PÉLDATÁR a Vasbetonszerkezetek I. című tantárgyhoz

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÉPÍTŐMÉRNÖKI KAR

HIDAK ÉS SZERKEZETEK TANSZÉKE

PÉLDATÁR

a Vasbetonszerkezetek I. című tantárgyhoz

Budapest, 2007

Szerzők:

Friedman Noémi Huszár Zsolt Kiss Rita Klinka Katalin Kovács Tamás Völgyi István

Kézirat lezárva:

2007. március 25.

ISBN 978-963-420-903-4 Kiadja: BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke

Tartalomjegyzék

Oldalszám Gyakorlatok anyaga 1.

Repedésmentes és berepedt vasbetontartók

1

2.

Hajlított vasbeton keresztmetszet ellenőrzése

11

3.

Hajlított vasbeton keresztmetszet tervezése

27

4.

Külpontosan nyomott vasbeton keresztmetszet

35

5.

Vasbeton gerendák nyírásvizsgálata

46

6.

Gerendák komplex vizsgálata, határnyomaték és határnyíróerő számítása Használhatósági határállapotok

60

7.

80

Felkészülést segítő példák 1.

Repedésmentes és berepedt vasbetontartók

91

2.

Hajlított vasbeton keresztmetszet ellenőrzése

108

3.

Hajlított vasbeton keresztmetszet tervezése

117

4.

Külpontosan nyomott vasbetonkeresztmetszet

121

Gerendák komplex vizsgálata, határnyomaték és határnyíróerő számítása Használhatósági határállapotok

130

5.-6. 7.

Segédlet a tervezési feladat elkészítéséhez

142 156

Vasbetonszerkezetek I.

I. gyakorlat

1 I. GYAKORLAT

Repedésmentes és berepedt vasbeton tartók

Készítették: Dr. Kiss Rita, Klinka Katalin és Völgyi István Némi elméleti összefoglaló: A számításokban feltételezzük, hogy: - a rúd tengelyére merőleges keresztmetszetek a deformációk után síkok és rúd tengelyére merőlegesek maradnak és - a beton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik Az I. feszültségi állapotot a berepedetlen vasbeton keresztmetszetre értelmezzük, a beton és a betonacél viselkedését rugalmasnak feltételezzük, az I. feszültség állapot határát a beton megrepedése jelenti. A II. feszültségi állapotot a berepedt vasbeton keresztmetszetre értelmezzük, a beton és a betonacélok viselkedését rugalmasnak feltételezzük, a II. feszültség állapot határát vagy beton képlékeny állapotba kerülése vagy akár csak egy betonacél megfolyása jelenti. A III. feszültségi állapot szerinti vizsgálat feltevése az, hogy - vagy a vasbeton keresztmetszet nyomott szélső szálában a legnagyobb keresztmetszeti összenyomódás elérte a beton törési összenyomódásának a határértékét (εcu-t) - vagy (akár csak egy) húzott acélbetét nyúlása elérte az acél szakadónyúlásának értékét (εsu-t). Megjegyzés: Mivel majdnem mindig az első szokott bekövetkezni, ezért a III. feszültségi állapot szerinti hajlítás vizsgálatot (lásd a következő gyakorlatok anyagában) azzal a feltételezéssel indítjuk, hogy a beton nyomott szélső szálában a törési összenyomódás értéke lép fel. - A feladatok megoldása során a beton esetén a következő egyszerűsített anyagmodelleket használjuk : - Az I. feszültségi állapotban lévő beton anyagmodellje: lineárisan rugalmas anyagmodell

σc

f c.c εc.t

εc[% 0]

εc.c

f c.t

- Az II. feszültségi állapotban lévő beton anyagmodellje: lineárisan rugalmas anyagmodell σc f c.c

.

Εc

εc[%0]

εc.c

- Az III. feszültségi állapotban lévő beton anyagmodellje: lineárisan rugalmas, tökéletesen képlékeny anyagmodell:

téglap alakú σ(ε)-diagram: (még tovább egyszerűsített modell)

σc

c

f c.c

f c.c

.

Εc

ε c.c

εc[% 0]

εcu

εc1=0,7

εcu=3,5

εc[%0]

- A feladat megoldások során a betonacél esetén a következő anyagmodelleket használjuk : kN - a betonacél rugalmassági modulusa: Es := 200⋅ 2 s mm

f

E

.

ε' s

Az acél σ(ε) diagramja az origóra szimmetrikus.

y

f E

ε =25 su

y

-f'

y

s

s

ε [%0] s


I. gyakorlat

2

A következő példákban a betonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált beton, illetve betonacél szilárdsági jellemzői azonosak: A

M

A-A metszet

M

450

500

z

A hajlítónyomaték alul okoz húzást

4φ20

300

A

A repedésmentes beton σ(ε) diagramja:

A berepedt beton σ(ε) diagramja:

c[MPa]

σ [MPa]

c[MPa]

10,7

s

10,7

0,585 1,9

Ec = 18.3

3,5

εc[% ]

3,5

0,585

434

εc[% ] ε' s

kN

-25

-2,17

25

2,17

ε [%0] s

2

mm

-434

Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm b := 300mm d := 450mm

n := 4

mm

2

As

db

2

φ ⋅π

φ := 20mm

As := n⋅ 4

Anyagjellemzők definiálása: A beton anyagjellemzői:

kN

s

b

- az alkalmazott húzott vasalás:

Es = 200

σ'

d

0,104

A betonacél σ(ε) diagramja:

A beton nyomószilárdsága:

fc.c := 10.7⋅

A beton húzószilárdsága:

fc.t := 1.9 ⋅

As = 1256.6 mm

N mm

mm

2

ε1 :=

fc.c

Ec εc.E := ε1

A húzott szélsőszál határnyúlása:

ε2 :=

fc.t

Ec εcu := 3.5 ⋅ ‰ fy := 434⋅

A betonacél folyási határához tartozó nyúlás: Az acél határnyúlása: A betonacél és a beton rugalmassági modulusának aránya:

2

N

A nyomott szélsőszál rugalmas határához tartozó nyúlás:

A betonacél anyagjellemzői: A betonacél folyáshatára:

α E :=

εs.E :=

fy

Ec

ε1 = 0.585 ‰ εc.E = 0.585 ‰ ε2 = 0.104 ‰

N 2

mm

εs.E = 2.17 ‰

Es εsu := 25⋅ ‰ Es

2

α E = 10.93


I. gyakorlat

3

I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ (REPEDÉSMENTES) VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.1.példa: Határozza meg az alábbi repedesmentes vasbeton keresztmetszet repesztőnyomatékát!

d

h = 500 mm

As = 1256.6 mm

b = 300 mm

As

d = 450 mm

b

A repedésmentes beton σ(ε) diagramja: c[MPa]


σ [MPa]

ε1 = 0.585 ‰

s

εc.E = 0.585 ‰

10,7 0,104

2

0,585 1,9

3,5

εc[% ]

kN

Ec = 18.3

fc.c = 10.7

2

mm

434

N 2

ε'

mm

s

-25

N

fc.t = 1.9

mm

fy = 434

N mm

εs.E = 2.17 ‰ 2,17

-2,17

2

ε [%0] Es = 200

kN

s

25

mm

-434

ε2 = 0.104 ‰

σ' s

Megjegyzés: beton és betonacél σ(ε) diagramjánál is elegendő lenne lineárisan rugalmas szakaszt megadni, hisz a betonacél a II. feszültségi állapotban nem éri el a diagram képlékeny szakaszát.

ε σ ε 1 E c ε1=κ x {

*

2(h-x) 3

b

*

s

*

c

{

εs

*

*

*

*

*

Fc.t=12 κ (h-x) Ec b (h-x)-κ (d-x) Ec As Fs=κ (d-x) Es As

σ Ε ε2=κ (h-x) ε2 Ec

As A

κ

.

y

Fc.c=21 κ x Ec b x

2x 3

{

x

x

d

z

*

.

M h

M

A-A metszet

{

A

Belső erők

*

.

A feladat megoldása:

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

A vetületi egyenletből megkapjuk a repedesmentes vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét:: N ( x , κ ) = Fc.c − Fc.t − Fs = 0 1 1 ⋅ κ ⋅ xI⋅ Ec⋅ b ⋅ xI −  ⋅ κ ⋅ h − xI ⋅ Ec⋅ h − xI ⋅ b − κ ⋅ d − xI ⋅ Ec⋅ As − κ ⋅ d − xI ⋅ Es⋅ As = 0 2 2 

(

mivel 1 2

)

(

)

(

)

(

)

κ ≠ 0 ezért végigoszthatunk vele

⋅ xI⋅ Ec⋅ b ⋅ xI −

2

1   2 ⋅ ( h − xI)⋅ Ec⋅ ( h − xI) b − ( d − xI) ⋅ Ec⋅ As − ( d − xI)Es⋅ As = 0  

xI = 265 mm

2


I. gyakorlat

4

A repesztőnyomatékhoz tartozó κ görbület számítása: A húzott beton szélsőszál határnyúlásához tartozó görbület:

κ cr :=

ε2

−7 1

κ cr = 4.425 × 10

h − xI Megjegyzés: A repedésmentes állapot végét a húzott beton szélsőszál megrepedése okozza, az ehhez tartozó görbület lesz a legkisebb, tehát a mértékadó. Elvileg az is elképzelhető lehet, az is hogy a húzott acél megfolyik mielőtt a beton megreped, ezért számoljuk ki lehetséges κ görbületeket: A nyomott szélsőszál rugalmassági határához tartozó nyúlásához a görbület:

κ 1 :=

A húzott acél rugalmassági határához tartozó nyúlásából kapott görbület:

κ s :=

 κ1    κ I := min κ cr     κs 

Az II. feszültségi állapot határát jelentő görbület értéke: (húzott szélső szál megrepedéséhez tartozó görbület)

ε1

mm

−6 1

κ 1 = 2.203 × 10

xI εs.E

mm

−5 1

κ s = 1.175 × 10

d − xI

mm

−7 1

κ I = 4.425 × 10

mm

Nyomatéki egyenlet I. feszültségi állapotban a semleges tengelyre felírva: 1 2 2 1 M = ⋅ κ ⋅ xI⋅ Ec⋅ b ⋅ xI⋅  ⋅ xI +  ⋅ κ ⋅ h − xI ⋅ Ec⋅ h − xI ⋅ b ⋅  ⋅ h − xI  − κ ⋅ d − xI ⋅ Ec⋅ As⋅ d − xI 2 3 3 2

(



)

(



(



)

)

(

)



(

)

(

)

(

+ κ ⋅ d − xI ⋅ Es⋅ As⋅ d − xI Es vezessük be a α = -t, így az egyenlet a következő alakra egyszerűsödik E Ec

) ...

A nyomatéki egyenletben a húzott beton szélsőszálnak határnyúlásához tartozó görbület van, így a repesztőnyomaték: 1 3 1 3 2 Mcr = κ I⋅ Ec⋅  xI ⋅ b ⋅ + ⋅ h − xI ⋅ b + As⋅ α E − 1 ⋅ d − xI  3 3

(



3

ahol

II :=

b ⋅ xI 3

+

(

)

)3

(

b ⋅ h − xI 3

(

)(

) ( 2

+ As⋅ d − xI ⋅ α E − 1

)

)

II = 358575.8 cm

4

Mcr = 29.04 kN⋅ m


I. gyakorlat

5

A feladat alternatív megoldása az ideális keresztmetszeti jellemzők felhasználásával: A nyomott betonzóna magasságának számítása az ideális keresztmetszeti jellemzőkkel: Az acél keresztmetszetét a beton keresztmetszetére redukáljuk: - Az ideális keresztmetszet területe: Ai := b ⋅ h + As⋅ α E − As vagyis Ai := b ⋅ h + α E − 1 ⋅ As

(

)

Ai = 1624.8 cm

- Az ideális keresztmetszet statikai nyomatéka a felső szélső szálra: h Sx := b ⋅ h⋅ + As⋅ α E − 1 ⋅ d 2

(

)

Sx = 43115 cm

- A nyomott betonzóna magassága: Sx xI := Ai

2

3

xI = 265 mm

- Ideális keresztmetszet inerciája a semleges tengelyre felírva:

 b⋅ x 3  b ⋅ ( h − x ) 3  4  ( φ) ⋅ π I I 2 II :=  + + + As⋅ (d − xI)  ⋅ ( α E − 1 )  3  3   4 

II = 358701 cm

4

- Ideális km. inerciája a semleges tengelyre felírva az acélok saját súlyponti tengelyre felírt inerciájának elhanyagolásával: 3

II :=

b ⋅ xI 3

+

)3

(

b ⋅ h − xI 3

(

)2 (

+ As⋅ d − xI ⋅ α E − 1

)

II = 358701 cm

4

Megjegyzés: mivel az acélok saját súlyponti tengelyre felírt inerciájának elhanyagolása az eredmény pontosságát nem csorbítja, ezért a következőkben ezt mindig elhanyagoljuk A beton megrepedéséhez tartozó nyomaték:

fc.t =

M cr II

(

)

⋅ h − xI

Mcr = 29.04 kN⋅ m


I. gyakorlat

6

II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.2.példa: Határozza meg az alábbi berepedt vb. km. II. feszültségi állapot végét jelentő görbületét és a hozzá tartozó nyomatékot!

d

h = 500 mm

As = 1256.6 mm

b = 300 mm

As

d = 450 mm

b



0,585

σs[MPa]

εc.E = 0.585 ‰

10,7

3,5

N

fc.c = 10.7

εc[% ]

Ec = 18.3

2

fy = 434

434

ε's

kN

-25

mm

2

εs.E = 2.17 ‰

2

mm

N

-2,17

2,17

2

ε [%0] s

25

Es = 200

-434

mm

kN mm

2

σs'

M

κ

y

εs

{

As b

A

x

2x 3

1

Fc.c=2 κ x Ec b x *

*

*

*

*

d

x

h

z

.

M

.

{

{

Megjegyzés: beton és betonacél σ(ε) diagramjánál is elegendő lenne lineárisan rugalmas szakaszt megadni, hisz a betonacél a II. feszültségi állapotban nem éri el a diagram képlékeny szakaszát. ε σ Belső erők ε 1*Ec ε 1 = κ *x A A-A metszet

σ Ε

s c

ε2=κ (h-x)

Fs=κ (d-x) Es As *

*

*

*

A feladat megoldása: A vetületi egyenletből megkapjuk a repedesmentes vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét:: N ( x , κ ) = Fc.c + Fs = 0 1 ⋅ κ ⋅ xII⋅ Ec⋅ b ⋅ xII − κ ⋅ d − xII ⋅ Es⋅ As = 0 mivel κ ≠ 0 ezért végig oszthatunk vele 2

(

1

(

)

)

⋅ x ⋅ E ⋅ b ⋅ xII − d − xII ⋅ Es⋅ As = 0 2 II c

xII = 162.3 mm

A II. feszültségi állapot határát adó κII görbület számítása: A nyomott szélsőszál rugalmassági határához tartozó nyúlásához a görbület: κ 1 := A húzott acél rugalmassági határához tartozó nyúlásából kapott görbület: A II. feszültségi állapot határát adó κII görbület: (a nyomott szélsőszál eléri a rugalmassági határát)

κ s :=

ε1

−6 1

κ 1 = 3.603 × 10

xII εs.E

mm

−6 1

κ s = 7.543 × 10

d − xII  κ1  κ II := min   κs   

mm −6 1

κ II = 3.603 × 10

mm

A húzott acélbetét megfolyását okozó nyomaték nagysága: 3 1 2 MII = κ II⋅ Ec⋅  xII ⋅ b ⋅ + As⋅ α E⋅ d − xII  3



ahol

(

)

3 1 2 III := xII ⋅ b ⋅ + As⋅ α E⋅ d − xII 3

(

)

III = 156428 cm

4

MII = 103.13 kN⋅ m


I. gyakorlat

7

1.3.példa: Határozza meg az alábbi vasbeton keresztmetszet felső-szélső szálának összenyomódását abban az esetben, ha a keresztmetszetre M=100 kNm nagyságú hajlítónyomaték hat! A betonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált beton, illetve betonacél szilárdsági jellemzői, mint az előző példákban. A feladat megoldása: Tegyük fel, hogy a beton és acél rugalmas állapotban vannak! A vetületi egyenletből megkapjuk a repedesmentes vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét::

xII = 162.3 mm

A nyomatéki egyenlet: M=

 1 ⋅κ ⋅ x ⋅ E ⋅b⋅x  ⋅ 2 ⋅x + κ ⋅ d − x ⋅ E ⋅ A ⋅ d − x  II c II 3 II  ( II) s s ( II) 2 

ebből a görbületet megkapjuk

−6 1

κ = 3.493 × 10

Feltevés ellenőzése:

(

)

εs := κ ⋅ d − xII Felső szélső szál összenyomódása: εc := κ ⋅ xII

εs = 1.005 ‰ εc = 0.567 ‰

mm

<

εs.E = 2.170 ‰ jó volt a feltevés, az acél rugalmas

<

ε1 = 0.585 ‰ jó volt a feltevés, a beton rugalmas


I. gyakorlat

8

AZ II. ÉS III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT KÖZÖTTI INTERMEDIER ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.4.példa: Határozza meg az azt a görbületet és hozzátartozó nyomatékot, amikor a betonacélok épp a rugalmas és képlékeny állapot határán van!

d

h = 500 mm b = 300 mm

As

As = 1256.6 mm

d = 450 mm

b



εc.E = 0.585 ‰

10,7

3,5

0,585

Ec = 18.3

fc.c = 10.7

εc[% ]

σs[MPa]

N

fy = 434

434

2

ε's

-25

-2,17

2

2,17 -434

mm

N mm

2

εs.E = 2.17 ‰

mm

εcu = 3.5 ‰

kN

2

25

ε [%0] s

εsu = 25 ‰ Es = 200

kN mm

2

σs' A feladat megoldása: T.f.h. a beton képlékeny állapotban van

ε A

A-A metszet

x .

εc.E a

d

h

x

κ

y

As b

A

Belső erők

Fc.c,1 Fc.c,2

.

M z

σ

{

M

fc

εs.E

σs

Fs

A semleges tengely helye a vetületi egyenletből meghatározható: 1 b ⋅ ( x − a) ⋅ fc.c + ⋅ b ⋅ a⋅ fc.c − As⋅ fy = 0 2 εc.E εs.E

 

=

b⋅ x −

a d−x εc.E εs.E

ebből

 

a=

⋅ ( d − x)  ⋅ fc.c +

1 2

εc.E εs.E

⋅ ( d − x)

 εc.E  ⋅ ( d − x) ⋅ fc.c − As⋅ fy = 0  εs.E 

⋅b⋅

Az acélbetétek megfolyásához tartozó görbület értéke: Felső szélső szál összenyomódása: a :=

εc.E εs.E

⋅ ( d − x)

εc := κ ⋅ x

x = 203.2 mm κ εs.E :=

εc = 0.71 ‰

>

εs.E d− x

−6 1

κ εs.E = 8.791 × 10

εc.E = 0.585 ‰ a beton valóban képlékeny

a = 66.5 mm

M := b ⋅ ( x − a) ⋅ fc.c⋅  d −



x − a

1 2 + ⋅ b⋅ a⋅ fc.c⋅  d − x + ⋅ a  2  2 3  

mm

M = 198.5 kN⋅ m


I. gyakorlat

9 III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA

d

1.5.példa: Határozza meg a vb. km.-nek azt a görbületét és a hozzátartozó nyomatékot, amikor a nyomott, felső szélső szálban az összenyomódás eléri a beton határösszenyomódásának értékét! h = 500 mm b = 300 mm

As

As = 1256.6 mm

d = 450 mm

b



εc.E = 0.585 ‰

10,7

Ec = 18.3

fc.c = 10.7

εc[% ]

3,5

0,585

σs[MPa]

N

fy = 434

434

2

ε's

-25

-2,17

2

2,17 -434

mm

N mm

2

εs.E = 2.17 ‰

mm

εcu = 3.5 ‰

kN

2

25

ε [%0] s

εsu = 25 ‰ Es = 200

kN mm

2

σs' Megjegyzés: A példánkban szereplő a vb. keresztmetszet úgy kerül a III. feszültség állapotba, hogy nyomott szélső szálban az összenyomódás eléri a beton határösszenyomódásának értékét (εc,felső=εc,u=3,5%o). A feladat megoldása:

{

M

εcu

A-A metszet

M

x

σ c

Belső erők

Fc.c,1 Fc.c,2

.

.

εc.E a

d

x

h

z

f

{

A

ε

κ

y

As

fy

b

A

Fs

A semleges tengely helye a vetületi egyenletből meghatározható: 1 b ⋅ xIII − a ⋅ fc.c + ⋅ b ⋅ a⋅ fc.c − As⋅ fy = 0 2

(

εc.E εcu

)

=

a

ebből

xIII

 

b ⋅  xIII −

εc.E εcu

 

⋅ xIII ⋅ fc.c +

a= 1 2

εc.E εcu

⋅ xIII

 εc.E  ⋅ x ⋅ f − As⋅ fy = 0  εcu III c.c

⋅b⋅

A görbület értéke III. feszültségi állapotban:

κ III :=

Az acélbetétek megnyúlása:

(

)

εs := κ ⋅ d − xIII a :=

εc.E εcu

εs = 0.924 ‰

⋅ xIII

(

>

εcu xIII

xIII = 185.4 mm −5 1 κ III = 1.888 × 10 mm

εc.E = 0.585 ‰ az acélbetétek valóban képlékenyek

a = 31 mm

)

 

MIII := b ⋅ xIII − a ⋅ fc.c⋅  d −

xIII − a  2

1 2  + ⋅ b⋅ a⋅ fc.c⋅  d − xIII + ⋅ a 3   2 

MIII = 199 kN⋅ m


10

I. gyakorlat

A VB. KM. NYOMATÉK-GÖRBÜLET ÖSSZEFÜGGÉSE Ábrázoljuk a példákban szereplő vb. keresztmetszet a nyomatékainak alakulását a görbületváltozásának függvényéban, ha azt monoton növekvő nyomaték terheli, (és csak az első terhelést veszük figyelembe, a visszaterheléssel, a reverzíbilitással, a maradó alakváltozásokkal és az újra terhelés esetével nem foglalkozunk)! (A vizsgálatot részletesen lásd a Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz c. részben)

M [kNm]

MIII=198,962 198,488

III. fesz. áll.

in t

e rm

ed

ie r

állapot

(első képlékeny jelenség)

II. f

e sz .

á ll .

M II=103,13

M cr=29,04

I. fesz. áll.

κ =1,888

III

0,8791

II

κ =0,3603

cr

κ =0,0423

-5 1 mm ]

κ [ 10

A vizsgált, monoton növekvő nyomatékkal terhelt vb. keresztmetszet M(κ) görbéjének I. fesz. állapothoz tartozó szakasza egy adott meredekségű egyenessel jellemzhető, amelynek a határát a repesztőnyomaték értéke adja. Ekkor a vb. M keresztmetszet bereped, így az inerciája lecsökken ( III < II ), mivel κ= , ezért nyomaték állandó nagysága mellett κ EI szükségszerűen növekedni fog. A II. feszültségi állapot is egy egyenessel jellemezhető, a meredeksége nyilvánvalóan kisebb lesz, mint az I. feszültségi állapoté, hisz a berepedt km. inerciája is kisebb. A II. fesz. állapotot egy nemlineáris intermedier állapot követ, ebben az intermedier állapotban először vagy a beton, vagy a betonacél/ok kezdenek el képlékenyen viselkedni, majd nyomaték növekedésével mind a beton és a betonacélok is képlékeny állapotba kerülnek. Az M(κ) görbének a végpontja - és valóban csak egyetlen pontja - a III. feszültségi állapot.


II. gyakorlat

11 II. GYAKORLAT

Hajlított vasbeton keresztmetszet ellenőrzése (Négyszög és T-alakú keresztmetszetek nyomatéki teherbírása III. feszültségi állapotban) Készítették: Dr. Kiss Rita, Klinka Katalin és Völgyi István

A számításokban feltételezzük, hogy: - a rúd tengelyére merőleges keresztmetszetek a deformációk után síkok és rúd tengelyére merőlegesek maradnak és - a beton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik Ezeken túl még azt is feltételezzük, hogy a beton III. feszültségi állapotban van és nyomott szélső szálában elérte a határösszenyomódását, azaz εc=εcu, - ez a feltevés biztos, hogy nem teljesül, ha a vasbeton keresztmetszet gyengén vasalt, mert az acél elszakad, mielőtt a beton szélső szálában létrejönne a határösszenyomódás - a feltevés teljesül normálisan vasalt keresztmetszet esetén, azaz az acél megfolyt és a betonban létrejön a törési összenyomódás - a feltevés teljesül túlvasalt keresztmetszet esetén is, azaz a betonban létrejön a törési összenyomódás, de az acél rugalmas állapotban van - A feladat megoldások során a beton esetén a következő anyagmodellt használjuk : - anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell σ f σ αf ασ c

ck

ck

cd

cd

ε =0,7 c1

ε [% 0] ε =3,5 c

cu

Az EC-ben javasolt beton σ(ε) diagramok közül a legegyszerűbb εcu − εc1 3.5 ⋅ ‰ − 0.7 ⋅ ‰ - az ábra kitöltöttsége: c= = = 0.8 3.5 ⋅ ‰ εcu

1. ábra:A beton σ(ε) diagramja Természetesen lehetőség van, ennél pontosabb σ(ε)-diagram használatára is, de mivel a megkívánt számítási pontosságnak ez is megfelel, és a biztonság javára tér el a többi σ(ε)-diagramtól, ezért az egyszerűség kedvéért a továbbiakban ezt használjuk. (Az EC2-ben javasolt többi diagramot lásd a Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 163 old.) - beton biztonsági tényezője:

γ c := 1.5

- működési tényező (kedvezőtlen hatásokat figyelembe vevő tényező):

α := 1

- beton határösszenyomodása:

(Magyarországon)

εcu := 3.5 ⋅ ‰

- A feladat megoldások során az acél esetén a következő anyagmodellt használjuk :

σs

-f yk -f yd

σyk σyd

ε's σ'yd σ'yk

f yd Es

εsu=-25

ε [%o] s

f yd' f yk' σs'

2. ábra:Az acél σ(ε) diagramja - acél biztonsági tényezője:

γ s := 1.15

- acél határnyúlása:

εsu := 25⋅ ‰

- acél rugalmassági modulusa:

Es := 200000⋅

(általában) N 2

mm


II. gyakorlat

12

Annak szemléltetésére, hogy a relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzetének képletének kényelmes, általunk 560 használt végleges formája, nem mértékegység konzekvens, mégis fizikai tartalommal bír, álljon itt a ξc0 = fyd + 700 képletének levezetése: αf cd .

x

xc=cx

d

.

{

cu

As b

ε

ε

σ

s

s

σ

3. ábra: A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája Az x és az xc viszonya az 1. és a 3. ábra alapján belátható (hasonló háromszögek): xc x

=

xc = 0.8x = c⋅ x xc x = 1.25xc = c

−3.5 ‰ − 0.7‰ −3.5 ‰

vagy

Az acélban keletkező nyúlás (aránypárból a 3. ábra alapján): εs = εcu⋅ Az acél folyik, ha

εs >

d

<

(

)

c⋅ −εcu ⋅ Es

(

)

fyd + −εcu ⋅ Es

behelyettesítve

d− x x

fyd Es

fyd c⋅ d εs = εcu⋅  − 1  >  xc  Es xc

c=

átrendezve

= ξ c0

ahol

ξc =

xc d

εsu := 25⋅ ‰ ; Es := 200000⋅

ξ c0 =

és

N 2

c⋅ εcu⋅ Es fyd + εcu⋅ Es

; c := 0.8

megkapjuk

mm 560 ξ c < ξ c0 = és ha ez az egyenlőtlenség teljesül, akkor a húzott acélbetétek megfolynak fyd + 700 Megjegyzés: a képletben az fyd N/mm2-ben van, de dimenzió nélkül kell beírni A teljesség kedvéért álljon itt: 560

- relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a húzott acélbetétekhez:

ξ c0 =

- relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a nyomott acélbetétekhez:

ξć0 = 700 − fyd

- a rugalmas, húzott acélbetétek esetén a redukált feszültség képlete:

σs =

fyd + 700 560

560 xc

− 700

d

- a rugalmas, nyomott acélbetétekben esetén a redukált feszültség képlete:

560 σ´s = 700 − xc d´

xc x

≠ 0.8


II. gyakorlat

13

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA NORMÁLISAN VASALT VB. KERESZTMETSZET 2.1.példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra:

500

450

MEd=190 kNm

4φ20

Anyagok : Beton: C16/20 Betonacél: S500B

300

Feladat definiálása: Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm b := 300mm - az alkalmazott húzott vasalás:

d := 450mm n := 4

darab

2

φ ⋅π

φ := 20mm

As := n⋅ 4

As = 1256.6 mm

Anyagjellemzők definiálása: beton: C16/20 - a beton nyomószilárdságának karakterisztikus értéke: - a beton nyomószilárdságának tervezési értéke:

- a beton húzószilárdságának várható értéke:

fck := 16⋅ fcd :=

fck

N 2

mm

fcd = 10.7

γc

fctm := 1.9

N mm

2

N 2

mm

acél: S500B - az acél folyási határának karakterisztikus értéke: - az acél folyási határának tervezési értéke: - relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a húzott acélbetétekhez: - relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a nyomott acélbetétekhez:

fyk := 500⋅ fyd := ξ c0 :=

fyk

N mm

2

fyd = 434.8

γs 560 fyd + 700

560 ξć0 := 700 − fyd xc0 := d⋅ ξ c0

N mm

2

ξ c0 = 0.5

ξć0 = 2.111 xc0 = 222.1 mm

2


14 c0

ε εcu

Számítás:

σ

Belső erők

.

Fc=xc*b*α*f cd

xc .

h

d

.

x

4. ábra: A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája és belső erői

zc

ε f yd

Fs=As*f yd

s

b

II. gyakorlat

c0

αf cd

{

As

c0

Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak (T.f.h a km normálisan vasalt) A vetületi egyenlet: xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd = As⋅ fyd ahol

b = 300 mm

xc = 170.7 mm α = 1.0

fcd = 10.7

N mm

2

As = 1256.6 mm

Feltevés ellenőrzése (hasonló háromszögek): σ(ε)-diagram kitöltöttsége: Az acélban keletkező nyúlás: xc xc d− d− εs c c átrendezve = εs := εcu⋅ xc xc εcu c

rugalmássági határ: εs = 3.88 ‰

εs.E := >

2

fyd = 434.8

N mm

2

c = 0.8

εs = 3.88 ‰

c

fyd

εs.E = 2.174 ‰

Es

εs.E = 2.174 ‰

ezért az acélbetétek tényleg megfolynak

A feltevés ellenőrzése (relatív nyomott betonzóna magasság határhelyzete alapján) : xc A felt. helyes volt, az acélbetétek folyási állapotban vannak ξ c := ξ c = 0.379 < ξ c0 = 0.493 d vagy xc = 170.7 mm < xc0 = 222.1 mm Továbbá az acélbetétek megnyúlása: εs = 3.88 ‰

<

acélbetétek nem szakadnak el

εsu = 25 ‰

A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: xc   MRd := b⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅  d −  2   ahol

b = 300 mm

MRd = 199.2 kN⋅ m

xc = 170.7 mm >

α = 1.0

MEd = 190 kN⋅ m

MRd = 199.2 kN⋅ m fcd = 10.7

N mm

2

d = 450 mm

a keresztmetszet hajlításra megfelel

Vasbetonszerkezetek I. Rd

II. gyakorlat

15

Ed

TÚLVASALT VB. KERESZTMETSZET 2.2. példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra:

500

450

MEd := 230⋅ kN⋅ m Anyagok : Beton: C16/20 Betonacél: S500B

6φ20

300 Feladat definiálása:

ε εcu

σ

Belső erők

αf cd .

x

Fc=xc*b*α*f cd

xc

d

.

{

.

h


As

ε σ s

b

Fs=As*σs

s

Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm b := 300mm - az alkalmazott húzott vasalás:

zc

d := 450mm n := 6

darab

φ := 20mm

2

φ ⋅π As := n⋅ 4

As = 1885 mm

2

Anyagjellemzők: lásd 2.1. példa Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak (T.f.h a km normálisan vasalt) A vetületi egyenlet: xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd = As⋅ fyd ahol

xc = 256.1 mm

b = 300 mm

α = 1.0

fcd = 10.7

N mm

2

As = 1885 mm

2

fyd = 434.8

N mm

2

A feltevés ellenőrzése : xc ξ c = 0.379 > ξ c0 = 0.493 A feltételezés nem volt helyes, az acélbetétek rugalmas állapotban vannak ξ c := ( keresztmeteszet túlvasalt) d vagy xc = 256.1 mm >

xc0 = 222.1 mm A feltételezés nem volt helyes, az acélbetétek rugalmas állapotban vannak

A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása: 560  egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből a xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd = As⋅    x  − 700 (az fizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladat  c   megoldása során)  d   N 2 ahol b = 300 mm fcd = 10.7 As = 1885 mm 2 mm

xc = 230.8 mm

Vasbetonszerkezetek I. Acél rugalmasságának ellenőrzése: xc ξ c := ξ c = 0.513 > ξ c0 = 0.493 d vagy xc = 230.8 mm >

II. gyakorlat

16

az acélbetétek rugalmas állapotban vannak

xc0 = 222.1 mm

Az acélban keletkező feszültség: σ s :=

560

− 700

 xc     d

σ s = 391.8

A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: xc   MRd := b⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅  d −  2



ahol

b = 300 mm

MRd = 247.1 kN⋅ m



xc = 230.8 mm >

fcd = 10.7

N 2

mm

<

fyd = 434.8

N mm

2

MRd = 247.1 kN⋅ m

N mm

d = 450 mm

2


MEd = 230 kN⋅ m

Megjegyzés: A 2.1. és a 2.2. példában a vasbeton keresztmetszetben beton méretei egyforma nagyságúk voltak, a 2.1 példában a húzott vasalás 4φ20 volt és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása MRd=199,2kNm a 2.2 példában a húzott vasalás 6φ20 volt és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása MRd=234,2kNm. A vasmennyiség növelesével az xc nyomott betonzóna magassága is nőtt, hiszen több beton kell bevonni a nyomott zónába ahhoz, hogy egyensúlyban legyenek a keresztmetszet belső erői (lásd 6. ábra) A gyakorlatban a túlvasalt keresztmetszetet kerülni kell!

σ [MPa] c

f cd=10,7

C16/20 ε [%0]

εcu=3,5

0,7

c

4φ20 6φ20

xc

d

500

xc0 x0 xc

As 300

ε σ'[MPa] s

S500B

f =434,8 yd

ε

s

ε =-25 su

f E

yd s

f =2,17 E yd s

6. ábra: A betonacél határhelyzetének ellenőrzése

σ

s

ε =25 su

ε'[%0] s


II. gyakorlat

17 GYENGÉN VASALT VB. KERESZTMETSZET

2.3 példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra:

450

500

2φ12


300

Megoldás:

ε εcu

σ

Belső erők

.

x

.

h

As

zc

ε f yd

Fs=As*f yd

s

b

Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm b := 300mm d := 450mm

Fc=xc*b*α*f cd

xc

d

.

{

αf cd

7. ábra: A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája és belső erői - az alkalmazott húzott vasalás:

n := 2

2

φ := 12mm

darab

Anyagjellemzők: lásd a 2.1. példában

φ ⋅π

As := n⋅ 4

2

As = 226.2 mm

Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak (T.f.h a km normálisan vasalt) A vetületi egyenlet: xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd = As⋅ fyd ahol

b = 300 mm

α = 1.0

fcd = 10.7

N mm

A feltevés ellenőrzése (aránypárral): σ(ε)-diagram kitöltöttsége: c := 0.8 Az acélban keletkező nyúlás: xc xc d− d− εs c c átrendezve = εs := εcu⋅ xc xc εcu c

As = 226.2 mm

fyd = 434.8

mm

2

εs = 37.498 ‰

c

rugalmássági határ: εs = 37.498 ‰

2

2

xc = 30.7 mm N

εE := >

fyd Es εE = 2.174 ‰

εE = 2.174 ‰ ezért az acél tényleg folyik

A feltevés ellenőrzése (relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete alapján) : xc A felt. helyes volt, az acélbetétek folyási állapotban vannak ξ c := ξ c = 0.068 < ξ c0 = 0.493 d DE!!!!! εs = 37.498 ‰

>

εsu = 25 ‰

acélbetétek elszakadnak !!!! keresztmetszet gyengén vasalt


II. gyakorlat

18

A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: A feltevés helytelen, ezért elvileg előről kell kezdeni a feladatot, xc   de könnyen belátható, hogy a vetületi és a nyomatéki MRd := b⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅  d −  MRd = 42.7 kN⋅ m egyenletben számszerűen semmi nem változik. 2



ahol



b = 300 mm

xc = 30.7 mm <

MRd = 42.7 kN⋅ m

α = 1.0

fcd = 10.7

MEd = 105 kN⋅ m

N mm

2

d = 450 mm

a keresztmetszet hajlításra nem felel meg!!!!

Megjegyzés: az acélbetétek elszakadnak mielőtt a beton szélső szálában kialakulna határösszenyomódás (εcu=3,5 ‰) c

αf

εc − 0.7 ⋅ ‰

ασ cd

cd

0,7

3,5

0.7 ⋅ ‰

ε [%0]

< 0.8

c

c

8. ábra: A beton σ(ε) diagramjának kitöltöttsége

Az ábra kitöltöttsége:

c=

xc x

≠ 0.8

A gyengén vasalt km. határnyomatéka tehát a normálisan vasalt km.-tel azonos összefüggésekkel számítható, csak a tönkremenetel jellege és xc illetve x egymáshoz viszonyított aránya változik.


II. gyakorlat

19

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HAJLíTÓNYOMATÉKKAL SZEMBENI VISELKEDÉSÉNEK ELEMZÉSE NYOMATÉK-GÖRBÜLET ÖSSZEFÜGGÉS A 2.1. példában szereplő normálisan vasalt, 2.2. példában szereplő túlvasalt és 2.3. példában szereplő gyengén vasalt vb. keresztmetszetek M(κ) görbéi a következő diagramon láthatóak: (A vizsgálatot részletesen lásd a Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz c. részben) Megjegyzés: a vizsgálat során a beton bilineáris anyagmodelljét használtuk.

M [kNm] 6φ20 túlvasalt

263,263

4φ20 normálisan vasalt

198,962

117,53 103,13 2φ20 gyengén vasalt

42,662 31,663

6,03

1,888

1,260

0,879

0,584

0,309

κ [10

-5 1 mm ]

9. ábra: A 2.1.-2.3. példák keresztmetszeteinek M(κ) görbéi A diagramon követhető, hogy a repesztőnyomaték nagysága alig függ a vasmennyiségtől. Az is megfigyelhető, hogy ha kevés a betonacél a vb. keresztmetszetben (II>>III) az I. feszültségi állapothoz tartozó egyenes meredekségéhez képest jelentősen lecsökken a II. feszültségi állapothoz tartozó egyenes meredeksége, míg sok vas esetén ez alig csökken. A gyengén vasalt keresztmetszetnél a felvehető M Rd hajlítónyomaték értéke nem sokkal nagyobb, mint a repesztőnyomaték, és már egy igen alacsony nyomatékértéknél nagy alakváltozások játszódnak le. A túlvasalt keresztmetszetnél pedig az látható, hogy a III. feszültségi állapot elérése előtt csak korlátozottan képes alakváltozásokra. A normálisan vasalt vb. keresztmetszetek viselkedése mindezekkel szemben kedvező, hisz megfelelően nagy nyomatékot képes felvenni a repesztőnyomaték felett és a keresztmetszet tönkremenetele előtt jelentősen nagy képlékeny alakváltozásokra képes. A "megfelelően" nagy nyomatéki teherbírás és a "jelentősen nagy" képlékeny alakváltozások tisztázására álljon itt egy másik vizsgálat eredménye:


II. gyakorlat

20

NYOMATÉK - VASMENNYISÉG ÉS GÖRBÜLET- VASMENNYISÉG ÖSSZEFÜGGÉSEK Az elemzés során az alábbi vasbeton keresztmetszet viselkedését - hajlítónyomatékainak és görböletváltozásának alakulását - kísérjük végig egyre növekvő húzott vasmennyiségek mellett: A vizsgálat során a vb. keresztmetszetek III. feszültségi állaptban vannak, és beton merev-képlékeny anyagmodelljét használtuk. (A vizsgálatot részletesen lásd a Kiegészítő anyag az II. gyakorlathoz c. részben)

MRd [kNm]

eli az M Rd

-t

282,628

sn az A

60,536

,8* d

yd *0

=A d

MR

öv elé

se

s* f

kb . lin

eá ris

an n

öv

240,876

li az MRd-t se alig növe az As növelé

325,39

1634,43

NORMÁLISAN VASALT

GYENGÉN VASALT

5400

As[mm2]

TÚLVASALT

10. ábra:A határnyomaték függése a vasmennyiségtől

A 10. ábrán levő MRd(As) diagramon látható, hogy amíg a keresztmetszet normálisan vasalt vasmennyiség növekedése jelentős mértékben növeli a vasbeton keresztmetszet hajlítónyomatéki ellenállását, addig a túlvasalt keresztmetszetnél a vasmennyiség növelése alig növeli meg a határnyomaték értékét. Jól látszik az is, hogy ha nem túlvasalt a km. akkor az MRd kb. lineárisan függ a As vasmennyiségtől, ezért kielégítően pontos közelítést ad (lásd a kék egyenest a 10. diagramon), ha a határnyomatékot a következő egyszerű képlettel becsüljük: --MRd = As⋅ fyd⋅ 0.8 ⋅ d Tanulságként levontató, hogy nem érdemes a vasbeton keresztmetszetben vasmennyiséget úgy növelni, hogy a túlvasalt keresztmetszetet kapjunk, mert az gazdaságtalan lenne. Rd

-5

[ 10

1 mm ]

6,333

A 11. ábrán levő κRd(As) diagramon látható, hogy a vasmennyiség növekedésével egyre kisebb alakváltozásra lesz képes a tartó. Túlvasalt esetben pedig egészen kis alakváltozásra képes, aminek az a következménye, hogy a képlékeny nyomatékátrendeződés nem tud lejátszódni.

1,261 0,9682

325,39

GYENGÉN VASALT

1634,43

NORMÁLISAN VASALT

5400 TÚLVASALT

11. ábra:A görbület függése a vasmennyiségtől

As[mm2]


II. gyakorlat

21

KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA

500

2.4. példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: MEd := 290⋅ kN⋅ m 2φ20 Anyagok :

6φ20

Beton: C16/20 Betonacél: S500B

300

Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm b := 300mm kengyel:

φk := 10mm

betonfedés: a vasak kedvezőtlen elmozdulása miatt:

bf := 20mm δ := 10mm

2

φ ⋅π 2 As := n⋅ As = 1885 mm 4 Megjegyzés: Ha a keresztmetszetben az acélbetétek két vagy több sorban helyezkednek el, akkor számításban a súlypontjukban egyetlen acélkeresztmetszettel helyettesített acélbetétek hasznos magasságát a következőképpen számítjuk: alkalmazott húzott vasalás:

n := 6

 φ    20mm 

vasak közötti minimális távolság:

ζ := max

alsó sorban levő vasak száma:

nalsó := 4 nfelsõ := 2

felső sorban levő vasak száma:

ζ = 20 mm

nfelsõ φ φ φ d := h − bf − φk − − ⋅ + ζ +  − δ 2 2 nfelsõ + nalsó  2

hasznos magasság: alkalmazott nyomott vasalás:

n´ := 2

hasznos magasság:

d´ := bf + φk +

ε ε

σ αf

cu

{

ε'

s .

σ'

s

F' =A' σ' F =x b α f s

c

A´s = 628.3 mm

2

d´ = 50 mm

Belső erők xc

2

s*

c*

13. ábra:A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája és a belső erők

s

*

*

cd

h

d

x

+δ

2

cd .

Számítás:

φ´

d = 436.7 mm

φ´ ⋅ π A´s := n´⋅ 4

φ´ := 20mm

darab

Anyagjellemzők: lásd a 2.1. példában

A's

φ := 20mm

12. ábra:Acélbetétek súlyvonala

ζ

.

darab

As b

ε

s

σ

F =A σ

s

s

s*

s

Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is folynak A vetületi egyenlet: xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd + A´s⋅ fyd − As⋅ fyd = 0 ahol b = 300 mm

α = 1.0

fcd = 10.7

N mm

2

A´s = 628.3 mm

2

xc = 170.7 mm As = 1885 mm

2

fyd = 434.8

N mm

2


II. gyakorlat

22

A feltevés ellenőrzése : xc ξ c := ξ c = 0.391 d xc ξć := ξć = 3.415 d´

< ξ c0 = 0.493

A felt. helyes volt, a húzott acélbetétek folyási állapotban vannak

> ξć0 = 2.111

A felt. helyes volt, a nyomott acélbetétek folyási állapotban vannak

A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: xc   MRd := b⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅  d −  + A´s⋅ fyd⋅ (d − d´) 2



b = 300 mm

ahol

MRd = 297.6 kN⋅ m



N

xc = 170.7 mm fcd = 10.7 >

MRd = 297.6 kN⋅ m

mm

2

A´s = 628.3 mm

2

d = 436.7 mm d´ = 50 mm

fyd = 434.8

N mm


MEd = 290 kN⋅ m

Megjegyzés: (A megelőző példákban a vasbeton keresztmetszetben beton méretei egyforma nagyságúak voltak) Az eredményeket összevetve tehát jól követhető, hogyan változik a nyomott zóna magassága és a keresztmetszet hajlítónyomatéki ellenállása a vasalás változtatásával.

σ [MPa]

C16/20

c

f 2φ20

=10,7

ε

0,7

A's

=3,5

cu

ε [%0] c

xc0 x0 xc d

500 6φ20

cd

As

ε σ'[MPa]

300

s

f

ε

s

ε

=-25

su

yd

S500B

=434,8

f E

yd s

f =2,17 E yd s

f

yd

=-434,8

s

14. ábra: A betonacél nyúlásának ellenőrzése

ε

su

=25

ε'[%0] s

2


II. gyakorlat

23

2.5. példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: 2φ20

500

MEd := 200⋅ kN⋅ m Anyagok :

4φ20


300

Geometria jellemzők definiálása: kengyel: betonfedés: φk := 10mm

bf := 20mm

a vasak kedvezőtlen elmozdulása miatt:

δ := 10mm

2

alkalmazott húzott vasalás: hasznos magasság:

n := 4

alkalmazott nyomott vasalás:

n´ := 2

φ := 20mm

darab

d := h − bf − φk −

φ 2

−δ

As := n⋅ 4

As = 1256.6 mm

2

d = 450 mm 2

φ´ ⋅ π A´s := n´⋅ 4

φ´ := 20mm

darab

φ´ d´ := bf + φk + +δ 2

hasznos magasság:

φ ⋅π

A´s = 628.3 mm

2

d´ = 50 mm

Anyagjellemzők: lásd a 2.1. példában Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is folynak A vetületi egyenlet: xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd + A´s⋅ fyd − As⋅ fyd = 0 ahol b = 300 mm α = 1.0 A feltevés ellenőrzése : xc ξ c := ξ c = 0.19 d xc ξć := ξć = 0.2 d´

fcd = 10.7

N mm

A´s = 628.3 mm

2

< ξ c0 = 0.493

xc = 85.4 mm 2

fyd = 434.8

N mm

As = 1256.6 mm 2

2


< ξć0 = 2.111 A felt.nem volt helyes, a nyomott acélbetétek rugalmas állapotúak

A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása: (húzott acélbetétek folynak, nyomottak rugalmasak) 560 xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd + A´s⋅  700 −  xc

 

d´

 − A ⋅f = 0 s yd   

(az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből a fizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladat megoldása során) xc = 92.6 mm

Megjegyzés: használatos még a redukált feszültség alábbi alakja is: Ez a forma az előbb alkalmazott képlet ellentettjét adja és egyébként 560 formailag egyezik a húzott oldali rugalmas acélbetét feszültségét számító σ´s :=  − 700  x  képlettel. Tekinthetjük ezt egy általánosan használható képletnek, ami c   mechanikai értelemben ad előjelhelyes eredményt, tehát húzott betonacél  d´  esetén pozitív, nyomott esetén pedig negatív eredményt ad. Mindkét formula használható, de a zárójel előtti előjel úgy választandó, hogy a kifejezés előjele nyomott betonacél esetén a nyomott beton által képviselt erővel azonos (általában pozitív) előjelet adjon. A nyomatéki egyenletben azonos megoldást kell választanunk. mivel ez az előbbi alakkal ellentétes előjelű, ezért a vetületi egyenlet a alakja a következő: 560  xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd + A´s⋅ −   x − 700 − As⋅ fyd = 0

 

c

d

 


II. gyakorlat

24

Feltétel ellenőrzése: xc ξ c := ξ c = 0.206 d xc ξć := ξć = 1.853 d´

< ξ c0 = 0.493

a húzott acél képlékeny

< ξć0 = 2.111

a nyomott acél rugalmas

σ´s :=

nyomott acélban keletkező feszültség:

560

− 700

xc

σ´s = −397.75

d

σ´s = 397.8 A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: xc   MRd := b⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅  d −  + A´s⋅ −σ´s ⋅ ( d − d´) 2



ahol

b = 300 mm



(

xc = 92.6 mm >

MRd = 219.6 kN⋅ m

)

fcd = 10.7

N mm

d = 450 mm

2

f cd=10,7

0,7

2

c

d

500

d´ = 50 mm A´s = 628.3 mm

xc xc0 x0

As

ε σs[MPa] S500B

f yd=434,8

ε's

N (< fyd = 434.8 ) 2 2 mm mm

C16/20 ε [%0]

εcu=3,5

A's

300

εsu=-25

N


MEd = 200 kN⋅ m

c

4φ20

2

mm

MRd = 219.6 kN⋅ m

σ [MPa]

2φ20

N

f yd Es

f yd =-2,17 Es

εsu=-25

15. ábra: A betonacél nyúlásának ellenőrzése

σs'

ε [%0] s


II. gyakorlat

25

380 500

460

120

2.6. példa: Ellenőrizze az alábbi T keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: 400 MEd := 250⋅ kN⋅ m

Anyagok :

4φ25


240 Feladat definiálása:

b

Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm b := 400mm d := 460mm (a fejlemez vastasága) t := 120mm (borda szélessége) b w := 240mm

h

t

16. ábra: A T-keresztmetszet jelölései

As bw

2


n := 4

φ ⋅π As := n⋅ 4

φ := 25mm

darab

Anyagjellemzők definiálása: beton: C16/20 fck := 16⋅

N

fck

fcd :=

2

mm

fcd = 10.7

γc

As = 1963.5 mm

2

N mm

2

acél: S400B fyk := 400⋅

N mm

2

fyd :=

ξ c0 :=

fyk

fyd = 347.8

γs 560 fyd + 700

N mm

2

ξ c0 = 0.5

x

.

Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak és Tegyük fel, hogy a nyomott zóna a fejlemezben van αf cd Fc xc 17. ábra: A T-keresztmetszet ε −, σ −ábrája és a belső erők

As ε A vetületi egyenlet:

σ

Fs belső erők

xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd = As⋅ fyd ahol

A feltevés ellenőrzése : xc < ξ c := ξ c = 0.348 d xc = 160.1 mm >

b = 400 mm α = 1.0

xc = 160.1 mm N N 2 fcd = 10.7 As = 1963.5 mm fyd = 347.8 2 2 mm mm

ξ c0 = 0.534

a feltevés helyes, az acélbetétek folyási állapotban vannak

t = 120 mm

a feltevés helytelen, a nyomott zóna a bordába nyúlik

Megjegyzés: ha xc

II. gyakorlat

26

x

xc

.

A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása αf cd

As ε

Fc

18. ábra: T-keresztmetszet ε −, σ −ábrája és a belső erők

Fs

σ

belső erők

t ⋅ ( b − bw) + xc⋅ bw ⋅ α ⋅ fcd = As⋅ fyd ahol

b = 400 mm

b w = 240 mm

xc = 186.8 mm t = 120 mm fcd = 10.7

N mm

As = 1963.5 mm

2

2

>

t = 120 mm

fyd = 347.8

N mm

2

A feltevés ellenőrzése : xc ξ c := ξ c = 0.406 < ξ c0 = 0.534 A felt. helyes volt, az acélbetétek folyási állapotban vannak d A nyomatéki egyenlet a húzott vasak súlyvonalára: xc     t MRd :=  t ⋅ b − b w ⋅  d −  + xc⋅ b w⋅  d −   ⋅ α ⋅ fcd 2 2    

(

ahol

)

b = 400 mm

MRd = 257.2 kN⋅ m

b w = 240 mm >

t = 120 mm

MEd = 250 kN⋅ m

MRd = 257.2 kN⋅ m fcd = 10.7

N mm

2

d = 460 mm

xc = 186.8 mm



III. gyakorlat

27 III. GYAKORLAT

Hajlított vasbeton keresztmetszet tervezése (Négyszög alakú keresztmetszetek kötött és szabad tervezése) Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin

A számításokban feltételezzük, hogy: - a rúd tengelyére merőleges keresztmetszetek a deformációk után síkok és rúd tengelyére merőlegesek maradnak és - a beton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik A tervezés lehet: - Kötött tervezés: amikor a keresztmetszet beton kontúrja adott (azaz van egy adott méret, amekkora helyre egy gerendát meg kell tervezni), és vasalást kell megtervezni - Szabad tervezés:amikor a keresztmetszet, szélessége vagy magassága adott és a másikat kell számolni, vagy semmilyen kötöttség sincs a beton keresztmetszettel szemben (azaz a szélesség és magasság is ismeretlen és ekkor, úgy tehető a feladat matematikailag határozottá, ha ezek arányát megadjuk) és a vasalás is megtervezendő Tervezési irányelvei: - A vasbeton keresztmetszetet úgy célszerű megtervezni, hogy az acélbetétek folyási állapotban legyenek (tehát normálisan vasalt legyen) - A vasbeton keresztetszetben csak akkor alkalmazzunk nyomott vasalást, ha másképp nem kerülhető el, hogy a húzott acélbetét rugalmas állapotban legyen.

A KÖTÖTT TERVEZÉS 3.1.példa: Tervezze meg az alábbi keresztmetszet hajlítási vasalását a megadott nyomatékra:

360

MEd := 80⋅ kN⋅ m A nyomaték alul okoz húzást.

M Ed

Anyagok : Beton: C20/25 Betonacél: S500B

250 Anyagjellemzők: beton: C20/25 -beton anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell σ N fck := 20⋅ f ck σck 2 mm αf cd ασ cd c

ε

c1

=0,7

ε

ε [%0] c

cu

=3,5

acél: S500B

σ'yd σ'yk

f yd' f yk'

γc

fcd = 13.3

N mm

2

1. ábra: A beton σ(ε) diagramja

fyk := 500⋅

σyk σyd f yd Es

fck

A beton húzószilárdságának várható értéke 28 napos korban:

σs -f yk -f yd

ε's

fcd :=

εsu=-25

ε [%o]

ξ c0 :=

s

N mm

2

560 fyd + 700

560 ξć0 := 700 − fyd

σs' 2. ábra:Az acél σ(ε) diagramja

fyd :=

fyk

fctm := 2.2 ⋅

N

fyd = 434.8

γs ξ c0 = 0.493 ξć0 = 2.111

2

mm

N 2

mm


III. gyakorlat

28

A feladat megoldása: Geometria jellemzők definiálása: h := 360mm b := 250mm kengyel: φk := 10mm betonfedés:

bf := 20mm

a vasak kedvezőtlen elmozdulása miatt:

δ := 10mm

1. lépés: az acélbetétek feltételezett átmérője :

és feltételezzük egy sorban elfér a vasalás

φ := 20mm φ d := h − bf − φk − −δ 2

feltélezett hasznos magasság:

d = 310 mm

2. lépés: az M0 meghatározása M0 az a maximális nyomaték, amit keresztmetszet nyomott vasalás nélkül el tud viselni úgy, hogy a húzott acélbetétek folynak: - ha M0>MEd , akkor nem kell nyomott vasalás (As=0) - ha M0<MEd , akkor nyomott vasalást is alkalmazunk ( As ≠ 0 , ekkor a számítás feltevése: xc=xc0) xc0 := ξ c0⋅ d

húzott acélok megfolynak

xc0 = 153 mm

xc0   M0 := b ⋅ xc0⋅ α ⋅ fcd⋅  d −  2   >

M0 = 119.1 kN⋅ m αf cd

cu

.

x

F =x b α f

xc

c

.

h

d

.

{

ε

As b

ε σ s

ε

nem kell nyomott vasalás

MEd = 80 kN⋅ m

c*

*

cd

zc

F =A f

s

s

σ

*

s*

yd

Belső erők

3. ábra: A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája és belső erői 3. lépés: a nyomatéki egyenletből meghatározzuk az xc-t xc   MEd = xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd⋅  d −  2   ahol

MEd = 80 kN⋅ m

b = 250 mm

α = 1.0

fcd = 13.3

xc = 90.7 mm

N mm

2

d = 310 mm

4. lépés: Az acélbetétek állapotának ellenőrzése (elvileg ez felesleges, mert M0>MEd -ből ez nyilvánvaló): xc < az acélok megfolytak ξ c := ξ c = 0.293 ξ c0 = 0.493 d 5. lépés: a húzott acélok szükséges keresztmetszeti területe a vetületi egyenletből: xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd − As⋅ fyd = 0 ahol

xc = 90.7 mm

As = 695.2 mm b = 250 mm

α = 1.0

fcd = 13.3

N mm

2

fyd = 434.8

N 2

mm

2


III. gyakorlat

29

6. lépés: a szerkeztési szabályok a hosszvasalás mennyiségére [Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 208 old.]: f    0.26⋅ ctm ⋅ b⋅ d  - minimális vasmennyiség: As.min := max fyk 2  As.min = 100.8 mm  1.3 ⋅ ‰⋅ b⋅ d    ahol

0.26⋅

fctm fyk

⋅ b ⋅ d = 88.7 mm

2

2

1.3 ⋅ ‰⋅ b ⋅ d = 100.8 mm - maximális vasmennyiség:

As.max := 4%⋅ b ⋅ d

2

As.min = 100.8 mm < As = 695.2 mm

2

As.max = 3100 mm

<

As.max = 3100 mm

2

2

megfelelő

7. lépés: az alkalmazott vasalás A leggyakrabban használt vasátmérőkkel a következő lehetősegeink vannak: 4 db φ16mm acélbetétek esetén As=804,2mm2 3db φ20mm acélbetétek esetén As=942,5mm2 2 db φ25mm acélbetétek esetén As=981,7mm2 2

φ ⋅π

legyen

2

As.alk = 804.2 mm >

n := 4 db φ := 16mm As.alk := n⋅ 4

As = 695.2 mm

2

8. lépés: a vasak elhelyezése: vasak közötti minimális távolság:

(

 φ    20mm 

ζ := max

)

(

ζ = 20 mm

)

b req := bf + φk + n⋅ φ + ( n − 1 ) ⋅ ζ + bf + φk elfér egy sorban b req = 184 mm < b = 250 mm 9. lépés: A vasbeton keresztmetszet ellenőrzése: a feltételezett helyett az alkalmazott méretekkel! φ a hasznos magasság: dalk := h − bf − φk − −δ dalk = 312 mm 2 Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynak A vetületi egyenlet: xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd = As.alk⋅ fyd ahol

xc = 104.9 mm

b = 250 mm α = 1.0

Feltevés ellenőrzése : xc ξ c = 0.293 ξ c := d

fcd = 13.3

N mm

< ξ c0 = 0.493

2

As.alk = 804.2 mm

2

fyd = 434.8

N 2

mm

A felt. jó volt, az acél folyási állapotban van

A nyomatéki egyenlet: xc   MRd := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅  dalk −   ahol2  b = 250 mm

MRd = 90.8 kN⋅ m

MRd = 90.8 kN⋅ m

xc = 104.9 mm >

α = 1.0

MEd = 80 kN⋅ m

fcd = 13.3

N mm

2

dalk = 312 mm



III. gyakorlat

30

3.2.példa: Tervezze meg az alábbi keresztmetszet hajlítási vasalását a megadott nyomatékra:

360


M Ed

250 A feladat megoldása: Anyagjellemzők: lásd 3.1. példa Geometria jellemzők definiálása: lásd 3.1. példa φ := 20mm és feltételezzük, hogy egy sorban elfér a φ´ := 20mm vasalás

1. lépés: az acélbetétek feltételezett átmérője:

φ d := h − bf − φk − −δ 2

hasznos magasságok:

d = 310 mm

φ´ d´ := bf + φk + +δ 2 2. lépés: az M0 meghatározása (előzővel azonos) xc0 := ξ c0⋅ d

d´ = 50 mm

xc0 = 153 mm

xc0   M0 := b ⋅ xc0⋅ α ⋅ fcd⋅  d −  2   <

M0 = 119.1 kN⋅ m

ε ε

cu

{

s

s

Belső erők xc

4. ábra: A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája és a belső erők

F's=A's*f yd Fc=xc*b*α*f cd

h

d

.

A's

σ' x

σ αf cd .

ε'

kell nyomott vasalás

MEd = 150 kN⋅ m

As

ε

b

σ

s

Fs=As*f yd

s

Ha nyomott acélbetét kell a keresztmetszetbe, akkor: xc := xc0 3. lépés: A nyomott acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc > ξć := ξć = 3.06 ξć0 = 2.111 d´

xc = 153 mm a nyomott acélok megfolynak

4. lépés: a nyomatéki egyenletből meghatározzuk az A´s-t MEd = M0 + A´s⋅ fyd⋅ ( d − d´) ahol

MEd = 150 kN⋅ m

2

A´s = 273.6 mm

M0 = 119.075 kN⋅ m

fyd = 434.8

N 2

d = 310 mm

d´ = 50 mm

mm

5. lépés: a húzott acélok szükséges keresztmetszeti területe a vetületi egyenletből: xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd + A´s⋅ fyd − As⋅ fyd = 0 ahol xc = 153 mm b = 250 mm

As = 1446.4 mm α = 1.0

fcd = 13.3

N mm

2

2

A´s = 273.6 mm fyd = 434.8

6. lépés: a szerkeztési szabályok a hosszvaslás mennyiségére (lásd 3.1. példa) 2

As.min = 100.8 mm < As + A´s = 1720 mm

2

<

As.max = 3100 mm

2

megfelelő

N 2

mm

2


III. gyakorlat

31

7. lépés: az alkalmazott vasalás A leggyakrabban használt vasátmérőkkel a következő lehetősegeink vannak: 7 db φ16mm acélbetétek esetén As= 1608.5 mm2 5 db φ20mm acélbetétek esetén As= 1570.8 mm2 3 db φ25mm acélbetétek esetén As= 1472.6 mm2 2

φ ⋅π As.alk := n⋅ 4

n := 5 darab φ := 20mm

2

As.alk = 1570.8 mm > As = 1446.4 mm

2

Megjegyzés: az alkalmazott acélbetéteknél hasonló vasalakok esetén egy átmérő maradjon ki, hogy a vasszerelésnél a kivitelezők nehogy összekeverjék őket n´ := 2

φ´ := 16mm

darab 2

φ´ ⋅ π A´s.alk := n´⋅ 4

2

8. lépés: a vasak elhelyezése: vasak közötti minimális távolság:

(

2

A´s.alk = 402.1 mm > A´s = 273.6 mm

 φ    20mm 

ζ := max

)

(

ζ = 20 mm

)

b rec := bf + φk + n⋅ φ + ( n − 1 ) ⋅ ζ + bf + φk elfér egy sorban a húzott vasalás b rec = 240 mm < b = 250 mm nyomott vasakat a keresztmetszet két sarkában helyezzük el 9. lépés: A vasbeton keresztmetszet ellenőrzés: a feltételezett helyett az alkalmazott méretekkel! φ hasznos magasság: dalk := h − bf − φk − −δ dalk = 310 mm 2 φ´ dálk := bf + φk + +δ 2

dálk = 48 mm

Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynak A vetületi egyenlet: xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd + A´s.alk⋅ fyd − As.alk⋅ fyd = 0 ahol b = 250 mm fcd = 13.3

N mm

xc = 152.4 mm 2

As.alk = 1570.8 mm 2

A feltevés ellenőrzése : xc ξ c := ξ c = 0.4917 < ξ c0 = 0.4935 dalk xc ξć := ξć = 3.176 > ξć0 = 2.111 dálk

A´s.alk = 402.1 mm

2

fyd = 434.8

N 2

mm

A felt. jó volt, a húzott acél folyási állapotban van A felt. jó volt, a nyomott acél folyási állapotban van

A nyomatéki egyenlet: xc   MRd := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅  dalk −  + A´s.alk⋅ fyd⋅ dalk − dálk 2  

(

ahol

b = 250 mm xc = 152.4 mm

MRd = 164.6 kN⋅ m

fcd = 13.3 >

N mm

)

A´s.alk = 402.1 mm 2

MEd = 150 kN⋅ m

MRd = 164.6 kN⋅ m 2

fyd = 434.8

N 2

mm

dalk = 310 mm dálk = 48 mm



III. gyakorlat

32

A SZABAD TERVEZÉS 3.3.példa: Tervezze meg a vasbeton keresztmetszetet a megadott nyomatékra:

MEd := 1000 ⋅ kN⋅ m

A nyomaték alul okoz húzást. Anyagok : Beton: C25/30 Betonacél: S500B

h

MEd As b

Anyagjellemzők: beton: C25/30 fck := 25⋅

N mm

fck

fcd :=

2

fcd = 16.7

γc

N mm

2

acél: S500B fyk := 500⋅ ξ c0 :=

N mm

fyk

fyd :=

2

560

fyd = 434.8

γs

2

mm

560 ξć0 := 700 − fyd

ξ c0 = 0.493

fyd + 700

N

ξć0 = 2.111

A feladat kitűzése: Ismeretlenek: b, d, As, ( A´s), xc Egyenletek: vetületi egyenlet és nyomatéki egyenlet Mivel négy (ill. 5) ismeretlent 2 egyenletből nem lehet meghatározni, további feltételeket kell állítanunk: 1. Nem alkalmazunk nyomott vasalást: A´s=0 2. xc-t úgy érdemes felvenni, hogy a betonacél folyási állapotban legyen például legyen a feladat megoldása során: ξ c=0.4 < ξ c0=0.493 (S500B esetén), de ne legyen ξ c< < ξ c0 3. Felvehetjük szabadon

- a keresztmetszet szélességét és számolhatjuk a magasságát vagy - a keresztmetsze magasságát (d hasznos magasságát) és számolhatjuk szélességét, vagy d - a kettő arányát, például legyen ez az arány a feladat megoldása során: η = = 1.5 b

Ezekkel a feltevéssekkel a feladat egyértelműen megoldható!

ε

αf cd

cu

.

x

F =x b α f

xc

c

.

h

d

.

{

A feladat megoldása:

As b

ε σ s

ε

s

c*

*

zc

F =A f s

σ

*

s*

yd

Belső erők


cd


1. lépés: a nyomatéki egyenlet felírása xc   MEd = xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd⋅  d −  2



3

MEd = ahol

III. gyakorlat

33

d

η



ξc 



2

⋅ α ⋅ fcd⋅ ξc⋅  1 −

η = 1.5

a feltevéseket behelyettesítve:

  

α=1

fcd = 16.7

ebből d-t kifejezve: 3

N mm

ξ c = 0.4

2

MEd = 1000 kN⋅ m

η ⋅ MEd

d :=



α ⋅ fcd⋅ ξ c⋅  1 −

ξc 





d = 655.2 mm

2  a keresztmetszet szélességének meghatározása: 2. lépés: d b := 1.5

b = 436.8 mm

3. lépés: a húzott acélok keresztmetszeti területe a vetületi egyenletbõl: xc := ξc⋅ d xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd − As⋅ fyd = 0 ahol

b = 436.79 mm

xc = 262.1 mm

α = 1.0

N

fcd = 16.7

mm

2

fyd = 434.8

N

As = 4388.1 mm

2

mm

4. lépés: a szerkeztési szabályok a vasmennyiségre [2., Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 208 old.]: f    0.26⋅ ctm ⋅ b⋅ d  - minimális vasmennyiség: As.min := max fyk   1.3 ⋅ ‰⋅ b⋅ d    ahol

0.26⋅

fctm fyk

⋅ b ⋅ d = 327.4 mm

1.3 ⋅ ‰⋅ b ⋅ d = 372 mm - maximális vasmennyiség: As.min = 372 mm

2

As.min = 372 mm

2

<

2

2

As.max := 4%⋅ b ⋅ d

< As = 4388.1 mm

2

As.max = 11447.1 mm

2

2

As.max = 11447.1 mm megfelelő

5. lépés: az alkalmazott vasalás kengyel:

φk := 12mm

betonfedés: bf := 20mm a vasak kedvezőtlen elmozdulása miatt:

δ := 10mm

A leggyakrabban használt vasátmérőkkel a következő lehetősegeink vannak: 22 db φ16mm acélbetétek esetén As= 4423.4 mm2 14 db φ20mm acélbetétek esetén As= 4398.2 mm2 9 db φ25mm acélbetétek esetén As= 4417.9 mm2 2

n := 14 darab φ := 20mm

φ ⋅π

As.alk := n⋅ 4

2

As.alk = 4398.2 mm >

As = 4388.1 mm

2

2


III. gyakorlat

34

.

6. lépés: a vasak elhelyezése: ζ

6. ábra: A vasak közötti minimális távolság

ζ .

 φ    20mm 

A vasak közötti minimális távolság:

ζ := max

felső sorban levő vasak száma:

ζ = 20 mm

nf := 5 alsó sorban levő vasak száma: na := n − nf na = 9 b req := bf + φk + na⋅ φ + na − 1 ⋅ ζ + bf + φk b req = 404 mm < b = 436.8 mm tehát így elférnek két sorban, ezért

(

)

(

)

(

)

b alk := 440mm

7. lépés: a tartó magassága nf φ φ φ hrec := bf + δ + φk + + ⋅ + ζ +  + d 2 2 nf + na  2

hrec = 721.5 mm

halk := 720mm

8. lépés: A vasbeton keresztmetszet ellenőrzés: a feltételezett helyett az alkalmazott méretekkel!

φk=12 φ12

14φ20 b=440 7. ábra: A keresztmetszet vasalása hasznos magasság:

nf φ φ φ dalk := halk − bf − δ − φk − − ⋅ + ζ +  2 nf + na  2 2

dalk = 653.7 mm

Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynak A vetületi egyenlet: xc⋅ b alk⋅ α ⋅ fcd = As.alk⋅ fyd ahol

b alk = 440 mm α = 1.0

Feltevés ellenőrzése : xc ξ c := ξ c = 0.399 dalk

( )

xc := Find xc

xc = 260.8 mm fcd = 16.7

N mm

2

As.alk = 4398.2 mm 2

< ξ c0 = 0.493

fyd = 434.8

N 2

mm

A felt. jó volt, az acél folyási állapotban van

A nyomatéki egyenlet: xc   MRd := b alk⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅  dalk −  2   ahol

b alk = 440 mm

MRd = 1000.8 kN⋅ m

xc = 260.8 mm α = 1.0 >

MEd = 1000 kN⋅ m

MRd = 1000.8 kN⋅ m fcd = 16.7

N mm

2

dalk = 653.714 mm



IV. gyakorlat

35 IV. GYAKORLAT

Külpontosan nyomott vasbeton keresztmetszet (Négyszög keresztmetszet teherbírási vonala) Készítették: Dr. Kiss Rita, Klinka Katalin és Völgyi István

NYOMOTT-HAJLÍTOTT KM. ELLENŐRZÉSE "PONTOS" MÓDSZERREL 4.1. példa: Határozza meg a keresztmetszet határkülpontosságát a geometriai középponttól, ha a normálerő tervezési értéke: N Ed=800 kN!

300


3φ16

5φ20

Anyagjellemzők: beton: C20/25 -beton anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell σ N fck := 20⋅ f ck σck 2 mm αf cd ασ cd c

ε

c1

=0,7

ε

ε [%0] c

cu

=3,5

acél: S400B

σs

σ'yd σ'yk

fyk := 400⋅

σyk σyd f yd Es

fck

fcd = 13.3

γc

N mm

fctm := 2.2 ⋅

2

N 2

mm

1. ábra:A beton σ(ε) diagramja

-f yk -f yd ε's

fcd :=

εsu=-25

ε [%o]

ξ c0 :=

s

N mm

2

fyd :=

560

fyd = 347.8

γs

N 2

mm

ξ c0 = 0.534

fyd + 700

560 ξć0 := 700 − fyd

f yd' f yk'

fyk

ξć0 = 1.59

σs' 2. ábra:Az acél σ(ε) diagramja


n := 5

darab

φ := 20mm

2

φ ⋅π As := n⋅ 4

As = 1570.8 mm

2

d := 450mm alkalmazott nyomott vasalás:

n´ := 3

2

φ´ ⋅ π A´s := n´⋅ 4 d´ := 50mm

d' NEd NEd

darab

φ´ := 16mm 2

A´s = 603.2 mm

d

A's eRd d

As

b

Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm b := 300mm A keresztmetszet úgy van külpontos nyomással igénybevéve, hogy az egyik oldali acélbetétek nyomottak,míg a másik oldalon pedig húzottak lesznek.


IV. gyakorlat

36

Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is húzásra ill. nyomásra folynak A vetületi egyenlet: xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd + A´s⋅ fyd − As⋅ fyd = N Ed xc = 234.1 mm N 2 ahol b = 300 mm α = 1.0 fcd = 13.3 A´s = 603.2 mm N 2 f = 347.8 mm 2 yd 2 As = 1570.8 mm mm A feltevés ellenőrzése : ξ c :=

xc d xc

ξć := d´

ξ c = 0.52

< ξ c0 = 0.534


ξć = 4.683

> ξć0 = 1.59

A felt. helyes volt, a nyomott acélbetétek folyási állapotban vannak

A nyomatéki egyenlet a geometriai középpontra:  h xc  h h MRd := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅  −  + A´s⋅ fyd⋅  − d´ + As⋅ fyd⋅  d −  2 2 2  2   ahol

N b = 300 mm xc = 234.1 mm fcd = 13.3 2 h = 500 mm mm

As = 1570.8 mm

2

2

A´s = 603.2 mm

MRd eRd := N Ed

A határkülpontosság:

MRd = 275.7 kN⋅ m d = 450 mm

fyd = 347.8

d´ = 50 mm

N 2

mm

eRd = 459.6 mm (az erő támadáspontja keresztmetszeten kívül esik)

4.2. példa: Határozza meg a km. határerejét, ha a mértékadó külpontosság a geomtriai középponttól mérve: eEd=700mm! (az ábra és az adatok u.a. mint 4.1.feladatnál!) Számítás: Tegyük fel, hogy a vasbeton keresztmetszet úgy megy tönkre, hogy a nyomott szélső szálában eléri törési összenyomódás értékét! Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is húzásra ill. nyomásra folynak 1. lehetőség: a nyometéki egyenletbe behelyettesítjük a vetületi egyenletből kifejezett határerőt (2 egyenlet, 2 ismeretlen) N Rd := b ⋅ α ⋅ xc⋅ fcd + A´s⋅ fyd − As⋅ fyd

 h xc  h h N Rd⋅ eEd = b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅  −  + A´s⋅ fyd⋅  − d´ + As⋅ fyd⋅  d −  2 2 2  2   (az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből a fizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladat megoldása során) xc = 179.2 mm 2. lehetőség: a nyometéki egyenletet a határerő helyére írjuk fel xc   h h h 0 = b⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅  eEd − +  + A´s⋅ fyd⋅  eEd − + d´ − As⋅ fyd⋅  eEd − + d 2 2 2 2













(az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből a fizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladat megoldása során) xc = 179.2 mm Feltevés ellenőrzése: xc a feltevés helyes, húzott acélbetétek megfolynak ξ c := ξ c = 0.398 < ξ c0 = 0.534 d xc ξć := d´

ξć = 3.584

>

a feltevés helyes,nyomott acélbetétek megfolynak

ξć0 = 1.59

Így vetületi egyenletből az eEd-hez tartozó határerő értékét megkapjuk: N Rd := b ⋅ α ⋅ xc⋅ fcd + A´s⋅ fyd − As⋅ fyd ahol

b = 300 mm

α = 1.0

N Rd = 380.3 kN fcd = 13.3

N mm

2

2

A´s = 603.2 mm

As = 1570.8 mm

2

fyd = 347.8

N 2

mm


IV. gyakorlat

37

NYOMOTT-HAJLÍTOTT KM. ELLENŐRZÉSE TEHERBÍRÁSI VONALLAL ÉS A KÖZELÍTŐ TEHERBÍRÁSI VONALLAL "KÖZELÍTŐ MÓDSZERREL"

300

4.3. Példa: Határozza meg a négyszögkeresztmetszet teherbírási vonalának a 10 jellemző pontját úgy, hogy a nyomatékokat a geometriai középpontra írja fel! 500

3φ16


5φ20

Anyagjellemzők definálása: (lásd 4.3. példa) Geometria jellemzők definiálása: (lásd 4.3. példa) - az alkalmazott húzott vasalás:

- az alkalmazott nyomott vasalás:

n1 := 5 darab

φ1 := 20mm

d1 := 450mm

a1 := 50mm

n2 := 3 darab

φ2 := 16mm

2

As1 := n1 ⋅

φ1 ⋅ π 4

As1 = 1570.8 mm

2

As2 := n2 ⋅

φ2 ⋅ π 4

As2 = 603.2 mm

2

2

d2 := 50mm a2 := 50mm Megoldás: Megjegyzés: a feladatban a nyomatéki egyenleteket a geometriai középpontra írjuk fel A teherbírási vonal és a közelítő teherbírási vonal 1. pontja: a maximális nyomóerőhöz tartozó pont (központos nyomás)

σ ε 2%0 αf cd εs2 σs2

Fs2=As2 σs2 *

.

h

d

As2

Belső erők

As1

xc

εs1 σs1

b

Központos nyomás esetén a beton

Fc=xc b α f cd összenyomódása nem lehet több 2 ‰-nél. *

*

*

Fs1=As1 σs1 *

A 2 ‰-es összenyomódáshoz tartozó acélfeszültségek: N N > fyd = 347.8 σ s := Es⋅ 2 ‰ σ s = 400 2 2 mm mm

az acélbetétek megfolynak, így σs1=σs2=fyd Megjegyzés: S500B esetén rugalmas lenne!

N Rd.1 := b ⋅ h⋅ α ⋅ fcd + As1⋅ fyd + As2⋅ fyd h h MRd.1 := As2⋅ fyd⋅  − d2  − As1 ⋅ fyd⋅  d1 −  2 2   

N Rd.1 = 2756.2 kN MRd.1 = −67.3 kN⋅ m

A teherbírási vonal 2. pontja: az As1 jelű húzott acélbetét nyúlása zérus (nyomott acélbetétek az As2 )

ε

σ

Belső erők

εsu=3.5%0 αf cd

b

.

d=x

h As1

σs2

xc=0.8x

εs2

As2

ε

s1

Fs2=As2 σs2 Fc=xc b α f cd *

*

*

x := d1 xc := 0.8 ⋅ x

*

x = 450 mm xc = 360 mm

=0

A nyomott acélbetétek állapotának ellenőrzése:ξć := N Rd.2 := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd + As2⋅ fyd

xc d2

 h xc  h MRd.2 := As2⋅ fyd⋅  − d2  + b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅  −  2  2 2 

ξć = 7.2

>

ξć0 = 1.59

megfolynak, így σs2=fyd N Rd.2 = 1649.8 kN MRd.2 = 142.8 kN⋅ m


IV. gyakorlat

38

A teherbírási vonal 3. pontja és a közelítő teherbírási vonal 2. pontja: A maximális nyomatékhoz tartozó pont (az As1 jelű húzott acélbetétek és nyomottak az As2 ) A maximális nyomaték helye közel esik, ahhoz a keresztmetszeti erőjátékhoz, ahol ξc=ξc0, (azaz a húzott acél a képlékeny és a rugalmas állapot határán van)

σ

ε

Belső erők

εsu=3.5%0 αf cd

εs2

Fs2=As2 σs2 Fc=xc b α f cd

σs2

*

.

xc=xc0

As2

ε =fEyds

As1

*

xc0 = 240.5 mm xc = 240.5 mm

*

Fs1=As1 σs1

σs1

s1

b

*

xc0 := ξ c0⋅ d1 xc := xc0

*

A nyomott acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc > ξć0 = 1.59 ξć := ξć = 4.81 d2 N Rd.3 := b ⋅ xc0⋅ α ⋅ fcd + As2 ⋅ fyd − As1 ⋅ fyd

nyomott acélbetétek megfolynak, így σs2=fyd

 h xc0  h h MRd.3 := b ⋅ xc0⋅ α ⋅ fcd⋅  −  + As2⋅ fyd⋅  − d2 + As1 ⋅ fyd⋅  d1 −  2  2 2 2  

N Rd.3 = 625.4 kN MRd.3 = 276.1 kN⋅ m

A teherbírási vonal 4.pontja és a közelítő teherbírási vonal 3. pontja:: Tiszta hajlítás (N=0) (az As1 jelű húzott acélbetétek és nyomottak az As2 )

ε

σ

Belső erők

ε su=3.5%0 αf cd

εs2

As1

σs2

εs1

b

.

xc

As2

σs1

Fs2=A s2*σs2 Fc=x c*b*α*f cd Fs1=A s1*σs1

Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is húzásra ill. nyomásra folynak A vetületi egyensúlyi egyenlet:

0 = b⋅ xc⋅ α ⋅ fcd + As2⋅ fyd − As1⋅ fyd xc = 84.1 mm Az acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc < ξ c0 = 0.534 ξ c := ξ c = 0.187 a húzott acélbetétek megfolynak, így σs1=fyd d1 xc > ξć0 = 1.59 a nyomott acélbetétek megfolynak, így σs2=fyd ξć := ξć = 1.683 d2 (ellenőrzés) N Rd.4 := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd + As2⋅ fyd − As1⋅ fyd N Rd.4 = 0 kN

 h xc  h h MRd.4 := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅  −  + As2 ⋅ fyd⋅  − d2  + As1⋅ fyd⋅  d1 −  2 2 2  2   Egyszerűsített teherbírási vonal (a keresztmetszet geometriai középpontjára): N [kN] 1

3000 2000 1000 2 100

200

3

M [kNm]

MRd.4 = 221.2 kN⋅ m


IV. gyakorlat

39

A teherbírási vonal 5. pontja: .Az húzott acélbetét eléri a határnyúlása értékét (az As1 jelű húzott acélbetétek és nyomottak az As2 )

ε

σ

Belső erők

εsu=3.5%0 αf cd

εs2

σs2

εsu=25%

A s1

F c=xc b α f cd Fs2=As2 σs2 *

.

xc

A s2

b

*

*

Fs1=As1 σs1

σs1

0

*

*

Az ε-ábrából aránypár segítségével megkapjuk: 1.25⋅ xc d1 − 1.25⋅ xc = 3.5 ⋅ ‰ 25⋅ ‰ Acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc ξ c := ξ c = 0.098 d1 xc ξć := ξć = 0.884 d2

xc = 44.2 mm

<

ξ c0 = 0.534

a húzott acélbetétek megfolynak, így σs=fyd

<

ξć0 = 1.59

a nyomott acélbetétek rugalmasak, így σs2=σ's

σ´s := 700 −

a nyomott acélban keletkező feszültség:

560 ξć

σ´s = 66.67

N mm

2

(< fyd = 347.8

N 2

mm

N Rd.5 := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd + As2⋅ σ´s − As1⋅ fyd

N Rd.5 = −329.3 kN (húzás)

 h xc  h h MRd.5 := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅  −  + As2 ⋅ σ´s ⋅  − d2 + As1 ⋅ fyd⋅  d1 −  2 2 2 2     

MRd.5 = 157.6 kN⋅ m

A teherbírási vonal 6. pontja: Mindkét oldali acélbetétek húzottak és folynak

ε

σ

25%0

εs2=εsu

As1

εsu=25%

σs2

Fs2=As2*σs2

Megjegyzés: a teljes beton km húzott, nem vesz fel erőt

h

As2

Belső erők

b

(

)

0

σs1

Fs1=A s1*σs1

N Rd.6 := As2 + As1 ⋅ −fyd h h MRd.6 := −As2⋅ fyd⋅  − d2  + As1 ⋅ fyd⋅  d1 −  2 2  

N Rd.6 = −756.2 kN MRd.6 = 67.3 kN⋅ m

)


IV. gyakorlat

40

A teherbírási vonal 7. pontja: As2 jelű acélbetétek nyúlása zérus, az alsó szélső szál összemorzsolódik (az As1 jelű nyomott acélbetétek)

ε ε

=0

s2

.

xc=0.8x

As1

Belső erők

x=h-d 2

h

As2

σ

σs1

εs1

εsu=3.5%0 αf cd

b

Fc=xc*b*α*f cd Fs1=As1*σs1

A nyomott (As1 jelű) acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc > ξć0 = 1.59 ξć := ξć = 7.2 a1

x := h − d2

xc = 44.2 mm

xc := 0.8 ⋅ x

xc = 360 mm

a húzott acélbetétek megfolynak, így σs1=fyd

N Rd.7 := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd + As1⋅ fyd

N Rd.7 = 1986.4 kN

 h xc  h MRd.7 := −As1⋅ fyd⋅  − a1  − b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅  −  2  2 2 

MRd.7 = −210.1 kN⋅ m

A teherbírási vonal 8. pontja: A maximális negatív nyomatékhoz tartozó pont (az As1 jelű nyomott acélbetétek és húzottak lesznek az As2 ) A maximális nyomaték helye közel esik, ahhoz a keresztmetszeti erőjátékhoz, ahol ξc=ξc0, azaz As2 jelű acélbetét a rugalmas és a képlékeny állapot határán van, (ugyanaz az eljárás, mint a teherbírási vonal 3. pontjánál)

σ

ε

b

Fs2=As2 σs2

σs2

s2

εs1

εsu=3.5%0 αf cd

xc := xc0

*

σs1 .

As1

ε =fEyds

xc=xc0

As2

(

xc0 := ξ c0⋅ h − d2

Belső erők

xc0 = 240.5 mm xc = 240.5 mm

Fc=xc b α f cd Fs1=As1 σs1 *

*

*

*

A nyomott (As1 jelű) acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc > ξć0 = 1.59 ξć := ξć = 4.81 a1 N Rd.8 := b ⋅ xc0⋅ α ⋅ fcd − As2 ⋅ fyd + As1 ⋅ fyd

 h xc0  −  − As2⋅ fyd⋅ ( h − d2) − 2  2 

MRd.8 := −b⋅ xc0⋅ α ⋅ fcd⋅ 

)

a nyomott acélbetétek megfolynak, így σs1=fyd N Rd.8 = 1298.6 kN

  − As1⋅ fyd⋅  d1 − 2  h

h



2

MRd.8 = −276.1 kN⋅ m


IV. gyakorlat

41

A teherbírási vonal 9.pontja: Tiszta hajlítás (N=0) (az As1 jelű nyomott acélbetétek és húzottak lesznek az As2 ) Ebben az esetben a keresztmetszet úgy megy tönkre, hogy - nyomott acélbetétek rugalmasak maradnak, - húzott acélbetétek pedig elszakadnak és - betonban nem jön létre a törési összenyomódás

ε

σ εs2

Fs2=As2 σs2

σs2

*

h

As2

Belső erők

As1

*

.

εsu=3.5%0 αf cd

b

Fc=xc b α f cd Fs1=As1 σs1

σs1

xc

εs1

*

*

*

Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek rugalasak és nyomott acélbetétek megfolynak! A vetületi egyensúlyi egyenlet: 560  (az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből a 0 = xc⋅ b⋅ α ⋅ fcd + As1⋅  700 −  − As2⋅ fyd fizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladat xc   megoldása során)

 

d2

 

xc = 41.6 mm

Az acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc < ξ c := ξ c = 0.093 h − a2 xc < ξć := ξć = 0.833 a1 nyomott acélban keletkező feszültség:

(ellenőrzés)

ξ c0 = 0.534

a húzott acélbetétek megfolynak, így σs2=fyd

ξć0 = 1.59

a nyomott acélbetétek megfolynak, így σs1=σ's

σ´s := 700 −

560 ξć

σ´s = 27.54

N Rd.9 := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd + As1⋅ σ´s − As2⋅ fyd

N mm

2

(< fyd = 347.8

 h xc  h −  − As2 ⋅ fyd⋅  − d2 − As1⋅ σ´s⋅  d1 − 2 2   2  

h



2

N [kN] 3000 2000

8

2

1000

300

200

9 100

3 100 1000 6

200 5

)

mm

MRd.9 = −88.8 kN⋅ m

Az adott keresztmetszet teherbírási vonala (a keresztmetszet geometriai középpontjára):

7

2

N Rd.9 = −0 kN

MRd.9 := −b⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅ 

1

N

4

Megjegyzés: a keresztmetszet teherbírási vonala bizonyítottan konvex, így a biztonság javára közelítünk, ha a meghatározott pontokat egyenesekkel kötjük össze, és mivel elég sok pontot határoztunk meg, így nem durva a közelítés

M [kNm]


IV. gyakorlat

42

4.4. Példa: Határozza meg a négyszögkeresztmetszet közelítő teherbírási vonalának pontjait úgy, hogy a nyomatékokat a teherbírási középpontra írja fel!

300

500


3φ16 5φ20 Anyagjellemzők definálása: (lásd 4.3. példa) Geometria jellemzők definiálása: (lásd 4.3. példa) Megoldás:

M

d=x

h

c

As2 T

M=cN N

N

As1 b

Ekkor a normálerő külpontosságát a nyomási teherbírási középpontból mérjük. Ha normálerő a teherbírási középpontban hat a keresztmetszetre, akkor a keresztmetszet minden pontjában a beton törési összenyomódásával megegyező értékű lesz a megnyúlás. [Kollár, 104. old] A teherbírási vonal 1. pontja: a maximális nyomóerőhöz tartozó pont (központos nyomás)

ε σ 2% 0 αf cd εs2 σs2

Fs2=As2*σs2 .

h

d

As2

Belső erők

As1

Fs1=A s1*σs1

σ s1

εs1

b

Fc=xc*b*α*f cd

xc

A 2 ‰-es összenyomódáshoz tartozó acélfeszültségek: N N < fyd = 347.8 σ s := Es⋅ 2 ‰ σ s = 400 2 2 mm mm

az acélbetétek megfolynak, így σs1=σs2=fyd

N Rd.1 := b ⋅ h⋅ α ⋅ fcd + As1⋅ fyd + As2⋅ fyd A nyomatéki teherbírás a geometriai középpontban: h h MRd.1 := As2⋅ fyd⋅  − d2  − As1 ⋅ fyd⋅  d1 −  2 2







N Rd.1 = 2756.2 kN MRd.1 = −67.3 kN⋅ m



Teherbírási középpontnak a geometriai középponttól mért távolsága: A nyomatéki teherbírás a teherbírási középpontban:

c :=

M Rd.1 N Rd.1

MRd.1 := MRd.1 − N Rd.1⋅ c A teherbírási vonal 2. pontja: A maximális nyomatékhoz tartozó pont (az As1 jelű húzott acélbetétek és nyomottak az As2 ) A maximális nyomaték helye közel esik, ahhoz a keresztmetszeti erőjátékhoz, ahol ξc=ξc0, (azaz a húzott acél a képlékeny és a rugalmas állapot határán van)

ε

σ

Belső erők

εsu=3.5%0 αf cd

As1 b

σs2

xc=xc0

εs2

.

As2

ε =fEyds s1

σs1

Fs2=As2 σs2 Fc=xc b α f cd *

*

*

*

Fs1=As1 σs1 *

xc0 := ξ c0⋅ d1 xc := xc0

c = −24.4 mm MRd.1 = 0 kN⋅ m

xc0 = 240.5 mm xc = 240.5 mm


IV. gyakorlat

43

A nyomott acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc > ξć0 = 1.59 ξć := ξć = 4.81 d2 N Rd.2 := b ⋅ xc0⋅ α ⋅ fcd + As2 ⋅ fyd − As1 ⋅ fyd

nyomott acélbetétek megfolynak, így σs2=fyd N Rd.2 = 625.4 kN

A nyomatéki teherbírás a geometriai középpontra:  h xc0  h h MRd.2 := b ⋅ xc0⋅ α ⋅ fcd⋅  −  + As2⋅ fyd⋅  − d2 + As1 ⋅ fyd⋅  d1 −  2 2 2 2     

MRd.2 = 276.1 kN⋅ m

A nyomatéki teherbírás a teherbírási középpontban:

MRd.2 = 291.3 kN⋅ m

MRd.2 := MRd.2 − N Rd.2⋅ c

A teherbírási vonal 3. pontja: Tiszta hajlítás (N=0) (az As1 jelű húzott acélbetétek és nyomottak az As2 )

ε

σ

Belső erők

ε su=3.5%0 αf cd

εs2

As1

σs2

εs1

b

Fs2=A s2*σs2 Fc=x c*b*α*f cd

.

xc

As2

Fs1=A s1*σs1

σs1

Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is húzásra ill. nyomásra folynak A vetületi egyensúlyi egyenlet:

0 = b⋅ xc⋅ α ⋅ fcd + As2⋅ fyd − As1⋅ fyd xc = 84.1 mm Az acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc < ξ c0 = 0.534 ξ c := ξ c = 0.187 a húzott acélbetétek megfolynak, így σs1=fyd d1 xc > ξć0 = 1.59 a nyomott acélbetétek megfolynak, így σs2=fyd ξć := ξć = 1.683 d2 ellenőrzés: N Rd.3 := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd + As2⋅ fyd − As1⋅ fyd N Rd.3 = 0 kN A nyomatéki teherbírás geometriai középpontra:  h xc  h h MRd.3 := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅  −  + As2 ⋅ fyd⋅  − d2 + As1⋅ fyd⋅  d1 −  2 2 2 2      A nyomatéki teherbírás a teherbírási középpontban:

MRd.3 := MRd.3 − N Rd.3⋅ c Egyszerűsített teherbírási vonal a keresztmetszet teherbírási középpontjára: N [kN] 1

1 3000 2000

geometriai kp.-ra teherbírási kp.-ra

1000

2 2 100

200

3

M [kNm]

MRd.3 = 221.2 kN⋅ m MRd.3 = 221.2 kN⋅ m


IV. gyakorlat

44

4.5. Példa:. Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott ferde külpontos nyomóerőre a közelítő teherbírási vonallal! N Ed := 750kN 60

x y

eEd.x := 90mm

eEd.y

eEd.y := 60mm 90

Ed.x

Ha az egyszerűsített teherbírási vonal az x-z síkban: N x [kN] 2000

1

1000 NEd

2

N Rd.x.1 := 1950kN

MRd.x.1 := 0kN⋅ m

N Rd.x.2 := 760.3kN

MRd.x.2 := 117.2kN⋅ m

N Rd.x.3 := 0kN

MRd.x.3 := 36.36kN⋅ m

Mx [kNm] 3 MR.x100

Ha az egyszerűsített teherbírási vonal az y-z síkban:

Ny [kN] 2000 1 1000 NEd

N Rd.y.1 := 1950kN

MRd.y.1 := 0kN⋅ m

N Rd.y.2 := 728.7kN

MRd.y.2 := 77.4kN⋅ m

N Rd.y.3 := 0kN

MRd.y.3 := 27.18kN⋅ m

2 MR.y100 My [kNm]

Megoldás: MEd.x := N Ed⋅ eEd.x

MEd.x = 67.5 kN⋅ m

MEd.y := N Ed⋅ eEd.y

MEd.y = 45 kN⋅ m

A határnyomaték az x-z síkban: MRd.x.2 − MR.x M Rd.x.2 − MRd.x.3 = N Rd.x.2 − N Ed N Rd.x.2 − N Rd.x.3 MR.x = 116.1 kN⋅ m

>

MEd.x = 67.5 kN⋅ m

A határnyomaték az y-z síkban: MRd.y.2 − MR.y MRd.y.2 − MRd.y.1 = N Ed − N Rd.y.2 N Rd.y.1 − N Rd.y.2 MR.y = 76.1 kN⋅ m

>

MEd.y = 45 kN⋅ m

megfelel, hiszen az igénybevételi pár a teherbírási vonalon belül esik

megfelel, hiszen az igénybevételi pár a teherbírási vonalon belül esik


IV. gyakorlat

45 N

Megjegyzés: Ha a vb. keresztmetszet ferde külpontos nyomóerővel van terhelve, akkor MEd.x. és MEd.y kétirányú hajlítónyomatékkal van igénybevéve. Azt, hogy (NEd, MEd.x). és (NEd, MEd.y) az igénybevételpárokat képes-e viselni a közelítő térbeli teherbírási felülettel dönthetjük el. Ha az igénybevételpárok a teherbírási felületen belül esnek, akkor a vb. keresztmetszet ferde hajlításra megfelel.

My

Mx

Ferde külpontos nyomásnál a két nyomatéki igénybevétel egyszerre hat, így a keresztmetszetnek ki kell elégítenie a következő feltételt is [Farkas-Huszár-Kovács-Szalai, 161. oldal]: Tehát a teherbírási felület az N Ed=750kN síkkal való metszeténél kell vizsgálni, hogy a nyomaték pár a teherbírási vonalon belül esik-e: a

a

ahol

 Mx.Ed( N)   My.Ed( N)    +  ≤ 1.0 Mx.Rd( N ) My.Rd( N )    

Mx.Ed( N ) = MEd..x Mx.Rd( N ) = MR.x My.Ed( N ) = MEd.y My.Rd( N ) = MR.y

négyszög keresztmetszet esetén: - a teljes betonkeresztmetszet:

2

Ac := b ⋅ h

Ac = 150000 mm

- a hosszvasalás mennyisége:

As := As1 + As2 -az elméletileg központos normálerő-teherbírás tervezési értéke: N Rd := Ac⋅ fcd + As⋅ fyd

As = 2174 mm

N Rd = 2756.2 kN

N Ed = 750 kN N Ed N Rd

= 0.272

- az a meghatározásához a táblázat szerint interpolálni kell:

Mx

a=1,0 a=1,5 a=2,0

My NEd/NRd 0,1 0,7 1,0 a 1,0 1,5 2,0

így:

0.7 − 0.1 1.5 − 1.0

0.7 − =

N Ed N Rd

1.5 − a

a = 1.143 a

a

 MEd.x   M Ed.y    +  = 1.087  M R.x   M R.y  67,5 116,1 45 76,1 Mx [kNm]

M y [kNm]

>1

2

tehát a keresztmetszet a ferde hajlításra nem felel meg!

