PÉLDATÁR a Vasbetonszerkezetek I. című tantárgyhoz

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÉPÍTŐMÉRNÖKI KAR

HIDAK ÉS SZERKEZETEK TANSZÉKE

PÉLDATÁR a Vasbetonszerkezetek I. című tantárgyhoz

Budapest, 2007

1

Szerzők:

Friedman Noémi Huszár Zsolt Kiss Rita Klinka Katalin Kovács Tamás Völgyi István

Kézirat lezárva:

2007. december 15.

ISBN 978-963-420-903-4 Kiadja: BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke

2

Tartalomjegyzék Oldalszám Gyakorlatok anyaga 1.

Repedésmentes és berepedt vasbetontartók

4

2.

Hajlított vasbeton keresztmetszet ellenőrzése

10

3.

Hajlított vasbeton keresztmetszet tervezése

24

4.

Külpontosan nyomott vasbeton keresztmetszet

32

5.

Vasbeton gerendák nyírásvizsgálata

43

6.

Gerendák komplex vizsgálata, határnyomaték és határ-

57

nyíróerő számítása 7.

Használhatósági határállapotok

75

Kiegészítő anyagok Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz

84

Kiegészítő anyag a II. gyakorlathoz

95

Kiegészítő anyag a VII. Gyakorlathoz

104

Vasbetonszerkezetek I.

I. gyakorlat I. GYAKORLAT

Repedésmentes és berepedt vasbeton tartók Készítették: Dr. Kiss Rita, Klinka Katalin és Völgyi István Némi elméleti összefoglaló: A számításokban feltételezzük, hogy: - a rúd tengelyére merőleges keresztmetszetek a deformációk után síkok és rúd tengelyére merőlegesek maradnak és - a beton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik Az I. feszültségi állapotot a berepedetlen vasbeton keresztmetszetre értelmezzük, a beton és a betonacél viselkedését rugalmasnak feltételezzük, az I. feszültség állapot határát a beton megrepedése jelenti. A II. feszültségi állapotot a berepedt vasbeton keresztmetszetre értelmezzük, a beton és a betonacélok viselkedését rugalmasnak feltételezzük, a II. feszültség állapot határát vagy beton képlékeny állapotba kerülése vagy akár csak egy betonacél megfolyása jelenti. A III. feszültségi állapot szerinti vizsgálat feltevése az, hogy - vagy a vasbeton keresztmetszet nyomott szélső szálában a legnagyobb keresztmetszeti összenyomódás elérte a beton törési összenyomódásának a határértékét (εcu-t) - vagy (akár csak egy) húzott acélbetét nyúlása elérte az acél szakadónyúlásának értékét (εsu-t). Megjegyzés: Mivel majdnem mindig az első szokott bekövetkezni, ezért a III. feszültségi állapot szerinti hajlítás vizsgálatot (lásd a következő gyakorlatok anyagában) azzal a feltételezéssel indítjuk, hogy a beton nyomott szélső szálában a törési összenyomódás értéke lép fel. - A feladatok megoldása során a beton esetén a következő egyszerűsített anyagmodelleket használjuk : - Az I. feszültségi állapotban lévő beton anyagmodellje: lineárisan rugalmas anyagmodell

σc f c.c εc.t

εc[% 0]

εc.c f c.t

- Az II. feszültségi állapotban lévő beton anyagmodellje: lineárisan rugalmas anyagmodell σc f c.c

.

Εc

εc[% 0]

εc.c

- Az III. feszültségi állapotban lévő beton anyagmodellje: lineárisan rugalmas, tökéletesen képlékeny anyagmodell:

téglap alakú σ(ε)-diagram: (még tovább egyszerűsített modell)

σc

c

f c.c

f c.c

.

Εc

εc.c

εc[% 0]

εcu

εc1=0,7

εcu=3,5

εc[% 0]

- A feladat megoldások során a betonacél esetén a következő anyagmodelleket használjuk : kN - a betonacél rugalmassági modulusa: Es := 200 ⋅ 2 s mm

f

E

.

ε' s

Az acél σ(ε) diagramja az origóra szimmetrikus.

y

f E

s

ε

y

su

=25

ε [%0] s

s

-f'

y

4


I. gyakorlat

A következő példákban a betonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált beton, illetve betonacél szilárdsági jellemzői azonosak: A

M

A-A metszet

M 450

A hajlítónyomaték alul okoz húzást

500

z

4ϕ20 A

300

A repedésmentes beton σ(ε) diagramja:

A berepedt beton σ(ε) diagramja:

c[MPa]

σ [MPa]

c[MPa]

10,7 0,104

A betonacél σ(ε) diagramja: s

10,7

0,585 1,9

Ec = 18.3⋅

3,5

εc[% ] 0,585

3,5

434

εc[% ] ε' s

kN

-25

-2,17

25

2,17

ε [%0] s

2

mm

-434

Es = 200 ⋅

kN 2

mm

σ'

d

Geometria jellemzők definiálása : h := 500mm b := 300mm d := 450mm

s

As b

- az alkalmazott húzott vasalás:

n := 4

db

2

ϕ := 20mm

Anyagjellemzők definiálása :

ϕ ⋅π As := n ⋅ 4 fc.c := 10.7⋅

A beton anyagjellemzői: A beton nyomószilárdsága:

fc.t := 1.9⋅

A beton húzószilárdsága:

2

As = 1256.6⋅ mm

N 2

mm N 2

mm

ε 1 :=

A nyomott szélsőszál rugalmas határához tartozó nyúlás:

fc.c Ec

ε c.E := ε 1 ε 2 :=

A húzott szélsőszál határnyúlása:

fc.t Ec

ε 1 = 0.585 ⋅ ‰ ε c.E = 0.585 ⋅ ‰ ε 2 = 0.104 ⋅ ‰

ε cu := 3.5⋅ ‰ fy := 434 ⋅

A betonacél anyagjellemzői:A betonacél folyáshatára:

N 2

mm

fy A betonacél folyási határához tartozó nyúlás: ε s.E := Es Az acél határnyúlása: ε su := 25⋅ ‰ Es αE := Ec

A betonacél és a beton rugalmassági modulusának aránya:

5

ε s.E = 2.17⋅ ‰

αE = 10.93


I. gyakorlat

I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ (REPEDÉSMENTES) VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.1.példa: Határozza meg az alábbi repedésmentes vasbeton keresztmetszet repesztőnyomatékát!

d

h = 500 ⋅ mm

2

As = 1256.6⋅ mm

b = 300 ⋅ mm

As

d = 450 ⋅ mm

b

A repedésmentes beton σ(ε) diagramja:

A betonacél σ(ε) diagramja:

σ [MPa]

ε 1 = 0.585 ⋅ ‰

c[MPa]

s

ε c.E = 0.585 ⋅ ‰

10,7 0,104

0,585 1,9

εc[% ]

3,5

Ec = 18.3⋅

fc.c = 10.7⋅ fc.t = 1.9⋅

kN 2

mm

434

2

ε' s

-25

-2,17

N

2

mm

ε s.E = 2.17⋅ ‰

N mm

N

fy = 434 ⋅

2,17

2

25

ε [%0] Es = 200 ⋅

kN

s

2

mm

-434

mm

ε 2 = 0.104 ⋅ ‰

σ' s

Megjegyzés: beton és betonacél σ(ε) diagramjánál is elegendő lenne lineárisan rugalmas szakaszt megadni, hisz a betonacél a II. feszültségi állapotban nem éri el a diagram képlékeny szakaszát. A feladat megoldása az ideális keresztmetszeti jellemzők felhasználásával: A nyomott betonzóna magasságának számítása az ideális keresztmetszeti jellemzőkkel: Az acél keresztmetszetét a beton keresztmetszetére redukáljuk: - Az ideális keresztmetszet területe: AiI := b ⋅ h + As⋅ αE − As vagyis AiI := b ⋅ h + αE − 1 ⋅ As

(

)

- Az ideális keresztmetszet statikai nyomatéka a felső szélső szálra: h Sx.I := b ⋅ h ⋅ + As⋅ αE − 1 ⋅ d 2

(

2

AiI = 1624.8⋅ cm

)

Sx.I = 43115 ⋅ cm

- A nyomott betonzóna magassága: Sx.I x I := AiI

3

x I = 265 ⋅ mm

- Ideális keresztmetszet inerciája a semleges tengelyre felírva:

⎛⎜ b ⋅ x 3 ⎞⎟ b⋅ ( h − x ) 3 ⎡ 4 I ( ϕ) ⋅ π I 2⎤ II := ⎜ + +⎢ + As⋅ ( d − x I) ⎥ ⋅ ( αE − 1 ) ⎟ 3 ⎝ 3 ⎠ ⎣ 4 ⎦

II = 358701⋅ cm

4

- Ideális km. inerciája a semleges tengelyre felírva az acélok saját súlyponti tengelyre felírt inerciájának elhanyagolásával: 3

II :=

b⋅ xI 3

+

(

)

b⋅ h − xI 3

3

(

) ( 2

+ As⋅ d − x I ⋅ αE − 1

II = 358701⋅ cm

)

4

Megjegyzés: mivel az acélok saját súlyponti tengelyre felírt inerciájának elhanyagolása az eredmény pontosságát nem csorbítja, ezért a következőkben ezt mindig elhanyagoljuk A beton megrepedéséhez tartozó nyomaték:

fc.t =

M cr

(

)

⋅ h − xI II

6

M cr :=

fc.t⋅ II h − xI

M cr = 29.04 ⋅ kN⋅ m


I. gyakorlat

II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.2.példa: Határozza meg az alábbi berepedt vb. km. II. feszültségi állapot végét jelentő görbületét és a hozzá tartozó nyomatékot!

d

h = 500 ⋅ mm

2

As = 1256.6⋅ mm

b = 300 ⋅ mm

As

d = 450 ⋅ mm

b


A berepedt beton σ(ε) diagramja: c[MPa]

σ [MPa]

ε c.E = 0.585 ⋅ ‰

10,7

0,585

3,5

fc.c = 10.7⋅

εc[% ]

N

434

mm

ε'

kN

-25

N 2

mm

ε s.E = 2.17⋅ ‰

2 s

Ec = 18.3⋅

fy = 434 ⋅

s

-2,17

2

ε [%0]

Es = 200 ⋅

-434

mm

kN

s

25

2,17

2

mm

σ' s

Megjegyzés: beton és betonacél s(e) diagramjánál is elegendõ lenne lineárisan rugalmas szakaszt megadni, hisz a betonacél a II. feszültségi állapotban nem éri el a diagram képlékeny szakaszát. A feladat megoldása: Az acél keresztmetszetét a beton keresztmetszetére redukáljuk: - Az ideális keresztmetszet területe: Ai.II = b ⋅ x II + αE⋅ As - Az ideális keresztmetszet statikai nyomatéka a felső szélső szálra: x II Sx.II = b ⋅ x II⋅ + As⋅ αE⋅ d 2 - A nyomott betonzóna magassága: b ⋅ x II⋅ x II =

x II 2

+ As⋅ αE⋅ d

b ⋅ x II + αE⋅ As

( )

x II := Find x II

x II = 162 ⋅ mm

Ai.II := b ⋅ x II + αE⋅ As = 624.2 ⋅ cm

2

x II 3 Sx.II := b ⋅ x II⋅ + As⋅ αE⋅ d = 10131.4 ⋅ cm 2

A II. feszültségi állapot határát adó κII görbület számítása: A nyomott szélsõszál rugalmassági határához tartozó nyúlásához a görbület:κ1 :=

ε1

κ1 = 3.603 × 10

x II

−6

⋅

1 mm

fy −6 1 A húzott acél rugalmassági határához tartozó nyúlásából kapott görbület: κs := κs = 7.543 × 10 ⋅ d − x II ⋅ Es mm

(

)

(

A II. feszültségi állapot határát adó κII görbület: (a nyomott szélsőszál eléri a rugalmassági határát)

)

κII := min κ1 , κs κII = 3.603 × 10

−6 1

⋅

mm

A húzott acélbetét megfolyását okozó nyomaték nagysága: 3 1 2 III := x II ⋅ b ⋅ + As⋅ αE⋅ d − x II 3

(

)

III = 156428⋅ cm

M II = κII⋅ Ec⋅ III

4

M II = 103.13⋅ kN⋅ m 7


I. gyakorlat

AZ II. ÉS III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT KÖZÖTTI INTERMEDIER ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.4.példa: Határozza meg az azt a görbületet és hozzátartozó nyomatékot, amikor a betonacélok épp a rugalmas és képlékeny állapot határán van!

d

h = 500 ⋅ mm b = 300 ⋅ mm

As

2

As = 1256.6⋅ mm

d = 450 ⋅ mm

b



ε c.E = 0.585 ⋅ ‰

10,7

0,585

3,5

Ec = 18.3⋅

fc.c = 10.7⋅

εc[% ]

σ [MPa]

N 434

2

ε' s

-25

N 2

mm

ε s.E = 2.17⋅ ‰

mm

ε cu = 3.5⋅ ‰

kN

fy = 434 ⋅

s

-2,17

2,17

2

25

-434

mm

ε [%0] s

ε su = 25⋅ ‰ Es = 200 ⋅

kN 2

mm

σ' s

A feladat megoldása: T.f.h. a beton képlékeny állapotban van

ε A-A metszet

M

x .

εc.E a

d

x

h

z

κ

y

As A

Belső erők

Fc.c,1 Fc.c,2

.

M

σ c

{

A

f

εs.E

σs

b

Fs

A semleges tengely helye a vetületi egyenletből meghatározható: b ⋅ ( x − a) ⋅ fc.c + ε c.E ε s.E

=

2

a d−x

⎡

ε c.E

⎣

ε s.E

b ⋅ ⎢x −

1

⋅ b ⋅ a⋅ fc.c − As⋅ fy = 0 ebből

a=

⎤

1

⎦

2

⋅ ( d − x )⎥ ⋅ fc.c +

⎡ ε c.E

⋅ b⋅ ⎢

⎣ ε s.E

ε c.E ε s.E

⋅ ( d − x)

⎤

⋅ ( d − x )⎥ ⋅ fc.c − As⋅ fy = 0

⎦

κεs.E :=

Az acélbetétek megfolyásához tartozó görbület értéke: Felsõ szélsõ szál összenyomódása: a :=

ε c.E ε s.E

⋅ ( d − x)

ε c := κεs.E⋅ x

ε c = 1.786 ⋅ ‰ >

x := Find( x )

ε s.E d−x

x = 203.2 ⋅ mm

κεs.E = 8.791 × 10

−6

⎝

x − a⎞ 2

1 2 ⎞ ⎛ ⎟ + 2 ⋅ b⋅ a⋅ fc.c⋅ ⎜ d − x + 3 ⋅ a⎟ ⎠ ⎝ ⎠

8

1 mm

ε c.E = 0.585 ⋅ ‰a beton valóban képlékeny

a = 66.5⋅ mm

M := b ⋅ ( x − a) ⋅ fc.c⋅ ⎛⎜ d −

⋅

M = 198.5 ⋅ kN⋅ m


I. gyakorlat HATÁRÁLLAPOTHOZ TARTOZÓ NYOMATÉKSZÁMÍTÁS

d

1.5.példa: Határozza meg a vb. km.-nek azt a görbületét és a hozzátartozó nyomatékot, amikor a nyomott, felső szélső szálban az összenyomódás eléri a beton határösszenyomódásának értékét! h = 500 ⋅ mm b = 300 ⋅ mm

As

2

As = 1256.6⋅ mm

d = 450 ⋅ mm

b



ε c.E = 0.585 ⋅ ‰

10,7

0,585

3,5

fc.c = 10.7⋅

εc[% ]

fy = 434 ⋅

s

N 434

2

ε' s

-25

N 2

mm

ε s.E = 2.17⋅ ‰

mm

ε cu = 3.5⋅ ‰

kN

Ec = 18.3⋅

σ [MPa]

-2,17

2,17

2

25

s

ε su = 25⋅ ‰ Es = 200 ⋅

-434

mm

ε [%0]

kN 2

mm

σ' s

Megjegyzés: A példánkban szereplő a vb. keresztmetszet úgy kerül határállapotba, hogy nyomott szélső szálban az összenyomódás eléri a beton határösszenyomódásának értékét (εc,felső=εc,u=3,5%o). A feladat megoldása:

x .

εc.E

d

h

x

σ c

Belső erők

Fc.c,1 Fc.c,2

a

κ

y

As A

.

M z

f

{

M

A-A metszet

ε

{

A

εcu

fy

b

Fs

A semleges tengely helye a vetületi egyenletből meghatározható, feltételezve, hogy a betonacél képlékeny: 1 b ⋅ x III − a ⋅ fc.c + ⋅ b ⋅ a⋅ fc.c − As⋅ fy = 0 2

(

ε c.E ε cu

)

=

a x III

⎛

ε c.E

⎝

ε cu

b ⋅ ⎜ x III −

ebből

a=

⎞

1

⎠

2

⋅ x III⎟ ⋅ fc.c +

⎛ εc.E

⋅ b⋅ ⎜

⎝ εcu

ε c.E ε cu

⋅ x III

⎞

⋅ x III⎟ ⋅ fc.c − As⋅ fy = 0

⎠

ε cu A görbület értéke III. feszültségi állapotban: κIII := x III Az acélbetétek megnyúlása:

(

)

ε s := κIII⋅ d − x III a :=

ε c.E ε cu

ε s = 4.996 ⋅ ‰

⋅ x III

(

>

( )

x III := Find x III

x III = 185.4 ⋅ mm

κIII = 1.888 × 10

−5 1

ε c.E = 0.585 ⋅ ‰az acélbetétek valóban képlékenyek

a = 31⋅ mm

)

⎛ ⎝

M III := b ⋅ x III − a ⋅ fc.c⋅ ⎜ d −

x III − a ⎞ 2

1 2 ⎟ + ⋅ b ⋅ a⋅ fc.c⋅ ⎛⎜ d − x III + ⋅ a⎞⎟ 3 ⎠ ⎠ 2 ⎝ 9

M III = 199 ⋅ kN⋅ m

⋅

mm


II. gyakorlat II. GYAKORLAT

Hajlított vasbeton keresztmetszet ellenőrzése Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin

A számításokban feltételezzük, hogy: - a rúd tengelyére merőleges keresztmetszetek a deformációk után síkok és rúd tengelyére merőlegesek maradnak és - a beton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik Ezeken túl még azt is feltételezzük, hogy a beton III. feszültségi állapotban van és nyomott szélső szálában elérte a határösszenyomódását, azaz εc=εcu, - ez a feltevés biztos, hogy nem teljesül, ha a vasbeton keresztmetszet gyengén vasalt, mert az acél elszakad, mielőtt a beton szélső szálában létrejönne a határösszenyomódás - a feltevés teljesül normálisan vasalt keresztmetszet esetén, azaz az acél megfolyt és a betonban létrejön a törési összenyomódás - a feltevés teljesül túlvasalt keresztmetszet esetén is, azaz a betonban létrejön a törési összenyomódás, de az acél rugalmas állapotban van - A feladat megoldások során a beton esetén a következő anyagmodellt használjuk : - anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell c

-f -αf

σ (ε)

ck

Az EC-ben javasolt beton σ(ε) diagramok közül a legegyszerűbb ε cu − ε c1 3.5⋅ ‰ − 0.7⋅ ‰ - az ábra kitöltöttsége: c = = = 0.8 ε cu 3.5⋅ ‰

ck

α σcd(ε)

cd

ε [%0] ε =-0,7 ε =-3,5 1. ábra:A beton σ(ε) diagramja c

cu

c1

Természetesen lehetőség van, ennél pontosabb σ(ε)-diagram használatára is, de mivel a megkívánt számítási pontosságnak ez is megfelel, és a biztonság javára tér el a többi σ(ε)-diagramtól, ezért az egyszerűség kedvéért a továbbiakban ezt használjuk. (Az EC2-ben javasolt többi diagramot lásd a Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 163 old.) - beton biztonsági tényezője:

γc := 1.5

- működési tényező (kedvezőtlen hatásokat figyelembe vevő tényező):

α := 1

(Magyarországon)

ε cu := 3.5⋅ ‰

- beton határösszenyomodása:

- A feladat megoldások során az acél esetén a következő anyagmodellt használjuk : s

f yk f yd

σyk(ε) σyd(ε)

ε's

f yd εsu=2,5 Es

σ'yd(ε) σ'yk(ε)

ε [%] s

-f'yd -f'yk σs'

2. ábra:Az acél σ(ε) diagramja - acél biztonsági tényezője:

γs := 1.15

- acél határnyúlása:

ε su := 25⋅ ‰

- acél rugalmassági modulusa:

Es := 200000⋅

10

(általában) N 2

mm


II. gyakorlat

Annak szemléltetésére, hogy a relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzetének képletének kényelmes, általunk használt végleges formája, nem mértékegység konzekvens, mégis fizikai tartalommal bír, álljon itt a 560 képletének levezetése: ξ c0 = fyd + 700

αf cd .

x

xc=cx

d

.

{

cu

As

ε

σ

s

ε

b

s

σ

3. ábra: A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája Az x és az x c viszonya az 1. és a 3. ábra alapján belátható (hasonló háromszögek): vagy x c = 0.8x = c⋅ x xc −3.5‰ − 0.7‰ xc = x = 1.25x c = −3.5‰ x c Az acélban keletkező nyúlás (aránypárból a 3. ábra alapján):ε s = ε cu⋅ fyd Az acél folyik, ha ε s > Es fyd c⋅ d ε s = ε cu⋅ ⎛⎜ − 1⎞⎟ > ⎝ xc ⎠ Es xc d

<

(

)

c⋅ −ε cu ⋅ Es

(

)

fyd + −ε cu ⋅ Es

behelyettesítve

= ξ c0

d−x x

átrendezve

ahol

ξc =

xc

és

d

ε su := 25⋅ ‰ ; Es := 200000⋅

N 2

ξ c0 =

c⋅ ε cu⋅ Es fyd + ε cu⋅ Es

; c := 0.8

megkapjuk

mm

560 ξ c < ξ c0 = fyd + 700 és ha ez az egyenlőtlenség teljesül, akkor a húzott acélbetétek megfolynak Megjegyzés: a képletben az fyd N/mm2-ben van, de dimenzió nélkül kell beírni Használt képletek: 560

- relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a húzott acélbetétekhez:

ξ c0 =

- relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a nyomott acélbetétekhez:

ξć0 =

- a rugalmas, húzott acélbetétek esetén a redukált feszültség képlete:

560 σs = − 700 xc

fyd + 700 560 700 − fyd

d

- a rugalmas, nyomott acélbetétekben esetén a redukált feszültség képlete:

560 σ´s = 700 − xc d´

11


II. gyakorlat

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA NORMÁLISAN VASALT VB. KERESZTMETSZET 2.1.példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra:

500

450

M Ed=190 kNm Anyagok : Beton: C16/20 Betonacél: S500B

4ϕ20

300 Feladat definiálása: Geometria jellemzők definiálása : h := 500mm b := 300mm

d := 450mm 2


n := 4

darab

ϕ ⋅π As := n ⋅ 4

ϕ := 20mm

2

As = 1256.6⋅ mm

Anyagjellemzők definiálása: beton: C16/20 - a beton nyomószilárdságának karakterisztikus értéke: fck := 16⋅ - a beton nyomószilárdságának tervezési értéke:

- a beton húzószilárdságának várható értéke:

γc = 1.5

N 2

mm

fck fcd := γc fctm := 1.9

fcd = 10.7⋅

N 2

mm

N 2

mm

acél: S500B - az acél folyási határának karakterisztikus értéke:

- az acél folyási határának tervezési értéke:

- relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a húzott acélbetétekhez: - relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a nyomott acélbetétekhez:

fyk := 500 ⋅

N 2

mm

fyk fyd := γs ξ c0 :=

ξć0 :=

fyd = 434.8 ⋅ 560

fyd + 700 560 700 − fyd

x c0 := d ⋅ ξc0

12

γs = 1.15 N 2

mm

ξ c0 = 0.493

ξć0 = 2.111 x c0 = 222.1 ⋅ mm


II. gyakorlat

ε ε

Számítás:

σ

Belső erők

αf cd .

x

F =x b α f

xc

c

.

h

d

.

{

cu

As

ε f s

c*

*

zc

F =A f

yd

s

s*

*

cd

4. ábra: A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája és belső erői

yd

b Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak (σs=fyd) (T.f.h a km normálisan vasalt) A vetületi egyenlet: x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd = As⋅ fyd ahol

x c = 170.7 ⋅ mm

b = 300 ⋅ mm

α = 1.0

fcd = 10.7⋅

N

2

2

mm

As = 1256.6⋅ mm

fyd = 434.8 ⋅

N 2

mm

A feltevés ellenőrzése (relatív nyomott betonzóna magasság határhelyzete alapján) : xc A felt. helyes volt, az acélbetétek folyási állapotban vannak ξ c := ξ c = 0.379 < ξ c0 = 0.493 d vagy x c = 170.7 ⋅ mm <

x c0 = 222.1 ⋅ mm

Továbbá az acélbetétek megnyúlása: d− ε s := ε cu⋅

xc c

xc

ε s = 3.88⋅ ‰

<

ε su = 25⋅ ‰

acélbetétek nem szakadnak el

c

A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: xc ⎞ ⎛ M Rd := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ 2

⎝

ahol

b = 300 ⋅ mm

M Rd = 199.2 ⋅ kN⋅ m

M Rd = 199.2 ⋅ kN⋅ m

⎠

x c = 170.7 ⋅ mm >

α = 1.0

fcd = 10.7⋅

M Ed = 190 ⋅ kN⋅ m

N 2

d = 450 ⋅ mm

mm

a keresztmetszet hajlításra megfelel

13


II. gyakorlat TÚLVASALT VB. KERESZTMETSZET

2.2. példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra:

500

450

M Ed := 230 ⋅ kN⋅ m Anyagok : Beton: C16/20 Betonacél: S500B

6ϕ20

300 Feladat definiálása:

ε ε

σ

Belső erők

.

x

F =x b α f

xc

c

.

h

d

.

{

As

5. ábra: A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája és belső erői

αf cd

cu

ε σ s

c*

*

*

cd

zc

F =A σ

s

s

s*

s

b Geometria jellemzők definiálása : h := 500mm b := 300mm

d := 450mm n := 6


darab

2

ϕ ⋅π As := n ⋅ 4

ϕ := 20mm

2

As = 1885⋅ mm

Anyagjellemzők: lásd 2.1. példa Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak (T.f.h a km normálisan vasalt) A vetületi egyenlet: x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd = As⋅ fyd ahol

x c = 256.1 ⋅ mm

b = 300 ⋅ mm

α = 1.0

fcd = 10.7⋅

N

2

2

mm

As = 1885⋅ mm

fyd = 434.8 ⋅

N 2

mm

A feltevés ellenőrzése : xc A feltételezés nem volt helyes, az acélbetétek rugalmas állapotban vannak ξ c := ξ c = 0.569 > ξ c0 = 0.493 ( keresztmeteszet túlvasalt) d A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása σs = 560 ⎞ x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd = As⋅ ⎛ ⎜ x − 700⎟ c

⎜ ⎝

ahol

d

b = 300 ⋅ mm

⎟ ⎠

560 ⋅ d xc

− 700 képlettel:

(az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből a fizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladat megoldása során)

fcd = 10.7⋅

N

2

2

mm

As = 1885⋅ mm

14

x c = 230.8 ⋅ mm


II. gyakorlat

Acél rugalmasságának ellenőrzése: xc ξ c := ξ c = 0.513 > ξ c0 = 0.493 d Az acélban keletkező feszültség: σs :=

560 xc

az acélbetétek rugalmas állapotban vannak

− 700 σs = 391.8 ⋅

d

A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: xc ⎞ ⎛ M Rd := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ 2

⎝

ahol

b = 300 ⋅ mm

M Rd = 247.1 ⋅ kN⋅ m

⎠

x c = 230.8 ⋅ mm >

fcd = 10.7⋅

M Ed = 230 ⋅ kN⋅ m

N 2

mm

<

fyd = 434.8 ⋅

2

mm

M Rd = 247.1 ⋅ kN⋅ m

N 2

d = 450 ⋅ mm

mm


15

N


II. gyakorlat GYENGÉN VASALT VB. KERESZTMETSZET

2.3 példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra:

450

500

2ϕ12


300

Megoldás:

ε ε

σ

Belső erők

αf cd .

x

F =x b α f

xc

c

.

h

d

.

{

cu

As

ε f s

c*

*

*

Geometria jellemzők definiálása : h := 500mm b := 300mm d := 450mm

cd

zc

F =A f

yd

s

s*

yd

b 7. ábra: A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája és belső erői 2


n := 2

ϕ := 12mm

darab

Anyagjellemzők: lásd a 2.1. példában

ϕ ⋅π As := n ⋅ 4

Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak (T.f.h a km normálisan vasalt) A vetületi egyenlet: x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd = As⋅ fyd ahol

b = 300 ⋅ mm

α = 1.0

fcd = 10.7⋅

N mm

A feltevés ellenőrzése (aránypárral): σ(ε)-diagram kitöltöttsége: c := 0.8 Az acélban keletkező nyúlás: xc xc d − − d εs c c átrendezve = ε s := ε cu⋅ ε cu xc xc c

x c = 30.7⋅ mm 2

2

2

As = 226.2 ⋅ mm

As = 226.2 ⋅ mm

fyd = 434.8 ⋅

N 2

mm

ε s = 37.498⋅ ‰

c

ε E :=

rugalmássági határ:

fyd

ε E = 2.174 ⋅ ‰

Es

ε s = 37.498⋅ ‰

>

ε E = 2.174 ⋅ ‰

ezért az acél tényleg folyik

ε s = 37.498⋅ ‰

>

ε su = 25⋅ ‰

de el is szakadnak

A feltevés ellenőrzése (relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete alapján) : xc A felt. helyes volt, az acélbetétek folyási állapotban vannak ξ c := ξ c = 0.068 < ξ c0 = 0.493 d

16


II. gyakorlat

A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: A feltevés helytelen, ezért elvileg előről kell kezdeni a feladatot xc ⎞ ⎛ de könnyen belátható, hogy a vetületi és a nyomatéki M Rd := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ MRd = 42.7⋅ kN⋅ m egyenletben számszerűen semmi nem változik. 2

⎝

ahol

⎠

b = 300 ⋅ mm

x c = 30.7⋅ mm α = 1.0

M Rd = 42.7⋅ kN⋅ m

fcd = 10.7⋅

M Ed = 105 ⋅ kN⋅ m

<

N 2

d = 450 ⋅ mm

mm

a keresztmetszet hajlításra nem felel meg!!!!

Megjegyzés: az acélbetétek elszakadnak mielőtt a beton szélső szálában kialakulna határösszenyomódás (εcu=3,5 ‰ )

c

αf

ε c − 0.7⋅ ‰

ασ cd

cd

0,7

3,5

0.7⋅ ‰

< 0.8

ε [%0] c

Az ábra kitöltöttsége:

c

8. ábra: A beton σ(ε) diagramjának kitöltöttsége

c=

xc x

≠ 0.8

A gyengén vasalt km. határnyomatéka tehát a normálisan vasalt km.-tel azonos összefüggésekkel számítható, csak a tönkremenetel jellege és x c illetve x egymáshoz viszonyított aránya változik.

