TRINEC_STAT_P11.doc
STATIKA - SOUBOR PŘEDNÁŠEK 11. Prutové soustavy, základní pojmy, metody řešení.
Teoreticky je PRUTOVÁ SOUSTAVA definována jako soustava složená z tuhých prutů, které jsou navzájem spojeny ideálními klouby ve styčnících. PRUT ≡ nezatížený binární člen Dále budeme řešit pouze případy, kdy je ZATÍŽENÍ VE STYČNÍCÍCH a ROVINNÉ KONSTRUKCE. OSY PRUTŮ (členů soustavy) se ve STYČNÍCÍCH protínají v jednom bodě. PODMÍNKA STATICKÉ URČITOSTI: p+m=2s p … počet prutů
m … počet složek vnějších reakcí
s … počet styčníků
Příklad: D 4
6 5
C
F 8
7
E
9
B
3 2
1
A
p+m=2s 9+3=2·6 12 = 12
⇒ Konstrukce je staticky určitá a protože u staticky určitých
konstrukcí nedochází ke změně polohy je i tvarově určitá.
Při posuzování statické určitosti soustavy však mohou nastat výjímkové případy, kdy soustava vyhovuje podmínce statické určitosti, ale ve skutečnosti je celá pohyblivá. Máme-li pochybnosti, je nutné vyšetřit soustavu podrobněji KINEMATICKY, nebo u ní provést statické řešení. Vyjdou-li neznámé síly JEDNOZNAČNĚ V KONEČNÉ VELIKOSTI, je to důkaz, že nejde o výjímkový případ. VÝJÍMKOVÝ PŘÍPAD nastává, když determinant soustavy rovnovážných rovnic, které sestavíme pro uvolněné styčníky, se bude rovnat nule. V takovém případě vyjdou výpočtem některé osové síly, případně reakce nekonečně velké. Pokud nastane případ p+m>2s znamená to, že počet neznámých osových sil je větší než počet rovnovážných rovnic ⇒ konstrukce je staticky neurčitá. Konstrukce staticky neurčitá je tvarově přeurčitá,
protože k zachování tvaru konstrukce některé vazby
přebývají.
VNĚJŠÍ určena reakcemi STATICKÁ NEURČITOST VNITŘNÍ určena konstrukcí soustavy
V případě, kdy p+m<2s je prutová konstrukce staticky přeurčitá a tvarově neurčitá, protože je pohyblivá.
Příklad: H
G
4
6
F
9
3
10 5
2
E 12
8
B
A 1
C
7
11
D
p+m=2s 12 + 3 ? 2 · 8 15 < 16 Ve středním poli chybí prut, proto je prutová konstrukce pohyblivá.
ANALYTICKÉ METODY ŘEŠENÍ ■ metoda styčníková (základní metoda) ■ metoda průsečná (doplňková metoda) STYČNÍKOVÁ METODA – postupné uvolnění jednotlivých styčníků Na styčníky působí tři druhy sil - vnější zatížení - reakce
ROVINNÁ SILOVÁ SOUSTAVA SE SPOLEČNÝM PŮSOBIŠTÉM
- osové síly od prutů
Je vhodné nejprve vypočítat z ROVNIC ROVNOVÁHY reakce soustavy jako celku (ale mohou být řešeny současně s osovými silami). Výpočet začneme ve styčníku, kde jsou NEJVÝŠE DVĚ NEZNÁMÉ OSOVÉ SÍLY. V následující demonstrační ukázce je to styčník A.
Demonstrační příklad: E
4
α
A
γ
β 3
1 RAx
D
α
β 2
5
7
γ
δ
B
6
C
RAy
δ
RB
F
Řešení: E
4
α 1 RAx
A
D γ
β 3
α
+
β
2 RAy
δ
5
7
γ
δ
C F
B
6 RB
Začátek postupu řešení je dle obr. zadání. Ve styčníku A zavedeme v prutech 1 a 2 síly ven za styčníku (tahové) a pro styčník (bod) A sestavíme rovnovážné rovnice.
