Vasbetonszerkezetek II. VIII

Reinforced Concrete Structures II. / Vasbetonszerkezetek II.

Course VIII. / VIII. Előadás

Reinforced Concrete Structures II.

VIII.

Vasbetonszerkezetek II. - Vasbeton rúdszerkezetek képlékeny teherbírása -

Dr. Kovács Imre PhD tanszékvezető főiskolai tanár

E-mail: [email protected] Mobil: 06-30-743-68-65 Iroda: 06-52-415-155 / 77764 WEB: http://epitotsz.mk.unideb.hu/ Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Failure of RC column Vasbeton pillér tönkremenetele

Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék



















Failure of RC piles in frame Vasbeton keretszerkezet pilléreinek tönkremenetele










RC frame buildings after earthquake Monolit vasbeton vázas épületek földrengés után





Precast RC frame building after earthquake Előre gyártott vasbeton vázas épület földrengés után





RC building after earthquake Vasbeton épület földrengés után





RC building after earthquake Vasbeton épület földrengés után





Effect of cracking behaviour A repedezettség hatásának figyelembe vétele Beton gerenda





Behaviour of concrete beam in bending Hajlított beton gerenda viselkedése Beton gerenda rugalmas állapotban

M  MI

  I

wI A

t 


M  h  x  I

I

c 

M x I




Behaviour of concrete beam in bending Hajlított beton gerenda viselkedése Beton gerenda törési állapotban

MI

I

w1 A

 t  fctd

I

c t

2  fctd  I b  h2 M1   fctd  h 6





Behaviour of concrete beam in bending Hajlított beton gerenda viselkedése

M [kNm]

x  t  fctd

M

 Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

1   m Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Behaviour of concrete beam in bending Hajlított beton gerenda viselkedése

M [kNm]

x  t  fctd

MI

I Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Behaviour of stell beam in bending Hajlított acél gerenda viselkedése Acél gerenda





Behaviour of stell beam in bending Hajlított acél gerenda viselkedése Acél gerenda rugalmas állapotban

M  M EL

   EL

w A

t 


M  h  x  I

I

c 

M x I




Behaviour of stell beam in bending Hajlított acél gerenda viselkedése Az első képlékeny jelenség a gerenda szélső szálában

M EL

wy

 EL

A

I

 t   c  f yd M EL


b  h2  f yd  6

100%




Behaviour of stell beam in bending Hajlított acél gerenda viselkedése Az első képlékeny jelenség a gerenda szélső szálában

M PL

w PL A

 PL

 t   c  f yd M PL


I

b  h2  f yd  4

150%




Behaviour of stell beam in bending Hajlított acél gerenda viselkedése

M [kNm]

x   f yd

M






M [kNm]

Rugalmas

  f yd

x

M EL

 EL Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék





M [kNm]

Rugalmas

  f yd

x

M ELPL

 ELPL Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék





M [kNm]

Rugalmas Rugalmas-Képlékeny

  f yd

x

M PL

 PL Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék





M [kNm]

Képlékeny

Rugalmas Rugalmas-Képlékeny

x

  f yd

M PL

U Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

1   m




Simply supported beam in elastic-plastic state - plastic hinge Kéttámaszú tartó rugalmas-képlékeny állapota - képlékeny csukló

  f yd   f yd

Első képlékeny jelenség a szélső szálakban

M EL


pEL  L2 b  h2   f yd  8 6





  f yd   f yd

Rugalmas tartomány

M EL

b  h2  f yd  6


Képlékeny tartomány

M ELPL  M EL





  f yd   f yd

Rugalmas tartomány

M EL

b  h2  f yd  6

Képlékeny tartomány

M R  M PL

b  h2  f yd  4

M EL  M ELPL  M PL Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék





  f yd   f yd

Képlékeny csukló

M EL

b  h 2 pEL  L2  f yd   6 8

M R  M PL

b  h 2 pR  L2  f yd   4 8

Labilissá vált szerkezet – törési mechanizmus

MR Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

MR Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Conclusions Megállapítások 1. Egy kéttámaszú, lineárisan rugalmas-tökéletesen képlékeny anyagú, derékszögű négyszög keresztmetszetű gerenda valamennyi pontja mindaddig rugalmas állapotban marad ameddig a terhek alapján számított nyomaték értéke kisebb, mint a szélső szálak megfolyásához tartozó un. rugalmas határnyomaték. A szélső szálakban kialakuló első képlékeny jelenség (folyás) a rugalmas teherbíráshoz vezet:

M EL

b  h 2 pEL  L2  f yd   6 8

2. A terhelés további növelésével a szélső szálak környezete fokozatosan megfolyik, míg a belső tartományok rugalmas állapotban maradnak, azaz a tartó további terhek felvételére alkalmas. 3. Derékszögű négyszög keresztmetszet esetén a képlékeny és rugalmas tartomány határvonala hiperbola (érintő egyenesével ábrázoltuk). 4. A teher további növelésével a képlékeny tartomány fokozatosan nő, míg a középső keresztmetszet teljesen képlékeny állapotba nem kerül, azaz képlékeny csukló alakul ki, a gerenda teherbírása kimerül, a törőnyomaték így:

M R  M PL Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

b  h 2 pR  L2  f yd   4 8 Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Conclusions Megállapítások 5. A képlékeny csukló kialakulásával a középső keresztmetszetben a teher növekedése nélkül is korlátlan nagy relatív elfordulások jönnek létre, azaz a tartó labilis alakzattá, mechanizmussá alakul. 6. Statikailag határozott szerkezet esetén ha a legnagyobb nyomaték eléri a törőnyomaték értékét akkor a külső teher tovább már nem növelhető. 7. A képlékeny és rugalmas teherbírás arányára esetünkben felírható:

MR p 6  R   1,5 M EL pEL 4 8. Statikailag határozott tartók esetén megállapítható, hogy a képlékeny többletteherbírás kizárólag abból adódik, hogy a keresztmetszet anyagának képlékeny tartalékát kihasználjuk. Statikailag határozott szerkezetek esetén az igénybevételek átrendeződésére nincs lehetőség, így a teljesen képlékeny állapot eléréséhez tartozó teher egyben a törőteher is. Az igénybevételek átrendeződéséből adódó nagyobb törőteher kialakulására statikailag határozott szerkezetek esetén beszélhetünk.





