Overdruk uit Natuur & Techniek januari 1998
n le eu rm Ve ick Er
Wiskunde in
Honderd ja ar geleden, op ge Dodgso n. Hij was in 14 januari 1898, stie rf C z maard port retfotograa ijn tijd een bekend wis harles Lutwidf. Wereldbe roemd werd kundige en verhij echter d ankzij
62
Drs Hans P. van Ditmarsch
Technische Cog nitiewetenschap Rijksuniversiteit Groningen
Wonderland
zijn kinderb oe Alice in Wo ken. Als Lewis Carroll nderland. Z beschreef h ijn ij de avontu en wiskund re ige problem boeken herbergen ee n schat aan n van en. logische Met deze sc haak opstelling Through the Looking-glas begint Lewis Carroll het s, and what boek Alice begint A als witte pio n en wint tens lice found there. lotte als koni ngin.
W I S K U N D E
D e
l o g i c a
v a n
A l i c e
De boeken over Alice, het meisje dat vreemde avontuChrist Church, Oxford
ren beleeft in Wonderland, zijn geschreven door Lewis Carroll. Deze naam is een pseudoniem (verwisseling
E
en eeuw geleden stierf Charles Lutwidge Dodgson (1832 1898). Hij is de oudste zoon uit een elf kinderen tellend Anglicaans domineesgezin. De middelbareschooltijd besluit hij in Rugby, de meest prestigieuze Britse kostschool, waar het gelijknamige balspel vandaan komt. Na Rugby volgt in 1850 het belangrijkste College van de universiteit van Oxford, Christ Church College. Destijds was Oxford een geDe wiskundige Charles Lutwidge Dodgson (boven) zapig, tussen moerassen gelegen proschreef voor Alice Liddell het vinciestadje met een ongezond kliverhaal Alice in Wonderland. maat, waar tuberculose welig tierde. In het handgeschreven Na een voorbeeldige studie wordt exemplaar plakte hij een van Dodgson in 1855 benoemd tot Mathede vele portretten die hij matics Lecturer. In 1861 volgt zijn van haar maakte. wijding als diaken in de Anglicaanse kerk. De volgende stap, dominee, heeft hij niet gezet, wellicht wegens zijn gehechtheid aan wereldse zaken (wiskunde). Bovendien stottert hij. Schrijven gaat hem beter af. Hij houdt zijn hele leven een dagboek bij, voert een uitgebreide correspondentie (meer dan honderdduizend brieven) en schrijft diverse boeken. Dodgson knoopt veel vriendschappen aan met de kinderen van zijn vrienden en collega’s. Hij voelt zich aangetrokken tot de kinderen en uit dat in zijn hobby, de fotografie. Tot in de jaren tachtig is hij een vooraanstaand portretfotograaf. In de zomer van 1862 maakt Dodgson een roeitocht met Alice, Lorina en Edith Liddell, de drie dochters van Deken Liddell van Christ Church College. De functie van Deken van een College lijkt op die van decaan aan een Nederlandse universiteit, maar heeft tevens de oorspronkelijke religieuze betekenis. Tijdens de roeitocht op de Thames bedenkt en vertelt Dodgson een verhaal over een meisje Alice dat verzeild raakt in vreemde avonturen onder de grond. Op hevig aandringen van Alice Liddell vertrouwt hij het ver-
64
van de Latijnse vorm van zijn twee voornamen) van Charles Lutwidge Dodgson, een zeer veelzijdig man: wiskundige, portretfotograaf, kinderboekenschrijver en geestelijke. haal toe aan papier. Hij geeft haar het manuscript in november 1864. Het jaar daarop verschijnt Alice’s Adventures in Wonderland in druk. Verdwazing
