PENDUGAAN PARAMETER WAKTU PERUBAHAN PROSES PADA
2
CONTROL CHART MENGGUNAKAN PENDUGA KEMUNGKINAN MAKSIMUM
SITI MASLIHAH
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Pendugaan Parameter Waktu Perubahan Proses pada 2 Control Chart Menggunakan Penduga Kemungkinan Maksimum adalah karya yang saya adopsi dari paper karya Neduraman, Pignatiello dan Calvin dengan judul Identifying the Time of a Step Change with 2 Control Chart. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan di dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini
Bogor, Agustus 2008
Siti Maslihah
2
ABSTRACT SITI MASLIHAH. The Estimation of Step Change Process Parameter using Chi Square Control Chart with Maximum Likelihood Estimator. Under the supervision of SRI NURDIATI and SISWANDI. Statistical process control (SPC) is a statistical technique to measure and analyze variation during process production. Control chart is a tool that is used to monitor a production process. When a control chart gives signal that a special cause is present, process engineers initiate a search and identify the cause. This identification enables the engineers to improve quality of product by preventing or avoiding changes in variability which cause the poor quality. The aim of this thesis is to estimate the time of the step change process parameter using maximum likelihood estimator and investigate the performance of a change point estimator when 2 control chart is used. The performance of the estimator will also be observed using simulation with MATLAB 7.0. The result shows that the average of the change point estimator is close to the actual change point regardless of the process dimension, shift magnitude and the direction of the shift. 2
Keywords: Statistical Process Control, Estimator.
3
Control Chart, Maximum Likelihood
RINGKASAN SITI MASLIHAH. Pendugaan Parameter Waktu Perubahan Proses pada 2 Control Chart Menggunakan Penduga Kemungkinan Maksimum. Dibimbing oleh SRI NURDIATI dan SISWANDI. Statistical Procces Control (SPC) adalah salah satu cabang dari ilmu statistika yang mempelajari penerapan teknik statistika untuk mengukur dan menganalisis variasi yang terjadi selama proses produksi berlangsung. Control chart adalah alat yang digunakan untuk memantau berjalannya proses produksi sehingga bisa diketahui apakah proses produksi dalam kondisi terkontrol ataukah tidak. Bila control chart memberikan sinyal, berarti telah terjadi penyimpangan proses dari kondisi normalnya karena adanya penyebab variasi. Keberhasilan mengidentifikasi penyebab variasi memungkinkan seorang insinyur untuk memperbaiki kualitas produk dengan cara menghindari perubahan variasi yang menyebabkan menurunnya kualitas. . Tujuan dari tesis ini adalah melakukan kajian teoritis tentang penduga (yaitu penduga waktu perubahan proses) dan mengamati karakteristik penduga tersebut menggunakan simulasi dengan MATLAB 7.0. Penduga kapan terjadinya perubahan proses ( ) dilakukan dengan m
memaksimumkan log dari fungsi likelihood
1/ 2
1 k /2
(2 ) kp / 2
Observasi diasumsikan berasal dari distribusi N p (
e
)1
( xk
1
( xk
)
.
k 1
, 0 ) ketika proses dalam keadaan in control. Banyaknya karakteristik(p) yang digunakan dalam simulasi adalah p = 2, 5 dan 10. Langkah-langkah simulasinya adalah membangkitkan 100 subgrup atau sampel dengan ukuran masing-masing sampel n = 5. Jika ada sampel yang diambil menghasilkan 2 n( x ) ' 1(x ) yang melebihi UCL = 2 , p 0
maka seluruh data dibuang dan diganti dengan data yang baru. Data yang baru tersebut dihitung kembali nilai 2 n( x ) ' 1(x ) nya dan dibandingkan dengan UCL. Prosedur ini diulang kembali sampai didapatkan 100 subgrup yang berasal dari proses yang in control atau tidak melebihi UCL. Mulai data yang ke 101, dibangkitkan data acak normal yang sudah mengalami perubahan rata-rata dari 0 ke 1 dengan 1 yang besarnya pergeseran 1.00, 1.25, 1.50, 0 1.75, 2.00, 2.25, 2.50, 2.75, 3.00 dengan rumus
n(
1
0
)'
1
(
1
0
).
Kemudian dilakukan penghitungan nilai 2 dan hasilnya dibandingkan dengan UCL sampai didapatkan sampel yang melebihi UCL. Prosedur ini diulang-ulang sebanyak 1000 kali, sehingga didapatkan 1000 penduga yang kemudian dirataratakan. Langkah selanjutnya adalah menghitung standard error dan distribusi empiris dari penduga titik perubahan di sekitar titik perubahan yang sebenarnya. Sejumlah sampel observasi sampai mengeluarkan sinyal out of control disebut Run Length, rata-rata dari Run Length disebut Average Run Length (ARL). Jadi ARL = T .
4
Hasil penelitian menunjukkan penduga titik perubahan parameter proses adalah ˆ
arg max M t , dengan M t
(T
t )( X t ,T
0
)'
1 0
( X t ,T
0
) dan t =
t
0, 1, …,T-1. Secara rata-rata, penduga waktu perubahan proses mendekati waktu perubahan yang sebenarnya, dan tidak dipengaruhi oleh banyaknya variabel, besarnya pergeseran serta arah pergeseran. Distribusi empiris dari penduga waktu perubahan proses terhadap waktu perubahan yang sebenarnya bergantung pada besarnya pergeseran tapi tidak bergantung pada arah pergeseran maupun banyaknya variabel. Kata kunci: Statistical Process Control, Kemungkinan Maksimum.
5
2
Control Chart, Penduga
©Hak Cipta Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak Cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
6
PENDUGAAN PARAMETER WAKTU PERUBAHAN PROSES PADA 2 CONTROL CHART MENGGUNAKAN PENDUGA KEMUNGKINAN MAKSIMUM
SITI MASLIHAH
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
7
Judul Tesis : Pendugaan Parameter Waktu Perubahan Proses pada Chart Menggunakan Penduga Kemungkinan Maksimum Nama : Siti Maslihah NRP : G551060151
2
Control
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Sri Nurdiati, MSc Ketua
Drs. Siswandi, MSi Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS
Dekan Sekolah Pascasarjana
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
Tanggal ujian: 19 Agustus 2008
Tanggal Lulus:
8
PRAKATA Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat dilaksanakan dan diselesaikan dengan baik. Judul yang dipilih pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2008 ini adalah Pendugaan 2 Parameter Waktu Perubahan Proses pada Control Chart Menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. Terima kasih penulis ucapkan kepada Departemen Agama yang telah memberi beasiswa kepada penulis hingga selesainya studi. Penulis juga berterima kasih kepada Ibu Dr. Ir. Sri Nurdiati, MSc dan Bapak Drs. Siswandi, MSi selaku pembimbing serta Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku penguji yang telah banyak memberikan saran. Penulis berharap semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2008 Siti Maslihah
9
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Kudus pada tanggal 11 Juni 1977 dari seorang ayah yang bernama Kasrun dan ibu Sujinah. Penulis merupakan anak ketiga dari tujuh bersaudara. Tahun 1996 penulis lulus dari Madrasah Aliyah Negeri 2 Kudus, kemudian pada tahun 1997 penulis masuk ke Universitas Negeri Semarang melalui jalur UMPTN jurusan Pendidikan Matematika dan lulus tahun 2002. Tahun 2006 penulis berkesempatan mengikuti seleksi beasiswa S2 dengan sponsor dari Departemen Agama dan diterima di Institut Pertanian Bogor Departemen Matematika Penulis adalah staf pengajar di MTs. Tamrinut Thullab di Kudus sebagai guru matematika sejak tahun 2002 sampai sekarang.
10
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL ............................................................................................. . xii DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xiii DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................... xiv PENDAHULUAN Latar Belakang ............................................................................................. Tujuan Penelitian ......................................................................................... Ruang Lingkup Penelitian ........................................................................... Manfaat Penelitian .......................................................................................
1 2 2 2
TINJAUAN PUSTAKA Statistical Proses Control ............................................................................ Control Chart .............................................................................................. Penyebab Variasi ........................................................................................ Konsep Average Run Length (ARL) ............................................................. 2 Control Chart ........................................................................................ Penduga Kemungkinan Maksimum ............................................................
