Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
Pˇ r´ıklad 1 Zad´ an´ı u ´ lohy Do dan´e kruhov´e v´ yseˇce s ostr´ ym stˇredov´ ym u ´hlem vepiˇste kruˇznici (obr. 1).
M
k
S
l N V
[obr. 1]
Rozbor Oblouk l a hledan´a kruˇznice k se dot´ ykaj´ı v bodˇe T , maj´ı proto v tomto bodˇe spoleˇcnou teˇcnu t. Teˇcna t protne polopˇr´ımky V M, V N v bodech A, B. Hled´ ame tedy kruˇznici vepsanou troj´ uheln´ıku AV B.
Opakov´ an´ı uˇ ziteˇ cn´ ych pojm˚ u a vlastnost´ı Mnoˇ zina stˇ red˚ u kruˇ znic, kter´ e se dot´ ykaj´ı dvou dan´ ych r˚ uznobˇ eˇ zek, jsou osy u ´ hl˚ u, kter´ e tyto r˚ uznobˇ eˇ zky sv´ıraj´ı (obr. 2).
a
S3
S2 S1 V o1 b
o2
[obr. 2]
1
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
Konstrukce (obr. 3)
M
l
N V
[obr. 3] Sestroj´ıme osu o u ´hlu M V N a urˇc´ıme pr˚ useˇc´ık T s kruhov´ ym obloukem l. V bodˇe T sestroj´ıme kolmici k ose o a vyznaˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky A, B s polopˇr´ımkami V M, V N . Vznikl´ y troj´ uheln´ık AV B je zˇrejmˇe rovnoramenn´ y se z´ akladnou AB. Sestroj´ıme osu o0 vnitˇrn´ıho u ´hlu V AB troj´ uheln´ıka AV B, pr˚ useˇc´ık s osou o je stˇred S hledan´e kruˇznice k. Chceme-li nar´ ysovat kruˇznici, kter´ a se dot´ yk´ a dan´e pˇr´ımky, mus´ıme nejdˇr´ıv naj´ıt bod dotyku na t´eto pˇr´ımce. Vedeme proto bodem S kolmice na pˇr´ımky V A, V B, z´ısk´ ame body dotyku P, Q. Nar´ ysujeme kruˇznici k se stˇredem S a polomˇerem dan´ ym velikost´ı u ´seˇcky napˇr. ST .
2
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
Pˇ r´ıklad 2 Zad´ an´ı u ´ lohy Kruˇznice k1 , k2 se prot´ınaj´ı v bodech P, Q, kter´ ymi proch´azej´ı dalˇs´ı seˇcny AC, BD. Rozhodnˇete, jakou vz´ajemnou polohu maj´ı pˇr´ımky AB, CD (obr. 1). C k1
P
A
k2 S1
B
S2
Q
D
[obr. 1]
Opakov´ an´ı uˇ ziteˇ cn´ ych pojm˚ u a vlastnost´ı Pro vyˇreˇsen´ı u ´lohy je tˇreba si nejdˇr´ıve ujasnit nˇekter´e n´asleduj´ıc´ı souvislosti: Dvˇe pˇr´ımky v rovinˇe mohou b´ yt spl´ yvaj´ıc´ı, rovnobˇeˇzn´e nebo r˚ uznobˇeˇzn´e. Zvolme si dvˇe rovnobˇeˇzky m k n, kter´e prot´ın´a pˇr´ımka p v bodech M, N . Na pˇr´ımce m si libovolnˇe vyznaˇc´ıme bod R a na pˇr´ımce n body S, T (obr. 2). p R
M
m
α
180◦ −α
α T
N
n S
[obr. 2] ´ Uhly RM N a M N T se naz´ yvaj´ı stˇ r´ıdav´ e a plat´ı pro nˇe vˇeta: pˇ r´ımky m, n jsou rovnobˇ eˇ zn´ e, pr´ avˇ e kdyˇ z jsou ◦ ´ ´ stˇ r´ıdav´ eu ´hly shodn´ e . Uhel M N S je doplˇ nkov´ yku ´hlu M N T , m´a tedy velikost 180 − α. Uhly RM N , M N S se naz´ yvaj´ı pˇ rilehl´ e a plat´ı pro nˇe vˇeta: pˇ r´ımky m, n jsou rovnobˇ eˇ zn´ e, pr´ avˇ e kdyˇ z je souˇ cet pˇ rilehl´ ych u ´hl˚ u roven 180◦ . Zvolme si kruˇznici k o stˇredu S a jej´ı tˇetivu AB (obr. 3). Pokud u ´seˇcka AB nen´ı pr˚ umˇerem dan´e kruˇznice, rozdˇel´ı kruˇznici k na dva oblouky: vˇetˇs´ı l1 odpov´ıdaj´ıc´ı nekonvexn´ımu stˇ redov´ emu u ´ hlu ASB = 360◦ − ϕ a menˇs´ı l2 odpov´ıdaj´ıc´ı konvexn´ımu stˇredov´emu u ´hlu ASB = ϕ. Na oblouku l1 zvol´ıme libovolnˇe body X1 , X2 , X3 , na oblouku l2 body X4 , X5 . ´ Uhly AX1 B, AX2 B, AX3 B, AX4 B, AX5 B se naz´ yvaj´ı obvodov´ e a plat´ı pro nˇe vˇeta: vˇ sechny obvodov´ e u ´hly pˇ r´ısluˇ sn´ e t´ emuˇ z stˇ redov´ emu u ´hlu jsou shodn´ e a jejich velikost se rovn´ a polovinˇ e velikosti tohoto stˇ redov´ eho u ´hlu.
