Příklad 1. Řešení 1a ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 4

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

Příklad 1 a) Jev spočívá v tom, že náhodně vybrané přirozené číslo je dělitelné pěti a jev v tom, že toto číslo náhodně vybrané přirozené číslo zapsané v desítkové soustavě má na posledním místě nulu. Co znamenají jevy = ∩ , = ∪ , = ̅∩ , = ∪ , = ∩ ? b) Nechť jev spočívá v tom, že při jednom hodu běžnou hrací kostkou padne na horní stěně liché číslo a nechť jev znamená, že padne číslo, které je dělitelné číslem 3. Charakterizujte jevy = ∪ , = ∩ , = − , = , = ̅ ∩ , =( − )∩ . c) Zjednodušte následující výrazy: a. ( ∪ ) ∩ ( ̅ ∪ ) ∩ ( ∪ ) b. ( ̅ ∪ ) ∪ ( ∩ ) ∪ ( ̅ ∩ )

c. ∪ ∪ ∪ d) Navrhněte alespoň dva úplné systémy disjunktních jevů při házení standardní hrací kostkou. e) Tvoří jevy ∩ , ̅ ∩ , ∩ ∩ , ∩ ̅ , ̅ ∩ ∩ ̅ úplný systém neslučitelných jevů? f) Průmyslově vyráběný filtr je podroben třem různým zkouškám. Jev spočívá v tom, že náhodně vybraný filtr obstojí při první zkoušce. Jev spočívá v tom, že náhodně vybraný filtr obstojí ve druhé zkoušce. Jev spočívá v tom, že náhodně vybraný filtr obstojí ve druhé zkoušce. Vyjádřete ve množinové symbolice pro popsané jevy , , , že filtr obstojí a. jen v první zkoušce, b. v první a ve druhé zkoušce, ale neobstojí ve třetí zkoušce, c. ve všech třech zkouškách, d. alespoň v jedné zkoušce, e. alespoň ve dvou zkouškách, f. právě v jedné zkoušce, g. právě ve dvou zkouškách, h. maximálně ve dvou zkouškách. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1a Máme náhodně vybrané přirozené číslo. Dále je pro toto číslo zadáno: Jev znamená, že je dělitelné pěti. Jev znamená, že má na posledním místě desítkového zápisu nulu, neboli že je dělitelné deseti. Víme, že každé číslo dělitelné deseti je dělitelné i pěti. Univerzální množinou je množina všech přirozených čísel . Máme určit význam následujících jevů: Jev = ∩ vyjadřuje, že naše číslo je dělitelné pěti a současně je dělitelné deseti. To znamená, že je dělitelné deseti. Proto = . Jev = ∪ vyjadřuje, že naše číslo je dělitelné pěti nebo je dělitelné deseti. To znamená, že je dělitelné pěti. Proto = . Jev = ̅ ∩ vyjadřuje, že naše číslo není dělitelné pěti a současně je dělitelné deseti. To není možné. Proto = ∅. Jev = ∪ vyjadřuje, že naše číslo je dělitelné pěti nebo není dělitelné deseti. To znamená, že nemůže být dělitelné deseti. Proto = − . ∀ ∃

1

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

Jev = ∩ vyjadřuje, že neplatí, že naše číslo je dělitelné pěti a současně je dělitelné deseti. Výraz popisující jev můžeme formálně upravit takto = ∩ = ̅ ∪ . To znamená, že není dělitelné pěti nebo není dělitelné deseti. Proto = = − . ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1b Při hodu standardní hrací kostkou dle zadání platí: Jev = 1,3,5 , jev = 3,6 . Univerzální množinou je 1,2,3,4,5,6 Máme charakterizovat následující jevy: Jev = ∪ = 1,3,5 ∪ 3,6 = 1,3,5,6 nastane, když padne jedno z čísel 1, 3, 5, 6. Jev = ∩ = 1,3,5 ∩ 3,6 = 3 nastane, když padne číslo 3. Jev = − = 1,3,5 − 3,6 = 1,5 nastane, když padne jedno z čísel 1, 5.

Jev = = 3,6 = 1,2,3,4,5,6 − 3,6 = 1,2,4,5 nastane, když padne jedno z čísel 1, 2, 4, 5. Jev = ̅ ∩ = 1,3,5 ∩ 3,6 = ( 1,2,3,4,5,6 − 1,3,5 ) ∩ 3,6 = 2,4,6 ∩ 3,6 = 6 nastane, když padne číslo 6. Jev = ( − ) ∩ = ( 3,6 − 1,3,5 ) ∩ 1,3,5 = 6 ∩ 1,3,5 = ∅ je nemožný, neboli nenastane nikdy. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1c Máme zjednodušit zadané výrazy. Ke zjednodušení použijeme zákony komutativní, asociativní, distributivní a komplementu. Univerzální množinu neboli jev jistý označíme !.Prázdnou množinu neboli jev nemožný označíme ∅. a) ( ∪ ) ∩ ( ̅ ∪ ) ∩ ( ∪ ) = "( ∩ ̅) ∪ # ∩ ( ∪ ) = (∅ ∪ ) ∩ ( ∪ ) = ∩( ∪ )= ( ∩ )∪( ∩ )= ( ∩ )∪∅ = ∩ = ∩ b) ( ̅ ∩ ) ∪ ( ∩ ) ∪ ( ̅ ∩ ) = ( ̅ ∩ ) ∪ "( ∪ ̅) ∩ # = ( ̅ ∩ ) ∪ (! ∩ ) = ( ̅∩ )∪ =( ̅∪ )∩( ∪ )=( ̅∪ )∩! = ̅∪ = ∩ c) ∪ ∪ ∪ = ( ̅ ∩ ) ∪ $ ̅ ∩ %& = ( ̅ ∩ ) ∪ ( ̅ ∩ ) = ̅ ∩ ( ∪ ) = ̅ ∩ ! = ̅

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1d

Standardní hrací kostka má množinu možných jevů při jednom hodu ! = 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Máme navrhnout nejméně dva úplné systému disjunktních jevů. Tvorba takového systému spočívá v rozdělení ! na dvě (nebo více) množiny , takové, že platí úplnost ∪ = ! a disjunktnost ∩ = ∅. Možným systémem je rozdělení na sudá a lichá čísla, neboli = 2, 4, 6 , = 1, 3, 5 . Možným systémem je rozdělení na nízká a vysoká čísla, neboli = 1, 2, 3 , = 4, 5, 6 . Možným systémem je rozdělení = 1, 6 , = 2, 3, 4, 5 . Možným systémem je rozdělení = 1, 2 , = 3, 4 , = 5, 6 . Možným systémem je rozdělení = 1 , = 2 , = 3 , = 4 , = 5 , = 6 . Je možné nalézt řadu dalších systémů vyhovujících zadání. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1e Máme zadané jevy ∀ ∃

∩ ,

̅∩ ,

∩

∩ ,

∩ ̅,

̅∩

∩ ̅

2

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

Tyto jevy jsou neslučitelné (disjunktní), jsou-li neslučitelné pro každé dva z těchto jevů. Neslučitelnost znamená, že mají prázdný průnik. To musíme prověřit pro každou dvojici jevů. Ke zjednodušení použijeme zákony komutativní, asociativní, distributivní a komplementu. Univerzální množinu neboli jev jistý označíme !.Prázdnou množinu neboli jev nemožný označíme ∅. ∩ ∩ ̅∩ ∩ ∩ ̅∩ ∩ ∩ ̅∩ ∩ ∩ ̅∩ ∅∩ ̅∩ ∅ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩$ ∩ ∩ & ∅∩ ∩ ∅ ∩ ∩ ∩ ̅ ∩ ∩ ∩ ̅ ∩ ∩ ∩ ̅ ∩ ∩ ∩ ̅ ∩ ∩∅ ∅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ̅& ∩ ∩ ̅ $ ∩ ∩ ̅ ∩∅ ∅ ̅∩ ̅∩ ∩ ∩ ∩ ̅∩ ∩ ∩ ∩ ̅∩ ∩$ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ & ∅∩ ∩ ∅ ̅∩ ̅ ̅ ̅∩ ∩ ∩ ̅ ̅∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ̅ ∩ ̅ ∅∩ ∩ ̅ ∅ ̅∩ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ $ ∩ ∩ ̅& ∅∩ ̅∩ ̅ ∅ ̅ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ̅ ∩ ∩ ∩ ∩ ̅ ∩ ∩ ∩ ∩ ̅ ∩ ∩∅ ∅ $ ∩ ∩ &∩ ∩ ̅ ∩ ∩ ∩ ̅∩ ∩ ̅ ∩ ∩ ∩ ̅∩ ∩ ̅ ∩ ̅∩ ∩ ∩ ∩ ̅ ∩ ̅ ∩ ∩ ∩ ∩ ̅ ∅∩∅∩∅ ∅ ∩ ̅ ∩ ̅∩ ∩ ̅ ∩ ̅∩ ̅∩ ∩ ̅ ∩ ̅∩ ∩ ̅∩ ̅ ∩ ̅ ∩$ ∩ ̅∩ ̅ & ∅∩ ∩ ̅ ∅ Tím jsme ověřili, že dané jevy jsou nezávislé. Aby uvedené jevy tvořily úplný systém, musí jejich sjednocení dát jev jistý. To musíme rovněž prověřit. Přitom bychom využili stejné zákony jako dříve. Nicméně algebraický důkaz tohoto faktu je poměrně náročný. Velmi jednoduché je ale prokázat tuto skutečnost pomocí Vennova diagramu.

Vzhledem k tomu, že prověření neslučitelnosti i úplnosti dalo správný výsledek, můžeme konstatovat, že daný systém tvoří úplný systém neslučitelných jevů. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀ ∃

3

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

Řešení 1f Máme náhodné jevy – filtr obstojí v první zkoušce, – filtr obstojí ve druhé zkoušce, – filtr obstojí ve třetí zkoušce. V množinové symbolice máme vyjádřit následující situace, že filtr obstojí: a) jen v první zkoušce. V této situace musí současně nastat jevy , a ̅ . Tuto současnost vyjádříme průnikem ∩ ∩ ̅ . b) v první a ve druhé zkoušce, ale neobstojí ve třetí zkoušce. Na základě stejného principu tuto situaci vyjádříme ∩ ∩ ̅ c) ve všech třech zkouškách. Na základě stejného principu tuto situaci vyjádříme ∩ ∩ d) alespoň v jedné zkoušce. Toto je situace opačná (neboli doplňkový jev) k situaci, že filtr neobstojí v žádné zkoušce. To vyjádříme takto ! − ( ̅ ∩ ∩ ̅ ) e) alespoň ve dvou zkouškách. Tato situace je sjednocením jevů, že obstojí právě dvakrát a že obstojí právě třikrát. To vyjádříme jako ( ∩ ∩ ̅) ∪ ( ∩ ∩ ) ∪ ( ̅ ∩ ∩ ) ∪ ( ∩ ∩ ) f) právě v jedné zkoušce. Vyjádříme takto ( ∩ ∩ ̅ ) ∪ ( ̅ ∩ ∩ ̅ ) ∪ ( ̅ ∩ ∩ ) g) právě ve dvou zkouškách. Vyjádříme takto ( ∩ ∩ ̅ ) ∪ ( ∩ ∩ ) ∪ ( ̅ ∩ ∩ ) h) maximálně ve dvou zkouškách. Toto je doplňkový jev k jevu neobstojí ve třech zkouškách. To vyjádříme jako ! − ( ∩ ∩ ) = ∩ ∩ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀ ∃

