3
2 KINEMATIKA BODU Kinematika jako část mechaniky je nauka o pohybu těles bez ohledu na síly, které pohyb způsobily. Tělesa nebudou mít v našich úvahách hmotnost a budou popsána jen svými geometrickými vlastnostmi. Ty budou během pohybu neměnné tj. u těles nebudeme uvažovat deformace. Kinematika přímočarého pohybu U přímočarých pohybů používáme rozklad pohybu do os kartézského systému. Kladný směr jedné z os ztotožníme s jednou z os, vzdálenost od počátku nazveme odlehlostí s(t). Základní úlohou v kinematice bodu je zjištění závislosti polohy bodu na čase (zákon pohybu) tj. nalezení funkce s=s(t). dv ds Je-li a=a(t), pak řešíme integrací definičních vztahů a = ,v= dt dt a Specielně je-li a=konst., pak platí v = v0 + at,s = s0 + v0 t + t 2 2 vdv 1 d( v ) Je-li a=f(v) , pak vycházíme z rovnice a = = . Pro dráhu zastavení lz použijeme ds 2 ds lz
vztah
0
∫ ds =
∫
0
v0
vdv . f(v)
Př. 2.1 Těleso koná přímočarý pohyb s konstantním zrychlením o velikosti a=0,06m s-2. V čase t0=0 se nachází ve vzdálenosti d=0,5m od počátku souřadné osy, po určité době bod projde počátkem. V čase t1=4s je jeho rychlost v1=0. Určete: a) funkční závislost rychlosti na čase; b) čas průchodu počátkem tP; c) funkční závislost odlehlosti na čase; d) průměrnou rychlost a střední dráhovou rychlost pro časový interval ∆t=t2-t0, kde t2=10s Řešení: Jako kladný směr souřadné osy s zvolíme zleva doprava. Vzhledem k tomu, že neznáme orientaci počáteční polohy (zda je napravo nebo nalevo od počátku souřadnic), neznáme směr počáteční rychlosti a směr zrychlení, předpokládáme, že všechny tyto vektory jsou kladně orientované vůči zvolenému směru souřadné osy (zmiňovaná nejistota vyznačena čárkovaně).
a v0
ro
O
s0 =d
s
Obr. 2. 1
Pohyb je s konstantním zrychlením, proto pro vyjádření závislosti vektoru rychlosti na čase použijeme vztah v = v 0 + a t , který reprezentujeme pomocí složkové rovnice ( → +) v = v0 + 0 , 06t (a) Po dosazení v1=0 pro t1=4s dostáváme v0=- 0,24 m/s. Na začátku pohybu je znaménko rychlosti a zrychlení opačné, tj. pohyb je rovnoměrně zpožděný. Závislost rychlosti na čase v=v(t)=-0,24 + 0,06t
3
4
Vektorovou rovnici r = r0 + v 0t + a
t2 reprezentujeme pomocí složkové rovnice 2
( → +)
s = s0 − 0 , 24t + 0 , 06
t2 2
(b)
Položíme-li hodnotu odlehlosti s=0 dostáváme kvadratickou rovnici pro čas průchodu tp bodu počátkem 2 0,03 t P − 0, 24t P + s0 = 0 (c) Kořeny této rovnice
( t P )1,2 =
0 ,12 ± 0 , 0144 − 0 , 03s0
(d) 0 , 03 Pro hodnotu s0= 0,5 m jsou oba kořeny komplexní tj. pokud by počáteční poloha bodu byla napravo od počátku pak by bod jej nemohl dosáhnout. Proto možná počáteční hodnota odlehlosti je s0= - 0,5 m. Pro s0= - 0,5 m dostáváme jeden kořen kladný tj. čas průchodu počátkem tP1=9,7 s. Záporný kořen tP2=-1,71 s odpovídá času průchodu počátkem který předcházel poloze s0. Závislost odlehlosti na čase (zákon pohybu) je tedy dána vztahem s=s(t)=- 0,5-0,24t + 0,03t2
(e)