Statically undetermined beam in elastic-plastic state Statikailag határozatlan tartó rugalmas-képlékeny állapota

P

P L


L





PE

PE L

L MR

 M E   6

64

MR


 PE  L

  M E  13  PE  L 64





P1

P1 L M

P1 

64 M R  13 L


L MR

6  M E    P1  L 64

MR

MR 

13  P1  L 64





P1

P1 L 7 M   P1  L 64

P1 

L MR

6  M E    P1  L 64

64 M R  13 L Képlékeny csukló

MR MR


1. képlékeny csukló

MR 

13  P1  L 64

P1 MR Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!




P  P1

P2 L

L MR

P1 

64 M R  13 L

7 L M   P1  L  P2  P1   64 2

MR 78 P2   P1  6  64 L Képlékeny csukló

MR MR



P  P1 MR Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!




P2 2. képlékeny csukló

L

L MR

P1 

64 M R  13 L

7 L M   P1  L  P2  P1   64 2

MR 78 P2   P1  6  64 L

Labilissá vált szerkezet törési mechanizmus

MR

MR MR MR


P2


P2 MR Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!




P2 2. képlékeny csukló

L

P2


L MR

P1 

64 M R  13 L

MR 78 P2   P1  6  64 L

Labilissá vált szerkezet törési mechanizmus

MR

MR MR MR

© Dr. Kovács Egyetem Imre PhDMűszaki DE-AMTC-MK Építőmérnöki Tanszék Debreceni Kar Építőmérnöki Tanszék

P2 MR Minden jog jog fenntartva!!! fenntartva!!! Dr. Kovács Imre PhD © Minden



Conclusions Megállapítások 1. Egy háromtámaszú, lineárisan rugalmas-tökéletesen képlékeny anyagú, állandó keresztmetszetű gerenda rugalmas teherbírását akkor érjük el, ha a rugalmasságtan alapösszefüggéseivel meghatározott hajlító nyomatéki ábra legnagyobb ordinátája a tartó valamely keresztmetszetében eléri a keresztmetszet rugalmas határnyomatékát:

  M E  13  PE  L  f yd W 64

2. A terhelés további növelésével a szélső szálak környezete fokozatosan megfolyik, míg a belső tartományok rugalmas állapotban maradnak, azaz a tartó további terhek felvételére alkalmas. A terhelés addig növelhető, míg a keresztmetszet teljesen képlékeny állapotba kerül, azaz képlékeny csukló alakul ki:

MR 

13 64 M  P1  L  P1   R 64 13 L

3. Az első képlékeny csukló kialakulásával a szerkezet teherbírása még nem merül ki, a függőleges terhekre statikailag egyszeresen határozatlan tartó statikailag határozott szerkezetté (Gerber tartóvá) alakul.





Conclusions Megállapítások 4. Az első képlékeny csukló kialakulásához tartozó teherből a támasz feletti keresztmetszetben rugalmas hajlító nyomaték ébred:

 M   6

64

 P1  L  M R

5. Ez a támasz feletti keresztmetszet a képlékeny teherbírás kimerüléséig, azaz a második képlékeny csukló kialakulásáig még további

M  M R 

6 13 6 7  P1  L   P1  L   P1  L   P1  L 64 64 64 64

nagyságú hajlító nyomaték felvételére képes, mely nyomaték – a Gerber-tartó konzolnyomatéka – a többletteher ill. a második képlékeny csukló kialakulásához szükséges teher nagyságát is megadja:

M 

M 7 L  P1  L  P2  P1    P2  6  R 64 2 L

6. A rugalmas és képlékeny teherbírást összehasonlítva:

pR 78 M R pR MR      pE 64 M E pE ME





Conclusions Megállapítások 7. A statikailag határozatlan szerkezetek képlékeny teherbírása – a statikailag határozott szerkezetektől eltérően – két részből tevődik össze. 7./a

A többletteherbírás egyik részét – a statikailag határozott tartóknál megállapítottakhoz hasonlóan – a keresztmetszet anyagának képlékeny tartaléka biztosítja.

7./b

A többletteherbírás második összetevőjét az adja, hogy a statikailag határozatlan tartók igénybevétel eloszlását az egyensúlyi egyenletek nem szabják meg egyértelműen, így az igénybevételek az egyes keresztmetszetek képlékeny tulajdonságainak megfelelően átrendeződhetnek, a kihasználatlan részekre a rugalmas alapon meghatározott igénybevételekhez képest nagyobb igénybevételek hárulhatnak.

8. Statikailag határozatlan tartók esetén a teher mindaddig növelhető, amíg a teljes szerkezet vagy annak egy része mechanizmussá nem alakul, labilissá nem válik. Egy n-szeresen határozatlan tartó teljes egészén n+1 képlékeny csukló kialakulása szükséges a szerkezet teljes mechanizmussá válásához.





Behaviour of RC beam in bending Hajlított vasbeton gerenda viselkedése Vasbeton gerenda





Behaviour of RC beam in bending Hajlított vasbeton gerenda viselkedése Vasbeton gerenda rugalmas állapotban

M  MI

  I w AI

t 

II

M  h  xI   s    M  d  xI  II II

c 


M  xI II




Behaviour of RC beam in bending Hajlított vasbeton gerenda viselkedése Vasbeton gerenda a berepedés pillanatában

MI

I

wI AI

 t  fctd II M I  fctd  h  xI


II

s  

MI  d  x I  II

c 

MI  xI II




Behaviour of RC beam in bending Hajlított vasbeton gerenda viselkedése Vasbeton gerenda berepedés utáni ”megcsúszása”

MI

 I II

w I II AII

t  0 M I II  M I


I II

s  

M II  d  x II  I II

c 

M II  x II I II




Behaviour of RC beam in bending Hajlított vasbeton gerenda viselkedése Vasbeton gerenda, ha az első képlékeny jelenség az acélbetétek megfolyása

M II

w II

 II

 s  fyd / Es

 c  fcd / Ecd


f yd

I II M II    d  x II

 s  fyd M II c   x II  fcd I II




Behaviour of RC beam in bending Hajlított vasbeton gerenda viselkedése Vasbeton gerenda, ha az első képlékeny jelenség a nyomott beton öv morzsolódása

M II

w II

 II

 s  fyd / Es


 c  fcd / Ecd

 c  fcd

I II M II  fcd  x II

M II s    d  x II  I II




Behaviour of RC beam in bending Hajlított vasbeton gerenda viselkedése Normálisan vasalt vasbeton gerenda a tönkremenetel pillanatában