∑F
= 0 ⇒ RAx + S1 · cosα + S2 = 0
∑F
= 0 ⇒ RAy + S1 · sinα = 0
ix
iy
Ze vzniklé soustavy rovnic vypočteme neznámé osové síly S1 a S2. je to soustava dvou rovnic o dvou neznámých jako každá jiná, ze druhé rovnice v tomto případě vyjde S1 záporná a také jako záporná (včetně znaménka – se dosadí do rovnice první a dopočte se neznámá S2). V našem případě vyšla S1 záporná
⇒ skutečná orientace osové síly je opačná než jsme povinně zavedli, působí
tedy do styčníku = tlak ⇒ znaménko -. Na opačném konci prutu 1 podle zákona akce a reakce působí S1 rovněž do styčníku. Síla S2 vyšla kladná ⇒ skutečná osová síla v prutu 2 působí ve stejném smyslu jako byla povinně zavedena, působí tedy ze styčníku = tah ⇒ znaménko +. Na opačném konci prutu 2 podle zákona akce a reakce působí S2 rovněž ze styčníku. Dále pokračujeme styčníkem E. V prutu 1 už osovou sílu známe, v prutech 3 a 4 opět povinně zavedeme osové síly ve ze styčníku. Rovnovážné rovnice sestavíme na základě známé orientace osové síly S2 a povinně zavedených orientací osových sil S3 a S4. ⇒ Pokud průmět příslušné osové síly do vodorovné osy směřuje doprava ⇒ v rovnici znaménko +, v opačném případě znaménko -. V ose svislé průmět příslušné vzhůru ⇒ v rovnici znaménko +, v opačném případě -. E: S1 · cosα + S3 · cosβ + S4 = 0 S1 · sinα - S3 · sinβ = 0 Při výpočtu dosazujeme již dříve vypočtené (z předchozích rovnic) síly v ABSOLUTNÍ HODNOTĚ – znaménko síly je určeno příslušnou rovnicí. V případě rovnovážných rovnic pro styčník E bude tedy i záporná síla S1 dosazena jen svou velikostí. Po výpočtu neznámých osových sil S3 a S4 vyznačíme jejich orientace do obr. obdobně jako v případě styčníku A. Dále pak můžeme pokračovat styčníkem D nebo C. V posledním styčníku B provedeme kontrolu:
∑F
ix
=0
∑F
iy
=0
Zpravidla nebude součet sil v příslušné ose roven 0, ale bude roven velmi malé hodnotě blízké nule, protože vlivem konečného počtu desetinných míst goniometrických funkcí (optimální je vyčíslování na 3 des. místa) dochází
k řetězení chyb a tím v konečném důsledku i k velmi malé odchylce od nulové hodnoty v posledním styčníku.
PRŮSEČNÁ METODA – výpočet pouze některých osových sil
Spočívá v rozdělení soustavy na dvě dílčí pomyslným přerušením nejvýše tří prutů, které nahradíme příslušnými osovými silami. Oddělené dílčí podsestavy
prutů chápeme jako TUHÁ TĚLESA.
E
4
D γ
β
RAx
5
7
γ
δ
3
1
A
α
β 2
C
RAy
6 RB
F
S4
E
B
S4
D
β b
h
S3 S3
RAx
A
α S2
RAy
B
β S2 a
C F
RB
Obě oddělené podsestavy tvoří obecné soustavy sil v rovině ⇒ pro řešení si vybereme levou nebo pravou podsestavu – soustavu sil (té druhé si pak již nevšímáme)
V případě, že jsme si vybrali levou či pravou stranu sestavíme 3 rovnovážné rovnice, které sestavujeme výhodně tak, aby pokud možno byla v každé pouze jedna neznámá. Je výhodné sestavit dvě rovnovážné podmínky momentové k průsečíkům dvou neznámých osových sil a jednu podmínku složkovou, vypuštěnou složkovou podmínku pak můžeme použít ke kontrole. V našem případě jsme si vybrali levou stranu:
∑F
= 0 ⇒ RAy – S3 · sinβ = 0
iy
∑M
iE
= 0 ⇒ RAx · h – RAy · b + S2 · h = 0
∑M
iC
= 0 ⇒ -RAy · a – S4 · h = 0
Z rovnic po dosazení zadaných hodnot vypočteme neznámé osové síly S1, S2 a S3. Pro kontrolu správnosti výsledků řešení můžeme zkontrolovat rovnováhu v ose x, kam dosadíme výsledky včetně znamének:
∑F
ix
= 0 ⇒ RAx + S2 + S3 · cosβ + S4 = 0
GRAFICKÉ METODY ŘEŠENÍ ■ metoda Cremonova
Cremonova metoda spočívá ve statickém řešení rovnováhy jednotlivých styčníků. K tomu, aby se ve složkovém obrazci vyskytovala každá osová síla pouze jednou, nezakreslují se do něj šipky a je nutno zvolit níže uvedený postup řešení.
