Lineární diferenciální rovnice 1. řádu
Diferenciální rovnice
a1 (x) y 0 + a0 (x) y = f (x)
(Obyčejná) diferenciální rovnice n-tého řádu: F (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0 Řešení na intervalu I: funkce y : I → R taková, že pro každé x ∈ I je F x, y(x), y 0 (x), . . . , y (n) (x) = 0. Maximální řešení: neexistuje řešení na větším intervalu. Cauchyova úloha: navíc počáteční podmínky y(x0 ) = y0,0 ,
y 0 (x0 ) = y0,1 ,
...
y (n−1) (x0 ) = y0,n−1
Cauchyova úloha je jednoznačně řešitelná, jestliže každá dvě řešení splývají na některém okolí x0 .
Předpoklady: a1 , a0 , f spojité na intervalu I, a1 6= 0 na I. Cauchyova úloha má pak právě jedno řešení na I. D : y 7→ a1 y 0 + a0 y je lineární zobrazení na prostoru funkcí diferencovatelných na I. Přidružená homogenní rovnice: a1 (x) y 0 + a0 (x) y = 0. Množina řešení je jádro lineárního zobrazení D. Obecné řešení: y(x) = y˜(x) + yˆ(x), kde y˜ je obecné řešení přidružené homogenní rovnice a yˆ je jedno (partikulární) řešení původní rovnice. Vydělením a1 (x) dostaneme LDR ve tvaru (p, q spojité):
Věta. Je-li f spojitá funkce na I ×J (I, J intervaly), x0 ∈ I, y0 ∈ J, pak Cauchyova úloha y 0 = f (x, y), y(x0 ) = y0 má řešení na intervalu I 0 ⊂ I. Je-li navíc ∂f ∂y omezená na I × J, pak je Cauchyova úloha jednoznačně řešitelná. Poznámky. 1) f (x, y) = g(x) h(y): stačí spoj. g, h, 2) f (x, y) = p(x) y + q(x): stačí spoj.
∂f 0 ∂y (x, y) = g(x) h (y). p, q, ∂f ∂y (x, y) = p(x).
y 0 + p(x) y = q(x) Homogenní LDR 1. řádu y 0 + p(x) y = 0 Řešíme separací proměnných: y(x) = c e−
R
p(x) dx
,
x ∈ I,
(c ∈ R)
DR 1. řádu se separovanými proměnými
Nehomogenní LDR 1. řádu
y 0 = g(x) h(y)
y 0 + p(x) y = q(x)
Předpoklady: g spojitá na intervalu I, h spojitá na intervalu J.
Metoda variace konstanty: hledáme partikulární řešení ve tvaru obecného řešení přidružené homogenní rovnice, ve kterém konstantu nahradíme funkcí.
1) h(y1 ) = 0 . . . y(x) = y1 , x ∈ I je stacionární řešení 2) h(y) = 6 0 y 0 (x) = g(x) h y(x) Z R y 0 (x) dx = g(x) dx h y(x) Z R dy = g(x) dx (+ c) h(y) y(x) = . . . Cauchyova úloha Dopočítat c nebo Z
y(x) y0
dy = h(y)
Z
x
g(x) dx
yˆ(x) = c(x) e−
R
p(x)
Dosadíme do rovnice a spočítáme c(x): c0 (x) e−
R
p(x)
− c(x) e− R
R
p(x)
p(x) + p(x) c(x) e−
c0 (x) = q(x) e p(x) R R c(x) = q(x) e p(x) R R R yˆ(x) = e− p(x) · q(x) e p(x)
R
p(x)
= q(x)
Cauchyova úloha pro LDR 1. řádu y 0 + p(x) y = q(x) y(x0 ) = y0
x0
Obecný postup: 1) Maximální intervaly spojitosti g (I). 2) Stacionární řešení y(x) = y1 , x ∈ I pro h(y1 ) = 0. 3) Maximální intervaly spojitosti a nenulovosti h (J). 4) Pro (x0 , y0 ) ∈ I × J, existuje řešení uvnitř I × J.
1) Obecné řešení přidružené homogenní rovnice separací proměnných. 2) Partikulární řešení metodou variace konstanty, obecné řešení dané LDR. 3) Určení konstanty dosazením počáteční podmínky.
Lineární diferenciální rovnice
LDR s konstantními koeficienty
y (n) + an−1 (x) y (n−1) + · · · + a1 (x) y 0 + a0 (x) y = f (x)
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y 0 + a0 y = f (x)
Věta. Jsou li an−1 , . . . , a0 , f spojité funkce na intervalu I, pak Cauchyova úloha má právě jedno řešení na I.
Homogenní LDR s konstantními koeficienty
Homogenní LDR (f (x) = 0 na I) Věta. Množina řešení homogenní LDR řádu n tvoří lineární prostor dimenze n. Důkaz. D : y 7→ y (n) +an−1 y (n−1) +· · ·+a1 y 0 +a0 je lineární zobrazení, množina řešení je jeho jádro, tj. lineární prostor. y(x0 ) y 0 (x0 ) 1 0 0 1 .. .. . . 0 0 y0,0 y0,1
... ... ... .. . ... ...
y (n−1) (x0 ) 0 → 0 → .. .. . . 1 → y0,n−1 →
řešení C. úlohy y0 (x) y1 (x) .. . yn−1 (x) Pn−1 i=0 y0,i yi (x)
⇒ lineární obal {y0 (x), . . . , yn−1 (x)} je celý prostor řešení x=x
0
A0 y0 (x) + · · · + An−1 yn−1 (x) = 0 −→0 A0 = 0 x=x
0 : A0 y00 (x) + · · · + An−1 yn−1 (x) = 0 −→0 A1 = 0
Předpoklady: an 6= 0, f je spojitá na intervalu.
...
Charakteristická rovnice: an λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 = 0 . Věta. 1) Je-li λ reálný kořen charakteristické rovnice násobnosti k, pak funkce eλx ,
x eλx ,
...,
xk−1 eλx
jsou řešením příslušné homogenní LDR. 2) Je-li α + β j (α, β ∈ R) imaginární kořen charakteristické rovnice násobnosti k, pak funkce eαx cos βx,
x eαx cos βx,
...,
xk−1 eαx cos βx,
eαx sin βx,
x eαx sin βx,
...,
xk−1 eαx sin βx,
jsou řešením příslušné homogenní LDR. 3) Všechna tato řešení tvoří fundamentální systém řešení.
⇒ funkce y0 (x), . . . , yn−1 (x) jsou lineárně nezávislé Definice. Báze množiny řešení homogenní LDR se nazývá fundamentální systém řešení. Věta. Nechť y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) jsou řešení homogenní LDR řádu n na intervalu I. Tyto funkce jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když pro každé x ∈ I je následující determinant (Wronského, wronskián) nenulový: y1 (x) y2 (x) ... yn (x) y10 (x) y20 (x) ... yn0 (x) .. .. .. .. . . . . (n−1) (n−1) (n−1) y (x) y (x) . . . yn (x) 1
2
Důkaz. 1) Jsou-li funkce závislé, pak některá yi je lineární kombinací ostatních, yi0 je stejnou kombinací derivací ostatních, . . . i-tý sloupec determinantu je kombinací ostatních, tj. determinant je nulový pro každé x ∈ I. 2) Je-li determinant nulový v x0 , pak homogenní soustava rovnic s touto maticí má netriviální řešení (A1 , . . . , An ), A1 y1 (x) + · · · + An yn (x) je řešení s nulovými počátečními podmínkami v x0 , tj. nulové, tj. dané funkce jsou závislé.
Poznámka. jedné LDR.
Věta neplatí, pokud funkce nejsou řešením
Nehomogenní LDR Věta. 1) Je-li y řešení LDR a y˜ řešení přidružené homogenní rovnice, pak y + y˜ je řešení dané LDR. 2) Jsou-li y1 , y2 řešení LDR, pak y1 − y2 je řešení přidružené homogenní rovnice. 3) Jsou-li y1 , y2 řešení pro pravé strany f1 , f2 , pak y1 + y2 je řešení pro pravou stranu f1 + f2 (princip superpozice).
Nehomogenní LDR s konstantními koeficienty Hledáme partikulární řešení. 1) Variace konstant: y˜(x) = c1 y1 (x) + · · · + cn yn (x)
yˆ(x) = c1 (x) y1 (x) + · · · + cn (x) yn (x) yˆ0 (x) = c1 (x) y10 (x) + · · · + cn (x) yn0 (x)
00
yˆ (x) =
.. .
+ c01 (x) y1 (x) + · · · + c0n (x) yn (x) | {z }
=0 00 c1 (x) y1 (x) + · · · + cn (x) yn00 (x) + c01 (x) y10 (x) + · · · + c0n (x) yn0 (x)
|
{z
=0
}
(n)
yˆ(n) (x) = c1 (x) y1 (x) + · · · + cn (x) yn(n) (x) (n−1)
+ c01 (x) y1
(x) + · · · + c0n (x) yn(n−1) (x)
2) Metoda odhadu pro kvazipolynomiální pravou stranu: Jsou-li P, Q polynomy stupně nejvýše m, (α+β j) k-násobný kořen charakteristického polynomu, f (x) = eαx P (x) cos βx + Q(x) sin βx , pak existuje partikulární řešení ve tvaru
ˆ yˆ(x) = xk eαx Pˆ (x) cos βx + Q(x) sin βx ,
ˆ jsou polynomy stupně nejvýše m. kde Pˆ , Q
Laplaceova transformace Definice. Laplaceovým obrazem funkce f definované na h0, ∞) je funkce Z ∞ F (p) = f (t) e−pt dt , 0
pokud integrál konverguje pro alespoň jedno p ∈ R.
Věta (o linearitě). Jsou-li f, g ∈ L 0 exponenciálního řádu α, a, b ∈ R, pak L {af + bg} = a L {f } + b L {g} , Důkaz. Přímý důsledek linearity integrálu. Věta (o derivaci obrazu). řádu α, F = L {f }, pak
t2
Příklady. e
nemá Laplaceův obraz 1 , p>a p−a 1 L {1} = , p > 0 p
L {eat } =
Poznámky. 1) F se obvykle uvažuje jako funkce komplexní proměnné pro Re p > pf . 2) Někdy se uvažují funkce f (t) definované na R, které jsou nulové pro t < 0 – místo sin t na h0, ∞) se píše sin t·H(t), kde H(t) je tzv. Heavisideova funkce (někdy se bere H(0) = 21 ): ( 0, t < 0, H(t) = 1, t ≥ 0.
Definice. Funkce f (t) definovaná na h0, ∞) je předmět standardního typu (f patří do třídy L 0 ), jestliže: 1) f je po částech spojitá, 2) f je exponenciálního řádu (α), tj. existují čísla M, α ∈ R: |f (t)| ≤ M eαt ,
t ∈ h0, ∞) .
Věta. Nechť f je předmět standardního typu exponenciálního řádu α. Pak Laplaceův obraz funkce f je definován na (α, ∞) a limp→∞ F (p) = 0. R ∞ R∞ Důkaz. 0 f (t) e−pt dt ≤ 0 |f (t) e−pt | dt ≤ R∞ R∞ ≤ 0 M eαt e−pt dt = 0 M e−(p−α)t dt = M −(p−α)t ∞ M e = p−α pro p > α. = − p−α 0
Příklady.