3 3 5 5 6 8
METODOLOGI PENELITIAN .......................................................................10 PEMBAHASAN Proses Pendugaan Parameter ...................................................................12 Ilustrasi Contoh ............................................................................................15 Pengujian Penduga pada Data Multivariate .................................................19 Pembangkitan Bilangan Acak ......................................................................19 Sistem Monitoring ........................................................................................20 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan ..................................................................................................26 Saran ............................................................................................................26 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................27 LAMPIRAN ........................................................................................................28
11
DAFTAR TABEL Halaman 1 Vektor rata-rata tiap subgrup dan penghitungan
2
.........................................16
2 Vektor rata-rata kumulatif dan penghitungan M t ............................................18 3 Rata-rata pendugaan titik perubahan parameter proses untuk p = 2 ................20 4 Distribusi empiris dari ˆ di sekitar
untuk p = 2 ..........................................21
5 Rata-rata pendugaan titik perubahan parameter proses untuk p = 5 ................22 6 Distribusi empiris dari ˆ di sekitar
untuk p = 5 ..........................................23
7 Rata-rata pendugaan titik perubahan parameter proses untuk p = 10 .............24 8 Distribusi empiris dari ˆ di sekitar
untuk p = 10 .........................................24
12
DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Bagan Shewhart Control Chart ........................................................................ 4 2 Bagan
2
Control Chart untuk dua variabel .................................................... 4
13
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Bukti persamaan 1 ............................................................................................29 2 Bukti persamaan 8 ............................................................................................30 3 Bukti persamaan 9 ............................................................................................30 4 Membangkitkan bilangan acak yang disimpan dalam file untuk variabel dua (p=2) ..................................................................................................................31 5 Membuat 100 data yang in control untuk variabel dua (p = 2) ........................31 6 Monitoring data untuk
1.00 untuk variabel dua (p = 2) ............................32
7 Hasil running program pembuatan 100 data yang in control untuk variabel dua (p = 2) ................................................................................................................34 8 Hasil monitoring untuk variabel dua (p = 2) dan
14
1.00 ...............................38
PENDAHULUAN Latar Belakang Menjaga dan mengontrol kualitas proses produksi adalah hal yang penting bagi kalangan praktisi industri. Oleh karena itu, perlu dilakukan pemantauan terhadap proses produksi, terutama untuk produksi berskala besar. Melalui pemantauan
ini, ketika ada tanda-tanda penyimpangan proses dari kondisi
normalnya, maka proses dapat segera dihentikan untuk diperiksa atau dilakukan perbaikan (Nurdiati 2005). Pemantauan proses produksi ini perlu dilakukan untuk menjaga kualitas hasil produksi dan mengurangi overhead cost akibat kesalahan proses produksi. Proses monitoring dilakukan dengan menggunakan bantuan alat yang disebut control chart. Daerah antara batas control dianggap sebagai daerah yang masih diperbolehkan selama observasi. Sepanjang observasi jika hamburan titiktitik observasi jatuhnya di daerah ini maka proses dikatakan dalam keadaan in control. Sebaliknya jika titik observasi jatuhnya di luar daerah yang diperbolehkan maka proses dikatakan out of control. Gangguan proses dapat disebabkan oleh penyebab umum atau penyebab khusus variasi. Sinyal control chart muncul karena adanya data yang out of control yang disebabkan oleh penyebab khusus variasi. Seorang insinyur bisa memulai mencari penyebab khusus variasi yang menyebabkan proses terganggu. Keberhasilan pencarian penyebab variasi bergantung pada keahlian insinyur dan pengetahuan tentang proses itu. Pergeseran parameter proses dari nilai tengahnya sampai melebihi batas control bisa menyebabkan munculnya sinyal out of control. Dengan pengidentifikasian waktu perubahan parameter proses
dari kondisi
normalnya memungkinkan bagi seorang insinyur untuk mencari penyebab variasinya untuk memperbaiki kualitas hasil produksi (Nedumaran, Pignatiello dan Calvin 1998). Penghentian berjalannya proses produksi atau membiarkan proses produksi beroperasi di luar control dapat mempunyai dampak ekonomi yang cukup besar, sehingga praktisi harus berhati-hati untuk memutuskan kapan proses harus benarbenar dihentikan. Dengan kata lain sangat penting untuk memilih batas pengontrol
15
yang tepat yang akan digunakan dalam proses produksi. Jika batas pengontrol terlalu sempit maka tanda out of control akan sering terjadi dan jika terlalu lebar maka tanda out of control tidak akan memberi sinyal meskipun proses produksi sudah di luar control.
Tujuan Penelitian Tujuan penelitian melakukan kajian teoritis tentang penduga
(yaitu
penduga parameter waktu perubahan proses) dan karakteristik penduga tersebut akan diamati menggunakan simulasi.
Ruang Lingkup penelitian Tulisan ini sebagian besar diadopsi dari paper karya Neduraman, Pignatiello dan Calvin dengan judul Identifyng the Time of a Step-Change with
2
Control
Chart.
Manfaat Penelitian Dengan mengetahui waktu terjadinya perubahan parameter proses dapat diketahui penyebab terjadinya keadaan out of control sehingga dapat dicari cara penanggulangan yang sesuai dengan penyebabnya.
16
TINJAUAN PUSTAKA Statistical Proses Control Statistical Proses Control adalah salah satu cabang ilmu statistika yang mempelajari tentang penerapan
teknik statistika untuk mengukur dan
menganalisis variasi yang terjadi selama proses produksi berlangsung (Wetherill & Brown 1991). Dalam praktiknya, Statistical Proses Control dibedakan atas dua metode, yaitu metode off-line dan metode online. Metode off-line digunakan untuk mengurangi penyebab potensial dari perubahan selama proses atau produk dimodifikasi. Metode on-line dibagi menjadi dua, yaitu screening dan preventative. Metode screening memeriksa output suatu proses produksi apakah kualitasnya memuaskan atau tidak, sedangkan metode preventive memeriksa proses suatu produksi menggunakan alat pengendali seperti Shewhart control chart, CUSUM control chart, sampling inspection of input material, dan continous production inspection of product (Wetherill & Brown 1991).
Control Chart Control chart adalah alat yang digunakan untuk memantau berjalannya proses produksi sehingga bisa diketahui proses tersebut dalam kondisi terkontrol ataukah tidak (Okasatria.blogspot.com 2007). Control chart pertama kali dikenalkan oleh Dr. Walter Shewhart. Setiap control chart mempunyai batas atas (Upper Control Limit = UCL) dan batas bawah (Lower Control Limit = LCL) yang digunakan untuk memantau nilai tengah karakteristik dari suatu proses produksi. Dalam hal ini, suatu proses dikatakan tetap terkontrol (in control) bila seluruh data observasi masih berada dalam batas-batas yang diperbolehkan (Control Limit = CL), artinya tidak ada observasi yang melebihi UCL yang sudah ditetapkan dan tidak ada observasi yang kurang dari LCL yang sudah ditetapkan (Wetherill & Brown 1991). Selama proses berlangsung, bila terdapat data observasi yang jatuh di luar CL yang diperbolehkan, maka control chart ini akan memberi tanda bahwa sistem mungkin berada dalam keadaan tidak terkontrol lagi (out of control), sehingga
17
proses perlu dihentikan untuk pemeriksaan. Dalam hal ini penentuan CL menjadi sangat penting. Jika CL terlalu sempit, misalnya ditetapkan LCL = - A 2 dan UCL= A2 pada Gambar 1, maka kemungkinan akan sering terjadi false alarm. Artinya, control chart akan mengeluarkan tanda out of control padahal sesungguhnya sistem masih dalam keadaan terkontrol. Sementara itu, bila CL dibuat terlalu lebar, misalnya ditetapkan LCL = -A1 dan UCL = A1 pada Gambar 1, maka kemungkinan control chart tidak pernah memberi tanda out of control padahal sebenarnya proses sudah menjadi tidak terkontrol lagi (Nurdiati 2005). Nilai tengah * : observasi A1 *
A2
*
*
*
-A2
*
* *
*
* *
*
UCL Center Line
*
*
*
*
LCL
*
-A1
t Gambar 1 Bagan Shewhart Control Chart (Nurdiati 2005)
UCL=
2 ,p
2 0
LCL=0 1
5
10 15 Banyaknya sampel/subgrup
Gambar 2 Bagan
2
25
Control Chart untuk dua variabel
18
Penyebab Variasi Produk yang dihasilkan dari suatu proses produksi itu tidak akan 100% sama. Hal ini terjadi karena adanya variasi selama proses produksi berlangsung. Variasi dapat didefinisikan sebagai ketidakseragaman produk yang dihasilkan tidak memenuhi spesifikasi standar yang telah ditetapkan. Ada dua macam penyebab variasi yaitu penyebab umum variasi dan penyebab khusus variasi. Penyebab umum variasi diartikan sebagai fluktuasi yang disebabkan oleh faktor yang tidak diketahui yang menimbulkan gangguan di dalam sistem. Penyebab umum variasi sulit dihilangkan. Contoh dari penyebab umum variasi adalah kelembaban udara, suhu ruangan yang berubah-ubah, getaran mesin, voltage yang berubah-ubah, mesin yang tidak sesuai dengan pekerjaannya seperti dalam hal pencahayaan, kebersihan dan temperatur dan pemeliharaan mesin yang kurang baik dan lain-lain.