1
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
´ Uhly AX1 B, AX2 B, AX3 B jsou tedy shodn´e a maj´ı velikost rovnu α = ◦ ◦ do 180 , tj. 180◦ − α = 3602 −ϕ .
ϕ 2,
u ´hly AX4 B, AX5 B maj´ı velikost doplˇ nkovou
l1
X2 α X3 α
k
360◦ −ϕ X1
S
α
ϕ
A
p
B 180◦ −α
180◦ −α X5
X4
[obr. 3]
l2
ˇ sen´ı u Reˇ ´ lohy Vyznaˇc´ıme v dan´ ych kruˇznic´ıch k1 , k2 tˇetivy AQ, CQ (obr. 4). Protoˇze body P , B leˇz´ı na r˚ uzn´ ych oblouc´ıch kruˇznice k1 urˇcen´ ych tˇetivou AQ, m´ a obvodov´ yu ´hel AP Q velikost α, obvodov´ yu ´hel ABQ m´a velikost 180◦ − α. ´ ´ Uhel CP Q jako doplˇ nkov´ yku ´hlu AP Q m´ a velikost 180◦ − α. Uhly CP Q, CDQ jsou obvodov´e u ´hly kruˇznice k2 , body ´ P, D leˇz´ı na r˚ uzn´ ych oblouc´ıch urˇcen´ ych tˇetivou CQ. Uhel CDQ m´a tedy velikost α. ´ Pˇr´ımky AB, CD jsou protnuty pˇr´ımkou BD. Uhly ABQ, CDQ jsou pˇrilehl´e, souˇcet jejich velikost´ı je 180◦ .
C k1
P
A
k2 S1
B
S2
Q
D
[obr. 4] Z´ avˇer: pˇ r´ımky AB, CD jsou rovnobˇ eˇ zn´ e.
2
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
Pˇ r´ıklad 3 Zad´ an´ı u ´ lohy Na dan´e pˇr´ımce p sestrojte bod A, kter´ y m´ a od dotykov´eho bodu teˇcny j´ım veden´e k dan´e kruˇznici k(S, r) danou vzd´alenost d (obr. 1). T k d
S
p
A
[obr. 1]
Rozbor Zvol´ıme libovolnou kruˇznici k(S, r), na n´ı dva libovoln´e body Q, R. V bodech Q, R sestroj´ıme teˇcny b, a, na tˇechto pˇr´ımk´ach sestroj´ıme body E, F, G, H tak, aby u ´seˇcky EQ, F Q, GR, HR mˇely stejnou velikost d (obr. 2). E H
d Q
d
d
R
F S b
d
G a
k
[obr. 2]
Troj´ uheln´ıky EQS, F QS, GRS, HRS jsou shodn´e, protoˇze jsou pravo´ uhl´e a odpov´ıdaj´ıc´ı odvˇesny maj´ı stejnou velikost. Proto jsou shodn´e tak´e pˇrepony tˇechto troj´ uheln´ık˚ u a body E, F, G, H maj´ı od bodu S stejnou vzd´alenost. Mnoˇ zina bod˚ u, leˇ z´ıc´ıch na teˇ cn´ ach dan´ e kruˇ znice k(S, r), kter´ e maj´ı od bod˚ u dotyku danou vzd´ alenost d, √ 0 0 2 2 je kruˇ znice l(S, r ), kde r = r + d .
1
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
Konstrukce (obr. 3)
k
S
p
[obr. 3] Na dan´e kruˇznici k zvol´ıme libovoln´ y bod M a v tomto bodˇe sestroj´ıme teˇcnu t dan´e kruˇznice. Na pˇr´ımce t sestroj´ıme bod N tak, aby u ´seˇcka M N mˇela poˇzadovanou velikost d. Op´ıˇseme kruˇznici l se stˇredem S proch´azej´ıc´ı bodem N . Kruˇznice l protne danou pˇr´ımku p v bodech A, A0 . Pro ovˇeˇren´ı m˚ uˇzeme body A, A0 v´est teˇcny ke kruˇznici k – spoj´ıme body A, A0 se stˇredem S, najdeme stˇredy u ´seˇcek AS, 0 0 0 A S a op´ıˇseme Thaletovy kruˇznice nad pr˚ umˇery AS, A S – a na kruˇznici k sestrojit body dotyku T, T .
2
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
Pˇ r´ıklad 4 Zad´ an´ı u ´ lohy Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, je-li d´ ano: a = 9, vb = 5, ta = 3 (obr. 1). A
B
C
[obr. 1]
Rozbor V´ yˇ ska vb je kolmice na stranu AC, bod P je pata t´eto kolmice, u ´hel BP C je prav´ y. Tˇ eˇ znice ta je spojnice bodu A se stˇredem Q protˇejˇs´ı strany BC troj´ uheln´ıka ABC.
Konstrukce (obr. 2)
B
a
C
[obr. 2] Sestroj´ıme pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık BCP : nar´ ysujeme u ´seˇcku BC, jej´ıˇz velikost je a = 9, urˇc´ıme stˇred Q t´eto u ´seˇcky a a nar´ ysujeme Thaletovu kruˇznici t(Q, 2 = |BQ| = 4,5). Op´ıˇseme kruˇznici n(B, vb = 5). Pr˚ useˇc´ık kruˇznic t, n je bod P . Sestroj´ıme polopˇr´ımku CP . Sestroj´ıme kruˇznici k(Q, ta = 3). Vyznaˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky A, A0 kruˇznice k a polopˇr´ımky CP . Nar´ ysujeme troj´ uheln´ıky ABC, A0 BC.
