BAB 1 ANALISA SKALAR DANVEKTOR 1.1 Skalar dan Vektor Skalar merupakan besaran yang dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan nyata. Simbul x, y, dan z yang digunakan merupakan scalar, dan besarnya juga dinyatakan dalam scalar. Vektor mempunyai besar dan arah dalam suatu ruangan. 1.2 Aljabar Vektor Dua buah vector dapat dijumlahkan secara grafik dengan menggambarkan kedua vector tersebut dari titik asal yang sama kemudian melengkapkan gambar jajaran genjangnya, atau memulai menggambarkan vector kedua dari ujung vector pertama dan melengkapkan gambar segitiga. Seperti pada gambar 1.1 berikut.
Gambar 1.1 Penjumlahan 2 vektor secara grafis
1.3 Sistem Koordinat Cartesian Bentuk Koordinat Kartesian diperlihatkan pada gambar 1.2 berikut
Gambar 1.2 Sistem Koordinat Cartesian
Bentuk aplikasi penempatan titik dalam koordinat kartesian diperlihatkan pada gambar 1.3 berikut.
1
Gambar 1.3 Penempatan titik pada koordinat kartesian Contoh jika titik P berada pada koordinat (xo,yo,zo) dan P’ berada pada (x1,y1,z1) maka dapat dianalisis jarak antara PP’, seperti pada Gambar 1.4 berikut.
Gambar 1.4 Penggambaran titik pada koordinat kartesian
1.4 Komponen Vektor dan Vektor Satuan Analisis vector dan vector satuan, diperlihatkan pada Gambar 1.5 berikut.
2
Gambar 1.5 Vektor dan Vektor Satuan Mengacu pada gambar 1.5 bagian c dihasilkan bentuk persamaan, maka besar vector Rpq
1.5 Perkalian Titik Tinjau dua vektor A dan B, perkalian skalarnya atau perkalian titiknya didefinisikan sebagai perkalian besar A dan besar B dikalikan dengan kosinus sudut antara kedua vector. Mencari komponen sebuah vektor dalam arah tertentu, seperti diperlihatkan pada gambar 1.6 berikut.
Gambar 1.6 Dua vector A dan B Komponen skalar vektor B pada arah vektor a adalah B.a = |B|.|a|cos Ba = |B|.|a|cos
Ba
3
1.6 Perkalian Silang Bentuk perkalian silang dapat diasumsikan gerak putar pada sebuah skrup seperti diperlihatkan pada gambar 1.7 berikut. Arah A x B ialah arah majunya sekrup putar kanan.
Gambar 1.7. Arah putar skrup
Contoh Soal: 1. Tunjukkan bahwa vektor yang ditarik dari M(x1,y1,z1) ke N(x2,y2,z2) spt gambar adalah (x2-x1)ax + (y2-y1)ay + (z2-z1)az. Koordinat M dan N dipakai untuk menuliskan kedaua vektor A dan B. z B-A
M(x1,y1,zA1) A
N(x2,y2,z2) B y
x A = x1ax + y1ay + z1az B = x2ax + y2ay + z2az Maka B – A = (x2-x1)ax + (y2-y1)ay + (z2-z1)az 2. Diketahui A = 2 ax + 4 ay – 3 az dan B = ax – ay, tentukan A.B dan AxB. A.B = (2 ax + 4 ay – 3 az).(ax – ay) = (2.1 ax.ax + 2.-1 ax.ay) + (4.1 ay.ax + 4.-1 ay.ay) + (-3.1 az.ax+3.1 az.ay) =(2 + 0) + (0-4) + (0+0) = -2
4
ax 2 1
AxB=
ay 4 -1
az -3 0
= [(4)(0)-(-3)(-1)] ax+ [(-3)(1)-(2)(0)]ay + [(2)(-1)-(4)(1)az] = -3 ax - 3 ay - 6 az 3. Tentukan vektor satuan normal terhadap bidang yang terdapat dua vektor OA = 4 ax + 10 ay OB = 4 ax + 5 az ax 4 4
OA x OB =
ay 10 0
az 0 5
= 50 ax – 20 ay – 40 az
50a 20a 40a x y z
a n
= =
50a 20a 40a x y z
5a x 2a y 4a z 25 4 16
1 3 5
(5a x 2a y 4a z )