4

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

Příklad 2 a) Určete pravděpodobnost toho, že při jednom hodu běžnou hrací kostkou: a. padne číslo 6; b. padne liché číslo; c. nepadne číslo 4. b) V sadě 100 žárovek je 24 vadných (ostatní jsou v pořádku). Určete pravděpodobnost toho, že mezi 11 náhodně vybranými žárovkami budou právě 2 vadné. c) V krabici je 5 bílých, 6 modrých a 7 červených kuliček. Náhodně z ní (bez vracení do krabice) vyberte 9 kuliček. Jaká je pravděpodobnost toho, že jste vybrali 2 bílé, 3 modré a 4 červené kuličky? d) V urně je 19 kuliček, z nichž je každá očíslovaná právě jedním z čísel 1, 2,..., 19. Náhodně z ní vytáhneme jednu kuličku. Určete pravděpodobnost toho, že vytažená kulička je označená číslem, které je dělitelné dvěma nebo třemi. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 2a

Označme ' náhodný jev – výsledek hodu standardní hrací kostkou. Oborem hodnot ' neboli množinou možných výsledků hodu kostkou je ( = 1,2,3,4,5,6 Protože předpokládáme standardní (necinklou, poctivou) hrací kostku, mají jednotlivé hodnoty stejnou pravděpodobnost, neboli platí 1 )(' = 1) = )(' = 2) = )(' = 3) = )(' = 4) = )(' = 5) = )(' = 6) = 6 a) Máme najít pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo 6, neboli hledáme )(' = 6). Tou je, jak vidíme výše 1 )(' = 6) = 6 b) Máme najít pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo liché. Je zřejmé, že náhodné jevy )(' = *) pro * = 1, … ,6 jsou disjunktní. Hledáme tedy 1 1 1 3 1 )(' = 1) + )(' = 3) + )(' = 5) = + + = = 6 6 6 6 2 c) Máme najít pravděpodobnost, že při hodu kostkou nepadne číslo 4. Stačí si uvědomit, že na základě předchozí úvahy nalezneme snadno řešení přímou cestou. 1 1 1 1 1 5 )(' = 1) + )(' = 2) + )(' = 3) + )(' = 5) + )(' = 6) = + + + + = 6 6 6 6 6 6 Jiným způsobem, jak vyřešit tuto podúlohu je využít toho, že jev nepadne číslo 4 je doplňkovým jevem k jevu padne číslo 4. –hladanou pravděpodobnost pak můžeme vypočítat snadno takto 1 5 )(' ≠ 4) = 1 − )(' = 4) = 1 − = 6 6 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 2b V sadě je 100 žárovek, z nichž je 24 vadných. Náhodně vybereme 11 žárovek. Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že z vybraných žárovek jsou právě 2 vadné. Skupinu 11 libovolných žárovek ze 100 žárovek v sadě můžeme vybrat celkem 1(11; 100) způsoby. V sadě je tedy 24 vadných a 76 bezvadných žárovek. Je důležité uvědomit si, že při postupném ∀ ∃

5

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

vybírání se vždy jeden z těchto počtů sníží a budeme tedy používat kombinace bez opakování. Označme ' = *, pro * = 0, … ,11 náhodný jev vybrání * vadných žárovek z 11 náhodně vybraných žárovek ze sady se 100 žárovkami. V této situaci tedy platí 1(*; 24) ∙ 1(11 − *; 76) $ 8 & ∙ $;;<8& )(' = *) = = 1(11; 100) $;==& 67

Tyto jevy jsou navzájem disjunktní. Nás konkrétně zajímá

;;

Snadnými úpravami postupujeme k výsledku.

;;

)(' = 2) =

9:

67 9: 1(2; 24) ∙ 1(11 − 2; 76) $ 6 & ∙ $;;<6& )(' = 2) = = 1(11; 100) $;==&

67 9: 67 9: 1(2; 24) ∙ 1(11 − 2; 76) $ 6 & ∙ $;;<6& $ 6 & ∙ $ > & 276 ∙ 142466675900 = = = 1(11; 100) 141629804643600 $;==& $;==& ;;

;;

39320802548400 = = 0,277630846 141629804643600 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 2c

Celkem je v krabici 18 kuliček. Z nich vybereme 9 kuliček. To lze udělat celkem 1(9; 18) způsoby. Máme vypočítat pravděpodobnost toho, že jsme vybrali právě 2 bílé, 3 modré a 4 červené kuličky. Přitom vybíráme 2 bílé kuličky z 5, 3 modré kuličky z 6 a 4 červené kuličky ze 7. To lze udělat celkem 1(2; 5) ∙ 1(3; 6) ∙ 1(4; 7) způsoby. Tedy pravděpodobnost toho, že vybereme 2 bílé, 3 modré a 4 červené kuličky je 5∙4 6∙5∙4 7∙6∙5∙4 A : 9 1(2; 5) ∙ 1(3; 6) ∙ 1(4; 7) $6& ∙ $B& ∙ $7& 2∙1∙3∙2∙1∙4∙3∙2∙1 = = ;C 18 ∙ 17 ∙ 16 ∙ 15 ∙ 14 ∙ 13 ∙ 12 ∙ 11 ∙ 10 1(9; 18) $>& 9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 5∙2 2∙5∙2 7∙1∙5∙1 5∙2 2∙5∙2 7∙1∙5∙1 ∙1∙1∙1∙1∙1∙1∙1 1 ∙ 1 1 ∙ 1 ∙ 1 = = 2 ∙ 17 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 13 ∙ 1 ∙ 11 ∙ 10 2 ∙ 17 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 13 ∙ 1 ∙ 11 ∙ 10 1∙1∙1∙1∙1∙1∙1∙1∙1 1 5∙2∙2∙5∙2∙7∙1∙5∙1 5∙2∙2∙5∙2∙7∙5 1∙1∙1∙5∙2∙7∙5 = = = 2 ∙ 17 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 13 ∙ 1 ∙ 11 ∙ 10 2 ∙ 17 ∙ 13 ∙ 11 ∙ 10 1 ∙ 17 ∙ 13 ∙ 11 ∙ 1 5∙2∙7∙5 350 350 = = = = 0,143974 17 ∙ 13 ∙ 11 187 ∙ 13 2431 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 2d

Označme ' náhodný jev vytažení kuličky označené číslem dělitelným dvěma. Takových kuliček je v sadě 19 kuliček celkem 9. Jde o kuličky 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 . Tedy 9 )(') = 19 Označme D náhodný jev vytažení kuličky označené číslem dělitelným třemi. Takových kuliček je v sadě 19 kuliček celkem 6. Jde o kuličky 3, 6, 9, 12, 15, 18 . Tedy 6 )(D) = 19 Máme určit pravděpodobnost toho, že vytažená kulička je označená číslem, které je dělitelné dvěma nebo třemi. K výpočtu využijeme vztahu )(' ∪ D) = )(') + )(') − )(' ∩ D) ∀ ∃

6

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

K uzavření výpočtu potřebujeme znát )(' ∩ D). Je zřejmé že čísla současně dělitelná dvěma i třemi jsou 6, 12, 18 . Tato množina má tři prvky. Odtud 3 )(' ∩ D) = 19 Nyní můžeme dosadit do vztahu, který nám dá výsledek. 9 6 3 12 )(' ∪ D) = )(') + )(') − )(' ∩ D) = + − = ≅ 0,631579 19 19 19 19 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀ ∃

7

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

Příklad 3 a) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo větší než 4? b) Házíme dvěma hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet padlých čísel je větší než 3? c) Z 32 hracích karet vybíráme 7. Jaká je pravděpodobnost toho, že mezi nimi budou tři srdce? d) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu mincí pětkrát po sobě padne hlava? e) Kupující chce koupit jeden chléb a konzervu. V obchodě mají 30 kusů chleba, z toho 5 z minulého dne a 20 konzerv s nečitelným datem výroby, z toho 1 po záruční lhůtě. Jaká je pravděpodobnost, že zákazník koupí čerstvý chléb a konzervu v záruce? f) Roztržitá sekretářka náhodně vloží tři dopisy do tří obálek. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden adresát dostane správný dopis? g) V obchodě je vystaveno 10 hrnců, z toho 2 mají skrytou vadu. Kupující si koupí dva kusy. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich má skrytou vadu? h) Házíme sedmkrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že šestka padne právě třikrát? i) Test obsahuje 10 otázek, ke každé jsou čtyři různé odpovědi, právě jedna z nich je správná. Na absolvování zkoušky je třeba správně odpovědět alespoň na 5 otázek. Jaká je pravděpodobnost, že úplně nepřipravený uchazeč udělá zkoušku? j) V osudí je 100 lístků označených čísly 1 až 100. S jakou pravděpodobností vytáhneme číslo, které je dělitelné dvěma nebo pěti? k) V bedně je 49 výrobků, z nich je celkem 43 vadných. Náhodně z bedny vytáhneme 6 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že z vytažených výrobků jsou alespoň čtyři bez vady? l) Házíme dvěma hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet padlých čísel je 9? m) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne: a. sudé číslo, b. číslo dělitelné třemi, c. číslo menší než šest? n) V laboratoři je 60 baněk, z nichž je 6 špatně označených. Jaká je pravděpodobnost, že pokud vybereme 5 baněk, budou z nich právě 3 správně označené? o) Jaká je pravděpodobnost, že ve vytvořené trojici, kterou tvoříme z 19 chlapců a 12 dívek, budou: a. samí chlapci, b. samé dívky, c. 2 chlapci a 1 dívka? p) V bedně s 30 výrobky jsou 3 vadné. Urči pravděpodobnost, že mezi pěti náhodně vybranými výrobky budou nejvýše 2 vadné. q) Chlapec napsal libovolné číslo od 1 do 20. Jaká je pravděpodobnost, že napsal prvočíslo? r) Zuzka má k dispozici cifry 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, každou z nich nejméně třikrát. Jaká je pravděpodobnost, že jestliže vytvoří libovolné trojmístné číslo z daných cifer, tak to bude číslo 445? s) Ze 100 párů bot je 5 párů vadných. Kontrolor náhodně vybere 4 páry bot. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden pár bude vadný? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀ ∃

8

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

Řešení 3a

Označme ' náhodný jev – výsledek hodu standardní hrací kostkou. Oborem hodnot ' neboli množinou možných výsledků hodu kostkou je ( = 1,2,3,4,5,6 Protože předpokládáme standardní (necinklou, poctivou) hrací kostku, mají jednotlivé hodnoty stejnou pravděpodobnost, neboli platí 1 )(' = 1) = )(' = 2) = )(' = 3) = )(' = 4) = )(' = 5) = )(' = 6) = 6 Máme najít pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo větší než 4, neboli hledáme )(' > 4). Stačí si uvědomit, že čísla na kostce větší než 4 jsou pouze 5 a 6 a to, že výsledky hodu 5 a 6 jsou disjunktní jevy. Pak již snadno postupujeme k výsledku 1 1 1 )(' > 4) = )$(' = 5) ∪ (' = 6)& = )(' = 5) + )(' = 6) = + = ≅ 0,333333 6 6 3 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3b

