Vasbetonszerkezetek II

Reinforced Concrete Structures II. / Vasbetonszerkezetek II.

Course I. / I. Előadás

Reinforced Concrete Structures II.

I.

Vasbetonszerkezetek II. - Lemezelmélet -

Dr. Kovács Imre PhD tanszékvezető főiskolai tanár

E-mail: [email protected] Mobil: 06-30-743-68-65 Iroda: 06-52-415-155 / 77764

WEB: http://epitotsz.mk.unideb.hu/ Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Reinforced concrete slabs - Overview Monolit vasbeton lemezek – Tartalmi áttekintés • A rugalmas lemez fogalma és differenciálegyenlete • Lemez és gerenda differenciálegyenletének összehasonlítása • Két és egy irányban teherviselő lemezek fogalma

• Egy irányban teherviselő lemez igénybevételeinek meghatározása • Két irányban teherviselő lemezek közelítő megoldásai: - Tartókereszt eljárás - Marcus, Bares táblázatok - Hatásfelületek - Véges differenciák módszere - Végeselem módszer (VEM, FEM) Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Reinforced concrete slabs - Overview Monolit vasbeton lemezek – Tartalmi áttekintés • Összetett lemezmezők igénybevételeinek meghatározása • Gombafödémek igénybevételei • Síklemez födémek igénybevételei, átszúródás és átlyukadás

• Monolit vasbeton lemezek közelítő méretfelvétele • Monolit vasbeton lemezek vasalása, vasvezetés • Monolit vasbeton lemezek szerkesztési szabályai • Monolit vasbeton lemezek jellemző csomópontjai • Lemezek töréselmélete

Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Geometry of Kirchhoff-type slab Kirchhoff-féle lemez geometriája

x

y

középsík

z





Theory of Kirchhoff-type elastic slab Kirchhoff-féle rugalmas lemezelmélet alapfeltevései • A lemez vastagsága befoglaló méreteihez képest kicsi és állandó

min l x ,l y / v  5 • A lemez középsíkjában fekvő pontok csak a középsíkjára merőlegesen tolódnak el, ez az eltolódás a lemez vastagsághoz képest kicsi

v / w max  5 • A középsík normálisán fekvő pontok a deformált középfelület azonos normálisain sorakoznak, a közös normálison fekvő pontok relatív elmozdulásai elhanyagolhatóan kicsik, érvényes a BernoulliNavier féle hipotézis. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Theory of Kirchhoff-type elastic slab Kirchhoff-féle rugalmas lemezelmélet alapfeltevései • A lemez anyaga homogén, izotróp és lineárisan rugalmas • A középfelületre merőleges feszültségek elhanyagolhatók • A lemez síkjában az elmozdulások szabadon létrejöhetnek Megjegyzés: Vasbeton lemezek esetén a fenti alapfeltevések csak közelítően teljesülnek! Pl.:

Egy lemez egymásra merőleges és erősségében jelentősen eltérő kialakítású vasalása nem eredményez izotróp viselkedést! A használhatósági határállapotokban tapasztalható berepedt állapot a rugalmas elven meghatározott igénybevételek képlékeny alapon történő átrendeződéséhez vezet!





Bending, shear and torsion of Kirchoff-type slab Kirchhoff-féle lemez igénybevételei

dx

x mx

dy

m xy

my

y

z


vx

m yx v y




Bending, shear and torsion of Kirchoff-type slab Kirchhoff-féle lemez igénybevételei x és y irányú fajlagos hajlítónyomatékok

  2w  2w  m x  K   2   c  2  y   x


  2w  2w  m y  K   2   c  2  x   y





  2w  2w  m x  K   2   c  2  y   x

  2w  2w  m y  K   2   c  2  x   y

fajlagos csavarónyomatékok

 2w m xy  m yx  K  1  c   xy






  2w  2w  m x  K   2   c  2  y   x

  2w  2w  m y  K   2   c  2  x   y


 2w m xy  m yx  K  1  c   xy x és y irányú fajlagos nyíróerők

   2w  2w  v x  K   2  2  x  x y 


   2w  2w  v y  K   2  2  y  x y 





  2w  2w  m x  K   2   c  2  y   x

  2w  2w  m y  K   2   c  2  x   y



   2w  2w  v y  K   2  2  y  x y 

   2w  2w  v x  K   2  2  x  x y 

a lemez hajlítómerevsége

K Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

E v 3



12  1   c

2

 Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!




