II. Persamaan Keadaan

II. Persamaan Keadaan Bahasan Tentang: 2.1. Persamaan keadaan gas ideal dan diagram P-v-T 2.2. Pendekatan persamaan keadaan gas real 2.3. Ekspansi dan Kompresibilitas 2.4. Konstanta kritis gas van der Waals 2.5. Hubungan derivasi parsial dan Diferensial Eksak ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

2.1. Persamaan keadaan gas ideal dan diagram P-v-T Dari hasil eksperimen, nilai besaran-besaran termodinamika bergantung satu sama lain.

Volume dikecilkan Æ tekanan naik

Suhu dinaikkan Æ panjang bertambah

Apabila volume (V), suhu (T) dan massa (m) diatur dengan nilai tertentu, maka nilai tekanan (P) tidak bisa sebarang. Ada hubungan antara besaran-besaran ini sbb: f(P, V, T, m) = 0 Hubungan ini disebut persamaan keadaan.

M. Hikam, Termodinamika: Persamaan Keadaan

11

Biasanya persamaan keadaan dituliskan berdasarkan sifat-sifat alam bukan berapa banyak material berada, sehingga besaran ekstensif diganti dengan nilai spesifiknya. Seperti V menjadi v =

f(P, v, T) = 0

V , sehingga persamaan keadaan menjadi: m

Persamaan ini bervariasi dari satu zat ke zat yang lain. Hubungan antar satu sama lain biasanya tidak sederhana. Untuk mempermudah, sering dipakai ilustrasi grafik. Contoh eksperimen untuk 1 mole gas karbon dioksida: Plot antara Pv/T vs. P untuk tiga temperatur yang berbeda.

gas ideal

Pv/T

T3 T2 T1

T3 >T2 >T1 P

Ilustrasi grafik tersebut menunjukkan: • Tampak bahwa nilai Pv/T tidak konstan • Pada tekanan rendah ketiga kurva menyatu pada nilai Pv/T = R dengan R merupakan konstanta gas universal. • Pada suhu tinggi, kurva mendekati garis lurus


12

Pada tekanan yang cukup rendah, untuk semua gas:

Pv/T = R atau Pv = RT Oleh karena itu seringkali digunakan pendekatan “gas ideal” yang mengasumsikan bahwa rasio Pv/T selalu sama dengan R untuk semua tekanan dan temperatur. Kita tahu bahwa di alam tidak ada “gas ideal” semacam itu, gas yang mendekati gas ideal terjadi pada tekanan rendah dan suhu tinggi, namun studi tentang gas ideal sangat bermanfaat sebagai salah satu pendekatan untuk mengetahui sifat-sifat gas sesungguhnya. Persamaan gas ideal:

Pv = RT karena v =

V maka persamaan gas ideal juga dapat ditulis n PV = nRT

Permukaan kurva gas ideal

Vol um e M. Hikam, Termodinamika: Persamaan Keadaan

Te

r u t a er mp 13

Pada proses isotermal:

Volume disini Pv = RT = konstan, sering disebut sebagai “Hukum Boyle”. Pada proses isokhoris:

Temperatur  nR  disini P =   T = konstan × T V 

Sebaliknya pada proses isobaris:  nR  V =   T = konstan × T  P  M. Hikam, Termodinamika: Persamaan Keadaan

14

2.2. Pendekatan Persamaan Keadaan Gas Real Cukup banyak usulan tentang hubungan P-v-T pada gas real yang lebih akurat daripada gas ideal. Beberapa didapatkan dari fakta empiris murni, lainnya berasal dari asumsi-asumsi mengenai sifatsifat molekul. Van der Waals (1873) mengusulkan persamaan: a (P + 2 ) (v – b) = RT v (Lihat kembali beberapa teks Fisika Dasar untuk justifikasi persamaan ini, misalnya: Giancoli, General Physics, hlm. 363) Disini a dan b merupakan konstanta. Dengan fitting data eksperimen, kedua konstanta ini dapat dihitung. Zat He H2 O2 CO2 H2 O Hg

a b -1 2 (J m kilomole ) (m kilomole-1) 3440 0,0234 24,8 0,0266 138 0,0318 366 0,0429 580 0,0319 292 0,0055 3

Apabila volume spesifik, v, sangat besar (secara fisis berarti total mole gas kecil sekali sehingga tidak ada interaksi antar molekul) a maka suku 2 dapat diabaikan terhadap P, dan juga suku b v diabaikan terhadap v, hal ini membuat persamaan van der Waals menjadi gas ideal.


15

Permukaan P-v-T suatu gas van der Waals

Vol um e

Te

tur a r e mp

Proses Isotermal Gas van der Waals

Titik Kritis

Volume


16

Tekanan

Permukaan P-v-T suatu zat (real) yang menyusut pada saat membeku:

Cair

s Ga

t Pada Ca Uap ir-

Pad a

Vol

t-U a

um e

p

r u t a per m Te

Tekanan

Permukaan P-v-T suatu zat (real) yang mengembang pada saat membeku:

Cair t Pada

s Ga

Ca Uap ir-

Pad a

V ol um e

t-U ap


Tem

tur a r pe

17

2.3. Ekspansi dan Kompresibilitas Sebagaimana koefisien muai linear/volume (lihat kembali bukubuku SMU), secara umum dapat didefinisikan koefisien ekspansi volume: 1  ∂V  β =   satuan (K-1) V  ∂T  P Fisis? Perubahan volume terhadap kenaikan temperatur persatuan volume pada tekanan tetap. Koefisien ekspansi volume menunjukkan seberapa jauh material berkembang terhadap agitasi termal. Untuk gas ideal:

β =

1 nR 1 (khusus gas ideal, tidak berlaku umum) = V P T

Dalam volume spesifik: β =

1  ∂v    v  ∂T  P

Kompresibilitas isotermal suatu material:

