PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 bx c 0, a,b,c ∈ℜ, a 0
Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax2 bx c 0; a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 − b ± b2 − 4ac x = 1,2 2a 2. Memfaktorkan Bentuk ax2 bx c 0 diubah menjadi bentuk 1 (ax + p)(ax + q) = 0 a dengan p q b dan pq ac. 3. Melengkapkan kuadrat sempurna Bentuk ax2 bx c 0 diubah menjadi bentuk x p 2 q dengan p b
2
2 ⎛b⎞ ⎜ ⎟ dan q . ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
Sehingga dengan mengakarkan kedua ruas diperoleh x1 ‐p x2 ‐p ‐
q dan
q
Jenis – jenis akar persamaan kuadrat Jika D b2‐4ac merupakan diskriminan persamaan kuadrat, maka jenis akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan adalah 1. D 0, kedua akarnya real nyata dan berbeda 2. D 0, kedua akarnya sama kembar 3. D 0, akar‐akarnya khayal tidak nyata Jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat Jika x1 dan x2 akar‐akar persamaan kuadrat ax2 bx c 0, maka
1. 2. 3.
.
2 .
Ringkasan mareti fungsi, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
4.
.
5. 6.
4 . 3 .
7.
.
Membentuk persamaan kuadrat Jika x1 dan x2 akar‐akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah . 0 Contoh : 1. Akar – akar persamaan kuadrat 2x2 + 5x + 8 = 0 adalah α dan β. Nilai dari α2+β2 adalah …. A. – 8 B. – 2
−
C.
7 4
D. 9 E. 10 Penyelesaian :
5 2
α +β =−
8 = 4 2 α 2 + β 2 = (α + β ) − 2αβ
α .β =
2
⎛ 5⎞ = ⎜ − ⎟ − 2.4 ⎝ 2⎠ 25 32 = − 4 4 7 = − ( C ) 4 2. Persamaan kuadrat yang akarnya 5 dan – 2 adalah ….. A. x2 + 7x + 10 = 0 B. x2 ‐ 7x + 10 = 0 C. x2 + 3x + 10 = 0 D. x2 + 3x ‐ 10 = 0 E. x2 ‐ 3x ‐ 10 = 0 penyelesaian : persamaan kuadrat : x 2 − (5 + (− 2 ))x + 5.(− 2 ) = 0
x 2 + 3 x − 10 = 0 (D)
Ringkasan mareti fungsi, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
FUNGSI KUADRAT 1. Bentuk umum
y = f ( x ) = ax 2 + bx + c , a, b, c ∈ ℜ, a ≠ 0
2. Menentukan persamaan fungsi kuadrat Untuk menentukan persamaan (rumus) fungsi kuadrat, dapat menggunakan rumus : a. b.
f ( x ) = ax 2 + bx + c , bila minimal tiga titik yang dilalui diketahui
f (x ) = a( x − x1 )(x − x2 ) , bila x1 dan x2 merupakan absis titik potong dengan sumbu X dan satu titik lain yang dilalui diketahui
c.
f ( x ) = a( x − p ) + q , bila (p,q) merupakan titik puncak dan satu titik lain yang 2
dilalui diketahui.
3. Ciri‐ciri fungsi kuadrat y = f ( x ) = ax 2 + bx + c dan grafiknya : a. Persamaan sumbu simetri x = −
b 2a
⎛ b D ⎞ ⎛ b ⎛ b ⎞⎞ , ⎟ = ⎜⎜ − , f ⎜ − ⎟ ⎟⎟ ⎝ 2a − 4a ⎠ ⎝ 2a ⎝ 2a ⎠ ⎠
b. Koordinat titik puncak ⎜ −
c. Berdasarkan nilai a : Untuk a > 0 , grafik terbuka ke atas Untuk a < 0 , grafik terbuka ke bawah d. Berdasarkan nilai c C > 0 , grafik memotong sumbu Y positif C < 0 , grafik memotong sumbu Y negative C = 0 , grafik melalui titik ( 0,0) e. Berdasarkan nilai diskriminan (D) D > 0 , grafik memotong sumbu X di dua titik yang berbeda D = 0 , grafik menyinggung sumbu X D < 0 , grafik tidak memotong sumbu X f.
