VII. Mechanika kapalin a plyn˚ u Pˇr´ıklady oznaˇcen´e symbolem (∗) jsou obt´ıˇznˇejˇs´ı. Pˇ r´ıklad 1. Jak velk´ a vztlakov´ a s´ıla bude zhruba p˚ usobit na ocelov´e tˇeleso o objemu 1 dm3 ponoˇren´e do vody? /10 N/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Fvz = V g, . . kde V = 1 dm3 = 0,001 m3 je objem tˇelesa, = 1000 kg/m3 hustota vody a g = 10 m/s2 t´ıhov´e zrychlen´ı. . ˇ ıselnˇe Fvz = 10 N. C´ usob´ıme-li na menˇs´ı p´ıst silou Pˇ r´ıklad 2. U hydraulick´eho zved´aku je obsah p´ıst˚ u 0,018 m2 a 0,125 m2 . P˚ 100 N, jakou s´ılu vyvine vˇetˇs´ı p´ıst? Menˇs´ı p´ıst se posune o dr´ahu 14 cm, o jakou dr´ ahu se zvedne vˇetˇs´ı p´ıst? /F = 694 N, s = 2 cm/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Podle Pascalova z´akona je tlak na oba p´ısty stejn´ y. p1 = p2 F1 F2 = S1 S2 Odtud F2 = F1
S2 . = 694 N. S1
Objem vody V vytlaˇcen´e z menˇs´ıho p´ıstu se pˇresune do vˇetˇs´ıho p´ıstu. Oznaˇcme s1 = 0,14 m posunut´ı menˇs´ıho p´ıstu a s2 posunut´ı vˇetˇs´ıho p´ıstu. Plat´ı, ˇze V = S 1 s1 V = S 2 s2 a tedy S 1 s1 = S 2 s2 tud´ıˇz s2 = s1
S1 . = 2 cm S2
Pˇ r´ıklad 3. Podmoˇrsk´ y batyskaf se nach´ az´ı v hloubce 1,5 km pod hladinou moˇre. Jak velk´ a tlakov´ a s´ıla p˚ usob´ı na jeho kruhov´e ok´enko o pr˚ umˇeru 20 cm? Jak´a hmotnost by ve vzduchu vyvolala stejnou t´ıhu? Hustotu moˇrsk´e vody uvaˇzujte 1030 kg . m−3 . /F = 476 kN, m = 48,5 t/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Hydrostatick´ y tlak je p = hg tlakov´ a s´ıla je (plocha ok´enka je S =
πd 4
2
)
F = pS = hgS = hg
πd2 . = 476 kN 4
Aby s´ıla F byla rovna t´ıhov´e s´ıle FG = mg, muselo by b´ yt mg = F m=
F . = 48 500 kg = 48,5 t. g
Pˇ r´ıklad 4. Do zkumavky jsou nasyp´any broky. Ve vodˇe se zkumavka ponoˇr´ı do hloubky h1 = 18 cm ze sv´e d´elky, ve zˇredˇen´e kyselinˇe s´ırov´e do hloubky h2 = 16 cm. Hustota vody je 1000 kg . m−3 . Urˇcete hustotu kyseliny s´ırov´e. / = 1125 kg . m−3 /
1
Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: V obou pˇr´ıpadech zkumavka plave, plat´ı tedy rovnost t´ıhov´e a vztlakov´e s´ıly FG = Fvz Oznaˇcme V1 objem ˇc´asti zkumavky ponoˇren´ y do vody a V2 objem ˇc´asti zkumavky ponoˇren´ y do kyseliny. Oznaˇcme 1 hustotu vody a 2 hustotu kyseliny. Plat´ı, ˇze mg = V1 1 g mg = V2 2 g a tedy tak´e V1 1 g = V2 2 g po zkr´ acen´ı g a dˇelen´ı V2 m´ame
