D E D E F G F G F G F G 3 3 3 3 3 3 3 3
2 1 1 0 0 3 3 3
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ∀∃
9
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
Řešení 1k Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 6, 5 14 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.
V tomto případě je na místě provést výpočet průsečíků těchto dvou křivek. 6 5 14 2 6 20 0 3 10 0 5 2 0 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit < 5 5 14 = 9 6 = ; 2
6
k
< 5
k
Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy.
3 4 85 9 : 4 8 5 14 6: 4 2 6 20 7
B 2
@
5 6 20 C 3 2 2
D 2
/
@
2/ 2 5 5/ 6 20 ∙ 5E l 2 6 20 2m 3 2 3 2
125 8 3 ∙ 25 100G F 2 3 ∙ 4 40G 3 3 125 8 250 16 F 2 75 100G F 2 12 40G F 175G F 28G 3 3 3 3 250 16 266 266 609 343 175 28 203 3 3 3 3 3 3 F 2
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1l Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 4, 5 ∀∃
10
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14 4 , 5
Obě křivky si přepíšeme do standardního tvaru
Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.
4 5 4 5 5 4 0 1 4 0 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit < 5 5 4 = 9
Vypočteme si průsečíky těchto křivek
= ; 1
< 4
Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. 6 ' 4 4 3 4 85 9 : 4 F5 G B5 4 ln| |C 2 1 7 A D5 ∙ 4
4 1 4 ln|4|E D5 ∙ 1 4 ln|1|E 2 2
1 1 16 4 ln 4G F5 4 ln 1G 20 8 4 ln 2 5 4 ∙ 0 2 2 2 1 15 8 ln 2 7 8 ln 2 2 2 F20
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1m Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: / 6 , 0, ∈ 〈 3; 3〉 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.
∀∃
11
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit < 5 / 6 = 9 0 = ; 3 < 3
Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. 6 / ' / 3 3 ' / 3 4 85 9 : 4 / 6 0 B 6 C B 6 C 4 3 2 3 4 3 2 3 7 @/ D
3' 3/ 3 3 3' 3/ 6 E D 6 E 4 3 2 4 3 2
81 27 9 81 27 9 81 81 F 6 G F 6 G 9 27 9 27 18 4 4 4 3 2 3 2 4
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1n Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 4 9 36 Křivku si vyjádříme standardně
36 4 36 − 4 n ; = −n 9 9
Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.
Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit ∀∃
12
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A < = 5 ) = n
ČÁST 14 36 4 49 9 n 2n 2n1 − 2n1 − R S 9 9 9 3 3
36 4 49 9 = 9 n n 2n 2n1 − 2n1 − R S 9 9 9 3 3 = = ; = −3 < = = 3
Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. 6 / 3 = 4 85 − 9 : = 4 o2n1 − R S V 2n1 − R S Wp 3 3 7 @/
/ / / 4 2n1 − R S 2n1 − R S 4 4n1 − R S 4 4 n1 − R S 3 3 3 3 @/ @/ @/
Výpočet tohoto integrálu popíšeme dále v poznámce. V tuto chvíli výsledek jeho výpočtu již využijeme k určení velikosti zkoumané plochy. / 3 3 3 3 = 4 4 n1 − R S = 4 T n1 − R S arcsin U T2 n1 − R S 6 arcsin U 2 3 2 3 3 3 3 3 3 @/
3 3 −3 −3 V2 ∙ 3n1 − F G 6 arcsin W V2−3n1 − F G 6 arcsin W 3 3 3 3
R6e1 − 1 + 6 arcsin 1S − R−6e1 − −1) + 6 arcsin−1)S
% % = R6√1 − 1 + 6 S − D−6√1 − 1 + 6 R SE = 86√0 + 3%: R 6√0 + −3%S 2 2 0 + 3% 0 − 3% 3% 3% 3% 3% 6%