46


V. gyakorlat anyaga

V. GYAKORLAT

Vasbeton gerendák nyírásvizsgálata

Készítették: Friedman Noémi és Dr. Huszár Zsolt A nyírási teherbírás megfelelő, ha a következő követelmények mindegyike egyidejűleg teljesül: • a keresztmeszet nyírási teherbírására vonatkozóan: min(VEd, VEd,red) ≤ VRd,s •

a beton (nyírásból származó) ferde nyomási teherbírására vonatkozóan:

VEd ≤ VRd,max A fenti összefüggésekben: a külső terhekből és terhelő hatásokból a statikai vázon meghatározott nyíróerő VEd tervezési értéke a külső terhekből és terhelő hatásokból meghatározott nyíróerő tervezési értéke, VEd,red mely tartalmazza: az axiális igénybevételek tangenciális összetevőinek nyíróerőt módosító hatását, a tartószerkezet ellentétes oldalán működő terhelés és megtámasztás közötti „ívhatást”. a méretezett nyírási vasalással ellátott keresztmetszet nyírási teherbírása VRd,s a beton ferde nyomási teherbírása alapján számított nyírási teherbírás. VRd,max A keresztmetszetben csak minimális (nem méretezett) nyírási vasalást kell elhelyezni ha: min(VEd, VEd,red) ≤ VRd,c

ahol: VRd,c

-

a méretezett nyírási vasalás nélküli keresztmetszet nyírási teherbírása.

A megtámasztás környezetében kialakuló közvetlen teherátadás (redukció)

p

F

d 0,5d d 2d

F

VEd,max VEd,red VEd

1. ábra: Az av < 2d szakaszon belül csak megoszló teher működik

46

47


V. gyakorlat anyaga

Amennyiben a teher a szerkezetnek az alátámasztással ellentétes oldalán működik, továbbá a támasz szélétől av ≤ 2d távolságon belül csak megoszló teher hat, akkor megengedett, hogy a támasz tengelyétől d távolságon belül a VEd,red redukált nyíróerő diagrammját az 1. ábra szerint vegyük fel. Ez az eljárás csak akkor alkalmazható, ha a vizsgált keresztmetszetben lévő hosszvasalás a támasz mögött megfelelően le van horgonyozva. Ha a támasz közelében koncentrált erők is hatnak, akkor a redukció részleteit az MSZ EN 1992-1-1 taglalja. Méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírása A méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírását (VRd.c) a nyomott zóna nyírási teherbírása biztosítja. A keresztmeszet nyírási teherbírása – ha hajlítási repedések lépnek fel – a következőképpen számítható: ⎡ 0 ,18 ⎤ VRd,c = ⎢ k (100 ρ l f ck )1 / 3 + 0 ,15 σ cp ⎥bw d ≥ v min + 0,15 σ cp bw d ⎣ γc ⎦

(

ahol:

)

fck [N/mm2]-ben értendő k=1+ ρ? = Asl bw σcp NEd Ac vmin

200 ≤ 2,0 d

melyben d mm-ben értendő

Asl ≤ 0,02 bw d - a vizsgált keresztmetszetben megfelelően lehorgonyzott hosszvasalás keresztmetszeti területe, melybe a tapadásos feszítőbetét is beszámítható, - a keresztmetszet legkisebb szélessége a húzott zónában, - σcp = NEd/Ac ≤ 0,2fcd , σcp értékét [N/mm2]-ben kell számítani, - a vizsgált keresztmetszetben a külső terhekből és a feszítésből származó normálerő tervezési értéke (nyomás esetén pozitív). A terhelő mozgásokból származó normálerő figyelmen kívül hagyható, - a betonkeresztmetszet területe, értéke a következő: vmin = 0,035 k3/2fck1/2

Méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírása A méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírásának számítását a rácsostartó modellen alapuló, változó dőlésű rácsrúd módszere alapján kell végezni az alábbi ábrán látható modell alapján.

a d

b

α

θ V

d

a – nyomott öv

s

V(cotθ−cotα)

F cd ½

z

½

z

z = 0,9d

F td

c

c – húzott öv

b – ferde nyomott betonrúd

N

M

V

d – nyírási vasalás

2. ábra: A változó dőlésű rácsrúd-módszer modellje A ferde nyomott betonrudaknak a tartó hossztengelyével bezárt θ szögét a következő korlátok betartásával úgy célszerű felvenni, hogy a vasalás kialakítása optimális legyen. 1,0 ≤ cotθ ≤ 2,5

47

48


V. gyakorlat anyaga

A beton ferde nyomási teherbírása a következő összefüggéssel számítható: VRd,max = αcw bw z ν fcd

cot θ + cot α 1 + cot 2 θ

ahol: 1,0 1+

αcw értéke:

σ cp

feszítés nélküli szerkezetek esetén ha 0 < σcp ≤ 0,25fcd

f cd

1,25 ha 0,25fcd < σcp ≤ 0,5fcd ⎛ σ cp ⎞ ⎟ 2,5⎜1 − ha 0,5fcd < σcp < fcd ⎜ f cd ⎟⎠ ⎝ - átlagos nyomófeszültség az ideális keresztmetszeten meghatározva. σcp A támasz szélétől 0,5dcotθ távolságon belül értékét zérusnak lehet tekinteni. bw - a húzott és nyomott öv közötti legkisebb keresztmetszeti szélesség, z - a belső kar, normálerő (feszítés) nélküli elemek esetén általános esetben z = 0,9d érték alkalmazható. f ⎞ ⎛ ν - hatékonysági tényező, általában: ν = 0,6 ⎜1 − ck ⎟ ⎝ 250 ⎠ α - a nyírási vasalás síkjának a tartó hossztengelyével bezárt szöge (kengyel esetén α = 90°, felhajlítás esetén α = 45°. )*. A méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírása általános esetben a következő összefüggéssel határozható meg: VRd = VRd,s =

Asw z fywd (cotθ + cotα) sinα s

ahol: Asw fywd s

- a nyírási vasalás keresztmetszeti területe - a nyírási vasalás szilárdságának tervezési értéke. - kengyeltávolság a tartó hossztengelye mentén mérve.

Feszítés illetve normálerő nélküli esetekben a θ = 45° felvétele javasolt. Ha a keresztmetszetben normálerő is működik akkor a tapasztalatok szerint a nyírási repedések (nyomott rácsrudak) hajlása kisebb. Ilyen esetekben a cotθ felvételéről az az MSZ EN 1992-1-1 nem intézkedik. Ha a keresztmetszetben egy N normálerő is működik, akkor javasolható például az alábbi megoldás: − − −

ha N = 0, akkor cotθ = 1 N 1 ha N > R1 = Ac f cd + ΣAs f yd , akkor cotθ = 2.5 2 2 1 Ac f cd + ΣAs f yd , akkor a két szélső érték között a cotθ értékét az N ha 0 < N < 2 függvényében lineáris interpolációval határozhatjuk meg.

(

)

(

)

*Amennyiben függőleges kengyelek és felhajlított acélbetétek is részt vesznek a nyírási teherbírásban javasolt a biztonság javára történő közelítésként VRd,max fenti képletében α= 90 fokkal számolni. Ha ezzel a számítással a beton keresztmetszeti méretei nem felelnek meg, megengedett a Dulácska Endre és Kollár László (Deák György – Draskóczy András – Dulácska Endre – Koollár László – Visnovitz György: Vasbeton-szerkezetek című könyve) által ajánlott cot θ + cot α = 0.75 (θ=45 fok esetén) pontosabb értékkel számolni. 1 + cot 2 θ

48

49


V. gyakorlat anyaga

5.1. Koncentrált erõvel tehelt konzol ellenõrzése nyírásra Q=120 kN

φ10/120

φ10/200

4φ20

φ10

Anyagok : Beton: C25/30 Betonacél: S400B Betonfedés:20 mm Kedv.elm.: 10 mm Kengy.táv: s = 120mm

V [kN]

120

5.1.1. Kiindulási adatok a.) Geometriai jellemzõk: 2

2

A sl :=

4⋅φ ⋅π

A sl = 1257 mm

4

⎛ ⎝

d := h − ⎜20 + 10 +

20 2

2

⎞ ⎠

+ 10 mm

2 ⋅ φk ⋅ π

A sw :=

4

γ c := 1.5

N

fck := 25

mm

γ s := 1.15

Betonacél: S400B

2

d = 300 mm

b.) Anyagjellemzõk: Beton: C25/30

A sw = 157 mm

fyk := 400

fcd :=

2

N mm

2

fyd :=

fck

1.5

fyk

1.15

N

fcd = 16.67

mm

fyd = 347.83

2

N mm

2

5.1.2. Ellenõrzés nyírásra a.) Mértékadó nyíróerõ meghatározása -A nyíróerõ tervezési értéke: VEd := 120 kN

( VEd = V)

-A redukált nyíróerõ: Mivel a befogás 2d = 600 mm hosszú környezetében nem hat a gerendára teher, így a nyíróerõ redukciója nem okoz változást. V Ed.red := V Ed

V Ed.red = 120 kN

49

50


V. gyakorlat anyaga

b.) A beton által felvehetõ nyíróerõ ( VRd.c ) meghatározása A (normálerõvel nem terhelt) méretezett nyírási vasalás nélküli kersztmetszet nyírási teherbírása ( VRd.c ): 1⎤ ⎡ ⎢ 0.18 3⎥ ⋅ k ⋅ ( 100 ⋅ ρ l ⋅ fck) ⎥ ⎢ V Rd.c := max γ ⋅b ⋅d ⎢ c ⎥ w ⎢ ⎥ ν min ⎣ ⎦

⎛

200

⎝

d

ahol k: k := min⎜1 +

⎞

, 2.0

⎠

⎞ ⎛ Asl , 0.02 ⎜ bw ⋅ d ⎝ ⎠

ρ l := min ⎜

ρl : ν min :

ν min := 0.035 ⋅ k

3 2

⋅ fck

200

k := 1 +

A sl

ahol:

1 2

k = 1.816

300

=

bw ⋅ d 3 2

0.035 ⋅ 1.816 ⋅ 25

1 2

1257 250 ⋅ 300

= 0.017

ρ l = 0.017

= 0.428

1 ⎤⎤ ⎢⎡ ⎡⎢ ⎥⎥ 0.18 3 ⎥⎥ ⎢ ⎢ ⋅ 1.816 ⋅ ( 100 ⋅ 0.017 ⋅ 25) V Rd.c := max ⋅ 250 ⋅ 300 ⋅ N ⎢ ⎢ 1.5 ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ 0.428 ⎣⎣ ⎦⎦

0.18

ahol

1.5

⋅ 1.816 ⋅ ( 100 ⋅ 0.017 ⋅ 25)

V Rd.c = 57.0 kN <

1 3

= 0.760

V Ed.red = 120 kN

szükség van nyírási vasalásra

c.) A nyomott beton tönkremenetele nélkül felvehetõ legnagyobb nyíróerõ ( VRd.max ) meghatározása V Rd.max := α cw ⋅ bw ⋅ z ⋅ ν ⋅ fcd ⋅

cot( θ ) + cot ( α )

1 + ( cot( θ ) )

2

ahol: α cw := 1

feszítés illetve nyomóerõ nélküli keresztmetszet esetén;

z := 0.9 ⋅ d

⎛

fck

⎝

250 ⎠

ν := 0.6 ⋅ ⎜1 −

⎞

fck := 25

ahol

mm

ν = 0.540 α := 90 ⋅ fok θ

N 2

a nyírási vasalásnak (a kengyelnek) a tartó tengelyével bezárt szöge

a ferde nyomott beton rácsrúdnak a tartó hossztengelyével bezárt szöge 1.0 ≤ cot( θ ) ≤ 2.5 Mivel a tartót nem terheli normálerõ, így θ = 45 fok

cot ( θ ) = 1

V Rd.max := 1 ⋅ 250 ⋅ 0.9 ⋅ 300 ⋅ 0.54 ⋅ 16.67 ⋅ V Rd.max = 303.8 kN

>

V Ed = 120 kN

1 2

⋅N

a beton keresztmetszet geometriai méretei megfelelõk, így a gerenda nyírásra vasalható.

50

51


V. gyakorlat anyaga

d) A méretezett nyírási vasalással ellátott vb keresztmetszet nyírási teherbírásának( VRd ) meghatározása (A VRd.c értékét, azaz a beton által felvehetõ nyíróerõt, az MSZ EN 1992-1-2 nem veszi figyelembe a V Rd számításánál.)

A kengyelek által felvehetõ nyíróerõ ( VRd.s) meghatározása: 2

V Rd.s :=

A sw ⋅ fyd s

157 ⋅ mm ⋅ 348 ⋅ ⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cot ( θ )

V Rd := V Rd.s

N mm

=

2

120 ⋅ mm

⋅ 0.9 ⋅ 300 ⋅ mm ⋅ 1 = 122.9 kN

V Rd = 122.9 kN

e.) Teherbírás ellenõrzése V Ed.red = 120 kN < V Rd = 122.9 kN

A gerenda nyírási teherbírása megfelel.

f.) Szerkesztési szabályok ellenõrzése Asw

A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:

ρ w :=

[1] A fajlagos mennyiség minimális értéke:

ρ w.min :=

ρ w.min = 0.100 % <

ρ w = 0.524 %

ρ w = 0.524 %

s ⋅ bw ⋅ sin( α )

0.08 ⋅

fck

fyk

0.08 ⋅

=

25

400

= 0.100 %

Megfelel

[2] A fajlagos mennyiség maximális értéke:

ρ w.max :=

1

⋅

α c ⋅ ν ⋅ fcd

2 1 − cos( α )

1 ⋅ 0.540 ⋅ 16.67 ⋅ ⋅

1 fyd

=

1 2

N mm

⋅

1

2 ⋅

1 347.8 ⋅

mm ρ w.max = 1.294 % >

ρ w = 0.524 %

>

s = 120 mm

2

Megfelel

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: s max = 225 mm

= 1.294 %

N

s max := 0.75 ⋅ d = 0.75 ⋅ 300mm

Megfelel

[4] A gerendában felhajlított betét nincs, így természetesen teljesül az a feltétel, hogy a nyíróerõ legalább 50% -át kengyelekkel kell felvenni, mivel a nyíróerõt 100%-ban a kengyelek veszik fel.

51

52


V. gyakorlat anyaga

5.2. Határozza meg az adott keret A-B keresztmetszetek közötti szakaszán az alkalmazott kengyelek szükséges távolságát! P=200 kN

Anyagok :

q=8 kN/m g=4 kN/m


C Q=50kN Q=30 kN

2φ14

B

4φ20

φ10

Biztonsági tényezõk:

A

γ g := 1.35

γ q := 1.5 γ P := 1.5

Egyidejûségi tényezõk egységesen: 5.2.1. Kiindulási adatok a.) Geometriai jellemzõk: 2

A sl :=

4⋅φ ⋅π 4

A sl = 1257 mm

2

2

A'sl :=

2 ⋅ φ' ⋅ π

A'sl = 308 mm

4

2

2

A sw :=

2 ⋅ φk ⋅ π 4

A sw = 157 mm

2

d := 200 mm

d' := 50mm

b.) Anyagjellemzõk: Beton: C25/30

γ c := 1.5

N

fck := 25

mm

Betonacél: S500B

γ s := 1.15

fyk := 500

fcd :=

2

N mm

2

fyd :=

fck

1.5

fyk

1.15

N

fcd = 16.67

mm

fyd = 434.78

2

N mm

2

5.2.2.Szükséges kengyeltávolság meghatározása a.) Mértékadó igénybevételek meghatározása A mértékadó nyíróerõ az A-B szakaszon a kiemelt vízszintes Q teherbõl keletkezik: V A := γ P ⋅ Q Q

P

=

V Ed.red := V A Ax

1.5 ⋅ 50 ⋅ kN V Ed.red = 75 kN

VA

(

)

L

A mértékadó nyíróerõvel egyidejû normálerõ: NEd := γ g ⋅ g + ψ ⋅ γ q ⋅ q ⋅ − 2 N Ed = 189 kN

52

Q ⋅ γP ⋅ H

2⋅L

+ ψ ⋅ γP ⋅ P

ψ := 0.6

53


V. gyakorlat anyaga

b.) A nyomott beton által felvehetõ nyíróerõ ( VRd.c ) meghatározása A méretezett nyírási vasalás nélküli kersztmetszet nyírási teherbírása ( VRd.c ): 1⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎢ ⎢ 0.18 ⎥ 3⎥ ⋅ k ⋅ ( 100 ⋅ ρ l ⋅ fck) ⎥ V Rd.c := ⎢max⎢ γ + 0.15 ⋅ σ cp⎥ ⋅ bw ⋅ d ⎢ ⎢ c ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ν min ⎣ ⎣ ⎦ ⎦

⎛

200

⎝

d

ahol k:

k := min⎜1 +

ρl :

ρ l := min ⎜

σ cp :

ν min :

⎞

, 2.0

⎠

⎞ ⎛ Asl , 0.02 ⎜ bw ⋅ d ⎝ ⎠

σ cp :=

N Ed

ν min := 0.035 ⋅ k

3 2

A sl

ahol:

bw ⋅ d

250 mm ⋅ 250 mm

⋅ fck

1 2

k=2

200

189 ⋅ kN

=

b⋅ h

200

k := 1 +

1257

=

250 ⋅ 200

= 3.024

0.035 ⋅ 2 ⋅ 25

1 2

ρ l = 0.020

N mm

3 2

= 0.025

2

= 0.495

1 ⎤⎤ ⎡⎢ ⎢⎡ ⎡⎢ ⎥⎥ ⎥⎤ 0.18 3 ⋅ 2 ⋅ ( 100 ⋅ 0.02 ⋅ 25) ⎥ ⎥ + 0.15 ⋅ 3.024⎥ ⋅ 250 ⋅ 200 ⋅ N V Rd.c := ⎢max⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1.5 ⎥⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎢ ⎥ ⎥ ⎥ 0.495 ⎣ ⎣⎣ ⎦⎦ ⎦

ahol

V Rd.c = 66.9 kN <

0.18 1.5

⋅ 2 ⋅ ( 100 ⋅ 0.02 ⋅ 25)

V Ed.red = 75 kN

1 3

= 0.884


c.) A nyomott beton tönkremenetele nélkül felvehetõ legnagyobb nyíróerõ ( VRd.max ) meghatározása: Kengyel, azaz α := 90 ⋅ fok esetén a nyíróerõ felsõ korlátja: V Rd.max := α cw ⋅ bw ⋅ z ⋅ ν ⋅ fcd ⋅

ahol: α cw := 1 +

1

Mivel α := 90 ⋅ fok esetén:

tan( θ ) + cot ( θ )

σ cp fcd

N

mivel σ cp = 3.024

mm

2

<

fck

⎝

250 ⎠

⎞

fck = 25

ahol

N mm

ν = 0.540

53

2

N mm

z := 0.9 ⋅ d

⎛

1 + ( cot( θ ) )

0.25 ⋅ fcd = 4.167

α cw = 1.181

ν := 0.6 ⋅ ⎜1 −

cot ( θ ) + cot( α )

2

2

=

1 tan ( θ ) + cot( θ )

54


θ

V. gyakorlat anyaga

A ferde nyomott beton rácsrúdnak a tartó hossztengelyével bezárt szöge 1.0 ≤ cot( θ ) ≤ 2.5 Mivel a tartót normálerõ is terheli a nyomott rácsrudak hajlása 45 foknál kisebb lesz. Ilyen esetben a cot( θ ) felvételére az EN cot ( θ ) := 1.340 szabvány nem ad útmutatást. Más megfontolások hiányában a feladatban felhasználhatjuk a bevezetésben közölt interpolációt. (A számítás részletezése nélkül a maximális nyomóerõ értéke: NRd.1 = 1667 kN.)

V Rd.max := 1.177 ⋅ 250 ⋅ 0.9 ⋅ 200 ⋅ 0.54 ⋅ 16.67 ⋅

1 0.746 + 1.340

⋅N

V Rd.max = 228.6 kN >

V Ed := 75kN

A gerenda nyírásra d.) A szükséges kengyeltávolság ( smax ) meghatározása: bevasalható A megengedhetõ legnagyobb kengyeltávolság számításához a VEd.red ≤ VRd egyenlõtlenségre egyenlõséget feltételezve: V Rd := V Ed.red V Rd = 75 kN V Rd.s := V Rd V Rd.s :=

A sw ⋅ fyd smin

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cot ( θ )

Asw ⋅ fyd

s max :=

V Rd.s

Így az alkalmazott kengyeltávolság legyen:

s alk := 150 mm

Ekkor a kengyelek által felvehetõ nyíróerõ:

V Rd.s :=

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ 1.25

A sw ⋅ fyd salk

e.) A szerkesztési szabályok ellenõrzése

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ 1.25

Asw


ρ w :=


ρ w.min :=

fck

0.08 ⋅

=

fyk

ρ w.min = 0.080 % <

V Rd.s = 102.4 kN

ρ w = 0.419 %

s alk ⋅ bw ⋅ sin( α )

0.08 ⋅

s max = 205 mm

25

500

= 0.080 %

ρ w = 0.419 %

Megfelel


ρ w.max :=

1

⋅

α c ⋅ ν ⋅ fcd

2 1 − cos( α )

1 ⋅ 0.54 ⋅ 16.67 ⋅ ⋅

1 fyd

=

1 2

N mm

⋅

1

2

1

⋅

434.78 ⋅

mm ρ w.max = 1.035 % >

ρ w = 0.419 %

=

s alk = 150 mm

2

Megfelel

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: s max.d = 150 mm >

= 1.035 %

N

s max.d := 0.75 ⋅ d

= 0.75 ⋅ 200mm

Megfelel

[4] A mértékadó nyíróerõt 100%-ban a kengyelek veszik fel > 50%

Megfelel

Az A-B szakaszon a szükséges kengyeltávolság a nyírási teherbírás szempontjából 201mm, azonban a szerkesztési szabályok miatt legalább 150mm sûrûségû kengyeleket kell alkalmazni. Így a javasolt kengyeltávolság 150mm.

54

55


V. gyakorlat anyaga

5.3. Határozza meg a szükséges kengyeltávolságot (felhajlított vasat nem alkalmazunk)! pd= 125 kN/m

L=2.50

V [kN]

VEd.red V Ed

Anyagok :

d


5.3.1. Kiindulási adatok a.) Geometriai jellemzõk: a := 60mm

h := 450 mm

b := 250 mm

d := ( h − a)

d = 390 mm

L := 2.5m

2

A sl :=

6⋅φ ⋅π

A sl = 2945 mm

4

2

Betonfedés:20 mm Kedv.elm.: 10 mm

2

A'sl :=

2 ⋅ φ' ⋅ π

A'sl = 402 mm

4

2

2

A sw :=

2 ⋅ φk ⋅ π 4

A sw = 157 mm

2

b.) Anyagjellemzõk: γ c := 1.5

Beton: C25/30

N

fck := 25

mm

Betonacél: S500B

γ s := 1.15

fyk := 500

fcd :=

2

N mm

2

fyd :=

fck

1.5 fyk

1.15

N

fcd = 16.67

mm

fyd = 434.78

2

N mm

2

5.3.2.A Szükséges kengyeltávolságok meghatározása a.) Mértékadó igénybevételek meghatározása A mértékadó nyíróerõ és a redukált nyíróerõ a függõleges megoszló p teherbõl: pd := 125

kN m

V Ed := pd ⋅ L

V Ed = 312.5 kN

V Ed.red := V Ed − pd ⋅ d

55

V Ed.red = 263.8 kN

56


V. gyakorlat anyaga

b.) A beton által felvehetõ nyíróerõ ( VRd.c ) meghatározása A (normálerõvel nem terhelt) méretezett nyírási vasalás nélküli kersztmetszet nyírási teherbírása ( VRd.c ): 1⎤ ⎡ ⎢ 0.18 3⎥ ⋅ k ⋅ ( 100 ⋅ ρ l ⋅ fck) ⎥ ⎢ V Rd.c := max γ ⋅b ⋅d ⎢ c ⎥ w ⎢ ⎥ ν min ⎣ ⎦

⎛

200

⎝

d

ahol k: k := min⎜1 + ρl

⎛

⎞

, 2.0

k := 1 +

⎠

⎞

Asl

: ρ l := min⎜ , 0.02 ⎜ bw ⋅ d ⎝ ⎠

ν min :

ν min := 0.035 ⋅ k

3 2

⋅ fck

ahol: 1 2

200

k = 1.716

390 A sl

=

bw ⋅ d 3 2

0.035 ⋅ 1.716 ⋅ 25

1 2

2945 250 ⋅ 390

= 0.03

ρ l = 0.020

= 0.393

1 ⎤⎤ ⎡⎢ ⎡⎢ ⎥⎥ 0.18 3 ⎥⎥ 1 ⎢ ⎢ ⋅ 1.716 ⋅ ( 100 ⋅ 0.02 ⋅ 25 ) V Rd.c := max ⋅ 250 ⋅ 390 ⋅ N ahol 0.18 3 ⎢ ⎢ 1.5 ⎥⎥ ⋅ 1.716 ⋅ ( 100 ⋅ 0.02 ⋅ 25) ⎢⎢ ⎥ ⎥ 1.5 0.393 ⎣⎣ ⎦⎦ V Rd.c = 74.0 kN <

V Ed.red = 263.75 kN

= 0.759


c.) A nyomott beton tönkremenetele nélkül felvehetõ legnagyobb nyíróerõ ( VRd.max ) meghatározása: 1

V Rd.max := α cw ⋅ bw ⋅ z ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ tan( θ ) + cot ( θ )

(α = 90° esetén)

ahol: α cw := 1

(mivel a tartót nem terheli nomálerõ)

z := 0.9 ⋅ d

⎛

fck

⎝

250 ⎠

ν := 0.6 ⋅ ⎜1 − θ

⎞

ahol

fck = 25

N mm

2

ν = 0.540

A ferde nyomott beton rácsrúdnak a tartó hossztengelyével bezárt szöge 1.0 ≤ cot( θ ) ≤ 2.5 Mivel most a tartót normálerõ nem terheli, így θ := 45fok

cot ( θ ) = 1

V Rd.max := 1 ⋅ 250 ⋅ 0.9 ⋅ 390 ⋅ 0.54 ⋅ 16.67 ⋅

1 2

⋅ N V Rd.max = 395 kN >

56

V Ed = 312.5 kN

A gerenda nyírásra bevasalható

57


V. gyakorlat anyaga

d.) A szükséges kengyeltávolságok meghatározása: A nyírásra vasalandó szakasz hosszának meghatározása: Ott szükséges nyírási vasalás, ahol: L=2500

V Rd.c < V Ed.red

(

t CD= 592mm

tn= 1908mm

Az ábra alapján:

)

tn := VEd − V Rd.c ⋅

L

A`

A

B

C

V Ed

D

tn = 1908 mm

V Rd.c V

Nyírási vasalás számítása: "A-A' " szakaszon: Asw ⋅ fyd ⋅ 0.9 ⋅ d s AA :=

V Ed.red

Ed.red

V Ed

d

s AA = 90.9 mm

Mivel a "C-D" szakaszon VRd.c > VEd , így itt nem szükséges méretezett nyírási vasalás, a kengyelkiosztást a szerkesztési szabályok határozzák meg. Vegyük fel itt a kengyelkiosztást: s CD := 280 mm értékre

A felvett kengyelkiosztás ellenõrzését a szerkesztési szabályok alapján lásd késõbb az e.) pontban. s AB := 90mm

Az AA' szakaszra meghatározott kengyelezést az A'B szakaszra is kiterkesztjük: Tehát alkalmazzunk: A - B:

s AB = 90 mm *

B - C:

s BC := 140 mm

C - D:

s CD = 280 mm

(Az sBC kengyeltávolság az sAB és az sCD értékek között tetszõlegesen felvehetõ. Javasolt körülbelül ( sAB+ sCD )/2 értéket alkalmazni)

e.) A szerkesztési szabályok ellenõrzése, határnyíróerõ ábra meghatározása: A - B szakasz:

*(Az A-A' szakaszra meghatározott kengyelkiosztást kitoljuk "B" pontig, így az A'-B szakaszon is 90mm kengyeltávolságot alkalmazunk)

A határnyíróerõ értéke:

V Rd.AB :=

A sw ⋅ fyd s AB

⋅ 0.9 ⋅ d

V Rd.AB = 266.4 kN

V Ed.red = 263.8 kN

>

Szerkesztési szabályok ellenõrzése: Asw


ρ w :=


ρ w.min :=

ρ w.min = 0.080 % <

ρ w = 0.698 %

ρ w = 0.698 %

s AB ⋅ bw

Megfelel

57

0.08 ⋅ fyk

fck

=

0.08 ⋅ 500

25

= 0.080 %

58


V. gyakorlat anyaga


ρ w.max :=

1

⋅

α c ⋅ ν ⋅ fcd

2 1 − cos( α )

N

1 ⋅ 0.540 ⋅ 16.67 ⋅ ⋅

1 fyd

1

=

2

mm

⋅

2

1

⋅

1

= 1.035 %

N

434.78 ⋅

mm ρ w.max = 1.035 % >

ρ w = 0.698 %

2

Megfelel

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: smax := 0.75 ⋅ d = 0.75 ⋅ 390 mm Megfelel s max = 292.5 mm > s AB = 90 mm B-C szakasz: s BC = 140 mm A határnyíróerõ értéke:

Asw ⋅ fyd

V Rd.BC :=

sBC

⋅ 0.9 ⋅ d

V Rd.BC = 171.2 kN

B -C szakasz (és a C -D szakasz) hosszának számítása: L=2500

tCD := L − tn

tCD = 592 mm

tn= 1908mm tBD :=

L VEd

⋅ VRd.BC

tBC := tBD − tCD

tBD = 1370 mm

A`

A

tCD= 592mm

tBC= 778mm

t AB = 1130mm

B

C

D

tBC = 778 mm

V Ed.red V Ed A B-C szakaszon a szerkesztési szabályok ellenõrzése: A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:

VRd.BC

VRd.c

d ρ w :=

Asw s BC ⋅ bw

ρ w = 0.449 %


ρ w.min = 0.080 % <

ρ w = 0.449 %

Megfelel


ρ w.max = 1.035 % >

ρ w = 0.449 %

Megfelel

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: smax = 292.5 mm >

s BC = 140 mm

Megfelel

C-D szakasz: A C-D szakaszon a szerkesztési szabályok ellenõrzése: A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:

ρ w :=

Asw s CD ⋅ bw

ρ w = 0.224 %


ρ w.min = 0.080 % <

ρ w = 0.224 %

Megfelel


ρ w.max = 1.035 % >

ρ w = 0.224 %

Megfelel

s CD = 280 mm

Megfelel

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: smax = 292.5 mm >

58

59


40mm

13x90=

V. gyakorlat anyaga

5x140= 700mm

1170mm

2x280= 560mm 30mm

L=2.50

V [kN]

V Ed.red VEd

V Rd.c = 74,0 kN V Rd.BC= 171,2 kN VRd.AB= 266,4 kN Kengyelkiosztási vázlat és a határnyíróerõ ábra

59

60

Vasbetonszerkezetek I

VI. gyakorlat

VI. GYAKORLAT

Gerendák komplex vizsgálata; határnyomaték, határnyíróerõ számítása, vaselhagyás tervezése készítette: Friedman Noémi, Dr. Huszár Zsolt és Dr. Kiss RIta

A hosszvasalásban a ferde nyírási repedések miatti többleterő számítása A nyírás miatt a hosszvasalásban keletkező többlet-húzóerő felvételéről gondoskodni kell. Általános esetben ehhez az MEd nyomatéki ábrát a kedvezőtlenebb irányba al távolsággal el kell „csúsztatni”, ahol az elcsúszatás mértéke: - Méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó elemek esetén: al = d - Méretezett nyírási vasalást tartalmazó elemek esetén:

al =

z (cotθ - cotα) 2

(1)

Méretezett nyírási vasalást tartalmazó szerkezetek esetén a nyírás miatti többlet-húzóerő figyelembevétele a fenti „elcsúsztatási” szabály helyett történhet a hosszvasalásban keletkező többlethúzóerő (∆Ftd) közvetlen meghatározásával, és a hosszvasalásban keletkező teljes erőre vonatkozó feltétel egyidejű kielégítésével is, az alábbiak szerint: M Ed ,max M Ed és + ∆Ftd ≤ ∆Ftd = 0,5 VEd (cotθ - cotα) z z ahol: VEd, MEd - a nyíróerő és a hajlítónyomaték tervezési értéke a vizsgált helyen MEd,max - a hajlítónyomaték tervezési értéke a nyomatéki maximum helyén. Szokványos esetekben az (1) összefüggést használhatjuk, úgy, hogy cotθ és cotα értékét a nyírásvizsgálat szerint vesszük fel. Nem feszített tartó vizsgálatánál θ = 45 fok, α = 90 fok. Így al =

z 2

(Kengyelezés és felhajlítás együttes alkalmazásánál is használható az α = 90 fok, mivel a kengyelezés tekinthető az elsődleges jelentőségű nyírási vasalásnak.) A felhajlított betétek hatástávolsága Manapság felhajlított vasalást új szerkezet tervezésénél ritkán alkalmaznak, mert szerelése nehézkesebb és nagyobb az élőmunka igénye. A mérnöki gyakorlatban azonban gyakrabban találkozhatunk felhajlított vasalással meglévő szerkezetek ellenőrző statikai számításánál (felülvizsgálatánál). A felhajlított betétek hatástávolsága az alábbi ábrák segítségével értelmezhető.

A felhajlított betét maximális hatás-távolságát - α = 45 fok esetén - az 1. ábra szerinti szerkesztéssel kapjuk. A hatástávolság így maximálisan s = 2d-re adódik.

45°

45° α

α

Elméleti támaszvonal

45°

1. ábra

cα


Ha két egymás mögötti felhajlított betét hatástávolsága átfed, akkor a tényleges hatástávolságokat a tartó középvonalának magasságában kijelölhető felezőpont (C pont) határolja (2.ábra).

60

45°

α

2. ábra


61

A támasz melletti első felhajlított betétet úgy célszerű elhelyezni, hogy az 1. ábra szerinti (bal oldali) szerkesztési segédvonal a tartó tengelyét az elméleti támasz mögött metssze (3. ábra). Ez szintén csökkenti a tényleges hatástávolságot.

VI. gyakorlat


α

Az 1. ábra szerinti elrendezés esetén a adódik, amely hatástávolság 2zs-re ellentmondásban áll a szerkesztési szabályokban előírt smax=1,2d (~1,3zs) maximális távolsággal*. Ez azt jelenti, hogy az 1.ábra szerinti elrendezés esetén a felhajlított vasak nyírási teherbírását nem lehet a teherbírás számításánál figyelembe venni. E miatt, valamint mert a hatástávolságok átfedése hiányában a 45 fok ferdeségű repedés kikerülheti az így kialakított felhajlított betéteket, ez a konstrukció a gyakorlatban nem alkalmazható. Az s<1,2d előírás megfeleltetéséhez célszerű a támaszhoz közelebb lévő felhajlított vasat a 3. ábra szerint az elméleti támaszvonalhoz minél közelebb tenni és az egymás melletti vasakat egymáshoz közelebb elhelyezni (lásd 2. ábra).. Egyetlen felhajlított vas esetén a szerkesztési szabályok csak a 4. ábrának megfelelő elhelyezést teszik lehetővé (a felhajlítás végét az elméleti támaszvonalhoz kell igazítani). Ilyenkor a hatástávolságot 2zs értékkel kell számolni.

α

3. ábra


α

4. ábra

*A szerkesztési szabály általános esetben 0,6d(1+cotα) értéket ír elő

61

62


VI. gyakorlat

7.1. Határnyomatéki ábra elõállítása, vaselhagyás tervezése. A határnyíróerõ ábra elõállítása.

K-K

pd=125 kN/m

6φ25

φ10

K

Anyagok : 6φ16

Beton: C25/30 Betonacél: S500B V [kN]


VEd.red VEd

1. Kiindulási adatok 1.1. Geometriai jellemzõk a := 60mm

h := 450mm

b := 250mm

b w := b

φk := 10mm

d := ( h − a)

d = 390 mm

L := 2.5m

φny := 16mm

φ := 25mm

d ny := ( 20 + 10 + 8 + 10)mm

d ny = 48 mm

2

6⋅φ ⋅π

Asl.6 :=

2

Asl.6 = 2945 mm

4 2

4⋅φ ⋅π

Asl.4 :=

2

Asl.4 = 1963 mm

4 2

2⋅φ ⋅π

Asl.2 :=

: 1. szakasz

: 2. szakasz

2

Asl.2 = 982 mm

4

: 3. szakasz (a tartó teljes hosszán végig kell vezetni a teljes hosszvasalás legalább negyedét!)

2

Asl.ny :=

6 ⋅ φny ⋅ π

2

Asl.ny = 1206 mm

4

⎛ Asl.6 ⎞ Asl.min := max⎜ , Asl.2 ⎝ 4 ⎠

2

Asw :=

2 ⋅ φk ⋅ π

2

Asw = 157 mm

4

1.2. Anyagjellemzõk Beton:C25/30

Betonacél: S500B

Asl.min := Asl.2

α := 1 fck := 25 ⋅

N 2

mm

fyk := 500 ⋅

N 2

mm

γ c := 1.5

fcd :=

γ s := 1.15

fyd :=

62

fck γc fyk γs

fcd = 16.667

N 2

mm

fyd = 434.783

N 2

mm

63


VI. gyakorlat

2. A határnyomatéki-ábra elõállítása 2.1. Az eltolt mértékadó nyomatéki ábra meghatározása A megoszló p teherbõl származó nyomaték M Ed.k :=

pd ⋅ L

2

2

M Ed.k = 390.6 kNm

A hajlításvizsgálat során feltételezzük, hogy a gerenda a rúdtengelyre merõlegesen reped be. Ha a nyírás jelentõs, akor a tartó - a bevezetõben ismertetett módon - ferdén reped be, és ezt a nyomatéki méretezés során figyelembe kell venni. Ez úgy oldható meg, hogy a nyomatéki ábrát a kedvezõtlen irányban al távolsággal eltoljuk, ahol a l: al =

1 2

⋅z

(45°-os repedést feltételezve, 90°-os kengyelvasalással)

ahol : z := 0.9 ⋅ d

al :=

1 2

⋅z

al = 175.5 mm

így a mértékadó nyomatéki ábra:

(eltolt) mértékadó nyomatéki ábra

2.2. Vaselhagyás tervezése, az alkalmazott hosszvasalással felvehetõ határnyomatékok számítása Tegyük fel, hogy 2 helyen szeretnénk vaselhagyást végezni. A nyomatéki határteherbírás az 1. szakaszon: ( 6 db φ 16-os nyomott, 6.db φ.25-ös húzott vas) 2

Asl.6 = 2945 mm

2

Asl.ny = 1206 mm

Tegyük fel, hogy az acélbetétek megfolynak. A vetületi egyensúlyi egyenlet ekkor:

(α ⋅ fcd ⋅ xc ⋅ b + Asl.ny.6 ⋅ fyd − Asl.6 ⋅ fyd) = 0 63

64


VI. gyakorlat

x c - t kifejezve:

Ebbõl:

(Asl.ny − Asl.6)

x c := −fyd ⋅

x c = 181.4 mm

(α ⋅ fcd ⋅ b)

A nyomott zóna relatív magassága: xc

ξ c :=

ξ c = 0.465

d

ξ c.ny :=

xc

ξ c.ny = 3.78

d ny

A nyomott zóna relatív magasságának határhelyzete: ξ co :=

560 fyd N mm

ξ co = 0.493

560

ξ co.ny :=

+ 700

700 −

2

N mm

ξ c < ξ co ξ c.ny > ξ co.ny

ξ co.ny = 2.111

fyd 2

Tehát mind a húzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak!

A nyomatéki egyensúlyi egyenlet: xc ⎞ ⎛ M Rd.1 := x c ⋅ b ⋅ α ⋅ fcd ⋅ ⎜ d − + Asl.ny ⋅ fyd ⋅ d − d ny 2 ⎠ ⎝

(

M Ed := 390.6kNm

)

M Rd.1 = 405.6 kNm

M R.d.1 > M Ed

Tehát a keresztmetszet hajlításra megfelel! A nyomatéki határteherbírás a 2. szakaszon: ( 2 db φ 16-os nyomott vas, 4 db φ 25-ös húzott vas) 2

Asl.4 :=

4⋅φ ⋅π

2

Asl.4 = 1963 mm

4 2

Asl.ny.2 :=

2 ⋅ φny ⋅ π

2

Asl.ny.2 = 402 mm

4

Tegyük fel, hogy az acélbetétek megfolynak. A vetületi egyensúlyi egyenlet ekkor:

(α ⋅ fcd ⋅ xc ⋅ b + Asl.ny.2 ⋅ fyd − Asl.4 ⋅ fyd) = 0

x c := −fyd ⋅

(Asl.ny.2 − Asl.4)

x c = 162.9 mm

(α ⋅ fcd ⋅ b)

A nyomott zóna relatív magassága: ξ c :=

xc d

ξ c = 0.418 <

ξ co = 0.493

ξ c.ny :=

xc d ny

ξ c.ny = 3.394 >

ξ co.ny = 2.111

Tehát mind a húzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak! A nyomatéki egyensúlyi egyenlet: xc ⎞ ⎛ M Rd.2 := x c ⋅ b ⋅ α ⋅ fcd ⋅ ⎜ d − + Asl.ny.2 ⋅ fyd ⋅ d − d ny 2 ⎠ ⎝

(

64

)

M Rd.2 = 269.2 kNm

65


VI. gyakorlat

A nyomatéki határteherbírás a 3. szakaszon: (2 φ 25-ös húzott vas,) Megj: ugyan végig visszük a 2 db φ16-os nyomott vasat, de csak szerelési vasként vesszük figyelembe 2

Asl.2 :=

2⋅φ ⋅π

2

Asl.2 = 982 mm

4

Tegyük fel, hogy az acélbetétek megfolynak. A vetületi egyensúlyi egyenlet ekkor: Asl.2 α ⋅ fcd ⋅ x c ⋅ b − Asl.2 ⋅ fyd = 0 x c := fyd ⋅ x c = 102.4 mm α ⋅ fcd ⋅ b

(

)

(

A nyomott zóna relatív magassága: xc ξ c := ξ c = 0.263 < ξ co = 0.493 d

)

Tehát a húzott acélbetétek megfolynak!

A nyomatéki egyensúlyi egyenlet: xc ⎞ ⎛ M Rd.3 := x c ⋅ b ⋅ α ⋅ fcd ⋅ ⎜ d − 2 ⎠ ⎝

M Rd.3 = 144.6 kNm

A határnyomatékok összefoglalása: M Rd.1 = 405.6 kNm

M Rd.2 = 269.2 kNm

M Rd.3 = 144.6 kNm

2.3. A lehorgonyzási hosszak meghatározása 2.3.1.A húzott vas (φ 25) lehorgonyzási hosszzának meghatározása fbd := 2.8

N 2

: bordás acélbetét, C25/30-as bet.szil.

mm

teljes lehorgonyzási hossz: lb.h :=

φ ⋅ fyd

lb.h = 970.5 mm

4 ⋅ fbd

nettó lehorgonyzási hossz: lb.h.net := α a ⋅ lb.h ahol : α a = 1.0

ha egyenes végû acélbetéteket alkalmazunk

α a = 0.7

ha a húzott acélbetéteket kampózott végûnek alakítjuk ki

A nettó lehorgonyzási hossz:

lb.h.net = 679.3 mm

(

)

A minimális lehorgonyzási hossz: lb.h.min := max 0.3 ⋅ lb.h , 10 ⋅ φ lb.h.min = 291.1 mm 2.3.1.A nyomott vas (φ 16) lehorgonyzási hosszzának meghatározása fbd := 2.8

N 2


mm

φny ⋅ fyd

teljes lehorgonyzási hossz:

lb.ny :=

lb.ny = 621.1 mm

A minimális lehorgonyzási hossz:

lb.ny.min := max 0.6 ⋅ lb.ny , 100mm lb.ny.min = 372.7 mm

4 ⋅ fbd

(

65

)

66


VI. gyakorlat

2.4. A határnyomatéki ábra

M.Ed=390.6

3

2

1 MRd0=405.6kNm

Határnyomaték ábra figyelembe véve a lehorgonyzási hosszon felvehető acélfeszültséget

MRd2=269.2kNm

MRd3=144.6kNm

Határnyomaték ábra

Ezt a nyom.-ot a beton veszi fel!

(eltolt) mértékadó nyomatéki ábra

M [kNm]

Megj: a konzol-befogásnál a hosszirányú vasak lehorgonyzásáról a falban gondoskodunk! (nincs határnyom. csökkenés a lehorgonyzás miatt!) A határnyomatéki ábra rajzolásánál figyelembe lehet venni, hogy a hosszanti betétekben a lehorgonyzási hosszon az erõ lineárisan csökken. Ezt a pontozott vonal jeleníti meg. A biztonság javára az elsõ két vaselhagyásnál a lehorgonyzási hosszon mûködõ erõk (szaggatott vonal) hatását elhanyagoltuk.

3.1. A mértékadó nyíróerõábra A mértékadó nyíróerõábrát és a mértékadó nyíróerõ értékek számítását az elõzõ gyakorlaton (5.3.2.a. pontban) már elvégeztük. VEd := 312.5kN VEd.red := 263.7kN

3.2. A nyomott beton ellenõrzése Elõzõ gyakorlaton (5.3.2.c. pontban) már elvégeztük

3.3. A beton által felvehetõ nyíróerõ meghatározása A vaselhagyások miatt VRd.c értéke szakaszonként (2.4. pontban a határnyomatéki ábrán 1, 2, illetve 3 jelû szakaszokon) változik. Ebben a feladatban csak a 3. jelû szakasz VRd.c értékét van értelme meghatározni (lásd késõbb a 3.4. pontban). A nyírásra nem vasalt keresztmetszet határereje az alkalmazott 2 φ25 húzott vasalás esetén: 1 3

⎛ k := min⎜ 1 + ⎜ ⎝

200 d

⎠

mm

⎛ Asl.2

ρ l := min⎜

⎞ , 2.0 k = 1.716

⎝ bw ⋅ d

, 0.02

⎞ ⎠

2 ⎛⎜ fck ⎞ ν min := 0.035 ⋅ k ⋅ ⎜ N ⎟ ⎜ mm2 ⎝ ⎠ 2

ρ l = 0.010

1 ⎤⎤ ⎡⎡ ⎢⎢ 3 ⎥⎥ fck ⎞ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0.18 ⎛⎜ bw ⋅ k ⋅ 100 ⋅ ρ l ⋅ d VRd.c.CD := max⎢ ⎢ γ c N ⎟ ⎥⎥ ⋅ ⋅ ⋅ N VRd.c.CD = 58.8 kN ⎜ ⎢⎢ ⎥ ⎥ mm mm ⎜ 2 mm ⎠ ⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎝ ⎢⎢ ⎥⎥ ν min ⎣⎣ ⎦⎦ 66

ν min = 0.393

67


VI. gyakorlat

3.4. A határnyíróerõk meghatározása valamint a határnyíróerõ-ábra elõállítása Az elõzõ gyakorlaton megterveztük a tartó kengyelkiosztást AB, BC, CD szakaszokon: sAB.alk := 90mm

sBC.alk := 140mm

sCD.alk := 280mm

Tekintettel arra, hogy az MSZ EN szerint a méretezett nyírási vasalással ellátott szakaszok határnyíróereje nem függ a VRd.c -tõl, a határnyíróerõk érétke az A-B és a B-C szakaszon: A - B szakasz: A határnyíróerõ értéke: B-C szakasz: A határnyíróerõ értéke:

Asw ⋅ fyd VRd.AB := ⋅ 0.9 ⋅ d sAB.alk

VRd.AB = 266.4 kN

Asw ⋅ fyd VRd.BC := ⋅ 0.9 ⋅ d sBC.alk

VRd.BC = 171.2 kN

C-D szakasz: A C-D szakaszon a szerkesztési szabályok szerinti kengyelezést alkalmaztuk. Ennek határereje: Asw ⋅ fyd VRd.s.CD := ⋅ 0.9 ⋅ d sCD.alk

VRd.s.CD = 85.6 kN

A nyírási határerõ a CD szakaszon (az MSZ EN ellenõrzésre vonatkozó elõírásainak megfelelõen a beton által felvehetõ nyíróerõ és a nyírási vasalás által felvehetõ nyíróerõ közül a nagyobbik):

(

VRd.CD := max VRd.s.CD , VRd.c.CD

)

VRd.CD = 85.6 kN

A tényleges kengyelkiosztás felhasználásával az egyes szakaszokhoz tartozó határnyíróerõk ismeretében a tartó határnyíróerõ ábrája egyszerûen megszerkeszthetõ:

40mm

13x90= 1170mm

5x140= 700mm

2x280= 560mm 30mm

L=2.50

V

[kN] V Rd.CD= 85,6 kN VRd.BC= 171,2 kN

VEd.red VEd

VRd.AB= 266,4 kN

3.5. A szerkesztési szabályok ellenõrzése Elõzõ gyakorlaton (5.3.2.e. pontban) már elvégeztük. 67

68


VI. gyakorlat

7.2. Határnyomatéki és határnyíróerõ ábra elõállítása felhajlított vas esetén 12 φφ10

9 φ20

Elméleti támaszvonal Anyagok :

A nyomott vasalást nem vesszük számításba.