V1 V2 Pˇritom V1 = Sh1 a V2 = Sh2 , kde S je obsahu kolm´eho pr˚ uˇrezu zkumavky a h1,2 v´ yˇska ponoˇren´e ˇc´asti zkumavky. Dost´ av´ ame tak, ˇze Sh1 2 = 1 Sh2 h1 . = 1125 kg/m3 . 2 = 1 h2 2 = 1
Pˇ r´ıklad 5. Jakou nejvˇetˇs´ı hmotnost m˚ uˇze m´ıt ˇclovˇek, m´a-li ho ve vodˇe un´est z´achrann´ y p´ as z korku o hmotnosti 2,0 kg? S ohledem na to, aby hlava byla nad vodou, uvaˇzujte hmotnost ˇclovˇeka o 20% menˇs´ı neˇz jakou unese z´achrann´ y p´ as. Pr˚ umˇern´a hustota lidsk´eho tˇela je asi 1080 kg . m−3 , hustota korku je −3 220 kg . m , hustota vody je 1000 kg . m−3 . /m = 77 kg/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Spoˇcteme nejprve hmotnost ˇclovˇeka tak, aby, pokud je cel´ y pod vodou a m´ a nasazen´ y korkov´ y p´ as, ve vodˇe ploval. Na ˇclovˇeka p˚ usob´ı t´ıhov´ a s´ıla FG1 = V l g, kde V je objem lidsk´eho tˇela a l = 1080 kg . m−3 jeho pr˚ umˇern´a hustota. Na korkov´ y p´ as p˚ usob´ı t´ıhov´ a s´ıla FG2 = mk g, kde mk = 2,0 kg je hmotnost korku. Naopak, lidsk´e tˇelo je nadlehˇcov´ano silou Fvz1 = V g, kde = 1000 kg . m−3 je hustota vody, a korkov´ y p´ as je nadlehˇcov´an silou mk g k
Fvz2 = Vk g =
kde k = 220 kg . m−3 je hustota korku. T´ıhov´e a vztlakov´e s´ıly mus´ı b´ yt v rovnov´ aze, tedy plat´ı FG1 + FG2 = Fvz1 + Fvz2 po dosazen´ı V l g + mk g = V g + Oznaˇc´ıme-li ml hmotnost lidsk´eho tˇela, pak V =
ml l ,
Po zkr´ acen´ı g m´ame
ml mk + l k
ml + mk = ml − ml
a tedy
ml mk g + g l k
ml g + mk g =
Odtud vyj´ adˇr´ıme
mk g k
mk = − mk l k
ml = mk
k
−1
1−
l
l − k k l − . . . ˇ ıselnˇe ml = C´ 95,72 kg. Po odeˇcten´ı 20% m´ame 0, 8ml = 76,6 kg = 77 kg. ml = mk
2
Pˇ r´ıklad 6. Vodorovn´ ym potrub´ım prot´ek´a voda o hustotˇe = 1000 kg . m−3 v ˇsirˇs´ım m´ıstˇe rychlost´ı 1 −1 m . s . V uˇzˇs´ı ˇc´asti s tˇrikr´ at menˇs´ım pr˚ uˇrezem je tlak 5 kPa. Vypoˇc´ıtejte tlak v ˇsirˇs´ım m´ıstˇe potrub´ı, ˇ ste nejprve obecnˇe a potom ˇc´ıselnˇe. /p = kdyˇz pˇredpokl´ ad´ ame ide´aln´ı proudˇen´ı ust´ alen´e a lamin´ arn´ı. Reˇ 9 kPa/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Plat´ı rovnice kontinuity S1 v1 = S2 v2 pˇritom v´ıme, ˇze S1 = 3S2 , a tedy 3v1 = v2 a tedy
v2 = 3 m . s−1 .
