Pemodelan Sistem Coupled Drives Apparatus dengan Persamaan Ruang Keadaan Titin Nur’Ani Jurusan Teknik Elektro STTNAS Yogyakarta Jalan Babarsari, Depok, SlemanYogyakarta, Telepon: 0274-485390 - 486986
[email protected] Abstract Coupled drives apparatus system modeling with state space equation. Coupled drives apparatus is an attempt to capture the essential features of material handling problems with a laboratory scale model, used in industrial application. It consists of two inputs DC motors and two outputs of speed and tension, and this system was modeled with state space equation, an equation that comfortable for the multivariable system. Modeling with state space equation produced six states, and the simulation result with Matlab shows, with two step input then the speed output being gained while the tension output does not reaches steady state. Four from six states do not reach convergence, while others two reach convergence. Key words: Modeling, coupled drives apparatus, state space equation.
1. Pendahuluan Coupled drive apparatus dirancang untuk mengetahui permasalahan di industri dalam mengendalikan kecepatan motor dan tension material pada suatu proses kontinyu [2]. Sebagai contoh pada industri tekstil, kertas, kawat, lembaran metal dan plastik film, material dipindahkan dan diproses melalui suatu stasiun kerja dengan suatu sistem penggerak kecepatan dan tension yang dikendalikan dalam suatu batasan tertentu. Sistem pengendali coupled adalah komponen dasar dari suatu alur produksi kontinyu moderen. Produk dipindahkan dengan sistem conveyor, dan beberapa jenis material diproduksi dalam bentuk lembaran [2]. Model masukan jamak – keluaran jamak (MIMO, multiple input – multiple output) dapat disusun menjadi model masukan jamak - satu keluaran (MISO, multiple input – single output). Pemodelan seperti MISO memberikan sejumlah keuntungan dibandingkan dengan pemodelan MIMO. Masing-masing keluaran tidak perlu bergantung pada semua masukan sehingga setiap model MISO menjadi sederhana jika hanya menggunakan masukan-masukan yang berhubungan terhadap keluaran yang sesuai. Setiap model MISO dapat disusun secara terpisah terhadap struktur model, tingkat dinamika dan waktu tunda. Perancangan sinyal eksitasi dapat diberikan secara terpisah terhadap setiap keluaran. Sehingga analisis sistem menjadi lebih mudah dengan memecah struktur MIMO menjadi beberapa struktur MISO. Pemodelan sistem MIMO yang penting adalah model kanonikal – p, model matrik polinomial yang disederhanakan dan model yang berdasarkan representasi ruang keadaan [4]. Dalam makalah ini dibahas pemodelan pada sistem coupled drives apparatus dengan menggunakan persamaan ruang keadaan. 2. Tinjauan Pustaka Dalam analisis ruang keadaan, terdapat tiga variabel yang saling berhubungan dalam memodelkan sistem dinamis. Representasi ruang keadaan untuk suatu sistem tidak unik kecuali jumlah variabel keadaan yang sama untuk berbagai representasi ruang keadaan yang berbeda untuk suatu sistem yang sama [5]. Menganggap sistem dinamis seperti pada Gambar 1, garis-garis yang tebal menunjukkan bahwa sinyal adalah vektor. Pada sistem ini, keluaran y(t) untuk t ≥ t1
Titin Nur’ani, Pemodelan Sistem Coupled Drives Appratus …
bergantung pada nilai y(t1) dan masukan u(t) untuk t ≥ t1. Sistem dinamis harus melibatkan elemen-elemen dengan mengingat nilai masukan untuk t ≥ t1. Dengan integrator dalam suatu sistem waktu kontinyu yang berlaku sebagai peralatan memori, keluaran dari integrator dapat dianggap sebagai variabel yang menentukan keadaan internal dari sistem dinamis. Sehingga keluaran integrator berlaku sebagai variabel-variabel keadaan. Jumlah variabel keadaan yang melengkapi definisi dinamis dari sistem sama dengan jumlah integrator yang terlibat pada sistem. u(t)
y(t) Sistem