4. Vektor A ditarik dari titik (2,-4,1) ke titik (0,0,-2) dalam koordinat kartesian dan satuan yang searah dengan A z A = (0-2) ax + (-2+4)ay + (0-1) az = -2 ax + 2 ay - az A =
(2,-4,1)
(2)2 (2)2 (1)2 y A
A aA = A
x
2 2 1 ax ay ax 3 3 3
5
(0,0,-2)
4. Nyatakan vektor satuan dari suatu titik sembarang pada bidang dalam z =4 yang mengarah ke titik asal. (x,y,z)
R = (0-x) ax + (0-y) ay + (0-4) az
aR =
R R
(0,0,0)
xa x yay 4a z ( x ) 2 ( y) 2 (4) 2
1.7 Sistem Koordinat Tabung Bentuk koordinat tabung diperlihatkan pada gambar 1.8 berikut. Ketiga bidang saling tegak lurus dalam koordinat tabung
Gambar 1.8 Bentuk koordinat tabung
Volume diferensial dalam koordinat tabung,
dimana
, dz : dimensi panjang,
d :
bukan dimensi panjang, luas permukaan tiap sisi dd, ddz, ddz, dan volume dddz
6
Contoh soal: 5. Nyatakan vektor satuan dari suatu sumbu kuadrat silinder (r,,0) yang mempunyai titik (0,0,5) (0,0,5) )
R = - rar + 5 az aR
=
R R
ra r 5a z (r ) 2 25
(r,,o)
Perubah dalam koordinat cartesian dan koordinat tabung dapat dihubungkan melalui persamaan yang dibentuk melalui gambar 1.9 berikut.
dan
Gbr 1.9 Koordinat tabung
Hubungan perkalian titik dan vector satuan dalam koordinat tabung dan koordinat kartesian, dapat dilakukan dengan pendekatan matrik berikut.
7
1.8 Sistem Koordinat Bola Bentuk system koordinat bola diperlihatkan pada gambar 1.10 berikut.
Gambar 1.10 Bentuk system koordinat bola Transformasi skalar dr sistem koordinat bola dan Cartesian,
Sebagai dasar :
Contoh soal-soal latihan:
8
9
BAB 2 HUKUM COULOMB & INTENSITAS MEDAN LISTRIK 2.1 Hukum Eksperimental coulomb Coulomb menyatakan bahwa gaya antara dua benda yang sangat kecil dalam vakum atau ruang hampa yang terpisah pada jarak yang besar dibandingkan dengan ukurannya, berbanding lurus dengan muatan masing-masing benda tersebut dan berbanding terbalik dengan jarak kuadrat. Seperti diperlihatkan pada gambar 2.1 berikut.
Q1
R
Q2
Gambar 2.1 Dua buah muatan menpunyai jarak
Sehingga dapat ditulis dengan persamaan, Gaya Coulomb k = konstanta, k
1 4 0
F k
0 8.854 x1012 1 x109 F 36
m
Q1Q2 , R2 (permitivitas ruang
hampa)
Q1Q2 F 4 O R 2
Dimana : Q = muatan [C] R = jarak antara muatan [m] k = konstanta [SI] F = gaya [N]
Contoh Soal: Carilah gaya pada muatan 2 (F2) dengan meninjau adanya muatan 1 sebesar 3x10-4 C pada titik P(1,2,3) dan muatan 2 sebesar -10-4 C pada titik Q(2,0,5). Penyelesainnya:
1
2.2 Intensitas Medan Listrik. Muatan Qt yang digerakkan mengelilingi Q1 akan selalu timbul gaya yang bertumpu pada Qt, sehingga pada muatan Qt ini menunjukkan adanya suatu medan gaya. Gaya yang bertumpu pada Qt dinyatakan dengan hukum Coulomb:
Q1 Besaran pada ruas kanan hanya merupakan fungsi dari Q1 dan segmen garis yang arahnya dari Q1 ke kedudukan muatan uji. Hal ini menggambarkan sebuah medan vektor yang disebut dengan intensitas medan listrik. Intensitas Medan Listrik didefinisikan sebagai: gaya vektor yang bertumpu pada suatu satuan muatan uji yang positif.
