ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 7
Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku doby jeho čekání na odjezd ze zastávky. b) Prodejna očekává dodávku nového zboží v určitý konkrétní den v době od 8 do 10 hodin. Uskutečnění dodávky je možné kdykoliv v tomto časovém intervalu. Určete pravděpodobnost, že zboží bude oddáno v době od půl deváté do tři čtvrtě na devět. c) Náhodná veličina 𝑋 má rovnoměrné rozdělení v intervalu (2, 6). Vypočítejte: a. 𝐸(2𝑋 + 3) b. 𝐸(4𝑋 2 − 5𝑋 + 2) c. 𝑣𝑎𝑟(6𝑋 − 7) d. 𝑣𝑎𝑟(𝑋 2 ) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1a Doba čekání na odjezd 𝑋 je náhodná veličina se spojitým rovnoměrným rozdělením v intervalu (0, 5). Podle teorie je střední hodnota a rozptyl 0+5 5 𝐸𝑋 = = = 2,50 2 2 (5 − 0)2 52 25 𝑣𝑎𝑟 𝑋 = = = = 2,08333 12 12 12 Odtud směrodatná odchylka je √𝑣𝑎𝑟 𝑋 = √2,08333 = 1,443376 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1b Náhodná veličina 𝑋 představuje okamžik dodávky zboží v intervalu 2 hodin od 8 do 10. Tato náhodná veličina má spojité rovnoměrné rozdělení v intervalu (8, 10). Pravděpodobnostní funkce této náhodné veličiny je 1 8 ≤ 𝑥 ≤ 10 𝑓(𝑥) = {2 0 jinde Odtud pravděpodobnost doručení zboží v době od půl deváté do tři čtvrtě na devět je 8,75
𝑃(8,50 < 𝑋 < 8,75) = ∫ 8,50
1 1 8,75 1 1 8,75 − 8,50 0,25 𝑑𝑥 = [ 𝑥] = ∙ 8,75 − ∙ 8,50 = = = 0,125 2 2 8,50 2 2 2 2
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1c Máme náhodnou veličinu 𝑋 s rovnoměrným rozdělením v intervalu (2, 6). Podle teorie obecně platí 𝐸(𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑋) = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝐸𝑋 𝑣𝑎𝑟(𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑋) = 𝑏 2 ∙ 𝑣𝑎𝑟 𝑋 𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸𝑋 2 − (𝐸𝑋)2 V našem konkrétním příkladu tedy platí:
∀𝑑∃𝑏
1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 7
2+6 8 = =4 2 2 2 2 (6 − 2) 4 16 4 𝑣𝑎𝑟 𝑋 = = = = = 1,33333 12 12 12 3 Naše náhodná veličina má pravděpodobnostní funkci (jde o rovnoměrné rozdělení na intervalu (2, 6)) 1 2≤𝑥≤6 𝑓(𝑥) = {4 0 jinde Nyní můžeme vyhodnotit dané výrazy: a) 𝐸(2𝑋 + 3) = 2 ∙ 𝐸𝑋 + 3 = 2 ∙ 4 + 3 = 11 b) 52 208 60 6 154 𝐸(4𝑋 2 − 5𝑋 + 2) = 4 ∙ 𝐸𝑋 2 − 5 ∙ 𝐸𝑋 + 2 = 4 ∙ −5∙4+2= − + = 3 3 3 3 3 c) 4 𝑣𝑎𝑟(6𝑋 − 7) = 62 ∙ 𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 36 ∙ = 12 ∙ 4 = 48 3 d) 𝐸𝑋 =
1936 52 2 1936 2704 −( ) = − 5 3 5 9 9 ∙ 1936 5 ∙ 2704 17424 13520 17424 − 13520 3904 = − = − = = 5∙9 5∙9 45 45 45 45 2
2
𝑣𝑎𝑟(𝑋 2 ) = 𝐸(𝑋 2 )2 − (𝐸(𝑋 2 )) = 𝐸𝑋 4 − (𝐸(𝑋 2 )) =
Poznámka Výraz 𝐸𝑋 𝑛 se nazývá 𝑛-tý moment náhodné veličiny 𝑋 s hustotou pravděpodobnosti 𝑓(𝑥). Počítá se obecně takto: ∞
𝐸𝑋 𝑛 = ∫ 𝑥 𝑛 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 −∞
V našich příkladech jsme konkrétně potřebovali 6
∞
6
6
1 1 1 𝑥3 1 63 23 1 216 8 𝐸𝑋 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = [ ] = ( − ) = ( − ) 4 4 4 3 2 4 3 3 4 3 3 2
2
−∞
2
2
1 208 52 = ∙ = 4 3 3 6
∞
2
6
6
1 1 1 𝑥5 1 65 25 1 7776 32 𝐸𝑋 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 = [ ] = ( − ) = ( − ) 4 4 4 5 2 4 5 5 4 5 3 4
4
−∞
4
2
2
1 7744 1936 = ∙ = 4 5 5 Hodnotu 𝐸𝑋 2 bylo možné odvodit i jinak z jednoho vzorce pro vlastnosti charakteristik náhodné veličiny. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀𝑑∃𝑏
2
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 7