Označme ' náhodný jev – výsledek hodu dvěma standardními hracími kostkami. Oborem hodnot ' neboli množinou možných výsledků hodu dvěma kostkami je množina uspořádaných dvojic ( = G〈I, J〉; I, J ∈ 1,2,3,4,5,6 M Zde je I výsledek hodu na první kostce a J výsledek hodu na druhé kostce. Tuto množinu si můžeme vypsat i detailně. 〈1,1〉, 〈1,2〉, 〈1,3〉, 〈1,4〉, 〈1,5〉, 〈1,6〉, Q〈2,1〉, 〈2,2〉, 〈2,3〉, 〈2,4〉, 〈2,5〉, 〈2,6〉,T O O 〈3,1〉, 〈3,2〉, 〈3,3〉, 〈3,4〉, 〈3,5〉, 〈3,6〉, (= P〈4,1〉, 〈4,2〉, 〈4,3〉, 〈4,4〉, 〈4,5〉, 〈4,6〉,S O〈5,1〉, 〈5,2〉, 〈5,3〉, 〈5,4〉, 〈5,5〉, 〈5,6〉,O N 〈6,1〉, 〈6,2〉, 〈6,3〉, 〈6,4〉, 〈6,5〉, 〈6,6〉R Jde o 2-členné kombinace z 6 prvků. Tato množina má celkem 36 prvků, všechny mají stejnou pravděpodobnost rovnou 1⁄36. Je zřejmé, že z těchto 36 prvků mají součet větší než 3 všechny prvky, kromě tří prvků 〈1,1〉, 〈1,2〉, 〈2,1〉 Takže 33 prvků má součet větší než 3. Pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami dostaneme součet větší než 3, tedy je 33 11 = ≅ 0,083333 36 12 Jiné řešení Úlohu lze pochopitelně řešit mnoha různými způsoby. Zkusme si vypočítat hledanou pravděpodobnost ještě jednou zcela odlišným způsobem. Označme ' náhodný jev – součet hodnot při hodu dvěma standardními hracími kostkami. Oborem hodnot ' neboli množinou možných výsledků při hodu dvěma kostkami je množina ( = 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 Na základě předchozího rozboru možných výsledků platí 1 2 3 4 )(' = 2) = , )(' = 3) = , )(' = 4) = , )(' = 5) = , 36 36 36 36 5 6 5 4 )(' = 6) = , )(' = 7) = , )(' = 8) = , )(' = 9) = , 36 36 36 36 ∀ ∃

9

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

3 2 1 , )(' = 11) = , )(' = 12) = , 36 36 36 Všimněme si, že v čitatelích jsou počty prvků na vedlejších diagonálách matice, do níž jsme uspořádali v předchozím řešení detailní výpis množin (. Máme vypočítat )(' > 3). Uvědomíme si, že jednotlivé možné součty jsou disjunktní jevy. Pak již snadno odvodíme )(' > 3) = )$(' = 4) ∪ (' = 5) ∪ (' = 6) ∪ (' = 7) ∪ (' = 8) ∪ (' = 9) ∪ (' = 10) ∪ (' = 11) ∪ (' = 12)& = )(' = 4) + )(' = 5) + )(' = 6) + )(' = 7) + )(' = 8) + )(' = 9) + )(' = 10) + )(' = 11) + )(' = 12) 3 4 5 6 5 4 3 2 1 = + + + + + + + + 36 36 36 36 36 36 36 36 36 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 33 11 = = = ≅ 0,083333 36 36 12 Ještě jiné řešení Oba předchozí postupy je možné vést nikoli přímo, ale přes pravděpodobnost doplňkového jevu. Budeme tedy postupovat takto )(' > 3) = 1 − )(' ≤ 3) = 1 − )$(' = 2) ∪ (' = 3)& = 1 − $)(' = 2) + )(' = 3)& 1 2 36 3 33 11 =1−W + X= − = = ≅ 0,083333 36 36 36 36 36 12 Vidíme, že vzhledem k charakteru úlohy přinesl postup přes doplňkový jev výrazné zkrácení výpočtu. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… )(' = 10) =

Řešení 3c Standardní sada 32 hracích karet (mariášová) obsahuje 4 barvy (červené, zelené, kule, žaludy) po 8 hodnotách (7, 8, 9, 10, spodek, svršek, král a eso). Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že mezi 7 kartami vytaženými náhodně z této sady budou právě 3 srdce (červené). Je zřejmé, že rozsah úlohy již neumožňuje rozumné řešení vypsáním jednotlivých možností. Je také zřejmé, že pro tuto úlohu nejsou důležité hodnoty jednotlivých karet. Tuto druhou skutečnost bychom mohli využít pro vlastní výpočet pravděpodobnosti, není to ale nutné. Je ale naprosto nutné uvědomit si, že nezáleží na pořadí tažení jednotlivých karet. Nejprve zkoumejme náhodný jev výběru 7 karet z balíčku 32 karet. Obor hodnot tohoto jevu má velikost rovnou počtu 7-členných kombinací z 32 prvků (nezáleží na pořadí), neboli 1(7; 32). Nyní se zabývejme tím, kolik z těchto možností obsahuje právě 3 srdce. Tři srdcové karty vybíráme z 8 srdcových (červených) karet, počet všech možných výběrů těchto tří srdcových karet tedy je 1(3; 8). K těmto třem srdcovým kartám musíme vybrat ještě čtyři karty nesrdcové ze zbylých 24 karet. Počet možností, jak tyto karty vybrat je tedy 1(4; 24). Celkem tedy můžeme vybrat 7 karet, z nichž právě 3 jsou srdcové, celkem 1(3; 8) ∙ 1(4; 24) způsoby. Označíme-li ' náhodný jev výběru 7 karet, z nichž právě 3 jsou srdcové, ze standardního balíčku 32 karet, pak 8 ∙ 7 ∙ 6 24 ∙ 23 ∙ 22 ∙ 21 C 67 ∙ 4∙3∙2∙1 1(3; 8) ∙ 1(4; 24) $B& ∙ $ 7 & 8 ∙ 7 ∙ 23 ∙ 22 ∙ 21 )(') = = = 3∙2∙1 = B6 32 ∙ 31 ∙ 30 ∙ 29 ∙ 28 ∙ 27 ∙ 26 16 ∙ 31 ∙ 29 ∙ 9 ∙ 26 1(7; 32) $9& 7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 7 ∙ 23 ∙ 11 ∙ 7 7 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 23 12397 = = = ≅ 0,176792 2 ∙ 31 ∙ 29 ∙ 3 ∙ 13 2 ∙ 3 ∙ 13 ∙ 29 ∙ 31 70122 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ∀ ∃

10

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

Řešení 3d Při hodu mincí (necinknutou, spravedlivou) je pravděpodobnost, že v jednom hodu padne hlava (líc, panna) stejná, jako pravděpodobnost, že padne orel (rub). V obou případech je tato pravděpodobnost rovna 1⁄2. Při opakovaném hodu mincí výsledek pokusu nijak nezávisí na výsledcích předchozích pokusů. Pravděpodobnosti pro jednotlivé hody tedy musíme násobit. Označíme-li ' náhodný jev, že při pěti hodech mincí padne pokaždé hlava, pak 1 A 1 1 1 1 1 1 1 = 0,031250 )(') = ∙ ∙ ∙ ∙ = W X = A = 2 2 2 2 2 2 2 32

Jiné řešení K řešení lze přistoupit i jinak. Označíme-li Y výsledek hodu hlava (panna) a Z výsledek hodu orel a uskutečníme-li 5 hodů mincí, pak počet možných výsledků tohoto náhodného jevu je počet 5členných variací ze dvou prvků s opakováním (záleží na pořadí), neboli ! [ (5; 2) = 2A = 32 Nás zajímá pravděpodobnost, že pokaždé padne hlava. Variace (Y, Y, Y, Y, Y) je v tomto počtu pouze jednou. Z toho je zřejmé, že samozřejmě dostaneme stejný výsledek. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3e

Označme D náhodný jev výběru 1 čerstvého bochníku chleba z 30 kusů, z nichž je 5 z minulého dne. Označme \ náhodný jev výběru 1 konzervy v záruční lhůtě z 20 kusů, z nichž je 1 po záruce. V této situaci platí 30 − 5 25 20 − 1 19 )(D) = = , )(\) = = 30 30 20 20 Označme ' = D ∩ \ náhodný jev současného výběru 1 čerstvého bochníku a 1 konzervy v záruční lhůtě. Potom 25 19 5 19 1 19 19 )(') = )(D) ∙ )(\) = ∙ = ∙ = ∙ = ≅ 0,791667 6 4 24 30 20 30 4 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3f

Celou situaci si můžeme znázornit tak, že jednotlivé dopisy označíme I; , I6 , IB a nalezneme všechny jejich permutace (jako různé uspořádané trojice). Přitom I] na ^- pozici představuje situaci vložení _tého dopisu do ^-té obálky. Těchto permutací je )(3) = 3! = 6 Detailně vypsáno jde o tyto permutace (I; , I6 , IB ), (I; , IB , I6 ), (I6 , I; , IB ), (I6 , IB , I; ), (IB , I; , I6 ), (IB , I6 , I; ) Označme ' = * náhodný jev vložení * správných dopisů ze 3 do 3 nadepsaných obálek. Jevu ' = 0 odpovídají permutace (I6 , IB , I; ), (IB , I; , I6 ). Jevu ' = 1 odpovídá permutace (I; , IB , I6 ), (IB , I6 , I; ), (I6 , I; , IB ). Jevu ' = 2 neodpovídá žádná permutace. Jevu ' = 3 odpovídá permutace (I; , I6 , IB ). Tedy 2 1 3 1 0 1 )(' = 0) = = , )(' = 1) = = , )(' = 2) = = 0, )(' = 3) = , 6 3 6 2 6 6 ∀ ∃