Penyebab khusus variasi
adalah suatu perubahan yang tak terduga di dalam suatu operasi yang normal dari suatu proses sehingga menimbulkan sinyal. Penyebab khusus variasi merupakan penyebab yang masih mungkin bisa dihilangkan. Contoh dari penyebab khusus variasi seperti kesalahan operator, bahan baku di bawah standar, operator lengah, terbatasnya peralatan, kegagalan pemakaian mesin, dan lain-lain.
Average Run Length (ARL) Run Length adalah banyaknya sampel observasi sampai muncul sinyal out of control karena adanya perubahan parameter. Average run length (ARL) adalah rata-rata dari nilai run length (Wetherill & Brown 1991). Misalkan T
menyatakan periode yang mana proses monitoring
mengeluarkan sinyal yang pertama kali, maka T merupakan suatu peubah acak yang disebut sebagai run length. Jadi ARL adalah ARL = ET =
T
=
1 q
(1)
dengan ET adalah nilai harapan dari T dan q adalah peluang titik observasi yang pertama kali melebihi batas control limit. Jika ARL nya cukup besar maka dikatakan proses dalam kondisi yang cukup stabil dan jika ARL cukup kecil maka berlaku untuk kondisi sebaliknya (Montgomery 1991).
19
2
control chart 2
control chart adalah alat yang digunakan untuk memonitor karakteristik
dari suatu proses yang multivariate (Montgomery 1991). Misalkan x 1 dan x 2 adalah variabel dari proses yang berdistribusi normal bersama (bivariate normal distribution) dan misalkan
1
dan
2
adalah rata-rata
populasi dari variabel-variabel tersebut. Standar deviasi dari x 1 dan x 2 adalah dan
2
dan peragam adalah n
2 0
2 1
2 2
2 12
2 2
[
( x1 2
mempunyai distribusi
12
1
1
. Rata-rata dari sampel adalah x1 , x 2 . Persamaan )2
2 1
( x2
2
)2
2
12
( x1
1
)( x 2
2
)] ,
(2)
dengan derajat bebas dua dan dapat digunakan sebagai
dasar control chart untuk proses rata-rata dengan rata-rata
1
dan
2
. Monitoring
proses dan pendeteksian titik out of control bergantung pada pembentukan batas limit yang benar. Batas atasnya yaitu UCL (Upper Control Limit) dari
2
control
chart adalah 2
UCL = dengan
,2
,
(3)
adalah taraf nyata yang digunakan (Montgomery 1991).
Penghitungan
2 0
dilakukan untuk tiap subgrup. Hasil di atas bisa diperluas
di mana variabelnya lebih dari 2 dan berdistribusi normal dengan banyaknya variabel p dan ukuran subgrup n. Misalkan x ' = [ x1
x2
x p ] maka penghitungan uji pada Chi
x3
Kuadrat untuk tiap subgrup adalah 2 0
dengan
'=
1
,
2,
....,
p
= n( x
1
)'
(x
),
(4)
adalah vektor rata-rata dalam keadaan in control dari
tiap karakteristik. Batas atas control chart adalah UCL =
2
,p
,
(5)
dan LCL = 0.
20
(6)
Jarak antara
0
dengan
1
pada multivariate adalah 2
'
n
1
1
0
2
0
,
(7)
(Johnson & Wichern 2002). Pendugaan
dan
Di dalam praktek biasanya diperlukan pendugaan
dan
dari sampel
terdahulu yang berukuran n dengan asumsi proses dalam keadaan terkontrol. Misalkan m adalah banyaknya subgrup yang diobservasi, maka rata-rata dan ragam dapat dihitung dengan menggunakan rumus
dengan
xijk ,
(8)
i 1
n
1
S 2jk
n
1 n
x jk
n 1i
( xijk
x jk ) 2 ,
(9)
1
j = 1, 2, 3,......., p, k = 1, 2, 3,......., m, (Montgomery 1991).
xijk adalah observasi yang ke-i pada karakteristik yang ke-j dan subgrup yang ke– k. Peragam antara karakteristik yang ke-j dan karakteristik yang ke-h pada subgrup yang ke-k adalah
S jhk
n
1
( xijk
n 1i
x jk )( xihk
x hk ) ,
(10)
1
dengan k = 1, 2, 3,........., m, j h, (Montgomery 1991). Nilai rata-rata dari x jk , S 2jk , S jhk untuk subgrup yang berukuran m adalah m
1 m
xj
1 m
S j2
x jk ,
(11)
S 2jk ,
(12)
k 1 m k 1
dan S jh
dengan j = 1, 2, 3,.........., p, dan
1 m
m
S jhk , k 1
j h, (Montgomery 1991).
21
(13)
Bentuk matriks ragam-peragam adalah
=
S12 S 21
S12 S 22
S13 S 23
S1 p S2 p
S31
S32
S32
S3 p
S p1
S p2
S p3
S p2
(14)
(Montgomery 1991).
Penduga Kemungkinan Maksimum Misalkan f(x ) menyatakan fungsi kepekatan peluang bersama dari sampel X= (X 1 , ..., X n ) dan X = x
diobservasi maka fungsi
didefinisikan oleh
L( x)=f(x ), ini yang disebut fungsi likelihood. Misalkan X 1 , X 2 , ..., X n adalah barisan peubah acak yang iid N( , 1), dan L(
x) menyatakan fungsi
likelihood, maka n
n
L( x) = i 1
1 e ( 2 )1 / 2
(1 / 2 )( xi
)
2
( 1 = e (2 ) n / 2
1 / 2)
)2
( xi
.
i 1
(15)
(Casella & Berger 1990). Misalkan vektor X 1 , X 2 , ..., X n yang berdimensi p 1 menyatakan sampel acak dari yang menyebar normal dengan vektor rata-rata peragam
dan matriks ragam
. Karena X 1 , X 2 , ..., X n saling bebas dan masing-masing berdistribusi
N p ( , ) , fungsi kepekatan bersama (fkb) dari semua observasi adalah: n
1
fkb = j 1
(2 )
1/ 2
p/2
e
1/ 2( x j
)1
1
(xj
)
n
=
1/ 2
1 (2 ) np / 2
n/2
e
(xj
)1
1
(xj
)
j 1
(16)
(Johnson & Wichern 2002). Prosedur penghitungan untuk mencari nilai parameter populasi yang dapat menerangkan data observasi dengan memaksimumkan fungsi kepekatan bersama disebut penduga kemungkinan maksimum (Johnson & Wichern 2002).
22
Untuk mendapatkan penduga parameter proses dari penduga kemungkinan maksimum diperlukan teorema berikut ini: Teorema 1: Misalkan A adalah matriks simetrik berukuran k k dan x adalah vektor berukuran k 1 , maka x’Ax = tr (x’Ax) = tr (Axx’) (Johnson & Wichern 2002). Bukti: Misalkan x’Ax adalah adalah sebuah skalar, maka x’Ax = tr (x’Ax). Untuk sebarang matriks B dan C yang masing-masing mempunyai ordo m k dan k m , maka untuk setiap elemen ke-i di diagonal utama BC mempunyai bentuk k
bij cij ,
m
k
i 1
j 1
bij c ji . Dengan cara yang sama di setiap
sehingga tr(BC)
j 1
m
elemen ke-j di diagonal utama CB mempunyai bentuk
c ji bij , sehingga tr(CB) i 1
k
m
m
k
i 1
j 1
bij c ji
c ji bij =
= j 1
i 1
C maka tr ( x’(Ax)) = tr((Ax)x’)
= tr (BC). Misalkan x’ sebagai B dan Ax sebagai ¦
23
METODOLOGI PENELITIAN 2
Pendugaan parameter waktu perubahan proses pada
control chart
diharapkan bisa menghasilkan suatu pendugaan yang tepat sehingga dapat dideteksi kapan mulai terjadinya pergeseran rata-rata dari kondisi yang diharapkan. Penelitian ini mempunyai tahapan-tahapan sebagai berikut: 1. Menentukan penduga Penduga
adalah penduga parameter waktu pertama kalinya terjadi
perubahan proses atau terjadinya pergeseran rata-rata proses. Penduga didapatkan dari memaksimumkan log likelihood. 2. Membangkitkan data hipotetik untuk memperoleh satu set data yang in control. Langkah-langkah penentuan data acak normal yang dalam kondisi in control: a.