1 , +1 p L {cos t} = 2 , p +1 L {sin t} =
p2
p>0 p>0
Je-li f ∈ L 0 exponenciálního
L {t · f (t)} = −F 0 (p) ,
∧
Značení: L : f (t) 7→ F (p), L {f } = F , f = F .
(p > α) .
p > α.
R∞ d f (t) e−pt dt = Důkaz (náznak). F 0 (p) = dp 0 R∞ d R∞ = 0 dp (f (t) e−pt ) dt = 0 f (t) (−t) e−pt dt = R∞ = − 0 t f (t) e−pt dt = − L {t f (t)} Příklad.
L {tn } =
n! pn+1
p > 0.
,
Věta (o integraci obrazu). Je-li f ∈ L 0 exponenciálního řádu α, F = L {f } a existuje-li vlastní limt→0+ f (t) t , pak Z ∞ f (t) = F (q) dq , p > α . L t p R Poznámka. L f (t) = − F (p), integrační konstanta se t určí z podmínky limp→∞ F (p) = 0.
Věta (o substituci [posunu] v obrazu). Je-li f ∈ L 0 exponenciálního řádu α, F = L {f }, a ∈ R, pak L {eat f (t)} = F (p − a) ,
p > α +a.
Důkaz. | eat f (t)| ≤ eat M eαt = M e(α+a)t R ∞ at R∞ e f (t) e−pt dt = 0 f (t) e(a−p)t dt = F (p − a) 0 Příklad. L {eat sin t} =
1 (p−a)2 +1 ,
p>a
Věta (o změně měřítka). Je-li f ∈ L 0 exponenciálního řádu α, F = L {f }, a > 0, pak L {f (at)} =
1 p , F a a
p > a· α.
Důkaz. |f (at)| ≤ M eα(at) = M e(aα)t at = u R∞ R = 1 ∞ f (u) e−(p/a)u du = f (at) e−pt dt = a 0 0 a dt = du 1 1 a F a
Příklady.
ω , + ω2 p L {cos ωt} = 2 , p + ω2 L {sin ωt} =
p2
p>0 p>0
Zpětná Laplaceova transformace Věta. Jsou-li f1 , f2 ∈ L 0 exponenciálního řádu α, L {f1 } = L {f2 } na (α, ∞), pak f1 (t) = f2 (t) na h0, ∞) s výjimkou nejvýše spočetně mnoha izolovaných bodů. Věta. Racionální funkce je Laplaceovým obrazem funkce třídy L 0 právě tehdy, když je ryze lomená. Pak je obrazem na intervalu (α, ∞), kde α je největší reálná část kořenů jmenovatele. Důkaz. ⇒: limp→∞ F (p) = 0 ⇐: rozklad na součet parciálních zlomků, linearita 1 1 −1 at = eat , L L {e } = p−a p−a n! 1 tn−1 eat −1 n at L {t e } = , L = (p − a)n+1 (p − a)n (n − 1)! pro kvadratické členy ve jmenovateli: ( ) (p + 2b ) + (C − 2b ) p+C −1 −1 =L L (p2 + bp + c)n [(p + 2b )2 + c − 14 b2 ]n b p 1 −1 2C−b = e− 2 t L −1 L + 2 (p2 + ω 2 )n (p2 + ω 2 )n | | {z } {z } fn (t)
f1 (t) = cos ωt , g1 (t) =
1 ω
fn+1 (t) =
sin ωt ,
gn+1 (t) =
gn (t)
1 2n t gn (t) 1 2nω 2 [(2n
Zobrazíme Laplaceovou transformací, vyřešíme algebraickou rovnici, provedeme zpětnou transformaci. 0
Věta (o obrazu derivace). Je-li f ∈ L 0 exponenciálního řádu α, F = L {f } a f (0+) = limt→0+ ∈ R, pak (p > max{α, 0}) .
u = e−pt v 0 = f 0 (t) 0 −pt 0 f (t) e dt = 0 u = −p e−pt v = f (t) = ∞ R ∞ = f (t) e−pt 0 + 0 p f (t) e−pt dt = −f (0+) + p · F (p)
Důkaz.
R∞
Důsledek.
L {f (n) } = pn L {f } −
− pn−1 f (0+) − · · · − p f (n−2) (0+) − f (n−1) (0+)
Věta (o obrazu integrálu). Je-li f ∈ L 0 exponenciálního řádu α, F = L {f }, pak L
R t 0
F (p) , f (u) du = p
Důkaz. g(t) =
Rt 0
0
Vlastnosti: 1) komutativita: f ∗ g = g ∗ f 2) asociativita: (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) 3) distributivita ke sčítání: f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h) Věta (o obrazu konvoluce). Jsou-li f, g ∈ L 0 exponenciálního řádu α, F = L {f }, G = L {g}, pak L {(f ∗ g)(t)} = F (p) · G(p) ,
p > α.
R∞ Rt f (t − u) g(u) du e−pt dt = Důkaz (náznak). 0 0 R∞R∞ = 0 u f (t − u) g(u) e−pt dt du = R∞ R∞ (t−u=v) = 0 g(u) e−pu u f (t − u) e−p(t−u) dt du = R∞ R∞ = 0 g(u) e−pu 0 f (v) e−pv dv du = R∞ R∞ = 0 f (v) e−pv dv · 0 g(u) e−pu du = F (p) · G(p)
Poznámky. 1) L −1 {F (p) · G(p)} = (f ∗ g)(t). Rt 2) (H ∗f )(t) = 0 f (t) dt, tj. věta o obrazu integrálu je zvláštním případem věty o obrazu konvoluce.
− 1) gn (t) − t gn0 (t)]
Diferenciální a integrálně diferenciální rovnice
L {f 0 (t)} = p · F (p) − f (0+) ,
Definice. Konvoluce funkcí f, g ∈ L 0 je funkce Z t (f ∗ g)(t) = f (t − u) g(u) du .
(p > max{α, 0}) .
f (u) du, g(0+) = 0
F (p) = L {g 0 (t)} = p L {g(t)} − g(0+) = p L {g(t)}
Věta (o translaci). Je-li f ∈ L 0 exponenciálního řádu α, a ≥ 0, pak L {f (t) H(t − a)} = e−ap L {f (t + a)} ,
L {f (t − a) H(t − a)} = e
−ap
L {f (t)} ,
p>α
p>α
Důkaz. L {f (t − b) H(t − a)} = R∞ R∞ (t−a=u) = 0 f (t − b) H(t − a) e−pt dt = a f (t − b) e−pt dt = R∞ = 0 f (u + a − b) e−p(u+a) du = e−ap L {f (t + a − b)} první vztah dostaneme pro b = 0, druhý pro b = a
Konečný impuls: f (t) na omezeném intervalu ha, b): f (t) · [ H(t − a) − H(t − b)] . Věta (o obrazu periodické funkce). Je-li f ∈ L 0 periodická funkce s periodou T , pak f je exponenciálního řádu 0 a její obraz je RT f (t) e−pt dt , p > 0. F (p) = 0 1 − e−pT R∞ Důkaz. 0 f (t) e−pt dt = t = u + nT P∞ R (n+1)T −pt = n=0 nT f (t) e dt = dt = du P∞ R T −p(u+nT ) = n=0 0 f (u) e du = R P∞ T = n=0 (e−pT )n 0 f (u) e−pu du = RT = 0 f (u) e−pu du /(1 − e−pT )
=
Prostory Rn Euklidovský prostor Rn = R × R × · · · × R: n-rozměrné aritmetické vektory x = (x1 , . . . , xn ) s operacemi x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) ax = (ax1 , . . . , axn ) x · y = x 1 y1 + · · · + x n yn
součet skalární násobek skalární součin
počátek O kartézského systému souřadnic, bodový prostor 1) e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1) tvoří (standardní) ortonormální bázi Rn . 2) Nulový vektor : o = (0, 0, . . . , 0). p √ 3) Norma (euklidovská): kxk = x · x = x21 + · · · + x2n . 4) Vzájemně jednoznačná korespondence mezi body a vektory: X = O + x. −−→ 5) Vzdálenost bodů X, Y : kXY k = kY − Xk. Základní vlastnosti normy: (1) kxk > 0 pro x 6= o (kok = 0), (2) ka · xk = |a| · kxk, (3) kx + yk ≤ kxk + kyk (trojúhelníková nerovnost). Další vlastnosti: 1) |x·y| ≤ kxk·kyk (Schwarzova √ nerovnost pro eukl. normu), 2) maxi=1,...,n |xi | ≤ kxk ≤ n · maxi=1,...,n |xi |. Důkaz (2). Odmocníme maxi=1,...,n x2i ≤ x21 + · · · + x2n ≤ n · maxi=1,...,n x2i
Poznámky. Supremová norma: kxkM = sup{|xi | : i = 1, . . . , n}. Součtová norma: kxkS = |xi | + · · · + |xn |. Všechny normy jsou ekvivalentní: kxkM ≤ kxk ≤ kxkS ≤ n · kxkM . Definice. Diametr (průměr ) neprázdné množiny M ⊂ Rn : diam(M ) = sup{kx − yk : x, y ∈ M } . Poznámka. diam(∅) = 0. Definice. Množina M ⊂ Rn se nazývá omezená, má-li konečný diametr. Poznámka. Množina je omezená právě tehdy, když jsou omezené vzdálenosti jejích bodů od počátku, tj. omezené jsou množiny všech souřadnic. Definice. ε-okolí bodu x ∈ Rn : U (x, ε) = {y ∈ Rn : ky − xk < ε} . Prstencové ε-okolí bodu x ∈ Rn : P (x, ε) = U (x, ε) \ {x} = {y ∈ Rn : 0 < ky − xk < ε} .
Definice. Nechť x ∈ Rn , M ⊂ Rn . Řekneme, že x je 1) vnitřní bod M , pokud existuje okolí U (x, ε) ⊂ M , 2) vnější bod M , pokud existuje okolí U (x, ε) disjunktní s M (tj. M ⊂ Rn \ M ), 3) hraniční bod M , pokud každé okolí bodu x má neprázdný průnik s M i s (Rn \ M ), 4) hromadný bod M , pokud každé prstencové okolí bodu x má neprázdný průnik s M , 5) izolovaný bod M , pokud existuje prstencové okolí bodu x disjunktní s M . Definice. Nechť M ⊂ Rn . 1) Vnitřek M (M 0 ) je množina všech vnitřních bodů M . 2) Hranice M (∂M ) je množina všech hraničních bodů M . 3) Uzávěr M (M ) je M 0 ∪ ∂M . Definice. Množina M ⊂ Rn se nazývá 1) otevřená, je-li rovna svému vnitřku, 2) uzavřená, je-li rovna svému uzávěru. Poznámky. 1) Množina nemusí být ani otevřená, ani uzavřená. 2) Otevřené a zároveň uzavřené (tzv. obojetné) množiny v Rn jsou pouze ∅ a Rn . 3) Jednobodové množiny jsou uzavřené. 4) Množina je otevřená právě tehdy, když její doplněk je uzavřená množina. 5) Průnik dvou a sjednocení libovolně mnoha otevřených množin je otevřená množina. 6) Sjednocení dvou a průnik libovolně mnoha uzavřených množin je uzavřená množina.
