Téma 3 Úvod ke staticky neurčitým prutovým konstrukcím

Statika stavebních konstrukcí I., 2.ročník bakalářského studia

Téma 3 Úvod ke staticky neurčitým prutovým konstrukcím

Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Osnova přednášky •Staticky neurčité konstrukce, stupeň statické neurčitosti

•Silová metoda •Jednoduchý staticky neurčitý nosník •Jednoduchý staticky neurčitý nosník v osové úloze • Jednostranně vetknutý nosník v příčné úloze • Oboustranně vetknutý nosník v příčné úloze • Prostý nosník, jako prvek staticky neurčité konstrukce • Jednoduchý staticky neurčitý nosník v krutové úloze • Výpočet deformace jednoduchého staticky neurčitého nosníku Osnova přednášky

2 / 63

Pohybové možnosti volných hmotných objektů Stupeň volnosti nv : moţnost vykonat jednu pravoúhlou sloţku posunu nebo pootočení. • volný hmotný bod v rovině: nv=2, určen [x, y], 2 různých poloh

+x x’

• volný hmotný bod v prostoru: nv=3, určen [x, y, z], 3 různých poloh m[xm,zm]

• volná tuhý prut (deska) v rovině: nv=3, určen [x, y, ], 3 různých poloh • tuhé těleso v prostoru: nv=6, určeno [x, y, z, ], 6 různých poloh

Stavební statika – téma č.3

+z

z’

3 / 63

Vnější vazby proti posunům Vazba proti posunu – znemoţňuje posun podepřeného bodu prutu v zadaném směru. (a)

(b)

(c)

(f)

(d)

(e)

(g)

Jednoduché a sdružené vazby proti posunům znázorněné pomocí kyvných prutů

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Vazby proti posunům znázorněné pomocí jehlanů a trojúhelníčků Stavební statika – téma č.3

4 / 63

Vnější vazby proti pootočení Vazba proti pootočení – znemoţňuje pootočení podepřeného bodu prutu v zadané rovině.

(a)

(b)

(c)

Jednoduché vazby proti pootočení Úplné vetknutí v prostoru nebo rovině, posuvné vetknutí v rovině.

(a)

(b)

(c)

Sdružené vazby proti posunu i pootočení Stavební statika – téma č.3

5 / 63

Násobnost vazeb Vnější vazby odebírají objektu stupně volnosti. n–násobná vazba ruší objektu n stupňů volnosti (n=1, 2, 3) Příklady jednoduchých vazeb tuhého prutu v rovině a jejich sloţek reakcí Název vazby

Násobnost vazby

Označení vazby, složky reakcí a

Kyvný prut

1

Posuvný kloub, posuvná vazba

1

a

Neposuvný pevný kloub, pevná vazba

2

a

Posuvné vetknutí Dokonalé vetknutí


2 3

a a

Raz Raz Raz Rax Raz

Raz Rax

May

May 6 / 63

Zajištění nehybnosti prutu K pevnému podepření objektu je potřeba tolika vazeb v, aby zrušily všechny stupně volnosti nv.

v = nv v < nv

Podepření objektu je kinematicky určité a staticky určité, zajištěna nehybnost objektu, pouţitelná jako stavební konstrukce. Podepření objektu je kinematicky neurčité a staticky přeurčité, nehybnost objektu není zajištěna, jako stavební konstrukce nepřípustná (nedostatečný počet vazeb).

Podepření objektu je kinematicky přeurčité a staticky neurčité, nehybnost objektu zajištěna, pouţitelná jako stavební konstrukce (větší počet vazeb neţ je nezbytně nutné). Vazby musí být vhodně uspořádány, aby skutečně zajišťovaly nehybnost objektu – nesmí se jednat o tzv. výjimkový případ kinematicky určité nebo přeurčité konstrukce. v > nv


7 / 63

Kinematicky a staticky určitá konstrukce v = nv

Podepření objektu je kinematicky i staticky určité

v = 3, nv = 3 P1 Rax

P2 b

a

Raz

May

Rax

Rbz

P1

P2

a

Raz


8 / 63

Kinematicky a staticky určité případy podepření prutů (a)

(e) nv = 6

(i) nv = 1

nv = 3

Osová úloha

(f)

(b)