Fungsi kuadrat f ( x ) = ax 2 + bx + c definit positif jika a < 0 dan D > 0 Fungsi kuadrat f ( x ) = ax 2 + bx + c definit negatif jika a < 0 dan D < 0
Contoh : 1. Fungsi y = ax2 + 4x – 1 akan definit positif jika ……
1 4 1 B. a ≥ 2
A. a ≥
C. a < 2 D. – 4 < a < 0 E. 0 < a < ‐ 4 Ringkasan mareti fungsi, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Penyelesaian : Syarat : 1. a < 0 2. D > 0 16 + 4 a > 0 4 a > ‐ 16 a > ‐ 4 Karena a < 0 dan a > ‐ 4 , maka penyelesaiannya adalah – 4 < a < 0 ( D )
2. Fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (2,3) dan melalui titik (1,0) adalah…. A.
f ( x) = −3x 2 + 12 x − 9
B.
f ( x) = −3x 2 − 9 x + 12
C.
f ( x) = 3x 2 − 12 x − 9
D.
f ( x) = 3x 2 − 12 x + 9
E.
f ( x) = 3x 2 + 9 x − 12
Penyelesaian :
f ( x ) = a( x − p ) + q 2
f ( x ) = a(x − 2) + 3 2
Melalui titik ( 1,0 ), maka
0 = a(1 − 2) + 3 2
a = ‐ 3
Jadi, f ( x ) = −3( x − 2)2 +3
= −3(x 2 − 4 x + 4) + 3 = −3 x 2 + 12 x − 12 + 3
= −3 x 2 + 12 x − 9 (A) PERTIDAKSAMAAN 1. Sifat – sifat pertidaksamaan a. Jika a > b , maka i. a + c > b + c dan a – c > b – c ii. a.p > b.p, untuk p > 0 iii. a.p < b.p, untuk p < 0 b. Jika a > b dan b > c, maka a > c c. Jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d d. Jika a > b > 0 , maka
1 1 < a b
a > 0 , maka a.b > 0 b a f. Jika < 0 , maka a.b < 0 b
e. Jika
Ringkasan mareti fungsi, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
2. Cara menentukan tanda pada garis bilangan a. Tanda ruas yang paling kanan = tanda koefisien pangkat tertinggi b. Pangkat genap sama tanda dan pangkat ganjil berbeda tanda Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat : 0, 0 1. 2. 0, 0 3. 0, 0 4. 0, 0 Contoh 1. nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 5 x − 3 > 7 x + 5 adalah …. A. x < ‐ 4 B. x < 4 C. x > ‐ 4 D. x > 2 E. x > 4 Penyelesaian : 5x − 3 > 7 x + 5 5x – 7x > 5 + 3 –2x > 8 x < – 4 ( A ) 2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan − x + 2 x + 3 < 0 adalah ….. A. { x | ‐3 ≤ x ≤ 1} B. { x | ‐1 ≤ x ≤ 3} C. { x | x ≤ ‐3 atau x ≥ 1 } D. { x | x ≤ ‐1 atau x ≥ 2 } E. { x | x ≤ ‐1 atau x ≥ 3 } Penyelesaian : 2
− x + 2x + 3 < 0 (− x + 3)(x + 1) < 0 2
Pembuat nol :
(− x + 3)(x + 1) = 0
x = 3 atau x = ‐ 1 ‐‐‐‐‐ + + + + ‐1
Penyelesaian : x < ‐ 1 atau x > 3
‐‐‐‐‐ 3
Ringkasan mareti fungsi, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
SOAL – SOAL LATIHAN Pilihlah jawaban yang paling tepat ! 1. Kedua akar persamaan x2‐2px+3p=0 mempunyai perbandingan 1:3. Nilai 2p = …. A. – 1 B. – 2 C. 2 D. 4 E. 8 2. Hasil kali akar persamaan kuadrat 6x2 – 2x + 3 = 0 adalah …. A. 3 B. 2 C. ½ D. – 1 E. – 2 3. Persamaan kuadrat x2 +(m – 2 )x +9= 0 mempunyai akar nyata. Nilai m yang memenuhi adalah … A. m ≤ ‐ 4 atau m ≥ 8 B. m ≤ ‐ 8 atau m ≥ 4 C. m ≤ ‐ 4 atau m ≥ 10 D. – 4 ≤ m ≤ 8 E. – 8 ≤ m ≤ 4 4. Persamaan kuadrat 2x2‐ 2m + 5m‐ 2=0 mempunyai dua akar nyata yang berbeda. Nilai m yang memenuhi adalah A. 2 < m < 4 B. 2 ≤ m ≤ 4 C. m ≤ 2 atau 4 ≤ m D. m < 2 atau 4 < m E. m ≤ ‐ 2 atau 4 ≤ m 5. Akar‐ akar persamaan kuadrat 3x2‐ 12x + 2k ‐ 5 = 0 adalah α dan β. Jika α2+β2 = 24, maka nilai k adalah …. A. – 10 B. – 5 C. 0 D. 5 E. 10 Ringkasan mareti fungsi, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
6. Persamaan kuadrat yang akar‐akarnya dua kali dari akar – akar persamaan kuadrat x2 + 8x + 10 = 0 adalah….. A. x2 + 16x + 20 = 0 B. x2 + 16x + 40 = 0 C. x2 + 16x + 80 = 0 D. x2 + 16x + 120 = 0 E. x2 + 16x + 160 = 0 7. Jika x1 dan x2 adalah akar persamaan kuadrat x2 + x ‐ a = 0, a ≠ 0, maka
x1 x 2 + = ….. x 2 x1 A.
