Pendahuluan. 1.1 SKALAR DAN VEKTOR Skalar Hanya mempunyai besar Contoh : massa, volume, temperatur, energi

Analisis Vektor

Pendahuluan 1.1 SKALAR DAN VEKTOR  Skalar • •



Vektor • •



Mempunyai besar dan arah Contoh : gaya, kecepatan, percepatan

Medan skalar • •



Hanya mempunyai besar Contoh : massa, volume, temperatur, energi

Besarnya tergantung pada posisinya dalam ruang Contoh : EP = m g h

Medan vektor • •

Besar dan arahnya tergantung pada posisinya dalam ruang Contoh : F = 2 xyz ax – 5 (x + y + z) az

1.2 ALJABAR DAN PERKALIAN VEKTOR  Penjumlahan dan Pengurangan Vektor • Metoda jajaran genjang • Metoda poligon B

C=A+B

D = A – B = A + (- B)

A A

-B C=A+B D=A-B B

A

 Perkalian titik

Hasilnya skalar Proyeksi B pada A

A

A  B  A B cos AB  B A cos AB  B  A AB

B Proyeksi A pada B

 Perkalian Silang

Hasilnya vektor

A  B  A B sin AB a N   B  A

A

AB

B

AB

aN = vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh vektor-vektor A dan B (arahnya sesuai dengan aturan ulir tangan kanan)

1.3 SISTEM KOORDINAT KARTESIAN  Titik • dinyatakan dengan 3 buah koordinat x, y dan z P(x, y, z) • Contoh : P(1, 2, 3) Q(2, - 2, 1)

 Vektor • dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan ax, ay dan az • Contoh : r = x + y + z = x ax + y ay + z az • vektor posisi dari sebuah titik dalam ruang

• Vektor Posisi

r P  a x  2a y  3a z r P  2a x  2a y  a z

• Vektor antara 2 titik

R PQ  r P  r Q  (2  1)a x  (2  2)a y  (1  3)a z  a x  4a y  2a z

• Titik asal  • Bidang 

O(0, 0, 0) x = 0 (bidang ZOY) y = 0 (bidang ZOX) z = 0 (bidang XOY)

Elemen Luas (vektor)  dy dz ax  dx dz ay Elemen Volume (skalar) dx dy dz

 dx dy az

 Perkalian titik dalam sistem koordinat kartesian

A  Ax a x  Ay a y  Az a z

B  B x a x  B y a y  Bz a z

A  B  A B cos A, B A  A A A 2 x

2 y

2 z

B  B B B 2 x

2 y

2 z

aB 

B B

cos 0o  1 cos 90o  0 ax  ax 1 ay  ay  1 az  az  1 ax  ay  ay  ax  0 ax  az  az  ax  0 ay  az  az  ay  0 A  B  A x B x  A y B y  A z Bz

• Proyeksi vektor A pada vektor B A

( A  a B )a B AB

B Proyeksi A pada B

Contoh Soal 1.1 Diketahui tiga buah titik A(2, 5, - 1), B(3, - 2, 4) dan C(- 2, 3, 1). Tentukan : a). RAB  RAC b). Sudut antara RAB dan RAC c). Proyeksi vektor RAB pada RAC Jawab :

R AB  a x  7a y  5a z R AC  4a x  2a y  2a z R AB  R AC  (1)(4)  (7)(2)  (5)(2)  20 R AB  1  49  25  8,660 cos  

a AC 

R AC  16  4  4  4,899

R AB  R AC 20   0,471    61,9o R AB R AC (8,660)(4,899)

R AC  4 a x  2 a y  2 a z    0,816 a x  0,408 a y  0,408 a z R AC 4,899

Proyeksi RAB pada RAC :

(R AB  a AC )a AC  [(1)(0,816)  (7)(0,408)  (5)(0,408)]a AC  4,08(0,816a x  0,408a y  0,408a z )  3,330a x  1,665a y  1,665a z )

 Perkalian silang dalam sistem koordinat kartesian A  Ax a x  A y a y  Az a z

B  Bx a x  By a y  Bz a z

A  B  A B sin AB a N  B  A

A

AB

sin 0o  0 sin 90o  1 B

ax  ax  0 ay  ay  0 az  az  0 a x  a y  a z  a y  a x

a x  a z  a y  a z  a x

AB

a y  a z  a x  a z  a y

A  B  (A y Bz  A z By )a x  (A z Bx  A x Bz )a y  (A x By  A y Bx )a z ax

ay

az

A  B  Ax Ay Az Bx B y Bz

Contoh Soal 1.2 : Sebuah segitiga dibentuk oleh A(2, - 5, 1), B(- 3, 2, 4) dan C(0, 3, 1). Tentukan : a). RBC  RBA b). Luas segitiga ABC c). Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab :

R AB  1  49  25  8,660 ax R BC  R BA  3

ay

az

1

3

R AC  16  4  4  4,899

5 7 3  [(1)(3)  (3)(7)] a x  [(3)(3)  (3)(5)] a y  [(3)(7)  (1)(5)] a z  24a x  6 a y  26 a z  ABC  aN 