(j) nv = 1

nv = 3

nv = 3

Krutová úloha

(c)

(g) nv = 3

nv = 3

nv = 3

(h)

(d) nv = 2

(k)

(l)

nv = 6

nv = 3

Příčná úloha

Kinematicky určité případy podepření prutů Stavební statika – téma č.3

9 / 63

Kinematicky přeurčitá konstrukce Podepření objektu je kinematicky přeurčité a staticky neurčité

v > nv

P1

P2

a

b

Rax

Rbx Raz

Rax

May a

Raz


v=4 nv = 3

Rbz P1

P2

Mby b

Rbx

v=6 nv = 3

Rbz

10 / 63

Kinematicky neurčitá konstrukce v < nv

Podepření objektu je kinematicky neurčité a staticky přeurčité

P1

P2 b

a

Raz

Rbz

Objekt v rovnováze jen za určitého zatížení Ve stavební praxi nepoužitelné.


11 / 63

Výjimkové případy podepření Vazby musí být vhodně uspořádány – nesmí vzniknout výjimkové případy podepření, které jsou ve stavební praxi nepouţitelné.

P1

P2

a

Rbx

b

Rax Raz P1 a

Raz Stavební statika – téma č.3

P2 b

Rbz

c

Rcz

12 / 63

Kinematicky určité případy podepření prutů (c) prut není zajištěn proti rotaci – 1 vazba proti vodorovnému posunu nadbytečná (d) tři vazby proti posunutí, jejichţ směry se protínají v jednom bodě (e) tři vazby proti svislému posunutí v bodech, leţících v jedné přímce

(a)

(d)

(b)

(c)

(e)

Výjimkové případy kinematicky určitého podepření prutů Stavební statika – téma č.3

13 / 63

Podmínky rovnováhy uvolněného zatíženého prutu Podepřený prut musí být nehybný a v rovnováze. Počet podmínek rovnováhy záleţí na typu řešené úlohy, shoduje se s počtem stupňů volnosti nepodepřeného prutu nv.

Kolik stupňů volnosti v odebírají objektu vazby, tolik vzniká sloţek reakcí. v = nv Počet neznámých sloţek reakcí se shoduje s počtem podmínek rovnováhy, prut je staticky určitý a pouţitelný jako stavební konstrukce. v < nv Počet neznámých sloţek reakcí je menší neţ počet podmínek rovnováhy, prut je staticky přeurčitý a nepouţitelný jako stavební konstrukce (rovnováha nemůţe být obecně zajištěna). v > nv

Počet neznámých sloţek reakcí je větší neţ počet podmínek rovnováhy, prut je staticky neurčitý a můţe slouţit jako stavební konstrukce (podmínky rovnováhy musí být doplněny podmínkami přetvárnými-deformačními, předmět Pruţnost a plasticita).

Pokud je determinant soustavy roven nule – jde o výjimkový případ. Stavební statika – téma č.3

14 / 63

Podmínky rovnováhy uvolněných zatížených prutů soustavy Pro kaţdý samostatný prut lze sestavit 3 podmínky rovnováhy. Počet vnějších a vnitřních vazeb: v = ve + vi Kolik stupňů volnosti odebírají soustavě vazby v, tolik vzniká sloţek reakcí. v = nv

Počet neznámých sloţek reakcí se shoduje s počtem podmínek rovnováhy, soustava je staticky určitá a pouţitelná jako stavební konstrukce.

v < nv

Počet neznámých sloţek reakcí je menší neţ počet podmínek rovnováhy, soustava je staticky přeurčitá a nepouţitelná jako stavební konstrukce (rovnováha nemůţe být obecně zajištěna).

v > nv

Počet neznámých sloţek reakcí je větší neţ počet podmínek rovnováhy, soustava je staticky neurčitá a můţe slouţit jako stavební konstrukce. Stupeň statické neurčitosti s = v - nv

Pokud je determinant soustavy roven nule – jde o výjimkový případ. Stavební statika – téma č.3

15 / 63

Kinematická a statická určitost příhradového nosníku Praktické pojetí – výpočtový model tvořen hmotnými body (ve styčnících) a vnitřními vazbami (pruty), které brání vzájemnému posunutí obou spojovaných styčníků.