Věta. Každá omezená nekonečná množina v Rn má alespoň jeden hromadný bod. Důkaz (návod). Podobně jako princip vnořených intervalů. Definice. Množina M ⊂ Rn se nazývá souvislá, jestliže neexistují otevřené množiny O1 , O2 ⊂ Rn takové, že: (1) O1 ∩ O2 = ∅, (2) O1 ∪ O2 ⊃ M , (3) O1 ∩ M, O2 ∩ M 6= ∅. Poznámky. 1) ∅ a Rn jsou souvislé. 2) Jednobodové množiny jsou souvislé. 3) Otevřená množina není souvislá právě tehdy, když je sjednocením dvou disjunktních otevřených množin. 4) V R jsou souvislé ∅, jednobodové množiny, intervaly (nic jiného). Věta. Otevřená množina v Rn je souvislá právě tehdy, když každé dva její body lze spojit lomenou čarou ležící v této množině. Definice. Otevřená souvislá množina se nazývá oblast.
Posloupnosti v Rn Definice. Posloupnost v Rn je zobrazení N → Rn .
Definice. Nechť M ⊂ D(f ). Funkce f má v bodě a limitu b vzhledem k M , jestliže a je hromadný bod M a pro každé okolí U bodu b existuje prstencové okolí P bodu a tak, že f (P ∩ M ) ⊂ U . Píšeme lim f (x) = b .
1 7→ 1. člen x1 ∈ Rn
x→a x∈M
2 7→ 2. člen x2 ∈ Rn ...
(Je-li M = D(f ), pak podmínku x ∈ M nepíšeme.)
(xk )∞ k=1
Příklad. n = 1, M = (a, ∞) . . . limita zprava.
Definice. Posloupnost (xk ) má limitu x, pokud pro každé okolí U bodu x existuje k0 ∈ N tak, že pro každé k > k0 je xk ∈ U .
Věta. Je-li a hromadný bod D(f ), pak limx→a f (x) = b právě tehdy, když lim x→a f (x) = b pro všechny M ⊂ D(f ) x∈M takové, že a je hromadný bod M .
xk ∈ U (x, ε) . . . kxk − xk < ε limk→∞ xk = x . . . limk→∞ kxk − xk = 0
Příklady. 1) lim(x,y)→(0,0)
Věta (o konvergenci po složkách). Nechť (xk ) je posloupnost v Rn . Pak limk→∞ xk = x právě tehdy, když lim xk,i = xi
k→∞
pro každé i ∈ {1, . . . , n}.
Důkaz. (k → ∞) maxi |xk,i − xi | ≤ ↓ ⇐ 0
kxk − xk ≤ ↓ ⇐ 0
√
n maxi |xk,i − xi | ↓ 0
Důsledek. Věty o limitě součtu, rozdílu, násobku, vybrané posloupnosti, jednoznačnosti, . . . platí i v Rn . Funkce v Rn Definice. (Reálná) funkce n (reálných) proměnných je zobrazení f : D(f ) → R, kde D(f ) ⊂ Rn je definiční obor funkce f . R(f ) = f (D(f )) je obor hodnot funkce f . Poznámky. 1) V prostorech „maléÿ dimenze místo x = (x1 , . . . , xn ) píšeme (x, y), (x, y, z), . . . 2) Vypouštíme „opakovanéÿ závorky – místo f ((x1 , . . . , xn )) píšeme f (x1 , . . . , xn ). 3) Pod pojmem funkce rozumíme reálnou funkci n proměnných. Definice. Graf funkce f je množina Graf f = {(x, y) ∈ Rn+1 : x ∈ D(f ), y = f (x)} . Definice. Hladina konstantnosti funkce f příslušná c ∈ R: {x ∈ D(f ) : f (x) = c} = f −1 (c) . Řez grafu je průnik grafu s rovinou v Rn+1 rovnoběžnou s poslední osou.
y=kx
2) lim(x,y)→(0,0) y=kx
x2 y 2 x4 +y 4
=
x2 y x4 +y 2
= 0, lim(x,y)→(0,0)
3) limx→0 limy→0 limy→0 limx→0
x2 x2 +y 2 2
x x2 +y 2
k2 1+k4
y=x2
x2 y x4 +y 2
=
1 2
= limx→0 1 = 1,
= limy→0 0 = 0
Definice. Funkce f je spojitá v bodě a ∈ D(f ), jestliže limx→a f (x) = f (a). Funkce je spojitá, je-li spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Poznámka. Věty o limitách a spojitosti se dají zobecnit z n = 1. (Jednoznačnost limity, limita a spojitost součtu, rozdílu, součinu, podílu, složené funkce, . . .)
Definice. Vektorová funkce je zobrazení z Rn do Rk . F : D(F ) → Rk , D(f ) ⊂ Rn F (x1 , . . . , xn ) = F1 (x1 , . . . , xn ), . . . , Fk (x1 , . . . , xn ) F = (F1 , . . . , Fk ) Podobně jako pro posloupnosti vyšetřujeme limity (a tedy i spojitost) „po složkáchÿ, tj. limity (a spojitost) F1 , . . . , Fk .
Derivace funkcí více proměnných Definice. Parciální derivace funkce f (x) podle xi v bodě a ∈ D(f ): ∂f (a) = ϕ0 (ai ) ∂xi pro ϕ(xi ) = f (a1 , . . . , ai−1 , xi , ai+1 , . . . , an ). Příklad. f (x, y) = ex + x2 y, a = (1, 2) ∂f ∂f x ∂x (x, y) = e + 2xy, ∂x (1, 2) = e + 4 ∂f 2 ∂f ∂y (x, y) = x , ∂y (1, 2) = 1
fh0 (a) = grad f (a) · h . Příklad. f (x, y) = ex + x2 y, grad f (1, 2) = (e + 4, 1) 0 f(−1,3) (1, 2) = (e + 4, 1) · (−1, 3) = −e − 1 Příklad. Předpoklad o spojitosti nelze vypustit. f (x, y) =
xy x2 +y 2
pro (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0
grad f (0, 0) = (0, 0) (f (x, 0) = f (0, y) = 0)
Definice. Gradient funkce f v bodě a ∈ D(f ): ∂f ∂f (a), . . . , ∂x (a) . grad f (a) = ∂x 1 n x
Věta. Nechť a je vnitřní bod D(f ), parciální derivace f existují v některém okolí a a jsou v tomto bodě spojité (tj. grad f je spojitý v a). Pak
2
Příklad. f (x, y) = e + x y grad f (x, y) = (ex + 2xy, x2 ), grad f (1, 2) = (e + 4, 1)
Poznámka. (grad f ) : a ∈ Rn 7→ grad f (a) ∈ Rn je vektorová funkce ∂f ∂f (grad f )(a) = ∂x , . . . , ∂x (a) 1 n ∂f ∂f ∂ , . . . , ∂x∂ n f grad f = ∂x1 , . . . , ∂xn = ∂x 1 grad = ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂ n = ∇ (nabla)
0 f(1,1) (0, 0) = limt→0 2
f (t,t)−f (0,0) t
=
0,5−0 t
neexistuje
2
y(y −x ) (x2 +y 2 )2 lim(x,y)→(0,0) ∂f ∂x (x, y) y=2x ∂f ∂x (x, y)
= limt→0
= limx→0
6 25x
neexistuje
Věta (Lagrange). Nechť I ⊂ D(f ) je úsečka s krajními body a a b, f je spojitá na I a má v každém bodě I \ {a, b} derivaci ve směru b − a. Pak existuje α ∈ (0, 1) tak, že 0 f (b) − f (a) = fb−a a + α(b − a) . Důkaz. f a + t(b − a) = ϕ(t), t ∈ h0, 1i
0 a + t(b − a) = ϕ0 (t) f (a) = ϕ(0), f (b) = ϕ(1), fb−a Lagrange n = 1: ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ0 (α) (1 − 0) = ϕ0 (α) Poznámka. Bod a + α(b − a) leží uvnitř úsečky I.
∂f ϕ(ai + t) − ϕ(ai ) f (a + tei ) − f (a) (a) = lim = lim t→0 t→0 ∂xi t t Definice. a ∈ D(f ):
Derivace funkce f ve směru h ∈ Rn v bodě
Příklad. f (x, y) = 1 na {(x, y) : y = x2 , x 6= 0}, jinak 0 fh0 (0, 0) = 0, f není spojitá v (0, 0) lineární aproximace přírůstku: f (a + h) − f (a) = k · h + ω(h) ω(h) h
f (a+h)−f (a)−kh h limh→0 ω(h) = f 0 (a) − h
=
nejlepší lineární aproximace L(h) = f 0 (a) h
f (a + th) − f (a) . t→0 t
fh0 (a) = lim
limh→0
Příklad. f (x, y) = ex + x2 y, a = (1, 2), h = (−1, 3) 0 f(−1,3) (1, 2) = limt→0 1t (e1−t − e) − 1 − 4t + 3t2 = −e − 1
f (a+h)−f (a)−L(h) h
∂f 1) Parciální derivace je směrová: ∂x = fe0 i . i 2) Někdy se uvažují jen jednotkové vektory h: khk = 1.
n
Věta. Nechť a, h ∈ R a existují
ϕ(t)−ϕ(0) t
= ϕ0 (0) .
fh0 (a), gh0 (a).
Pak
1) (f + g)0h (a) = fh0 (a) + gh0 (a) , 3)
lim
h→o
f (a + h) − f (a) − L(h) = 0. khk
Pokud existuje, říkáme, že f je diferencovatelná v bodě a. Poznámky. 1) Značení: df (a)(h), df (a)[h], df (a, h). 2) df (a) je lineární zobrazení:
5) ϕ(t) = f (a + th): fh0 (a) = limt→0
2)
=0
Definice. (Totální) diferenciál funkce f v bodě a (vnitřní bod D(f )) je lineární zobrazení L : Rn → R, pro které platí
Poznámky.
3) fo0 (a) = 0. 0 4) fch (a) = c · fh0 (a).
k . . . nejlepší pro k = f 0 (a)
(f · g)0h (a) = fh0 (a) · g(a) + f (a) · gh0 (a) , fh0 (a) · g(a) − f (a) · gh0 (a) f 0 (g(a) 6= 0). (a) = g h g(a)2
Důkaz. Přepisem do jedné proměnné.
df (a)(h) = k1 h1 + · · · + kn hn
df (a) = k1 dx1 + · · · + kn dxn = (k1 , . . . , kn ) · dx
Příklad. f (x, y) = x2 + y 2 , df (1, 1)(h1 , h2 ) = 2h1 + 2h2 . Poznámky. 1) Je-li f lineární, pak df (a) = f . 2) n = 1: df (a)(h) = f 0 (a) h, df (a) s f 0 (a) ztotožňujeme. 3) Pro vektorovou funkci F = (f1 , . . . , fn ) : Rn → Rk je dF = (df1 , . . . , dfn ), tj.: kF (a + h) − F (a) − dF (a)(h)k = 0. h→o khk lim
Věta. Má-li funkce v některém bodě diferenciál, pak je v tomto bodě spojitá.