Menentukan banyaknya variabel, subgrup dan ukuran subgrup
b.
Menentukan batas atas control limit (UCL) menggunakan (5).
c.
Membangkitkan 100 subgrup data acak yang menyebar normal dengan banyaknya variabel 2, 5, dan 10 dengan rata-rata
0
dan ragam tertentu.
d.
Menentukan matriks ragam peragam sesuai dengan (14)
e.
Menentukan rata-rata tiap subgrup dengan menggunakan (8).
f.
Melakukan penghitungan uji pada Chi Kuadrat untuk tiap subgrup dengan menggunakan (4).
g.
Jika pada penghitungan uji Chi Kuadrat terdapat data subgrup yang melebihi UCL, maka semua data dibuang dan diganti dengan data baru, kemudian dilakukan penghitungan ulang uji Chi Kuadrat. Proses ini diulang sampai mendapatkan 100 subgrup yang in control.
3.
Membangkitkan data hipotetik untuk memperoleh satu set data untuk dimonitor.
Langkah-langkah untuk monitoring sejumlah data acak normal: a.
Membangkitkan 2000 subgrup data acak yang dimulai dari subgrup yang ke-101 dengan disertai pergeseran rata-rata dari pergeseran
yang
disertakan
24
dalam
0
tesis
ke
1
, besarnya
ini
adalah
n(
1
0
)'
1 0
(
1
0
) , dan
yang digunakan adalah 1.00, 1.25,
1.50, 1.75, 2.00, 2.25, 2.50, 2.75, 3.00. Melakukan monitoring terhadap data yang ke-1 sampai dengan data yang ke-3000 menggunakan (4). b.
Menentukan nilai T yaitu urutan data monitoring yang pertama kali mengalami tanda out of control pada (4).
c.
Menghitung rata-rata kumulatif X t ,T untuk t = 0, 1, 2, ..., T-1, dengan rumus
X t ,T =
1 T ti
T
Xi . t 1
d.
Menentukan nilai M t yaitu nilai yang memaksimumkan log likelihood.
e.
Menentukan penduga titik perubahan ˆ , yaitu nilai t yang membuat M t maksimum.
f.
Mengulangi langkah percobaan pada langkah 3 sebanyak 1000 kali untuk mendapatkan penduga yang baik, kemudian dicari
rata-rata dari
pendugaan titik perubahan ˆ , standard error, dan distribusi empiris dari pendugaan titik perubahan di sekitar titik perubahan yang sebenarnya.
25
HASIL DAN PEMBAHASAN Proses Pendugaan Parameter Dalam suatu proses produksi berskala besar, mesin yang bekerja terus menerus akan melewati suatu fase di mana produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar yang diinginkan. Ukuran dari setiap karakteristik yang telah ditentukan lama-lama akan bergeser dari ukuran semula. Pergeseran ukuran yang telah melampui batas-batas control chart menandakan hasil produksi sudah menurun kualitasnya tidak sesuai dengan yang diharapkan. Di bab ini akan dibahas pendugaan parameter waktu perubahan proses
menggunakan penduga
kemungkinan maksimum. Untuk memperoleh penduga parameter kapan terjadinya perubahan proses dilakukan
dengan
memaksimumkan
log
dari
fungsi
likelihood
m
1/ 2
1 (2 ) kp / 2
k /2
e
( xk
)1
1
( xk
)
. Diasumsikan bahwa proses pada kondisi
k 1
terkontrol telah mengalami perubahan nilai rata-rata dari
0
menjadi
Jika pada uji Chi Kuadrat untuk setiap subgrup ternyata terdapat nilai
1
2 T
.
yang
melebihi UCL maka dapat disimpulkan telah terjadi perubahan rata-rata proses setelah waktu
yang tidak diketahui dengan 0
T 1 . Diasumsikan juga
bahwa rata-rata setiap sampel pada kondisi in control adalah X 1 , X 2 ,..., X sedangkan rata-rata setiap sampel yang berasal dari proses yang out of control adalah X
1
,X
2
,..., X T .
mempunyai fkp f k ( x,
0
Misalkan
X k adalah barisan observasi yang iid
) pada saat k = 1, 2, …,
observasi yang iid mempunyai fkp f k ( x,
1
) pada saat k =
maka menurut (Johnson & Wichern 2002) didapatkan
26
dan X k adalah barisan +1,
2 , …, T ,
LnL( ,
X)=
1
T
1 2
(Xk
0
)'
1 0
(Xk
0
)
(Xk
k 1
k
1
Ln (2 )
m/2
mp / 2
1
1
)'
0
(Xk
1
) +
1
.
1 n
Analog jika X = [ X 1 , X 2 , …, X T ] di mana X k
n
X ik dengan k = 1, 2, 3, i 1
…, T, maka Ln
L( ,
T
n 2
X)=
1
(Xk
0
)'
1 0
(Xk
0
)
k 1
(Xk k
1
)'
1 0
(Xk
1
)
1
(17) Berdasarkan Teorema 1, suku pertama dari (17) dapat ditulis (Xk
0
1
)'
0
(Xk
0
)
k 1
1
= tr
(Xk
0
0
)( X k
0
)'
k 1 T
T
1
= tr
(Xk
0
0 )( X k
0)'
k 1
(Xk k
0
)( X k
0
)'
1
(18) Jika
ˆ1
diketahui , maka penduga kemungkinan maksimum dari
X
dengan X t ,T =
,T
T ti
k
X i sehingga suku kedua dari (17) dapat ditulis t 1 T
1
)'
1 0
(Xk
1
) =
1
(Xk k
ˆ1 ) '
1
Dengan Teorema 1 didapatkan T
(Xk k
1
)'
1 0
(Xk
1
)
1 T
= tr
1
(Xk
0 k
X
,T
)( X k
adalah
T
1
T
(Xk
1
X
,T
)'
1
(19) Dari (18) suku yang kedua
27
1 0
(Xk
ˆ1 )
T
(Xk k
)( X k
0
0
)'
1 T
(Xk
X
,T
X
(X k
X
,T
)( X k
= k
,T
0
)( X k
X
X
,T
,T
0
)'
1 T
= k
X
,T
) ' (T
)( X
,T
0
)( X
,T
0
)'
1
(20) Dengan meggunakan (18) dan (19) didapatkan Ln L( ,
X)
1
T
n tr 2
=
T
1
(Xk
0
0 )( X k
0)'
(Xk
k 1
k
0
)( X k
T 1
tr
(Xk
0
X
,T
)( X k
X
,T
0
)'
1
)'
1
+ Ln
(2 )
k 1
m/2
mp / 2
(21) Dengan mensubstitusikan persamaan (20) didapatkan =
T
T
n tr 2
1
(Xk
0
0 )( X k
(Xk
0)'
k
k 1
X
,T
)( X k
X
X
)( X k
,T
)'
1 T
(T
)( X
0 )( X
,T
1
tr
0)'
,T
Xk
0 k
,T
X
,T
)'
1
1
Ln (2 ) n 2
mp / 2
m/2
T
T
(X k
0
1
)'
0
(X k
0
)
(X k
k 1
k
X
,T
)'
,T
)'
0
1 0
(X k
X
,T
)
1
T
(T
)( X
,T
0 )'
1 0
(X
,T
0)
(X k k
1
1
Ln (2 )
mp / 2
m/2
28
X
1
(X k
X
,T
)
+
+
=
T
n 2
(X k
0
1
)'
0
(X k
0
) (T
)( X
,T
0
1
)'
0
(X
,T
0
) +
k 1
1
Ln
(2 ) mp / 2
m/2
.
(22) Penduga kemungkinan maksimum dari perubahan parameter proses dinyatakan dengan ˆ yaitu nilai t yang memaksimumkan Ln L( , Dengan
1
X). ˆ
demikian
arg max M t t
(23) dengan M t
(T
t )( X t ,T
0
1
)'
0
( X t ,T
0
) dan t = 0, 1, …,T-1.