Als je het boek leest, zie je Dodgson bijna in een bootje of in de wei zitten met de drie kinderen aan zijn lippen gekluisterd. Af en toe vragen ze wat of moeten ze ergens om lachen. Dat grijpt hij aan om een nieuwe verhaallijn uit te werken, zonder zich al te strikt aan eenheid van plaats en handeling te storen. Alles loopt in elkaar over, zoals gebeurt in dromen en zoals kinderen spelen. Daarom is het een echt kinderboek, met bewust een beperkt taalgebruik. Alice in Wonderland is een vermakelijk spel – een uitzondering in zijn tijd waarin kinderboeken doorgaans sterk moraliseren. Wel is het boek doorspekt met ‘volwassen’ taalgrapjes en filosofische verdwazing. Hoe onthoofdt de beul een brutale Cheshire Cat die alleen uit een hoofd bestaat? (‘The King’s argument was that anything that had a head could be beheaded’). Als je steeds groeit en krimpt, verandert dan alleen je uiterlijk of word je ook een andere persoon, zoals een vriendinnetje dat jij een beetje dom vindt? Hoe kun je dat bij jezelf testen? (‘I’m sure I can’t be Mable, for I know all sorts of things, and she, oh, she knows such a very little!’). Kennis van Oxford en omgeving en de 19e-eeuwse samenleving levert extra leesplezier op. De Amerikaanse wiskundige en schrijver Martin Gardner heeft enkele jaren geleden tal van anecdotes verzameld in The Annotated Alice. Een van de verklaringen voor de naam Cheshire Cat verwijst naar de twee leeuwen in het wapen van Christ Church College en het uitspreken van de afkorting “Ch. Ch.”. De wortels van de Mad Teaparty waaraan de March Hare en de Mad Hatter deelnemen, liggen in de biologie en de 19eeeuwse cultuur. In maart paren de hazen en rennen mannetjeshazen dolverliefd rondjes in de velden, vandaar Maartse Haas. Bij de productie van de bekende vilten hoge hoed Natuur & Techniek 66, 1 (1998)
Klokken Alice: Het is wel lastig dat mijn horloge steeds 1 minuut voorloopt, maar ik ben blij dat ‘ie ‘t nog doet, want als ‘ie kapot was had ik er helemaal niets meer aan. Lewis: Onzin! Een klok die stilstaat is nu juist nauwkeuriger dan een die 1 minuut per dag voorloopt! Waarom heeft Lewis gelijk? Antwoord op pagina 72
W. Konijn. De cartoonist van het blad Punch, Sir John Tenniel, maakte de beroemde tekeningen voor de twee kinderboeken van Lewis Carroll.
65
W I S K U N D E
D e
l o g i c a
v a n
A l i c e
Het doublet Een doublet is een woordpaar met de eigenschap dat door steeds één letter te veranderen het ene woord in het andere kan worden omgezet, waarbij alle tussenvormen ook bestaande woorden moeten zijn. Verwisselen van letters staan we gemakshalve ook toe. Een voorbeeld: (klok, kaas) is een doublet, een verbindende woordketen is (klok, klos, klas, kaas). Laat zien dat de volgende woordparen ook doubletten zijn: (appel, peren), (ramp, deur), (begin, einde), (kegel, ander). Bij een variant hierop is het toegestaan dat naast het veranderen van een letter ook een willekeurige letter aan het woord toegevoegd of verwijderd
werd kwik gebruikt. Kwikvergiftiging leidt tot trillingen en hallucinaties. Hoedenmaker was een riskant beroep, ook spreekwoordelijk: die trillingen stonden destijds bekend als hatter’s shakes. Veel karakters in Alice’s Adventures in Wonderland zijn ontleend aan het kaartspel. In 1871 publiceert Dodgson het vervolg, getiteld Through the Looking-glass, and what Alice found there. Daarin zijn de laatste zetten van een schaakpartij het achterliggend idee. Dit boek bevat het beroemdste nonsensgedicht aller tijden, Jabberwocky. Het eerste couplet luidt: ‘Twas brillig, and the slithy toves Did gyre and gimble in the wabe: All mimsy were the borogoves, And the mome raths outgrabe.