M III  M Rd

w III

 III  s  fyd  c  fcd x Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

As ,prov  f yd b  fcd

f yd / E s   s   su

 c   cu 3,50 0 00

x  M III  M Rd  b  x  fcd   d   2  Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Behaviour of RC beam in bending Hajlított vasbeton gerenda viselkedése Gyengén vasalt vasbeton gerenda a tönkremenetel pillanatában

M III  M Rd

w III

 III  s  fyd  c  fcd x Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

As ,prov  f yd b  fcd

 s   su

 c   cu 3,50 0 00 x  M III  M Rd  b  x  fcd   d   2  Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Behaviour of RC beam in bending Hajlított vasbeton gerenda viselkedése Túlvasalt vasbeton gerenda a tönkremenetel pillanatában

M III  M Rd

w III

 III

 s  f yd  c  fcd x Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

As ,prov   s x  b  fcd

 s  f yd / E s

 c   cu 3,50 0 00 x  M III  M Rd  b  x  fcd   d   2  Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Behaviour of RC beam in bending Hajlított vasbeton gerenda viselkedése

M [kNm]

I.

Int.

II.

III.

M III M II MI M2

I Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

 I II

 II

 III

1   m




Behaviour of RC beam in bending Hajlított vasbeton gerenda viselkedése

8Ø16 Normálisan vasalt keresztmetszet 600

Hajlító nyomaték, M [kNm]

Túlvasalt keresztmetszet

4Ø16 Gyengén vasalt keresztmetszet

2Ø16

400

Görbület,  [1/m]





Plastic hinge for RC beam Képlékeny csukló vasbeton gerenda esetén

3,50 0 00 f cd f yd E s   s   su

Nyomott beton öv képlékeny morzsolódása

Nc  b  x  fcd N s  As   s

Húzott acélbetétek képlékeny alakváltozása, folyása

Képlékeny csukló

pR  L2 x  MR   M Rd  b  x  fcd   d   8 2  Labilissá vált szerkezet – törési mechanizmus

MR Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

MR Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Material laws for elastic-rigid and for elastic-plastic materials Rugalmas-rideg és rugalmas-képlékeny anyag modellje Lineárisan rugalmas – tökéletesen rideg anyag modellje

Lineárisan rugalmas – tökéletesen képlékeny anyag modellje



 f

f E

E



f /E

f

u

f /E

u  f E

E

 Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

f



E






Material laws for rigid and for plastic materials Rugalmas-képlékeny és Rideg-képlékeny anyag modellje Lineárisan rugalmas – tökéletesen képlékeny anyag modellje

Tökéletesen rideg – tökéletesen képlékeny anyag modellje



 f

f E

u

f /E

u  f E

f



u



E




f






Behaviour of RC bems according to different material laws Vasbeton gerenda viselkedése különböző anyagmodellek alapján Vasbeton gerenda M- görbéi lineárisan rugalmas – tökéletesen képlékeny anyagmodell alapján

Vasbeton gerenda M- görbéi tökéletesen rideg – tökéletesen képlékeny anyagmodell alapján

 M

Túlvasalt keresztmetszet

M

Normálisan vasalt keresztmetszet Gyengén vasalt keresztmetszet


 Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Plastic yield theory Képlékeny töréselmélet alapfeltevéseinek összefoglalása 1. A törési elmélet az anyagot lineárisan rugalmas – tökéletesen képlékenynek vagy tökéletesen rideg – tökéletesen képlékenynek tekinti. 2. Vasbeton szerkezetek esetén általában a tökéletesen rideg – tökéletesen képlékeny anyagmodellt alkalmazzuk, így a törési állapotot megelőző rugalmas alakváltozásokat elhanyagoljuk, a képlékeny alakváltozások pedig csak a képlékeny csuklókban keletkeznek, míg a szerkezet az egyes képlékeny vagy igazi csuklók között merevtestszerűen viselkedik. 3. Fenti feltevésből következik, hogy a szuperpozíció elve nem használható, továbbá a töréselmélet nem alkalmas a még rugalmas állapotban lévő tartórészek feszültségeinek meghatározására. 4. A törési elmélet feltételezi, hogy a szerkezet alakváltozásai kicsik és nem hatnak vissza a szerkezet erőjátékára, így a számítások során a szerkezet eredeti geometriája használható. 5. A szerkezetre működő terhekről feltételezzük, hogy un. egyparaméteres terhek, azaz értékük egy alapérték és egy intenzitás szorzataként adható meg. Feltételezzük továbbá, hogy a terhek monoton növekvőek a törőteher eléréséig, azaz a terhelési folyamat során nincs visszaterhelés, tehermentesítés. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Plastic yield theory Képlékeny töréselmélet alapfeltevéseinek összefoglalása 6. Egy vasbeton tartó adott keresztmetszete egy jól meghatározott igénybevétel, vagy összetett igénybevétel rendszer hatására kerül törési állapotba. 7. Tiszta hajlítás esetén a vasbeton gerenda valamely keresztmetszete akkor kerül törési állapotba, ha a szerkezetre működő terhekből számítható hajlító nyomaték a keresztmetszet geometriai és anyagjellemzői alapján meghatározott törőnyomaték értékét eléri:

MR  M  0

8. Vasbeton szerkezetek képlékeny hajlítási teherbírását a statikai és kinematikai alaptételek alapján határozhatjuk meg. 8./a

Vasbeton rúdszerkezetek vizsgálatához elsősorban a statikai alaptételt alkalmazzuk.

8./b

Vasbeton lemezszerkezetek vizsgálatához elsősorban a kinematikai alaptételt alkalmazzuk.