Terhek:

Beton: C20/25 Betonacél: S500B Kengyel*: S240A*

γG=1.35 γQ=1.5

g=80 kN q=100kN


A gyakorlatban célszerû a hosszvasalást és a kengyelezést azonos acélfajtával tervezni. Ebben a feladatban a jobb áttekinthetõség érdekében alkalmazunk eltérõ acélfajtát.

1. Kiindulási adatok 1.1. Geometriai alapadatok b := 450mm

φ := 20mm

lnet := 3.80m

h := 600mm

φk := 12mm

c := 320mm 2

2

Asl :=

9⋅φ ⋅π 4

2

Asl = 2827 mm

A hasznos magasság:

Asw :=

d := h − ⎛⎜ 25 + 10 +

⎝

A felsõ és az alsó vasak közötti távolság: Az elméleti támaszköz:

b w := b

2 ⋅ φk ⋅ π 4

20 2

+ 10⎞ mm

⎠

2

Asw = 226 mm d = 545 mm

zs := h − 2 ⋅ ⎛⎜ 25 + 10 +

⎝

(

leff := min 1.05 ⋅ l net , lnet + c

) ahol:

leff = 3.99 m

20 ⎞ 2

⎠

zs = 510 mm

mm

1.05 ⋅ l net = 3.99 m lnet + c = 4.12 m

1.2. Anyagjellemzõk Beton: C20/25

Betonacél: S500B

Kengyelacél: S240A

fck := 20

N 2

mm

fyk := 500

N 2

mm

fyk.w := 240

fck fcd := 1.5

fcd = 13.333

fyk fyd := 1.15

fyd = 434.783

fyk.w fyd.w := 2 1.15 mm N

68

N 2

mm

N 2

mm

fyd.w = 208.696

N 2

mm

69


VI. gyakorlat

2. A határnyomatéki ábra elõállítása 2.1. Az eltolt mértékadó nyomatéki ábra elõállítása A nyomatéki ábra eltolása: 1

al =

2

⋅z


ahol : z := 0.9 ⋅ d

al :=

1 2

⋅z

al = 245.2 mm

A tartó totális terhelésébõl keletkezõ nyomaték a tartó közepén:

M E.d.max :=

(γG ⋅ g + γQ ⋅ q) ⋅ leff 2

M E.d.max = 513.4 kNm

8

így az eltolt mértékadó nyomatéki ábra:

1

2

3

al = 245

M [kNm] M.Ed=513,4 eltolt mértékadó nyomatéki ábra

2.2. Az alkalmazott hosszvasalásokkal felvehetõ határnyomatékok számítása (A felhajlítás miatt a nyomott övben +1 db A.s.ny jelenik meg, de ennek hatását elhanyagoljuk) A nyomatéki határteherbírás az 1. szakaszon: feltéve, hogy a húzott acélbetétek folynak 2

Asl.7 :=

7⋅φ ⋅π 4

2

Asl.7 = 2199 mm

(α ⋅ fcd ⋅ xc ⋅ b − Asl.7 ⋅ fyd) = 0 Ebbõl:

x c - t kifejezve:

x c := Asl.7 ⋅

fyd

(α ⋅ fcd ⋅ b)

x c = 159.4 mm

69

70


VI. gyakorlat

A nyomott zóna relatív magassága: xc ξ c := ξ c = 0.292 d A nyomott zóna relatív magasságának határhelyzete: ξ co :=

560

ξ co = 0.493

fyd + 700

ξ c < ξ co Tehát a húzott acélbetétek megfolynak ! A nyomatéki egyensúlyi egyenlet: xc ⎞ ⎛ M Rd.1 := x c ⋅ b ⋅ α ⋅ fcd ⋅ ⎜ d − 2 ⎠ ⎝

M Rd.1 = 444.9 kNm

A nyomatéki határteherbírás az 2. szakaszon: (feltéve, hogy a húzott acélbetétek folynak) 2

Asl.8 :=

8⋅φ ⋅π 4

2

Asl.8 = 2513 mm

A vetületi egyenlet:

(α ⋅ fcd ⋅ xc ⋅ b − Asl.8 ⋅ fyd) = 0

x c := Asl.8 ⋅

fyd

(α ⋅ fcd ⋅ b)

x c = 182.1 mm


xc

ξ c = 0.334 <

d

ξ co = 0.493

Tehát a húzott acélbetétek megfolynak !


M Rd.2 = 496 kNm

A nyomatéki határteherbírás az 3. szakaszon: (feltéve, hogy a húzott acélbetétek folynak) 2

Asl.9 :=

9⋅φ ⋅π 4

2

Asl.9 = 2827 mm

A vetületi egyenlet:

(α ⋅ fcd ⋅ xc ⋅ b − Asl.9 ⋅ fyd) = 0

x c := Asl.9 ⋅

fyd

(α ⋅ fcd ⋅ b)

x c = 204.9 mm


xc d

ξ c = 0.376 <

ξ co = 0.493

Tehát a húzott acélbetétek megfolynak !


M Rd.3 = 544 kNm

70

71


VI. gyakorlat

Tehát a határnyomatékok az egyes szakaszokon: M Rd.1 = 444.9 kNm

M Rd.2 = 496 kNm

M Rd.3 = 544 kNm

2.3. Lehorgonyzási hosszak számítása és a felfekvési hossz ellenõrzése Húzott vas (φ 20):

fbd := 2.4

teljes lehorgonyzási hossz: lb.h :=

φ ⋅ fyd 4 ⋅ fbd

N


2

mm

lb.h = 905.8 mm

nettó lehorgonyzási hossz: lb.h.net := α a ⋅ lb.h ahol : α a = 1.0

ha egyenes végû acélbetéteket alkalmazunk

α a = 0.7

ha a húzott acélbetéteket kampózott végûnek alakítjuk ki

a tartóvégen lehorgonyzott betétekre:

α a := 0.7

így a nettó lehorgonyzási hosszuk:

lb.h.net = 634.1 mm

(

)

+ lb.h.min = 306.7 mm <

c = 320 mm

lb.h.min := max 0.3 ⋅ lb.h , 10 ⋅ φ

húzott acélbetétek minimális lehorgonyzási hossza:

A felvekvési hossz ellenõrzése

25mm +

φ 2

lb.h.min = 271.7 mm megfelel !

2.4 A határnyomatéki ábra

1

2

3 Határnyomatéki ábra eltolt mértékadó nyomatéki ábra

M [kNm] M.RD.1=444.9 kNm

M.sd=514.7 kNm M.RD.3=544.0 kNm

M.RD.2=496.0 kNm

71

72


VI. gyakorlat

Kinagyítva a legfontosabb részletet:

elm. támaszvonal

3. A határnyíróerõ ábra elõállítása 3.1. A mértékadó nyíróerõ ábra meghatározása A támasznál akkor kapunk maximális nyíróerõt, ha az állandó és a hasznos terheka tartó teljes hosszán hatnak.

VE.d.A :=

(γG ⋅ g + γQ ⋅ q) ⋅ leff

VE.d.A = 514.7 kN

2

A középsõ keresztmetszetben akkor kapunk max. nyíróerõt, ha a teher csak a tartó felén hat. Feltéve, hogy az állandó teher egyenletesen oszlik meg a tartó teljes hosszán, a tartóközepén nyíróerõ csak a (tartó felén ható) hasznos teherbõl keletkezik: leff VE.d.K := γ Q ⋅ q ⋅ 8

VE.d.K = 74.8 kN

A két számított pont között a nyíróerõábra másodfokú parabola. A biztonság javára történõ közelítéssel ezt most lineárissal helyettesítjük. Feltesszük, hogy a tartó megtámasztása rugalmas. Rugalmas támasz esetén a redukciós hossz a támaszreakcó tengelyétõl mérendõ. Mivel az elméleti megtámasztástól d távolságra ható megoszló teherrõl feltesszük, hogy közvetlenüla támaszra adódik át, így a redukált nyíróerõábra maximuma:

(

)

VEd.red := VE.d.A − γ G ⋅ g + γ Q ⋅ q ⋅ d VEd.red = 374.1 kN

72

73


VI. gyakorlat

így a mértékadó redukált nyíróerõ ábra:

VEd.K=74.8

V

Mértékadó nyíróerő

[kN] VEd.RED=374.1

3.2. A nyomott beton ellenõrzése VRd.max := α cw ⋅ b w ⋅ z ⋅ ν ⋅ fcd ⋅

cot( θ ) + cot( α )

ahol:

1 + ( cot( θ ) )

2

α cw := 1 feszítés illetve nyomóerõ nélküli keresztmetszet esetén; fck ⎛ 1 ⎞ z := 0.9 ⋅ d z = 0.49 m ν := 0.6 ⋅ ⎜ 1 − ⋅ ν = 0.552 N ⎟ 250 ⎜ θ := 45fok

cot( θ ) = 1

α k := 90 ⋅ fok

⎜ ⎝

mm

2

⎠

a kengyelnek a tartó tengelyével bezárt szöge

α felh := 45 ⋅ fok a felhajlítás tartó tengelyével bezárt szöge

( ) = 0.5

cot( θ ) + cot α k

( )

- α = α k esetén:

cot α k = 0

- α = α felh esetén:

cot α felh = 1

(

)

1 + ( cot( θ ) )

2

(

) =1

cot( θ ) + cot α felh 1 + ( cot( θ ) )

2

A biztonság javára történõ közelítéssel:

VRd.max := α cw ⋅ b w ⋅ z ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ 0.5

VRd.max = 812.3 kN >

VE.d.A = 514.7 kN

a beton keresztmetszet geometriai méretei megfelelõk. Dulácska - Kollár által javasolt, pontosabb számítással: V'Rd.max := α cw ⋅ b w ⋅ z ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ 0.75

V'Rd.max = 1218.4 kN > VRd.max = 812.3 kN

73

74


VI. gyakorlat

3.3. A beton által felvehetõ nyíróerõ meghatározása A VRd.c értékekre azért van szükség, mert amennyiben a beton által felvehetõ nyíróerõ ( VRd.c ) nagyobb a nyírási vasalás által felvehetõ nyíróerõnél ( VRd.s -nél), akkor az MSZ EN ellenõrzésre vonatkozó elõírásainak megfelelõen ez a nagyobb érték lesz a határnyíróerõ. Jelen esetben az 1 illetve 2 jelû szakaszokon jelentõs a nyírási vasalás, így ezeken a szakaszokon nem várhatóan a VRd.c nem játszik szerepet. Az áttekinthetõség kedvéért azonban ezeket is feltüntetjük. 1 3

⎛ k := min⎜ 1 + ⎜ ⎝

200 d mm

⎞ , 2.0

2 ⎛⎜ fck ⎞ ν min := 0.035 ⋅ k ⋅ ⎜ N ⎟ ⎜ mm2 ⎝ ⎠ 2

k = 1.606

⎠

ν min = 0.319

A vashányad értéke a határnyomatéki ábrán 1, 2 illetve 3-mal jelölt szakaszokon:

1. szakasz:

2. szakasz:

3. szakasz:

⎛ Asl.7

ρ l.1 := min⎜

⎝ bw ⋅ d ⎛ Asl.8

ρ l.2 := min⎜

⎝ bw ⋅ d ⎛ Asl.9

ρ l.3 := min⎜

⎝

bw ⋅ d

, 0.02

, 0.02

, 0.02

⎞ ⎠ ⎞ ⎠ ⎞ ⎠

ρ l.1 = 0.0090

ρ l.2 = 0.0102

ρ l.3 = 0.0115

A beton által felvehetõ nyíróerõ az 1, 2 és 3-mal jelölt szakaszokon:

⎡⎡ ⎢⎢ fck ⎢ ⎢ 0.18 ⎛ ⋅ k ⋅ ⎜ 100 ⋅ ρ l.1 ⋅ ⎢ ⎢ VRd.c.1 := max N γ ⎜ ⎢⎢ c ⎜ 2 mm ⎢⎢ ⎝ ⎢⎢ ν min ⎣⎣ ⎡⎡ ⎢⎢ fck ⎢ ⎢ 0.18 ⎛ ⋅ k ⋅ ⎜ 100 ⋅ ρ l.2 ⋅ ⎢ ⎢ VRd.c.2 := max N γ ⎜ ⎢⎢ c ⎜ 2 mm ⎢⎢ ⎝ ⎢⎢ ν min ⎣⎣ ⎡⎡ ⎢⎢ fck ⎢ ⎢ 0.18 ⎛ ⋅ k ⋅ ⎜ 100 ⋅ ρ l.3 ⋅ ⎢ ⎢ VRd.c.3 := max N γ ⎜ ⎢⎢ c ⎜ 2 mm ⎢⎢ ⎝ ⎢⎢ ν min ⎣⎣

⎤⎤ ⎥⎥ ⎞ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎟ ⎥⎥ ⋅ ⎠ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦⎦ 1 ⎤⎤ 3 ⎥⎥ ⎞ ⎥⎥ ⎟ ⎥⎥ ⎥⎥ ⋅ ⎠ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦⎦ 1 ⎤⎤ 3 ⎥⎥ ⎞ ⎥⎥ ⎟ ⎥⎥ ⎥⎥ ⋅ ⎠ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦⎦ 1 3

74

bw mm

bw mm

bw mm

⋅

⋅

⋅

d mm

d mm

d mm

⋅N

VRd.c.1 = 123.7 kN

⋅N

VRd.c.2 = 129.3 kN

⋅N

VRd.c.3 = 134.5 kN

75


VI. gyakorlat

3.4. A határnyíróerõk meghatározása és a határnyíróerõ-ábra 3.4.1.A felhajlított vasak hatástávolságának határai kb.= z*ctgα/2

I

II

a

c

b

d

- I. jelû felhajlított hosszacél hatástávolságának ( s1) számítása: s1 szakasz kezdõpontja az elméleti támaszvonal (mivel a tartóvégnél a hatástávolságot kijelõlõ 45° -os egyenes belemetsz az elméleti támaszvonalba), a végpontja pedig az I. és II. jelû felhajlított acélbetétek tengelye valamint a tartó tengely metszéspontjai által meghatározott szakasz felezõpontja.

zs lnet + 2c − leff 390mm s1 := 320mm + + − 2 2 2

s1 = 545 mm

lnet + 2c − leff

= 225 mm az elméleti támaszvonal és a gerenda vége közötti távolság 2 - II. jelû felhajlított hosszacél hatástávolságának ( s2) számítása: ahol

s2 szakasz kezdõpontja s1 szakasz végpontja, végpontja pedig a hatástávolságot kijelõlõ, a felhajlítási pontnál indított 45° -os egyenes (az ábrán szaggatott vonallal jelölve) és a tartótengely metszéspontja.

s2 :=

390mm 2

+ zs

s2 = 705 mm

3.4.2. A különbözõ határnyíróerõ értékkel bíró szakaszok hosszának meghatározása Az s1, s2 szakaszok, valamint a két különbözõ kengyelkiosztású (1215mm illetve 780mm hosszú) szakasz a féltartót négy (különbözõ nyírási határteherbírással bíró) részre bontja. E szakaszok hossza a fenti ábra alapján a következõ: "a" szakasz

la := s1

"b" szakasz

lb := 1215mm − s1

"c" szakasz

lc := s1 + s2 − 1215mm lc = 35 mm

"d" szakasz

ld := 780mm − lc

(

la = 545 mm

)

lb = 670 mm

ld = 745 mm 75

76


VI. gyakorlat

3.4.3. A kengyelek és a felhajlított vasak által felvehetõ nyíróerõk meghatározása Az "a" és "b" jelû szakaszokon a függõleges kengyelek távolsága:

sk.sz := 70mm

A "c" és "d" jelû szakaszokon a függõleges kengyelek távolsága:

sk.b := 120mm

A nyírási vasalás által felvehetõ nyíróerõ: Kengyelezés (sksz = 70mm és s2 = 120 mm osztással): sk.sz = 70 mm

Vwd.sz := 0.9 ⋅ d ⋅

sk.b = 120 mm

Vwd.b := 0.9 ⋅ d ⋅

Asw ⋅ fyd.w sk.sz Asw ⋅ fyd.w sk.b

Vwd.sz = 330.8 kN

"a" és "b" jelû szakaszokon

Vwd.b = 193.0 kN

"c" és "d" jelû szakaszokon

Felhajlítás (s1 = 545 mm és s 2 + s 3 = 705 mm osztással): s1 = 545 mm

Vwd.felh.1 := 0.9 ⋅ d ⋅

s2 = 705 mm

Vwd.felh.2 := 0.9 ⋅ d ⋅

Asl.1 ⋅ fyd s1 Asl.1 ⋅ fyd

⋅ 2

Vwd.felh.1 = 173.9 kN "a" jelû szakaszon

⋅ 2

"b" és "c" Vwd.felh.2 = 134.4 kN jelû szakaszon

s2 A határnyíróerõ tervezési értékeit az alábbi táblázatban adjuk meg: szakasz a b c d

Vw d.kengyel Vw d.kengyel s 70 330,8 70 330,8 120 193,0 120 193,0

s 545

V. w d.felh. V .w d.felh 173,9

705

134,4

-

-

76

VRd 504,7 465,2 327,4 193,0

77


VI. gyakorlat

3.4.4. A határnyíróerõ ábra

VRd.c.1=123,7

V

VRd.c.2=129,3

VRd.c.3=134,5

[kN]

VEd.K=74.8 Mértékadó nyíróerő

VRd=193,0

VRd=327,4

VEd.RED=374.1 VRd=465,2

Határnyíróerő tervezési értéke

Határnyíróerő értéke felhajlított vas nélkül

VRd=504,7

Tájékoztatás képpen az ábrába VRd.c értékeket is megjelenítettük a határnyíróerõ ábrában. Látható, hogy sehol sem lesz a beton nyírási teherbírása a mértékadó, vagyis VRd.c mindenhol kisebb VRd.s-nél. Az ábrából az is leolvasható, hogy a gerenda nyírási teherbírása nem felel meg az s 4 szakaszon (mivel a határnyíróerõ ábra belemetsz a mértékadó nyíróerõ ábrába). Itt a kengykiosztást sûríteni kell.

3.5. A szerkesztési szabályok ellenõrzése Az "a" jelû szakaszon: A nyírási vasalás fajlagos mennyisége: ρ w :=

Asw sk.sz ⋅ b w

+

Asl.1 s1 ⋅ b w ⋅ sin( 45fok)

ρ w = 0.899 % 2


ρ w.min :=

0.08 ⋅ fck ⋅

mm N 2

fyk.w ⋅

mm N

Megjegyzés: ha a kengyel más anyagból készül, mint a hosszvasalás, akkor a min. ill. max. fajlagos kengyelmennyiség számításánál a kengyel szilárdsági jellemzõjét kell használni! ρ w.min = 0.149 % <

ρ w = 0.899 %

Megfelel


ρ w.max :=

1 2

⋅

α c ⋅ ν ⋅ fcd

1 − cos( α )

⋅

1 fyd.w

ρ w.max = 1.763 %<

77

ρ w = 0.899 %

Megfelel!

78


VI. gyakorlat

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: smax := 0.75 ⋅ d

A kengyelnél:

smax = 409 mm

>

sk.sz = 70 mm

Megfelel

smax = 654 mm

>

s1 = 545 mm

Megfelel

A felhajlított acélbetétnél: smax := 0.6 ⋅ d ⋅ ( 1 + cot( 45fok) )

[4] A kengyelek nyírási teherbírása meghaladja a felhajlított betétekét: VEd.red

Vwd.sz = 330.8 kN >

2

= 187.05 kN

Megfelel

A "b" jelû szakaszon: A nyírási vasalás fajlagos mennyisége: ρ w :=

Asw sk.sz ⋅ b w

+

Asl.1

ρ w = 0.858 %

s2 ⋅ b w ⋅ sin( 45fok)


ρ w.min = 0.149 % <

ρ w = 0.858 %

Megfelel


ρ w.max = 1.763 %<

ρ w = 0.858 %

Megfelel!

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: smax := 0.75 ⋅ d

A kengyelnél:

smax = 409 mm

>

sk.sz = 70 mm

Megfelel

smax = 654 mm

>

s2 = 705 mm

Megfelel


[4] A kengyelek nyírási teherbírása meghaladja a felhajlított betétekét: Vwd.sz = 330.8 kN >

Vwd.felh.2 = 134.396 kN

Megfelel

A "c" jelû szakaszon: A nyírási vasalás fajlagos mennyisége: ρ w :=

Asw sk.b ⋅ b w

+

Asl.1 s2 ⋅ b w ⋅ sin( 45fok)

ρ w = 0.559 %


ρ w.min = 0.149 % <


ρ w.max = 1.763 %>

ρ w = 0.559 % ρ w = 0.559 %

Megfelel

Megfelel

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: A kengyelnél:

smax := 0.75 ⋅ d

smax = 409 mm 78

>

sk.b = 120 mm

Megfelel

79


VI. gyakorlat


smax = 654 mm

>

s2 = 705 mm

Megfelel

[4] A kengyelek nyírási teherbírása meghaladja a felhajlított betétekét: Vwd.b = 193 kN

>

Vwd.felh.2 = 134.4 kN

Megfelel

A "d" jelû szakaszon: A nyírási vasalás fajlagos mennyisége: ρ w :=

Asw

ρ w = 0.419 %

sk.b ⋅ b w


ρ w.min = 0.149 % <


ρ w.max = 1.763 %> smax := 0.75 ⋅ d

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: smax = 409 mm

>

sk.b = 120 mm

ρ w = 0.419 % ρ w = 0.419 % smax = 409 mm

Megfelel

[4] A kengyelek nyírási teherbírása meghaladja a felhajlított betétekét: Vwd.sz = 330.8 kN >

Vwd.felh := 0

Megfelel

79

Megfelel Megfelel

Vasbetonszerkezetek

VII. gyakorlat

80 VII. GYAKORLAT

Használhatósági határállapotok., Betonszerkezetek alakváltozása és repedéstágassága Készítették: Kovács Tamás és Völgyi István

A vasbeton szerkezetek használhatóságát a vonatkozó hatáskombinációk alapján, az alábbi követelmények kielégítésével kell igazolni: § a normálfeszültségek korlátozása § a repedezettség ellenőrzése § az alakváltozások korlátozása. A használhatósági határállapotok ellenőrzése során a szerkezet feszültségeit és alakváltozásait akkor szabad repedésmentes állapot feltételezésével számítani, ha a figyelembe veendő hatáskombinációból számított igénybevétel hatására repedésmentes állapot feltételezésével meghatározott beton-húzófeszültség nem haladja meg az fctm értéket. Használhatósági határállapotok vizsgálatához a következő igénybevétel-kombinációkat használjuk: Karakterisztikus (ritka) kombináció: Eser(a)=Σ Gki,j + Qk1+Σ Ψ0,i Q ki Gyakori kombináció: Eser(b)=Σ G ki,j + Ψ1,1 Qk1+Σ Ψ2,i Qki Kvázi állandó kombináció: Eser(c)=Σ Gki,j + Σ Ψ2,i Qki A normálfeszültségek korlátozása Általános esetben igazolni kell, hogy: § a túlzott mértékű beton-nyomófeszültségek miatt hosszirányú repedések nem keletkeznek: σc≤0,6fck § az acélokban képlékeny alakváltozások nem alakulnak ki: σs≤0,6fyk és σp≤0,75fpk. ahol σc ill. σs és σp a karakterisztikus kombináció alapján számított maximális beton- ill. acélfeszültségek. A repedezettség vizsgálata A vasbeton szerkezetek repedezettségének mértékét a funkció, a megfelelő tartósság és a kedvezőtlen megjelenés elkerülése érdekében kell korlátozni. Általános környezeti feltételeknek kitett épületek vasbetonszerkezetei esetén általában azt kell igazolni, hogy a hatások kvázi-állandó kombinációjára a maximális repedéstágasság értéke nem haladja meg a 0,3 mm-t. A repedéstágasságot a következő összefüggéssel lehet meghatározni: wk = sr,max (εsm - εcm) a legnagyobb repedéstávolság - az acélbetét átlagos nyúlása a vonatkozó kombinációból származó igénybevétel hatására, a húzott betonzóna merevítő hatásának figyelembevételével. Feszített szerkezetek esetén csak az acélbetétet körülvevő beton feszültségmentes állapotában meglévő acélbetét-feszültséghez képesti acélfeszültség-növekményt (∆σp) kell figyelembe venni. εcm - átlagos nyúlás a betonban a repedések közötti repedésmentes szakaszokon. Az (εsm - εcm) nyúláskülönbség a következőképpen számítható: f ct ,eff σ s − kt 1 + α e ρ p ,eff ρ p,eff ≥ 0,6 σ s εsm - εcm = Es Es ahol: σs - a húzott acélbetétben lévő feszültség berepedt keresztmetszet feltételezésével a vonatkozó kombináció alapján számított igénybevételből. Feszített szerkezetek esetén σ s értékét az εsm fenti értelmezésében szereplő ∆σp értékkel kell helyettesíteni. αe = Es/Ec, - a rugalmassági modulusok σs meghatározásánál alkalmazott aránya 2 ρ = As + ξ1 A p ahol: sr,max εsm

-

(

)

p,eff

Ac ,eff

As és Ap kt

-

Ac,eff

-

az Ac,eff hatékony, húzott betonzónában elhelyezkedő lágyacélbetétek, ill. tapadásos feszítőbetétek keresztmetszeti területe a teher tartósságától függő tényező, értéke: kt = 0,6 rövididejű terhelés esetén kt = 0,4 tartós terhelés esetén. hatékony, húzott betonzóna, azaz a húzott vasalás körüli, hc,ef magasságú betonterület ahol: 2,5(h − d ) h − x  hc,ef = min   3 h / 2

Vasbetonszerkezetek

ξ1 = φ s

ξ

VII. gyakorlat

81 φs φp

, ahol ξ a tapadási szilárdság módosító tényezője. Értéke táblázat alapján határozható meg.

az alsó sorban alkalmazott legnagyobb betonacél átmérő

φ p a feszítőbetét egyenértékű átmérője (Részletek: Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: Betonszerkezetek méretezése az Eurocode alapján, 203. oldal)

Ha a tapadásos acélbetétek egymáshoz közel helyezkednek el, azaz egymástól való távolságuk ≤ 5(c + φ/2): sr,max = 3,4 c + 0,425 k1 k2

φ

ρ p,eff

- az acélbetét átmérője. Különböző átmérőjű acélbetétek esetén a φeq egyenértékű átmérőt kell alkalmazni az alábbiak szerint: 2 2 φeq = n1φ1 + n2 φ 2 n1φ1 + n2 φ 2 ahol: n1 a φ1 átmérőjű acélbetétek (lágyacél vagy feszítőbetét) darabszáma n2 a φ2 átmérőjű acélbetétek (lágyacél vagy feszítőbetét) darabszáma. c - betonfedés k1 - az acélbetét és a beton közti tapadási tulajdonságokat figyelembe vevő tényező k1 = 0,8 bordás acélbetét esetén k1 = 1,6 sima felületű acélbetét esetén (pl. feszítőbetétnél) k2 - a keresztmetszeten belüli feszültség(nyúlás)eloszlást figyelembe vevő tényező k2 = 0,5 hajlítás esetén k2 = 1,0 tiszta húzás esetén Ha a tapadásos acélbetétek egymástól távol helyezkednek el, azaz egymástól való távolságuk > 5(c + φ/2): sr,max = 1,3 (h-x)

ahol:

φ

Az alakváltozások vizsgálata Az alakváltozások mértékét a) a vasbeton szerkezetek funkciója, a szerkezeti elemek megfelelő működése, a kedvezőtlen megjelenés elkerülése és b) a csatlakozó elemek károsodásának megelőzése érdekében kell korlátozni. A megengedett lehajlás értékei a terhek kvázi-állandó kombinációjának megfelelő teherre az a) esetben a támaszköz 1/250-ed része b) esetben a támaszköz 1/500-ed része. Az alakváltozások számítása során, a szerkezet repedésmentességének megítélésekor a bevezetőben leírtak szerint kell eljárni. A nem repedésmentes szerkezetek alakváltozásainak számításakor a szerkezet viselkedését a repedésmentes és a teljes hosszban berepedt állapotok közti átmenettel kell figyelembe venni, ahol az átmenet leírására az alábbi összefüggés alkalmazható: α = ζ αII + (1 - ζ) αI ahol: α alakváltozási paraméter, mely lehet pl. nyúlás, görbület, elfordulás, lehajlás, stb. αI, αII - az α paraméter I. (repedésmentes), ill. II. (teljes hosszban berepedt) feszültségi állapot alapján számított értéke ζ - a húzott betonzóna merevítő hatását figyelembe vevő tényező, a következő összefüggés szerint:

ahol:

β -

 σ sr ζ = 1 - β   σs

  

2

a teher tartósságát és ciklikusságát figyelembe vevő tényező az alábbiak szerint: β = 1,0 egyszeri, rövididejű terhelés esetén β = 0,5 tartós, vagy ismétlődő terhelés esetén σs - a húzott acélbetétben keletkező feszültség, berepedt keresztmetszet feltételezésével számítva σsr - a húzott acélbetétben keletkező feszültség a repesztőnyomaték hatására, berepedt keresztmetszet feltételezésével számítva A σsr/σs hányados tiszta hajlítás esetén az Mcr/M, tiszta húzás esetén az Ncr/N hányadosokkal helyettesíthető, ahol Mcr a repesztőnyomaték, és Ncr a repesztő húzóerő. Pontosabb vizsgálat esetén az alakváltozásokat az α alakváltozási paraméter alkalmazása helyett numerikus integrálással kell meghatározni a görbületnek a szerkezeti elem szükséges számú pontjában való számítása után. E módszer közelítő változata lehet az, ha a görbületeket a tartó repedésmentes szakaszán repedésmentes keresztmetszet feltételezésével, a berepedt szakaszon a fenti α alakváltozási paraméter alkalmazásával számítjuk (ld. a gyakorlati anyag kiegészítő részét).

Vasbetonszerkezetek

VII. gyakorlat

82

7.1. példa Határozza meg egy kéttámaszú tartó középsõ keresztmetszetének görbületét és lehajlását! Az alakváltozás értékét a repedésmentes állapot (I. feszültség állapot) és a tartó teljes hossza mentén berepedt állapot (II. feszültség állapot) feltételezésével kapott érték közti interpoláció segítségével számíthatjuk. Az alakváltozás értékét általában kvázi állandó (quasi permanent, jele:qp) teherkombinációban kell meghatározni. E . lméleti támaszköz:

L := 5m

Betonfedés: c := 20mm

φk := 10mm

h

A tartó kéttámaszú. A középsõ keresztmetszetet vizsgáljuk. A keresztmetszet geometriai méretei, vasalása: b := 200mm

b

As

2 φ1 ) ⋅ π ( := n ⋅

1

4

Anyagjellemzõk: Az acél rugalmassági modulusa:

h := 400mm φ1 := 20mm n1 := 4db

Es := 200

kN

(S500B)

mm

A beton rugalmassági modulusának várható értéke: Ecm := 30 A beton húzószilárdságának várható értéke 28 napos korban:

2

As = 1256.637 mm

kN mm

2

C20/25

fctm := 2.2

N 2

mm

A beton rugalmassági modulusából számítható alakváltozási tényezõ értéke: 1.05⋅ Ecm φt := 2 Ec.eff := 1 + φt a beton kúszását figyelembe vevõ tényezõ. Függ a környezet páratartalmától, az φt alkalmazott cement fajtájától, a beton szilárdsági osztályától, az elsõ terhelés idõpontjától. Most a végtelen idõponthoz tartozó, végértéket vesszük számításba. A beton húzószilárdságának számítási értéke:

fct.eff := fctm

A beton húzószilárdságának számításba vett értéke attól függ, hogy a szerkezeten várhatóan mikor jelenik meg az elsõ repedés. Ez függhet attól, hogy hány napos korban zsaluzzák ki, hogy elõregyártott, vagy monolit, esetleg, hogy lágyvasalású vagy feszített a tartó. Ha az elsõ repedés várhatóan 28 napos kor után következik be, a beton húzószilárdságának várható értékével vehetõ azonosnak. Ha a repedés várhatóan korábban jelenik meg, akkor a várható értéket a a szilárdság aktuális szintjének megfelelõen csökkenteni kell. Most feltételezzük, hogy az elsõ repedés 28 napos kor után jön létre. Es α s.eff := α s.eff = 19.048 Ec.eff Terhek, igénybevételek: kN A gerenda önsúlya és egyéb állandó jellegû terhek gk := 16 karakterisztikus értéke összesen: m A gerendát terhelõ esetleges jellegû terhek karakterisztikus értéke: A kvázi állandó teherkombinációban számítható teher:

q k := 10

kN m

ψ 2 := 0.6

p qp := gk + ψ 2 ⋅ q k

2

Vasbetonszerkezetek

83

qp

k

2 k

VII. gyakorlat

2

L Mqp := p qp⋅ 8

Mqp = 68.75 kNm φ1

d := h − c − φk −

2

d = 360 mm

Keresztmetszeti jellemzõk, alakváltozások, repesztõnyomaték: A keresztmetszet jellemzõi I. feszültségi állapotban: x h− x b ⋅ x⋅ Ec.eff⋅ = As⋅ Es − Ec.eff ⋅ ( d − x) + b ⋅ ( h − x) ⋅ Ec.eff⋅ 2 2

(

3

)

(h − xI)3

xI

(

)(

xI = 235.34 mm

)2

9

4

II := b ⋅ + b⋅ + As⋅ α s.eff − 1 ⋅ d − xI II = 1.519 × 10 mm 3 3 fct.eff ⋅ II Mcr := Mcr = 20.295 kNm < Mqp megreped! h − xI A középsõ keresztmetszetben számítható görbület I. feszültségi állapot feltételezésével: M qp κ I := −6 1 κ I = 4.31 × 10 Ec.eff⋅ II mm A keresztmetszet jellemzõi II. feszültségi állapotban (berepedt keresztmetszet): x

b ⋅ x⋅ Ec.eff⋅

= As⋅ Es⋅ ( d − x)

2 3

xII

(

III := b ⋅ 3

xII = 197.326 mm

)2

9

+ As⋅ α s.eff ⋅ d − xII

4

III = 1.146 × 10 mm

A középsõ keresztmetszetben számítható görbület II. feszültségi állapot feltételezésével: κ II :=

Mqp

−6 1

κ II = 5.715 × 10

Ec.eff⋅ III

mm

Megjegyzés: A számítási módszer csak akkor alkalmazható, ha a betonacél rugalmas állapotban marad.

Az alakváltozás Eurocode szerinti számítása: A következõkben a ζ kiszámításához szükséges mennyiségeket határozzuk meg: σs

Az acélbetétben számítható feszültség berepedt állapotot feltételezve. Kiszámításának részletes szabályait lásd az elméleti összefoglalóban.

σ s := β

(

)

M qp⋅ d − xII ⋅ α s.eff III

σ s = 185.945

N 2

rugalmas

mm

a teher tartósságát és ciklikusságát veszi figyelembe. Értéke: 1,0 , ha egyszeri, rövididejû a terhelés. 0,5 , ha tartós vagy ismétlõdõ a teher.

A szabályzat azért ad több értéket, mert a repedéstágasság értékét elvileg bármilyen teherre meghatározhatjuk. A vb szerkezetek repedéstágasságát kvázi állandó teherszinten korlátozzuk. Így β értéke 0,5-re veendõ fel.

β := 0.5

σsr Az acélbetét feszültsége a repesztõnyomaték hatására a berepedés után (második feszültségállapot) σ sr :=

Mcr III

(

)

⋅ d − xII ⋅ α s.eff

 σ sr  ζ := 1 − β ⋅   σ s 

σ sr = 54.892

2

ζ = 0.956

N mm

2

Vasbetonszerkezetek

VII. gyakorlat

84

A km görbülete a maximális igénybvétel helyén EC2 szerint: κ EC := ζ ⋅ κ II + ( 1 − ζ ) ⋅ κ I

(A görbület értéke önmagában ritkán érdekes egy tartó mm esetében.)

−6 1

κ EC = 5.654 × 10

A tartó maximális lehajlásának meghatározása (egyszerûsített módszer): Az elõbb vázolt módszer a tartó minden alakváltozásának meghatározására alkalmas. Így nem csak a görbületet, hanem az adott km. elfordulását vagy lehajlását is számíthatjuk a megismert módszerrel. Az egyszerûsített módszer esetén azzal, a mechanikában gyakran alkalmazott, közelítéssel élünk, hogy a keresztmetszet merevsége a tartó teljes hossza mentén állandó. (Nyilvánvaló, hogy ez egy a középsõ tartományában berepedt, a támasz közelében repedésmentes vasbeton gerenda esetén nem így van.) A tartó teljes hossza mentén a maximális nyomaték helyén számított merevséggel számolunk. Az így kapott érték a valódinál nagyobb, tehát a módszer a biztonság javára közelít. Kéttámaszú tartó esetében egyenletesen megoszló teher esetén a lehajlást az ismert, zárt összefüggéssel számíthatjuk: eI :=

eII :=

4

L ⋅ pqp ⋅ Ec.eff⋅ II 384 5

5 384

( )

( )E

⋅ p qp ⋅

eI = 11.225 mm

4

L

c.eff⋅ III

eEC := ζ ⋅ eII + ( 1 − ζ ) ⋅ eI

eII = 14.883 mm eEC = 14.724 mm >

L 500

= 10 mm

A tartó a csatlakozó szerkezetek károsodását megelõzõ lehajláskorlátozást nem teljesíti. L eEC = 14.724 mm < = 20 mm 250 A tartó a szerkezetek megfelelõ mûködését biztosító lehajláskorlátozást teljesíti. Megjegyzés: A lehajlás általánosságban a görbületnek a tartó hossza mentén történõ kétszeri integrálásával kapható. Az integráláson alapuló módszer megismerése azért is hasznos, mert összetettebb tartószerkezetek esetén a lehajlás zárt képlete általában nem ismert, annak levezetése körülményes.

Vasbetonszerkezetek

VII. gyakorlat

85

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Kiegészítõ anyag: A lehajlás értékének pontosított meghatározása. Most az elõzõ fejezetben tett közelítés nélkül végezzük el a számítást. Ez esetben azonban, mivel a nyomaték értéke folyamatosan változik, ζ értéke nem konstans. Így a lehajlást csak a görbület függvényének tényleges integrálása segítségével határozhatjuk meg. M( y) :=

2   (pqp)⋅ L ⋅ y − ( p qp)⋅ y  2 2  

σ s( y) :=

M( y)

κ I( y) :=

κ II( y) :=

Ec.eff⋅ II

(

)

M ( y) ⋅ d − xII ⋅ α s.eff III

M( y) Ec.eff⋅ III

Hol éri el a külsõ terhekbõl számítható nyomaték a repesztõnyomaték értékét? z := 1m Given M( z) = M cr xrep := Find( z) xrep = 0.401 m 2   σ sr    ζ ( y) :=  1 − β ⋅  σ (y)   if M (y) > Mcr   s  

0 otherwise 1 0.5

ζ ( y) 0

0

1

2

3

4

5

y

Jól látható, hogy ζ értéke a repesztõnyomatékkal megegyezõ nyomaték mûködése esetén (vagyis közvetlenül a repedést követõen) 0,5. A támasz felett számítható véglapelfordulás, és lehajlás értéke I., II. feszültségállapotban, majd EC2 szerint: L

⌠2  α I :=  κ I( y) dy ⌡ 0

L

α I = 0.007

⌠2 L  eI := α I⋅ −  κ I( y) ⋅  − y dy 2 2  ⌡ L

eI = 11.225 mm

0

L

⌠2  α II :=  κ II( y) dy ⌡ 0

L

α II = 0.01

L

⌠2 L L  eII := α II⋅ −  κ II( y) ⋅  − y dy 2 2  ⌡

⌠2  α EC :=  ζ( y) ⋅ κ II( y) + ( 1 − ζ ( y) ) ⋅ κ I( y) dy ⌡ 0

κ EC( y) := ζ ( y) ⋅ κ II( y) + ( 1 − ζ ( y) ) ⋅ κ I( y)

0

α EC = 0.009

eII = 14.883 mm

Vasbetonszerkezetek

VII. gyakorlat

86

κ I( y) 0.004 κ EC( y) κ II( y)

0.002

0

0

1

2

3

4

5

y

A kiselmozdulások gondolatmenetét felhasználva: u

⌠ e( u) := α EC⋅ u −  κ EC( y) ⋅ ( u − y) dy ⌡

e

L

 = 14.629 mm 2

0

A matematikai gondolatmenetet felhasználva is számíthatjuk a lehajlás értékét. A görbület integrálja a szögelfordulás. A tartóvégen számítható elfordulással módosítva teljesíthetjük a peremfeltételt. u

⌠ φ( u) := α EC −  κ EC( y) dy ⌡ 0

0.01

φ ( u)

0

0

1

2

3

4

5

u

Az így kapott elfordulásfüggvényt integrálva kapjuk a lehajlás függvényét. A támasz felett a lehajlás zérus, így a peremfeltétel itt automatikusan teljesül. v

⌠ e2( v) :=  φ( u) du ⌡ 0

e2

L

 = 14.639 mm  2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Vasbetonszerkezetek

VII. gyakorlat

87

7.2. példa Határozza meg a tartó maximális repedéstágasságát! A repedéstágasság értékét a legnagyobb repedéstávolság és a repedések közötti tartományban az acélbetétben valamint a betonban számítható megnyúlás különbségének szorzataként kaphatjuk. A repedéstágasság megfelelõségét a tapadásos feszítõbetétet tartalmazó szerkezet esetén gyakori kombinációban, minden más betonszerkezet esetében kvázi állandó teherkombinációkban kell igazolni. A repedéstágasság értékét természetesen bármely más teherkombinációból származó igénybevételre meghatározhatjuk. (A keresztmetszet az elõzõvel azonos)

h

A keresztmetszet geometriai méretei és vasalása: b := 200mm

h := 400mm

φ1 := 20mm

n1 := 4db

A keresztmetszetben nincs feszítõbetét. Ap := 0mm

b

2

As

2 φ1 ) ⋅ π ( := n ⋅

1

4

Betonfedés: c := 20mm d := h − c − φk −

φ1 2

φk := 10mm d = 360 mm

A tartón számítható (mértékadó) hajlítónyomaték kvázi állandó teherkombinációban: Anyagjellemzõk: Es := 200

Az acél rugalmassági modulusa:

A beton rugalmassági modulusának várható értéke:

A beton alakváltozási tényezõje:

φt := 2

kN

Mqp := 120kNm

S500B

2

mm

Ecm := 30

Ec.eff :=

As = 1256.637 mm

kN mm

C20/25

2

1.05⋅ Ecm 1 + φt

Értéke az alakváltozás számításakor leírtak szerint határozható meg. fcteff := 2.2

N mm

α s.eff :=

2

Es

α s.eff = 19.048

Ec.eff

Használhatósági határállapotok esetén az anyagok szilárdságának és a geometriai adatoknak a várható értékét vesszük számításba. Ezért nincs szükség kedvezõtlen vaselmozdulás figyelembe vételére, amellyel a geometriai adatok szélsõ értékét lehet elõállítani. Az 1. példában meghatároztuk a km. repesztõnyomatékát. Az km.-et terhelõ nyomaték ezt meghaladja, így a tartó bereped. A keresztmetszet jellemzõi második feszültségállapotban: x b ⋅ x⋅ Ec.eff⋅ = As⋅ Es⋅ ( d − x) xII := Find( x) xII = 197.326 mm 2 3

xII

III := b ⋅ 3

Es 2 + As⋅ ⋅ d − xII Ec.eff

(

)

9

4

III = 1.146 × 10 mm

2

Vasbetonszerkezetek

VII. gyakorlat

88

A nyúláskülönbségek meghatározása: A következõkben a repedések között az acélban és a betonban fellépõ átlagos nyúlás közti különbség (∆ε) meghatásrozásához szükséges mennyiségeket számítjuk ki. σs

Az acélbetétben számítható feszültség II. feszültségi állapotot feltételezve. Kiszámításának részletes szabályait lásd az elméleti összefoglalóban.

σ s := Aceff

(

)

M qp⋅ d − xII ⋅ α s.eff

σ s = 324.558

III

a hatékony húzott betonzóna területe h − xII h   hcef := min2.5 ⋅ ( h − d) , ,  2 3 

N

Az acélbetét rugalmas marad, alkalmazhatók az összefüggések.

2

mm

hcef = 67.6 mm 2

Aceff := b ⋅ hcef

Aceff = 13511.599 mm 2

ρ peff := kt

As + ξ 1 ⋅ Ap

ρ peff = 0.093

Aceff

Ap = 0 mm

A teher tartósságától függõ tényezõ. Értéke 0,6, ha a teher rövididejû. 0,4, ha a teher tartós. fcteff    σ s − kt ⋅ ⋅ (1 + α s.eff ⋅ ρ peff)  ρ peff σ s  ∆ε := max , 0.6 ⋅  Es Es  

2

ξ 1 definíciója a zh-ra felkészítõ példák között.

kt := 0.4

∆ε = 0.149 %

Repedések maximális távolságának meghatározása: A repedések egymástól mért távolságát attól függõen kell meghatározni, hogy az acélbetétek tengelyei egymáshoz képest közel, vagy távol helyezkednek el. A két eset között az alábbi összefüggés alapján teszünk különbséget: φ1   th := 5 ⋅  c +  th = 150 mm 2





Az acélbetétek távolsága:

t :=

φ1 b − 2 ⋅ c + φk − 2 ⋅ 2

(

)

n1 − 1 Az acélbetétek tehát egymáshoz közel helyezkednek el.

t = 40 mm

t < th

Különbözõ átmérõk esetén egyenértékû átmérõt kell számítani. 2

φeq :=

n1⋅ φ1 + n2 ⋅ φ2 n1 ⋅ φ1 + n2 ⋅ φ2

2

Ahol n1 és n2 a különbözõ átmérõjû acélbetétek darabszáma az alsó sorban. (ti. az alsó sor betéteinek átmérõje befolyásolja a repedéstágasságot)

A repedések maximális távolságának meghatározása: k1 a beton és az acélbetét közti tapadás milyenségét figyelembe vevõ tényezõ. Értéke 0,8 bordás acélbetét esetén. 1,6 sima acélbetét esetén. k2 a keresztmetszeten belüli nyúlás alakulását figyelembe vevõ tényezõ. 0,5 hajlítás esetén 1,0 tiszta húzás esetén (alapeset) Külpontos húzás esetén közbensõ értéket kell alkalmazni. ε 1 + ε2 Ahol ε1 és ε2 a szélsõ szálakban számítható nyúlás berepedt k2 := 2 ⋅ ε1 km. feltételezésével. A húzás pozitív. ε1>ε2 Külpontos nyomás esetén 0,5 érték alkalmazandó.

φeq = 20 mm

Vasbetonszerkezetek

VII. gyakorlat

89

k1 := 0.8

k2 := 0.5

srmax := 3.4 ⋅ c + 0.425⋅ k1⋅ k2 ⋅

φeq

srmax = 104.557 mm

ρ peff

A repedéstágasság értéke: wk := srmax⋅ ( ∆ε)

wk = 0.156 mm

<

0,3mm

(A határérték a szerkezet kitéti osztályától és megfelel jellegétõl függ)

Megjegyzés: Ha az acélbetétek távolsága a határértéknél nagyobb, a repedések legnagyobb távolsága:

(

)

srmax. := 1.3 ⋅ h − xII

7.3. példa Határozza meg a tartó maximális repedéstágasságát! A tartó egyirányban teherviselõ lemez.

h

kNm Legyen a kvázi állandó kombinációban mqp := 40 számítható hajlítónyomaték értéke: m A keresztmetszet geometriai méretei és vasalása:

100 cm

h := 200mm

φ1 := 12mm

db n1 := 6 m

Az egyirányban teherviselõ lemezek számítása egy 1m széles gerenda számításával azonosan végezhetõ. Anyagjellemzõk: Es := 200

kN 2

mm N

fctm := 2.2

Ecm := 30

S500B

2

mm

fcteff := fctm

A betonfedés értéke:

Es

α s.eff :=

Ec.eff

kN mm

2

C20/25

α s.eff = 19.048

φt := 2

as

Ec.eff :=

1.05⋅ Ecm 1 + φt

2 φ1 ) ⋅ π ( := n ⋅

1

4

φ1 Vonal mentén megtámasztott d := h − c − födémek nem tartalmaznak kengyelt. 2

c := 20mm

d = 174 mm

A keresztmetszet viselkedése I. és II. feszültségi állapotban: A repesztõnyomaték számítása: x⋅ Ec.eff⋅

h− x = as⋅ Es − Ec.eff ⋅ ( d − x) + ( h − x) ⋅ Ec.eff⋅ 2 2 x

(

(h − xI)3

3

xI

II := + 3 3 fct.eff ⋅ II mcr := h − xI

)

(

)(

)2

+ as⋅ α s.eff − 1 ⋅ d − xI

xI = 104.27 mm 8 1 4 II = 7.299 × 10 mm m

1 mcr = 16.773 kNm < mqp m

A keresztmetszet jellemzõi II. feszültségi állapotban: x⋅ Ec.eff⋅ III :=

x 2

= as⋅ Es⋅ ( d − x) 3

xII 3

xII := Find( x)

Es 2 + as⋅ ⋅ d − xII Ec.eff

(

)

xII = 55.376 mm 8 1 4 III = 2.385 × 10 mm m

megreped!