Příklad 2 a) Výrobní zařízení má poruchu v průměru jednou za 2000 hodin. Předpokládejme, že doba čekání na poruchu je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením. Stanovte hodnotu 𝑡 tak, aby pravděpodobnost, že přístroj bude pracovat delší dobu než 𝑡, byla 0,99. b) Životnost jistého výrobku se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 3 roky. Jak dlouhou záruční dobu poskytne výrobce zákazníkům, jestliže požaduje, aby relativní četnost výrobků, které během záruční doby přestanou plnit svou funkci, byla v průměru 0,1? c) Stanovte střední dobu obsluhy v prodejně, víte-li, že pravděpodobnost obsloužení v době kratší než 4 minuty je 0,2592. Přitom předpokládejte, že doba obsluhy má exponenciální rozdělení s 𝐴 = 1 minuta. d) Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení se střední hodnotou 5 a rozptylem 25. Jaká je pravděpodobnost, že tato veličina bude mít hodnotu z intervalu (5, 15)? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 2a Podle zadání úlohy má platit 𝑃(𝑋 > 𝑡) = 0,99 To můžeme upravit pomocí pravděpodobnosti doplňkového jevu využitím distribuční funkce takto: 𝑃(𝑋 > 𝑡) = 1 − 𝑃(𝑋 < 𝑡) = 1 − 𝐹(𝑡) = 0,99 Odtud 𝐹(𝑡) = 0,01 Z definice exponenciálního rozdělení dostáváme 1 − 𝑒 −𝜆𝑡 = 0,01 Přitom pro parametr exponenciálního rozdělení platí dle zadání (jde o převrácenou hodnotu střední doby čekání na událost) 1 𝜆= 2000 Tedy 1
1 − 𝑒 −2000𝑡 = 0,01 Rovnici vyřešíme postupně v několika krocích 1
𝑒 −2000𝑡 = 1 − 0,01 = 0,99 1
ln 𝑒 −2000𝑡 = ln 0,99 1 − 𝑡 ln 𝑒 = ln 0,99 2000 1 − 𝑡 ∙ 1 = ln 0,99 2000 1 − 𝑡 = ln 0,99 2000 𝑡 = −2000 ln 0,99 𝑡 ≅ −2000 ∙ (−0,010050336) = 20,10067171 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀𝑑∃𝑏
3
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 7
Řešení 2b Označíme-li hledanou záruční dobu jako 𝑥, pak podle definice exponenciálního rozdělení pro jeho parametr (převrácená hodnota střední doby čekání na událost) a následně i distribuční funkci dle zadání úlohy platí 1 𝜆= 3 1
𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −3𝑥 = 0,1 Rovnici vyřešíme postupně v několika krocích 1
1 − 𝑒 −3𝑥 = 0,1 1
𝑒 −3𝑥 = 1 − 0,1 1
𝑒 −3𝑥 = 0,9 1
ln 𝑒 −3𝑥 = ln 0,9 1 − 𝑥 ln 𝑒 = ln 0,9 3 1 − 𝑥 ∙ 1 = ln 0,9 3 1 − 𝑥 = ln 0,9 3 𝑥 = −3 ln 0,9 𝑥 ≅ −3 ∙ (−0,105360516) = 0,316081547 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 2c Dle zadání úlohy máme dobu obsluhy v prodejně s exponenciálním rozdělením. Víme, že pravděpodobnost obsloužení v době kratší než 4 minuty je 0,2592. Distribuční funkce exponenciálního rozdělení je 𝑥
1 − 𝑒 −𝜆𝑥 𝐹𝑋 (𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = { 0 −∞
pro 𝑥 ≥ 0 pro 𝑥 < 0
Pro nás je z hlediska dalšího výpočtu důležité 𝐹𝑋 (𝑥) = 1 − 𝑒 −𝜆𝑥 Ze zadání víme, že 𝐹𝑋 (4) = 0,2592 Po dosazení dostáváme a postupně řešíme rovnici pro parametr exponenciálního rozdělení 1 − 𝑒 −4𝜆 = 0,2592 𝑒 −4𝜆 = 1 − 0,2592 𝑒 −4𝜆 = 0,7408 ln 𝑒 −4𝜆 = ln 0,7408 −4𝜆 ln 𝑒 = ln 0,7408 −4𝜆 ∙ 1 = ln 0,7408 −4𝜆 = ln 0,7408 1 𝜆 = − ln 0,7408 4
1 𝜆 ≅ − ∙ (−0,300024596) = 0,075006149 4 ∀𝑑∃𝑏
4
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 7
Z teorie víme, že pro střední hodnotu platí 𝐸𝑋 =
1 𝜆
Po dosazení dostaneme 1 ≅ 13,33224028 0,075006149 Střední doba obsluhy je tedy přibližně 13,33 minuty. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 𝐸𝑋 ≅
Řešení 2d Ze zadání víme, že náhodná veličina X má exponenciální rozdělení a platí pro ni 𝐸𝑋 = 5, 𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 25 Podle teorie platí 1 1 𝐸𝑋 = , 𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 2 𝜆 𝜆 Odtud snadno určíme parametr exponenciálního rozdělení 1 𝜆= 5 Distribuční funkce v našem konkrétním případu tedy je 1
− 𝑥 𝐹𝑋 (𝑥) = {1 − 𝑒 5 pro 𝑥 ≥ 0 0 pro 𝑥 < 0 Máme vypočítat pravděpodobnost 𝑃(5 ≤ 𝑋 ≤ 15) = 𝐹(15) − 𝐹(5) Dosadíme a upravíme 1
1
𝑃(5 ≤ 𝑋 ≤ 15) = (1 − 𝑒 −5∙15 ) − (1 − 𝑒 −5∙5 ) = (1 − 𝑒 −3 ) − (1 − 𝑒 −1 ) = 1 − 𝑒 −3 − 1 + 𝑒 −1 = −𝑒 −3 + 𝑒 −1 ≅ −0,049787068 + 0,367879441 = 0,318092373 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀𝑑∃𝑏
5
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 7