  2w  2w  m x  K   2   c  2  y   x

  2w  2w  m y  K   2   c  2  x   y



   2w  2w  v y  K   2  2  y  x y 

   2w  2w  v x  K   2  2  x  x y 

a lemez hajlítómerevsége Rugalmassági modulus Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

K

E v 3



12  1   c

2



Harántnyúlási tényező (Poisson szám reciproka) 0,15~0,20 Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Stresses of Kirchhoff-type slab Kirchhoff-féle lemez feszültségei

x

y

z Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék





mx

x

y






mx

x

y

x z Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék





mx

x

m xy

y






mx

x

m xy

x

y

 xy






mx

x

m xy

x

 xy

vx

y






mx

x

m xy


 xy

y

vx

 xz Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Equilibrium of Kirchoff-type slab Kirchhoff-féle lemez egyensúlya Lemezelem egyensúlyi egyenlete:

 2 m xy  2 m y  2m x  2   q x , y  2 2 xy x y






 2 m xy  2 m y  2m x  2   q x , y  2 2 xy x y Fizikai (anyag) egyenletek:

x 

E 1  c

2

  x   c   y   xy 


E E   xy  y    y  c   x  2 2  1   c  1  c






x 

E 1  c

2

  x   c   y   xy 

E E   xy  y    y  c   x  2 2  1   c  1  c

Kompatibilitási (összeférhetőségi) egyenletek

 2w  x  z  2 x


 xy

 2w  2  z  xy

 2w  y  z  2 y






x 

E 1  c

2

  x   c   y   xy 

E E   xy  y    y  c   x  2 2  1   c  1  c

Kompatibilitási (összeférhetőségi) egyenletek

 2w  x  z  2 x

 xy

 2w  2  z  xy

 2w  y  z  2 y

Lemezegyenlet:

 4w  4w  4 w q x , y   2 2 2  4  4 k x x y y Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Equation of elastic slab Rugalmas lemez egyenlete Lemezegyenlet:

 4w  4w  4 w q x , y   2 2 2  4  4 k x x y y Lagrange féle formula (1812)

w 

q x , y  k

Kétváltozós Laplace operátor

2 2  2  2 x y Kétváltozós, negyedrendű (biharmonikus) differenciálegyenlet matematikai határozottságához minden perempontban két peremfeltételt kell előírni! Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Fix edge Befogott perem

x tn  0 n mn  0

y

z

Lemez

Nagy merevségű gerenda

t

A perem függőleges eltolódása zérus. 

w 0



w 0 n

A perem elfordulása zérus.





Semi rigid edge Rugalmasan befogott perem

x tn  0 n mn  0

y

z

Koszorú gerenda

t

A perem függőleges eltolódása zérus.  A perem elfordulása az elfordulási merevséget jellemző rugóállandótól függ: Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

Lemez



w 0 w 1   mn n c Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Navier type simply supported edge Navier-féle szabadon felfekvő perem

x tn  0 n

y

z

Falazott szerkezet

t

A perem függőleges eltolódása zérus:  A perem elfordulása megengedett:


Lemez



w 0   2w  2w  m n  K   2  2   0 t   n Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Free edge Szabad perem

m nt  0

y

z

x tn  0 n mn  0

Lemez

t

Az általános megoldással a peremen értelmezett fenti három feltétel egyszerre nem teljesül → Kirchhoff-féle peremerők (peremvasalás alkalmazása)





Bending, shear and torsion of Kirchoff type slab (X-Y) Kirchhoff-féle lemez igénybevételei (X-Y)

dx

x mx

dy

m xy

my

y

z


vx

m yx v y




Bending, shear and torsion of Kirchoff type slab (r-f) Kirchhoff-féle lemez igénybevételei (r-f)

r

dr

d

m

mr m r Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

vr

mr

v




Bending, shear and torsion of elastic circular slab Rugalmas körlemez igénybevételei r és f irányú fajlagos hajlítónyomatékok

  2 w  c w c  2 w   1 w 1  2 w  2w  m r  K   2    2  2  m  K     2  2   c  2  r r r   r   r  r r r 






