Téma 2 Deformace staticky určitých prutových konstrukcí

Statika stavebních konstrukcí I., 2.ročník bakalářského studia

Téma 2 Deformace staticky určitých prutových konstrukcí

Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Osnova přednášky • Pojem deformace • Princip virtuálních prací • Deformace nosníku v osové úloze • Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz) • Deformace přímého nosníku v krutové úloze • Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze • Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze • Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku

Osnova přednášky

2 / 61

Deformace (přetvoření) Deformace (přetvoření): a) Celková podoba deformované konstrukce b) Některá lokální sloţka deformace v určitém místě konstrukce (posun, pootočení)

Označení a kladné smysly posunů a pootočení těžiště průřezu Obr. 2.1. / str. 24

Pojem deformace

3 / 61

Deformace (přetvoření) Proč se zabýváme deformacemi? 1. Použitelnost konstrukce 2. Řešení staticky neurčitých konstrukcí 3. Ověřování správnosti výpočtu měřením Předpoklady výpočtu:  Fyzikální linearita (platí Hookův zákon)  Geometrická linearita (teorie malých deformací Důsledek:  Podmínky rovnováhy se sestavují na nedeformované konstrukci – teorie 1. řádu  Platí princip superpozice a princip úměrnosti

Pojem deformace

4 / 61

Deformace (přetvoření) Nelineární mechanika:  Teorie 2. řádu – podmínky rovnováhy se sestavují na deformované konstrukci (deformace malé)  Fyzikální nelinearita (nelineárně pružné nebo trvalé deformace)  Teorie velkých deformací  Konstrukce s jednostrannými vazbami

 Nosná lana a lanové konstrukce

Pojem deformace

5 / 61

Práce vnějších sil a momentů Práce (externí) bodové síly: Le  P    P   c  cos 

Práce - skalár, vyjadřuje se v joulech (J = N.m), kJ, MJ Práce bodového momentu:

Le  M .

Poznámka: Předpokladem je, ţe  () bylo vyvoláno jinou příčinou neţ P (M). Práce je kladná, shodují-li se smysl  vektoru síly a posunu ,

 momentu a potočení .

Práce bodové síly a bodového momentu Obr. 2.2. / str. 26

Princip virtuálních prací

6 / 61

Práce spojitého silového a momentového zatíţení Práce vnějších sil a momentů: b

Le   q ( x )w( x )dx a

b

Le   m( x ) x ( x )dx a

Předpoklad – velikost zatíţení se během posunu nemění.

Práce silového liniového zatížení Obr. 2.3. / str. 26


7 / 61

Virtuální práce 1) Reálný zatěţovací stav a) Deformační virtuální práce Le  P  wc 2) Virtuální zatěţovací stav: Le  P  wc b) Silová virtuální práce 2a) Deformační virtuální stav 2b) Silový virtuální stav

Deformační virtuální práce vypracovaná Lagrangem ke studiu rovnováhy konstrukcí. Princip virtuálních prací

K pojmu virtuální práce Obr. 2.4. / str. 27

8 / 61

Práce vnitřních sil Prostorově namáhaný přímý prut: N, My, Mz, Vz, Vy, T

Souřadnicová soustava prutu Obr. 2.5. / str. 28


9 / 61

Práce vnitřních sil Práce vnitřních (interních) sil:   Li     Ndu   M y d y   M z d z   Vz dwˆ   V y dvˆ   Td x  l l l l l l 

Vnitřní síly brání vzniku deformace, mají opačné smysly neţ na obr. 2.6., proto záporné znaménko při výpočtu Li.

Kladné smysly vnitřních sil

Práce vnitřních sil prutu Obr. 2.6. / str. 28


10 / 61

Princip virtuálních prací Axiom: Celková virtuální práce na vyšetřované konstrukci (tj. součet virtuálních prací vnějších i vnitřních sil) je roven nule.