Příklad 3 a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina 𝑋 s rozdělením 𝑁(0; 1) bude mít hodnotu: a. menší než 1,64, b. větší než -1,64, c. v intervalu od -1,96 do 1,96, d. větší než 2,33, e. menší než -2,33? b) Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina 𝑋 s rozdělením 𝑁(20; 16) bude mít hodnotu: a. menší než 16, b. větší než 20, c. v intervalu od 12 do 28, d. menší než 12 nebo větší než 28? c) Pro náhodnou veličinu 𝑋 s rozdělením 𝑁(𝜇; 𝜎 2 ) platí 𝑃(𝑋 < 85) = 0,90 a 𝑃(𝑋 < 95) = 0,95. Určete hodnoty 𝜇 a 𝜎 2 . d) Náhodná veličina 𝑋 s rozdělením 𝑁(0,2; 0,64) představuje chybu měření. Vypočtěte: a. pravděpodobnost, že absolutní hodnota veličiny X bude menší než 1,0, b. horní hranici chyby měření, které se můžeme dopustit s pravděpodobností 0,95. e) Při kontrole se přijímají všechny stromky téhož stáří a druhu určené k prodeji, jejichž výška přesahuje 77 cm. Bylo zjištěno, že střední výška stromků je 75 cm a směrodatná odchylka je 5 cm. Předpokládáme, že výška stromků téhož stáří a druhu určených k prodeji má přibližně normální rozdělení. Určete: a. Pravděpodobnost, že stromek, který prošel kontrolou, je větší než 80 cm, b. Kolik stromků větších než 80 cm můžeme očekávat, je-li kontrolou přijato 1000 kusů. f) Pevnost v tahu dané příze má přibližně rozdělení 𝑁(𝜇; 𝜎 2 ). Každá špulka příze je před expedicí testována a ta špulka, jejíž příze měla pevnost v tahu větší než 𝜇, je označena jako špulka s velmi kvalitní přízí. Určete: a. pravděpodobnost zhotovení velmi kvalitní příze, b. střední hodnotu a rozptyl pevnosti v tahu pro velmi kvalitní příze. g) Měřicí přístroj je zatížen náhodnými chybami s normálním rozdělením 𝑁(0; 16). Určete, kolikrát je třeba změřit předmět, aby se aritmetický průměr všech měření neodchyloval s pravděpodobností 0,9545 od správné hodnoty o více než 1 v obou směrech. h) Bylo provedeno 15 nezávislých měření za stejných podmínek. Předpokládáme, že každé měření je ovlivněno pouze náhodnou chybou, která může s pravděpodobností 0,5 nabývat kladné nebo záporné hodnoty. Určete pravděpodobnost, že se objeví a) 7 záporných chyb, b) méně než 3 záporné chyby, c) alespoň 5 kladných chyb. i) j)
∀𝑑∃𝑏
1
V 1 l vody bylo zjištěno průměrně 14 zrnek nečistot. Určete pravděpodobnost, že v 2 l vody budou nejvýše 3 zrna nečistot. Náhodná veličina 𝑋 má rozdělení 𝑁(1, 9). Vypočtěte pravděpodobnost toho, že a) nabude hodnot z intervalu 〈−1, 3〉, b) nabude hodnot z intervalu (5, 6), c) překročí hodnotu 4. 6
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 7
k) V závodě jsou vyráběny výrobky, jejichž rozměry mají náhodné odchylky od normou stanovených hodnot. Tyto odchylky jsou rozděleny normálně se směrodatnou odchylkou 𝜎 = 5 [mm] a střední hodnotou 𝜇 = 0 [mm]. a) Vypočítejte, kolik procent výrobků bude průměrně zařazeno do vyšší jakostní třídy, jestliže do této třídy se zařazují výrobky s odchylkou rozměrů menší než 3 mm. b) Za jakou horní hranici odchylek se lze zaručit s pravděpodobností 0,90? l) Měřením pevnosti ocelových drátů byla vypočtena střední hodnota 372 MPa a směrodatná odchylka 14,5 MPa. Kolik drátů s pevností od 380 do 410 MPa můžeme průměrně očekávat ve výrobě 400 kusů, víme-li, že pevnost ocelových drátů je náhodná veličina s normálním rozdělením? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 3a Zadaná náhodná veličina 𝑋 má normované normální rozdělení 𝑁(0; 1). Požadované pravděpodobnosti zjistíme snadno pomocí statistické tabulky distribuční funkce normovaného normálního rozdělení. Distribuční funkce normovaného normálního rozdělení se obvykle značí 𝛷(𝑥).V této tabulce přímo vyhledáme potřebné hodnoty. Pokud v ní nejsou potřebné hodnoty přímo uvedeny, dopočítáme je z dvou okolních hodnot lineární interpolací takto: 𝛷(𝑥𝑣 ) − 𝛷(𝑥𝑛 ) 𝛷(𝑥) = 𝛷(𝑥𝑛 ) + (𝑥 − 𝑥𝑛 ) ∙ 𝑥𝑣 − 𝑥𝑛 Tedy: a) menší než 1,64 – počítáme lineární interpolací hodnot z tabulky 𝛷(1,70) − 𝛷(1,60) 𝑃(𝑋 < 1,64) = 𝛷(1,64) ≅ 𝛷(1,60) + (1,64 − 1,60) ∙ 1,70 − 1,60 0,9554 − 0,9452 0,0102 ≅ 