PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG BERLABEL TITIK TANPA GARIS PARALEL DENGAN BANYAKNYA TITIK n = 6 DAN BANYAKNYA GARIS m ≥ 1
(Skripsi)
Oleh PRISKY PARADITTA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016
ABSTRAK
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG BERLABEL TITIK TANPA GARIS PARALEL DENGAN BANYAKNYA TITIK n = 6 DAN BANYAKNYA GARIS m ≥ 1
Oleh
Prisky Paraditta
Graf G(V,E) dikatakan graf terhubung jika untuk setiap dua titik pada graf tersebut terdapat path yang menghubungkannya. Jika tidak ada path yang menghubungkan antara kedua pasang titik di G maka G tidak terhubung. Suatu graf dikatakan graf berlabel jika setiap titik atau sisinya diberi label atau nama tertentu (dengan dua titik atau dua sisi tidak memiliki label yang sama). Loop adalah suatu garis yang titik awal dan titik akhirnya sama. Garis paralel adalah dua garis atau lebih yang menghubungkan dua titik yang sama. Jika diberikan n titik dan m garis, maka banyak graf yang dapat terbentuk baik terhubung atau tidak, sederhana atau tidak. Pada penelitian ini dibahas tentang cara menentukan banyaknya graf terhubung berlabel titik tanpa garis paralel jika diberikan dan . Hasil dari penelitian ini adalah sebagai berikut : ( ) ( () ) ∑ ( ) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) dengan untuk
(
) adalah jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel dan
Kata kunci: graf, graf terhubung, loop, garis paralel
ABSTRACT
THE NUMBER OF DISCONNECTED VERTEX LABELLED GRAPHS WITHOUT PARALEL EDGES WITH ORDER SIX AND NUMBER OF EDGES m ≥ 1
By
Prisky Paraditta
A graph G(V,E) is connected if there exists at least one path between every pair of vertices in G, otherwise, G is disconnected. A graph is called labelled graph if each vertex or each edge is assigned a label or unique name (i.e., no two vertices or two edges have the same labels). Loop is an edge that has the same initial and end point. Parallel edges are two or more edges that connect the same vertices. If given n vertices and m edges, there are many possible graphs that can be formed either connected or disconnected, simple or not simple. In this research, we discussed about how to determine and to count the number of disconnected vertex labelled graphs without parallel edges with order six and the number of edges m ≥ 1. The result is : ( ) ( () ) ∑ ( ) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( for
) is the number of disconnected vertex labelled graph without parallel edges and
Keyword: graph, disconnected graph, loop, and parallel edges
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG BERLABEL TITIK TANPA GARIS PARALEL DENGAN BANYAKNYA TITIK n = 6 DAN BANYAKNYA GARIS m ≥ 1
Oleh
Prisky Paraditta Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG 2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kelurahan Gunung Terang Kecamatan Tanjung Karang Barat, Bandar Lampung pada 29April 1994, sebagai anak pertama dari tiga bersaudara, dari pasangan Bapak Suparman dan Ibu Nurhayati. Penulis memiliki satu orang adik lakilaki dan satu orang adik perempuan bernama Aditian Afriansyah dan Niken Adelia.
Pendidikan Sekolah Dasar (SD) diselesaikan penulis pada tahun 2006 di SDN 2 Gunung Terang Bandar Lampung, Sekolah Menengah Pertama (SMP) diselesaikan pada tahun 2009 di SMPN 14 Bandar Lampung, dan Sekolah MenengahAtas (SMA) diselesaikan pada tahun 2012 di SMAN 14 Bandar Lampung.
Pada pertengahan tahun 2012 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam Universitas Lampung. Selama menjadi mahasiswa, penulis tergabung dalam organisasi Himpunan Mahasiswa Jurusan Metematika (Himatika) FMIPA Unila sebagai anggota Bidang Kaderisasi dan Kepemimpinan pada periode 2013/2014 dan dan sebagai Anggota Bidang Kesekretariatan pada periode 2014/2015.
Pada awal tahun 2015, penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di Dinas Pendidikan Provinsi Lampung. Pada Awal tahun 2016 penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Jaya Makmur, KecamatanBanjar Baru, Kabupaten Tulang Bawang Barat.