Le  Li  0 A) Deformační princip virtuálních prací (princip virtuálních posunů) B) Silový princip virtuálních prací (princip virtuálních sil) N , M y , M z , Vz , V y , T Virtuální vnitřní síly Reálné vnitřní síly, způsobují deformace

N du  dx EA

dwˆ 

Vz dx * GAz


d y  dvˆ 

My EI y Vy

dx

dx GA*y

d z 

Mz dx EI z

d x 

T dx GI t 11 / 61

Deformační zatíţení, způsobené oteplením Silový princip virtuálních prací: l  NN M y M y M z M z VzVz V yV y TT  t1 t 2   Le         d x  N   t  M   M    d x t 0 y t z t * *  EI y EI z GAz GAy GI t  h b  0 0  EA l

t0  t h  (t d  t h ) du   t  t0  dx

ez h

t1  t d  t h d y   t  t1 

dx h

Rovnoměrné oteplení a rozklad lineárně proměnného oteplení po výšce průřezu Obr. 2.7. / str. 29


12 / 61

Bettiho věta o vzájemnosti virtuálních prací (1872) l

P11  P2 2  

M y ,I M y ,II EI y

0 l

P3 3  M 4 4  

dx

M y ,II M y ,I

0

EI y

dx

Enrico Betti (1823 - 1892)

P11  P2 2  P3 3  M 4 4

Virtuální práce vnějších sil I. stavu na odpovídajících deformacích II. stavu je rovna virtuální práci vnějších sil II. stavu na odpovídajících deformacích I. stavu.

K odvození Bettiho věty Obr. 2.8. / str. 30


13 / 61

Maxwellova věta o vzájemnosti posunů Zvláštní případ Bettiho věty, kdy v každém z obou zatěžovacích stavů působí na konstrukci jediná síla P nebo jediný moment M. PI I  PII II

PI  PII  P

James Clerk Maxwell (1831 - 1879)

 I   II  

Posun způsobený první silou v místě a ve směru druhé síly je roven posunu způsobeném druhou silou v místě a ve směru první síly.

Zvláštní případ Bettiho věty, kdy v každém z obou zatěžovacích stavů působí na konstrukci jediná síla P nebo jediný moment M.

K odvození Maxwellovy věty Obr. 2.9. / str. 31


14 / 61

Metoda jednotkových sil  NN M y M y M z M z VzVz V yV y TT          dx * * EA EI EI GA GA GI y z z y t  0   l

Le  1.  

 0 l

    N  t t0  M y t

t1 t   M z t 2 dx h b 

Silové zatíţení Oteplení

Metoda jednotkových sil Obr. 2.10. / str. 32


15 / 61

Deformace nosníku v osové úloze Silové zatíţení

 AN 1   ue  N N d x  EA 0 EA l

Stálý průřez

l

1 NN   ue   dx E0 A

Proměnný průřez Simpsonovo pravidlo

l

 0

f ( x )dx   f 0  4( f1  f 3 )  2 f 2  f 4 

d 3

Oteplení l

  ue   t t0  N dx   t t0 AN 0

Deformace nosníku v osové úloze Obr. 2.11. / str. 33

Deformace nosníku v osové úloze

16 / 61

Příklad 2.1 Nutno určit pro silový zatěţovací stav i rovnoměrné ochlazení vodorovný posun uc A = 64 mm2, E = 2,1.108 kPa, t = 1,2.10-5K-1 Silový zatěţovací stav: Rax  8,4.2,5  8  0 Rax  13 kN N  13  8,4.x l

uc   0



A NN dx  N  EA EA

9,2  0,000685 m 2,1.10 8.6,4.10 5

Zadání a řešení příkladu 2.1 Obr. 2.12. / str. 34


17 / 61

Příklad 2.1 Posun způsobený ochlazením: l

l

0

0

uc   N  t t0 dx  t t0  Ndx  t t0 AN uc  1,2.10 5.(20 ).2  0,00048 m  0,48 mm



18 / 61

Příklad 2.2 Nutno určit svislý posun horního konce sloupu wb od vlastní tíhy. Beton r = 2400 kg.m-3 E = 2.107 kPa



19 / 61

Příklad 2.2 z A( z )  1.(0,8  0,8. )  0,8  0,2.z 4

  10 .2400  24000 Nm 3  24 kNm 3 n( z )  A  (0,8  0,2.z ).24   19,2  4,8.z

z N ( z )  (19,2  19,2  4,8.z ).  2  19,2.z  2,4.z 2 4

4

NN 1 N wb   dz    dz  EA E0 A 0 1 i  n 19 ,2.zi  2,4.zi Z   z i   E i 1 0,8  0,2.zi E 2



20 / 61

Příklad 2.2 Řešení s využitím 1) Simpsonova pravidla i

z

A

N

N/A

m

m2

kN

kNm-2

0

0

0,8

0

0,.0000

1

1

1

-21,6

-21,.6000

2

2

1,2

-48

-40,0000

3

3

1,4

-79,2

-56,5714

4

4

1,6

-115,2

-72,0000

4



f ( x)dx  ( f 0  4( f1  f 3 )  2 f 2  f 4 )