Věty o derivacích Věta. Má-li funkce f v bodě a totální diferenciál, pak má v a všechny směrové derivace a platí (pro každé h ∈ Rn ) fh0 (a) = df (a)(h) = grad f (a) · h . Důkaz. 1) h = o: fo0 (a) = 0 = df (a)(o) h 6= o: t → 0 ⇐⇒ th → o:
Důkaz. kdf (a)(h)k = kgrad f (a) · hk ≤ kgrad f (a)k · khk:
limh→o [f (a + h) − f (a)] = (a)−df (a)(h) ·khk + df (a)(h) = 0. = limh→o f (a+h)−fkhk | {z } {z } | →0
→0
f (a + th) − f (a) − t df (a)(h) t→0 t f (a + th) − f (a) − df (a)(th) ·khk = 0 = lim th→o ±kthk {z } |
fh0 (a) − df (a)(h) = lim
→0
n
2) (e1 , . . . , en ) standardní ortonormální báze R :
df (a)(h) = df (a)(h1 e1 + · · · + hn en ) = h1 df (a)(e1 ) + · · · + hn df (a)(en )
Věta. Má-li funkce v některém vnitřním bodě svého definičního oboru spojité parciální derivace (tj. spojitý gradient), pak má v tomto bodě diferenciál.
Důkaz. Ověříme, že grad f (a) · h je diferenciál:
f (a + h) − f (a) − grad f (a) · h =
= [f (a1 + h1 , a2 + h2 , . . . ) − f (a1 , a2 + h2 , . . . , an + hn )+
+ [f (a1 , a2 + h2 , . . . , an + hn ) − f (a1 , a2 , . . . , an + hn ) + · · ·
= h1 fe0 1 (a) + · · · + hn fe0 n (a)
+ [f (a1 , a2 , . . . , an + hn ) − f (a1 , a2 , . . . , an ) − grad f (a) · h ∂f ∂f = ∂x x1 (h) h1 + · · · + ∂x xn (h) hn − 1 n
= grad f (a) · h
=
1)
= h1
∂f ∂x1 (a)
+ · · · + hn
∂f ∂xn (a)
−
∂f ∂f ∂x1 (a) h1 − · · · − ∂xn (a) hn ∂f Pn ∂f khk i=1 ∂xi xi (h) − ∂x (a) · i
|
Poznámka. Stručné zápisy:
{z
}
→0
hi khk
|{z}
∈h−1,1i
df (a) = grad f (a) · dx df = dx · grad f
Důsledek. Jsou-li parciální derivace spojité na otevřené množině, pak diferenciál existuje v každém bodě této množiny.
Poznámka. Je-li A : Rn → Rk lineární, pak existuje matice A typu (k, n) tak, že
Poznámky. 1) Parciální derivace v okolí, spojité v bodě ⇒ diferenciál v bodě ⇒ všechny směrové derivace v bodě. 2) Podmínka spojitosti parciálních derivací není nutná.
d = dx · grad
A(x)T = A · x T . Diferenciál df (a) má za matici grad f (a).
df (a)(h)(T)
h1 ∂f ∂f = ∂x (a) . . . ∂x (a) · ... . 1 n hn
Pro vektorovou funkci F : Rn → Rk , F = (f1 , . . . , fk ) máme diferenciály po souřadnicích: dF (a)(h) = df1 (a)(h), · · · , dfk (a)(h) ∂f1 ∂f1 h1 ∂x1 (a) · · · ∂xn (a) .. .. .. dF (a)(h)T = · . . . ∂fk ∂x1 (a)
|
··· {z
∂fk ∂xn (a)
Jacobiho matice F v a
hn
}
Příklad. F : R2 → R2 , F (x, y) = (x2 + xy, 2x + 5y) 2x + y x dF (x, y) ∼ 2 5 3 1 h1 3h1 + h2 · dF (1, 1)(h1 , h2 )T = = 2 5 h2 2h1 + 5h2 dF (1, 1)(h1 , h2 ) = (3h1 + h2 , 2h1 + 5h2 )
1 Příklad. f : R2 → R, f (x, y) = (x2 + y 2 ) sin x2 +y 2 pro
(x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0 diferenciál df (0, 0)(h1 , h2 ) = 0 existuje limita
∂f ∂x (x, y)
1 = 2x sin x2 +y 2 −
2x x2 +y 2
1 cos x2 +y 2 neexistuje
Věta. Funkce, která má v oblasti G ⊂ Rn nulové všechny parciální derivace, je v této oblasti konstantní. Důkaz. Zvolme x, y ∈ G, existuje čára L ⊂ G z x do y složená z úseček, BÚNO z jedné, existuje z ∈ L: 0 f (y) − f (x) = fy−x (z) = grad f (z) · (y − x) = o · (y − x) = 0. Důsledek. Funkce se stejnými parciálními derivacemi v oblasti se v této oblasti liší o konstantu. Příklad. f (x, y) = arctg x + arctg y x+y , xy 6= 1 g(x, y) = arctg 1−xy 1 1 grad f (x, y) = 1+x2 , 1+y = grad g(x, y) 2
arctg x + arctg y = arctg
arctg x + arctg y = arctg arctg x + arctg y = arctg
x+y 1−xy x+y 1−xy x+y 1−xy
pro xy < 1
+ π pro xy > 1, x > 0 − π pro xy > 1, x < 0
Interpretace a aplikace
Věta. Je-li platí
∂ 2f ∂xj ∂xi
∂ 2f ∂ 2f = . ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi
Směr největšího spádu pro khk = 1 je (Schwarzova nerovnost): |fh0 (a)| = |grad f (a) · h| ≤ kgrad f (a)k · khk = kgrad f (a)k rovnost nastane, pokud jsou h a grad f (a) lineárně závislé, tj. v případě grad f (a) 6= 0 pro jednotkové vektory: hmax
grad f (a) = , kgrad f (a)k
hmin = −hmax .
Tečná nadrovina a normála grafu tečná nadrovina (lineární aproximace) v [a, f (a)]: y = f (a) + grad f (a) · (x − a)
grad f (a) · x − y = grad f (a) · a − f (a) grad f (a), −1 · (x, y) = grad f (a), −1 · a, f (a) grad f (a), −1 je normálový vektor Lineární aproximace
f (x) ≈ f (a) + df (a)(x − a) = f (a) + grad f (a) · (x − a)
spojitá na otevřené množině G, pak na G
2
2
f f , ∂x∂i ∂x v okolí bodu a a jsou-li Věta. Existují-li ∂x∂j ∂x i j spojité v a, pak jsou v tomto bodě stejné.
Příklad. f (x, y) = exy ∂f ∂x (x, y) = ∂ 2f ∂y ∂x (x, y)
2
2
∂f xy 2 ∂y (x, y) = 2xe 2 2 ∂ 2f 2yexy + 2xy 3 exy = ∂x ∂y (x, y)
y 2 exy , =
Definice. Nechť G ⊂ Rn je otevřená, k ∈ N. Funkce f : G → Rn se nazývá třídy C k na G (f ∈ C k (G)), jestliže všechny parciální derivace řádu k jsou na G spojité. Poznámky. 1) C 0 . . . spojité funkce 0 1 2 2) C T∞⊃ Ck ⊃ C ∞⊃ · · · 3) k=1 C = C
Důsledek. Je-li f ∈ C k (G), pak parciální derivace do řádu k na G nezávisejí na pořadí derivování.
x+y v okolí (0, 0). Příklad. Aproximujte f (x, y) = arctg 1−xy 1 1 grad f (x, y) = 1+x2 , 1+y2 , grad f (0, 0) = (1, 1) f (x, y) ≈ f (0, 0) + (1, 1) · (x, y) = x + y
df (a)(h) = grad f (a) · h = (h · grad)f (a) Pn ∂ d → h · grad = i=1 hi ∂x i Pn 2 d2 → (h · grad)2 = i,j=1 hi hj ∂x∂i ∂xj Pn ∂3 d3 → (h · grad)3 = i,j,k=1 hi hj hk ∂xi ∂x j ∂xk
Derivace vyšších řádů Parciální derivace vyšších řádů: ∂f (x) ∂xi ∂ ∂f ∂ ∂f ∂ 2f x 7→ ∂xi (x) = (x) = (x) ∂xj ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi
x 7→
3
3
∂ f ∂ f ∂x ∂x ∂y (x) = ∂x2 ∂y (x) ∂ kf ∂xik ...∂xi1 (x) . . . řádu k
...
Poznámky. 1) Pro n = 1 je dkf (a)(h) = f (k) (a) hk . 2) Pro f (x, y) se spojitými parciálními derivacemi:
smíšená: alespoň 2 proměnné různé
d2 → h21
Poznámka. Pořadí derivování nelze vždy zaměnit.
...
Příklad.
=
xy(x2 −y 2 ) x2 +y 2 4
=0
∂f ∂y (x, y)
=
∂f ∂y (0, 0)
=0
∂ f ∂y ∂x (0, 0) ∂ 2f ∂x ∂y (0, 0)
=
2 2
pro (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0 4
y(x +4x y −y ) (x2 +y 2 )2
∂f ∂x (0, 0)
2
+ 2h1 h2
∂2 ∂x ∂y
∂3 ∂x3
+ 3h21 h2
∂3 ∂x2 ∂y
+ h22
∂2 ∂y 2
+ 3h1 h22
∂3 ∂x ∂y 2
+ h32
∂3 ∂y 3
3)
f (x, y) = ∂f ∂x (x, y)
d3 → h21
∂2 ∂x2
x(x4 −4x2 y 2 −y 4 ) (x2 +y 2 )2
lim 1 ∂f (0, y) x→0 x ∂x 1 y→0 y
= lim
∂f ∂y (x, 0)
pro (x, y) 6= (0, 0) pro (x, y) 6= (0, 0) − −
∂f ∂x (0, 0) ∂f ∂y (0, 0)
= −1 =1
d2 → (h1 , . . . , hn ) · |
∂2 ∂x21
...
.. .
2
∂ ∂xn ∂x1
∂2 ∂x1 ∂xn
.. .
... {z
∂2 ∂x2n
Hessova matice
· }
h1 .. . hn
Příklad. Pro f (x, y) = xy = ey ln x , D(f ) = (0, ∞) × R je d2f (1, 2)(h1 , h2 ) = 2h21 + 2h1 h2 .