17


II. gyakorlat

KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA

500

2.4. példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: M Ed := 290 ⋅ kN⋅ m 2ϕ20 Anyagok :

6ϕ20

Beton: C16/20 Betonacél: S500B

300

Geometria jellemzők definiálása : h := 500mm b := 300mm kengyel:

ϕk := 10mm bf := 20mm δ := 10mm

betonfedés: a vasak kedvezőtlen elmozdulása:

2

ϕ ⋅π 2 As := n ⋅ As = 1885⋅ mm 4 Megjegyzés: Ha a keresztmetszetben az acélbetétek két vagy több sorban helyezkednek el, akkor számításban a súlypontjukban egyetlen acélkeresztmetszettel helyettesített acélbetétek hasznos magasságát a következőképpen számítjuk: n := 6

alkalmazott húzott vasalás:

ϕ := 20mm

12. ábra:Acélbetétek súlyvonala

ζ

.

darab

vasak közötti minimális távolság:

ζ := max( ϕ , 20mm)

alsó sorban levő vasak száma:

n alsó := 4

felső sorban levő vasak száma:

n felső := 2

ζ = 20⋅ mm

n felső ϕ ϕ ϕ d := h − bf − ϕk − − ⋅ ⎛⎜ + ζ + ⎞⎟ − δ 2 n felső + n alsó ⎝ 2 2⎠

hasznos magasság:

d = 436.7 ⋅ mm

2

n´ := 2

alkalmazott nyomott vasalás:

ϕ´ := 20mm

darab

ϕ´ d´ := bf + ϕk + +δ 2 Anyagjellemzők: lásd a 2.1. példában

ε ε

σ αf

cu

s

F' =A' σ' F =x b α f s

xc

c

4

2

A´s = 628.3 ⋅ mm

c*

13. ábra:A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája és a belső erők

s

s*

*

*

cd

h

d

σ' x

.

s .

A's

{

ε'

Belső erők

cd

ϕ´ ⋅ π

d´ = 50⋅ mm

hasznos magasság:

Számítás:

A´s := n´⋅

As

ε

s

σ

F =A σ

s

s

s*

s

b

Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek (σs=fyd) is, és a nyomott acélbetétek (σ ,s=fyd) is folynak A vetületi egyenlet: x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd + A´s⋅ fyd − As⋅ fyd = 0 ahol b = 300 ⋅ mm α = 1.0

fcd = 10.7⋅

N

2

2

mm

A´s = 628.3 ⋅ mm

18

2

As = 1885⋅ mm

x c = 170.7 ⋅ mm fyd = 434.8 ⋅

N 2

mm

Vasbetonszerkezetek I. A feltevés ellenőrzése : xc ξ c := ξ c = 0.391 d ξć :=

xc

ξć = 3.415

II. gyakorlat

< ξ c0 = 0.493

A feltételezés helyes volt, a húzott acélbetétek folyási állapotban vannak

> ξć0 = 2.111

A feltételezése helyes volt, a nyomott acélbetétek folyási állapotban vannak A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: xc ⎞ ⎛ M Rd := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ + A´s⋅ fyd⋅ ( d − d´) M Rd = 297.6 ⋅ kN⋅ m 2 ⎠ ⎝ N 2 N ahol b = 300 ⋅ mm x c = 170.7 ⋅ mm fcd = 10.7⋅ A´s = 628.3 ⋅ mm d = 436.7 ⋅ mm fyd = 434.8 ⋅ 2 2 mm d´ = 50⋅ mm mm d´

M Rd = 297.6 ⋅ kN⋅ m

>

M Ed = 290 ⋅ kN⋅ m

19



II. gyakorlat

2.5. példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: 2ϕ20

500

M Ed := 200 ⋅ kN⋅ m Anyagok :

4ϕ20


300

Geometria jellemzők definiálása : kengyel: ϕk := 10mm betonfedés: bf := 20mm

a vasak kedvezőtlen elmozdulása miatt: δ := 10mm 2

n := 4

alkalmazott húzott vasalás:

ϕ d := h − bf − ϕk − −δ 2

hasznos magasság:

n´ := 2

alkalmazott nyomott vasalás:

darab

2

As = 1256.6⋅ mm

d = 450 ⋅ mm 2

ϕ´ := 20mm

ϕ´ d´ := bf + ϕk + +δ 2

hasznos magasság:

ϕ ⋅π As := n ⋅ 4

ϕ := 20mm

darab

A´s := n´⋅

ϕ´ ⋅ π 4

2

A´s = 628.3 ⋅ mm

d´ = 50⋅ mm

Anyagjellemzők: lásd a 2.1. példában Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is folynak A vetületi egyenlet: x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd + A´s⋅ fyd − As⋅ fyd = 0 ahol b = 300 ⋅ mm α = 1.0 A feltevés ellenőrzése : xc ξ c := ξ c = 0.19 d ξć :=

xc d´

ξć = 1.707

fcd = 10.7⋅

N

x c = 85.4⋅ mm 2

2

mm

< ξ c0 = 0.493

A´s = 628.3 ⋅ mm

fyd = 434.8 ⋅

N

2

A = 1256.6⋅ mm 2 s mm

A felt. helyes volt, a húzott acélbetétek folyási állapotban vannak

< ξć0 = 2.111 A felt.nem volt helyes, a nyomott acélbetétek rugalmas állapotúak

A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása: (húzott acélbetétek folynak, nyomottak rugalmasak) 560 x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd + A´s⋅ ⎛ 700 − ⎜ xc

⎜ ⎝

d´

⎞ ⎟ − As⋅ fyd = 0 ⎟ ⎠

(az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből a fizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladat megoldása során) x c = 92.6⋅ mm

Megjegyzés: használatos még a redukált feszültség alábbi alakja is: Ez a forma az előbb alkalmazott képlet ellentettjét adja és egyébként 560 formailag egyezik a húzott oldali rugalmas acélbetét feszültségét számító σ´s := ⎛ − 700⎞ ⎜ x ⎟ képlettel. Tekinthetjük ezt egy általánosan használható képletnek, ami c ⎜ ⎟ mechanikai értelemben ad előjelhelyes eredményt, tehát húzott betonacél ⎝ d´ ⎠ esetén pozitív, nyomott esetén pedig negatív eredményt ad. Mindkét formula használható, de a zárójel előtti előjel úgy választandó, hogy a kifejezés előjele nyomott betonacél esetén a nyomott beton által képviselt erővel azonos (általában pozitív) előjelet adjon. A nyomatéki egyenletben azonos megoldást kell választanunk. mivel ez az előbbi alakkal ellentétes előjelű, ezért a vetületi egyenlet a alakja a következő: 560 ⎞⎤ x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd + A´s⋅ ⎡−⎛ ⎢ ⎜ x − 700⎟⎥ − As⋅ fyd = 0 x c = 92.6⋅ mm ⎢⎜ c ⎟⎥

⎣⎝

d

⎠⎦

20


II. gyakorlat

Feltétel ellenőrzése: xc ξ c := ξ c = 0.206 d ξć :=

xc d´

ξć = 1.853

< ξ c0 = 0.493

a húzott acél képlékeny

< ξć0 = 2.111

a nyomott acél rugalmas

nyomott acélban keletkező feszültség:

σ´s :=

560

− 700

xc

σ´s = −397.8 ⋅

d

N

σ´s = 397.8 ⋅ A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: xc ⎞ ⎛ M Rd := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ + A´s⋅ −σ´s ⋅ ( d − d´) 2

⎝

ahol

b = 300 ⋅ mm

M Rd = 219.6 ⋅ kN⋅ m

⎠

(

x c = 92.6⋅ mm >

)

fcd = 10.7⋅

2

mm

N

N (< fyd = 434.8 ⋅ ) 2 2 mm mm

M Rd = 219.6 ⋅ kN⋅ m N 2

mm

M Ed = 200 ⋅ kN⋅ m

21

d = 450 ⋅ mm

2

d´ = 50⋅ mm A´s = 628.3 ⋅ mm



II. gyakorlat

380 500

460

120

2.6. példa: Ellenőrizze az alábbi T keresztmetszetet (együttdolgozó lemez+gerenda) a megadott pozitív hajlítónyomatékra: 400 M Ed := 250 ⋅ kN⋅ m

Anyagok :

4ϕ25


240 Feladat definiálása:

b

h

t

Geometria jellemzők definiálása : h := 500mm b := 400mm d := 460mm (a fejlemez vastasága) t := 120mm (borda szélessége) b w := 240mm

As bw

2

- az alkalmazott húzott vasalás: n := 4

ϕ ⋅π As := n ⋅ 4

ϕ := 25mm

darab

Anyagjellemzők definiálása: beton: C16/20 fck := 16⋅

fck fcd := γc

N 2

mm

fcd = 10.7⋅

2

As = 1963.5⋅ mm

N 2

mm

acél: S400B fyk := 400 ⋅

fyk fyd := γs

N 2

mm

ξ c0 :=

fyd = 347.8 ⋅ 560

fyd + 700

N 2

mm

ξ c0 = 0.534

x

.

Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak és Tegyük fel, hogy a nyomott zóna a fejlemezben van αf cd Fc xc 17. ábra: A T-keresztmetszet ε −, σ −ábrája és a belső erők

As

Fs ε

A vetületi egyenlet:

σ

belső erők

x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd = As⋅ fyd ahol

A feltevés ellenőrzése : xc < ξ c := ξ c = 0.348 d x c = 160.1 ⋅ mm >

x c = 160.1 ⋅ mm

b = 400 ⋅ mm α = 1.0

fcd = 10.7⋅

N

2

2

mm

As = 1963.5⋅ mm

fyd = 347.8 ⋅

N 2

mm

ξ c0 = 0.534

a feltevés helyes, az acélbetétek folyási állapotban vannak

t = 120 ⋅ mm

a feltevés helytelen, a nyomott zóna a bordába nyúlik

Megjegyzés: ha xc

II. gyakorlat

x

xc

.

A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása αf cd

As

Fc

18. ábra: T-keresztmetszet ε −, σ −ábrája és a belső erők

Fs

ε

σ

belső erők

⎡⎣t⋅ ( b − bw) + x c⋅ bw⎤⎦ ⋅ α⋅ fcd = As⋅ fyd

x c = 186.8 ⋅ mm

b = 400 ⋅ mm b w = 240 ⋅ mm t = 120 ⋅ mm fcd = 10.7⋅

ahol

N

2

As = 1963.5⋅ mm

2

mm

>

t = 120 ⋅ mm

fyd = 347.8 ⋅

N 2

mm

A feltevés ellenőrzése : xc ξ c := ξ c = 0.406 < ξ c0 = 0.534 A felt. helyes volt, az acélbetétek folyási állapotban vannak d A nyomatéki egyenlet a húzott vasak súlyvonalára: x c ⎞⎤ ⎡ ⎛ t M Rd := ⎢t⋅ b − b w ⋅ ⎛⎜ d − ⎞⎟ + x c⋅ b w⋅ ⎜ d − ⎟⎥ ⋅ α⋅ fcd 2 2

⎣

ahol

(

)⎝

⎠

⎝

b = 400 ⋅ mm b w = 240 ⋅ mm

M Rd = 257.2 ⋅ kN⋅ m

>

M Rd = 257.2 ⋅ kN⋅ m

⎠⎦

t = 120 ⋅ mm

M Ed = 250 ⋅ kN⋅ m

fcd = 10.7⋅

N 2

mm

d = 460 ⋅ mm

x c = 186.8 ⋅ mm


23


III. gyakorlat

III. GYAKORLAT

Hajlított vasbeton keresztmetszet tervezése Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin

A számításokban feltételezzük, hogy: - a rúd tengelyére merőleges keresztmetszetek a deformációk után síkok és rúd tengelyére merőlegesek maradnak és - a beton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik A tervezés lehet: - Kötött tervezés: amikor a keresztmetszet beton kontúrja adott (azaz van egy adott méret, amekkora helyre egy gerendát meg kell tervezni), és vasalást kell megtervezni - Szabad tervezés:amikor a keresztmetszet, szélessége vagy magassága adott és a másikat kell számolni, vagy semmilyen kötöttség sincs a beton keresztmetszettel szemben (azaz a szélesség és magasság is ismeretlen és ekkor, úgy tehető a feladat matematikailag határozottá, ha ezek arányát megadjuk) és a vasalás is megtervezendő Tervezési irányelvei: - A vasbeton keresztmetszetet úgy célszerű megtervezni, hogy az acélbetétek folyási állapotban legyenek (tehát normálisan vasalt legyen) - A vasbeton keresztetszetben csak akkor alkalmazzunk nyomott vasalást, ha másképp nem kerülhető el, hogy a húzot acélbetét rugalmas állapotban legyen.

A KÖTÖTT TERVEZÉS (VASALÁS TERVEZÉSE) 3.1.példa: Tervezze meg az alábbi keresztmetszet hajlítási vasalását a megadott nyomatékra: M Ed := 80⋅ kN⋅ m

360

A nyomaték alul okoz húzást.

MEd Anyagok : Beton: C20/25 Betonacél: S500B

250 Anyagjellemzők: beton: C20/25 -beton anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell c

-f -αf

fck := 20⋅

σ (ε) α σ (ε)

ck

ck

cd

cd

ε

c1

=-0,7

ε

ε [%0] c

cu

=-3,5

fck fcd := γc

N 2

mm

fcd = 13.3⋅

N 2

mm

A beton σ(ε) diagramja

acél: S500B s

f f

σ (ε ) σ (ε )

yk

yk

yd

yd

ε'

f ε =2,5 E

s

yd

σ' (ε) σ' (ε) yd

yk

fyk := 500 ⋅

-f'yd -f'yk σ' s

ε [%] s

su

s

ξc0 :=

N 2

mm

560 fyd + 700

560 ξć0 := 700 − fyd

Az acél σ(ε) diagramja 24

fyk fyd := γs

fyd = 434.8 ⋅ ξc0 = 0.493 ξć0 = 2.111

N 2

mm


III. gyakorlat

A feladat megoldása: Geometria jellemzők definiálása : h := 360mm b := 250mm kengyel: ϕk := 10mm betonfedés:

bf := 20mm δ := 10mm

a vasak kedvezőtlen elmozdulása:

ϕ := 20mm

1. lépés: az acélbetétek feltételezett átmérője :

és feltételezzük egy sorban elfér a vasalás

ϕ d := h − bf − ϕk − −δ 2

feltélezett hasznos magasság:

d = 310 ⋅ mm

2. lépés: az M 0 meghatározása M 0 az a maximális nyomaték, amit keresztmetszet nyomott vasalás nélkül el tud viselni úgy, hogy a húzott acélbetétek folynak: - ha M0>MEd , akkor nem kell nyomott vasalás (A´s=0) - ha M0<MEd , akkor nyomott vasalást is alkalmazunk ( A´s ≠ 0 , ekkor a számítás feltevése: xc=xc0) x c0 := ξc0⋅ d

x c0 = 153 ⋅ mm

húzott acélok megfolynak

x c0 ⎞ ⎛ M 0 := b ⋅ x c0⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ 2 ⎠ ⎝ M 0 = 119.1 ⋅ kN⋅ m

.

.

x

F =x b α f

xc

c

d

.

h

As b

nem kell nyomott vasalás

αf cd

cu

{

ε

M Ed = 80⋅ kN⋅ m

>

ε σ s

ε

s

c*

*

cd

zc

F =A f s

σ

*

s*

yd

Belső erők

3. lépés: a nyomatéki egyenletből meghatározzuk az x c-t xc ⎞ ⎛ M Ed = x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ 2

⎝

ahol

M Ed = 80⋅ kN⋅ m

⎠

b = 250 ⋅ mm α = 1.0

fcd = 13.3⋅

x c = 90.7⋅ mm

N 2

mm

d = 310 ⋅ mm

4. lépés: Az acélbetétek állapotának ellenőrzése (elvileg ez felesleges, mert M0>MEd -ből ez nyilvánvaló): xc < az acélok megfolytak ξc := ξc = 0.293 ξc0 = 0.493 d 5. lépés: a húzott acélok szükséges keresztmetszeti területe a vetületi egyenletből: x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd − As⋅ fyd = 0 ahol

x c = 90.7⋅ mm

2

As = 695.2 ⋅ mm b = 250 ⋅ mm α = 1.0

25

fcd = 13.3⋅

N 2

mm

fyd = 434.8 ⋅

N 2

mm


III. gyakorlat

6. lépés: a szerkeztési szabályok a hosszvasalás mennyiségére [Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 208 old.]: fctm ⎛ ⎞ - minimális vasmennyiség: As.min := max⎜ 0.26⋅ ⋅ b ⋅ d , 1.3⋅ ‰⋅ b ⋅ d⎟ fyk ⎝ ⎠ 0.26⋅

ahol

fctm fyk

2

As.min = 100.8 ⋅ mm

2

⋅ b ⋅ d = 88.7⋅ mm 2

1.3⋅ ‰⋅ b ⋅ d = 100.8 ⋅ mm - maximális vasmennyiség: As.max := 4%⋅ b ⋅ d 2

2

As.min = 100.8 ⋅ mm < As = 695.2 ⋅ mm

2

As.max = 3100⋅ mm 2

As.max = 3100⋅ mm

<

megfelelő

7. lépés: az alkalmazott vasalás A leggyakrabban használt vasátmérőkkel a következő lehetősegeink vannak: 4 db φ16mm acélbetétek esetén As=804,2mm2 3db φ20mm acélbetétek esetén As=942,5mm2 2 db φ25mm acélbetétek esetén As=981,7mm2 2

legyen

ϕ ⋅π n := 4 db ϕ := 16mm As.alk := n ⋅ 4

2

2

As.alk = 804.2 ⋅ mm >

As = 695.2 ⋅ mm

8. lépés: a vasak elhelyezése: vasak közötti minimális távolság:

(

)

ζ := max( ϕ , 20mm)

(

ζ = 20⋅ mm

)

b req := bf + ϕk + n ⋅ ϕ + ( n − 1 ) ⋅ ζ + bf + ϕk elfér egy sorban b req = 184 ⋅ mm < b = 250 ⋅ mm 9. lépés: A vasbeton keresztmetszet ellenőrzése: a feltételezett helyett az alkalmazott méretekkel! ϕ a hasznos magasság: d alk := h − bf − ϕk − −δ d alk = 312 ⋅ mm 2 Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynak A vetületi egyenlet: x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd = As.alk⋅ fyd ahol

x c = 104.9 ⋅ mm

b = 250 ⋅ mm α = 1.0

Feltevés ellenőrzése : xc ξc = 0.293 ξc := d

fcd = 13.3⋅

N

2

As.alk = 804.2 ⋅ mm

2

mm

< ξc0 = 0.493

fyd = 434.8 ⋅

N 2

mm

A felt. jó volt, az acél folyási állapotban van

A nyomatéki egyenlet: xc ⎞ ⎛ M Rd := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ d alk − ⎟ ⎝ ahol2 ⎠ b = 250 ⋅ mm

M Rd = 90.8⋅ kN⋅ m

M Rd = 90.8⋅ kN⋅ m

x c = 104.9 ⋅ mm α = 1.0

>

M Ed = 80⋅ kN⋅ m

26

fcd = 13.3⋅

N 2

mm

d alk = ⋅ mm



III. gyakorlat

3.2.példa: Tervezze meg az alábbi keresztmetszet hajlítási vasalását a megadott nyomatékra:

360


MEd

250 A feladat megoldása: Anyagjellemzők: lásd 3.1. példa Geometria jellemzők definiálása : lásd 3.1. példa ϕ := 20mm és feltételezzük, hogy egy sorban elfér a ϕ´ := 20mm vasalás

1. lépés: az acélbetétek feltételezett átmérője:

ϕ d := h − bf − ϕk − −δ 2

hasznos magasságok:

d = 310 ⋅ mm

ϕ´ d´ := bf + ϕk + +δ 2 2. lépés: az M 0 meghatározása (előzővel azonos) x c0 := ξc0⋅ d

d´ = 50⋅ mm

x c0 = 153 ⋅ mm

x c0 ⎞ ⎛ M 0 := b ⋅ x c0⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ 2 ⎠ ⎝ M 0 = 119.1 ⋅ kN⋅ m

ε ε

σ αf cd

cu

x

σ'

s

F's=A's*f yd Fc=xc*b*α*f cd

xc

h

d

.

s

kell nyomott vasalás

Belső erők .

{

ε'

A's

M Ed = 150 ⋅ kN⋅ m

<

As

ε

σ

s

Fs=As*f yd

s

b

Ha nyomott acélbetét kell a keresztmetszetbe, akkor:x c := x c0 3. lépés: A nyomott acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc > ξć := ξć = 3.06 ξć0 = 2.111 d´

x c = 153 ⋅ mm

a nyomott acélok megfolynak

4. lépés: a nyomatéki egyenletből meghatározzuk az A´s-t M Ed = M 0 + A´s⋅ fyd⋅ ( d − d´) ahol

M Ed = 150 ⋅ kN⋅ m

2

A´s = 273.6 ⋅ mm

M 0 = 119.075 ⋅ kN⋅ m

fyd = 434.8 ⋅

N 2

d = 310 ⋅ mm

d´ = 50⋅ mm

mm

5. lépés: a húzott acélok szükséges keresztmetszeti területe a vetületi egyenletből: x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd + A´s⋅ fyd − As⋅ fyd = 0

2

As = 1446.4⋅ mm

ahol x c = 153 ⋅ mm b = 250 ⋅ mm α = 1.0

fcd = 13.3⋅

N

2

2

mm

A´s = 273.6 ⋅ mmfyd = 434.8 ⋅

6. lépés: a szerkeztési szabályok a hosszvaslás mennyiségére (lásd 3.1. példa) 2

2

As.min = 100.8 ⋅ mm < As + A´s = 1720⋅ mm

27

<

2

As.max = 3100⋅ mm

megfelelő

N 2

mm


III. gyakorlat

7. lépés: az alkalmazott vasalás A leggyakrabban használt vasátmérőkkel a következő lehetősegeink vannak: 7 db φ16mm acélbetétek esetén As= 1608.5 mm2 5 db φ20mm acélbetétek esetén As= 1570.8 mm2 3 db φ25mm acélbetétek esetén As= 1472.6 mm2 2 ϕ ⋅π n := 5 darab ϕ := 20mm As.alk := n ⋅ 4

2

2

As.alk = 1570.8⋅ mm > As = 1446.4⋅ mm

Megjegyzés: az alkalmazott acélbetéteknél hasonló vasalakok esetén egy átmérő maradjon ki, hogy a vasszerelésnél a kivitelezők nehogy összekeverjék őket n´ := 2

ϕ´ := 16mm

darab 2

A´s.alk := n´⋅

ϕ´ ⋅ π

2

2

A´s.alk = 402.1 ⋅ mm > A´s = 273.6 ⋅ mm

4

8. lépés: a vasak elhelyezése: ζ := max( ϕ , 20mm)

vasak közötti minimális távolság:

(

)

(

ζ = 20⋅ mm

)

b rec := bf + ϕk + n ⋅ ϕ + ( n − 1 ) ⋅ ζ + bf + ϕk elfér egy sorban a húzott vasalás b rec = 240 ⋅ mm < b = 250 ⋅ mm nyomott vasakat a keresztmetszet két sarkában helyezzük el 9. lépés: A vasbeton keresztmetszet ellenőrzés: a feltételezett helyett az alkalmazott méretekkel! ϕ hasznos magasság: d alk := h − bf − ϕk − −δ d alk = 310 ⋅ mm 2 ϕ´ dálk := bf + ϕk + +δ 2

dálk = 48⋅ mm

Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynak A vetületi egyenlet: x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd + A´s.alk⋅ fyd − As.alk⋅ fyd = 0 ahol b = 250 ⋅ mm fcd = 13.3⋅ A feltevés ellenőrzése : xc ξc := ξc = 0.4917 d alk xc ξć := ξć = 3.176 dálk

x c = 152.4 ⋅ mm

N

2

A = 1570.8⋅ mm 2 s.alk mm

2

A´s.alk = 402.1 ⋅ mm

fyd = 434.8 ⋅

N 2

mm

< ξc0 = 0.4935

A felt. jó volt, a húzott acél folyási állapotban van

> ξć0 = 2.111

A felt. jó volt, a nyomott acél folyási állapotban van

A nyomatéki egyenlet: xc ⎞ ⎛ M Rd := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ d alk − ⎟ + A´s.alk⋅ fyd⋅ d alk − dálk 2 ⎠ ⎝

(

ahol

b = 250 ⋅ mm x c = 152.4 ⋅ mm

M Rd = 164.6 ⋅ kN⋅ m

fcd = 13.3⋅ >

N

)

M Rd = 164.6 ⋅ kN⋅ m

N 2 A´s.alk = 402.1 ⋅ mm fyd = 434.8 ⋅ 2 2 mm mm M Ed = 150 ⋅ kN⋅ m

28

d alk = 310 ⋅ mm dálk = 48⋅ mm

a keresztmetszet hajlításra megfele


III. gyakorlat

A SZABAD TERVEZÉS (KERESZTMETSZET ÉS VASALÁS TERVEZÉSE) 3.3.példa: Tervezze meg a vasbeton keresztmetszetet a megadott nyomatékra:

M Ed := 1000⋅ kN⋅ m

A nyomaték alul okoz húzást. Anyagok : Beton: C25/30 Betonacél: S500B

h

M Ed As b

Anyagjellemzők: beton: C25/30

fck := 25⋅

N 2

mm

fck fcd := γc

fcd = 16.7⋅

fyk fyd := γs

fyd = 434.8 ⋅

N 2

mm

acél: S500B

fyk := 500 ⋅ ξc0 :=

N 2

mm

560

ξc0 = 0.493

fyd + 700

ξć0 :=

N 2

mm

560 700 − fyd

ξć0 = 2.111

A feladat kitűzése: Ismeretlenek: b, d, As, ( A´s),

xc Egyenletek: vetületi egyenlet és nyomatéki egyenlet Mivel négy (ill. 5) ismeretlent 2 egyenletből nem lehet meghatározni, további feltételeket kell állítanunk: 1. Nem alkalmazunk nyomott vasalást: A´s=0 2. x c-t úgy érdemes felvenni, hogy a betonacél folyási állapotban legyen például legyen a feladat megoldása során: ξc=0.4 < ξ c0=0.493 (S500B esetén), de ne legyen ξ c< < ξ c0

3. Felvehetjük szabadon - a keresztmetszet szélességét és számolhatjuk a magasságát vagy - a keresztmetsze magasságát (d hasznos magasságát) és számolhatjuk szélességét, - a kettő arányát, például legyen ez az arány a feladat megoldása során: d η = = 1.5 b Ezekkel a feltevéssekkel a feladat egyértelműen megoldható! A feladat megoldása:

αf cd

cu

.

x

F =x b α f

xc

c

.

h

d

.

