: Distribusi Peluang. : D. Rizal Riadi

MATERI 3

: Distribusi Peluang

Mata Kuliah

: Statistik

Dosen

: D. Rizal Riadi

Mengingat data kuantitatif dipengaruhi faktor-faktor ketidakpastian dan variasi yang disebabkan akurasi instrumen penelitian hingga pembulatan bilangan, faktor-faktor tersebut dapat didekati dan dihitung menggunakan teori peluang.

1. Analisis Kombinatorial

a. Faktorial : notasi n ! atau x !

Definisi :

n ! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)! = n(n-1)(n-2)(n-3) … 1

Contoh :

5! = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.3.2! = 5.4.3.2.1 = 120

b. Permutasi : notasi nPr Definisi :

nPr n! (nr)!

Contoh :

5P2  5!  120 20 (52)! 6

c. Kombinasi : notasi nCr atau

 n  r 

Definisi :

 n  n!  r   nCr (nr)!.r! Contoh :

5C2 

Sifat-sifat :

5!  12010 (52)!.2! 3!.2!

 n  =  n   r  nr 

 n  = 1 , 0   n  = n 1 

, misal

 5  =  5  2 3

misal

 5  = 1 0 

, misal

 5  = 5 1 

= 10

2. Peluang dan Peristiwa

Definisi Peluang Klasik : Misalkan suatu peristiwa n dapat terjadi dari m peristiwa yang mungkin terjadi, maka peluang peristiwa tersebut :

P=

n m

Definisi diatas hanya dapat digunakan untuk ruang sampel peristiwa yang mudah ditentukan, misalnya coin mata uang, dadu, kartu dst.

Contoh : Jika mata uang mempunyai 2 sisi, yaitu m dan b, maka ruang sampelnya {m,b}= 2 peristiwa yang mungkin terjadi jika mata uang tersebut kita undi. Jika kita akan menghitung peluang muncul sisi ‘m’ dengan mudah dapat dihitung :

P(m) =

{m}  1 {m,b} 2

dst.

Tetapi berdasarkan definisi di atas kita dapat mengambil manfaat bahwa peluang mengikuti aturan , yaitu :

0 P 1, artinya nilai peluang selalu diantara 0 dan 1 Adanya sifat komplemen : P(A) 1 P(A), artinya peluang suatu peristiwa

a. Nilai peluang : b.

A=1–

peluang bukan peristiwa A.

2. Variabel Acak dan Distribusi Peluang

Perhatikan coin mata uang yang mempunyai ruang peristiwa {m,b}. Jika mata uang tersebut kita undi 3 kali, bagaimanakah kemungkinan peristiwanya? Undian 1

2

3

m m m

X = banyaknya ‘m’ yang muncul

Peluang P(X)

3

1/8

2

3/8

1

3/8

0

1/8

m m b m b b

m

m m

m b b b

m b

b

b m

b

b b

Dari penjelasan sederhana di atas, memungkinkan kita untuk menghitung nilai peluang berdasarkan distribusinya, artinya dengan mendefinisikan bahwa X = variabel acak, yaitu kemungkinan peristiwa yang kita nyatakan (dalam hal ini kita memilih banyaknya ‘m’). Distribusinya sebagai berikut :

X

0

1

2

3

P(X=x)

1/8

3/8

3/8

1/8

Perhatikan pula mulai saat ini nilai X dimulai dari 0,1,2, … n. dalam hal ini n=3 karena mata uang hanya diundi 3 kali. Dengan demikian kita mulai dapat menghitung nilai peluang dari distribusi yeng terbentuk, misalnya : P(X=2) = 3/8 P(X>2) = P(X=3) = 1/8 P(X<2) = P(X=0) + P(X=1) = 4/8 P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 7/8 P(X≥2) = P(X=2) + P(X=3) = 4/8 P(1<X<3) = P(X=2) = 3/8 dst. Perhatikan pula karena jumlah nilai peluang =1, berlaku sifat komplementer, misalnya P(X>1) = 1 – P(X≤1) = 1 – {P(X=0) + P(X=1) = 1 – 4/8 = 4/8. hal ini akan berguna untuk n yang cukup besar.

1. Distribusi Peluang Diskrit

Merupakan distribusi peluang bervariabel acak diskrit yang ditemukan para ahli statistika untuk mempermudah perhitungan pada fenomena khusus.

a) Distribusi Binomial

Definisi : Misalkan suatu percobaan dilakukan berulang-ulang dan independen satu sama lain, percobaan hanya menghasilkan 2 kategori, yaitu sukses atau gagal dimana P(sukses) = p dan P(gagal) = 1-p = q. Percobaan ini dikenal sebagai percobaan Bernoulli yang dapat didekati oleh distribusi peluang binomial dengan fungsi peluang :

P(X=x) =

 n  x nx  x p q

, dimana X = 0, 1, 2, …, n

Contoh : Jika peluang lulus satu mata kuliah adalah 0,65 dan sekarang anda mengambil 9 mata kuliah, berapakah peluangnya anda hanya lulus 4 mata kuliah ? , q = 1 – 0,65 = 0,35

p = 0,65

, n=9

,

ditanya P(X=4)

P(X=4) =

 9  4 5  4 0,650,35  0,11813

b) Distribusi Poisson Merupakan ekspansi dari distribusi binomial, terutama untuk nilai p yang terlalu kecil, tetapi nilai n justru besar. Fungsi peluangnya adalah : P(X=x) =

ex x!