Taylorův polynom f 00 (a) 2 f (k) (a) k h + ···+ h + 2! k! f (k+1) (a + αh) k+1 h + (k + 1)!
f (a + h) = f (a) + f 0 (a) h +
Věta (o Taylorově polynomu). Je-li funkce f třídy C k+1 na otevřené množině G ⊂ Rn obsahující úsečku s krajními body a, a + h, pak existuje α ∈ (0, 1) tak, že platí d2f (a)(h) + ···+ 2! d(k)f (a)(h) d(k+1)f (a + αh)(h) + . + k! (k + 1)!
f (a + h) = f (a) + df (a)(h) +
Poznámky. 1) h → x − a (Taylorův polynom). 2) Pro k = 0 dostáváme Lagrangeovu větu: f (a + h) = f (a) + h · grad f (a + αh) = fh0 (a + αh). Příklad. Pomocí Taylorova polynomu odhadněte 1,053,02 . f (x, y) = xy , a = (1, 3), h = (0,05; 0,02),
Příklad. Určete diferenciál f (x, y) = g(exy , e−xy ), g ∈ C 1 . Pro (exy , e−xy ) = (u, v) = f1 (x, y), f2 (x, y) = F (x, y) je f =g◦F ∂g ∂g dg(x, y) ∼ ∂u , ∂v ! ∂f1 ∂f1 y exy x exy ∂x ∂y = dF (x, y) ∼ ∂f2 ∂f2 −y e−xy −x e−xy ∂x ∂y ∂g xy ∂g −xy ∂g df (x, y) ∼ y exy ∂u − y e−xy ∂g ∂v , x e ∂u − x e ∂v
Věta. Nechť G ⊂ Rn , H ⊂ Rk jsou otevřené množiny, F : G → H má v bodě a ∈ G derivaci ve směru h ∈ Rn , g : H → R má v bodě b = F (a) diferenciál. Pak funkce (g ◦ F ) má v bodě a derivaci ve směru h a platí (g ◦ F )0h (a) = dg(b) Fh0 (a) . Důkaz (pokud F má diferenciál).
(g ◦ F )0h (a) = d(g ◦ F )(a)(h) = dg(b) ◦ dF (a) (b) = dg(b) dF (a)(h) = dg(b) Fh0 (a)
∂f ∂f y−1 + h2 xy ln x = 3h1 , ∂x + h2 ∂y = h1 yx 2 2 2 ∂ f ∂ f 2 ∂ f (h · grad)2f = h21 ∂x 2 + 2h1 h2 ∂x ∂y + h2 ∂y 2 = = h21 y(y − 1)xy−2 + 2h1 h2 xy−1 (1 + y ln x) + h22 xy ln2 x = = 6h21 + 2h1 h2 , f (a + h) ≈ f (a) + (h · grad)f (a) + 12 (h · grad)2f (a) = = 1 + 3h1 + 3h21 + h1 h2 = 1,1585 (1,053,02 = 1,1587 . . . )
(h · grad)f = h1
Pro parciální derivace dostáváme tzv. řetězové pravidlo (značíme F (x) = y, g(y1 , . . . , yk )):
Derivace složené funkce f g n = 1: R → R → R, (g ◦ f )0 (a) = g 0 f (a) · f 0 (a)
∂(g◦F ) ∂xi (a)
Věta. Nechť G ⊂ Rn , H ⊂ Rk jsou otevřené množiny, F : G → H má diferenciál v bodě a ∈ G, g : H → R má diferenciál v bodě b = F (a). Pak funkce (g ◦F ) má v bodě a diferenciál a platí
Poznámky. 1) Složení lineárních zobrazení je lineární. 2) Matice složeného zobrazení je součinem matic (F = (f1 , . . . , fk )):
= grad g(b)
=
=
Někdy vypuštíme argumenty (uvažujeme x, y) ∂g ∂f1 ∂g ∂fk ∂(g ◦ F ) = · +···+ · . ∂xi ∂y1 ∂xi ∂yk ∂xi
d(g ◦ F )(a) = dg(b) ◦ dF (a) .
dg(b) ∼ grad g(b) ∂f1 ∂f1 ∂x1 (a) · · · ∂xn (a) .. .. dF (a) ∼ . . ∂fk ∂fk (a) · · · (a) ∂x1 ∂xn ∂f1 ∂x1 (a) · · · .. d(g ◦ f )(a) ∼ grad g(b) · . ∂fk ∂x1 (a) · · ·
∂F ∂xi ∂f1 ∂g ∂g ∂fk ∂y1 (b), . . . , ∂yk (b) · ∂xi (a), . . . , ∂xi (a) ∂f1 ∂g ∂fk ∂g ∂y1 (b) ∂xi (a) + · · · + ∂yk (b) ∂xi (a) .
= grad g(b) ·
Někdy se nerozlišuje fi od yi (f = g ◦ F ): ∂f ∂g ∂y1 ∂g ∂yk = · +···+ · . ∂xi ∂y1 ∂xi ∂yk ∂xi (Někdy se nerozlišuje ani g od f .) Příklad. Určete parciální derivace f (x, y) = g(exy , e−xy ). Označme (exy , e−xy ) = (u, v):
∂f1 ∂xn (a)
.. .
∂fk ∂xn (a) ∂f ∂f ∂x1 (a), . . . , grad g(b) ∂xn (a) .
3) Lze i pro vektorovou funkci g. 4) Pro n = k = 1 dostaneme násobení čísel (derivací).
∂g ∂u ∂g ∂f = · + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂f ∂g ∂u ∂g = · + ∂y ∂u ∂y ∂v
∂v = y exy ∂x ∂v · = x exy ∂y ·
∂g − y e−xy ∂u ∂g − x e−xy ∂u
Příklad. Pro f (x, y, z) = x g( yx , xz ), g ∈ C 1 je ∂f ∂f x ∂f ∂x + y ∂y + z ∂z = f .
∂g , ∂v ∂g . ∂v
Transformace diferenciálních výrazů ∂f ∂g ∂g f (x, y) → g(u, v): x, y, ∂f ∂x , ∂y → u, v, ∂u , ∂v
Věta. Jacobiho matice inverzních vektorových funkcí jsou k sobě inverzní. (Pro regulární, tj. s nenulovým determinantem Jacobiho matice.)
I. Nové proměnné pomocí starých f (x, y) ,
u = u(x, y) ,
v = v(x, y)
Použijeme větu o derivaci složené funkce pro f (x, y) = g u(x, y), v(x, y) , spočteme staré proměnné: ∂f ∂g ∂u ∂g ∂v = · + · ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂g ∂u ∂g ∂v ∂f = · + · ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y x = x(u, v)
Příklad. x
−y
∂f ∂y ,
u=
∂f ∂x ∂f ∂y
=
=
2x y
=
∂g ∂u ∂g ∂u
x y,
· ·
∂g ∂v · ∂g −x y 2 + ∂v
=
∂g ∂g ∂u , ∂v
=
∂f ∂f ∂x , ∂y
·
∂u ∂x ∂v ∂x
∂u ∂y ∂v ∂y
!
·
∂x ∂u ∂y ∂u
∂x ∂v ∂y ∂v
!
Poznámka. Je to zobecnění věty o derivaci inverzní funkce jedné proměnné.
∂u ∂x ∂v ∂x
+
∂g ∂g ∂u , ∂v
Příklad. x ∂f ∂x − y
v = y:
1 y
4. Použijeme větu o derivaci složené funkce pro f , parciální derivace nových proměnných podle starých spočítáme invertováním Jacobiho matice inverzní transformace.
y = y(u, v) ∂f ∂x
∂f ∂f ∂x , ∂y
!
∂u ∂y ∂v ∂y
∂f ∂y ,
!−1
∂x ∂v ∂y ∂v
∂x ∂u ∂y ∂u
=
x = uv, y = v =
0
v u 0 1
−1
=
1 v − uv
0 1
!
·1
x = uv, y = v: x ∂f ∂x − y
∂f ∂y
·
∂g ∂u
−y
∂g ∂v
∂g = 2u ∂u −v
∂g ∂v
II. Staré proměnné pomocí nových f (x, y) ,
x = x(u, v) ,
y = y(u, v)
Příklad. x
−y
∂f ∂y ,
x = uv, y = v: u =
x y,
v=y
2. Použijeme větu o derivaci složené funkce pro g(u, v) = f x(u, v), y(u, v) , spočítáme parciální derivace f : ∂g ∂f ∂x ∂f ∂y = · + · ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂g ∂f ∂x ∂f ∂y = · + · ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
Příklad. x ∂f ∂x − y ∂g ∂u ∂g ∂v
= =
∂f ∂x ∂f ∂x
∂f ∂y ,
·v+
·u+
∂f = ··· ∂x ∂f = ··· ∂y
·0
·1
∂f ∂x ∂f ∂y
= =
1 ∂g v · ∂u ∂g u ∂v − v
0=
·v+u·
∂u ∂x
=
1 v
=0
1=
,
∂v ∂x
0= 1= ∂u ∂y
=
∂g ∂v
∂ 2f ∂x ∂y
=
∂ ∂f ∂x ∂y
=
∂ ∂u
∂f ∂y
cos u 0 0 1
∂g ∂v
=0
=
−1
=
∂ ∂g ∂x ∂v
∂u ∂x
·
= 0, x = sin u, y = v:
+
∂ ∂v
1 cos u
0
0
1
∂g ∂v
·
∂v ∂x
!
=
∂ 2g ∂u ∂v
·
1 cos x
=0 = ϕ(u)
g(u, v) = c1 (v) e−u +c2 (u)
Příklad. 4f = ·
∂g ∂u
∂f Příklad. x ∂f ∂x − y ∂y , x = uv, y = v derivacemi transformačních rovnic dostaneme: ∂v ∂x
∂f ∂y
+
f (x, y) = c1 (y) earcsin x +¯ c2 (x)
3. Použijeme větu o derivaci složené funkce pro f , parciální derivace nových proměnných podle starých spočítáme z derivací transformačních rovnic.
∂u ∂x ∂v ∂x
=
∂ 2g ∂g ∂u ∂v + ∂v ∂ ∂g ∂v ∂u + g ∂g ∂u + g
x = uv, y = v:
∂f ∂y ∂f ∂y
∂ 2f ∂x ∂y
1 − x2 !
∂u ∂y ∂v ∂y
∂u ∂x ∂v ∂x
1. Přepočítáme u = u(x, y), v = v(x, y) a použijeme I. ∂f ∂x
√
Příklad.
∂u ∂y ∂v ∂y
·v+u·
= − uv ,
∂v ∂y
∂v ∂y
=1
∂r ∂x ∂ϕ ∂x
!
∂r ∂y ∂ϕ ∂y
∂f ∂x
=
∂g ∂r
∂ 2f ∂x2
=
∂ ∂x
− 4f =
+
∂ 2f ∂y 2 ,
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ
cos ϕ −r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ
∂g sin ϕ · cos ϕ − ∂ϕ · r ∂r ∂f ∂ ∂f ∂x = ∂r ∂x · ∂x +
∂ 2g ∂r 2
=
=
∂ 2f ∂x2
cos ϕ − 2
∂ g ∂ϕ ∂r
∂ 2g ∂r 2
+
∂ 2g sin ϕ ∂ϕ ∂r r
cos ϕ −
1 ∂ 2g r 2 ∂ϕ2
+
∂g ∂r
+
∂ ∂f ∂ϕ ∂x ∂g ∂ϕ
sin ϕ −
1 ∂g r ∂r
−1
=
· sin ϕ r2
2
cos ϕ sin ϕ − sinr ϕ
cos ϕ r
!