11

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

Máme nalézt pravděpodobnost, že do správné obálky bude vložen alespoň jeden dopis. Je zřejmé, že náhodné jevy )(' = *), pro * = 0,1,2,3 jsou vzájemně disjunktní. Nyní již můžeme snadno vypočítat 1 1 )(' ≥ 1) = )$(' = 1) ∪ (' = 2) ∪ (' = 3)& = )(' = 1) + )(' = 2) + )(' = 3) = + 0 + 2 6 3 1 4 2 = + = = ≅ 0,666667 6 6 6 3 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3g Máme vypočítat pravděpodobnost výběru dvou hrnců, z nichž alespoň jeden je vadný, z 10 kusů hrnců, z nichž jsou právě dva vadné. Označme ' = * náhodný jev výběru dvou hrnců, z nichž právě * je vadných, z 10 kusů hrnců, z nichž jsou právě dva vadné. Zde * = 0, 1, 2. Celkový počet možností, jak vybrat 2 hrnce z 10 je 2-členná kombinace z 10 prvků, tedy 1(2; 10). Dále platí pro výběr dvou nezávadných hrnců 8∙7 ;=<6 C 1(2; 10 − 2) $ 6 & $6& 8∙7 4 ∙ 7 28 )(' = 0) = = ;= = ;= = 2 ∙ 1 = = = 10 ∙ 9 1(2; 10) 10 ∙ 9 5 ∙ 9 45 $6& $6& 2∙1 Pro výběr právě jednoho vadného a jednoho nezávadných hrnců platí 2 8 6 ;=<6 6 C ∙ 1(1; 2) ∙ 1(1; 10 − 2) $;&$ ; & $;&$;& 2 ∙ 8 16 )(' = 1) = = = ;= = 1 1 = = ;= 10 ∙ 9 5 ∙ 9 45 1(2; 10) $6& $6& 2∙1 Pro výběr právě dvou vadných hrnců platí 2∙1 6 ;=<6 6 C 1(2; 2) ∙ 1(0; 10 − 2) $6&$ = & $6&$=& 2 ∙ 1 ∙ 1 1 ∙ 1 1 )(' = 2) = = = ;= = = = ;= 10 ∙ 9 1(2; 10) 5 ∙ 9 45 $6& $6& 2∙1 Je zřejmé, že jevy )(' = *), pro * = 0,1,2 jsou vzájemně disjunktní. Nyní již můžeme snadno vypočítat 16 1 17 )(' ≥ 1) = )$(' = 1) ∪ (' = 2)& = )(' = 1) + )(' = 2) = + = ≅ 0,377778 45 45 45 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3h Máme vypočítat pravděpodobnost, že při sedmi hodech standardní hrací kostkou padne šestka právě třikrát. Tento náhodný jev označme '. Je zřejmé, že výsledek jednotlivých hodů kostkou nezávisí na předchozích hodech. Pravděpodobnost, že v jednom hodu padne šestka je 1⁄6. Pravděpodobnost, že při jednom hodu padne jakákoli jiná hodnota než šest (doplňkový jev) je 5⁄6. Je zřejmé, že celkový počet možných výsledků sedmi hodů standardní kostkou je počet 7-členných variací z 6 prvků s opakováním, neboli ! [ (7; 6) = 69 Počet způsobů, jimiž může padnout šestka při 3 hodech ze 7 je 1(3, 7). Počet způsobů jakým mohou dopadnout ostatní čtyři hody je ! [ (4; 5). Velikost oboru hodnot náhodné proměnné ' je součinem těchto hodnot. Odtud již je zřejmé, že 7∙6∙5 7 9 1(3; 7) ∙ ! [ (4; 5) $B& ∙ 57 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 5 7 ∙ 5 ∙ 57 7 ∙ 5 A 21875 )(') = = = = = 9 = = 0,078143 [ 9 9 9 6 6 6 6 ! (7; 6) 279936 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ∀ ∃

12

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

Řešení 3i

Označme ' = * náhodný jev úspěšné odpovědi zcela nepřipraveným uchazečem právě na * otázek testu, skládajícího se z 10 otázek po 4 odpovědích, z nichž vždy právě 1 je správná. Pravděpodobnost výběru správné odpovědi na jednu konkrétní otázku je tedy1⁄4 a pravděpodobnost výběru nesprávné odpovědi je 3⁄4. Počet způsobů, jak vybrat * správně zodpovězených otázek z deseti je 1(*; 10). Počet způsobů, jak vybrat zbylé chybné odpovědi je 1(10 − *; 10). Pravděpodobnost náhodného výběru * správně zodpovězených otázek z deseti je tedy 1 8 1(*; 10) ∙ W X 4 Pravděpodobnost náhodného výběru 10 − * chybně zodpovězených otázek z deseti je

3 ;=<8 W X 4 Součin těchto hodnot je počet způsobů, jak náhodně správně odpovědět na * otázek z 10. Platí tedy

1 8 3 ;=<8 )(' = *) = 1(*; 10) ∙ W X ∙ W X 4 4 Jednotlivé náhodné jevy )(' = *), pro * = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 jsou vzájemně disjunktní. Máme nalézt )(' ≥ 5). Je zřejmé, že nyní již můžeme počítat )(' ≥ 5) = )$(' = 5) ∪ (' = 6) ∪ (' = 7) ∪ (' = 8) ∪ (' = 9) ∪ (' = 10)& = )(' = 5) + )(' = 6) + )(' = 7) + )(' = 8) + )(' = 9) + )(' = 10) ;=

1 8 3 ;=<8 = b 1(*; 10) ∙ W X ∙ W X 4 4 8cA

∀ ∃

1 A 3 ;= 3 ;=<> 1 ;= + 1(8; 10) ∙ W X ∙ W X + 1(9; 10) ∙ W X ∙ W X + 1(10; 10) ∙ W X 4 4 4 4 4 3 ;=<;= ∙W X 4 1 A 3 A 1 : 3 7 1 9 3 B = 1(5; 10) ∙ W X ∙ W X + 1(6; 10) ∙ W X ∙ W X + 1(7; 10) ∙ W X ∙ W X 4 4 4 4 4 4 1 C 3 6 1 > 3 ; 1 ;= 3 = + 1(8; 10) ∙ W X ∙ W X + 1(9, 10) ∙ W X ∙ W X + 1(10; 10) ∙ W X ∙ W X 4 4 4 4 4 4 A A : 7 9 B 10 1 3 10 1 3 10 1 3 10 1 C 3 6 =W X∙W X ∙W X +W X∙W X ∙W X +W X∙W X ∙W X +W X∙W X ∙W X 5 4 4 6 4 4 7 4 4 8 4 4 10 1 > 3 ; 10 1 ;= 3 = +W X∙W X ∙W X +W X∙W X ∙W X 9 4 4 10 4 4 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 1A 3A 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 1: 37 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 19 = ∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 4A 4A 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 4: 47 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 49 3B 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 1C 36 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 1> 3; ∙ B+ ∙ ∙ + ∙ ∙ 4 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 4C 46 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 4> 4; 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 1;= 3= + ∙ ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 4;= 4= 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 3A 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 37 10 ∙ 9 ∙ 8 3B 10 ∙ 9 36 10 3; = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 4;= 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 4;= 3 ∙ 2 ∙ 1 4;= 2 ∙ 1 4;= 1 4;= 1 3= + ∙ ;= = 1 4 13

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

3A 37 3B 36 3; 3= + 5 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 7 ∙ + 5 ∙ 3 ∙ 8 ∙ + 5 ∙ 9 ∙ + 10 ∙ + 1 ∙ 4;= 4;= 4;= 4;= 4;= 4;= A 7 B 6 ; = 3 3 3 3 3 3 = 252 ∙ ;= + 210 ∙ ;= + 120 ∙ ;= + 45 ∙ ;= + 10 ∙ ;= + 1 ∙ ;= 4 4 4 4 4 4 252 ∙ 3A + 210 ∙ 37 + 120 ∙ 3B + 45 ∙ 36 + 10 ∙ 3; + 1 ∙ 3= = 4;= 252 ∙ 243 + 210 ∙ 81 + 120 ∙ 27 + 45 ∙ 9 + 10 ∙ 3 + 1 ∙ 1 = 1048576 61236 + 17010 + 3240 + 405 + 30 + 1 81922 = = = 0,078127 1048576 1048576

=2∙3∙2∙7∙3∙

Poznámka Numerický výpočet bylo možné si zjednodušit pomocí výpočtu pravděpodobnosti doplňkového jevu takto )(' ≥ 5) = 1 − )(' < 5) = 1 − )$(' = 0) ∪ (' = 1) ∪ (' = 2) ∪ (' = 3) ∪ (' = 4)& = 1 − $)(' = 0) + )(' = 1) + )(' = 2) + )(' = 3) + )(' = 4)& 7

1 8 3 ;=<8 = 1 − b 1(*, 10) ∙ W X ∙ W X 4 4

=1

8c=

1 = 3 ;=<= 1 ; 3 ;=<; 1 6 + 1(1, 10) ∙ W X ∙ W X + 1(2, 10) ∙ W X − e1(0, 10) ∙ W X ∙ W X 4 4 4 4 4

3 ;=<6 1 B 3 ;= 1 6 3 C − e1(0, 10) ∙ W X ∙ W X + 1(1, 10) ∙ W X ∙ W X + 1(2, 10) ∙ W X ∙ W X 4 4 4 4 4 4

1 B 3 9 1 7 3 : + 1(3, 10) ∙ W X ∙ W X + 1(4, 10) ∙ W X ∙ W X f 4 4 4 4 =1

10 1 = 3 ;= 10 1 ; 3 > 10 1 6 3 C 10 1 B − gW X ∙ W X ∙ W X + W X ∙ W X ∙ W X + W X ∙ W X ∙ W X + W X ∙ W X 0 4 4 1 4 4 2 4 4 3 4 3 9 10 1 7 3 : ∙W X +W X∙W X ∙W X h 4 4 4 4 =1

1= 3;= 10 1; 3> 10 ∙ 9 16 3C 10 ∙ 9 ∙ 8 1B 39 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 17 ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ 4= 4;= 1 4; 4> 2 ∙ 1 46 4C 3 ∙ 2 ∙ 1 4B 49 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 47 3;= 10 3> 10 ∙ 9 3C 10 ∙ 9 ∙ 8 39 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 3: 3: ∙ : f = 1 − e1 ∙ ;= + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ f 4 4 1 4;= 2 ∙ 1 4;= 3 ∙ 2 ∙ 1 4;= 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 4;= 3;= 3> 3C 39 3: = 1 − e1 ∙ ;= + 10 ∙ ;= + 5 ∙ 9 ∙ ;= + 5 ∙ 3 ∙ 8 ∙ ;= + 5 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 7 ∙ ;= f 4 4 4 4 4 ;= > C 9 : 3 3 3 3 3 = 1 − e1 ∙ ;= + 10 ∙ ;= + 45 ∙ ;= + 120 ∙ ;= + 210 ∙ ;= f 4 4 4 4 4 ;= > C 9 : 10 ∙ 3 45 ∙ 3 120 ∙ 3 210 ∙ 3 1∙3 + = 1 − e ;= + ;= + ;= + f= ;= 4 4 4 4 4;= − e1 ∙

∀ ∃

14

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

1 ∙ 3;= + 10 ∙ 3> + 45 ∙ 3C + 120 ∙ 39 + 210 ∙ 3: f 4;= 1 ∙ 59049 + 10 ∙ 19683 + 45 ∙ 6561 + 120 ∙ 2187 + 210 ∙ 729 =1−W X 4;= 59049 + 196830 + 295245 + 262440 + 153090 966654 =1−W X=1− ;= 4 1048576 1048576 − 966654 81922 = = ≅ 0,078127 1048576 1048576 Dle očekávání jsme dostali stejný výsledek. Výpočet byl ale opravdu jen mírně jednodušší. Doplňkový jev má jen o jeden člen méně, než jev zkoumaný. Kontrola Při výpočtu pravděpodobnosti je někdy problematické dělat zkoušku výpočtu. Dobrá kontrola ale je udělat test, že pravděpodobnost úplného jevu určeného způsobem použitým ve výpočtu je rovna jedné. V tomto případě jde konkrétně o to, že úplný náhodný jev má podle binomické věty pravděpodobnost rovnou jedné. Viz následující výpočet 1−e

;=

;=

;=

1 8 3 ;=<8 10 1 8 3 ;=<8 1 3 ;= b )(' = *) = b 1(*; 10) ∙ W X ∙ W X = bW X∙W X ∙W X = W + X = 1;= = 1 4 4 * 4 4 4 4

