Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti

2

-P av el

M

áš a

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti

X3 1

EO

EO2 – Přednáška 8 Pavel Máša

X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu

ÚVODEM

-P av el

M

áš a

• Na předchozích přednáškách jsme se seznámili s obecným postupem řešení přechodných dějů, jmenovitě pak s řešením přechodných dějů 1. řádu. • Nyní se tedy budeme podrobně zabývat řešením přechodných dějů 2. řádu. • Z předchozích přednášek již víme, že přechodné děje vyšších řádů se liší pouze v počtu exponencielních funkcí / exponencielně tlumených harmonických funkcí, takže můžeme naše zkoumání skončit právě druhým řádem. RLC defibrilátor

X3 1

EO

2

Je nejjednodušším příkladem obvodu druhého řádu Jaký časový průběh má proud, protékající tělem? Jak jednotlivé parametry obvodu (L, C, R) ovlivní tento časový průběh?


ŘEŠENÍ PŘECHODNÉHO DĚJE 2. ŘÁDU V ČASOVÉ OBLASTI 1. Obvodové rovnice • Na rozdíl od obvodů 1. řádu, v obvodech 2. řádu není preferována žádná metoda F Můžeme zvolit libovolnou metodu (MSP, MUN) t

i(¿ ) d¿ ¡ uC (0) = 0 0

M

Z

Obvod, na kterém je ilustrován postup řešení – RLC defibrilátor

-P av el

1 di(t) + Ri(t) + L dt C

áš a

V tomto případě je výhodnější metoda smyčkových proudů

2. Separace proměnných

zde máme pouze jedinou proměnnou, tento krok můžeme vynechat

3. Obvodovou rovnici zderivujeme (pokud jsme ovšem neprovedli separaci proměnných v kroku 2)

EO

2

d2i(t) R di(t) 1 + + i(t) = 0 dt2 L dt LC

X3 1

4. Řešení hledáme metodou variace konstant s nulovou pravou stranou, tedy bez zdrojů

¸2 +

R 1 ¸+ =0 L LC

( Tvar obecného řešení bude záviset na kořenech kvadratické rovnice


Kořeny reálné, různé

i(t) = K1 e¸1t + K2 e¸2t + ip(t) Příklad: ¸2 + 4000¸ + 106 = 0

)

¸1;2 = ¡2000 §

p

áš a

i(t) = K1 e¡3732:1t + K2 e¡267:9t + ip (t)

20002 ¡ 106 = ¡2000 § 1732:1 = ¡3732:1 = ¡267:9

M

Kořen reálný, dvojnásobný

-P av el

i(t) = (K1 + K2 t) e¸t + ip(t) Příklad: 2

6

)

¸1;2

2

¸ +2000¸+10 = 0

p = ¡1000§ 10002 ¡ 106 = ¡1000§0 = ¡1000

EO

i(t) = (K1 + K2 t) e¡1000t + ip(t)

X3 1

Kořeny komplexně sdružené ¸1;2 = ¡® § j

p

!r2 ¡ ®2 = ¡® § j!

i(t) = (K1 cos !t + K2 sin !t) e¡®t + ip(t) Příklad: 2

6

¸ +1000¸+10 = 0

p )

¸1;2 = ¡500§

5002

¡

106

p = ¡500 § j

10002 ¡ 5002 = ¡500§866j

i(t) = (K1 cos(866t) + K2 sin(866t)) e¡500t + ip(t)


5. Vypočítáme partikulární řešení Ustálený stav v obvodu, po odeznění přechodné složky Dle charakteru zdrojů v obvodu SUS / HUS / PNUS analýza V uvedeném příkladu RLC defibrilátoru:

iL(0) = 0 A

1 50 ¸2 + ¸+ =0 0:3 0:3 ¢ 45 ¢ 10¡6

M

)

q 2 ¸ = ¡83:3§ 83:3 ¡ 74074 = ¡83:3§259:1j

áš a

uc(0) = 4216 V

-P av el

i(t) = (K1 cos(259:1 t) + K2 sin(259:1 t)) e¡83:3t + i(p) ip (t) = 0

Nyní již zbývá „pouze“ najít integrační konstanty K1, K2

EO

2

• Máme pouze jednu obvodovou rovnici, ale dvě integrační konstanty K1, K2

X3 1

• Nestačí dosadit za t = 0, tím dostaneme pouze jednu rovnici

6. Zderivujeme celkové řešení

tvar opět vychází z kořenů kvadratické rovnice



i dh 0 ¸1 t ¸2 t i (t) = K1 e + K2 e + ip(t) = K1¸1e¸1t + K2¸2e¸2t + ip(t) dt 0

Příklad: 0

0

áš a

i (t) = ¡3732:1 K1 e¡3732:1t ¡ 267:9 K2 e¡267:9t + ip (t)


