1
PENYUSUNAN TABEL HAYAT
oleh NIA RACHMADANI G54101023
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2006
2
ABSTRAK NIA RACHMADANI. Penyusunan Tabel Hayat. Dibimbing oleh Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS dan Ir. Retno Budiarti, MS. Pertumbuhan penduduk di suatu wilayah dipengaruhi oleh 3 faktor yaitu kelahiran, kematian, dan migrasi. Data kematian menurut umur terutama di negara berkembang sulit didapat, sehingga dalam penghitungan kematian menurut umur masih menggunakan pola yang sudah ada yaitu Tabel Hayat Coale – Demeny. Ada banyak metode yang dapat digunakan untuk menentukan tabel hayat, antara lain metode Brass dan metode Preston dan Coale. Metode Brass didasarkan pada kemungkinan pengumpulan data dan pencarian informasi mengenai kematian bayi dan anak – anak serta kematian orang dewasa pada saat survei. Sedangkan metode Preston dan Coale didasarkan pada penggunakan data yang sudah tersedia, yang didapatkan dari sistim pendataan. Dari contoh metode Brass dan metode Preston dan Coale telah dihasilkan tabel hayat yang bersifat diskret. Dalam kepentingan proyeksi penduduk apabila tingkat kematian berubah dari waktu ke waktu, maka penghitungan tabel hayat menjadi sangat rumit sehingga diperlukan tabel hayat yang bersifat kontinu.
3
PENYUSUNAN TABEL HAYAT
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
oleh Nia Rachmadani G54101023
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2006
4
Judul Nama NRP
: Penyusunan Tabel Hayat : Nia Rachmadani : G54101023
Menyetujui :
Pembimbing I, Pembimbing II,
Dr. Ir. Hadi Sumarno MS. Budiarti MS. NIP 131430804 131842409
Ir. Retno NIP
Mengetahui : Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS. NIP 131473999
Tanggal Lulus :
5
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Cilacap pada tanggal 10 Juni 1983 dari ayah Aribowo dan ibu Sri Martini. Penulis merupakan putri kedua dari tiga bersaudara. Tahun 2001 penulis lulus dari SMUN I Cilacap dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Program Studi Matematika, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan penulis aktif pada beberapa kegiatan yang diadakan oleh Gugusan Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) maupun BEM FMIPA antara lain panitia Cer das Tangkas Matematika tahun 2001 menjadi kesekretariatan, panitia Temu Alumni Matematika tahun 2002 menjadi kesekretariatan, panitia Seminar Sains Islam dan Peradaban tahun 2003 menjadi sekretaris, dan yang terakhir adalah panitia Sains Expo khususnya Seminar IT dan e-Bisnis tahun 2003 menjadi kesekretariatan.
6
PRAKATA Alhamdulillahirabbilalamin. Segala puja dan puji yang tiada terhingga penulis lantunkan pada Rabb semesta alam, atas izinNya penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Penulis ucapkan banyak terima kasih kepada : o Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS beserta keluarga yang telah meluangkan waktunya dan dengan sabar membimbing penulis hingga menyelesaikan karya ilmiah ini. o Ibu Ir. Retno Budiarti, MS yang telah memberikan dorongan dan bimbingannya dengan sabar. o Bapak Budi Suharjo yang telah meluangkan waktunya untuk bersedia sebagai moderator dan penguji. o Seluruh dosen Departemen Matematika. Terima kasih atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis. o Kedua orang tua penulis, bapak Aribowo dan ibu Sri Martini di rumah yang tiada hentinya memberikan nasehat dan doanya sehingga penulis berhasil seperti saat ini. Tiada kata yang cukup membalas semua jasa – jasa beliau. Terima kasih telah menjadikan penulis seperti saat ini. o Kakakku Rini Laksmi Safitri dan adikku Nurly Arninda yang telah memberikan semangat. o Seseorang yang telah memberikan dukungan moril dan semangatnya setiap hari. o Teman – temanku Eryta, Tikha, dan Nita yang telah bersedia menjadi pembahas dan Eva yang bersedia menjadi notulen. o Sahabat – sahabat terbaikku Endah, Eva, Feidy, Nanik, Niken, Senny, Saidah yang telah mengisi hari – hariku selama kuliah di saat senang maupun sedih terutama dalam penyusunan skripsi ini. Alangkah bahagianya bisa berwisuda bersama kalian. o Teman – teman angkatan 38, adik – adikku angkatan 39,40, 41, dan 42, dan anak – anak Cirahayu no 4 yang telah menjadi keluargaku di Bogor terutama mbak Tia yang telah memberikan pinjaman komputernya dan mbak Zendy serta mbak Ana yang rela datang pagi – pagi ke Darmaga untuk ikut dalam seminarku. o Yang tidak terlupakan penulis ucapkan terima kasih banyak kepada ibu Susi atas bantuan yang tidak bisa ternilai dengan apapun, dorongan moril, dan nasehatnya, o Terima kasih juga pada ibu Ade, mas Bono, mas Yono atas kesediaannya mengantarkan skripsi, mas Deni, ibu Marizi atas bantuannya, serta semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu per satu. Semoga karya tulis ini bermanfaat. Bogor, Februari 2006
Nia Rachmadani
7
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI..............................................................................................................................................viii DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................................ix DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................................................ix DAFTAR TABEL .....................................................................................................................................x PENDAHULUAN ....................................................................................................................................1 LANDASAN TEORI Tabel Hayat ........................................................................................................................................1 Sebaran Seragam Kematian.............................................................................................................1 Ruang Contoh dan Kejadian ...........................................................................................................1 Peubah Acak ......................................................................................................................................1 Fungsi Sebaran ..................................................................................................................................1 Peubah Acak Diskret ........................................................................................................................1 Fungsi Kepekatan Peluang. .............................................................................................................1 Sebaran Normal.................................................................................................................................1 Nilai Harapan.....................................................................................................................................2 Ragam .................................................................................................................................................2 Penduga Tak Bias ..............................................................................................................................2 Kekonsistenan....................................................................................................................................2 Ketaksamaan Markov .......................................................................................................................2 Ketaksamaan Chebyshev .................................................................................................................2 Penyusunan Tabel Hayat dengan Metode Brass ..........................................................................2 Penyusunan Tabel Hayat dengan Metode Preston dan Coale ...................................................4 Penggabungan Perkiraan Kematian Anak dengan Kematian Orang Dewasa.........................5 PROSES PENGHITUNGAN TABEL HAYAT Analisis Regresi Sederhana.............................................................................................................6 Koefisien Determinasi dan Korelasi..............................................................................................6 Penghitungan Tabel Hayat dengan Metode Brass .......................................................................7 Penghitungan Tabel Hayat dengan Metode Preston dan Coale ................................................8 Tabel Hayat Kontinu ........................................................................................................................9 PEMBAHASAN Kelebihan dan Kekurangan Kedua Metode ..................................................................................14 Perbandingan Nilai l(x) dari Model q(x) dan Model ì(x) ...........................................................15 SIMPULAN ...............................................................................................................................................16 DAFTAR PUSTAKA ...............................................................................................................................16 LAMPIRAN ...............................................................................................................................................17 DAFTAR ISTILAH..................................................................................................................................23
8
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1 : Kurva q(x) dari data .............................................................................................................10 Gambar 2 : Kurva q(x) yang disesuaikan..............................................................................................11 Gambar 3 : Kurva q(x) yang disesuaikan..............................................................................................11 Gambar 4 : Kurva ì(x) dari data .............................................................................................................12 Gambar 5 : Kurva ì(x) yang disesuaikan..............................................................................................13 Gambar 6 : Kurva ì(x) yang disesuaikan..............................................................................................14 Gambar 7 : Perbandingan kurva l(x) ......................................................................................................15
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1 : Bukti persamaan ( 16 ) .....................................................................................................17 Lampiran 2 : Bukti persamaan ( 17 ) .....................................................................................................17 Lampiran 3 : Bukti nilai dugaan b0 ........................................................................................................18 Lmapiran 4 : Bukti nilai dugaan b1 ........................................................................................................19 Lampiran 5 : Bukti nilai dugaan S2e .......................................................................................................20 Lampiran 6 : Bukti b0 tak bias dan konsisten bagi â 0. .......................................................................20 Lampiran 7 : Bukti b1 tak bias dan konsisten bagi â 1. ........................................................................21 Lampiran 8 : Bukti Ketaksamaan Markov. ...........................................................................................22 Lampiran 9 : Bukti Ketaksamaan Chebyshev. .....................................................................................22
9
DAFTAR TABEL Halaman Tabel 1.1 : Banyak Responden Berdasarkan Status Ibu Kandung dan Anak yang Dilahirkan.7 Tabel 1.2 : Level kematian Anak .........................................................................................................8 Tabel 1.3 : Level Kematian Wanita.....................................................................................................8 Tabel 1.4 : Perkiraan Kematian Anak – anak.....................................................................................26 Tabel 1.5 : Perkiraan Kematian Orang Dewasa.................................................................................26 Tabel 1.6 : Koefisien untuk Pengali Perkiraan Kematian Anak .....................................................26 Tabel 1.7 : Tabel Level Kematian berdasarkan Maternal Orphanhood........................................27 Tabel 1.8 : Faktor Penimbang untuk Pengkonversian Proporsi Responden.................................27 Tabel 1.9 : Peluang Bertahan Hidup Wanita Dewasa berdasarkan Maternal Orphanhood.......28 Tabel 1.10 : Proses Iterasi untuk Menghitung Parameter á dan ã.....................................................28 Tabel 1.11 : Nilai Logit untuk Standar Umum Tabel Hayat Brass...................................................29 Tabel 1.12 : Tabel Hayat untuk Bolivia 1975 ......................................................................................30 Tabel 2.1 : Banyak Penduduk Wanita dan Banyak Penduduk Wanita yang Meninggal ............9 Tabel 2.2 : Tingkat Pertumbuhan Wanita ...........................................................................................9 Tabel 2.3 : Koefisien untuk Faktor Umur ...........................................................................................30 Tabel 2.4 : Perkiraan Populasi dan Perbandingan Perkiraan Populasi ..........................................30 Tabel 2.5 : Tabel Hayat untuk El Savador 1961................................................................................30 Tabel 3.1 : Nilai q(x) dan Galatnya untuk Model Eksponensial pada Selang {0, 5, 10 } ..........10 Tabel 3.2 : Nilai q(x) dan Galatnya untuk Model Kuadratik pada Selang { 0, 5, 10 }...............10 Tabel 3.3 : Nilai q(x) dan Galatnya untuk Model Eksponensial pada Selang { 15, …, 75 }.....10 Tabel 3.4 : Nilai q(x) dan Galatnya untuk Model Kuadratik pada Selang { 15, …, 75 }...........10 Tabel 3.5 : Perbandingan Nilai q(x), l(x), dan ì(x) ...........................................................................12 Tabel 3.6 : Nilai ì (x) dan Galatnya untuk Model Eksponensial pada Selang {0, 5, 10 } ..........13 Tabel 3.7 : Nilai ì(x) dan Galatnya untuk Model Kuadratik pada Selang { 0, 5, 10 } ...............13 Tabel 3.8 : Nilai ì (x) dan Galatnya untuk Model Eksponensial pada Selang { 1 5, …, 75 }.....13 Tabel 3.9 : Nilai ì (x) dan Galatnya untuk Model Kuadratik pada Selang { 15, …, 75 }...........13 Tabel 4.1 : Perbandingan Nilai l(x) untuk El Savador 1961............................................................15 Tabel 4.2 : Galat Nilai l(x) yang disesuaikan .....................................................................................15
10
PENDAHULUAN Latar Belakang
Tujuan
Pertumbuhan penduduk di suatu wilayah dipengaruhi oleh 3 faktor yaitu kelahiran, kematian, dan migrasi. Tingkat pertumbuhan yang berubah dapat disebabkan karena salah satu faktor ataupun ketiga faktor tersebut. Pada kenyataannya, data kematian menurut umur terutama di negara berkembang sulit didapat, sehingga dalam penghitungan kematian menurut umur masih menggunakan pola yang sudah ada yaitu Tabel Hayat Coale – Demeny.
Penulisan ini bertujuan untuk membuat suatu tabel hayat, dengan menggunakan : 1. Metode Brass. 2. Metode Preston dan Coale. Manfaat Tabel Hayat memiliki beberapa manfaat, antara lain : 1. Sebagai salah satu komponen penting pemodelan proyeksi penduduk. 2. Sebagai landasan penghitungan premi dalam asuransi umum.