Podmínka kinematické (statické) určitosti:

2.s

p ve

Rovinný kloubový příhradový nosník jako soustava hmotných bodů, vnitřních a vnějších vazeb Stavební statika – téma č.7

16 / 63

Kinematická a statická určitost F2

F1 N4

e

N1

a

N8

f

N5 N7

N2

N11

N6 c

Raz

2.s

g

N9

N3 Rax

F3

N10

b

d

p a1 2.a2

14

Rbz

s=7

počet styčníků (v kaţdém z nich 2 podmínky rovnováhy)

p=11

počet vnitřních prutů (v kaţdém z nich 1 neznámá osová síla)

a1=1 a2=1

počet jedno a dvojnásobných vazeb (1 nebo 2 neznámé sloţky reakcí)


17 / 63


F1 c

d

N5

s=4

N3

N1

N4

a1=1

N2

a

b

Rax Raz

2.s 2 .s

8

p a1 2.a2 p a1 2.a2


p=5

a2=1

Rbz

8

Staticky i kinematicky určitý rovinný kloubový příhradový nosník Staticky přeurčitý, kinematicky neurčitý rovinný kloubový prutový nosník 18 / 63


F1

Není kloubový styčník

N5

c

N3

d

s=4

N6

N1

p=6

N4

a1=0 N2

a

b

Rax

Rbx Rbz

Raz

2.s

8

p a1 2.a2


a2=2

10

2x staticky (vnitřně i zevně) neurčitý rovinný kloubový příhradový nosník (kinematicky přeurčitý) 19 / 63

Určení stupně statické neurčitosti

Rovinné rámové konstrukce a nosníky 1.

2.

Otevřené prutové soustavy: ns = v – 3 – pk = a1 + 2.a2 + 3.a3 – 3 – pk v počet vnějších vazeb (reakcí) ai počet i-násobných vnějších vazeb pk počet vnitřních kloubových připojení přepočtených na jednoduché připojení Uzavřené prutové soustavy: ns = 3.u + v – 3 – pk u počet uzavřených příhrad

20 / 63

Silová metoda Silová metoda (SM) je: určena k řešení staticky neurčitých konstrukcí, ns ≥ 1, základní metodou k řešení staticky neurčitých prutových konstrukcí, metodou přímou.

SM využívá vedle podmínek rovnováhy přetvárných podmínek, princip superpozice a princip úměrnosti.

Silová metoda

21 / 63

Silová metoda Postup při řešení staticky neurčité konstrukce SM: 1. Určí se ns 2. Odebráním ns vazeb (vnějších nebo vnitřních) se vytvoří základní staticky určitá konstrukce 3. Odebrané vazby se nahradí staticky neurčitými silami nebo momenty (staticky neurčité složky reakcí nebo interakcí) 4. Sestaví se ns přetvárných podmínek ve formě soustavy lineárních rovnic 5. Řeší se soustava lineárních rovnic, jejich řešením jsou staticky neurčité složky reakcí nebo interakcí 6. Znalost staticky neurčitých složek reakcí nebo interakcí umožní vypočíst reakce v ponechaných vazbách, složky vnitřních sil, případně deformace Silová metoda

22 / 63

Jednoduchý staticky neurčitý nosník Předpoklady: a) přímý prut s průřezem proměnlivým nebo konstantním, b) osa prutu identická s osou x, jedna s hlavních rovin prutu leží v rovině xz, c) prut je podepřen ve dvou bodech, d) každá z vnějších vazeb proti posunutí je rovnoběžná s některou ze souřadných os, e) každá z vnějších vazeb proti potočení působí v rovině, jejíž normálou je některá ze souřadných os, f) prut může být zatížen prostorově.