8c=

8c=

8c=

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3j Máme najít pravděpodobnost vytažení čísla dělitelného 5 nebo 2 ze sady čísel 1 až 100. Oborem hodnot náhodného jevu ' tažení čísla ze sady 1 až 100 jsou čísla 1 až 100. Těchto čísel je 100. Označme '6 náhodný jev vytažení čísla dělitelného 2. V sadě 1 až 100 je celkem 50 čísel dělitelných 2. Označme 'A náhodný jev vytažení čísla dělitelného 5. V sadě 1 až 100 je celkem 20 čísel dělitelných 5. Důležité je uvědomit si, že náhodné jevy '6 a 'A nejsou disjunktní. Čísla dělitelná 10 jsou totiž dělitelná jak 2, tak 5. Takových čísel v sadě 1 až 100 je celkem 10. Proto platí )('6 ∪ 'A ) = )('6 ) + )('A ) − )('6 ∩ 'A ) Z předchozího jasně vyplývá 50 1 )('6 ) = = 100 2 20 1 )('A ) = = 100 5 10 1 )('6 ∩ 'A ) = = 100 10 Odtud již přímo po dosazení snadno dostaneme výsledek úlohy 1 1 1 5+2−1 6 3 )('6 ∪ 'A ) = + − = = = = 0,6 2 5 10 10 10 5 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3k V bedně je 49 výrobků, z nichž je 43 vadných. Náhodně vybereme 6 výrobků. Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že z vytažených výrobků jsou alespoň čtyři bez vady. 6 libovolných výrobků ze 49 výrobků v bedně můžeme vybrat celkem 1(6; 49) způsoby. V bedně je tedy 43 vadných a 6 bezvadných výrobků. Je důležité uvědomit si, že při postupném vybírání se vždy jeden z těchto počtů sníží. Označme ' = *, pro * = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 náhodný jev vybrání * bezvadných výrobků z 6 náhodně vybraných z bedny se 49 výrobky. V této situaci tedy platí ∀ ∃

15

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4 )(' = *) =

Potom

)(' = 0) =

)(' = 1) =

)(' = 2) =

)(' = 3) =

)(' = 4) =

)(' = 5) =

)(' = 6) =

1(*; 6) ∙ 1(6 − *; 43) $8& ∙ $:<8& = 1(6; 49) $7>& :

:

7B

1(0; 6) ∙ 1(6 − 0; 43) $=& ∙ $:<=& = 1(6, 49) $7>& :

1(1;

1(2;

1(3;

1(4;

1(5;

1(6;

7B

: : 7B 6) ∙ 1(6 − 1; 43) $;& ∙ $:<;& = 1(6; 49) & $7> : : 7B 6) ∙ 1(6 − 2; 43) $6& ∙ $:<6& = 1(6; 49) $7> & : : 7B 6) ∙ 1(6 − 3; 43) $B& ∙ $: : : 7B 6) ∙ 1(6 − 4, 43) $7& ∙ $:<7& = 1(6; 49) $7> & : : 7B 6) ∙ 1(6 − 5; 43) $A& ∙ $: & : : 7B 6) ∙ 1(6 − 6; 43) $:& ∙ $:<:& = 1(6; 49) $7> & :

Tyto jevy jsou navzájem disjunktní. Máme vypočítat )(' ≥ 4) snadnými úpravami postupujeme k výsledku. )(' ≥ 4) = )$(' = 4) ∪ (' = 5) ∪ (' = 6)& = )(' = 4) + )(' = 5) + )(' = 6) =

7B $:7& ∙ $:<7 &

7B $:A& ∙ $:
7B $::& ∙ $:<: &

+ + $7> $7> $7> & & & : : : 720 43 720 1 360 1806 ∙ 1 ∙ 2 120 720 ∙ 1 24 = + + 10068347520 10068347520 10068347520 720 720 720 15 ∙ 903 6 ∙ 43 1∙1 13545 258 1 = + + = + + 13983816 13983816 13983816 13983816 13983816 13983816 13804 = ≅ 0,000987141 13983816 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3l Házíme dvěma standardními hracími kostkami. Obor hodnot náhodného jevu hodu dvěma kostkami má 36 prvků a detailně vypsáno je jím množina 〈1,1〉, 〈1,2〉, 〈1,3〉, 〈1,4〉, 〈1,5〉, 〈1,6〉, Q〈2,1〉, 〈2,2〉, 〈2,3〉, 〈2,4〉, 〈2,5〉, 〈2,6〉,T O O 〈3,1〉, 〈3,2〉, 〈3,3〉, 〈3,4〉, 〈3,5〉, 〈3,6〉, (= P〈4,1〉, 〈4,2〉, 〈4,3〉, 〈4,4〉, 〈4,5〉, 〈4,6〉,S O〈5,1〉, 〈5,2〉, 〈5,3〉, 〈5,4〉, 〈5,5〉, 〈5,6〉,O N 〈6,1〉, 〈6,2〉, 〈6,3〉, 〈6,4〉, 〈6,5〉, 〈6,6〉R Zajímá nás pravděpodobnost náhodného jevu ', kdy součet hodnot na obou kostkách je 9. To se stane jen v následujících čtyřech případech 〈3,6〉, 〈4,5〉, 〈5,4〉, 〈6,3〉 .Odtud snadno dostaneme 1 4 = ≅ 0,111111 )(') = 36 9 ∀ ∃

16

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3m Házíme standardní hrací kostkou. Výsledkem každého hodu je jedna z 6 možností. a) Z těchto 6 možností jsou 3 sudá čísla. Proto pravděpodobnost, že padne sudé číslo, je 3 1 = = 0,5 6 2 b) Z těchto 6 možností jsou 2 čísla dělitelná třemi. Proto pravděpodobnost, že padne číslo dělitelné třemi, je 2 1 = ≅ 0,333333 6 3 c) Z těchto 6 možností je 5 čísel menších než 6. Proto pravděpodobnost, že padne číslo menší než 6, je 5 ≅ 0,833333 6 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3n V laboratoři je 60 baněk, z nichž je 6 špatně označených. Náhodně vybereme 5 baněk. Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že z vybraných baněk jsou právě 3 správně označené. 5 libovolných baněk ze 60 můžeme vybrat celkem 1(5; 60) způsoby. V laboratoři je tedy 6 vadně označených a 54 dobře označených baněk. Je důležité uvědomit si, že při postupném vybírání se vždy jeden z těchto počtů sníží. Označme ' = *, pro * = 0, 1, 2, 3, 4, 5 náhodný jev vybrání * správně označených baněk z 5 náhodně vybraných z laboratoře se 60 baňkami. V této situaci tedy platí )(' = *) =

1(*; 54) ∙ 1(5 − *; 6) $ 8 & ∙ $A<8& = 1(5; 60) & $:= A A7

Tyto jevy jsou navzájem disjunktní. Potom konkrétně )(' = 3) =

:

1(3; 54) ∙ 1(5 − 3; 6) $ B & ∙ $A
:

Máme vypočítat )(' = 3) snadnými úpravami postupujeme k výsledku. 148824 30 A7 : A7 : ∙ 2 1(3; 54) ∙ 1(5 − 3; 6) $ B & ∙ $A
Řešení 3o Máme 19 chlapců a 12 dívek, to je celkem 31 osob. Z nich náhodně vytvoříme trojici. Počet trojic, které lze z těchto chlapců a dívek je 1(3; 31). a) Pravděpodobnost, že ve vytvořené trojici budou samí chlapci (těch je 19) je 19 ∙ 18 ∙ 17 ;> 1(3; 19) $ B & 19 ∙ 18 ∙ 17 5814 = B; = 3 ∙ 2 ∙ 1 = = ≅ 0,215573 31 ∙ 30 ∙ 29 1(3; 31) $ B & 31 ∙ 30 ∙ 29 26970 3∙2∙1 b) Pravděpodobnost, že ve vytvořené trojici budou samé dívky (těch je 12) je ∀ ∃

17

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

12 ∙ 11 ∙ 10 ;6 1(3; 12) $ B & 12 ∙ 11 ∙ 10 1320 = B; = 3 ∙ 2 ∙ 1 = = ≅ 0,048943 31 ∙ 30 ∙ 29 1(3; 31) $ & 31 ∙ 30 ∙ 29 26970 B 3∙2∙1 c) Pravděpodobnost, že ve vytvořené trojici budou právě dva chlapci (těch je 19) a právě jedna dívka (těch je 12) je 19 ∙ 18 12 ;> ;6 ∙ 1(2; 19) ∙ 1(1; 12) $ 6 &$ ; & 2∙1 1 = 3 ∙ 342 ∙ 12 = 12312 ≅ 0,456507 = = B; 31 ∙ 30 ∙ 29 1(3; 31) 31 ∙ 30 ∙ 29 26970 $B& 3∙2∙1 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3p V bedně je 30 výrobků, z nichž jsou 3 vadné. Náhodně vybereme 5 výrobků. Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že z vybraných výrobků jsou nejvýše 2 vadné. 5 libovolných výrobků ze 30 výrobků v bedně můžeme vybrat celkem 1(5; 30) způsoby. V bedně je tedy 3 vadných a 27 bezvadných výrobků. Je důležité uvědomit si, že při postupném vybírání se vždy jeden z těchto počtů sníží. Označme ' = *, pro * = 0, 1, 2, 3 náhodný jev vybrání * vadných výrobků z 5 náhodně vybraných z bedny se 30 výrobky. V této situaci tedy platí 1(*; 3) ∙ 1(5 − *; 27) $8& ∙ $A<8& = )(' = *) = 1(5; 30) $B= & A B

Potom

69

1(0; 3) ∙ 1(5 − 0; 27) $=& ∙ $A<=& = )(' = 0) = 1(5; 30) $B= & A B

69

1(1; 3) ∙ 1(5 − 1; 27) $;& ∙ $A<;& )(' = 1) = = 1(5; 30) $B= & A B

69

1(2; 3) ∙ 1(5 − 2; 27) $6& ∙ $A<6& )(' = 2) = = 1(5; 30) $B= & A B

69

1(3; 3) ∙ 1(5 − 3; 27) $B& ∙ $A
A

69

Tyto jevy jsou navzájem disjunktní. Máme vypočítat )(' ≤ 2) snadnými úpravami postupujeme k výsledku. )(' ≤ 2) = )$(' = 0) ∪ (' = 1) ∪ (' = 2)& = )(' = 0) + )(' = 1) + )(' = 2) =

69 $B=& ∙ $A<= &

+

69 $B;& ∙ $A<; &

+

69 $B6& ∙ $A<6 &

=

$B=& ∙ $69 & A

+

$B;& ∙ $69 & 7

+

$B6& ∙ $69 & B

$B= $B= & $B= & $B= & $B= & & $B= & A A A A A A 9687600 3 421200 6 17550 1 ∙ 120 ∙ 6 ∙ 24 1 ∙ 80730 3 ∙ 17550 3 ∙ 2925 = +1 + 2 = + + 17100720 17100720 17100720 142506 142506 142506 120 120 120 80730 52650 8775 142155 = + + = ≅ 0,997536 142506 142506 142506 142506 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3q Máme určit pravděpodobnost, že libovolně náhodně vybrané číslo od 1 do 20 je prvočíslo. V tomto rozsahu jsou jen následující prvočísla 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Těch je celkem osm. Hledaná pravděpodobnost tedy je ∀ ∃