0

4

 0

d 3

d

4 1 4

N (0  4.(21,600  56,571)  2.40  72 ) dz   154 ,895 kNm 1 A 3

wb 

154 ,895  7,745 .10 6 m  0,007745 mm 7 2.10


21 / 61

Příklad 2.2 Řešení s využitím

zi

Ni /Ai

m

kNm-2

1

0,2

1,874286

n  10

2

0,6

5,384348

l 4   0,4 n 10 Z 154 ,9756 6 wb       7 , 749 . 10 m 7 E 2.10

3

1,0

8,64

4

1,4

11,69778

5

1,8

14,59862

6

2,2

17,3729

7

2,6

20,04364

8

3,0

22,62857

9

3,4

25,14162

10

3,8

27,59385

S Ni /Ai

154,9756

2) Obdélníkové metody (numerická integrace)

z  z i 


i

22 / 61

Nosník v osové úloze - sloup

Odstupňovaný průřez sloupu konstrukce výškové budovy, Chicago, USA

Ukázka konstrukce s nosníkem v osové úloze

23 / 61

Deformace přímého nosníku v příčné úloze Silové zatíţení l

l

1 MM 1 VV   dx   * dx E0 I G0 A l

Oteplení    t t1  0

l

Stálý průřez

l

1 1  M M d x  VV dx *   EI 0 GA 0

M dx h

Druhy přímých nosníků v příčné úloze Obr. 2.14. / str. 36 Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

24 / 61

Vereščaginovo pravidlo Pomůcka pro výpočet integrálu l

 MMdx  A

M

.M T

0

Vereščaginovo pravidlo Obr. 2.15. / str. 37 Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

25 / 61

Vereščaginovo pravidlo

Parabolické části momentových obrazců při použití Vereščaginova pravidla Obr. 2.16. / str. 38 Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

26 / 61

Příklad 2.3 S vyuţitím Vereščaginova pravidla určete svislý průhyb  = wa.

Ţelezobetonová konzola E = 2,2.107 kPa Moţno zanedbat práci posouvajících sil.

Zadání a řešení příkladu 2.3 Obr. 2.17. / str. 38 Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

27 / 61

Příklad 2.3 bh3 0,28 3 7 EI  E  2,2.10 .0,18 .  12 12  7,24416 10 3 kNm 2 2

wa   0



MM 1 dx  ( S1  S 2  S 3 )  EI EI

2,5  15  21,667  0,005407 m 7,24416 .10 3 1

S1   MM dx  AM 1M 1  0

 3,333 .(0,75)  2,5kNm 3 2

S 2   MM dx  AM 2 M 2  1

 10 .(1,5)  15 kNm 3 1

S 3   MM dx  AM 3 M 3  0

 13 .(1,667 )  21,667 kNm 3

Zadání a řešení příkladu 2.3

Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

Obr. 2.17. / str. 38

28 / 61

Příklad 2.4 Výpočet příkladu 2.3 s uvaţováním práce posouvajících sil.

Ţelezobetonová konzola G = 9,24.106 kPa

2

VV 1 dx  ( S1  S 2 ) * * GA GA 0

w  ´ c

A* 

bh





0,18 .0,28  0,042 m 2 1,2

GA*  9,24 .10 6.0,042  3,8808 .10 5 kN 20 .1 .(1)  10 kNm 2 S 2  AV , 2V  26 .1.(1)  26 kNm S1  AV ,1V  

wc´ 

10  26  9,276 .10 5 m  0,093 mm 5 3,8808 .10

wc´ 0,093 .100  .100  1,7 0 0 w 5,407

Reálné a virtuální posouvající síly konzoly z příkladu 2.3 Obr. 2.18. / str. 39 Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

29 / 61

Tabulka 2.2 l

Vzorce pro výpočet integrálů

 MM d x 0

str. 41 Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

30 / 61

Příklad 2.5 Nutno určit svislý průhyb wc a pootočení

a

Dřevo E = 107 kPa


31 / 61

Tabulka 2.3 Lokální deformace konzoly a prostého nosníku stálého průřezu

Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

str. 42

32 / 61

Příklad 2.6 Lineární oteplení po výšce průřezu. Nutno určit průhyb wc a ws. Ocel t = 1,2.10-5 K-1 h = 0,24 m



 t t1 h

l

 Mdx  0

 t t1 h

AM


33 / 61

Příklad 2.6 9

wc   0

AMc

 t t1M h

dx 

 t t1 9

 t t1

h

h

 Mdx  0

AMc

1,2.10 5.16 .(9) wc   0,0072 m  7,2mm 0,24

 t 9 .2 7.1,75   9 ws  t  1 AMs AMs   6,125 h 2 2

1,2.10 5.16 .6,125 ws   0,0049 m  4,9mm 0,24


34 / 61

Příklad 2.6 Tvar, zatíţení - příklad 2.3 Proměnný průřez Ţelezobetonová konzola E = 2,2.107 kPa