Vasbetonszerkezetek

VII. gyakorlat

90

∆ε meghatározása: σ s := Aceff

(

)

mqp⋅ d − xII ⋅ α s.eff

σ s = 378.975

III

N

A betonacél rugalmas marad, alkalmazhatók a képletek.

2

mm

a hatékony húzott betonzóna területe

 

hcef := min2.5 ⋅ ( h − d) ,

h − xII h  ,  2 3

hcef = 48.2 mm 1 2 Aceff = 48207.936 mm m

Aceff := hcef 2

ρ peff :=

as + ξ 1 ⋅ ap

ρ peff = 0.014

Aceff

fcteff    σ s − kt ⋅ ⋅ (1 + α s.eff ⋅ ρ peff)  ρ peff σ s  ∆ε := max , 0.6 ⋅  Es Es  



φ1 



2

th := 5 ⋅  c +

 

kt := 0.4

∆ε = 0.15 %

th = 130 mm


t :=

1

n1 Az acélbetétek tehát egymástól távol helyezkednek el.

t = 166.667 mm

t > th

Ha az acélbetétek távolsága a határértéknél nagyobb, a repedések legnagyobb távolsága:

(

)

srmax. := 1.3 ⋅ h − xII

srmax. = 0.188 m

A repedéstágasság értéke: wk := srmax.⋅ ( ∆ε)

wk = 0.282 mm

<

0,3 mm megfelel


Felkészülést segítő példák I. gyak.-hoz

91

FELKÉSZÜLÉST SEGÍTŐ PÉLDÁK AZ I. GYAKORLATHOZ

Repedésmentes és berepedt vasbeton tartók Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin

A könnyebb megértés érdekében álljanak itt következők: Ha a beton rugalmas és a betonacél is rugalmas, akkor a ε-ábra, σ-ábra és vasbeton km. belső erői a következők: - nyomott betonrész belső ereje: Fc.c - nem repedt be a km, így húzott betonrész belső ereje: Fc.t - húzott vasban keletkező belső erő: Fs - nyomott vas belső ereje: F's Ezek tartanak egyensúlyt a külső erőkkel (M külső nyomatékkal)

ε σ ε 1 * E c A-A metszet ε1=κ*x σ ε' Ε

A

b

κ

. .

y

εs

ε2=κ*(h-x)

2x 3 2(h-x) 3

σ Ε

s

{

h

x

x

c

d

.

A's

As

s

s

{

M z

{

M

{

A

Belső erők

c

F's=κ*(x-d')*Es*A's Fc.c=12*κ*x*Ec*b*x-κ*(x-d')*Ec*A's Fc.t=12*κ*(h-x)*Ec*b*(h-x)-κ*(d-x)*Ec*As Fs=κ*(d-x)*Es As *

ε2*Ec

-Ha berepedt a beton (II. feszültségi állapot): nincs húzott betonrészből keletkező belső erő ( Fc.t ) -Ha nincs nyomott betonacél: eltűnnek az A'S-t tartalmazó tagok



92

I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ (REPEDÉSMENTES) VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1. példa: Határozza meg az alábbi vasbeton keresztmetszetben a betonacélok megnyúlását (εs) abban az esetben, ha a keresztmetszetre M=8 kNm nagyságú hajlítónyomaték hat! (A nyomaték alul okoz húzást.) A beton és a betonacél σ(ε) görbéje a mellékelt ábrákon látható.

σc

σs

BETON

[N/mm 2 ]

2

400

360

[N/mm ]

347

9,0

As 0,9

As := 804mm

-25

Es=6,0 kN/mm 2

0,15

250

BETONACÉL

-1,74

εc[%o]

1,5

Es=200 kN/mm 2

1,74

25 εs [%o]

2

-347

Megoldás: Anyagjellemzők: σ(ε)-diagrammokról N - beton: fc.c := 9⋅ ε2 := 0.15⋅ ‰ 2 mm fc.t := 0.9 ⋅ - acél

fy := 347⋅

N 2

ε1 := 1.5 ⋅ ‰

2

εs.E := 1.74‰

mm N

mm

εsu := 25⋅ ‰

A betonacél és a beton rugalmassági modulusának aránya:

{

. .

κ

y

2 3(h-x)

εs σ Ε ε2=κ*(h-x) ε2*Ec

As

{

s

b

A

1

Fc.c=2*κ*x*Ec*b*x

2x 3

{

x

x

d

z

.

M h

M

A-A metszet

Belső erők

{

A

ε σ ε1=κ*x ε1*Ec

α E = 33.33

c

1

Fc.t=2*κ*(h-x)*Ec*b*(h-x)-κ*(d-x)*Ec*As Fs=κ*(d-x)*Es*As

Tegyük fel, hogy a vasak rugalmasak és beton is rugalmas! A külső és belső erők egyenúlyának hossztengellyel párhuzamos vetületi egyenletéből,megkapjuk a repedésmentes vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét : (Megjegyzés: a vetületi egyenletben ismeretlen a κ és x is, de mivel κ nem zérus és a vetületi egyenlet minden tagjában szerepel, ezért végigoszthatunk vele) x = 233 mm Nyomatéki egyenlet a semleges tengelyre felírva megkapjuk a megadott nyomatékhoz tartozó görbületet: −7 1

κ = 7.163 × 10

mm

betonacélok nyúlása az adott nyomaték hatására: Feltevés ell:

εc.c = 0.167 ‰ < εc.t = 0.12 ‰

<

ε1 = 1.5 ‰ ε2 = 0.15 ‰

εs = 0.091 ‰ <

εs.E = 1.74 ‰

az acél rugalmas

beton rugalmas beton nem reped meg az adott nyomatékra



93

2. Példa: Határozza meg az ábrán látható vasbeton keresztmetszet repesztőnyomaték (Mcr)! Geometriai adatok:

b := 220mm h := 340mm

Vasalás:

As := 1017mm

Anyagjellemzők: beton:

h

d := 300mm 2

C20/25 Ec=19,2 kN/mm2

As b

fctm=2,21 N/mm2 betonacél: S500B Es=200 kN/mm2 Megoldás: Az acél km-ét a beton km-ére redukáljuk, így a rugalmasági modulusok aránya:

α E = 33.333

- ideális keresztmetszet területe:

Ai = 84376.75 mm

- ideális keresztmetszet statikai nyomaték a felső szélső szálra:

Sxi = 1.559 × 10 mm

- semleges tengely helye a felső szélső száltól mérve:

xi = 184.755 mm

- ideális keresztmetszet inercianyomatéka:

Ixi = 8.641 × 10 mm

- keresztmetszet repesztőnyomatéka:

Mcr = 12.3 kN⋅ m

2

7

8

3

4



94

II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA 3. példa: Határozza meg az alábbi vasbeton keresztmetszet felső-szélső szálának összenyomódását abban az esetben, ha a keresztmetszetre M=85 kNm nagyságú hajlítónyomaték hat! (A nyomaték alul okoz húzást.) A beton és a betonacél σ(ε) görbéje a mellékelt ábrákon látható.

[N/mm 2]

2

[N/mm ]

460

410

σs

BETON

σc

435

12

As

BETONACÉL

-25

Es=8kN/mm2

300

εc[%o]

1,5

-2,17

Es=200 kN/mm2 2,17

25 εs [%o]

2

As = 1257 mm

-435

Megoldás:

εs

{

As b

F's=κ (x-d') Es A's *

2x 3

ε2=κ (h-x) *

σ Ε

{

κ

y

A

x

*

*

d

x

h

z

.

M

Belső erők

c

.

{

M

A-A metszet

*

*

{

A

ε σ ε1=κ x ε1 E

s

Fs=κ (d-x) Es As

c

*

*

*

ε2 Ec *

Tegyük fel, hogy a vasak rugalmasak és beton is rugalmas! A külső és belső erők egyenúlyának hossztengellyel párhuzamos vetületi egyenletéből megkapjuk a berepedt vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét: (Megjegyzés: a vetületi egyenletben ismeretlen a κ és x is, de mivel κ nem zérus és a vetületi egyenlet minden tagjában szerepel, ezért végigoszthatunk vele) x = 206.5 mm

nyomatéki egyenletbõl keresett görbületet megkapjuk: −3 1

κ = 4.870 × 10

m

Feltevés ellenőzése:

εs = 0.991 ‰

Felső szélső szál összenyomódása:

<

εs.E = 2.170 ‰

ε1 = 1.005 ‰

jó volt a feltevés, vasak valóban rugalmasak



95

4. példa: Határozza meg az alábbi vasbeton keresztmetszet nyomaték-görbület (M(κ)) görbéjének azt a pontját, amikor a húzott acélbetétekben a feszültség eléri a rugalmas állapot határát (εs=1,5%o)! (A nyomaték alul okoz húzást.) A beton és a betonacél σ(ε) görbéje a mellékelt ábrán látható.

400

σc

[N/mm 2 ]

2

100

[N/mm ]

Es=19,5 kN/mm 2

100

1,5

As := 804mm

BETONACÉL

300

29,25

350

300

As

σs

BETON

-25

Es=200 kN/mm 2

-1,5

εc[%o]

25 εs [%o]

1,5

2

-300

Megoldás: Anyagjellemzõk: σ(ε)-diagrammokról - beton:

- acél

fc := 29.25⋅ fy := 300⋅

N

εc.E := 1.5 ⋅ ‰

2

mm N

α E :=

εs.E := 1.5 ⋅ ‰

2

mm

Es Ec

α E = 10.256

Tegyük fel, hogy a vasak rugalmasak és beton is rugalmas! A külső és belső erők egyenúlyának hossztengellyel párhuzamos vetületi egyenletéből, megkapjuk a berepedt vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét: (Megjegyzés: a vetületi egyenletben ismeretlen a κ és x is, de mivel κ nem zérus és a vetületi egyenlet minden tagjában szerepel, ezért végigoszthatunk vele) x = 92.5 mm

<

t = 100 mm

semleges tenygely helye a fejlemezben marad, (így a feladat megoldása semmiben nem különbözők egy négyszög km megoldásától)

A húzott betonacél rugalmassági határához tartozó nyúlásából kapott görbület: Feltételezés ell: ε1 = 0.669 ‰

<

εc.E = 1.5 ‰

−6 1

κ = 7.229 × 10

mm

jó volt a feltevés, beton rugalmas

A húzott acélbetét megfolyását okozó nyomaték nagysága a nyomatéki egyenletből:

M = 64.92 kN⋅ m



96

III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA 5. Példa: Határozza meg az alábbi vasbeton keresztmetszet nyomaték-görbület (M(κ)) görbéjének azt a pontját, amikor a felső szélső szálban az összenyomódás eléri a beton határösszenyomódásának értékét (εc,felső=εc,u=3,5%o)! (A nyomaték alul okoz húzást.) A beton és a betonacél σ(ε) görbéje a mellékelt ábrán látható.

σs

BETON

[N/mm2 ]

2

[N/mm ]

350

300

σc

435

11,3

4Φ18

-2,17

Es=19,5 kN/mm2

200

0,58

εc[%o]

3,5

εs [%o]

-435

2

Anyagjellemzők: σ(ε)-diagrammokról

- beton:

fc := 11.3⋅ fy := 435⋅

- acél

εcu

M

σ

.

d

x

κ

y

As A

εs = a=

d−x x εc.E εcu

εcu := 3.5 ⋅ ‰

2

εs.E := 2.17⋅ ‰

mm N

mm

εc.E := 0.58⋅ ‰

Fc.c,1 Fc.c,2

a

εs

b

Az ε-ábrából aránypárral: εs x ebből = d− x εcu εcu x ebből = a εc.E

2

Belső erők

.

x h

z

fc

{

A-A metszet

ε

N

{

A

M

Es=200 kN/mm2

2,17

Megoldás: As = 804 mm

BETONACÉL

σs

Fs

⋅ εcu ehhez tartozó betonacél feszültség:

σ s = Es⋅ εs

(beton rugalmas viselkedéséhez tartozó megnyúlás geometriai helye)

⋅x

Tegyük fel, hogy a betonacél rugalmas! Ezeket behelyettesítve a vetületi egyenletbe, vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét : Feltevés ell:

<

εs = 1.958 ‰

εs.E = 2.17 ‰

a = 31.9 mm M(κ) görbe pontja:

−5 1

κ = 1.819 × 10

M = 84.349 kN⋅ m

mm

x = 192.4 mm

jogos volt a feltételezés, betonacél rugalmas



97

6. Példa: Határozza meg az alábbi vasbeton keresztmetszet nyomaték-görbület (M(κ)) görbéjének azt a pontját, amikor a húzott acélbetétekben a feszültség eléri a képlékeny állapot határát (εs=25 ‰)! (A nyomaték alul okoz húzást.) A beton és a betonacél σ(ε) görbéje a mellékelt ábrán látható.

700 2

350

BETONACÉL

300

29,25 Es=11,7 kN/mm 2

100 As := 804mm

[N/mm 2 ]

[N/mm ]

100

300

As

σs

BETON

σc

-25

-1,5

εc[%o]

2,5

Es=200 kN/mm2

1,5

25 εs [% o]

2 -300

Megoldás: Anyagjellemzők: σ(ε)-diagrammokról - beton:

fc := 29.25⋅ fy := 300⋅

- acél

N

εcu := 2.5 ⋅ ‰

2

mm N

εs.E := 1.5 ⋅ ‰

2

mm

εsu := 25⋅ ‰

- ekkor a beton nyúlása aranypárból számítható: εc εsu

=

x d− x

ebből

εc =

x

ehhez beton nyúlás tartozó beton feszültség: ⋅ε d − x su

σ c = Ec⋅ εc

Tegyük fel, hogy a beton rugalmasan viselkedik!

vetületi egyenletbõl a semleges tengely helye:

x = 25.4 mm

<

t = 100 mm

Feltevés ellenőrzése:

εc = 2.316 ‰

<

εcu = 2.5 ‰

- betonban keletkező feszültség alapján:

σ c = 27.1

<

fc = 29.25

N mm

2

- adott állapothoz tartozó nyomaték:

M = 70.315 kN⋅ m

- adott állapothoz tartozó görbület:

κ = 9.105 × 10

−5 1

mm

semleges tg az övlemezben van beton tényleg rugalmas N

mm

2

beton tényleg rugalmas


Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz

98

KIEGÉSZÍTŐ ANYAG AZ I. GYAKORLATHOZ

Gyengén -, normálisan - és túlvasalt vasbeton keresztmetszetek monoton növekvő hajlítónyomatékkal szembeni viselkedésének vizsgálata Készítették: Klinka Katalin és Völgyi István

A vizsgálat során alkalmazott geometria jellemzők: h := 500mm 500

450

b := 300mm d := 450mm

(A hajlítónyomaték alul okoz húzást)

As 300 A vizsgálat során alkalmazott anyagjellemzők definiálása: A repedésmentes beton σ(ε) diagramja:

A berepedt beton σ(ε) diagramja:

c[MPa]

σ [MPa]

c[MPa]

10,7 0,104

A betonacél σ(ε) diagramja: s

10,7

εc[% ]

3,5

0,585 1,9

0,585

3,5

434

εc[% ] ε' s

Ec = 18.3

kN

-25

2,17

2

mm

N mm

2

25

σ' s

fc.t := 1.9 ⋅

N mm

2

ε1 := ε2 :=

fc.c Ec fc.t Ec

ε1 = 0.585 ‰

εc.E := ε1

ε2 = 0.104 ‰

Es = 200

N 2

mm

s

εs.E :=

fy Es

εs.E = 2.17 ‰

A betonacél és a beton rugalmassági modulusának aránya:

Es Ec

mm

εcu := 3.5 ⋅ ‰

εsu := 25⋅ ‰ α E :=

kN 2

εc.E = 0.585 ‰

A betonacél anyagjellemzői: fy := 434⋅

ε [%0]

-434

A beton anyagjellemzői: fc.c := 10.7⋅

-2,17

α E = 10.93

Megjegyzés: A következő vizsgálatokban a betonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált beton illetve betonacél merevségi, szilárdsági jellemzői azonosak. Csak az alkalmazott betonacél mennyisége változik. Feltételezzük továbbá, hogy a keresztmetszetek hasznos magassága változatlan marad. A vizsgálat során csak az első terhelést veszük figyelembe, a visszaterheléssel, a reverzíbilitással, a maradó alakváltozásokkal és az újra terhelés esetével nem foglalkozunk. Meg kell még azt is állapítanunk, hogy a vizsgálatot a gerenda egyetlen keresztmetszetében végezzük el.



99

GYENGÉN VASALT VASBETON KERESZTMETSZET A

M

A-A metszet

- az alkalmazott húzott vasalás: 500

z

n := 2

450

M

φ := 12mm

2

φ ⋅π As := n⋅ 4

2φ12 300

A

darab

2

As = 226.2 mm

Az I. feszültségi állapotban levő (repedésmentes) vb. km. nyomatékfüggvénye: A vetületi egyenletből megkapjuk a repedesmentes vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét:

{

2 1 2

2(h-x) 3

.

s

c

{

εs

b

Fc.t Fs

 1 ⋅ κ ⋅ h − x ⋅ E ⋅ h − x ⋅ b − κ ⋅ d − x ⋅ E ⋅A  − κ ⋅ d − x ⋅E ⋅A = 0 2 ( ( I) c s ( I) s s I) c ( I) 

⋅ κ ⋅ xI⋅ Ec⋅ b ⋅ xI − ⋅ xI⋅ Ec⋅ b ⋅ xI −

Fc.c

2x 3

σ Ε ε2=κ*(h-x) ε2*Ec

As

1

κ

.

y

A

x

d

x

h

z

.

M

{

M

A-A metszet

{

A

Belső erők

ε1=κ*x ε1*Ec

1 2

(

)

(

)

(

)

(

)

⋅ h − xI ⋅ Ec⋅ h − xI ⋅ b − d − xI ⋅ Ec⋅ As − d − xI ⋅ Es⋅ As = 0

Az I. feszültségi állapothoz tartozó ideális keresztmetszet inerciája: 3

II :=

b ⋅ xI 3

+

(

)

b ⋅ h − xI

3

)2 (

(

+ As⋅ d − xI ⋅ α E − 1

3

xI = 254 mm

)

II = 321356.2 cm MI( κ ) := Ec⋅ II⋅ κ

Az I. feszültségi állapotban nyomaték a κ görbület függvényében:

4

Az I. feszültségi állapot határát jelentő görbület értéke: A húzott beton szélsőszál határnyúlásához tartozó görbület:

κ I :=

ε2

−7 1

h − xI

κ I = 4.213 × 10

mm

A II. feszültségi állapotban levő vb. km. nyomatékfüggvénye: A vetületi egyenletből megkapjuk a II. fesz. állapotban a vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét:

κ

y

1

b

(

x

εs

{

As A

Belső erők

c

2x 3

1

Fc.c=2 κ x Ec b x-κ (d'-x) Ec A's *

*

*

*

*

*

*

*

d

x

h

z

.

M

*

*

.

A-A metszet

{

M

ε σ ε1=κ x ε1 E

{

A

ε2=κ (h-x)

σ Ε

s c

Fs=κ (d-x) Es As *

*

*

*

)


xII = 78.3 mm

A II. feszültségi állapothoz tartozó ideális keresztmetszet inerciája: 3 1 2 III := xII ⋅ b ⋅ + As⋅ α E⋅ d − xII 3

III = 38955 cm

(

)

Az II. feszültségi állapotban nyomaték a κ görbület függvényében:

4

MII( κ ) := Ec⋅ III⋅ κ


Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz II c II

100

A II. feszültségi állapot határát jelentő görbület értéke: A nyomott szélsőszál rugalmassági határához tartozó nyúlásához a görbület:

κ 1 :=


κ s :=

 κ 1   κs   

ε1

−6 1

κ 1 = 7.47 × 10

xII εs.E

−6 1

κ s = 5.838 × 10

d − xII

mm −6 1

κ II := min

A II. feszültségi állapot határát adó κII görbület: (a húzott acél eléri a rugalmassági határát)

mm

κ II = 5.838 × 10

mm

A II. és a III. feszültségi állapot közötti intermedier állapotban levő vasbeton km. nyomatékfüggvényei: Ha a beton rugalmas állapotban van, az acélbetétek folynak, ekkor a nyomatékfüggvény: fy⋅ As 1 2 1 xfy( κ ) := Mfy( κ ) := ⋅ κ ⋅ Ec⋅ b ⋅ xfy( κ ) ⋅  d − ⋅ xfy( κ )  1 2 3 ⋅ κ ⋅ Ec⋅ b   2 Ha a beton rugalmas és képlékeny állapot határán van, az acélbetétek folynak, ekkor a görbület:

 ε1  2  ⋅ Ec⋅ b ⋅ x − fy⋅ As = 0 2  x  1

⋅

κ εc.E :=

x = 61.2 mm

ε1

−6 1

κ εc.E = 9.56 × 10

x

A beton képlékeny állapotban van, az acélbetétek folynak:

M

σ

Belső erők

c

Fc.c,1 Fc.c,2

.

x d

.

x

h

z

f

{

M

A-A metszet

ε

{

A

εc.1

κ

y

As b

A

a

εs

σs

Vetületi egyenlet:

1 b ⋅ ( x − a) ⋅ fc.c + ⋅ b ⋅ a⋅ fc.c − As⋅ fy = 0 2



b⋅ x −



ahol

a=

εc.E 

1  εc.E   ⋅ fc.c + ⋅ b⋅   ⋅ f − As⋅ fy = 0 2  κ  c.c κ 

b ⋅ x⋅ fc.c − b ⋅

xfc.c( κ ) :=

εc.E κ

⋅ fc.c +

1 2

⋅b⋅



εc.E



κ

− −fc.c⋅ b ⋅

+

εc.E κ 1 2

(fc.c⋅ b)

εc.E κ

εc.E κ

átalakítva ebből a semleges tengely helyének a függvénye:

⋅ fc.c − As⋅ fy = 0

⋅ fc.c⋅ b ⋅

Fs



− As⋅ fy



Ekkor nyomaték a κ függvényében: εc.E   xfc.c ( κ ) −   εc.E    2 εc.E  κ  1 εc.E  ( ) ( ) + ⋅b⋅ Mfc.c κ := b ⋅  xfc.c κ −  ⋅ fc.c⋅ d − ⋅ fc.c⋅  d − xfc.c( κ ) + ⋅  3 κ  2 κ  κ   2  

mm



101

III. feszültségi állapotban levő vasbeton keresztmetszet számítása: εc.E

A betonacél eléri a határnyúlását.

 

b⋅ x −

εc.E εsu

 

⋅ ( d − x)  ⋅ fc.c +

εsu

1 2

=

a d−x

ebből

a=

  εc.E ⋅ ( d − x) ⋅ fc.c − As⋅ fy = 0  εsu 

εc.E εsu

⋅ ( d − x)

b ⋅ ( x − a) ⋅ fc +

⋅b⋅

A görbület értéke III. feszültségi állapotban: A beton szélső szálának összenyomódása:

κ III := ε := κ III⋅ x

1 2

⋅ b⋅ a⋅ fc − As⋅ fy = 0

x = 35.4 mm

εsu

−5 1

κ III = 6.03 × 10

d− x ε = 2.1 ‰

mm

Tényleg nem éri el a határösszenyomódás értékét.

Megjegyzés: diagramokon az értékek Nm-ban és 1/m-ben értendők. A szemléltetés kedvéért ábrázoljuk egy diagramon a különböző állapotokhoz tartozó nyomaték függvényeket:

M I( κ )

5 .10

4

3.75 .10

4

2.5 .10

4

1.25 .10

4

MII( κ) Mfy( κ ) Mfc.c( κ )

0

0

0.005

0.01

0.015

0.02

κ

A gyengén vasalt vasbeton keresztmetszet M(κ) görbéje: A viselkedést az előbbi nyomaték-függvények metszéspontjai alapján kapjuk:

(

5 .10

4

3.75 .10

4

)

Mgy κ , hgy 2.5 .104

1.25 .10

4

0

0

0.016

0.031 κ

0.047

0.062



102

NORMÁLISAN VASALT VASBETON KERESZTMETSZET A

M

A-A metszet


500

z

450

M

darab

φ := 20mm

2

φ ⋅π As := n⋅ 4

300

A

n := 4

As = 1256.6 mm

2

Az I. feszültségi állapotban levő (repedésmentes) vb. km. nyomatékfüggvénye: 1 2

⋅ xI⋅ Ec⋅ b ⋅ xI − 3

II :=

b ⋅ xI 3

+

 1  ⋅ ( h − xI)⋅ Ec⋅ ( h − xI) b − ( d − xI) ⋅ Ec⋅ As − ( d − xI)Es⋅ As = 0 2 

)3

(

b ⋅ h − xI 3

) ( 2

(

+ As⋅ d − xI ⋅ α E − 1

xI = 265 mm

)

II = 321356.2 cm

MI( κ ) := Ec⋅ II⋅ κ Az I. feszültségi állapot határát jelentő görbület értéke: ε2 κ I := h − xI

4

−7 1

κ I = 4.425 × 10

mm

A II. feszültségi állapotban levő vb. km. nyomatékfüggvénye: 1

(

)


xII = 162.3 mm


III = 156428 cm

II hn := III


(

)


κ 1 :=


κ s :=

A II. feszültségi állapot határát adó κII görbület: (a nyomott szélsőszál eléri a rugalmassági határát)

 κ1    κs   

κ II := min

ε1 xII εs.E d − xII

4

−6 1

κ 1 = 3.603 × 10

mm

−6 1

κ s = 7.543 × 10

mm −6 1

κ II = 3.603 × 10

mm



103

A II. és a III. feszültségi állapot közötti intermedier állapotban levő vasbeton km. nyomatékfüggvényei: Ha beton képlékeny állapotban van, az acélbetétek rugalmasak, ekkor a nyomatékfüggvény: b ⋅ ( x − a) ⋅ fc.c + a=

εc.E





2

⋅ b ⋅ a⋅ fc.c − As⋅ Es⋅ εs = 0

εs = κ ⋅ ( d − x)

ehhez tartozó betonacél feszültség:

σ s = Es⋅ εs

behelyettesítve a vetületi egyenletbe:

κ

b⋅ x −

1

εc.E 

1  εc.E   ⋅ fc.c + ⋅ b⋅   ⋅ f − As⋅ Es⋅ κ ⋅ (d − x) = 0 2  κ  c.c κ 

(

)

x⋅ fc.c⋅ b + As⋅ Es⋅ κ − fc.c⋅ b ⋅

εc.E κ

+

1 2

⋅ fc.c⋅ b ⋅

A semleges tengely helye a κ függvényében:

εc.E κ

átrendezve

− As⋅ Es⋅ κ ⋅ d = 0

xfc.c( κ ) :=



εc.E



κ

− −fc.c⋅ b ⋅

A nyomaték a κ függvényében:

(

+

1 2

⋅ fc.c⋅ b ⋅

εc.E κ

fc.c⋅ b + As⋅ Es⋅ κ



− As⋅ Es⋅ κ ⋅ d



)

εc.E   xfc.c ( κ ) −   εc.E    2 εc.E  κ  1 εc.E  ( ) ( ) Mfc.c κ := b ⋅  xfc.c κ −  ⋅ fc.c⋅ d − ⋅ fc.c⋅  d − xfc.c( κ ) + ⋅  + ⋅b⋅ 3 κ  2 κ κ    2   Ennek az állapotnak a határát az acélbetétek megfolyása jelenti, az ehhez tartozó görbület értéke: εc.E εs.E

=

a

ebből

d−x

a=

εc.E εs.E

⋅ ( d − x)

A semleges tengely helye a vetületi egyenletből meghatározható: εc.E    1  εc.E b⋅ x − ⋅ ( d − x)  ⋅ fc.c + ⋅ b ⋅  ⋅ ( d − x) ⋅ fc.c − As⋅ fy = 0 2  εs.E    εs.E  Az acélbetétek megfolyásához tartozó görbület értéke:

x = 203.2 mm κ εs.E :=

εs.E

−6 1

κ εs.E = 8.791 × 10

d− x

A beton képlékeny állapotban van, az acélbetétek folynak, ekkor a nyomatékfüggvény: Vetületi egyenlet: b ⋅ ( x − a) ⋅ fc.c +

1 2

⋅ b ⋅ a⋅ fc.c − As⋅ fy = 0

A semleges tengely helye a κ függvényében: A nyomaték a κ függvényében:

xfy( κ ) :=



εc.E



κ

− −fc.c⋅ b ⋅

+

1 2

⋅ fc.c⋅ b ⋅

(fc.c⋅ b)

εc.E κ



− As⋅ fy

εc.E   xfy( κ ) −   εc.E    2 εc.E  κ  1 εc.E  + ⋅ b⋅ Mfy( κ ) := b ⋅  xfy( κ ) −  ⋅ fc.c⋅ d − ⋅ fc.c⋅  d − xfy( κ ) + ⋅  3 κ  2 κ  κ   2  



mm



104

III. feszültségi állapotban levő vasbeton keresztmetszet számítása: A vasbeton nyomott, felső szélső szálban az összenyomódás eléri a beton határösszenyomódásának értékét, ezért a vb. keresztmetszet a III. feszültség állapotba kerül (εc,felső=εc,u=3,5%o)! A semleges tengely helye a vetületi egyenletből meghatározható: 1 b ⋅ ( x − a) ⋅ fc + ⋅ b⋅ a⋅ fc − As⋅ fy = 0 2

 

b⋅ x −

 εcu  

εc.E

⋅ x ⋅ fc.c +

1 2

 εc.E  ⋅ x ⋅ f − As⋅ fy = 0  εcu  c.c

⋅b⋅


κ εcu :=

x = 185.4 mm εcu

−5 1

κ εcu = 1.888 × 10

x

A szemléltetés kedvéért ábrázoljuk egy diagramon a különböző állapotokhoz tartozó nyomaték függvényeket: Megjegyzés: diagramon az értékek Nm- ben és 1/m-ben értendők. 5

2.5 .10

5

1.88 .10

M I( κ ) M II( κ )

5

M fy( κ )

1.25 .10

M fc.c( κ )

4

6.25 .10

0

0

0.005

0.01

0.015

0.02

κ

A normálisan vasalt vasbeton keresztmetszet M(κ) görbéje: A viselkedést az előbbi nyomaték-függvények metszéspontjai alapján kapjuk: 5

2.2 .10

5

1.65 .10

(

)

M n κ , hn 1.1 .105

4

5.5 .10

0

0

0.005

0.01 κ

0.015

0.02

mm



105

TÚLVASALT KERESZTMETSZET VISELKEDÉSE A

M

A-A metszet

az alkalmazott húzott vasalás:

6φ20

500

z

n := 6

450

M

φ := 20mm

darab 2

φ ⋅π As := n⋅ 4

As = 1885 mm

2

300

A

Az I. feszültségi állapotban levő (repedésmentes) vasbeton keresztmetszet nyomatékfüggvénye: 1 2

⋅ xI⋅ Ec⋅ b ⋅ xI − 3

II :=

b ⋅ xI 3

+

 1  ⋅ ( h − xI)⋅ Ec⋅ ( h − xI) b − ( d − xI) ⋅ Ec⋅ As − ( d − xI)Es⋅ As = 0 2 

(

)

b ⋅ h − xI 3

3

)2 (

(

+ As⋅ d − xI ⋅ α E − 1

xI = 272 mm

)

II = 379058.1 cm

4

MI( κ ) := Ec⋅ II⋅ κ Az I. feszültségi állapot határát jelentő görbület értéke: ε2 κ I := h − xI

−7 1

κ I = 4.557 × 10

mm

A II. feszültségi állapotban levő vb. km. nyomatékfüggvénye: 1

(

)


xII = 189.2 mm


(

)

III = 207846 cm




κ 1 :=

κ s :=

ε1 xII εs.E d − xII

 κ1    κs   

κ II := min

A II. feszültségi állapot határát adó κII görbület: (a nyomott szélsőszál eléri a rugalmassági határát)

−6 1

κ 1 = 3.09 × 10



−6 1

1  εc.E   ⋅ fc.c + ⋅ b⋅   ⋅ f − As⋅ Es⋅ κ ⋅ (d − x) = 0 2  κ  c.c κ   εc.E εc.E   1 − −fc.c⋅ b ⋅ + ⋅ fc.c⋅ b ⋅ − As⋅ Es⋅ κ ⋅ d 2 κ κ   A semleges tengely helye a κ függvényében: x ( κ ) := A nyomaték a κ függvényében:

(fc.c⋅ b + As⋅ Es⋅ κ )

εc.E   xfc.c ( κ ) −   εc.E    2 εc.E  κ  1 εc.E  ( ) ( ) + ⋅b⋅ Mfc.c κ := b ⋅  xfc.c κ −  ⋅ fc.c⋅ d − ⋅ fc.c⋅  d − xfc.c( κ ) + ⋅  3 κ  2 κ  κ   2  

mm

−6 1

κ II = 3.09 × 10

εc.E 

fc.c

mm

κ s = 8.322 × 10

A II. és a III. feszültségi állapot közötti intermedier állapotban levő vasbeton km. nyomatékfüggvényei: A beton képlékenyedik, az acélbetétek rugalmas állapotban vannak, ekkor a nyomatékfüggvény: 1 b ⋅ ( x − a) ⋅ fc.c + ⋅ b ⋅ a⋅ fc.c − As⋅ Es⋅ εs = 0 σ s = Es⋅ εs 2 b⋅ x −

4

mm



106

III. feszültségi állapotban levő vasbeton keresztmetszet számítása: A vasbeton km. nyomott, felső szélső szálában az összenyomódás eléri a beton határösszenyomódásának értékét: εcu=3,5%o, így III. fesz. állapotba kerül, mielőtt az acél megfolyna A semleges tengely helye a vetületi egyenletből meghatározható: εc.E εc.E a ebből = a= ⋅x d−x εcu εcu εcu εcu 1 κ= εs = κ ⋅ ( d − x) = ⋅ ( d − x) b ⋅ ( x − a) ⋅ fc + ⋅ b⋅ a⋅ fc − As⋅ Es⋅ εs = 0 2 x x

 

b⋅ x −

 εcu  

εc.E

⋅ x ⋅ fc.c +

1 2

  εc.E   εcu ⋅ x ⋅ fc.c − As⋅ Es⋅  ⋅ ( d − x) = 0  εcu   x 

⋅b⋅


κ εcu :=

Ekkor az acélban keletkező megnyúlás: εs := κ εcu⋅ ( d − x) εs = 2.168 ‰

x = 277.9 mm

εcu

−5 1

κ εcu = 1.26 × 10

x <

mm

εs.E = 2.17 ‰

A szemléltetés kedvéért ábrázoljuk egy diagramon a különböző állapotokhoz tartozó nyomaték függvényeket: 4 .10

5

3 .10

5

M fc.c( κ ) M I( κ )

2 .10

5

1 .10

5

M II( κ )

0

0

0.013

0.025

0.038

0.05

κ

A túlvasalt vasbeton keresztmetszet M(κ) görbéje: 5

3 .10

5

2.25 .10

(

)

Mt κ , ht 1.5 .105

4

7.5 .10

0

0

0.0038

0.0075 κ

0.0113

0.015



107

A gyengén -, a normálisan - és túlvasalt vasbeton keresztmetszet M(κ) görbéi

(

3 .10

5

2.25 .10

5

)

Mgy κ , hgy

( ) M t ( κ , ht ) M n κ , hn

1.5 .10

5

7.5 .10

4

0

0

0.016

0.031

0.047

0.062

κ

A diagramon követhető, hogy a repesztőnyomaték nagysága alig függ a vasmennyiségtől. Az is megfigyelhető, hogy ha kevés a betonacél a vb. keresztmetszetben (II>>III) az I. feszültségi állapothoz tartozó egyenes meredekségéhez képest jelentősen lecsökken a II. feszültségi állapothoz tartozó egyenes meredeksége, míg sok betonacél esetén ez alig csökken. A gyengén vasalt keresztmetszetnél a felvehető MRd hajlítónyomaték értéke nem sokkal nagyobb, mint a repesztőnyomaték, és már egy igen alacsony nyomatékértéknél nagy alakváltozások játszódnak le. A túlvasalt keresztmetszetnél pedig az látható, hogy a III. feszültségi állapot elérése előtt csak korlátozottan képes alakváltozásokra. A normálisan vasalt vb. keresztmetszetek viselkedése mindezekkel szemben kedvező, hisz megfelelően nagy nyomatékot képes felvenni a repesztőnyomaték felett és a keresztmetszet tönkremenetele előtt jelentősen nagy képlékeny alakváltozásokra képes.

Felkészülést segítő példák II. gyak.-hoz

108


FELKÉSZÜLÉST SEGÍTŐ PÉLDÁK AZ II. GYAKORLATHOZ

Hajlított vasbeton keresztmetszet ellenőrzése (Négyszög és T-alakú keresztmetszetek nyomatéki teherbírása III. feszültségi állapotban) Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin

1. példa: Határozza meg az ábrán látható vasbeton keresztmetszet nyomatéki teherbírását (MRd)! (A nyomaték alul okoz húzást.) Anyagjellemzők: beton: C25/30 betonacél: S400B 20mm 10 mm

10

550 25

betonfedés: kedvezőtlen vaselmozd.:

7 25 300

Megoldás:

As = 3436.1 mm d = 480.8 mm

2

Feltevés: Tegyük fel, hogy a húzott acélok megfolynak - A vetületi egyenletből:

xc = 239 mm ξ c = 0.497 <

A feltételezés helyes volt, az acél folyik

ξ c0 = 0.534

- A húzott acélbetétek súlyvonalára felírt nyomatéki egyenletből:

MRd = 431.8 kN⋅ m

2. példa: Határozza meg az ábrán látható vasbeton keresztmetszet nyomatéki teherbírását (MRd)! (A nyomaték alul okoz húzást.)

10

400 20

Anyagjellemzők: beton: C25/30 betonacél: S500B betonfedés: 20mm kedvezőtlen vaselmozd: 10mm

6 20 250

Megoldás:

As = 1885 mm d = 336.7 mm

2

Feltevés: Tegyük fel, hogy a húzott acélok megfolynak -A vetületi egyenletből:

xc = 196.7 mm Feltevés ellenőrzése: ξ c = 0.584 > ξ c0 = 0.493 A feltételezés nem volt jó, az acél rugalmas állapotban van -A feltétel módosításával nyert vetületi egyenletből: ξ c = 0.516

>

ξ c0 = 0.493

xc = 173.9 mm

Az acél rugalmas állapotban van

-A húzott acélbetétek súlyvonalára felírt nyomatéki egyenletből:

MRd = 180.9 kN⋅ m


109


3. példa: Határozza meg az ábrán látható vasbeton keresztmetszet nyomatéki teherbírását (M Rd)! (A nyomaték alul okoz húzást.)

8

450 20

Anyagjellemzők: beton: C20/25 betonacél: S500B betonfedés: kedvezőtlen vaselmozd.:

20mm 10 mm

6 20 300

Megoldás: As = 1885 mm d = 388.7 mm

2

Feltevés: Tegyük fel, hogy a húzott acélok megfolynak -A vetületi egyenletből:

xc = 204.9 mm

Feltevés ellenőrzése: ξ c = 0.527 > ξ c0 = 0.493 A feltételezés nem volt helyes, az acél rugalmas állapotban van

-A feltétel módosításával nyert vetületi egyenletből: ξ c = 0.502 >

ξ c0 = 0.493

xc = 195.3 mm Az acél rugalmas állapotban van


MRd = 227.3 kN⋅ m


betonfedés: kedvezőtlen vaselmozd.:

2 12 8

400 20

Anyagjellemzők: beton: C16/20 betonacél: S400B

6 16

20mm 10 mm

250

Megoldás: - húzott vasalás:

As = 1206.4 mm d = 342 mm

- nyomott vasalás:

A´s = 226.2 mm d´ = 44 mm

2

2

Feltevés: Tegyük fel, hogy a húzott acélok is és a nyomott acélok is megfolynak -A vetületi egyenletből: xc = 127.8 mm Feltevés ellenőrzése : ξ c = 0.374

< ξ c0 = 0.534 A feltételezés helyes volt, a húzott acél folyási állapotban van

ξć = 2.906 > ξć0 = 1.59 A feltételezés helyes volt, a nyomott acél folyási állapotban van -A húzott acélbetétek súlyvonalára felírt nyomatéki egyenletből: MRd = 118.3 kN⋅ m


110


5. példa: Határozza meg az ábrán látható vasbeton keresztmetszet nyomatéki teherbírását (M Rd)! (A nyomaték alul okoz húzást.)

2 12 8

520 20

Anyagjellemzők: beton: C25/30 betonacél: S500B betonfedés: 20mm kedvezőtlen vaselm.:10 mm

3 16 4 20 350

Megoldás: - húzott vasalás:

As = 1859.8 mm d = 455.7 mm

- nyomott vasalás:

A´s = 226.2 mm d´ = 44 mm

2

2

Feltevés: Tegyük fel, hogy a húzott acélok is és a nyomott acélok is megfolynak - A vetületi egyenletből:

> ξć0 = 2.111

A feltételezés helyes volt, a nyomott acél folyási állapotban van


MRd = 320.9 kN⋅ m

d

6. példa: Határozza meg az ábrán látható vasbeton keresztmetszet nyomatéki teherbírását (MRd)! (A nyomaték alul okoz húzást.) b Anyagjellemzők: Geometriai adatok: beton: C20/25 b := 600mm betonacél: S500B h := 500mm Vasalás: b w := 300mm húzott betétek: 4φ25 As t := 140mm kengyel: φ10 betonfedés: 25mm bw kedvezőtlen vaselmozd.: 10 mm

t

ξć = 2.767

A feltételezés helyes volt, a húzott acél folyási állapotban van

h

xc = 121.8 mm Feltevés ellenőrzése : ξ c = 0.267 < ξ c0 = 0.493

Megoldás: As = 1963.5 mm d = 442.5 mm

2

Feltevés: Tegyük fel, hogy a húzott acélok megfolynak és a nyomott zóna a fejlemezben van -A vetületi egyenletből:

xc = 106.7 mm

Feltevés ellenőrzése : ξ c = 0.241 xc = 106.7 mm

<

ξ c0 = 0.493 A feltételezés helyes volt, az acél folyási állapotban van

<

t = 140 mm

A nyomott zóna a fejlemezben van


MRd = 332.2 kN⋅ m

111




Megoldás:

As = 3801.3 mm d = 449 mm

b t

Geometriai adatok: b := 450mm b w := 300mm

h

d

Anyagjellemzők: beton: C25/30 betonacél: S360A Vasalás: húzott betétek: 10φ22 kengyel: φ10 betonfedés: 20mm kedvezőtlen vaselmozdulás:

h := 560mm t := 150mm

As bw

10 mm

2


xc = 158.7 mm

< ξ c0 = 0.493 A feltételezés helyes volt, az acél folyási állapotban van Feltevés ellenőrzése : ξ c = 0.353 xc = 158.7 mm > t = 150 mm A felt. nem helyes nyomott zóna a bordába is belenyúlik -A feltétel módosításával nyert vetületi egyenletből:

Feltevés ellenőrzése :

t = 150 mm

A nyomott zóna a bordába is belenyúlik

ξ c = 0.363

< ξ c0 = 0.493 A feltételezés helyes volt, az acél folyási állapotban van


MRd = 439.8 kN⋅ m

d

8. példa: Határozza meg az ábrán látható vasbeton keresztmetszet nyomatéki teherbírását (MRd)! (A nyomaték alul okoz húzást.) b Anyagjellemzők: beton: C25/30 Geometriai adatok: betonacél: S500B b := 400mm b w := 250mm húzott betétek: 9φ22 t := 100mm kengyel: φ10 h := 610mm betonfedés: 20mm As kedvezőtlen vaselmozd.: 10 mm

t

>

h

xc = 163 mm

bw 2

Megoldás:

As = 3421.2 mm d = 509 mm Feltevés: Tegyük fel, hogy a húzott acélok megfolynak és a nyomott zóna a fejlemezban van -A vetületi egyenletből:

xc = 160.6 mm

Feltevés ellenőrzése : xc = 160.6 mm > < ξ c = 0.316

t = 100 mm

A felt. nem volt helyes a nyomott zóna a bordába is belenyúlik

ξ c0 = 0.553 A feltételezés helyes volt, az acél folyási állapotban van

- A feltétel módosításával nyert vetületi egyenletből:

xc = 197 mm

Feltevés ellenőrzése : xc = 197 mm > ξ c = 0.387 <

t = 100 mm


ξ c0 = 0.553

A feltételezés helyes volt, az acél folyási állapotban van


MRd = 451.75 kN⋅ m


112


Vasalás:

h := 500mm t := 100mm

húzott betétek: 4φ25 kengyel: φ10 betonfedés: 25mm kedvezőtlen vaselmozdulás: As = 1963.5 mm d = 552.5 mm

Megoldás:

b

h

Geometriai adatok: b := 600mm b w := 300mm

d


t


As bw

10 mm

2


xc = 106.7 mm

Feltevés ellenőrzése : xc = 106.7 mm > t = 100 mm ξ c = 0.193

A felt. nem volt helyes a nyomott zóna a bordába is belenyúlik < ξ c0 = 0.553 A felt. helyes volt, az acél folyási állapotban van

-A feltétel módosításával nyert vetületi egyenletből: A nyomott zóna a bordába is belenyúlik xc = 113.4 mm > t = 100 mm < A feltételezés helyes volt, az acélok folynak Feltevés ellenőrzése : ξ c = 0.205 ξ c0 = 0.553 -A húzott acélbetétek súlyvonalára felírt nyomatéki egyenletből: MRd = 425.9 kN⋅ m 10. példa: Határozza meg az ábrán látható vasbeton keresztmetszet nyomatéki teherbírását (M Rd)! (A nyomaték alul okoz húzást.) Anyagjellemzők: beton: C20/25 betonacél: S500B húzott betétek: kengyel: betonfedés: kedvezőtlen vaselmozd.:

t

h := 600mm 4φ25 t := 100mm φ10 25mm 10 mm

h

b := 500mm b w := 300mm

d

Vasalás:

b

Geometriai adatok:

As bw

2

Megoldás:

As = 1963.5 mm d = 442.5 mm Feltevés: Tegyük fel, hogy a húzott acélok megfolynak és a nyomott zóna a fejlemezben van -A vetületi egyenletből:

xc = 128.1 mm

Feltevés ellenőrzése : xc = 128.1 mm > < ξ c = 0.289

t = 100 mm ξ c0 = 0.493

A felt. nem volt helyes a nyomott zóna a bordába is belenyúlik A feltételezés helyes volt, az acél folyási állapotban van

-A feltétel módosításával nyert vetületi egyenletből: xc = 146.8 mm >

t = 100 mm


< ξ c0 = 0.493 az acél folyási állapotban van -A húzott acélbetétek súlyvonalára felírt nyomatéki egyenletből: ξ c = 0.332

MRd = 321.4 kN⋅ m


II. gyakorlat

113 KIEGÉSZÍTŐ ANYAG AZ II. GYAKORLATHOZ

Egyszeresen vasalt négyszög keresztmetszet hajlítónyomatékkal szembeni viselkedésének elemezése Készítették: Klinka Katalin és Völgyi István

Az elemzés során az alábbi vasbeton keresztmetszet viselkedését kísérjük végig egyre növekvő húzott vasmennyiségek mellett: A vizsgálat során alkalmazott geometria jellemzők: h := 500mm 500

450

b := 300mm d := 450mm

As

A hajlítónyomaték alul okoz húzást

300 A vizsgálat során alkalmazott anyagjellemzők definiálása: A beton σ(ε) diagramja: A betonacél σ(ε) diagramja:

σ f αf

σs

C16/20

c

σ ασ

ck cd

ε =0,7 c1

-f yk -f yd

S500B

ck

cd

σyk σyd

ε's

ε [% 0] ε =3,5 c

f yd Es

cu

σ'yd σ'yk

εsu=-25

ε [%o] s

f yd' f yk' σs'

A beton anyagjellemzői: C16/20 fck := 16⋅

N 2

mm

fcd :=

fck γc

A betonacél anyagjellemzői: S500B fyk N fyk := 500⋅ fyd := 2 γs mm ξ c0 :=

560 fyd + 700

ξ c0 = 0.5

fcd = 10.7

N mm

fyd = 434.8

fctm := 1.9

2

N mm

xc0 := d⋅ ξ c0

2

N 2

mm

εsu := 25⋅ ‰

εcu := 3.5 ⋅ ‰

Es = 200

xc0 = 222.1 mm

Megjegyzés: A vizsgálat a keresztmetszet tönkremenetelét okozó görbületre ill. nyomatékra korlátozódik.