Diskuse ´ Uloha m´a vzhledem k zad´ an´ı dvˇe ˇreˇsen´ı v jedn´e polorovinˇe urˇcen´e pˇr´ımkou BC.
1
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
Pˇ r´ıklad 5 Zad´ an´ı u ´ lohy Sestrojte rovnobˇeˇzn´ık ABCD, je-li d´ ana v´ yˇska va = 4 a u ´hlopˇr´ıˇcky AC = e, BD = f maj´ı d´elky e = 12, f = 6 (obr. 1). D
C f va
e S
A
B
[obr. 1]
Rozbor Rovnobˇ eˇ zn´ık je ˇctyˇru ´heln´ık, jehoˇz kaˇzd´e dvˇe protˇejˇs´ı strany jsou rovnobˇeˇzn´e. D´ale plat´ı, ˇze protˇejˇs´ı strany maj´ı stejnou velikost a jeho u ´hlopˇr´ıˇcky se navz´ ajem p˚ ul´ı, coˇz znamen´a, ˇze jejich pr˚ useˇc´ık S je stˇred kaˇzd´e u ´hlopˇr´ıˇcky. Bod P je pata v´ yˇsky va veden´e bodem D. Bod R leˇz´ı na stranˇe AB tak, ˇze u ´seˇcka SR je na ni kolm´a. Stˇ redn´ı pˇ r´ıˇ cka troj´ uheln´ıka je spojnice stˇred˚ u dvou stran a plat´ı, ˇze je rovnobˇeˇzn´a s tˇret´ı stranou, jej´ımˇz stˇredem neproch´az´ı, a jej´ı velikost je rovna polovinˇe velikosti t´eto strany. V troj´ uheln´ıku DP B je bod S stˇred strany BD a u ´seˇcka SR je rovnobˇeˇzn´a se stranou DP , je to tedy stˇredn´ı pˇr´ıˇcka troj´ uheln´ıka DP B. Velikost u ´seˇcky SR m´ a proto velikost rovnu polovinˇe d´elky va .
Konstrukce (obr. 2)
S
A
R
[obr. 2] Sestroj´ıme pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık ARS s prav´ ym u ´hlem pˇri vrcholu P , kde |AS| =
e 2
= 6, |SR| =
va 2
= 2.
Bod B m´a od bodu S vzd´ alenost rovnu polovinˇe d´elky u ´hlopˇr´ıˇcky f . Sestroj´ıme kruˇznici k(S, f2 = 3). Kruˇznice k protne pˇr´ımku AR v bodech B, B 0 . Na polopˇr´ımk´ach AS, BS, B 0 S sestroj´ıme body C, D, D0 tak, ˇze |CS| = |AS|, |DS| = |SB|, |D0 S| = |B 0 S|.
Diskuse ´ Uloha m´a dvˇe ˇreˇsen´ı.
1
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
Pˇ r´ıklad 6 Zad´ an´ı u ´ lohy Je d´an ostr´ yu ´hel AVB. Sestrojte kruˇznici dan´eho polomˇeru r, kter´a se dot´ yk´a polopˇr´ımek VA, VB (obr. 1). B
r S
k r
V
A
[obr. 1]
Opakov´ an´ı uˇ ziteˇ cn´ ych pojm˚ u a vlastnost´ı Mnoˇ zina stˇ red˚ u kruˇ znic, kter´ e se dot´ ykaj´ı dvou dan´ ych r˚ uznobˇ eˇ zek, jsou osy u ´ hl˚ u, kter´ e tyto r˚ uznobˇ eˇ zky sv´ıraj´ı (obr. 2). o′ k2
S2
p
S1
o
S3
k1
k3
q
k4 S4
[obr. 2] Stˇ redy kruˇ znic dan´ eho polomˇ eru, kter´ e se dot´ ykaj´ı dan´ e pˇ r´ımky, jsou dvˇ e rovnobˇ eˇ zky s touto pˇ r´ımkou (obr. 3). k1
k2
k3
S1
S2
S3
T1
T2
T3
m
[obr. 3]
1
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
Konstrukce (obr. 4) B
V
A
[obr. 4] Sestroj´ıme osu o dan´eho u ´hlu AVB. Na polopˇr´ımce VA zvol´ıme libovoln´ y bod T 0 , vedeme kolmici k pˇr´ımce VA, urˇc´ıme 0 0 0 bod S uvnitˇr u ´hlu AVB a sestroj´ıme kruˇznici k (S , r). Stˇred S hledan´e kruˇznice najdeme v posunut´ı, jehoˇz smˇer je d´an pˇr´ımkou VA tak, aby bod S leˇzel na ose o. Sestroj´ıme kruˇznici k(S, r).
Diskuse ´ Uloha m´a jedno ˇreˇsen´ı.
2
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
Pˇ r´ıklad 7 Zad´ an´ı u ´ lohy Jsou d´any soustˇredn´e kruˇznice k1 (S, r1 ), k2 (S, r2 ), r1 < r2 , a bod R ∈ k1 . Sestrojte rovnobˇeˇzn´ık ABCD o stˇredu R, jehoˇz vrcholy leˇz´ı na dan´ ych kruˇznic´ıch (obr. 1).