{

ε

As b

ε σ s

ε

s

c*

zc

F =A f s

σ

*

s*

Belső erők

29

yd

*

cd


III. gyakorlat

1. lépés: a nyomatéki egyenlet felírása xc ⎞ ⎛ M Ed = x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ 2

⎝

M Ed =

d

3

η

⎛ ⎝

⋅ α⋅ fcd⋅ ξc⋅ ⎜ 1 −

η = 1.5

ahol

a feltevéseket behelyettesítve:

⎠

α= 1

ξc ⎞

2

⎟ ⎠ fcd = 16.7⋅

ebből d-t kifejezve: 3

N

ξc = 0.4

2

mm

M Ed = 1000⋅ kN⋅ m

η⋅ M Ed

d :=

⎛ ⎝

α⋅ fcd⋅ ξc⋅ ⎜ 1 −

ξc ⎞

⎟

d = 655.2 ⋅ mm

2 ⎠ 2. lépés: a keresztmetszet szélességének meghatározása: d b := 1.5

b = 436.8 ⋅ mm

3. lépés: a húzott acélok keresztmetszeti területe a vetületi egyenletbõl:

x c := ξc⋅ d x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd − As⋅ fyd = 0 ahol

b = 436.79⋅ mm α = 1.0

x c = 262.1 ⋅ mm

fcd = 16.7⋅

N 2

mm

fyd = 434.8 ⋅

N

2

As = 4388.1⋅ mm

2

mm

4. lépés: a szerkeztési szabályok a vasmennyiségre [2., Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 208 old.]:

fctm ⎛ ⎞ - minimális vasmennyiség: As.min := max⎜ 0.26⋅ ⋅ b ⋅ d , 1.3⋅ ‰⋅ b ⋅ d⎟ fyk ⎝ ⎠ 0.26⋅

ahol

fctm fyk

2

As.min = 372 ⋅ mm 2

⋅ b ⋅ d = 327.4 ⋅ mm 2

1.3⋅ ‰⋅ b ⋅ d = 372 ⋅ mm - maximális vasmennyiség: As.max := 4%⋅ b ⋅ d 2

2

As.min = 372 ⋅ mm < As = 4388.1⋅ mm

2

As.max = 11447.1 ⋅ mm 2

As.max = 11447.1 ⋅ mm megfelelő

<

5. lépés: az alkalmazott vasalás ϕk := 12mm betonfedés: bf := 20mm a vasak kedvezőtlen elmozdulása miatt:

kengyel:

δ := 10mm

A leggyakrabban használt vasátmérőkkel a következő lehetősegeink vannak: 22 db φ16mm acélbetétek esetén As= 4423.4 mm2 14 db φ20 mm acélbetétek esetén As= 4398.2 mm2 9 db φ25 mm acélbetétek esetén As= 4417.9 mm2 2 ϕ ⋅π n := 14 darab ϕ := 20mm As.alk := n ⋅ 4

30

2

As.alk = 4398.2⋅ mm >

2

As = 4388.1⋅ mm


III. gyakorlat

6. lépés: a vasak elhelyezése:

A vasak közötti minimális távolság: ζ := max( ϕ , 20mm)

ζ = 20⋅ mm

felső sorban levő vasak száma: n f := 5 alsó sorban levő vasak száma: n a := n − n f na = 9 b req := bf + ϕk + n a⋅ ϕ + n a − 1 ⋅ ζ + bf + ϕk b req = 404 ⋅ mm < b = 436.8 ⋅ mm tehát így elférnek két sorban, ezért b alk := 440mm 7. lépés: a tartó magassága nf ϕ ϕ ϕ h rec := bf + δ + ϕk + + ⋅ ⎛⎜ + ζ + ⎞⎟ + d h rec = 721.5 ⋅ mm h alk := 720mm 2 + 2 2⎠ nf na ⎝

(

)

(

)

(

)

8. lépés: A vasbeton keresztmetszet ellenőrzés: a feltételezett helyett az alkalmazott méretekkel!

nf ϕ ϕ ϕ hasznos magasság: d alk := h alk − bf − δ − ϕk − − ⋅ ⎛⎜ + ζ + ⎞⎟ 2 2⎠ nf + na ⎝ 2

d alk = 653.7 ⋅ mm

Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynak A vetületi egyenlet:

x c⋅ b alk⋅ α⋅ fcd = As.alk⋅ fyd ahol

x c = 260.8 ⋅ mm

b alk = 440 ⋅ mm α = 1.0

Feltevés ellenőrzése : xc ξc := ξc = 0.399 d alk

fcd = 16.7⋅

N

2

A = 4398.2⋅ mm 2 s.alk mm

< ξc0 = 0.493

( )

x c := Find x c fyd = 434.8 ⋅

N 2

mm

A felt. jó volt, az acél folyási állapotban van

A nyomatéki egyenlet:

xc ⎞ ⎛ M Rd := b alk⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ d alk − ⎟ 2 ⎠ ⎝ ahol

M Rd = 1000.8⋅ kN⋅ m

b alk = 440 ⋅ mm x c = 260.8 ⋅ mm α = 1.0

M Rd = 1000.8⋅ kN⋅ m

>

M Ed = 1000⋅ kN⋅ m

31

fcd = 16.7⋅

N 2

mm

d alk = 653.714 ⋅ mm



IV. gyakorlat

IV. GYAKORLAT

Külpontosan nyomott vasbeton keresztmetszet (Négyszög keresztmetszet teherbírási vonala) Készítették: Dr. Kiss Rita, Klinka Katalin és Völgyi István NYOMOTT-HAJLÍTOTT KM. ELLENŐRZÉSE "PONTOS" MÓDSZERREL 4.1. példa: Határozza meg a keresztmetszet határkülpontosságát a geometriai középponttól, ha a normálerő tervezési értéke: NEd=600 kN! Beton: C20/25 Betonacél: S400B

300

NEd=600 kN

3ϕ16

5ϕ20

Anyagjellemzők: beton: C20/25 fck := 20⋅

fck fcd := γc

N 2

mm

fcd = 13.3⋅

N

fctm := 2.2⋅

2

mm

N 2

mm

acél: S400B

ξc0 :=

N 2

mm

fyk fyd := γs

560 fyd + 700

560 ξć0 := 700 − fyd

fyd = 347.8 ⋅

N 2

mm

ξc0 = 0.534 ξć0 = 1.59

Geometria jellemzők definiálása : h := 500mm b := 300mm A keresztmetszet úgy van külpontos nyomással igénybevéve, hogy az egyik oldali acélbetétek nyomottak,míg a másik oldalon pedig húzottak lesznek. - az alkalmazott húzott vasalás:

n := 5

2

2

NEd

n´ := 3

ϕ´ := 16mm

darab 2

A´s := n´⋅

NEd

ϕ´ ⋅ π 4

A's

As = 1570.8⋅ mm

d := 450mm alkalmazott nyomott vasalás:

d'

ϕ := 20mm

darab

ϕ ⋅π As := n ⋅ 4

d

2

As

b

fyk := 400 ⋅

eRd d

A´s = 603.2 ⋅ mm

d´ := 50mm Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is húzásra ill. nyomásra folynak Számítás: A vetületi egyenlet: x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd + A´s⋅ fyd − As⋅ fyd = NEd x c = 234.1 ⋅ mm N 2 ahol b = 300 ⋅ mm α = 1.0 fcd = 13.3⋅ A´s = 603.2 ⋅ mm N 2 fyd = 347.8 ⋅ mm 2 2 mm As = 1570.8⋅ mm 32


IV. gyakorlat

A feltevés ellenőrzése : ξc :=

xc d xc

ξć := d´

ξc = 0.52

< ξc0 = 0.534

A felt. helyes volt, a húzott acélbetétek folyási állapotban vannak

ξć = 4.683

> ξć0 = 1.59

A felt. helyes volt, a nyomott acélbetétek folyási állapotban vannak

A nyomatéki egyenlet a geometriai középpontra: ⎛ h xc ⎞ h h M Rd := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ − ⎟ + A´s⋅ fyd⋅ ⎛⎜ − d´⎞⎟ + As⋅ fyd⋅ ⎛⎜ d − ⎞⎟ 2 2 2⎠ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ahol

N b = 300 ⋅ mm x c = 234.1 ⋅ mm fcd = 13.3⋅ 2 h = 500 ⋅ mm mm

2

As = 1570.8⋅ mm

2

A´s = 603.2 ⋅ mm

d = 450 ⋅ mm

fyd = 347.8 ⋅

d´ = 50⋅ mm

M Rd

eRd :=

A határkülpontosság:

M Rd = 275.7 ⋅ kN⋅ m N 2

mm

eRd = 459.6 ⋅ mm

NEd

(az erő támadáspontja keresztmetszeten kívül esik)

4.2. példa: Határozza meg a km. határerejét, ha a mértékadó külpontosság a geometriai középponttól mérve: eEd=700m (az ábra és az adatok u.a. mint 4.1.feladatnál!) Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is húzásra ill. nyomásra folynak 1. lehetőség: a nyomatéki egyenletbe behelyettesítjük a vetületi egyenletből kifejezett határerőt (2 egyenlet, 2 ismeretlen) NRd := b ⋅ α⋅ x c⋅ fcd + A´s⋅ fyd − As⋅ fyd

⎛ h xc ⎞ h h NRd⋅ eEd = b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ − ⎟ + A´s⋅ fyd⋅ ⎛⎜ − d´⎞⎟ + As⋅ fyd⋅ ⎛⎜ d − ⎞⎟ 2 2 2⎠ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ (az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből a fizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladat megoldása során) x c = 179.2 ⋅ mm 2. lehetőség: a nyomatéki egyenletet a határerő helyére írjuk fel xc ⎞ ⎛ h h h 0 = b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ eEd − + ⎟ + A´s⋅ fyd⋅ ⎛⎜ eEd − + d´⎞⎟ − As⋅ fyd⋅ ⎛⎜ eEd − + d⎞⎟ 2 2 2 2

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

(az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből a fizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladat megoldása során) x c = 179.2 ⋅ mm Feltevés ellenőrzése: xc < ξc0 = 0.534 a feltevés helyes, húzott acélbetétek megfolynak ξc := ξc = 0.398 d xc ξć := d´

ξć = 3.584

>

ξć0 = 1.59

a feltevés helyes,nyomott acélbetétek megfolynak

Így vetületi egyenletből az eEd-hez tartozó határerő értékét megkapjuk: NRd := b ⋅ α⋅ x c⋅ fcd + A´s⋅ fyd − As⋅ fyd ahol

b = 300 ⋅ mm α = 1.0

NRd = 380.3 ⋅ kN fcd = 13.3⋅

N

2

A´s = 603.2 ⋅ mm

2

mm

33

2

As = 1570.8⋅ mm

fyd = 347.8 ⋅

N 2

mm


IV. gyakorlat

NYOMOTT-HAJLÍTOTT KM. ELLENŐRZÉSE TEHERBÍRÁSI VONALLAL ÉS A KÖZELÍTŐ TEHERBÍRÁSI VONALLAL "KÖZELÍTŐ MÓDSZERREL" 4.3. Példa: Határozza meg a négyszögkeresztmetszet teherbírási vonalának a 10 jellemző pontját úgy, hogy a nyomatékokat a geometriai középpontra írja fel!

300

500

3ϕ16


5ϕ20

Anyagjellemzők definálása: (lásd 4.3. példa) Geometria jellemzők definiálása : (lásd 4.3. példa) - az alkalmazott húzott vasalás:

- az alkalmazott nyomott vasalás:

2

n 1 := 5 darab

ϕ1 := 20mm

d 1 := 450mm

a1 := 50mm

n 2 := 3 darab

ϕ2 := 16mm As2 := n 2 ⋅

d 2 := 50mm

a2 := 50mm

As1 := n 1 ⋅

ϕ1 ⋅ π 4

2

As1 = 1570.8⋅ mm

2

ϕ2 ⋅ π 4

2

As2 = 603.2 ⋅ mm

Megoldás: Megjegyzés: a feladatban a nyomatéki egyenleteket a geometriai középpontra írjuk fel A teherbírási vonal és a közelítő teherbírási vonal 1. pontja: a maximális nyomóerőhöz tartozó pont (központos nyomás)

ε σ 2%0 αf cd εs2 σs2

Fs2=As2 σs2 *

.

h

d

As2

Belső erők

As1

Központos nyomás esetén a beton

Fc=xc b α f cd összenyomódása nem lehet több 2 ‰-nél.

xc

*

*

*

Fs1=As1 σs1

εs1 σs1

*

b

A 2 ‰-es összenyomódáshoz tartozó N acélfeszültségek: σs := Es⋅ 2 ‰ σs = 400 ⋅ 2 mm

>

fyd = 347.8 ⋅

N 2

mm

az acélbetétek megfolynak, így σs1=σs2=fyd Megjegyzés: S500B esetén rugalmas lenne!

NRd.1 := b ⋅ h ⋅ α⋅ fcd + As1 ⋅ fyd + As2 ⋅ fyd h h M Rd.1 := As2 ⋅ fyd⋅ ⎛⎜ − d 2⎞⎟ − As1 ⋅ fyd⋅ ⎛⎜ d 1 − ⎞⎟ 2 2⎠ ⎝ ⎠ ⎝

NRd.1 = 2756.2⋅ kN M Rd.1 = −67.3⋅ kN⋅ m

A teherbírási vonal 2. pontja: az As1 jelű húzott acélbetét nyúlása zérus (nyomott acélbetétek az As2 )

ε

σ εsu=3.5%0 αf cd εs2 σs2

xc=0.8x

h As1

.

d=x

As2

Belső erők

ε

s1

Fs2=As2 σs2 Fc=xc b α f cd *

*

*

x := d 1 x c := 0.8⋅ x

*

x = 450 ⋅ mm x c = 360 ⋅ mm

=0

b

A nyomott acélbetétek állapotának ellenőrzése: ξć :=

xc d2

NRd.2 := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd + As2 ⋅ fyd

ξć = 7.2

>

ξć0 = 1.59

megfolynak, így σs2=fyd NRd.2 = 1649.8⋅ kN

⎛ h xc ⎞ h M Rd.2 := As2 ⋅ fyd⋅ ⎛⎜ − d 2⎞⎟ + b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ − ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 2 ⎠ 34

M Rd.2 = 142.8 ⋅ kN⋅ m


IV. gyakorlat

A teherbírási vonal 3. pontja és a közelítő teherbírási vonal 2 . pontja : A maximális nyomatékhoz tartozó pont (az As1 jelű húzott acélbetétek és nyomottak az As2 ) A maximális nyomaték helye közel esik, ahhoz a keresztmetszeti erőjátékhoz, ahol ξc=ξc0, (azaz a húzott acél a képlékeny és a rugalmas állapot határán van)

ε

σ

Belső erők

εs2

σs2

Fs2=As2*σs2 Fc=xc b*α*f cd

.

As2

xc=xc0

εsu=3.5%0 αf cd

ε =fEyds

As1

Fs1=As1 σs1

σs1

s1

b

*

*

A nyomott acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc > ξć0 = 1.59 ξć := ξć = 4.81 d2 NRd.3 := b ⋅ x c0⋅ α⋅ fcd + As2 ⋅ fyd − As1 ⋅ fyd

ahol σs1=fyd

x c0 := ξc0⋅ d 1 x c := x c0

x c0 = 240.5 ⋅ mm x c = 240.5 ⋅ mm

nyomott acélbetétek megfolynak, így σs2=fyd NRd.3 = 625.4 ⋅ kN

⎛ h xc0 ⎞ h h M Rd.3 := b ⋅ x c0⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ − ⎟ + As2⋅ fyd⋅ ⎛⎜ − d2⎞⎟ + As1⋅ fyd⋅ ⎛⎜ d1 − ⎞⎟ 2⎠ 2 ⎠ ⎝2 ⎝2 ⎠ ⎝

M Rd.3 = 276.1 ⋅ kN⋅ m

A teherbírási vonal 4.pontja és a közelítő teherbírási vonal 3 . pontja :: Tiszta hajlítás (N=0) (az As1 jelű húzott acélbetétek és nyomottak az As2 )

ε

σ

Belső erők

As1

σs2

εs1

.

εs2

As2

xc

εsu=3.5%0 αf cd

σs1

Fs2=As2 σs2 Fc=xc b α f cd *

*

*

*

Fs1=As1 σs1 *

b

Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is húzásra ill. nyomásra folynak 0 = b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd + As2 ⋅ fyd − As1 ⋅ fyd x c = 84.1⋅ mm Az acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc < ξc0 = 0.534 ξc := ξc = 0.187 a húzott acélbetétek megfolynak, így σs1=fyd d1 xc > ξć0 = 1.59 a nyomott acélbetétek megfolynak, így σs2=fyd ξć := ξć = 1.683 d2 (ellenőrzés) NRd.4 := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd + As2 ⋅ fyd − As1 ⋅ fyd NRd.4 = 0 ⋅ kN A vetületi egyensúlyi egyenlet:

⎛ h xc ⎞ h h M Rd.4 := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ − ⎟ + As2⋅ fyd⋅ ⎛⎜ − d2⎞⎟ + As1⋅ fyd⋅ ⎛⎜ d1 − ⎞⎟ 2⎠ ⎝2 2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ Egyszerűsített (közelíto) teherbírási vonal (a keresztmetszet geometriai középpontjára): N [kN] 1

3000 2000 1000 2 100

200

3

M [kNm]

35

M Rd.4 = 221.2 ⋅ kN⋅ m


IV. gyakorlat

A teherbírási vonal 5. pontja: .A húzott acélbetét eléri a határnyúlása értékét (az As1 jelű húzott acélbetétek és nyomottak az As2 )

ε

σ

Belső erők

σs2

εsu=25%

As1

Fc=xc*b*α*f cd Fs2=As2*σs2

.

εs2

As2

xc

εsu=3.5%0 αf cd

Fs1=As1*σs1

σs1

0

b

ahol σs1=fyd

Az ε-ábrából aránypár segítségével megkapjuk: 1.25⋅ x c d 1 − 1.25⋅ x c = 3.5⋅ ‰ 25⋅ ‰ Acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc < ξc := ξc = 0.098 d1 xc < ξć := ξć = 0.884 d2

x c = 44.2⋅ mm

ξc0 = 0.534

a húzott acélbetétek megfolynak, így σs=fyd

ξć0 = 1.59

a nyomott acélbetétek rugalmasak, így σs2=σ's

560 σ´s := 700 − ξć a nyomott acélban keletkező feszültség:

σ´s = 66.67 ⋅

N 2

mm

(< fyd = 347.8 ⋅

N 2

mm

NRd.5 := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd + As2 ⋅ σ´s − As1 ⋅ fyd

NRd.5 = −329.3 ⋅ kN (húzás)

⎛ h xc ⎞ h h M Rd.5 := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ − ⎟ + As2⋅ σ´s ⋅ ⎛⎜ − d2⎞⎟ + As1⋅ fyd⋅ ⎛⎜ d1 − ⎞⎟ 2 2 2⎠ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

M Rd.5 = 157.6 ⋅ kN⋅ m

A teherbírási vonal 6. pontja: Mindkét oldali acélbetétek húzottak és folynak

ε

σ

25%0

εs2=εsu

As1

εsu=25%

σs2

Fs2=As2 σs2

ahol σs2=fyd

Fs1=As1 σs1

ahol σs1=fyd

*

h

As2

Megjegyzés: a teljes beton km húzott, nem vesz fel erőt

Belső erők

0

σs1

*

b

(

)

NRd.6 := As2 + As1 ⋅ −fyd h h M Rd.6 := −As2 ⋅ fyd⋅ ⎛⎜ − d 2⎞⎟ + As1 ⋅ fyd⋅ ⎛⎜ d 1 − ⎞⎟ 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎝

NRd.6 = −756.2 ⋅ kN M Rd.6 = 67.3⋅ kN⋅ m

36

)


IV. gyakorlat

A teherbírási vonal 7. pontja: As2 jelű acélbetétek nyúlása zérus, az alsó szélső szál összemorzsolódik (az As1 jelű nyomott acélbetétek)

ε ε

=0

.

xc=0.8x

As1

s2

Belső erők

x=h-d 2

h

As2

σ

σs1

εs1

εsu=3.5%0 αf cd

b

Fc=xc b α f cd Fs1=As1 σs1 *

*

x := h − d 2

x c = 44.2⋅ mm

x c := 0.8⋅ x

x c = 360 ⋅ mm

*

*

A nyomott (As1 jelű) acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc > ξć0 = 1.59 ξć := ξć = 7.2 a1

a húzott acélbetétek megfolynak, így σs1=fyd

NRd.7 := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd + As1 ⋅ fyd

NRd.7 = 1986.4⋅ kN

⎛ h xc ⎞ h M Rd.7 := −As1 ⋅ fyd⋅ ⎛⎜ − a1⎞⎟ − b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ − ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 2 ⎠

M Rd.7 = −210.1 ⋅ kN⋅ m

A teherbírási vonal 8. pontja: A maximális negatív nyomatékhoz tartozó pont (az As1 jelű nyomott acélbetétek és húzottak lesznek az As2 ) A maximális nyomaték helye közel esik, ahhoz a keresztmetszeti erőjátékhoz, ahol ξc=ξc0, azaz As2 jelű acélbetét a rugalmas és a képlékeny állapot határán van, (ugyanaz az eljárás, mint a teherbírási vonal 3. pontjánál)

ε As2

σ

ε =fEyds

Belső erők

ahol σs2=fyd

Fs2=As2*σs2

σs2

s2

(

x c0 := ξc0⋅ h − d 2

b

σs1 .

As1

xc=xc0

x c := x c0

εs1

εsu=3.5%0 αf cd

)

x c0 = 240.5 ⋅ mm x c = 240.5 ⋅ mm

Fc=xc b α*f cd Fs1=As1*σs1 *

*

A nyomott (As1 jelű) acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc > ξć0 = 1.59 ξć := ξć = 4.81 a1 NRd.8 := b ⋅ x c0⋅ α⋅ fcd − As2 ⋅ fyd + As1 ⋅ fyd

⎛ h x c0 ⎞ − ⎟ − As2⋅ fyd⋅ ⎡⎢( h − d2 ) − 2 ⎠ ⎝2 ⎣

M Rd.8 := −b ⋅ x c0⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜

37

a nyomott acélbetétek megfolynak, így σs1=fyd NRd.8 = 1298.6⋅ kN h⎤

⎛ ⎥ − As1⋅ fyd⋅ ⎜ d1 − 2⎦ ⎝

h⎞

⎟

2⎠

M Rd.8 = −276.1 ⋅ kN⋅ m


IV. gyakorlat

A teherbírási vonal 9.pontja: Tiszta hajlítás (N=0) (az As1 jelű nyomott acélbetétek és húzottak lesznek az As2 ) Ebben az esetben a keresztmetszet úgy megy tönkre, hogy - nyomott acélbetétek rugalmasak maradnak, - húzott acélbetétek pedig elszakadnak és - betonban nem jön létre a törési összenyomódás

ε

σ

εs2

Fs2=As2 σs2

σs2

*

h

As2

Belső erők

As1

.

εsu=3.5%0 αf cd

b

Fc=xc*b*α*f cd Fs1=As1*σs1

σs1

xc

εs1

Tegyük fel, hogy a nyomott acélbetétek rugalmasak és a húzott acélbetétek megfolynak! A vetületi egyensúlyi egyenlet: 560 0 = x c⋅ b ⋅ α⋅ fcd + As1 ⋅ ⎛⎜ 700 − xc ⎜

⎜ ⎝

d2

⎞⎟ − A ⋅ f (az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből a s2 yd fizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladat ⎟ megoldása során) ⎟ ⎠

x c = 41.6⋅ mm

Az acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc < ξc := ξc = 0.093 h − a2 xc < ξć := ξć = 0.833 a1 nyomott acélban keletkező feszültség:

(ellenőrzés)

ξc0 = 0.534

a húzott acélbetétek megfolynak, így σs2=fyd

ξć0 = 1.59

a nyomott acélbetétek rugalmasak, így σs1=σ's

560 σ´s := 700 − ξć

σ´s = 27.54 ⋅

NRd.9 := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd + As1 ⋅ σ´s − As2 ⋅ fyd

N 2

mm

(< fyd = 347.8 ⋅

⎛ h xc ⎞ h − ⎟ − As2⋅ fyd⋅ ⎛⎜ − d 2⎞⎟ − As1⋅ σ´s⋅ ⎛⎜ d 1 − 2 2 ⎝ ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝

h⎞

⎟

2⎠

N [kN]

8

Megjegyzés: a keresztmetszet teherbírási vonala bizonyítottan konvex, így a biztonság javára közelítünk, ha a meghatározott pontokat egyenesekkel kötjük össze, és mivel elég sok pontot határoztunk meg, így nem durva a közelítés

3000 2000

2

1000 3 300

200

9 100

100

200 5

)

mm

M Rd.9 = −88.8⋅ kN⋅ m

Az adott keresztmetszet teherbírási vonala (a keresztmetszet geometriai középpontjára):

7

2

NRd.9 = −0 ⋅ kN

M Rd.9 := −b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜

1

N

4

1000 6

38

M [kNm]


IV. gyakorlat

4.4. Példa: Határozza meg a négyszögkeresztmetszet közelítő teherbírási vonalának pontjait úgy, hogy a nyomatékokat a nyomási teherbírási középpontra írja fel!

300

500


3ϕ16 5ϕ20 Anyagjellemzők definálása: (lásd 4.3. példa) Geometria jellemzők definiálása : (lásd 4.3. példa) Megoldás:

h

d=x

M

c

As2 T

M=cN N

N

As1 b

Ekkor a normálerő külpontosságát a nyomási teherbírási középpontból mérjük. Ha normálerő a teherbírási középpontban hat a keresztmetszetre, akkor a keresztmetszet minden pontjában a beton törési összenyomódásával megegyező értékű lesz a megnyúlás. [Kollár, 104. old] A teherbírási vonal 1. pontja: a maximális nyomóerőhöz tartozó pont (központos nyomás)

ε σ 2%0 αf cd εs2 σs2

Fs2=As2 σs2 *

.

h

d

As2

Belső erők

As1

Fc=xc b α f cd

xc

*

*

*

Fs1=As1 σs1

εs1 σs1

*

b

A 2 ‰-es összenyomódáshoz tartozó N acélfeszültségek: σs := Es⋅ 2 ‰ σs = 400 ⋅ 2 mm

<

fyd = 347.8 ⋅

N 2

az acélbetétek megfolynak, így σs1=σs2=fyd

mm

NRd.1 := b ⋅ h ⋅ α⋅ fcd + As1 ⋅ fyd + As2 ⋅ fyd A nyomatéki teherbírás a geometriai középpontban: h h M Rd.1 := As2 ⋅ fyd⋅ ⎛⎜ − d 2⎞⎟ − As1 ⋅ fyd⋅ ⎛⎜ d 1 − ⎞⎟ 2 2

⎝

⎠

⎝

NRd.1 = 2756.2⋅ kN M Rd.1 = −67.3⋅ kN⋅ m

⎠

Teherbírási középpontnak a geometriai középponttól mért távolsága: c :=

M Rd.1

NRd.1 A nyomatéki teherbírás a teherbírási középpontban: M Rd.1 := M Rd.1 − NRd.1⋅ c A teherbírási vonal 2. pontja : A maximális nyomatékhoz tartozó pont (az As1 jelű húzott acélbetétek és nyomottak az As2 ) A maximális nyomaték helye közel esik, ahhoz a keresztmetszeti erőjátékhoz, ahol ξc=ξc0, (azaz a húzott acél a képlékeny és a rugalmas állapot határán van)

ε

σ

As1 b

xc=xc0

σs2

.

εs2

ε =fEyds s1

M Rd.1 = 0 ⋅ kN⋅ m

Belső erők

εsu=3.5%0 αf cd As2

c = −24.4⋅ mm

σs1

Fs2=As2*σs2 Fc=xc b*α*f cd *

Fs1=As1 σs1 *

39

ahol σs1=fyd

x c0 := ξc0⋅ d 1 x c := x c0

x c0 = 240.5 ⋅ mm x c = 240.5 ⋅ mm


IV. gyakorlat

A nyomott acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc > ξć0 = 1.59 ξć := ξć = 4.81 d2 NRd.2 := b ⋅ x c0⋅ α⋅ fcd + As2 ⋅ fyd − As1 ⋅ fyd

nyomott acélbetétek megfolynak, így σs2=fyd NRd.2 = 625.4 ⋅ kN

A nyomatéki teherbírás a geometriai középpontra: ⎛ h xc0 ⎞ h h M Rd.2 := b ⋅ x c0⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ − ⎟ + As2⋅ fyd⋅ ⎛⎜ − d2⎞⎟ + As1⋅ fyd⋅ ⎛⎜ d1 − ⎞⎟ 2 2 2⎠ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ M Rd.2 := M Rd.2 − NRd.2⋅ c

A nyomatéki teherbírás a teherbírási középpontban:

M Rd.2 = 276.1 ⋅ kN⋅ m M Rd.2 = 291.3 ⋅ kN⋅ m

A teherbírási vonal 3. pontja: Tiszta hajlítás (N=0) (az As1 jelű húzott acélbetétek és nyomottak az As2 )

ε

σ

Belső erők

As1

σs2

εs1

Fs2=As2*σs2 Fc=xc*b*α*f cd

.

εs2

As2

xc

εsu=3.5%0 αf cd

Fs1=As1*σs1

σs1

b

Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is húzásra ill. nyomásra folynak 0 = b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd + As2 ⋅ fyd − As1 ⋅ fyd x c = 84.1⋅ mm Az acélbetétek állapotának ellenőrzése: xc < ξc0 = 0.534 ξc := ξc = 0.187 a húzott acélbetétek megfolynak, így σs1=fyd d1 xc > ξć0 = 1.59 a nyomott acélbetétek megfolynak, így σs2=fyd ξć := ξć = 1.683 d2 ellenőrzés: NRd.3 := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd + As2 ⋅ fyd − As1 ⋅ fyd NRd.3 = 0 ⋅ kN A vetületi egyensúlyi egyenlet:

A nyomatéki teherbírás geometriai középpontra: ⎛ h xc ⎞ h h M Rd.3 := b ⋅ x c⋅ α⋅ fcd⋅ ⎜ − ⎟ + As2⋅ fyd⋅ ⎛⎜ − d2⎞⎟ + As1⋅ fyd⋅ ⎛⎜ d1 − ⎞⎟ 2 2 2⎠ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ M Rd.3 := M Rd.3 − NRd.3⋅ c Egyszerűsített teherbírási vonal a keresztmetszet teherbírási középpontjára: A nyomatéki teherbírás a teherbírási középpontban:

N [kN] 1

1

3000 2000

geometriai kp.-ra teherbírási kp.-ra

1000

2 2 100

200

3

M [kNm]

40

M Rd.3 = 221.2 ⋅ kN⋅ m M Rd.3 = 221.2 ⋅ kN⋅ m


IV. gyakorlat

4.5. Példa:. Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott ferde külpontos nyomóerőre a közelítő teherbírási vonallal! NEd := 750kN

60

x y

eEd.x := 90mm

eEd.y

eEd.y := 60mm 90

Ed.x

Ha az egyszerűsített teherbírási vonal az x-z síkban: N x [kN] 2000

1

1000 N Ed

2

NRd.x.1 := 1950kN NRd.x.2 := 760.3kN

M Rd.x.1 := 0kN⋅ m

NRd.x.3 := 0kN

M Rd.x.3 := 36.36kN⋅ m

M Rd.x.2 := 117.2kN⋅ m

Mx [kNm] 3 MR.x100

Ha az egyszerűsített teherbírási vonal az y-z síkban:

Ny [kN] 2000 1 1000 NEd

NRd.y.1 := 1950kN NRd.y.2 := 728.7kN

M Rd.y.1 := 0kN⋅ m

NRd.y.3 := 0kN

M Rd.y.3 := 27.18kN⋅ m

M Rd.y.2 := 77.4kN⋅ m

2 MR.y100

My [kNm]

Megoldás: M Ed.x := NEd ⋅ eEd.x

M Ed.x = 67.5⋅ kN⋅ m

M Ed.y := NEd ⋅ eEd.y

M Ed.y = 45⋅ kN⋅ m

A határnyomaték az x-z síkban: M Rd.x.2 − M R.x M Rd.x.2 − M Rd.x.3 = NRd.x.2 − NEd NRd.x.2 − NRd.x.3 M R.x = 116.1 ⋅ kN⋅ m

>

megfelel, hiszen az igénybevételi pár a M Ed.x = 67.5⋅ kN⋅ m teherbírási vonalon belül esik

A határnyomaték az y-z síkban: M Rd.y.2 − M R.y M Rd.y.2 − M Rd.y.1 = NEd − NRd.y.2 NRd.y.1 − NRd.y.2 M R.y = 76.1⋅ kN⋅ m

>

M Ed.y = 45⋅ kN⋅ m

41

megfelel, hiszen az igénybevételi pár a teherbírási vonalon belül esik


IV. gyakorlat

N Megjegyzés: Ha a vb. keresztmetszet ferde külpontos nyomóerővel van terhelve, akkor MEd.x. és MEd.y kétirányú hajlítónyomatékkal van igénybevéve. Azt, hogy (NEd, MEd.x). és (NEd, MEd.y) az igénybevételpárokat képes-e viselni a közelítő térbeli teherbírási felülettel dönthetjük el. Ha az igénybevételpárok a teherbírási felületen belül esnek, akkor a vb. keresztmetszet ferde hajlításra megfelel.

My

Mx

Ferde külpontos nyomásnál a két nyomatéki igénybevétel egyszerre hat, így a keresztmetszetnek ki kell elégítenie a következő feltételt is [Farkas-Huszár-Kovács-Szalai, 161. oldal]: Tehát a teherbírási felület az NEd=750kN síkkal való metszeténél kell vizsgálni, hogy a nyomaték pár a teherbírási vonalon belül esik-e: a

a

ahol

⎛ Mx.Ed( N) ⎞ ⎛ My.Ed( N) ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ≤ 1.0 M x.Rd( N) M y.Rd( N) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

M x.Ed( N) = M Ed..x M x.Rd( N) = M R.x M y.Ed( N) = M Ed.y M y.Rd( N) = M R.y

négyszög keresztmetszet esetén: 2

Ac := b ⋅ h

- a teljes betonkeresztmetszet:

Ac = 150000⋅ mm 2

As := As1 + As2 -az elméletileg központos normálerő-teherbírás tervezési értéke: NRd := Ac⋅ fcd + As⋅ fyd

As = 2174⋅ mm

- a hosszvasalás mennyisége:

NRd = 2756.2⋅ kN

NEd = 750 ⋅ kN NEd

= 0.272 NRd - az a meghatározásához a táblázat szerint interpolálni kell:

a=1,0 a=1,5 a=2,0

My NEd/NRd 0,1 0,7 1,0 a 1,0 1,5 2,0

Mx

0.7 − így:

0.7 − 0.1 1.5 − 1.0

=

NEd NRd

1.5 − a

a = 1.143 a

a

⎛ MEd.x ⎞ ⎛ MEd.y ⎞ ⎜M ⎟ +⎜ ⎟ = 1.087 ⎝ R.x ⎠ ⎝ MR.y ⎠ 67,5 116,1

>1

tehát a keresztmetszet a ferde hajlításra nem felel meg!