Jednoduchý staticky neurčitý nosník

23 / 63


Stupeň statické neurčitosti ns = v – nv udává počet přebytečných vazeb, tj. počet vazeb, které je nutno odebrat, aby se nosník stal staticky určitým

Prostorová úloha jednoduchého přímého nosníku Obr. 3.1. / str. 55


24 / 63


Každý jednoduchý staticky neurčitý nosník v prostorové úloze lze rozdělit na 4 jednodušší úlohy: 1. Osová úloha nv=1 2. Příčná úloha v rovině xz nv=2 3. Příčná úloha v rovině xy nv=2 4. Krutová úloha nv=1


25 / 63

Jednoduchý staticky neurčitý nosník v osové úloze ns

v nv

X1

Rbx

X1

11

2 1 1

10

X1

0

10

Rbx

Silové zatížení

11 l 11 0

N1 N dx E A

1 E

Silové zatížení l 10 0

N0 N dx E A

l

0

l

0

1 dx A

N 0 N1 dx E A

1 E

l

0

N0 dx A

Silové zatížení

Oteplení l 10

t

t0 N1 dx

t

t0 l

0

Silová metoda v osové úloze Obr. 3.2. / str. 58

Jednoduchý staticky neurčitý nosník v osové úloze

26 / 63


Popuštění podpor Posunutí ve směru osy x u a , ub Deformační podmínka: 11 X 1

10

d1

V daném případě (X1 ve směru osy x): ūa a Ra1 mají opačný směr

(R

10

)

( Ra1 u a )

( 1 ua ) ua

ūb a X1 mají stejný směr

d1

ub

11

X1

X 1 ua ub

ua

ub Rbx

11

Rax

Rax0

Rax1 X 1

Silová metoda v osové úloze Obr. 3.2./str.58

27 / 63

Příklad 3.1 Silové zatížení 9,681 10 5 kN

EA

Deformační podmínka Ra 0

4,8kN (

Ra1 1( l 11 0 l 10 0

11

X1

10

0

)

)

N1 N dx E A

l

3 9,681 10 5

E A

N0 N dx E A

1 N 0 dx 9,681 10 5 0

3

1 1 1,2 2 5,7 2 2 9,681 10 5 9,681 10 5 5,7 10 1,9kN ( ) 3 11

( 4,8 4,2) 1 10

Rbx

X1

Rbx

1,9kN (

Rax

Rax0

)

Rax1 X 1

4,8 1 ( 1,9)

2,9kN (

)


Zadání a řešení příkladu 3.1 Obr. 3.3. / str. 60

28 / 63

Příklad 3.1 Oteplení Na nosník působí oteplení t0=15oC, je konstantní po celé délce EA

9,681 10 5 kN, αt

1,2 10 - 5 ,

Deformační podmínka:

11

X1

Δt 0

15 0 C 0

10

l

N

10

t

t0 dx

t 0 l 1,2 10

t

5

15 3 5,4 10

4

0

11

Rbx

l EA

3 9,681 10 5 10

5,4 10

11

Rax

Rax0

Rax1 X 1

Rax

174 ,258 kN (

4

9,681 10 5 3

174 ,258 kN (

0 1 ( 174 ,258 ) )

Rbx

)

174 ,258 kN (

174 ,258 kN (

)

)



29 / 63

Příklad 3.1, popuštění podpor Ūa= 5 mm = 0,005 m (doprava) Ūb= 8 mm = 0,008 m (doprava) Posunutí Ūa a reakce Ra1 a mají opačný směr Posunutí a Ūb a jednotková síla X1=1 mají shodný směr Přetvárná podmínka: 11

l EA

d1 Rbx

ub

)

( Rax1 u a )

Rax Rax

d1

( 1 ua )

ua

0,005

0,008

X1

ub u a 11

Rax

10

3 9,681 10 5 (R

10

X1

11

Rbx Rbx

0,008 0,005 9,681 10 5 3

968 ,1kN (

)

0 968 ,1kN (

968 ,1kN (

)

Rbx

) 968 ,1kN (

)

Zadání a řešení příkladu 3.1 Obr. 3.1 /str. 68 30 / 63

Příčně zatížené staticky neurčité nosníky Stupeň statické neurčitost i :

ns

v nv

3 2 1

Přetvárná podmínka pro zatížení silové a zatížení změnou tep loty : 11

X1

10

0

Přetvárná podmínka pro zatížení popuštěním podpor : 11

X1

10

d1

Jednostranně vetknuté staticky neurčité nosníky Obr. 3.10. / str. 68

Jednostranně vetknutý nosník v příčné úloze

31 / 63

Oboustranně vetknutý nosník v příčné úloze ns

v nv

4 2

2

Přetvárné podmínky pro silové zatížení a zatížení změnou teploty: 11

X1

12

X2

12

X1

22

X2

X1

M ab

X2

10 20

0 0

M ba

Přetvárné podmínky pro zatížení popuštěním podpor: 11

X1

12

X2

12

X1

22

X2

10 20

d1 d2

Silová metoda - příčné zatížený oboustranně vetknutý nosník, obr.3.20, str. 78 32 / 63