0,9452 + 0,04 ∙ = 0,9452 + 0,04 ∙ = 1,70 − 1,60 0,1 = 0,9452 + 0,04 ∙ 0,102 = 0,9452 + 0,00408 = 0,94928 b) větší než -1,64 = počítáme s využitím symetričnosti normovaného normálního rozdělení a pravděpodobnosti doplňkového jevu 𝑃(𝑋 > −1,64) = 1 − 𝛷(−1,64) = 1 − (1 − 𝛷(1,64)) = 1 − 1 + 𝛷(1,64) = 𝛷(1,64) ≅ 0,94928 c) v intervalu od -1,96 do 1,96 – počítáme s využitím výše uvedených principů 𝑃(−1,96 < 𝑋 < 1,96) = 𝛷(1,96) − 𝛷(−1,96) = 𝛷(1,96) − (1 − 𝛷(1,96)) = 𝛷(1,96) − 1 + 𝛷(1,96) = 2 ∙ 𝛷(1,96) − 1 𝛷(2,00) − 𝛷(1,90) = 2 [𝛷(1,90) + (1,96 − 1,90) ∙ ]−1 2,00 − 1,90 0,9772 − 0,9713 = 2 [0,9713 + 0,06 ∙ ]−1 0,10 0,0059 = 2 [0,9713 + 0,06 ∙ ] − 1 = 2[0,9713 + 0,06 ∙ 0,059] − 1 0,10 = 2[0,9713 + 0,00354] − 1 = 2 ∙ 0,97484 − 1 = 1,94968 − 1 = 0,94968 d) větší než 2,33 – počítáme pomocí pravděpodobnosti doplňkového jevu
∀𝑑∃𝑏
7
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 7
𝑃(𝑋 > 2,33) = 1 − 𝑃(𝑋 < 2,33) = 1 − 𝛷(2,33) 𝛷(2,40) − 𝛷(2,30) ] 2,40 − 2,30 0,9918 − 0,9893 0,0025 = 1 − [0,9893 + 0,03 ∙ ] = 1 − [0,9893 + 0,03 ∙ ] 0,10 0,10 = 1 − [0,9893 + 0,03 ∙ 0,025] = 1 − [0,9893 + 0,00075] = 1 − 0,99005 = 0,00995 e) menší než -2,33 – počítáme opět s použitím výše uvedených principů 𝑃(𝑋 < −2,33) = 𝛷(−2,33) = 1 − 𝛷(2,33) = 1 − 0,99005 = 0,00995 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… = 1 − [𝛷(2,30) + (2,33 − 2,30) ∙
Řešení 3b Máme náhodnou veličinu 𝑋 s rozdělením 𝑁(20; 16). Pro další výpočty si transformujeme 𝑋 na normovanou veličinu 𝑍 pomocí vztahů z teorie. 𝑋−𝜇 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) ⟹ 𝑍 = ~𝑁(0,1) 𝜎 𝑥−𝜇 𝑋−𝜇 𝑥−𝜇 𝑥−𝜇 𝑃(𝑋 < 𝑥) = 𝑃 (𝑍 < ) = 𝑃( < ) = 𝛷( ) 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 𝑏−𝜇 𝑎−𝜇 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑋 < 𝑏) − 𝑃(𝑋 < 𝑎) = 𝑃 (𝑍 < ) − 𝑃 (𝑍 < ) 𝜎 𝜎 𝑋−𝜇 𝑏−𝜇 𝑋−𝜇 𝑎−𝜇 𝑏−𝜇 𝑎−𝜇 = 𝑃( < )−𝑃( < ) =𝛷( )−𝛷( ) 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 Distribuční funkce 𝛷 pak je distribuční funkcí normovaného normálního rozdělení. Můžeme tedy využívat příslušnou tabulku pro vyhledání potřebných hodnot v následujících výpočtech. Ze zadání úlohy víme: 𝜇 = 20, 𝜎 2 = 16, 𝜎=4 Tyto hodnoty využijeme v transformačním výrazu. Máme zjistit pravděpodobnost, že 𝑋 bude: a) menší než 16, 16 − 20 16 − 20 −4 𝑃(𝑋 < 16) = 𝑃 (𝑍 < ) = 𝛷( ) = 𝛷 ( ) = 𝛷(−1) = 1 − 𝛷(1) 4 4 4 ≅ 1 − 0,8413 = 0,1587 b) větší než 20, 20 − 20 20 − 20 0 𝑃(𝑋 > 20) = 𝑃 (𝑍 > ) = 1−𝛷( ) = 1 − 𝛷 ( ) = 1 − 𝛷(0) 4 4 4 = 1 − 0,5000 = 0,5000 c) v intervalu od 12 do 28, 12 − 20 28 − 20 28 − 20 12 − 20 𝑃(12 < 𝑋 < 28) = 𝑃 ( <𝑍< ) = 𝛷( )−𝛷( ) 4 4 4 4 8 −8 = 𝛷 ( ) − 𝛷 ( ) = 𝛷(2) − 𝛷(−2) = 𝛷(2) − (1 − 𝛷(2)) 4 4 = 𝛷(2) − 1 + 𝛷(2) = 2 ∙ 𝛷(2) − 1 ≅ 2 ∙ 09772 − 1 = 1,9544 − 1 = 0,9544 d) menší než 12 nebo větší než 28? 𝑃(𝑋 < 12 ˅ 𝑋 > 28) = 1 − 𝑃(12 < 𝑋 < 28) = 1 − 0,9544 = 0,0456 V tomto řešení jsme s výhodou využili pravděpodobnost doplňkového jevu. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ∀𝑑∃𝑏
8
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 7
Řešení 3c Máme náhodnou veličinu 𝑋 s rozdělením 𝑁(𝜇; 𝜎 2 ) takovou, že 𝑃(𝑋 < 85) = 0,90 a 𝑃(𝑋 < 95) = 0,95. Máme určit hodnoty 𝜇 a 𝜎 2 . Využijeme transformace do normovaného normálního rozdělení a dostaneme z obou rovnic 85 − 𝜇 85 − 𝜇 𝑃(𝑋 < 85) = 𝑃 (𝑍 < ) = 𝛷( ) = 0,90 𝜎 𝜎 95 − 𝜇 95 − 𝜇 𝑃(𝑋 < 95) = 𝑃 (𝑍 < ) = 𝛷( ) = 0,95 𝜎 𝜎 V tabulce distribuční funkce normovaného normálního rozdělení nalezneme 𝛷(1,20) = 0,8849 𝛷(1,30) = 0,9032 𝛷(1,60) = 0,9452 𝛷(1,70) = 0,9554 Pomocí lineární interpolace těchto hodnot nalezneme 𝑥1 , 𝑥2 tak, že 𝛷(𝑥1 ) = 0,90, 𝛷(𝑥2 ) = 0,95 Pro tuto lineární aproximaci platí stejný vztah, jako v úloze 3a. Jen ho nyní použijeme v jistém smyslu opačně. Dostaneme 𝛷(1,28251366) = 0,90, 𝛷(1,64705882) = 0,95 Odtud 85 − 𝜇 95 − 𝜇 = 1,28251366, = 1,64705882 𝜎 𝜎 Tuto soustavu rovnic budeme řešit 85 − 𝜇 = 1,28251366 ∙ 𝜎, 95 − 𝜇 = 1,64705882 ∙ 𝜎 Od druhé rovnice odečteme první rovnici, dostaneme 10 = 0,36454516 ∙ 𝜎 Odtud 𝜎 = 27,43144361 Dosadíme do první rovnice a dostaneme 𝜇 = 85 − 1,28251366 ∙ 27,43144361 = 85 − 35,18120114 = 49,81879886 Vypočteme rozptyl 𝜎 2 = 27,431443612 = 752,4840986 Daná náhodná veličina 𝑋 má tedy rozdělení 𝑁(49,81879886; 752,4840986). ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 3d Máme náhodnou veličinu 𝑋 s rozdělením 𝑁(0,2; 0,64) představující chybu měření. Transformace této náhodné veličiny do normovaného normálního rozdělení má tvar 𝑋 − 0,2 𝑍= 0,8 Máme vypočítat: a) pravděpodobnost, že absolutní hodnota veličiny X bude menší než 1,0, neboli −1 − 0,2 1 − 0,2 −1,2 0,8 𝑃(𝑋 < |1|) = 𝑃(−1 < 𝑋 < 1) = 𝑃 ( <𝑍< ) = 𝑃( <𝑍< ) 0,8 0,8 0,8 0,8 = 𝑃(−1,5 < 𝑍 < 1) = 𝛷(1) − 𝛷(−1,5) = 0,8413 − 0,0668 = 0,7745 b) horní hranici chyby měření, které se můžeme dopustit s pravděpodobností 0,95, neboli máme najít hodnotu, která s pravděpodobností 0,95 nebude překročena. To je taková hodnota, pro kterou platí ∀𝑑∃𝑏
9
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 7
𝑥 − 0,2 𝑥 − 0,2 ) = 𝛷( ) = 0,95 0,8 0,8 Z tabulky kvantilů normovaného normálního rozdělení nebo o něco pracněji z tabulky distribuční funkce téhož rozdělení dostaneme 𝛷(1,645) = 0,95 Odtud dostáváme rovnici, kterou vyřešíme 𝑥 − 0,2 = 1,645 0,8 𝑥 − 0,2 = 1,645 ∙ 0,8 𝑥 = 1,645 ∙ 0,8 + 0,2 = 1,316 + 0,2 = 1,516 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 𝑃(𝑋 < 𝑥) = 𝑃 (𝑍 <
Řešení 3e a) Označme jev A projití stromku kontrolou a jev B skutečnost, že je vyšší než 80 cm. Pak pravděpodobnosti těchto jevů jsou (využijeme transformaci na normovaný tvar) 77 − 75 2 2 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝑋 > 77) = 𝑃 (𝑍 > ) = 𝑃 (𝑍 > ) = 1 − 𝑃 (𝑍 < ) = 1 − 𝑃(𝑍 < 0,4) 5 5 5 = 1 − 𝛷(0,4) ≅ 1 − 0,6554 = 0,3446 80 − 75 5 5 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝑋 > 80) = 𝑃 (𝑍 > ) = 𝑃 (𝑍 > ) = 1 − 𝑃 (𝑍 < ) = 1 − 𝑃(𝑍 < 1) 5 5 5 = 1 − 𝛷(1) ≅ 1 − 0,8413 = 0,1587 Pro vyřešení daného úkolu stanovíme podmíněnou pravděpodobnost s tím, že je zřejmé, že všechny stromky nad 80 cm jsou podmnožinou všech stromků nad 77 cm. 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) 𝑃(𝑋 > 80) 0,1587 𝑃(𝐵|𝐴) = = = ≅ = 0,460533952 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴) 𝑃(𝑋 > 77) 0,3446 b) Nyní uvažujme jako náhodnou veličinu počet stromků vyšších než 80 cm ve výběru 1000 stromků. V tomto případě nejde o spojitý případ, ale o případ diskrétní. Tato veličina má binomické rozdělení 𝐵𝑖(0,460; 1000). Parametr počtu je dán v zadání úlohy a parametr pravděpodobnosti jsme vypočítali v předchozím podúkolu. Zbývá určit, kolik stromků vyšších než 80 cm můžeme očekávat ve výběru 1000 stromků. Jde tedy o to, určit střední hodnotu. Ta je pro toto rozdělení podle teorie rovna 𝐸𝑍 = 𝑛 ∙ 𝑝 = 1000 ∙ 0,460 = 460 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 3f Máme náhodnou veličinu 𝑋 s rozdělením 𝑁(𝜇; 𝜎 2 ). a) Pravděpodobnost zhotovení velmi kvalitního výrobku znamená, že naše náhodná veličina bude mít hodnotu větší než 𝜇, neboli při znormování 𝜇−𝜇 0 𝑃(𝑋 > 𝜇) = 𝑃 (𝑍 > ) = 𝑃 (𝑍 > ) = 𝑃(𝑍 > 0) = 1 − 𝑃(𝑍 < 0) = 1 − 𝛷(0) 𝜎 𝜎 = 1 − 0,5000 = 0,5000 b) Nyní budeme uvažovat náhodnou veličinu 𝑌 představující pevnost v tahu velmi kvalitních výrobků. Je-li 𝐹𝑋 (𝑥) distribuční funkce veličiny 𝑋, pak distribuční funkce 𝐹𝑌 (𝑥) veličiny 𝑌, je rovna pro 𝑥 > 𝜇 𝐹𝑋 (𝑥) − 𝐹𝑋 (𝜇) 𝐹𝑋 (𝑥) − 0,5 𝐹𝑋 (𝑥) − 0,5 𝐹𝑌 (𝑥) = = = 1 − 𝐹𝑋 (𝜇) 1 − 0,5 0,5 Odtud hustota pravděpodobnosti je ∀𝑑∃𝑏
10
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 7 2
2𝑓𝑋 (𝑥) =
1 𝑥−𝜇 2 − ∙( ) 2 𝜎
𝑥>𝜇 𝜎√2𝜋 0 jinde Jde o normální rozdělení s useknutou levou polovinou a zdvojnásobenou pravou polovinou. Střední hodnota (první moment) potom je 𝑓𝑌 (𝑥) = {
∞
𝐸𝑌 = ∫ 𝑥 𝜇
2 𝜎√2𝜋
∙𝑒