LANDASAN TEORI 1. Definisi Definisi 1 ( Tabel Hayat ) Tabel mengenai angka kematian menurut umur yaitu berkaitan dengan peluang bertahan hidup menurut umur. ( Rogers, 1995 ) Definisi 2 ( Sebaran Seragam Kematian ) Jika terdapat d(x) kematian antara umur x sampai x + 1, maka akan terjadi w.d(x) kematian sebelum waktu w pada interval umur, dimana 0 < w < 1. Sehingga jumlah orang yang hidup saat umur x + w adalah lx+w = lx – w.dx ( Brown, R.L., 1997 ) Definisi 3 ( Ruang Contoh dan Kejadian ) Himpunan dari semua kemungkinan dari suatu percobaan disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω . Suatu kejadian A adalah subset ( anak gugus ) dari ruang contoh Ω. (Grimmett dan Stirzaker, 1992 ) Definisi 4 ( Peubah Acak ) Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X : Ω → R dengan sifat bahwa {ω∈ Ω; X (ω) ≤ x}∈ F , untuk setiap x ∈ R . (Grimmett dan Stirzaker, 1992 ) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital seperti X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran.
Definisi 5 ( Fungsi Sebaran ) Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah suatu fungsi F : R → [0 ,1] yang didefinisikan oleh F X( x ) = P(X x ) (Grimmett dan Stirzaker, 1992 ) Definisi 6 ( Peubah Acak Diskret ) Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada anak gugus yang tercacah {x1 , x 2 ,...}dari R. (Grimmett dan Stirzaker, 1992 ) Suatu himpunan bilangan C disebut tercacah jika C terdiri dari bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1–1 dengan bilangan bulat positif. Definisi 7 ( Fungsi Kepekatan Peluang ) Fungsi kepekatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p : R → [0 ,1] yang diberikan oleh
p X ( x) = P ( X = x )
(Grimmett dan Stirzaker, 1992 ) Definisi 8 ( Sebaran Normal ) Misal X adalah peubah acak dengan nilai harapan µ dan ragam σ 2 , maka fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak X :
f( x)=
( x − µ) 2 exp − σ 2π 2σ 2 1
;−∞〈 x〈∞
peubah acak ini disebut peubah acak yang menyebar normal ( notasi X ~ N ( µ,σ 2 )). ( Hogg dan Craig, 1995 )
11
P( X − µ ≥ kσ) ≤
Jika peubah acak X dengan µ = 0 dan
σ 2 = 1 maka peubah acak X menyebar normal baku ( notasi X ~ N ( 0,1 )) Definisi 9 ( Nilai Harapan ) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kepekatan peluang
fX ( x ) ,
maka nilai harapan dari X adalah : E ( X ) = x fX(x) asalkan jumlah di atas ada. ( Hogg dan Craig, 1995 ) Definisi 10 ( Ragam ) Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antar X dengan nilai harapannya. Secara matematis dinyatakan sebagai : ó2 ( X ) = E ( X – E( X ))2 Akar kuadrat dari σ X 2 yaitu σ X , disebut simpangan baku atau standar deviasi dari X. ( Hogg dan Craig, 1995 ) Definisi 11 ( Penduga Tak Bias ) Misalkan θˆ merupakan penduga bagi par ameter θ , θˆ dikatakan penduga tak bias jika E θˆ = θ .
()
( Hogg dan Craig, 1995 ) Definisi 12 ( Kekonsistenan ) Statistik Xn disebut konsisten bagi è , ditulis
penduga
X n →θ p
untuk
n → ∞ jika untuk setiap ε > 0,
(
)
lim p X n − θ ≥ ε = 0 n →∞
( Hogg dan Craig, 1995 ) 2. Teorema Teorema 1 ( Ketaksamaan Markov ) Misal u(X) adalah fungsi tak negatif dari peubah acak X. Jika E[u(X)] ada, maka untuk setiap c > 0,
P[u ( X ) ≥ c] ≤
E[u ( X )] c
( Hogg dan Craig, 1995 ) ( bukti pada lampiran 8 ) Teorema 2 ( Ketaksamaan Chebyshev ) Misalkan X adalah peubah acak yang memiliki sebaran dengan rataan ì dan ragam σ 2 yang berhingga, maka untuk setiap k > 0,
1 k2
( Hogg dan Craig, 1995 ) ( bukti pada lampiran 9 ) 3.
Penyusunan Tabel Metode Brass
Perkiraan Kematian Bayi dan Anak
Hayat
dengan
Perkiraan Kematian Orang Dewasa
Penggabungan Perkiraan Kematian Bayi dan Anak dengan Perkiraan Kematian Orang Dewasa
Tabel Hayat 3.1 Perkiraan Kematian Bayi dan Anak. Untuk mendapatkan perkiraan tersebut maka dilakukan penghitungan : • Rata – rata pariti ( P(i)). Merupakan rata – rata banyaknya anak yang dilahirkan oleh wanita dalam kelompok umur i. CEB (i ) P ( i) = F P( i) CEB (i) = Children Ever Born (i) Banyaknya anak yang dilahirkan oleh wanita pada kelompok umur i. FP(i) = Female Population (i) Banyaknya wanita kelompok umur i. • Proporsi banyaknya anak meninggal yang pernah dilahirkan oleh wanita kelompok umur i (d(i)). CD (i ) d (i ) = CEB ( i) CD(i) = Children Dead (i) Banyaknya anak meninggal yang pernah dilahirkan oleh wanita kelompok umur i. • Pengali (k(i)).
k (i ) = ε1 + ε2
P(1) P (2 ) + ε3 P(2) P(3)
ε 1 , ε 2 , ε 3 adalah koefisien dari penga li. Tabel koefisien dapat dilihat pada Tabel 1.7 ( United Nations, 1983). .
12
• Peluang meninggalnya seseorang umur x sampai x + 1 tahun (q(x)) .
dari
q ( x) = k (i) .d (i ) • l(x) adalah banyaknya orang yang bertahan hidup hingga umur x tahun dari sejumlah l0 kelahiran. Jika l0 = 1 maka lx = x p0 Untuk selanjutnya digunakan l0 = 1 sehingga lx = x p0 l( x) = 1.0 − q( x) , dengan l(0) = 1 • Level Kematian. Level kematian menyatakan suatu angka yang menunjukkan tingkat kematian dalam suatu populasi. Tabel level kematian dapat dilihat pada Tabel 1.8 ( United Nations, 1983 ). Untuk menentukan level kematian yang tidak ada pada tabel, digunakan interpolasi linear dari nilai l(x) yang didapat. l ( x) − l ( x1 ) θ = l ( x 2 ) − l( x 1) l(x1) dan l(x2 ) adalah 2 nilai terdekat yang membatasi l(x). Level kematian = (1 − θ ) level ( l ( x1 )) + θ level (l ( x2 )) ( United Nations, 1983 ) 3.2 Perkiraan Kematian Orang Dewasa berdasarkan Maternal Orphanhood. Untuk mendapatkan perkiraan tersebut maka dilakukan penghitungan : • Rata – rata umur ibu (M). Maksudnya adalah rata – rata umur ibu pada saat melahirkan anak – anak mereka sebelum sensus dilakukan. Penghitungannya :
∑ A(i ) B (i ) M = ∑ B (i )
M
= rata – rata umur ibu pada saat melahirkan. B(i) = banyaknya kelahiran selama periode tertentu dari wanita kelompok umur i. A(i) = titik tengah umur ibu pada kelompok umur i. • Faktor Penimbang (W(x)). Faktor Penimbang digunakan untuk mempertimbangkan antara rata – rata umur ibu pada saat melahirkan yang didapat dari data dengan umur ibu yang distandarkan.
Tabel faktor penimbang (W(x )) dapat dilihat pada Tabel 1.9 ( United Nations, 1983 ). Penghitungan W(x) yang tidak ada pada tabel dilakukan dengan interpolasi linear. M −M θ= 2 M 2 − M1 W(x) = (1 −θ) Wx(M1) +θWx(M2) M1 dan M2 adalah 2 nilai terdekat yang membatasi M. Nilai Wx (M1) dan Wx (M2) ada pada tabel W(x). • Peluang Kemungkinan Bertahan Hidup. Kemungkinan peluang bertahan hidup dari umur 25 sampai 25 + x : l25+ x = W (x )S ( x − 5) + (1.0 − W ( x))S ( x) l25
l(25 + x ) = peluang bertahan hidup dari l(25) umur 25 sampai 25 + x = proporsi responden dengan ibu yang masih hidup saat sensus dalam kelompok umur x sampai x + 4. ML ( x ) S ( x) = FP ( x ) ML(x) = banyaknya ibu yang hidup pada umur x tahun. W(x)=faktor penimbang pada umur x. S(x)
• Level Kematian Tabel level kematian dapat dilihat pada Tabel 1.10 ( United Nations, 1983 ) Seperti pada perkiraan kematian bayi dan anak, untuk menentukan level kematian orang dewasa yang tidak terdapat pada tabel juga digunakan interpolasi linear dari nilai l(25+x)/l(25) yang didapat. l (25 + x) l (25 + x1 ) − l (25) l (25) θ= l (25 + x2 ) l (25 + x1 ) − l (25) l (25)
l(25+x1) /l(25) dan l(25+x2) /l(25) adalah 2 nilai terdekat yang membatasi l(25+x)/l(25) . Lev el Kematian =
(1− θ ) level l (25+ x1) + θ level l (25+ x2 ) l (25) l (25)
( United Nations, 1983 )
13
4.
Penyusunan Tabel Hayat Metode Preston dan Coale Data kematian menurut umur
Tingkat pertumbuhan
Faktor penyesuaian waktu dan data kematian
Rasionya =
D (10+ )
D(10+)
Perkiraan jumlah penduduk
Tabel Hayat • Perkiraan Tingkat Pertumbuhan. Asumsi bahwa sensus diambil pada waktu t1 dengan populasi N1 dan pada waktu t2 dengan populasi N2, maka tingkat pertumbuhannya : N 1( x + ) ln N 2 ( x + ) rx = t 2 − t1 rx
D(45 +)
dengan
= tingkat pertumbuhan yang dihitung berdasarkan umur penduduk x tahun. N1(x+) = banyaknya populasi saat t 1 untuk umur x tahun. N2(x+) = banyaknya populasi saat t 2 untuk umur x tahun. t1 = waktu awal. t2 = waktu akhir. Untuk tingkat pertumbuhan ( rx ) dari suatu populasi, diambil dari median nilai rx keseluruhan dari umur 20 sampai umur 60. • Faktor Penyesuaian Waktu Pencacahan, Digunakan faktor penyesuaian karena pencatatan kematian dipusatkan pada pertengahan tahun ( 1 Juli ) namun sering kali pencatatan kematian dari sensus tidak dilakukan pada pertengahan tahun sehingga harus disesuaikan. faktor penyesuaian = exp(p*r) p = perbedaan waktu tengah tahun dengan tanggal sensus. r = tingkat pertumbuhan. • Perkiraan Banyaknya Penduduk berdasarkan Data Kematian. Penghitungan rasio kematian dari umur 10 sampai umur 45 tahun.
= banyaknya orang yang meninggal lebih dari umur 10 tahun. D(45+) = banyaknya orang yang meninggal lebih dari umur 45 tahun. D ( 45 + ) z ( x ) = ω1 + ω 2 r + ω 3 exp D(10 + ) z(x) = koefisien untuk x tahun. Nilai koefisien ω1 , ω2 , dan ω3 dapat dilihat pada lampiran 2.3 ( United Nations, 1983). Banyaknya Penduduk : Khusus untuk umur terakhir :
Nˆ (75) = d (75) exprz [ (75)] penghitungan populasi pada umur selanjutnya dengan menggunakan persamaan : Nˆ ( x ) = (0.5 j ) Nˆ ( x ) + Nˆ (x + j ) j
Nˆ ( x) =
Nˆ ( x ) =
j
j Dx
perkiraan banyaknya penduduk pada umur x tahun. perkiraan banyaknya
penduduk dari interval umur x sampai umur x + j. = banyaknya orang yang
meninggal antara interval umur x sampai umur x + j. D(75) = banyaknya orang yang meninggal pada umur 75 tahun. j = selisih umur. • Penyesuaian Data Kematian. 1. Bila tidak menggunakan faktor penyesuaian maka digunakan : C = nilai pengatur dari data. C
=
N∧ ( x− 75) med N ( x− 75)
dari umur 5 sampai 50 tahun. 2. Bila menggunakan faktor penyesuaian maka digunakan : = nilai pengatur yang disesuaikan. Q Cˆ = exp ( pr )
∧
Q = med N ( x − 75) dari umur 5
14
sampai 50 tahun. • Penghitungan Tabel Hayat j mx
j mx jm x
adj
adj
=
=
j Dx
C
j Dx
Cˆ
.
