Distribusi Peluang Kuliah 6
Distribusi Peluang 1.
Diskrit 1. 2. 3 3.
2.
Bernoulli Binomial Poisson Distribution
Kontinu 1. Normal (Gaussian) 2. t 3 3. F 4. Chi Kuadrat
1.1. Distribusi Bernoulli `
Distribusi Bernoulli berdasarkan oleh suatu percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). Percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat: ` `
Hasil percobaan yang mungkin hanya salah satu dari “Berhasil” atau “Gagal” Jika probabilitas berhasil p, p maka probabilitas gagal q = 1 – p
Lahir 1700
Statistik Deskriptif p Distribusi Bernoulli Rata-rata
μx = E( X ) = p
Ragam
σ x2 = p(1 − p ) = pq
Contoh: Sekelompok ayam diberi 2 jenis pakan yang berbeda. Pakan A dalam bentuk pelet dan pakan B dalam bentuk Mash. Mash Ayam memakan 30% Mash. Mash Jika p = pakan mash dan q = pakan pelet, makan Mean untuk pakan mesh = 0 30 dan 0,30 d Pelet P l t = 0,70 0 70 Ragam = 0,7 x 0,3 = 0,21
1.2. Distribusi Binomial
`
Distribusi Di t ib i binomial bi i l berasal b l dari d i percobaan b bi binomial, i l yaitu it suatu percobaan Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan tidak saling terikat: ` percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang berulang ulang sebanyak n kali ` Hasil dari setiap percobaan adalah berhasil dan gagal ` percobaan b yang berulang b l adalah d l h saling li bebas b b
Peluang 0 p+q p 2 q + 2 pq + q 2
⎛ n! ⎞ s f p( x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ p q ⎝ s! f ! ⎠
p 3 + 3 p 2 q + 3 pq 2 + q 3 p 4 + 4 p 3 q + 6 p 2 q 2 + 4 pq 3 + q 4 Contoh: p ppeluangg mendapatkan p 3 anak laki-laki dari 4 kelahiran ? Berapa Peluang anak laki-laki (p) dan perempuan (q) = 0,5
p = 4(0,5) (0,5) = 0,25 3
1
⎛ 4! ⎞ 3 1 p( x ) = ⎜ ⎟(0,5) (0,5) = 0,25 ⎝ 3! x1! ⎠
Statistik Deskriftif Distribusi Binomial Rata-rata
μ = n. p
Ragam
σ 2 = n. p.q
Standard Deviasi
σ = npq
Contoh: Peluang kelahiran jantan (p) pada sapi = betina (q)= 0,50. Dari 100 ekor kelahiran:
Rata − rata : μ = nxp = 100 x 0,50 = 50 R Ragam = σ 2 = nxpxq = 100 x0,5 x0,5 = 25 StDev = σ = 25 = 5
1.3. Distribusi Poisson ` `
Dikembangkan oleh Simeon Denis Poisson (1781-1840). M Merupakan k distribusi di ib i binomial bi i l yang terbatas, b jik jika jumlah kejadian banyak tapi p sangat sedikit
Rata-rata
μ = λ = np
Ragam
σ = λ = np
Standard Deviasi
σ = λ = npp
2
Contoh Rata-rata truk ayam lewat perlintasan Cileunyi adalah 4 buah truk per jam. Berapa peluang munculnya 6 truk per jam Jawab: x =6
μ =σ =λ = 4 2
P ( 6) =
x −λ
λe
6
−4
4 e = = 0,1042 x! 6!
2.1. Distribusi Normal (Gaussian) • • • •
Dikembangkan oleh Gauss tahun 1777 – 1855 di Jerman Distribusi yang paling banyak digunakan Analisis statistika parametrik hampir selalu diasumsikan bahwa sifat yang dianalisis menyebar normal Berbentuk seperti lonceng dengan rata-rata 0
f ( x) =
1
σ 2π
1 x−μ 2 − ( ) 2 σ ⋅e
Karl Friedrich Gauss 1777-1855
Rumus sebaran normal
1 f ( x) = e 2π Dimana:
1 ⎛ x−μ ⎞ − ⎜ ⎟ 2⎝ σ ⎠
π = 3.14159 3 14159 e = 2.71828
Score z mengukur jumlah standard deviasi dari rata-rata μ.