  2 w  c w c  2 w   1 w 1  2 w  2w  m r  K   2    2  2  m  K     2  2   c  2  r r r   r   r  r r r  fajlagos csavarónyomatékok

 m r  mr  K  1  c   r


 1 w       r  






 m r  mr  K  1  c   r

 1 w       r  

r és f irányú fajlagos nyíróerők

 v r  K  r

  2 w 1 w 1  2 w  1    2 w 1 w 1  2 w    2    2  2  v   K     2    2  2  r r r   r   r r r r    r







 m r  mr  K  1  c   r

 1 w       r  

r és f irányú fajlagos nyíróerők

 v r  K  r

  2 w 1 w 1  2 w  1    2 w 1 w 1  2 w    2    2  2  v   K     2    2  2  r r r   r   r r r r    r a lemez hajlítómerevsége

Rugalmassági modulus Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

K

E v 3



12  1   c

2



Harántnyúlási tényező (Poisson szám reciproka) 0,15~0,20 Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!



Equilibrium of elastic circular slab Rugalmas körlemez egyensúlya Körlemez egyensúlyi egyenlete:

 2mr   2  r r 2

 1 m r     r 

 1 m   2  2   pr ,   r 

Lagrange féle formula (1812)

w 

q x , y  K

Kétváltozós Laplace operátor

2 1  1 2  2    2  2 r r r  r





Analitical solution for rectangular slab Téglalap alakú lemez analitikus megoldása

x Teherfüggvény

Lehajlásfüggvény

q x , y 

w x , y 

y Az analitikus megoldás az ismert teher- és az ismeretlen lehajlásfüggvény Fourier sorba fejtésével nyerhető:

m   x n   y w x , y     a mn  sin  sin m 1n 1 a b  





Comparison of slab and beam behaviour Lemez és gerenda összehasonlítása Gerenda

Lemez

q x 

z

x

q x , y 

x

w x 

w x , y 

y

z

Rugalmas vonal differenciálegyenlete / Lagrange-féle lemezegyenlete

q x   K x 4

 4w

 4w

x 4

 2

 4w x 2 y 2



 4w y 4



q x , y  K

Hajlítási merevség

K  E I

b  h3 I 12


K

E I 1  c

2

v3 I 12





q x 

z

w x 

Lemez

x

q x , y 

x w x , y 

y

z

Hajlítónyomatékok

 2w M x  K  2 x

  2w  2w  m x  K   2   c  2  y   x

My  0

  2w  2w  m y  K   2   c  2  x   y






q x 

z

Lemez

q x , y 

x

w x 

y

x w x , y 

z

Csavaró nyomatékok

Amennyiben a teher a gerenda tengelyének síkjában működik, nem keletkezik csarónyomaték!

 2w m xy  m yx  K  1  c   xy

M xy  0






q x 

z

w x 

Lemez

x

q x , y 

y

x w x , y 

z

Nyíróerők

 3w Vx  K  3 x

   2w  2w  v x  K   2  2  x  x y 

Vy  0

   2w  2w  v y  K   2  2  y  x y 






q x 

z

w x 

Lemez

x

x

q x , y 

y

w x , y 

z

A teher és a nyíróerő közötti differenciális összefüggés

dVx  q x   0 dx


v x v y   q x , y   0 x x





q x 

z

w x 

Lemez

x

x

q x , y 

y

w x , y 

z

A nyíróerő és a hajlítónyomaték közötti differenciális összefüggés

M x Vx  x

Vy  0


m x m xy vx   x y vy 

m y y



m xy x





q x 

z

w x 

Lemez

x

x

q x , y 

y

w x , y 

z

A teher és a hajlítónyomaték közötti differenciális összefüggés

d 2M x  q x   0 2 dx


 2 m xy  2 m y  2mx  2   q x , y   0 2 2 xy x y




Cylinderical bending of slab Lemezek hengeres hajlítása Lemezek hengeres hajlítása

x

q x 

w x 

y

Kirchhoff-féle lemez (általános)

x

q x , y 

y

w x , y 

z

A teher és a hajlítónyomaték közötti differenciális összefüggés

 2m x  q x  2 x


 2 m xy  2 m y  2m x  2   q x , y  2 2 xy x y





x

q x 

w x 

y

Kirchhoff-féle lemez (általános)

x

q x , y 

y

w x , y 

z

Kirchhoff-féle lemez Lagrange-féle differenciál egyenlete

 4 w q x   4 K x

q x  w  K Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék

 4w  4w  4 w q x , y   2 2 2  4  4 K x x y y

w 

q x , y  K





q x 

x w x 

y

A Lagrange-féle inhomogén differenciálegyenletet kielégítő, de a peremfeltételeken nem maradéktalanul teljesítő, hengeres lehajlásként felvett w1 partikuláris megoldás

