Pertemuan ke-5 : Kamis, 7 April : Nevi Narendrati, M.Pd. Prodi : Pendidikan Matematika, Kelas 21

Pertemuan ke-5

: Kamis, 7 April 2016

Dosen

: Nevi Narendrati, M.Pd.

Prodi

: Pendidikan Matematika, Kelas 21

Materi Teori Peluang: 1. Operasi Kejadian 2. Peluang: definisi dan sifat-sifatnya Operasi Kejadian Telah diketahui bahwa kejadian majemuk adalah suatu kejadian yang dapat dibentuk dengan cara menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana. Dengan memanfaatkan operasi antar himpunan, suatu kejadian majemuk dapat pula dibentuk dari dua kejadian majemuk yang lain. Operasi antar himpunan yang dimaksud adalah operasi gabungan (union), irisan (intersection), dan komplemen (complement). Contoh Misalkan percobaan melemparkan dadu sekali. Ruang sampelnya adalah 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Misalkan 𝐴 adalah kejadian munculnya mata dadu genap, maka 𝐴 = {2, 4, 6} dan 𝐵 kejadian munculnya mata dadu prima, maka 𝐵 = {2, 3, 5}. Dua kejadian tersebut, dapat dibentuk ke dalam dua kejadian majemuk sebagai berikut, a) Operasi Gabungan dari Dua Kejadian Gabungan dua kejadian 𝐴 dan 𝐵, misalkan kita beri nama 𝑃, maka 𝑃 = 𝐴 ⋃ 𝐵 = {2, 3, 4, 5, 6}. Kejadian 𝑃 adalah kejadian munculnya mata dadu genap atau prima. Jadi gabungan kejadian 𝐴 dan 𝐵 ditulis 𝐴 ⋃ 𝐵 yaitu himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian 𝐴 atau kejadian 𝐵 atau kedua-duanya. b) Operasi Irisan dari Dua Kejadian Irisan dua kejadian 𝐴 dan 𝐵, misalkan kita beri nama 𝑄, maka 𝑄 = 𝐴 ⋂ 𝐵 = {2}. Dengan demikian, kejadian 𝑄 adalah kejadian munculnya mata dadu genap dan prima. Jadi irisan kejadian 𝐴 dan 𝐵 ditulis 𝐴 ⋂ 𝐵 yaitu himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian 𝐴 dan 𝐵 secara bersama-sama pada kejadian 𝐴 maupun kejadian 𝐵.

c) Operasi Komplemen Komplemen kejadian 𝐴 dalam ruang sampel 𝑆 adalah kejadian semua unsur di 𝑆 yang bukan 𝐴. Misalkan 𝐴 komplemen, maka AC = {1, 3, 5}. d) Operasi Selisih Selisih kejadian 𝐴 dan 𝐵 ditulis 𝐴−𝐵 adalah kejadian semua unsur kejadian di 𝐴 yang bukan unsur di 𝐵, dapat ditulis 𝐴−𝐵 = {𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∉ 𝐵}

Peluang Suatu Kejadian A. DEFINISI PELUANG Perhatikan contoh 1 berikut. Contoh 1 Misalkan Anda diminta untuk menebak malam ini hujan atau tidak, atau teman Anda bertanya kepada Anda prediksi hasil pertandingan liga inggris antara Manchester United dengan Manchester City? Apakah jawaban Anda? Pada pertanyaan pertama, misalkan Anda menjawab Hujan, apakah pasti akan Hujan? Pertanyaan kedua misalkan Anda jawab Manchester United, apakah pasti yang menang Manchester United? Nah, pasti belum tentu bukan? Contoh 1 di atas merupakan contoh Peluang Kejadian, yang kita pelajari pada bab ini. Contoh 2 Contoh lagi misalkan Anda melempar sebuah uang logam dimana kedua sisinya setimbang, apakah Anda bisa memastikan pada lemparan pertama muncul pasti Angka (A)? Tentu saja tidak kan? Masih banyak kejadian lain yang bisa dijadikan contoh. Coba Anda cari minimal 3 buah kejadian yang berhubungan dengan peluang! Beberapa istilah yang bisa dipakai untuk menyebut peluang, antara lain probabilitas, kemungkinan, kebolehjadian. Simbol probabilitas atau peluang adalah 𝑃 dan dinyatakan dalam angka positif, dengan minimum 0 dan maksimum 1. 𝑃 = 0; berarti suatu kejadian tidak mungkin terjadi, atau mustahil. Sebagai contoh adalah seekor kambing melahirkan seekor sapi, maka karena hal tersebut tidak mungkin peluangnya adalah 0. 𝑃 = 1; berarti suatu kejadian yang pasti terjadi. Sebagai contoh adalah setiap manusia pasti akan mati, hal ini pasti terjadi karena tidak ada manusia yang tidak akan mati, sehingga peluang kejadian setiap manusia pasti akan mati adalah 1. Sebagian kejadian yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari mempunyai peluang antara 0 sampai dengan 1. Apakah berarti peluangnya tidak tepat 0 atau 1? Ya, jarang sekali kejadian atau peristiwa sehari-hari yang kita jumpai mempunyai peluang 0 atau 1. Bagaimana dengan yang peluangnya mendekati 0? Hal ini berarti kejadian tersebut mempunyai kemungkinan kecil terjadi atau cenderung untuk tidak terjadi. Sebaliknya apabila suatu kejadian mempunyai peluang mendekati 1 berarti kejadian tersebut mempunyai kemungkinan besar untuk terjadi. Pengertian peluang secara klasik: Probabilitas atau peluang adalah kemungkinan terjadinya suatu peristiwa di antara keseluruhan peristiwa yang bisa terjadi.