∂ϕ ∂x
cos ϕ
∂ g sin ϕ ∂ϕ2 r
−
∂g cos ϕ ∂ϕ r
·
sin ϕ r
Lokální extrémy funkcí více proměnných f má v a lokální minimum: f (x) ≥ f (a) na některém P (a) lokální maximum: f (x) ≤ f (a) na některém P (a) lokální extrém: lokální minimum nebo lokální maximum ostrý lokální extrém (maximum, minimum): ostrá nerovnost Příklady. p 1) f (x, y) = x2 + y 2 má v (0, 0) ostré lokální minimum. 2) f (x, y) = x2 y 2 má v (0, 0) lokální minimum (neostré). 3) f (x, y) = xy nemá v (0, 0) lokální extrém. Poznámka. Funkce f má v a (ostré) lokální minimum právě tehdy, když funkce −f má v a (ostré) lokální maximum. n
Věta. Nechť f má v a lokální extrém, h ∈ R . Pak je buď nulová nebo neexistuje.
Příklad. Určete lokální extrémy f (x, y) = 3x2 − 6xy − 2y 3 . f ∈ C 2 (R2 ), lokální extrémy jsou ve stacionárních bodech ∂f ∂f 2 ∂x = 6x − 6y = 0, ∂y = −6x − 6y = 0 stacionární body: (0, 0), (−1, −1) d2f (x, y)(h1 , h2 ) = 6h21 − 12h1 h2 − 12yh22 d2f (0, 0)(h1 , h2 ) = 6h21 − 12h1 h2 = 6[(h1 − h2 )2 − h22 ] je indefinitní d2f (−1, −1)(h1, h2 ) = 6h21 − 12h1h2 + 12h22 = 6[(h1 − h2 )2 + h22 ] je pozitivně definitní Funkce f má ostré lokální minimum f (−1, −1) = −1. Hessova matice funkce f v bodě a:
fh0 (a)
Důkaz. ϕ(t) = f (a + th) f má v a lokální extrém . . . ϕ má v 0 lokální extrém fh0 (a) existuje . . . ϕ0 (0) = fh0 (a) existuje, je nulová Definice. Bod a nazýváme stacionárním bodem funkce f , jestliže všechny parciální derivace f jsou v a nulové. druhý diferenciál: d2f (a)(h) =
Příklady. d2f (0, 0) je nulový: 1) f (x, y) = x2 y 2 má v (0, 0) (neostré) lokální minimum. 2) f (x, y) = x3 + y 3 nemá v (0, 0) lokální extrém. 2) f (x, y) = x4 + y 4 má v (0, 0) ostré lokální minimum.
Pn
∂ 2f i,j=1 ∂xi ∂xj (a) hi hj
Definice. Řekneme, že d2f (a) je pozitivně definitní, pokud d2f (a)(h) > 0 pro každý h 6= 0; negativně definitní, pokud d2f (a)(h) < 0 pro každý h 6= 0; indefinitní, pokud existují h, k tak, že d2f (a)(h) < 0 < d2f (a)(k). Příklady. (v R3 ) 1) h21 + 2h22 + 5h23 je pozitivně definitní 2) −2h21 − h22 − 4h23 je negativně definitní 3) h21 + 2h22 − h23 je indefinitní: (1, 1, 0) 7→ 3, (0, 0, 1) 7→ −1 4) h21 + h22 ≥ 0 není nic z výše uvedeného: (0, 0, 1) 7→ 0 (pozitivně semidefinitní) Věta. Nechť f je třídy C 2 na otevřené množině G, a ∈ G je stacionární bod f . Pak platí: (1) Je-li d2f (a) pozitivně definitní, pak f má v a ostré lokální minimum. (2) Je-li d2f (a) negativně definitní, pak f má v a ostré lokální maximum. (3) Je-li d2f (a) indefinitní, pak f nemá v a lokální extrém. Důkaz (náznak). podle Taylorovy věty existuje t ∈ (0, 1): f (a + h) = f (a) + df (a)(h) + 12 d2f (a + th)(h) = = f (a) + 12 d2f (a + th)(h) 1) spojité 2. derivace . . . spojitý 2. diferenciál . . . pozitivně definitní v okolí U (a) . . . pro a+h ∈ P (a) je f (a+h) > f (a) 2) podobně 3) d2f (a)(h) < 0 < d2f (a)(k), ve směru h je je ostré lokální maximum, ve směru k ostré lokální minimum . . . není lokální extrém Poznámka. V R je d2f (a)(h) = f 00 (a) h2 , definitnost je určena znaménkem.
Označme
∂ 2f (a) ∂x21
··· .. .
∂ 2f ∂x1 ∂xn (a)
∂ 2f ∂xn ∂x1 (a)
···
∂ 2f ∂x2n (a)
.. .
Dk = det
.. .
∂ 2f (a) ∂x21
··· .. .
∂ 2f ∂xk ∂x1 (a)
···
.. .
∂ 2f ∂x1 ∂xk (a)
.. . ∂ 2f (a) ∂x2 k
Věta (Sylvestrovo kriterium). Nechť f je třídy C 2 . 1) d2f (a) je pozitivně definitní právě když Dk > 0 pro všechna k = 1, . . . , n. 2) d2f (a) je negativně definitní právě když (−1)k Dk > 0 pro všechna k = 1, . . . , n. 3) Pokud Dn 6= 0 a pokud nenastala ani jedna z předešlých možností, pak je d2f (a) indefinitní. Příklad. f (x, y) = 3x2 − 6xy − 2y 3 (viz výše). Hessova matice: 6 −6 −6 −12y ve stacionárních bodech 6 −6 (0, 0): , −6 0 6 −6 (−1, −1): , −6 12
D1 = 6 ,
D2 = −36
D1 = 6 ,
D2 = 36
Příklad. f (x, y, z) = 2y − 2z − y 2 − 21 z 2 + 3xz − x3 . gradient (3z − 3x2 , 2 − 2y, −2 − z + 3x) Hessova matice: −6x 0 3 0 −2 0 3 0 −1
ve stacionárních bodech −6 0 3 (1, 1, 1) : 0 −2 0 3 0 −1 −12 0 3 (2, 1, 4) : 0 −2 0 3 0 −1
, D1 = −6, D2 = 12, D3 = 6
, D1 = −12, D2 = 24, D3 = −6
ostré lokální maximum f (2, 1, 4) = 1
II. Lagrangeova metoda multiplikátorů Předpoklady: G ⊂ Rn otevřená, f ∈ C 1 (G), M : g1 (x) = 0, . . . gp (x) = 0, p < n, g1 . . . gp ∈ C 1 (G), grad g1 (x), . . . grad gp (x) jsou lineárně nezávislé na M : ∂g1 ∂g1 ∂x1 . . . ∂xn . . . . ... hod =p .. ∂gp ∂gp ∂x1 . . . ∂xn
(grad gi (x) je normálový vektor nadplochy dané rovnicí gi (x) = 0 v x, tj. tyto nadplochy se protínají v útvaru dimenze n − p). Princip: f „nerosteÿ po M , tj. grad f je kolmý k M , tj. grad f je lineární kombinací normál nadploch, tj. pro „stacionárníÿ bod a platí grad f (a) = λ1 grad g1 (a) + · · · + λp grad gp (a) . Postup: F (x) = f (x) − λ1 g1 (x) − · · · − λp gp (x) ∂F ∂x1 (x)
=0
g1 (x) = 0 .. .
.. . ∂F ∂xn (x)
=0
gp (x) = 0
n + p rovnic pro x1 , . . . , xn , λ1 , . . . λp dá stacionární body. Místo d2f je účinnější vyšetřovat d2F .
Příklad. f (x, y) = x + y + 1, M : g(x, y) = x2 + 2x + y 2 = 0 grad g(x, y) = (2x + 1, 2y) = o v (− 21 , 0) ∈ /M
Vázané extrémy f (x), G ⊂ Rn , M : g1 (x) = 0, . . . (vazby)
F (x, y) = x + y + 1 − λ(x2 + 2x + y 2 )
I. Snížení počtu proměnných 1. Vyjádření některých proměnných jako funkce jiných (řešení vazeb). Příklad. f (x, y) = y − x2 , M : 2x − y = 0 y = 2x g(x) = f (x, 2x) = 2x − x2 g(1) = 1 ostré lokální maximum f (1, 2) = 1 ostré lokální maximum vzhledem k M 2. Vyjádření některých proměnných jako funkce nových (parametrizace). 2
2
Příklad. f (x, y) = x + y + 1, M : x + 2x + y = 0 M : (x + 1)2 + y 2 = 1, kružnice: střed (−1, 0), poloměr 1 M : x = −1 + cos t, y = sin t, t ∈ h0, 2πi g(t) = f√ (−1 + cos√t, sin t) = cos t + sin t g(−1 + √2/2) = √ 2 ostré lokální maximum g(−1 + √2/2) √ = − 2 ostré √ lokální minimum f (−1 +√ 2/2, √ 2/2) = 2√ostré lok. max. vzhledem k M f (−1− 2/2, − 2/2) = − 2 ostré lok. min. vzhledem k M Poznámka. První postup je zvláštním případem druhého.
∂F ∂x
:
∂F ∂y
:
1 − λ(2x + 2) = 0
1 − λ · 2y = 0
x2 + 2x + y 2 = 0 √
√ √ 2/2, 2/2), λ1 = 2/2 √ √ √ (x2 , y2 ) = (−1 − 2/2, − 2/2), λ2 = − 2/2 d2f (xi , yi )(h) = 0 extrémy neurčí
(x1 , y1 ) = (−1 +
d2F (x, y)(h) = −2λh21 − 2λh22 : √ f (x1 , y1 ) = 2 ostré lokální maximum vzhledem k M √ f (x2 , y2 ) = − 2 ostré lokální minimum vzhledem k M Poznámka. Definitnost d2f (d2F ) stačí ném prostoru, tj. pro vektory h splňující h · grad g1 (a) = 0 , grad g1 (a) .. .. . . h · grad gp (a) = 0 ,
vyšetřovat na teč
h1 .. · . =0 grad gp (a) hp
(rovnice jsou podle podmínky lineárně nezávislé).