Poznámka Integraci jsme provedli kombinací metod substituce, per partes a podle vzorce. Nejprve jsme použili substituci, abychom zjednodušili integrovaný výraz. 1 _ ; d_ = d ; 3 d_ = d 3 3 q = 4 n1 − R S d = 4 3e1 − _ d_ = 3 4 e1 − _ d_ = 3 ∙ qA 3
Další krok integrace jsme provedli metodou per partes A A A 1 _ g = e1 − _ = 1 − _ ) ; h i = 1; h = _; gi = 1 − _ )@ −2_) = −_1 − _ )@ = − 2 √1 − _ qA = 4 e1 − _ d_ = _e1 − _ − 4
_−_)
√1 − _
d_ = _e1 − _ − 4
−_
√1 − _
d_ = _e1 − _ − q
Poslední integrál vypočteme metodou podle vzorce po některých již poměrně snadných úpravách. ∀∃
13
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A q = 4
−_
√1 − _
ČÁST 14 d_ = 4
1 − _ − 1 √1 − _
d_ = 4
= 4 e1 − _ d_ − 4
1
1 − _
√1 − _
√1 − _
−
1
√1 − _
d_ = 4 e1 − _ −
1
√1 − _
d_
d_ = 4 e1 − _ d_ − arcsin _ = qA − arcsin _
V tuto chvíli jsme si povšimli, že ve výsledcích výpočtu se nám objevil výraz, který se snažíme vypočítat. Pro tento výraz tedy můžeme postupně sestavit rovnici a vyřešit ji. qA = 4 e1 − _ d_ = _e1 − _ − q q = 4
−_
√1 − _
d_ = qA − arcsin _
qA = _e1 − _ − qA − arcsin _ qA = _e1 − _ − qA arcsin _ 2qA = _e1 − _ + arcsin _
1 qA = R_e1 − _ + arcsin _S 2
Nyní můžeme provést zpětnou substituci
1 qA = V n1 − R S + arcsin W 2 3 3 3
A nakonec vyjádříme ten integrál, kterým jsme integraci zahájili
3 3 q = 4 n1 − R S d = 3 ∙ qA = V n1 − R S + arcsin W = n1 − R S + arcsin 2 3 3 3 2 3 2 3 3
Poznámka Uvedené řešení popisuje výpočet pro celou plochu vcelku. Bylo by samozřejmě možné vést výpočet jen pro horní polovinu plochy a výsledek zdvojnásobit. Ještě dalšího zjednodušení bychom dosáhli, kdybychom výpočet vedli jen pro pravou polovinu horní poloviny a výsledek vynásobit čtyřmi. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1o Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 16, = 6 , ≥ 0 Obě první křivky si přepíšeme od standardního tvaru
= +e16 − ; = −e16 − ; = √6 ; = −√6 Vypočteme si x-ovou souřadnici průsečíků těchto křivek. + = 16 a současně = 6 + 6 = 16 + 6 − 16 = 0
∀∃
14
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
2 8 0 S respektováním podmínky v zadání je x-ovou souřadnicí průsečíků daných křivek hodnota 2. Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.
Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že je nutné plochu rozdělit na dvě části. Můžeme označit (ve dvou sloupcích pro obě plochy) N< = 5N ) = +√6 O< = 5O = e16 −
N= = 9N = −√6 O= = 9O = −e16 − N= = ;N = 0 O= = ;O = 2
N< = N = 2 O< = O = 4
Nyní můžeme dvakrát dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. 6P
6Q
3 = 4 85N − 9N : 4 85O − 9O : 7P
7Q
'
= 4 R√6 − 8−√6 :S + 4 F+e16 − − R−e16 − SG ?
'
'
= 4 2√6 + 4 2e16 − = 4 2√6√ + 4 2e16 − ?
?
/
' 2 = 2√6 4 √ + 2 4 e16 − = 2√6 T U + 2 4 e16 − 3 0 ? 2
'
=
' ' / / 4√6 4√6 / 2 a b + 2 4 n16 D1 − E = aF2 G F0 Gb + 2 4 √16n1 − 3 0 16 3 4
' 16√3 8 4 n1 − 3 4
' ' 4√6 4√6√8 u8√8: 0)v + 2 4 4n1 − R S 2 ∙ 4 4 n1 − R S 3 4 3 4
Výpočet tohoto posledního integrálu popíšeme dále v poznámce. V tuto chvíli výsledek jeho výpočtu již využijeme k určení velikosti zkoumané plochy.