Pro ide´ aln´ı proudˇen´ı plat´ı z´aroveˇ n Bernoulliho rovnice 1 1 p1 + v12 = p2 + v22 2 2 tud´ıˇz
1 p1 = p2 + (v22 − v12 ) 2
Po dosazen´ı p1 = 9 kPa. Pˇ r´ıklad 7. N´ adoba v´ alcov´eho tvaru m´ a ve stˇenˇe nad sebou dva otvory ve v´ yˇsk´ach h1 a h2 od dna. V jak´e v´ yˇsce mus´ı b´ yt hladina kapaliny nad dnem n´ adoby, aby kapalina z obou otvor˚ u dopadala do stejn´e vzd´alenosti od n´ adoby na vodorovnou rovinu, na kter´e n´adoba stoj´ı? (Vˇsechny odpory a ztr´ aty energie ˇ ste nejprve obecnˇe, potom pro hodnoty h1 = 0,3 m, h2 = 0,5 m. /x = 0,8 m/ zanedbejte.) Reˇ y je v hloubce Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Oznaˇcme x v´ yˇsku kapaliny nad dnem n´ adoby. Z otvoru ve v´ yˇsce h1 (kter´ x − h1 ) vyt´ek´a kapalina rychlost´ı v1 = 2g(x − h1 ). Z otvoru ve v´ yˇsce h2 (kter´ y je v hloubce x − h2 ) vyt´ek´a kapalina rychlost´ı v2 = 2g(x − h2 ). Proud kapaliny opisuje pˇribliˇznˇe trajektorii vodorovn´eho vrhu. Pro d´elku vodorovn´eho vrhu d pˇri poˇc´ateˇcn´ı rychlosti v z v´ yˇsky h plat´ı d=v yt Protoˇze d1 = d2 , mus´ı b´
2h1 = v2 g
v1 Po umocnˇen´ı a dosazen´ı
2h g 2h2 g
2h1 2h2 = 2g(x − h2 ) g g (x − h1 )h1 = (x − h2 )h2
2g(x − h1 )
a odtud
xh1 − h21 = xh2 − h22 xh1 − xh2 = h21 − h22 h21 − h22 h1 − h2 x = h1 + h2
x=
Pro dan´e hodnoty je x = 0,8 m. Pˇ r´ıklad 8. Zahradnick´ a hadice s vnitˇrn´ım pr˚ uˇrezem o obsahu S1 = 5,0 cm2 je na konci opatˇrena 2 n´ atrubkem s otvorem o obsahu S2 = 1,0 cm . Z n´ atrubku, kter´ y je ve v´ yˇsce h = 80 cm nad rovinou z´ahonu, trysk´ a vodorovn´ ym smˇerem voda. Proud vody dopad´ a na z´ahon ve vodorovn´e vzd´alenosti d = 2,0 m. Urˇcete: a) jak velkou rychlost´ı trysk´ a voda z n´ atrubku, b) jak velkou rychlost´ı prot´ek´a voda pr˚ uˇrezem hadice. Vnitˇrn´ı tˇren´ı vody a odpor vzduchu neuvaˇzujte. /v2 = 4,95 m . s−1 , v1 = 0,99 m . s−1 / 3
Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Proud vody opisuje pˇribliˇznˇe kˇrivku vodorovn´eho vrhu. Pro vzd´ alenost vrhu d z v´ yˇsky h rychlost´ı v2 plat´ı, ˇze 2h , d = v2 g odkud m´ ame, ˇze
g . v2 = d = 4,95 m . s−1 . 2h
Pro ide´ aln´ı proudˇen´ı plat´ı rovnice kontinuity S1 v1 = S2 v2 odkud v1 = v2 . po dosazen´ı ˇc´ıselnˇe vyjde v1 = v2 /5 = 0,99 m/s.