Příklad 3.8, str. 80, obr.3.8 Nosník z profilu I 200 je zatížen:  silově dle obr. (a)  lineárním oteplením t1=15o K dle obr. (e)  popuštěním podpor dle obr.(h)

Přetvárné podmínky pro zatížení silové a změnou teploty: 11

X1

12

X2

12

X1

22

X2

0

10 20

0

Přetvárné podmínky pro zatížení popuštěním podpor: 11

X1

12

X2

12

X1

22

X2

10 20

d1 d2 Zadání a řešení příkladu 3.8, str. 80 33 / 63

Příklad 3.8, str. 80, obr.3.8 – řešení, silové zatížení Silové zatížení Základní staticky určitá soustava: prostý nosník dvojkloubově uložený Staticky neurčité veličiny: X1 = Mab X2 =- Mba „0“ zatěžovací stav: Výpočet reakcí Raz0, Rbz0: Raz0 (6 1,6 4 14 3,2 10 3,2 1,6) / 4,8 28 kN Rbz0

Průběh momentu Mo:

Lze též napsat:

(10 3,2 3,2 14 1,6 6 1,6 0,8) / 4,8

M 0 ( x)

Raz0

M 0 ( x)

Raz0

pro 1,6

x

M0

M Ra0

kde M Ra0 MF

27 ,6kN

x2 x q1 pro 0 x 1,6 2 x2 ( x xF ) 2 x q1 F ( x xF ) q2 2 2 4,8 M q10 M F 0

M q 20

x2 Raz0 x M q10 q1 pro 0 x l 2 ( x xF ) 2 F ( x x F ) M q 20 q2 pro x F 2

x

l

34 / 42

Příklad 3.8, str. 80, obr.3.8 – řešení, silové zatížení 1.zatěžova cí stav X 1 1 M1

x

2. zatěžovací stav X 2 M2

l

1

x

Výpočet deformační ch součinitel ů : l 11

ab 0 l

22

ba 0

M1 M1 dx E I M2 M2 dx E I l

12

ab 0 l

21

ba 0

ab

,

ba

,

,

l 3EI l 3EI

4,8 3EI

1,6 EI

1,6 EI

pro konst. průřez

M1 M 2 dx E I

l 6 EI

4,8 6 EI

M 2 M1 dx E I

l 6 EI

0,8 EI

ab

ba

0,8 EI

základní deformační úhly prostého nosníku 35 / 42

Příklad 3.8, str. 80, obr.3.8 – řešení, silové zatížení

Výpočet deformačních součinitelů l 10 0 l 20 0

10,

20

l

M 0M1 dx EI

1 ( M Ra 0 M q1 0 EI 0

M 0M 2 dx EI

1 ( M Ra 0 M q1 0 EI 0

M F0

M q2 0 ) M 1 dx

M F0

M q2 0 ) M 2 dx

l

Integraci lze provézt :1) analyticky , 2) pomocí Verščagino va pravidla, 3) pomocí tabulky 2.2 . V daném případě je : 10

20

60 ,30222 EI 58,14044 EI 36 / 42

Příklad 3.8, str. 80, obr.3.8 – řešení, silové zatížení Řešením lineárních rovnic po dosazení je:

X1

26 ,02667 kNm

X2

23,32444 kNm

Reakce : Ra

Ra 0

Ra

28

Rb

Rb 0

Rb

27 ,6

Ra1 X 1

Ra 2 X 2

26 ,0266 23,3244 4,8 4,8 Rb1 X 1 Rb 2 X 2 26 ,0266 4,8

28,563 kN

23,3244 4,8

27 ,037 kN

Zadání a řešení příkladu 3.8, obr. 3.21, str. 80 37 / 42

Příklad 3.8, str. 80, obr.3.8 –zatížení změnou teploty Lineární oteplení po výšce průrůřez t 1 15 o C Jde o symetricko u úlohu, proto