Inhomogén egyenlet:

Partikuláris megoldás:

 4 w 1 x  q x  w 1 x    4 K x     q x      w 1 x         dx dx dx dx  C 0  C1x  C 2 x 2  C 3 x 3       K 






x

q x 

w x 

y

A teljes megoldás általában w1 értékével azonosnak tekinthető a lemeztartomány nagyobb részén. A peremfeltételek kielégítése érdekében a partikuláris w1 megoldást ki kell egészítenünk a homogén egyenlet w2 megoldásával.

Homogén egyenlet:

w 2 x , y   0

Teljes megoldás:

w  w1 x   w 2 x, y 





One-way and two-way slabs Egy és két irányban teherviselő lemezek Egy irányban teherviselő lemez

q x 

y

x w x 

Görbület ill. görbületváltozás csak az egyik oldalél párral párhuzamos irányban alakul ki.


Két irányban teherviselő lemez

q x , y 

y

x w x , y 

z

Görbület ill. görbületváltozás mindkét oldalél párral párhuzamos irányban kialakul.




One-way and two-way slabs Egy és két irányban teherviselő lemezek Egy irányban teherviselő lemez

x

q x 

w x 

y

Lx / Ly  2 Lx / Ly  0,5


Két irányban teherviselő lemez

q x , y 

y

x w x , y 

z

0,5  Lx / Ly  2




Analysis of one-way slabs Egy irányban teherviselő lemezek megoldása Egy irányban teherviselő lemez megoldása gerenda analógia alapján

x q x 

1 m w x 

y Lx Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék




Analysis of one-way slabs Egy irányban teherviselő lemezek megoldása Két támaszú konzolos tartó

A


B





A

B pEd ginf - mEd,B [kNm/m]






A

B pEd ginf - mEd,B [kNm/m] pEd ginf

+ mEd,AB [kNm/m]






A


B

ginf

pEd

pEd

ginf

- mEd,B [kNm/m]

+ mEd,AB [kNm/m]




Analysis of one-way slabs Egy irányban teherviselő lemezek megoldása Három támaszú tartó

A


B

C





A

B pEd


C - mEd,B [kNm/m]





A

B

C

pEd pEd


- mEd,B [kNm/m] ginf

+ mEd,AB [kNm/m]





A

B

C

pEd pEd

ginf



+ mEd,AB [kNm/m]

pEd + mEd,BC [kNm/m]





A

B

C

pEd pEd

ginf



+ mEd,AB [kNm/m]

pEd + mEd,BC [kNm/m]




Analysis of one-way slabs Egy irányban teherviselő lemezek megoldása Három támaszú konzolos tartó

A


B

C





A ginf


B pEd

C - mEd,B [kNm/m]





A

B pEd

ginf ginf


C

pEd


+ mEd,AB [kNm/m]





A

B

C

pEd

ginf

- mEd,B [kNm/m]

ginf

pEd

ginf

pEd

ginf

pEd

+ mEd,AB [kNm/m] + mEd,BC [kNm/m] - mEd,A [kNm/m]






A

B

C

pEd

ginf

- mEd,B [kNm/m]

ginf

pEd

ginf

pEd

ginf

pEd

+ mEd,AB [kNm/m] + mEd,BC [kNm/m] - mEd,A [kNm/m]





Reinforced Concrete Structures II.

I. Köszönöm a figyelmet!

Vasbetonszerkezetek II. - Lemezelmélet -

Dr. Kovács Imre PhD tanszékvezető főiskolai tanár

E-mail: [email protected] Mobil: 06-30-743-68-65 Iroda: 06-52-415-155 / 77764

WEB: http://epitotsz.mk.unideb.hu/ Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék


Vasbetonszerkezetek II

Recommend Documents