S2 S1
Pˇ r´ıklad 9. Voda proud´ı z hubice postˇrikovaˇce ve vodorovn´em smˇeru poˇc´ateˇcn´ı rychlost´ı 20 m . s−1 . Urˇcete, do jak´e vzd´alenosti voda dostˇr´ıkne, je-li hubice ve v´ yˇsce 1,0 m nad vodorovnou rovinou. Kolik vody proteˇce hubic´ı za 30 min, je-li pr˚ umˇer u ´ st´ı hubice 5,0 mm? /d = 9 m, V = 707 l/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Proud vody opisuje pˇribliˇznˇe trajektorii vodorovn´eho vrhu. Pro jeho d´elku plat´ı vztah 2h . d=v = 9 m. g Objem vody spoˇcteme podle vztahu V = Qv t = Svt =
πd2 . vt = 707 dm3 = 707 l. 4
Pˇ r´ıklad 10. Proud vody trysk´ a z vodorovn´e trubice o obsahu pr˚ uˇrezu 4,0 cm2 rychlost´ı 10 m . s−1 a nar´ aˇz´ı na svislou stˇenu. Vypoˇctˇete maxim´aln´ı a minim´aln´ı s´ılu, kterou voda na stˇenu m˚ uˇze p˚ usobit (z´avis´ı na odrazu od stˇeny). /Fmax = 80 N, Fmin = 40 N/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Jestliˇze voda nar´ aˇz´ı kolmo na stˇenu a odraz je pruˇzn´ y, pak se vektor jej´ı hybnosti pˇrevrac´ı a zmˇena je Δp = p − (−p) = 2p, tedy Δp = 2p = 2mv P˚ usob´ıc´ı s´ıla je 2mv Δp = Δt Δt Hmotnost vody, kter´ a proteˇce za ˇcas Δt hrdlem trubice, je Fmax =
m = V = SvΔt a tedy Fmax =
2mv = 2Sv 2 Δt
. ˇc´ıselnˇe Fmax = 80 N. V pˇr´ıpadˇe, ˇze odraz je dokonale nepruˇzn´ y (voda ztrat´ı vˇsechnu kinetickou energii a po stˇenˇe st´ek´a na zem), pak Δp = p. Stejn´ ym postupem jako v´ yˇse dostaneme vztah F =
p mv Δp = = = Sv 2 Δt Δt Δt
. ˇc´ıselnˇe Fmin = 40 N. ˇ Pˇ r´ıklad 11. (∗) Sirok´ a n´ adoba v´ alcov´eho tvaru je naplnˇena kapalinou do v´ yˇse H. V jak´e hloubce h pod hladinou mus´ıme udˇelat otvor (mal´ y oproti pr˚ uˇrezu n´adoby), aby proud kapaliny z nˇeho tryskaj´ıc´ı dopadl v rovinˇe z´akladny v´ alce nejd´ ale od n´ adoby? /h = H/2/
4
Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Proud vody tryskaj´ıc´ı z n´ adoby opisuje pˇribliˇznˇe trajektorii vodorovn´eho vrhu. Jestliˇze je otvor ve v´ yˇsce x nad zem´ı a voda trysk´a rychlost´ı v, pak pro d´elku d m´ame 2x d=v g Pro rychlost v pak plat´ı, ˇze v= po dosazen´ı m´ame
2g(H − x)
2x = 2(H − x)x d = 2g(H − x) g