PERSEMBAHAN
Dengan Penuh rasa syukur kepada Allah SWT, kupersembahkan hasil karyaku ini untuk orang – orang yang selalu menyayangi dan memotivasiku dalam segala hal yang menjadikan ku lebih baik . Ibu dan Bapak tercinta yang telah membesarkan dan menyayangiku dengan penuh kasih sayang yang tak terhingga dan selalu mendoakanku agar dipermudah dalam langkah dan semua hal yang aku lakukan. Adikku dan sepupu serta seluruh keluarga besar yang selalu memberikan motivasi, semangat dan pengalaman hidup serta mendoakan kesuksesanku. Dosen pembimbing dan penguji yang tidak henti – hentinya memberikan ilmu dan pelajaran kepadaku selama ini. Sahabat – sahabatku yang selalu menjadi semangatku untuk lebih baik lagi.
MOTTO
“Banyaknya kegagalan dalam hidup ini dikarenakan orang-orang tidak menyadari betapa dekatnya mereka dengan keberhasilan saat mereka menyerah” (Thomas Alfa Edison)
“Mulailah bermimpi akan kesuksesanmu dan mulailah berusaha untuk menjadikan mimpimu sebagai kenyataan” (Penulis)
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL .............................................................................................. xiv DAFTAR GAMBAR........................................................................................... xv I.
PENDAHULUAN 1.1 1.2 1.3 1.4
II.
Latar Belakang dan Masalah .............................................................. ..1 Batasan Masalah ................................................................................... 5 Tujuan Penelitian.................................................................................. 5 Manfaat Penelitian................................................................................ 6
TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Teori Graf...................................................................... 7 2.2 Konsep Dasar Teknik Pencacahan .....................................................10 2.3 Barisan Aritmatika Orde Tinggi .........................................................11
III.
METODE PENELITIAN 3.1 Penelitian yang Telah Dilakukan........................................................ 13 3.2 Tempat dan Waktu Penelitian..............................................................16 3.3 Metode Penelitian ...............................................................................16
IV.
HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 0bservasi .............................................................................................17 4.2. Rumus Umum Graf Tak Terhubung Berlabel Titik Tanpa Garis paralel untuk n = 6 dan m ≥ 1............................................................. 42
V.
KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan ...............................................................................................78 5.2 Saran .........................................................................................................80
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel 4.1.1 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, 1 ≤ ≤ 10 ,1 ≤ ≤ 10, dan ℓ = 0 ..........................................................................................19 Tabel 4.1.2 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel = 6, 1 ≤ ≤ 10, 1 ≤ ≤ 10, dan ℓ = 0 dengan = 1,2, … 9 ............................................................................21 Tabel 4.1.3 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, 1 ≤ ≤ 10, = 0, dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan =1,2,...10...............................................................................21 Tabel 4.1.4 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, 1 ≤ ≤ 10, = 0, dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan = 1,2, … 10..........................................................................23 Tabel 4.1.5 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 2 ,1 ≤ ≤ 9 dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan = 1,2, … 9 ............................................................................23 Tabel 4.1.6 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 3 ,1 ≤ ≤ 9 dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan = 1,2, … 9 ............................................................................23 Tabel 4.1.7 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 4 ,1 ≤ ≤ 9 dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan = 1,2, … 9 ............................................................................24 Tabel 4.1.8 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 5 ,1 ≤ ≤ 9 dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan = 1,2, … 9 ............................................................................25
Tabel 4.1.9 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 6 ,1 ≤ ≤ 9 dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan = 1,2, … 9 ............................................................................26 Tabel 4.1.10 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 7 ,1 ≤ ≤ 9 dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan = 1,2, … 9..........................................................................27