1 a
1 a 1 C. – 2 – a 1 D. 2 – a 1 E. ‐ 2 a B. 2 +
8. Persamaan ( 2m – 4 ) x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai akar – akar real yang berkebalikan, maka nilai m adalah …. A. – 3
1 − 3 1 C. 3
B.
D. 3 E. 6 9. Jika persamaan kuadrat 18x2 – 3px + p = 0 memiliki akar kembar maka nilai p yang memenuhi adalah ... A. – 4 dan 4 B. 1 dan 3 C. 0 dan 8 D. 5 dan 7 E. 22 dan 6
10. Akar persamaan kuadrat 2x2‐ 5x – 6 = 0 adalah p dan q. Persamaan kuadrat yang akar – akarnya ( p – 2 ) dan ( q – 2 ) adalah …. A. 2x2‐ 3x – 8 = 0 B. 2x2 + 3x – 8 = 0 C. 2x2 + 3x + 8 = 0 D. x2 + 3x – 4 = 0 E. x2‐ 3x – 4 = 0 11. Jika salah satu akar persamaan x2 + ( a + 1 )x + ( 3a + 2 ) = 0 adalah 5, maka akar yang lain adalah …. A. – 4 B. – 3 C. – 2 D. 2 E. 4 12. Luas sebidang tanah yang berbentuk persegi panjang adalah 96 m2. panjang sebidang tanah tersebut adalah 6 kali lebarnya, maka panjang dan lebar sebidang tanah itu adalah … A. 12 m dan 8 m B. 16 m dan 6 m C. 24 m dan 4 m D. 32 m dan 3 m E. 48 m dan 2 m 13. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan (2x‐1)(x+6) < 15 adalah….. A. B. C. D. E.
1 ‐6 < x < 2 1 ‐1 < x < 2 1 ‐7 < x < 2 1 ‐7 < x < 1 2 1 ‐6 < x < 1 2
Ringkasan mareti fungsi, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
14. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
2x + 7 ≤ 1 x −1
adalah …. A. – 4 ≤ x < 1 B. ‐ 4 < x ≤ 1 C. 0 ≤ x ≤ 1 D. – 8 ≤ x < 1 E. ‐ 8 ≤ x ≤ 1 15. Penyelesaian pertidaksamaan
x 2 − 5x + 6 < 0 adalah….. x 2 − 4x + 3 A. B. C. D. E.
1 < x < 2 2 < x < 3 1 < x < 3 1 < x < 2 atau 2 < x < 3 1 < x < 2 atau x > 3 16. Penyelesaian pertidaksamaan
x − x − 6 ≥ 0 adalah…. 2
A. B. C. D. E.
‐2 ≤ x ≤ 3 ‐3 ≤ x ≤ 2 x < ‐2 atau x > 3 x ≤ ‐2 atau x ≥ 3 x ≤ ‐3 atau x ≥ 2 17. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 x + x − 15 ≥ 0 untuk x ∈ ℜ adalah….. 2
1 } 2 1 { x | ‐3 ≤ x ≤ 2 } 2 1 { x | x ≤ ‐2 atau x ≥ 3 } 2 1 { x | x ≤ ‐3 atau x ≥ 2 } 2 1 { x | x ≤ ‐3 atau x ≥ ‐ 2 } 2
A. { x | ‐3 ≤ x ≤ 2 B. C. D. E.
A. B. C. D. E.
x < ‐ 2 atau 1 < x < 2 – 2 < x < 1 – 2 < x < 1atau x > 2 x < ‐ 2 x > 2 20. Penyelesaian pertidaksamaan
18. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
x x +1 ≤ x+3 2− x
adalah…… A. x < 0 atau x > 2 B. x < ‐ 3 atau x > 2 C. – 3 < x < 2 D. ‐ 3 ≤ x ≤ 2 E. ‐ 3 < x ≤ 2
x2 − 4 > 0 adalah…… x 2 − 4x + 3
19. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
x 2 − 3x + 2
(x + 1)2 ( x + 2)
< 0
adalah ….
A. B. C. D. E.
– 2 < x < 1 ; 2 < x < 3 x < ‐2 ; 1 < x < 3 ; x > 3 x < ‐ 2 ; x > 3 2 ≤ x < 3 ; ‐ 2 ≤ x < 1 3 ≤ x < 2 ; ‐ 2 ≤ x < 1
Ringkasan mareti fungsi, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