Az EC szerkesztési szabályok ad meg vasbeton keresztmetszetekben előírt minimális és maximális vasmennyiségre, ahhoz hogy egyátalán vasbetonként számolhatóak legyenek:

 0.26⋅ fctm⋅ b ⋅ d    fyk Asmin := max   1.3 ⋅ ‰⋅ b ⋅ d   

Asmin = 175.5 mm

Asmax := 4%⋅ b ⋅ d

Asmax = 5400 mm

2

2

kN mm

2


II. gyakorlat

114

A vasbeton keresztmetszet tönkremeneteli módját tekintve három fő csoportot különböztetünk meg: - a gyengén vasalt keresztmetszetek, - a normálisan vasalt keresztmetszetek és - a túlvasalt keresztmetszetek σ [MPa] c

f cd=10,7

"a" GYENGÉN VASALT KM.

xb_c

ε σ'[MPa] s

S500B

"c" TÚLVASALT KM.

"b" NORMÁLISAN VASALT KM.

ε

su

c

As b=300 mm

su

ε

s

xc.b_c

d=450 mm

h=500 mm

xa_b

ε

C16/20 ε [%0]

εcu=3,5

0,7

=-25

=-25

f =2,17 E

ε

f =2,17 E

yd

yd

s

=25

su

ε'[%0] s

s

f

=434,8

yd

σ

s

Határozzuk meg először, mekkora vasmennyiségek esetén van a vb. keresztmetszet éppen a viselkedésmódok határán! Gyengén vasalt (a) és normálisan vasalt (b) keresztmetszet határa: Ilyen esetben a modellünk szerint a nyomott beton szélső szál összenyomdása éppen akkor merül ki (3.5 ‰), amikor az acélbetét elszakad (25 ‰). Számszerűen: =3,5% 0

cu .

xa_b

h

d

3.5 ⋅ ‰ 25⋅ ‰ εsu=25%

As

=

xa_b d − xa_b

és

xc.a_b = 1.25⋅ xa_b

0

b

3.5 ⋅ ‰⋅ d xc.a_b := 1.25⋅ ( 25⋅ ‰ + 3.5 ⋅ ‰)

xc.a_b = 44.2 mm

A fenti összefüggéseket felhasználva, a vetületi egyenletből megkapjuk a vasmennyiséget: b ⋅ xc.a_b⋅ α ⋅ fcd = As.a_b ⋅ fyd As.a_b :=

b ⋅ xc.a_b⋅ α ⋅ fcd fyd

As.a_b = 325.4 mm

2


II. gyakorlat

115

Normálisan vasalt (b) és túlvasalt (c) keresztmetszet határa: Ekkor a nyomott zóna relatív magasság éppen a határhelyzettel egyenlő:xc.b_c := ξ c0⋅ d

xc.b_c = 222.1 mm

A vetületi egyenletből megkapjuk a vasmennyiséget: b ⋅ xc.b_c⋅ α ⋅ fcd = As.b_c⋅ fyd As.b_c :=

b ⋅ xc.b_c⋅ α ⋅ fcd

As.b_c = 1634.4 mm

2

fyd A következőkben meghatározzuk, hogyan alakul a három szakaszon a kmetszet határnyomatéka és a keresztmetszet relatív elfordulása a vasmennyiség függvényében: Gyengén vasalt keresztmetszet: As⋅ fyd A nyomott betonzóna magassága vasmennyiség függvényében: xc.a As := b ⋅ α ⋅ fcd

( )

A keresztmetszet határnyomatéka a vasmennyiség függvényében

1 MRd.a As := As⋅ fyd⋅  d − ⋅ xc.a As 2 

( )

( )

Mekkora ekkor a keresztmetszet görbülete? Az acélbetét megnyúlása 25 ‰, ekkor a nyomott szélső száltól xc távolságra a beton összenyomódása 0,7 ‰ :

(

)

κ Rda⋅ d − xc.a = 0.7‰ + 25‰ 25.7‰ κ Rd.a As := d − xc.a As

( )

A keresztmetszet görbülete a vasmennyiség függvényében: A normálisan vasalt keresztmetszet:

( )

A nyomott betonzóna magassága:

xc.b As :=

( )

As⋅ fyd b ⋅ α ⋅ fcd

A normálisan vasalt km. határnyomatéka a vasmennyiség függvényében

1 MRd.b As := As⋅ fyd⋅  d − xc.b As 2 

A normálisan vasalt km. görbülete a vasmennyiség függvényében:

3.5‰ κ Rd.b As := 1.25⋅ xc.b As

( )

( )

( )

( )

A túlvasalt keresztmetszet: Most az acélbetét rugalmas állapotban van, így az fügvények meghatározása kicsit bonyolultabb feladat. 560⋅ d 560⋅ d N σs = − 700 és b ⋅ xc.c⋅ α ⋅ fcd = As⋅  − 700 ⋅ xc.c  xc.c  mm2 560⋅ d N N b ⋅ xc.c⋅ α ⋅ fcd = As⋅ ⋅ − 700As⋅ 2 xc.c 2 mm mm 560⋅ d N N b ⋅ xc.c⋅ α ⋅ fcd − As⋅ ⋅ + 700As⋅ =0 2 xc.c 2 mm mm 2

b ⋅ α ⋅ fcd⋅ xc.c + 700As⋅

N ⋅ xc.c − As⋅ 560⋅ d⋅ =0 2 2 mm mm N

A valós fizikai jelentéssel bíró xc.c függvénye:

( )

xc.c As :=

−700⋅ As⋅

N mm

2

+

700 ⋅ As ⋅   2

2

2

 + 4⋅ 560⋅ A ⋅ d⋅ b⋅ f ⋅  N  s cd  2 2  mm   mm  N

2 ⋅ b ⋅ fcd

( )

( )

 

A túlvasalt km. határnyomatéka a vasmennyiség függvényében:

MRd.c As := b ⋅ xc.c As ⋅ α ⋅ fcd⋅  d −

A túlvasalt km. görbülete a vasmennyiség függvényében:

3.5‰ κ Rd.c As := 1.25⋅ xc.c As

( )

( )

( )

xc.c As 2

 


II. gyakorlat

116

Az egyszeresen vasalt vasbeton négyszög keresztmetszetek viselkedése a vasmennyiség függvényében: A szemléltetés érdekében ábrázoljuk külön-külön a görbületfüggvényeket: Megjegyzés: a grafikonokon az értékek Nm-ban, mm 2-ben és 1/m-ben vannak megadva. 0.2

( ) κ Rd.b( As ) κ Rd.c( As )0.067

κ Rd.a As 0.13

0 5 5 .10

0.0014

As

0.0027

0.004

A függvények metszéspontjai megadják a gyengén, a normálisan és a túlvasalt keresztmetszetek viselkedésének a határát. Nyilvánvaló, hogy ezen határokon belül a görbületet jellemző függvény más és más, tehát növekvő vasmennyiség mellett a valós viselkedést leíró görbületfüggvény a következő grafikonon látható: κ Rd As := κ Rd.b As MRd As := MRd.b As

( )

( ) κ Rd.a( As) κ Rd.c( As)

( )

if As < As.a_b if As.b_c < As < Asmax

( ) MRd.a( As) MRd.c( As)

if As < As.a_b if As.b_c < As < Asmax

0.05

( )

κ Rd As

0

0.001

0.002

0.003

0.004

As

5

2 .10

( )

MRd As

0

0

0.001

0.002

0.003

0.004

As

Az MRd(As) diagramon látható, hogy amíg a keresztmetszet normálisan vasalt a vasmennyiség növekedése jelentős mértékben növeli a vasbeton keresztmetszet hajlítónyomatéki ellenállását, addig a túlvasalt keresztmetszetnél a vasmennyiség növelése alig növeli meg a határnyomaték értékét. A κRd(As) diagramon az figyelhető meg, hogy a vb. tartó a vasmennyiség növekedésével egyre kisebb alakváltozásra lesz képes, míg túlvasalt esetben pedig csak egészen kis alakváltozásra, aminek az a következménye, hogy a képlékeny nyomatékátrendeződés nem tud lejátszódni. Tanulságként levontató, hogy nem érdemes a vasbeton keresztmetszetben vasmennyiséget úgy növelni, hogy a túlvasalt keresztmetszetet kapjunk, mert az gazdaságtalan lenne és csak korlátozott alakváltozásokra képes, így rideg törésre hajlamos.


Felkészülést segítő példák a III. gyak.-hoz

117

FELKÉSZÜLÉST SEGÍTŐ PÉLDÁK AZ III. GYAKORLATHOZ

Hajlított vasbeton keresztmetszet tervezése (Négyszög alakú keresztmetszetek kötött és szabad tervezése) Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin

h

d'

1. példa: Tervezze meg az alábbi négyszög keresztmetszet húzott (és ha szükséges nyomott) vasalását, ha a nyomaték tervezési értéke M Ed=70 kNm! (A nyomaték alul okoz húzást.) Anyagjellemzők: Geometriai adatok: A's beton: C20/25 h = 350 mm betonacél: S360A d = 300 mm d ´ = 50 mm b = 200 mm As

b xc0 = 165.8 mm Maximális nyomaték, amit keresztmetszet nyomott vasalás nélkül el tud viselni úgy, hogy a húzott acélbetétek folyanak:

Megoldás:

>

M0 = 96 kN⋅ m

MEd = 70 kN⋅ m


- nyomott zóna számítás nyomatéki egyenletből:

xc = 106.4 mm

- húzott acélok keresztemtszeti területe a vetületi egyenletből:

As = 906 mm

2

d'

2.példa: Tervezze meg az alábbi négyszög keresztmetszet húzott (és ha szükséges nyomott) vasalását, ha a nyomaték tervezési értéke M Ed=100 kNm! (A nyomaték alul okoz húzást.)

Megoldás:

A's h

Geometriai adatok: h = 400 mm d = 360 mm d ´ = 40 mm b = 250 mm


As b

xc0 = 192.4 mm

Maximális nyomaték, amit keresztmetszet nyomott vasalás nélkül el tud viselni úgy, hogy a húzott acélbetétek folyanak: nem kell nyomott vasalás > M0 = 135.3 kN⋅ m MEd = 100 kN⋅ m - nyomott zóna számítás nyomatéki egyenletből:

xc = 126.3 mm


As = 968.6 mm

2


A's h


d'

3. példa: Tervezze meg az alábbi négyszög keresztmetszet húzott (és ha szükséges nyomott) vasalását, ha a nyomaték tervezési értéke M Ed=600 kNm! (A nyomaték alul okoz húzást.)

As


Megoldás:

M0 = 888.5 kN⋅ m

>

MEd = 600 kN⋅ m

- nyomott zóna számítás nyomatéki egyenletből: - húzott acélok keresztemtszeti területe a vetületi egyenletből:

nem kell nyomott vasalás xc = 172.5 mm As = 2975.8 mm

2



118

d'

4. példa: Tervezze meg az alábbi négyszög keresztmetszet húzott (és ha szükséges nyomott) vasalását, ha a nyomaték tervezési értéke M Ed=50 kNm! (A nyomaték alul okoz húzást.) Geometriai adatok: h = 300 mm d = 250 mm d ´ = 50 mm b = 200 mm

A's h


As


Megoldás:

>

M0 = 77.4 kN⋅ m


MEd = 50 kN⋅ m

- nyomott zóna számítás nyomatéki egyenletből:

xc = 69.7 mm

- húzott acélok keresztmetszeti területe a vetületi egyenletből:

As = 534.5 mm

2


A's h

Geometriai adatok: h = 460 mm d = 410 mm d ´= 50 mm b = 300 mm

d'


As b

xc0 = 202.3 mm Maximális nyomaték, amit keresztmetszet nyomott vasalás nélkül el tud viselni úgy, hogy a húzott acélbetétek folyanak:

Megoldás:

<

M0 = 249.9 kN⋅ m


MEd = 300 kN⋅ m

2

- nyomott acélok keresztemtszeti területe nyomatéki egyenletből:

A´s = 319.8 mm


As = 2181.2 mm

2

A's


h


d'


As b

xc0 = 172.7 mm Maximális nyomaték, amit keresztmetszet nyomott vasalás nélkül el tud viselni úgy, hogy a húzott acélbetétek folyanak:

Megoldás:

M0 = 189.7 kN⋅ m

<

MEd = 200 kN⋅ m

kell nyomott vasalás 2

- nyomott acélok keresztmetszeti területe nyomatéki egyenletből:

A´s = 78.7 mm


As = 1733.9 mm

2



119

d'

7. példa: Tervezze meg az alábbi négyszög keresztmetszet húzott (és ha szükséges nyomott) vasalását, ha a nyomaték tervezési értéke M Ed=260 kNm! (A nyomaték alul okoz húzást.) Geometriai adatok: h = 450 mm d = 400 mm d ´ = 50 mm b = 300 mm

A's h

Anyagjellemzők: beton: C20/25 betonacél: S360A

As


Megoldás:


MEd = 260 kN⋅ m

2

A´s = 36.5 mm


As = 2861.9 mm

d

d'

8. példa: Tervezze meg az alábbi vasbeton keresztmetszet húzott (és ha szükséges nyomott) vasalását, ha a nyomaték tervezési értéke: M Ed=450 kNm! (A nyomaték alul okoz húzást.) b Anyagjellemzők: Geometriai adatok: beton: C20/25 h = 560 mm betonacél: S500B d = 510 mm A's d ´ = 50 mm b = 500 mm b w = 180 mm As t = 200 mm

bw Megoldás:

Feltevés: a nyomott zóna a fejlemezben marad

xc0 = 251.7 mm M0 = 581.9 kN⋅ m

>

t = 200 mm

xco bordába metsz az M 0 számításánál!

>

MEd = 450 kN⋅ m


- nyomott zóna számítása nyomatéki egyenletből:

xc = 156.3 mm< t = 200 mm a felt. helyes volt, nyomott zóna a fejlemezben marad


As = 2825.5 mm

2

2

t

- nyomott acélok keresztemtszeti területe nyomatéki egyenletből:

h

<

M0 = 256 kN⋅ m



120

h

d

t

d'

9. példa: Tervezze meg az alábbi vasbeton keresztmetszet húzott (és ha szükséges nyomott) vasalását, ha a nyomaték tervezési értéke: M Ed=1200 kNm! (A nyomaték alul okoz húzást.) b Geometriai adatok: Anyagjellemzők: h = 600 mm beton: C25/30 A's d = 550 mm betonacél: S400B d ´ = 50 mm b = 1000 mm b w = 400 mm As t = 150 mm bw Feltevés: a nyomott zóna a fejlemezben marad >

M0 = 1502.3 kN⋅ m

>


t = 150 mm


MEd = 1200 kN⋅ m


xc = 151.9 mm> t = 150 mm a felt. nem volt helyes nyomott zóna a bordába is belenyúlik

- nyomott zóna újra számítása nyomatéki egyenletből: xc = 154.7 mm > t = 150 mm - húzott acélok keresztmetszeti területe a vetületi egyenletből:

nyomott zóna bordába nyúlik

As = 7277.9 mm

2

d

d'

10. példa: Tervezze meg az alábbi vasbeton keresztmetszet húzott (és ha szükséges nyomott) vasalását, ha a nyomaték tervezési értéke: M Ed=700 kNm! (A nyomaték alul okoz húzást.) b Geometriai adatok: Anyagjellemzők: h = 500 mm beton: C25/30 d = 450 mm betonacél: S400B A's d ´ = 50 mm b = 1000 mm b w = 400 mm As t = 100 mm

h

xc0 = 293.9 mm

t

Megoldás:

bw

Megoldás:

Feltevés: a nyomott zóna a fejlemezben marad

xc0 = 240.5 mm

>

M0 = 928.7 kN⋅ m

>


t = 100 mm MEd = 700 kN⋅ m



xc = 105.8 mm> t = 100 mm a felt. nem volt helyes nyomott zóna a bordába is belenyúlik

- nyomott zóna újra számítása nyomatéki egyenletből: xc = 114.6 mm - húzott acélok keresztmetszeti területe a vetületi egyenletből:

>

t = 100 mm

nyomott zóna bordába nyúlik

As = 5071.3 mm

2


Felkészülést segítő példák a IV. gyak.-hoz

121

FELKÉSZÜLÉST SEGÍTŐ PÉLDÁK AZ IV. GYAKORLATHOZ

Négyszög keresztmetszet közelítő teherbírási vonala, négyszög keresztmetszet határkülpontossága és határereje Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin

1. példa: a) Határozza meg az ábrán látható külpontosan nyomott vasbeton keresztmetszet egyszerűsített (közelítő) teherbírási vonalának 3 jellegzetes pontját (a diagrammot vonatkoztassa a keresztmetszet geometriai középpontjára)! 450

Anyagjellemzők: Kengyel: φ10 beton: C20/25 Betonfedés: 20 mm betonacél: S500B Kedvezőtlen vaselmozd: 10 mm b) Ellenőrizze a km. a következő külpontos nyomóerőre: N Ed=300kN eEd=60cm Megoldás:

Vasalás:

As = 2945.2 mm d = 397.5 mm

2 25

6 25 450

2

2

A´s = 981.7 mm d´ = 52.5 mm A teherbírási vonal 1. pontjának számítása esetén feltételezük, hogy az egész km. nyomott (x c=h) (tiszta nyomás esete) nyomott betonzóna magassága: acél képlékenységének ellenőrzése:

xc = 450 mm σ s = 400

N mm

2

<

fyd = 434.8

N 2

rugalmas!!!

mm

N Rd.1 = 4270.8 kN

MRd.1 = −135.48 kN⋅ m

A teherbírási vonal 2. pontjának számítása esetén (x c=x c0) (külpontos nyomás) nyomott betonzóna magassága: nyomott acél:

ξć = 3.736

xc = 196.2 mm > ξć0 = 2.111

folyik

N Rd.2 = 323.27 kN

MRd.2 = 443.9 kN⋅ m

A teherbírási vonal 3. pontjának számítása esetén: N=0 (tiszta hajlítás) Feltevés: húzott és nyomott acélbetét is folyik Vetületi egyenletből: A feltételezés ellenőrzés:

xc = 142.3 mm húzott acél: nyomott acél:

b) Ellenőrzés: MRd.2 − MR N Rd.2 − N Ed

=

ξ c = 0.358 ξć = 2.71 N Rd.3 := 0 ⋅ kN

< >

folyik ξć0 = 2.111 MRd.3 = 425.87 kN⋅ m

MRd.2 − M Rd.3 N Rd.2 − N Rd.3

MR = 442.6 kN⋅ m

>

MEd = 180 kN⋅ m

folyik

ξ c0 = 0.493

N x [kN] megfelel, hiszen az igénybevételi pár a teherbírási vonalon belül esik

1

2

N Ed 3 MR

M x [kNm]



122

h = 450 mm d = 400 mm d´ = 50 mm b = 300 mm

d'

2. példa: Határozza meg az ábrán látható külpontosan nyomott vasbeton keresztmetszet egyszerűsített (közelítő) teherbírási vonalának 3 jellegzetes pontját (a diagrammot vonatkoztassa a keresztmetszet geometriai középpontjára)!

A's h

2

A´s = 981.7 mm

As = 2454.4 mm

As 2

b

Anyagjellemzők: beton: C20/25 betonacél: S400B Es=200 kN/m2

Megoldás: A teherbírási vonal 1. pontjának számítása esetén feltételezük, hogy az egész km nyomott (x c=h) (tiszta nyomás esete) nyomott betonzóna magassága:

xc = 450 mm

húzott acél képlékenységének ellenőrzése

σ s = 400

N mm

>

2

fyd = 347.8

N 2

folyik

mm

N Rd.1 = 2793.52 kN MRd.1 = −124.93 kN⋅ m A teherbírási vonal 2. pontjának számítása esetén (x c=x c0) (külpontos nyomás) nyomott betonzóna magassága: nyomott acél:

ξć = 4.276

xc = 213.8 mm >

ξć0 = 1.59

folyik N Rd.2 = 141.24 kN

MRd.2 = 274.9 kN⋅ m

A teherbírási vonal 3. pontjának számítása esetén: N=0 (tiszta hajlítás) Feltevés:T. f. h. az acélbetétek folynak - vetületi egyenletből: A feltételezés ellenőrzése:

xc = 178.5 mm húzott acél:

ξ c = 0.446

<

ξ c0 = 0.534

folyik

nyomott acél:

ξć = 3.569

>

ξć0 = 1.59

folyik

A nyomatéki egyenlet a geometriai középpontra:

N Rd.3 := 0 ⋅ kN

MRd.3 = 270.79 kN⋅ m



123

3. példa: Határozza meg az ábrán látható külpontosan nyomott vasbeton keresztmetszet egyszerűsített (közelítő) teherbírási vonalának 3 jellegzetes pontját (a diagrammot vonatkoztassa a keresztmetszet geometriai középpontjára)! Anyagjellemzők: beton: C20/25 betonacél: S500B Kengyel: φ10 Betonfedés: 20 mm Kedvezőtlen vaselmozdulás: 10 mm

450

2 28

5 28 450

Megoldás: Vasalás:

As = 3078.8 mm d = 396 mm

2

2

A´s = 1231.5 mm d´ = 54 mm

A teherbírási vonal 1. pontjának számítása esetén feltételezük, hogy az egész km nyomott (x c=h) (tiszta nyomás esete) hatékony magasság:

xc = 450 mm

acél képlékenységének ellenőrzése:

σ s = 400

N mm

2

<

fyd = 434.8

N 2

rugalmas!!!

mm

N Rd.1 = 4424.11 kN

MRd.1 = −126.35 kN⋅ m

A teherbírási vonal 2. pontjának számítása esetén (x c=x c0) (külpontos nyomás) hatékony magasság: nyomott acél:

ξć = 3.619

xc = 195.4 mm > ξć0 = 2.111 folyik N Rd.2 = 369.37 kN

MRd.2 = 469.7 kN⋅ m

A teherbírási vonal 3. pontjának számítása esetén: N=0 (tiszta hajlítás) Feltevés:T. f. h. az acélbetétek folynak Vetületi egyenletből: A feltételezés ellenőrzés:

xc = 133.9 mm húzott acél: nyomott acél:

ξ c = 0.338

<

ξć = 2.479 N Rd.3 := 0 ⋅ kN

>

ξ c0 = 0.493

folyik

folyik ξć0 = 2.111 MRd.3 = 447.41 kN⋅ m



124

d'


A's

2

h


h = 400 mm d = 350 mm d´ = 50 mm b = 250 mm

As b

A´s = 628.3 mm As = 1885 mm

2

Megoldás: A teherbírási vonal 1. pontjának számítása esetén feltételezük, hogy az egész km nyomott (x c=h) (tiszta nyomás esete) nyomott betonzóna magassága:

xc = 400 mm

húzott acél képlékenységének ellenőrzése

σ s = 400

N mm

2

>

fyd = 347.8

N

folyik

2

mm


ξć = 3.741

xc = 187.1 mm >

ξć0 = 1.59


MRd.2 = 214.3 kN⋅ m

A teherbírási vonal 3. pontjának számítása esetén: N=0 (tiszta hajlítás) Feltevés: T. f. h. az acélbetétek folynak - vetületi egyenletből: A feltételezés ellenőrzés:


ξ c = 0.299

<

nyomott acél:

ξć = 2.094

>

ξ c0 = 0.534 ξć0 = 1.59

N Rd.3 := 0 ⋅ kN

folyik folyik

MRd.3 = 195.67 kN⋅ m



125


2

A´s = 760.3 mm

As = 2714.3 mm

A's h

h = 500 mm d = 450 mm d´ = 50 mm b = 350 mm

d'


As b

2

Megoldás: A teherbírási vonal 1. pontjának számítása esetén feltételezük, hogy az egész km nyomott (xc=h) (tiszta nyomás esete) nyomott betonzóna magasság: húzott acél képlékenységének ellenőrzése

xc = 500 mm N σ s = 400 2 mm

>

fyd = 347.8

N 2

folyik

mm


ξć = 4.81

xc = 240.5 mm >

ξć0 = 1.59


MRd.2 = 387 kN⋅ m


xc = 146 mm húzott acél:

ξ c = 0.324

<

ξ c0 = 0.534

folyik

nyomott acél:

ξć = 2.92

>

ξć0 = 1.59

folyik

N Rd.3 := 0 ⋅ kN

MRd.3 = 362.01 kN⋅ m



126

A's h

h = 450 mm d = 400 mm d´ = 50 mm b = 250 mm As= 6φ20

d'

6. példa: Határozza meg az ábrán látható külpontosan nyomott vasbeton keresztmetszet egyszerűsített (közelítő) teherbírási vonalának 3 jellegzetes pontját (a diagrammot vonatkoztassa a keresztmetszet geometriai középpontjára)! Anyagjellemzők: beton: C25/30 betonacél: S500B Es=200 kN/m2

As b

A´s= 2φ20

Megoldás: 2

A´s = 628 mm

2

As = 1885 mm A teherbírási vonal 1. pontjának számítása esetén feltételezük, hogy az egész km nyomott (xc=h) (tiszta nyomás esete) nyomott betonzóna magasság: húzott acél képlékenységének ellenőrzése:

xc = 450 mm N σ s = 400 2 mm

<

fyd = 434.8

N

rugalmas

2

mm

N Rd.1 = 2880.2 kN

MRd.1 = −87.99 kN⋅ m

A teherbírási vonal 2. pontjának számítása esetén (x c=x c0) (külpontos nyomás) nyomott betonzóna magassága: nyomott acél:

ξć = 3.948

xc = 197.4 mm >

ξć0 = 2.111


MRd.2 = 295.1 kN⋅ m



ξ c = 0.328

<

nyomott acél:

ξć = 2.623

>

N Rd.3 := 0 ⋅ kN

ξ c0 = 0.493 ξć0 = 2.111

folyik folyik

MRd.3 = 278.33 kN⋅ m

A teherbírási vonal 4. pontja (központos húzás): N Rd.4 = −1092.61 kN MRd.4 = 95.64 kN⋅ m



127

As = 1963 mm

d'

7. példa: Határozza meg az ábrán látható külpontosan nyomott vasbeton keresztmetszet egyszerűsített (közelítő) teherbírási vonalának 3 jellegzetes pontját (a diagrammot vonatkoztassa a keresztmetszet geometriai középpontjára)! h = 450 mm d = 400 mm Anyagjellemzők: d´ = 50 mm beton: C25/30 b = 250 mm betonacél: S400 Es=200 kN/m2 2 A´s = 1017 mm

h

A's

As b

2

Megoldás: A teherbírási vonal 1. pontjának számítása esetén feltételezük, hogy az egész km nyomott (xc=h) (tiszta nyomás esete) nyomott betonzóna magassága: húzott acél képlékenységének ellenõrzése

xc = 450 mm N σ s = 400 2 mm

>

fyd = 347.8

N 2

folyik

mm


ξć = 4.276

xc = 213.8 mm >

ξć0 = 1.59


MRd.2 = 286.6 kN⋅ m

A teherbírási vonal 3. pontjának számítása esetén: N=0 (tiszta hajlítás) Feltevés:T. f. h. az acélbetétek folynak - vetületi egyenletből: A feltételezés ellenőrzés:

xc = 79 mm ξ c = 0.197

<

nyomott acél: ξć = 1.579

<

húzott acél:

- módosított vetületi egyenletből: A feltételezés ellenőrzés:

ξ c0 = 0.534 ξć0 = 1.59

folyik rugalmas

xc = 79.2 mm

húzott acél:

ξ c = 0.198

<

nyomott acél: ξć = 1.585

<

ξ c0 = 0.534 ξć0 = 1.59 N Rd.3 := 0 ⋅ kN

folyik rugalmas MRd.3 = 242.4 kN⋅ m



128

8. Példa: Határozza meg a keresztmetszet határkülpontosságát a geometriai középponttól, ha a normálerő tervezési értéke: N Ed=400 kN! A keresztmetszet úgy van külpontos nyomással igénybevéve, hogy az egyik oldali acélbetétek nyomottak, míg a másik oldalon pedig húzottak lesznek.

d

d'

As=6φ25

A´s=3φ25

NEd

h=500mm b=300mm kengyel: φ10 betonfedés: 20mm kedvezőtlen vaselmozdulás: 10 mm

NEd

As

A's

b


eRd d

Megoldás: 2


As = 2945.2 mm d = 447.5 mm

- az alkalmazott nyomott vasalás:

A´s = 1472.6 mm

2

d´ = 52.5 mm Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is húzásra ill. nyomásra folynak A vetületi egyenletből: A feltevés ellenőrzése :

xc = 260.1 mm ξ c = 0.581 > ξć = 4.954

A módosított vetületi egyenletből:

ξ c0 = 0.493 A felt. nem volt helyes , a húzott acélbetétek rugalmasak > ξć0 = 2.111 A felt. helyes volt, a nyomott acélbetétek folynak xc = 229.3 mm

A feltevés ellenőrzése : ξ c = 0.512 > ξć = 4.367

ξ c0 = 0.493 > ξć0 = 2.111

A nyomatéki egyenlet a geometriai középpontra: A határkülpontosság:

MRd eRd := N Ed

a húzott acélbetétek rugalmasak a nyomott acélbetétek folynak MRd = 479.2 kN⋅ m eRd = 1198 mm



129

9. Példa: Határozza meg a keresztmetszet határerejét, ha a mértékadó külpontosság a geomtriai középponttól mérve: eEd := 700mm A keresztmetszet úgy van külpontos nyomással igénybevéve, hogy az egyik oldali acélbetétek nyomottak, míg a másik oldalon pedig húzottak lesznek.

d

d'

As=6φ25

NEd

A´s=3φ25

h=500mm b=300mm kengyel: φ10 betonfedés: 20mm kedvezőtlen vaselmozdulás: 10 mm

NEd

A's

As

b


eRd d

Megoldás: - az alkalmazott húzott vasalás:

As = 2945.2 mm

2

d = 447.5 mm 2

-alkalmazott nyomott vasalás:

A´s = 1472.6 mm d´ = 52.5 mm

Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is húzásra ill. nyomásra folynak A nyometéki egyenletetből:

xc = 335 mm

Feltevés ellenőrzése: ξ c :=

xc d

xc ξć := d´

ξ c = 0.749

<

ξ c0 = 0.493

a feltevés helyes, húzott acélbetétek megfolynak

ξć = 6.382

>

ξć0 = 2.111

a feltevés helyes,nyomott acélbetétek megfolynak

A vetületi egyenletből az eEd-hez tartozó határerő értékét megkapjuk:

N Rd = 699.9 kN

130

FELKÉSZÜLÉST SEGÍTŐ PÉLDÁK AZ V-VI. GYAKORLATHOZ

Gerendák komplex vizsgálata, határnyomaték és határnyíróerő számítása Készítették: Friedman Noémi és Dr. Kiss Rita Segédképletek:   0 ,18 VRd,c =  k (100 ρ λ f ck )1 / 3 + 0 ,15 σ cp bw d   γc ≥ v min + 0 ,15 σ cp bw d

(

)

ahol: k=1+

200 ≤ 2,0 d [mm]

Asl ≤ 0,02 bw d vmin = 0,035 k3/2fck1/2

ρℓ =

A V Rd = max(VRd,s, VRd,c ) = sw z fywd (cotθ + cotα) sinα s

VRd,max = αcw bw z ν fcd ahol:

cot θ + cot α 1 + cot 2 θ

αcw értéke: 1,0 feszítés nélküli szerkezetek esetén σ cp ha 0 < σcp ≤ 0,25fcd 1+ f cd 1,25 ha 0,25fcd < σcp ≤ 0,5fcd  σ cp   ha 0,5fcd < σcp < fcd 2 ,51 − f cd   f   ν = 0,6 1 − ck  250  

1. Az alábbi gerenda mezőközépre szimmetrikus, húzott hosszvasalása 3db a támaszig végigvezetett és a támasz után megfelelően lehorgonyzott, továbbá 1-1 db L1 illetve L2 hosszúságú acélbetétből áll. a.) Rajzolja fel arányhelyesen a tartó határnyomatéki ábráját! (Számértéket nem kérünk!) b.) Határozza meg a gerenda kengyelezésének sűrűségét a támasznál! (A szerkesztési szabályokat nem kell ellenőrizni!) c.) Határozza meg nyírásvizsgálattal, hogy mekkora az esetleges tehernek (q) az a legnagyobb értéke, amelyet az adott betonkeresztmetszet a nyomási teherbírása alapján megfelelő nyírási vasalás alkalmazása esetén el tud viselni.

g,q h

elhagyott acélbetétek

L1 L2 L

Adatok: h = 450 mm, b = 200 mm, L= 4,5 m, L1 = 2,8 m, L2 = 3,7 m Beton: C16/20 Betonfedés: 20mm, kedvezőtlen vaselmozdulás: 10mm Kengyelezés: S240, ∅8 Betonacél: S500B As = 5∅16 (hosszvas mezőközépen), lb = 600mm (lehorgonyzási hossz alapértéke)

b

131

A`s = 0 (csak szerelővas) Terhek: g=20 kN/m, (γg,inf=1,0, γg,sup=1,35) a tartó saját súlyát a számításokban nem kell külön figyelembe venni! q=14 kN/m, γq=1,5 Megoldás: a.)

g,q

lb

lb

lb

L1 L2

lb z/2

z/2

MRd

MEd

b.) Mértékadó nyíróerő a támasznál, valamint a redukált nyíróerő: VEd.A = 108 kN VEd.red = 88.6 kN

A nyomott beton által felvehető legnagyobb nyíróerő: Nyírási vasalás nélkül felvehető nyíróerő: VRd.c = 37.8kN

<

VEd.red = 88.6kN

A támasznál a szükséges kengyelsűrűség: s k.max = 86.1 mm

Szükséges méretezett nyírási vasalás

Javasolt a 80mm-es kengyelkiosztás

c.)Az esetleges teher legnagyobb értéke: V Rd.max = 217.8 kN

A betonkeresztmetszet nyírásra bevasalható

q = 46.5

kN m

132

2. Az alábbi tartó konzolos szakaszán végig ∅10/300mm-es kengyelezést, egy sorban elhelyezett 6∅20 felső és 3∅25 alsó hosszvasalást alkalmaztak. Ellenőrizze, hogy a tartó ezen szakasza a nyírási teherbírás szempontjából megfelelő-e! A szerkesztési szabályokat nem kell vizsgálni. A hosszvasak a támaszközben megfelelően le vannak horgonyozva.

A

B

A

B

Lk

A-A

Lk

L

Adatok: böv = 600 mm, h = 620 mm, bw = 250 mm, töv = 140 mm, betonfedés: 20mm, L=8m, Lk=2,2m beton: C20/25 acélbetétek: S360 hosszvas: 6∅20 illetve 3∅25 , kengyel: ∅10/300 terhek: g=20 kN/m, γg,inf=0,9, γg,sup=1,35 a tartó saját súlyát a számításokban nem kell külön figyelembe venni! q=30 kN/m, γq=1,5 Megoldás: Mértékadó nyíróerő: V Ed = 158.4 kN, a redukált nyíróerő: V Ed.red = 117.4 kN A nyomott beton által felvehető legnagyobb nyíróerő: VRd.max = 472 kN

>

VEd = 158.4 kN

Nyírási vasalás nélkül felvehető nyíróerő: VRd.c = 81.1 kN <

A határnyíróerő:

VEd.red = 117.4 kN VRd = 84.1 kN <

VEd.red = 117.4 kN nem felel meg

A betonkeresztmetszet nyírásra bevasalható Szükséges méretezett nyírási vasalás

133

3. Határozza meg, hogy a nyírási teherbírás figyelembevételével mekkora lehet az alábbi vasbeton konzolra ható Qd koncentrált teher maximális értéke! A tartó nyírási vasalása ∅10/200 kengyelezés. Ellenőrizze a konzol nyírási teherbírását (a szerkesztési szabályok teljesülését nem kell vizsgálni)! A metszeti rajzon feltüntetett hosszvasalás a tartó teljes hossza mentén figyelembe vehető és megfelelően le van horgonyozva. A tartó önyúlyát a számítás során nem kell figyelembe venni. Beton: C25/30 Betonacél: S500B C-C

50

Qd = ? C

φ10

C L=1.80

2φ16

50

550

6φ20

350

Megoldás: A mértékadó nyíróerő a befogásnál, valamint a redukált nyíróerő:

VEd := Qd

VEd.red := Qd

A nyomott beton által felvehető legnagyobb nyíróerő: VRd.max = 708.7 kN (így a km. nyírásra vasalható) Nyírási vasalás nélkül felvehető nyíróerő: VRd.c = 102.8 kN A kengyelek által felvehető nyíróerő: VRd.s = 153.7 kN A koncentrál teher maximális értéke: Qd.max = 153.7 kN

134

4. Az alábbi ábrán látható vasbeton tartó nyírási vasalását egymástól 200mm-re elhelyezett zárt kengyelekkel alakították ki. Milyen átmérőjű kengyeleket kell alkalmazni, hogy a tartó nyírási teherbírása megfelelő legyen? A tartó mezőközépi vasalását a támaszig végigvezették és a támasz után megfelelően lehorgonyozták. A szerkesztési szabályok teljesülését nem kell ellenőrizni. b

A h

A

As

L

A-A

Adatok: h = 500 mm, b = 350 mm, L= 6,0 m; Beton: C16/20; Betonfedés: 20mm, kedvezőtlen vaselmozdulás: 10mm; Kengyelezés: S500B, 200mm kengyeltávolsággal; Betonacél: S500B; As = 6∅20 ; A`s = 0 (csak szerelővas); Terhek: g=6 kN/m, (γg,inf=1,0, γg,sup=1,35) a tartó saját súlyát a számításokban nem kell külön figyelembe venni! q=30 kN/m, γq=1,5 Megoldás: Mértékadó nyíróerő a támasznál és a redukált nyíróerő: VEd.A = 159.3 kN VEd.red = 132.8 kN

Nyírási vasalás nélkül felvehető nyíróerő: VRd.c = 84.3 kN < VEd.red = 132.8 kN

2 A sw.szüks = 150.8mm

(

VRd.max = 424.6 kN

φk := 10mm >

VEd.A = 159.3 kN

Szükséges méretezett nyírási vasalás (A szükséges kengyelátmérő) A keresztmetszet nyírásra vasalható)

135

5. Az alábbi vasbeton gerenda mezőközépre szimmetrikus húzott hosszvasalása a támasz után megfelelően lehorgonyzott acélbetétből áll. Határozza meg a gerenda kengyelezésének szükséges sűrűségét az A-B szakaszon a tartó nyírási teherbírása alapján! Ellenőrizze a nyírási vasalhatóságot a beton nyomási teherbírása alapján! (A szerkesztési szabályokat nem kell ellenőrizni!)

Pd

Pd h

A

B

L/3

L/3 L

L/3

b

Adatok: h = 500 mm, b = 300 mm, L= 3,5 m Beton: C20/25 Betonfedés: 25mm, kedvezőtlen vaselmozdulás: 10mm Kengyelezés: ∅10 Betonacél: S500B As = 5∅20 A`s = 0 (csak szerelővas) A mértékadó teher: Pd=226,5 kN Megoldás: A mértékadó nyíróerő, illetve a redukált nyíróerő az A-B szakaszon: VEd = 226.5 kN VEd.red = 226.5 kN

A nyomott beton által felvehető legnagyobb nyíróerő: VRd.max = 442.2 kN >

VRd.c = 76.7 kN <

VEd = 226.5 kN

VEd.red = 226.5 kN

A kengyelezés szükséges sűrűsége: s k.max = 120.8 mm

s k := 120mm

A betonkeresztmetszet nyírásra bevasalható Szükség van méretezett nyírási vasalásra

136

6. Határozza meg az alábbi tartóra felhordható q hasznos teher legnagyobb megengedhető értékét a tartó nyírási teherbírása alapján! A tartó mezőközépi vasalását a támaszig végigvezették és a támasz után megfelelően lehorgonyozták. A szerkesztési szabályok teljesülését nem kell ellenőrizni! b

A h

A

As

L

A-A

Adatok: h = 500 mm, b = 350 mm, L= 6,0 m Beton: C25/30 Betonfedés: 20mm, kedvezőtlen vaselmozdulás: 10mm Betonacél: S500B Kengyelezés: ∅8/160 As = 6∅20 A`s = 0 (csak szerelővas) Terhek: g=6 kN/m, (γg,inf=1,0, γg,sup=1,35) a tartó saját súlyát a számításokban nem kell külön figyelembe venni! q=?, γq=1,5 Megoldás: A beton által felvehető nyíróerő: V Rd.c = 98.0 kN A nyírási vasalás által felvehető nyíróerő: V Rd.s = 111.1 kN = VRd Amely egyben a mértékadó nyíróerő is. A q hasznos teher legnagyobb megengedhető értéke: És mivel: VRd.max = 640.7 kN

>

VEd = 130.8 kN

, így ezt

q max = 23.7

kN m

a terhet a nyomott beton is kibírja.

137

50

7. Határozza meg az alábbi ábrán látható vasbeton gerendára felhordható koncentrált teher (Pd) maximális értékét a nyírási teherbírás szempontjából! A tartó vasalása ∅10/250-es zárt kengyelezés. A K keresztmetszetben megadott hosszvasalást a tartón végigvezették és a támasz után megfelelően lehorgonyozták. A szerkesztési szabályok teljesülését nem kell vizsgálni. A tartó önsúlyát a számítás során nem kell figyelembe venni.

Pd K L L = 6,60 m Beton: C20/25 Betonacél: S500B Kengyel: ∅10/250 Megoldás: A nyomott beton által felvehető legnagyobb nyíróerő: Nyírási vasalás nélkül a felvehető nyíróerő: V Rd.c = 97.1 kN

A ∅10/250-es zárt kengyelezés által felvehető nyíróerő: V Rd.s = 122.9 kN

= VRd Így a koncentrált teher maximális értéke: P d.max = 245.9 kN

550

500

6φ22

4φ22

400 K metszet

138

8. Határozza meg az ábrán vázolt konzol jellemző szakaszainak nyírási teherbírását és rajzolja fela nyírási teherbírási ábrát!

7x200

As

20

φ10

350

4x300

As` 300

Adatok: Beton: C25/30 Betonfedés: 20mm, kedvezőtlen vaselmozdulás: 10mm Kengyelezés: S500B, ∅10 Betonacél: S500B As = 6∅20 A`s = 0 (csak szerelővas) Megoldás:

V Rd.c = 72.3 kN

A határnyíróerő-ábra: 7x200

4x300

VRd.s1 = 92.2 kN

VRd1 = 92.2 kN

V [kN]

V Rd.2 = 72,3 kN

VRd.s2 = 61.5 kN

VRd2 = 72.3 kN

VRd.1 = 92,2 kN

20

139

9. Az ábrán látható konzolra egyenletesen megoszló terhelést helyezünk. A tartó teljes hosszában azonos kiosztású ∅10-es kengyeleket alkalmazunk. Határozza meg a cm-re kerekített kiosztás sűrűségét úgy, hogy a tartó nyírási teherbírása megfelelő legyen! A tartó hosszirányú vasalását a támaszig végigvezették és a támasz után megfelelően lehorgonyozták. A szerkesztési szabások teljesülését nem kell ellenőrizni.

g, q As

350

φ10 As`

L=2.00

250 Adatok: Beton: C25/30 Betonfedés: 30mm, kedvezőtlen vaselmozdulás: 10mm Betonacél: S500B Kengyel: ∅10 As = 4∅20 A`s = 0 (csak szerelővas) Terhek: g=10 kN/m, (γg,inf=1,0, γg,sup=1,35) a tartó saját súlyát a számításokban nem kell külön figyelembe venni! q=35 kN/m, γq=1,5 Megoldás: Mértékadó nyíróerő a befogásnál, valamint a redukált nyíróerő: VEd.A = 132 kN VEd.red = 112.9 kN VRd.max = 293.6 kN >

VEd.A = 132 kN

a keresztmetszet nyírásra vasalható Nyírási vasalás nélkül a beton határnyíróereje: VRd.c = 55.9 kN <

VEd.red = 112.9 kN

A szükséges kengyelsűrűség: s k.max = 157.9 mm

s k := 150mm

szükség van méretezett nyírási vasalásra

140

10. Az alábbi gerenda mezőközépre szimmetrikus, húzott hosszvasalása 2db a támaszig végigvezetett és a támasz után megfelelően lehorgonyzott, továbbá egy elhagyott („1” jelű”) illetve egy a támasz közelében felhajlított („2” jelű) acélbetétből áll. Végezze el kéttámaszú tartó nyírásvizsgálatát: a.) Ellenőrizze az A-A keresztmetszetet nyírásra, ha a kengyelezés ∅8/120 és a felhajlított vas nyírási teherbírását nem vesszük figyelembe! b.) Adja meg a ∅20-as felhajlított vas szükséges hatástávolságát, ha a kengyelezést, valamint a szerkesztési szabályokat figyelmen kivül hagyjuk! c.) Mekkora az a terhelés, amely esetén erőtani szempontból nem szükséges nyírási vasalás? g,q K

A

K

400

A

150

360

1

elhagyott/felhajlított acélbetétek

2

φ8 1 2

L

4φ20

200

Adatok: A-A L = 6,0m Beton: C25/30 Betonfedés: 20mm, kedvezőtlen vaselmozdulás: 10mm Betonacél: S360 Kengyel: ∅8 As = 4∅20 (ebből kettő a támaszon lehorgonyozva) A`s = 0 (csak szerelővas) Terhek: g=3 kN/m, (γg,inf=1,0, γg,sup=1,35) a tartó saját súlyát a számításokban nem kell külön figyelembe venni! q=15 kN/m, γq=1,5 Megoldás: a.) Az A-A keresztmetszetben a mértékadó, valamint a redukált nyíóerő: VEd.A = 79.7 kN

VEd.red = 70.3 kN

Nyírási vasalás nélkül a beton határnyíróereje: N VRd.c = 41.7 kN < VEd.red = 70.3 kN

A ∅8/120 kengyelezéssel a határnyíróerő: VRd = 83.1 kN

>

VEd.A = 79.7 kN

b,) A szükséges hatástávolság:

szükség van méretezett nyírási vasalásra tehát megfelel

s max = 627 mm

c.) A terhelés maximális értéke:

q c = 7.8

kN m

141

11. Az alábbi kéttámaszú tartó ábrázolt hosszvasalását (1. jelű acélbetétek) a felhajlított vasak (2. és 3. jelű acélbetétek) kivételével a tartón végigvezették és a támaszvonal mögött megfelelően lehorgonyozták. A felhajlított acélbetétek dőlése 45o. Ellenőrizze a gerenda támasznál lévő, valamint a mezőközépi keresztmetszetét nyírásra! A gerenda önsúlyát nem kell külön figyelembe venni. A szerkesztési szabályokat nem kell ellenőrizni!

b

h

121131

Adatok: Beton: C30/37, Betonacél: S500B h = 600mm, b = 300mm, betonfedés: 20mm As = 6Φ16 (hosszvas), A’s = 0 (2Φ10, mint szerelő vas), Asw = Φ10 (kengyel) kengyeltávolság: L1-en 240mm, L2-n 300mm L1 = 2,5m, L2 = 2,0m L3=0,50m, L4=0,75m g= 15kN/m (γG=1,35),q= 25kN/m (γQ=1,5, ψ=1,0) ctgθ = 1 Megoldás: A mértékadó nyíróerő a támasznál, valamint a redukált nyíróerő: V Ed = 202.1kN V Ed.red = 170.2kN

A mértékadó nyíróerő mezőközépen: V k = 32.8kN

A nyomott beton ellenőrzése: VRd.max. = 786.9kN

>

VEd = 202.125kN

a beton keresztmetszeti méretei nyírásra megfelelők

A beton által felvehető nyíróerő az L3 szakaszon (így a támasznál): A beton által felvehető nyíróerő mezőközépen:

V Rd.c.L3 = 77.8kN

V Rd.c = 89kN

s = 623mm A 2. jelű vas hatástávolsága: 1

A 2. jelű felhajlított vas által felvehető nyíróerő:

;

V wd.felh1 = 98.6kN

V = 141.4kN A Φ10/240 kengyelezés által felvehető nyíróerő: wd.kengyel

A támasznál a határnyíróerő értéke: keresztmetszet nyírásra megfelel.

V Rd.s1 = 240kN

>

V Ed.red = 170.2kN

a támasznál lévő

A Φ10/300 kengyelezés által felvehető nyíróerő, és így a mezőközép nyírási teherbírása: V wd.kengyel = 113.1kN

V = 32.8kN > k

a mezőközépi keresztmetszet nyírásra megfelel.