Tabel 4.1.11 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 8 ,1 ≤ ≤ 9 dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan = 1,2, … 9..........................................................................28 Tabel 4.1.12 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 9 ,1 ≤ ≤ 9 dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan = 1,2, … 9..........................................................................29 Tabel 4.1.13 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 10 ,1 ≤ ≤ 9 dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan =1,2,...,9 .............................................................................30 Tabel 4.1.14 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 1 .........................................................................31 Tabel 4.1.15 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 2 .........................................................................31 Tabel 4.1.16 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 3 .........................................................................31 Tabel 4.1.17 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 4 .........................................................................32 Tabel 4.1.18 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 5 .........................................................................32 Tabel 4.1.19 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 6 .........................................................................33 Tabel 4.1.20 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 7 .........................................................................34 Tabel 4.1.21 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 8 .........................................................................35 Tabel 4.1.22 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 9 .........................................................................37
Tabel 4.1.23 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, = 10 .......................................................................39 Tabel 4.1.24 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6, 1 ≤ m ≤ 10, 1 ≤ ≤ 10 dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan = 1,2, … 9..........................................................................42 Tabel 4.2.1 Bentuk lain hasil total banyaknya graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6..........................................................49
DAFTAR GAMBAR
.Halaman Gambar 1. (a) Jembatan Konigsberg dan (b) graf yang merepresentasikan jembatan Konigsberg..........................................................................2 Gambar 2. Contoh graf dengan 4 titik dan 6 garis ................................................7 Gambar 3. Contoh graf dengan 3 titik dan 2 garis................................................8 Gambar 4. Contoh (a) graf sederhana, (b) dan (c) graf tidak sederhana ...........................................................................8 Gambar 5. Contoh graf dengan 4 titik dan 7 garis................................................9 Gambar 6. Contoh graf terhubung dan graf tak terhubung ...................................10 Gambar 7. Contoh dua graf yang isomorfis ..........................................................10 Gambar 8. Contoh graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk = 6 dan = 5 ........................................................................18
1
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang dapat digunakan untuk merepresentasikan suatu permasalahan. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, titik, bulatan, atau vertex, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis atau edge. Teori graf secara umum merupakan suatu diagram yang memuat informasi tertentu yang bertujuan untuk membantu objek-objek tertentu agar lebih mudah dipahami misalnya pada beberapa permasalahan di lingkungan sekitar kita yang dapat diselesaikan dengan menggunakan teori graf antara lain silsilah keluarga, struktur organisasi, pemodelan distribusi pemasaran, rangkain listrik, rangkain aliran air pam dan lainlain.
Konsep teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonard Euler pada tahun 1736, ketika menyelesaikan permasalahan jembatan Konigsberg, Kaliningrad, Rusia. Di kota tersebut terdapat sungai Pregalyang membelah kota menjadi empat daratan yang terpisah. Daratan tersebut dihubungkan oleh tujuh jembatan. Warga kota tersebut ingin melewati setiap jembatan tepat satu kali dan kembali lagi ke tempat awal. Euler menyatakan dengan permodelan tertentu bahwa hal tersebut
2
tidak mungkin terjadi. Hal tersebut dapat terjadi jika banyaknya jembatan berjumlah genap. Bentuk permodelan tersebut yang kemudian
menjadi latar
belakang munculnya konsep teori graf yang ada saat ini.
(a)
(b)
Gambar 1. (a) Jembatan Konigsberg dan (b) graf yang merepresentasikan jembatan Konigsberg
Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bilangan asli yang disebut label. Graf berlabel adalah graf yang titik atau garisnya memiliki label. Jika pelabelannya adalah titik, maka pelabelan disebut dengan pelabelan titik, jika pelabelannya adalah garis maka pelabelannya disebut pelabelan garis. Jika pelabelannya adalah titik dan garis maka pelabelannya disebut dengan pelabelan total (Valdya dan Kanani, 2010).
3
Kini semakin banyak penelitian tentang graf yang telah dilakukan salah satunya dilakukan oleh Agnarsson dan Raymond (2007), dari penelitian mereka diperoleh rumus untuk menentukan banyaknya graf sederhana jika diberi n titikdan m garis. Banyak graf sederhana dengan n titik yaitu gn= 2( ) dan banyak graf sederhana dengan n titik dan m garis yaitu gn(m) =
.
Selanjutnya, dari penelitian Winarni (2015)tentang banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel diperoleh rumus untuk n titik dan m garis (loop diperbolehkan), dengan n=3 ,4 dan m≥1. Untuk n=3 dan m≥1, banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel yaitu ( )
,
=
;untuk n=4 dan m=1,
banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralelyaitu untuk
()
,
=10,
untuk n=4 dan m>1 banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel yaitu ( )
,
=
−
+
.