.
1.0 j Nx
atau
1.0
= tingkat kematian yang disesuaikan dari interval umur x sampai x + j. Peluang Kematian.
( j.0) j m x
adj
1.0 + (0.5 j ) j m x
adj
sehingga didapat : l ( x + j) = l ( x)(1.0 − j q x ) l(x) = peluang orang yang dapat bertahan hidup pada umur (x) Jika l(x) dikalikan 100000 maka menjadi banyaknya orang yang hidup pada umur x tahun. Dari nilai l(x) tersebut, fungsi lain dari tabel hayat dapat dicari, seperti : 1 2
L( x) = ( l ( x)+ l (x+ 5)) * j
T ( x) = ∑ L( x) e( x) =
1.0 − ls (25) l s (25)
λ s (25) = 0.5ln
jNx
adj
j qx =
l1(25) = (1.0+ exp(2á + 2ãës(25))) -1 l1(25) = perkiraan pertama dari peluang bertahannya hidup pada umur 25 tahun. ës (25) = nilai transformasi logit l(25) yang diambil dari standar tabel hayat.
T ( x)
l ( x) L(x) = rata rata jumlah waktu yang dijalani. T(x)= Jumlah waktu yang dijalanin selama hidupnya. e(x) = angka harapan hidup seseorang pada umur x tahun. Penggabungan Perkiraan Kematian Anak dengan Perkiraan Kematian Orang Dewasa Penghitungan dilakukan dengan iterasi, langkahnya : • Langkah 1(Pemisalan parameter á ) Asumsi ã1 = 1.0, sehingga didapatkan : α 1 = θ ( 2,3,5 ) − γ 1θ s ( 2,3,5)
θ(2,3,5) = rata – rata transformasi logit dari l(2), l(3), dan l(5) yang diambil dari data.
θs (2,3,5) = rata – rata transformasi logit dari l(2) , l(3) , dan l(5) yang diambil dari standar tabel hayat. Logit l(x) = ë(x). 2, 3, 5 masing – masing indeks kelompok umur 2, 3, 5. • Langkah 2 ( Pemisalan perkiraan peluang bertahan hidup yang digunakan sebagai penyebut ).
ls(25) =
peluang bertahan hidup dari standar tabel hayat pada umur 25 tahun. • Langkah 3 (Pemisalan perkiraan perkiraan peluang bertahan hidup ). l (25 + x ) l1 (25 + x ) = l1 (25) l (25) l1(25+x) = perkiraan pertama dari peluang bertahan hidup pada umur 25 + x. l(25+x)/l(25) = peluang bertahan hidup dari umur 25 sampai umur 25 + x tahun. • Langkah 4 ( Mengubah perkiraan parameter ã ).
1.0 − l1 (25 + x ) λ1 (25 + x) = 0.5ln l1 (25 + x ) γ 2 (25 + x ) =
λ1 (25 + x ) − θ (2,3,5 )
λ s (25 ) − θ s (2 ,3,5) Perkiraan dari nilai ã merupakan rata – rata dari nilai ã yang didapatkan dari setiap umur. ë1 (25+x) = perkiraan pertama logit dari l(25+x) yang didapat dari data. • Langkah 5 (Perkiraan Kedua dari Parameter á). Menggunakan nilai ã 2 yang telah didapatkan pada langkah sebelumnya.
α2 = θ(2,3,5) − γ2θs (2,3,5) • Langkah 6 ( Perkiraan kedua dari Peluang Bertahan Hidup yang digunakan sebagai penyebut) l2(25) = (1+exp (2á2+2 ã2ë s(l(25))))- 1 • Langkah 7 Penghitungan iterasi selanjutnya dilakukan sampai mendapatkan nilai ã yang tidak berubah untuk 2 atau 3 tempat desimal. Perkiraan nilai ã pada iterasi terakhir yaitu á* dan ã*. • Langkah 8 (Penghitungan tabel hayat) Dari nilai á* dan ã* yang didapatkan dicari nilai l*(x). Dari nilai tersebut maka fungsi lainnya dari tabel hayat dapat diketahui. l*(x) = (1+exp (2á*+2 ã*ës(l(x))))- 1 ( United Nations, 1983 )
15
PROSES PENGHITUNGAN TABEL HAYAT Analisis Regresi Sederhana Model yang digunakan : y i = β0 + β 1 x i + e i
n
(
dengan i = 1,2 ,..., n dimana ei ~ N 0 , σ 2
)
Karena σ tidak diketahui maka diduga dengan S2e dimana :
r=
2
n
S2e =
∑ (y i =1
i
− b0 − b1 x i )
∑ ( xi − x )( yi − y )
2
i =1
n 2 n 2 ∑ ( xi − x ) ∑ ( y i − y ) i =1 i =1
Sedangkan untuk koefisien korelasi ganda yang dinotasikan dengan R, didefinisikan sebagai : n
n− 2
( bukti pada lampiran 5 ) Parameter β0 dan β1 yang tidak diketahui nilainya maka diduga oleh b0 dan b1 : Model dugaan : yˆ i = b 0 + b1 x i ; i = 1,2 ,..., n dengan :
b0 = y − b1 x
( bukti pada lampiran 3 )
∑ Yi (xi − x ) b1 = i =n1 2 ∑ ( xi − x) n
i =1
( bukti pada lampiran 4 ) b0 dan b1 merupakan penduga yang tak bias dan konsisten. ( bukti pada lampiran 6 dan 7 ) Koefisien Determinasi dan Korelasi Untuk meyakinkan kesesuaian antara garis regresi dengan data maka diperlukan ukuran. Ukuran tersebut dinyatakan oleh suatu bilangan yang dinamakan koefisien determinasi, dinotasikan dengan R2 yang didefinisikan sebagai : 2 ∑ ( yi − yˆ i ) n
R 2 = 1 − i =n1 2 ∑ (yi − y) i =1
Nilai R2 antara [ 0, 1 ], jika R2 mendekati 1 maka garis regresi tersebut dekat dengan data yang sebenarnya. Sedangkan analisis korelasi mencoba mengukur hubungan antara dua peubah secara kualitatif melalui sebuah bilangan yang disebut dengan koefisien korelasi, yang dinotasikan dengan r. Khusus untuk korelasi linear antara dua peubah ditentukan dengan koefisien korelasi yang didefinisikan sebagai berikut :
R=
( yˆ i − y )2 ∑ i =1 n
( y i − y )2 ∑ i =1
Nilai R antara [ -1, +1 ], jika R = -1 atau R = +1 maka terdapat korelasi yang tinggi antara kedua peubah, dengan kata lain hubungan antara kedua peubah kuat. Tetapi jika nilai R mendekati 0, maka hubungan linear antara X dan Y sangat lemah atau mungkin tidak ada sama sekali. ( Walpole, 1995 ) SUMBER DATA Pada perkiraan kematian orang dewasa, ada 2 pendekatan yang dikembangkan secara bersamaan. Pertama adalah pendekatan yang didasarkan pada kemungkinan pengumpulan data dan pencarian informasi mengenai kematian orang dewasa pada saat sensus. Sensus demografi menyediakan informasi mengenai perkiraan kematian orang dewasa, karena informasi tersebut memperhatikan jenis pertanyaan yang dapat memberikan hasil yang akurat. Sejauh ini ada 2 pertanyaan yang sering digunakan untuk mendapatkan perkiraan kematian orang dewasa. Salah satunya adalah yang dikemukakan oleh Brass dan Hill, yaitu bahwa untuk mendapatkan perkiraan kematian orang dewasa terutama untuk memperkirakan banyaknya kematian wanita, mereka menyeledikinya berdasarkan status maternal orphanhood dengan pertanyaan yang sangat sederhana yaitu ” Apakah ibumu hidup ? ” dari setiap penduduk. Jawaban dari pertanyaan tersebut hanya berupa perkataan ya, tidak , atau bahkan tidak tahu. Kedua adalah pendekatan perkiraan kematian orang dewasa yang didasarkan pada penggunakan data yang sudah tersedia, yang didapatkan dari sistem
16
pendataan ataupun pertanyaan mengenai kematian yang sudah terjadi pada waktu yang lalu, yang ditanyakan saat sensus. Data kematian yang ada dikelompokkan berdasarkan umur dan jenis kelamin yang terjadi selama 1 periode ( biasanya lamanya 1 tahun ). Data tersebut digunakan untuk memastikan banyaknya penduduk yang diketahui berdasarkan sebaran umur. Pendekatan yang kedua ini dilakukan oleh Preston dan Coale dengan membuat model sederhana yang menghubungkan sebaran umur dari data yang didapatkan dengan sebaran umur dari populasi yang akan dibangun, dengan asumsi banyaknya penduduknya relatif stabil. ( United Nations, 1983) 1.