Static theorem Statikai alaptétel

p

pR PS  PR

p s 1  pR

M R( ) M S( 1)  M R( )

M S( 1 )  M R(  )

p s1  L2 8

M R( ) Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék





p

pR

p s 2  pR

PS  PR

M R( ) M S( 2)  M R( )

p s 2  L2 8

M S( 2)  M R(  ) M R( ) Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék





p

pR

p s 3  pR

PS  PR

M R( ) M S( 3)  M R( ) p s 3  L2 8

M S( 3)  M R(  ) Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Static theorem Statikai alaptétel p s 4  pR

p

pR PS  PR

M R( ) M S( 4)  M R( ) p s 4  L2 8





Static theorem Statikai alaptétel p s 4  pR

p

pR PS  PR

M R( ) M S( 4)  M R( ) p s 4  L2 8






Bármely statikailag elérhető teherintenzitás (ps) kisebb, mint a törőintenzitás (pR), legfeljebb egyenlő. A statikai módszer olyan statikailag elérhető igénybevételek meghatározásán alapul, melyek kielégítik az egyensúlyi és a törési feltételeket. Egyszerűen fogalmazva a statikai tétel azt fejezi ki, hogy valamely szerkezet törőterhe a statikailag elérhető terhek közül a legnagyobb. Statikailag elérhető az a teher, mely alapján számítható hajlítónyomaték egy keresztmetszetben sem lépi túl a keresztmetszet geometriai és anyagjellemzőitől függő törőnyomaték értékét, vagyis a statikailag elérhető teher mindig kisebb vagy legfeljebb egyenlő a törőteherrel:

PS  PR Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Kinematic theorem Kinematikai alaptétel p k 1  pR

p

PK  PR

pR L  x1

x1

 A1

w 1

M R( )

 B1

 A1  B1

M R( ) Lkülső ,1  Lbelső ,1 

L

 w x  pk1  dx   M Ri   i1

0 1 L 1 1 1 1  ( ) ( ) pk 1   M R   A1  M R   A1  B1    pk 1  L  M R( )   M R(  )     2 2 x1 x L  x 1  1 Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Kinematic theorem Kinematikai alaptétel

p p k 2  pR

PK  PR

pR L  x2

x2

 A2

B2

w 1

M R( )

 A2  B 2 M R( )

Lkülső ,2  Lbelső ,2 

L

 w x  pk 2  dx   M Ri   i 2

0 1 L 1 1 1 1  ( ) ( ) pk 2   M R   A2  M R   A2  B 2    pk 2  L  M R( )   M R(  )     2 2 x2 x L  x 2  2 Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék





p p k 3  pR

PK  PR

pR L  x3

x3

B3

 A3 M

( ) R

w 1

 A3  B 3 M R( )

Lkülső ,3  Lbelső ,3 

L

 w x  pk 3  dx   M Ri   i 3

0 L 1 1 1  ( ) ( ) ( ) 1 ( )  1 pk 3   M R   A3  M R   A3  B 3    pk 3  L  M R   M R     2 2 x3 x L  x 3  3 Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék





p

PK  PR

pR

p k 4  pR

L  x4

x4

 A4

w 1

M R( )

B 4

 A4  B 4


L

 w x  pk 4  dx   M Ri   i 4






p

PK  PR

pR

p k 4  pR

L  x4

x4

 A4

w 1

M R( )

B 4

 A4  B 4


L

 w x  pk 4  dx   M Ri   i 4






Bármelyik kinematikailag lehetséges képlékeny alakváltozás- és elmozdulás-növekmény eloszláshoz tartozó teherintenzitás (pk) nagyobb, mint a törőintenzitás (mR), legfeljebb egyenlő. A kinematikai módszer az egyensúlyi és a mechanizmus kialakulására vonatkozó feltételek kielégítésén alapul. Egyszerűen fogalmazva a kinematikai tétel azt fejezi ki, hogy valamely szerkezet törőterhe a kinematikailag lehetséges terhek közül a legkisebb. Kinematikailag lehetséges az a teher, amely valamely törési-, folyási mechanizmuson – a képlékeny csuklók megjelenésével labilissá váló alakzaton – a terhelés növelése nélkül nagy alakváltozásokat okoz. A kinematikailag lehetséges teher mindig nagyobb vagy legfeljebb egyenlő a törőteherrel:

PK  PR Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Consequences of static and kinematic theorems A statikai és kinematikai tétel következményei A törőteher a legnagyobb statikailag elérhető teherintenzitással egyenlő:

PR  max PS A törőteher a legkisebb kinematikailag lehetséges teherintenzitással egyenlő:

PR  min PK A törőteher azzal a teherrel egyenlő, amely egyidejűleg statikailag elérhető és kinematikailag lehetséges:

PR  PS  PK Bármelyik statikailag elérhető teher a törőteher egy alsó korlátja és bármely kinematikailag lehetséges teher a törőteher felső korlátja:

PS  PR  PK Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Example 1 1. Példa

Határozzuk meg az alábbi, egyik végén befogott, másik végén csuklósan megtámasztott kéttámaszú, L támaszközű szerkezet képlékeny teherbírását, ha a szerkezet pozitív törőnyomatéka M R( ) , negatív törőnyomatéka M R( ) .

pR  ?

M R() M R( )





Example 1 1. Példa Megfontolások Függőleges terhekre nézve statikailag egyszeresen határozatlan szerkezet.







A szerkezet teljes mechanizmussá alakulásához így két képlékeny csukló kialakulása szükséges.





A szerkezet teljes mechanizmussá alakulásához így két képlékeny csukló kialakulása szükséges.

Az egyik képlékeny csukló biztosan a befogásnál alakul ki, a legnagyobb rugalmas hajlító nyomaték is itt ébred!





Example 1 1. Példa Megfontolások Függőleges terhekre nézve statikailag egyszeresen határozatlan szerkezet. Az egyik képlékeny csukló biztosan a befogásnál alakul ki, a legnagyobb rugalmas hajlító nyomaték is itt ébred!


A szerkezet teljes mechanizmussá alakulásához így két képlékeny csukló kialakulása szükséges. A másik képlékeny csukló valahol a mezőben jön létre, az átrendeződés során létrejövő legnagyobb hajlító nyomaték helyén!




Example 1 1. Példa Megoldás a statikai alaptétel alkalmazásával

pR

M R()

A

M R( ) pR

I. M R( )

Lx

x

1.

II .

B

I. jelű merev tartórész A pontjára felírható nyomatéki egyenlet: A

M  0  I


 M R( )

x  pR  x   M R(  )  0 2 Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!




pR

M R()

A

M R( ) pR

I. M R( ) x

2.

II .

B

Lx

II. jelű merev tartórész B pontjára felírható nyomatéki egyenlet: B  M  0  M R( )  pR  L  x  II


L  x   0 2




Example 1 1. Példa Megoldás a statikai alaptétel alkalmazásával 3.

II. jelű merev tartórész B pontjára felírható nyomatéki egyenlet alapján:

M R(  ) 4.