Příklad. f (x, y, z) = xyz, M : x + y − 1 = 0, y + z = 0. 1 1 0 grad g1 (x, y, z) = 2 6= 0 v R3 = hod hod 0 1 1 grad g2 (x, y, z) F (x, y, z) = xyz − λ(x + y − 1) − µ(y + z) ∂F ∂x
:
∂F ∂y
:
∂F ∂z
:
yz − λ = 0
xz − λ − µ = 0
xy − µ = 0
x+y−1=0
y+z =0
(x1 , y1 , z1 ) = (1, 0, 0), λ1 = µ1 = 0 (x2 , y2 , z2 ) = ( 31 , 23 , − 23 ), λ2 = − 94 , µ1 = 29 d2f (x, y, z)(h) = 2zh1 h2 + 2yh1 h3 + 2xh2 h3 1) d2f (1, 0, 0)(h) = 2h2 h3 je indefinitní (není to l. e. v R3 ) 1 1 0 ·h=0 → h2 = −h1 , h3 = h1 0 1 1 d2f (1, 0, 0)(h1 , −h1 , h1 ) = −2h21 je negativně definitní v h1
f (1, 0, 0) = 0 je vázané ostré lokální maximum 2) d2f ( 13 , 23 , − 23 )(h) = − 34 h1 h2 + 43 h1 h3 − 32 h2 h3
Funkce zadané implicitně F (x, y) = 0 → y = f (x) Příklady. 1) x2 + y√2 − 1 = 0: kružnice,√pro x ∈ h−1, 1i je: y1 (x) = 1 − x2 , y2 (x) = − 1 − x2 2) x2 + y 2 + 1 = 0: ∅ 3) (x − 1)2 + (y + 3)2 = 0: bod (1, −3) 4) |xy| − xy = 0: h0, ∞)2 ∪ (−∞, 0i2 Věta. Nechť F (x, y) je funkce třídy C 1 v okolí (a, b), F (a, b) = 0 a ∂F ∂y (a, b) 6= 0. Pak existuje okolí U bodu a a funkce f ∈ C 1 (U ) tak, že f (a) = b, F x, f (x) = 0 na U a ∂F ∂x x, f (x) na U . f 0 (x) = − ∂F ∂y x, f (x) Poznámka. Je-li
∂F ∂x (a, b)
6= 0, pak x = g(y) v okolí b.
Důkaz (druhé části). Derivací F x, f (x) = 0 podle x dostaneme ∂F 0 ∂F ∂x x, f (x) + ∂y x, f (x) · f (x) = 0 .
d2f ( 31 , 23 , − 32 )(h1 , −h1 , h1 ) = 2h21 je pozitivně definitní v h1 4 f ( 13 , 23 , − 23 ) = − 27 je vázané ostré lokální minimum
Poznámka. Derivace vyšších řádů (je-li F patřičné třídy C k ) dostaneme dalším derivováním, například:
Maximum a minimum funkce
Příklad. Určete lokální extrémy funkce y(x) dané implicitně rovnicí x2 + y 2 = 1. F (x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0 ∂F ∂y (x, y) = 2y je nenulové pro y 6= 0. derivací rovnice x2 + y 2 (x) − 1 = 0 podle x dostaneme
absolutní/globální extrémy Věta. Spojitá funkce na omezené uzavřené množině nabývá svého maxima i minima. Postup: 1) Lokální extrémy uvnitř. 2) Vázané extrémy na hranici.
:
2x − 6 = 0
:
2y − 4 = 0
stacionární bod (3, 2) ∈ M , f (3, 2) = −2 2) Vázané extrémy na hranici: F (x, y) = x2 + y 2 − 6x − 4y + 11 − λ(x2 + y 2 − 4x − 5) ∂F ∂x ∂F ∂y
: :
+
∂ 2F ∂x ∂y
f0 +
∂ 2F ∂x ∂y
+
0 ∂ 2F ∂x ∂y f
2x + 2y(x) y 0 (x) = 0 ,
f0 +
∂F ∂y
f 00 = 0
x y 0 (x) = − y(x)
stacionární body (0, 1), (0, −1) druhou derivací rovnice podle x dostaneme (y 0 (x) = 0)
Příklad. f (x, y) = x2 +y 2 −6x−4y+11, M : x2 +y 2 −4x ≤ 5 1) Lokální extrémy uvnitř: ∂f ∂x ∂f ∂y
∂ 2F ∂x2
2x − 6 − λ(2x − 4) = 0
2y − 4 − λ(2y) = 0
2
x + y 2 − 4x − 5 = 0
√ √ √ . f (2 + 3/√5, 6/ √ 5) = 12 − 6 √ 5 = −1,4 . f (2 − 3/ 5, −6/ 5)√= 12 +√6 5 = 25,4 √ maxM f = f (2 − 3/ 5, −6/ 5) = 12 + 6 5, minM f = f (3, 2) = −2
2 + 2y 02 (x) + 2y(x) y 00 (x) = 0 ,
1 y 00 (x) = − y(x)
(0, 1): y100 (0) = −1/2 < 0, ostré lokální maximum (0, −1): y200 (0) = 1/2 > 0, ostré lokální minimum Věta. Nechť F (x, y) je funkce třídy C 1 v okolí (a, b), F (a, b) = 0 a ∂F ∂y (a, b) 6= 0. Pak existuje okolíU bodu a a funkce f ∈ C 1 (U ) tak, že f (a) = b, F x, f (x) = 0 na U a ∂F ∂F ∂x1 x, f (x) ∂xn x, f (x) , . . . , ∂F grad f (x) = − ∂F na U . ∂y x, f (x) ∂y x, f (x) Poznámka. grad F (x, y) je normálový vektor nadplochy dané rovnicí F (x, y) = 0, tj. grafu implicitně zadané funkce. Speciálně pro z = f (x, y) a F (x, y, z) = f (x, y) − z je ∂f grad F = ∂f ∂x , ∂y , −1 = (grad f, −1)
Věta. Nechť F (x, y), G(x, y) (y ∈ R2 ) jsou funkce třídy C 1 v okolí (a, b), F (a, b) = G(a, b) = 0 a ! ∂F ∂F ∂y1 (a, b) ∂y2 (a, b) 6= 0 . det ∂G ∂G ∂y1 (a, b) ∂y2 (a, b) 1 Pak existuje okolí U bodu a a funkce f, g ∈ C (U ) tak, že f (a), g(a) = b a F x, f (x), g(x) = G x, f (x), g(x) = 0 na U .
Příklad. Ověřte, že rovnice x+y−u−v = 0, ux+vy−2 = 0 v okolí bodu (1, −1, 1, −1) definují funkce u = u(x, y), v = v(x, y) v okolí bodu (1, −1). Určete grad u(1, −1). Funkce F (x, y, u, v) = x+y−u−v, G(x, y, u, v) = ux+vy−2 jsou třídy C 1 (R4 ), bod (1, −1, 1, −1) vyhovuje podmínkám, ! ∂F ∂F −1 −1 ∂u ∂v = det det ∂G ∂G =x−y x y ∂u
: ∂u ∂x
∂ ∂y
: ∂u ∂y
∂v ∂x ∂v x + u + ∂x y ∂u ∂v 1 − ∂y − ∂x x + ∂v ∂y y + v
1−
∂u ∂x
n sudé, sn = 0 pro n liché. P∞ 3) k=1 2−k = 12 + 14 + 18 + · · · = limn→∞ (1 − 2−n ) = 1 konverguje. P∞ 4) k=1 (−1)k−1 k = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · · osciluje v R, diverguje v C: s2n−1 = n, s2n = −n.
Poznámka. „Lepšíÿ sčítání je limn→∞ klad 2) dá součet 21 .
−
=0 =0 =0 =0
∂u ∂x (−1, 1) ∂u ∂x (−1, 1) ∂u ∂x (−1, 1) ∂u ∂x (−1, 1)
+ − + −
∂v ∂x (−1, 1) ∂v ∂x (−1, 1) ∂v ∂x (−1, 1) ∂v ∂x (−1, 1)
Pn
k=1 sn ,
pro pří-
a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + · · · =
∞ X k=1
a + (k − 1)d .
Součty =1 = −1 =1 =1
vyřešením: grad u(1, −1) = (0, 1)
n X
k=1
ak = a1 + a2 + · · · + an−1 + an = 12 (a1 + an ) + 12 (a2 + an−1 ) + · · · + 12 (an + a1 )
= 21 n(a1 + an ) , ∞ +∞, d > 0 nebo d = 0 , a > 0 , X ak = −∞, d < 0 nebo d = 0 , a < 0 , k=1 0, d = 0, a = 0. Pn
Příklad.
k=1
k = 1 + 2 + · · · + n = 12 n(n + 1).
Definice. Geometrická řada s kvocientem q:
Číselné řady
a + aq + aq 2 + aq 3 + · · · =
∗
R ∪ {±∞} = R C ∪ {∞} = C Pn a1 + a2 + · · · + an = k=1 ak
∞ X
aq k−1 .
k=1
Součty
Definice. Nechť (ak )∞ k=1 je posloupnost čísel. (Nekonečná číselná) řada je výraz a1 + a 2 + a 3 + · · · =
1 n
Definice. Aritmetická řada s diferencí d:
∂v
je v bodě (1, −1, 1, −1) nenulový. Parciálními derivacemi rovnic podle x, y dostaneme ∂ ∂x
Příklady. P∞ 1) k=1 1 diverguje: sn = n, limn→∞ sn = +∞. P∞ 2) k=1 (−1)k−1 = 1 − 1 + 1 − 1 + · · · osciluje: sn = 1 pro
∞ X
ak .
k=1
Číslo ak se nazývá k-tý člen této řady. Poznámka. Obecněji: P ∞ Pk=n ak , n ∈ N, n ∈ Z P∞ P k∈M ak , M je množina: k=1 ak = k∈N ak
P Definice. Pro každéP n ∈ N nazýváme sn = nk=1 ak n-tý ∞ částečný součet řady k=1 ak . Pokud existuje limn→∞ P∞ sn = s, pak ji nazýváme součtem řady a píšeme s = k=1 ak . Řekneme, že řada: konverguje, je-li s ∈ C; diverguje, je-li s ∈ {±∞, ∞}; osciluje, pokud limn→∞ sn neexistuje.
sn = a(1 + q + · · · + q n−1 )
qsn = a(
q + · · · + q n−1 + q n )
(1 − q)sn = a(1 − q n ) ( 1−q n , q 6= 1 sn = 1−q na , q=1 ∞ X
k=1 ∞ X
q k−1
k=1
Příklad.
a , |q| < 1 1−q ( ∞, q ≥ 1, = vR neex., q ≤ −1 ( ∞, |q| > 1 nebo q = 1 , = neex., |q| = 1, q 6= 1
aq k−1 =
P∞
4 k=1 3k
=
4/3 1−1/3
= 2.
P∞ 1 1 = 12 + 61 + 12 +··· = Příklad. k=2 k(k−1) P∞ 1 1 1 = k=2 k−1 − k = limn→∞ 1 − n = 1.
vC
Věta. Jestliže
P∞
k=1
∞ X
P∞
ak ,
(ak + bk ) =
k=1
∞ X
k=1
∞ X
∞ X
ak +
k=1 ∞ X
c · ak = c
Věta (podílové kriterium). Nechť 0 < ak pro každé k ∈ N. Je-li pro každé k ∈ N P∞ a 1) ak+1 ≤ q < 1, pak k=1 ak konverguje; k P ≥ 1, pak ∞ 2) aak+1 k=1 ak diverguje. k
konvergují, c ∈ C, pak
k=1 bk
bk ,
k=1
ak .
k=1
P Věta. Komplexní řada ∞ ak konverguje právě tehdy, P∞ k=1 P∞ když konvergují řady k=1 Re ak a k=1 Im ak . Pak ∞ X
∞ X
ak =
k=1
Re ak + j
k=1
∞ X
Im ak .
k=1
Věta (nutná podmínka konvergence). konverguje, pak limk→∞ ak = 0.