, dimana e = 2,71828 dan X = 0, 1, 2, …, n λ = n.p = rata-rata distribusi

Contoh : Jika pada jam tertentu users yang mengakses yahoo.com mencapai 1500 users, sedangkan peluang connect dalam 5 detik pertama adalah 0,009. Berapakah peluangnya ada 8 users yang connect dalam 5 detik pertama ? P = 0,009 λ = n.p = 1500 x 0,009 = 13,5 ditanya P(X=8):

P(X=8) =

e13,513,58 8!

= 0,00375

Bandingkan jika anda hitung dengan binomial, dimana p = 0,009 dan q = 0,991 sedangkan n = 1500, sehingga :

1500 1492 P(X=8) =  0,00980,991  0,03752 8 c) Distribusi Hipergeometrik Definisi : Misalkan dari suatu populasi N terdapat D kategori peristiwa tertentu. Apabila diambil sampel acak sebesar n, maka terdapatnya kategori peristiwa tertentu pada sampel akan mengikuti distribusi peluang hipergeometrik dengan fungsi peluang :

P(X=x) =

 D ND  x  nx   N   n 

; dimana X = 0, 1, 2, …, n

Contoh : Jika sekiranya dari 20 lembar mata uang diindikasikan ada 7 lembar uang palsu dan seorang pengawas mengambil 5 lembar secara acak untuk diperiksa, berapakah peluangnya pengawas tersebut menemukan ada 2 lembaran palsu ? N = 20 , D = 7 , n = 5 Ditanyakan P(X=2)

P(X=2) =

 7 13  2  3  20  5 

= 0.38738

, x =2

Penyelesaian dengan mempergunakan Excel

a) Distribusi Binomial

Perhitungan peluang dengan pendekatan distribusi binomial di atas dapat diselesaikan dengan program MS Excel dengan langkah sbb: a. Klik Insert, pilih Function

b. Pada select a category pilih Statistical, dan pada select a function pilih BINOMDIST, Klik OK c. Isilah Numbers dengan jumlah sukses dalam percobaan dalam hal ini ada mengisi 4. d. Isilah Trials dengan banyak percobaan dalam hal ini kita isi dengan 9 e. Isilah Probability_s dengan peluang sukses pada setiap percobaan, dalam hal ini kita isi 0.65 f. Isilah Cumulative dengan TRUE apabila kita mencari peluang kumulatifnya dan FALSE apabila kita hanya menghitung peluang Xnya. Dalam kasus ini kita isi dengan FALSE. Sehingga kita punya kotak dialog berikut :

Dari kotak tersebut sudah terlihat hasil peluangnya dalam Formula Result sebesar 0.118131085.

b) Distribusi Poisson

Perhitungan dengan pendekatan poisson di atas dapat diselesaikan dengan program MS Excel dengan langkah sbb: a. Klik Insert, pilih Function b. Pada select a category pilih Statistical, dan pada select a function pilih POISSON, Klik OK c. Isilah X dengan jumlah kejadian, dalam hal ini kita isi dengan 8 d. Isilah Mean dengan rata-rata atau λ = n.p = 1500 x 0,009 = 13.5 e. Isilah Cumulative dengan TRUE apabila kita mencari peluang kumulatifnya dan FALSE apabila kita hanya menghitung peluang Xnya. Dalam kasus ini kita isi dengan FALSE.

Dari kotak dialog ini terlihat nilai peluangnya 0.037512337

c) Distribusi Hypergeometric

Perhitungan dengan pendekatan distribusi hypergeometric di atas dapat diselesaikan dengan program MS Excel dengan langkah sbb: a. Klik Insert, pilih Function

b. Pada select a category pilih Statistical, dan pada select a function pilih HYPGEOMDIST, Klik OK

c. Isilah Samples dengan jumlah sukses dalam sample dalam hal ini ada mengisi 2. d. Isilah Numbers_samples dengan banyak sample atau ukuran sampel dalam hal ini kita isi dengan 5 e. Isilah Population_s dengan jumlah sukses dalam populasi, dalam hal ini kita isi 7 f. Isilah Number_pop dengan ukuran populasi, dalam hal ini kita isi 20 g. Hasilnya kita peroleh

Dari kotak dialog ini terlihat nilai peluangnya sama dengan 0.387383901.