Ilustrasi Contoh Suatu perusahaan memproduksi suatu produk yang harus memenuhi 3 ukuran p1 , p2 dan p3 . Dalam hal ini karakteristik(p) yang akan diteliti ada 3. Berdasarkan data produksi terdahulu proses yang stabil dan terkontrol mempunyai rata-rata (
0
) p1 , p2 dan p3 masing-masing 105mm, 150mm dan 120mm. dan
matriks peragam dari
0
, dengan
105 0
dan
150 120
Dengan demikian
Menurut
9 .0
para
1 0
ahli
0
5. 4
= 9.6 16.0 4.8 . 5.4 4.8 12.0
0.379 -0.200 -0.090 -0.200 0.176 0.019 . -0.090 0.019 0.116
berdasarkan
pengalaman
mengeluarkan false alarm diatur dengan control chart menjadi
9 .6
2 3,0.0027
terdahulu
29
mesin
0.0027 , sehingga UCL pada
14.157 . Penghitungan
berikut:
peluang
2
2
diperlihatkan sebagai
2 1
5 104.757 105 150.151 150 119.243 120
0.379
0.200
0.090
0.200
0.176
0.019
0.090
0.019
0.116
104.757 105 150.151 150 119.243 120
2 2
= 0.3500
0.3790 0.2003 0.0904
5 105.432 105 150.252 150 122.584 120
0.2003 0.1768 0.0194
0.0904 0.0194 0.1163
105.432 105 150.252 150 122.584 120
= 3.189
Vektor rata-rata tiap subgrup dan penghitungan
2
ditunjukkan oleh Tabel 1
berikut:
Tabel 1 Vektor rata-rata tiap subgrup dan
2
'
2
Subgrup (i)
Xi
1
104.757 150.151 119.243
0.3500
2
105.432 150.252 122.584
3.1904
3
104.449 151.325 120.496
4.1075
4
101.822 146.074 118.236
5.8615
5
106.986 150.596 121.009
4.3125
6
106.887 153.377 118.408
7.2180
7
104.486 148.822 119.610
0.5105
8
104.314 147.559 120.316
2.9110
9
103.760 149.237 118.594
1.3150
10
104.488 149.475 119.524
0.1620
30
11
104.638 150.276 120.708
1.0780
12
102.711 147.623 119.969
3.9800
13
107.061 152.098 122.726
3.6290
14
103.276 148.987 119.682
2.6700
15
105.761 151.890 120.036
1.3640
16
108.153 151.391 120.350
10.9335
17
104.841 147.558 119.485
4.8650
18
104.956 147.410 118.942
6.8220
19
108.306 151.819 119.715
12.3970
20
106.464 150.938 118.532
5.0165
21
109.940 153.406 121.605
18.1875
Tampak bahwa pada data yang ke-21 nilai
2
=18.1875 > UCL =14.157 sehingga
pada data yang ke-21 mesin mengeluarkan sinyal yang pertama kali, jadi T = 21. Ada dugaan bahwa proses telah mengalami pergeseran rata-rata pada waktu t = 0 sampai T-1, sehingga perlu dilakukan penghitungan rata-rata kumulatif tiap subgrup. X t ,T
T
1 T
ti
X i , untuk t = 0, 1, 2, ..., T-1 t 1
1
X 20, 21
21 20 1
X 19, 21
21 19
=
( X 21 ) ( X 20
109.940 153.406 121.605
X 21 )
1 106.464 150.938 118.532 + 109.940 153.406 121.605 2
1 216.404 304.344 240.137 2 = 108.202 152.172 120.0685
X 18, 21
1 21 18
( X 19
X 20
X 21 )
31
=
1 108.306 151.819 119.715 + 106.464 150.938 118.532 + 3 109.940 153.406 121.605
=
1 324.71 456.163 359.852 3
= 108.236 152.054 119.951
dan seterusnya sampai X 0, 21
Setelah itu dilakukan penghitungan nilai M t untuk t = 0, 1, 2, ..., T-1 dengan menggunakan persamaan (23)
M 20
1
21 20 X 20, 21
0
'
0
M 19 = 21 19 X 19, 21
0
'
0
M 18 = 21 18 X 18, 21
0
'
0
1
1
X 20, 21
0
= 3.6375
X 19, 21
0
= 3.8007
X 18, 21
0
= 6.2354
Dan seterusnya sampai M 0 . Hasil penghitungan M t ditunjukkan di Tabel 2 berikut:
Tabel 2 Vektor rata-rata kumulatif dan penghitungan M t '
t
X t ,T
Mt
0
105.404 150.012 119.988
1.2742
1
105.436 150.005 120.026
1.3840
2
105.436 149.993 119.891
1.5846
3
105.491 149.919 119.857
2.2324
4
105.707 150.145 119.887
2.6874
5
105.627 150.117 119.887
2.1740
6
105.543 149.899 119.985
2.0538
7
105.618 149.976 120.012
2.0942
8
105.719 150.162 119.989
2.0172
32
9
105.882 150.239 120.105
2.4716
10
106.009 150.309 120.158
2.7918
11
106.146 150.312 120.103
3.5285
12
106.528 150.611 120.118
4.9370
13
106.461 150.425 119.792
5.1909
14
106.916 150.630 119.807
7.3098
15
107.108 150.420 119.769
8.7092
16
106.899 150.226 119.653
6.6730
17
107.414 150.893 119.694
6.4799
18
108.236 152.054 119.951
6.2354
19
108.202 152.172 120.069
3.8007
20
109.940 153.406 121.605
3.6375
Tabel 2 menunjukkan bahwa nilai M t yang paling besar terjadi pada subgrup yang ke-15, sehingga bisa diduga bahwa proses sebenarnya telah mulai berubah dari kondisi normalnya antara subgrup yang ke-15 dan yang ke-16. Jadi bisa diduga bahwa subgrup yang ke-15 adalah subgrup terakhir yang dalam kondisi in control, sedangkan subgrup yang ke-16 adalah subgrup yang pertama kali dalam kondisi out of control. Seseorang bisa menggunakan informasi ini untuk menemukan penyebab khusus yang menyebabkan pergeseran rata-rata proses dari kondisi normalnya yang mungkin disebabkan kelelahan mesin, sehingga bisa diambil keputusan untuk memperbaiki mesin atau menggantinya dengan yang lebih kokoh.
Pengujian Penduga pada Data Multivariate. Penduga parameter waktu perubahan proses
ˆ akan diuji coba dan
dievaluasi dengan teknik simulasi pada MATLAB 7.0. Langkah yang dilakukan adalah membangkitkan data hipotetik yang menyebar normal dengan rata-rata dan ragam
2
. Langkah selanjutnya adalah melakukan monitoring untuk
33
menghitung nilai harapan keluarnya sinyal karena adanya perubahan dalam proses rata-rata atau E(T), menentukan penduga parameter waktu perubahan proses ˆ , menentukan standard error dari ˆ dan distribusi empirisnya.
Pembangkitan Bilangan Acak Bilangan acak dibangkitkan dengan menggunakan sebaran normal. Bilangan acak normal yang dibangkitkan mempunyai nilai tengah
dan ragam
2
.
Bilangan acak yang dibangkitkan ini digunakan sebagai input sistem yang dibangun. Pembangkitan bilangan acak menggunakan program m-file pada sofware MATLAB 7.0. Input berupa file.text yang akan digunakan sebagai satu set data yang terkontrol. Pembangkitan bilangan acak yang menyebar normal dengan nilai tengah
(rata-rata bilangan acak yang sudah mengalami
1
2
pergeseran) dan ragam
akan digunakan sebagai data yang akan dimonitor.
Keluaran dari program tersebut mempunyai rata-rata
0
dan
1
berupa data dengan sebaran normal yang
.
Sistem Monitoring Sistem monitoring terdiri dari dua proses utama, yaitu proses penentuan control limit dan proses monitoring. Proses monitoring hanya memeriksa apakah data berada pada control limit yang telah ditentukan terlebih dahulu pada proses penentuan control limit. Proses ini memeriksa semua data apakah berada pada control limit ataukah tidak. Jika tidak maka data out of control, sinyal out of control menyala dan sistem berhenti. Jika ya, maka semua data dalam keadaan terkontrol dan proses selesai. Pemrograman proses monitoring ini menggunakan m-file pada MATLAB 7.0. Berdasarkan tahapan-tahapan dalam penelitian di Bab III, pada proses monitoring dilakukan perhitungan nilai harapan munculnya sinyal out of control yang pertama kali (E(T)), penghitungan penduga
dan standard error.