“Vreemderder en vreemderder!” riep Alice.
66
Er is inmiddels veel verklarende theorie voor de woordgrapjes, onzingedichten en andere taalspelletjes van Dodgson, al moet hij eerder als inspirator dan als voorloper in wetenschappelijke zin worden gezien. De taalkunde besteedt er veel aandacht aan, vooral in relatie tot psychologie. Jabberwocky is duidelijk een Engels nonsensgedicht. Dat het over een monster gaat en niet over elfjes, lijkt onontkoombaar. Hoe komt dat? Fundamenteel is het onderscheid tussen taal en betekenis. Een voorbeeld: ‘paal’ lijkt op ‘pal’ omdat het ongeveer dezelfde vorm heeft, maar ‘paal’ lijkt op ‘stok’ omdat het ongeveer hetzelfde betekent. Hoe begrijpelijk een nonsensgedicht is, heeft alles te maken met onze verwachtingspatronen bij taalgebruik. Daarin spelen
Antwoord op pagina 72
wordt. Het paar (oog, appel) is dan een doublet, met als omzettende keten: oog, loge, lopen, palen, lappen, appel. Dodgson heeft het doubletten, de variant en nog vele andere varianten bedacht. In zijn tijd waren er openbare competities in het doubletten. Is (natuur, techniek) een doublet? De auteur dezes kan dit alleen door ook woorden uit Frans, Engels en Duits toe te staan. Is er een oplossing in het Nederlands?
zowel de geschreven als de gesproken vorm van een woord en los daarvan nog eens de betekenis een rol. In de psycholinguïstiek onderzoekt men bijvoorbeeld hoe snel (reactietijd achter een toetsenbord) proefpersonen ‘stok’ herkennen (het zogenaamde ‘priming’) na ‘paal’ gelezen te hebben. Gaat dit langzamer of sneller dan na ‘pal’? Met neurale netwerken kunnen we dit soort menselijk gedrag dan weer simuleren en bijvoorbeeld onderzoeken of analogieën eerder naar betekenis of naar vorm worden gemaakt. Een andere passage uit Through the Looking-glass, and what Alice found there bevat een thema dat ook voorkomt in Homerus’ beschrijving van Odysseus reizen, als Odysseus zich aan een cycloop voorstelt als Niemand. ‘I see nobody on the road’, said Alice. ‘I only wish I had such eyes,’ the King remarked in a fretful tone. ‘To be able to see Nobody! And at that distance too! (...)’
Natuur & Techniek 66, 1 (1998)
Dodgson hield zich naast het schrijven van kinderboeken ook bezig met logica en puzzels. Vier tangramsilhouetten beelden personages uit Alice in Wonderland uit, namelijk de Koningin, het Witte Konijn (of de Maartse Haas), de Hoedenmaker en de Kollumer Kat. De tangram-oplossing staat op pagina 70.
67
W I S K U N D E
D e
Het fabelgedicht Jabberwocky uit Through the Looking-Glass, and what Alice found there vormt voor taalkundigen een belangrijke inspiratiebron.