Felkészülést segítő példák a VII. gyak.-hoz

142

FELKÉSZÜLÉST SEGÍTŐ PÉLDÁK AZ VII. GYAKORLATHOZ

Használhatósági határállapotok Készítette: Völgyi István

1. példa Határozza meg a tartó legnagyobb görbületét és lehajlását egyszerûsített módszerrel! A tartó befogott konzol. Kiindulási adatok:

h

Es := 200

kN

Ecm := 30

2

mm

fctm := 2.2

b

N

b := 200mm

h := 400mm kN

gk := 7.5 m

A gerenda terhei:

q k := 10

φ1 := 12mm kN

2

mm

α s.eff :=

n1 := 4db

ψ 2 := 0.6

m

mm

2 C20/25

φt := 2 Ec.eff :=

fct.eff := fctm

L := 3m

kN 1.05⋅ Ecm 1 + φt

Es

α s.eff = 19.048

Ec.eff As

2 φ1 ) ⋅ π ( := n ⋅

1

p qp := gk + ψ 2 ⋅ q k 2

A nyomaték értéke a befogási keresztmetszetben: A betonfedés értéke: φ1 d := h − c − φk − 2

c := 20mm

L Mqp := p qp⋅ 2

Mqp = 60.75 kNm

φk := 10mm

A kengyel átmérõje:

d = 364 mm

A keresztmetszet jellemzõi elsõ feszültségállapotban: b ⋅ x⋅ Ec.eff⋅

h− x = As⋅ Es − Ec.eff ⋅ ( d − x) + b ⋅ ( h − x) ⋅ Ec.eff⋅ 2 2 x

(

)

xI := Find( x) 3

xI

II := b ⋅ + b⋅ 3 fct.eff ⋅ II Mcr := h − xI Mqp κ I := Ec.eff⋅ II

xI = 215.187 mm

(h − xI)3 3

(

)(

)2

9

+ As⋅ α s.eff − 1 ⋅ d − xI

Mcr = 15.07 kNm −6 1

κ I = 4.57 × 10

A keresztmetszet jellemzõi második feszültségállapotban: b ⋅ x⋅ Ec.eff⋅

x 2

3

xII

4

II = 1.266 × 10 mm

= As⋅ Es⋅ ( d − x)

(

xII := Find( x)

)2

III := b⋅ + As⋅ α s.eff ⋅ d − xII 3 Mqp κ II := Ec.eff⋅ III

xII = 139.184 mm 8

III = 6.153 × 10 mm

4

−6 1

κ II = 9.403 × 10

mm

mm

4

Vasbetonszerkezetek I. Az EC szerinti alakváltozás számítása: M qp⋅ d − xII ⋅ α s.eff σ s := III

(

)

σ sr :=

β := 0.5


143

 σ sr  ζ := 1 − β ⋅   σ s 

Mcr III

(

σ s = 422.811

)

⋅ d − xII ⋅ α s.eff

N mm

σ sr = 104.881

2

2

N mm

2

ζ = 0.969

A km görbülete a maximális igénybvétel helyén EC2 szerint: κ EC := ζ ⋅ κ II + ( 1 − ζ ) ⋅ κ I

−6 1

κ EC = 9.255 × 10

mm

A tartó maximális lehajlásának meghatározása (egyszerûsített módszer): 4

1 L eI := ⋅ p qp ⋅ 8 Ec.eff⋅ II

( )

eI = 10.283 mm

4

1 L eII := ⋅ p qp ⋅ 8 Ec.eff⋅ III

( )

eII = 21.158 mm

eEC := ζ ⋅ eII + ( 1 − ζ) ⋅ eI eEC = 20.823 mm −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Érdekesség:

M( y) :=

A lehajlás értékének pontosított meghatározása.

2   ( pqp)⋅ ( L − y)  2  

σ s( y) := 2

 σ sr  ζ ( y) := 1 − β ⋅  if M ( y) ≥ Mcr  σ s(y) 

κ I( y) :=

(

)

M ( y) ⋅ d − xII ⋅ α s.eff

M( y) Ec.eff⋅ II

III κ II( y) :=

M ( y) Ec.eff⋅ III

0 otherwise Hol éri el a külsõ terhekbõl számítható nyomaték a repesztõnyomaték értékét? M( z) = M cr xrep := Find( z) xrep = 1.506 m κ EC( y) :=

ζ ( y) ⋅ κ II( y) + ( 1 − ζ ( y) ) ⋅ κ I( y) if y < xrep κ I( y) otherwise

u

⌠ eEC ( u) :=  κ EC ( y) ⋅ ( u − y) dy ⌡ 0

eEC ( L) = 19.559 mm



144

A két mintapélda eredményeit elemezve megállapíthatjuk, hogy a közelítõ számítás igen jó eredményt ad. A pontosított eljárás akkor eredményezhet számottevõen kedvezõbb eredményt, ha olyan speciálisak a megtámasztási és a terhelési viszonyok, hogy nagy csúcsigénybevétel alakul ki olyan kis kiterjedésû helyen, aminek a maximális lehajlásra nincs nagy hatása, vagy, ha a repedésmentes és a berepedt keresztmetszet merevsége jelentõsen eltér, esetleg keresztmetszet merevsége a hossz mentén jelentõsen változik (keresztmetszet méretének vagy vasalásának változása).

1

ζ ( y)

0.5

0.5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y

κI( y) κEC( y) 0.005 κII( y)

0

0

0.5

1

1.5 y

2

2.5

3



145

2. példa Határozza meg a tartó legnagyobb lehajlását egyszerûsített módszerrel! A tartó kéttámaszú. Kiindulási adatok:

h

Es := 200

kN

Ecm := 30

2

mm

fctm := 2.2

N 2

mm

fct.eff := fctm

b b := 300mm

h := 500mm

φ1 := 32mm

A gerenda önsúlya és egyéb állandó jellegû terhek karakterisztikus értéke összesen, valamint az esetleges terhek karakterisztikus értéke: c := 20mm


n1 := 4db kN gk := 16 m


d = 454 mm

φt := 2

q k := 10

α s.eff :=

Es Ec.eff

L := 7m kN

ψ 2 := 0.6

m

φk := 10mm

Az alakváltozások számítása:

9

xI = 306.926 mm

−6 1

4

II = 4.867 × 10 mm

κ I = 2.637 × 10

Mcr = 55.457 kNm

mm

A keresztmetszet jellemzõi második feszültségállapotban: 9

xII = 272.382 mm σ s = 115.326

III = 4.042 × 10 mm

N mm

ζ = 0.915 eI = 13.459 mm

2

σ sr = 47.463

β := 0.5

−6 1

4

κ II = 3.175 × 10 N mm

2

−6 1

κ EC = 3.129 × 10

mm

eII = 16.206 mm

eEC = 15.973 mm

mm

2

C20/25

Ec.eff :=

Mqp = 134.75 kNm

A keresztmetszet jellemzõi elsõ feszültségállapotban:

kN

mm

1.05⋅ Ecm 1 + φt

α s.eff = 19.048



146

3. példa Határozza meg a kéttámaszú tartó legnagyobb lehajlását egyszerûsített módszerrel szerint! Kiindulási adatok: kN Es := 200 2 mm

h

fctm := 2.2

Ecm := 30

N

φt := 2

2

mm

fct.eff := fctm

α s.eff :=

b b := 300mm

h := 450mm

φ1 := 32mm

n1 := 4db

A gerenda önsúlya és egyéb állandó jellegû terhek karakterisztikus értéke összesen, valamint az esetleges terhek karakterisztikus értéke: c := 20mm


kN gk := 12 m


d = 404 mm

As q k := 8

φk := 10mm

Az alakváltozások számítása:

9

xI = 278.831 mm

−6 1

4

II = 3.579 × 10 mm

κ I = 2.738 × 10

Mcr = 46 kNm

mm


xII = 250.451 mm σ s = 99.797

III = 3.016 × 10 mm

N 2

σ sr = 44.612

β := 0.5

mm

ζ = 0.9 eI = 13.976 mm

−6 1

4

κ II = 3.25 × 10 N mm

2

−6 1

κ EC = 3.199 × 10

mm

eII = 16.587 mm

eEC = 16.326 mm

Ec.eff

ψ 2 := 0.6

m

Mqp = 102.9 kNm

A keresztmetszet jellemzõi elsõ feszültségállapotban:

Es

4

kN

mm

mm

C20/25

2

Ec.eff :=

2 φ1 ) ⋅ π ( := n ⋅

1

kN

1.05⋅ Ecm 1 + φt α s.eff = 19.048

L := 7m



147

4. példa Határozza meg a kéttámaszú tartó legnagyobb lehajlását egszerûsített módszerrel! Kiindulási adatok: Es := 200

kN mm

fctm := 2.2

h

Ecm := 30

2

N 2

mm

fct.eff := fctm

b b := 250mm

h := 450mm

φ1 := 25mm

n1 := 4db

A gerenda önsúlya és egyéb állandó jellegû terhek karakterisztikus értéke összesen, valamint az esetleges terhek karakterisztikus értéke: A betonfedés értéke:

c := 20mm

kN gk := 12 m


d = 407.5 mm

As

φt := 2

α s.eff :=

q k := 8

Es Ec.eff

ψ 2 := 0.6

m

φk := 10mm

Mqp = 134.4 kNm

Alakváltozások számítása: xI = 268.716 mm

A keresztmetszet jellemzõi elsõ feszültségállapotban: 9

−6 1

4

II = 2.796 × 10 mm

κ I = 4.578 × 10

Mcr = 33.931 kNm

mm


xII = 230.274 mm σ s = 206.957

III = 2.192 × 10 mm

N mm

ζ = 0.968 eI = 30.52 mm

2

σ sr = 52.249

β := 0.5

−6 1

4

κ II = 5.839 × 10 N mm

2

−6 1

κ EC = 5.799 × 10

mm

eII = 38.925 mm

eEC = 38.657 mm

C20/25

mm

1.05⋅ Ecm 1 + φt

α s.eff = 19.048

L := 8m

4

kN

mm

2

Ec.eff :=

2 φ1 ) ⋅ π ( := n ⋅

1

kN


Kiegészítő anyag az VII. gyakorlathoz

148

KIEGÉSZÍTŐ ANYAG AZ VII. GYAKORLATHOZ

Változó vasalású vasbeton gerenda lehajlása Készítette: Völgyi István

5. példa: Változó vasalású vasbeton gerenda lehajlása :

Határozza meg egy az ábrán látható kéttámaszú, egyoldali, változó lágyvasalású tartó maximális lehajlását MSZ EN 1992 (EC2) alapján. L := 8.5m Betonfedés: c := 20mm

φk := 10mm

h := 400mm φ1 := 16mm n1 := 3db As1

( φ1 ) ⋅ π := n ⋅

As1 = 603.186 mm

n2 := 4db As2

( φ1 ) ⋅ π := n ⋅

As2 = 804.248 mm

n3 := 5db As3

( φ1 ) ⋅ π := n ⋅

As3 = 1005.31 mm

2

b := 250mm

1

4

2

2

4

2

Es := 200

kN

Ecm := 25.35

S500B

2

mm

fctm := 1.9

N 2

mm

fct.eff := fctm

kN gk := 8 m

q k := 8

φ1 d := h − c − φk − 2

α s.eff :=

kN

mm

2

Es

4

φt := 2

Ec.eff :=

1.05⋅ Ecm

2

l1 := 1m

l2 := 2m

2

Ec.eff = 8.873

1 + φt

p qp := gk + ψ 2 ⋅ q k

Mqp = 130.05 kNm

Keresztmetszeti jellemzõk meghatározása: 1. vasmennyiséggel A keresztmetszet jellemzõi elsõ feszültségállapotban: x h− x b ⋅ x⋅ Ec.eff⋅ = As1 ⋅ Es − Ec.eff ⋅ ( d − x) + b ⋅ ( h − x) ⋅ Ec.eff⋅ 2 2 xI1

3

)

(h − xI1) + b⋅

II1 := b ⋅ 3 fct.eff ⋅ II1 Mcr1 := h − xI1

3

3

(

)(

2

mm

2

L Mqp := p qp⋅ 8

d = 362 mm

(

kN

α s.eff = 22.542

Ec.eff

ψ 2 := 0.8

m

kN

3

2

+ As1⋅ α s.eff − 1 ⋅ d − xI1

)2

xI1 := Find( x)

xI1 = 218.629 mm 9

4

II1 = 1.635 × 10 mm Mcr1 = 17.129 kNm



149

A keresztmetszet jellemzõi második feszültségállapotban (berepedt keresztmetszet): b ⋅ x⋅ Ec.eff⋅

x 2

= As1 ⋅ Es⋅ ( d − x) xII1

3

xII1 := Find( x)

)2

(

III1 := b⋅ 3

xII1 = 151.366 mm 8

+ As1⋅ α s.eff ⋅ d − xII1

III1 = 8.922 × 10 mm

4

2. vasmennyiséggel A keresztmetszet jellemzõi elsõ feszültségállapotban: 9

xI2 = 223.922 mm

4

II2 = 1.721 × 10 mm

Az összefüggések az elõzõvel azonosak.

Mcr2 = 18.569 kNm

A keresztmetszet jellemzõi második feszültségállapotban (berepedt keresztmetszet): 9

xII2 = 167.817 mm

III2 = 1.077 × 10 mm

4

3. vasmennyiséggel A keresztmetszet jellemzõi elsõ feszültségállapotban: 9

4

xI3 = 228.838 mm II3 = 1.801 × 10 mm

Mcr3 = 19.987 kNm

A keresztmetszet jellemzõi második feszültségállapotban (berepedt keresztmetszet): 9

xII3 = 181.097 mm III3 = 1.237 × 10 mm

4

A lehajlás közelítõ meghatározása a tartóközépi vasmennyiséget felhasználva: Ez a módszer azt feltételezi, hogy a tartó teljes hosszamentén a teljes vasmennyiség számításba vehetõ. Ez a biztonság kárára tett közelítés, hiszen a nagyobb merevség a valóságnál kedvezõbb, kisebb lehajlást eredményez. σ s3 :=

σ sr3 :=

(

)

M qp⋅ d − xII3 ⋅ α s.eff

Mcr3 III3

(

)

⋅ d − xII3 ⋅ α s.eff

 σ sr3  ζ 3 := 1 − β ⋅   σ s3  eI3 :=

5

σ s3 = 428.874

III3

σ sr3 = 65.911

2

mm

2

β := 0.5

N mm

2

ζ 3 = 0.988

4

L ⋅ p qp ⋅ 384 Ec.eff⋅ II3

( )

N

(

eI3 = 61.269 mm

)

eEC3 := ζ 3 ⋅ eII3 + 1 − ζ 3 ⋅ eI3

eII3 :=

5

4

L ⋅ p qp ⋅ 384 Ec.eff⋅ III3

( )

eII3 = 89.211 mm

eEC3 = 88.881 mm

A lehajlás közelítõ meghatározása a tartóvégi vasmennyiséget felhasználva: Ez a módszer azt feltételezi, hogy a tartó teljes hossza mentén csak a tartóvégi vasmennyiség vehetõ számításba . Ez a biztonság javára tett közelítés. Ilyen vasmennyiséggel számítva a középsõ M qp⋅ d − xII1 ⋅ α s.eff N keresztmetszetben az acélbetét messze σ s1 := σ s1 = 692.052 β := 0.5 túllépné a folyáshatárát. Ez kérdésessé teszi III1 2 mm a számítási eljárás alkalmazhatóságát is.

(

σ sr1 :=

Mcr1 III1

)

(

)

⋅ d − xII1 ⋅ α s.eff

σ sr1 = 91.152

N mm

2


 σ sr1  ζ 1 := 1 − β ⋅   σ s1  eI1 :=

2

ζ 1 = 0.991

4

L ⋅ p qp ⋅ Ec.eff⋅ II1 384 5


150

( )

(

eI1 = 67.465 mm

)

eEC1 := ζ 1 ⋅ eII1 + 1 − ζ 3 ⋅ eI1

4

L ⋅ p qp ⋅ Ec.eff⋅ III1 384 5

eII1 :=

( )

eII1 = 123.636 mm

eEC1 = 123.361 mm

A két kézenfekvõ közelítéssel kapott eredmény óriási eltérést mutat. Ilyen esetben mindenképpen érdemes a pontosított értéket meghatározni. A lehajlás értékének pontosított meghatározása. xII( y) :=

II( y) :=

M( y) :=

Mcr( y) :=

xII2

σ sr ( y) :=

M cr2

xII3 if y > l 2

M cr3 if y > l 2

xII1 if y < l 1

M cr1 if y < l 1 III( y) :=

II2

III3 M cr1

III3 if y > l2

II1 if y < l1

III1 if y < l1 σ s( y) :=

III2 M cr3

III2

II3 if y > l2

2   (pqp)⋅ L ⋅ y − ( p qp)⋅ y  2 2  

M cr2

III1

(

)

M ( y) ⋅ d − xII( y) ⋅ α s.eff III( y)

(

)

(

)

(

)

⋅ d − xII2 ⋅ α s.eff ⋅ d − xII3 ⋅ α s.eff if y > l 2 ⋅ d − xII1 ⋅ α s.eff if y < l 1

κ I( y) :=

M( y) Ec.eff⋅ II( y)

κ II( y) :=

M( y) Ec.eff⋅ III( y)

Hol éri el a külsõ terhekbõl számítható nyomaték a repesztõnyomaték értékét? z := 1m Given M( z) = M cr( z) xrep := Find( z) xrep = 0.29 m 2   σ sr( y)    ζ ( y) :=  1 − β ⋅  σ (y)   if M( y) > M cr( y)   s  

0 otherwise 1 ζ ( y)

0.5 0.5 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5 y

A támasz felett számítható véglapelfordulás, és a lehajlás értéke:

3

3.5

4

Vasbetonszerkezetek I L

⌠2  α I :=  κ I( y) dy ⌡ 0

L

⌠2 L L  eI := α I⋅ −  κ I( y) ⋅  − y dy 2 2  ⌡

eI = 61.733 mm

⌠2  L eII := α II⋅ −  κ II( y) ⋅  − y dy 2 2  ⌡

eII = 91.377 mm

α I = 0.023

0 L

L

⌠2  α II :=  κ II( y) dy ⌡ 0


151

L

α II = 0.036

0

L

⌠2  α EC :=  ζ( y) ⋅ κ II( y) + ( 1 − ζ ( y) ) ⋅ κ I( y) dy ⌡ 0

κ EC( y) := ζ ( y) ⋅ κ II( y) + ( 1 − ζ ( y) ) ⋅ κ I( y)

α EC = 0.035

0.01 κ I( y) κ EC( y) κ II( y)

0.005

0

0

0.5

1

u

1.5

2

⌠ e2EC( v) :=  φ( u) du ⌡

3.5

e2EC

4

L

 = 90.748 mm  2

0

0

3

y

v

⌠ φ( u) := α EC −  κ EC( y) dy ⌡

2.5

Változó vasalású gerenda esetén nagyon hasznos a pontosított eljárás. Elkerülhetjük a biztonság kárára tett közelítést, viszont nem kell a másik kézenfekvõ közelítésbõl származó jelentõs többletlehajlást, mint mértékadót elfogadnunk. Változó hosszvasalású tartó esetén tehát jelentõs megtakarítást érhetünk el a pontosított módszerrel. Érdekes lehet az elõbb részletezett három számítási mód görbületfüggvényének egy ábrán történõ ábrázolása: M ( y) M ( y) κ 1 ( y) := 1 − ζ1 ⋅ + ζ1⋅ Ec.eff⋅ II1 Ec.eff⋅ III1

(

M ( y) M ( y) κ 3 ( y) := 1 − ζ3 ⋅ + ζ3⋅ Ec.eff⋅ II3 Ec.eff⋅ III3

)

(

)

0.015

κ 1( y) κ EC( y)

0.01

κ 3( y) 0.005

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5 y

3

3.5

4

Vasbtonszerkezetek I.


152

6. példa Határozza meg az ábrán látható keresztmetszet repedéstágasságát! A keresztmetszet tisztán hajlított. Kiindulási adatok:

h

Es := 200

kN mm

Ecm := 30

φt := 2

b fcteff := 2.2

N mm

b := 250mm As

Es

α s.eff :=

2

α s.eff = 19.048

Ec.eff

1

2

4

c := 20mm

3

2

xII = 171.872 mm

9

III = 1.118 × 10 mm

4

2

Aceff = 1.901 × 10 mm −3

φ1 b − 2 ⋅ c + φk − 2 ⋅ 2

(

)

n1 + n2 − 1

4

σ s = 384.708

ρ peff = 0.054

∆ε = 1.759 × 10

k1 := 0.8

C20/25

2

Ec.eff :=

1.05⋅ Ecm 1 + φt

φ2 := 16mm 2

Ap := 0mm

φk := 10mm

d = 360 mm

t :=

mm

n2 := 2

As = 1.03 × 10 mm

4

kN

Mqp := 120kNm

h := 400mm φ1 := 20mm n1 := 2db

2 2 φ1 ) ⋅ π φ2) ⋅ π ( ( := n ⋅ +n ⋅

S500B

2

N mm

2

hcef = 76 mm

kt := 0.4

th = 150 mm

t = 56.667 mm t < t h

φeq = 18.222 mm

k2 := 0.5

srmax := 3.4 ⋅ c + 0.425⋅ k1 ⋅ k2⋅ wk := srmax⋅ ( ∆ε)

φeq ρ peff

srmax = 125.151 mm wk = 0.22 mm



153

7. példa Határozza meg az ábrán látható keresztmetszet repedéstágasságát! A keresztmetszet feszített. Kiindulási adatok:

h

Es := 200

kN mm

Ecm := 30

φt := 2

b

Ep := Es

2

kN mm

C20/25

2

Ec.eff :=

1.05⋅ Ecm

α s.eff := 2

b := 250mm

h := 400mm

( φ1 ) ⋅ π

φ1 := 20mm n1 := 4db

2

As := n1⋅

3

4 2

As = 1.257 × 10 mm

4

d = 360 mm

2

( 7mm) ⋅ π

Ap0 :=

Es

mm

α s.eff = 19.048

Ec.eff

np := 2

N

fcteff := 2.2

1 + φt

c := 20mm

Ap = 76.969 mm

S500B

σ p.eff := 1075

N mm

2

φk := 10mm

dp := d − 40mm Mqp := 120kNm N qp = 57.919 kN

A feszítõhuzalhoz tartozó hasznos magasság:

A külsõ terhekbõl és a feszítésbõl számítható nyomaték: N qp := 0.7 ⋅ σ p.eff⋅ Ap

Normálerõ a feszítésbõl:

A keresztmetszeti jellemzõk és a repedéstágasság meghatározása: x Given κ ⋅ b ⋅ x⋅ Ec.eff⋅ = As⋅ Es⋅ κ ⋅ ( d − x) + Ap ⋅ Ep ⋅ κ ⋅ dp − x + N qp 2

(

)

 x3 Es Ep  2 2 Mqp = κ ⋅ Ec.eff⋅ b⋅ + As⋅ ⋅ ( d − x) + Ap ⋅ ⋅ dp − x  3  Ec.eff Ec.eff  

(

3

xII

κ II = 8.842 × 10

m

Es Ep 2 2 + As⋅ ⋅ d − xII + Ap ⋅ ⋅ d − xII Ec.eff Ec.eff p

(

III := b⋅ 3

 

hcef := min2.5 ⋅ ( h − d) ,

σ s :=

Es Ep AII := b ⋅ xII + As⋅ + Ap ⋅ Ec.eff Ec.eff

−3 1

xII = 195.046 mm

 xII  := Find( x , κ )  κ II   

)

(

)

(

h − xII h  ,  3 2

)

M qp⋅ d − xII ⋅ α s.eff III kt := 0.4

+

AII ξ 1 :=

−3

)

III = 1.293 × 10

hcef = 68.3 mm

−N qp⋅ α s.eff

ξ⋅

φ1 φp

Aceff := b ⋅ hcef

σ s = 276.83

N

4

2

mm

fcteff    σ s − kt⋅ ⋅ (1 + α s.eff ⋅ ρ peff)  ρ peff σ s  ∆ε := max , 0.6 ⋅  Es Es  

As + ξ 1 ⋅ Ap Aceff

Aceff = 0.017 m

2

Aceff = 1.708 × 10 mm

2

ρ peff :=

2

AII = 0.074 m

ρ peff = 0.083

−3

∆ε = 1.247 × 10

4

m 2

2


t :=

φ1 b − 2 ⋅ c + φk − 2 ⋅ 2

(

)

n1 − 1

k1 := 0.8


154

t = 56.667 mm

t < th

th = 150 mm

φeq = 20 mm

k2 := 0.5


φeq

srmax = 109.168 mm

ρ peff

wk = 0.136 mm < 0,3 mm megfelel

Megjegyzés: a keresztmetszetben elhelyezett tapadásos feszítõbétet is figyelembe kell venni az ekvivalens átmérõ meghatározásakor, de csak, ha az alsó sorban van, mert a repedéstágasságra az alsó sorban elhelyezett acélbetétek átmérõjének van hatása. 8. példa Határozza meg az ábrán látható keresztmetszet repedéstágasságát! Es := 200

Kiindulási adatok:

h

Ecm := 30

φt := 2 α s.eff :=

b

b := 250mm As

h := 400mm φ1 := 12mm n1 := 2db

2 2 φ1 ) ⋅ π φ2) ⋅ π ( ( := n ⋅ +n ⋅

1

2

4

c := 30mm

φk := 10mm

xII = 159.246 mm

8

2

Aceff = 2.006 × 10 mm −3

t :=

(

)

n1 + n2 − 1

k1 := 0.8

4

C20/25

2

Es

1.05⋅ Ecm

fcteff := 2.2

1 + φt

Ec.eff

α s.eff = 19.048

n2 := 2

φ2 := 20mm

2

σ s = 388.896

ρ peff = 0.043

∆ε = 1.757 × 10

φ1 b − 2 ⋅ c + φk − 2 ⋅ 2

2

mm

N mm

2

Ap := 0mm

N mm

2

hcef = 80.3 mm

kt := 0.4

th = 180 mm

t = 52.667 mm t < t h

φeq = 17 mm

k2 := 0.5


φeq ρ peff

srmax = 169.853 mm wk = 0.298 mm

2

Mqp := 100kNm

d = 360 mm

III = 9.539 × 10 mm

4

mm

Ec.eff :=

As = 854.513 mm

4

kN

kN

< 0,3 mm megfelel



155

9. példa Határozza meg az ábrán látható egyirányban teherviselõ lemez repedéstágasságát! Kiindulási adatok:

h

kNm mqp := 50 m

h := 220mm db n1 := 6 m

φ1 := 12mm

A betonfedés értéke: d := h − c −

Es := 200

kN

Ecm := 30

S500B

2

mm

fcteff := fctm

α s.eff :=

Es Ec.eff

kN mm

2

C20/25

α s.eff = 19.048

φ1

d = 189 mm

2

φt := 2

Ec.eff :=

fctm := 2.2

c := 25mm

1.05⋅ Ecm 1 + φt

N 2

mm

A keresztmetszet jellemzõi és a repedéstágasság: x⋅ Ec.eff⋅

x 2

3

III :=

σ s :=

xII 3

= as⋅ Es⋅ ( d − x)

xII := Find( x)

Es 2 + as⋅ ⋅ d − xII Ec.eff

(

(

8 1 4 III = 2.868 × 10 mm m

)

)

mqp⋅ d − xII ⋅ α s.eff

σ s = 434.415

III 4 1 2 Aceff = 5.395 × 10 mm m

hcef = 53.9 mm −3

∆ε = 1.738 × 10

xII = 58.158 mm

th = 155 mm

N mm

ρ peff = 0.013


2

kt := 0.4

t = 166.667 mm t > t h

Az acélbetétek tehát egymástól távol helyezkednek el. srmax. = 0.21 m

wk = 0.366 mm

> 0,3 mm nem felel meg

156


Gyakorlati segédlet a tervezési feladathoz

Gyakorlati segédlet az 1. tervezési feladathoz

Kéttámaszú gerenda tervezése Készítette: Friedman Noémi és Dr. Kiss Rita Feladat:

g,p

h l`

c

c

Készítse el a fenti ábrán vázolt négyszög keresztmetszetû, kéttámaszú vasbeton gernda vasalási tervét! A gerenda fõbb méreteit, anyagát és terheit az alábbiakban adjuk meg: Anyagok: Beton: Betonacél

Geometria: C25/30 B400A (B.60.40)

Terhek: Állandó teher* (g):

30 kN/m

Hasznos teher (p):

40 kN/m

A gerenda szabad nyílása (l'): Feltámaszkodási hossz (a):

7,00 m 30 cm

Az állandó teher biztonsági tényezõi

γ g.sup= 1,35, γ g.inf= 0,9 A hasznos teher biztonsági tényezõje γ p= 1,5

* Az állandó teher tartalmazza a gerenda önsúlyát is

Bevezetés Ez a gyakorlati útmutató az Építőmérnöki Kar BSC képzésén induló Vasbetonszerkezetek című tárgy első tervezési feladatához nyújt segítséget. Az itt található számítások egy konkrét feladat megoldására mutatnak példát több változat vázlatos kidolgozásával, a tervezés menetét kiegészítő magyarázatokkal és gyakorlatias tanácsokkal ellátva a hallgatókat.

156


157


Mûszaki leírás Feladatunk egy mindkét végén 30cm hosszon feltámaszkodó, 7,00m szabad nyílású vasbeton gerenda vasalási tervének előállítása volt. A gerenda C25/30 szilárdsági osztályú betonból és B400A (B.60.40) betonacélból kerül kivitelezésre. A gerenda méretezéséhez g = 30kN/m állandó terhet (amely már a gerenda önsúlyát is tartalmazza), valamint p= 40 kN/m hasznos terhet feltételeztünk. Mivel a gerenda a feltámaszkodásoknál szabadon el tud fordulni, statikai váza egy statikailag határozott kéttámaszú tartó. A számításokat az MSZ EN 1991-1-1 és az MSZ EN 1992-1-1 alapján végeztük. A gerenda keresztmetszeti jellemzőit minden kötöttség nélkül szabadon felvehettük. Nyomatéki méretezéssel 650 mm magasságú, 400 mm szélességű keresztmetszetet határoztunk meg (4.1. fejezet). A vasbeton gerenda mezőközépi hosszvasalása 13 db két sorban elhelyezett (alsó sorban 9 db, felső sorban 4 db) φ20mm acélbetét (4.2. fejezet), amelyek elhagyására 4 különböző megoldást vázoltunk (5. fejezet). A vaselhagyás minden változatában 5 acélbetétet vittünk végig a tartó teljes hosszán, ebből 4-et a tartóvégen kampóztunk is. A különböző vaselhagyási változatok az alábbiakban különböztek: a.) Nem alkalmaztunk felhajlított vasat (5.4.1. fejezet); b.) Két, azonos keresztmetszetben felhajlított vasat alkalmaztunk (5.4.2. fejezet); c1.) Három (a támaszhoz közelebb kettő, egy másik keresztmetszetben egy) felhajlított acélbetétet alkalmaztunk (5.4.2. fejezet); c2.) Két különböző keresztmetszetben, két-két (összesen négy) felhajlított vasat alkalmaztunk (5.4.2. fejezet). A b.) változatban a felhajlított vas felső hajlítási pontját (a szerkesztési szabálynak megfelelően) az elméleti támaszvonalhoz illesztettük. A c1 és c2 változatoknál a felhajlított acélbetétek helyét a vonatkozó szerkesztési szabályok, valamint az ideális nyomatéki burkolóábrára való törekvés határozták meg. Minden változatban ügyeltünk a vasalás szimmetriájának megtartására. A felhajlított vasak lehorgonyzásának biztosításával jelen feladatban nem foglalkoztunk (probléma vázlatos körvonalazása az 5.4.3.2. fejezetben). Minden változathoz nyírási vasalási vázlat készült. Minden esetben φ10mm-es kengyelezést terveztünk. A különböző változatokat az alábbiakban értékeljük. a.) Felhajlított vas nélküli megoldás (összefoglaló ábra és táblázat az a.6.4.2. fejezet végén) A kengyelkiosztás három különböző szakaszra osztja a fél tartórészt. A támasznál a maximális (redukált) nyíróerő, a mezőközépi szakaszon a szerkesztési szabályok határozták meg a kengyelkiosztást (s=80mm illetve s=380mm). A közbenső szakaszhoz egy tetszőleges közbenső kengyelkiosztást (s=120mm) választottunk. b.) Két felhajlított vasas megoldás (összefoglaló ábra és táblázat az b.6.4.2. fejezetben) Ennek a változatnak a nyírási vasalása csak annyiban különbözik az „a” változattól, hogy a támasznál lévő felhajlított vasak hatástávolságán belül elegendő a fele akkora (s=160mm) kengyelkiosztás. c.) Három felhajlított vasas megoldás (összefoglaló ábra és táblázat az c.6.4.2. fejezetben) A „c1”-es változat támasz felőli szakaszán a kengyelkiosztást (s=180mm) nem a teherbírási követelmények, hanem a szerkesztési szabályok határozták meg (miszerint a mértékadó nyíróerő legalább felét kengyelezéssel kell felvenni). Ez a szakasz túlvasaltságát eredményezte. A mezőközéphez közelebbi felhajlítás hatástávolságán belüli s=140mm kengyelkiosztást a teherbírási követelmények szabták meg, mivel itt csak egy vasat hajlítottunk fel. A tartófél még egy s=100mm és egy s=380mm kengyeltávolsággal bíró szakaszból áll. Négy felhajlított vasas megoldás (összefoglaló ábra és táblázat az c.6.4.3. fejezet után) A „c2” változat annyiban különbözik a „c1”-től, hogy mivel mindkét keresztmetszetben két acélbetétet hajlítunk fel, mindkét hatástávolságon belül elegendő az s=180mm kengyelkiosztást alkalmazni Itt mindkét szakaszon a szerkesztési szabályok határozzák meg a kengyelkiosztást, így itt mindkét szakasz jelentős nyírási tartalékkal bír. A gerenda lehajlása kvázi statikus teherkombinációra 7,5mm, repedéstágassága 0,02mm, amely értékek a vonatkozó előírásoknak megfelelnek (7.1.2.és 7.2. fejezetek).

157

158



0. Alkalmazott szabványok MSZ EN 1991-1-1 A tartószerkezeteket érõ hatások. Általános hatások. Sûrûség, önsúly és az épületek hasznos terhei MSZ EN 1992-1-1 Betonszerkezetek tervezése. Általános és az épületekre vonatkozó szabályok

1. Kiindulási Adatok 1.1. Anyagjellemzõk Beton (C25/30) N

fck := 25 ⋅

mm

γ c := 1.5

2 kN

Ecm := 30.5 ⋅

mm

2

fcd :=

fctm := 2.56

N mm

fck γc

mm

φ t := 2

2

N

fcd = 16.7

Ec.eff :=

α := 1

2

1.05 ⋅ Ecm

ε cu := − 0.35%

fct.eff := fctm

1 + φt

Betonacél B400A(B.60.40)* N

fyk := 400 ⋅

mm

γ s := 1.15

2

ε su := 2.5%

fyd :=

fyk

mm

560 ⋅

mm

ξ c0 :=

fyd + 700 ⋅

mm

*B60.40 szilárdsági jellemzõjû betonacélt a gyakorlatban ritkán alkalmaznak. Gyakoribb szilárdsági osztály a B60.50-es

2 N

560 ⋅

2 ξ c0 = 0.53

N mm

f'yd := fyd

2

kN

Es := 200 ⋅ N

N

fyd = 348

γs

mm

ξ' c0 :=

N

700 ⋅

2

mm

2

2 ξ' c0 = 1.59

− fyd

g,p

1.2. Geometria Szabad fesztávolság:

l' := 7.0m

Feltámaszkodási hossz:

c := 30cm

h c

l`

A gerenda keresztmetszeti jellemzõi:

c

1.1. ábra: Geometriai kiindulási adatok

Tekintettel arra, hogy szabad tervezés a feladatunk, azaz a keresztmetszeti méretek nem adottak, ezek a geometriai méretek még nem ismertek. Mivel az ismeretlenek száma több a rendelkezésünkre álló egyenletetek számánál, így a keresztmetszet hasznos magasságának (d), valamint a tartó szélességének (b) arányát önkényesen felvesszük egy esztétikailag ideális értékre. Ezt az értéket a továbbiakban kiindulási adatként kezeljük.

A keresztmetszet hasznos magasságának (d) és szélességének (b) aránya: Kedvezõtlen vaselmozdulás:

δ := 10mm

Betonfedés:

bf := 20mm

η :=

d b

A keresztmetszeti méretek meghatározásánál a számításhoz elõre felvett vasátmérõk: Kengyel:

Hosszvas:

φ k := 10mm

φ l := 20mm

1.2. Terhek, teherkombinációk Állandó teher:

g := 30

Hasznos teher:

p := 40

kN m kN m

γ g.sup := 1.35

γ g.inf := 0.9

γ p := 1.5

ψ 2 := 0.6

Teherbírási határállapot vizsgálatához a legnagyobb teher (alapkombináció esetén):

q := g ⋅ γ g.sup + p ⋅ γ p

q = 100.5

A kvázi statikus teherkombináció esetén:

pqp := g + ψ 2 ⋅ p

pqp = 54

158

kN m

kN m

η := 1.5

159



2. Statikai váz meghatározása Tekintettel arra, hogy a gerendavég a feltámaszkodásnál szabadon el tud fordulni, a statikai vázunk egy kéttámaszú, statikailag határozott tartó. 1 Az elméleti támaszvonal távolsága a feltámaszkodási ponttól* (1. ábra): a := c a = 15 cm 2 g,p * Az MSZ EN által elõírt érték: a = min(1/2c;1/2h). Mivel h még nem ismert, így kiindulásként 1/2 c értékkel számolunk. Erre a pontra a késõbbiekben (a 4.1. fejezetben) még visszatérünk.

h l`

c

c

leff

2.1. ábra: Statikai váz Az elméleti támaszköz:

leff := l' + 2a

leff = 7.3 m

3. Mértékadó igénybevételek meghatározása 3.1. Mértékadó nyomaték meghatározása A maximális nyomaték mezõközépen: Teherbírási határállapotban: (alapkombinációból) Kvázi statikus teher hatására:

M Ed :=

q ⋅ leff

M Ed.qp :=

2 M Ed = 669.5 kNm

8 pqp ⋅ leff

2 M Ed.qp = 359.7 kNm

8

g ⋅ γ g.sup + p ⋅ γ p

g + ψ2 ⋅ p

leff

leff

M Ed

M Ed.qp

a

b 3.1. ábra: Mértékadó nyomatékok (a: teherbírási határállapot vizsgálatához; b: használati határállapot vizsgálatához) g ⋅ γ g.sup + p ⋅ γ p

3.2. Mértékadó nyíróerõk meghatározása A mértékadó nyíróerõ a támasznál: (q, teljes hosszon megoszló teherbõl) V Ed.max :=

q ⋅ leff

d

V Ed.max = 366.8 kN

2

A redukált nyíróerõ: (a redukált nyíróerõ ( V

leff

V Ed.red := V Ed.max − q ⋅ d

Ed.red ) számítására csak a 6.1.

pontban kerül sor, mivel itt még nem ismerjük "d" értékét)

V Ed.max

159

V Ed.red

3.2. ábra: Mértékadó nyíróerõ a támasznál és a redukált nyíróerõ

160


Gyakorlati segédlet a tervezési feladathoz p ⋅ γp

A középsõ keresztmetszetben akkor kapunk maximális nyíróerõt, ha csak a tartó felét terheljük le. Feltéve, hogy az önsúly egyenletesen oszlik meg, a nyíróerõ a tartó közepén csak a hasznos teherbõl keletkezik(3.3. ábra): V Ed.K :=

p ⋅ γ p ⋅ leff

leff V Ed.K

V Ed.K = 54.8 kN

8

Ha nem feltételezzük, hogy az önsúlyteher egyenletesen oszlik meg, a mértékadó leterhelést a 3.4. ábra mutatja: 3.3. ábra: Mértékadó nyíróerõ mezõközépen egyenletes önsúlyt feltételezve

g ⋅ γ g.sup + p ⋅ γ p

g ⋅ γ g.inf

leff

Ekkor a mértékadó nyíróerõ mezõközépen: V Ed.Kg :=

V Ed.Kg

⎡⎣ p ⋅ γ p + ( γ g.sup − γ g.inf ) ⋅ g⎤⎦ ⋅ leff 8

V Ed.Kg = 67.1 kN (A továbbiakban ezzel az

értékkel fogunk számolni)

3.4. ábra: Mértékadó nyíróerõ mezõközépen, ha az önsúly nem egyenletesen oszlik meg leff/2

A két számított pont között a nyíróerõábra másodfokú parabola. Most azonban közelítésként a mértékadó nyíróerõ-ábrát lineárisnak vesszük fel (3.5. ábra).

V Ed.Kg

pontos maximális nyíróerőábra linearizált (közelített) nyíróerőábra

V Ed.max

3.5. ábra: Mértékadó nyíróerõábra közelítése

160

161



3.5. ábra: Mértékadó nyíróerõábra közelítése

4. Nyomatéki tervezés 4.1. Szabad tervezés; a beton keresztmetszeti méreteinek felvétele A relatív nyomott betonzóna magasságának egy választott, ideális értéke:

ξ c := 0.4

A nyomatéki egyenletet "d"-re kifejtve: 3

*A tartómagasságot és a tartószélességet 5 cm-re kereken kell felvenni!

650

η ⋅ MEd

d :=

⎛

ξc⎞

⎝

2⎠

α ⋅ fcd ⋅ ξ c ⋅ ⎜1 −

d = 573 mm

400 h := d +

φl 2

+ φ k + bf + δ

*

h = 623 mm

d

h := 650 mm

Mivel 1/2h = 325mm > 1/2c így a 2. pontban számított "a" értékünk helyes volt.

*

= 382 mm

η

4.1. ábra: Keresztmetszeti méretek

b := 400 mm

A szükséges vasmennyiséget az itt már felvett keresztmetszeti méretekbõl, kötött tervezésként számoljuk. 4.2. Kötött tervezés; a gerenda hosszvasalásának ( Asl ) meghatározása

⎛ φl

d := h − ⎜

A hatékony magasság:

⎝2

+ φ k + bf + δ

⎞

d = 600 mm

⎠

xc

xc = 201.0 mm

d

= 0.335 <

⎛

xc ⎞

⎝

2⎠

M Ed = b ⋅ α ⋅ fcd ⋅ xc ⋅ ⎜d −

A nyomatéki egyenletbõl xc meghatározása: ξ c0 = 0.534

( )

xc := Find xc

az acélbetétek folynak

A vetületi egyenletet As -re kifejtve: A s.min :=

b ⋅ α ⋅ fcd ⋅ xc

2 A s.min = 3853 mm nmin :=

fyd

⎛ φ 2⋅ π⎞ ⎜ l A sl := ⎜ ⋅n ⎝ 4 ⎠

A sl = 4084.1 mm

2

n ⋅ φ l + ( n − 1 ) ⋅ φ l + 2 ⋅ φ k + 2 ⋅ bf = 560 mm >

A s.min

* nmin = 12.3

legyen:

n := 13db

⎛ φ 2⋅ π⎞ ⎜ l *A túl nagy repedéstágasság elkerülése érdekében ⎜ inkább több, kisebb átmérõjû acélbetétet ⎝ 4 ⎠ alkalmazzunk! A betonacélok elhelyezésével kapcsolatos szerkesztési szabályok és hasznos adatok a mellékletben találhatók.

b = 400 mm

az acélbetétek nem férnek el egy sorban

Az egy sorban elhelyezhetõ acélbetétek száma: =9

13 - 9 = 4 db acélbetétet egy második, felsõ sorban helyezzünk el (4.2. ábra)**

4.3. Ellenõrzés

* *Külön sorban egyetlen acélbetétet nem lehet elhelyezni a kivitelezhetõség miatt

4.3.1. Nyomatéki ellenõrzés Az alkalmazott hatásos magasság: φl ⎛ d := h − ⎜bf + φ k + 2 ⎝

+

4 13

⋅ 40mm + δ

⎞ ⎠

650

⎤ 1 ⎥ 2 ⎦

+ 1⎥ ⋅

40 40

⎡⎢ b − ( 2 bf + 2 φ k) ⎢ φl ⎣

400 d = 587.7 mm

161

4.2. ábra: Keresztmetszeti kialakítás mezõközépen

162


xc :=

A sl ⋅ fyd

xc = 213.1 mm

b ⋅ α ⋅ fcd

xc d


= 0.363 < ξ c0 = 0.534

az acélbetétek folynak

Az acélbetétek fajlagos megnyúlása: ε s := − ε cu ⋅

d − 1.25 ⋅ xc

ε s = 0.422 %

1.25 ⋅ xc

⎛

xc ⎞

⎝

2⎠

M Rd := b ⋅ α ⋅ fcd ⋅ xc ⋅ ⎜d −

<

ε su = 2.5 %

az acélbetétek nem szakadnak el

> MEd = 669.5 kNm

M Rd = 683.5 kNm

megfelel

4.3.2. A szerkesztési szabályok ellenõrzése N

0.6 ⋅ A sl.min := 0

mm fyk

2 ⋅ b⋅ d

A sl.min = 353 mm 0

2

A sl.min := 0.0015 ⋅ b ⋅ d 1

(

Így a minimális vasmennyiség:

A sl.min := min A sl.min

Maximális vasmennyiség:

A s.max := 0.04 ⋅ b ⋅ d

A s.min = 3853 mm

2

<

A sl = 4084 mm

2

<

162

)

A sl.min = 353 mm

A sl.min = 353 mm 1

2

A s.max = 9403 mm A s.max = 9403 mm

2 2

az alkalmazott vasmennyiség a szerkesztési szabályoknak megfelel

2

163



5 A határnyomatéki ábra elõállítása, vaselhagyás tervezése A 13 hosszvasnak legalább a negyedét, azaz legalább 4 vasat végig kell vezetni. Mi ezt a 4 acélbetétet fogjuk végigvezetni a tartón. A nyírási vasalás tervezésének könnyebb megértése érdekében a továbbiakban három különbözõ vasalási lehetõségre mutatunk példát: -a: Nem alkalmazunk felhajlított acélbetétet; -b: Két, azonos keresztmetszetben felhajlított acélbetétet alkalmazunk; -c: Több, két helyen felhajlított acélbetétet alkalmazunk. A vaselhagyás tervezéséhez az alábbi lépéseknek megfelelõen javasolt haladni: 1.) A tartó és az eltolt nyomatéki ábra felszerkesztése (kézi rajz esetén célszerûen egy A3-as miliméterpapírra, egymás alá, olyan méretarányban, hogy a nyíróerõábra is ráférjen késõbb a lapra); 2.) A mezõközépi (esetünkben 13 φ20-nak megfelelõ) M érték felszerkesztése

Rd

3.) Az 5.3. pontban számított nyomatéki értékek felszerkesztése, közelítõ módszer esetén a nyomatékok közvetlen kiszerkesztése (bõvebben az 5.3. pontban) 4.) A határnyomatéki ábra ugráspontjainak - vagyis a vaselhagyások és felhajlítások helyeinek - meghatározása. 4.a.) Nyomatéki ábra "burkolása", azaz az ugráspontok felrajzolása a metszéspontokba, és ezzel a vaselhagyások helyének meghatározása 4.b.) Felhajlított vas esetén a megfelelõ támaszközeli ugráspont(ok) esetleges módosítása a felhajlított vas(ak) ideális elhelyezéséhez. 4.c.) A tartóvég kialakításának megtervezése, valamint, amennyiben szükséges, hajtûvasak számának és hosszának meghatározása.

5.1. A mértékadó nyomatéki ábra A nyomatéki ábra eltolása: ahol : z := 0.9 ⋅ d

al :=

al =

1 2

⋅z

1 2

⋅z


al = 264.5 mm

5.2. A lehorgonyzási hosszak meghatározása és a felfekvési hossz ellenõrzése

lb.h.min lb.h.net.k

fyd

5.1. ábra: Eltolt nyomatéki ábra

fyd lb.h.net

5.2. ábra: Lehorgonyzási hosszak értelmezése A húzott vas (φ20) lehorgonyzási hosszának meghatározása fbd := 2.8

N

: bordás acélbetét, 2 C25/30-as beton szilárdság) mm

A teljes lehorgonyzási hossz:

φ l ⋅ fyd lb.h := l = 621.1 mm 4 ⋅ fbd b.h

A nettó lehorgonyzási hossz (5.2. ábra): -egyenes végû acélbetét esetén:

α a := 1

lb.h.net := α a ⋅ lb.h

lb.h.net = 621.1 mm

-kampózott végû acélbetét esetén:

α a.k := 0.7

lb.h.net.k := α a.k ⋅ lb.h

lb.h.net.k = 434.8 mm

A minimális lehorgonyzási hossz:

(

)

lb.h.min := max 0.3 ⋅ lb.h , 10 ⋅ φ l

163

lb.h.min = 200 mm

164



5.3. A határnyomatéki ábra értékeinek meghatározása A következõ nyomatéki értékek számítását gépi számítással a 4.3.1.pontnak megfelelõen gyorsan elvégezhetjük. A számítás eredményeit az 5.1.táblázatban foglaltuk össze . Amennyiben kézzel dolgozunk a számítás igen hosszadalmas lehet, így érdemesebb közelítésként lineáris interpolációval kiszerkeszteni a nyomatéki értékeket. Ezt a gyakorlatban úgy végezzük, hogy a határnyomatéki ábra szerkesztésekor a mezõközépi M értéket egyszerûen felosztjuk

Rd

annyi részre, ahány hosszvasat alkalmaztunk (jelen esetben 13), így egy osztás egy vaselhagyásnak fog megfelelni. Ezek persze csak közelítõ helyei lesznek a pontos nyomatéki értékeknek, valójában a vaselhagyásokkal a hatásos magasság (d) folyamatosan változik, így a nyomatékok nem lineárisan fognak csökkeni. Ha célszerûen a fölsö sor hosszacélait kezdjük elhagyni (ezzel a hosszacélok súlypontját egyre lejjebb helyezve, azaz a hatásos magasságot egyre növelve),ezzel a módszerrel a biztonság javára közelítünk (5.3 ábra).