X1

X2

X

Řešení dvou lineárních rovnic lze redukovat na jedinou ve tvaru : ( l 10

11

M t1 1 dx 1,2 10 h

t 0

12 5

) X 15 0,2

0

10 4 ,8

l

0

216 10 5 216 10 X 1,6 0,8 2,4 11 12 EI EI Za EI dosazeno EI 4494 kNm2

x l

dx 216 10

5

5

10

EI

4,0446 kNm

Průrůběohybového momentu - viz obr. 3.21(g). Reakce Raz Raz

Raz0

Rbz

0, neboťeM

Raz1 X

Raz 2 X

konst. a V 0

X (

1 4,8

0, nebo také 1 ) 4,8

0


Příklad 3.8, str. 80, obr.3.8 –zatížení poklesem podpor Deformační podmínky :

11

X1

21

Pro zvolenou Z S je : d1

12

X1

0, d 2

X2

22

d1

10

X2

d2

20

0,004 ( X 1 a

10

(R )

( Ra1 wa

Rb1 wb )

20

(R )

( Ra 2 wa

Rb 2 wb )

b

mají stejný směr)

wa wb 0,003 0,006 ) 6,25 10 4 4,8 4,8 4,8 wa wb 0,003 0,006 ( ) 6,25 10 4,8 4,8 4,8

(

4

Po dosazení : 1,6 0,8 X1 X 2 d1 10 4494 4494 0,8 1,6 X1 X 2 d2 20 4494 4494 Řešením rovnic je : X 1 M ab Rab

Rab0

Rab1 X 1

Rab2 X 2

6,25 10

4

0,004 6,25 10 -11,001kN 0

X2

( 11,001) 4,8

4

4,625 10 -M ab

4

18,491kNm

(18,491) 4,8

6,144 kN

Řešení, viz obr. 3.21(i), 3.21(j)


Tabulka 3.2 Vzorce pro koncové momenty vetknutí nosníku se stálým průřezem


40 / 63

Prostý nosník jako prvek staticky neurčité konstrukce

Prostý nosník jako prvek a jeho rozklad na dílčí stavy Obr. 3.4. / str. 61

Prostý nosník, jako prvek staticky neurčité konstrukce

41 / 63

Prostý nosník jako prvek staticky neurčité konstrukce, průběhy složek vnitřních sil

Průběhy vnitřních sil v 0. stavu a v momentovém stavu Obr. 3.5. / str. 62


42 / 63

Prostý nosník jako prvek staticky neurčité konstrukce, superpozice průběhu ohybového momentu

Superpozice průběhů M s přemístěnou základní stranou Obr. 3.6. / str. 63


43 / 63

Proměnný průřez

Výškové náběhy Obr. 3.13. / str. 72


44 / 63

Proměnný průřez - příklad 3.5 Řešení pomocí tabulky 3.3 : 2 0,4 5 Z tabulky 0 ,12 M

b, a

q l2

0,3 3 0,125 3 0,6 0,1921, 0 ,15 0,1910 14 25

0,1855 , lineární interpolac í dostaneme

0,1910

66 ,85 kNm

q 2 Výpočet reakcí : R l l M 0 a ,b b , a 2 q l M b, a 14 5 66 ,85 R 21,63 kN a ,b 2 l 2 5 q l M b, a 14 5 66 ,85 obdobně R 48,37 kN b, a 2 l 2 5 Výpočet M : max Ra,b 26 ,25 x 1,545 m n q 14 M

max

R x a ,b , n

q

xn2 2

1,545 2 21,63 1.545 14 2


16 ,71kNm

Zadání příkladu 3.5 Obr. 3.15. / str. 74

45 / 63

Tabulka 3.3 Součinitele pro moment vetknutí (rovnoměrné zatížení)


46 / 63

Tabulka 3.4 Součinitele pro moment vetknutí (bodová síla uprostřed)


47 / 63

Tabulka 3.6 Součinitele pro momenty vetknutí (rovnoměrné zatížení)


48 / 63

Tabulka 3.7 Součinitele pro momenty vetknutí (bodová síla uprostřed)


49 / 63

Jednoduchý staticky neurčitý nosník v krutové úloze Stupeň statické neurčitost i : ns

nv

2 1 1

Deformační podmínka a) pro silové zatížení : 11

X1

10

0

b) pro zatížení popuštěním podpor : 11

X1

10

d1 Silová metoda v krutové úloze Obr. 3.24. / str. 85

Jednoduchý staticky neurčitý nosník v krutové úloze

50 / 63

Krutová úloha - příklad 3.11 Zadání: Ţelezobetonový nosník (G=9,24.106kPa) konstantního obdélníkového průřezu o šířce b=0,24m a výšce h=0,36m je zatíţen: a) zkrucujícím zatíţením dle obr. 3.25 (a) b) popuštěním podpor

a

0,001 rad,

b

0,002 rad.