18

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

8 2 = = 0,4 20 5 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3r Máme k dispozici cifry 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (je jich sedm), každou z nich nejméně třikrát. Máme určit pravděpodobnost toho, že libovolně vytvořené trojmístné číslo z těchto cifer je rovno 445. Pozor, číselná skupina ze tří cifer začínající nulou se nepovažuje za trojmístné číslo. Trojmístné číslo z daných cifer vytvoříme tak, že na první pozici bude libovolná z šesti cifer (daná skupina kromě nuly), na druhém místě bude libovolná z daných sedmi cifer a na třetím místě bude rovněž libovolná z daných sedmi cifer. Počet tato vytvořených třímístných čísel tedy je 6 ∙ 7 ∙ 7 = 294 Zkoumaný náhodný jev se vztahuje ke třímístnému číslu 445. To je jedna z předchozích 294 možností. Hledaná pravděpodobnost tedy je 1 = 0,003401361 294 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3s Máme 100 párů bot, z nichž je 5 párů vadných. Náhodně vybereme 4 páry. Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že z vybraných párů bot je alespoň jeden pár vadný. 4 libovolné páry ze 100 párů můžeme vybrat celkem 1(4; 100) způsoby. Máme tedy 5 vadných a 95 bezvadných párů. Je důležité uvědomit si, že při postupném vybírání se vždy jeden z těchto počtů sníží. Označme ' = *, pro * = 0, 1, 2, 3, 4 náhodný jev vybrání * vadných párů ze 4 náhodně vybraných ze 100 párů. V této situaci tedy platí

Potom

A >A 1(*; 5) ∙ 1(4 − *; 95) $8& ∙ $7<8& )(' = *) = = 1(4; 100) $;== & 7 A >A 1(0; 5) ∙ 1(4 − 0; 95) $=& ∙ $7<=& = )(' = 0) = 1(4; 100) $;== & 7 A >A 1(1; 5) ∙ 1(4 − 1; 95) $;& ∙ $7<;& )(' = 1) = = 1(4; 100) $;==&

)(' = 2) =

1(2; 5) ∙ 1(4 − 2; 95) = 1(4; 100)

7

>A $A6& ∙ $7<6 &

$;== & 7

A >A 1(3; 5) ∙ 1(4 − 3; 95) $B& ∙ $7A 1(4; 5) ∙ 1(4 − 4; 95) $7& ∙ $7<7& )(' = 4) = = 1(4; 100) $;== & 7

Tyto jevy jsou navzájem disjunktní. Máme vypočítat )(' ≥ 1) snadnými úpravami postupujeme k výsledku. )(' ≥ 1) = )$(' = 1) ∪ (' = 2) ∪ (' = 3) ∪ (' = 4)& = )(' = 1) + )(' = 2) + )(' = 3) + )(' = 4) $A& ∙ $ >A & $A& ∙ $ >A & $A& ∙ $ >A & $A& ∙ $ >A & = ; ;==7<; + 6 ;==7<6 + B ;==7
19

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 =

$A;& ∙ $>A & B

+

& $A6& ∙ $>A 6

ČÁST 4 +

$AB& ∙ $>A & ;

+

$A7& ∙ $>A & =

$;== & $;== & $;== & 7 7 7 5 830490 60 95 20 8930 120 1 ∙ ∙ 1 ∙ ∙ 1 6 6 2 2 = + + + 24 1 94109400 94109400 94109400 94109400 24 24 24 24 5 ∙ 138415 10 ∙ 4465 10 ∙ 95 5∙1 = + + + 3921225 3921225 3921225 3921225 692075 44650 950 5 737680 = + + + = ≅ 0,188124884 3921225 3921225 3921225 3921225 3921225 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀ ∃

$;== & 7

20

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

Příklad 4 a) V osudí se losuje 5 čísel z 35. Za 3 uhodnuta čísla se vyplácí třetí cena. Jaká je pravděpodobnost, že vyhrajeme právě třetí cenu, pokud podáme tiket s jednou pěticí čísel? b) V obchodním domě mají 100 televizorů, z toho je 85 první a 15 druhé jakosti. Prvních deset kupujících dostalo televizor první jakosti. Jaká je pravděpodobnost, že jedenáctému předvedou televizor druhé jakosti? c) V urně jsou 4 bílé a 3 modré kuličky. Náhodně vytáhneme 2 kuličky. Jaká je pravděpodobnost, že: a. obě kuličky jsou bílé, b. jedna kulička je bílá a jedna modrá? d) Házíme třemi kostkami. a. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet 9? b. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet 10? c. Odůvodněte, proč při hodu třemi kostkami součet 10 padá častěji než součet 9. e) Ve skladu je 800 součástek, z toho 20 vadných. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 9 náhodně vybranými součástkami nebudou více než 3 vadné? f) Ve třídě je 30 žáků. Sedm z nich nemá domácí úkol. Učitel vyvolá náhodně 6 žáků. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň 4 z nich vypracovali domácí úkol? g) Čtyři pánové si odloží v šatně čtyři stejné klobouky. Jaká je pravděpodobnost, že při odchodu alespoň jeden z nich dostane zpět svůj klobouk? h) Házíme třikrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že poprvé padne sudé číslo, podruhé číslo větší než čtyři a potřetí liché číslo? i) Tři střelci střílejí – každý jednou – na stejný terč. První zasáhne cíl s pravděpodobností 70%, druhý s pravděpodobností 80% a třetí s pravděpodobností 90%. Jaká je pravděpodobnost, že cíl zasáhnou a. alespoň jednou, b. alespoň dvakrát? j) Pravděpodobnost, že žárovka bude svítit déle než 800 hodin, je 0,2. Na chodbě jsou tři žárovky. Jaká je pravděpodobnost, že po 800 hodinách provozu bude svítit alespoň jedna z nich? k) V sportce se losuje 6 čísel ze 49. Jaká je pravděpodobnost, že, pokud jsme tipovali jednu šestici čísel, vyhrajeme a. první cenu (tipneme 6 čísel správně), b. druhou cenu (tipneme 5 čísel správně), c. třetí cenu (tipneme 4 čísla správně), d. čtvrtou cenu (tipneme 3 čísla správně)? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 4a

Losuje se 5 čísel z 35. Počet možných kombinací losovaných čísel je tedy 1(5; 35). Tiket byl podán s jednou pěticí čísel. Označme ' = * náhodný jev shody * čísel vylosované kombinace a kombinace 5 čísel zapsané na tiketu. Náhodně vybranou *-tici čísel z pěti zapsaných na tiketu lze vybrat celkem 1(*; 5) způsoby, zbylých 5 − * čísel může být libovolně vybráno z nevylosovaných čísel, tedy celkem 1(5 − *; 35 − 5) způsoby. Tedy obecně ∀ ∃

21

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4 )(' = *) =

1(*; 5) ∙ 1(5 − *; 35 − 5) 1(5; 35)

5 ∙ 4 ∙ 3 30 ∙ 29 A BA
Řešení 4b K dispozici bylo 85 televizorů první jakosti a 15 druhé jakosti. Prvních deset kupujících dostalo televizor první jakosti. Zbylo tedy 75 televizorů první a 15 televizorů druhé jakosti, tedy celkem 90 televizorů. Prodej dalšímu zákazníkovi závisí vždy na aktuálním stavu zboží, nikoli na předchozích uskutečněných prodejích. Označíme-li ' náhodný jev prodej televizoru druhé jakosti dalšímu zákazníkovi, pak 15 15 5 1 15 = = = = ≅ 0,1666667 )(') = 15 + (85 − 10) 15 + 75 90 30 6 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 4c Náhodně vybíráme dvě kuličky ze 4 bílých a 3 modrých, neboli celkem ze 7 kuliček. To lze udělat právě 1(2; 7) způsoby. a) Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že nastane náhodný jev ', že obě kuličky budou bílé. Dvě bílé kuličky lze vybrat právě 1(2; 4) způsoby. Proto 4∙3 7 1(2; 4) $6& 2 ∙ 1 4 ∙ 3 12 2 = = = = = = 0,285714 )(') = 1(2; 7) $96& 7 ∙ 6 7 ∙ 6 42 7 2∙1 b) Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že nastane náhodný jev D, že jedna kulička je bílá a druhá modrá. Jednu bílou kuličku lze vybrat právě 1(1; 4) způsoby. Jednu modrou kuličku lze vybrat právě 1(1; 3) způsoby. Proto 4 3 4∙3 12 7 B 1(1; 4) ∙ 1(1; 3) $;& ∙ $;& 1 ∙ 1 12 4 1 ∙ 1 )(D) = = = = = 1 = = = 0,571429 9 7∙6 7∙6 42 21 7 1(2; 7) $ 6& 2∙1 2∙1 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 4d Házíme najednou třemi standardními kostkami (každá má šest stran). Celkový počet možných výsledků je ! [ (3; 6), protože jde o variace s opakováním, neboť výsledek hodu na jedné kostce neovlivňuje výsledek hodu jinou kostkou. a) Máme zjistit pravděpodobnost, že nastane náhodný jev ', neboli že padne součet 9. Tato situace může nastat ve 25 výsledcích hodu. Je důležité uvědomit si, že jde o uspořádané trojice, neboť stejný výsledek na různých kostkách nelze zaměňovat. Konkrétně součet 9 padne při následujících výsledcích hodu. ∀ ∃

22

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

〈1,2,6〉, 〈1,3,5〉, 〈1,4,4〉, 〈1,5,3〉, 〈1,6,2〉, Q〈2,1,6〉, 〈2,2,5〉, 〈2,3,4〉, 〈2,4,3〉, 〈2,5,2〉, 〈2,6,1〉,T O O 〈3,1,5〉, 〈3,2,4〉, 〈3,3,3〉, 〈3,4,2〉, 〈3,5,1〉, 〈4,1,4〉, 〈4,2,3〉, 〈4,3,2〉, 〈4,4,1〉, P S 〈5,1,3〉, 〈5,2,2〉, 〈5,3,1〉, O O N 〈6,1,2〉, 〈6,2,1〉, R Odtud snadno dostaneme 25 25 25 )(') = [ = B= = 0,115741 ! (3; 6) 6 216 b) Máme zjistit pravděpodobnost, že nastane náhodný jev D, neboli že padne součet 10. Tato situace může nastat ve 27 výsledcích hodu. Je důležité uvědomit si, že jde o uspořádané trojice, neboť stejný výsledek na různých kostkách nelze zaměňovat. Konkrétně součet 10 padne při následujících výsledcích hodu. 〈1,3,6〉, 〈1,4,5〉, 〈1,5,4〉, 〈1,6,3〉, Q T 〈2,2,6〉, 〈2,3,5〉, 〈2,4,4〉, 〈2,5,3〉, 〈2,6,2〉, O O 〈3,1,6〉, 〈3,2,5〉, 〈3,3,4〉, 〈3,4,3〉, 〈3,5,2〉, 〈3,6,1〉 〈4,1,5〉, 〈4,2,4〉, 〈4,3,3〉, 〈4,4,2〉, 〈4,5,1〉, P S 〈5,1,4〉, 〈5,2,3〉, 〈5,3,2〉, 〈5,4,1〉, O O N R 〈6,1,3〉, 〈6,2,2〉, 〈6,3,1〉, Odtud snadno dostaneme 27 27 27 1 )(D) = [ = B= = = 0,125 ! (3; 6) 6 216 8 c) Důvod, proč při hodu třemi kostkami padá součet 10 častěji než součet 9 je zřejmý. Pro součet 9 je 25 možností výsledků hodu a pro součet 10 je 27 možných výsledků hodu. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 4e Máme 800 součástek, z nichž je 20 vadných. Náhodně vybereme 9 součástek. Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými součástkami nebudou více než 3 vadné. 9 libovolných součástek z 800 můžeme vybrat celkem 1(9; 800) způsoby. Máme tedy 20 vadných a 780 bezvadných součástek. Je důležité uvědomit si, že při postupném vybírání se vždy jeden z těchto počtů sníží, používáme tedy kombinace. Označme ' = *, pro * = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 náhodný jev vybrání * vadných součástek z 9 náhodně vybraných součástek z 800. V této situaci tedy platí )(' = *) =