Penghitungan Tabel Hayat dengan Metode Brass. Untuk menghitung tabel hayat dengan menggunakan metode Brass berdasarkan Maternal Orphanhood , data yang diperlukan antara lain : 1. Banyaknya responden yang memiliki ibu yang masih hidup menurut kelompok umur. 2. Banyaknya responden yang ibunya sudah meninggal menurut kelompok umur. 3. Banyaknya responden yang memiliki ibu namun tidak diketahui statusnya (sudah meninggal atau masih hidup). 4. Banyaknya anak yang lahir dari wanita menurut kelompok umur. 5. Banyaknya anak yang meninggal dari wanita menurut kelompok umur. Pada contoh kasusnya dilihat berdasarkan maternal orphanhood, maksudnya adalah memperhitungkan kematian orang dewasa berdasarkan peluang bertahannya hidup ibu. Data yang digunakan adalah data dari sensus yang dilakukan di Bolivia pada tahun 1975. Data diperoleh sebagai berikut : Tabel 1.1 Banyak Responden Berdasarkan Status Ibu Kandung dan Anak yang Dilahirkan Umur Banyak Banyak CEB CD respon ibu ibu yang den yang meninggal hidup 15 – 19 5540 448 136 20 20 - 24 3995 541 409 95 25 – 29 2886 769 485 73 30 – 34 1910 852 320 84 35 – 39 1661 1234 259 96 40 – 44 1027 1272 94 45 45 – 49 855 1556 50 23 sumber : United Nations, 1983
Data tersebut dikelompokkan ke dalam kelompok umur 5 tahunan dan diambil dari wanita yang telah menikah pada usia reproduktif ( 15 – 49 tahun ). Sedangkan pengelompokan anak – anak didasarkan pada umur ibu saat melahirkan anak – anaknya. Dari data tersebut penghitungan yang dilakukan : a. Perkiraan kematian bayi dan anak – anak. ( hasil lihat Tabel 1.5 ). b. Perkiraan kematian orang dewasa. ( hasil lihat Tabel 1.6 ). Nilai M yang didapat sebesar 28.8 berarti rata – rata umur ibu saat kelahiran anaknya adalah sekitar 28.8 tahun. Untuk menghitung faktor penimbang digunakan tabel W(x). Penghitungan ini mengacu pada nilai M dengan menggunakan interpolasi linear yang mengambil 2 titik yang membatasi nilai M yaitu M1 ( nilainya < M )dan M2 ( nilainya > M ). Untuk menentukan nilai z(x) juga menggunakan tabel fungsi standar. Dari 2 perkiraan tersebut akan dibuat suatu tabel hayat yang berasal dari hubungan kedua perkiraan tersebut. Dalam penghitungan dengan menggunakan metode Brass, ada 2 hal yang harus diperhatikan yaitu perkiraan kematian bayi dan anak dan perkiraan kematian orang dewasa. Penghitungan perkiraan kematian bayi dan anak dengan metode Brass ini memperhitungkan rasio kematian anak dengan mengalikan data proporsi anak yang masih hidup dan proporsi anak yang sud ah meninggal menurut kelompok umur dengan suatu faktor pengali. Penghitungan ini menghasilkan suatu ukuran kematian anak yang diartikan sebagai banyaknya anak yang meninggal per 1000 kelahiran sebelum anak tersebut mencapai usia 1, 2, 3, 5, 10,15 dan 20 tahun atau di beri symbol q1, q 2, q3, q5, q10 , q1 5, dan q20 . Faktor pengali yang digunakan didasarkan pada nilai P 1/P 2 atau P2 /P3 dengan P1, P2 , dan P3 adalah rata – rata anak yang lahir hidup pada wanita umur 15 – 19 untuk P1, umur 20 – 24 untuk P2 , dan umur 25 – 29 untuk P 3. ( Maesuroh dkk, 1995 ) Sedangkan penghitungan perkiraan kematian orang dewasa dengan menggunakan metode Brass ini memperhitungkan proporsi kematian orang
17
dewasa berdasarkan ibu atau ayah yang mampu bertahan hidup saat sensus dilakukan pada anak mereka. ( El Jack, 1973 ) Penggabungan Perkiraan Kematian Anak dengan Perkiraan Kematian Orang Dewasa. Untuk menggabungkan 2 perkiraan ini maka digunakan sistem logit dan interpolasi. Pada perkiraan kematian anak yang dihitung hanya untuk q(2), q(3), dan q(5). Untuk q(1) tidak digunakan karena pengaruh nilai q(1) terhadap hasil penghitungan sangat kecil. Dari perkiraan kematian anak – anak didapat : Tabel 1.2 Level Kematian Anak Umur Peluang Level (x) Bertahan Barat Hidup Anak (l(x)) 2 0.7813 9.41 3 5 10 15 20
Umur (x)
25 30 35 40 45
0.8619 0.7531 0.6436 0.5453 0.5663
14.38 10.12 6.99 4.62 6.07
Tabel 1.3 Level Kematian Wanita Peluang Level Bertahan Barat Hidup (l(25+x)/l(25)) 0.8896 18.07 0.8071 16.01 0.0.720 14.96 0.6044 13.94 0.4663 12.98
Untuk menggabungkan 2 perkiraan tersebut membutuhkan suatu tabel sistem logit. Tabel sistem logit yang digunakan adalah tabel sistem logit dari standar umum Tabel Hayat Brass. Tabel tersebut berasal dari penghitungan Langkah 4 pada Penggabungan Perkiraan Kematian Anak dengan Perkiraan Kematian Orang Dewasa. (Tabel sistem logit dapat dilihat pada Tabel 1.12). Level kematian lebih mengacu pada level barat karena pola kematian pada level barat secara umum sudah digunakan sebagai pola standar. Selain itu level barat juga dipercaya dapat mewakili sebagian besar pola kematian karena pola kematian pada level barat dihasilkan dengan mempertimbangkan berbagai kasus kematian yang sering terjadi. ( United Nations, 1983 )
Pada penggabungan ini, diperlukan parameter á dan ã untuk membuat suatu tabel hayat. Untuk mendapatkan nilai á dan ã tersebut maka digunakan iterasi. Iterasi dilakukan dari langkah 1 sampai langkah ke 6. Jika nilai ã masih berubah maka prosedur iterasi dilanjutkan dengan mengulang langkah 3 untuk mendapatkan himpunan kedua dari perkiraan nilai l(x) lalu mengulang langkah ke 4 untuk mendapatkan perkiraan baru dari ã, setelah itu mengulang lagi penghitungan á pada langkah 5 dan penghitungan l(x) pada langkah 6 dengan nilai á dan ã yang baru dan begitu seterusnya. Iterasi ini akan berhenti jika telah mendapatkan nilai ã dengan 2 atau 3 tempat desimal yang tidak berubah lagi. Setelah mendapatkan nilai ã maka hitung nilai ánya. Nilai á dan ã yang tidak berubah ( dinotasikan dengan á* dan ã* ) diterima seba gai perkiraan terbaik dari parameter yang menjelaskan tabel hayat berdasarkan peluang bertahan hidup ibu dari sistem logit yang digunakan. Pada kenyataannya, proses iterasi tidak membutuhkan waktu yang lama yaitu hanya 4 atau 5 iterasi biasanya cukup untuk mendapatkan perkiraan ã yang konvergen. Untuk contoh kasus Bolivia 1975 pada iterasi ke 5 nilai perkiraan ã tidak berubah lagi untuk 3 tempat desimal maka nilai ã pada iterasi ke 5 dapat digunakan sebagai nilai ã yang sesungguhnya. Sehingga didapat ã * = 0.7281 dan nilai á*=-0.2247 dan tabel hayat dapat dibuat. (hasil iterasi lihat Tabel 1.11 dan tabel hayat lihat Tabel 1.13 ). 2.
Penghitungan Tabel Hayat dengan Metode Preston dan Coale. Untuk contoh kasus ini memperhitungkan perkiraan kematian orang dewasa berdasarkan sebaran umur. Seperti halnya perkiraan metode Orphanhood , perkiraan ini juga mempertimbangkan jenis kelamin sehingga perkiraan untuk pria dan wanita berbeda. Dalam menggunakan metode Preston dan Coale untuk membangun suatu tabel hayat maka data yang diperlukan antara lain: 1. Banyaknya penduduk yang meninggal. 2. Banyaknya penduduk. 3. Banyaknya penduduk pada tahun sebelumnya. Pada contoh kasus Preston dan Coale menggunakan data yang berasal dari sensus
18
wanita di El Savador mulai dari tanggal 5 Mei tahun 1961. Data yang diperoleh : Tabel 2.1 Banyak Penduduk Wanita dan Banyak Penduduk Wanita yang Meninggal Umur (x) N(x - 75) 5D x 5Nx 0 6909 214089 1258060 5 610 190234 1043971 10 214 149538 853737 15 266 125040 704199 20 291 113490 579159 25 271 91663 465669 30 315 77711 374006 35 349 72936 296395 40 338 56942 223859 45 357 46205 166417 50 385 39616 120212 55 387 26154 81596 60 647 29273 55442 65 449 14964 26169 70 504 11205 11205 75 1360 16193 sumber : United Nations 1983 = banyaknya kematian dari umur x 5Dx sampai x + 5 tahun. = banyaknya penduduk dari umur 5Nx x sampai x + 5 tahun. N(x - 75) = banyaknya penduduk dari umur x sampai umur 75 tahun. Untuk menentukan tingkat pertumbuhannya, didapat data sebagai berikut : Tabel 2.2 Tingkat Pertumbuhan Wanita Daerah 1950-1961 1961 - 1970 Rata – Umur rata 10+ 0.0236 0.0330 0.0283 15+ 0.0224 0.0307 0.0266 20+ 0.0232 0.0289 0.0260 25+ 0.0246 0.0287 0.0266 30+ 0.0258 0.0290 0.0274 35+ 0.0253 0.0298 0.0276 40+ 0.0266 0.0307 0.0287 45+ 0.0284 0.0309 0.0296 50+ 0.0293 0.0311 0.0302 55+ 0.0351 0.0326 0.0338 60+ 0.0366 0.0327 0.0346 sumber : United Nations 1983 Tabel tingkat pertumbuhan tersebut berasal dari penghitungan 2 periode intercensal. Dar i data tersebut diambil median dari umur 20+ sampai 60+. Data hanya diambil dari umur 20+ sampai 60+ karena tingkat pertumbuhan meningkat mulai umur 20+ sampai umur 60+. Sehingga tingkat pertumbuhannya adalah 0.0287.
Data diambil dari sensus tanggal 5 Mei maka perbedaan waktu antara tanggal sensus dengan pertengahan tahun ( 1 Juli ) sebanyak 56 hari atau sekitar 0.1534 tahun. Digunakan penghitungan pertengahan tahun karena diasumsikan pencatatan kematian dipusatkan pada 1 Juli, sehingga faktor pengaturnya adalah 1.0044. Dalam penghitungan perkiraan banyaknya penduduk berdasarkan data kematian hanya digunakan perbandingan D(45+) dengan D (10+) karena diasumsikan pola kematian mengacu pada bentuk barat, sehingga semua penghitungan untuk menentukan perkiraan banyaknya penduduk ini hanya membutuhkan perkiraan z (75). z(75) sendiri merupakan perbandingan kematian antara umur 10 sampai umur 45 tahun. Didapat D(45+) sebesar 4.089 dan D(10+) sebesar 6.133 sehingga perbandingannya adalah 0.667 dan nilai eksponensialnya adalah 1.948. Untuk mendapatkan hasil yang lebih baik maka digunakan faktor pengatur dengan C adalah nilai pengaturnya. Nilai C itu sendiri didapatkan dari median
N∧ ( x −75) N ( x −75)
dari
umur 5 sampai 45 tahun. Untuk mendapatkan nilai C yang lebih baik lagi ( ) dapat dilakukan dengan ikut memperhitungkan faktor pengaturnya. Hanya saja jika nilai C dan tidak jauh berbeda, maka penghitungan dapat diabaikan sehingga hanya menggunakan nilai C saja. Tetapi tidak dapat diabaikan jika perbedaannya cukup besar. Pada contoh kasus El Savador 1961, didapat nilai C sebesar 0.825 dan nilai sebesar 0.821. Karena perbedaan nilai C dengan nilai hanya 0.004 ( tidak terlalu besar ) maka penghitungan dapat diabaikan sehingga dapat hanya menggunakan nilai C saja sebesar 0.825. ( hasil penghitungan lihat Tabel 2.4 ) Dari penghitungan yang telah dilakukan maka dapat dibuat suatu tabel hayat. ( tabel hayat lihat Tabel 2.5). 3.
Tabel Hayat Kontinu Dari 2 contoh di atas, telah dihasilkan tabel hayat yang bersifat diskret. D alam kepentingan proyeksi penduduk apabila tingkat kematian berubah dari waktu ke waktu, maka penghitungan tabel hayat menjadi sangat rumit sehingga diperlukan tabel hayat yang bersifat kontinu.
19
Pada bagian ini akan dicoba untuk mencari kurva yang sesuai dengan tabel hayat. Penentuan kurva dilakukan dengan 2 cara yaitu : a. Menggunakan kurva q(x). b. Menggunakan kurva ì(x). a.
Penentuan kurva q(x). Dari nilai q(x) yang didapat dari lampiran Tabel 2.4 akan dibuat suatu kurva yang menghubungkan antara peluang kematian q(x) dengan umur.