Moment tuh osti v kroucení je ( viz tab.) : It

b3 h

0,196 0,24 3 0,36

G It

9013 kNm2

9,75 10 4 m 4

h/b

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 0,1406 0,1540 0,1661 0,1771 0,1869 0,1958 h/b 1,6 1,7 1,8 1,9 2 3 0,2037 0,2109 0,2174 0,2233 0,2287 0,2633


Jednoduchý staticky neurčitý nosník v krutové úloze

51 / 63

Krutová úloha - příklad 3.11, silové zatížení Deformační podmínka : 11

X1

10

0

Moment X1 l

11

T1 T1 dx G I t 0 l

10

X1

T0 T1 dx G It 0 10 11

Ta

1 (X1 má opačný směr než zatěž. momenty) l

4

G It

G It

1 G It

2,5 1,5 3 2 2 G It

(14 9)

4

T0 dx 0

31 G I t 4 G It

7,75 kNm Tb

Ta 0 Ta1 X 1 14 1 7,75

31 G It

X1

6,25 kNm

Výsledný průběh T - viz obr. 3.25 (d)

Zadání a řešení příkladu 3.11 Obr. 3.25. / str. 87 Jednoduchý staticky neurčitý nosník v krutové úloze

52 / 63

Krutová úloha - příklad 3.11, popuštění podpor Popuštění podpor: 0,001 rad,

a

b

0,002 rad.

Deformační podmínka: 11

11

X1

d1

10

4 GI t

4 9013

(Ta1

10

a

d1

0,002 rad

X1

Tb

)

d1

(1 (0,001))

10 11

Ta Tb

0

4,438 10 4 rad/kNm

Ta

0,001 rad

0,002 ( 0,001) 4,438 10 4 Tb

0,003 4,438 10

4

6,76 kNm

6,76 kNm

Řešení příkladu 3.11 Obr. 3.25. / str. 87 Jednoduchý staticky neurčitý nosník v krutové úloze

53 / 63

Výpočet deformace staticky neurčitého nosníku Silový zatěžovací stav Redukční věta: Jednotkový virtuální stav, sloužící k výpočtu deformace, staticky neurčitého nosníku (ns) může být vytvořen:  na původním staticky neurčitém nosníku,  na staticky neurčitém nosníku s nsj < ns, (odebráno méně než ns vazeb),  na staticky určitém nosníku (odebráno ns vazeb). Redukční větu lze použít pro výpočet deformace libovolné staticky neurčité konstrukce při silovém zatížení. Výpočet deformace jednoduchého staticky neurčitého nosníku

54 / 63

Výpočet deformace - silový zatěžovací stav Příklady volby virtuálního zatěžovacího stavu pro výpočet posunutí středu oboustranně vetknutého nosníku.

Příklady aplikace redukční věty Obr. 3.26. / str. 89

Výpočet deformace jednoduchého staticky neurčitého nosníku

55 / 63

Zdůvodnění redukční věty Na libovolné staticky neurčité konstrukci lze odstranit přebytečné vazby a nahradit jejich účinek silami nebo momenty. Na stejné, tj. staticky určité konstrukci, lze pak určit virtuální stav konstrukce pro výpočet deformace při využití principu virtuálních sil. Pokud se virtuální stav konstrukce určí na staticky neurčité konstrukci, pak jej lze při využití principu superpozice považovat za výsledný stav na staticky určité konstrukci v řadě dílčích zatěžovacích stavů odpovídajících stupni statické neurčitosti, kdy nahrazujeme odstraněné vazby jejich účinkem. Účinek virtuálních sil a momentů nahrazujících vazby je nulový, neboť umožňují vypočíst v místě vazby nulovou deformaci odpovídající nahrazené vazbě.