C
D
B
R S
k1 A k2
[obr. 1]
Rozbor ´ Uhlopˇ r´ıˇcky rovnobˇeˇzn´ıka se navz´ ajem p˚ ul´ı, to znamen´a, ˇze ve stˇredov´e soumˇernosti urˇcen´e stˇredem R je bod C obrazem bodu A a bod D je obrazem bodu B. Protoˇze body A, D leˇz´ı na kruˇznici k1 , leˇz´ı jejich obrazy B, C na kruˇznici k10 , kter´a je obrazem kruˇznice k1 ve stˇredov´e soumˇernosti dan´e bodem R.
Konstrukce (obr. 2)
R S k1
k2
[obr. 2] V soumˇernosti dan´e bodem R sestroj´ıme bod S 0 . Sestroj´ıme kruˇznici k10 (S 0 , r1 ). Vyznaˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky B, C kruˇznic k10 , k2 , sestroj´ıme jejich obrazy D, A na kruˇznici k1 a dopln´ıme na rovnobˇeˇzn´ık ABCD.
1
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
Diskuse ˇ sen´ı z´avis´ı na poˇctu pr˚ Reˇ useˇc´ık˚ u kruˇznic k10 , k2 . Je-li r2 < 3r1 , protnou se obˇe kruˇznice ve dvou bodech a u ´loha m´a jedno ˇreˇsen´ı (obr. 3), je-li r2 > 3r1 , u ´loha nem´a ˇreˇsen´ı (obr. 4). Pro r2 = 3r1 maj´ı tyto kruˇznice vnitˇrn´ı dotyk, tedy jedin´ y spoleˇcn´ y bod a ˇctyˇru ´heln´ık nelze sestrojit (obr. 5).
C r2 r2
r1
r1
S′
r1 S
S′
r1
R
R k1′
S
B k1
k1
k1′ k2
k2
[obr. 3]
[obr. 4]
k2
T S′ R S
k1′
k1
[obr. 5]
2
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
Pˇ r´ıklad 8 Zad´ an´ı u ´ lohy Jsou d´any tˇri r˚ uzn´e pˇr´ımky o1 , o2 , o3 proch´ azej´ıc´ı bodem P a na pˇr´ımce o1 je d´an bod A 6= P . Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, jehoˇz osy vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u leˇz´ı na pˇr´ımk´ ach o1 , o2 , o3 (obr. 1). C o1 o2 P B
A o3
[obr. 1]
Rozbor Pˇr´ımka o3 je osou u ´hlu ACB, je tedy tak´e osou soumˇernosti pˇr´ımek AC, BC. Bod A pˇr´ımky AC se v osov´e soumˇernosti dan´e osou o3 zobraz´ı do bodu A0 na pˇr´ımce BC. Podobnˇe v osov´e soumˇernosti dan´e osou o2 se pˇr´ımka AB zobraz´ı na pˇr´ımku BC. Bod A0 se v t´eto soumˇernosti zobraz´ı do bodu A00 na pˇr´ımce AB.
Konstrukce (obr. 2)
o1 o2 P
A o3
[obr. 2]
V osov´e soumˇernosti dan´e osou o3 sestroj´ıme bod A0 jako obraz bodu A. V osov´e soumˇernosti dan´e osou o2 sestroj´ıme bod A00 jako obraz bodu A0 . Bod B je pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky AA00 s osou o2 . Bod C je pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky BA0 s osou o3 . Dopln´ıme na troj´ uheln´ık ABC.
1
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
Pˇ r´ıklad 9 Zad´ an´ı u ´ lohy Je d´ana kruˇznice k(S, r) a pˇr´ımka p proch´ azej´ıc´ı jej´ım stˇredem S. Na pˇr´ımce p je d´an bod M , kter´ y leˇz´ı vnˇe kruˇznice k. Sestrojte kruˇznici h tak, aby se dot´ ykala pˇr´ımky p v bodˇe M a kruˇznice k (obr. 1).
h k O
S
p
M
[obr. 1]
Opakov´ an´ı uˇ ziteˇ cn´ ych pojm˚ u a vlastnost´ı Mnoˇ zinou stˇ red˚ u kruˇ znic, kter´ e se dot´ ykaj´ı dan´ e pˇ r´ımky p v jej´ım dan´ em bodˇ e M , je pˇ r´ımka o ⊥ p, M ∈ o (obr. 2). o
p
M
[obr. 2] Dvˇe kruˇznice k, k 0 , kter´e se navz´ ajem dot´ ykaj´ı v bodˇe T , jsou stejnolehl´ e , kde bod T je stˇ redem stejnolehlosti . 0 0 0 Kaˇzd´emu bodu A na kruˇznici k je pˇriˇrazen bod A na kruˇznici k tak, ˇze spojnice bod˚ u A, A proch´az´ı bodem T (obr. 3 resp. 0 0 0 4 pro vnˇejˇs´ı resp. vnitˇrn´ı dotyk kruˇznic k, k ). Pˇritom je SA k S A .
