BAB 6 PEMODELAN SISTEM MELALUI REPRESENTASI RUANG KEADAAN (STATE SPACE)
Bab 6 membahas tentang pendekatan ruang keadaan (state space) dalam memodelkan sistem fisis. Pendekatan ini dipandang sebagai pendekatan modern dalam analisis sinyal dan sistem. Uraiannya mencakup konsep variabel keadaan, ruang keadaan, persamaan ruang keadaan, korelasi antara fungsi transfer dan persamaan ruang keadaan. Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa memiliki kompetensi untuk : • mendefinisikan variabel keadaan, ruang keadaan, dan persamaan ruang keadaan. • menurunkan persamaan ruang keadaan dari suatu sistem. • menurunkan fungsi transfer sistem dari bentuk ruang keadaannya.
1. Pendahuluan Di bagian sebelumnya telah dibahas pemodelan sistem dengan representasi persamaan diferensial yang diturunkan melalui hukum-hukum fisika yang membangun sistem. Telah dibahas pula, hubungan input-output sistem dapat dinyatakan melalui fungsi transfer. Bentuk fungsi transfer memperlihatkan relasi ”langsung” antara input-output sistem dengan ”mengabaikan” perilaku (dinamika) sistem. Dalam beberapa hal, kita memerlukan informasi tentang variabel proses yang terlibat dalam sistem. Variabel tersebut biasa disebut dengan variabel keadaan (state variabel). Dalam beberapa literatur, keadaan (state) didefinisikan sebagai himpunan variabel terkecil dalam sistem yang bersamaan dengan inputnya menentukan perilaku sistem secara lengkap. Sementara itu, variabel keadaan adalah variabel yang membentuk keadaan sistem. Ada beberapa definisi lain yang berkaitan dengan pemodelan sistem yang melibatkan variabel keadaan ini, yaitu : • • •
vektor keadaan (state vector) : sebuah vektor yang menentukan keadaan sistem ruang keadaan (state space) : ruang berdimensi banyak dengan sumbu koordinatnya masing-masing keadaannya persamaan ruang keadaan : persamaan diferensial sistem yang melibatkan variabel keadaan dan input sistem
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
1
2. Persamaan ruang keadaan Secara umum persamaan ruang keadaan sistem dinyatakan dalam bentuk berikut : x& =
dx (t ) = f ( x , u, t ) dt
(1)
dengan x adalah variabel keadaan, u menandai input sistem, dan t menyatakan variabel waktu. Sebagai catatan, x& - dibaca x dot - adalah simbol yang lazim digunakan untuk menandai turunan pertama dari variabel keadaan. Sementara itu, apabila dilibatkan pernyataan output sistem berikut
y (t ) = g (x, u, t )
(2)
maka persamaan (1)-(2) membentuk dinamika sistem. Untuk sistem linier tak bergantung waktu (linear time invariant), persamaan (1) biasanya berbentuk
x& = Ax + Bu
(3)
dengan A dan B berbentuk matriks berdimensi sesuai dengan variabel keadaan dan inputnya, serta persamaan (2) berbentuk
y = Cx + Du
(4)
Dalam beberapa literatur, A sering disebut sebagai matriks keadaan (state matrix) atau matriks sistem, B disebut matriks input, C dinamai matriks output, D adalah matriks transmisi langsung (direct transmission matrix). Kadang-kadang sistem ruang keadaan dinyatakan dengan (A, B, C, D). Perhatikan contoh berikut :
Gambar 1. Rangkaian listrik u(t) menyatakan sumber arus, x1(t) adalah tegangan kapasitor, dan x2(t) menandai arus yang melalui inductor, dan y(t) adalah tegangan pada resistor. Dengan menggunakan hukum Kirchoff diperoleh persamaan berikut : Cx&1 = u − x 2 (5) Lx& 2 = x1 − Rx 2 Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
2
yang akan menghasilkan persamaan ruang keadaan berikut x&1 0 = x& 2 1 L
1 1 C x1 + u R C − x 2 0 L
−
(6)
Output sistemnya adalah y = Rx 2
(7)
atau dalam bentuk matriks x y = (0 R ) 1 x2
(8)
Dengan demikian, sistem ruang keadaan dari rangkaian listrik pada gambar 1 adalah (A, B, C, D) dengan masing-masing matriks berbentuk : 1 1 0 − C ; B = C ; C = (0 R ); D = 0 A= (9) 1 R 0 − L L Perhatikan contoh lain berikut :
u k
m y
b
Gambar di atas adalah model getaran dengan k adalah konstanta pegas, m adalah massa benda, dan b adalah koefisien gesekan, u menandai gaya luar yang bekerja kepada sistem, dan y adalah simpangan getaran. Model simpangan getaran dalam sistem dapat dinyatakan sebagai m&y& + by& + ky = u
(10)
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
3
Dengan mendefinisikan variabel keadaan berikut x1 = y (11) x 2 = x&1 = y& didapat x&1 = x 2 x& 2 =
(12)
1 (− ky − by& ) + 1 u = − k x1 − b x2 + 1 u m m m m m
atau dalam bentuk matriks
x&1 0 k = x& 2 − m
1 x 0 b 1 + 1 u − x2 m m
(13)
Sementara itu, persamaan keluarannya berbentuk
x y = x1 = (1 0 ) 1 x2
(14)
Dengan demikian, persamaan (13)-(14) membentuk sistem ruang keadaan model mekanis di atas.