M

´ d³ 0 ¸t (K1 + K2 t) e + ip(t) = K2 e¸t + (K1 + K2 t) ¸e¸t + ip(t) i (t) = dt

-P av el

0

Příklad: 0

0

i (t) = K2 e¡1000t + (K1 + K2 t) (¡1000)e¡1000t + ip (t)

!r2 ¡ ®2 = ¡® § j!

EO

2

Kořeny komplexně sdružené ¸1;2 = ¡® § j

p

i dh (K1 cos !t + K2 sin !t) e¡®t + ip(t) = i (t) = dt i h 0 = ! (¡K1 sin !t + K2 cos !t) ¡ ® (K1 cos !t + K2 sin !t) e¡®t + ip(t)

X3 1

0

Příklad: h ¤ 0 0 i (t) = 866 (¡K1 sin(866t) + K2 cos(866t))¡500 (K1 cos(866t) + K2 sin(866t)) e¡500t +ip (t)


Pokud ale do zderivované rovnice dosadíme za t = 0, potřebujeme znát její hodnotu v tomto čase

7. Matematická počáteční podmínka v tomto kroku se vracíme zpět k původní rovnici, do které dosadíme • t=0 • energetické počáteční podmínky

Z

0

i(¿ ) d¿ ¡uC (0) = 0 0 {z }

0

i (0) =

uC (0) ¡ RiL (0) L

M

=0

)

áš a

1 Li (0)+RiL (0)+ C | 0

-P av el

Tvar řešení matematické počáteční podmínky závisí na rovnici (rovnicích), popisující konkrétní obvod

8. Do úplného řešení a jeho derivace dosadíme t = 0, počáteční podmínky a řešíme lineární soustavu rovnic

EO

2


)

0

X3 1

i(0) = K1 + K2 + ip(0)

0

i (0) = K1¸1 + K2¸2 + ip(0)

!

¡ ¢ 0 0 i (0) ¡ ip(0) ¡ ¸2 i(0) ¡ ip(0) K1 = ¸1 ¡ ¸ 2 ¢ ¡ 0 0 i (0) ¡ ip(0) ¡ ¸1 i(0) ¡ ip(0) K2 = ¸2 ¡ ¸ 1



)

i(0) = K1 + ip(0) 0

K1 = i(0) ¡ ip(0) !

0

¡ ¢ 0 0 K2 = i (0) ¡ ip(0) ¡ ¸ i(0) ¡ ip(0)

i (0) = K2 + K1¸ + ip (0) Kořeny komplexně sdružené

áš a

K1 = i(0) ¡ ip(0)

)

i(0) = K1 + ip(0)

¡ ¢ 0 0 i (0) ¡ ip(0) + ® i(0) ¡ ip(0) K2 = !

i (0) = !K2 ¡ ®K1 + ip(0)

M

!

0

-P av el

0

Nyní dokončíme řešení našeho defibrilátoru:

2

i(t) = (K1 cos(259:1 t) + K2 sin(259:1 t)) e¡83:3t + 0

i

EO

0

0

i (0) =

X3 1

i (t) = 259:1 (¡K1 sin 259:1t + K2 cos 259:1t)¡83:3 (K1 cos 259:1t + K2 sin 259:1t) e¡83:3t 4216 ¡ 50 ¢ 0 = 14053 0:3

0 = K1 + 0

K1 = 0

) !

14053 = 259:1K2 ¡ 83:3K1

K2 =

14053 + 83:3 ¢ 0 = 54:24 259:1

i(t) = 54:24 sin(259:1 t) ¢ e¡83:3t A X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu

Časový průběh přechodného děje 2. řádu – RLC defibrilátor

M

áš a

U [V]

Průběh napětí na rezistoru

-P av el

Průběh proudu

EO

2

I [A]

X3 1

p [W]

Okamžitý výkon dodaný do rezistoru

t[s] X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu

CO OVLIVŇUJE ČASOVÝ PRŮBĚH?

