DISTRIBUSI POISSON Percobaan yang menghasilkan peubah acak π yang bernilai numerik, yaitu banyaknya sukses selama selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu, disebut percobaan Poisson. Panjang selang waktu tersebut boleh berapa saja, semenit, sejam, seminggu, sebulan atau malah setahun. Jadi percobaan Poisson dapat menghasilkan pengamatan untuk peubah acak π, semisal menyatakan banyaknya hubungan telepon sejam yang diterima suatu kantor, banyaknya hari sekolah yang ditutup karena banjir, banyaknya pertandingan sepak bola yang terpaksa diundur karena hujan salju selama musim dingin. Daerah yang dimaksud dapat berupa sepotong garis, suatu luasan, suatu isi, ataupun barangkali sepotong benda. Dalam hal seperti ini misalkan π mungkin menyatakan banyaknya tikus sawah per hektar, banyaknya bakteria dalam suatu makanan, ataupun banyaknya salah ketik per halaman. Suatu percobaan Poisson memiliki sifat berikut: 1. Banyaknya sukses terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu tidak terpengaruh oleh (bebas dari) apa yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpilih; 2. Peluang terjadinya suatu sukses (tunggal) dan selang waktu yang amat pendek atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya selang waktu atau daerah tersebut; 3. Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan. Definisi 1 Banyaknya sukses π dalam suatu percobaan Poisson disebut suatu peubah acak Poisson. Distribusi peluang suatu peubah acak Poisson π disebut distribusi Poisson dan akan dinyatakan dengan π(π₯; π), karena nilainya hanya tergantung pada π, yaitu rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu. Penurunan rumus π(π₯; π) berdasarkan ketiga sifat di atas di luar bahasan pada bab ini.
Nevi Narendrati, M.Pd. | Teori Peluang
1
Definisi Distribusi Poisson Distribusi peluang acak poisson X yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu, diberikan oleh
π menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu dan π = 2,71828β¦. Contoh 1 Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu perhitungan selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah empat. Berapakah peluang enam partikel melewati penghitungan dalam suatu milidetik tertentu? Penyelesaian: Dengan menggunakan distribusi poisson untuk π₯ = 6 dan π = 4 diperoleh bahwa
Contoh 2 Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker sehari. Berapakah peluang pada suatu hari tertentu tanker terpaksa disuruh pergi karena pelabuhan tidak mampu melayani? Penyelesaian: Misalkan X menyatakan banyaknya tanker yang tiba tiap hari. Maka
= 1 β 0,9513 = 0,0487
Nevi Narendrati, M.Pd. | Teori Peluang
2
Teorema 1 Rata-rata dan variansi distribusi poisson π(π₯; π) keduanya sama dengan π Bukti : Untuk menunjukkan bahwa rata-rata benar sama dengan π,
Sekarang misalkan π¦ = π₯ β 1 sehingga diperoleh
Karena
Variansi distribusi poisson didapat dengan mula-mula mencari,
Masukkan π¦ = π₯ β 2, maka diperoleh
Jadi,
Nevi Narendrati, M.Pd. | Teori Peluang
3
Teorema 2 Misalkan X peubah acak binomial dengan distribusi peluang π(π₯; π; π). Bila π β β, π β 0, dan π = ππ, maka π(π₯; π; π) β π(π₯; π). Bukti: Distribusi binomial dapat ditulis,
π
Misalkan π = π , maka diperoleh
Bila π β β sementara π₯ dan π tetap,
Dan dari definisi bilangan π
Nevi Narendrati, M.Pd. | Teori Peluang
4
Jadi dengan syarat limit di atas diperoleh
Contoh 3 Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang kadang-kadang menyebabkan barang tersebut sulit dipasarkan. Diketahui bahwa rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapakah peluang bahwa dalam sampel acak sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung? Penyelesaian : Pada dasarnya percobaan ini binomial dengan π = 8000; π = 0,001. Karena π amat dekat dengan nol dan π cukup besar maka akan dihampiri dengan disribusi poisson dengan π = 8000 Γ 0,001 = 8. Jadi apabila X menyatakan banyaknya barang yang bergelembung, maka
= 0,3134 Latihan Soal 1. Suatu daerah di bagian timur Amerika Serikat, rata-rata ditimpa 6 angin topan selama seminggu. Carilah peluang di suatu tahun tertentu: a. Tidak sampai 4 angin topan yang akan menimpa daerah tersebut. b. Antara 4 sampai 8 angin topan akan menimpa daerah tersebut. 2. Misalkan rata-rata 1 dari tiap 1000 orang melakukan salah perhitungan dalam menghitung pajaknya. Bila 10000 isian pajak diambil secara acak dan diperiksa, hitunglah peluangnya bahwa 6, 7, atau 8 isian tersebut akan salah perhitungan? ooOoo Nevi Narendrati, M.Pd. | Teori Peluang
5