∀∃
15
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A 3=
ČÁST 14
' 16√3 4 16√3 8 4 n1 − 8 T n1 − R S 2 arcsin U 3 4 3 2 4 4 2
16√3 4 4 4 2 2 2 8 TV n1 − F G 2 arcsin W V n1 − F G 2 arcsin WU 3 2 4 4 2 4 4
16√3 1 % % 8 TR2√1 − 1 + 2 S V1n1 − 2 WU 3 4 2 6
=
=
16√3 1 1 8 TR2e1 − 1 + 2 arcsin 1S − V1n1 − F G 2 arcsin WU 3 2 2
16√3 3 % 16√3 √3 % 8 T82√0 + %: − Vn WU 8 B2 ∙ 0 + % − C 3 4 3 3 2 3
2 2 16√3 16√3 √3 √3 16√3 16 √3 8B % C 8 % 8 % 4 3 3 2 3 3 2 3 3 1 16√3 16 12√3 4√3 16 % = % 3 3 3 3 3
Poznámka Integraci jsme provedli kombinací metod substituce, per partes a podle vzorce. Nejprve jsme použili substituci, abychom zjednodušili integrovaný výraz. 1 _ ; d_ = d ; 4 d_ = d 4 4 q = 4 n1 −
d = 4 4e1 − _ d_ = 4 4 e1 − _ d_ = 4 ∙ qA 4
Další krok integrace jsme provedli metodou per partes A A A 1 _ g = e1 − _ = 1 − _ ) ; h i = 1; h = _; gi = 1 − _ )@ −2_) = −_1 − _ )@ = − 2 √1 − _ qA = 4 e1 − _ d_ = _e1 − _ − 4
_−_)
√1 − _
d_ = _e1 − _ − 4
−_
√1 −
_
d_ = _e1 − _ − q
Poslední integrál vypočteme metodou podle vzorce po některých již poměrně snadných úpravách. −_ 1 − _ − 1 1 − _ 1 1 d_ = 4 d_ = 4 − d_ = 4 e1 − _ − d_ q = 4 √1 − _ √1 − _ √1 − _ √1 − _ √1 − _ 1 = 4 e1 − _ d_ − 4 d_ = 4 e1 − _ d_ − arcsin _ = qA − arcsin _ √1 − _
V tuto chvíli jsme si povšimli, že ve výsledcích výpočtu se nám objevil výraz, který se snažíme vypočítat. Pro tento výraz tedy můžeme postupně sestavit rovnici a vyřešit ji. qA = 4 e1 − _ d_ = _e1 − _ − q
∀∃
16
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14 q = 4
−_
√1 − _
d_ = qA − arcsin _
qA = _e1 − _ − qA − arcsin _ qA = _e1 − _ − qA arcsin _ 2qA = _e1 − _ + arcsin _
1 qA = R_e1 − _ + arcsin _S 2
Nyní můžeme provést zpětnou substituci
1 qA = V n1 − R S + arcsin W 4 2 4 4
A nakonec vyjádříme ten integrál, kterým jsme integraci zahájili
4 4 q = 4 n1 − R S d = 4 ∙ qA = V n1 − R S + arcsin W = n1 − R S + arcsin 4 4 4 2 4 4 2 2 4 =
n1 − R S + 2 arcsin 2 4 4
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀∃
17
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
Příklad 2 Určete délku oblouku rovinné křivky:
a) = √ − − arcsin √ , ∈ 〈0; 1〉
b) _ sin _ , 1 cos _ , _ ∈ 〈0; %〉 c) cos/ _ , sin/ _ , _ ∈ 〈0; %〉 j j /
d) lnsin ) , ∈ 〈 ; 〉 Poznámka Je velmi vhodné udělat si před řešením každého z těchto příkladů obrázek, aby bylo jasné, co vlastně integrujeme. Integraci pak provedeme podle jednoho ze vzorců pro výpočet délky křivky: }
6
w 4 x1 85′ : d pro křivku = 5 , ∈ 〈;, 〉 7
w = 4 x8 ′_: 8′_: d_ pro křivku = _, = _, _ ∈ 〈, 〉 ~
Zde 〈;; 〉, respektive 〈; 〉 je interval, přes který integrujeme. Pro konkrétní vzorec se rozhodneme podle toho, zda máme křivku zadanou v přímém či parametrickém vyjádření. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 2a e arcsin √ , ∈ 〈0; 1〉 Zobrazíme si tuto křivku na obrázku. Máme určit délku oblouku rovinné křivky:
5 e arcsin √ = ; 0
Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit
< 1
Funkce je v přímém vyjádření. Vypočteme derivaci 1 F G 1 1 1 2 1 2 √ 2√ 1 2 5′ 2 √ 2√ √1 2√ √1 2√ √1 √1 x1 8√ :
∀∃
18
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
Funkce je v přímém vyjádření. Můžeme tedy nyní dosadit do prvního vzorce, integrovat a vypočítat tak délku zadané křivky. 6
A
w 4 x1 85′ : d 4 n1 D 7
A
4 n ?