68
l o g i c a
v a n
A l i c e
Het interpreteren van ‘nobody’ in de zin ‘I see nobody on the road’ als een persoon en niet als de afwezigheid van een persoon, is niet ‘dom’ maar heeft te maken met een interessante eigenaardigheid van onze taal. Met ‘ik zie niemand’ bedoelen we ‘niet (ik zie iemand)’. Dit doorbreekt een gerechtvaardigd verwachtingspatroon. De ontkenning in het woord niemand lijkt namelijk minder belangrijk dan de werkwoordsvorm ‘zie’, die de zinsdelen ‘ik’ en ‘niemand’ verbindt. Als we eerst ‘zien’ interpreteren, stellen we ons al een zichtbaar object voor en dan is de stap nog maar klein om ‘niemand’ in dat straatje te laten passen. De taalkundige vorm, waarin ‘niemand’ ondergeschikt is aan ‘zie’ (in dit geval ‘logische vorm’ geheten), komt dus niet overeen met de betekenis van deze zin, waarin we ‘niemand’ uitpellen tot ‘niet iemand’ en die ontkenning op de hele zin betrekken, waarbij ‘zie’ ondergeschikt is aan ‘niet’. Geen wonder dat we het verkeerd kunnen begrijpen! Dodgson verwerft een grote wiskundige reputatie met het boek An elementary theory of determinants (1867). Daarin beschrijft hij een algemene theorie voor het oplossen van m vergelijkingen in n (n ‹ m) onbekenden met determinanten. Historisch gezien gaat de determinantenrekening, aan het eind van de 18e eeuw geformuleerd door de Duitse filosoof en wiskundige Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), vooraf aan de matrixrekening, die tegenwoordig tot de standaard bagage van wiskundigen behoort. De wiskundige Arthur Cayley (1821-1895) introduceerde de matrix in 1855. Cayley werkte in Cambridge, in die tijd veel meer dan Oxford het centrum van het wiskundig onderzoek. Dodgson verzorgt ook belangrijke publicaties op het gebied van de Euclidische meetkunde, waaronder een aantal uitgaven met toelichting van de Elementen van Euclides. In Euclid and his Modern Rivals (1879) loopt hij als docent te hoop tegen verminking van deze cultuurschat door andere wiskundigen, met als kennelijk oogmerk het verdedigen van een voor studenten overzichtelijk curriculum. Op andere wiskundige deelgebieden is zijn energie nog sterker
Determinanten Een determinant is een uitdrukking die bestaat uit een aantal optellingen en vermenigvuldigingen. Het lijkt op de vierkante matrix in de meetkunde, waarin men vectoren weergeeft. In een driedimensionale ruimte geeft men bijvoorbeeld drie vectoren weer als drie rijtjes van drie getallen tussen twee verticale lijnen. Het berekenen van de matrix komt overeen met het bepalen van het volume dat de drie vectoren opspannen. Zo geldt bijvoorbeeld dat:
2
4
0
3
7
6
1
5
1
=2.
7
6
5
1
–4 .
3
6
1
1
+0.
3
7
1 5
= 2 ( 7.1 – 5.6 ) – 4 ( 3.1 – 6 .1 ) + 0 ( 3.5 – 1.7 ) = -36 Determinanten zijn bedoeld om te bepalen of een stelsel vergelijkingen een oplossing heeft. Als de determinant gelijk is aan nul, zijn er oneindig veel oplossingen of is er geen oplossing. Het stelsel vergelijkingen
2x+3y=5 3x-y =3 heeft een oplossing, omdat de volgende determinant ongelijk aan nul is:
2
3
3 -1
= -11 ≠ 0
maatschappelijk gericht. In een tijd waarin steeds meer groepen in de samenleving kiesrecht krijgen, bestookt Dodgson de regering (zonder resultaat) met voorstellen voor electorale wiskunde. Een van zijn eenvoudigere voorstellen: Deel, nadat de stemming is gesloten, het aantal stemmen door één meer dan het aantal te kiezen leden, en neem het kleinste gehele getal dat groter is als ‘quotum’. Laat de kiescommissaris een lijst van de kandidaten publiceren, met ieders aantal stemmen, en verklaren dat iedereen gekozen is die het quotum heeft gehaald. Als er daarna nog leden moeten worden gekozen, dient hij een tijd te noemen waarop alle kandidaten voor hem moeten verschijnen. Ieder gekozen lid mag dan zijn boventallige stemmen toekennen aan een van de andere kandidaten naar zijn keuze, terwijl de andere kandidaten op vergelijkbare wijze hun stemmen aan elkaar kunnen toekennen.