35 / 61

Výzkumné energetické centrum, VŠB-TU Ostrava

Konzola ochozu: • Ocelový svařovaný a válcovaný profil I • Trapézový plech • Betonová podlaha

Ukázka konstrukce s proměnlivým průřezem

36 / 61

Výzkumné energetické centrum, VŠB-TU Ostrava

Konzola ochozu: • Ocelový svařovaný a válcovaný profil I • Trapézový plech • Betonová podlaha

Ukázka konstrukce s proměnlivým průřezem

37 / 61

Deformace přímého nosníku v krutové úloze Silový virtuální stav

Krutové pootočení TT 1  AT c   dx  T T d x   GI GI GI t t t 0 0 l

l

Deformace nosníku v krutové úloze Obr. 2.22. / str. 45

Deformace přímého nosníku v krutové úloze

38 / 61

Příklad 2.8 Metodou jednotkových sil nutno určit krutové pootočení pravého konce b

Ocel - G = 8,1.107 kPa It  I p  



 2

( r24  r14 ) 

.(30 4  24 4 )  7,5119 .10 5 mm 4

2 GI t  8,1.10 7.7,5119 .10  7  60 ,8466 kNm 2 l

l

TT 1 AT  dx  T T d x  GI t GI t 0 GI t 0 1 1 AT  .(2,72  1,52 ).1  .0,72 .0,6  2,336 kNm 2 2 2 2,336 b   0,0384 rad  2,20 o 60 ,8466 Deformace přímého nosníku v krutové úloze


39 / 61

Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze lj lj lj   1 MM 1 VV  1 NN      dx j   dx j   * dx j  E 0 Ij G 0 Aj j 1  E 0 A j    m

U staticky určitých případů se zanedbává práce posouvajících a normálových sil Tři lokální sloţky deformace: u, v a 

lj

1 m MM    dx j E j 1 0 I j

V bodě c

 c  wc2  uc2

tan  

uc wc

lj

Stálý průřez

1 m 1     MM dx j E j 1 I j 0

Oteplení

lj lj   M      t  t0, j  N dx j  t1, j  dx j  hj j 1   0 0   m

Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze

40 / 61

Příklad 2.9 Nutno určit ud , wd ,  a d Ocel I1 = 16.10-5 m4 I2 = 3,8.10-5 m4 I3 = 9,2.10-5 m4 E = 2,1.108 kPa


Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze

41 / 61

Rámová ocelová konstrukce průmyslové haly Rozpětí 20,5 m

Ukázky konstrukcí rovinně lomeného nosníku

42 / 61

Hala pro výrobu komponent jaderných elektráren, Vítkovice • Půdorys 130 x 320 m • Jeřáby o nosnosti 80 a 200 t • Poddolované území


43 / 61

Víceúčelová hala, Frýdek - Místek • Čtvercový půdorys o straně 82,26 m, výška 31,06 m • Hlavní nosný prvek střechy 2 rámy tvaru A • Rozpětí 118,12 m, vzdálenost 10,2 m • Průřez truhlíkový 3,65 m x 0,8 m


44 / 61

Víceúčelová hala, Frýdek - Místek

Rámová ocelová konstrukce


45 / 61

Tribuna fotbalového stadiónu na Bazalech, Ostrava

• Poddolované území


46 / 61

Tribuna fotbalového stadiónu na Bazalech, Ostrava Detail momentového kloubu


47 / 61

Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze Rozpětí l, vzepětí f, poměrné vzepětí F

Φ

f l

Tvar a podepření rovinného zakřiveného nosníku v rovinné úloze Obr. 2.25. / str. 48

Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze

48 / 61

Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze Rozpětí l, vzepětí f, poměrné vzepětí F

Φ

f l

Vzepětí f a poměrná vzepětí F rovinných zakřivených nosníků Obr. 2.26. / str. 49


49 / 61

Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze Pouţití metody jednotkových sil Silové zatíţení   L

Řešení

Teplotní zatíţení

NN MM VV ds   ds   ds * EA EI GA j L L

ds 

dx cos

Silové zatíţení

Teplotní zatíţení

   t t0  N ds   t t1  L

L

M ds h

Po úpravě:

1  E

xb



xa

NN 1 dx  A cos E

xb

xb

x

MM 1 b VV x I cos dx  G x A* cos dx a a x

b N M    t t 0  dx   t t1  dx cos hcos xa xa


50 / 61

Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze Výpočet přetvoření Numerická integrace Simpsonovo pravidlo l



f ( x)dx  ( f 0  4( f1  f 3  ...  f n 1 )  2( f 2  f 4  ...  f n  2 )  f n ) 

0

d 3

Obdélníková metoda 1  E

xb



xa

NN 1 dx  A cos E

xb

MM 1 n Ni Ni 1 n MiMi xi   xi x I cos dx  E  A cos  E I cos  i 1 i 1 i i i i a

1 n Ni Ni 1 n MiMi   si   si E i 1 Ai E i 1 I i


51 / 61

Příklad 2.10 Nutno určit ub Parabolická střednice z ( x )  k .x 2

tg 

k

z a zb  xa2 xb2

 

 dz  k .x 2  2.k .x dx

cos 

sin  

1 1  tg 2

tg 1  tg 2

EI = 6,72.104 kNm2



52 / 61

Příklad 2.10 i

x [m]

tg ψ

cos ψ

M [kNm]

[m]

M/ cos ψ [kNm2]

0

5,00

0,8

0,7808 7

0,0000

0,000

0,000

1

3,75

0,6

0,8574 9

28,4375

0,875

29,018

2

,2,5 0 1,25

0,4

0,9284 8

47,5000

1,500

76,739

0,2

0,9805 8

57,1875

1,875

109,350

4

0,00

0,0

1,0000 0

57,5000

2,000

115,000

5

1,25

0,2

0,9805 8

43,1250

1,875

82,461

6

2,50

0,4

0,9284 8

28,7500

1,500

46,447

7

3,75

0,6

0,8574 9

14,3750

1,875

14,668

8

5,00

0,8

0,7808 7

0,0000

0,000

0,000

3



53 / 61

Rovinně zakřivený nosník

Gateway Arch, rozpětí a vzepětí ocelového oblouku z roku 1966 192,5 m, Saint Louis, Missouri.

Ukázky konstrukcí rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze

54 / 61


Gateway Arch, rozpětí a vzepětí ocelového oblouku z roku 1966 192,5 m, Saint Louis, Missouri.


55 / 61


Rovinně zakřivený vazník, Výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava


56 / 61

Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku Virtuální práce pouze normálových sil p lj

  

l

j 1 p N jN j 1 p N j N j .l j dx j   dx j    EA j E j 1 A j 0 E j 1 A j

N jN j

j 1 0

Oteplení p lj

p

lj

p

j 1 0

j 1

0

j 1

    N  t t 0 , j d x j   t  N t 0 , j  d x j   t  N t 0 , j l j

Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku

57 / 61

Příklad 2.11 Nutno určit wc

A1 = 24.10-4 m4 A2 = 12.10-4 m4 A3 = 18.10-4 m4 A4 = 18.10-4 m4 A5 = 12.10-4 m4 A6 = 12.10-4 m4 A7 = 18.10-4 m4 l2 = l3 = l6 = 2,236 m Tabulkový výpočet



58 / 61

Příklad 2.11 Tabulkový výpočet j 1 2 3 4 5 6 7

Aj [m2] 0,0024 0,0012 0,0018 0,0018 0,0012 0,0012 0,0018

lj [m] 2,000 2,236 2,236 2,000 1,000 2,236 2,000

Nj [kN] -90,000 134,164 -67,082 -60,000 0,000 67,082 -60,000

Ñj [1] -1,000 2,236 0,000 -2,000 0,000 2,236 -2,000

(NjÑjlj/Aj).10-3 [kN/m] 75,000 559,017 0,000 133,333 0,000 279,508 133,333 1180,192

1 7 N j N j l j 1180 ,192 10 3 3 wc     5 , 62  10 m  5,62 mm 8 E j 1 A j 2,110


59 / 61

Ţelezniční most, Polanecká spojka

Most přes ţelezniční trať v Polance z r.1964

Ukázky kloubových příhradových konstrukcí

60 / 61

Ţelezniční most, Polanecká spojka

Most přes řeku Odru z r.1964, Polanecká spojka, Ostrava – Zábřeh


61 / 61

Silniční most, Ostrava - Hrabová

Příhradový most přes řeku Ostravici


62 / 61

Téma 2 Deformace staticky určitých prutových konstrukcí

Recommend Documents