∙𝑒
1 𝑥−𝜇 2 − ∙( ) 2 𝜎
2 𝑑𝑥 = 𝜎√ + 𝜇 𝜋
Pro druhý moment platí ∞ 2
𝐸𝑌 = ∫ 𝑥 2 𝜇
2
∙𝑒
𝜎√2𝜋
1 𝑥−𝜇 2 − ∙( ) 2 𝜎
2 𝑑𝑥 = 𝜎 2 + 2𝜎𝜇√ + 𝜇2 𝜋
Odtud můžeme odvodit rozptyl podle známého vzorce 𝑣𝑎𝑟 𝑌 = 𝐸𝑌 2 − (𝐸𝑌)2 Dosadíme a upravíme 2
2 2 2 2 2 𝑣𝑎𝑟 𝑌 = 𝜎 2 + 2𝜎𝜇√ + 𝜇2 − (𝜎√ + 𝜇) = 𝜎 2 + 2𝜎𝜇√ + 𝜇2 − 𝜎 2 − 2𝜎𝜇√ − 𝜇2 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 2 2 = 𝜎 2 (1 − ) 𝜋 𝜋 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… = 𝜎2 − 𝜎2
Řešení 3g Výsledky jednotlivých měření jsou náhodné jevy označené postupně 𝑋𝑖 , pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. Všechna tato měření mají stejné rozdělení 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ). Náhodnou veličinou 𝑋 je aritmetický průměr výsledků těchto jednotlivých měření. 𝑛
1 𝑋 = ∑ 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1
Náhodná veličina 𝑋 má rozdělení 16 ) 𝑛 Naším úkolem je najít takové číslo 𝑛, aby pro náhodnou veličinu 𝑋 byla splněna podmínka 𝑃(−1 < 𝑋 < 1) = 0,9545 Transformujeme do normovaného tvaru 𝑁 (0;
𝑃(−1 < 𝑋 < 1) = 𝑃 (
= 𝛷(
−1 − 0 1−0 −√𝑛 √𝑛 √𝑛 √𝑛 <𝑍< <𝑍< ) = 𝑃( ) = 𝛷 ( ) − 𝛷 (− ) 4 4 4 4 4 4 √𝑛 √𝑛
√𝑛 √𝑛 √𝑛 √𝑛 √𝑛 ) − (1 − 𝛷 ( )) = 𝛷 ( ) − 1 + 𝛷 ( ) = 2𝛷 ( ) − 1 = 0,9545 4 4 4 4 4
Řešíme poslední rovnici postupnými úpravami
∀𝑑∃𝑏
2𝛷 (
√𝑛 ) − 1 = 0,9545 4
2𝛷 (
√𝑛 ) = 0,9545 + 1 4 11
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 7
0,9545 + 1 1,9545 √𝑛 = = 0,97725 )= 4 2 2 Z tabulky normovaného normálního rozdělení dostaneme √𝑛 =2 4 Postupně upravíme 𝛷(
√𝑛 = 2 ∙ 4 = 8 𝑛 = 82 = 64 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 3h Náhodná veličina 𝑋 bude vyjadřovat počet záporných odchylek popsaného měření. Je zcela zřejmé, že X je diskrétní (máme 15 nezávislých měření dávajících pouhé dvě hodnoty – kladná nebo záporná odchylka, obě s pravděpodobností 0,5). Z toho je zřejmé že 𝑋 má binomické rozdělení, neboli 𝑋~𝐵𝑖(15; 0,5). V tomto případě pro pravděpodobnostní funkci platí 15 𝑞(𝑥) = ( ) 0,5𝑥 ∙ (1 − 0,5)15−𝑥 𝑥 Tento vztah použijeme pro výpočet jednotlivých úloh. Aritmetické výpočty dle uvedeného vzorce svěříme MS Excel, výsledky budeme prezentovat na 7 desetinných míst. Pravděpodobnost 7 záporných chyb dostaneme přímo 𝑃(𝑋 = 7) = 𝑞(7) = 0,1963806 Pravděpodobnost méně než 3 záporných chyb je součtem pravděpodobností 0, 1 či 2 záporných chyb 𝑃(𝑋 < 3) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = 𝑞(0) + 𝑞(1) + 𝑞(2) =̇ 0,00003052 + 0,00045776 + 0,00320435 =̇ 0,0036926 Pravděpodobnost alespoň 5 kladných chyb je rovna pravděpodobnosti nejvýše 10 záporných chyb. 𝑃(𝑋 ≤ 10) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5) + 𝑃(𝑋 = 6) + 𝑃(𝑋 = 7) + 𝑃(𝑋 = 8) + 𝑃(𝑋 = 9) + 𝑃(𝑋 = 10) = 𝑞(0) + 𝑞(1) + 𝑞(2) + 𝑞(3) + 𝑞(4) + 𝑞(5) + 𝑞(6) + 𝑞(7) + 𝑞(8) + 𝑞(9) + 𝑞(10) =̇ 0,00003052 + 0,00045776 + 0,00320435 + 0,01388550 + 0,04165649 + 0,09164429 + 0,15274048 + 0,19638062 + 0,19638062 + 0,15274048 + 0,09164429 =̇ 0,9407654 Výpočet by bylo možná se stejným výsledkem (ale menší výpočetní námahou) provést i pomocí pravděpodobnosti doplňkového jevu, neboli vyloučit 11-15 záporných chyb. V tomto případě bychom dostali 𝑃(𝑋 ≤ 10) = 1 − (𝑃(𝑋 = 11) + 𝑃(𝑋 = 12) + 𝑃(𝑋 = 13) + 𝑃(𝑋 = 14) + 𝑃(𝑋 = 15)) = 1 − (0,04165649 + 0,01388550 + 0,00320435 + 0,00045776 + 0,00003052) = 1 − 0,0592346 =̇ 0,9407654 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 3i Budeme se zabývat náhodným jevem 𝑋, který vyjadřuje počet zrn nečistot v půl litru vody. Máme informaci, kolik zrn nečistot je průměrně v jednom litru vody. Je tedy třeba brát průměrný počet zrn nečistot v půl litru vody jako polovinu počtu zadaného pro jeden litr, neboli 7. Vzhledem k charakteru zkoumaného jevu je zřejmé, že tento jev má Poissonovo rozdělení 𝑋~𝑃𝑜(7). V tomto konkrétním případě má tedy X pravděpodobnostní funkci ∀𝑑∃𝑏
12
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 7