Pro t2=10s dostáváme hodnotu odlehlosti s2= 0,1 m. Hodnota střední rychlosti v časovém s −s 0,1 + 0,5 = 0,06 m/s. Pro určení hodnoty střední dráhové intervalu ∆t=t2-t0 je vstř = 2 0 = t2 − t0 10 rychlosti musíme nejprve zjistit odlehlost s1 při které se bod zastavil. Dosazením t1=4 s do rovnice (e) dostáváme s1=-0,98 m. Celková prošlá dráha do času t2=10s tedy je l2=2.0,98-0,5+0,1=1,56 m a střední hodnota ∆l + ∆l2 velikosti rychlosti v stř 1 =0,156 m/s. t 2 − t0
Příklad 2.2 Loď plave přímočaře rychlostí v0. a) Určete závislost rychlosti a odlehlosti lodě na čase, když náhle motory vypneme a loď se začne v důsledku odporu prostředí zastavovat se zrychlením a = – kv2, kde k je kladná konstanta. b) Určete, na jaké dráze lz se loď zastaví, jestliže náhle zapneme motory vzad a loď se začne v
důsledku odporu prostředí a zpětném chodu motorů zastavovat se zrychlením a = -k1-k2 v2. Řešení: a) Platí
4
5 a=
dv dt
(a)
Dosadíme −k v 2 =
dv dt
(b)
a integrujeme t
v
1 dv 2 − k v v0
∫ dt = ∫ 0
(c)
1 1 − kt = − + v v0 Odkud v=
v0 1 + v0 kt
Závislost odlehlosti na čase určíme ze vztahu v =
(d)
ds : dt
t
s
v0 v0 v0 ds 1 dt = ∫ ds ⇒ s = ln(1 + v0 kt ) = ⇒ ds = ⇒∫ 1 + v0 kt dt 1 + v0 kt 1 + v0 kt k 0 0
(e)
b) Pro výpočet dráhy zastavení lz použijeme vztah (2.8) tj. 1 a ds= dv 2 2 lz
0
dv 2 − k1 − k2 v 2 v0
2 ∫ ds = ∫ 0
Zavedeme substituci y = v 2 pro kterou platí y0 = v0 , dy = 2vdv = d v 2 : 2
0
−2l z =
0 k1 dy 1 1 1 = ln ( k1 + k2 y ) y = ln k1 − ln ( k1 + k2 y0 ) = ln 0 k2 k2 k2 k1 + k2 y0 1 + k2 y
∫k
y0
(f)
k1 + k2 v02 1 Pro dráhu do zastavení tedy dostáváme vztah lz = ln 2k2 k1
5
(g)
6 Kinematika křivočarého pohybu U křivočarých pohybů používáme pro popis kinematických veličin systém přirozených souřadnic, kde vektory báze jsou jednotkový vektor tečný k dráze τ a na něho kolmý jednotkový vektor n. Vektor n míří vždy do středu oskulační kružnice (oskulační kružnice v daném místě aproximuje dráhu kruhovým obloukem), vektory báze přitom vychází vždy z okamžité polohy bodu A. Odlehlost je v přirozených souřadnicích definována jako oblouk křivky s= s(t) odečítaný od pevného počátku O ležícím na dráze.
O S(t)
n
A
τ
Vektor rychlosti je tečný k dráze a platí v = v τ, v =
ds = xɺ 2 + yɺ 2 dt
(2.29)
Vektor zrychlení rozkládáme do tečného a normálového směru
sɺ 2 a = a τ τ + a n n = ɺɺ sτ+ n , R
(2.39)
kde R je poloměr oskulační kružnice. Průmět zrychlení do směru tečného k dráze se nazývá tečné zrychlení
aτ
= vɺ = ɺɺ s
(2.40a)
Průmět zrychlení do normály se nazývá normálové zrychlení an =
sɺ 2 v 2 = R R
(2.40b)
Modul vektoru zrychlení je roven
a = aτ2 + an2 = ɺɺ x 2 + ɺɺ y2
(2.41)
Kinematika kruhového pohybu Pohybuje-li se bod po kružnici, potom souřadnice ρ =konst.=r, což je poloměr kružnice - obr. 2.11. Poloha bodu je úplně určena úhlem φ. Derivace úhlu podle času se nazývá úhlová rychlost ω = ϕɺ , druhá derivace úhlu podle času úhlové zrychlení α = ωɺ = ϕɺɺ . Použitím vztahů pro rychlost a zrychlení v přirozených souřadnicích pak dostáváme vztahy
6
7 v = rϕɺ = rω
(2.42)
an =r ω 2 , aτ =rα
(2.43)
V případě, že úhlové zrychlení α=konst., pak pro závislosti ϕ=ϕ(t) a ω=ω(t) platí obdobné
φ
Obr. 2.12
vztahy jako pro pohyb přímočarý s konstantním zrychlením tj. platí
ω = ω0 + α t ϕ = ϕ 0 + ω0 +
α 2
(2.44) t2
(2.45)
V případě, že pohyb kruhový je rovnoměrný tj. ω=konst, pak definujeme dobu oběhu T podle vztahu