0.1782 − 0.0466x + 0.0029x 2 ,0 ≤ x ≤ 10 q( x) = 2 0.1624 − 0.0105x + 0.0002 x ,10〈 x ≤ 75 (4) S2e yang ditimbulkan dari 2 fungsi tersebut : 1. Untuk 0 x 10 : Tabel 3.1 Nilai q(x) dan galatnya untuk Model Eksponensial pada Selang { 0, ..., 10 } Umur (x)
q(x) data
Model Eksponensial q(x)
galat
0
0.1782
0.1405
0.0377
5
0.0192
0.0308
0.0116
10
0.0086
0.0067
0.0019
q(x)
S2e model eksponensial 0.3383 Tabel 3.2 Nilai q(x) dan galatnya untuk Model Kuadratik pada Selang { 0, ..., 10 } Umur (x)
umur Gambar 1 Kurva q(x) dari data. Dari kurva di atas akan dibuat suatu fungsi yang dapat mewakili kurva tersebut. Dilihat dari bentuk kurvanya maka fungsi tersebut akan terbagi atas 2 selan g yaitu 0 x 10 dan 10 < x 75. Dan masing – masing selang diwakili oleh suatu fungsi. Berdasarkan bentuk kurvanya pula fungsi yang akan digunakan adalah fungsi eksponen y = aebx dan fungsi kuadratik y = a + bx + cx2 . Dengan menggunakan persamaan regresi didapat koefisiennya : 1. Untuk fungsi eksponen : a exp (b1x ) , 0 ≤ x ≤ 10 q(x) = 1 a2 exp ( b2 x ) ,10 〈 x ≤ 75
q(x) data
Model kuadratik q(x)
galat
0
0.1782
0.1782
0.0000
5
0.0192
0.0177
0.0015
10
0.0086
0.0022
0.0064
S2e model kuadratik 0.00004321 2. Untuk 10 < x
75 : Tabel 3.3 Nilai q(x) dan galatnya untuk Model Eksponensial pada Selang { 15, ..., 75 }
Umur (x)
q(x) data
Model Eksponensial q(x)
galat
15
0.0128
0.0102
0.0026
20
0.0154
0.0135
0.0019
25
0.0178
0.0179
0.0001
30
0.0243
0.0236
0.0007
35
0.0286
0.0312
0.0026
40
0.0353
0.0413
0.0360
45
0.0458
0.0546
0.0088
50
0.0587
0.0723
0.0136
maka persamaannya menjadi :
55
0.0858
0.0957
0.0099
0.1405 e −0.303x , 0 ≤ x ≤ 10 q ( x) = 0. 0044e 0. 056x ,10 〈 x ≤ 75
60
0.1255
0.1266
0.0011
65
0.1667
0.1676
0.0009
70
0.2399
0.2217
0.0182
75
0.4057
0.2934
0.1123
Dengan a1 = 0.1405, b1 = -0.303,
a2 = 0.0044, b2 = 0.056. ( 3)
2. Untuk fungsi kuadratik :
a + b x + c1 x2 , 0 ≤ x ≤ 10 q ( x) = 1 1 2 a + b x + c x ,10 〈 x ≤ 75
2
2
2
dengan a1 = 0.1782, b1 = 0.0466,
S2e model eksponensial 0.02729 Tabel 3.4 Nilai q(x) dan galatnya untuk Model Kuadratik pada Selang { 15, ..., 75 } Umur (x)
q(x) data
c1 = 0.0029, a 2 = 0.1624, b2 = 0.0105,
Model kuadratik q(x)
galat
c 2 = 0.0002
15
0.0128
0.0499
0.0371
maka persamaannya menjadi :
20
0.0154
0.0324
0.0170
25
0.0178
0.0249
0.0071
20
30
0.0243
0.0274
0.0031
35
0.0286
0.0399
0.0113
40
0.0353
0.0624
0.0271
45
0.0458
0.0949
0.0491
50
0.0587
0.1374
0.0787
55
0.0858
0.1899
0.1041
60
0.1255
0.2524
0.1269
65
0.1667
0.3249
0.1582
70
0.2399
0.4074
0.1675
75
0.4057
0.4999
0.0942
Kurvanya menjadi : q(x)
S2e model kuadratik 0.099918
umur Gambar 3. Kurva q(x) yang disesuaikan.
Analisa Determinasi. Untuk model Eksponensial : 0. 003721 ,0 ≤ x ≤ 10 R2 = ,10〈 x ≤ 75 0. 98 Untuk Model Kuadratik : 0.99 ,0 ≤ x ≤ 10 R2 = 0.57 ,10〈 x ≤ 75 Dari analisa keragaman yang dilakukan, maka fungsi yang digunakan adalah :
0.0029x2 −0.0466x + 0.1782 ,0 ≤ x ≤ 10 q(x) = ,10〈 x ≤ 75 0.0044e0.056x
(5)
Kurvanya menjadi : q(x)
Gambar di atas walaupun nilai S2e yang besar tetapi dapat diterima untuk mewakili tabel hayat secara kontinu karena modelnya yang sesuai. Analisis Regresi. Berdasarkan Tabel 3.3 : q(x) = äeâ1x ln q(x) = ln ä + â1 x sehingga model persamaan regresi yang digunakan :
y i = β0 + β1 xi + ei dengan : yˆ = ln q(x) â0 = ln ä model dugaannya yaitu :
yˆ i = b 0 + b1 xi
umur Gambar 2. Kurva q(x) yang disesuaikan. Gambar di atas kurang dapat mewakili tabel hayat secara kontinu walaupun nilai S 2e yang kecil dan adanya kesesuaian antara garis regresi dengan data, karena pada selang umur 5 – 10 tahun terdapat peluang yang bernilai negatif. Sehingga model kuadratik tidak cocok digunakan untuk mewakili tabel hayat secara kontinu, maka diperlukan model lainnya untuk mewakili tabel hayat secara kontinu, yaitu :
0.1405 e ,0 ≤ x ≤ 10 q ( x) = −0.056x ,10〈 x ≤ 75 0 .0044 e −0.303x
(6)
dengan : b0 = -5.423 b1 = 0.056 sehingga
garis
regresinya
yˆ = −5 .423 + 0. 056 x . Penduga bagi σ 2 sebesar : S2e = 0.02729 b. Penentuan kurva ì(x). Selain menggunakan nilai q(x) untuk melihat sebaran pola kematian yang berasal tabel hayat , sebaran pola kematian juga dapat ditunjukkan melalui penghitungan laju kematian yang disimbolkan oleh µx . Dikatakan sebagai laju kematian karena nilai ì(x) berasal dari limit q(x) dengan ∆t → 0 . q(x) sendiri menyatakan perubahan antara lx dengan lx + .t l −l q x = x x + ∆t (7 ) l x ∆t
21
Jika persamaan ( 7) dilimitkan dengan t 0 maka persamaan ( 7 ) akan menjadi µx , dengan kata lain merupakan tingkat perubahan sesaat pada saat umur x. Dengan menggunakan asumsi pada Definisi 2 maka didapat : µx = lim ∆t →0 µx = −
1 lx
l x − l x +∆ t l x ∆t
Dl x
(8)
(9)
bentuk kurvanya maka fungsi tersebut akan terbagi atas 2 selang yait u 0 x 10 dan 10<x 75. Dan masing – masing selang diwakili oleh suatu fungsi. Berdasarkan bentuk kurvanya pula fungsi yang akan digunakan adalah fungsi eksponen y=aebx dan fungsi kuadratik y = a + bx + cx2. Dengan menggunakan persamaan regresi didapat koefisiennya : 1. Untuk fungsi eksponen : µ ( x) =
diambil pend ekatannya :
µx = −
1 l x+5 − l x lx 5
{
a1 exp(b1 x ) , 0 ≤ x ≤ 10 a 2 exp(b2x ) ,10 〈 x ≤ 75
b1 = -0.305, a2 = 0.0008, b2 = 0.05 1.
dengan a1 = 0.028,
( 10 )
maka persamaannya menjadi :
Tabel 3.5 Perbandingan Nilai q(x), l(x), dan µ x Umur (x) q(x) l(x) µx 0 0.1782 1.0000 0.0360 5 0.0192 0.8212 0.0037 10 0.0086 0.8060 0.0017 15 0.0128 0.7991 0.0025 20 0.0154 0.7888 0.0030 25 0.0178 0.7767 0.0025 30 0.0243 0.7628 0.0035 35 0.0286 0.7443 0.0048 40 0.0353 0.7231 0.0056 45 0.0458 0.6975 0.0070 50 0.0587 0.6656 0.0090 55 0.0858 0.6265 0.0110 60 0.1255 0.5727 0.0170 65 0.1667 0.5008 0.0250 70 0.2399 0.4173 0.0400 75 0.4057 0.3172 0.0470
µ ( x) =
{
0.028exp (− 0.305x ) , 0 ≤ x ≤ 10 0.0008exp( 0051 . x) ,10 〈 x ≤ 75 ( 11 )
2.
Untuk fungsi kuadratik :
a + b x + c1 x , 0 ≤ x ≤ 10 µ( x) = 1 1 2 a 2 + b 2 x + c2 x ,10 〈 x ≤ 75 2
dengan a1 = 0.036, b1 = -0.0095, c1 = 0.0006, a 2 = 0.0198, b2 = -0.0013,
c2 = 0.00002 maka persamaannya menjadi : 0.036 − 0.0095 x + 0.0006 x2, 0 ≤ x ≤ 10 µ( x) = 2 0.0198 − 0.0013 x + 0.00002 x ,10〈 x ≤ 75
( 12 ) S2e yang ditimbulkan dari 2 fungsi tersebut : 1. Untuk 0 ≤ x ≤ 10 : Tabel 3.6 Nilai ì(x) dan galatnya untuk Model Eksponensial pada Selang { 0, 5, 10 }
Kurva µx yang didapat adalah : ì (x)
Umur (x)
ì (x) data
Model Eksponensial ì (x)
galat
0
0.0360
0.0280
0.0080
5
0.0037
0.0061
0.0024
10
0.0017
0.0013
0.0004
S2e model eksponensial 0.385 Tabel 3.7 Nilai ì(x) dan galatnya untuk Model Kuadratik pada Selang { 0, 5, 10 } umur Gambar 3. Kurva ì(x) dari data. Dari kurva di atas akan dibuat suatu fungsi yang dapat mewakili kurva tersebut. Dilihat dari
Umur (x)
ì (x) data
Model kuadratik ì(x)
galat
0
0.0360
0.0360
0.0000
5
0.0037
0.0035
0.0002
10
0.0017
0.001
0.0007
S2e model kuadratik 0.00000053
22
2.