■ Vypočteme reakce a nakreslíme prutovou soustavu ve vhodně zvoleném
měřítku délek a všechny vnější síly (zatěžující a reakce) zakreslíme ve zvoleném měřítku sil. ■ Zvolíme smysl obcházení prutové soustavy (ve smyslu nebo proti smyslu
hodinových ručiček) a v tomto pořadí zakreslíme rovnovážný obrazec vnějších sil. ■ Pak začneme řešit osové síly v tzv. dvojném styčníku, kdy ve zvoleném
smyslu - pořadí vyjdeme ze zakreslené vnější síly a pokračujeme směry osových sil ve styčníku. ■ Vysledujeme orientace osových sil ve vznikajícím Cremonově obrazci a tyto
zakreslíme šipkami do zobrazení prutové soustavy. Podle zákona akce a reakce dokreslíme šipky na protilehlé konce prutů. Šípka orientovaná ze styčníku znamená tah tj. znaménko +, do styčníku tlak tj. znaménko -. Příslušná znaménka zapíšeme do Cremonova obrazce i do obrázku prutové soustavy. ■ Pokračujeme v dalším styčníku s nejvýše dvěma neznámými osovými silami
tak, že již příslušná známá síla má orientaci dle šipky u tohoto styčníku a další osové síly s ní tvoří uzavřený obrazec se šipkami ve stejném sledu. Tento postup opakujeme až do vyřešení všech osových sil.
Demonstrační příklad: ■ Byly vypočteny reakce a prutová soustava byla nakreslena v měřítku délek,
vnější síly byly zakresleny v měřítku sil. Složky RAx a RAy budou složeny do výsledné reakce RA. E
4
D
3
1
7
5
RAx A
B 2
6
C
RAy
RB
F
■ Zvolili jsme smysl obcházení soustavy ve smyslu hodinových ručiček a
v tomto smyslu zakreslíme v pořadí rovnovážný obrazec vnějších sil.
smysl obcházení
E
4
D
3
1
7
5
A
B 2
C
6 RB
RA
F
RB
RA
F
■ Ve styčníku A ve zvoleném smyslu obcházení začneme RA a pokračujeme 1 a 2. Orientace osových sil v Cremonově obrazci přeneseme ke styčníku A do
obrázku prutové soustavy – zakreslíme šipky a podle zákona akce a reakce zakreslíme
šipky
také
k
protilehlým
koncům
RB
RA F
-1 -2
E
4
3
-1
A
D 7
5
RA
B -2
C
6 RB
RA
F
prutů
1
a
2.
■ Pokračujeme styčníkem E: rovnováha v pořadí 1, 4, 3. Orientace osových sil
opět překreslíme ke styčníku E a podle zákona akce a reakce doplníme šipky na opačných koncích prutů.
RB -4 +3
RA F
-1 -2
E
-4
+3
-1
A
D 7
5
RA
B -2
C
6 RB
RA
F
■ Pokračujeme styčníkem D: rovnováha 4, 7, 5.
RB
+5
-7 -4
RA
+3
-1
F -2
E
-4
+3
-1
A
D -7
+5
RA
B -2
C
6 RB
RA
F
■ pokračujeme styčníkem B: rovnováha RB, 6, 7. B
+6
RB
+5
-7 -4
RA
+3
-1
F -2
E
-4
+3
-1
A
D -7
+5
RA
B -2
C
+6 RB
RA
F
■ Nyní můžeme ještě v Cremonově obrazci ověřit rovnováhu ve styčníku C: F, 2, 3, 5, 6. ■ Nakonec odměříme délky příslušných úseček v Cremonově obrazci, použitím
měřítka přepočteme na hodnoty velikostí osových sil a včetně znaménka je zapíšeme přehledně do tabulky. 1 číslo prutu osová síla [ *]
1
2
4 3
4
4
6
5 6
6
7
7
- ** 5 - ** 2 + ** 5 - ** 1 + ** 8 + ** 1 - **
* … jednotky (N nebo kN)
** … číselná hodnota osové síly