ω=
2π T
(2.47)
Pozn. Pro nalezení vztahů ϕ=ϕ(t), ω=ω(t), α=α(t), α=g(ϕ) používáme integrace podle 2 dϕ dω 1 d (ω ) definičních vztahů ω= , α= aα= . dt dt 2 dϕ . Př. 2.3 Vyšetřete pohyb bodu, jehož polohový vektor závisí na čase podle rovnice 1 r = i A cos ωt + j A sin ωt , kde A = 6m, ω = π s −1 . 4 Určete vektor rychlosti a jeho velikost jako funkci času Určete jednotkový vektor rychlosti ev jako funkci času Určete vektor zrychlení a jeho velikost funkci času Určete tečné a normálové zrychlení funkci času Vypočítejte poloměr křivosti dráhy hmotného bodu funkci času Řešení: dr d Rychlost hmotného bodu je podle vztahu v = = ( i A cos ωt + j A sin ωt ) . dt dt
7
8 1 Tedy v = Aω ( −i sin ωt + j cos ωt ) , kde A = 6m, ω = π s −1 . 4 Velikost vektoru rychlosti určíme podle vztahu
v = vx2 + v y2 =
( − Aω sin ω t ) + ( Aω cos ω t ) 2
Jednotkový vektor rychlosti ev = Odtud ev = −i sin ωt + j cos ωt
2
= Aω . Po dosazení v =
1 3πms −1 . 2
1 1 v= Aω ( −i sin ωt + j cos ωt ) . v Aω
dv d = Aω ( −i sin ωt + j cos ωt ) . dt dt Tedy a = − Aα 2 ( i cos ωt + j sin ωt ) = −ω 2r .
Zrychlení je podle vztahu (2.5) a =
Velikost zrychlení je dána vztahem a = ax2 + a y2 =
( − Aω
2
cos α t ) + ( − Aω 2 sin ω t ) = Aω 2 . 2
2
1 Po dosazení a = 3π 2 ms − 2 . 8 Velikost tečného zrychlení vypočítáme ze vztahu aτ =
dv d = ( Aω ) = 0 (rovnoměrný pohyb dt dt
kruhový). Vzhledem k tomu, že aτ = 0 , vyplývá ze vztahu a = aτ2 + a n2 , že a n = a . 1 Tedy aτ = 0 , a n = a = 3π 2 ms − 2 . 8 v2 . Po dosazení dostáváme R = 6m . an Harmonický pohyb
Poloměr křivosti R vypočteme ze vztahu R =
Z hlediska technické praxe je významný případ pohybů, kdy je působící síla úměrná výchylce a vrací pohybující se bod neustále do počáteční polohy (např. těleso na pružině, kyvadlo apod.). Takový pohyb se nazývá harmonický. A jeho rovnice je dána vztahem
x ii + Ω 2 x = 0
(2.49)
Je to diferenciální rovnice druhého řádu bez pravé strany, její řešení x=x(t) je možné hledat na bázi harmonických funkcí, např. ve tvaru x = A cos Ωt + B sin Ωt
(2.50a)
Diferenciální rovnici (2.49) však vyhovuje i řešení ve tvaru x = C sin(Ωt + ϕ )
(2.50b)
Aplikací pravidla pro sinus součtu dvou úhlů dostaneme vztah x = C sin ϕ cos Ωt + C cos ϕ sin Ωt Ze srovnání (2.50a) a (2.50c) dostáváme
8
(2.50c)
9 A = C sin ϕ ; B = C cos ϕ
(2.51)
C = A2 + B 2 se nazývá amplituda,
(2.52)
Pak
ϕ = arctg
A se nazývá počáteční fáze, B
Ω je vlastní úhlová frekvence.
(2.53) (2.54)
Rychlost při harmonickém pohybu je
π xɺ = C Ω cos ( Ωt + ϕ ) = C Ω sin Ωt + ϕ + 2
(2.55)
ɺɺ x = −C Ω 2 sin ( Ωt + ϕ ) = C Ω 2 sin ( Ωt + ϕ + π )
(2.56)
a zrychlení
Konstanty A , B nebo C a ϕ jsou integrační konstanty, které závisí na počátečních podmínkách. Např. pro počáteční podmínky x ( 0 ) = x0 , xɺ (0) = v0 dostáváme
x0 = A cos Ωt + B sin Ωt
(a)
v0 = − A Ω sin Ωt + B Ω cos Ωt
(b)
Řešením těchto rovnic dostáváme pro konstanty A, B vztahy A = x0 , B =
v0 Ω
(c)
Pro uvedené počáteční podmínky má řešení harmonického pohybu tvar
x = x0 cos Ωt +
9
v0 sin Ωt Ω
(d)
10
Z hlediska tvaru dráhy je pohyb bodu je přímočarý
10
11
11