Jestliže
P∞
k=1
ak
Důkaz. limk→∞ ak = limk→∞ (sk − sk−1 ) = limk→∞ sk − limk→∞ sk−1 = s − s = 0. P∞
Věta. Je-li ak ≥ 0 pro každé k ∈ N, pak
k=1
ak existuje.
Pn Důkaz. sn = k=1 ak , (sn ) je neklesající, tj. limn→∞ sn existuje (= supn∈N sn )
Kriteria konvergence Věta (srovnávací kriterium). Nechť 0 ≤ ak ≤ bk pro každé k ∈ N. P P 1) Konverguje-li ∞ bk , pak i ∞ ak konverguje. P∞k=1 P∞k=1 2) Diverguje-li k=1 ak , pak i k=1 bk diverguje. Pn Pn Důkaz. sn = k=1 ak , tn = k=1 bk , 0 ≤ sn ≤ tn P∞ P∞ k=1 bk k=1 ak = limn→∞ sn ≤ limn→∞ tn =
Příklady. P P∞ 1 1) ∞ k=1 k2 = 1 + k=2
konverguje. P 2) α ≥ 2, ∞ k=1
1 kα
≤
P∞ 1 3
3) harmonická řada: ∞ X
1 k
1 k2
=1+
1 2
+
≥1+
1 2
+
1 2
+
≤1+
1 k=1 k2
+
1 4
P∞
1 k=2 k(k−1)
≤ 2 konverguje.
+
1 5
+
1 6
+
+
1 7
+
1 8
k=1
=1+
4) α ∈ (0, 1i,
P∞
1 4 1 2
1 k=1 kα
+
+ ≥
1 2
1 4
1 8
+
1 8
+
1 8
1 k=1 k
+···
+
+ · · · = +∞ .
P∞
=1+1=2
diverguje.
1 8
+···
Důkaz. P P∞ k−1 1) ak+1 ≤ ak q · · · ≤ a1 q k , ∞ = k=1 ak ≤ k=1 a1 q P∞ P∞ 2) ak+1 ≥ ak ≥ · · · ≥ a1 , k=1 ak ≥ k=1 a1 = +∞
a1 1−q
Poznámka. Stačí, aby byly nerovnosti splněny pro dostatečně velká k, tj. počínaje některým k0 .
Věta (limitní tvar podílového kriteria). Nechť 0 ≤ ak pro každé k ∈ N. Je-li P∞ a < 1, pak k=1 ak konverguje; 1) limk→∞ ak+1 k P > 1, pak ∞ 2) limk→∞ aak+1 k=1 ak diverguje. k
Příklady. P ak +1 1 1 1) ∞ k=1 k! konverguje: ak = k+1 → 0. P∞ k! = k+1 2) k=1 2k diverguje: aka+1 2 → +∞. k P∞ 1 k 3) k=1 k – kr. nerozhodne: aka+1 = k+1 % 1 (diverguje). k P∞ 1 ak +1 k2 4) k=1 k2 – kr. nerozhodne: ak = (k+1)2 % 1 (konv.).
Věta (odmocninové kriterium). Nechť 0 ≤ ak pro každé k ∈ N. Je-li pro každé k ∈ N P∞ √ 1) k ak ≤ q < 1, pak k=1 ak konverguje; P √ 2) k ak ≥ 1, pak ∞ k=1 ak diverguje.
P∞ P∞ Důkaz. 1) ak ≤ q k , k=1 ak ≤ k=1 q k = P P∞ 2) ak ≥ 1, ∞ k=1 ak ≥ k=1 1 = +∞
q 1−q
Věta (limitní tvar odmocninového kriteria). Nechť 0 ≤ ak pro každé k ∈ N. Je-li P √ 1) limk→∞ k ak < 1, pak ∞ k=1 ak konverguje; P √ ∞ 2) limk→∞ k ak > 1, pak k=1 ak diverguje. Příklady. √ P∞ k √ 3 3 konverguje: k ak = ln(k+1) → 0 < 1. 1) k=1 lnk (k+1) P∞ 2k √ 2 2) k=1 k10 diverguje: k ak = √ k 10 → 2 > 1. k P∞ √ k k k kriterium nerozhodne: k ak = k+1 % 1, 3) k=1 k+1 P∞ 1 −1 limk→∞ ak = k=1 1 + k = e−1 6= 0 – diverguje.
Poznámky. 1) Stačí uvažovat limsupk→∞ < 1, liminf k→∞ > 1. 2) Odmocninové kriterium je účinnější (ne, pokud existují obě limity), ale někdy se hůře počítá. Příklad. a2k−1 = 2−k , a2k = 21−k P∞ 1 1 1 1 1 k=1 ak = 2 + 1 + 4 + 2 + 8 + 4 + · · · √ k ak → 2−1/2 < 1 – konverguje podle odmocninového kr. a2k a2k−1 = 2 – podílové kriterium nerozhodne
Věta (integrální kriterium). Nechť f je nezáporná nerosP∞ toucí integrovatelná funkce na h1, +∞). Pak k=1 f (k) konR +∞ verguje právě tehdy, když konverguje 1 f (x) dx. R k+1
Důkaz. f (k) ≥ k f (x) dx ≥ f (k + 1), R∞ R∞ P∞ k=1 f (k) ≤ f (1) + 1 f (x) dx 1 f (x) dx ≤
Věta. Jestliže řada konverguje absolutně, pak každé její přerovnání konverguje absolutně a má stejný součet. Důkaz.
Příklady. R∞ P∞ = +∞. 1) k=1 k1 diverguje: 1 x1 dx = [ln x]∞ R ∞1 −α P∞ 1 1 2) k=1 kα konverguje pro α > 1: 1 x dx = α−1 . R∞ 1 P∞ 1 ∞ 3) k=1 k ln k diverguje: 1 x ln x dx = [ln ln x]1 = +∞.
P 1 π Příklad. Jaká je chyba ∞ k=1 k2 = 6 , pokud sečteme prvních 100 členů? R ∞ −2 P∞ 1 dx = 100 = 0,001 k=101 ak ≥ 101 x R ∞ −2 P∞ 1 . dx = 101 = 0,0099 k=101 ak ≤ 100 x
Věta (Leibnizovo kriterium). P Nechť (ak )∞ k=1 je nerostoucí ∞ posloupnost nezáporných čísel. k=1 (−1)k−1 ak = a1 −a2 + a3 − a4 + · · · konverguje právě tehdy, když limk→∞ ak = 0. P Důkaz. sn = nk=1 ak s1 ≥ s3 ≥ s5 ≥ · · · , s2k+1 → s0 , s2 ≤ s4 ≤ s6 ≤ · · · , s2k → s00 ≤ s0 s0 − s00 = limk→∞ (s2k+1 − s2k ) = limk→∞ a2k+1 = limk→∞ ak P∞
P∞ Definice. Přerovnáním řady k=1 ak nazýváme každou P∞ na řadu k=1 af (k) , kde f : N −→ N je prosté zobrazení.
1) ak ≥ 0: označme mn = max{f (1), . . . , f (n)} Pn P mn P∞ P∞ k=1 af (k) ≤ k=1 ak , tedy k=1 af (k) ≤ k=1 ak
opačná nerovnost: první řada je přerovnáním druhé pro f −1 2) ak ∈ R: P∞ P∞ + P∞ − P∞ + k=1 af (k) = k=1 af (k) − k=1 af (k) = k=1 ak − P∞ − P∞ k=1 ak = k=1 ak 3) ak ∈ C: rozkladem na reálnou a imaginární část Tvrzení. Jestliže reálná řada nekonverguje absolutně a její členy konvergují k nule, pak každé reálné číslo je součtem některého přerovnání dané řady. P∞ + P∞ − Důkaz (náznak). k=1 ak = k=1 ak = +∞, c ∈ R vybíráme nezáporné členy, dokud součet nebude ≥ c vybíráme záporné členy, dokud součet nebude ≤ c (postup opakujeme) Poznámka. Podobně lze dosáhnout i součtu ±∞.
k−1 1 k
= 1 − 21 + 31 − 41 + · · · (= ln 2) kon verguje: střídají se znaménka, (|ak |)k = k1 k je nerostoucí, konverguje k 0. Příklad.
k=1 (−1)
Absolutní konvergence P∞ Definice. Řekneme, že k=1 ak konverguje absolutně, poP∞ kud konverguje k=1 |ak |. P∞
k−1 1 = 1 − 21 + 13 − 14 + · · · konverguje, k=1 (−1) P∞ 1 k ne absolutně: k=1 k = 1 + 21 + 31 + 14 + · · · nekonverguje.
Příklad.
Věta. Konverguje-li
P∞
k=1 |ak |, pak konverguje
P∞
k=1 ak .
Důkaz. 1) ak ∈ R: a+ = max{a, 0}, a− = max{−a, 0} a = a+ − a− , |a| = a+ + a− , 0 ≤ a+ , a− ≤ |a| P∞ |ak | konverguje . . . Pk=1 P∞ − ∞ a+ k=1 ak konvergují (srovnávací kriterium) . . . k, Pk=1 P P∞ + P∞ − ∞ ∞ + − a = k=1 k k=1 (ak − ak ) = k=1 ak − k=1 ak konv.
2) ak ∈ C: 0 ≤ |Re ak | , |Im ak | ≤ |ak | P∞ |ak | konverguje . . . Pk=1 P∞ ∞ |Im ak | konvergují (srovnávací kr.) . . . k=1 |Re ak |, P∞ P∞k=1 Re a , Im ak konvergují podle 1) . . . k k=1 P∞ P∞k=1 P∞ k=1 ak = k=1 Re ak + j k=1 Im ak konverguje
Poznámka. Pokud reálná řada konverguje neabsolutně, P∞ P∞ − pak k=1 a+ k = k=1 ak = +∞.
Poznámka. Srovnávací, podílové, odmocninové a integrální kriterium jsou kriteria absolutní konvergence: P∞ P∞ ak konv. abs. k=1 bk konv., |ak | ≤ bk , pak P∞ k=1 limk→∞ |ak+1 /ak | < 1, pak k=1 ak konv. abs. p P limk→∞ k |ak | < 1, pak ∞ k=1 ak konv. abs.
P∞ Věta (sčítání po částech). Nechť k=1 ak konverguje abP∞ P∞ solutně. Pak k=1 a2k−1 , k=1 a2k konvergují (absolutně) a jejich součet je roven součtu původní řady. P∞ P∞ P∞ Důkaz. k=1 |a2k−1 |, k=1 |a2k | ≤ k=1 |ak | . . . (absolutní) konvergence ∞ X
a2k−1 = a1 + a3 + · · · = a1 + 0 + a3 + 0 + · · · =
k=1 ∞ X k=1
P∞
k=1
a2k = a2 + a4 + · · · = 0 + a2 + 0 + a4 + · · · =
a2k−1 +
P∞
k=1
a2k =
P∞
k=1 lk
+
P∞
k=1 sk
=
∞ X
k=1 ∞ X
lk sk
k=1
P∞
k=1
ak
Poznámka. Absolutně konvergentní řadu můžeme rozdělit na konečně mnoho různě přeskládaných částí, součet se přitom nezmění.