A
A′
k′ A T
S
S′
S′
T
S k
k′ k A′
[obr. 3]
[obr. 4]
1
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
Konstrukce (obr. 5)
S
M
p
k
[obr. 5] Pouˇzijeme stejnolehlost se stˇredem v nezn´ am´em bodˇe T kruˇznice k, vyuˇzijeme vlastnosti stejnolehlosti. Sestroj´ıme pˇr´ımku o kolmou k pˇr´ımce p jdouc´ı bodem M . Pˇr´ımce o jdouc´ı nezn´ am´ ym stˇredem kruˇznice h odpov´ıd´a pˇr´ımka o0 jdouc´ı bodem S, pˇr´ımky o, o0 jsou rovnobˇeˇzn´e. Vyznaˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky M1 , M2 pˇr´ımky o0 s kruˇznic´ı k. Jsou to obrazy bodu M ve stejnolehlosti se stˇredem v bodˇe dotyku T . Urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky T1 , T2 pˇr´ımek M M1 , M M2 s kruˇznic´ı k. Stˇredy O1 , O2 hledan´ ych kruˇznic h1 , h2 jsou pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımek ST1 , ST2 s pˇr´ımkou o. Nar´ ysujeme kruˇznice h1 , h2 o stˇredech O1 , O2 , polomˇer je urˇcen velikost´ı u ´seˇcky M O1 .
2
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
Pˇ r´ıklad 10 Zad´ an´ı u ´ lohy Je d´ana pˇr´ımka p, kruˇznice k(S, r) a bod A. Sestrojte troj´ uheln´ık ABC s u ´hlem BAC o velikosti 60◦ tak, aby jeho vrchol B leˇzel na pˇr´ımce p, vrchol C na kruˇznici k a aby velikost strany AC byla dvojn´asobkem velikosti strany AB (obr. 1). k
S A C
p
B
[obr. 1]
Opakov´ an´ı uˇ ziteˇ cn´ ych pojm˚ u a vlastnost´ı Vzd´alenost bodu A od pˇr´ımky p urˇc´ıme jako velikost u ´seˇcky AP , kde bod P je pata kolmice veden´e bodem A na pˇr´ımku p. Sestroj´ıme pˇr´ımku p0 k p, A 6∈ p0 , tak, aby vzd´alenost rovnobˇeˇzek byla rovna vzd´alenosti bodu A od pˇr´ımky p, tedy |AP | = |P P 0 |, kde P 0 ∈ p0 . (obr. 2). Zvol´ıme libovoln´ y bod X na pˇr´ımce p a sestroj´ıme bod X 0 jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek p0 a AX. Z podobnosti troj´ uheln´ık˚ u 0 0 plyne, ˇze u ´seˇcka AX je dvakr´ at vˇetˇs´ı neˇz u ´seˇcka AX, tj. |AX | = 2|AX|. A
X
P p
X′
P′
p′
[obr. 2]
Otoˇ cen´ı je shodn´e zobrazen´ı dan´e stˇ redem a orientovan´ ym u ´hlem. V otoˇcen´ı se stˇredem v bodˇe A a u ´hlem −60◦ se zobraz´ı bod B 0 , kde |AB 0 | = 2|AB|, do bodu C (obr. 3).
1
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Planimetrie
A C
60◦
B
B′
P
P′
[obr. 3]
Konstrukce (obr. 4) k
S A
p
[obr. 4] Bodem A vedeme kolmici na pˇr´ımku p, urˇc´ıme patu kolmice P a sestroj´ıme pˇr´ımku p0 k p, kter´a protne kolmici v bodˇe P tak, ˇze |P P 0 | = |AP |. 0
Zobraz´ıme pˇr´ımku p0 v otoˇcen´ı o stˇredu A a u ´hlu −60◦ . Otoˇc´ıme bod P 0 do bodu P1 a otoˇcen´a pˇr´ımka p1 je kolm´a na pˇr´ımku AP1 . Vyznaˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky C1 , C2 pˇr´ımky p1 s kruˇznic´ı k. Pˇr´ımky AC1 , AC2 otoˇc´ıme zpˇet kolem bodu A o u ´hel +60◦ a na pˇr´ımce p z´ısk´ame body B1 , B2 . Vyznaˇc´ıme troj´ uheln´ıky AB1 C1 , AB2 C2 .
Diskuse Pokud pˇr´ımka p1 protne kruˇznici k ve dvou bodech, m´a u ´loha dvˇe ˇreˇsen´ı, pokud je p1 teˇcnou kruˇznice k, je jedno ˇreˇsen´ı, a kdyˇz ji neprotne, nem´ au ´loha ˇreˇsen´ı.