M y [kNm]

45 76,1 M x [kNm] 42


V. gyakorlat anyaga

V. GYAKORLAT

Vasbeton gerendák nyírásvizsgálata Készítették: Friedman Noémi , Dr. Huszár Zsolt, Völgyi István A nyírási teherbírás megfelelő, ha a következő követelmények mindegyike egyidejűleg teljesül: • a keresztmeszet nyírási teherbírására vonatkozóan: min(VEd, VEd,red) ≤ VRd,s •

a beton (nyírásból származó) ferde nyomási teherbírására vonatkozóan:

VEd ≤ VRd,max A fenti összefüggésekben: VEd a külső terhekből és terhelő hatásokból a statikai vázon meghatározott nyíróerő tervezési értéke VEd,red a külső terhekből és terhelő hatásokból meghatározott nyíróerő tervezési értéke, mely tartalmazza: az axiális igénybevételek tangenciális összetevőinek nyíróerőt módosító hatását, a tartószerkezet ellentétes oldalán működő terhelés és megtámasztás közötti „ívhatást”. a méretezett nyírási vasalással ellátott keresztmetszet nyírási teherbírása VRd,s VRd,max a beton ferde nyomási teherbírása alapján számított nyírási teherbírás. A keresztmetszetben csak minimális (nem méretezett) nyírási vasalást kell elhelyezni ha: min(VEd, VEd,red) ≤ VRd,c ahol: VRd,c

-

a méretezett nyírási vasalás nélküli keresztmetszet nyírási teherbírása.

A megtámasztás környezetében kialakuló közvetlen teherátadás (redukció)

p

F

d 0,5d d 2d

F

VEd,max VEd,red VEd

1. ábra: Az av < 2d szakaszon belül csak megoszló teher működik

43


V. gyakorlat anyaga

Amennyiben a teher a szerkezetnek az alátámasztással ellentétes oldalán működik, továbbá a támasz szélétől av ≤ 2d távolságon belül csak megoszló teher hat, akkor megengedett, hogy a támasz tengelyétől d távolságon belül a VEd,red redukált nyíróerő diagrammját az 1. ábra szerint vegyük fel. Ez az eljárás csak akkor alkalmazható, ha a vizsgált keresztmetszetben lévő hosszvasalás a támasz mögött megfelelően le van horgonyozva. Ha a támasz közelében koncentrált erők is hatnak, akkor a redukció részleteit az MSZ EN 1992-1-1 taglalja. Méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírása A méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírását (VRd.c) a nyomott zóna nyírási teherbírása biztosítja. A keresztmeszet nyírási teherbírása – ha hajlítási repedések lépnek fel – a következőképpen számítható:  0,18  VRd,c =  k (100 ρ l f ck )1 / 3 + 0 ,15 σ cp bw d ≥ v min + 0,15 σ cp bw d  γc 

(

)

ahol: fck [N/mm2]-ben értendő k=1+ ρ? = Asl bw σcp NEd Ac vmin

200 ≤ 2,0 d

melyben d mm-ben értendő

Asl ≤ 0,02 bw d - a vizsgált keresztmetszeten (lehorgonyzási hossz + d) távolsággal túlvezetett húzott oldali hosszvasalás keresztmetszeti területe, melybe a tapadásos feszítőbetét is beszámítható, - a keresztmetszet legkisebb szélessége a húzott zónában, - σcp = NEd/Ac ≤ 0,2fcd , σcp értékét [N/mm2]-ben kell számítani (nyomás pozitív), - a vizsgált keresztmetszetben a külső terhekből és a feszítésből származó normálerő tervezési értéke (nyomás esetén pozitív). A terhelő mozgásokból származó normálerő figyelmen kívül hagyható, - a betonkeresztmetszet területe, értéke a következő: vmin = 0,035 k3/2fck1/2

Méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírása A méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírásának számítását a rácsostartó modellen alapuló, változó dőlésű rácsrúd módszere alapján kell végezni az alábbi ábrán látható modell alapján.

a

d

b

α

½

θ

a – nyomott öv

s

z z = 0,9d

V d

V ( cotθ− cotα)

F cd

½

z

N

M

V

F td

c

c – húzott öv

b – ferde nyomott betonrúd

d – nyírási vasalás

2. ábra: A változó dőlésű rácsrúd-módszer modellje A ferde nyomott betonrudaknak a tartó hossztengelyével bezárt θ szögét a következő korlátok betartásával úgy célszerű felvenni, hogy a vasalás kialakítása optimális legyen.

44


V. gyakorlat anyaga

A készülő NAD a következő utasítást adja *: Alacsonyabb minőség-ellenőrzési szint esetén (monolit, feszítetlen szerkezetek) 1,0 ≤ cotθ ≤ 1,3 korlátok betartása szükséges. Általában, pontosabb számítás hiányában cotθ=1,3 alkalmazható. Ha húzás vagy számottevő csavarás működik, cotθ=1,0! Magasabb minőség-ellenőrzés esetén (pl előregyártott vagy feszített tartók):

1,2 + 1,4 1,0 ≤

cot θ ≤ 1−

1  Vc =  β ct ⋅η1 ⋅ 0,1 ⋅ f ck3 

 σ ⋅ 1 + 1,2 ⋅ cd f cd 

σ cd f cd

Vc

≤ 2,0

VEd , red

  ⋅ bw ⋅ z , ahol βct = 2,4 ; η1 = 1 normálbeton esetén 

A beton ferde nyomási teherbírása a következő összefüggéssel számítható: cot θ + cot α VRd,max = αcw bw z ν fcd 1 + cot 2 θ ahol: αcw értéke:

1,0 1+

feszítés nélküli szerkezetek esetén

σ cp f cd

ha 0 < σcp ≤ 0,25fcd

1,25 ha 0,25fcd < σcp ≤ 0,5fcd  σ cp   ha 0,5fcd < σcp < fcd 2,51 − f cd   σcp - átlagos nyomófeszültség az ideális keresztmetszeten meghatározva. A támasz szélétől 0,5dcotθ távolságon belül értékét zérusnak lehet tekinteni. bw - a húzott és nyomott öv közötti legkisebb keresztmetszeti szélesség, z - a belső kar, normálerő (feszítés) nélküli elemek esetén általános esetben z = 0,9d érték alkalmazható. f   ν - hatékonysági tényező, általában: ν = 0,6 1 − ck   250  α

- a nyírási vasalás síkjának a tartó hossztengelyével bezárt szöge (kengyel esetén α = 90°, felhajlítás esetén α = 45°. )**.

A méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírása általános esetben a következő összefüggéssel határozható meg: VRd = VRd,s = ahol:

Asw

fywd s

Asw z fywd (cotθ + cotα) sinα s

-a nyírási vasalás keresztmetszeti területe

- a nyírási vasalás szilárdságának tervezési értéke. - kengyeltávolság a tartó hossztengelye mentén mérve.

Fontos: Laposabb nyomott beton rácsrúd felvételével a számított nyírási vas mennyisége csökkenthető,de a ferde nyomott beton rácsrúd vízszintes komponense ezzel párhuzamosan gyorsan nő. E többlet húzóerő felvételéről megfelelő húzott hosszvasalás elhelyezésével és lehorgonyzásával gondoskodni kell. Ez főleg a tartóvégen jelenthet számottevő többletvasalást. *Feszítés illetve normálerő nélküli esetekben az V. és VI. gyakorlat példáiban, a felkészülést segítő példákban, valamint a tervezési segédletben az egyszerűség kedvéért cotθ = 1,3-mal számoltunk. Normálerő nélküli esetben is megfontolandó a fenti képlet alkalmazása. **Amennyiben függőleges kengyelek és felhajlított acélbetétek is részt vesznek a nyírási teherbírásban, javasolt a biztonság javára történő közelítésként VRd,max fenti képletében α= 90 fokkal számolni. Vagy megengedett a Dulácska Endre és Kollár László (Deák György – Draskóczy András – Dulácska Endre – Koollár László – Visnovitz György: Vasbetonszerkezetek című könyve) által ajánlott (ctgθ + ctgα) / (1+ ctg2θ) = 0.75 (θ=45 fok esetén) pontosabb értékkel számolni.

45


V. gyakorlat anyaga

5.1. Koncentrált erővel tehelt konzol ellenőrzése nyírásra

Anyagok : Beton: C25/30 Betonacél: S400B Betonfedés:20 mm Kedv.elm.: 10 mm Kengy.táv: s = 150mm

5.1.1. Kiindulási adatok a.) Geometriai jellemzők: 2

2

A sl :=

4⋅ϕ ⋅π

A sl = 1257 ⋅ mm

4

⎛ ⎝

d := h − ⎜20 + 10 +

20 2

2

⎞ ⎠

+ 10⎟ mm

A sw :=

2 ⋅ ϕk ⋅ π

γc := 1.5

N

fck := 25

mm

Betonacél: S400B

2

d = 300 ⋅ mm

b.) Anyagjellemzők: Beton: C25/30

A sw = 157 ⋅ mm

4

γs := 1.15

fcd :=

2

N

fyk := 400

mm

2

fyd :=

fck

1.5

fyk

1.15

N

fcd = 16.67 ⋅

mm

fyd = 347.83 ⋅

2

N mm

2

5.1.2. Ellenőrzés nyírásra a.) Mértékadó nyíróerő meghatározása -A nyíróerő tervezési értéke: VEd := 120 kN

( VEd = V)

-A redukált nyíróerő: Mivel a befogás 2d = 600 mm hosszú környezetében nem hat a gerendára teher, a nyíróerő redukciója nem okoz változást. V Ed.red := V Ed

V Ed.red = 120 ⋅ kN

46


V. gyakorlat anyaga

b.) A beton által felvehető nyíróerő ( VRd.c ) Ameghatározása (normálerővel nem terhelt) méretezett nyírási vasalás nélküli kersztmetszet nyírási teherbírása ( VRd.c ): 1⎤ ⎡ ⎢ 0.18 3⎥ ⋅ k ⋅ ( 100 ⋅ ρl ⋅ fck) ⎥ ⎢ V Rd.c := max γ ⋅b ⋅d ⎢ c ⎥ w ⎢ ⎥ ν min ⎣ ⎦

⎛

200

⎝

d

ahol k: k := min⎜1 +

⎞

, 2.0⎟

⎠

⎞ ⎛ Asl , 0.02⎟ ⎜ bw ⋅ d ⎟ ⎝ ⎠

ρl := min⎜

ρl : ν min :

ν min := 0.035 ⋅ k

3 2

⋅ fck

200

k := 1 +

A sl

ahol:

1 2

k = 1.816

300

bw ⋅ d 3 2

1257

=

0.035 ⋅ 1.816 ⋅ 25

1 2

250 ⋅ 300

= 0.017

ρl = 0.017

= 0.428

1 ⎡ ⎤ ⎢ 0.18 ⎥ 3 V Rd.c := max ⎢ ⋅ 1.816 ⋅ ( 100 ⋅ 0.017 ⋅ 25) , 0.428⎥ ⋅ 250 ⋅ 300 ⋅ N ⎣ 1.5 ⎦

0.18

ahol

1.5

⋅ 1.816 ⋅ ( 100 ⋅ 0.017 ⋅ 25)

V Rd.c = 57.0 ⋅ kN <

1 3

= 0.760


szükség van nyírási vasalásra

c.) A nyomott beton tönkremenetele nélkül felvehető legnagyobb nyíróerő ( VRd.max ) meghatározása V Rd.max := αcw ⋅ bw ⋅ z ⋅ ν ⋅ fcd ⋅

cot ( θ) + cot( α)

1 + ( cot( θ) )

2

ahol: feszítés illetve nyomóerő nélküli keresztmetszet esetén;

αcw := 1 z := 0.9 ⋅ d

⎛

z = 270 ⋅ mm

ν := 0.6 ⋅ ⎜1 −

⎝

⎞ ⎟ 250 ⎠ fck

ahol

fck := 25

mm

ν = 0.540 α := 90 ⋅ fok θ

N 2

a nyírási vasalásnak (a kengyelnek) a tartó tengelyével bezárt szöge

a ferde nyomott beton rácsrúdnak a tartó hossztengelyével bezárt szöge cotΘ=1.3

V Rd.max := 1 ⋅ 250 ⋅ 0.9 ⋅ 300 ⋅ 0.54 ⋅ 16.67 ⋅

V Rd.max = 293.6 ⋅ kN >

1.3 + 0 2

(az egyszerű számítás kedvéért)

⋅N

1 + 1.3

V Ed = 120 ⋅ kN

A beton keresztmetszet geometriai méretei megfelelőek, a gerenda nyírásra vasalható.

47


V. gyakorlat anyaga

d) A méretezett nyírási vasalással ellátott vb keresztmetszet nyírási teherbírásának( VRd ) meghatározása (A VRd.c értékét, azaz a beton által felvehető nyíróerőt, az MSZ EN 1992-1-2 nem veszi figyelembe a V Rd számításánál.)

A kengyelek által felvehető nyíróerő ( VRd.s) meghatározása: V Rd.s :=

A sw ⋅ fyd s

2

157 ⋅ mm ⋅ 348 ⋅

V Rd := V Rd.s

mm

=

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cot ( θ)

N 2

150 ⋅ mm

⋅ 0.9 ⋅ 300 ⋅ mm ⋅ 1.3 = 127.8 ⋅ kN

V Rd = 127.8 ⋅ kN

e.) Teherbírás ellenőrzése V Ed.red = 120 ⋅ kN < V Rd = 127.8 ⋅ kN

A gerenda nyírási teherbírása megfelel.

f.) Szerkesztési szabályok ellenőrzése A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:

ρw :=

A sw

[1] A fajlagos mennyiség minimális értéke: ρw.min := ρw.min = 0.100 ⋅ % <

ρw = 0.419 ⋅ %

s ⋅ bw ⋅ sin( α)

0.08 ⋅

fck

fyk

0.08 ⋅

=

25

400

= 0.100 ⋅ %

Megfelel

ρw = 0.419 ⋅ %

[2] A fajlagos mennyiség maximális értéke:

ρw.max :=

1

⋅

αc ⋅ ν ⋅ fcd

2 1 − cos( α)

1 ⋅ 0.540 ⋅ 16.67 ⋅ ⋅

1 fyd

=

1 2

N mm

⋅

1

2 ⋅

1 347.8 ⋅

mm ρw.max = 1.294 ⋅ %>

ρw = 0.419 ⋅ %

>

s = 150 ⋅ mm

2

Megfelel

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: s max = 225 ⋅ mm

= 1.294 ⋅ %

N

s max := 0.75 ⋅ d = 0.75 ⋅ 300mm

Megfelel

[4] A gerendában felhajlított betét nincs, teljesül az a feltétel, hogy a nyíróerő legalább 50% -át kengyelekkel kell felvenni, ugyanis a nyíróerőt 100%-ban a kengyelek veszik fel.

48


V. gyakorlat anyaga

5.2. Határozza meg az adott keret A-B keresztmetszetek közötti szakaszán az alkalmazott kengyelek szükséges távolságát! P=200 kN

Anyagok :

q=8 kN/m g=4 kN/m


C Q=50kN Q=30 kN

2φ14

B

4φ20

φ10

Biztonsági tényezők:

A

γg := 1.35

γq := 1.5 γP := 1.5

Egyidejűségi tényezők egységesen:

ψ := 0.6

5.2.1. Kiindulási adatok a.) Geometriai jellemzők: 2

A sl :=

4⋅ϕ ⋅π 4

A sl = 1257 ⋅ mm

2

2

A'sl :=

2 ⋅ ϕ' ⋅ π

A'sl = 308 ⋅ mm

4

2

2

A sw :=

2 ⋅ ϕk ⋅ π 4

A sw = 157 ⋅ mm

2

d := 200 mm

d' := 50mm


γc := 1.5

N

fck := 25

mm

Betonacél: S500B

γs := 1.15

fyk := 500

fcd :=

2

N mm

2

fyd :=

fck

1.5

fyk

1.15

N

fcd = 16.67 ⋅

mm

fyd = 434.78 ⋅

2

N mm

2

5.2.2.Szükséges kengyeltávolság meghatározása a.) Mértékadó igénybevételek meghatározása A mértékadó nyíróerő az A-B szakaszon a kiemelt vízszintes Q teherből keletkezik: V A := γP ⋅ Q Q

P

=

V Ed.red := V A Ax

1.5 ⋅ 50 ⋅ kN V Ed.red = 75 ⋅ kN

VA

(

)

L

A mértékadó nyíróerővel egyidejű normálerő: NEd := γg ⋅ g + ψ ⋅ γq ⋅ q ⋅ − 2 N Ed = 189 ⋅ kN

49

Q ⋅ γP ⋅ H

2⋅L

+ ψ ⋅ γP ⋅ P


V. gyakorlat anyaga

b.) A nyomott beton által felvehető nyíróerő ( VRd.c ) meghatározása A méretezett nyírási vasalás nélküli kersztmetszet nyírási teherbírása ( VRd.c ): 1⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎢ ⎢ 0.18 ⎥ 3⎥ ⋅ k ⋅ ( 100 ⋅ ρl ⋅ fck) ⎥ ⎢ ⎢ V Rd.c := max γ + 0.15 ⋅ σcp⎥ ⋅ bw ⋅ d ⎢ ⎢ c ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ νmin ⎣ ⎣ ⎦ ⎦

⎛

200

⎝

d

ahol k:

k := min⎜1 +

ρl :

ρl := min⎜

σcp :

ν min :

⎞

, 2.0⎟

⎠

⎛ Asl ⎞ , 0.02⎟ ⎜ bw ⋅ d ⎟ ⎝ ⎠

σcp :=

N Ed

ν min := 0.035 ⋅ k

A sl

ahol:

⋅ fck

1 2

1257

=

bw ⋅ d

250 mm ⋅ 250 mm

3 2

k=2

200

189 ⋅ kN

=

b⋅ h

200

k := 1 +

250 ⋅ 200

= 3.024 ⋅

0.035 ⋅ 2 ⋅ 25

1 2

2

= 0.495

1 ahol ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎢ ⎢ 0.18 ⎥ ⎥ 3 V Rd.c := ⎢max⎢ ⋅ 2 ⋅ ( 100 ⋅ 0.02 ⋅ 25) , 0.495⎥ + 0.15 ⋅ 3.024⎥ ⋅ 250 ⋅ 200 ⋅ N ⎣ ⎣ 1.5 ⎦ ⎦ 0.18

1.5 V Rd.c = 66.9 ⋅ kN <


ρl = 0.020

N mm

3 2

= 0.025

⋅ 2 ⋅ ( 100 ⋅ 0.02 ⋅ 25)

1 3

= 0.884


c.) A nyomott beton tönkremenetele nélkül felvehető legnagyobb nyíróerő ( VRd.max ) meghatározása: Kengyel, azaz α := 90 ⋅ fok esetén a nyíróerő felső korlátja: V Rd.max := αcw ⋅ bw ⋅ z ⋅ ν ⋅ fcd ⋅

1 tan ( θ) + cot( θ)

ahol: αcw := 1 +

σcp

z := 0.9 ⋅ d

N

mivel σcp = 3.024 ⋅

fcd

mm

2

<

1 + ( cot( θ) )

0.25 ⋅ fcd = 4.167 ⋅

N mm

2

2

=

1 tan( θ) + cot ( θ)

αcw = 1.181

z = 180 ⋅ mm

⎛

ν := 0.6 ⋅ ⎜1 −

⎝

⎞ ⎟ 250 ⎠ fck

ahol

N

fck = 25 ⋅

mm

ν = 0.540 θ

cot ( θ) + cot( α)

Mivel α := 90 ⋅ fok esetén:

2

A ferde nyomott beton rácsrúdnak a tartó hossztengelyével bezárt szöge

⎛

mm

⎝

N

V c := 0.24 ⋅ ⎜fck ⋅

2⎞

⎟ ⎠

1 3

⎛ ⎜ ⎝

⋅ ⎜1 + 1.2 ⋅

σcp ⎞

⎟b

N

⎠

mm

fcd ⎟

w ⋅ z⋅

2

σ ⎞ ⎛ 3.02 ⎜ 1.2 + 1.4 ⋅ cp ⎟ 1.2 + 1.4 ⋅ fcd ⎟ ⎜ 16.67 θ := acot⎜ ⎟ ctg(θ)= Vc 38.46 ⎜ ⎟ 1− 1− 75 ⎜ VEd.red ⎟ ⎝ ⎠

V c = 38.455 ⋅ kN

* = 2.98

>2.0

θ := acot( 2.0) θ = 26.6 ⋅ deg

* ctg(θ) értéke nem lehet 2,0-nél nagyobb. Ha a számításból ennél nagyobb érték adódik, ctg(θ)=2,0.

50


V. gyakorlat anyaga

V Rd.max := 1.177 ⋅ 250 ⋅ 0.9 ⋅ 200 ⋅ 0.54 ⋅ 16.67 ⋅

1 0.5 + 2.0

V Rd.max = 190.7 ⋅ kN>

⋅N

V Ed := 75kN

A gerenda nyírásra bevasalható d.) A szükséges kengyeltávolság ( smax ) meghatározása: A megengedhető legnagyobb kengyeltávolság számításához a VEd.red ≤ VRd egyenlőtlenségre egyenlőséget feltételezve: V Rd := V Ed.red V Rd = 75 ⋅ kN V Rd.s := V Rd V Rd.s :=

A sw ⋅ fyd smin

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cot ( θ)

Asw ⋅ fyd

s max :=

V Rd.s

Az alkalmazott kengyeltávolság legyen:

s alk := 320 mm

Ekkor a kengyelek által felvehető nyíróerő:

V Rd.s :=

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ 2.0

A sw ⋅ fyd salk

e.) A szerkesztési szabályok ellenőrzése

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ 2.0

Asw

A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:

ρw :=

[1] A fajlagos mennyiség minimális értéke:

ρw.min :=

V Rd.s = 76.8 ⋅ kN

ρw = 0.196 ⋅ %

salk ⋅ bw ⋅ sin( α)

0.08 ⋅

s max = 328 ⋅ mm

fck

0.08 ⋅

=

fyk

ρw.min = 0.080 ⋅ % <

25

500

= 0.080 ⋅ %

ρw = 0.196 ⋅ %

Megfelel


ρw.max :=

1

⋅

αc ⋅ ν ⋅ fcd

2 1 − cos( α)

1 ⋅ 0.54 ⋅ 16.67 ⋅ ⋅

1 fyd

=

1 2

N mm

⋅

2

1

1

⋅

434.78 ⋅

mm ρw.max = 1.035 ⋅ %>

ρw = 0.196 ⋅ %

s alk = 320 ⋅ mm

2

Megfelel

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: s max.d = 150 ⋅ mm <

= 1.035 ⋅ %

N

= 0.75 ⋅ 200mm

s max.d := 0.75 ⋅ d

Nem felel meg!!!!

[4] A mértékadó nyíróerőt 100%-ban a kengyelek veszik fel > 50% A szerkesztési szabályok miatt módosított kengyeltávolság: Ekkor a kengyelek által felvehető nyíróerő:

V Rd.s :=

s alk := 150 mm

A sw ⋅ fyd salk

Megfelel

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ 2.0

V Rd.s = 163.9 ⋅ kN

e'.) A szerkesztési szabályok ellenőrzése a módosított kengyeltávolság esetén ρw :=

Asw salk ⋅ bw ⋅ sin( α)

[3] smax.d = 150 ⋅ mm =

ρw = 0.419 ⋅ %

s alk = 150 ⋅ mm

[1] ρw.min = 0.080 ⋅ % <

ρw = 0.419 ⋅ %

Megfelel

[2] ρw.max = 1.035 ⋅ %>

ρw = 0.419 ⋅ %

Megfelel

Megfelel

[4]

100% > 50%

Megfelel

Az A-B szakaszon a szükséges kengyeltávolság a nyírási teherbírás szempontjából 320mm, azonban a szerkesztési szabályok miatt legalább 150mm sűrűségű kengyeleket kell alkalmazni. A javasolt kengyeltávolság 150mm. 51


V. gyakorlat anyaga

5.3. Határozza meg a szükséges kengyeltávolságot (felhajlított vasat nem alkalmazunk)! pd= 125 kN/m

L=2.50

V [kN]

VEd.red V Ed

Anyagok :

d


5.3.1. Kiindulási adatok a.) Geometriai jellemzők: a := 60mm

h := 450 mm

b := 250 mm

d := ( h − a)

d = 390 ⋅ mm

L := 2.5m

2

A sl :=

6⋅ϕ ⋅π

A sl = 2945 ⋅ mm

4

2

Betonfedés:20 mm Kedv.elm.: 10 mm

2

A'sl :=

2 ⋅ ϕ' ⋅ π

A'sl = 402 ⋅ mm

4

2

2

A sw :=

2 ⋅ ϕk ⋅ π 4

A sw = 157 ⋅ mm

2


γc := 1.5

N

fck := 25

mm

Betonacél: S500B

γs := 1.15

fyk := 500

fcd :=

2

N mm

2

fyd :=

fck

1.5 fyk

1.15

N

fcd = 16.67 ⋅

mm

fyd = 434.78 ⋅

2

N mm

2

5.3.2.A Szükséges kengyeltávolságok meghatározása a.) Mértékadó igénybevételek meghatározása A mértékadó nyíróerő és a redukált nyíróerő a függőleges megoszló p teherből: pd := 125

kN m

V Ed := pd ⋅ L

V Ed = 312.5 ⋅ kN V Ed.red := V Ed − pd ⋅ d

52

V Ed.red = 263.8 ⋅ kN


V. gyakorlat anyaga

b.) A beton által felvehető nyíróerő ( VRd.c ) meghatározása A (normálerővel nem terhelt) méretezett nyírási vasalás Figyelem! Az egyes keresztmetszetekben csak nélküli keresztmetszet nyírási teherbírása ( VRd.c ): azt a hosszvasalást vehetjük számításba, amit a difinició szerint megfelelően túlvezettünk. A 1⎤ ⎡ konzol szabad vége környezetében ilyen ⎢ 0.18 3⎥ hosszvas nincs, ezért ott ρl=0. A tartó további ⋅ k ⋅ 100 ⋅ ρ ⋅ f ⎢ l ck ⎥ V Rd.c := max

⎢ ⎢ ⎣

(

γc

)

ν min

⎛

200

⎝

d

ahol k: k := min⎜1 +

⎛

ρl

⎥ ⎥ ⎦

⋅ bw ⋅ d

⎞

, 2.0⎟

k := 1 +

⎠

⎞

A sl

: ρl := min⎜ , 0.02⎟ ⎜ bw ⋅ d ⎟ ⎝ ⎠

ν min :

ν min := 0.035 ⋅ k

3 2

⋅ fck

szakaszán már figyelembe vehető lenne, de ott a mértékadó nyíróerő ezzel együtt is biztosan maghaladja VRd.c értékét. k = 1.716

390 A sl

ahol: 1 2

200

=

bw ⋅ d 3 2

0.035 ⋅ 1.716 ⋅ 25

1 2

0

=0

250 ⋅ 390

ρl = 0.020

= 0.393

1 ⎡ ⎤ ⎢ 0.18 ⎥ 1 3 V Rd.c := max ⎢ ⋅ 1.716 ⋅ ( 100 ⋅ 0 ⋅ 25) , 0.393⎥ ⋅ 250 ⋅ 390 ⋅ N ahol 0.18 3 ⎣ 1.5 ⎦ ⋅ 1.716 ⋅ ( 100 ⋅ 0.02 ⋅ 25)

1.5

V Rd.c = 38.3 ⋅ kN <

V Ed.red = 263.75 ⋅ kN

= 0.759


c.) A nyomott beton tönkremenetele nélkül felvehető legnagyobb nyíróerő ( VRd.max ) meghatározása: V Rd.max := αcw ⋅ bw ⋅ z ⋅ ν ⋅ fcd ⋅

1

(α = 90° esetén)

tan ( θ) + cot( θ)

ahol: (mivel a tartót nem terheli nomálerő)

αcw := 1 z := 0.9 ⋅ d

⎛

ν := 0.6 ⋅ ⎜1 −

⎝

θ

z = 351 ⋅ mm fck ⎞

⎟

250 ⎠

ahol

fck = 25 ⋅

N mm

2

ν = 0.540

A ferde nyomott beton rácsrúdnak a tartó hossztengelyével bezárt szöge cot( θ) = 1.3

V Rd.max := 1 ⋅ 250 ⋅ 0.9 ⋅ 390 ⋅ 0.54 ⋅ 16.67 ⋅

( 1.3 + 0 )N V Rd.max = 381.7 ⋅ kN

2

>

1 + 1.3

V Ed = 312.5 ⋅ kN

A gerenda nyírásra bevasalható

53


V. gyakorlat anyaga

d.) A szükséges kengyeltávolságok meghatározása: A nyírásra vasalandó szakasz hosszának meghatározása: Ott szükséges nyírási vasalás, ahol: V Rd.c < V Ed.red

Az ábra alapján:

(

)

tn := VEd − V Rd.c ⋅

L V Ed

tn = 2193 ⋅ mm

Nyírási vasalás számítása: "A-A' " szakaszon: Asw ⋅ fyd ⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cot( θ) s AA :=

s AA = 118.2 ⋅ mmAz alkalmazott kengyeltávolság

V Ed.red

s AA := 100 mm

ezen a szakaszon legyen:

A "C-D" szakaszon VRd.c > VEd , tehát itt nem szükséges méretezett nyírási vasalás, a kengyelkiosztást a szerkesztési szabályok határozzák meg: [1] A fajlagos mennyiség minimális értéke: ρw.min :=

ρw.min = 0.080 ⋅ %

s max1 :=

0.08 ⋅

fck

fyk

=

1

⋅

αc ⋅ ν ⋅ fcd

2 1 − cos( α)

1 fyd

=

1 2

N mm

⋅

= 0.080 ⋅ %

s max1 = 785 ⋅ mm

ρw.min ⋅ bw

1 ⋅ 0.540 ⋅ 16.67 ⋅ ⋅

25

500

A sw


ρw.max :=

0.08 ⋅

1

2

1

⋅

434.78 ⋅

mm ρw.max = 1.035 ⋅ %

s min :=

Asw ρw.max ⋅ bw

= 1.035 ⋅ %

N 2

s min = 61 ⋅ mm

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: smax2 := 0.75 ⋅ d= 0.75 ⋅ 390 mm smax2 = 293 ⋅ mm Legyen ezen a szakaszon az alkalmazott kengyeltávolság:

s CD := 280 mm

(

)

<

min s max1 , s max2 = 293 ⋅ mm

>

s min = 61 ⋅ mm

Az AA' szakaszra meghatározott kengyelezést az A'B szakaszra is kiterjesztjük:

s AB := 100 mm

Tehát legyen: A - B:

s AB = 100 ⋅ mm

B - C:

s BC := 160 mm *

C - D:

s CD = 280 ⋅ mm

*(Az

s BC kengyeltávolság az sAB és az sCD értékek között tetszőlegesen felvehető. Javasolt ezt az értéket úgy felvenni, hogy a

határnyíróerő ábra minnél szorosabban kövesse a mértékadó nyíróerőábrát.