Untuk 10 〈 x ≤ 75 : Tabel 3.8 Nilai ì(x) dan galatnya untuk Model Eksponensial pada Selang { 15, ..., 75 }
Umur (x)
ì (x) data
Model Eksponensial ì (x)
galat
15
0.0025
0.0017
0.00080
20
0.0030
0.0022
0.00080
25
0.0025
0.0029
0.00040
30
0.0035
0.0037
0.00020
35
0.0048
0.0047
0.00010
40 45
0.0056 0.0070
0.0062 0.0079
0.00060 0.00090
50
0.0090
0.0102
0.00120
55
0.0110
0.0132
0.00220
60
0.0170
0.0171
0.00001
65
0.0250
0.022
0.00300
70
0.0400
0.0284
0.01160
75
0.0407
0.0367
0.00400
S2e model eksponensial 0.00001527 Tabel 3.9 Nilai ì(x) dan galatnya untuk Model Kuadratik pada Selang { 15, ..., 75 } Umur (x)
ì (x) data
Model kuadratik ì (x)
galat
15
0.0025
0.0048
0.0023
20
0.0030
0.0018
0.0012
25
0.0025
0.0002
0.0023
30
0.0035
0.0012
0.0023
35
0.0048
0.0012
0.0036
40
0.0056
0.0002
0.0054
45
0.0070
0.0018
0.0052
50
0.0090
0.0048
0.0042
55
0.0110
0.0088
0.0022
60
0.0170
0.0138
0.0032
65
0.0250
0.0198
0.0052
70
0.0400
0.0268
0.0132
75
0.0407
0.0348
0.0059
S2e model kuadratik 0.0000468 Analisa Determinasi. Untuk model Eksponensial : 0 .0036 ,0 ≤ x ≤ 10 R2 = 0.96 ,10〈 x ≤ 75 Untuk Model Kuadratik : 0.99 ,0 ≤ x ≤ 10 R2 = 0. 85 ,10 〈 x ≤ 75 Dari analisa keragaman yang dilakukan, maka fungsi yang digunakan adalah :
0.036 − 0.0095x + 0.0006x 2 ,0 ≤ x ≤ 10 µ(x) = 0.0008exp ( 0.051x ) ,10〈x ≤ 75 ( 13 ) Kurvanya menjadi : µ(x)
umur Gambar 5. Kurva ì(x) yang disesuaikan. Gambar di atas kurang dapat mewakili tabel hayat secara kontinu walaupun nilai S 2e yang kecil karena pada selang umur 5 – 10 tahun terdapat peluang yang bernilai negatif. Sehingga model kuadratik tidak cocok digunakan untuk mewakili tabel hayat secara kontinu, maka diperlukan model lainnya untuk mewakili tabel hayat secara kontinu, yaitu :
0.028 e −0 .305x ,0 ≤ x ≤ 10 µ( x) = 0.0008 e0 .051x ,10〈 x ≤ 75
( 14 )
Kurvanya menjadi : µ(x)
umur Gambar 6. Kurva ì(x) yang disesuaikan. Gambar di atas walaupun nilai S2e yang besar tetapi dapat diterima untuk mewakili tabel hayat secara kontinu karena modelnya yang sesuai. Analisis Regresi. Berdasarkan Tabel 3.8 :
µ( x) = δeβ1x
ln ì(x) = ln ä + â1 x
23
sehingga model digunakan :
persamaan
regresi
yang
y i = β0 + β1 xi + ei
dengan : b0 = -7.13
b1 = 0.051
dengan : yˆ = ln µ(x) â0 = ln ä model dugaannya yaitu :
sehingga
per samaan
garis
regresinya
yˆ = −7.13 + 0 .051x Penduga bagi σ 2 sebesar : S2e = 0.048995
yˆ i = b 0 + b1 xi
PEMBAHASAN KELEBIHAN dan KELEMAHAN KEDUA METODE Dari penjelasan sebelumnya, terdapat perbedaan antara kedua metode. Perbedaan tersebut dapat dilihat dari kelemahan dan kelebihan dari masing – masing metode. KELEBIHAN. Metode Brass : Memiliki derajat fleksibilitas yang besar, maksudnya adalah dapat digunakan untuk membuat tabel hayat dengan jumlah data yang terbatas. Metode Preston dan Coale : Dapat membuat tabel hayat berdasarkan catatan kematian menurut umur dari populasi yang sebenarnya ( tidak menggunakan model Coale Demeny ). KELEMAHAN. Metode Brass : 1. Data yang dikumpulkan terbatas pada anak – anak yang ibunya masih hidup pada saat sensus. Tingkat kematian anak yang ibunya sudah meninggal kemungkinan lebih besar dari pada tingkat kematian anak yang ibunya masih hidup. Oleh karena itu angka kematian bayi yang dihitung dari kematian anak dari ibu yang masih hidup saja cenderung lebih rendah dari keadaan yang sebenarnya. 2. Pada beberapa sensus ditemukan bahwa ibu – ibu pada kelompok umur tua tidak melaporkan jumlah anaknya baik karena sengaja atau karena lupa. Sehingga kecenderungan untuk melaporkan jumlah anak yang sudah meninggal akan lebih besar lagi. 3. Anak – anak yang meninggal beberapa saat setelah dilahirkan cenderung tidak dilaporkan. 4. Lahir mati adalah bukan kematian. Konsep ini sering disalahartikan sebagai lahir hidup yang kemudian segera mati dan dilaporkan sebagai kematian anak. Apabila ini terjadi maka angka kematian bayi yang
diperoleh akan lebih tinggi lagi dari keadaan yang sebenarnya. 5. Mengacu pada Tabel hayat Coale Demeny sehingga kurang mencerminkan keadaan yang sebenarnya. Metode Preston dan Coale : 1. Tidak semua negara mencatat banyaknya orang yang meninggal dari tahun ke tahun. 2. Tidak dapat digunakan bila penduduknya jauh dari keadaan stabil. Di Indonesia sendiri, metode Preston dan Coale di atas belum dapat diterapkan dalam membangun Tabel Hayat Indonesia, hal itu disebabkan : * Datanya susah didapat, karena membutuhkan catatan kematian dari tahun ke tahun. Perbandingan nilai l(x) yang diperoleh dari model q(x) dan model ì(x). Dalam model q(x) dengan : q ( x ) = 0.0044 e 0. 056x , 10 < x 75 S2e sebesar 0.02729 selanjutnya ditransformasi ke dalam bentuk l(x) sehingga menjadi : ( 15 ) l( x + 5) = l( x)(1 − q ( x)) Dalam model ì(x) : µ(x) = 0 .0008e 0 .051x , 10 < x 75 S2e sebesar 0.00001527 Selanjutnya ditransformasi ke dalam bentuk l(x) sehingga menjadi :
x lx = l0 exp − ∫ µy dy 0
( 16 )
( bukti pada lampiran 1 ) Dengan mensubstitusi nilai ì(x) ke persamaan ( 14 ) maka menjadi : lx = l0 exp −0.0157e
0.051 x
+ 0.0157
( bukti pada lampiran 2 )
( 17 )
24
Perbandingan lx data dengan lx yang berasal dari model q(x) dan ì(x). Tabel 4.1 Perbandingan nilai l(x) untuk El Savador 1961 Umur l(x) data l(x)adj q(x) l(x)adj ì(x) (x) 15 0.79906 0.97646 0.98212 20 0.78882 0.96330 0.97255 25 0.77666 0.94611 0.96032 30 0.76287 0.92377 0.94478 35 0.74435 0.89492 0.92509 40 0.72308 0.85793 0.90029 45 0.69752 0.81101 0.86926 50 0.66560 0.75233 0.83079 55 0.62657 0.68031 0.78366 60 0.57279 0.59413 0.72677 65 0.50088 0.49455 0.65942 70 0.41739 0.38488 0.58164 75 0.31725 0.27195 0.49467 Tabel 4.2 Galat nilai l(x) yang disesuaikan. Umur (x) Galat l(x)adjq(x) Galat l(x)adj ì(x) 15 0.177 0.183 20 0.174 0.184 25 0.169 0.184 30 0.161 0.181 35 0.151 0.180 40 0.135 0.177 45 0.113 0.172 50 0.087 0.165
55 60 65 70 75 Jumlah
0.054 0.021 0.006 0.033 0.045 ( 1.326 )
0.157 0.154 0.158 0.164 0.177 ( 2.236 )
Perbandingan nilai l(x) dari data dengan nilai l(x) yang disesuaikan dengan model q(x) dan model ì(x) dapat dilihat pada gambar berikut : l(x)
umur Gambar 7. Perbandingan kurva l(x) Kurva 1 (paling bawah ) merupakan kurva l(x) yang berasal dari data. Kurva 2 ( berupa garis) merupakan kurva l(x) yang mengalami penyesuaian model q(x). Sedangkan kurva 3 ( paling atas ) merupakan kurva l(x) yang mengalami penyesuaian model ì(x).
25
S IMPULAN 1.
Dari kedua metode yang telah dibahas, keuntungan dari metode Brass yaitu memiliki derajat fleksibilitas yang besar, sedangkan metode Preston dan Coale dapat membuat tabel hayat berdasarkan catatan kematian menurut umur. Tetapi kelemahan jika metode Brass digunakan antara lain tingkat kematian anak yang ibunya sudah meninggal kemungkinan lebih besar dari pada tingkat kematian anak yang ibunya masih hidup, ibu – ibu pada kelompok umur tua terkadang tidak melaporkan jumlah anaknya baik karena lupa atau sengaja, anak yang meninggal cenderung tidak dilaporkan, lahir mati bukanlah kematian, kurang
2.
mencerminkan keadaan yang sebenarnya, sedangkan untuk metode Preston dan Coale bahwa tidak semua negara memiliki catatan kematian yang lengkap. Upaya untuk membuat tabel hayat menjadi kontinu untuk kepentingan proyeksi penduduk tidaklah mudah. Untuk daerah umur 10 tahun dapat menggunakan model eksponensial tetapi untuk umur 10 tahun belum dapat menentukan model yang baik untuk digunakan.
SARAN Untuk memperjelas kekontinuan dari suatu tabel hayat maka sebaiknya data yang
dipergunakan banyak dan selang daerah umur yang diambil tidak terlalu besar.
DAFTAR PUSTAKA BPS. 2000. Result of The 2000 Population Census. Jakarta : PT.Dharma Citra Putra. BPS. 1985. Perkiraan Angka Kelahiran dan Kematian hasil Survei Penduduk Antar Sensus .Jakarta Brown, Robert L.1997. Intoduction to the Mathematics of Demography ( Third Edition ).Connecticut : Actex Publications El Jack, O. 1973. Trends, Level, and Differentials of Mortality in Northen Sudan 13 : 283 – 438. Grimmett, G. R. dan D. R. Stirzaker.1992. Probability and Random Processes. Edisi ke-2. Clarendon Press. Oxford.
Hogg, R. V. dan A.T.Craig.1995. Introduction to Mathematic Statistics . Edisi ke -5. Prentice Hall. Englewood Cliffs, New Jersey. Maesuroh dkk. 1995. Estimation Fertilitas, Mortalitas, dan Migrasi Hasil Survei Penduduk antar Sensus ( SUPAS ). CV.Petra Jaya, Jakarta United Nations.1983. Manual X Indirect Techniques for Demographic Estimation. New York. Walpole, R. E., 1995. Pengantar Statistika edisi ke – 3. Jakarta : PT. Gramedia Pustaka Utama.
26
LAMPIRAN Lampiran 1. Bukti persamaan 16 : 1 Diketahui µ x = − Dl x lx
x
Akan ditunjukkan. l x = l0 exp − ∫ µy dy 0 Bukti : µx = −
1
Dl x = − Dln x
lx
Jika µy = − Dlny maka : x x − ∫ µ y dy = − ∫ − Dlnl y dy 0 0
= lnlx − lnl 0 l = ln x
l0
x 0
= l0 exp − ∫ µx dx
l l0 exp ln x l0
=
= lx Terbukti. Lampiran 2. Bukti persamaan 17.
x l x = l 0 exp − ∫ µ y dy 0 0.051x Akan ditunjukkan. l x = l0 exp -0.0157 e + 0.0157 µ x = 0.0008e
Diketahui
0.051 x
dan
Bukti :
lx = l0 exp − ∫ µy dy x
0
= l0e x p − ∫ 0.0008 e0.051y dy 0 x
0 0.051 l0 exp − ( 0.0157e0.051 x − 0.0157e0 )
x
= l0 exp − 0.0008 e0.051y =
= l 0 exp − 0.0157 e
Terbukti.
0.051x
+ 0.0157
27
Lampiran 3. Diket : Y1 , Y2, …, Yn bebas dan menyebar normal dengan E(Yi ) = β0 + β1 xi , i = 1, 2, …, n dan
σ 2 (Yi ) yang tidak diketahui, dengan penduganya b0 dan b1 , sehingga fungsi kepekatan peluang bagi Yi : (y − E (Yi ))2 exp - i 2σ 2 2πσ 2 Akan dibuktikan : b0 = y − b1 x Bukti : ( y − yˆ )2 n 1 L β 0 , β1 , σ 2 = ∏ exp - i 2 i =1 2πσ 2 2σ 1
(
)
( y − (β 0 + β 1 x i ))2 exp - i 2σ 2 2πσ 2 1
n
=∏
i =1
( y − β 0 − β 1 x i ) 2 exp - i 2σ 2 2πσ 2 1
n
=∏
i =1
n
1 = 2 2πσ 1 = 2πσ 2
exp − 1 ( y − β − β x )2 i 0 1 i 2σ 2 n
2
-ln L ( â0, â1 , ó2 ) = -ln
1 exp − ( y i − β 0 − β1 x i ) 2 2σ 2
2πσ2 1
n
2
1 2 e− ( y − β − β x ) i 0 1 i 2σ 2
2 n 1 1 n ln + ( y − β − β x ) ∑ i 0 1 i 2 2πσ2 2σ 2 i =1 Ingin meminimumkan jumlah kuadrat sisa bagi parameter â0 sehingga didapat :
=
H (β0 , β1 ) = ∑ ( yi − β0 − β1 xi )2 n
i =1
n ∂H (β0 , β1 ) = 2 ( yi − β0 − β1 xi )(−1) ∂β0 i =1
∑
0 = −2 ∑ ( y i − β0 − β1 xi ) n
i =1
0 = ∑ ( y i − β 0 − β1 x i ) n
i =1 n
n
0 = ∑ yi − nβ0 − β1 ∑ xi i =1
0 =
1 n
i =1
n
∑y i =1
n
i
0 = y − β0 − β1 x
b0 = y − b1 x Terbukti.
∑
1 − β0 − β xi n i =1
28
Lampiran 4. Diketahui : H (β0 , β1 ) = ∑ ( yi − β0 − β1 xi )2 n
i =1 n
Akan dibuktikan : b1 =
∑ Yi (xi − x )
i =1 n
2 ∑ ( xi − x)
i =1
Bukti : Ingin meminimumkan jumlah kuadrat sisa bagi parameter â1 sehingga didapat : n ∂H (β0 , β1 ) = 2 ( yi − β0 − β1 xi )(− xi ) ∂β1 i =1
∑
0
= −2 xi ∑ ( yi − β0 − β1 xi )
0
= x i ∑ ( y i − β 0 − β 1x i )
n
i =1
n
i =1
n
n
n
i =1 n
i =1
0
= ∑ xi y i − β0 ∑ xi − β1 ∑ xi 2
0
= ∑ xi y i − ( y − β1 x )∑ xi − β1 ∑ xi 2
0
n n n 2 = ∑ xi y i − y ∑ xi − β1 x ∑ xi − β1 ∑ xi i =1 i =1 i =1 i =1
i =1
i =1 n
n
n
i =1
i =1
n n n n 1 n 1 n 0 = ∑ x i y i − ∑ y i ∑ x i − β1 ∑ x i ∑ x i − β 1 ∑ x i 2 n i =1 i =1 i =1 n i =1 i =1 i =1 n
0 = ∑ xi yi − i =1
n 2 1 n 2 n 1 n ∑ y i ∑ x i − β1 ∑ x i − ∑ x i i =1 n i =1 i =1 n i =1
2 n n 1n n 1 n β1 ∑ x i 2 − ∑ x i = ∑ x i y i − ∑ y i ∑ x i i =1 n i =1 i =1 n i =1 i =1 n
b1 =
∑ xi y i −
i =1
n 1 n ∑ yi ∑ xi n i =1 i =1
n 1n 2 ∑ xi − ∑ xi n i =1 i =1
∑ ( y i − y )(x i − x ) n
b1 =
i =1
2 ∑ ( xi − x ) n
i =1
∑ Yi ( xi − x ) b1 = i =n1 2 ∑ (x i − x ) n
i =1
Terbukti.