z=
(x − μ )
σ
2
Contoh 1: Tentukan wilayah antara: a. Z = 0 d z = 1,2 dan 12 b. Z = -0,68 dan z = 0 c. Z = 0,81 dan z = 1,94
c
a
b
Contoh 2: Tentukan Luas Wilayah a. z = 0 ke kanan sampai z = 2,15 Luas keseluruhan = 1 L Luas ½ kurva k = 0,50 0 50
2,15
Luas: 0,4842 0 4842
Contoh 3: Tentukan Luas Wilayah b. Z = 0 ke kiri sampai Z = -1,86
Luas keseluruhan = 1 Luas ½ kurva = 0,50 -1,86
Luas: 0,4686
Contoh 4: Tentukan Luas Wilayah c. z = -1,5 sampai dan z = 1,82
-1,5
1,82
Luas: 0,4332 + 0,4656 = 0,8988
Luas keseluruhan = 1 Luas ½ kurva = 0,50
Contoh 5: Tentukan Luas Wilayah d. z = 1,4 sampai z = 2,65 Luas keseluruhan = 1 Luas ½ kurva = 0,50
1,4 2 65 2,65
Luas: 0,4960-0,4192=0.0768
Contoh Bobot badan rata-rata 100 ekor sapi adalah 151 kg dan standard deviasi 15 kg. Diasumsikan bobot badan menyebar normal. a. Berapa % sapi yang mempunyai bobot lebih dari 185 kg b. Berapa % sapi yang mempunyai bobot lebih kecil dari 120 kg c.
Berapa % sapi yang mempunyai berat 120 sampai 185 kg
d. Berapa % sapi yang beratnya tepat 155 kg
a. Berapa % sapi yang mempunyai bobot lebih dari 185 kg Aplikasi distribusi diskrit ke kontinu dengan faktor koreksu ± 0,50 Sapi lebih berat dari 185 kg ------------- 185 kg tidak masuk Notasi matematik
z=
(x − μ)
σ
x > 185 kg
(185 ,5 − 151 ) , z= = 2 ,30 => > dari d i rata t - rata t 15 Luas wilayah sapi di atas 185 kg 2,30 Luas wilayah = 0,50 – 0,4893 = 0,0107 % Sapi = 0,0107 x 100 = 1,07%
b. Berapa % sapi yang mempunyai bobot lebih kecil dari 120 kg Aplikasi distribusi diskrit ke kontinu ± 0,50 Sapi lebih kecil dari 120 kg------------- 120 kg tidak masuk Notasi matematik
z=
(x − μ)
σ
Luas wilayah sapi di bawah 120 kg -2,10
x < 120 kg
(119 ,5 − 151 ) , z= = − 2 ,10 => dari rata - rata 15 Luas wilayah = 0,50 – 0,4821= 0.0179 % Sapi = 0,0179 x 100 = 1,79%
C. Berapa % sapi yang mempunyai berat 120 sampai 185 kg Aplikasi distribusi diskrit ke kontinu ± 0,50 120 kg dan 155 kg masuk 120 ≤ x ≤ 185
z=
(119 ,5 − 151 ) = − 2 ,10 15
z=
(185 ,5 − 151 ) = 2 ,30 15
Luas wilayah = 0,4893+0,4821 = 0.9714 -2,10
2,30
% Sapi = 0.9714 0.9714 x 100 = 97,14%
d. Berapa % sapi yang beratnya tepat 155 kg Aplikasi distribusi diskrit ke kontinu ± 0,50 155 ± 0,5
(155 ,5 − 151 ) z= = 0 ,30 15 0,23
0,30
(154 ,5 − 151 ) z= = 0 , 23 15 Luas wilayah = z 0,30 – z 0,23 Luas wilayah = 0,1179 - 0,0910 = 0.0269 % Sapi = 0,0269x 100 = 2,69%
2.2. Distribusi t ` ` `
Ditemukan oleh William Sealey Gosset ( (1876-1937) ) Bentuk mirip dengan distribusi Normal Digunakan jika sample ≤ 30, jika lebih besar dari 30 mendekati distribusi normal
F(t) =
k
(1+ ) 2
t n−1
k = konstanta n-11 = derajat d bebas b b
1 n 2
2.3. Distribusi F Dipakai untuk uji banding
Sir Ronald Aylmer Fisher
2.4. Distribusi Chi Quadrat Dipakai untuk uji kecocokan
⎧