6= 9C= 1(*; 20) ∙ 1(9 − *; 780) $ 8 & ∙ $><8& = 1(9; 800) $C== & >

Tyto jevy jsou navzájem disjunktní. Máme vypočítat )(' ≤ 3) snadnými úpravami postupujeme k výsledku. )(' ≤ 3) = )$(' = 0) ∪ (' = 1) ∪ (' = 2) ∪ (' = 3)& = )(' = 0) + )(' = 1) + )(' = 2) + )(' = 3) $6=& ∙ $ 9C= & $6=& ∙ $ 9C= & $6=& ∙ $ 9C= & $6=& ∙ $ 9C= & = = C==><= + ; C==><; + 6 C==><6 + B C==> & $ > & $ > & $ > & =

∀ ∃

$6= & ∙ $9C= & = > $C== & >

+

$6= & ∙ $9C= & ; C $C== & >

+

$6= & ∙ $9C= & 6 9 $C== & >

+

$6= & ∙ $9C= & B : $C== & >

=

23

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

1 ∙ 281171191953133000000 20 ∙ 3277902496862950000 190 ∙ 33923958570379800 + + 353536301208678000000 353536301208678000000 353536301208678000000 1140 ∙ 306805826863900 + 353536301208678000000 281171191953133000000 65558049937259000000 = + 353536301208678000000 353536301208678000000 6445552128372160000 349758642624846000 + + 353536301208678000000 353536301208678000000 ≅ 0,79531067 + 0,18543513 + 0,01823166 + 0,00098931 ≅ 0,99996677 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… =

Řešení 4f Máme 30 žáků, z nichž 7 nemá domácí úkol. Náhodně vybereme 6 žáků. Máme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými žáky alespoň 4 mají domácí úkol. 6 libovolných žáků ze 30 můžeme vybrat celkem 1(6; 30) způsoby. Máme tedy 7 žáků bez úkolu a 23 žáků s úkolem. Je důležité uvědomit si, že při postupném vybírání se vždy jeden z těchto počtů sníží, používáme tedy kombinace. Označme ' = *, pro * = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 náhodný jev vybrání * žáků s úkolem ze 6 náhodně vybraných žáků ze 30. V této situaci tedy platí 1(*; 23) ∙ 1(6 − *; 7) $ 8 & ∙ $:<8& = )(' = *) = 1(6; 30) $B= & : 6B

9

Tyto jevy jsou navzájem disjunktní. Máme vypočítat )(' ≥ 4) snadnými úpravami postupujeme k výsledku. )(' ≥ 4) = )$(' = 4) ∪ (' = 5) ∪ (' = 6)& = )(' = 4) + )(' = 5) + )(' = 6) 1(4; 23) ∙ 1(6 − 4; 7) 1(5; 23) ∙ 1(6 − 5; 7) 1(6; 23) ∙ 1(6 − 6; 7) = + + 1(6; 30) 1(6; 30) 1(6; 30) 6B 9 6B 9 6B 9 6B 6B 9 $ & ∙ $ & $ & ∙ $ & $ & ∙ $ & $ & ∙ $ & $ & ∙ $9& $6B& ∙ $9& = 7 B= :<7 + A B= :
Řešení 4g

Celou situaci si můžeme znázornit tak, že jednotlivé klobouky označíme I; , I6 , IB , I7 a nalezneme všechny jejich permutace (jako různé uspořádané trojice). Přitom I] na ^- pozici představuje situaci odebrání _-tého klobouku ^-tým pánem. Těchto permutací je )(4) = 4! = 24 Detailně vypsáno jde o tyto permutace (I , I , I , I ), (I; , I6 , I7 , IB ), (I; , IB , I6 , I7 ), (I; , IB , I7 , I6 ), (I; , I7 , I6 , IB ), (I; , I7 , IB , I6 ), Q ; 6 B 7 T (I6 , I; , IB , I7 ), (I6 , I; , I7 , IB ), (I6 , IB , I; , I7 ), (I6 , IB , I7 , I; ), (I6 , I7 , I; , IB ), (I6 , I7 , IB , I; ), P(IB , I; , I6 , I7 ), (IB , I; , I7 , I6 ), (IB , I6 , I; , I7 ), (IB , I6 , I7 , I; ), (IB , I7 , I; , I6 ), (IB , I7 , I6 , I; ),S N (I7 , I; , I6 , IB ), (I7 , I; , IB , I6 ), (I7 , I6 , I; , IB ), (I7 , I6 , IB , I; ), (I7 , IB , I; , I6 ), (I7 , IB , I6 , I; )R Označme ' = * náhodný jev odebrání * správných klobouků ze 4 celkem 4-mi pány. Jevu ' = 0 odpovídají permutace (I6 , I; , I7 , IB ), (I6 , IB , I7 , I; ), (I6 , I7 , I; , IB ), (IB , I; , I7 , I6 ), (IB , I7 , I; , I6 ) (IB , I7 , I6 , I; ), (I7 , I; , I6 , IB ), (I7 , IB , I; , I6 ), (I7 , IB , I6 , I; ) Jevu ' = 1 odpovídají permutace ∀ ∃

24

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

(I; , IB , I7 , I6 ), (I; , I7 , I6 , IB ), (I6 , I; , IB , I7 ), (I6 , IB , I; , I7 ), (I6 , I7 , IB , I; ), (IB , I; , I6 , I7 ), (IB , I6 , I7 , I; ), (I7 , I; , IB , I6 ), (I7 , I6 , I; , IB ) Jevu ' = 2 odpovídají permutace (I; , I6 , I7 , IB ), (I; , I7 , IB , I6 ), (I; , IB , I6 , I7 ), (IB , I6 , I; , I7 ), (I7 , I6 , IB , I; ) Jevu ' = 3 neodpovídá žádná permutace. Jevu ' = 4 odpovídá permutace (I; , I6 , IB , I7 ) Tedy 9 3 9 3 5 0 )(' = 0) = = , )(' = 1) = = , )(' = 2) = , )(' = 3) = = 0, 24 8 24 8 24 24 1 )(' = 4) = , 24 Máme nalézt pravděpodobnost, že do správné klobouk si vezme alespoň jeden pán. Je zřejmé, že náhodné jevy )(' = *), pro * = 0, 1, 2, 3, 4 jsou vzájemně disjunktní. Nyní již můžeme snadno vypočítat )(' ≥ 1) = )$(' = 1) ∪ (' = 2) ∪ (' = 3) ∪ (' = 4)& 3 5 1 = )(' = 1) + )(' = 2) + )(' = 3) + )(' = 4) = + +0+ 8 24 24 9 5 0 1 15 5 = + + + = = = 0,625 24 24 24 24 24 8 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 4h Hodíme třikrát jednou standardní kostkou. Výsledky jednotlivých hodů nemají žádný vliv na výsledky ostatních hodů. Označme ' náhodný jev, že při prvním hodu padne sudé číslo. Označme D náhodný jev, že při druhém hodu padne číslo větší než 4. Označme \ náhodný jev, že při třetím hodu padne liché číslo. Při hodu standardní kostkou padne vždy jedna ze 6 hodnot. Pro první hod platí, že sudá čísla ze zmíněných šesti jsou tři. Pro druhý hod platí, že čísla větší než 4 ze zmíněných šesti jsou dvě. Pro třetí hod platí, že lichá čísla ze zmíněných šesti jsou tři. Tedy 3 1 2 1 3 1 )(') = = , )(D) = = , )(\) = = 6 3 6 2 6 2 Máme vypočítat pravděpodobnost, že všechny tři zmíněné jevy nastanou současně. Snadno odvodíme 1 1 1 1 )(' ∩ D ∩ \) = )(') ∙ )(D) ∙ )(\) = ∙ ∙ = ≅ 0,0833333 2 3 2 12 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 4i

Máme tři střelce. Každý střílí právě jednou. První zasáhne cíl s pravděpodobností i = 0,7 a mine s pravděpodobností i = 0,3. Druhý zasáhne cíl s pravděpodobností = 0,8 a mine s pravděpodobností = 0,2. Třetí zasáhne cíl s pravděpodobností j = 0,9 a mine s pravděpodobností j̅ = 0,1. Označme náhodný jev ' = *, že střelci zasáhnou cíl právě * krát. Potom )(' = 0) = i ∙ ∙ j̅ = 0,3 ∙ 0,2 ∙ 0,1 = 0,006 )(' = 1) = i ∙ ∙ j̅ + i ∙ ∙ j̅ + i ∙ ∙ j = 0,014 + 0,024 + 0,054 = 0,092 )(' = 2) = i ∙ ∙ j̅ + i ∙ ∙ j + i ∙ ∙ j = 0,056 + 0,126 + 0,216 = 0,398 ∀ ∃

25

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

)(' = 3) = i ∙ ∙ j = 0,7 ∙ 0,8 ∙ 0,9 = 0,504 a) Máme určit pravděpodobnost náhodného jevu ', že střelci zasáhnou cíl alespoň jednou. To znamená, že máme vypočítat )(' ≥ 1). To provedeme snadno takto )(' ≥ 1) = )$(' = 1) ∪ (' = 2) ∪ (' = 3)& = )(' = 1) + )(' = 2) + )(' = 3) = 0,092 + 0,398 + 0,504 = 0,994 b) Máme určit pravděpodobnost náhodného jevu ', že střelci zasáhnou cíl alespoň dvakrát. To znamená, že máme vypočítat )(' ≥ 2). To provedeme snadno takto )(' ≥ 2) = )$(' = 2) ∪ (' = 3)& = )(' = 2) + )(' = 3) = 0,398 + 0,504 = 0,902 Poznámka První podúlohu lze řešit i jinak. Máme určit pravděpodobnost náhodného jevu ', že střelci zasáhnou cíl alespoň jednou. Tato situace je doplňkovým jevem k jevu, že všichni tři střelci současně minou. Potom hledanou pravděpodobnost nalezneme velmi snadno )(') = 1 − i ∙ ∙ j̅ = 1 − 0,3 ∙ 0,2 ∙ 0,1 = 1 − 0,006 = 0,994 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 4j Máme tři žárovky. Pro každou z nich platí, že pravděpodobnost, že bude svítit po nominální době je i = 0,2, pravděpodobnost, že svítit nebude je i = 0,8. Označme ' = *, pro * = 0, 1, 2, 3 náhodný jev, že po nominální době bude svítit * žárovek. Potom )(' = 0) = i ∙ i ∙ i = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 = 0,512 )(' = 1) = i ∙ i ∙ i + i ∙ i ∙ i + i ∙ i ∙ i = 0,128 + 0,128 + 0,128 = 0,384 )(' = 2) = i ∙ i ∙ i + i ∙ i ∙ j + i ∙ ∙ j = 0,032 + 0,032 + 0,032 = 0,096 )(' = 3) = i ∙ i ∙ i = 0,2 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,008 Máme určit pravděpodobnost náhodného jevu ', že po uplynutí nominální doby bude svítit alespoň jedna žárovka. To znamená, že máme vypočítat )(' ≥ 1). To provedeme snadno takto )(' ≥ 1) = )$(' = 1) ∪ (' = 2) ∪ (' = 3)& = )(' = 1) + )(' = 2) + )(' = 3) = 0,384 + 0,096 + 0,008 = 0,488 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 4k Losuje se 6 čísel ze 49 (například sportka hodně postaru). Počet možných kombinací losovaných čísel je tedy 1(6; 49). Tipována byla jedna šestice čísel. Označme ' = * náhodný jev shody * čísel vylosované kombinace a kombinace 6 čísel zapsané na tiketu. Náhodně vybranou *-tici čísel z šesti zapsaných na tiketu lze vybrat celkem 1(*; 6) způsoby, zbylých 5 − * čísel může být libovolně vybráno z nevylosovaných čísel, tedy celkem 1(6 − *; 49 − 6) způsoby. Tedy obecně 1(*; 6) ∙ 1(6 − *; 49 − 6) )(' = *) = 1(6; 49) Je zřejmé, že náhodné jevy ' = * jsou vzájemně disjunktní. Hledáme