?
√
√1
A
E d 4 x1 ?
A 1 d 4 n d 1 1 ?
A 1 1 1 √1 1 d 4 d T U u 2√1 v 1 0 1 0 ? √1 2
8 2√1 1: 8 2√1 0: 8 2√0: 8 2√1: 0 2 2
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 2b Máme určit délku oblouku rovinné křivky: _ sin _ , 1 cos _ , _ ∈ 〈0; %〉 Zobrazíme si tuto křivku na obrázku.
Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit _ _ sin _
_ 1 cos _ _= 0
_< %
Funkce je v parametrickém vyjádření. Vypočteme derivace i _ _ sin _′ 1 cos _
i _ 1 cos _i 0 sin _ sin _
Funkce je v parametrickém vyjádření. Můžeme tedy nyní dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak délku zadané křivky. }
j
j
w 4 x i i d_ 4 e1 cos _ sin _ d_ 4 e1 2 cos _ cos _ sin _ d_ ~
j
j
4 √2 2 cos _ d_ 4 √2√1 cos _ d_ ?
∀∃
?
?
?
19
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
j j j j _ _ _ _ _ % 4 √2n2 sin d_ 4 √2√2nsin d_ 4 2 sin d_ 4 2sin d_ a 4cos b 2 2 2 2 2 0 ? ? ? ?
% 0 R 4cos S F 4cos G 4 ∙ 0 4 ∙ 1 0 4 4 2 2
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 2c Máme určit délku oblouku rovinné křivky: cos/ _ , sin/ _ , _ ∈ 〈0; %〉 Zobrazíme si tuto křivku na obrázku. Podle zadání se jedná o horní polovinu.
Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit _ cos/ _ _ sin/ _ _= 0
_< %
Funkce je v parametrickém vyjádření. Vypočteme derivace i _ cos/ _i 3 cos _ sin _ i _ sin/ _i 3 sin _ cos _
Funkce je v parametrickém vyjádření. Můžeme tedy nyní dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak délku zadané křivky. Naprosto vyhovující je ale počítat délku této křivky jen v prvním
kvadrantu pro _ ∈ 〈0; 〉 a vynásobit ji dvěma. Vyhneme se tak potížím při závěrečném výpočtu, kdy by j
nám zcela proti očekávání vycházela nula.
∀∃
20
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A }
w4
~
x8 i _:
ČÁST 14
8 i _: d_
24
j
? j
j
2 4 e 3 cos _ sin _ 3 sin _ cos _ d_ ?
e9 cos' _ sin _
9 sin' _ cos _ d_ j
j
2 4 e9 sin _ cos _ cos _ sin _ d_ ?
j
2 4 e9 sin _ cos _ 1 d_ 2 4 e9 sin _ cos _ d_ 2 4 3 sin _ cos _ d_ ?
?
?
% % sin sin _ 2 2 3 sin 0W 2 D3 1 3 0 E 2 4 3 sin _ cos _ d_ 2 B3 C 2 V3 2 2 2 2 0 2 ? j
1 0 1 2 F3 3 G 2 F3 0G 3 2 2 2
Délka horní poloviny křivky je tedy 3, délka celé křivky je 6. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 2d
% % lnsin , ∈ 〈 ; 〉 3 2
Máme určit délku oblouku rovinné křivky:
Zobrazíme si tuto křivku na obrázku.
Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit 5 lnsin % = ; 3 % < 2
cos sin Funkce je v přímém vyjádření. Můžeme tedy nyní dosadit do prvního vzorce, integrovat a vypočítat tak délku zadané křivky. Funkce je v přímém vyjádření. Vypočteme derivaci
5′
∀∃
21
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14 j
j
j
cos cos sin cos n d = 4 d w = 4 x1 + 85′ ): d = 4 n1 + R S d = 4 n1 + j j j sin sin sin 7 ? 6
/
/
/
% j j 1 1 1 2 = 4 n d = 4 d = 4 d = dln tg f % j j √sin j sin sin 2 / / / 3 % % % % 1 2 Vln tg W Vln tg 3 W Rln tg S − Rln tg S = ln|1|) − Fln G 2 2 4 6 √3 j
0 − ln
1
√3
0 − ln
1
A 1 8ln 1 − ln √3: ln 1 + ln √3 0 + ln 3 ln 3 2 √3
Poslední integrál jsme řešili substitucí. Ta je ovšem poněkud neprůhledná a je před ní nutná jistá náročnější úprava integrandu.
1 1 1 1 1 1 1 ∙ sin sin 2 2 sin cos sin 2 tg cos 2 tg cos 2 2 2 2 2 cos 2 2 2 2 2 cos 2 1 + tg cos sin 1 2 2 2 ∙ ∙ R1 + tg 2S 2 tg cos 2 tg 2 tg 2 2 2 2 1
Substituce tedy bude
1 _ tg ; d_ = d 2 2 cos 2
Odtud převodem diferenciálu
Nyní lze substituci dokončit
2 d = 2 cos d_ = d_ 2 1 + tg 2
1 1 + tg 2 cos 1 2 2 d = 4 1 + _ ∙ 2d_ = 4 2d_ 4 d_ = ln|_| ln tg d = 4 ∙ 4 sin 2_ 1 + _ 2_ _ 2 2 tg 1 + tg 2 2
2
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀∃
22
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
Určete objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce
kolem osy , je-li: a)
: = 4, 1, 4, 0
Příklad 3
b
: 1, 2 2 c)
: = A , 1, 1 A
d)
: = sin , ∈ 〈0; %〉
e
: , , 0
Poznámka Je velmi vhodné udělat si před řešením každého z těchto příkladů obrázek, aby bylo jasné, co vlastně integrujeme. Integraci pak provedeme podle vzorce pro výpočet objemu rotačního tělesa vzniklého rotací plochy kolem osy : 6
% 4 5 d 7
Zde 〈;; 〉 je interval, přes který integrujeme. Je dobré si uvědomit, že v příkladu e jde o prstenec vzniklý rotací plochy. Objem tohoto prstence tedy budeme počítat jako rozdíl objemů dvou těles. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce
kolem osy , je-li:
: 4, 1, 4, 0 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku.
Řešení 3a
4 = 9 0
Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit
< 5
= ; 1
< 4
Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. ∀∃
23
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
' ' 4 16 1 1 4 d % 4 F G d % 4 d 16% 4 d 16% a b %4 5 1 A 7 A A 1 1 1 3 16% DF G F GE 16% F 1G 16% 12% 4 1 4 4 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6
'
Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce
kolem osy , je-li:
: 1, 2 2 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku.
Řešení 3b
Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit < 5 2 2 = 9 1 = ; 1
6
6
6
< 1
A
Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa.
% 4 5 d % 4 9 d % 4 5 9 d % 4 2 2 1 d 7
A
7
7
% 4 4 ' 8 4 ' 2 1d @A A
@A
A
% 4 4 ' 8 4 ' 2 1d % 4 3 ' 6 3 d @A
@A
k / 1 k 1 % B3 6 3 C % B3 2 / 3 C 5 3 1 5 1 % VD3
1k 1k 2 ∙ 1/ 3 ∙ 1E l3 2 1/ 3 1mW 5 5
1 1 % lF3 2 ∙ 1 3 ∙ 1G D3 2 1 3 1Em 5 5
3 3 6 16 % DF 2 3G F 2 3GE % F 2G % 5 5 5 5 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ∀∃
24
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce
kolem osy , je-li: 1 , 1, 1
: 1 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku.