Verkiezingen Bij de verkiezing van vier bestuursleden uit zeven kandidaten stemmen de duizend kiezers als volgt: Jansen 422, Pietersen 253, Karelsen 193, Hansen 63, Jorissen 56, Krelissen 12, Roelofsen 1. Wie wordt in ieder geval verkozen? Wat kan een coalitie van niet gekozenen bereiken? Hoe groot is de invloed van Jansen?
Antwoord op pagina 72
Charles Dodgson is als docent en maatschappelijke verspreider van wiskundig en logisch gedachtengoed invloedNatuur & Techniek 66, 1 (1998)
69
W I S K U N D E
D e
Een syllogisme Wat volgt hieruit? (1) No kitten, that loves fish, is unteachable; (2) No kitten without a tail will play with a gorilla; (3) Kittens with whiskers always love fish; (4) No teachable kitten has green eyes; (5) No kittens have tails unless they have whiskers.
Antwoord op pagina 72
De oplossing van de vier tangramproblemen van pagina 67.
70
l o g i c a
v a n
A l i c e
rijker geweest dan als wetenschapper. In het bijzonder geldt dit voor de popularisering en de verspreiding van de logica. Uit zijn latere jaren stammen diverse publicaties op het gebied van de logica, zoals The Game of Logic (1886), bedoeld voor kinderen, en Symbolic Logic (1896). In Oxford geeft hij op een meisjesschool les uit The Game of Logic. Hij overweegt zelfs de titel Logic for Ladies. Tal van komische anekdoten getuigen van de tot wanhoop gedreven kinderen die hij deze kost probeert te voeren. Toch behaalt hij er ook successen mee. Witte zwanen
Tot en met de 19e eeuw is de logica bijna te identificeren met de zogenaamde syllogistiek. Syllogismen zijn redeneringen volgens een zeker patroon over de eigenschappen van objecten. Een voorbeeld: ‘alle zwanen zijn wit, sommige ganzen zijn niet wit, dus sommige ganzen zijn geen zwanen’. In de 19e eeuw neemt de formalisering van deze halfformele logica toe. Mijlpalen zijn het werk van de Britse wiskundigen Augustus De Morgan (1806-1871) en George Boole (1815-1864). Behalve het systematisch redeneren over eigenschappen, zoals dat een zwaan wit is (een eigenschap als ‘wit zijn’ behoeft slechts één argument), beschrijft De Morgan (Formal Logic, 1847) het redeneren over relaties, zoals dat een olifant groter is dan een zwaan. De relatie ‘groter zijn dan’ behoeft twee argumenten. In de syllogistiek was een redenering als ‘een olifant is groter dan een zwaan, een zwaan is groter dan een muis, dus een olifant is groter dan een muis’ niet geldig. Boole (Mathematical Analysis of Logic, 1847) formaliseert de logische zinsverbanden ‘en’, ‘of’, ‘als ..., dan’ als het rekenen met waarheidswaarden: de naam Boolese algebra. 1 staat voor waar, 0 voor onwaar, ‘en’ wordt vermenigvuldigen en ontkennen wordt van teken veranderen. Omdat het waar is dat u nu Natuur & Techniek leest (een 1) maar onwaar dat u nu zwemt (een 0), luidt de vertaling van ‘het is onzin dat u nu tegelijk Natuur & Techniek leest en zwemt’ dat ‘het is onzin dat 1 en 0’. Met andere woorden: niet(1 en 0), of geheel formeel, – (1 · 0). We kunnen hiermee gaan rekenen en krijgen dan – (1 · 0) = -0 = 1. De bewering is dus waar! Een fundamentele keuze vormt de zo-
genaamde ‘materiële implicatie’: een implicatie (‘als..., dan’) is alleen onwaar als het ‘als...’-deel waar is of het ‘dan ...’-deel onwaar, zoals in ‘als dit tijdschrift Natuur & Techniek heet, dan heeft Lewis Carroll nooit bestaan’. Bedenk echter dat ‘als de maan van kaas is, dan heet dit tijdschrift Natuur & Techniek’ nu waar is, omdat ‘de maan is van kaas’ onwaar is. Boolese schakelingen vormen de basis van het binaire rekenen van iedere computer. Charles Lutwidge Dodgson heeft bijgedragen tot de verspreiding van dit gedachtengoed. Zijn twee belangrijke bijdragen op dit gebied zijn het visualiseren van syllogistische redeneringen en het debatteren over de diverse niveaus waarop we logisch redeneren. Dodgson correspondeert met
Pillow problem 14 Bewijs dat driemaal de som van drie kwadraten gelijk is aan de som van vier kwadraten.