7𝑥 𝑒 −7 pro 𝑥 = 0, 1, … 𝑞(𝑥) = { 𝑥! 0 jinak Máme vypočítat pravděpodobnost, že v půl litru vody budou nejvýše 3 zrna nečistot. Tedy za pomoci aritmetických výpočtů v MS Excel dostaneme výsledek 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) = 𝑞(0) + 𝑞(1) + 𝑞(2) + 𝑞(3) 70 𝑒 −7 71 𝑒 −7 72 𝑒 −7 73 𝑒 −7 = + + + 0! 1! 2! 3! = 0,000912 + 0,006383 + 0,022341 + 0,052129 =̇ 0,081765 =̇ 0,082 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 3j Řešení MS Excel Uvažovaná náhodná veličina 𝑋 má spojité normální rozdělení 𝑁(1, 9). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách, lze ale pomocí MS Excel s ním přímo počítat využitím statistické funkce NORM.DIST(x;1;ODMOCNINA(9);PRAVDA), kterou dále označujeme 𝐹(𝑥). Pomocí této funkce vypočítáme hodnoty distribuční funkce a využijeme je k výpočtu. Viz obrázek
x -1 3 5 6 4
ND(1,9) rozdil 0,2524925 0,7475075 0,495 0,9087888 0,9522096 0,0434 0,8413447 0,1587
Pro jednotlivé úlohy nyní můžeme psát 𝑃(−1 ≤ 𝑋 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 ≤ 3) − 𝑃(𝑋 ≤ −1) = 𝐹(3) − 𝐹(−1) = 0,7475075 − 0,2524925 =̇ 0,4950 𝑃(5 < 𝑋 < 6) = 𝑃(𝑋 < 6) − 𝑃(𝑋 < 5) = 𝐹(6) − 𝐹(5) = 0,9522096 − 0,9087888 =̇ 0,0434 𝑃(𝑋 > 4) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 4) = 1 − 𝐹(4) = 1 − 0,8413447 =̇ 0,1587
Řešení normalizací Uvažovaná náhodná veličina 𝑋 má spojité normální rozdělení 𝑁(1, 9). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách. Je ale snadné provést normalizaci 𝑋~𝑁(1, 9) na náhodnou veličinu, která již v tabulkách k dispozici je, takto 𝑋−1 𝑈= ~𝑁(0, 1) √9 Distribuční funkce rozdělení 𝑁(0, 1) se tradičně označuje Φ. Potřebné výpočty nyní provedeme normalizací, využitím vlastností funkce Φ a dohledáním přibližných hodnot (zpřesnění by bylo možné dosáhnout interpolací) v tabulkách takto 𝑋−1 3−1 𝑋 − 1 −1 − 1 𝑃(−1 ≤ 𝑋 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 ≤ 3) − 𝑃(𝑋 ≤ −1) = 𝑃 ( ≤ )−𝑃( ≤ ) √9 √9 √9 √9 2 −2 2 −2 2 2 = 𝑃 (𝑈 ≤ ) − 𝑃 (𝑈 ≤ ) = Φ ( ) − Φ ( ) = Φ ( ) − (1 − Φ ( )) 3 3 3 3 3 3 2 2 2 = Φ ( ) − 1 + Φ ( ) = 2 ∙ Φ ( ) − 1 =̇ 2 ∙ 0,7486 − 1 =̇ 1,4972 − 1 =̇ 0,4972 3 3 3 𝑋−1 6−1 𝑋−1 5−1 𝑃(5 < 𝑋 < 6) = 𝑃(𝑋 < 6) − 𝑃(𝑋 < 5) = 𝑃 ( < )−𝑃( < ) √9 √9 √9 √9 5 4 5 4 = 𝑃 (𝑈 < ) − 𝑃 (𝑈 < ) = Φ ( ) − Φ ( ) =̇ 0,9525 − 0,9082 =̇ 0,0443 3 3 3 3 ∀𝑑∃𝑏
13
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 7
𝑋−1 4−1 3 𝑃(𝑋 > 4) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 4) = 1 − 𝑃 ( < ) = 1 − 𝑃 (𝑈 < ) 3 √9 √9 = 1 − Φ(1) =̇ 1 − 0,8413 =̇ 0,1587 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 3k Řešení MS Excel Je-li směrodatná odchylka 5, pak rozptyl je 25. Uvažovaná náhodná veličina 𝑋 má tedy podle zadání úlohy spojité normální rozdělení 𝑁(0, 25). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách, lze ale pomocí MS Excel s ním přímo počítat využitím statistické funkce NORM.DIST(x;0;ODMOCNINA(25);PRAVDA), kterou dále označujeme 𝐹(𝑥). Pomocí této funkce vypočítáme hodnoty distribuční funkce a využijeme je k výpočtu. Viz obrázek
x -3 3
ND(0,25) rozdil 0,274253 0,725747 0,451494
Pro první úlohu nyní můžeme psát 𝑃(−3 ≤ 𝑋 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 ≤ 3) − 𝑃(𝑋 ≤ −3) = 𝐹(3) − 𝐹(−3) = 0,725 − 0,274 =̇ 0,451~45,1 % Pro druhou úlohu je třeba zvážit, že normální rozdělení je symetrické. Zajímá nás pravděpodobnost 0,90, hodnoty jsou symetricky rozděleny kolem středu. Takže krajní hodnoty pravděpodobnosti jsou 0,05 a 0,95. K výpočtu využijeme funkci NORM.INV(0,05;0;ODMOCNINA(25)), která poskytuje hodnoty inverzní funkce k distribuční funkci 𝐹. Viz obrázek
ND(0,25) 0,05 0,95
x -8,224268135 8,224268135
Hledali jsme tedy 𝐹 −1 (0,05) a 𝐹 −1 (0,95) Že se hodnoty liší jen znaménkem, jsme očekávali. Význam výsledku je v tom, že výrobky s velikostí odchylky do 8,224 se dostanou do 90 % výrobků.