Pada tahun berikutnya Nagari (2016) juga melakukan penelitian graf tentang menentukan banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel dengan n=5 dan
≥ 1. Dari penelitian tersebut di perolehjumlah graf tak terhubung = 5, 1 ≤
berlabel tanpa garis paralel untuk
≤ 10,
= 0, dan 1 ≤ ℓ ≤ 5
dengan = 1,2,3, … ,10 merupakan banyak loop pada satu titik dapat dirumuskan secara umum, yakni:
( ′
,
)=
+4 4
4
dengan: ( ′
,
) = jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk 5 titik
dan m garis.
Jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis untuk n titik, m garis, dan
garis
bukan loop dapat dirumuskan secara umum, yakni: Untuk
= 1,
, ,
= 3,
, ,
= 2,
Untuk Untuk
= 4,
Untuk
= 5,
Untuk Untuk dengan : , ,
= 6,
, ,
, , , , , ,
= 10 = 45
= 120 = 85 = 30 = 5
;1 ≤ ;2 ≤
≤ 10
;3 ≤
;4 ≤
;5 ≤
;6 ≤
≤ 10
≤ 10
≤ 10
≤ 10
≤ 10
= jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel jika
diberikan n titik, m garis, dan g garis bukan loop.
Jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n = 5 dan m ≥ 1 adalah penjumlahan dari jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n = 5 , 1 ≤
≤ 10,
= 0, dan 1 ≤ ℓ ≤ 5 dengan = 1,2, … ,9 dengan
jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n = 5, 1 ≤ 1≤
≤ 10,
≤ 6, dan 1 ≤ ℓ ≤ 5 dengan = 1,2, … ,9 merupakan banyaknya loop pada
satu titik dapat dirumuskan secara umum, yakni:
5
N( ′
,
)=
=
=
dengan: N( ′
m≥ 1.
,
′ ′
,
+
, ,
30 ×
+∑ +
′
+ 10 ×
, ,
′
+
, ,
+5×
′
, ,
′
+ 45 ×
, ,
+
′
, ,
+ 120 ×
+
′
, ,
+ 85 ×
+ +
) = jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n=5 dan
Pada penelitian ini, penulis tertarik untuk melanjutkan penelitian menentukan rumus umum dengan meneliti banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n=6.
1.2 Batasan Masalah
Dalam hal ini pembahasan dibatasi hanya untuk graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel dengan n = 6 serta 1 ≤ m ≤ 10, dengan n adalah banyaknya titik dan m adalah banyaknya garis.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan banyaknya graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel jika diberikan n titik dan m garis dengan n = 6; 1 ≤ m ≤ 10agar dapat ditentukan rumus umumnya.
6
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Menambah pengetahuan tentang teori graf terutama graf tak terhubung tanpa garis paralel. 2. Sebagai rujukan bagi pembaca untuk penelitian selanjutnya yang berkaitan dengan graf tak terhubung.
7
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan beberapa konsepdasar teori graf, teknik pencacahan serta barisan aritmatika orde tinggi yang berkaitan dengan penelitian yang akan dilakukan.
2.1 Konsep Dasar Teori Graf Istilah-istilah dan definisi yang digunakan pada sub bab ini diambil dari Deo(1989).
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V(G),E(G)) dengan V(G) = {v1, v2, v3, ..., vn} menyatakan himpunan titik, dengan V(G) ≠ Ø, sedangkan E(G)= {e1, e2, ..., en}, E(G) boleh kosong menyatakan himpunan garis yakni pasangan tak terurut dari V(G).
V1
V2
V4
V3
Gambar 2. Contoh graf dengan 4 titik dan 6 garis
8
Dua titik dikatakan adjacent (bertetangga) jika ada garis yang menghubungkan keduanya. Suatu garis dikatakan incident (menempel) dengan suatu titik jika titik tersebut merupakan salah satu ujung dari garis tersebut. V1
e2
e1
V3
V2
Gambar 3. Contoh graf dengan 3 titik dan 2 garis Pada Gambar 3, titik v2 bertetangga dengan titik v1 dan titik v1 bertetangga dengan titik v3. Tetapi, titik v2 tidak bertetangga dengan v3 karena tidak ada garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Garis e1 menempel pada titik v1 dan v2, sedangkan garis e2 menempel pada titik v1 dan v3.
