Matematika Ekonomi /Bisnis Differensial / turunan Dosen : D. Rizal Riyadi SE,.ME
ILUSTRASI
Y=a+bX Y2
Y = 3 + 1,5 X
X1 = 1 -> Y1 = 4,5 X2 = 3 -> Y2 = 7,5 X3 = 1,5 -> Y3 = 5,25
Y1
a
X1
X2
Y2 - Y1 3 -------- = --- = 1,5 X2 - X1 2
Y4
Perubahan X1 ke X2 sama dengan X3 ke X4 , tapi memberikan perubahan Y1 ke Y2 < Y3 ke Y4
Y3 Y2 Y1
X1
X2
X3
X4
Turunan (derivative) membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan turunan dapat pula disidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi.
• Berdasarkan manfaat-manfaatnya inilah konsep turunan menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam ekonomi dan bisnis. • Sebagaimana diketahui, analisis dalam ekonomi dan bisnis sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan tingkat minimum.
Atau :
APLIKASI EKONOMI Biaya Marjinal Adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Biaya Marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f (Q), maka
Contoh : Biaya Total =C=f(Q)= Q3 - 3Q2 +4Q+4 Maka, biaya marjinal = MC = C’ = 3Q2 - 6Q + 4
Penerimaan Marjinal Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi atau terjual Fungsi penerimaan marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total dinyatakan dengan R = f (Q), maka
Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh P = 16 – 2Q. Tentukan penerimaan marjinalnya! Maka: Penerimaan Total = R = P x Q = (16 - 2Q)Q = 16Q – 2Q2 Penerimaan marjinal = MR = R’ = 16 – 4Q
Hubungan Biaya Marjinal dengan Biaya Ratarata Pada posisi AC minimun : MC = AC
AC minimum jika AC’ = 0 MC = C’ AC = C/Q
MC = C’ = 3Q2 – 12Q + 15 AC = C/Q = Q2 - 6Q + 15 AC minimum jika AC’ = 0 2Q – 6 = 0 2Q =6 Q =3 Jadi, AC minimum ketika Q=3 MC = 3(3)2 – 12 (3) +15= 6 AC = 32 – 6(3) +15 =6
Produk Marjinal ialah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Fungsi produk marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total Jika fungsi produk total dinyatakan dengan P =f(X), maka produk marjinalnya:
Produksi total = P = f(X) 9X2 – X3, maka Produk marjinalnya adalah MP = P’ = 18X – 3X2
Hubungan Produk Marjinal dengan Produk Rata-Rata Pada posisi AP minimun : MP = AP
AP minimum jika AP’ = 0 MP = P’ AP = P/X
MP = P’ = 18X – 3X2 AP = P/X = 9X – X2 AP minimum jika AP’ = 0 9 – 2X = 0 2X =9 X = 4,5 Jadi, AP minimum ketika X = 4,5 MP = 18(4,5) – 3(4,5)2 = 20,25 AP = 9(4,5) – (4,5)2 = 20,25
APLIKASI EKONOMI Elastisitas Permintaan Suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya:
Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd=25 – 3P2. Tentukan elastisitas permintaannya jika tingkat harga P = 5 ! Qd = 25 – 3P2
Q’d = -6P
Artinya, harga naik (turun) sebesar 1 persen maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3 persen
Elastisitas Penawaran Suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka elastisitas penawarannya:
Contoh : Fungsi penawaran akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs=-200+7P2. Tentukan elastisitas penawarannya jika tingkat harga P = 10 ! Qs = -200 + 7P2
--
-Q’d
= 14P
Elastisitas Produksi Suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran yang dihasilkan akibat adanya perubahan jml masukan yang digunakan Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka elastisitas produksinya:
Contoh : Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 6X2 – X3. Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan faktor produksi sebanyak 3 unit ! P = 6X2 – X3
--
P’ = 12X – 3X2
Analisis Keuntungan Maksimum Tingkat produksi yang memberikan keuantungan maksimum, atau menimbulkan kerugian maksimum, dapat disidik dengan pendekatan diferensial.
π=R–C π optimum jika π’ = 0 Untuk mengetahui apakah π’ = 0 adalah keuntungan maksium ataukah kerugian maksimum, perlu diuji melalui derivatif kedua dari fungsi π
R, C
π = -Q3 + 57Q2 – 315Q - 2000 Maka, agar keuntungan maksimum:
-3Q2 + 114Q – 315 Q1 = 3 ; Q2 = 35
π” = -6Q + 114 Q = 3, maka π” = 96 Q = 35, maka π” =-96
=0
>0 <0
Maka tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah Q = 35 unit, dengan besar keuntungannya adalah π = -(35)3 + 57(35)2 – 315(35) – 2000 = 13.925
KASUS Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x2 dengan jumlah persatuan x=1000. Tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal? Jawab : Biaya rata-rata = C(x)/x = 3200+3,25x-0,0003x2 / X = 3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)2 / 1000 = 6150 / 1000 = 6,15 Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150 Biaya marjinal = dc/dx = 3,25-0,0006x = 3,25-0.0006 (1000) = 2,65 Maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650 pada x=1000
Dari hasil di atas, dibutuhkan Rp.6150 untuk memproduksi 1000 barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1 barang setelah barang yang ke 1000, hanya dibutuhkan Rp. 2650 untuk membuat 1000 barang yang sama.