2

A 3. egyenletet behelyettesítve az 1. egyenletbe:

M R( ) 5.

 pR

 L  x 2  0

 x2 L  x 2  pR   pR  2 2

A pozitív és negatív törőnyomatékok arányát bevezetve:




M R(  ) M R(  )





Behelyettesítve a 3. és 4. egyenleteket az 5.-be:

  pR

 L  x 2  p 2

 x2 L  x 2  pR  R 2 2

  1 L  x 2  x 2   x 2  2    1 L  x    1 L2  0   x 2  2    1  L  x    1  L2  0

x1,2

  1   1  2    1  L  4    12  L2  4     1  L2   x  L   2     





Example 1 1. Példa Megoldás a kinematikai alaptétel alkalmazásával

A 

1 x

1 B  Lx w 1

M R()

M R( )

x

1.

 A  B Lx

A külső és belső idegen munkák a mechanizmuson:

Lkülső  Lbelső  Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

L

 w x  pR  dx   M Ri   i 0





A 

1 x w 1

M R() x

2.

1 B  Lx

M R( )

 A  B Lx

A külső és belső idegen munkák:

Lbelső

L 1 1 Lkülső  pk    pk  L 2 2 1 1  1  M R( )   A  M R(  )   A   B   M R( )   M R(  )     x x L  x 






A 

1 x

1 B  Lx w 1

M R() x

M R( )

 A  B Lx

3. A külső és belső idegen munkák egyenlősége alapján, alkalmazva a törőnyomatékok arányára bevezetett  tényezőt:

1 1 1  1 1 1  1 ( )   pk  L  M R( )   M R(  )     M       R  2 x x L  x   x x Lx  Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék





A 

1 x w 1

M R() x

4.

1 B  Lx

M R( )

 A  B Lx

Kifejezve a törőteher függvényét:

M R(  ) pk  2  L

M R(  )    1 L  x   x  1   1 1           2 L  x  L  x   x x Lx  






A 

1 x

1 B  Lx w 1

M R() x

M R( )

 A  B Lx

5. A kinematikai alaptétel alapján a törőteher értéke a kinematikailag lehetséges terhek közül a legkisebb, melyet a törőteher függvény szélsőértékeként határozhatunk meg:

M R(  ) d    1  L  x   x  dpk  pR  min pk   2    dx L dx  x  L  x   Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék





A 

1 x

1 B  Lx w 1

M R() x

M R( )

 A  B Lx

6. Tört alakú függvények differenciálására vonatkozó szabály alkalmazásával:

M R(  ) d    1  L  x   x   pR  min pk  2     L dx  x  L  x   () 2 M R    x  2    1  L  x    1  L2   pR  min pk  2   2  L  x 2  L  x  






A 

1 x

1 B  Lx w 1

M R() x

M R( )

 A  B Lx

7. A törőteher az alábbi feltétel mellett nyerhető:

  x 2  2    1 L  x    1 L2  0 A kinematikai alaptétel alapján megoldást nyújtó másodfokú egyenlet azonos alakú a statikai tételnél levezetettel!!! Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Example 1 1. Példa Eredmények összefoglalása 7. Különböző  értékek mellett a mezőben kialakuló képlékeny csukló helyzete és a törőteher értéke:

  1   1  x  L      



M R(  )

pR

L  x 2

3

2

1,50

1

0,50

0

0,666 L

0,634 L

0,613 L

0,586 L

0,551 L

0,5 L

M R(  )

M R(  )

M R(  ) x

pR 

2  M R(  )

18 

M R(  ) 2

L

14,93 


M R(  ) 2

L

13,35 

M R(  ) 2

L

11,67 

M R(  ) 2

L

9,92 

2

L

8

L2




Example 1 1. Példa A negatív és pozitív törőnyomatékok arányának és a mezőben lévő képlékeny csukló helyzetének alakulása

x L

 Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

M R(  ) M R(  ) Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Example 1 1. Példa A negatív és pozitív törőnyomatékok arányának és a törőteher értékének alakulása

pR  L 2 M R(  )

 Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

M R(  ) M R(  ) Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Example 2 2. Példa

Határozzuk meg az alábbi, mindlét végén befogott, kéttámaszú, L támaszközű szerkezet képlékeny teherbírását, ha a szerkezet pozitív és negatív törőnyomatékainak arányait az ábrán feltüntetett értékekkel fejezhetjük ki!

pR  ?

M R(  A)  3  M R

M R(  A)  2  M R M R( )  M R





Example 2 2. Példa Megfontolások Függőleges terhekre nézve statikailag kétszeresen határozatlan szerkezet.







A szerkezet teljes mechanizmussá alakulásához így három képlékeny csukló kialakulása szükséges.





A szerkezet teljes mechanizmussá alakulásához így három képlékeny csukló kialakulása szükséges.

Két képlékeny csukló biztosan a befogásoknál alakul ki, a legnagyobb rugalmas hajlító nyomatékok is itt ébrednek!





Example 2 2. Példa Megfontolások Függőleges terhekre nézve statikailag egyszeresen határozatlan szerkezet. Két képlékeny csukló biztosan a befogásoknál alakul ki, a legnagyobb rugalmas hajlító nyomatékok is itt ébrednek!


A szerkezet teljes mechanizmussá alakulásához így három képlékeny csukló kialakulása szükséges. A harmadik képlékeny csukló valahol a mezőben jön létre, az átrendeződés során létrejövő legnagyobb hajlító nyomaték helyén!





3  MR

pR

A

MR

I.

MR x

1.

pR

II .

B

2  MR

Lx

I. jelű merev tartórész A pontjára felírható nyomatéki egyenlet:

x  M  0   3  M R  pR  x   M R  0 2 I A






3  MR

pR

A

MR

I.

II .

MR x

2.

pR

B

2  MR

Lx

II. jelű merev tartórész B pontjára felírható nyomatéki egyenlet: B  M  0  M R  pR  L  x  II


L  x   2  M 2

R

0





I. jelű merev tartórész A pontjára felírható nyomatéki egyenlet alapján:

x2 M R  pR   0 8 4.

II. jelű merev tartórész B pontjára felírható nyomatéki egyenlet alapján:

M R  pR 5.

 L  x 2  6

A 3. és 4. egyenlőségéből:

 x2 L  x 2 pR   pR  8 6 x1,2

 x 2  8  L  x  4  L2  0





8  L  64  L2  16  L2   x  L  4  12  0,536 L 2






A 3. és 4. egyenlet alapján a törőteher értéke behelyettesítés után:

pR  8 

pR  6 


MR x2 MR

 27,85 

L  x 2

MR

L2 MR  27,85  2 L





1 A  x

1 B  Lx w 1

3  MR

MR

x

1.