54


V. gyakorlat anyaga

e.) A szerkesztési szabályok ellenőrzése, határnyíróerő ábra meghatározása: A - B szakasz: A határnyíróerő értéke:

V Rd.AB :=

A sw ⋅ fyd s AB

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cot ( θ)

Szerkesztési szabályok ellenőrzése: A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:

ρw :=

V Rd.AB = 311.6 ⋅ kN

A sw

> VEd.red = 263.8 ⋅ kN

ρw = 0.628 ⋅ %

sAB ⋅ bw

[1] A fajlagos mennyiség minimális értéke: ρw.min = 0.080 ⋅ % <

ρw = 0.628 ⋅ %

Megfelel

ρw.max = 1.035 ⋅ %>

ρw = 0.628 ⋅ %

Megfelel

s AB = 100 ⋅ mm

Megfelel


[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: smax := 0.75 ⋅ d s max = 292.5 ⋅ mm >

B-C szakasz: s BC = 160 ⋅ mm

A határnyíróerő értéke:

V Rd.BC :=

Asw ⋅ fyd sBC

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cot( θ)

V Rd.BC = 194.8 ⋅ kN

B -C szakasz (és a C -D szakasz) hosszának számítása: tCD := L − tn tBD :=

L VEd

⋅ VRd.BC

tBC := tBD − tCD

tCD = 307 ⋅ mm tBD = 1558 ⋅ mm tBC = 1252 ⋅ mm

A B-C szakaszon a szerkesztési szabályok ellenőrzése: A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:

ρw :=

A sw

ρw = 0.393 ⋅ %

sBC ⋅ bw

[1] A fajlagos mennyiség minimális értéke:

ρw.min = 0.080 ⋅ % <

ρw = 0.393 ⋅ %

Megfelel


ρw.max = 1.035 ⋅ %>

ρw = 0.393 ⋅ %

Megfelel

s BC = 160 ⋅ mm

Megfelel

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: smax = 292.5 ⋅ mm > C-D szakasz:

A C-D szakaszon elméletileg nem kell méretezett nyírási vasalás. A szakasz rövidsége miatt azonban ezen a szakaszon is kiszámoljuk a határnyíróerő értékét a szerkesztési szabályok alapján felvett kengyelkiosztásból, és ez alapján a CD szakaszt kitoljuk, amennyire lehet, C' pontig. A határnyíróerő

s C'D := sCD = 280 ⋅ mm értéke:

V Rd.C'D :=

A sw ⋅ fyd sC'D

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cot ( θ)

V Rd.C'D = 111.3 ⋅ kN

Mivel a C-D szakaszon a szerkesztési szabályok alapján vettük fel a kengyelkiosztást, ezek mind teljesülnek.

55


V. gyakorlat anyaga

Kengyelkiosztási vázlat és a határnyíróerő ábra

56

Vasbetonszerkezetek I

VI. gyakorlat

VI. GYAKORLAT

Gerendák komplex vizsgálata; határnyomaték, határnyíróerõ számítása, vaselhagyás tervezése készítette: Friedman Noémi, Dr. Huszár Zsolt, Dr. Kiss Rita, Völgyi István

A hosszvasalásban a ferde nyírási repedések miatti többleterő számítása A nyírás miatt a hosszvasalásban keletkező többlet-húzóerő felvételéről gondoskodni kell. Általános esetben ehhez az MEd nyomatéki ábrát a kedvezőtlenebb irányba al távolsággal el kell „csúsztatni”, ahol az elcsúszatás mértéke: - Méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó elemek esetén: al = d - Méretezett nyírási vasalást tartalmazó elemek esetén:

al =

z (cotθ - cotα) 2

(1)

Méretezett nyírási vasalást tartalmazó szerkezetek esetén a nyírás miatti többlet-húzóerő figyelembevétele a fenti „elcsúsztatási” szabály helyett történhet a hosszvasalásban keletkező többlethúzóerő (∆Ftd) közvetlen meghatározásával, és a hosszvasalásban keletkező teljes erőre vonatkozó feltétel egyidejű kielégítésével is, az alábbiak szerint: M Ed ,max M Ed ∆Ftd = 0,5 VEd (cotθ - cotα) + ∆Ftd ≤ és z z ahol: VEd, MEd - a nyíróerő és a hajlítónyomaték tervezési értéke a vizsgált helyen MEd,max - a hajlítónyomaték tervezési értéke a nyomatéki maximum helyén. (Kengyelezés és felhajlítás együttes alkalmazásánál is használható α = 90 fok, mivel a kengyelezés tekinthető az elsődleges jelentőségű nyírási vasalásnak.) A fenti módszerek a tartó közbenső szakasza mentén alkalmazandók. A tartó feltámaszkodásának környezete külön vizsgálandó a következő eljárásnak megfelelően. A rácsos tartó modell szélső ferde nyomott rácsrúderejének vízszintes komponensét fel kell venni. A szabályzat szerint ez R*cotθ nagyságú erő. A tartó z*cotθ távolságon belüli tartórészéről az erők θnál meredekebb szögben érkeznek a támaszra, tehát a rácsrudak vízszintes komponense kisebb. Ennek megfelelően a lehorgonyzandó húzóerőt egyenletesen megoszló teher esetén VEdred*cotθ értékkel közelíthetjük. A felhajlított betétek hatástávolsága Manapság felhajlított vasalást új szerkezet tervezésénél ritkán alkalmaznak, mert szerelése nehézkesebb és nagyobb az (egyre drágább) élőmunka igénye. A mérnöki gyakorlatban azonban gyakrabban találkozhatunk felhajlított vasalással meglévő szerkezetek ellenőrző statikai számításánál (felülvizsgálatánál). A felhajlított betétek hatástávolsága az alábbi ábrák segítségével értelmezhető. 45°

A felhajlított acélbetéteket α=45 fokos szögben szokás elhelyezni. Hatástávolságának meghatározásakor elsõ lépésként a felsõ és alsó szegletébõl 45 fokos vetítést végzünk a tartótengelyig.

45° α

α

Elméleti támaszvonal

45°

Ha két egymás mögötti felhajlított betét hatástávolsága átfed, akkor a tényleges hatástávolságokat a tartó középvonalának magasságában kijelölhető felezőpont (C pont) határolja (2.ábra).

1. ábra


cα

57

45°

α

2. ábra


VI. gyakorlat

A támasz melletti elsõ felhajlított betétet úgy kell elhelyezni, hogy az 1. ábra szerinti (bal oldali) segédvonal a tartó tengelyét az elméleti támasz mögött messe (3. ábra). Ez szintén csökkenti a tényleges hatástávolságot.

α


α

A felhajlított vasak egymástól mért távolsága a tartótengely mentén 45 fok esetén nem haladhatja meg az smax=1,2d értéket*. Ez a szabályozás azt hivatott megakadályozni, hogy a ferde nyírási repedés a két felhajlított vas között átszaladhasson. Tehát az 1. ábrán vázolt kialakítás nem felel meg a szerkesztési szabálynak, a felhajlított vasak túl távol vannak egymástól. Ugyanilyen megfontolás miatt az elsõ felhajlított vasat minél közelebb kell elhelyezni a támasz széléhez. Ennek általában a vasvezetés szabályai és a lehorgonyzás szükségessége szabnak határt. A vas továbbvezetésével, kampózásával gondoskodni kell arról, hogy a felhajlított vas lehorgonyzása biztosított legyen.

3. ábra


α

4. ábra

A betonacélok csak akkor vehetõk számításba, ha lehorgonyzásuk biztosított. Elõször ki kell számolni a lehorgonyzási hossz alapértékét. A betonacél tényleges lehorgonyzási hossza az alapérték különbözõ körülményeket (betonacél végének kialakítása, egyéb vasakkal való kapcsolat, acélbetétre merõleges normálerõ) figyelembe vevõ tényezõkkel történõ módosítása után kapható. Esetünkben α1és α5 értéke fontos. α1 a betonacél végének kialakítását veszi figyelembe. Értéke 1, ha egyes végû az acélbetét, 0,7, ha kampózott. α5=1-0,04p, de nem kisebb, mint 0,7. Az összefüggésben p[MPa] a betonacélra merõleges nyomófeszültség értéke. Fontos, hogy a nyomóerõ kedvezõ hatása csak akkor és azon a szakaszon vehetõ számításba, ahol az minden esetben biztosított. A betonacélt a tényleges lehorgonyzási hosszt követõen vehetjük figyelembe 100%-ig. Nyilvánvaló azonban, hogy a betonacél ezt megelõzõen is képes egy csökkentett nagyságú erõ felvételére. A feszültség növekedését 0 és fyd között lineárisnak feltételezhetjük, tehát a lehorgonyzási hossz felénél a folyáshatár felének megfelelõ nyomófeszültség feltételezhetõ. Fontos azonban, hogy semmiféle feszültség nem vehetõ számításba a minimális lehorgonyzási hosszon belül. A minimális lehorgonyzási hossz nagyobb, mint a lehorgonyzási hossz alapértékének 30%-a, de legalább a betonacél átmérõjének tízszerese illetve 100mm. *A szerkesztési szabály általános esetben 0,6d(1+cotα) értéket ír elő ** Deák György-Draskóczy András-Dulácska Endre-Kollár László-Visnovitz György: Vasbetonszerkezetek című könyvben javasolt érték.

58


VI. gyakorlat

6.1. Határnyomatéki ábra előállítása, vaselhagyás tervezése. A határnyíróerő ábra előállítása.

K-K

pd=125 kN/m

6φ25

φ10

K

Anyagok : 6φ16

Beton: C25/30 Betonacél: S500B V [kN]

Betonfedés: 20 mm Kedv.elm.: 10 mm

VEd.red VEd

6.1.1. Kiindulási adatok 6.1.1.1. Geometriai jellemzők a := 60mm

h := 450mm

b := 250mm

b w := b

ϕk := 10mm

d := ( h − a)

d = 390 mm

L := 2.5m

ϕny := 16mm

ϕ := 25mm

d ny := ( 20 + 10 + 8 + 10)mm

d ny = 48 mm

2

6⋅ϕ ⋅π

Asl.6 :=

2

: 1. szakasz

Asl.4 = 1963 mm

2

: 2. szakasz

2

: 3. szakasz

Asl.6 = 2945 mm

4 2

4⋅ϕ ⋅π

Asl.4 :=

4 2

2⋅ϕ ⋅π

Asl.2 :=

Asl.2 = 982 mm

4 2

Asl.ny :=

6 ⋅ ϕny ⋅ π

2

Asl.ny = 1206 mm

4

(a tartó teljes hosszán végig kell vezetni a teljes hosszvasalás legalább negyedét!)

⎛ Asl.6 ⎞ Asl.min := max⎜ , Asl.2⎟ ⎝ 4 ⎠

2

Asl.ny.2 :=

2 ⋅ ϕny ⋅ π

2

Asl.ny.2 = 402 mm

4 2

Asw :=

2 ⋅ ϕk ⋅ π

2

Asw = 157 mm

4

6.1.1.2. Anyagjellemzők Beton:C25/30

Betonacél: S500B

fck := 25 ⋅

Asl.min := Asl.2

α := 1 N 2

mm

fyk := 500 ⋅

N 2

mm

γc := 1.5

fck fcd := γc

fcd = 16.667

γs := 1.15

fyk fyd := γs

fyd = 434.783

59

N 2

mm

N 2

mm


VI. gyakorlat

6.1.2. A határnyomatéki-ábra előállítása 6.1.2.1. Az eltolt mértékadó nyomatéki ábra meghatározása A megoszló p teherből származó nyomaték: M Ed.k :=

pd ⋅ L

2

2

M Ed.k = 390.6 kNm

A hajlításvizsgálat során feltételezzük, hogy a gerenda a rúdtengelyre merőlegesen reped be. Ha a nyírás jelentős, akkor a tartó - a bevezetőben ismertetett módon - ferdén reped be. Ezt a nyomatéki méretezés során akként kell figyelembe venni, hogy a fenti nyomatéki ábra helyett egy - a kedvezőtlen irányban al távolsággal - eltolt nyomatéki ábrát veszünk mértékadónak, ahol al: 1

al =

2

⋅ z ⋅ cotθ

ahol : z := 0.9 ⋅ d

z = 351 mm

cotθ := 1.3

al :=

1 2

⋅ z ⋅ cotθ

al = 228.2 mm

A mértékadó nyomatéki ábra:

390.625

(eltolt) mértékadó nyomatéki ábra

M [kNm]

6.1.2.2. Vaselhagyás tervezése, az alkalmazott hosszvasalással felvehető határnyomatékok számítása Tegyük fel, hogy 2 helyen szeretnénk vaselhagyást végezni; a befogásnál alkalmazott 6φ16-os nyomott valamint 6φ25-ös húzott vasból először 4φ16-os nyomott és 2φ25-ös húzott vasat, majd még két φ25-ös húzott vasat hagyunk el). A nyomatéki határteherbírás az 1. szakaszon: ( 6 db φ16-os nyomott, 6 db φ25-ös húzott vas) 2

Asl.6 = 2945 mm

2

Asl.ny = 1206 mm

Tegyük fel, hogy az acélbetétek megfolynak. A vetületi egyensúlyi egyenlet ekkor:

(α ⋅ fcd ⋅ xc ⋅ b + Asl.ny.6 ⋅ fyd − Asl.6 ⋅ fyd) = 0 60


Ebből:

VI. gyakorlat

x c - t kifejezve:

(Asl.ny − Asl.6) (α ⋅ fcd ⋅ b)

x c := −fyd ⋅

x c = 181.4 mm

A nyomott zóna relatív magassága: xc

ξ c :=

ξ c = 0.465

d

xc

ξ c.ny :=

ξ c.ny = 3.78

d ny

A nyomott zóna relatív magasságának határhelyzete: ξ co :=

560 fyd

560

ξ co.ny :=

+ 700

N mm

ξ co = 0.493

700 −

N

2

mm

ξ c < ξ co ξ c.ny > ξ co.ny

ξ co.ny = 2.111

fyd 2

mind a húzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak

A nyomatéki egyensúlyi egyenlet: xc ⎞ ⎛ M Rd.1 := x c ⋅ b ⋅ α ⋅ fcd ⋅ ⎜ d − ⎟ + Asl.ny ⋅ fyd ⋅ d − dny 2 ⎠ ⎝

(

M Ed := 390.6kNm

M R.d.1 > M Ed

)

M Rd.1 = 405.6 kNm


A nyomatéki határteherbírás a 2. szakaszon: ( 2 db φ16-os nyomott vas, 4 db φ 25-ös húzott vas ) 2

Asl.4 :=

4⋅ϕ ⋅π

2

Asl.4 = 1963 mm

4 2

Asl.ny.2 :=

2 ⋅ ϕny ⋅ π

2

Asl.ny.2 = 402 mm

4

Tegyük fel, hogy az acélbetétek megfolynak. A vetületi egyensúlyi egyenlet ekkor:

(α ⋅ fcd ⋅ xc ⋅ b + Asl.ny.2 ⋅ fyd − Asl.4 ⋅ fyd) = 0

(Asl.ny.2 − Asl.4) (α ⋅ fcd ⋅ b)

x c := −fyd ⋅

x c = 162.9 mm

A nyomott zóna relatív magassága: ξ c :=

xc d

ξ c = 0.418 <

ξ co = 0.493

ξ c.ny :=

xc d ny

ξ c.ny = 3.394 >

ξ co.ny = 2.111

mind a húzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak A nyomatéki egyensúlyi egyenlet: xc ⎞ ⎛ M Rd.2 := x c ⋅ b ⋅ α ⋅ fcd ⋅ ⎜ d − ⎟ + Asl.ny.2 ⋅ fyd ⋅ d − dny 2 ⎠ ⎝

(

61

)

M Rd.2 = 269.2 kNm


VI. gyakorlat

A nyomatéki határteherbírás a 3. szakaszon: (2 φ 25-ös húzott vas,) Megj: ugyan végig visszük a 2 db φ16-os nyomott vasat, de csak szerelési vasként vesszük figyelembe 2

Asl.2 :=

2⋅ϕ ⋅π 4

2

Asl.2 = 982 mm

Tegyük fel, hogy az acélbetétek megfolynak. A vetületi egyensúlyi egyenlet ekkor: Asl.2 α ⋅ fcd ⋅ x c ⋅ b − Asl.2 ⋅ fyd = 0 x c := fyd ⋅ x c = 102.4 mm α ⋅ fcd ⋅ b

(

)

(

A nyomott zóna relatív magassága: xc ξ c := ξ c = 0.263 < ξ co = 0.493 d

)

a húzott acélbetétek megfolynak

A nyomatéki egyensúlyi egyenlet: xc ⎞ ⎛ M Rd.3 := x c ⋅ b ⋅ α ⋅ fcd ⋅ ⎜ d − ⎟ 2 ⎠ ⎝

M Rd.3 = 144.6 kNm

A határnyomatékok összefoglalása: M Rd.1 = 405.6 kNm

M Rd.2 = 269.2 kNm

M Rd.3 = 144.6 kNm

6.1.2.3. A lehorgonyzási hosszak meghatározása 6.1.2.3.1.A húzott vas (φ25) lehorgonyzási hosszának meghatározása fbd := 2.8

N 2

: bordás acélbetét, C25/30-as betonszilárdság.

mm

A teljes lehorgonyzási hossz: l b.h :=

ϕ ⋅ fyd

l b.h = 970.5 mm

4 ⋅ fbd

A nettó lehorgonyzási hossz számítása l b.h.net := αa ⋅ lb.h ahol : αa = 1.0

ha egyenes végû acélbetéteket alkalmazunk

αa = 0.7

ha a húzott acélbetéteket kampózott végûnek alakítjuk ki

A nettó lehorgonyzási hossz:

l b.h.net = 679.3 mm

(

)

A minimális lehorgonyzási hossz: l b.h.min := max 0.3 ⋅ lb.h , 10 ⋅ ϕ , 100mm lb.h.min = 291.1 mm 6.1.2.3.1.A nyomott vas (φ16) lehorgonyzási hosszának meghatározása fbd := 2.8

N 2

: bordás acélbetét, C25/30-as betonszilárdság

mm

A teljes lehorgonyzási hossz:

l b.ny :=

ϕny ⋅ fyd 4 ⋅ fbd

62

lb.ny = 621.1 mm


VI. gyakorlat

(

A minimális lehorgonyzási hossz:

)

l b.ny.min := max 0.6 ⋅ lb.ny , 100mm

lb.ny.min = 372.7 mm

6.1.2.4. A határnyomatéki ábra

3

2

1 MRd0=405.6kNm

Határnyomaték ábra figyelembe véve a lehorgonyzási hosszon felvehető acélfeszültséget

MRd2=269.2kNm

Határnyomaték ábra Ezt a nyomatékot a betonnak kell felvennie illetve ha szükséges hajtűvasa(ka)t alkalmazunk.

MRd3=144.6kNm

(eltolt) mértékadó nyomatéki ábra

Megjegyzés: a konzol-befogásnál a hosszirányú vasak lehorgonyzásáról a falban gondoskodunk, így itt nem jelenik meg határnyomaték-csökkenés. A határnyomatéki ábra szerkesztésénél figyelembe vehetjük, hogy a hosszanti betétek a lehorgonyzási hosszon belül is fel tudnak venni feszülltséget. Ezt a fenti ábrán a megfelelő szakaszokon lineárisan csökkenő pontozott vonal jeleníti meg. A biztonság javára történő egyszerûsítésként az első két vaselhagyás tervezésénél ezeket feszültségeket elhanyagoltuk (szaggatott vonal), bár így lényegesen gazdaságtalanabb szerkezetet kapunk.

6.1.3.1. A mértékadó nyíróerőábra A mértékadó nyíróerőábrát és a mértékadó nyíróerő értékek számítását az előző gyakorlaton (5.3.2.a. pontban) már elvégeztük. VEd := 312.5kN VEd.red := 263.7kN

6.1.3.2. A nyomott beton ellenőrzése Előző gyakorlaton (5.3.2.c. pontban) már elvégeztük.

6.1.3.3. A beton által felvehető nyíróerő meghatározása A vaselhagyások miatt VRd.c értéke szakaszonként (6.1.2.4. pontban a határnyomatéki ábrán 1, 2, illetve 3 jelû szakaszokon) változik. Ebben a feladatban csak a 3. jelû szakasz VRd.c értékét van értelme meghatározni (mivel a mértékadó nyíróerő még ezen a 3. jelû szakaszon belül éri el ezt a VRd.c értéket). A nyírásra nem vasalt keresztmetszet határereje az alkalmazott 2φ25 húzott vasalás esetén: 1 3

⎛ k := min⎜ 1 + ⎜ ⎝

200 d mm

⎞ , 2.0⎟ k = 1.716 ⎟ ⎠

⎛ Asl.2 ⎞ ρl := min⎜ , 0.02⎟ ⎝ bw ⋅ d ⎠

ρl = 0.010

63

⎛ fck νmin := 0.035 ⋅ k ⋅ ⎜ ⎜ N ⎜ mm2 ⎝ 2

⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠

2

νmin = 0.393


⎡⎡ ⎢⎢ fck ⎢⎢ 0.18 ⎛⎜ ⋅ k ⋅ 100 ⋅ ρ ⋅ l VRd.c.CD := max⎢⎢ γc N ⎜ ⎢⎢ ⎜ 2 ⎢⎢ mm ⎝ ⎢⎢ νmin ⎣⎣

VI. gyakorlat 1 ⎤⎤

⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠

3

⎥⎥ ⎥⎥ b ⎥⎥ ⋅ w ⋅ d ⋅ N ⎥⎥ mm mm ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦⎦

64

VRd.c.CD = 58.8 kN


VI. gyakorlat

6.1.3.4. A határnyíróerők meghatározása valamint a határnyíróerő-ábra előállítása Az előző gyakorlaton megterveztük a tartó kengyelkiosztást AB, BC, CD szakaszokon: sAB.alk := 100mm

sBC.alk := 160mm

sCD.alk := 280mm

Tekintettel arra, hogy az MSZ EN szerint a méretezett nyírási vasalással ellátott szakaszok határnyíróereje nem függ a VRd.c -től, a határnyíróerők értéke az A-B és a B-C szakaszokon: A - B szakasz: A határnyíróerő értéke: B-C` szakasz: A határnyíróerő értéke:

Asw ⋅ fyd VRd.AB := ⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cotΘ sAB.alk

VRd.AB = 311.6 kN

Asw ⋅ fyd VRd.BC := ⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cotΘ sBC.alk

VRd.BC = 194.8 kN

C`-D szakasz: A C-D szakaszon a szerkesztési szabályok szerinti kengyelezést alkalmaztuk. Ennek határereje: Asw ⋅ fyd VRd.s.CD := ⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cotΘ sCD.alk

VRd.s.CD = 111.3 kN

A nyírási határerő a CD szakaszon (az MSZ EN ellenőrzésre vonatkozó előírásainak megfelelően a beton által felvehető nyíróerő és a nyírási vasalás által felvehető nyíróerő közül a nagyobbik):

(

VRd.CD := max VRd.s.CD , VRd.c.CD

)

VRd.CD = 111.3 kN

A határnyíróerő-ábrát már az előző feladatban is megszerkesztettük:

6.1.3.5. A szerkesztési szabályok ellenőrzése Előző gyakorlaton (5.3.2.e. pontban) már elvégeztük. 65


VI. gyakorlat

6.2. Határnyomatéki és határnyíróerõ ábra elõállítása felhajlított vas esetén

A-A metszet

A nyomott vasalást nem vesszük számításba.

Terhek:

Anyagok : Betonfedés: 20 mm Kedv.elm.: 10 mm

Beton: C20/25 Betonacél: S500B Kengyel: S500B

γG=1.35 γQ=1.5

g=80 kN q=100 kN

A felhajlított vas 45 fokos szögben hajlítva.

6.2.1. Kiindulási adatok 6.2.1.1. Geometriai alapadatok b := 450mm

φ := 20mm

lnet := 3.80m

h := 600mm

φ k := 10mm

c := 320mm 2

2

Asl :=

9⋅φ ⋅π 4

b w := b

2

Asl = 2827 mm

A hasznos magasság:

Asw :=

d := h −  20 + 10 +



2

Asw = 157 mm

4

20 2

+ 10 mm

d = 550 mm



zs := h − 2 ⋅  20 + 10 +

A felsõ és az alsó vasak közötti távolság: Az elméleti támaszköz:

2 ⋅ φk ⋅ π



(

leff := min lnet + h , lnet + c

)

ahol:

leff = 4.12 m

20  2

zs = 520 mm

 mm 

lnet + h = 4.4 m lnet + c = 4.12 m

6.2.1.2. Anyagjellemzõk Beton: C20/25

N

fck := 20

2

mm Betonacél: S500B

fyk := 500

N 2

mm Kengyelacél: S500B

fyk.w := 500

N 2

mm

fck fcd := 1.5

fcd = 13.33

fyk fyd := 1.15

fyd = 434.78

fyk.w fyd.w := 1.15

fyd.w = 434.78

66

N 2

mm

N 2

mm

N 2

mm


VI. gyakorlat

6.2.2. A határnyomatéki ábra elõállítása 6.2.2.1. Az eltolt mértékadó nyomatéki ábra elõállítása A nyomatéki ábra eltolása: 1

al =

2

⋅ z ⋅ cotΘ

( cotΘ=1.3 értéket feltételezve, 90°-os kengyelvasalással)

ahol : z := 0.9 ⋅ d

z = 495 mm

al :=

1 2

⋅ z ⋅ cotΘ

al = 321.8 mm

A tartó totális terhelésébõl keletkezõ nyomaték a tartó közepén:

M Ed.max

2 γ G ⋅ g + γ Q ⋅ q) ⋅ leff ( :=

M Ed.max = 547.4 kNm

8

Az eltolt mértékadó nyomatéki ábra:

6.2.2.2. Az alkalmazott hosszvasalásokkal felvehetõ határnyomatékok számítása (A felhajlítás miatt a nyomott övben +1 db As.ny jelenik meg, de ennek hatását elhanyagoljuk) A nyomatéki határteherbírás az 1. szakaszon 2

Asl.7 :=

7⋅φ ⋅π 4

(α ⋅ fcd ⋅ xc ⋅ b − Asl.7 ⋅ fyd) = 0 Ebbõl:

2

Asl.7 = 2199 mm

(feltéve, hogy a húzott acélbetétek folynak)

xc - t kifejezve:

xc := Asl.7 ⋅

fyd

(α ⋅ fcd ⋅ b)

xc = 159.4 mm

67


VI. gyakorlat

A nyomott zóna relatív magassága: xc ξ c := ξ c = 0.29 d A nyomott zóna relatív magasságának határhelyzete: ξ co :=

560

ξ co = 0.493

fyd + 700

ξ c < ξ co

a húzott acélbetétek valóban megfolynak

A nyomatéki egyensúlyi egyenlet: xc   M Rd.1 := xc ⋅ b ⋅ α ⋅ fcd ⋅  d −  2  

M Rd.1 = 449.7 kNm

A nyomatéki határteherbírás az 2. szakaszon 2

Asl.8 :=

8⋅φ ⋅π 4

2

Asl.8 = 2513 mm

A vetületi egyenlet (feltéve, hogy a húzott acélbetétek folynak): fyd α ⋅ fcd ⋅ xc ⋅ b − Asl.8 ⋅ fyd = 0 xc := Asl.8 ⋅ α ⋅ fcd ⋅ b

(

)

(

)

xc = 182.1 mm


xc

ξ c = 0.331 <

d

ξ co = 0.493



M Rd.2 = 501.5 kNm

A nyomatéki határteherbírás az 3. szakaszon 2

Asl.9 :=

9⋅φ ⋅π 4

2

Asl.9 = 2827 mm

A vetületi egyenlet (feltéve, hogy a húzott acélbetétek folynak): fyd α ⋅ fcd ⋅ xc ⋅ b − Asl.9 ⋅ fyd = 0 xc := Asl.9 ⋅ α ⋅ fcd ⋅ b

(

)

(

)

xc = 204.9 mm


xc d

ξ c = 0.373 <

ξ co = 0.493



M Rd.3 = 550.2 kNm

68


VI. gyakorlat

Tehát a határnyomatékok az egyes szakaszokon: M Rd.1 = 449.7 kNm

M Rd.2 = 501.5 kNm

M Rd.3 = 550.2 kNm

6.2.2.3. Lehorgonyzási hosszak számítása Húzott vas (φ20):

fbd := 2.4

N

(bordás acélbetét, C20/25-as betonszilárdság esetén) 2

mm A teljes lehorgonyzási hossz: φ ⋅ fyd lb.h := lb.h = 905.8 mm A tartó belsõ szakaszán, ahol az elhagyott acélbetétek 4 ⋅ fbd vége egyenes, ez maga a nettó lehorgonyzási hossz. A nettó lehorgonyzási hossz számítása a tartó végén: lb.h.net := α 1 ⋅ α 5 ⋅ lb.h ahol : α 1 = 1.0

egyenes végû α 1 = 0.7 kampózott végû acélbetét esetén A tartóvégen: α 1 := 0.7

A támasznál leadódó reakció a betonacélra merõleges nyomerõt eredményez. Ezt a lehorgonyzást segítõ hatást is figyelembe vehetjük. Ezt a kedvezõ hatást mintapéldánkban elhanyagoljuk. p értéke a következõ lenne:

p :=

VEd

α 5 := 1

320mm ⋅ b

Így a tartóvégi kampózott vasak lehorgonyzási hossza: A húzott acélbetétek minimális lehorgonyzási hossza:

lb.h.net = 578.9 mm

(

)

lb.h.min := max 0.3 ⋅ lb.h , 10 ⋅ φ , 100mm

lb.h.min = 271.7 mm

6.2.2.4 A határnyomatéki ábra

Feltámaszkodás környezete: tartótengely irányú húzóerõk burkolóábrája

VEd.red ⋅ cotΘ = 342.81 kN z ⋅ cotΘ = 643.5 mm

A betonacél végének és a feltámaszkodás szélének távolsága t := 320mm − 30mm t = 290 mm Merev megtámasztás esetén ebben a vonalban kell biztosítania húzóerõt. tehát a támasz külsõ élének vonalában már figyelembe vehetjük a hosszvasalás t> lb.h.min teherbírásának egy részét. Mekkora ez az erõ? A betonacélok kampózott kialakítása munkaigényes. t H := Asl.7 ⋅ fyd ⋅ H = 478.981 kN Egyenes kialakítás is lehetséges. Ekkor azonban a lb.h.net vizsgált km.-ben nem elegendõ a lehorgonyzott húzóerõ. Ilyen esetben hajtûvasak elhelyezésévelk kell kiegészíteni. 69


VI. gyakorlat

6.2.3. A határnyíróerõ ábra elõállítása 6.2.3.1. A mértékadó nyíróerõ ábra meghatározása A támasznál akkor kapunk maximális nyíróerõt, ha az állandó és a hasznos terhek a tartó teljes hosszán hatnak.