Hasil perhitungan menggunakan software MATLAB 7.0 dapat dilihat sebagai berikut: Tabel 3 Rata-rata pendugaan titik perubahan parameter proses untuk p = 2 dan 100
34
E(T)
Err
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.5
2.75
3.00
170.62
140.38
124.02
114.87
109.57
106.48
104.58
103.38
102.60
102.26
101.35
100.85
100.65
100.43
100.30
100.20
100.15
100.09
0.13
0.07
0.05
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
0.01
Tabel 3 menunjukkan bahwa ketika jumlah variabelnya dua (p = 2) dan pergeseran rata-rata
2
1.0 maka secara rata-rata
control chart akan
mengeluarkan sinyal pada subgrup yang ke-171, padahal kenyataannya perubahan rata-rata proses terjadi pada subgrup yang ke-100. Jika seseorang mencari penyebab khusus yang menyebabkan bergesernya rata-rata proses pada daerah di sekitar terjadinya sinyal out of control maka dia tidak akan menemukan penyebabnya. Jika pendugaan perubahan rata-rata proses diterapkan maka orang tersebut akan mendapatkan kesimpulan yang tepat untuk mengidentifikasi penyebab khususnya. Tabel 3 menunjukkan bahwa semakin besar pergeseran ( ) nya maka average run length (ARL) nya semakin kecil. Hal ini menunjukkan bahwa proses semakin tidak stabil. Ketidakstabilan proses disebabkan oleh ukuran karakteristik yang dimonitor semakin menjauh dari rata-rata pada saat in control. Tabel 3 juga menunjukkan bahwa ketika pergeseran (
= 1.0) ARL nya
adalah 170.6279 artinya secara rata-rata mesin akan mengeluarkan sinyal setelah 171 subgrup telah termonitor. Di sisi lain, ketika pergeseran (
= 1.5) ARL nya
adalah 124.0202 yang artinya rata-rata mesin akan mengeluarkan sinyal setelah 125 subgrup telah termonitor. Jadi semakin besar pergeseran ( ) maka semakin banyak subgrup-subgrup yang keluar kontrol atau semakin banyak subgrupsubgrup yang melebihi batas control limit. Distribusi empiris dari penduga
di sekitar nilai
yang sebenarnya untuk
variabel dua (p = 2) ditampilkan dalam Tabel 4 berikut. Tabel 4 Distribusi empiris dari
P(
)
di sekitar
untuk p = 2
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.50
2.75
3.00
0.497
0.559
0.644
0.677
0.752
0.790
0.847
0.868
0.913
P(
1)
0.645
0.735
0.802
0.850
0.901
0.935
0.961
0.980
0.992
P(
2)
0.741
0.822
0.892
0.917
0.948
0.979
0.987
0.998
1.000
P(
3)
0.799
0.874
0.928
0.959
0.978
0.993
0.996
0.998
35
P(
4)
0.838
0.918
0.956
0.977
0.992
0.997
P(
5)
0.864
0.940
0.973
0.988
0.999
1.000
P(
6)
0.893
0.953
0.980
0.992
1.000
P(
7)
0.912
0.963
0.992
0.997
P(
8)
0.932
0.970
0.993
1.000
P(
9)
0.948
0.978
0.994
P(
10)
0.955
0.981
0.997
P(
11)
0.962
0.985
0.997
P(
12)
0.967
0.992
0.998
P(
13)
0.970
0.995
0.999
P(
14)
0.975
0.996
1.000
P(
15)
0.979
0.998
1.000
1.000
Tabel 4 menunjukkan distribusi empiris dari titik perubahan pendugaan rata-rata proses terhadap titik perubahan rata-rata proses yang sebenarnya, pengulangan dilakukan sebanyak 1000 kali. P (
) adalah proporsi penduga
sama dengan nilai yang sebenarnya. Sebagai contoh pada kasus p = 2 dan didapatkan P (
) = 0.497
1 .0
yang artinya bahwa dengan 1000 kali
pengulangan menghasilkan proporsi pendugaan sama dengan nilai yang sebenarnya sebesar 49.7%. P (
2 ) = 0.741 artinya
antara parameter dugaan dengan sebenarnya
proporsi selisih
2 adalah sebesar 74.1% dari total
pengulangan 1000 kali, dan proporsi selisih antara pendugaan dengan sebenarnya
4 adalah sebesar 83.8% dari total pengulangan 1000 kali. Penghitungan nilai E(T), penduga
dan standard error untuk variabel lima
(p = 5) ditampilkan pada Tabel 5 berikut. Tabel 5 Rata-rata pendugaan titik perubahan parameter proses untuk p = 5 dan 100
E(T)
Err
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.5
2.75
3.00
200.13
164.47
141.98
126.99
117.66
111.86
108.16
105.77
104.24
102.68
101.52
101.07
100.76
100.51
100.35
100.29
100.16
100.11
0.15
0.09
0.06
0.05
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
36
Tabel 5 menunjukkan penghitungan pendugaan parameter
yaitu subgrup
yang mulai mengalami perubahan rata-rata proses dilakukan dengan simulasi. Tabel 5 menunjukkan bahwa ketika jumlah variabelnya p = 5 dan pergeseran ratarata
2
1.0 secara rata-rata
control chart akan mengeluarkan sinyal pada
subgrup yang ke-201, padahal kenyataannya perubahan rata-rata proses terjadi pada subgrup yang ke-100. Jika seseorang mencari penyebab khusus yang menyebabkan bergesernya rata-rata proses pada daerah di sekitar terjadinya sinyal out of control maka dia tidak akan menemukan penyebabnya. Jika pendugaan perubahan rata-rata proses diterapkan maka dia akan mendapatkan kesimpulan yang tepat untuk mengidentifikasi penyebab khususnya. Distribusi empiris dari penduga
di sekitar nilai
yang sebenarnya untuk
variabel lima (p = 5) ditampilkan dalam Tabel 6 berikut.
Tabel 6 Distribusi empiris dari
P(
)
di sekitar
untuk p = 5.
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.5
2.75
3.00
0.443
0.541
0.612
0.668
0.730
0.785
0.799
0.876
0.904
P(
1)
0.606
0.702
0.781
0.819
0.872
0.919
0.939
0.967
0.980
P(
2)
0.688
0.797
0.854
0.895
0.950
0.966
0.980
0.988
0.997
P(
3)
0.757
0.850
0.903
0.935
0.968
0.987
0.993
0.999
0.999
P(
4)
0.810
0.891
0.932
0.966
0.987
0.995
0.995
1.000
1.000
P(
5)
0.837
0.912
0.950
0.977
0.991
0.997
0.999
P(
6)
0.859
0.930
0.967
0.987
0.994
0.999
1.000
P(
7)
0.876
0.953
0.973
0.997
0.996
1.000
P(
8)
0.902
0.970
0.982
0.998
0.999
P(
9)
0.915
0.974
0.987
0.999
1.000
P(
10)
0.928
0.978
0.990
1.000
P(
11)
0.935
0.981
0.994
P(
12)
0.943
0.989
0.996
P(
13)
0.952
0.992
0.997
37
P(
14)
0.963
0.994
P(
15)
0.967
0.996
1.000
Tabel 6 menunjukkan distribusi empiris dari titik perubahan pendugaan rata-rata proses terhadap titik perubahan rata-rata proses yang sebenarnya, pengulangan dilakukan sebanyak 1000 kali. Sebagai contoh kasus p = 5 dan 1.0 menunjukkan bahwa dengan 1000 kali pengulangan menghasilkan
proporsi pendugaan dapat dengan tepat mengidentifikasi sebesar 44.3 % dari total pengulangan 1000 kali. Proporsi selisih antara pendugaan parameter perubahan
2 adalah sebesar
rata-rata proses dengan titik perubahan yang sebenarnya
68.8 % dari total pengulangan 1000 kali, dan proporsi selisih antara pendugaan
dengan sebenarnya
4 adalah sebesar 81 % dari total pengulangan 1000 kali.
Penghitungan nilai E(T), penduga
dan standard error untuk variabel
sepuluh (p=10) ditampilkan pada Tabel 5 berikut.