Pillow problem 9 Gegeven zijn twee lijnen l en l’ die snijden in een punt A, en een punt P (niet op l of l’) in het gebied omsloten door de scherpe hoek tussen l en l’. Construeer twee lijnen door P, die onder een rechte hoek staan en l en l’ snijden in respectievelijk L en M, zodat de driehoeken APL en APM gelijke oppervlakken hebben.
Antwoord op pagina 72, 73
Natuur & Techniek 66, 1 (1998)
71
W I S K U N D E
D e
l o g i c a
v a n
A l i c e
John Venn (1834-1923) over visualisaties. Deze Engelse logicus ontwikkelt een algemener systeem om verzamelingen te visualiseren. Tot enkele jaren geleden vormde de grafische weergave van verzamelingen met Venn-diagrammen nog een onderdeel van het middelbare-schoolonderwijs. Met zijn grappige stukken over begripsverwarringen die ontstaan door het verwarren van niveaus van redeneren, inspireert Dodgson latere logici, in het bijzonder Bertrand Russell (1872-1970) bij diens studies over de logische grondslagen van de wiskunde. Douglas Hofstadter citeert in zijn boek Gödel, Escher, Bach de discussie tussen Achilles en de Schildpad over de complicaties van logische afleidbaarheid, oorspronkelijk in 1895 door Dodgson gepubliceerd in het tijdschrift Mind. De volgende redenering past in dit beeld: 1 het regent 2 als het regent word ik nat 4 ik word nat
In het gesprek tussen de Kollumer Kat en Alice verwerkt Dodgson een zogenaamde propositielogisch geldige redenering.
Redenering 4 lijkt een logisch gevolg uit 1 en 2. Een extra aanname kan extra zekerheid en vertrouwen in het bewijs opleveren: 1 het regent 2 als het regent word ik nat 3 uit ‘het regent’, en ‘als het regent word ik nat’, volgt ‘ik word nat’ 4 ik word nat Nu volgt 4 pas ècht uit 1, 2 en 3.
antwoorden Klokken
Het doublet
Verkiezingen
Syllogisme
Een stilstaande klok geeft twee keer per dag de juiste tijd aan. Een klok die 1 minuut per dag voorloopt geeft één keer in de twee jaar (60·12 dagen) de juiste tijd aan.
appel papen palen paren peren
Volgens de formule van Carroll wordt ieder met ten minste 201 stemmen direct verkozen. Jansen en Pietersen worden direct verkozen. Iedere andere kandidaat kan door een coalitie voldoende stemmen krijgen om verkozen te worden. Dit kan ook zonder dat Jansen deel uitmaakt van die coalitie. Tevens kan Jansen in z’n eentje een willekeurige niet verkozen kandidaat aan de macht brengen. Als de anderen dat willen, kunnen ze Karelsen buiten de boot houden.
No kitten with green eyes will play with a gorilla.
72
ramp dram rade deur begin enige einde kegel gleed degen neder ander natuur natur turn turc torch torche koche kirche cherie sicher schrik kitsch kitchen techniek
Pillow problem 14 3 · (a2 + b2 + c2) = (a + b + c)2 + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2) + (a2 – 2ab + b2) = (a + b + c)2 + (b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2.