Intensitaas medan listrik = Gaya vektor yang bertumpu pada satuan muatan positif
E
Ft N Qt C
Volt
Joule Newton meter Coulomb coulomb
Volt Newton N V meter Coulomb C m
Qt
Ft Q1
Q1Qt a1t 4 0 R12t
Ft Q1 .a1t Qt 4 0 R12t Medan vektor = intensitas medan listrik 2
2.3 Medan dari n Muatan Titik Untuk n buah titik - jumlah gaya masing-masing muatan pada titik yang ditinjau
z Q2 r2 1
Q1
r-r2 r-r1
E1
r
r1 1
y E1+E22
E2 x n
Er
m 1
2.4
Qm 4 0 r rm
2
am
Medan Distribusi Muatan Volume Malar Kerapatan muatan dari suatu distribusi kontinu aRN
Q P lim v0 V
aR2
R1
Q dQ dv vol
aR3
vol
P
Q1
aR1
R2
E
vol
R3
P r ' dv ' 4 0 r r '
2
r r' r r'
Q2
RN
Q3 QN
2.5
Medan Muatan Garis
Muatan garis : a.
Asumsi gerak elektron lambat
b.
Elektron statis kerapatan muatan/ satuan panjang konstan
c.
Intensitas yang ditimbulkan dalam muatan garis dari - ke + adalah sebagai berikut:
3
z dQ=LdL L
R P
dE
dEz
dE
z
Sifat kesimetrisan :
terhadap koordinasi mana medan tidak berubah komponen medan madan yang tidak muncul bergerak dengan & z komponen tidak berubah bergerak dengan & tetap komponen z tidak berubah bergerak & z tetap medan berubah terhadap tidak ada unsur yang membuat adanya komponen E=nol setiap muatan menghasilkan E dan Ez, sedang Ez untuk - Z saling meniadakan Ez=0
dQ L d L dE
L d L sin L dL y L d L 4 O R 2 4 O R 2 R 4 O R3
R 2 L2 2
4
y
E
L dL
~
~
4 O L 2
L 1 E 4 O 2
3
cat
;L 2
~
L 2 2 L ~
L 2 O
E
2.6
2
m
Muatan Bidang Kerapatan muatan bidang = S c
2
Bidang muatan pada bidang y z, dan titik yang ditinjau pada sumbu x
z
dy s y y
P(x,0,0)
R 2 L2 2
x
Pendekatan seperti muatan garis yang panjang yang mempunyai beban kecil (pipih) yang banyak L= S dy Komponen yang ada hanya Ex, Karena Ey dan Ez saling menghilangkan
dEX
S dy 2 0 x 2 y 2
cos
S xdy 2 0 x 2 y 2
5
1 S ~ xdy S EX tan x 2 2 2 0 ~ x y 2 0
~
EX S 2 O
S 2 O
y ~
X 0
EX
EX
S aN 2 O
aN = Vektor satuan medan yang arahnya keluar dari bidang
2.7 MEDAN AKIBAT DISTRIBUSI MUATAN
Muatan garis
dE dQ=LdL
L
R
P
dQ= LdL dQ= SdS
L aR d 2 L 4 R 0 L
P
S aR d 2 S 4 0 R S
E
S
S
aR
E
Muatan permukaan/lembaran
R
dQ 4 O R 2
Muatan Ruang
R 6
aR E d 2 V 4 0 R V
dQ=d
S
7