2
29
Lampiran 5. - ln L ( â0, â1 , ó2 ) =
Diketahui :
n
Akan dibuktikan : S 2 e =
∑( y
i
2 n 1 1 n + ( y − β − β x ) ln ∑ i 0 1 i 2 2πσ2 2σ 2 i =1
− β0 − β1 x i )
i =1
2
dimana S 2e adalah penduga bagi ó 2.
n−2
Bukti :
( (
∂ ln L β 0 , β 1 ,σ ∂σ
2
2
)) =
2 ∑ ( yi − β 0 − β 1 xi ) n
n 2σ
2
− i =1
( )
2σ
2 2
2 ∑ ( y i − b0 − b1 x i ) n
=
0
n 2σ
2
− i =1
( )
2σ
2 2
2 ∑ ( yi − b 0 − b1 xi ) n
n = i =1 2 2σ
( )
2 σ2
2
2 ∑ ( y i − b 0 − b1 x i ) n
2σ
4
2σ
2
=
i =1
n 2 ∑ ( yi − b 0 − b1 xi ) n
σˆ 2 = i =1
n
dengan n tergantung pada jumlah derajat bebas yang digunakan. Karena digunakan n -2 derajat bebas maka : 2 ∑ ( yi − b 0 − b1 xi ) n
σˆ 2 = i =1
n −2
karena nilai σ n
S 2e =
∑( y
i
2
tidak diketahui maka nilainya diduga dengan penduganya S2e, sehingga menjadi :
− b0 − b1 x i ) 2
i =1
n−2
Terbukti. Lampiran 6. Akan dibuktikan : b0 merupakan penduga tak bias dan konsisten bagi â0 . Bukti : * Berdasarkan bukti pada lampiran 6 dimana E(b0 ) = β0 maka b0 merupakan penduga tak bias.
*
2 1 x Diketahui bahwa b0n ~ N β 0 , σ 2 + n n 2 ∑ ( xi − x ) i =1 dengan menggunakan Pertidaksamaan Chebysev :
P ( b0 n − β 0 ≥ kσ ) ≤
1 k2
dengan ε = kσ
1 + n
x2 2 ∑ ( xi − x ) n
i =1
30
ε
k= σ
1 + n
x2 2 ∑ (x i − x ) n
i =1
maka
1 P ( b0 n − β 0 ≥ ε ) = P b0 n − β 0 ≥ kσ + n σ lim
2 1
n
+
x 2 ∑ (x i − x ) n
i =1
ε
n →∞
x2 n
∑( x − x ) i =1
i
2
1 2 x σ 2 + n 2 n x − x ( i ) ∑ i =1 ≤ ε
x 2 σ n 21 2 σ ( x − x ) ∑ i = n + i =1 lim lim ε ε n →∞ n →∞
σ2 σ2 x + lim n n →∞ nε n →∞ ε ∑ ( x i − x )2
= lim
i =1
=0 + 0 =0 σ Karena
lim
2 1
n
+
x2 ∑ ( xi − x ) n
i =1
2
=0
maka lim P
ε merupakan penduga yang konsisten. Terbukti. n →∞
n →∞
( b0n − β 0 ≥ ε ) = 0
sehingga
Lampiran 7. Akan dibuktikan : b1 merupakan penduga tak bias dan konsisten bagi â1. Bukti : * Berdasarkan bukti pada lampiran 7 dimana E(b1 ) = β1 maka b1 merupakan penduga tak bias. *
2 σ Diketahui bahwa b1n ~ N β 1 , n 2 ( x − x ) ∑ i i =1 dengan menggunakan Pertidaksamaan Chebysev :
P ( b1n − β1 ≥ kσ ) ≤
1 k2
kσ
dengan ε =
2 ∑ (x i − x ) n
i =1
ε ∑ (x i − x ) n
k=
i =1
σ
2
b0
31
maka
kσ σ2 P ( b1n − β1 ≥ ε ) = P b1n − β 1 ≥ ≤ n 2 γ ε ∑ ( xi − x ) i =1
lim
n →∞
σ
2
ε ∑ (x i − x ) n
=0 2
i =1
Karena
lim
σ2
n →∞
ε ∑ (x i − x )2 n
= 0 maka lim P n →∞
( b1n − β1 ≥ ε ) = 0
sehingga b1 merupakan
i =1
penduga yang konsisten. Terbukti. Lampiran 8. Akan dibuktikan : P[u ( X ) ≥ c] ≤
E[u ( X )] c
Bukti : Misal A = {x; u (x ) ≥ c} dan f(x) adalah fungsi kepekatan peluang dari X. ∞
E[u (X )] = ∑ u (x) f (x) = ∑ u (x )f (x ) + ∑ u (x) f (x) −∞
A.
A
maka E [u (X )] ≥ ∑ u (x )f (x ) A
E[u ( X )] ≥ c∑ f (x ) E [u (X
dimana ∑ f ( x) = P( X ∈ A) = P[u (X ) ≥ c]
A
A
)] ≥ cP [u( X ) ≥ c ]
P[u( X ) ≥ c] ≤
E[u (X )] c
Terbukti. Lampiran 9.
(
)
Akan dibuktikan : P X − µ ≥ kσ ≤
1 k2
Bukti :
Karena ( X − µ )2 > 0, dari Pertaksamaan Markov ( dengan c = k 2 σ 2 ), maka menjadi :
] E[(kX σ− µ) ]
[
2
P ( X − µ)2 ≥ k 2 σ2 ≤
2
2
Karena ( X − µ )2 ≥ k 2 σ 2
⇔
X − µ ≥ kσ , maka persamaan di atas ekuivalen dengan :
[
]
P X − µ ≥ kσ ≤ Terbukti.
[
E ( X − µ )2 2
k σ
2
]=
σ 2
2
σ k
2
=
1 k2
32
DAFTAR ISTILAH Nama Female Population (i) Banyaknya wanita pada kelompok umur i. Children Ever Born (i) Banyaknya anak yang dilahirkan oleh wanita kelompok umur i. Children Dead (i) Banyaknya anak meninggal yang pernah dilahirkan oleh wanita kelompok umur i.
Simbol
Rumus
FP (i)
ML + MD
CEB (i)
Didapat dari survei yang dilakukan.
CD (i)
Didapat dari survei atau sensus yang dilakukan.
Rata – rata jumlah waktu yang dijalani.
L(x)
L( x) = (l ( x) +l ( x +5) ) * j
Jumlah waktu yang dijalani selama hidupnya.
T(x)
T ( x) = ∑ L( x)
Angka harapan hidup seseorang pada umur x.
e(x)
Mother Life Banyaknya ibu yang hidup Mother Dead Banyaknya ibu yan g meninggal Banyaknya anak yang dilahirkan oleh wanita dalam kelompok umur i Proporsi banayaknya anak meninggal yang pernah dilahirkan oleh wanita kelompok umur i. Pengali
ML
Didapat dari survei atau sensus yang dilakukan.
MD
Didapat dari survei atau sensus yang dilakukan
P(i)
Didapat dari survei atau sensus yang dilakukan.
d(i)
Didapat dari survei atau sensus yang dilakukan.
k(i)
k (i ) = ε 1 + ε 2
Peluang orang yang meninggal umur x sampai umur x + 1. Peluang orang yang meninggal umur x sampai x + j.
q(x)
q( x) = k ( i ).D (i )
Peluang orang yang meninggal dari lahir sampai umur x tahun.
l(x)
1 2
e( x) =
T ( x) l ( x)
P (1) P (2 ) +ε3 P (2) P (3) ε1 , ε2 , ε3 adalah koefisien dari k(i).
jq(x)
j qx
=
( j) j mx
adj
1.0 + (0.5 j ) j m x
adj
l( x) = 1.0 − q( x) jika l0 = 1
33
Titik tengah umur ibu dari kelompok umur i.
A(i)
Didapat dari survei atau sensus yang dilakukan.
Banyaknya kelahiran selama periode tertentu dari ibu pada kelompok umur i. Faktor Penimbang untuk umur x.
B(i)
Didapat dari survei atau sensus yang dilakukan.
W(x)
Untuk menghitung W(x) yang tidak ada pada tabel digunakan interpolasi linear.
Proporsi responden dengan ibu yang masih hidup saat wawancara dalam kelompok umur x sampai x + 4.
S(x)
Tingkat pertumbuhan pada umur x.
rx
Waktu periode menunjukkan tahun.
t
Banyaknya orang yang meninggal pada umur x sampai x + 1. Banyaknya orang yang meninggal dari umur x tahun. Banyaknya orang yang meninggal dari umur x sampai x + 5.
D(x)
Didapat dari survei atau sensus yang dilakukan.
D(x+)
D( x+) = D75 + 5 D70 + ... + 5 Dx
Banyaknya penduduk yang didapat dari survei pada umur x tahun. Banyaknya penduduk yang didapat dari survei pada umur x tahun. Perkiraan banyaknya penduduk pada umur x tahun. Perkiraan banyaknya penduduk dari umur x sampai x + j. Nilai pengatur yang didapat dari data.
N(x+)
N ( x + ) = N75 + 5 N 70 + ... + 5 N x
N(x)
Didapat dari survei atau sensus yang dilakukan.
Nˆ ( x )
Nˆ ( x ) = Nˆ ( x + j )e x p ( jr ) + j Dx exp(0.5 jr )
Nilai pengatur disesuaikan.
Nˆ ( x )
FP ( x )
Didapat dari survei atau sensus yang dilakukan
j
Nˆ ( x ) = (0.5 j ) Nˆ ( x ) + Nˆ (x + j )
dengan j = 5
C
yang
Median Nˆ ( x -75 ) dari umur 5 sampai 50 tahun
ML( x)
ln N1( x +) / N 2 ( x +) rx = t2 − t1
jD(x)
j
S (x) =
∧
Cˆ =
Q
C = med N ( x − 75)/ N (x − 75)
Q exp ( pr )
Didapat dari survei atau sensus yang dilakukan.
34
Tingkat kematian yang di atur dari interval umur x sampai x + 5.
adj 5m x
j mx
adj
j Dx
=
C
.
1.0 j Nx
dengan j = 5 Nilai logit dari x.