Gambar 1. Sistem dinamik. Suatu sistem dengan masukan jamak, keluaran jamak melibatkan n integrator, dengan r masukan u1(t), u2(t), ..., ur(t) dan m keluaran y1(t), y2(t), ..., ym(t). n keluaran dari integrator sebagai variabel keadaan: x1(t), x2(t), ..., xn(t). Sistem dapat ditunjukkan dengan: x&1 (t ) = f1 ( x1 , x2 ,..., xn ; u1 , u2 ,..., ur ; t ) x&2 (t ) = f 2 ( x1 , x2 ,...xn ; u1 , u2 ,..., ur ; t ) (1) M x&n (t ) = f n ( x1 , x2 ,...xn ; u1 , u2 ,..., ur ; t ) Keluaran y1(t), y2(t), ..., ym(t) dari sistem diberikan oleh: y1 (t ) = g1 ( x1 , x 2 ,...x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) y 2 (t ) = g 2 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) M y m (t ) = g m ( x1 , x 2 ,...x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) Didefinisikan: ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎢ x (t ) ⎥ x(t ) = ⎢ 2 ⎥ , ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ x n (t )⎦ ⎡ y1 (t ) ⎤ ⎢ y (t ) ⎥ y (t ) = ⎢ 2 ⎥ ’ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ y m (t )⎦
⎡ f1 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,...u r ; t ) ⎤ ⎢ f ( x , x ,..., x ; u , u ,..., u ; t )⎥ n 1 2 r ⎥ f ( x, u , t ) = ⎢ 2 1 2 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎣ f n ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )⎦ ⎡ g1 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) ⎤ ⎢ g ( x , x ,..., x ; u , u ,..., u ; t ) ⎥ n 1 2 r ⎥, g ( x, u , t ) = ⎢ 2 1 2 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎣ g m ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )⎦
(2)
⎡ u1 (t ) ⎤ ⎢u (t )⎥ u (t ) = ⎢ 2 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎣u r (t ) ⎦
Persamaan (1) dan (2) menjadi
x& (t ) = f ( x, u , t )
(3)
y (t ) = g ( x, u , t )
(4)
dengan Persamaan (3) adalah persamaan keadaan dan Persamaan (4) merupakan persamaan keluaran. Jika fungsi vektor f dan/atau g melibatkan waktu t, maka sistem
17
Media Teknika Vol. 7 No. 1, Juni 2007: 16 – 23
disebut sistem yang bergantung waktu. Persamaan (3) dan (4) yang dilinierisasi di sekitar keadaan operasi maka bentuk persamaan keadaan dan persamaan keluaran menjadi: x& (t ) = A(t ) x(t ) + B (t )u (t ) (5) y (t ) = C (t ) x(t ) + D(t )u (t ) (6) dengan A(t) disebut matrik keadaan, B(t) matrik masukan, C(t) matrik keluaran, dan D(t) matrik transmisi langsung. Diagram kotak representasi Persamaan (5) dan (6) tampak pada Gambar 2.
D(t) u(t)
+
B(t)
x& (t )
∫ dt
+
x(t)
+
C(t)
y(t)
+
A(t)
Gambar 2. Diagram kotak sistem linier waktu kontinyu dalam bentuk ruang keadaan. Suatu sistem disebut sistem yang tidak bergantung waktu Jika fungsi vektor f dan g tidak melibatkan waktu. Dalam sistem ini, Persamaan (3) dan (4) menjadi: (7) x& (t ) = f ( x, u )
y (t ) = g ( x, u ) (8) Persamaan (7) dan (8) dapat dilinierisasi di sekitar kedaan daerah operasi sebagai Persamaan (9) dan (10): x& (t ) = A x(t ) + Bu (t ) (9) y (t ) = C x(t ) + Bu (t ) (10) Persamaan (9) adalah persamaan keadaan linier, sistem tidak bergantung waktu, dan Persamaan (10) adalah persamaan keluarannya. 3. Metodologi Penelitian 3.1. Sistem Coupled Drives Sistem baku pada Gambar 3 memiliki dua penggerak motor (motor 1 dan motor 2). Kedua motor bergerak bersama untuk mengendalikan kecepatan belt fleksibel kontinyu yang mengelilingi pulley pada shaft penggerak motor, sehingga disebut ’jockey pulley’. Jockey pulley ini dipasang pada suatu lengan ayun (swinging arm) yang dihubungkan dengan suatu pegas. Simpangan dari lengan ini merupakan suatu ukuran tension pada penggerak belt. Konfigurasi pulley dan arm mewakili suatu ’stasiun kerja (work station)’ di mana suatu materi yang terletak pada belt dapat diproses. Adalah tugas dari kedua penggerak untuk mengendalikan tension dan kecepatan dari belt pada stasiun kerja. Analogi dari stasiun kerja mewakili aplikasi materi yang diproses. Pada sistem konveyor belt, pulley dan arm akan merepresentasikan sensor kecepatan dan tension belt yang diperlukan untuk memastikan keamanan operasi dari suatu conveyor belt [7].