VEd.A :=

(γG ⋅ g + γ Q ⋅ q) ⋅ leff

VEd.A = 531.5 kN

2

A középsõ keresztmetszetben akkor kapjuk a maximális nyíróerõt, ha a megoszló teher csak a tartó felét terheli. Feltéve, hogy az állandó teher egyenletesen oszlik meg a tartó teljes hosszán, a tartó közepén csak a hasznos teherbõl keletkezik nyíróerõ. Ennek értéke: leff VE.d.K := γ Q ⋅ q ⋅ 8

VE.d.K = 77.3 kN

A két számított pont között a nyíróerõábra másodfokú parabola. Ezt jelen feladatban lineáris szakasszal közelítjük. A redukciós hossz a támaszreakcó hatásvonalától mérendõ. Az egyszerûség kedvéért tekintsük ezt az elméleti megtámasztás helyének. A megtámasztástól d távolságra ható megoszló teherrõl feltesszük, hogy az közvetlenül a támaszra adódik át. A redukált nyíróerõábra maximuma:

(

)

VEd.red := VEd.A − γ G ⋅ g + γ Q ⋅ q ⋅ d

VEd.red = 389.6 kN

A mértékadó redukált nyíróerõ ábra:

70


VI. gyakorlat

6.2.3.2. A nyomott beton ellenõrzése VRd.max := α cw ⋅ b w ⋅ z ⋅ ν ⋅ fcd ⋅

cot( θ ) + cot( α )

ahol:

1 + ( cot( θ ) )

2

α cw := 1 feszítés illetve nyomóerõ nélküli keresztmetszet esetén; fck  1  z := 0.9 ⋅ d z = 0.495 m ν := 0.6 ⋅  1 − ⋅ ν = 0.552 250 N  

 

cotΘ = 1.3 α k := 90 ⋅ fok

2

mm

 

a kengyelnek a tartó tengelyével bezárt szöge

α felh := 45 ⋅ fok a felhajlítás tartó tengelyével bezárt szöge

( ) = 0.483

cotΘ + cot α k

( )

- α = α k esetén:

cot α k = 0

- α = α felh esetén:

cot α felh = 1

(

1 + ( cotΘ)

)

2

(

) = 0.855

cotΘ + cot α felh 1 + ( cotΘ)

2

A biztonság javára történõ közelítéssel: VRd.max := α cw ⋅ b w ⋅ z ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ 0.483

VRd.max = 791.8 kN >

VEd.A = 531.5 kN

a beton keresztmetszet geometriai méretei megfelelõk. Dulácska - Kollár által javasolt, pontosabb számítással: V'Rd.max := α cw ⋅ bw ⋅ z ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ 0.75

V'Rd.max = 1229.6 kN > VRd.max = 791.8 kN

6.2.3.3. A beton által felvehetõ nyíróerõ meghatározása A VRd.c értékekre azért van szükség, mert amennyiben a beton által felvehetõ nyíróerõ ( VRd.c ) nagyobb a nyírási vasalás által felvehetõ nyíróerõnél ( VRd.s -nél), akkor az MSZ EN ellenõrzésre vonatkozó elõírásainak megfelelõen ez a nagyobb érték lesz a határnyíróerõ. Jelen esetben az 1 illetve 2 jelû szakaszokon jelentõs a nyírási vasalás, így ezeken a szakaszokon várhatóan a VRd.c nem játszik szerepet. Az áttekinthetõség kedvéért azonban ezeket is feltüntetjük. 1 3

 k := min 1 +  

200 d mm

 , 2.0  

 fck ν min := 0.035 ⋅ k ⋅   N  mm2  2

k = 1.603

   

2

ν min = 0.318

A vashányad értéke a határnyomatéki ábrán 1, 2 illetve 3-mal jelölt szakaszokon:

1. szakasz:

 Asl.7  ρ l.1 := min , 0.02 ρ l.1 = 0.0089  bw ⋅ d 

2. szakasz:

ρ l.2 := min

3. szakasz:

ρ l.3 := min

 Asl.8



 Asl.9



, 0.02 ρ l.2 = 0.0102 bw ⋅ d   , 0.02 ρ l.3 = 0.0114  bw ⋅ d  71

Példánkban minden szakaszon kiszámítjuk a nyírási ellenállás alsó korlátját. Ha egy szakaszon már kiszámítottuk és kisebb értéket kaptunk, mint a nyírási vasalás által képviselt nyíróerõ ellenállás, akkor olyan szakaszokon felesleges kiszámítani az értéket, ahol az nyilvánvalan kisebb a nyírási vasalás teherbírásánál.


VI. gyakorlat

A beton által felvehetõ nyíróerõ az 1, 2 és 3-mal jelölt szakaszokon:

  fck   0.18   ⋅ k ⋅ 100 ⋅ ρ ⋅ l.1 VRd.c.1 := max  γ c N    2 mm    ν min    fck   0.18   ⋅ k ⋅ 100 ⋅ ρ ⋅ l.2 VRd.c.2 := max  γ c N    2 mm    ν min    fck   0.18   ⋅ k ⋅ 100 ⋅ ρ ⋅ l.3 VRd.c.3 := max  γ c N    2 mm    ν min 

        ⋅      1  3        ⋅      1  3        ⋅      1 3

bw mm

bw mm

bw mm

⋅

⋅

⋅

d mm

d mm

d mm

⋅N

VRd.c.1 = 124.2 kN

⋅N

VRd.c.2 = 129.9 kN

⋅N

VRd.c.3 = 135.1 kN

6.2.3.4. A határnyíróerõk meghatározása és a határnyíróerõ-ábra 6.2.3.4.1. A felhajlított vasak hatástávolságának határai

- 3. jelû felhajlított hosszacél hatástávolságának ( s3) számítása: Az s3 szakasz kezdõpontja az elméleti támaszvonal (mivel a tartóvégnél a hatástávolságot kijelõlõ 45° -os egyenes belemetsz az elméleti támaszvonalba), a végpontja pedig a 2. és 3. jelû felhajlított acélbetétek tengelye valamint a tartó tengely metszéspontjai által meghatározott szakasz felezõpontja. 72


VI. gyakorlat

zs 500mm lnet + 2c − leff s3 := 320mm + + − 2 2 2

s3 = 670 mm

lnet + 2c − leff

= 160 mm az elméleti támaszvonal és a gerenda vége közötti távolság 2 - 2. jelû felhajlított hosszacél hatástávolságának ( s2) számítása: ahol

Az s2 szakasz kezdõpontja s3 szakasz végpontja, végpontja pedig a felhajlítási pontnál indított 45° -os egyenes (az ábrán szaggatott vonallal jelölve) és a tartótengely metszéspontja.

s2 :=

500mm 2

+ zs

s2 = 770 mm

6.2.3.4.2. A különbözõ határnyíróerõ értékkel bíró szakaszok hosszának meghatározása Az s3, s2 szakaszok, valamint a két különbözõ kengyelkiosztású (730mm illetve 1330mm hosszú) szakasz a féltartót négy (különbözõ nyírási határteherbírással bíró) részre bontja. E szakaszok hossza a fenti ábra alapján a következõk: "a" szakasz

la = 670 mm

"b" szakasz

lb = 190 mm

"c" szakasz

lc = 580 mm

"d" szakasz

ld = 620 mm

6.2.3.4.3. A kengyelek és a felhajlított vasak által felvehetõ nyíróerõk meghatározása Az "a" és "b" jelû szakaszokon a függõleges kengyelek távolsága:

sk.sz := 180mm

A "c" és "d" jelû szakaszokon a függõleges kengyelek távolsága:

sk.b := 200mm

A nyírási vasalás által felvehetõ nyíróerõ: Kengyelezés (sksz = 180mm és s kb = 200 mm osztásokkal): sk.sz = 180 mm

Vwd.sz := 0.9 ⋅ d ⋅ cotΘ ⋅

sk.b = 200 mm

Vwd.b := 0.9 ⋅ d ⋅ cotΘ ⋅

Asw ⋅ fyd.w sk.sz Asw ⋅ fyd.w sk.b

Vwd.sz = 244.2 kN

"a" és "b" jelû szakaszokon

Vwd.b = 219.7 kN

"c" és "d" jelû szakaszokon

Felhajlítás (s3 = 615 mm és s2 = 715 mm hatástávolságokkal): s3 = 670 mm Vwd.felh.3 := 0.9 ⋅ d ⋅ s2 = 770 mm Vwd.felh.2 := 0.9 ⋅ d ⋅

Asl.1 ⋅ fyd s3 Asl.1 ⋅ fyd

(

)

⋅ ( cotΘ + 1 ) ⋅ sin α felh

(

a b c d

Vw d.kengyel Vw d.kengyel s 180 244,2 180 244,2 200 219,7 200 219,7

)

"b" és "c" ⋅ ( cotΘ + 1 ) ⋅ sin α felh  Vwd.felh.2 = 142.8 kN jelû szakaszon  

s2 A határnyíróerõ tervezési értékeit az alábbi táblázatban adjuk meg: szakasz

Vwd.felh.3 = 164.1 kN"a" jelû szakaszon

s 670

V. w d.felh. V.w d.felh 164,1

770

142,8

-

73

VRd 408,3 387,0 362,5 219,7


VI. gyakorlat

6.2.3.4.4. A határnyíróerõ ábra

Tájékoztatás képpen az ábrába VRd.c értékeket is megjelenítettük a határnyíróerõ ábrában. Látható, hogy sehol sem lesz a beton nyírási teherbírása a mértékadó, vagyis VRd.c mindenhol kisebb VRd.s-nél. Az ábrából az is leolvasható, hogy a gerenda nyírási teherbírása (csak a teherbírási követelményeket figyelembe véve) megfelel, mivel a határnyíróerõ ábra sehol sem metsz bele a mértékadó nyíróerõ ábrába.

74


VII. gyakorlat

VII. GYAKORLAT: Használhatósági határállapotok - Betonszerkezetek alakváltozása és repedéstágassága Készítették: Völgyi István, Kovács Tamás A vasbeton szerkezetek használhatóságát a vonatkozó hatáskombinációk alapján, az alábbi követelmények kielégítésével kell igazolni: a normálfeszültségek korlátozása a repedezettség ellenőrzése az alakváltozások korlátozása. A használhatósági határállapotok ellenőrzése során a szerkezet feszültségeit és alakváltozásait akkor szabad repedésmentes állapot feltételezésével számítani, ha a figyelembe veendő hatáskombinációból számított igénybevétel hatására repedésmentes állapot feltételezésével meghatározott beton-húzófeszültség nem haladja meg az fctm értéket. Használhatósági határállapotok vizsgálatához a következő igénybevétel-kombinációkat használjuk: Karakterisztikus (ritka) kombináció: Eser(a)=Σ Gki,j + Qk1+Σ Ψ0,i Qki Gyakori kombináció: Eser(b)=Σ Gki,j + Ψ1,1 Qk1+Σ Ψ2,i Qki Kvázi állandó kombináció: Eser(c)=Σ Gki,j + Σ Ψ2,i Qki A normálfeszültségek korlátozása Általános esetben igazolni kell, hogy: a túlzott mértékű beton-nyomófeszültségek miatt hosszirányú repedések nem keletkeznek: σc≤0,6fck az acélokban képlékeny alakváltozások nem alakulnak ki: σs≤0,6fyk és σp≤0,75fpk. ahol σc ill. σs és σp a karakterisztikus kombináció alapján számított maximális beton- ill. acélfeszültségek. A repedezettség vizsgálata A vasbeton szerkezetek repedezettségének mértékét a funkció, a megfelelő tartósság és a kedvezőtlen megjelenés elkerülése érdekében kell korlátozni. Általános környezeti feltételeknek kitett épületek vasbetonszerkezetei esetén általában azt kell igazolni, hogy a hatások kvázi-állandó kombinációjára a maximális repedéstágasság értéke nem haladja meg a 0,3 mm-t. A repedéstágasságot a következő összefüggéssel lehet meghatározni: wk = sr,max (εsm - εcm) ahol: a legnagyobb repedéstávolság az acélbetét átlagos nyúlása a vonatkozó kombinációból származó igénybevétel hatására, a húzott betonzóna merevítő hatásának figyelembevételével. Feszített szerkezetek esetén csak az acélbetétet körülvevő beton feszültségmentes állapotában meglévő acélbetét-feszültséghez képesti acélfeszültség-növekményt (∆σp) kell figyelembe venni. εcm - átlagos nyúlás a betonban a repedések közötti repedésmentes szakaszokon. Az (εsm - εcm) nyúláskülönbség a következőképpen számítható: f ct ,eff σ s − kt 1 + α e ρ p ,eff ρ p ,eff εsm - εcm = ≥ 0,6 σ s Es Es ahol: σs - a húzott acélbetétben lévő feszültség berepedt keresztmetszet feltételezésével a vonatkozó kombináció alapján számított igénybevételből. Feszített szerkezetek esetén σs értékét az εsm fenti értelmezésében szereplő ∆σp értékkel kell helyettesíteni. αe = Es/Ec, - a rugalmassági modulusok σs meghatározásánál alkalmazott aránya 2 ρ = As + ξ1 Ap sr,max εsm

-

(

)

p,eff

Ac,eff

As és Ap kt

-

Ac,eff

-

ξ1 = ξ φφ φ s az

az Ac,eff hatékony, húzott betonzónában elhelyezkedő lágyacélbetétek, ill. tapadásos feszítőbetétek keresztmetszeti területe a teher tartósságától függő tényező, értéke: rövididejű terhelés esetén kt = 0,6 kt = 0,4 tartós terhelés esetén. hatékony, húzott betonzóna, azaz a húzott vasalás körüli, hc,ef magasságú betonterület ahol: 2,5(h − d )  hc,ef = min  h − x   3 h / 2 s

, ahol ξ a tapadási szilárdság módosító tényezője. Értéke táblázat alapján határozható meg.

p

alsó sorban alkalmazott legnagyobb betonacél átmérő

φ p a feszítőbetét egyenértékű átmérője (Részletek: Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: Betonszerkezetek méretezése az Eurocode alapján, 203. oldal)

75


VII. gyakorlat

Ha a tapadásos acélbetétek egymáshoz közel helyezkednek el, azaz egymástól való távolságuk ≤ 5(c + φ/2): sr,max = 3,4 c + 0,425 k1 k2

φ ρ p,eff

ahol: φ

az acélbetét átmérője. Különböző átmérőjű acélbetétek esetén a φeq egyenértékű átmérőt kell alkalmazni az alábbiak szerint: 2 2 φeq = n1φ1 + n2 φ 2 n1φ1 + n2 φ 2 ahol: n1 a φ1 átmérőjű acélbetétek (lágyacél vagy feszítőbetét) darabszáma n2 a φ2 átmérőjű acélbetétek (lágyacél vagy feszítőbetét) darabszáma. c - betonfedés k1 - az acélbetét és a beton közti tapadási tulajdonságokat figyelembe vevő tényező k1 = 0,8 bordás acélbetét esetén sima felületű acélbetét esetén (pl. feszítőbetétnél) k1 = 1,6 k2 - a keresztmetszeten belüli feszültség(nyúlás)eloszlást figyelembe vevő tényező k2 = 0,5 hajlítás esetén k2 = 1,0 tiszta húzás esetén Ha a tapadásos acélbetétek egymástól távol helyezkednek el, azaz egymástól való távolságuk > 5(c + φ/2): sr,max = 1,3 (h-x) -

Az alakváltozások vizsgálata Az alakváltozások mértékét a) a vasbeton szerkezetek funkciója, a szerkezeti elemek megfelelő működése, a kedvezőtlen megjelenés elkerülése és b) a csatlakozó elemek károsodásának megelőzése érdekében kell korlátozni. A megengedett lehajlás értékei a terhek kvázi-állandó kombinációjának megfelelő teherre az a) esetben a támaszköz 1/250-ed része b) esetben a támaszköz 1/500-ed része. Az alakváltozások számítása során, a szerkezet repedésmentességének megítélésekor a bevezetőben leírtak szerint kell eljárni. A nem repedésmentes szerkezetek alakváltozásainak számításakor a szerkezet viselkedését a repedésmentes és a teljes hosszban berepedt állapotok közti átmenettel kell figyelembe venni, ahol az átmenet leírására az alábbi összefüggés alkalmazható: α = ζ αII + (1 - ζ) αI ahol: α - alakváltozási paraméter, mely lehet pl. nyúlás, görbület, elfordulás, lehajlás, stb. αI, αII - az α paraméter I. (repedésmentes), ill. II. (teljes hosszban berepedt) feszültségi állapot alapján számított értéke ζ - a húzott betonzóna merevítő hatását figyelembe vevő tényező, a következő összefüggés szerint:

 σ sr ζ = 1 - β   σs ahol: β

-

  

2

a teher tartósságát és ciklikusságát figyelembe vevő tényező az alábbiak szerint: β = 1,0 egyszeri, rövididejű terhelés esetén β = 0,5 tartós, vagy ismétlődő terhelés esetén σs - a húzott acélbetétben keletkező feszültség, berepedt keresztmetszet feltételezésével számítva σsr - a húzott acélbetétben keletkező feszültség a repesztőnyomaték hatására, berepedt keresztmetszet feltételezésével számítva A σsr/σs hányados tiszta hajlítás esetén az Mcr/M, tiszta húzás esetén az Ncr/N hányadosokkal helyettesíthető, ahol Mcr a repesztőnyomaték, és Ncr a repesztő húzóerő. Pontosabb vizsgálat esetén az alakváltozásokat az α alakváltozási paraméter alkalmazása helyett numerikus integrálással kell meghatározni a görbületnek a szerkezeti elem szükséges számú pontjában való számítása után. E módszer közelítő változata lehet az, ha a görbületeket a tartó repedésmentes szakaszán repedésmentes keresztmetszet feltételezésével, a berepedt szakaszon a fenti α alakváltozási paraméter alkalmazásával számítjuk (ld. a gyakorlati anyag kiegészítő részét). 76


VII. gyakorlat

7.1. példa Határozza meg egy kéttámaszú tartó középsõ keresztmetszetének görbületét és lehajlását! Az alakváltozás értékét a repedésmentes állapot (I. feszültség állapot) és a tartó teljes hossza mentén berepedt állapot (II. feszültség állapot) feltételezésével kapott érték közti interpoláció segítségével számíthatjuk. Az alakváltozás értékét általában kvázi állandó (quasi permanent, jele:qp) teherkombinációban kell meghatározni. .Elméleti támaszköz:

L := 5m

Betonfedés: c := 20mm

φ k := 10mm

h

A tartó kéttámaszú. A középsõ keresztmetszetet vizsgáljuk. A keresztmetszet geometriai méretei, vasalása: b := 200mm

b

As := n 1

h := 400mm φ 1 := 20mm n1 := 4db

(⋅ φ 1)2⋅ π 4

2

As = 1256.637 mm

Anyagjellemzõk: Es := 200

Az acél rugalmassági modulusa:

kN

(S500B)

2

mm A beton rugalmassági modulusának várható értéke:

Ecm := 30

kN

C20/25

2

mm A beton húzószilárdságának várható értéke 28 napos korban:

fctm := 2.2

N 2

mm

A beton rugalmassági modulusából számítható alakváltozási tényezõ értéke: 1.05⋅ Ecm N φ t := 2 Ec.eff := Ec.eff = 10500 2 1 + φt mm φ t a beton kúszását figyelembe vevõ tényezõ. Függ a környezet páratartalmától, az alkalmazott cement fajtájától, a beton szilárdsági osztályától, az elsõ terhelés idõpontjától. Most a végtelen idõponthoz tartozó, végértéket vesszük számításba. fct.eff := fctm

A beton húzószilárdságának számítási értéke:

A beton húzószilárdságának számításba vett értéke attól függ, hogy a szerkezeten várhatóan mikor jelenik meg az elsõ repedés. Ez függhet attól, hogy hány napos korban zsaluzzák ki, hogy elõregyártott, vagy monolit, esetleg, hogy lágyvasalású vagy feszített a tartó. Ha az elsõ repedés várhatóan 28 napos kor után következik be, a beton húzószilárdságának várható értékével vehetõ azonosnak. Ha a repedés várhatóan korábban jelenik meg, akkor a várható értéket a a szilárdság aktuális szintjének megfelelõen csökkenteni kell. Most feltételezzük, hogy az elsõ repedés 28 napos kor után jön létre. Es α s.eff := α s.eff = 19.048 Ec.eff Terhek, igénybevételek: A gerenda önsúlya és egyéb állandó jellegû terhek kN gk := 16 karakterisztikus értéke összesen: m

77


VII. gyakorlat

A gerendát terhelõ esetleges jellegû terhek karakterisztikus értéke:

qk := 10

kN m

ψ 2 := 0.6

pqp := gk + ψ 2 ⋅ qk

A kvázi állandó teherkombinációban számítható teher: 2

L M qp := pqp⋅ 8

M qp = 68.75 kNm

φ1 d := h − c − φ k − 2

Használhatósági határállapotok vizsgálatakor alakhibával nem számolunk, így kedvezõtlen vaselmozdulást nem kell számításba venni.

d = 360 mm

Keresztmetszeti jellemzõk, alakváltozások, repesztõnyomaték: A keresztmetszet jellemzõi I. feszültségi állapotban: x h−x b⋅ x⋅ Ec.eff ⋅ = As⋅ Es − Ec.eff ⋅ ( d − x) + b ⋅ ( h − x) ⋅ Ec.eff ⋅ 2 2

(

( h − xI) + b⋅

3

xI

)

xI = 235.34 mm

3

(

)(

)

2

9

4

II := b ⋅ + As⋅ α s.eff − 1 ⋅ d − xI II = 1.519 × 10 mm 3 3 fct.eff ⋅ II M cr := M cr = 20.295 kNm < M qp megreped! h − xI A középsõ keresztmetszetben számítható görbület I. feszültségi állapot feltételezésével: M qp κ I := −6 1 κ I = 4.31 × 10 Ec.eff ⋅ II mm A keresztmetszet jellemzõi II. feszültségi állapotban (berepedt keresztmetszet): x

b⋅ x⋅ Ec.eff ⋅

2

xII

= As⋅ Es⋅ ( d − x)

xII = 197.326 mm

3

(

III := b⋅ 3

+ As⋅ α s.eff ⋅ d − xII

)

2

9

4

III = 1.146 × 10 mm

A középsõ keresztmetszetben számítható görbület II. feszültségi állapot feltételezésével: κ II :=

M qp

−6 1

κ II = 5.715 × 10

Ec.eff ⋅ III

mm

Megjegyzés: A számítási módszer csak akkor alkalmazható, ha a betonacél rugalmas állapotban marad.

Az alakváltozás Eurocode szerinti számítása: A következõkben a ζ kiszámításához szükséges mennyiségeket határozzuk meg: σs

Az acélbetétben számítható feszültség berepedt állapotot feltételezve. Kiszámításának részletes szabályait lásd az elméleti összefoglalóban.

σ s := β

(

)

M qp⋅ d − xII ⋅ α s.eff

σ s = 185.945

III

N

rugalmas 2

mm

a teher tartósságát és ciklikusságát veszi figyelembe. Értéke: 1,0 , ha egyszeri, rövididejû a terhelés. 0,5 , ha tartós vagy ismétlõdõ a teher.

A szabályzat azért ad több értéket, mert a repedéstágasság értékét elvileg bármilyen teherre meghatározhatjuk. A vb szerkezetek repedéstágasságát kvázi állandó teherszinten korlátozzuk. Így β értéke 0,5-re veendõ fel.

β := 0.5

σsr Az acélbetét feszültsége a repesztõnyomaték hatására a berepedés után (második feszültségállapot)

78


σ sr :=

M cr III

VII. gyakorlat

(

)

⋅ d − xII ⋅ α s.eff

 σ sr  ζ := 1 − β ⋅   σ s 

σ sr = 54.892

N 2

mm

2

ζ = 0.956

A km görbülete a maximális igénybvétel helyén EC2 szerint: κ EC := ζ ⋅ κ II + ( 1 − ζ ) ⋅ κ I

κ EC = 5.654 × 10

−6 1

mm

(A görbület értéke önmagában ritkán érdekes egy tartó esetében.)

A tartó maximális lehajlásának meghatározása (egyszerûsített módszer): Az elõbb vázolt módszer a tartó minden alakváltozásának meghatározására alkalmas. Így nem csak a görbületet, hanem az adott km. elfordulását vagy lehajlását is számíthatjuk a megismert módszerrel. Az egyszerûsített módszer esetén azzal, a mechanikában gyakran alkalmazott, közelítéssel élünk, hogy a keresztmetszet merevsége a tartó teljes hossza mentén állandó. (Nyilvánvaló, hogy ez egy a középsõ tartományában berepedt, a támasz közelében repedésmentes vasbeton gerenda esetén nem így van.) A tartó teljes hossza mentén a maximális nyomaték helyén számított merevséggel számolunk. Az így kapott érték a valódinál nagyobb, tehát a módszer a biztonság javára közelít. Kéttámaszú tartó esetében egyenletesen megoszló teher esetén a lehajlást az ismert, zárt összefüggéssel számíthatjuk:

eI :=

eII :=

5

4

L ⋅ p ⋅ 384 qp Ec.eff ⋅ II 5

( )

eI = 11.225 mm

4

L ⋅ p qp ⋅ 384 Ec.eff ⋅ III

( )

eII = 14.883 mm

eEC := ζ ⋅ eII + ( 1 − ζ ) ⋅ eI

eEC = 14.724 mm >

L 500

= 10 mm

A tartó a csatlakozó szerkezetek károsodását megelõzõ lehajláskorlátozást nem teljesíti. L eEC = 14.724 mm < = 20 mm 250 A tartó a szerkezetek megfelelõ mûködését biztosító lehajláskorlátozást teljesíti. Megjegyzés: A lehajlás általánosságban a görbületnek a tartó hossza mentén történõ kétszeri integrálásával kapható. Az integráláson alapuló módszer megismerése azért is hasznos, mert összetettebb tartószerkezetek esetén a lehajlás zárt képlete általában nem ismert, annak levezetése körülményes.

79


VII. gyakorlat

7.2. példa Határozza meg a tartó maximális repedéstágasságát! A repedéstágasság értékét a legnagyobb repedéstávolság és a repedések közötti tartományban az acélbetétben valamint a betonban számítható megnyúlás különbségének szorzataként kaphatjuk. A repedéstágasság megfelelõségét a tapadásos feszítõbetétet tartalmazó szerkezet esetén gyakori kombinációban, minden más betonszerkezet esetében kvázi állandó teherkombinációkban kell igazolni. A repedéstágasság értékét természetesen bármely más teherkombinációból származó igénybevételre meghatározhatjuk. (A keresztmetszet az elõzõvel azonos)

h

A keresztmetszet geometriai méretei és vasalása: b := 200mm

h := 400mm

φ 1 := 20mm

n1 := 4db

A keresztmetszetben nincs feszítõbetét. 2

Ap := 0mm

b

As := n 1

(⋅ φ 1)2⋅ π 4

2

As = 1256.637 mm


φ k := 10mm

φ1 d := h − c − φ k − 2

d = 360 mm

A tartón számítható (mértékadó) hajlítónyomaték kvázi állandó teherkombinációban:

M qp := 120kNm

Anyagjellemzõk: kN

Es := 200

Az acél rugalmassági modulusa:

S500B

2

mm A beton rugalmassági modulusának várható értéke:

Ecm := 30

kN

C20/25

2

mm A beton alakváltozási tényezõje:

φ t := 2

Ec.eff :=

1.05⋅ Ecm 1 + φt

Ec.eff = 10500

N

α s.eff :=

2

mm

Es Ec.eff

α s.eff = 19.048

Használhatósági határállapotok esetén az anyagok szilárdságának és a geometriai adatoknak a várható értékét vesszük számításba. Ezért nincs szükség kedvezõtlen vaselmozdulás figyelembe vételére, amellyel a geometriai adatok szélsõ értékét lehet elõállítani. Az 1. példában meghatároztuk a km. repesztõnyomatékát. Az km.-et terhelõ nyomaték ezt meghaladja, így a tartó bereped.

80

2

mm

Értéke az alakváltozás számításakor leírtak szerint határozható meg. fct.eff := 2.2

N


VII. gyakorlat

A keresztmetszet jellemzõi második feszültségállapotban: x b⋅ x⋅ Ec.eff ⋅ = As⋅ Es⋅ ( d − x) xII := Find( x) xII = 197.326 mm 2 xII

3

III := b⋅ 3

+ As⋅ E

Es c.eff

(

⋅ d − xII

)

2

9

4

III = 1.146 × 10 mm

A nyúláskülönbségek meghatározása: A következõkben a repedések között az acélban és a betonban fellépõ átlagos nyúlás közti különbség (∆ε) meghatásrozásához szükséges mennyiségeket számítjuk ki. σs

Az acélbetétben számítható feszültség II. feszültségi állapotot feltételezve. Kiszámításának részletes szabályait lásd az elméleti összefoglalóban.

σ s := Aceff

(

)

M qp⋅ d − xII ⋅ α s.eff

N

σ s = 324.558

III

Az acélbetét rugalmas marad, alkalmazhatók az összefüggések.

2

mm

a hatékony húzott betonzóna területe h − xII h   hcef := min2.5⋅ ( h − d) , ,  2 3

hcef = 67.6 mm

Aceff := b ⋅ h cef

Aceff = 13511.599 mm





2

2

ρ peff := kt

As + ξ 1 ⋅ Ap

ρ peff = 0.093

Aceff

A teher tartósságától függõ tényezõ. Értéke 0,6, ha a teher rövididejû. 0,4, ha a teher tartós. fct.eff    σ s − kt⋅ ⋅ ( 1 + α s.eff ⋅ ρ peff )  σ s ρ peff  ∆ε := max , 0.6⋅  Es Es  

2

Ap = 0 mm

ξ 1 definíciója a zh-ra felkészítõ példák között.

kt := 0.4

∆ε = 0.149 %

Repedések maximális távolságának meghatározása: A repedések egymástól mért távolságát attól függõen kell meghatározni, hogy az acélbetétek tengelyei egymáshoz képest közel, vagy távol helyezkednek el. A két eset között az alábbi összefüggés alapján teszünk különbséget: φ1   th := 5 ⋅  c +  th = 150 mm 2





Az acélbetétek távolsága:

t :=

φ1 b − 2⋅ c + φ k − 2⋅ 2

(

)

n1 − 1

t = 40 mm

t < th

Az acélbetétek tehát egymáshoz közel helyezkednek el. Különbözõ átmérõk esetén egyenértékû átmérõt kell számítani. 2

φ eq :=

n 1⋅ φ 1 + n2 ⋅ φ 2 n 1 ⋅ φ 1 + n2 ⋅ φ 2

2

Ahol n1 és n2 a különbözõ átmérõjû acélbetétek darabszáma az alsó sorban. (ti. az alsó sor betéteinek átmérõje befolyásolja a repedéstágasságot)

A repedések maximális távolságának meghatározása: k1 a beton és az acélbetét közti tapadás milyenségét figyelembe vevõ tényezõ. Értéke 0,8 bordás acélbetét esetén. 1,6 sima acélbetét esetén. 81

φ eq = 20 mm


VII. gyakorlat

k2 a keresztmetszeten belüli nyúlás alakulását figyelembe vevõ tényezõ. 0,5 hajlítás esetén 1,0 tiszta húzás esetén (alapeset) Külpontos húzás esetén közbensõ értéket kell alkalmazni. ε1 + ε2 Ahol ε1 és ε2 a szélsõ szálakban számítható nyúlás berepedt k2 := 2⋅ ε 1 km. feltételezésével. A húzás pozitív. ε1>ε2 Külpontos nyomás esetén 0,5 érték alkalmazandó. srmax := 3.4⋅ c + 0.425⋅ k1⋅ k2 ⋅

φ eq

k1 := 0.8 k2 := 0.5

srmax = 104.557 mm

ρ peff

A repedéstágasság értéke: wk := srmax⋅ ( ∆ε )

wk = 0.156 mm

<

0,3mm

(A határérték a szerkezet kitéti osztályától és jellegétõl függ)

megfelel Megjegyzés:

Ha az acélbetétek távolsága a határértéknél nagyobb, a repedések legnagyobb távolsága:

(

)

srmax. := 1.3⋅ h − xII −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 7.3. példa Határozza meg a tartó maximális repedéstágasságát! A tartó egyirányban teherviselõ lemez.

h

Legyen a kvázi állandó kombinációban kNm mqp := 40 számítható hajlítónyomaték értéke: m A keresztmetszet geometriai méretei és vasalása:

100 cm

h := 200mm

φ 1 := 12mm

n1 := 6

db m

Az egyirányban teherviselõ lemezek számítása egy 1m széles gerenda számításával azonosan végezhetõ. Anyagjellemzõk: Es := 200

kN 2

mm fctm := 2.2

N 2

mm

kN

Ecm := 30

S500B

C20/25

2

φ t := 2

Es fct.eff := fctm α s.eff := Ec.eff c := 20mm

α s.eff = 19.048

as := n 1

A repesztõnyomaték számítása: h−x = as⋅ Es − Ec.eff ⋅ ( d − x) + ( h − x) ⋅ Ec.eff ⋅ 2 2

(

)

82

xI = 104.27 mm

1 + φt

(⋅ φ 1)2⋅ π 4

φ1 Vonal mentén megtámasztott d := h − c − födémek nem tartalmaznak kengyelt. 2

A keresztmetszet viselkedése I. és II. feszültségi állapotban:

x

1.05⋅ Ecm

mm

A betonfedés értéke:

x⋅ Ec.eff ⋅

Ec.eff :=

d = 174 mm


VII. gyakorlat

(h − xI)

3

xI

3

(

II := + 3 3 fct.eff ⋅ II mcr := h − xI

)(

8 1 4 II = 7.299 × 10 mm m

)2

+ as⋅ α s.eff − 1 ⋅ d − xI

1 mcr = 16.773 kNm < mqp m

megreped!