Peluang suatu kejadian ditentukan berdasarkan analisa terhadap obyek-obyek yang bersangkutan. Pendekatan klasik ini biasa juga disebut dengan pendekatan secara teori. Definisi Jika suatu percobaan menghasilkan 𝑛 hasil yang tidak mungkin terjadi secara bersama-sama dan masing-masing mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi, maka peluang suatu kejadian katakanlah kejadian 𝐴 ditulis

𝑃 𝐴 =

𝑛(𝐴) 𝑛

di mana 𝑛(𝐴) adalah banyaknya hasil pada kejadian 𝐴. P(A) disebut peluang dari kejadian A apabila memenuhi sifat-sifat berikut: (i) 0 ≤ P(A), untuk setiap A (ii) P(S) = 1 (iii) Jika A1, A2 , . . . merupakan kejadian-kejadian yang saling asing di S, maka 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐴2) + ⋯

Contoh Ketika sebuah mata uang logam dilemparkan sekali (dengan kedua permukaan setimbang(simetris)),

sewaktu-waktu jatuh maka kedua permukaannya mempunyai

kemungkinan yang sama untuk tampak di atas karena simetris. Dalam hal ini baik permukaan Angka (A) maupun Gambar (G) mempunyai kemungkinan yang sama yaitu ½ atau 0,5 untuk kelihatan dari atas, sehingga dalam hal ini 𝑃(𝐴) = 0,5 dan 𝑃(𝐺) = 0,5. Keterangan: 𝑃(𝐴)= peluang kejadian kelihatan dari atas adalah Angka 𝑃(𝐺)= peluang kejadian kelihatan dari atas adalah Gambar

B. BEBERAPA SIFAT PELUANG 1. 𝑷(𝑨) = 𝟏 – 𝑷(𝑨𝒄) BUKTI Karena 𝐴 ∩ 𝐴𝑐 = ∅ 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = 𝑆, Maka menurut sifat (ii) dan (iii) diperoleh 𝑃(𝐴 ∪ 𝐴𝑐) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴𝑐) = 𝑃(𝑆) = 1 Jadi 𝑷(𝑨) = 𝟏 – 𝑷 (𝑨𝒄)

2. 𝟎 ≤ 𝑷(𝑨) ≤ 𝟏 BUKTI Dari sifat (i) jelas bahwa 𝑷(𝑨) ≥ 𝟎, selanjutnya Akan dibuktikan 𝑃(𝐴) ≤ 1, sebagai berikut 𝑃(𝐴𝑐) = 1 − 𝑃(𝐴) atau 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴𝑐) Uraian di atas menghasilkan 𝑃(𝐴𝑐) ≥ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑃(𝐴) ≥ 0 Maka jelaslah bahwa 𝑷(𝑨) ≤ 𝟏 3. 𝑷(∅) = 𝟎 BUKTI Karena 𝐴 ∩ ∅ = ∅ 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴, Maka menurut sifat (iii) dan (ii) 𝑃(𝐴 ∪ ∅) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(∅) = 𝑃(𝐴) Jadi jelas bahwa 𝑷(∅) = 𝟎 4. 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) BUKTI: Di dalam teori himpunan, didapatkan bahwa 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∪ (𝐴𝑐 ∩ 𝐵) dan 𝐴 ∩ (𝐴𝑐 ∩ 𝐵) = ∅ Jadi didapatkan 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵) ⋯ (∗) Di pihak lain 𝐵 = 𝑆 ∩ 𝐵 = (𝐴𝑐 ∪ 𝐴) ∩ 𝐵 = (𝐴𝑐 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) Karena (𝐴𝑐 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵) + 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) ⋯ (∗∗) Berdasarkan (*) dan (**) maka diperoleh 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 5. 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪)= 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) + 𝑷(𝑪) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) −𝑷(𝑨 ∩ 𝑪) − 𝑷(𝑩 ∩ 𝑪) + 𝑷(𝑨∩𝑩∩𝑪) BUKTI 6. J𝒊𝒌𝒂 𝑨⊆𝑩, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝑷(𝑨) ≤ 𝑷(𝑩) BUKTI

Tugas (ditulis tangan dan dikumpulkan pada pertemuan berikutnya tanggal 14 April 2016) 1. Berikan contoh lain seperti pada contoh Operasi Kejadian hlm 1. Tentukan semua hasil operasinya (gabungan, irisan, komplemen, selisih). 2. Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Tentukan peluang kejadian A atau B. 3. Buku Bain hlm 45 no 16 dan 17