ë(x)
1.0 − l( x) l( x)
λ( x) = 0.5ln
D ( 45 + ) z ( x ) = ω1 + ω 2 r + ω3 exp D(10 + ) ω1 , ω2 , ω3 adalah koefisien untuk z(x) i merupakan indeks, menunjukkan beda kelompok umur 5 tahunan. Untuk i = 1, menunjukkan kelompok umur 15 – 19 tahun. i = 2, menunujukkan kelompok umur 20 – 24 tahun. i = 3, menunjukkan kelompok umur 25 – 29 tahun. i = 4, menunjukkan kelompok umur 30 – 34 tahun. i = 5, menunjukkan kelompok umur 35 – 39 tahun. i = 6, menunjukkan kelompok umur 40 – 44 tahun. i = 7, menunjukkan kelompok umur 45 – 49 tahun. Rasio Kematian antara umur 10 tahun sampai umur 45 tahun.
z(x)
35
DAFTAR TABEL Tabel 1.4 PERKIRAAN KEMATIAN ANAK – ANAK Kelompok Umur 15 - 19 20 - 24 25 - 29 30 - 34 35 - 39 40 - 44 45 - 49 P(1)/P(2) P(2)/P(3)
Indeks (i) 1 2 3 4 5 6 7 0.2517 0.6797
Umur (x) 1 2 3 5 10 15 20
P(i) 0.0227 0.0902 0.1327 0.1159 0.0906 0.0409 0.0207
d(i) 0.1471 0.2323 0.1505 0.2625 0.3707 0.4787 0.4600
k(i) 0.9811 0.9416 0.9171 0.9405 0.9615 0.9496 0.9427
q(x) 0.1443 0.2187 0.1380 0.2469 0.3563 0.4546 0.4337
l(x) 0.8558 0.7813 0.8619 0.7531 0.6436 0.5453 0.5663
Level kematian 11.13 9.41 14.38 10.12 6.99 4.62 6.07
Tabel 1.5 PERKIRAAN KEMATIAN ORANG DEWASA Umur S(x) (x) 20 0.8807 25 0.7896 30 0.6915 35 0.5737 40 0.4467 45 0.3546 M = 28.8
W(x) 0.9874 1.0976 1.1784 1.2416 1.2414 1.2126
1-W(x) 0.0126 -0.0976 -0.1784 -0.2416 -0.2414 -0.2126
S(x-5) 0.9252 0.8807 0.7896 0.6915 0.5737 0.4467
Level kematian 18.3800 18.0700 16.0100 14.9600 13.9400 12.9800
l(25+x)/l25 0.9246 0.8896 0.8071 0.7200 0.6044 0.4663
Tabel 1.6 Koefisien untuk Pengali Perkiraan Kematian Anak Kelompok umur 15 - 19 20 - 24 25 - 29 30 - 34 35 - 39 40 - 44 45 - 49
Indeks (i) 1 2 3 4 5 6 7
umur (x) 1 2 3 5 10 15 20
ε1
ε2
ε3
1.1415 1.2563 1.1851 1.1720 1.1865 1.1746 1.1639
-2.7070 -0.5381 0.0633 0.2341 0.308 0 0.3314 0.3190
0.7663 -0.2637 -0.4177 -0.4272 -0.4452 -0.4537 -0.4435
Tabel 1.7 TABEL LEVEL KEMATIAN berdasarkan Maternal Orphanhood
36
Menggunakan Model Barat. Level kematian 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
l(1) 0.6348 0.6664 0.6948 0.7206 0.7443 0.7660 0.7861 0.8048 0.8223 0.8386 0.8539 0.8683 0.8817 0.8945 0.9066
l(2) 0.5500 0.5856 0.6183 0.6486 0.6767 0.7030 0.7277 0.7508 0.7727 0.7934 0.8130 0.8316 0.8494 0.8672 0.8836
l(3) 0.512 0 0.5494 0.5840 0.6163 0.6464 0.6748 0.7015 0.7267 0.7505 0.7732 0.7947 0.8152 0.8349 0.8550 0.8732
l(5) 0.4688 0.5082 0.5451 0.5796 0.6121 0.6427 0.6717 0.6992 0.7253 0.7502 0.7739 0.7965 0.8185 0.8411 0.8613
l(10) 0.4346 0.4745 0.5121 0.5476 0.5814 0.6134 0.6439 0.6730 0.7008 0.7274 0.7529 0.7773 0.8010 0.8256 0.8477
l(15) 0.4097 0.4498 0.4878 0.5240 0.5586 0.5915 0.6231 0.6533 0.6823 0.7101 0.7369 0.7626 0.7877 0.8139 0.8374
l(20) 0.3794 0.4195 0.4579 0.4947 0.5300 0.5639 0.5966 0.6281 0.6584 0.6877 0.7160 0.7433 0.7699 0.7975 0.8228
Tabel 1.8 FAKTOR PENIMBANG untuk PENGKONVERSIAN PROPORSI RESPONDEN Umur (x) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
W(28) 0.6740 0.8000 0.9210 1.0160 1.0800 1.1280 1.1110 1.0630 0.8900 0.6450 0.3780
W(29) 0.7170 0.8630 1.0040 1.1180 1.2030 1.2700 1.2740 1.2500 1.0950 0.8560 0.5790
Tabel 1.9 PELUANG BERTAHAN HIDUP berdasarkan MATERNAL ORPHANHOOD
37
Level 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
l(45)/l(25) 0.6015 0.6299 0.6564 0.6811 0.7043 0.7262 0.7469 0.7666 0.7852 0.8030 0.8199 0.8361 0.8514 0.8644 0.8790 0.8931 0.9067 0.9199 0.9325 0.9446
l(50)/l(25) 0.5169 0.5484 0.5779 0.6059 0.6324 0.6576 0.6817 0.7046 0.7266 0.7476 0.7678 0.7872 0.8056 0.8215 0.8388 0.8558 0.8724 0.8886 0.9043 0.9194
l(55)/l(25) 0.4246 0.4579 0.4897 0.5202 0.5494 0.5775 0.6046 0.6306 0.6558 0.6801 0.7035 0.7262 0.7479 0.7667 0.7869 0.8069 0.8267 0.8463 0.8654 0.8841
l(60)/l(25) 0.3304 0.3638 0.3962 0.4277 0.4584 0.4883 0.5174 0.5457 0.5733 0.6002 0.6265 0.6520 0.6766 0.6981 0.7208 0.7437 0.7666 0.7895 0.8122 0.8346
l(65)/l(25) 0.2269 0.2578 0.2887 0.3195 0.3500 0.3802 0.4102 0.4398 0.4691 0.4980 0.5265 0.5546 0.5818 0.6058 0.6310 0.656 7 0.6828 0.7092 0.7358 0.7624
l(70)/l(25) 0.1370 0.1622 0.1882 0.2149 0.2421 0.2696 0.2975 0.3256 0.3538 0.3822 0.4105 0.4388 0.4666 0.4911 0.5169 0.5436 0.5713 0.5997 0.6288 0.6582
l(75)/l(25) 0.0646 0.0814 0.0996 0.1190 0.1395 0.161 1 0.1835 0.2066 0.2304 0.2549 0.2798 0.3052 0.3305 0.3528 0.3765 0.4016 0.4280 0.4557 0.4845 0.5143
Tabel 1.10 PROSES ITERASI untuk MENGHITUNG PARAMETER á dan ã Iterasi 1 ã1 á1 l1(25) Umur (25+x) 20 25 30 35 40 45 50
l1(x) 0.6493 0.6247 0.5667 0.5056 0.4244 0.3274 0.2538
Iterasi 4 ã4 á4 l4(25)
Iterasi 2 ã2 á2 l 2(25)
1.0000 -0.046 0.7022 ë1 -0.3079 -0.2547 -0.1343 -0.0111 0.1524 0.3599 0.5393 ratarata 0.7305 -0.2231 0.7322
ã1 0.7189 0.7052 0.7695 0.7980 0.8312 0.8580 0.8193
l 2(x) 0.6714 0.6460 0.5861 0.5229 0.4389 0.3386 0.2625
0.7857 Iterasi 5 ã5 á5 l 5(25)
Iterasi 3 ã3 á3 l 3(25)
0.7857 -0.1868 0.7262 ë2 -0.3574 -0.3008 -0.1739 -0.0457 0.1228 0.3347 0.5166 ratarata 0.7285 -0.2244 0.7324
ã2 0.6289 0.6327 0.7159 0.7581 0.8025 0.8377 0.8044 0.7400
l 3(x) 0.6760 0.6504 0.5901 0.5264 0.4419 0.3409 0.2643
0.7400 -0.2168 0.7311 ë3 -0.3678 -0.3104 -0.1822 -0.0529 0.1167 0.3296 0.5120 ratarata
ã3 0.6100 0.6176 0.7047 0.7499 0.7966 0.8335 0.8013 0.7305
38
Umur (25+ x) 20 25 30 35 40 45 50
l4(x) 0.6670 0.6513 0.5909 0.5272 0.4425 0.3414 0.2646
ë4 -0.3700 -0.3125 -0.1839 -0.0544 0.1155 0.3285 0.5111 ratarata
ã4 0.6060 0.6144 0.7024 0.7482 0.7954 0.8327 0.8007
l 5(x) 0.6772 0.6515 0.5911 0.5273 0.4427 0.3415 0.2647
0.728 5
ë5 -0.3704 -0.3129 -0.1843 -0.0547 0.1152 0.3283 0.5109 ratarata
ã5 0.6052 0.6137 0.7019 0.7478 0.7951 0.8325 0.8006 0.7281
Pnghitungan terakhir didapat ã* = 0.7281 á* = -0.2247
Tabel 1.11 NILAI LOGIT untuk STANDAR UMUM TABEL HAYAT BRASS Umur (x) 0 1 2 3 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
Nilai logit ë (l(x)) -0.8670 -0.7152 -0.6552 -0.6015 -0.5498 -0.5131 -0.4551 -0.3829 -0.3150 -0.2496 -0.1816 -0.1073 -0.0212 0.0821 0.2100 0.3721 0.5818 0.8593 1.2375 1.7722
Tabel 1.12 TABEL HAYAT untuk BOLIVIA 1975 Umur (x) 0
l(x) 100000
L(x) 92354
T(x) 4792951
e(x) 47.93
39
1 2 3 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
84708 81621 80273 79006 77730 76791 75252 73242 71261 69271 67124 64694 61781 58172 53583 47690 40183 30691
83164 80947 79639 156736 386302 380107 371235 361257 351330 340987 329545 316187 299882 279387 253182 177860 128760 77880
4700597 4617432 4536485 4456846 4300110 3913807 3533700 3162465 2801207 24498 77 2108890 1779345 1463157 1163275 883887 630705 411022 233162
55.49 56.57 56.51 56.32 50.97 46.96 43.18 39.31 35.37 31.42 27.50 23.68 19.99 16.50 13.23 10.23 7.53 5.08
Tabel 2.3 KOEFISIEN untuk FAKTOR UMUR berdasarkan INTERVAL TERBUKA
Umur (x) 45 50 55 60 65 70 75
ù1 -13.43 -12.49 -11.24 -9.5 -7.21 -4.48 -1.64
Koefisien ù2 ù3 181.4 17.57 163.6 15.49 143.7 13.34 121.2 11.07 96.1 8.67 69.2 6.23 42.9 3.91
Tabel 2.4 PERKIRAAN POPULASI dan PERBANDINGAN PERKIRAAN POPULASI EL SAVADOR 1961
Umur(x)
Ñ(x)
Perkiraan Populasi 5Ñ(x) Ñ(x -75)
Perbandingan Perkiraan untuk Pendataan Populasi 5Ñ(x)/ 5N(x) Ñ(x-75/N(x-75) 5m(x)adj 5q(x)
40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
43632 31368 26607 22851 19549 16665 14185 11995 10067 8407 6951 5663 4546 3336 2472 1673
187499 144939 123646 106000 90534 77124 65450 55156 46184 38393 31534 25522 19705 14520 10362 4181
1036568 849069 704130 580484 474484 383950 306826 241376 186220 140036 101643 70104 44586 24882 10362
0.8758 0.7619 0.8269 0.8477 0.7977 0.8414 0.8422 0.7562 0.8111 0.8309 0.8166 0.9758 0.6731 0.9703 0.9247
0.8239 0.8133 0.8248 0.8243 0.8193 0.8245 0.8204 0.8146 0.8337 0.8415 0.8455 0.8592 0.8042 0.9508 0.9247
Tabel 2.5 TABEL HAYAT WANITA untuk EL SAVADOR 1961 Umur (x) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
l(x) 100000 82184 80602 79906 78882 77666 76287 74435 72308 69752 66560 62657 57279 50088 41739 31725
L(x) 91092 406965 401270 396970 391370 384883 376805 366857 355150 340780 323043 299840 268418 229568 183660 79313
T(x) 4895982 4804896 4397925 3996655 3599685 3208315 2823433 2446628 2079770 1724620 1383840 1060798 760958 492540 262973 79313
e(x) 48.96 58.47 54.56 50.01 45.63 41.31 37.01 32.87 28.76 24.73 20.79 16.93 13.29 9.83 6.3 2.5
0.0391 0.0039 0.0017 0.0026 0.0031 0.0036 0.0049 0.0058 0.0072 0.0094 0.0121 0.0179 0.0268 0.0364 0.0545 0.1018
0.1782 0.0192 0.0086 0.0128 0.0154 0.0178 0.0243 0.0286 0.0353 0.0458 0.0587 0.0858 0.1255 0.1667 0.2399 0.4057