A keresztmetszet jellemzõi II. feszültségi állapotban: x⋅ Ec.eff ⋅ III :=

x

= as⋅ Es⋅ ( d − x)

2

xII

3

3

xII := Find( x)

xII = 55.376 mm

Es 2 + a s⋅ ⋅ d − xII Ec.eff

(

8 1 4 III = 2.385 × 10 mm m

)

∆ε meghatározása: σ s := Aceff

(

)

mqp⋅ d − xII ⋅ α s.eff III

A betonacél rugalmas marad, alkalmazhatók a képletek.

N

σ s = 378.975

2

mm

a hatékony húzott betonzóna területe

 

hcef := min2.5⋅ ( h − d) ,

h − xII h  ,  3 2

hcef = 48.2 mm 1 2 Aceff = 48207.936 mm m

Aceff := h cef 2

ρ peff :=

as + ξ 1 ⋅ a p

ρ peff = 0.014

Aceff

fct.eff    σ s − kt⋅ ⋅ ( 1 + α s.eff ⋅ ρ peff )  σ s ρ peff  ∆ε := max , 0.6⋅  Es Es  



th := 5 ⋅  c +



φ1  2

 

kt := 0.4

∆ε = 0.15 %

th = 130 mm

Az acélbetétek távolsága:

t :=

1

t = 166.667 mm

n1

t > th

Az acélbetétek tehát egymástól távol helyezkednek el. Ha az acélbetétek távolsága a határértéknél nagyobb, a repedések legnagyobb távolsága:

(

srmax. := 1.3⋅ h − xII

)

srmax. = 0.188 m

A repedéstágasság értéke: wk := srmax.⋅ ( ∆ε )

wk = 0.282 mm

<

0,3 mm megfelel

83


Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz KIEGÉSZÍTŐ ANYAG AZ I. GYAKORLATHOZ

Gyengén -, normálisan - és túlvasalt vasbeton keresztmetszetek monoton növekvő hajlítónyomatékkal szembeni viselkedésének vizsgálata Készítették: Klinka Katalin és Völgyi István A vizsgálat során alkalmazott geometria jellemzők: h := 500mm 500

450

b := 300mm d := 450mm

(A hajlítónyomaték alul okoz húzást)

As 300 A vizsgálat során alkalmazott anyagjellemzők definiálása: A repedésmentes beton σ(ε) diagramja:

A berepedt beton σ(ε) diagramja:

c[MPa]

σ [MPa]

c[MPa]

10,7 0,104

A betonacél σ(ε) diagramja: s

10,7

0,585 1,9

εc[% ]

3,5

0,585

3,5

434

εc[% ] ε' s

Ec = 18.3

kN

-25

2,17

-2,17

2

mm

25

σ'

A beton anyagjellemzői: N mm

2

fc.t := 1.9 ⋅

N mm

2

ε1 := ε2 :=

Es = 200

fc.c

ε1 = 0.585 ‰

Ec fc.t

εc.E := ε1

ε2 = 0.104 ‰

Ec

N 2

mm

εs.E :=

fy Es

εs.E = 2.17 ‰

α E :=

Es Ec

α E = 10.93

Megjegyzés: A következő vizsgálatokban a betonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált beton illetve betonacél merevségi, szilárdsági jellemzői azonosak. Csak az alkalmazott betonacél mennyisége változik. Feltételezzük továbbá, hogy a keresztmetszetek hasznos magassága változatlan marad. A vizsgálat során csak az első terhelést veszük figyelembe, a visszaterheléssel, a reverzíbilitással, a maradó alakváltozásokkal és az újra terhelés esetével nem foglalkozunk. Meg kell még azt is állapítanunk, hogy a vizsgálatot a gerenda egyetlen keresztmetszetében végezzük el.

84

mm

εcu := 3.5 ⋅ ‰

εsu := 25⋅ ‰


kN 2

εc.E = 0.585 ‰

A betonacél anyagjellemzői: fy := 434⋅

s

-434

s

fc.c := 10.7⋅

ε [%0]


Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz GYENGÉN VASALT VASBETON KERESZTMETSZET

A

M

A-A metszet

n := 2

- az alkalmazott húzott vasalás: 500

z

darab

450

M

2

φ ⋅π As := n⋅ 4

2φ12 A

φ := 12mm

300

2

As = 226.2 mm

Az I. feszültségi állapotban levő (repedésmentes) vb. km. nyomatékfüggvénye: A vetületi egyenletből megkapjuk a repedesmentes vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét:

A-A metszet

{

.

κ

.

y

εs

2 1

c

{

b

2

Fc.t Fs

*

1   ⋅ κ ⋅ (h − xI) ⋅ Ec⋅ (h − xI) ⋅ b − κ ⋅ ( d − xI)⋅ Ec⋅ As − κ ⋅ (d − xI) ⋅ Es⋅ As = 0 2 

⋅ κ ⋅ xI⋅ Ec⋅ b ⋅ xI − ⋅ xI⋅ Ec⋅ b ⋅ xI −

2(h-x) 3

s

*

1

Fc.c

2x 3

σ Ε ε2=κ (h-x) ε2 Ec

As A

x

d

x

h

z

.

M

{

M

*

*

{

A

Belső erők

ε1=κ x ε1 Ec

1 2

(

)

(

)

(

)

(

)

⋅ h − xI ⋅ Ec⋅ h − xI ⋅ b − d − xI ⋅ Ec⋅ As − d − xI ⋅ Es⋅ As = 0 xI = 254 mm

Az I. feszültségi állapothoz tartozó ideális keresztmetszet inerciája: 3

II :=

b ⋅ xI 3

+

(

)

b ⋅ h − xI

3

)2 (

(

+ As⋅ d − xI ⋅ α E − 1

3

)

II = 321356.2 cm MI( κ ) := Ec⋅ II⋅ κ

Az I. feszültségi állapotban nyomaték a κ görbület függvényében:

4

Az I. feszültségi állapot határát jelentő görbület értéke: κ I :=

A húzott beton szélsőszál határnyúlásához tartozó görbület:

ε2

−7 1

h − xI

κ I = 4.213 × 10

mm

A II. feszültségi állapotban levő vb. km. nyomatékfüggvénye: A vetületi egyenletből megkapjuk a II. fesz. állapotban a vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét:

κ

y

x

εs

{

As b

A

Belső erők

c

2x 3

Fc.c=21 κ x Ec b x-κ (d'-x) Ec A's *

*

*

*

*

*

*

*

d

x

h

z

.

M

*

*

.

A-A metszet

{

M

ε σ ε1=κ x ε1 E

{

A

ε2=κ (h-x)

σ Ε

s c

Fs=κ (d-x) Es As *

*

*

*

1

(

)

⋅ x ⋅ E ⋅ b ⋅ xII − d − xII ⋅ Es⋅ As = 0 2 II c

xII = 78.3 mm

A II. feszültségi állapothoz tartozó ideális keresztmetszet inerciája: 3 1 2 III := xII ⋅ b ⋅ + As⋅ α E⋅ d − xII 3

III = 38955 cm

(

)

Az II. feszültségi állapotban nyomaték a κ görbület függvényében:

85

4

MII( κ ) := Ec⋅ III⋅ κ


Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz II c II

A II. feszültségi állapot határát jelentő görbület értéke: A nyomott szélsőszál rugalmassági határához tartozó nyúlásához a görbület:

κ 1 :=

A húzott acél rugalmassági határához tartozó nyúlásából kapott görbület:

κ s :=

 κ 1   κs   

ε1

−6 1

κ 1 = 7.47 × 10

xII εs.E

−6 1

κ s = 5.838 × 10

d − xII

κ II := min

A II. feszültségi állapot határát adó κII görbület: (a húzott acél eléri a rugalmassági határát)

mm

mm −6 1

κ II = 5.838 × 10

mm

A II. és a III. feszültségi állapot közötti intermedier állapotban levő vasbeton km. nyomatékfüggvényei: Ha a beton rugalmas állapotban van, az acélbetétek folynak, ekkor a nyomatékfüggvény: fy⋅ As 1 2 1 xfy( κ ) := Mfy( κ ) := ⋅ κ ⋅ Ec⋅ b ⋅ xfy( κ ) ⋅  d − ⋅ xfy( κ )  1 2 3 ⋅ κ ⋅ Ec⋅ b   2 Ha a beton rugalmas és képlékeny állapot határán van, az acélbetétek folynak, ekkor a görbület:

 ε1   ⋅ Ec⋅ b⋅ x2 − fy⋅ As = 0 2  x  1

⋅

κ εc.E :=

x = 61.2 mm

ε1

−6 1

κ εc.E = 9.56 × 10

x

A beton képlékeny állapotban van, az acélbetétek folynak:

M

σ

Belső erők

c

Fc.c,1 Fc.c,2

.

x

a

d

.

x

h

z

f

{

M

A-A metszet

ε

{

A

εc.1

κ

y

As

εs

σs

b

A

Vetületi egyenlet: 1 b ⋅ ( x − a) ⋅ fc.c + ⋅ b ⋅ a⋅ fc.c − As⋅ fy = 0 2



b⋅ x −



ahol

a=

1  εc.E   ⋅ fc.c + ⋅ b ⋅   ⋅ f − As⋅ fy = 0 2  κ  c.c κ 

Fs

εc.E κ

εc.E 

b ⋅ x⋅ fc.c − b ⋅

xfc.c( κ ) :=

εc.E κ

⋅ fc.c +

1 2

⋅b⋅



εc.E



κ

− −fc.c⋅ b ⋅

+

εc.E κ 1 2

átalakítva

⋅ fc.c − As⋅ fy = 0

⋅ fc.c⋅ b ⋅

fc.c⋅ b

εc.E κ

ebből a semleges tengely helyének a függvénye:



− As⋅ fy



Ekkor nyomaték a κ függvényében: εc.E   xfc.c ( κ ) −   εc.E    κ  1 εc.E 2 εc.E   ( ) ( ) Mfc.c κ := b ⋅  xfc.c κ −  ⋅ fc.c⋅ d − + ⋅b⋅ ⋅ fc.c⋅  d − xfc.c( κ ) + ⋅  2 3 κ  κ  κ   2  

86

mm


Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz

III. feszültségi állapotban levő vasbeton keresztmetszet számítása: εc.E

A betonacél eléri a határnyúlását.

 

b ⋅ x −

εc.E εsu

 

⋅ ( d − x) ⋅ fc.c +

εsu

1 2

=

 εc.E ⋅( d −  εsu

⋅ b⋅ 

a d−x

ebből



εc.E εsu

⋅ ( d − x)

b ⋅ ( x − a) ⋅ fc +

x) ⋅ fc.c − As⋅ fy = 0 



κ III :=

A görbület értéke III. feszültségi állapotban:

1 2

⋅ b⋅ a⋅ fc − As⋅ fy = 0

x = 35.4 mm

εsu

−5 1

κ III = 6.03 × 10

d− x

ε := κ III⋅ x

A beton szélső szálának összenyomódása:

a=

ε = 2.1 ‰

mm

Tényleg nem éri el a határösszenyomódás értékét.

Megjegyzés: diagramokon az értékek Nm-ban és 1/m-ben értendők. A szemléltetés kedvéért ábrázoljuk egy diagramon a különböző állapotokhoz tartozó nyomaték függvényeket:

M I( κ )

5 .10

4

3.75 .10

4

2.5 .10

4

1.25 .10

4

M II( κ ) M fy( κ ) M fc.c( κ )

0

0

0.005

0.01

0.015

0.02

κ

A gyengén vasalt vasbeton keresztmetszet M(κ) görbéje: A viselkedést az előbbi nyomaték-függvények metszéspontjai alapján kapjuk:

(

5 .10

4

3.75 .10

4

)

M gy κ , hgy 2.5 .104

1.25 .10

4

0

0

0.016

0.031 κ

87

0.047

0.062


Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz NORMÁLISAN VASALT VASBETON KERESZTMETSZET

A

M

A-A metszet


500

z

450

M

A

n := 4

darab

φ := 20mm

2

φ ⋅π As := n⋅ 4

As = 1256.6 mm

2

300

Az I. feszültségi állapotban levő (repedésmentes) vb. km. nyomatékfüggvénye: 1 2

⋅ xI⋅ Ec⋅ b ⋅ xI − 3

II :=

b ⋅ xI 3

+

 1 ⋅ h − x ⋅ E ⋅ h − x b − d − x ⋅ E ⋅A  − d − x E ⋅ A = 0 2 ( ( I) c s ( I) s s I) c ( I) 

xI = 265 mm

(

II = 321356.2 cm

)3

b ⋅ h − xI 3

) (

(

2

+ As⋅ d − xI ⋅ α E − 1

)

MI( κ ) := Ec⋅ II⋅ κ Az I. feszültségi állapot határát jelentő görbület értéke: ε2 κ I := h − xI

4

−7 1

κ I = 4.425 × 10

mm

A II. feszültségi állapotban levő vb. km. nyomatékfüggvénye: 1

(

)


xII = 162.3 mm

3 1 2 III := xII ⋅ b ⋅ + As⋅ α E⋅ d − xII 3

III = 156428 cm

II hn := III


(

)


κ 1 :=


κ s :=

 κ 1   κs   

κ II := min


88

ε1 xII εs.E d − xII

4

−6 1

κ 1 = 3.603 × 10

mm

−6 1

κ s = 7.543 × 10

mm −6 1

κ II = 3.603 × 10

mm



A II. és a III. feszültségi állapot közötti intermedier állapotban levő vasbeton km. nyomatékfüggvényei: Ha beton képlékeny állapotban van, az acélbetétek rugalmasak, ekkor a nyomatékfüggvény: b ⋅ ( x − a) ⋅ fc.c + a=

εc.E





2

⋅ b ⋅ a⋅ fc.c − As⋅ Es⋅ εs = 0

εs = κ ⋅ ( d − x)

σ s = Es⋅ εs

ehhez tartozó betonacél feszültség:

behelyettesítve a vetületi egyenletbe:

κ

b⋅ x −

1

εc.E 

1  εc.E   ⋅ fc.c + ⋅ b ⋅   ⋅ f − As⋅ Es⋅ κ ⋅ (d − x) = 0 2  κ  c.c κ 

(

)

x⋅ fc.c⋅ b + As⋅ Es⋅ κ − fc.c⋅ b ⋅

εc.E κ

+

1 2

⋅ fc.c⋅ b ⋅

A semleges tengely helye a κ függvényében:

εc.E κ

átrendezve

− As⋅ Es⋅ κ ⋅ d = 0

xfc.c( κ ) :=



εc.E



κ

− −fc.c⋅ b ⋅

+

1 2

⋅ fc.c⋅ b ⋅

εc.E



− As⋅ Es⋅ κ ⋅ d



κ

fc.c⋅ b + As⋅ Es⋅ κ

A nyomaték a κ függvényében:

εc.E   xfc.c ( κ ) −   εc.E    κ  1 εc.E 2 εc.E   ( ) ( ) Mfc.c κ := b ⋅  xfc.c κ −  ⋅ fc.c⋅ d − ⋅ fc.c⋅  d − xfc.c( κ ) + ⋅  + ⋅b⋅ 2 3 κ  κ  κ   2   Ennek az állapotnak a határát az acélbetétek megfolyása jelenti, az ehhez tartozó görbület értéke: εc.E εs.E

=

a

ebből

d−x

a=

εc.E εs.E

⋅ ( d − x)

A semleges tengely helye a vetületi egyenletből meghatározható:  εc.E   1  εc.E b ⋅ x − ⋅ ( d − x) ⋅ fc.c + ⋅ b⋅  ⋅ ( d − x) ⋅ fc.c − As⋅ fy = 0  εs.E  2  εs.E  

x = 203.2 mm κ εs.E :=

Az acélbetétek megfolyásához tartozó görbület értéke:

εs.E

−6 1

κ εs.E = 8.791 × 10

d− x

A beton képlékeny állapotban van, az acélbetétek folynak, ekkor a nyomatékfüggvény: Vetületi egyenlet: b ⋅ ( x − a) ⋅ fc.c +

1 2

⋅ b ⋅ a⋅ fc.c − As⋅ fy = 0

A semleges tengely helye a κ függvényében:

xfy( κ ) :=




εc.E



κ

− −fc.c⋅ b ⋅

+

1 2

⋅ fc.c⋅ b ⋅

εc.E κ

fc.c⋅ b

εc.E   xfy( κ ) −   εc.E    κ  1 εc.E 2 εc.E   Mfy( κ ) := b ⋅  xfy( κ ) −  ⋅ fc.c⋅ d − + ⋅ b⋅ ⋅ fc.c⋅  d − xfy( κ ) + ⋅  2 3 κ  κ  κ   2  

89



− As⋅ fy



mm



III. feszültségi állapotban levő vasbeton keresztmetszet számítása: A vasbeton nyomott, felső szélső szálban az összenyomódás eléri a beton határösszenyomódásának értékét, ezért a vb. keresztmetszet a III. feszültség állapotba kerül (εc,felső=εc,u=3,5%o)! A semleges tengely helye a vetületi egyenletből meghatározható: 1 b ⋅ ( x − a) ⋅ fc + ⋅ b⋅ a⋅ fc − As⋅ fy = 0 2

 

b⋅ x −

 εcu  

εc.E

⋅ x ⋅ fc.c +

1 2

 εc.E  ⋅ x ⋅ f − As⋅ fy = 0  εcu  c.c

⋅b⋅


κ εcu :=

x = 185.4 mm εcu

−5 1

κ εcu = 1.888 × 10

x

mm

A szemléltetés kedvéért ábrázoljuk egy diagramon a különböző állapotokhoz tartozó nyomaték függvényeket: Megjegyzés: diagramon az értékek Nm- ben és 1/m-ben értendők. 2.5 .10

5

1.88 .10

5

. M fy( κ ) 1.25 10

5

M I( κ ) M II( κ )

M fc.c( κ ) 6.25 .10

4

0

0

0.005

0.01

0.015

0.02

κ

A normálisan vasalt vasbeton keresztmetszet M(κ) görbéje: A viselkedést az előbbi nyomaték-függvények metszéspontjai alapján kapjuk:

(

2.2 .10

5

1.65 .10

5

)

M n κ , hn 1.1 .105

5.5 .10

4

0

0

0.005

0.01 κ 90

0.015

0.02


Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz TÚLVASALT KERESZTMETSZET VISELKEDÉSE

A

M

A-A metszet

450

500

z

6φ20

n := 6

az alkalmazott húzott vasalás:

M

A

φ := 20mm

darab 2

φ ⋅π As := n⋅ 4

As = 1885 mm

2

300

Az I. feszültségi állapotban levő (repedésmentes) vasbeton keresztmetszet nyomatékfüggvénye: 1 2

⋅ xI⋅ Ec⋅ b ⋅ xI − 3

II :=

b ⋅ xI 3

+

 1 ⋅ h − x ⋅ E ⋅ h − x b − d − x ⋅ E ⋅A  − d − x E ⋅ A = 0 2 ( ( I) c s ( I) s s I) c ( I) 

(

)

b ⋅ h − xI 3

3

)2 (

(

+ As⋅ d − xI ⋅ α E − 1

xI = 272 mm

)

II = 379058.1 cm

4

MI( κ ) := Ec⋅ II⋅ κ Az I. feszültségi állapot határát jelentő görbület értéke: ε2 κ I := h − xI

−7 1

κ I = 4.557 × 10

mm

A II. feszültségi állapotban levő vb. km. nyomatékfüggvénye: 1

(

)


xII = 189.2 mm

3 1 2 III := xII ⋅ b ⋅ + As⋅ α E⋅ d − xII 3

(

)

III = 207846 cm




κ 1 :=

κ s :=

ε1 xII εs.E d − xII

 κ 1   κs   

κ II := min


−6 1

κ 1 = 3.09 × 10



−6 1

1  εc.E   ⋅ fc.c + ⋅ b ⋅   ⋅ f − As⋅ Es⋅ κ ⋅ (d − x) = 0 2  κ  c.c κ   εc.E εc.E   1 − −fc.c⋅ b ⋅ + ⋅ fc.c⋅ b ⋅ − As⋅ Es⋅ κ ⋅ d 2 κ κ   A semleges tengely helye a κ függvényében: x ( κ ) := fc.c⋅ b + As⋅ Es⋅ κ


εc.E   xfc.c ( κ ) −   εc.E    κ  1 εc.E 2 εc.E   ( ) ( ) Mfc.c κ := b ⋅  xfc.c κ −  ⋅ fc.c⋅ d − + ⋅b⋅ ⋅ fc.c⋅  d − xfc.c( κ ) + ⋅  2 3 κ  κ  κ   2   91

mm

−6 1

κ II = 3.09 × 10

εc.E 

fc.c

mm

κ s = 8.322 × 10

A II. és a III. feszültségi állapot közötti intermedier állapotban levő vasbeton km. nyomatékfüggvényei: A beton képlékenyedik, az acélbetétek rugalmas állapotban vannak, ekkor a nyomatékfüggvény: 1 b ⋅ ( x − a) ⋅ fc.c + ⋅ b ⋅ a⋅ fc.c − As⋅ Es⋅ εs = 0 σ s = Es⋅ εs 2 b⋅ x −

4

mm



III. feszültségi állapotban levő vasbeton keresztmetszet számítása: A vasbeton km. nyomott, felső szélső szálában az összenyomódás eléri a beton határösszenyomódásának értékét: εcu=3,5%o, így III. fesz. állapotba kerül, mielőtt az acél megfolyna A semleges tengely helye a vetületi egyenletből meghatározható: εc.E εc.E a ebből = a= ⋅x d−x εcu εcu εcu εcu 1 κ= εs = κ ⋅ ( d − x) = ⋅ ( d − x) b ⋅ ( x − a) ⋅ fc + ⋅ b⋅ a⋅ fc − As⋅ Es⋅ εs = 0 2 x x

 

b⋅ x −

 εcu  

εc.E

⋅ x ⋅ fc.c +

1 2

  εc.E   εcu ⋅ x ⋅ fc.c − As⋅ Es⋅  ⋅ ( d − x) = 0  εcu   x 

⋅b⋅


κ εcu :=

Ekkor az acélban keletkező megnyúlás: εs := κ εcu⋅ ( d − x) εs = 2.168 ‰

x = 277.9 mm

εcu

−5 1

κ εcu = 1.26 × 10

x <

εs.E = 2.17 ‰

A szemléltetés kedvéért ábrázoljuk egy diagramon a különböző állapotokhoz tartozó nyomaték függvényeket: 4 .10

5

3 .10

5

2 .10

5

1 .10

5

M fc.c( κ ) M I( κ ) M II( κ )

0

0

0.013

0.025

0.038

0.05

0.0113

0.015

κ

A túlvasalt vasbeton keresztmetszet M(κ) görbéje: 5

3 .10

5

2.25 .10

(

)

M t κ , ht 1.5 .105

4

7.5 .10

0

0

0.0038

0.0075 κ 92

mm



κ

A gyengén -, a normálisan - és túlvasalt vasbeton keresztmetszet M(κ) görbéi

(

3 .10

5

2.25 .10

5

1.5 .10

5

7.5 .10

4

)

M gy κ , hgy

( ) M t ( κ , ht ) M n κ , hn

0

0

0.016

0.031

0.047

0.062

κ

MEGÁLLAPÍTÁSOK (összegezve): A VB. KM. NYOMATÉK-GÖRBÜLET ÖSSZEFÜGGÉSE Ábrázoljuk a példákban szereplő vb. keresztmetszet a nyomatékainak alakulását a görbületváltozásának függvényéban, ha azt monoton növekvő nyomaték terheli, (és csak az első terhelést veszük figyelembe, a visszaterheléssel, a reverzíbilitással, a maradó alakváltozásokkal és az újra terhelés esetével nem foglalkozunk)! (A vizsgálatot részletesen lásd a Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz c. részben a normálisan vasalt keresztmetszetnél) M [kNm]

III. fesz. áll.

állapot

in t

er m

ed

ier

MIII=198,962 198,488

(első képlékeny jelenség)

II . f

es z.

á l l.

M II=103,13

M cr=29,04 I. fesz. áll.

κ III

=1,888

=0,0423

0,8791

II

cr

κ =0,3603

κ

-5 1 mm ]

κ [ 10

A vizsgált, monoton növekvő nyomatékkal terhelt vb. keresztmetszet M(κ) görbéjének I. fesz. állapothoz tartozó szakasza egy adott meredekségű egyenessel jellemzhető, amelynek a határát a repesztőnyomaték értéke adja. Ekkor a vb. M keresztmetszet bereped, így az inerciája lecsökken ( III < II ), mivel κ= , ezért nyomaték állandó nagysága mellett κ EI szükségszerűen növekedni fog. A II. feszültségi állapot is egy egyenessel jellemezhető, a meredeksége nyilvánvalóan kisebb lesz, mint az I. feszültségi állapoté, hisz a berepedt km. inerciája is kisebb. A II. fesz. állapotot egy nemlineáris intermedier állapot követ, ebben az intermedier állapotban először vagy a beton, vagy a betonacél/ok kezdenek el képlékenyen viselkedni, majd nyomaték növekedésével mind a beton és a betonacélok is képlékeny állapotba kerülnek. Az M(κ) görbének a végpontja - és valóban csak egyetlen pontja - a III. feszültségi állapot. 93



EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HAJLíTÓNYOMATÉKKAL SZEMBENI VISELKEDÉSÉNEK ELEMZÉSE NYOMATÉK-GÖRBÜLET ÖSSZEFÜGGÉS A gyengén -, a normálisan - és túlvasalt vasbeton keresztmetszet M(κ) görbéi a következő diagramon láthatóak: Megjegyzés: a vizsgálat során a beton bilineáris anyagmodelljét használtuk.

M [kNm] 6φ20 túlvasalt

263,263

4φ20 normálisan vasalt

198,962

117,53 103,13 2φ20 gyengén vasalt

42,662 31,663

6,03

1,888

1,260

0,879

0,584

0,309

κ [10

-5 1 mm ]

A diagramon követhető, hogy a repesztőnyomaték nagysága alig függ a vasmennyiségtől. Az is megfigyelhető, hogy ha kevés a betonacél a vb. keresztmetszetben (II>>III) az I. feszültségi állapothoz tartozó egyenes meredekségéhez képest jelentősen lecsökken a II. feszültségi állapothoz tartozó egyenes meredeksége, míg sok vas esetén ez alig csökken. A gyengén vasalt keresztmetszetnél a felvehető M Rd hajlítónyomaték értéke nem sokkal nagyobb, mint a repesztőnyomaték, és már egy igen alacsony nyomatékértéknél nagy alakváltozások játszódnak le. A túlvasalt keresztmetszetnél pedig az látható, hogy a III. feszültségi állapot elérése előtt csak korlátozottan képes alakváltozásokra. A normálisan vasalt vb. keresztmetszetek viselkedése mindezekkel szemben kedvező, hisz megfelelően nagy nyomatékot képes felvenni a repesztőnyomaték felett és a keresztmetszet tönkremenetele előtt jelentősen nagy képlékeny alakváltozásokra képes. A "megfelelően" nagy nyomatéki teherbírás és a "jelentősen nagy" képlékeny alakváltozások tisztázása a vizsgálatot részletesen lásd a Kiegészítő anyag az II. gyakorlathoz c. részben.

94


II. gyakorlat KIEGÉSZÍTŐ ANYAG AZ II. GYAKORLATHOZ

Egyszeresen vasalt négyszög keresztmetszet hajlítónyomatékkal szembeni viselkedésének elemezése Készítették: Klinka Katalin és Völgyi István

Az elemzés során az alábbi vasbeton keresztmetszet viselkedését kísérjük végig egyre növekvő húzott vasmennyiségek mellett: A vizsgálat során alkalmazott geometria jellemzők: h := 500mm 500

450

b := 300mm d := 450mm


As 300

A vizsgálat során alkalmazott anyagjellemzők definiálása: A beton σ(ε) diagramja: A betonacél σ(ε) diagramja:

σ f αf

σs

C16/20

c

σ ασ

ck cd

ε =0,7 c1

-f yk -f yd

S500B

ck

σyk σyd

cd

ε's

ε [% 0] ε =3,5 c

f yd Es

cu

σ'yd σ'yk

εsu=-25

ε [%o] s

f yd' f yk' σs'

A beton anyagjellemzői: C16/20 fck := 16⋅

N 2

mm

fcd :=

fck γc

A betonacél anyagjellemzői: S500B fyk N fyk := 500⋅ fyd := 2 γs mm ξ c0 :=

560 fyd + 700

ξ c0 = 0.5

fcd = 10.7

N mm

fyd = 434.8

fctm := 1.9

2

N mm

xc0 := d⋅ ξ c0

2

N 2

mm

εsu := 25⋅ ‰

εcu := 3.5 ⋅ ‰

Es = 200

xc0 = 222.1 mm

Megjegyzés: A vizsgálat a keresztmetszet tönkremenetelét okozó görbületre ill. nyomatékra korlátozódik.