Řešení normalizací Uvažovaná náhodná veličina 𝑋 má spojité normální rozdělení 𝑁(0, 25). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách. Je ale snadné provést normalizaci 𝑋~𝑁(0, 25) na náhodnou veličinu, která již v tabulkách k dispozici je, takto 𝑋−0 𝑈= ~𝑁(0, 1) √25 Distribuční funkce rozdělení 𝑁(0, 1) se tradičně označuje Φ. Potřebné výpočty nyní provedeme normalizací, využitím vlastností funkce Φ a dohledáním přibližných hodnot (zpřesnění by bylo možné dosáhnout interpolací) v tabulkách. Pro první úlohu to bude takto 𝑋−0 3−0 𝑋 − 0 −3 − 0 𝑃(−3 ≤ 𝑋 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 ≤ 3) − 𝑃(𝑋 ≤ −3) = 𝑃 ( ≤ )−𝑃( ≤ ) √25 √25 √25 √25 3 −3 3 −3 3 3 = 𝑃 (𝑈 ≤ ) − 𝑃 (𝑈 ≤ ) = Φ ( ) − Φ ( ) = Φ ( ) − (1 − Φ ( )) 5 5 5 5 5 5 3 3 = Φ( ) − 1 + Φ( ) 5 5 3 = 2 ∙ Φ ( ) − 1 =̇ 2 ∙ 0,7257 − 1 =̇ 1,4514 − 1 =̇ 0,4514~45,1 % 5 ∀𝑑∃𝑏
14
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 7
Pro druhou úlohu musíme provést obrácenou úvahu. Hledáme x takové, aby 𝑃(−𝑥 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥) = 0,9 Výraz vlevo upravíme a normalizujeme. Dostaneme 𝑋−0 𝑥−0 𝑋 − 0 −𝑥 − 0 𝑃(−𝑥 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) − 𝑃(𝑋 ≤ −𝑥) = 𝑃 ( ≤ )−𝑃( ≤ ) √25 √25 √25 √25 𝑥 −𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 𝑥 = 𝑃 (𝑈 ≤ ) − 𝑃 (𝑈 ≤ ) = Φ ( ) − Φ ( ) = Φ ( ) − (1 − Φ ( )) 5 5 5 5 5 5 𝑥 𝑥 𝑥 = Φ( ) − 1 + Φ( ) = 2 ∙ Φ( )− 1 5 5 5 Po této úpravě dostáváme rovnici. 𝑥 2 ∙ Φ ( ) − 1 = 0,9 5 Odtud po snadné úpravě 𝑥 0,9 + 1 1,9 Φ( ) = = = 0,95 5 2 2 Uplatníme inverzní funkci k distribuční funkci Φ. Ta je obvykle označována jako 𝑢(𝛼) = Φ−1 (𝛼) Tato funkce je pro důležité hodnoty 𝛼 k dispozici v tabulkách. V našem výpočtu konkrétně dostáváme 𝑥 𝑥 Φ−1 (Φ ( )) = = Φ−1 (0,95) 5 5 Odtud 𝑥 = 5 ∙ Φ−1 (0,95) Potřebnou hodnotu vyhledáme v tabulkách a dokončíme výpočet 𝑥 = 5 ∙ Φ−1 (0,95) = 5 ∙ 1,645 = 8,225 Význam výsledku je v tom, že výrobky s velikostí odchylky do 8,224 se dostanou do 90 % výrobků. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 3l Řešení MS Excel Je-li směrodatná odchylka 5, pak rozptyl je 210,25. Uvažovaná náhodná veličina 𝑋 má tedy podle zadání úlohy spojité normální rozdělení 𝑁(372; 210,25). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách, lze ale pomocí MS Excel s ním přímo počítat využitím statistické funkce NORM.DIST(x;372;ODMOCNINA(210,25);PRAVDA), kterou dále označujeme 𝐹(𝑥). Pomocí této funkce vypočítáme hodnoty distribuční funkce a využijeme je k výpočtu. Viz obrázek
x 380 410
ND(372; 210,25) rozdil 0,709431315 0,995612395 0,286181
Pro naši úlohu nyní můžeme psát 𝑃(380 ≤ 𝑋 ≤ 410) = 𝑃(𝑋 ≤ 410) − 𝑃(𝑋 ≤ 380) = 𝐹(410) − 𝐹(380) = 0,9956 − 0,7094 =̇ 0,2862 Pravděpodobnost, že mezi 400 kusy budou kusy vyhovující zadání je 0,2862. Zadání tedy bude vyhovovat 0,2862 ∙ 400 = 114,47 =̇ 114 kusů.
Řešení normalizací Uvažovaná náhodná veličina 𝑋 má spojité normální rozdělení 𝑁(372; 210,25). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách. Je ale snadné provést normalizaci 𝑋~𝑁(372; 210,25) na náhodnou veličinu, která již v tabulkách k dispozici je, takto ∀𝑑∃𝑏
15
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2
ČÁST 7
𝑈=
𝑋 − 372
~𝑁(0, 1) √210,25 Distribuční funkce rozdělení 𝑁(0, 1) se tradičně označuje Φ. Potřebné výpočty nyní provedeme normalizací, využitím vlastností funkce Φ a dohledáním přibližných hodnot (zpřesnění by bylo možné dosáhnout interpolací) v tabulkách. Pro naši úlohu to bude takto 𝑃(380 ≤ 𝑋 ≤ 410) = 𝑃(𝑋 ≤ 410) − 𝑃(𝑋 ≤ 380) 𝑋 − 372 410 − 372 𝑋 − 372 380 − 372 = 𝑃( ≤ ≤ )−𝑃( ) √210,25 √210,25 √210,255 √210,25 38 8 38 8 = 𝑃 (𝑈 ≤ ) − 𝑃 (𝑈 ≤ ) = Φ( ) − Φ( ) 14,5 14,5 14,5 14,5 = Φ(2,62) − Φ(0,55) =̇ 0,9956 − 0,7088 =̇ 0,2868 Pravděpodobnost, že mezi 400 kusy budou kusy vyhovující zadání je 0,2868. Zadání tedy bude vyhovovat 0,2862 ∙ 400 = 114,72 =̇ 115 kusů. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀𝑑∃𝑏
16