5.1. táblázat: Határnyomatéki ábra értékeinek meghatározása

700,0 650,0 600,0 550,0 500,0 450,0 400,0 350,0 300,0 250,0 200,0

Megjegyzés: a táblázatban azokhoz az "n" értékekhez tartozó határnyomatékokat számoltuk ki, amelyekre a késõbbiekben (lásd késõbb az 5.4.1. és 5.4.2. pontokat) szükség lesz. Például, ha nem alkalmazunk vasfelhajtást, az acélbetéteket kettesével, majd a végén egy darab acélbetétet elhagyva, az n = 13,11,9,7,5,4 értékekhez tartozó nyomatéki értékekre van szükségünk.

MRd szerkesztéssel MRd számítással

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

n

5.3. ábra: Közelítõ módszer pontatlansága

5.4. ábra: A mértékadó nyomatéki ábra és az egyes határnyomatékok ábrázolása

164

165



5.4. A vaselhagyás tervezése, határnyomatéki ábra 5.4.1. Vaselhagyás tervezése ("a" - felhajlított acélbetét nélküli - változat) A hosszvasakat úgy hagyjuk el, hogy a határnyomatéki ábra kivülrõl "burkolja" az eltolt nyomatéki ábrát ( 5.5. ábra). Az acélbetétek szükséges hosszát úgy állapítjuk meg, hogy az a megfelelõ ugrásponttól legalább l értékkel túlnyúljon* (5.5. ábra). Az ábrán

b.h.net

látható, hogy az acélbetéteket mezõközéptõl haladva kettesével hagyjuk el, majd az utolsó elhagyandó acélbetétet végigvisszük, m ivel ezt az acélbetétet az 5.5. ábrán "A"-val jelölt ponttól számított l hosszig kell

b.h.net

elvinni, ez azonban már majdnem a tartó végénél van, így ezt az acélbetétet inkább végigvisszük. A megmaradt 4 acélbetétet felkampózzuk, úgy hogy a felhajlított rész mellett is biztosítjuk a betonfedést (esetünkben 20mm). Ügyeljünk arra, hogy amennyiben az acélbetéteket több sorban helyeztük el, sorelhagyás esetén utoljára a két szélsõ acélbetétet kell elhagyni, amelyeket csak egyszerre hagyhatunk el! *A vaselhagyások tervezésénél a lehorgonyzási hosszon is felvehetõ feszültségek figyelembevételére - a határnyomatéki ábra lineárisan csökkenõ szakaszainak kiszerkesztését elkerülve bevett gyakorlati szokás a nyomatéki ugráspontok után az acélbetéteket l érték helyett csak l értékkel

b.h.net

b.h.min

továbbnyújtani.

5.5. ábra: Vaselhagyás tervezése ("a" - vasfelhalíjtás nélküli - változat) 5.4.2. A felhajlított vasak helyének (vagy helyeinek) meghatározása - "b" és "c" változatok A felhajlított vas alsó illetve felsõ párhuzamos tengelyvonalának távolsága:

⎛

φl⎞

⎝

2⎠

zs := h − 2 ⋅ ⎜bf + φ k +

zs = 570 mm

A felhajlított vasak helyét aképpen határozzuk meg, hogy az megfeleljen a vonatkozó szerkesztési szabályoknak, és lehetõleg a határnyomatéki ábra is közel maradjon az eltolt nyomatéki ábrához (és természetesen abba ne messen bele). A felhajlított vasak helyének meghatározásánál az alábbi szerkesztési szabályokat ajánlott figyelembe venni:

1. eset: csak egy helyen van vasfelhajlítás ("b" változat) Ebben az esetben nincs választásunk: a felhajlított vas felsõ hajlítási pontját az elméleti támaszvonalhoz kell illesztenünk (5.4.2. ábra), és a hatástávolságot 2z s értékeben kell meghatározni. Ilyenkor a gerendára felszerkesztjük a felhajlított vas helyét, és a felhajlítási pontot levetítjük a határnyomatéki ábrára ( 5.5. ábrán B' pont). E ponthoz mezõközép felé a legközelebb álló metszéspontba szerkesztett ugráspontot kell ebbe a levetített pontba (5.4.2. ábrán B pontból B' pontba) áttolni (mivel itt nem elhagyjuk az acélbetétet, hanem felhajlítjuk, így az ugrás a felhajlítási pontba kerül). Az 5.6. ábráról az is leolvasható, hogy az acélbetéteteket mezõközéptõl haladva kettesével hagyjuk el, kettõt felhajlítunk a B' pontban, 5-öt végigviszünk a tartón, ebbõl 4 acélbetétet fel is kampózunk.

5.6. ábra: Egy keresztmetszetben felhajlított vasak helyének meghatározása, vaselhagyások tervezése ("b" változat)

165

166



2. eset: több helyen is van vasfelhajlítás ("c" változatok) A hatástávolság maximális értéke: smax := 0.65 ⋅ d ⋅ ( 1 + cot( α ) ) (45 fokos vasfelhajlítás esetén: 1,3d)

A hatástávolság meghatározásáról bõvebben a Gerendák Komplex Vizsgálata, Határnyomaték és Határnyíróerõszámítás fejezetben

Ha több helyen alkalmazunk felhajlított vasat nagyobb szabadságunk van a felhajlítás helyeinek meghatározásánál, azonban ezeket egymáshoz valamint a támaszvonalhoz elég közel kell elhelyeznünk ahhoz, hogy a fennt említett szerkesztési szabálynak is megfeleljünk. Mindezt természetesen úgy kell megtennünk, hogy a határnyomatéki ábra minnél szorosabban burkolja az eltolt nyomatéki ábrát.

Feladatunkban a maximális hatástávolság: d9 *:= 600 mm s max := 0.65 ⋅ d9 ⋅ ( 1 + cot( 45fok) )

s max = 780 mm

ahol d9: a hatásos magasság értéke a felhajlításoknál (5.1. táblázat) Elöször is meghatározzuk, milyen messze lehet a két felhajlítás helye, ahhoz, hogy a mezõközéphez közelebbi vas hatástávolsága ne haladja meg a fent számított s értéket.

max

A felhajlítások helyének maximális távolsága:

(

)

tmax := s max − zs 2

tmax = 420 mm

Az 5.7. ábrán két megoldást is felvázoltunk: a "c1" változatban a támaszhoz közelebbi helyen egy, a másikon kettõ acélbetétet hajlítottunk fel, a "c2" változatban mindkét keresztmetszetben kettõt . Ez utóbbi változat "szorosabban" követi a mértékadó nyomatéki ábrát, azonban nyírásra lesz túlméretezett (nyírási számítás a c.6.4. alatti pontokban), míg a "c1" változat kicsit távolabb halad az eltolt nyomatéki ábrától, de gazdaságosabb a nyírási teherbírást vizsgálva (részletesebb magyarázat a mûszaki leírásban). Mindkét változatban a felhajlítások távolságát 40cm-re (< tmax) vettük fel, a támaszhoz közelebbi felhajlítás helyét pedig a "c2" változatban az 5.7. ábrán B-vel jelölt metszésponthoz igazítottuk (úgy, hogy a felsõ hajlítási pont távolsága a kampózástól legalább cm-re kerek legyen - itt 32 cm), a "c1" változatban pedig az 5.7. ábrán C-vel jelölt metszésponthoz igazítottuk, úgy hogy a felsõ pontból húzott 45 fokos egyenes még belemessen az elméleti támaszvonalba. c2.)

c1.)

5.7. ábra: Több keresztmetszetben felhajlított acélbetétek helyeinek meghatározása, vaselhagyások tervezése ("c1" és "c2" változat)

166

167



5.4.3. A tartóvégi kialakítás megtervezése 5.4.3.1. A tartóvég határnyomatéki ábrájának megszerkesztése, tartóvégi kialakítás megtervezése A vaselhagyás tervezésénél az eddigiekben nem vettük figyelembe, hogy az acélbetétek a legorgonyzási hosszon belül is fel tudnak venni (lineárisan csökkenõ) húzófeszültséget ( 5.2. ábra). Ez az egyszerûsítés (bár tekintélyes mértékben növeli a szükséges acélhosszakat), jelentõsen leegyszerûsíti a szerkesztés menetét. A tartóvég vizsgálatánál azonban kénytelenek vagyunk figyelembe venni ezeket a feszültségeket, ugyanis ezen a részen minden húzott acélbetét lehorgonyzási hosszon belül van.

A határnyomatéki ábra tartóvégi részletét mutatjuk be az 5.8.a. ábrán. Bár az ábra az "a" változat tartóvégi részletét mutatja, a határnyomatéki ábrának ez a része az egyes változatoknál megegyezõ. *Ha az "a" feltételünk nem teljesül - növeljük meg a feltámaszkodási hosszt (amennyiben ez lehetséges) vagy - alkalmazzunk vízszintes hajtûvasakat

**5.8.b. ábra egy olyan tartóra mutat példát, ahol 5, kampózás nélküli acélbetétet vittünk végig a tartó széléig. E kialakítással a határnyomatéki ábra belemetsz az eltolt nyomatéki ábrába a feltámaszkodási hosszon kívül (vagyis "b" feltétel nem teljesül). A tartóvég helyes kialakítását kampózással, vagy vízszintes hajtûvasakkal oldhatjuk meg.

5.8.a. ábra: Tartóvégi kialakítás

5.8.b. ábra: Tartóvégi kialakítás kampózás nélkül

Az 5.8.a. ábrán a határnyomatéki ábra szépen burkolja az eltolt nyomatéki ábránkat, mivel: - a.) az

bf +

φl

2

lb.h.net.k hossz a feltámaszkodási hosszon belülre esik*, azaz + lb.h.min = 230 mm

<

a feltámaszkodási hossz megfelel!

c = 300 mm

- b.) A lehorgonyzási szakaszon (a feltámaszkodási hosszon kívül) a határnyomatéki ábra nem metsz bele az eltolt nyomatéki ábrába**. Elõfordulhat azonban, hogy ez a két feltétel közül valamelyik nem teljesül (erre mutat példát az 5.8.b. ábra). Ilyenkor a gyakorlatban vízszintes hajtûvasakkal szokták a tartóvégi rész megfelelõ teherbírását biztosítani ( 5.9. ábra). A hajtûvasak méretezésére többféle gyakorlati módszer alakult ki: I.) a teljes hiányzó nyomatékot (ha az "a" feltétel nem teljesül, az

lb.min szakasz támaszon kívüli végén ható nyomatékot, ha a "b"

feltétel nem teljesül, a metszési pontban ható nyomatékot - 5.8.b. ábra esetén M'-vel jelölt nyomatékot) hajtûvasakkal vesszük fel ***; II.) a hajtûvasakkal csak a végig vezetett acélbetétek lehorgonyzását biztosítjuk, így azokkal a tartó teljes hosszán számolhatunk (természetesen nem feltétlenül az összes végigvezetett acélbetet kell lehorgonyozni, csak annyit, amennyivel az elõzõekben megmagyarázott M' nyomatékot fel lehet venni).

5.9. ábra: Vízszintes hajtûvasak 3 dimenziós vázlata

***A szükséges hajtûvasak számát (M' nyomatékra) a 4.2. pontnak megfelelõen gyorsan elvégezhetjük. Az egyszerûbb kivitelezhetõség kedvéért ajánlott kissebb átmérõjû hajtûvasakat alkalmazni. A hajtûvasakat is le kell horgonyozni (az M' nyomatékú keresztmetszettõl mezõközép felé hosszal túl kell nyújtani) l

b.h.net

vízszintes hajtûvasak

167

168



5.4.3.2. Felhajlított acélbetétek kivitelezhetõségének és lehorgonyozhatóságának ellenõrzése A megfelelõ tartóvégi kialakítás biztosításához azt is ellenõriznünk kell, hogy amennyiben van felhajlított vasunk azt megfelelõen le tudjuk-e horgonyozni, és ha a lehorgonyzáshoz kampózás is szükséges, az a gyakorlatban megvalósítható-e (a szerkesztési szabályok által megkövetelt támaszvonalhoz közeli felhajlított acélbetétek lehorgonyzására egyszerûen kicsi a hely). A tervezési feladat korlátozott terjedelme miatt ennek a pontnak minden részletére nem térünk ki, a felmerülõ problémákat csak körvonalazzuk).

A felhajlított vas lehorgonyzási hosszainak számítása ("b" változat) A felhajlított vas kihasználtsága:

A s.req A s.alk

=

V Ed.red VRd.AB

= 0.95 (Számítását lásd késõbb, a b.6.4.2.

pontban)

A felhajlított vas minimális lehorgonyzási hossza:

As.req ⎞⎞ ⎛⎛ ⎜⎜α a ⋅ lb.h ⋅ As.alk ⎟⎟ lbd := max ⎜⎜ ⎜ ⎜ *Mivel a támaszvonalnál a ⎝⎝ lb.h.min ⎠⎠ mértékadó nyomaték zérus, így a

lb.h.felh.k

A s.req

nyomott betonzóna magassága is zérus. Ha a kampózott vas felsõ hajlítási pontját nem kell a támaszvonalhoz illesztenünk,, akkor ebben a pontban a mértékadó nyomaték sem zérus, így ebbõl számítható xc nem zérus értéke.

5.10. ábra: Kampózott, felhajlított acélbetét lehorgonyzási hossza

Egyenes végû felhajlított acélbetétnél: (a felsõ hajlítási ponttól, nyomott övben)

Kampózott végû felhajlított acélbetétnél: (a nyomott zóna szélétõl)

ahol α a ⋅ lb.h ⋅ = 590 mm A s.alk α a ⋅ lb.h = 621 mm

(számtásuk az 5.2. pontban)

lb.h.min = 200 mm

lb.h.felh := 0.7 ⋅ lbd

lb.h.felh.k := lb.h.net

A nyomott betonzóna magassága a támasznál: xc0 := 0 mm

lbd = 590 mm

*

lb.h.felh = 413 mm >( l' + 2c) − leff = 150 mm

2

az acélbetétet kampózni kell

lb.h.felh.k = 621 mm

a lehorgonyzást hajtûvasakkal lehet csak megoldani**

Ellenõrzés, hogy van-e elég hely a felhajlításhoz és a kampózáshoz

**A felhajlított vas e módon történõ lehorgonyzásának részleteire e tervezési feladat korlátozott terjedelme miatt nem térünk ki.

(Ha mégis kampóznánk az acélbetéteket)

Az alkalmazott (belsõ) hajlítási átmérõ: φ hajl + φ l

φ hajl + φ l

2

2

bf

⎛ α l⎞

**

φ hajl := 7 ⋅ φ l

φ hajl = 140 mm

⋅ tan ⎜

⎝2⎠

**A minimális hajlítási átmérõket az 5.2. táblázat mutatja


5.2. táblázat: Minimális hajlítási átmérõk

5.11. ábra: Felhajlított acélbetét kivitelezhetõségének ellenõrzése A hajlításhoz és a kampózáshoz szükséges minimális hely a támaszvonaltól a tartóvégig: φ l φ hajl + φ l φ hajl + φ l ⎛ α l⎞ ahol tmin := bf + + + ⋅ tan⎜ 2 2 2 ⎝2⎠ tmin = 143 mm

α l = 45 fok

( l' + 2c) − leff

<

2

168

= 150 mm

(a felhajlítás szöge)

a feltámaszkodási hossz megfelel!

169



6. Nyírási vasalás tervezése 6.1. A mértékadó nyíróerõ ábra

leff/2

(Számítást lásd a 3.2. pontban)

VEd.Kg

Mértékadó nyíróerõ mezõközépen:

V Ed.Kg = 67.1 kN

Maximális nyíróerõ a támasznál:

V Ed.max = 366.8 kN

A redukált nyíróerõ:

V Ed.red := V Ed.max − q ⋅ d V Ed.red = 307.762 kN

VEd.max

6.2. A nyomott beton ellenõrzése V Rd.max := α cw ⋅ b ⋅ z ⋅ ν ⋅ fcd ⋅

ahol:

1 + ( cot( θ ) )

2

feszítés illetve nyomóerõ nélküli keresztmetszet esetén; fck ⎛ 1 ⎞ z := 0.9 ⋅ d * z = 0.529 m ν := 0.6 ⋅ ⎜1 − ⋅ ν = 0.540 N ⎜ 250 2 θ := 45fok cot ( θ ) = 1 mm

⎝

⎠

α := 90 ⋅ fok ** a nyírási vasalásnak a tartó tengelyével

bezárt szöge cot ( θ ) + cot( α )

1 + ( cot( θ ) )

2

** A biztonság javára történõ közelítéssel (lásd a nyírási vasalásról szóló részeket)

> VEd.max = 366.8 kN

V Rd.max = 952.1 kN

6.1.. ábra: Mértékadó nyíróerõábra

cot ( θ ) + cot( α )

α cw := 1

V Rd.max := α cw ⋅ b ⋅ z ⋅ ν ⋅ fcd ⋅

VEd.red

* A nyomott betonzóna ellenõrzését a támasznál kell elvégeznünk, mivel itt lesz a legnagyobb a nyírás miatti nyomófeszültség a betonban. Ezért elméletileg az ehhez a keresztmetszethez tartozó (4φ20 vasaláshoz) "d" értékkel kell számolnunk (600mm-rel). Itt és a továbbiakban több helyen a biztonság javára történõ közelítéssel az egyszerûség kedvéért a mezõközépen számítható hatásos magassággal (588mm) fogunk számolni. Ez a közelítés nem befolyásolja jelentõsen a számításokat.

a beton keresztmetszet geometriai méretei megfelelõk.

6.3. A beton által felvehetõ nyíróerõ meghatározása Mivel az MSZ EN 1992-1-1alapján nem lehet figyelembe venni a beton által felvehetõ nyíróerõ ( V ) értékét a méretezett nyírási

Rd.c

vasalással ellátott tartórészek nyírási teherbírásába, így méretezésnél ezt az értéket fölösleges minden különbözõ hosszvasalással bíró tartórészhez kiszámolni. Azonban feltétlenül meg kell minden olyan szakaszhoz tartozó V értéket

Rd.c

határozni, ahol ez lesz a mértékadó (azaz ahol A 6.2. ábrán látható, hogy

VRd.c > VEd ).

V Rd.c diagramja még az I.-gyel jelölt

(13φ20 hosszvasalású) szakaszon belül metszi a mértékadó nyíróerõ ábrát, így csak ezen a szakaszon szükséges a számítást elvégezni. Csak a könnyebb megértés kedvéért foglaltuk össze a 6.1. táblázatban az összes hosszvasalási szakaszhoz (I-VI) tartozó értékeket és ezt ábrázoltuk is 6.2. ábrán. V

Rd.c

V Rd.c érték számítása az I. szakaszon:

⎛

200

⎜ ⎝

d mm

k := min⎜1 +

ν min := 0.035 ⋅ k

3 2

⎞

, 2.0

k = 1.583

⎠ ⎛

fck

⎜ ⎝

N

⋅⎜

A vashányad értéke:

2 mm

⎞ ⎠

1 2 ν min = 0.349

6.2. ábra: A beton nyírási teherbírása

⎛ Asl

ρ l := min ⎜

⎝b⋅ d

⎞

, 0.02

ρ l = 0.0174

⎠

169

170



A beton által felvehetõ nyíróerõ:

⎡⎡ ⎢⎢ ⎢ ⎢ 0.18 ⎛ ⋅ k ⋅ ⎜100 ⋅ ρ l ⋅ ⎢ ⎢ V Rd.c := max ⎜ ⎢⎢ γc ⎝ ⎢⎢ ⎢⎢ ν min ⎣⎣

fck N 2 mm

⎤⎤ ⎥⎥ ⎞ ⎥⎥ ⎥⎥ ⋅ ⎥⎥ ⎠ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦⎦ 1 3

b mm

⋅

d

⋅N

mm

V Rd.c = 157.0 kN

6.1. táblázat: Beton nyírási teherbírásának alakulása a különbözõ hosszvasalású szakaszokon Megjegyzés: V*. szakaszhoz tartozó érték csak a c1 változathoz szükséges.

6.4. A szükséges kengyeltávolságok meghatározása és a határnyíróerõ-ábra A nyírásra vasalandó szakasz hosszának meghatározása Ott szükséges nyírási vasalás, ahol: V Rd.c < V Ed.red Az ábra alapján:

Megjegyzés: Az

leff VRd.c − VEd.Kg leff tn := − ⋅ 2 V Ed.max − VEd.Kg 2

tn = 2555 mm

leff

− tn hosszúságú, 6.3.a. ábrán CD-vel jelölt, szakasz hosszvasalás kialakítása az 2 egyes változatokban (a, b, c1, c2) nem tér el, így a tn hossz is megegyezik.

"a" változat - felhajlított vas nélküli nyírásvasalás-tervezés a.6.4.1. A kengyeltávolságok meghatározása AA' szakasz 2

A sw :=

2 ⋅ φk ⋅ π 4

A sw = 157 mm

2

A szükséges kengyeltávolság: A ⋅ f ⋅ 0.9 ⋅ d * s AA' :=

sw yd

VEd.red

** Legyen sAA' := 80mm **Az alkalmazott kengyeltávolság 2 vagy 5cm-re kerek érték legyen!

CD szakasz

6.3.a. ábra: A mértékadó nyíróerõábra és a beton nyírási teherbírása - nyírási szakaszok értelmezése ("a" változat)

s AA' = 93.9 mm

* Elméletileg a nyírási teherbírások számításánál és a szerkesztési szabályok ellenõrzésénél mindig az adott szakaszra jellemzõ "d" értékkel kell számolnunk. Mi azonban az egyszerûség kedvéért a továbbiakban közelítésként mindig a mezõközépen számítható hatásos magassággal (588 mm) fogunk számolni. Ez a biztonság javára történõ közelítés nem befolyásolja jelentõsen a számításokat.

Ezen a szakaszon nem szükséges méretezett nyírási vasalás, így itt a szerkesztési szabályok határozzák meg a szükséges kengyeltávolságot.

A szerkesztési szabályok által megkövetelt minimális kengyeltávolság számítása: - A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:

ρ w :=

Asw s CD ⋅ b

170

ρ w = 0.131 %

171



A fajlagos mennyiség minimális értéke: 0.08 ⋅

fck ⋅

ρ w.min := fyk ⋅

mm

mm

2

N 2

ρ w.min = 0.100 %

s maxρ :=

Asw

s maxρ = 393 mm

ρ w.min ⋅ b

N

- A nyírási acélbetétek maximális távolsága: A kengyelnél:

*

s CD := 380 mm (< s max ; s maxρ

s max = 441 mm Legyen

s max := 0.75 ⋅ d

)

A'B szakasz

Az AA' szakaszra meghatározott kengyelezést az A'B szakaszra is kiterjesztjük: (6.3.b. ábra)

s A'B := 80mm

BC szakasz

s AB := sA'B

Az

s BC kengyeltávolság az sAB és az sCD értékek között tetszõlegesen felvehetõ.

Feladatunkban (a nagy keresztmetszeti méretek miatt) a beton nyírási teherbírása (

szabályok alapján felvett

s CD kengyelkiosztással felvehetõ nyíróerõ, így nem vezet eredményre a

felvétele, ezzel a kengyeltávolsággal ugyanis

választani, amellyel

V Rd.c + V Ed.red

2

VRd.c ) lényegesen nagyobb, mint a szerkesztési

V Rd.c + V Ed.red

2

s AB + sCD

2

körüli kengyelkiosztás

VRd.c, -nél is kisebb nyírást tudnánk csak felvenni. Célszerûbb olyan kengyelkiosztást

körüli nyíróerõt tudunk felvenni.

2

= 232.4 kN s BC := A sw ⋅ fyd ⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ s = 124 mm Legyen: sBC := 120 mm VRd.c + VEd.red BC

(

)

a.3.4.2. A kengyelek kiosztása és a határnyíróerõ-ábra A tartó szimmetriáját megõrizve a tartó közepétõl a támasz felé haladva osztjuk ki a kengyeleket, úgy, hogy a szimmetriatengelytõl

vagy

s CD

2

sCD

értékkel indítunk. A kengyeltávolságok váltásának helyét úgy határozzuk meg, hogy a határnyíróerõábra minnél közelebb

burkolja a mértékadó nyíróerõábrát (és természetesen abba ne metsszen bele).

CD szakasz A szakaszon alkalmazott kengyelkiosztás: A szakasz hossza:

tCD :=

leff

2

− tn

s CD = 380 mm tCD = 1.095 m

Az elsõ kengyeltávolság-váltás helyének meghatározása

tCD s CD

= 2.882

Mivel ezen a szakaszon nem alkalmaztunk méretezett nyírási vasalást, így itt a határnyíróerõ értéke

A szakaszon a mértékadó nyíróerõ:

vagyis 2,5* 380mm kengyelosztást tudunk elhelyezni ezen a szakaszon, így a szimmetriatengelytõl indítva egy félosztással fogunk kezdeni.

VRd.c lesz.

V Rd.c = 157.0 kN

BC szakasz A szakaszon alkalmazott kengyeltávolság: Az ehhez tartozó határnyíróerõ:

s BC = 120 mm

V wd.BC := 0.9 ⋅ d ⋅

A sw ⋅ fyd

V wd.BC = 240.8 kN

171

s BC

6.3.b. ábra: A mértékadó nyíróerõábra és a beton nyírási teherbírása - nyírási szakaszok értelmezése ("a" változat)

172



B pont helyének meghatározása: leff

tAB :=

2

−

V wd.BC − V Ed.Kg VEd.max − V Ed.Kg

⋅

leff

2

tAB = 1.534 m

AB szakasz A szakaszon alkalmazott kengyeltávolság: s AB = 80 mm

Az ehhez tartozó határnyíróerõ: A sw ⋅ fyd

V wd.AB := 0.9 ⋅ d ⋅ Nyírási szakaszok

V Rd.c [kN]

Kengyel s [mm]

V wd [kN]

80

361,3

-

-

-

361,3

120

240,9

-

-

-

240,9

380

nem mértékadó

-

-

-

157,0

nem mértékadó nem mértékadó

A-B B-C D-E

V wd.AB = 361.2 kN

s AB

157,0

Felhajlított vas s [mm] n [db]

V wd.felh [kN]

V Rd [kN]

6.2. táblázat: Az egyes nyírási szakaszokra jellemzõ kengyeltávolságok és határnyíróerõk összefoglalása ("a" változat) 6.4. ábra: A határnyíróerõ-ábra ("a" változat)

A 6.4. ábrán jól látszik, hogy az AB szakaszon a határnyíróerõ-ábra nem szorosan követi a mértékadó nyíróerõábrát. Ez a kivitelezhezõség miatti kerekítésbõl adódik (a szükséges 94mm-es kengyeltávolság helyett 80mm-t alkalmazunk.

a.6.4.3. A szerkesztési szabályok ellenõrzése AB szakasz A nyírási vasalás fajlagos mennyisége: ρ w :=

Asw s AB ⋅ b

ρ w = 0.491 %

0.08 ⋅


ρ w.min := fyk ⋅

[2] A fajlagos mennyiség maximális értéke: ρ w.max :=

1

⋅

α c ⋅ ν ⋅ fcd

2 1 − cos( α )

⋅

1 fyd

fck ⋅

ρ w.max = 1.294 % >

mm

mm

2

N 2

ρ w.min = 0.100 % <

ρ w = 0.491 %

Megfelel

N

ρ w = 0.491 %

Megfelel

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: s max := 0.75 ⋅ d s max = 441 mm

>

Megfelel

s AB = 80 mm

BC szakasz A sw

A nyírási vasalás fajlagos mennyisége: ρ w := s BC ⋅ b [1] A fajlagos mennyiség minimális értéke:

ρ w = 0.327 %

<

ρ w = 0.327 %

Megfelel

[2] A fajlagos mennyiség maximális értéke: ρ w.max = 1.294 % >

ρ w = 0.327 %

Megfelel!

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: smax = 441 mm >

s BC = 120 mm

Megfelel

ρ w.min = 0.100 %

172

173


CD szakasz


Asw

A nyírási vasalás fajlagos mennyisége: ρ w := s CD ⋅ b [1] A fajlagos mennyiség minimális értéke:

ρ w = 0.103 %

<

ρ w = 0.103 %

Megfelel

[2] A fajlagos mennyiség maximális értéke: ρ w.max = 1.294 % >

ρ w = 0.103 %

Megfelel!

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: smax = 441 mm >

s CD = 380 mm

Megfelel

ρ w.min = 0.100 %

"b" változat b.6.4.1. A kengyeltávolságok meghatározása AA' szakasz A felhajlított vas hatástávolsága: s b := 2 ⋅ zs

s b = 1140 mm

(lásd 4.4.2. pontban) A két felhajlított acélbetéttel felvehetõ nyíróerõ:

V wd.felh.b := 0.9 ⋅ d ⋅

⎛ 2φ 2 ⋅ π ⎞ ⎜ l ⋅ fyd ⎜ ⎝ 4 ⎠ ⋅ 2

V wd.felh.b = 143.4 kN

sb

6.5. ábra: A mértékadó nyíróerõábra és a beton nyírási teherbírása - nyírási szakaszok értelmezése ("b" változat)

A kengyelekkel felveendõ nyíróerõ:

⎛1 ⋅ V ⎞ Ed.red , VEd.red − Vwd.felh.b 2 ⎝ ⎠

V wd.min := max ⎜

A szükséges kengyeltávolság: sAA' :=

V wd.min = 164.4 kN ahol:

1 2

⋅ VEd.red = 153.9 kN

V Ed.red − V wd.felh.b = 164.4 kN

A sw ⋅ fyd ⋅ 0.9 ⋅ d

s AA' = 175.8 mm Legyen

Vwd.min

s AA' := 160 mm

A'B szakasz Az AA' szakaszra meghatározott kengyelezést az A'B szakaszra is kiterjesztjük: (6.4.4. ábra) DE szakasz Az "a" változatnál a CD szakasznál leírtak alapján: BC szakasz A "B" pontban a mértékadó nyíróerõ:

V Ed.B :=

V Ed.max − VEd.Kg leff

⎛ leff

⋅⎜

⎝ 2

Ennek felvételéhez szükséges kengyeltávolság: A sw ⋅ fyd ⋅ 0.9 ⋅ d VEd.B

s BC = 97.4 mm Legyen: s BC := 80mm

CD szakasz Az "a" változat BC szakaszához hasonlóan legyen:

s AB := sA'B

s DE := 380 mm

2

s BC :=

s A'B := 160 mm

s CD := 120 mm

173

⎞

− 1.5 ⋅ zs + V Ed.Kg V Ed.B = 296.6 kN

⎠

174



b.6.4.2. A kengyelek kiosztása és a határnyíróerõ-ábra Az "a" változat és a "b" változat kengyelezése csak abban különbözik ( 6.5. és 6.6. ábrák), hogy a felhajlított vas hatástávolságán belül (az AB szakaszon) fele olyan sûrû kengyelkiosztást lehet a "b" változatban alkalmazni. Mivel csak ezen a szakaszon változik a számítási rész, a továbbiakban csak az A-B szakasz vizsgálataira kerítünk sort. AB szakasz A szakaszon alkalmazott kengyelkiosztás:

s AB = 160 mm A sw ⋅ fyd ⋅ 0.9 ⋅ d

Az ehhez tartozó határnyíróerõ: Vwd.AB :=

sAB

V wd.AB = 180.6 kN

A két felhajlított acélbetéttel felvehetõ nyíróerõ: Vwd.felh.b = 143.4 kN Így itt a határnyíróerõ értéke összesen:

V Rd.AB := V wd.felh.b + Vwd.AB

V Rd.AB = 324.0 kN

A részletek mellõzésével a határnyíróerõ-ábra értékeit a 6.3. táblázatban foglaltuk össze, a határnyíróerõ-ábrát és a kengyelek kiosztását a 6.6. ábrán vázoltuk. Nyírási szakaszok

VRd.c [kN]

Kengyel Vwd [kN] s [mm]

nem mértékadó nem mértékadó nem mértékadó

A-B B-C C-D D-E

157,0

s [mm]

160

180,6

1140

80

361,3

120 380

Felhajlított vas Vwd.felh [kN] n [db] 2

VRd [kN]

143,4

324,1

-

-

361,3

240,9

-

-

240,9

nem mértékadó

-

-

157,0

A nyírási vasak kihasználtsága az AB szakaszon: (Az 5.4.3.2. pont tartóvégi vizsgálatához)

VEd.red V Rd.AB

= 0.95

6.3. táblázat: A határnyíróerõ ábra értékei ("b" változat) b.6.4.3. A szerkesztési szabályok ellenõrzése AB szakasz A nyírási vasalás fajlagos mennyisége: 2

ρ w :=

Asw s AB ⋅ b

2φ l ⋅ π +

4 sb ⋅ b ⋅ sin( 45fok)

ρ w = 0.44 %

[1] A fajlagos mennyiség minimális értéke: ρ w.min = 0.100 %

<

Megfelel

ρ w = 0.44 %

[2] A fajlagos mennyiség maximális értéke: ρ w.max = 1.294 %

>

Megfelel!

ρ w = 0.44 %

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: 6.6. ábra: A határnyíróerõ ábra ("b" változat) s max = 441 mm

>

s AB = 160 mm

Megfelel

A BC szakaszon a határnyíróerõ-ábra a szükséges kerekítés miatt nem halad szorosan a mértékadó nyíróerõábrával. Az AB és a BC szakasz közti nagyobb ugrást az okozza, hogy a BC szakaszra jellemzõ kengyeltávolság átlóg az AB szakaszra. Az itt jellemzõ határnyíróerõt ( V +V ) nem

[4] A kengyelek nyírási teherbírása meghaladja a felhajlított betétekét: V wd.AB = 180.6 kN >

V Ed.red

2

= 153.9 kN

Megfelel

wd.BC

wd.felh.b

számoltuk ki.

A többi szakasz szerkesztési szabályainak ellenörzését az a.6.4.3.pontban már elvégeztük

174

175



"c1" változat c.6.4.1. A kengyeltávolságok meghatározása AB szakasz A támasznál lévõ felhajlított vas hatástávolsága:

⎛ zs

s c.1 := min ⎜

⎝2

⎞

zs

⎠

2

, 260 mm +

+

400 mm 2

s c.1 = 745 mm

És az általa felvehetõ nyíróerõ:

V wd.felh.c.1 := 0.9 ⋅ d ⋅

⎛ 2φ 2 ⋅ π ⎞ ⎜ l ⋅ fyd ⎜ ⎝ 4 ⎠ ⋅ 2 sc.1

V wd.felh.c.1 = 219.4 kN

A kengyelekkel felveendõ nyíróerõ ezen a szakaszon:

⎛1 ⋅ V ⎞ Ed.red , VEd.red − Vwd.felh.c.1 ⎝2 ⎠

V wd.min := max ⎜

V wd.min = 153.9 kN

1

ahol:

2

⋅ VEd.red = 153.9 kN

6.7. ábra: A mértékadó nyíróerõábra és a beton nyírási teherbírása - nyírási szakaszok értelmezése ("c1" változat)

V Ed.red − V wd.felh.c.1 = 88.3 kN

A szükséges kengyeltávolság:

s AB :=

BC szakasz A felhajlított vas hatástávolsága:

És az általa felvehetõ nyíróerõ:

s c.2 :=

Asw ⋅ fyd ⋅ 0.9 ⋅ d V wd.min

400 mm 2

+ zs

s AB = 187.8 mmLegyen

s AB := 180 mm

s c.2 = 770 mm

V wd.felh.c.2 := 0.9 ⋅ d ⋅

⎛ φ 2⋅ π⎞ ⎜ l ⋅ fyd ⎜ ⎝ 4 ⎠ ⋅ 2 s c.2

V wd.felh.c.2 = 106.2 kN

Az B pontban (a támasztól sc2.1 távolságra) a mértékadó nyíróerõ: V Ed.B :=


⎛ leff

⋅⎜

⎝ 2

⎞

− sc.1 + VEd.Kg

V Ed.B = 305.6 kN

⎠

2

A kengyelekkel felveendõ nyíróerõ ezen a szakaszon:

⎛1 ⋅ V ⎞ Ed.B , VEd.B − Vwd.felh.c.2 ⎝2 ⎠

V wd.min := max ⎜

A szükséges kengyeltávolság: sBC' :=

V wd.min = 199.5 kN ahol:

A sw ⋅ fyd ⋅ 0.9 ⋅ d Vwd.min

175

1 2

⋅ VEd.B = 152.8 kN

V Ed.B − V wd.felh.c.2 = 199.5 kN s BC' = 144.9 mm

Legyen

s BC' := 140 mm

176



CD szakasz Az C pontban (a támasztól sc2.1 + sc2.2 távolságra) a mértékadó nyíróerõ: V Ed.C :=


⎛ leff

⋅⎜

⎝ 2

⎞

− sc.1 − sc.2 + VEd.Kg

V Ed.C = 242.4 kN

⎠

2

Ennek felvételéhez a szükséges kengyeltávolság: sCD :=

Asw ⋅ fyd ⋅ 0.9 ⋅ d V Ed.C

s CD = 119.2 mm

DE szakasz

Legyen

Az "a" változatnál a CD szakasznál leírtak alapján:

s CD := 100 mm

s DE := 380 mm

c.6.4.2. A kengyelek kiosztása és a határnyíróerõ-ábra A részletek mellõzésével a 6.4. táblázatban foglaltuk össze az egyes szakaszokra jellemzõ határnyíróerõ értékeket. A kengyelek kiosztását és a határnyíróerõ-ábrát a 6.8. ábrán vázoltuk. Nyírási szakaszok

V Rd.c [kN] nem mértékadó nem mértékadó nem mértékadó

A-B B-C C-D D-E

157,0

Kengyel Vwd [kN] s [mm] 180

s [mm]

Felhajlított vas V wd.felh [kN]

VRd [kN]

160,6

745

2

219,5

380,0

1

140

206,4

770

106,2

312,6

100

289,0

-

-

289,0

380

nem mértékadó

-

-

157,0

6.4. táblázat: A határnyíróerõ ábra értékei ("c1" változat) c.6.4.3. A szerkesztési szabályok ellenõrzése A szerkesztési szabályokat természetesen minden szakasznál ellenõrizni kell, az ellenõrzés menete megegyezik az elõzõ változatokban leírtakkal. Több helyen felhajlított vas esetén csak annyiban módosul a számítás menete, hogy a [3] pont alatt ellenõrzött maximális kengyeltávolságon kívül ( s

max := 0.75d) a felhajlított acélbetét

hatástávolságára is ki kell mutatni, hogy nem nagyobb mint

s max := 1.3d. Ezt a szerkesztési szabályt azonban még tervezéskor figyelembe vettük.

6.8. ábra: A mértékadó nyíróerõábra ("c1" változat)

A 6.8. és a 6.10. ábán is elvileg meg kéne jelennie két, a "b" változatban is megjelenõ (6.6. ábán az AB és a BC szakasz között) határnyíróerõ ugrásnak, mivel a hatástávolságok széle és a kengyelkiosztás-váltás nem pont egy keresztmetszetbe esik. Ezt a két jelentéktelen hosszúságú kiugró szakaszt mindkét változatnál elhanyagoltuk.

A "c1" változatnál az AB szakasz nyírási túlvasaltságát az okozza, hogy ezen a szakaszon a kengyelekkel (a szerkesztési szabályok elõírásának megfelelõen) a mértékadó nyíróerõ legalább felét fel kellet vennünk, függetlenül attól, hogy a támasz melletti két felhajlított acélbetét a mértékadó nyíróerõ közel 70%-át fel tudja venni. A CD szakasz túlvasaltságát a szükséges kengyeltávolság kerekítése eredményezte. Elképzelhetõ lenne, hogy a támaszhoz közelebbi keresztmetszetben is csak egy acélbetétet hajlítunk fel és a BC szakasznak megfelelõ kengyelkiosztást továbbvisszük az AB szakaszon. Ez azonban a vasalás aszimmetriáját vonja maga után, ami belsõ csavarást eredményezhet.

176

177



"c2" változat E változat számítási menetét nem részletezzük, csak az egyes nyírási szakaszok magyarázatát ( 6.9. ábra), a végeredményként kapott kengyelkiosztásokat és a határnyíróerõ-ábrát ( 6.10. ábra), valamint azok értékeit (6.10. ábra) mutatjuk be.

6.10. ábra: A mértékadó nyíróerõábra ("c2" változat)

6.9. ábra: A mértékadó nyíróerõábra és a beton nyírási teherbírása - nyírási szakaszok értelmezése ("c2" változat)

Nyírási szakaszok A-B B-B' B'-C D-E

VRd.c [kN] nem mértékadó nem mértékadó nem mértékadó 157,0

Kengyel Vwd [kN] s [mm]

s [mm]

Felhajlított vas Vwd.felh [kN]

VRd [kN]

180

160,6

685

2

238,7

399,3

180

160,6

770

2

212,3

372,9

100

289,0

-

-

-

289,0

380

nem mértékadó

-

-

-

157,0

6.5. táblázat: A határnyíróerõ ábra értékei ("c2" változat)

177

178



7. Használati határállapotok ellenörzése 7.1. Lehajlás ellenörzés 7.1.1.Ideális keresztmetszeti jellemzõk számmítása Rugalmassági modulusok aránya:

α s.eff :=

Es

α s.eff = 18.735

Ec.eff

Keresztmetszeti jellemzõk az 1. feszültségállapotban:

S :=

xI :=

II :=

b⋅ h

2

2 S A1

3 xI ⋅ b

3

(

)

(

+ Asl ⋅ α s.eff − 1 ⋅ d

A 1 := b ⋅ h + Asl ⋅ α s.eff − 1

)

xI = 382.2 mm

( h − xI ) +

3

3

⋅b

(

)

(

+ α s.eff − 1 ⋅ Asl ⋅ d − xI

)

2

6 4 II = 1.306 × 10 cm

Keresztmetszeti jellemzõk a 2. feszültségállapotban: 2

⎛ Asl ⎞⎤ ⎛ Asl ⎞ x ⎡ 1 ⎛ x⎞ ⋅⎜ + ⋅ ⎢α s.eff ⋅ ⎜ ⎥ − α s.eff ⋅ ⎜ =0 d ⎣ 2 ⎝ d⎠ ⎝ b ⋅ d ⎠⎦ ⎝ b ⋅ d⎠ III :=

xII := Find( x)

⎛ x3 ⋅ b ⎞ 2 ⎜ + α s.eff ⋅ Asl ⋅ ( d − x) ⎝ 3 ⎠

7.1.2. Lehajlás számítása A repesztõnyomaték értéke:

M cr :=

xII = 320 mm

6 4 III = 2.6338 × 10 cm

fct.eff ⋅ II

<

M cr = 124.9 kNm

h − xI

M Ed.qp = 359.7 kNm

a keresztmetszet a kvázi állandó teherkombináció esetén bereped Lehajlás értéke az 1. feszültségállapotban:

Lehajlás értéke az 2. feszültségállapotban:

eI :=

5

5

eII :=

4

⋅ pqp ⋅ Ec.eff ⋅ II

384

384

Tartós vagy ismétlõdõ terhelés esetén a β tényezõ:

⎛ Mcr ⎞ ζ := 1 − β ⋅ ⎜ ⎜ MEd.qp ⎝ ⎠

( )

leff

( )

leff

eI = 14.3 mm

4

⋅ pqp ⋅ Ec.eff ⋅ III

eII = 7.1 mm

β := 0.5

2

e := ζ ⋅ eII + ( 1 − ζ ) ⋅ eI

ζ = 0.940

leff e = 7.5 mm <

250 leff

500

= 29.2 mm (A csatlakozó szerkezetek károsodását

megelõzõ lehajláskorlát) = 14.6 mm

(A szerkezet megfelelõ mûködését biztosító lehajláskorlát)

megfelel

178

179



7.2. Repedéstágasság ellenörzése Feszültség a húzott acélbetétben a mértékadó nyomaték hatására berepedt keresztmetszet feltételezésével: σ s :=

(

)

M Ed.qp ⋅ d − xII ⋅ α s.eff

σ s = 68.493

III

N mm

2

A hatékony húzott betonzóna területe:

⎡

hcef := min⎢2.5 ⋅ ( h − d) ,

⎣

h − xII h ⎤ , ⎥

3

hcef = 110.0 mm

2⎦

A ceff := b ⋅ hcef

A ceff = 43998 mm kt := 0.4

A teher tartósságától függõ tényezõ: ρ peff :=

Asl Aceff

⎡ ⎢ σ s − kt ⋅ ⎢ ∆ε := max⎢ ⎣

2

(tartós teher esetén)

ρ peff = 9.282 %

fct.eff ρ peff

(

⋅ 1 + α s.eff ⋅ ρ peff Es

)

⎤ ⎥ σ s⎥ , 0.6 ⋅ ⎥ Es ⎦

∆ε = 0.021 %

A repedések egymástól mért távolságának meghatározása

Az acélbetétek távolsága: t :=

φl b − 2 ⋅ bf + φ k − 2 ⋅ 2

(

)

n−1

φl⎞ ⎛ th := 5 ⋅ ⎜bf + 2⎠ ⎝

t = 27 mm <

th = 150 mm

az acélbetétek távolsága közelinek minõsíthetõ A beton és az acélbetét közti tapadás milyenségét figyelembe vevõ tényezõ: k1 := 0.8 (bordás acélbetét esetén) A keresztmetszeten belüli nyúlás alakulását figyelembe vevõ tényezõ:

k2 := 0.5 (hajlítás esete)

A repedések legnagyobb távolsága: s rmax. := 3.4 ⋅ bf + 0.425 ⋅ k1 ⋅ k2 ⋅

A repedéstágasság értéke:

φl ρ peff

s rmax. = 104.6 mm

w k := s rmax. ⋅ ( ∆ε )

w k = 0.021 mm

179

<

0.30mm

megfelel

180


181


Melléklet* m1. táblázat: Betonok jellemzõi

m2. táblázat: Betonacélok jellemzõi

m3. táblázat: Betonacélok keresztmetsezti területe

m4. táblázat: Betonacélok fajlagos tömege

* Forrás : Deák György-Draskóczy András-Dulácska Endre-Koollár László-Visnovitz György: Vasbeton-szerkezetek

181

182



Betonfedésre vonatkozó szerkesztési szabályok A betonfedés, c nom a hosszanti acélbetétekre és a kegyelekre is meg kell hogy haladja a minimális betonfedés 10mm-rel növelt értékét:

⎛ cmin.b ⎞ ⎜ cnom ≥ 10mm + max ⎜cmin.dur ⎟ ⎜ ⎝ 10mm ⎠

Ahol: a tapadáshoz szükséges elméleti minimális betonfedés. Ez általában egyenlsõ az acélbetét átmérõjével.

cmin.b

cmin.dur a szerkezet jellemzõitõl és a környezeti feltételtõl függ. Szaraz környezetben cmin.dur = 10mm

A betonacélok távolságára vonatkozó szerkesztési szabályok A vasak közötti legkissebb távolság (a kibetonozhatóság és az átrepedés elkerülése érdekében):

⎛ φ ⎞ ⎜ 20 mm amin := max⎜ ⎟ ⎜d + 5 mm ⎝ g ⎠

Ahol

a betonacél névleges átmérõje

φ

az adalékanyag legnagyobb szemcsenagysága

dg

A vasak közötti legnagyobb távolság:400mm Betonacélok legorgonyzása, kampók kialakítása A lehorgonyzási hossz alapértéke: φ fyd lb := ⋅ 4 fbd

A lehorgonyzási hossz tervezési értéke: A s.requ ⎞ ⎛ ⎜α a ⋅ lb ⋅ A s.prov ⎟ lbd := max ⎜ ⎜ lb.min ⎝ ⎠

m1. ábra: betonacélok minimális távolsága

Ahol

αa

a lehorgonyzás módját figyelembe vevõ szorzó (lásd m3. ábra)

A s.requ A s.prov lb.min

a lehorgonyzandó szükséges illetve tényleges vaskeresztmeti területek hányados. (Húzásra kihasznált betonacél esetén 1, más esetben <1) σ s ⎞ (a minimális lehorgonyzási hossz) ⎛⎜ α min ⋅ lb ⋅ ⎜ fyd ⎟ max ⎜ ⎟ ahol α min := 0.3 húzott acélbetét = esetén 10φ ⎟ ⎜ ⎜ 100 mm ⎠ ⎝ α min := 0.6 nyomott

acélbetét esetén

m2. ábra: példák kengyelvég kialakítására

182

183



m3. ábra: betonacélok jellemzõ lehorgonyzási módjai és a hozzájuk tartozó αa értékek

Betonacélok toldása A szükséges toldási hossz

(ha nincs az acélbetétek több mint a negyede egy keresztmetszetben, illetve 0,65l 0 hosszon belül - toldva - bõvebben lásd Deák György-Draskóczy András-Dulácska Endre-Koollár László-Visnovitz György: Vasbeton-szerkezetek címû könyvét):

⎛

l0 := max ⎜ ⎜

lbd

⎞

⎝l0.min ⎠

ahol

⎛ 15φ ⎞ l0.min := max ⎜ ⎝200 mm ⎠

183

PÉLDATÁR a Vasbetonszerkezetek I. című tantárgyhoz

Recommend Documents