 A  B

2  MR

Lx

A külső és belső idegen munkák egyenlősége a mechanizmuson:

Lkülső  Lbelső  Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

L

 w x  pR  dx   M Ri   i 0





1 A  x

1 B  Lx w 1

3  MR x

2.

Lbelső

MR

 A  B

2  MR

Lx

A külső és belső idegen munkák:

L 1 1 Lkülső  pk    pk  L 2 2 1 1  1 1  3  M R   A  M R   A   B   2  M R   B  3  M R   M R     2  M  R  x Lx x L  x 






1 A  x

1 B  Lx w 1

3  MR

MR

x

 A  B

2  MR

Lx

3. A külső és belső idegen munkák egyenlősége alapján kifejezve a törőteher függvényét :

pk  2 


MR L

3  4    x L  x   Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!




1 A  x

1 B  Lx w 1

3  MR x

MR

 A  B

2  MR

Lx

4. A kinematikai alaptétel alapján a törőteher értéke a kinematikailag lehetséges terhek közül a legkisebb, melyet a törőteher függvény szélsőértékeként határozhatunk meg:

pR  min pk 


M d 4 dpk 3   2 R     dx L dx  x L  x  Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!




1 A  x

1 B  Lx w 1

3  MR x

MR

 A  B

2  MR

Lx

5. Tört alakú függvények differenciálására vonatkozó szabály alkalmazásával:

MR d 4  L  x dpk pR  min pk   2   dx L dx x  L  x  ( ) M R   x  L  x   L  2  x   4  L  x   M R(  )   2 pR  min pk  2   2  L  L x 2  L  x   Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

  x 2  8  L  x  4  L2    2   x 2  L  x   





1 A  x

1 B  Lx w 1

3  MR x

MR

 A  B

2  MR

Lx

7. A törőteher az alábbi feltétel mellett nyerhető:

0  x 2  8  L  x  4  L2 A kinematikai alaptétel alapján megoldást nyújtó másodfokú egyenlet azonos alakú a statikai tételnél levezetettel!!! Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Example 3 3. Példa Határozzuk meg az alábbi, négytámaszú szerkezet képlékeny teherbírását!

M R( B )  M R( D )  2  M R  300 kNm

M R( C )  3  M R  450 kNm

M R(  AB)  M R( BC )  M R( CD )  M R  150 kNm pR  ?

LAB  4 m


LBC  6 m

LCD  8 m




Example 3 3. Példa Megfontolások

AB mező válik labilissá






BC mező válik labilissá






CD mező válik labilissá






pR  min pR ,AB , pR ,BC , pR ,CD 

pR ,AB

pR ,BC

pR ,CD Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Example 3 3. Példa Törőteher meghatározása az AB mezőben

Az AB mező törőterhének meghatározása az 1. Feladatban ismertetett megoldással azonos módon történik, figyelembe véve a statikai váz eltéréseit. A képlékeny csukló helyzete és a törőteher:

pR ,AB

A I.

150 kNm 4  x AB Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

150 kNm pR ,AB

II . x AB

300 kNm

B

x AB  0,634 LAB  2,536 m

pR ,AB  14,93 

M R(  AB ) L AB

2

 139,97 kN/m




Example 3 3. Példa Törőteher meghatározása a BC mezőben

Az AB mező törőterhének meghatározása a 2. Feladatban ismertetett megoldással azonos módon történik, figyelembe véve a statikai váz eltéréseit. A képlékeny csukló helyzete és a törőteher:

pR ,BC

300 kNm

B I.

150 kNm 6  x BC Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

150 kNm pR ,BC

II . x BC

C

450 kNm

x BC  0,536 LBC  3,216 m

pR ,BC  27,85 

M R( BC ) LBC

2

 116,04 kN/m




Example 3 3. Példa Törőteher meghatározása a CD mezőben

A CD mező törőterhének meghatározása a BC mező vizsgálata során ismertetett megoldással azonos módon történik, figyelembe véve a statikai váz eltéréseit. A képlékeny csukló helyzete és a törőteher:

pR ,CD

450 kNm

C I.

150 kNm x CD Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

150 kNm pR ,CD

II . 8  xCD

D

300 kNm

xCD  0,536 LCD  4,288 m

pR ,CD  27,85 

M R( CD ) LCD

2

 65,27 kN/m




Example 3 3. Példa Összefoglalás

pR  min pR ,AB , pR ,BC , pR ,CD  65,27 kN/m

pR ,AB  139,97 kN/m

pR ,BC  116,04 kN/m

pR ,CD  65,27 kN/m





Example 4 4. Példa Határozzuk meg az alábbi befogott keretszerkezet képlékeny teherbírását!

5F

FR  ?

2F

m 6m

L 6m M R  const. 300 kNm Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék





5F

FR  ?

A szerkezet határozatlan.

2.

Teljes mechanizmussá válásához négy képlékeny csukló kialakulása szükséges.

3.

A képlékeny csuklók a befogásoknál, a keretsarkokban, ill. a koncentrált erők helyén alakulhatnak ki, összesen öt helyen.

4.

A lehetséges öt helyből négy is elegendő a szerkezet mechanizmussá válásához, így több folyási mechanizmust kell megvizsgálnunk!

5.

Az egyes törési mechanizmusokhoz tartozó törőterhek közül a legkisebb lesz a szerkezet törőterhe (kinematikai tétel).

2F

m 6m


statikailag

háromszorosan

1.




Example 4 4. Példa 1. Egy részleges mechanizmus, mely a szerkezet tönkremenetelét is jelenti

5F 2F



 1

L

Lkülső   w x   pR  dx 0

2  m 6m


Lbelső   M Ri   i

Lkülső  5  F  1 M 2 Lbelső  M R  4    M R  4   8  R L L Lkülső  Lbelső 8 MR F   80 kN 5 L Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Example 4 4. Példa 2. Első teljes mechanizmus

5F

1

L

Lkülső   w x   pR  dx

2F



0

 m 6m



 L 6m M R  const. 300 kNm


Lbelső   M Ri   i

Lkülső  2  F  1 M 1 Lbelső  M R  4    M R  4   4  R L L Lkülső  Lbelső F  2

MR  100 kN L Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Example 4 4. Példa 4. Második teljes mechanizmus

5F

1

L



2F

2 



1 2

Lkülső   w x   pR  dx 0

 m 6m



Lbelső   M Ri   i 1 9 Lkülső  2  F  1  5  F    F 2 2 M 1 Lbelső  M R  6    M R  6   6  R L L Lkülső  Lbelső