Tabel 7 Rata-rata pendugaan titik perubahan parameter proses untuk p = 10 dan 100
E(T)
Err
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.5
2.75
3.00
270.40
219.61
181.39
154.50
135.75
123.90
116.13
111.16
107.80
102.08
101.57
100.98
100.73
100.46
100.38
100.29
100.21
100.15
0.15
0.10
0.07
0.05
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
Tabel 7 menunjukkan penghitungan pendugaan parameter
yaitu subgrup
yang mulai mengalami perubahan rata-rata proses dilakukan dengan simulasi. Tabel 7 menunjukkan bahwa ketika jumlah variabelnya p = 10 dan pergeseran rata-rata
1.0 maka secara rata-rata
2
control chart akan mengeluarkan
sinyal pada subgrup yang ke-271, padahal kenyataannya perubahan rata-rata proses terjadi pada subgrup yang ke-100. Jadi dengan menggunakan pendugaan bisa dideteksi waktu perubahan proses sehingga dapat dicari penyebab khususnya perubahan tersebut.
38
Distribusi empiris dari penduga
di sekitar nilai
yang sebenarnya untuk
variabel sepuluh (p = 10) ditampilkan dalam Tabel 8 berikut. Tabel 8 Distribusi empiris dari
P(
)
di sekitar
untuk p = 10.
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.5
2.75
3.00
0.458
0.562
0.618
0.690
0.742
0.783
0.800
0.847
0.875
P(
1)
0.619
0.715
0.790
0.845
0.882
0.911
0.938
0.953
0.978
P(
2)
0.706
0.794
0.859
0.907
0.942
0.961
0.979
0.988
0.995
P(
3)
0.771
0.837
0.895
0.941
0.970
0.981
0.991
0.997
0.999
P(
4)
0.810
0.873
0.924
0.959
0.982
0.992
0.998
0.998
1.000
P(
5)
0.835
0.898
0.938
0.978
0.988
0.995
1.000
1.000
P(
6)
0.860
0.913
0.960
0.986
0.995
0.997
P(
7)
0.909
0.937
0.978
0.991
0.999
1.000
P(
8)
0.924
0.947
0.984
0.992
1.000
P(
9)
0.938
0.960
0.987
0.993
P(
10)
0.948
0.966
0.991
0.995
P(
11)
0.954
0.972
0.994
0.995
P(
12)
0.958
0.980
0.997
0.996
P(
13)
0.960
0.982
0.998
0.997
P(
14)
0.968
0.985
0.999
0.999
P(
15)
0.972
0.990
1.000
1.000
Secara keseluruhan Tabel 3 sampai dengan Tabel 8 menunjukkan bahwa hasil pendugaan untuk semua dimensi dan semua pergeseran sama baiknya menunjukkan hasil yang sesuai dengan kenyataan. Tabel 3, Tabel 5 dan Tabel 7 menunjukkan bahwa secara rata-rata pendugaan perubahan rata-rata proses untuk semua dimensi dan semua pergeseran sudah dekat dengan perubahan rata-rata proses yang sebenarnya. Tabel 4, Tabel 6 dan Tabel 8 menunjukkan bahwa distribusi empiris pendugaan waktu perubahan parameter proses terhadap waktu perubahan parameter proses yang sebenarnya bergantung pada besarnya pergeseran. Artinya bahwa semakin besar pergeserannya dari rata-rata proses yang terkontrol maka hasil pendugaan akan semakin tepat mendekati nilai yang sebenarnya. Distribusi empiris untuk semua dimensi variabel mempunyai distribusi yang sama.
39
Lebih lanjut, Tabel 3 sampai dengan Tabel 8 menunjukkan bahwa rata-rata pendugaan parameter waktu perubahan proses bisa mendekati waktu perubahan yang sebenarnya dengan tanpa memperhatikan dimensi variabel, besarnya pergeseran dan arah pergeseran. Distribusi empiris dari pendugaan parameter waktu perubahan proses terhadap waktu perubahan yang sebenarnya bergantung pada besarnya pergeseran, tidak bergantung pada arah pergeseran maupun banyaknya dimensi variabel.
40
KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan 1. Penduga parameter waktu pertama kalinya terjadi perubahan proses adalah
ˆ
arg max M t dengan M t
(T
t )( X t ,T
0
)'
1 0
( X t ,T
0
) dan
t
t = 0, 1, …,T-1 2. Secara rata-rata penduga waktu perubahan proses mendekati waktu perubahan yang sebenarnya, dan tidak dipengaruhi oleh banyaknya variabel, besarnya pergeseran serta arah pergeseran. 3. Distribusi empiris dari penduga waktu perubahan proses terhadap waktu perubahan yang sebenarnya bergantung pada besarnya pergeseran tapi tidak bergantung pada arah pergeseran maupun banyaknya variabel.
Saran Untuk penelitian yang lebih lanjut perlu dicoba jika asumsi datanya tidak berasal dari sebaran normal.
41
LAMPIRAN
42
Lampiran 1 Bukti Persamaan 1 Karena T adalah peubah acak yang berdistribusi Geometrik maka ARL = nilai harapan dari T mempunyai persamaan ARL = ET =
T
=
1 q
Bukti: Misalkan X adalah peubah acak yang berdistribusi Geometrik dengan parameter q maka P ( X
x)
q (1 q ) x
PX ( x)
1
E (etx )
M X (t )
etx q (1 q ) x
=
1
i 1
=
=
=
=
q 1 q
etx (1 q ) x x 1
et (1 q ) 1 q 1 et (1 q ) q
qet et (1 q )
1
qet , dengan r = 1 – q 1 ret
E ( X ) = M X' (0) M X' (t )
(1 ret )qet
qet ( ret )
(1 ret ) 2
M X' (t ) =
(1 ret )qet qet ret (1 ret ) 2
M X' (0) =
(1 r )q qr (1 r ) 2
M X' (0) =
M X' (0) = M X' (0) =
1 (1 q ) q q (1 q ) 1 (1 q ) q2
2
q q2 q2
1 q
43
Lampiran 2 Bukti persamaan 8 Pendugaan rata-rata sampel dilakukan dengan penduga kemungkinan maksimum. Misalkan X 1, ..., X n berdistribusi normal N (0,1) yang masing-masing peubah acaknya iid mempunyai fungsi Likelihood n
n
1 e 2
L( x) i 1
1
=
n
e
2
2
xi i 1
2
1 n ( xi 2 i1
Ln L( x)
1
1
2
xi
2
1
) 2 + Ln
n
2
n
d ( L( x))
( xi
d
) 0
i 1 n
xi
n
0
i 1 n
1 n
ˆ
xi i 1
Lampiran 3 Bukti persamaan 9 Pendugaan rata-rata sampel dilakukan dengan maximum likelihood estimation. Misalkan X 1, ..., X n berdistribusi normal N ( ,
2
) yang masing-masing peubah
acaknya iid mempunyai fungsi Likelihood n
L
,
2
x
2
, 2
(ln( , 2
x
n
2
2 Ln L
1
1
e
2
n ln 2
n
4
2
( xi
)2
( xi
4
)2
n 2
i 1
1
n
2 i 1
0
2
n
( xi
2
)2
n
i 1
ˆ2
1 n
n
( xi
)2
( xi
i 1
n
1 2
1 2
2
n
1
2
2
2
2
n ln 2 2
x))
)2
( xi
i 1
)2
i 1
44
Lampiran 4 Membangkitkan bilangan acak yang disimpan dalam file untuk variabel dua (p = 2) clear all clc r=100; n=5; fid=fopen('iikx.dat','wt'); x=105+3*randn(r,n); fprintf (fid,' %11.4f %11.4f %11.4f %11.4f %11.4f\n',... x); status=fclose(fid) fid=fopen('iiky.dat','wt'); y=150+3*randn(r,n); fprintf (fid,' %11.4f %11.4f %11.4f %11.4f %11.4f\n',... y); status=fclose(fid) Lampiran 5 Membuat 100 data yang in control untuk variabel dua (p = 2) clear;clc k=100; n=5; v=2; x=load('iikx.dat'); rata_x = mean(x,2); ratatotx=mean(rata_x); varx = var(x'); ratavarx=mean(varx); y=load('iiky.dat'); rata_y = mean(y,2); ratatoty=mean(rata_y); vary = var(y'); ratavary=mean(vary);
% banyaknya sub grup % ukuran sub grup % banyaknya variabel % memanggil data x % rata-rata data x % rata-rata total data x % varians x tiap subgrup % rata-rata varians x % keterangan sama dengan atas