Loop adalah garis yang titik awal dan ujungnya sama. Sedangkan, garis paralel adalah dua garis atau lebih yang memiliki titik ujung yang sama. Graf sederhana adalah suatu graf tanpa loop atau garis paralel.
(a)
(b)
(c)
Gambar 4. Contoh (a) graf sederhana, (b) dan (c) graf tidak sederhana Contoh
Contoh
Contoh
graf
graf
graf
sederha
sederha
sederha
9
Misalkan suatu titik
adalah suatu titik pada graf G. Banyaknya sisi yang menempel pada , dengan sisi pada loop dihitung ganda, disebut sebagai derajat
(degree) dari titik
, dinotasikan dengan d(
). Misalkan pada Gambar 4 (b),
( 1) = 2, ( 2) = 2, dan ( 3) = 4. Titik yang berderajat nol atau dengan kata
lain tidak ada sisi yang menempel pada titik tersebut disebut titik isolasi, sedangkan titik yang berderajat satu disebut titik pendant atau daun.
Walk adalah barisan berhingga dari titik dan garis yang dimulai dan diakhiri dengan titik sedemikian sehingga setiap garis menempel pada titik sebelum dan sesudahnya. Walk yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut closed walk. Sedangkan path adalah walk yang memiliki atau melewati titik yang berbeda-beda. Path yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut cycle.
v1
e5
e1
v2
e4 e2
e3
v4
e6
e7
v3
Gambar 5. Contoh graf dengan 4 titik dan 7 garis Contoh walk dari Gambar 5 adalah (
1 1, 2 6, 2 7, 3 3, 4).
adalah (
Contoh path adalah (
1 1, 2 6, 2 7, 3 3, 4 4, 1).
sedangkan cycle contohnya adalah (
1 5, 4 3, 3 2, 2 1, 1).
Contoh closed walk 1 5, 4 3, 3 2, 2),
10
Suatu graf dikatakan graf terhubung jika untuk setiap dua titik yang berbeda pada graf tersebut terdapat path yang menghubungkannya. Jika tidak ada path yang menghubungkan, maka G dikatakan graf tak terhubung.
Graf terhubung
Graf tak terhubung
Gambar 6. Contoh graf terhubung dan graf tak terhubung
Dua graf dikatakan graf yang isomorfis jika memiliki banyaknya titik dan garis yang sama dan mempertahankan sifat ketetanggaannya walaupun digambarkan dengan cara yang berbeda, seperti dapat dilihat pada Gambar 7. f
a
e
b c d
( )
( )
Gambar 7. Contoh dua graf yang isomorfis
2.2 Konsep Dasar Teknik Pencacahan Istilah-istilah pada subbab ini diambil dari Munir(2005).
Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n! (dibaca “n faktorial”) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara n hingga 1. n! =n(n-1)(n-2)(n-3) ... 1
11
Permutasi adalah sebaran pengaturan dari sekumpulan objek dalam suatu urutan tertentu. Banyaknya permutasir dari n objek dengan menggunakan r objek dalam setiap pengaturan dinotasikan
dengan r ≤ n . Secara umum, permutasi r objek
dari n buah objek dapat dihitung dengan persamaan : =
! ( − )!
Dalam permutasi perulangan tidak diperbolehkan, berarti objek yang sudah dipilih tidak bisa dipilih kembali.
Kombinasi dari n objek dengan pengambilan sebanyak r objek dalam setiap pengambilannya terdiri dari semua kumpulan r objek yang mungkin tanpa memandang urutan pengaturannya. Banyaknya n objek dengan pengambilan sebanyak r objek dinyatakan dengan
dengan r ≤ n . Banyaknya kombinasi dari
n objek berbeda yang diambil sebanyak r objek yaitu :
untuk setiap ,
∈ ℕ, 0 ≤
≤ .
=
!
( − )! !
2.3 Barisan Aritmatika Orde Tinggi Penjelasan aritmatika ini di ambil dari Ismail (2014)
Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Secara umum barisan bilangan dapat dinyatakan sebagai( dan
merupakan suku ke-n.
)=(
,
,
,…
)
12
Beda adalah selisih dari suku sesudah dan suku sebelumnya, seperti dan seterusnya
−
.