3. Korelasi persamaan ruang keadaan dengan fungsi transfer Untuk diagram blok berikut U(s)
G(s)
Y(s)
fungsi transfer sistem dituliskan sebagai G (s ) =
Y (s ) ⇔ Y (s ) = G ( s )U (s ) . U (s )
Perhatikan sistem ruang keadaan (3) – (4) berikut x& = Ax + Bu y = Cx + Du Transformasi Laplace untuk sistem tersebut berbentuk sX (s ) − x (0 ) = AX (s ) + BU (s ) (15) Y (s ) = CX (s ) + DU (s ) Dengan definisi fungsi transfer, yaitu kondisi mula sistem dianggap nol, didapat bentuk (sI − A)X (s ) = BU (s ) ⇒ X (s ) = (sI − A)−1 BU (s ) (16) Y (s ) = CX (s ) + DU (s )
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
4
dengan I adalah matriks satuan (unit matrix) dan (sI - A)-1 menandai inversi dari (sI – A). Substitusi X(s) ke persamaan Y(s) didapat −1 (17) Y (s ) = C (sI − A) B + D U (s ) Dengan demikian, fungsi transfer sistem berbentuk −1 (18) G (s ) = C (sI − A) B + D
[
]
Perhatikan contoh berikut : Dinamika sebuah sistem didefinisikan oleh persamaan ruang keadaan berikut x&1 − 5 − 1 x1 2 = + u x& 2 3 − 1 x2 5 (19) x1 y = (1 2 ) x2 Dengan mengikuti persamaan (18), fungsi transfernya bisa dituliskan menjadi −1
1 0 − 5 − 1 2 G (s ) = (1 2 ) s − (20) 0 1 3 − 1 5 Untuk mendapatkan bentuk fungsi transfernya, kita harus menyelesaikan terlebih dahulu inversi matriks pada persamaan (20). Penyelesaian adalah sebagai berikut −1
−1
1 1 0 − 5 − 1 s + 5 s +1 −1 1 − = = s (s + 5)(s + 1) + 3 3 s + 5 − 3 s + 1 0 1 3 − 1 sehingga penyelesaian persamaan (20) berbentuk s + 1 − 1 2 12 s + 59 1 G (s ) = (1 2 ) 2 = (21) s + 1 5 s 2 + 6s + 8 s + 6s + 8 3 Soal latihan : 1. Tentukan bentuk ruang keadaan dari persamaan diferensial berikut : d 2 y (t ) dy (t ) a) +4 + y (t ) = 5u (t ) 2 dt dt d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy (t ) b) 2 + 3 +5 + 2 y (t ) = u (t ) 3 2 dt dt dt 2. Turunkan fungsi transfer sistem dengan persamaan ruang keadaan berikut : − 2 0 0 a) A = ; B = ; C = (1 0 ); D = 0 0 − 1 1 0 − 2 1 1 b) A = 0 − 2 0 ; B = 0 ; C = (1 0 0); D = 0 − 1 − 2 − 3 1 Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
5