% menghitung kovarians antara x dan y ha=zeros(2, 2,k); for h=1:k ha(:,:,h)=cov(x(h,:),y(h,:)); end C1=zeros(k,1); for t=1:k C1(t)=[ha(4*t-2)]; end cova=mean(C1); C=[ratavarx cova;cova ratavary] ; % matrix varians kovarian Cinv=inv(C) % invers matrix varians kovarian
45
rata=[rata_x rata_y]; m0=repmat(ratatotx,[k 1 1]); % matrix yang isinya rata-rata x pada kondisi in control m1=repmat(ratatoty,[k 1 1]); % matrix yang isinya rata-rata y pada kondisi in control m=[m0 m1] ; % rata-rata pada in control p1=rata_x-m0; p2=rata_y-m1; p=[p1 p2] ; % rata-rata tiap subgrup - rata2 in control disp(' k nilai xi ') disp(sprintf('\n=============================== ')) xi=zeros(k,1); for i=1:k; xi=n*p((i),:)*Cinv*p((i),:)' ; % penghitungan chi kuadrat disp(sprintf('%5.0f %25.15f ', i, xi)) if xi >=11.83 disp('stop') end end t =sum(sum(Cinv)); % menghitung jumlah entri-entri dalam matrix covarian for lamda=1:0.25:3 s=sqrt(lamda^2/(n*t)) % besarnya shift/pergeseran end Lampiran 6 Monitoring data untuk
1.00 untuk variabel dua (p = 2)
% Untuk monitoring data dengan variabel dua (p = 2), n = 5, k = 3000 dan 1.00 % UCL(2, 0.0027) = 11.83 clear all clc q=1000; % p = banyaknya pengulangan atau looping tau=zeros(q,1); u=zeros(q,1); E=zeros(q,1); for o=1:q k=3000; % banyaknya subgrup n=5; % ukuran tiap subgrup v=2; r=100; tauseb=100; % nilai tau sebenarnya yaitu 100 shift=0.9571 ; inv=[ 0.1204 -0.0060 -0.0060 0.1100]; % invers matriks kovarian x=load('iikx.dat'); % memanggil data x xx=(105+shift) +3*randn(k,n); % membangkitkan data x yang sudah mengalami pergeseran sebesar lamda=1
46
xseb=[x;xx]; rataxseb=mean(xseb,2); ratax=mean(x,2); ratatotx=mean(ratax); y=load('iiky.dat'); yy=(150+shift) +3*randn(k,n);
% dengan standart deviasi 3 dan berukuran k n % menggabungkan data x yang terkontrol dan data xx yang bergeser % rata-rata ke-i untuk data gabungan % rata-rata data x yang terkontrol % rata-rata total data x % keterangan sama dengan atas
yseb=[y;yy]; ratayseb=mean(yseb,2); ratay=mean(y,2); ratatoty=mean(ratay); rata = [rataxseb ratayseb]; m0=repmat(ratatotx,[r+k 1 1]); m1=repmat(ratatoty,[r+k 1 1]); m=[m0 m1] ; % rata-rata pada in control p1=rataxseb-m0; p2=ratayseb-m1; p=[p1 p2] ; % rata-rata tiap subgrup - rata2 in control xi=zeros(k+r,1); for i=1:k+r; xi(i)=n*p((i),:)*inv*p((i),:)' ; end u(o)=length(find(xi > 11.83))/(k+r); T=min(find(xi >11.83)); % T adalah data ke... yang pertama kali out of control E(o)=T; xr=zeros(T,v); for t=1:T-1 xr(t,[1 2])=(1/(T-t+1))*sum(rata(t:T,:)); % jumlah rata-rata end for m=T xr(m,[1 ,2 ])=rata(T,:); end mu0=repmat([ratatotx ratatoty],[T 1 1]); c=xr-mu0 ; c1=c'; M=zeros(T,1); for j=1:T M(j)=(T-j+1)*c(j,:)*inv*c1(:,j);; end tau(o)=find(M==max(M))-1; % menghitung nilai tau end ratau=mean(u); % rata-rata u yaitu peluang out of control
47
ARL=1/ratau % menghitung ARL EE=mean(E) % rata-rata dari E atau T ratatau=mean(tau) vartau=var(tau); standerror=sqrt(vartau)/sqrt(q) tauseb1=repmat(100,[q 1 1]); e=abs(tau-tauseb1); disp(' s nilai proporsi ') disp(sprintf('\n=============================== ')) pe = zeros(30,1); for s = 1:30; pe = length(find(e<=s))/length(e); % menghitung distribusi empiris disp(sprintf('%5.0f %25.3f ', s, pe)) end disp(sprintf('\n=============================== ')) for s = 0; pe = length(find(e==s))/length(e); disp(sprintf('%5.0f %25.3f ', s, pe)) end % untuk lamda ( ) yang lain caranya sama dengan di atas. Lampiran 7 Hasil running program pembuatan 100 data yang in control untuk variabel dua (p = 2) Cinv =
0.1204 -0.0060 -0.0060 0.1100
k
nilai xi
1
0.149250216533069
2
1.413198749780916
3
1.318796604721450
4
0.644677490407404
5
0.050933491034406
6
0.885279653249202
7
2.514872910385886
8
2.091600403786655
9
1.988412591860769
10
0.950562070058827
48
11
6.833994378414928
12
2.336187748167804
13
3.862004116201090
14
1.265517089191017
15
0.385439746871815
16
4.288341253496466
17
1.441018902961192
18
0.781757564328798
19
2.011872803220806
20
1.284297971107408
21
0.071104117220779
22
1.856490807079846
23
0.577814863553097
24
1.047402104939975
25
2.123778761028576
26
0.573883927141592
27
0.277430720816887
28
0.036345234734373
29
1.898289050371363
30
0.702723017744440
31
5.531232828488745
32
0.304531111590867
33
0.490965692910518
34
1.001898620630833
35
0.371827368452428
36
0.832094310777190
37
6.837654181061309
38
0.331300817273591
39
1.946998459990279
40
3.451719231704408
41
2.449406355556111
42
0.519419413207563
49
43
0.818365313646235
44
1.008614130016894
45
0.047056052941491
46
0.472998842989757
47
1.795014811361336
48
0.611027125455145
49
0.880265645781400
50
1.527176995571348
51
0.666731433203316
52
0.443581590607339
53
4.822988795792593
54
0.587571646586466
55
4.659329039473836
56
2.145532380905256
57
0.803131092759130
58
4.250125802620101
59
4.083308230743283
60
0.886836749602324
61
2.651261395718198
62
0.132653727548456
63
0.282443834335340
64
1.017871535690672
65
0.232485072133538
66
0.757769166264525
67
0.849035179718915
68
7.595109672632169
69
2.891130495469690
70
0.135721016905735
71
3.093463306283621
72
0.994978725890237
73
3.416986478714900
74
2.840445684186476
50
75
0.552007852561265
76
0.680824242464821
77
2.294479195943255
78
7.613804004178593
79
3.415813143397929
80
0.225395411140019
81
1.772697049563091
82
0.947794815099344
83
1.625118464129837
84
6.346234964677187
85
3.272947149211773
86
1.387907544881120
87
2.422302966278371
88
0.944598162421340
89
9.052811069443632
90
1.696738786325605
91
3.693349335823626
92
1.862275683909092
93
2.606364912049052
94
1.170390793799397
95
1.842397680257919
96
2.929770388075234
97
3.155331763872642
98
1.155239978799022
99
0.280968467741770
100
10.481511288385107
51
lamda
nilai s
1.00
0.95710
1.25
1.19638
1.50
1.43565
1.75
1.67493
2.00
1.91420
2.25
2.15348
2.50
2.39275
2.75
2.63203
3.00
2.87131
Lampiran 8 Hasil monitoring untuk variabel dua (p = 2) dan ARL =
66.8046
ET =
165.0440
ratatau =
102.4820
standerror =
0.1493
52
1.00
s
nilai proporsi
===================== 1
0.597
2
0.675
3
0.734
4
0.785
5
0.825
6
0.858
7
0.886
8
0.901
9
0.923
10
0.938
11
0.948
12
0.951
13
0.956
14
0.966
15
0.977
16
0.979
17
0.984
18
0.984
19
0.986
20
0.986
21
0.988
22
0.990
23
0.992
24
0.994
25
0.997
26
0.997
27
0.998
28
0.998
53
29
0.998
30
0.998
=================== 0
0.436
54
This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com. The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.