−
−
,
Barisan aritmatika tingkat ke-n adalah sebuah barisan yang memiliki selisih yang sama untuk setiap suku berurutannya setelah n tingkatan. Bentuk umum suatu barisaritmatika tingkat dua =
+
+
Maka, rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmatika tingkat dua ditentukan oleh ,
,
melalui substitusi suku pertama, kedua, dan ketiga ke pola umum (
).
Bentuk umum suatu barisan aritmetika tingkat tiga =
+
+
+
Maka, rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmatika tingkat tiga ditentukan oleh ,
,
umum (
,
melalui substitusi suku pertama, kedua, ketiga, dan keempat ke pola ).
Sehingga bentuk umum untuk barisan aritmatika suku ke-n yaitu :
dengan,
=
+
= banyaknya suku ke-n = suku ke-m, untuk
= 1,2,3 …
+
+
…+
13
III. METODE PENELITIAN
Pada bab ini akan dijelaskan teorema yang berhubungan dengan penelitian, tempat dan waktu penelitian serta metode penelitian yang di gunakan.
3.1 Penelitian yang Telah Dilakukan
Penelitian dari Agnarsson dan Raymond (2007) Diberikan m, n dengan 0 ≤ m ≤
, m, n ∈ N
a. Graf gn merupakan graf sederhana dengan n titik. Banyaknya graf gn adalah gn =2 b. Graf gn(m) merupakan graf sederhana dengan n titik dan m garis.Banyaknya graf gn(m) adalah gn(m) =
Winarni (2015) melakukan penelitian tentang graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel, dengan n=3 ,4 dan m≥1. ( ) berlabel tanpa garis paralel, maka :
,
adalah jumlah graf tak terhubung
1) Untuk n=3 dan m≥1, banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel yaitu ( )
,
=
2) Untuk n=4 dan m=1, banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel yaitu untuk ( )
,
=10
14
3) Untuk n=4 dan m>1 banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel yaitu ( )
,
=
−
+
.
Selanjutnya Nagari (2016) melakukan penelitian tentang penentuang jumlah graf tak terhubung berlabel berorde lima tanpa garis paralel dengan n=5 dan
≥ 1.
Dari penelitian tersebut di peroleh Jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk
= 5, 1 ≤
≤ 10,
= 0, dan 1 ≤ ℓ ≤ 5 dengan i = 1,2,..., 10
merupakan banyak loop pada satu titik dapat dirumuskan secara umum, yakni:
( ′
,
+4 4
)=
dengan: ( ′
,
) = jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk 5 titik
dan m garis.
Jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis untuk n titik, m garis, dan bukan loop dapat dirumuskan secara umum, yakni: Untuk Untuk Untuk Untuk Untuk Untuk
= 1,
, ,
= 3,
, ,
= 2, = 4, = 5, = 6,
, ,
, , , , , ,
= 10 = 45
= 120 = 85 = 30 = 5
;1 ≤ ;2 ≤
≤ 10
;3 ≤
;4 ≤
;5 ≤
;6 ≤
≤ 10
≤ 10
≤ 10
≤ 10
≤ 10
garis
15
dengan :
= jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel jika
, ,
diberikan n titik, m garis, dan g garis bukan loop.
Jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n = 5 dan m ≥ 1 adalah penjumlahan dari jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paraleluntuk
= 5, 1 ≤
≤ 10,
= 0, dan 1 ≤ ℓ ≤ 5 dengan i = 1,2, ... 9
dengan jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n = 5, 1≤
≤ 10, 1 ≤
≤ 6, dan 1 ≤ ℓ ≤ 5 dengan = 1,2, … ,9 merupakan
banyaknya loop pada satu titik, dapat dirumuskan secara umum, yakni:
N( ′
,
)=
′
= ′ = 30 ×
,
+
, ,
+∑
+
′
+ 10 ×
′ , ,
′
+5×
+
, ,
, ,
′
+ 45 ×
, ,
+
′
, ,
+ 120 ×
+
′
, ,
+ 85 ×
+
+
dengan: N( ′
,
m≥ 1.
) = jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n=5 dan
16
3.2 Tempat dan Waktu Penelitian Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung tahun akademik 2015-2016.
3.3 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah 1. Menggambar pola dasar graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel dengan n = 6 dan 1 ≤ m ≤ 10, dengan n adalah banyaknya titik dan m adalah banyaknya garis. 2. Mengelompokkan setiap graf tak terhubung berdasarkan n titik dan m garis yang sama. 3. Menghitung jumlah graf tak terhubung yang telah di kelompokan untuk setiap n titik dengan m garis. 4. Melihat pola yang terbentuk dari banyaknya graf yang telah di bentuk berdasarkan n titik dan m garis. 5. Menentukan rumus secara umum untuk menentukan jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel dengan n titik dan m. 6. Membuktikan rumus yang terbentuk apakah dapat di jadikan sebagai rumus umum dengan menggunakan teori perhitungan graf.
78
V.
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan Berdasarkan observasi dan hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel dengan
= 6 dan
≥ 1 maka dapat disimpulkan bahwa :
1. Untuk jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel dengan diberikan
= 6, 1 ≤
= 0, dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan
≤ 10,
= 1,2, …,10
merupakan banyak loop pada suatu titik dapat dirumuskan secara umum yakni : ′( )
dengan : ( ′( )
,
,
=
+5 5
): jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk
6 titik dan m garis, m ≥ 1
2. Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis untuk n titik, m garis, garis bukan loop yang membuat graf tak terhubung, dan dirumuskan secara umum, yakni: Untuk Untuk Untuk
= 1,
′( )
= 3,
′( )
= 2,
′( )
, ,, , ,, , ,,
= 15
= 150 = 530
;1 ≤
;2 ≤
; 3≤
≤ 10
≤ 10
≤ 10
loop dapat
79
′( )
= 4,
Untuk
′( )
= 5,
Untuk
, ,, , ,,
= 1230
; 4≤
= 1590
; 5≤
≤ 10
≤ 10
dengan : ′
, ,,
= Graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel dengan n titik, m garis, g garis bukan loop yang membuat graf tak terhubung, dan loop dengan
=
+
3. Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk
= 6 dan
≥ 1 adalah penjumlahan dari jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa
garisn paralel untuk
= 6, 1 ≤
≤ 10,
= 0, dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan
= 1,2,3, … ,10 dan jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis = 6, 1 ≤
paralel untuk
≤ 10, 1 ≤
≤ 10, dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan
= 1,2,3, … ,9 merupakan banyaknya loop pada suatu titik dapat dirumuskan
secara umum, yakni: ′
,
= =
dengan: ′
,
′( )
=
= 6 dan
( ′
+
, ,,
)
,
′
+ 15 ×
+ 1590 ×
+∑ , ,,
+
( ′
, ,,
′
)
, ,,
+ 150 ×
+
′
, ,,
+ 530 ×
+
′
, ,,
+
+ 1230 ×
adalah jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk ≥1
80
5.2 Saran Penelitian ini dapat dilanjutkan untuk menentukan rumus umum jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk
≥ 7 dan
= 1,2,3,4,5, …
DAFTAR PUSTAKA
Ismail, S. 2014.Suku Ke-n Barisan Aritmatika Tingkat Dua, Tiga, Empat Dengan Pendekatan Akar Karakteristik. Jurnal Saintek Vol 7 No 5. http://repository.ung.ac.id/data/person/0029116204
Agnarsson, G. and Raymond, G. 2007. Graph Theory Modelling, Application, and Algorithms. Pearson/Prentice Education, Inc., New Jersey.
Deo, N. 1989. Graph Theory with Application to Engineering and Computer Science. Prentice-Hall of India Private Limited, New Delhi.
Munir, R. 2005. Matematika Diskrit, Edisi Ketiga. Informatika, Bandung.
Nagari, G.T. 2016. Penentuan Jumlah Graf Tak Terhubung Berlabel Berorde Lima Tanpa Garis Paralel. Skripsi. Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung, Bandar Lampung.
Winarni, Y.D.S. 2015. Penentuan Banyaknya Graf Tak Terhubung Berlabel Tanpa Garis Paralel. Skripsi. Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung, Bandar Lampung.
Valdya, S. K. dan Kanani K. Some New Results on Cordial Labeling in the Contest of Arditrary Super sub division of Graph, Applied Matematical Sciences, Vol. 4 (2010) No. 47, 2323 – 2329.