12 M R F   66,66 kN 9 L Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Example 4 4. Példa

3. Harmadik teljes mechanizmus

5F

2 

1

L

2F

 

Lkülső   w x   pR  dx

1  2

0

m 6m





Lbelső   M Ri   i 1 1 Lkülső  2  F  1  5  F     F 2 2 M 1 Lbelső  M R  6    M R  6   6  R L L Lkülső  Lbelső

F  12 

MR  600 kN L Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Example 4 4. Példa Eredmények összefoglalása

333,33 kN

333,33 kN

133,33 kN

133,33 kN

300 kNm 300 kNm

100 kNm m 6m


300 kNm

300 kNm

300 kNm

12 M R FR    66,66 kN 9 L Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Failure mechanisms of multi store frames Többszintes keretek törési mechanizmusai

Oszlopmechanizmusok

PH 1

PV 1

PH 2

PV 2





Failure mechanisms of multi store frames Többszintes keretek törési mechanizmusai

Gerendamechanizmusok

PH 1

PV 1

PH 2

PV 2





Failure mechanisms of multi store frames Többszintes keretek törési mechanizmusai Csomópont mechanizmusok

PH 1

PV 1

PH 2

PV 2





Failure mechanisms of multi store frames Többszintes keretek törési mechanizmusai Kombinált mechanizmusok

PH 1

PV 1

PH 2

PV 2





Basics of plastic design of RC girders Vasbeton tartó képlékeny tervezésének alapelvei Vasbeton tartó törőterhe a statikai alaptétel alapján A statikai tétel szerint ha egy adott teherhez legalább egy olyan statikailag lehetséges igénybevétel eloszlás rendelhető, amely eleget tesz törési és egyensúlyi feltételeknek, akkor az a teher statikailag elérhető, így a törőteher az adott tehernél nagyobb, legfeljebb egyenlő. Vasbeton tartó képlékeny tervezése a statikai alaptétel alapján A statikai tételt megfordítva megállapíthatjuk, hogy ha egy vasbeton tartó tervezése során tetszőleges, statikailag lehetséges igénybevétel eloszlást veszünk fel, és az egyes jellemző keresztmetszeteket ezen igénybevételek alapján méretezzük, akkor a méretezés alapját képező teher statikailag elérhető, így a törőteher ennél a tehernél biztosan nem lesz kisebb!!! Egy vasbeton tartó képlékeny tervezése bármely statikailag lehetséges igénybevétel eloszlás alapján végrehajtható!!!





Plastic design of RC girders Vasbeton tartók vizsgálata a töréselmélet alapján Vasbeton tartók képlékeny teherbírása Vasbeton tartók teherbírásának töréselmélettel történő meghatározása során ismertnek tekintjük a szerkezet keresztmetszeti és anyagi jellemzőitől függő pozitív és negatív törőnyomatékokat. A teherbírás statikai és kinematikai alaptételek alapján történő vizsgálatának célja a szerkezet egy részének vagy teljes egészének törési mechanizmussá válásához szükséges teher, azaz a törőteher meghatározása. ( )

( )

Ismert: M R ,i , M R ,i , M R ,i

Cél: p R

Vasbeton tartók tervezése a töréselmélet alapján Vasbeton tartók töréselmélettel történő tervezésének célja a szerkezet – elsősorban a szerkezet geometriai jellemzőinek – oly módon történő meghatározása, hogy a képlékeny csukló(k) kialakulása során bekövetkező igénybevétel átrendeződés a tervezés során lehetőséget adjon a szerkezet rugalmas alapon meghatározott igénybevételeitől történő eltérésre, egyszerűbb és gazdaságosabb vasvezetés kialakítására ill. az acélfelhasználás optimalizálására.

Ismert: p Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

( )

( )

Cél: M R ,i , M R ,i , M R ,i Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Plastic design of RC girders Vasbeton tartó képlékeny teherbírása Feladat:

pR  ?

x

Lx

A M R()

w 1



B

M R(  ) M R(  )

 A  B

M R( )

Megoldás:

  1   1  x  L       Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

pR 

2  M R(  )

L  x 2 Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Plastic design of RC girders Vasbeton tartó képlékeny tervezése Feladat:

pEd x

Lx

A ) M R( ,opt ?

w 1 ) M R( ,opt ?

 ?

B

 A  B

Megoldás:

 min  opt   max Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

 opt 

) M R( ,opt ) M R( ,opt Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Plastic design of RC girders Vasbeton tartó képlékeny tervezése 1. Képlékeny tervezés során a szerkezeten a rugalmasságtan alapösszefüggései alapján meghatározott igénybevételektől – kihasználva az igénybevételek átrendeződését – az optimális vasvezetés kialakítása érdekében eltérünk. 2. Az igénybevételek átrendeződésének mértéke csak olyan lehet, hogy a szerkezet részleges vagy teljes mechanizmussá válása létre jöjjön, azaz a képlékeny csuklók kialakuljanak a nyomott beton öv képlékeny teherbírásának teljes kimerülése vagy a húzott acélbetétek elszakadása előtt. 3. Vasbeton tartók esetén az igénybevétel átrendeződést követően kialakuló pozitív és negatív hajlító nyomatékok – azaz a pozitív és negatív törőnyomatékok – aránya az alábbi értékek között változhat:

1   2 4. A törési és egyensúlyi feltételek teljesülése mellett azért térhetünk el a rugalmas alapon meghatározott igénybevételektől, mert a képlékeny igénybevétel átrendeződés során a képlékeny csuklók további igénybevételeket bár már nem tudnak felvenni, de azokat a még kihasználatlan keresztmetszetekre hárítják át. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Elastic and plastic design of RC girders Rugalmas és képlékeny tervezés Rugalmas méretezés

pEd






pEd

 M Ed

pEd  L2  8

pEd  L2 8

 M Ed ,k

pEd  L2  16






pEd

 M Ed

pEd  L2  8

820

pEd  L2 8

 M Ed ,k

pEd  L2  16

420 Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Elastic and plastic design of RC girders Rugalmas és képlékeny tervezés Képlékeny méretezés

Rugalmas méretezés

pEd

pEd

 M Ed

pEd  L2  8

820

2

pEd  L 8

 M Ed ,k



M R( ) M R(  )

 1,4

pEd  L2  16







pEd

pEd

 M Ed

pEd  L2  8

820

2

pEd  L 8

 M Ed ,k

pEd  L2  16

 M R( )  1,4  M R( )

M R( ) M R(  )