κ=−

1 V

 ∂V    P ∂ T 

P=Po

P>Po

Tanda negatif disebabkan karena volume selalu menyusut bila tekanan naik, jadi (∂V/∂P)T secara inheren bernilai negatif. Sehingga kompresibilitas merupakan besaran bernilai positif. Untuk gas ideal: 1  ∂V  1  nRT  1 κ = −   = − − 2  = V  ∂P T V P  P M. Hikam, Termodinamika: Persamaan Keadaan

18

2.4. Konstanta Kritis Gas Van der Waals Meskipun pendekatan gas van der Waals cukup sederhana, gas ini menunjukkan adanya titik kritis dan berkorespondensi dengan daerah cair-uap pada gas real. Nilai titik kritis terjadi ketika:  ∂2P   ∂P    = 0 dan  2  = 0  ∂v T  ∂v  T

Persamaan gas van der Waals dapat ditulis: RT a − P= v − b v2 sehingga RT 2a  ∂P  +   = −  ∂v T (v − b ) 2 v3  ∂2P    = 2 RT − 6a 3  ∂v 2  v4  T (v − b)  ∂2P   ∂P  Masukkan   = 0 dan  2  = 0, didapat  ∂v   ∂v T  T Tekanan kritis: a Pc = 27b 2 Volume kritis vc = 3b

Suhu kritis Tc =

8a 27 Rb


19

2.5. Hubungan Derivasi Parsial dan Diferensial Eksak Lihat kembali ke kalkulus:  ∂z  Bila z = z(x,y) maka dz =   dx +  ∂x  y

 ∂z    dy  ∂y  x

Hal serupa, pada persamaan keadaan, dapat ditulis: f(P,V,T) = 0 Æ V = V(P, T)  ∂V  Maka dV =   dT + ∂ T  P

 ∂V    dP ∂ P  T

,Kalau ada yang kesulitan dengan simbol-simbol ini, lihat kembali buku-buku teks Matematika Dasar/Kalkulus, before everything too late! Dapat juga ditulis P = P(V, T), sehingga  ∂P   ∂P  dP =   dT +   dV  ∂T V  ∂V  T Eliminasi dP dari dua persamaan tersebut, dihasilkan  ∂V   ∂P   ∂V   ∂P   ∂V  1-   dV =   dT      + ∂ ∂ ∂ V T T ∂ ∂ P P   T P T   T  V 

[

]

[

]

Pada suatu proses dengan suhu tetap (dT=0) tetapi volume berubah (dV ≠0) didapatkan:  ∂V   ∂P  1−   =0    ∂P  T  ∂V  T


20

 ∂V    = ∂ P  T

atau

1

(∂P ∂V )T

Sebaliknya pada proses dengan dV = 0 dan dT ≠0 didapatkan:  ∂V   ∂P   ∂V    =0    +  ∂P  T  ∂T V  ∂T  P Apabila digabung didapatkan bentuk simetri:  ∂V   ∂P   ∂T        = −1  ∂P  T  ∂T V  ∂V  P  ∂P  Contoh pemanfaatan: Cari    ∂T V Jawab: (∂V ∂T )P βV β  ∂P  =− =   = − ∂V ( ∂P )T − κV κ  ∂T V

(berlaku umum, tidak terbatas pada gas ideal) Latihan:

 ∂V   ∂P   ∂T  Tunjukkan kebenaran relasi       = −1 pada  ∂P  T  ∂T V  ∂V  P persamaan gas Clausius: P(v − b) = RT.  ∂V  Jawab: secara terpisah carilah   , ∂ P  T kemudian kalikan.


 ∂P   ∂T    dan    ∂T V  ∂V  P

21

Diferensial Eksak

Perhatikan gambar berikut: V

2 3

1

T

4

T2 T1

P1 P3 P

Pada proses sepanjang jejak 1-2-3:  ∂V   ∂V  dV1-2-3 =   dT +   dP  ∂P  T2  ∂T  P1 Sepanjang jejak 1-4-3:  ∂V   ∂V  dV1-4-3 =   dT  dP +  ∂ P ∂ T  T1   P3 Karena perubahan volume ini sama, maka:  ∂V   ∂V    ∂V    ∂V      −  −    P P ∂ ∂ ∂ ∂ T T  T1   T2   P3   P1    = dT dP Apabila dP dan dT mendekati nol maka terjadi turunan dua tahap: ♦Perhatikan suku sebelah kiri diturunkan ke T dahulu, lalu ke P ♦Perhatikan suku sebelah kanan diturunkan ke P dahulu, lalu ke T M. Hikam, Termodinamika: Persamaan Keadaan

22

Terlihat dengan mudah bahwa:  ∂  ∂V    ∂  ∂V   =          ∂P  ∂T  P  T  ∂T  ∂P  T  P atau ∂ 2V ∂ 2V = ∂P∂T ∂T∂P Turunan parsial campuran tidak tergantung pada urutan.

Perbedaan dV untuk semua proses adalah sama Æ disebut diferensiasi eksak. Pada kenyataannya diferensial dari semua sifat-sifat sistem (volume, tekanan, suhu, magnetisasi etc.) adalah eksak. Energi pertukaran (interchange) antara sistem dan sekelilingnya merupakan satu contoh besaran diferensial tidak eksak Sejalan dengan hal tersebut secara matematik dz = M(x,y) dx + N(x,y) dy disebut diferensial eksak apabila ∂M ∂N = ∂y ∂x Contoh Bila df = 2x2y dx + (x2 −y2) dy Maka dapat dihitung ∂M = 2x2 ∂y Jadi df bukan diferensial eksak ∂N = 2x ∂x


23

II. Persamaan Keadaan

Recommend Documents