Řešení 3c
1 1 = ; 1
Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit
5
< 1
Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. 6 A A 1 1 1 1 1 % 4 5 d % 4 F d % 4 d % a ∙ arctg b G 2 1 2 1 7 @A 1 @A 1 1 1 1 1 1 1 % aF ∙ arctg 1G F ∙ arctg 1Gb 2 1 1 2 2 1 1 2
1 1 1 % 1 1 1 % 1 1 % 1 1 % % aF ∙ ∙ G F ∙ ∙ Gb Gb % aF ∙ G F ∙ 2 11 2 4 2 2 8 2 2 2 11 2 4 8
Poznámka
1 % 2 2% 1 % 2% % 1 % 1 % 1 % % aF G F Gb % a b % a b % a b 4 8 4 8 4 8 4 8 4 8 2 4 4 4 % 2 % 4
Výpočet integrálu je v tomto případě náročnější. Pro tento typ integrálů lze odvodit rekurentní vzorec. V našem konkrétním případě podle rekurentního vzorce (který se dá najít v různých učebnicích a skriptech) platí 1 1 1 4 d ∙ arctg 1 2 1 2 My si ale tento integrál vypočteme. 1 1 1 4 d 4 d 4 d 4 d 1 1 1 1
∀∃
4
1 d 4 d arctg 4 d 1 1 1 25
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
Poslední integrál budeme počítat metodou per partes. Označíme ; gi 1; h ? ? ? g ; h i 1 Pro výpočet h zavedeme substituci Odtud
_ 1 ; d_ 2 d ;
4
1 d_ d 2
1 1 1 _ @A 1 1 1 1 1 d 4 ∙ d_ ∙ ∙ ∙ 1 2 _ 2 1 2 _ 2 1 21
Můžeme se tedy vrátit k per partes
g ; h i
1 ; gi 1; h 1 21
Nyní můžeme psát 1 1 1 1 1 4 d 4 d 4 d 1 21 21 21 2 1
1 1 arctan 2 21
Tento výsledek konečně můžeme dosadit do našeho výpočtu 1 1 1 4 d arctg 4 d arctg F arctan G 1 1 2 1 2 arctg
1 1 1 1 arctan arctan 2 1 2 2 1 2
Tím máme dokončeno odvození vzorce, na který jsme na začátku poznámky odkazovali. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce
kolem osy , je-li:
: sin , ∈ 〈0; %〉 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku.
Řešení 3d
Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit 5 sin = ; 0 ∀∃
< %
26
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. 6 j 1 % % 4 5 d % 4 sin d % a sin cos b 0 2 7 ?
1 1 1 1 % a % sin % cos % 0 sin 0 cos 0b % a 8% 0 1: 0 0 ∙ 1b 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 % % a % 0 0 0b % a % 0b % a % 0b % a %b 2 2 2 2 2 2 2
Integrál jsme vypočítali kombinací metod per partes a podle vzorce takto
4 sin d sin cos 4 cos d
Odtud již snadno
4 sin d 4 1 cos d 4 cos d 1 4 sin d sin cos 2
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce
kolem osy , je-li:
: , , 0 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku.
Řešení 3e
< 5 √ = 9
Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit
= ; 0
< 1
Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa.
∀∃
27
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A 6
ČÁST 14 6
A
A
= % 4 5 ) d − % 4 9 ) d = % 4 8√ : − ) d = % 4 − ' d = % B 7
7
?
?
k 1 − C 2 5 0
1 1 0 0 1 1 0 0 5−2 % BD − E − D − EC = % aF − G − F − Gb = % aF G 0 0b 2 5 2 5 2 5 2 5 10
k
k
3 3 3 % % aF G 0b % a 0b 10 10 10
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀∃
28
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce
kolem osy , je-li: a)
: = 4 , 2 0, 3
Příklad 4
b
: 4 , ∈ 〈 4; 2〉
c)
: − 1 1
Poznámka Je velmi vhodné udělat si před řešením každého z těchto příkladů obrázek, aby bylo jasné, co vlastně integrujeme. Integraci pak provedeme podle vzorce pro výpočet obsahu rotační plochy vzniklé rotací křivky kolem osy : 6
3 2% 4 5 x1 85′ : d rotuje křivka = 5 , ∈ 〈;, 〉 }
7
3 = 2% 4 _x8 ′_: 8′_: d_ rotuje křivka = _, = _, _ ∈ 〈, 〉 ~
Zde 〈;; 〉, respektive 〈; 〉 je interval, přes který integrujeme. Pro konkrétní vzorec se rozhodneme podle toho, zda máme křivku zadanou v přímém či parametrickém vyjádření. Je dobré si uvědomit, že v příkladu e jde o prstenec vzniklý rotací křivky. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Máme určit obsah pláště tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce
kolem osy , je-li:
: 4 , 2 0, 3 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku.