2
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Stereometrie
Pˇ r´ıklad 11 Zad´ an´ı u ´ lohy Do pravideln´eho ˇctyˇrbok´eho jehlanu ABCDV vepiˇste krychli M N P QRT U Z tak, aby ˇctyˇri vrcholy krychle leˇzely v rovinˇe podstavy jehlanu a dalˇs´ı ˇctyˇri na jeho boˇcn´ıch hran´ach (obr. 1). V
Z
U
R
T C
D
Q
P S
M
N
A
[obr. 1]
B
Geometrick´e u ´tvary v prostoru zobrazujeme ve voln´em rovnobˇeˇzn´em prom´ıt´ an´ı, kter´e m´a n´asleduj´ıc´ı vlastnosti: • obrazce leˇz´ıc´ı v pr˚ uˇceln´e rovinˇe (rovinˇe rovnobˇeˇzn´e s n´akresnou, tedy tabul´ı nebo seˇsitem) r´ ysujeme ve skuteˇcn´e velikosti, • u ´seˇcky kolm´e k pr˚ uˇceln´e rovinˇe zobrazujeme v poloviˇcn´ı velikosti tak, ˇze sv´ıraj´ı s vodorovn´ ymi pˇr´ımkami u ´hel 45◦
Rozbor ´ cka V S, kde S je stˇred podstavy jehlanu, leˇz´ı v pr˚ Useˇ uˇceln´e rovinˇe. Hrany AB, CD jehlanu jsou s pr˚ uˇceln´ı rovinou rovnobˇeˇzn´e. Pˇr´ımka veden´ a bodem S rovnobˇeˇznˇe s AB protne hrany AD, BC v bodech K, L a hrany M Q, N P v bodech E, F . Spojnice KV, LV leˇz´ı v boˇcn´ıch stˇen´ ach jehlanu stejnˇe jako hrany krychle RU, ST . Pˇr´ımky KV, LV protnou tyto hrany krychle v bodech G, H. Rovina troj´ uheln´ıka KLV je v pr˚ uˇceln´e poloze a protne krychli ve ˇctverci EF GH, kter´ y je shodn´ y se stˇenou M N T R (obr. 2). ˇ Ctverec EF GH je tedy veps´ an do rovnoramenn´eho troj´ uheln´ıka KLV . V
H
K
E
G
S
F
L
[obr. 2]
1
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Stereometrie
´ Uloha vepsat ˇctverec EF GH do troj´ uheln´ıka KLV se ˇreˇs´ı uˇzit´ım stejnolehlosti se stˇredem v bodˇe V : Na stranˇe KV zvol´ıme libovoln´ y bod H 0 , sestroj´ıme bod G0 na hranˇe LV a dopln´ıme na ˇctverec E 0 F 0 G0 H 0 . Pˇr´ımky 0 E V, F V protnou u ´seˇcku KL v bodech E, F . Dopln´ıme na ˇctverec EF GH. 0
Konstrukce (obr. 3) V
C D
S
A
B
[obr. 3]
Stˇredem S podstavy jehlanu vedeme rovnobˇeˇzku s AB, na hran´ach AD, BC urˇc´ıme body K, L a vyznaˇc´ıme troj´ uheln´ık KLV . Na hranˇe KL zvol´ıme libovolnˇe bod H 0 a sestroj´ıme ˇctverec E 0 F 0 G0 H 0 tak, aby u ´seˇcka H 0 G0 byla rovnobˇeˇzn´a s u ´seˇckou 0 AB a bod G leˇzel na u ´seˇcce LV . Urˇc´ıme body E, F jako pr˚ useˇc´ıky u ´seˇcky KL se spojnicemi E 0 V, F 0 V . Sestroj´ıme rovnobˇeˇzky se stranou BC proch´ azej´ıc´ı body E, F a na u ´hlopˇr´ıˇck´ach AC, BD podstavy jehlanu dostaneme body M, N, P, Q. Body M, N, P, Q vedeme rovnobˇeˇzky s pˇr´ımkou V S a na boˇcn´ıch hran´ach jehlanu obdrˇz´ıme body R, T, U, Z. Dopln´ıme na krychli.
2
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Stereometrie Q
D′
Pˇ r´ıklad 12
C′
Zad´ an´ı u ´ lohy A′ 0
0
0
B′
0
Je d´ an pravideln´ y ˇctyˇrbok´ y hranol ABCDA B C D a body K na hranˇe AA0 , L na hranˇe BB 0 , M na hranˇe CC 0 a body P na hranˇe AB a Q na hranˇe C 0 D0 . Sestrojte pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky P Q s rovinou urˇcenou body KLM (obr. 1).
M K D
C
[obr. 1] L
Rozbor
A
P
B
Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky s rovinou urˇcujeme n´ asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: pˇr´ımkou proloˇz´ıme libovolnou rovinu, sestroj´ıme pr˚ useˇcnici zvolen´e a dan´e roviny, pr˚ useˇc´ık pr˚ useˇcnice a dan´e pˇr´ımky je hledan´ y bod.
Konstrukce (obr. 2)
Q
D′
A′
C′
B′
M K D
C
L A
P
B
[obr. 2]
Nejdˇr´ıve sestroj´ıme ˇrez hranolu rovinou KLM . Jsou-li dvˇe rovnobˇeˇzn´e roviny protnuty tˇret´ı rovinou, jsou obˇe pr˚ useˇcnice ˇ s obˇema rovinami tak´e rovnobˇeˇzn´e. Rezem hranolu danou rovinou je tedy rovnobˇeˇzn´ık KLM N , kde bod N leˇz´ı na hranˇe DD0 a u ´seˇcky LM, KN jsou navz´ ajem rovnobˇeˇzn´e. Pˇr´ımkou P Q m˚ uˇzeme v´est nekoneˇcnˇe mnoho rovin, u ´lohu nejrychleji vyˇreˇs´ıme, zvol´ıme-li rovinu rovnobˇeˇznou s boˇcn´ımi hranami hranolu. Body P, Q vedeme rovnobˇeˇzky s hranou AA0 , na hran´ach CD, A0 B 0 z´ısk´ame body R, S. Zvolen´a rovina proch´azej´ıc´ı pˇr´ımkou P Q prot´ın´ a hranol v obd´eln´ıku P RQS. Pˇr´ımky KL, P S leˇz´ı v t´eˇze rovinˇe pˇredn´ı stˇeny hranolu, jsou tedy r˚ uznobˇeˇzn´e a prot´ınaj´ı se v bodˇe E. Podobnˇe pˇr´ımky M N, QR leˇz´ıc´ı v rovinˇe zadn´ı stˇeny hranolu se prot´ınaj´ı v bodˇe F . Pˇr´ımka EF je pr˚ useˇcnic´ı rovin KLM, P RQ. Vyznaˇc´ıme pr˚ useˇc´ık X pˇr´ımek P Q a EF .