1∙1 1 1(6; 6) ∙ 1(6 − 6; 49 − 6) $:& ∙ $ :<: & $:& ∙ $:<=& = = = = = )(' = 6) = 7> 7> 1(6; 49) 13983816 13983816 $:& $:& :

7><:

:

7B

≅ 0,0000000715

: 7><: : 7B 1(5; 6) ∙ 1(6 − 5; 49 − 6) $A& ∙ $ : 7> 1(6; 49) 13983816 13983816 $:& $:& ≅ 0,0000184499

∀ ∃

26

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 )(' = 4) =

ČÁST 4

: 7><: : 7B 1(4; 6) ∙ 1(6 − 4; 49 − 6) $7& ∙ $ :<7 & $7& ∙ $ 6 & 15 ∙ 903 13545 = = = = = 7> 7> 1(6; 49) 13983816 13983816 $ & $ &

≅ 0,000968197

:

:

: 7><: : 7B 1(3; 6) ∙ 1(6 − 3; 49 − 6) $B& ∙ $ : 7> 1(6; 49) 13983816 13983816 $:& $:& ≅ 0,0176504039 Jen jako doplněk můžeme vypočítat

)(' = 3) =

: 7><: : 7B 1(2; 6) ∙ 1(6 − 2; 49 − 6) $6& ∙ $ :<6 & $6& ∙ $ 7 & 15 ∙ 123410 1851150 )(' = 2) = = = = = = 7> 7> 1(6; 49) 13983816 13983816 $ & $ &

≅ 0,1323780290

:

:

: 7><: : 7B 1(1; 6) ∙ 1(6 − 1; 49 − 6) $;& ∙ $ :<; & $;& ∙ $ A & 6 ∙ 962598 5775588 = = = = = 7> 7> 1(6; 49) 13983816 13983816 $:& $:& ≅ 0,4130194505 : 7><: : 7B 1(0; 6) ∙ 1(6 − 0; 49 − 6) $=& ∙ $ :<= & $=& ∙ $ : & 1 ∙ 6096454 6096454 )(' = 0) = = = = = = 7> 7> 1(6; 49) 13983816 13983816 $:& $:&

)(' = 1) =

≅ 0,4359649755

Poznámka Alespoň základní správnost postupu ověříme, když sečteme pravděpodobnost všech možností (jsou disjunktní, jak bylo uvedeno). Tento součet musí být roven 1, protože sjednocení všech možností je jev jistý. Snadno ověříme :

:

b )(' = *) = b

8c=

8c=

1(*; 6) ∙ 1(6 − *; 49 − 6) 1(6; 49)

≅ 0,4359649755 + 0,4130194505 + 0,1323780290 + 0,0176504039 + 0,000968197 + 0,0000184499 + 0,0000000715 ≅ 1 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀ ∃

27

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

Příklad 5

a) Jsou známy pravděpodobnosti )( ) = 0,3; )( ) = 0,6; )( ∪ ) = 0,7. Vypočtěte pravděpodobnost )( ∩ ) a rozhodnout, zda jsou jevy a nezávislé. b) Stroj se porouchá, jakmile u některé z jeho šesti základních součástek nastane porucha. Pravděpodobnost poruchy je 0,001. Poruchy základních součástek jsou nezávislé. Jaké je pravděpodobnost, že se stroj porouchá? c) Náhodná veličina udává, kolikrát při dvou hodech mincí padne panna. Odvoďte pravděpodobnostní funkci ) veličiny , její distribuční funkci , střední hodnotu a rozptyl kil . Pomocí distribuční funkce pak vyjádřete pravděpodobnost, že panna padne právě jednou a pravděpodobnost, že panna padne alespoň jednou. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 5a Použijeme vzorec pro pravděpodobnosti sjednocení jevů )( ∪ ) = )( ) + )( ) − )( ∩ ) Odtud snadno vyjádříme )( ∩ ) = )( ) + )( ) − )( ∪ ) Po dosazení dostaneme )( ∩ ) = 0,3 + 0,6 − 0,7 = 0,2 Pro nezávislé jevy musí platit )( ∩ ) = )( ) ∙ )( ) Nezávislost ověříme dosazením 0,2 ≠ 0,3 ∙ 0,6 = 0,18 Rovnost zjevně neplatí. Proto je zřejmé, že jevy a nejsou nezávislé, neboli jsou závislé. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 5b

jev, že se stroj porouchá a ] jev, že se porouchá i-tá součástka, pak můžeme psát ∀_ ∈ , _ ∈ 〈1,6〉; )( ] ) = 0,001 Dále víme, že jevy ; , 6 , B , 7 , A , : jsou nezávislé. Stroj se tedy porouchá, když nastane alespoň jeden z jevů ] . Tedy platí )( ) = )( ; ∪ 6 ∪ B ∪ 7 ∪ A ∪ : ) Poslední výraz dále budeme upravovat pomocí doplňkových jevů takto )( ) = )( ; ∪ 6 ∪ B ∪ 7 ∪ A ∪ : ) = 1 − )( ; ∪ 6 ∪ B ∪ 7 ∪ A ∪ : ) = 1 − )( ; ∩ 6 ∩ B ∩ 7 ∩ A ∩ : ) = 1 − )( ; ))( 6 ))( B ))( 7 ))( A ))( : ) = 1 − $1 − )( ; )&$1 − )( 6 )&$1 − )( B )&$1 − )( 7 )&$1 − )( A )&$1 − )( : )& Dosadíme a snadno získáme hledanou pravděpodobnost )( ) = 1 − (1 − 0,001)(1 − 0,001)(1 − 0,001)(1 − 0,001)(1 − 0,001)(1 − 0,001) = 1 − 0,999 ∙ 0,999 ∙ 0,999 ∙ 0,999 ∙ 0,999 ∙ 0,999 = 1 − 0,999: = 1 − 0,994014980014994 = 0,005985019985006 ≅ 0,006 = 0,6 % …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Označíme-li

∀ ∃

28

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

Řešení 5c Při hodu mincí může padnout panna (n), nebo orel (o). Při dvou hodech nemusí padnout panna vůbec, neboli = 0, může padnout právě jednou, neboli = 1, nebo může padnout právě dvakrát, neboli = 2. Možné hodnoty náhodné veličiny jsou tedy 0, 1, 2, její obor hodnot je konečný. Náhodná veličina je diskrétní. Množinou možných výsledků pokusu dvou hodů mincí je tedy ( = (n, n), (n, o), (o, n), (o, o) V každé dvojici je první prvek výsledkem prvního hodu a druhý prvek výsledkem druhého hodu. Náhodná veličina přiřazuje jednotlivým výsledkům z množiny ( hodnoty 0, 1, 2 takto: (n, n) → 2, (n, o) → 1, (o, n) → 1, (o, o) → 0 Jednotlivé hodnoty dostaneme jako výsledky následujících výsledků náhodného pokusu: Y= = )(' = 0) = )( (o, o) ) = Yqq Y; = )(' = 1) = )( (n, o), (o, n) ) = Yrq + Yqr Y6 = )(' = 2) = )( (n, n) ) = Yrr Předpokládáme, že výsledku hodů jsou nezávislé a mince nejsou cinknuté (panna a orel padají se stejnou pravděpodobností). Na základě tohoto předpokladu můžeme psát 1 Yqq + Yrq + Yqr + Yrr = 4 Dosadíme a dostaneme 1 1 1 1 1 Y= = )(' = 0) = , Y; = )(' = 1) = + = , Y6 = )(' = 2) = 4 4 4 2 4 Pravděpodobnostní funkce je symetrická kolem hodnoty 1. Součet všech pravděpodobností je 1, jak je očekáváno. Distribuční funkce je schodovitá se skoky v bodech oboru hodnot veličiny . Velikosti skoků jsou rovny pravděpodobnostem v příslušných bodech. Tedy (I) = 0, I ∈ (−∞, 0) 1 (I) = Y= = )(' = 0) = , I ∈ t0, 1) 4 1 1 3 (I) = Y= + Y; = )(' = 0) + )(' = 1) = + = , I ∈ t1, 2) 4 2 4 1 1 1 (I) = Y= + Y; + Y6 = )(' = 0) + )(' = 1) + )(' = 2) = + + = 1, I ∈ t2, ∞) 4 2 4 Střední hodnotu budeme počítat jako vážený průměr čísel z oboru hodnot náhodné veličiny, kde vahami jsou jednotlivé pravděpodobnosti (jde o diskrétní rozdělení). 1 1 1 1 2 = 0 ∙ Y= + 1 ∙ Y; + 2 ∙ Y6 = 0 ∙ + 1 ∙ + 2 ∙ = 0 + + = 1 4 2 4 2 4 Pravděpodobnostní funkce je symetrická kolem střední hodnoty. To je očekávaný výsledek. Pro výpočet rozptylu budeme počítat podle vzorce 6 kil = − ( )6 Dosadíme a dostaneme 1 1 1 6 kil = − ( )6 = 06 ∙ Y= + 16 ∙ Y; + 26 ∙ Y6 − ( )6 = 06 ∙ + 16 ∙ + 26 ∙ − 16 = 4 2 4 1 1 1 1 1 = 0∙ +1∙ +4∙ −1 = 0+ +1−1= 4 2 4 2 2 ∀ ∃

29

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 4

Máme určit pravděpodobnost, že líc padne alespoň jednou, tedy, že nastane jev ' ≥ 1. Protože pracujeme s diskrétním rozdělením, je tato pravděpodobnost součtem pravděpodobností Y] pro _ ≥ 1, neboli 1 1 3 )(' ≥ 1) = b Y] = Y; + Y6 = + = 2 4 4 ]u;

Tuto pravděpodobnost lze pochopitelně vypočítat i několika jinými způsoby. Máme určit pravděpodobnost, že líc padne právě jednou, tedy, že nastane jev ' = 1. Tuto hodnotu již známe 1 )(' = 1) = Y; = 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀ ∃

30