Řešení 4a
< 5 √4 = ; 0
Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit
Vypočteme si derivaci funkce.
< 3 i
5′ 8√4 :
4
2
2√4 √4 Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak obsah pláště zadaného tělesa. ∀∃
29
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
6 / / 2 4 3 2% 4 5 x1 85′ : d 2% 4 √4 n1 F G 2% 4 √4 n1 4 √4 7 ? ?
/ / / 1 1 √ 1 2% 4 √4 n1 2% 4 √4√ n 2% 4 √4√ √ ? ? ? /
1 3 8 3 4% 4 √ 1 4% T U % de 1/ f 3 0 3 0 ? 2 8 8 8 56 % de3 1/ e0 1/ f % de4/ e1/ f %J8 1L % 3 3 3 3 /
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Máme určit obsah pláště tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce
kolem osy , je-li:
: 4 , ∈ 〈 4; 2〉 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku.
Řešení 4b
Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit < 5 4 = ; 4 < 2
5′ 4 i 0 1 1 Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak obsah pláště zadaného tělesa.
Vypočteme si derivaci funkce. 6
3 2% 4 5 x1 85′ : d 2% 4 4 e1 1 2% 4 4 √1 1 7
@'
@'
2% 4 4 √2 2√2% 4 4 2√2% B4 @'
2√2% BD4 ∙ 2
@'
2 C 2 4
4 16 2 4 E D4 4 EC 2√2% aF8 G F 16 Gb 2 2 2 2
2√2%J8 2 16 8L 2√2%J10 8L 2√2%J18L 36√2%
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ∀∃
30
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
Máme určit obsah pláště tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce
kolem osy , je-li:
: 1 1 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku.
Řešení 4c
< 5 1 e1
Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit
= 9 1 e1 = ; 1 < 1
Vypočteme si derivaci funkcí.
i
5′ R1 e1 S 0 i
9′ R1 e1 S 0
2
2√1 2
√1
2√1 √1 Je zřejmé, že obsah pláště zadaného tělesa je třeba počítat jako součet obsahu plášťů vytvořeného oběma křivkami (horní a dolní polovinou kružnice). Téhož výsledku bychom dosáhli, kdybychom vypočítali dvojnásobek jen jednoho z těchto povrchů. Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak obsah pláště zadaného tělesa. 6
6
3 2% 4 5 x1 5 i d 2% 4 9 x1 9i d 7
7
A 2% 4 R1 e1 S n1 F G d √1 @A A 2% 4 R1 e1 S n1 F G d √1 @A A
2% 4 R1 e1 S n1 @A A
2% 4 R1 e1 S n @A
∀∃
A d 2% 4 d R1 e1 S n1 1 1 @A
A 1 1 S n e d 2% 4 1 d R1 1 1 @A
31
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A
ČÁST 14
A
= 2% 4 R1 e1 S n @A
A
A 1 1 d 2% 4 d R1 e1 S n 1 1 @A
2% 4 R1 e1 S @A
2% 4
A
@A
2% 4
A
1 √1 √1 1
@A √1
2% 4
1
A
@A √1
2% 4
1
A
@A √1
2% 4
A
1
@A √1
D2% 4 4% 4
A
1
@A √1
A
1
@A √1
1
√1
d 2% 4
√1
√1
A
d 2% 4 R1 e1 S
A
@A
@A
1 √1 √1
d 2% 4
1 d 2% 4
A
@A √1
1
A
@A √1
A
d 2% 4 1 d 2% 4 @A
d 2% 4
A
1
@A √1
d 2% 4
A
1
@A √1
1 d
A
1
@A √1 A
√1
√1
√1
d
d A
d 2% 4 1 d @A A
d 2% 4 1 d 2% 4 1 d
d 0 4%Jarcsin L
% % 2% 4% R S 4% 4% 2 2 2
1
d
1
@A
A
@A
A
d E D2% 4 1 d 2% 4 1 d E @A
@A
1 4%arcsin 1 arcsin −1 1
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀∃
32