1
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Stereometrie
Pˇ r´ıklad 13 Zad´ an´ı u ´ lohy V krychli ABCDA0 B 0 C 0 D0 jsou d´ any body L, M, N jako stˇredy hran AB, A0 D0 , C 0 D0 a bod K na hranˇe AA0 tak, ˇze |AK| : |KA0 | = 4 : 1. Sestrojte pˇr´ıˇcku mimobˇeˇzek p = KL, q = M N proch´azej´ıc´ı bodem B 0 (obr. 1). N
D′ p
C′
M
A′
q
B′
K
D
C
L
A
B
[obr. 1]
Opakov´ an´ı uˇ ziteˇ cn´ ych pojm˚ u a vlastnost´ı Pˇr´ımky v prostoru mohou b´ yt spl´ yvaj´ıc´ı, rovnobˇ eˇ zn´ e, r˚ uznobˇ eˇ zn´ e a mimobˇ eˇ zn´ e . Na obr. 2 je d´ana krychle 0 0 0 0 0 ABCDA B C D a body R, T na hran´ ach AB, AA . Pˇr´ımky AB, T B jsou spl´ yvaj´ıc´ı, pˇr´ımky BC, B 0 C 0 jsou rovnobˇeˇzn´e 0 (nemaj´ı spoleˇcn´ y bod a urˇcuj´ı jednu rovinu), pˇr´ımky RT, BB jsou r˚ uznobˇeˇzn´e (maj´ı jedin´ y spoleˇcn´ y bod P ). Pˇr´ımky 0 AB, CC jsou mimobˇeˇzn´e (nemaj´ı spoleˇcn´ y bod a neleˇz´ı v jedn´e rovinˇe). D′
C′
A′
B′
R D
A
C
B
T
U
[obr. 2] Pˇr´ımka, kter´a prot´ın´ a dvˇe mimobˇeˇzky, se naz´ yv´a jejich pˇ r´ıˇ cka.
1
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Stereometrie
Rozbor ´ Ulohu naj´ıt pˇr´ıˇcku dvou mimobˇeˇzek proch´ azej´ıc´ı dan´ ym bodem ˇreˇs´ıme n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: dan´ y bod a jedna mimobˇeˇzka urˇcuj´ı rovinu; sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık druh´e mimobˇeˇzky s touto rovinou a spojnice tohoto pr˚ useˇc´ıku s dan´ ym bodem je hledan´a pˇr´ıˇcka.
Konstrukce (obr. 3) N
D′ p
C′
M
A′
q
B′
K
D
A
C
L
B
[obr. 3] Bod B 0 a pˇr´ımka p = KL leˇz´ı v rovinˇe pˇredn´ı stˇeny ABBA0 dan´e krychle. V t´eto rovinˇe leˇz´ı tak´e pˇr´ımka A0 B 0 , pˇr´ımky A B 0 , p = KL jsou r˚ uznobˇeˇzn´e a prot´ınaj´ı se v bodˇe P . 0
Hrana A0 B 0 n´aleˇz´ı tak´e rovinˇe horn´ı stˇeny A0 B 0 C 0 D0 , ve kter´e leˇz´ı pˇr´ımka q = M N . Pˇr´ımky A0 B 0 , M N jsou r˚ uznobˇeˇzn´e 0 0 a prot´ınaj´ı se v bodˇe Q. Pˇr´ımka A B je hledan´ a pˇr´ıˇcka, mimobˇeˇzky p = KL, q = M N prot´ın´a v bodech P, Q.
2
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Stereometrie
Pˇ r´ıklad 14 Zad´ an´ı u ´ lohy Je d´an pravideln´ y trojbok´ y hranol ABCA0 B 0 C 0 , jehoˇz vˇsechny hrany maj´ı stejnou velikost. Urˇcete konstruktivnˇe odchylku u ´hlopˇr´ıˇcek boˇcn´ıch stˇen, kter´e vych´ azej´ı z t´ehoˇz vrcholu hranolu (obr. 1). A′
C′
B′
A
C ϕ
B
[obr. 1]
Rozbor Odchylku u ´hlopˇr´ıˇcek BA0 , BC 0 urˇc´ıme jako velikost vnitˇrn´ıho u ´hlu A0 BC 0 v troj´ uheln´ıku A0 BC 0 .
ˇ sen´ı Reˇ V pravideln´em hranolu jsou boˇcn´ı hrany kolm´e na rovinu podstavy. Protoˇze vˇsechny hrany dan´eho hranolu maj´ı stejnou velikost, jsou jeho boˇcn´ı stˇeny tvoˇreny ˇctverci. B′
C′
B
C [obr. 2]
1
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Stereometrie
Pouze stˇena ACC 0 A0 se zobraz´ı ve voln´em rovnobˇeˇzn´em prom´ıt´an´ı jako ˇctverec ve skuteˇcn´e velikosti, stˇeny ABB 0 A0 , BCC 0 B 0 se zobraz´ı jako rovnobˇeˇzn´ıky. Troj´ uheln´ık A0 BC 0 je rovnoramenn´ y, jeho z´ akladna A0 C 0 je v hranolu zobrazena ve skuteˇcn´e velikosti, d´elku ramen BA0 , BC 0 urˇc´ıme z pomocn´eho obr. 2, v nˇemˇz je nar´ ysov´ana skuteˇcn´a velikost boˇcn´ı stˇeny BCC 0 B 0 . V obr. 3 nar´ ysujeme rovnoramenn´ y troj´ uheln´ık A0 BC 0 , kde strana A0 C 0 m´a velikost rovnu d´elce hrany trojbok´eho hranolu 0 0 a velikost ramen BA , BC je rovna d´elce u ´hlopˇr´ıˇcky BC 0 z obr. 2. A′
C′
[obr. 3] Velikost u ´hlu A0 BC 0 urˇcuje hledanou odchylku ϕ.