18
Titin Nur’ani, Pemodelan Sistem Coupled Drives Appratus …
Gambar 3. Sistem coupled drives standar. 3.2. Pemodelan Sistem Untuk memodelkan sistem coupled drives, ditunjukkan dengan komponen dinamis dari sistem, yaitu dengan mengganti komponen nyata dengan elemen dinamis yang sesuai. Bagian belt ditampilkan sebagai pegas, sistem penggerak ditunjukkan dengan momen inersia dari komponen penggerak, yaitu friksi bearing masukan torsi dari penggerak. Bagian arm ayun ditunjukkan dengan massa dari arm dan pulley, pegas ditunjukkan dengan stiffness dan friksi pada arm [2]. Persamaan dinamis dibentuk dengan teknik mekanika Langrangian [3][6], dengan memandang energi kinetik, energi potensial dan dissipasi dari sistem coupled drives. Persamaan ruang keadaan dari sistem coupled drives standar yang didapatkan berupa: 0 ⎡ ⎢ 3 kr 2 ⎡ x& 1 ⎤ ⎢ − ⎢ x& ⎥ ⎢ 2 I 1 ⎢ 2⎥ ⎢ 0 ⎢ x& 3 ⎥ ⎢ 3 kr 2 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎢ x& 4 ⎥ ⎢ 2 I 2 ⎢ x& ⎥ ⎢ 0 ⎢ 5⎥ ⎢ ⎢⎣ x& 6 ⎥⎦ ⎢ 3 kr ⎢⎣ 2 m
⎡ y1 ⎤ ⎡0 ⎢y ⎥ = ⎢ ⎣ 2 ⎦ ⎢⎣ 0
1 2 0
1 b − 1 I1 0 0 0
0 3 kr 2 2I1 0 3 kr 2 − 2I 2 0
0
1 2 0
0 1 b − 2 I2 0
3 kr 2m
0
0
0
0 1
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎤⎢x ⎥ 0⎥ 3 ⎢ ⎥ 0 ⎥⎦ ⎢ x 4 ⎥ ⎢x5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ x 6 ⎥⎦
0
0 3 kr 2I1 0 3 kr − 2I 2 0 3k k0 + 2 m
⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎡ x1 ⎥⎢x 0 ⎥⎢ 2 ⎥⎢x3 0 ⎥⎢ x ⎥⎢ 4 1 ⎥⎢x5 ⎥⎢ b m ⎥ ⎢⎣ x 6 − m ⎥⎦ 0
⎡ 1 ⎤ ⎢I ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥+⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥⎦ ⎢ ⎢⎣ 0
⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ I 2 ⎥⎡u1 ⎤ 0 ⎥ ⎢u ⎥ ⎥⎣ 2 ⎦ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥⎦
(11)
19
Media Teknika Vol. 7 No. 1, Juni 2007: 16 – 23
Pada Persamaan (11) tampak bahwa persamaan ruang keadaan sistem coupled drives apparatus memiliki enam keadaan, dua masukan dan dua keluaran. Dua masukan yang dimaksud adalah tegangan penggerak motor 1 dan 2, sementara dua keluarannya adalah kecepatan jockey pulley dan simpangan lengan ayun yang menunjukkan tension dari belt fleksibel kontinyu. Hasil pemodelan dengan persamaan ruang keadaan selanjutnya disimulasikan dengan program Matlab dan Simulink [1]. Dengan memasukkan parameter sebagaimana tampak pada Tabel 1 ke Persamaan 11, dihasilkan Persamaan 12. Parameter pada Persamaan 12 selanjutnya dimasukkan ke dalam bagian Cdplant Simulink.
Tabel 1. Notasi (satuan dan nilai nominal) coupled drive apparatus. Satuan Nilai nominal rad θ1,2 Posisi angular motor 1 dan 2 rad θ3 Posisi angular jockey pulley ω1,2 Kecepatan angular pulley motor rad/sec 1 dan 2 ω3 Kecepatan angular jockey pulley rad/sec x Posisi linier jockey pulley meter I1,2 Inersia motor 1 dan 2 8 x 10-4 kg m2 I3 Inersia jockey pulley 4 x 10-4 kg m2 m Massa jockey pulley 0.35 kg r Radius semua pulley Meter 50 Nm-1 K Stiffness belt k0 Stiffness pegas jockey 200 Nm-1 b1,2 Friksi motor 9 x 10-2 Nms-1 b3 Friksi pulley Angular 1 x 10-3 Nms-1 bm Friksi pulley Translasi 0.5 Ns-1 30 rad α Sudut 0 1 0 ⎡ ⎢− 5 ×10−5 −112,5 5,4 ×10−5 ⎢ ⎢ 0 0 0 x& = ⎢ −5 0 − 5,4 ×10−5 ⎢5,4 ×10 ⎢ 0 0 0 ⎢ 0 − 0,4547 ⎢⎣ 0,4547 ⎡0 0,5 0 0,5 0 0⎤ y=⎢ ⎥x ⎣0 0 0 0 1 0⎦
0 0 0,001039 0 0 1 −112,5 − 0,001039 0 0
0 − 785,7
⎤ ⎡1250 0 ⎤ ⎥ ⎢ 0 1250⎥ ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥u ⎥x + ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 0 ⎥ 0 ⎥ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ −1,429⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 ⎥⎦ 0 0
(12)
Proses simulasi dilakukan dengan menghubungkan bagian CDplant dengan fungsi step pada masukan-masukannya, dan scope pada keluaran-keluarannya dan keenam keadaan, x(t). Baik bagian step maupun bagian scope dihubungkan ke bagian CDplant melalui bagian mux dan demux. Setelah semua bagian terhubung, barulah simulasi dijalankan. Diagram kotak lengkap simulasi tampak pada Gambar 4.