56 / 63

Výpočet deformace-silový zatěž. stav-příklad 3.12 Vypočtěte průhyb nosníku v bodě s. Nosník je na obr. 3.27. Průběh M vypočten s využitím tabulky 3.2, viz. obr. 3.27(b). Virtuální jednotkový stav zvolen na obr. 3.27 (c). l

ws 0

M M dx E I

l

1 M M dx E I

5 Pl 3 1296 E I

Integrál s využitím obr. 3.12 (b) a (d) lze řešit : a) analyticky b) dle Vereščaginova pravidla c) dle tabulky 2.2 Výpočet deformace jednoduchého staticky neurčitého nosníku


57 / 63

Výpočet deformace-silový zatěž. stav-příklad 3.12 Výpočet s vyuţitím Vereščaginova pravidla: l

ws 0

ws ws ws ws

M M dx E I

1 E I 1 E I 1 E I 1 E I

l

1 M M dx E I

( AM 1 M T 1

AM 2 M T 2 )

Pl l l 7 Pl l 1 2 l ) 18 2 4 54 2 2 3 2 Pl 3 7 Pl 3 ( ) 18 8 3 18 12 ( 9 14 ) Pl 3 5 Pl 3 3 18 12 1296 EI (



58 / 63

Výpočet deformace – zatížení změnou teploty Výsledná deformace je dána superpozicí: a) pruţné deformace wpr b) deformace vyvolané změnou teploty wt na základní staticky určité konstrukci

w

w pr

wt

U jednoduchého staticky neurčitého nosníku konstantního průřezu jsou při konstantní změně teploty po délce nosníku: a) v osové úloze ( t0), b) v příčné úloze při oboustranném vetknutí ( t1) c) v krutové úloze (změna teploty se neprojevuje) deformace nulové, superponované deformace se ad a) a b) vyruší. Tento poznatek nelze zobecňovat. Např.u jednostranně vetknutého nosníku jiţ tomu tak není. Výpočet deformace jednoduchého staticky neurčitého nosníku

59 / 63

Výpočet deformace – zatížení změnou teploty Příklad 3.13 Nosník dle 3.28 je zatížen změnou teploty. Vypočtěte průhyb v bodě c. Řešení : EI wc

w pr

wt

1 1,232 2,8 1,232 2,135 2,2 ( 4.562 ) / 4494 EI 2 2 2,395 10 3 m

w pr w pr l

t

wt 0

wc

4494 kNm2

t1M dx h

2,395 10

3

1,2 10 5 18 5 1,232 0,2 2 3,326 10

3

3,326 10 3 m

0,931 10 3 m



60 / 63

Výpočet deformace – popuštění podpor

Výsledná deformace je dána superpozic í : a) pružné deformace w pr b) přemístění m základního staticky určitého nosníku jako tuhého tělesa w p w

w pr

wp


61 / 63

Výpočet deformace – popuštění podpor, příklad 3.14 Vypočtěte svislý průhyb v bodě c oboustranně vetknutého nosníku z př. 3.8 se zadaným popuštěním podpor dle obr. 3.21 (h), je-li jiţ znám průběh ohybového momentu dle obr. 3.29 (a).

Příklad 3.8, obr. 3.21

Pro výpočet posunutí nosníku jako tuhého tělesa i pro výpočet pruţné deformace umístíme do bodu c svislou virtuální sílu o velikosti 1. Průběh virtuálního momentu je na obr. 3.29 (b).



62 / 63

Výpočet deformace – popuštění podpor, příklad 3.14 Výpočet posunutí wp jako tuhého tělesa lze vypočíst při pouţití principu virtuálních prací wp ( wp

(R

)

2 0,003 4,8

( R a1 wa R b1 wb )

2,8 0,006 ) 4,8

4,75 10 3 m

Pruţné posunutí wpr se vypočte známými postupy (viz učebnice):

w pr

2,844 10 3 m

Celkové posunutí je dáno součtem: wc w p w pr

wc

4,75 10

3

2,844 10

3

7,594 10 3 m



63 / 63

Téma 3 Úvod ke staticky neurčitým prutovým konstrukcím

Recommend Documents