... a její kořeny

¸1;2

¡R § = 2L

¸2 + sμ

R 2L

R 1 ¸+ =0 L LC ¶2 ¡

-P av el

>

1 LC

Aperiodický děj • čím větší R, tím delší časová konstanta ¾ S rostoucím R trvá přechodný děj déle

2

¶2

EO

R 2L

X3 1

μ

M

Pokud:

1 LC

áš a

Máme charakteristickou rovnici:


R=2

L C

Mez aperiodicity ¾ Přechodný děj trvá nejkratší možnou dobu

áš a

Mez aperiodicity Aperiodický děj Kvaziperiodický děj

M

)

-P av el

1 LC

2

=

r

EO

R 2L

¶2

X3 1

μ


μ

R 2L

¶2

1 LC

¡R = § 2L

sμ

Kvaziperiodický děj • S klesajícím R klesá činitel tlumení obvodu α ¾ Doba ustálení přechodného děje opět roste R 2L

¶2

p 1 ¡ = ¡® § ®2 ¡ !r2 | {z } LC j!

® Činitel tlumení obvodu ! Frekvence vlastních kmitů obvodu !r Rezonanční frekvence

Co ovlivní:

X3 1

EO

2

-P av el

M

áš a

¸1;2

<

R

Činitel tlumení α, ale také amplitudu proudu I

L

Činitel tlumení α, ale také amplitudu proudu I (ω v K2) a frekvenci vlastních kmitů obvodu (+ rezonanční frekvenci)

C

Amplitudu proudu I (ω v K2) a frekvenci vlastních kmitů obvodu (+ rezonanční frekvenci) X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu

( Co by se stalo, kdyby pacient nekladl ten správný odpor... Typický odpor lidského těla při defibrilaci je 50 Ω Při síťovém napětí je udávaný odpor lidského těla v rozmezí 500 Ω – 10 kΩ, průměrná hodnota je 2 kΩ Příliš velký odpor – aperiodický přechodný děj, velký proud, protékající po dlouhou dobu, povrchové popáleniny – je nutné zabránit i přechodovým odporům

2

-P av el

M

áš a

Časový průběh proudu v případě, že by lidské tělo mělo odpor 2 kΩ

X3 1

EO

Časový průběh proudu v případě, že by lidské tělo mělo odpor 10 Ω Příliš malý odpor – kvaziperiodický přechodný děj, opakovaná stimulace, fibrilace


RLC S HARMONICKÝM BUZENÍM Nyní budeme zkoumat sériový RLC obvod, ke kterému připojíme harmonický zdroj napětí

R = 100 Ω C = 1 μF L=1H

áš a

předpokládejme malé tlumení obvodu (malý odpor R), tak že obvod má kvaziperiodickou odezvu

u(t) = 1 sin(1000 t)

iL(0) = 0 A

M

uC (0) = 0 V

-P av el

Obvodová rovnice a její derivace Z 1 t di(t) + Ri(t) + L i(¿ ) d¿ + uC (0) = Um sin(!z t + ') dt C 0

EO

2

d2 i(t) R di(t) 1 + + i(t) = Um !z cos(!z t + ') dt2 L dt LC

obvod kmitá na frekvenci ωv

R 1 ¸ + ¸+ =0 L LC 2

6

X3 1

Charakteristická rovnice a její kořeny 2

¸ + 100¸ + 10 = 0

¸1;2 = ¡® § j

¸1;2

Odezvou obvodu na změnu jsou exponenciálně tlumené harmonické kmity; ty nemají nic společného s charakterem zdroje

p

!r2 ¡ ®2 = ¡® § j!v

p = ¡50 § j 10002 ¡ 502 = ¡50 § 998:75j


Partikulární řešení ^ = Um ej' U

^I =

^ U = IpejÃ 1 R + j(!z L ¡ !z C )

^I =

1 = 0:01 A 100 + j(1000 ¡ 1000)

)

ip (t) = Ip sin(!z t + Ã)

)