20
Titin Nur’ani, Pemodelan Sistem Coupled Drives Appratus …
Gambar 4. Diagram kotak lengkap simulasi. 4. Hasil dan Pembahasan Pemodelan dengan persamaan ruang keadaan dapat merepresentasikan sistem coupled drives apparatus sebagai sistem multivariabel. Hasil simulasi ditunjukkan pada Gambar 5 dan 6. Gambar 5 menunjukkan sinyal masukan dan keluaran coupled drives apparatus, sedangkan Gambar 6 menunjukkan perubahan keadaan x1 sampai dengan x6. u2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
volt
volt
u1
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
2
4 6 waktu (detik)
8
0
10
0
2
Kecepatan
8
10
8
10
Tension
6
8
5
6
4 meter
radian/detik
4 6 waktu (detik)
3 2
2
1 0
4
0 0
2
4 6 waktu (detik)
8
10
0
2
4 6 waktu (detik)
Gambar 5. Masukan dan keluaran sistem coupled drives apparatus.
21
Media Teknika Vol. 7 No. 1, Juni 2007: 16 – 23
4
x1
1.14 1.12 1.1
x2
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 0
0.01 x3
Perubahan k eadaan (state) terhadap wak tu
x 10
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0.005 0
x4
4
-3
0x 10
2
x5
0 0 5 0 -5
x6
2 1 0
Gambar 6. Perubahan keadaan x1 sampai dengan x6. Dari Gambar 5 terlihat, dengan tegangan 1 volt diaplikasikan ke sistem, kecepatan jockey pulley mencapai 5,5554 radian/detik, lebih besar 5,5554 kali dibandingkan dengan masukan yang diberikan. Sementara tension berubah 6,5664 meter untuk waktu simulasi 10 detik, dan tidak mencapai keadaan tunak. Sementara Gambar 6 memperlihatkan bahwa keadaan x1, x3, x4, x5 tidak mencapai konvergen, sementara x2 mencapai nilai konvergen pada waktu 1,0780 detik. Keadaan x6 mengalami osilasi yang besar pada nilai awalnya dan mencapai konvergen yang berosilasi pada kisaran nilai 0,7 pada waktu 4,4105 detik. 5. Kesimpulan Dari hasil simulasi yang telah dilakukan dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut: 1. Pemodelan matematis sistem coupled drives apparatus dengan persamaan ruang keadaan menghasilkan enam keadaan dan sudah merepresentasikan kompleksitas suatu sistem. 2. Hasil simulasi menunjukkan, keadaan x1, x3, x4, x5 tidak mencapai nilai konvergen. Dua keadaan yang lain, x2 dan x6 mencapai nilai konvergen, meskipun untuk keadaan x6 nilai konvergen berosilasi.
Daftar Pustaka [1] Anonim, 1996, Control Tutorial for Matlab, Regents of the University of Michigan. [2] Hagadoorn, H and Mark Readman, Coupled Drives 1: Control and Analysis, http://www-control-systems-principles.co.uk., 19 Februari 2005. [3] Johansson, R., 1993, System Modeling and Identification, Prentice-Hall Inc.
22
Titin Nur’ani, Pemodelan Sistem Coupled Drives Appratus …
[4] Nelles, O, 2001, Nonlinear Systems Identification, From Classical Approaches to Neural Network and Fuzzy Models, Springer-Verlag Berlin Heidelberg. [5] Ogata, K, 1990, Modern Control Engineering, Second Edition, Prentice-Hall, Inc., A Division of Simon & Cluster Company, Englewood Cliffs, NJ 07632. [6] Readman, M., and Hagadoorn, H., Coupled Drives 2: Control and Analysis, http://www-control-systems-principles.co.uk., 19 Februari 2005. [7] Wellstead, PE., 2004, CE108 Coupled Drives Apparatus, TQ Education and Training Ltd,.
23