Vzd´alenost d bude maxim´aln´ı, jestliˇze bude maxim´aln´ı souˇcin (H − x)x = −x2 + Hx acena vrcholem vzh˚ uru a pr´ avˇe ve sv´em Funkce y = −x2 + Hx je kvadratickou funkc´ı, jej´ıˇz parabola obr´ vrcholu nab´ yv´ a maxim´aln´ı hodnoty. Matematickou u ´pravou doplnˇen´ım na ˇctverec m´ame, ˇze 2 H H2 H2 H2 2 2 2 =− x− + −x + Hx = −(x − Hx) = − x − Hx + + 4 4 2 4 Nejvˇetˇs´ı hodnoty v´ yraz napravo nab´ yv´ a tehdy, pokud prvn´ı ˇclen je nulov´ y, tedy pokud x = H/2. Potom hloubka otvoru pod hladinou je h = H − x = H/2. Pˇ r´ıklad 12. Automobil pˇrekon´ av´ a pˇri st´ al´e rychlosti 80 km . h−1 odporovou s´ılu 0,50 kN. Obsah ˇceln´ı plochy automobilu kolm´e na smˇer j´ızdy je 3,5 m2 , hustota vzduchu je 1,3 kg . m−3 . Urˇcete souˇcinitel odporu automobilu. /C = 0,45/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Pro odporovou s´ılu plat´ı pˇribliˇzn´ y vztah F =
1 CSv 2 , 2
odkud vyj´ adˇr´ıme C=
2F . Sv 2
. ˇ ıselnˇe C = C´ 0,45. Pˇ r´ıklad 13. (∗) Ocelovou kuliˇcku o pr˚ umˇeru 25 mm uvoln´ıme tak, ˇze kles´a svisle ke dnu v dostateˇcnˇe hlubok´em jezeˇre. Na jak´e hodnotˇe se ust´al´ı jej´ı rychlost? Souˇcinitel odporu je 0,48, hustota vody 1000 kg . m−3 , hustota oceli 7800 kg . m−3 . /v = 2,17 m . s−1 / ˇ (Spatn´ y v´ ysledek v pap´ırech?) Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Na kuliˇcku p˚ usob´ı t´ıhov´ a s´ıla FG , proti n´ı pak s´ıla vztlakov´ a Fvz a odpor kapaliny FR , kter´ y povaˇzujeme za u ´ mˇern´ y druh´e mocninˇe rychlosti. Pˇri ust´ alen´e rychlosti jsou s´ıly v rovnov´ aze a plat´ı FG = Fvz + FR po dosazen´ı 1 mg = V g + CSv 2 2 2
Pro objem kuliˇcky m´ame V = 43 πr3 = 16 πd3 , pro pr˚ uˇrez S = πd4 , pro jej´ı hmotnost m = o V = 16 o πd3 . Po dosazen´ı 1 1 1 o πd3 g = πd3 g + Cπd2 v 2 6 6 8 odkud vyj´ adˇr´ıme, ˇze v=
4dg(o − ) . = 2,17 m/s. 3C
(Hodnota 1, 08 m/s by vyˇsla, pokud bychom nam´ısto pr˚ umˇeru 25 mm uvaˇzovali poloviˇcn´ı pr˚ umˇer 12,5 mm.) Pˇ r´ıklad 14. (∗) Teplovzduˇsn´ y balon povaˇzujme za kouli o pr˚ umˇeru 8,0 m. Hmotnost jeho obalu je 200 kg, teplota okoln´ıho vzduchu je 15◦ C a tlak vzduchu ˇcin´ı 1000 hPa. Vypoˇctˇete minim´aln´ı teplotu vzduchu uvnitˇr balonu, aby se zdvihnul. /t = 39◦ C/ 5
Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: DOPLNIT. Pˇ r´ıklad 15. Obsah plochy pˇr´ıˇcn´eho pr˚ uˇrezu vodorovn´eho potrub´ı se zuˇzuje z 30 cm2 na 10 cm2 . Prot´ek´ali potrub´ım voda, ukazuj´ı manometrick´e trubice um´ıstˇen´e v ˇsirˇs´ı a v uˇzˇs´ı ˇc´asti potrub´ı rozd´ıl hladin 40 cm. Urˇcete velikost rychlosti v ˇsirˇs´ı a v uˇzˇs´ı ˇc´asti potrub´ı. /v1 = 1,0 m . s−1 , v2 = 3,0 m . s−1 / Δh
Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Pro ust´alen´e proudˇen´ı plat´ı rovnice kontinuity S1 v1 = S2 v2 po dosazen´ı a zkr´ acen´ı m´ame, ˇze 3v1 = v2 . Pro ide´ aln´ı proudˇen´ı plat´ı Bernoulliho rovnice 1 1 p1 + v12 = p2 + v22 , 2 2 Po dosazen´ı z pˇredchoz´ıho vztahu 1 p1 + v12 = p2 + 2 9 p1 − p2 = v12 − 2
9 2 v , 2 1 1 2 v , 2 1
p1 − p2 = 4v12 , odkud vyj´ adˇr´ıme, ˇze
v1 =
p1 − p2 4
Pˇritom p1 = h1 g a p2 = h2 g, tud´ıˇz p1 − p2 = (h1 − h2 )g. V´ıme, ˇze rozd´ıl hladin je h1 − h2 = 40 cm = 0,4 m. Tud´ıˇz (h1 − h2 )g (h1 − h2 )g . = = 1,0 m/s. v1 = 4 4 V´ıme, ˇze v2 = 3v1 = 3,0 m/s. Pˇ r´ıklad 16. Do trubice tvaru U s obˇema otevˇren´ ymi konci je nalita rtut’. Jak vysok´ y sloupec vody mus´ıme nal´ıt do jednoho ramene, aby rtut’ ve druh´em rameni byla o 2,0 cm v´ yˇse neˇz rtut’ v rameni prvn´ım. Hustota vody je 1000 kg . m−3 , hustota rtuti 13 550 kg . m−3 . /h =27 cm/ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Tlak vodn´ıho sloupce mus´ı vyv´ aˇzit tlak rtut’ov´eho sloupce nad spoleˇcnou hladinou rtuti v obou ramenech. Plat´ı, ˇze h v v g = h r r g tedy hv = hr
r v
kde hv je v´ yˇska vodn´ıho sloupce, hr = 2,0 cm v´ yˇska rtut’ov´eho sloupce, v hustota vody a r hustota . rtuti. Po dosazen´ı dosteneme ˇc´ıselnˇe hv = 27,1 cm. Pˇ r´ıklad 17. (∗) Na konci homogenn´ı tyˇcky o hmotnosti 4,0 g je na tenk´e niti zavˇeˇsena pln´a hlin´ıkov´ a kuliˇcka o polomˇeru 0,50 cm. Tyˇcku podepˇreme o okraj n´ adoby s vodou tak, aby byla v rovnov´ aˇzn´e poloze, jestliˇze je kuliˇcka ponoˇrena do vody pr´ avˇe polovinou sv´eho objemu. Urˇcete, v jak´em pomˇeru jsou d´elky l1 , l2 . Hustota hlin´ıku je 2,7 . 103 kg . m−3 . /l2 : l1 = 1,58 : 1/ 6
l2
l1
Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: DOPLNIT. Pˇ r´ıklad 18. (∗) Do otevˇren´e v´alcov´e n´ adoby pˇrit´ek´a plynule voda tak, ˇze za 1,0 s pˇriteˇce 0,50 l. Ve dnˇe yˇsce se ust´al´ı voda v n´ adobˇe? /h = 31 cm/ n´ adoby je otvor o obsahu pr˚ uˇrezu 2,0 cm2 . V jak´e v´ Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Je-li v n´ adobˇe v´ yˇska vody h, pak otvorem na dnˇe vyt´ek´a voda rychlost´ı v = 2gh a objemov´ y pr˚ utok vyt´ekaj´ıc´ı vody je QV = Sv = S Umocn´ıme-li, dostaneme
2gh
Q2V = 2ghS 2
a odtud h=
Q2V 2gS 2
Protoˇze objemov´ y pr˚ utok vyt´ekaj´ıc´ı vody je stejn´ y jako pˇrit´ekaj´ıc´ı vody, tj. QV = 0, 5 l/s = 0,000 5 m3 /s, . . vyjde po dosazen´ı ˇc´ıselnˇe h = 0, 3125 m = 31 cm.
7