-P av el

V řešeném příkladu je RLC obvod v rezonanci

ip (t) = 0:01 sin(1000t)

áš a

)

M

u(t) = Um sin(!z t + ')

Řešení diferenciální rovnice

2

i(t) = (K1 cos !v t + K2 sin !v t) e¡®t + Ip sin(!z t + Ã)

X3 1

EO

Zatímco obvod v reakci na připojení zdroje kmitá na frekvenci ωv, ustálený stav je HUS, v něm jsou jeho kmity vnuceny harmonickým zdrojem s frekvencí ωz

i(t) = (K1 cos(998:75 t) + K2 sin(998:75 t)) e¡50t + 0:01 sin(1000t) Při nenulovém tlumení je frekvence vlastních kmitů vždy menší, nežli rezonanční frekvence


Derivace řešení a matematická počíteční podmínka

h

0

i

i (t) = !v (¡K1 sin !v t + K2 cos !v t)¡® (K1 cos !v t + K2 sin !v t) e¡®t +Ip !z cos(!z t+Ã) 1 Li (0)+RiL (0)+ C | 0

Z

0

i(¿ ) d¿ +uC (0) = Um sin(') 0 {z }

)

0

i (0) =

¡uC (0) ¡ RiL (0) + Um sin(') L

i 998:75 (¡K1 sin(998:75t) + K2 cos(998:75t)) ¡ 50 (K1 cos(998:75t) + K2 sin(998:75t)) e¡50t

M

h

0

i (t) =

áš a

=0

i (0) = 0

t=0 )

K1 = i(0) ¡ Ip sin(Ã)

2

i(0) = K1 + Ip sin(Ã)

-P av el

+0:01 ¢ 1000 cos(1000t) 0

!

EO

0

X3 1

i (0) = !v K2 ¡ ®K1 + Ip!z cos(Ã)

K2

¡ ¢ 0 i (0) ¡ Ip !z cos(Ã) + ® i(0) ¡ Ip sin(Ã) = !v

Řešení přechodného děje:

¸ ¾ ½ · 1 i(t) = Ip ¡ (® sin Ã + !z cos Ã) sin !v t + sin Ã cos !v t e¡®t + sin(!z t + Ã) !v μ

¶ ¡1000 ¡50t ¢ sin(998:75 t) e i(t) = 0:01 + sin(1000t) 998:75 X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu

Časový průběh proudu pro uvedený příklad

-P av el

M

áš a

Ip

1 ®

Časový průběh proudu – stejný obvod, kde ale R = 20 Ω ⇒ α = 10 Ip 1

X3 1

EO

2

®

Obvod je v rezonanci – napětí na L a C mají 1000× větší amplitudu (tedy 10, resp. 50 voltů) a jsou fázově posunuta o +90°, resp. ‐ 90° (tedy o čtvrtinu periody). Čím vyšší je ale činitel jakosti obvodu (menší α), tím déle trvá, nežli rezonanční obvod dosáhne ustáleného stavu

Q=

1 !r ¢ ® 2


Zázněje • Uvažujme případ, kdy frekvence zdroje bude málo odlišná od rezonanční frekvence

: =

M

X3 1

EO

2

=

¾ 1 (® sin Ã + !z cos Ã) sin !v t + sin Ã cos !v t e¡®t + sin(!z t + Ã) Ip ¡ !v ¶ μ ¶ μ (!r + ¢!)t ¡ !r t !r t + (!r + ¢!)t ¢ sin Ip f¡ sin !r t + sin(!r + ¢!)tg = 2Ip cos 2 2 ¶ ¸ ·μ ¢!t ¢! t ¢ sin 2Ip cos !r + 2 2

-P av el

i(t) =

áš a

V tomto případě lze předchozí výsledek značně zjednodušit: 9 Činitel tlumení musí být malý, pro zjednodušení uvažujme ® ! 0 9 Důsledkem předchozí podmínky je frekvence vlastních kmitů !v ! !r 9 V rezonanci je fázový posun mezi napětím zdroje a proudem nulový, Ã ! 0 9 Frekvence zdroje se liší od rezonanční frekvence o kmitočet Δω, !z = !r + ¢! Pak: ¸ ½ ·

® = 10

®=2

Význam: v akustice – ladění nástrojů X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti

Recommend Documents