 1,4

pEd  L2  1,7  M R(  ) 8

M R( )







pEd

pEd

 M Ed

pEd  L2  8

820

2

pEd  L 8

 M Ed ,k

pEd  L2  16


 M R( )  1,4  M R( )

720

M R( ) M R(  )

 1,4

pEd  L2  1,7  M R(  ) 8

M R( )

520 Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Plastic design of multispan RC beam Többtámaszú tartó képlékeny tervezés – nyomatéki átrendezés 1. Rugalmasságtani alapon meghatározott hajlító nyomatékok

pEd  100 kN/m LBC  6 m

LAB  4 m

LCD  8 m 581,27 kNm

436,89 kNm

218,70 kNm

90,65 kNm

122,21kNm 200 kNm


450 kNm 290,92 kNm

800 kNm




Plastic design of multispan RC beam Többtámaszú tartó képlékeny tervezés – nyomatéki átrendezés 2. Statikailag határozottá tett tartó hajlító nyomatékainak meghatározása

pEd  100 kN/m

LAB  4 m

LBC  6 m

LCD  8 m

200 kNm 450 kNm 800 kNm Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Plastic design of multispan RC beam Többtámaszú tartó képlékeny tervezés – nyomatéki átrendezés 3. Negatív törőnyomatékok működtetése a statikailag határozottá tett tartón

M R( ,B)  200 kNm

M R( ,C)  350 kNm

LBC  6 m

LAB  4 m

200 kNm


M R( ,D)  550 kNm LCD  8 m

350 kNm

550 kNm




Plastic design of multispan RC beam Többtámaszú tartó képlékeny tervezés – nyomatéki átrendezés 4. Pozitív hajlító nyomatékok meghatározása

M R( ,B)  200 kNm

M R( ,C)  350 kNm

M R( ,D)  550 kNm


LAB  4 m

LCD  8 m 550 kNm

350 kNm 200 kNm

100 kNm

175 kNm 200 kNm


450 kNm 350 kNm

800 kNm




Plastic design of multispan RC beam Többtámaszú tartó képlékeny tervezés – nyomatéki átrendezés 5. Új nyomatéki zérustengely értelmezése


LAB  4 m

LCD  8 m

 M Elastic ,i   M Plastic ,i 1    200 kNm

200 kNm

450 kNm

350 kNm

M R( ) M R(  )

 2

800 kNm 550 kNm

100 kNm 175 kNm


350 kNm Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Example 5 5. Példa

M Ed  100 kNm

LK  2 m

pEd ,1  100 kN/m PEd  300 kN

L 6m


L 6m

pEd ,2  80 kN/m

L 6m




Example 5 5. Példa

M Ed  100 kNm

LK  2 m

100 kNm

pEd ,1  100 kN/m PEd  300 kN

L 6m

450 kNm


L 6m

450 kNm

pEd ,2  80 kN/m

L 6m

360 kNm




Example 5 5. Példa

M Ed  100 kNm

LK  2 m

100 kNm

pEd ,1  100 kN/m PEd  300 kN

L 6m

450 kNm


pEd ,2  80 kN/m

L 6m

300 kNm

450 kNm

L 6m

200 kNm

360 kNm

200 kNm




Example 5 5. Példa

M Ed  100 kNm

LK  2 m

100 kNm

pEd ,1  100 kN/m PEd  300 kN

L 6m

pEd ,2  80 kN/m

L 6m

L 6m

1   450 kNm

300 kNm

450 kNm

M R( ) M R(  )

200 kNm

200 kNm

 2 360 kNm

200 kNm

160 kNm

250 kNm





Example 6 6. Példa PEd ,1  300 kN

M Ed  100 kNm

LK  2 m

LAB  5 m


pEd ,1  80 kN/m

LBC  7 m

pEd ,2  120 kN/m

LCD  5 m

PEd ,2  50 kN

LK  2 m





M Ed  100 kNm

LK  2 m

LAB  5 m

100 kNm 300 kNm

300 kNm


pEd ,1  80 kN/m

LBC  7 m

pEd ,2  120 kN/m

LCD  5 m

PEd ,2  50 kN

LK  2 m

100 kNm 490 kNm

375 kNm





M Ed  100 kNm

LK  2 m

pEd ,1  80 kN/m

LAB  5 m

100 kNm 300 kNm

300 kNm


pEd ,2  120 kN/m

LBC  7 m

LCD  5 m

PEd ,2  50 kN

LK  2 m

100 kNm 300 kNm

490 kNm

300 kNm

375 kNm





pEd ,1  80 kN/m

M Ed  100 kNm

LK  2 m

LAB  5 m

100 kNm 300 kNm

pEd ,2  120 kN/m

LBC  7 m

300 kNm

490 kNm

LK  2 m

LCD  5 m 1  

300 kNm

PEd ,2  50 kN

300 kNm

M R( ) M R(  )

 2 100 kNm

375 kNm

175 kNm

160 kNm


200 kNm




Plastic design of multispan RC beam Többtámaszú tartó képlékeny tervezés – nyomatéki átrendezés 1. A statikailag határozatlan tartó igénybevételeinek rugalmasságtani alapon történő meghatározása. 2. A képlékeny nyomatéki átrendeződés mértékének meghatározása az egyes pozitív és negatív hajlító nyomatéki szélsőértékek elemzése alapján, mely többtámaszú tartók esetén jellemzően a negatív törőnyomatékok felvételét jelenti.

1  

M R( ) M R(  )

 2

3. A törési és egyensúlyi feltételek alapján a negatív törőnyomatékok ill. az egyes támaszok felett kialakuló (negatív) képlékeny csuklók közötti tartószakaszok pozitív törőnyomatékainak meghatározása. 4.

A törési és egyensúlyi feltételek teljesülése esetén ellenőrzésként a rugalmas hajlító nyomatékok összegének meg kell egyeznie a képlékeny nyomatéki átrendeződés után kialakuló hajlító nyomatékok összegével.

 M Elastic ,i   M Plastic ,i Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Reinforced Concrete Structures II.

VIII.

Vasbetonszerkezetek II. - Vasbeton rúdszerkezetek képlékeny teherbírása -

Köszönöm a figyelmet!

Dr. Kovács Imre PhD tanszékvezető főiskolai tanár

E-mail: [email protected] Mobil: 06-30-743-68-65 Iroda: 06-52-415-155 / 77764 WEB: http://epitotsz.mk.unideb.hu/ Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék


Vasbetonszerkezetek II. VIII

Recommend Documents