R BC  R BA 2

 24 a x  6 a y  16 a z 35,888

242  62  262 35,888    17,944 2 2   0,669 a x  0,167 a y  0,725 a z

1.4 SISTEM KOORDINAT SILINDER  Titik • dinyatakan dengan 3 buah koordinat ,  dan z P(, , z)  Transformasi sistem koordinat

Silinder  Kartesian

Kartesian  Silinder

x   cos 

  x 2  y2

y   sin 

  tg1

zz

zz

y x

Contoh Soal 1.3 : Diketahui titik-titik A(2, 3, - 1) dan B(4, - 50o, 2). Hitung jarak dari A ke B. Jawab : Untuk menentukan jarak dari A ke B, titik B harus terlebih dahulu dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian. x =  cos  = 4 cos (–50o) = 2,571 y =  sin  = 4 sin (–50o)

= - 3,064

z = z=2 R AB  (2,571  2)a x  (3,064  3)a y  (2  1)a z  0,571a x  6,064a y  3a z R AB  (0,571) 2  (6,064) 2  32  6,79

Silinder  Kartesian

 Vektor

dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan a , a , az

 A  A a   A  a   A z a z

Vektor satuan dalam arah  dan  tergantung pada posisinya di dalam ruang

 Transformasi vektor Silinder  Kartesian

ax ay az

a

a

cos  sin  0

- sin  cos  0

Horisontal : a x  cos  a   sin  a  Vertikal :

a   cos  a x  sin  a y

az 0 0 1

Contoh Soal 1.4 : Nyatakan vektor

R  4a x  2a y  4a z

dalam sistem koordinat silinder di titik A(2, 3, 5). Jawab : Terlebih dahulu dilakukan transformasi koordinat untuk menghitung sudut  di titik A, yaitu :   tg 1

ax ay az

y 3  tg 1  56,3o x 2

a a cos  = 0,555 - sin  = - 0,832 sin  = 0,832 cos  = 0,555 0 0

az 0 0 1

R  4(0,555a   0,832a  )  2(0,832a   0,555a  )  4a z  0,556a   4,438a   4a z

Bidang

  = konstan (permukaan silinder)  = konstan (bidang datar melewati

sumbu-z) z = konstan (bidang datar tegak lurus sumbu-z)

• Elemen Luas (vektor)

 ddz a  • Elemen

 dd a 

 dd a z

volume (skalar)

dddz

Contoh Soal 1.5 Sebuah silinder berjari-jari 2 m dan tingginya 5 m. Hitung sebagian dari luas permukaan silinder tersebut

1.5 SISTEM KOORDINAT BOLA  Titik • dinyatakan dengan 3 buah koordinat r, , dan  : P(r, , )

 Transformasi Koordinat Bola  Kartesian

Kartesian  Bola

x  r sin  cos 

r  x 2  y2  z2

y  r sin  sin 

  cos 1

z  r cos 

  tg1

z x 2  y2  z2 y x

• Contoh Soal 1.5 : • Nyatakan koordinat titik B(1, 3, 4) dalam sistem koordinat bola. Jawab : B(1,3,4)  x  1 y  3 z  4

r  x 2  y 2  z 2  12  32  4 2  5,099   cos 1   tg1

z x 2  y2  z2

 cos 1

4  38,3o 5,099

y 3  tg1  71,6o x 1

r  5,099   38,3o B(5.099, 38,3o ,71,6o )

  71,6o

 Vektor • dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan :

ar , a, a

 A  A r a r  A a   A a 

• Vektor satuan tergantung pada posisinya di dalam ruang  Transformasi

ax ay az

Vektor Bola  Kartesian ar a sin  cos  cos  cos  sin  sin  cos  sin  cos  - sin 

a - sin  cos  0

Horisontal : a x  sin  cos  a   cos  cos  a   sin  a  Vertikal :

a r  sin  cos  a x  sin  sin  a y  cos  a z

Contoh Soal 1.6 : Sebuah vektor memanjang dari titik A(2, - 1, - 3) ke titik B(1, 3, 4). Nyatakan vektor tersebut dalam koordinat bola di titik B. Jawab : B(1, 3, 4)



 = 38,3o ar

ax

ay

az

sin  cos  sin 38,3o cos 71,6o (0,620)(0,316) = 0,196 sin  sin  sin 38,3o sin 71,6o (0,620)(0,949) = 0,588 cos  cos 38,3o 0,785

 = 71, 6o a

cos  cos  cos 38,3o cos 71,6o (0,785)(0,316) = 0,248 cos  sin  cos 38,3o sin 71,6o (0,785)(0,949) = 0,745 - sin  - sin 38,3o - 0,620

a

- sin  - sin 71,6o - 0,949 cos  cos 71,6o 0,316 0

R AB  a x  4a y  7a z  [0,196  4(0,588)  7(0,785)]a r  [0,248  4(0,745)  7(0,629)]a   [(0,949)  4(0,316)  7(0)]a z  7,651a r  1,608a   2,213a z

• Bidang  r = konstan (kulit bola)  = konstan (selubung kerucut)  = konstan (bidang datar melewati sumbu-z)

• Elemen Luas (vektor)

 r 2 sin dd a r

 r sin drd a 

• Elemen Volume (skalar)

r 2 sin drdd

 rdrd a 