Az EC szerkesztési szabályok ad meg vasbeton keresztmetszetekben előírt minimális és maximális vasmennyiségre, ahhoz hogy egyátalán vasbetonként számolhatóak legyenek:

 0.26⋅ fctm⋅ b ⋅ d    fyk Asmin := max   1.3 ⋅ ‰⋅ b ⋅ d   

Asmin = 175.5 mm

Asmax := 4%⋅ b ⋅ d

Asmax = 5400 mm

2

2

95

kN mm

2


II. gyakorlat

A vasbeton keresztmetszet tönkremeneteli módját tekintve három fő csoportot különböztetünk meg: - a gyengén vasalt keresztmetszetek, - a normálisan vasalt keresztmetszetek és - a túlvasalt keresztmetszetek σ [MPa] c

f cd=10,7

C16/20 ε [%0]

εcu=3,5

0,7

c

xa_b h=500 mm

d=450 mm

xc.b_c

xb_c

As

"a" GYENGÉN VASALT KM.

s

ε

s

ε

su

S500B

"c" TÚLVASALT KM.

"b" NORMÁLISAN VASALT KM.

su

ε

ε σ'[MPa]

b=300 mm

=-25

=-25

f =2,17 E

ε

f =2,17 E

yd

yd

s

su

=25

ε'[%0] s

s

f

=434,8

yd

σ

s

Határozzuk meg először, mekkora vasmennyiségek esetén van a vb. keresztmetszet éppen a viselkedésmódok határán! Gyengén vasalt (a) és normálisan vasalt (b) keresztmetszet határa: Ilyen esetben a modellünk szerint a nyomott beton szélső szál összenyomdása éppen akkor merül ki (3.5 ‰), amikor az acélbetét elszakad (25 ‰). Számszerűen: =3,5% 0

.

cu

xa_b

h

d

3.5 ⋅ ‰ 25⋅ ‰ εsu=25%

As

=

xa_b d − xa_b

és

xc.a_b = 1.25⋅ xa_b

0

b

3.5 ⋅ ‰⋅ d xc.a_b := 1.25⋅ ( 25⋅ ‰ + 3.5 ⋅ ‰)

xc.a_b = 44.2 mm

A fenti összefüggéseket felhasználva, a vetületi egyenletből megkapjuk a vasmennyiséget: b ⋅ xc.a_b⋅ α ⋅ fcd = As.a_b ⋅ fyd As.a_b :=

b ⋅ xc.a_b⋅ α ⋅ fcd

As.a_b = 325.4 mm

fyd

96

2


II. gyakorlat

Normálisan vasalt (b) és túlvasalt (c) keresztmetszet határa: Ekkor a nyomott zóna relatív magasság éppen a határhelyzettel egyenlő:xc.b_c := ξ c0⋅ d

xc.b_c = 222.1 mm

A vetületi egyenletből megkapjuk a vasmennyiséget: b ⋅ xc.b_c⋅ α ⋅ fcd = As.b_c⋅ fyd As.b_c :=

b ⋅ xc.b_c⋅ α ⋅ fcd

As.b_c = 1634.4 mm

2

fyd A következőkben meghatározzuk, hogyan alakul a három szakaszon a kmetszet határnyomatéka és a keresztmetszet relatív elfordulása a vasmennyiség függvényében: Gyengén vasalt keresztmetszet: As⋅ fyd A nyomott betonzóna magassága vasmennyiség függvényében: xc.a As := b ⋅ α ⋅ fcd

( )

A keresztmetszet határnyomatéka a vasmennyiség függvényében

( )

1 MRd.a As := As⋅ fyd⋅  d − ⋅ xc.a As 2 

( )

Mekkora ekkor a keresztmetszet görbülete? Az acélbetét megnyúlása 25 ‰, ekkor a nyomott szélső száltól xc távolságra a beton összenyomódása 0,7 ‰ :

(

)

κ Rda⋅ d − xc.a = 0.7‰ + 25‰ 25.7‰ κ Rd.a As := d − xc.a As

( )

A keresztmetszet görbülete a vasmennyiség függvényében: A normálisan vasalt keresztmetszet:

( )

xc.b As :=

A nyomott betonzóna magassága:

( )

As⋅ fyd b ⋅ α ⋅ fcd

A normálisan vasalt km. határnyomatéka a vasmennyiség függvényében

1 MRd.b As := As⋅ fyd⋅  d − xc.b As 2 

( )

A normálisan vasalt km. görbülete a vasmennyiség függvényében:

3.5‰ κ Rd.b As := 1.25⋅ xc.b As

( )

( )

( )

A túlvasalt keresztmetszet: Most az acélbetét rugalmas állapotban van, így az fügvények meghatározása kicsit bonyolultabb feladat. 560⋅ d 560⋅ d N σs = − 700 és b ⋅ xc.c⋅ α ⋅ fcd = As⋅  − 700 ⋅ xc.c  xc.c  mm2 560⋅ d N N b ⋅ xc.c⋅ α ⋅ fcd = As⋅ ⋅ − 700As⋅ xc.c 2 2 mm mm 560⋅ d N N b ⋅ xc.c⋅ α ⋅ fcd − As⋅ ⋅ + 700As⋅ =0 xc.c 2 2 mm mm 2

b ⋅ α ⋅ fcd⋅ xc.c + 700As⋅

N

N ⋅ xc.c − As⋅ 560⋅ d⋅ =0 2 2 mm mm

A valós fizikai jelentéssel bíró xc.c függvénye: −700⋅ As⋅

( )

xc.c As :=

N mm

2

+

700 ⋅ As ⋅   2

2

2

 + 4⋅ 560⋅ A ⋅ d⋅ b⋅ f ⋅  N  s cd  2 2  mm   mm  N

2 ⋅ b ⋅ fcd

( )

( )

 

A túlvasalt km. határnyomatéka a vasmennyiség függvényében:

MRd.c As := b ⋅ xc.c As ⋅ α ⋅ fcd⋅  d −

A túlvasalt km. görbülete a vasmennyiség függvényében:

3.5‰ κ Rd.c As := 1.25⋅ xc.c As

( )

97

( )

( )

xc.c As 2

 


II. gyakorlat

Az egyszeresen vasalt vasbeton négyszög keresztmetszetek viselkedése a vasmennyiség függvényében: A szemléltetés érdekében ábrázoljuk külön-külön a görbületfüggvényeket: Megjegyzés: a grafikonokon az értékek Nm-ban, mm 2-ben és 1/m-ben vannak megadva. 0.2

( ) κ Rd.b( As) κ Rd.c( As) 0.067

κ Rd.a As 0.13

0 5 5 .10

0.0014

0.0027

0.004

As

A függvények metszéspontjai megadják a gyengén, a normálisan és a túlvasalt keresztmetszetek viselkedésének a határát. Nyilvánvaló, hogy ezen határokon belül a görbületet jellemző függvény más és más, tehát növekvő vasmennyiség mellett a valós viselkedést leíró görbületfüggvény a következő grafikonon látható: κ Rd As := κ Rd.b As MRd As := MRd.b As

( )

( ) κ Rd.a( As) κ Rd.c( As)

( )

if As < As.a_b if As.b_c < As < Asmax

( ) MRd.a( As) MRd.c( As)

0.05

( )

κ Rd As

0

0.001

0.002

0.003

0.004

As

5

2 .10

( )

M Rd As

0

0

0.001

0.002

0.003 As

98

0.004

if As < As.a_b if As.b_c < As < Asmax


II. gyakorlat

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HAJLíTÓNYOMATÉKKAL SZEMBENI VISELKEDÉSÉNEK ELEMZÉSE NYOMATÉK-GÖRBÜLET ÖSSZEFÜGGÉS A gyengén -, a normálisan - és túlvasalt vasbeton keresztmetszet M(κ) görbéi a következő diagramon láthatóak: (A vizsgálatot részletesen lásd a Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz c. részben) Megjegyzés: a vizsgálat során a beton bilineáris anyagmodelljét használtuk.

M [kNm] 6φ20 túlvasalt

263,263

4φ20 normálisan vasalt

198,962

117,53 103,13 2φ20 gyengén vasalt

42,662 31,663

6,03

1,888

1,260

0,879

0,584

0,309

99

κ [10

-5 1 mm ]


II. gyakorlat

NYOMATÉK - VASMENNYISÉG ÉS GÖRBÜLET- VASMENNYISÉG ÖSSZEFÜGGÉSEK Az elemzés során az alábbi vasbeton keresztmetszet viselkedését - hajlítónyomatékainak és görböletváltozásának alakulását - kísérjük végig egyre növekvő húzott vasmennyiségek mellett: A vizsgálat során a vb. keresztmetszetek III. feszültségi állaptban vannak, és beton merev-képlékeny anyagmodelljét használtuk. (A vizsgálatot részletesen lásd a Kiegészítő anyag az II. gyakorlathoz c. részben)

MRd [kNm]

eli az M Rd

-t

282,628

,8* d

yd *0

=A d

MR

az A

60,536

sn

öv elé

se

s* f

kb . lin

eá ris

an n

öv

240,876

li az MRd-t se alig növe az As növelé

325,39

1634,43

As[mm2]

TÚLVASALT

NORMÁLISAN VASALT

GYENGÉN VASALT

5400

Az MRd(As) diagramon látható, hogy amíg a keresztmetszet normálisan vasalt vasmennyiség növekedése jelentős mértékben növeli a vasbeton keresztmetszet hajlítónyomatéki ellenállását, addig a túlvasalt keresztmetszetnél a vasmennyiség növelése alig növeli meg a határnyomaték értékét. Jól látszik az is, hogy ha nem túlvasalt a km. akkor az MRd kb. lineárisan függ a As vasmennyiségtől, ezért kielégítően pontos közelítést ad (lásd a kék egyenest a 10. diagramon), ha a határnyomatékot a következő egyszerű képlettel becsüljük: --MRd = As⋅ fyd⋅ 0.8 ⋅ d Tanulságként levontató, hogy nem érdemes a vasbeton keresztmetszetben vasmennyiséget úgy növelni, hogy a túlvasalt keresztmetszetet kapjunk, mert az gazdaságtalan lenne. Rd

-5

[ 10

1 mm ]

6,333

A κRd(As) diagramon látható, hogy a vasmennyiség növekedésével egyre kisebb alakváltozásra lesz képes a tartó. Túlvasalt esetben pedig egészen kis alakváltozásra képes, aminek az a következménye, hogy a képlékeny nyomatékátrendeződés nem tud lejátszódni.

1,261 0,9682

325,39

GYENGÉN VASALT

1634,43

NORMÁLISAN VASALT

5400 TÚLVASALT

100

As[mm2]



A következõ példákban a betonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált beton, illetve betonacél szilárdsági jellemzõi azonosak: A

M

A-A metszet

M 450


500

z

4f20 A

300

A repedésmentes beton s(e) diagramja:

A berepedt beton s(e) diagramja:

c[MPa]

s [MPa]

c[MPa]

10,7 0,104

A betonacél s(e) diagramja s

10,7

0,585 1,9

Ec = 18.3

3,5

ec[% ] 0,585

3,5

434

ec[% ] e' s

kN

-25

-2,17

25

2,17

e [%0] s

2

mm

-434

Es = 200

kN mm

2

s'

d

Geometria jellemzõk definiálása: h := 500mm b := 300mm d := 450mm

s

As b


n := 4

db

2

f ×p As := n× 4

f := 20mm

Anyagjellemzõk definiálása:

fc.c := 10.7×

A beton anyagjellemzõi: A beton nyomószilárdsága:

fc.t := 1.9 ×

A beton húzószilárdsága:

As = 1256.6 mm

N mm

2

N mm

2

A nyomott szélsõszál rugalmas határához tartozó nyúlás: e1 :=

fc.c

Ec ec.E := e1 e2 :=

A húzott szélsõszál határnyúlása:

fc.t

Ec ecu := 3.5 × ‰ fy := 434×

A betonacél anyagjellemzõi: A betonacél folyáshatára:

A betonacél folyási határához tartozó nyúlás: es.E :=

a E :=


101

Es Ec

e1 = 0.585 ‰ ec.E = 0.585 ‰ e2 = 0.104 ‰

N 2

mm

fy

es.E = 2.17 ‰

Es esu := 25× ‰

Az acél határnyúlása:

2

a E = 10.93



II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVÕ VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.2.példa: Határozza meg az alábbi berepedt vb. km. II. feszültségi állapot végét jelentõ görbületét és a hozzá tartozó nyomatékot!

d

h = 500 mm

As = 1256.6 mm

b = 300 mm

As

d = 450 mm

b

A betonacél s(e) diagramja:

A repedésmentes beton s(e) diagramja:

10,7

0,585

s [MPa]

ec.E = 0.585 ‰

c[MPa]

3,5

434

mm

e'

kN

-25

N mm

2

es.E = 2.17 ‰

2 s

Ec = 18.3

fy = 434

s

N

fc.c = 10.7

ec[% ]

2

2,17

-2,17

2

e [%0] s

25

Es = 200

-434

mm

kN mm

2

s' s

M

k

y

es

{

As A

x

2x 3

1

Fc.c=2 k x Ec b x *

*

*

*

*

d

x

h

z

.

M

.

{

{

Megjegyzés: beton és betonacél s(e) diagramjánál is elegendõ lenne lineárisan rugalmas szakaszt megadni, hisz a betonacél a II. feszültségi állapotban nem éri el a diagram képlékeny szakaszát. e s Belső erők e 1*Ec e 1 = k *x A A-A metszet

b

s E

s c

e2=k (h-x)

Fs=k (d-x) Es As *

*

*

*

A feladat megoldása: A vetületi egyenletbõl megkapjuk a repedesmentes vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét: N ( x , k ) = Fc.c + Fs = 0 1 × k × xII× Ec× b × xII - k × d - xII × Es× As = 0 mivel k ¹ 0 ezért végig oszthatunk vele 2

(

1

(

)

)

× x × E × b × xII - d - xII × Es× As = 0 2 II c

xII = 162.3 mm

A II. feszültségi állapot határát adó kII görbület számítása:

e1 A nyomott szélsõszál rugalmassági határához tartozó nyúlásához a görbület: k 1 := xII es.E A húzott acél rugalmassági határához tartozó nyúlásából kapott görbület: k s := d - xII æ k1 ö A II. feszültségi állapot határát adó kII görbület: k II := minç ÷ ç ks ÷ (a nyomott szélsõszál eléri a rugalmassági határát) è ø

-6 1

k 1 = 3.603 ´ 10

mm

-6 1

k s = 7.543 ´ 10

mm -6 1

k II = 3.603 ´ 10

mm

A húzott acélbetét megfolyását okozó nyomaték nagysága: 3 1 2 MII = k II× Ec× éê xII × b × + As× a E× d - xII ùú 3

ë

ahol

(

)û

3 1 2 III := xII × b × + As× a E× d - xII 3

(

)

III = 156428 cm

102

4

MII = 103.13 kN× m



1.3.példa: Határozza meg az alábbi vasbeton keresztmetszet felsõ-szélsõ szálának összenyomódását abban az esetben, ha a keresztmetszetre M=100 kNm nagyságú hajlítónyomaték hat! A betonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált beton, illetve betonacél szilárdsági jellemzõi, mint az elõzõ példákban. A feladat megoldása: Tegyük fel, hogy a beton és acél rugalmas állapotban vannak! A vetületi egyenletbõl megkapjuk a repedesmentes vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét:

xII = 162.3 mm

A nyomatéki egyenlet: M=

æ 1 × k × x × E × b × x ö × 2 × x + ék × d - x × E × A ù × d - x ç2 II c II÷ 3 II ë ( II) s sû ( II) è ø

ebbõl a görbületet megkapjuk -6 1

k = 3.493 ´ 10

(

)

es := k × d - xII Felsõ szélsõ szál összenyomódása: Feltevés ellenõzése:

ec := k × xII

es = 1.005 ‰ ec = 0.567 ‰

103

mm

<

es.E = 2.170 ‰ jó volt a feltevés, az acél rugalmas

<

e1 = 0.585 ‰ jó volt a feltevés, a beton rugalmas


Kiegészítés-alakváltozás, repedéstágasság

KIEGÉSZÍTÕ INFORMÁCIÓK Használhatósági határállapotok betonszerkezetek alakváltozása és repedéstágassága témakörhöz Készítette: Völgyi István A következõkben a VII. gyakorlat anyagának 1. mintapéldájához kívánunk kiegészítõ információkat közölni. A lehajlás értékének pontosított meghatározása. Most a gyakorlaton tett közelítés nélkül végezzük el a számítást, azaz a nyomaték értéke a tartó hossza mentén folyamatosan változik, ζ értéke nem konstans. Így a lehajlást csak a görbület függvényének tényleges integrálása segítségével határozhatjuk meg.

M ( y) :=

2   ( p qp) ⋅ L ⋅ y − ( p qp) ⋅ y  2 2  

κ I( y) :=

σ s( y) :=

M ( y)

κ II( y) :=

Ec.eff ⋅ II

(

)

M ( y) ⋅ d − xII ⋅ α s.eff III M ( y) Ec.eff ⋅ III

Hol éri el a külsõ terhekbõl számítható nyomaték a repesztõnyomaték értékét? z := 1m Given M ( z) = M cr xrep := Find( z) xrep = 0.401 m 2   σ sr    ζ ( y) :=  1 − β ⋅  σ ( y)   if M( y) > Mcr   s  

0 otherwise 1 0.5 ζ ( y)

0

0

1

2

3

4

5

y

Jól látható, hogy ζ értéke a repesztõnyomatékkal megegyezõ nyomaték mûködése esetén (vagyis közvetlenül a repedést követõen) 0,5. A támasz felett számítható véglapelfordulás, és lehajlás értéke I., II. feszültségállapotban, majd EC2 szerint: L

⌠2  α I :=  κ I( y) dy ⌡

L

⌠2 L L  eI := α I⋅ −  κ I( y) ⋅  − y dy 2 2  ⌡

α I = 0.007

0

eI = 11.225 mm

0

L

⌠2  α II :=  κ II( y) dy ⌡

L

α II = 0.01

0

⌠2 L L  eII := α II ⋅ −  κ II( y) ⋅  − y dy 2 2  ⌡ 0

L

⌠2  α EC :=  ζ ( y) ⋅ κ II( y) + ( 1 − ζ ( y) ) ⋅ κ I( y) dy ⌡ 0

α EC = 0.009

κ EC( y) := ζ ( y) ⋅ κ II( y) + ( 1 − ζ ( y) ) ⋅ κ I( y)

104

eII = 14.883 mm



κ I( y) 0.004 κ EC( y) κ II( y)

0.002

0

0

1

2

3

4

5

y

A kiselmozdulások gondolatmenetét felhasználva: u

⌠ e( u ) := α EC⋅ u −  κ EC( y) ⋅ ( u − y) dy ⌡

e

L

 = 14.629 mm 2

0

A matematikai gondolatmenetet felhasználva is számíthatjuk a lehajlás értékét. A görbület integrálja a szögelfordulás. A tartóvégen számítható elfordulással módosítva teljesíthetjük a peremfeltételt. u

⌠ φ ( u ) := α EC −  κ EC( y) dy ⌡ 0

0.01

φ ( u)

0

0

1

2

3

4

5

u

Az így kapott elfordulásfüggvényt integrálva kapjuk a lehajlás függvényét. A támasz felett a lehajlás zérus, így a peremfeltétel itt automatikusan teljesül. v

⌠ e2 ( v) :=  φ ( u ) du ⌡

e2 

L

 = 11.883 mm 2

0

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

105



A következõkben az 1. gyakorló példát egészítjük ki. A lehajlás értékének pontosított meghatározása. 2  ( L − y)    M ( y) := ( p qp) ⋅ 2  

σ s( y) :=

(

)

M ( y) ⋅ d − xII ⋅ α s.eff III

2

 σ sr  ζ ( y) := 1 − β ⋅  if M ( y) ≥ M cr  σ s( y) 

κ I( y) :=

M ( y) Ec.eff ⋅ II

κ II( y) :=

M ( y) Ec.eff ⋅ III

0 otherwise Hol éri el a külsõ terhekbõl számítható nyomaték a repesztõnyomaték értékét? M ( z) = M cr xrep := Find( z) xrep = 1.506 m κ EC( y) :=

ζ ( y) ⋅ κ II( y) + ( 1 − ζ ( y) ) ⋅ κ I( y) if y < xrep κ I( y) otherwise

u

⌠ eEC( u ) :=  κ EC( y) ⋅ ( u − y) dy ⌡ 0

eEC( L) = 19.559 mm A két mintapélda eredményeit elemezve megállapíthatjuk, hogy a közelítõ számítás igen jó eredményt ad. A pontosított eljárás akkor eredményezhet számottevõen kedvezõbb eredményt, ha olyan speciálisak a megtámasztási és a terhelési viszonyok, hogy nagy csúcsigénybevétel alakul ki olyan kis kiterjedésû helyen, aminek a maximális lehajlásra nincs nagy hatása, vagy, ha a repedésmentes és a berepedt keresztmetszet merevsége jelentõsen eltér, esetleg keresztmetszet merevsége a hossz mentén jelentõsen változik (keresztmetszet méretének vagy vasalásának változása). 1

0.5

ζ ( y) 0.5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y

κ I( y ) κ EC( y)0.005 κ II( y)

0

0

0.5

1

1.5 y

106

2

2.5

3



Nézzük a változó vasalású vasbeton gerenda gerenda lehajlásának pontos meghatározását.

Határozza meg egy az ábrán látható kéttámaszú, egyoldali, változó lágyvasalású tartó maximális lehajlását MSZ EN 1992 (EC2) alapján. L := 8.5m

b := 250mm


φ k := 10mm

(⋅ φ 1)2⋅ π 4

As1 = 603.186 mm

n2 := 4db As2 := n2

(⋅ φ 1)2⋅ π 4

As2 = 804.248 mm

n3 := 5db As3 := n3

(⋅ φ 1)2⋅ π

As3 = 1005.31 mm

h := 400mm φ 1 := 16mm n1 := 3db As1 := n1

1. vasmennyiség: 3φ16 2. vasmennyiség: 4φ16 3. vasmennyiség: 5φ16 kN

Es := 200

2

mm

2

mm

N

fctm := 1.9

kN

Ecm := 25.35

S500B

fct.eff := fctm

2

α s.eff :=

mm kN gk := 8 m

qk := 8

φ1 d := h − c − φ k − 2

kN

Es

φ t := 2

l1 := 1m

2

l2 := 2m

2

Ec.eff :=

1.05⋅ Ecm

Ec.eff = 8.873

1 + φt

pqp := gk + ψ 2 ⋅ qk

2

L M qp := pqp⋅ 8

M qp = 130.05 kNm

Keresztmetszeti jellemzõk meghatározása: 1. vasmennyiséggel A keresztmetszet jellemzõi elsõ feszültségállapotban: x h−x b⋅ x⋅ Ec.eff ⋅ = As1 ⋅ Es − Ec.eff ⋅ ( d − x) + b ⋅ ( h − x) ⋅ Ec.eff ⋅ 2 2 xI1

3

)

(h − xI1)

II1 := b ⋅ + b⋅ 3 fct.eff ⋅ II1 M cr1 := h − xI1

3

3

(

)(

+ As1 ⋅ α s.eff − 1 ⋅ d − xI1

)2

xI1 := Find( x)

xI1 = 218.629 mm 9

4

II1 = 1.635 × 10 mm M cr1 = 17.129 kNm

107

2

mm

d = 362 mm

(

kN

α s.eff = 22.542

Ec.eff

ψ 2 := 0.8

m

4

2



A keresztmetszet jellemzõi második feszültségállapotban (berepedt keresztmetszet): b⋅ x⋅ Ec.eff ⋅

x 2

= As1 ⋅ Es⋅ ( d − x)

xII1 := Find( x)

xII1 = 151.366 mm

3

xII1

(

III1 := b ⋅ 3

)

+ As1 ⋅ α s.eff ⋅ d − xII1

2

8

4

III1 = 8.922 × 10 mm

2. vasmennyiséggel A keresztmetszet jellemzõi elsõ feszültségállapotban: 9

xI2 = 223.922 mm

4

II2 = 1.721 × 10 mm

Az összefüggések az elõzõvel azonosak.

M cr2 = 18.569 kNm

A keresztmetszet jellemzõi második feszültségállapotban (berepedt keresztmetszet): 9

xII2 = 167.817 mm

4

III2 = 1.077 × 10 mm

3. vasmennyiséggel A keresztmetszet jellemzõi elsõ feszültségállapotban: 9

xI3 = 228.838 mm

4

II3 = 1.801 × 10 mm

M cr3 = 19.987 kNm

A keresztmetszet jellemzõi második feszültségállapotban (berepedt keresztmetszet): 9

4

xII3 = 181.097 mm III3 = 1.237 × 10 mm

A lehajlás közelítõ meghatározása a tartóközépi vasmennyiséget felhasználva: Ez a módszer azt feltételezi, hogy a tartó teljes hosszamentén a teljes vasmennyiség számításba vehetõ. Ez a biztonság kárára tett közelítés, hiszen a nagyobb merevség a valóságnál kedvezõbb, kisebb lehajlást eredményez. σ s3 :=

σ sr3 :=

(

)

M qp⋅ d − xII3 ⋅ α s.eff III3 M cr3 III3

5

N 2

mm

(

)

⋅ d − xII3 ⋅ α s.eff

β := 0.5

N

σ sr3 = 65.911

2

mm

 σ sr3  ζ 3 := 1 − β ⋅   σ s3  eI3 :=

σ s3 = 428.874

2

ζ 3 = 0.988 4

( )

L ⋅ p qp ⋅ 384 Ec.eff ⋅ II3

(

eI3 = 61.269 mm

eII3 :=

)

eEC3 := ζ 3 ⋅ eII3 + 1 − ζ 3 ⋅ eI3

5

4

( )

L ⋅ p qp ⋅ 384 Ec.eff ⋅ III3

eII3 = 89.211 mm

eEC3 = 88.881 mm

A lehajlás közelítõ meghatározása a tartóvégi vasmennyiséget felhasználva: Ez a módszer azt feltételezi, hogy a tartó teljes hossza mentén csak a tartóvégi vasmennyiség vehetõ számításba . Ez a biztonság javára tett közelítés. Ilyen vasmennyiséggel számítva a középsõ M qp⋅ d − xII1 ⋅ α s.eff keresztmetszetben az acélbetét messze N σ s1 := σ s1 = 692.052 β := 0.5 túllépné a folyáshatárát. Ez kérdésessé teszi III1 2 mm a számítási eljárás alkalmazhatóságát is.

(

σ sr1 :=

M cr1 III1

)

(

)

⋅ d − xII1 ⋅ α s.eff

σ sr1 = 91.152

N 2

mm

108



 σ sr1  ζ 1 := 1 − β ⋅   σ s1  eI1 :=

2

ζ 1 = 0.991 4

( )

L ⋅ p ⋅ 384 qp Ec.eff ⋅ II1 5

(

eI1 = 67.465 mm

)

eEC1 := ζ 1 ⋅ eII1 + 1 − ζ 3 ⋅ eI1

4

( )

L ⋅ p ⋅ 384 qp Ec.eff ⋅ III1 5

eII1 :=

eII1 = 123.636 mm

eEC1 = 123.361 mm

A két kézenfekvõ közelítéssel kapott eredmény óriási eltérést mutat. Ilyen esetben mindenképpen érdemes a pontosított értéket meghatározni. A lehajlás értékének pontosított meghatározása. xII( y) :=

II( y) :=

M ( y) :=

M cr( y) :=

xII2

σ sr( y) :=

M cr2

xII3 if y > l 2

M cr3 if y > l 2

xII1 if y < l 1

M cr1 if y < l 1

III( y) :=

II2

III3 M cr1

III3 if y > l 2

II1 if y < l 1

III1 if y < l 1 σ s( y) :=

III2 M cr3

III2

II3 if y > l 2

2   ( p qp) ⋅ L ⋅ y − ( p qp) ⋅ y  2 2  

M cr2

III1

(

)

M ( y) ⋅ d − xII( y) ⋅ α s.eff III ( y)

(

)

(

)

(

)

⋅ d − xII2 ⋅ α s.eff ⋅ d − xII3 ⋅ α s.eff if y > l2 ⋅ d − xII1 ⋅ α s.eff if y < l1

κ I( y) :=

M ( y) Ec.eff ⋅ II( y)

κ II( y) :=

Hol éri el a külsõ terhekbõl számítható nyomaték a repesztõnyomaték értékét? z := 1m Given M ( z) = M cr( z) xrep := Find( z) xrep = 0.29 m 2   σ sr( y)    ζ ( y) :=  1 − β ⋅  σ ( y)   if M( y) > Mcr( y)   s  

0 otherwise 1 0.5 ζ ( y) 0.5 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5 y

A támasz felett számítható véglapelfordulás, és a lehajlás értéke:

109

3

3.5

4

M ( y) Ec.eff ⋅ III ( y)



L

⌠2  α I :=  κ I( y) dy ⌡

L

⌠2 L  L eI := α I⋅ −  κ I( y) ⋅  − y dy 2 2  ⌡

α I = 0.023

0

eI = 61.733 mm

0

L

⌠2  α II :=  κ II( y) dy ⌡

L

⌠2 L  L eII := α II ⋅ −  κ II( y) ⋅  − y dy 2 2  ⌡

α II = 0.036

0

eII = 91.377 mm

0

L

⌠2  α EC :=  ζ ( y) ⋅ κ II( y) + ( 1 − ζ ( y) ) ⋅ κ I( y) dy ⌡

κ EC( y) := ζ ( y) ⋅ κ II( y) + ( 1 − ζ ( y) ) ⋅ κ I( y)

α EC = 0.035

0

0.01 κ I( y ) κ EC( y) κ II( y) 0.005

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

y u

⌠ φ ( u ) := α EC −  κ EC( y) dy ⌡ 0

v

⌠ e2EC( v) :=  φ ( u ) du ⌡

e2EC

L

 = 90.748 mm 2

0

Változó vasalású gerenda esetén nagyon hasznos a pontosított eljárás. Elkerülhetjük a biztonság kárára tett közelítést, viszont nem kell a másik kézenfekvõ közelítésbõl származó jelentõs többletlehajlást, mint mértékadót elfogadnunk. Változó hosszvasalású tartó esetén tehát jelentõs megtakarítást érhetünk el a pontosított módszerrel. Érdekes lehet az elõbb részletezett három számítási mód görbületfüggvényének egy ábrán történõ ábrázolása:

(

)

M ( y) M ( y) κ 1( y) := 1 − ζ 1 ⋅ + ζ1⋅ Ec.eff ⋅ II1 Ec.eff ⋅ III1

(

)

M ( y) M ( y) κ 3( y) := 1 − ζ 3 ⋅ + ζ3⋅ Ec.eff ⋅ II3 Ec.eff ⋅ III3

110



0.015

κ 1( y) κ EC( y)

0.01

κ 3( y) 0.005

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5 y

111

3

3.5

4

PÉLDATÁR a Vasbetonszerkezetek I. című tantárgyhoz

Recommend Documents