Ovˇ eˇ ren´ı v´ ypoˇ ctem √ Troj´ uheln´ık A0 BC 0 je rovnoramenn´ y, z´ akladna m´a velikost a, ramena jsou u ´hlopˇr´ıˇcky ˇctverc˚ u a maj´ı velikost a 2. √ √ √ √ Pro v´ ypoˇcet uˇzijeme napˇr. kosinovou vˇ etu: a2 = (a 2)2 + (a 2)2 − 2a 2a 2 cos ϕ. . Odtud vypoˇcteme cos ϕ = 34 , a n´ aslednˇe ϕ = 41,41◦ . Nebo m˚ uˇzeme troj´ uheln´ ık A0 BC 0 rozdˇelit v´ yˇskou na z´akladnu ve dva shodn´e pravo´ uhl´e troj´ uheln´ıky a z nˇekter´eho z nich √ a ϕ 2 2 vyj´adˇrit: sin 2 = a√2 = 4 . . V´ ypoˇctem pak z´ısk´ ame: ϕ2 = 20,705◦ .
2
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Stereometrie
Pˇ r´ıklad 15 Zad´ an´ı u ´ lohy V krychli ABCDEF GH jsou d´ any body K, L, M jako stˇredy hran DH, CG, EF . Urˇcete vzd´alenost bodu M od roviny AKL (obr. 1). H
G
M
E
F K
L
D
C
A
B
[obr. 1]
Opakov´ an´ı uˇ ziteˇ cn´ ych pojm˚ u a vlastnost´ı Vzd´alenost bodu M od roviny ρ urˇc´ıme takto: bodem M vedeme k dan´e rovinˇe ρ kolmici k, sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık P t´eto kolmice s danou rovinou; vzd´ alenost bodu M od roviny ρ je d´ana velikost´ı u ´seˇcky M P (obr. 2). k
α
k
β
M
P ρ
[obr. 2]
ρ
[obr. 3]
Plat´ı vˇeta, ˇze dvˇ e roviny jsou navz´ ajem kolm´ e, jestliˇ ze jedna z nich obsahuje pˇ r´ımku kolmou k druh´ e rovinˇ e. Roviny α i β obsahuj´ı kolmici k k rovinˇe ρ, proto jsou obˇe k rovinˇe ρ kolm´e (obr. 3).
1
Deskriptivn´ı geometrie jinak
Stereometrie
Konstrukce (obr. 4 a 5) H
G
M
E
F K
Q
M L
T D
A
C
B
[obr. 4]
R
S
[obr. 5]
Rovina AKL prot´ın´ a krychli v obd´eln´ıku ABLK. K vyˇreˇsen´ı u ´lohy potˇrebujeme v´est bodem M kolmici k rovinˇe obd´eln´ıka ABLK. Bodem M vedeme rovinu M RSQ rovnobˇeˇznou s boˇcn´ı stˇenou BCGF krychle. Roviny urˇcen´e obd´eln´ıky ABLK, M RSQ jsou kolm´e, protoˇze pˇr´ımka AB roviny ABL je kolm´a k rovinˇe M RS. Sestroj´ıme pr˚ useˇcnici RT obou rovin. Kolmice veden´a bodem M k rovinˇe ABL je kolm´a k pˇr´ımce RT . Protoˇze v zobrazen´ı krychle se obd´eln´ık M RSQ zobraz´ı jako rovnobˇeˇzn´ık a prav´ yu ´hel mezi pˇr´ımkami RT a kolmic´ı vedenou bodem M se nezobraz´ı jako prav´ y, nar´ ysujeme ˇctverec M RSQ ve skuteˇcn´e velikosti mimo krychli a sestroj´ıme bod P jako patu kolmice z bodu M na u ´seˇcku RT . Vzd´alenost bodu M od roviny AKL je d´ ana velikost´ı u ´seˇcky M P (obr. 5).
ˇ sen´ı v´ Reˇ ypoˇ ctem Ve ˇctverci M RSQ vyznaˇc´ıme u ´seˇcku M T a sestroj´ıme u ´seˇcku T N kolmou na stranu ˇctverce M R, kde bod N leˇz´ı na t´eto stranˇe (obr. 5). q √ 2 Oznaˇc´ıme-li velikost strany ˇctverce a, pak u ´seˇcka RT m´a velikost: |RT | = a2 + a2 = a2 5. Obsah troj´ uheln´ıka M RT m˚ uˇzeme urˇcit dvoj´ım zp˚ usobem: S4M RT = √ = 12 |RT | · |M P | = a4 5 · |M P |.
1 2 |M R|
· |N T | =
1 2a
·a =
a2 2 ,
resp. S4M RT =
Porovn´an´ım obou obsah˚ u z´ısk´ ame velikost u ´seˇcky M P : 2a 2 √ |M P | = √ = a 5. 5 5
2