Niet alleen de aspecten van de taal waarin Dodgson zich interesseerde is inmiddels een compleet vakgebied, ook de visualisering van informatie waarin hij veel belang stelde, staat momenteel sterk in de belangstelling. Bekend is het visueel programmeren: Java. Onder logici is ook veel belangstelling voor het visueel redeneren. Venn-diagrammen vormen daarbij geen hulpmiddel om redeneringen te verduidelijken, maar zijn een op zichzelf staand visueel formalisme dat de moeite van het bestuderen waard is. In 1898 overlijdt Dodgson na een kort ziekbed aan de complicaties van een longontsteking, in de 19e eeuw een vaak dodelijke infectie. Dat hij zich die laatste weken verwarmt aan een asbesthaard, een technologisch nieuwtje, zal zijn longen ook geen goed hebben gedaan. Dodgson heeft zich als een der eersten spelenderwijs beziggehouden met allerlei verschijnselen die nog steeds in het middelpunt van de belangstelling staan. Vooral zijn oneindige nieuwsgierigheid, gecombineerd met zijn precieze beschrijvingen en zijn onbeperkte wens om dit zo goed mogelijk uit te dragen, maken hem een belangrijke inspiratiebron. Als Lewis Carroll blijft hij onvergetelijk. Drs Hans P. van Ditmarsch (38) studeerde wiskunde en wijsbegeerte aan de Universiteit Utrecht. Hij ontwikkelde vijf jaar lang aan de Open Universiteit cursussen op het gebied van de logica en de kennissystemen. Van Ditmarsch is docent bij de opleiding Technische Cognitiewetenschap aan de Rijksuniversiteit Groningen en is betrokken bij een landelijk project voor cursusontwikkeling op het gebied van kennistechnologie. Daarnaast onderzoekt hij logicaonderwijs. Internet http:\\www.lewiscarroll.org\carroll.html Voor onder meer drie Nederlandse en twee Zuidafrikaanse vertalingen van het gedicht Jabberwocky: http:\\www.pair.com\keithlim\jabberwocky\translations\ (voor wie hiervan opkijkt: er staan ook vijf Russische en vijf Zweedse!)
Alice neemt de Rode Koningin in haar handen en schudt haar. “Uwe Rode Majesteit moet niet zo luid spinnen”. Zo ontwaakt Alice aan het eind van het tweede boek uit een droom.
Literatuur Lewis Carroll (vertaling Nicolaas Matsier). De avonturen van Alice in Wonderland. Amsterdam: Van Goor 1996. Morton N. Cohen. Lewis Carroll; A Biography. MacMillan (Knopf) 1995. Martin Gardner. The annotated Alice. Wings 1993. Martin Gardner. The Universe in a Handkerchief. Copernicus 1996.
Pillow problem 9 Trek van het snijpunt A een lijn naar P. Trek door punt A een lijn EF loodrecht op de lijn AP, die door het punt A in twee gelijke helften wordt gedeeld. Trek vervolgens vanuit E de lijn EG en vanuit F de lijn FH, waarbij G en H op respectievelijk lijn l en l’ liggen en EG en FH evenwijdig aan de lijn AP zijn. Verbind G en H met elkaar en trek, vanuit het snijpunt van GH met AP, een halve cirkel die AP snijdt in K. Verbind K met G en met H. GK en GH maken nu een rechte hoek met elkaar. Trek vanuit het punt P de lijnen PL en PM die parallel zijn aan respectievelijk KG en KH. De driehoek APL verhoudt zich tot de driehoek AKG als E AP staat tot AK. Dat geldt ook voor de verhouding tussen de driehoeken APM en AKH. De driehoeken AKG en AKH A zijn gelijk en hebben gelijke hoogten AE, AF. De driehoeken APL en APM zijn gelijk, zowel de driehoek F LPM als de driehoek GKH zijn een rechte hoek. Natuur & Techniek 66, 1 (1998)
l L G
P K
l' H
M
73
