Optimalizace prodeje proˇsl´eho zboˇz´ı Pavel Kocourek Z´ apadoˇ cesk´ a univerzita v Plzni
Pavel Kocourek
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
Pl´an prezentace Sezn´amen´ı se s problematikou a popis matematick´eho modelu Analytick´e vyj´adˇren´ı zisku v jednotliv´ych pˇr´ıpadech, kromˇe posledn´ıho Stochastick´y model posledn´ıho pˇr´ıpadu a jeho ˇreˇsen´ı Porovn´an´ı jednotliv´ych strategi´ı obchodn´ıka Z´avˇer
Pavel Kocourek
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
´ Uvod
Proˇsl´e zboˇz´ı - jak s n´ım naloˇzit prodat se slevou - zisk z prodeje, risk sn´ıˇzen´ı popt´avky po nov´em zboˇz´ı vylouˇcit z prodeje - ztr´ata zisk˚ u z prodeje proˇsl´eho zboˇz´ı, zajiˇstˇen´ı popt´avky po nov´em zboˇz´ı C´ıl Obchodn´ık n´as poˇz´adal, abychom mu poradili, kolik bochn´ık˚ u chleba m´a pravidelnˇe objedn´avat a jak m´a naloˇzit s den star´ym (“tvrd´ym”) chlebem. Obchodn´ık chce nejen poradit, co m´a dˇelat ve sv´e situaci, ale zaj´ım´a jej obeznˇe za jak´ych podm´ınek bude jeho rozhodnut´ı optim´aln´ı.
Pavel Kocourek
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
Matematick´y model Ceny jsou uv´adˇeny v USD. Popt´avka (bochn´ık˚ u chleba) syt´y den: Dp = 400 hladov´y den: Dh = 200 den je syt´y s pravdˇepodobnost´ı α N´akladov´a cena bochn´ıku chleba je c = 3. Cena bochn´ıku ˇcerstv´eho chleba je pf = 4. Hodnota bochn´ıku ˇcerstv´eho chleba pro z´akazn´ıka je vf = 5 a “tvrd´eho” chloebu je vo = 4. Obchodn´ık mus´ı rozhodnout (zvolit strategii) Kolik chleba objedn´avat
Tvrd´y chl´eb ()
1
N = Dh
a) neprod´avat
2
N = Dp
b) prod´avat za po,b = 3.2
3
Dh < N < Dp
c) prod´avat za po,c = 2.8 Pavel Kocourek
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
Pˇrehled znaˇcen´ı Symbol
Hodnota
V´yznam
Dh Dp α
200 400 0.5
Popt´avka po chleba v hladov´y den Popt´avka po chleba v syt´y den Pravdˇepodobnost v´yskytu syt´eho dne
c pf po,b po,c
3 4 3.2 2.8 1. Dh 2. Dp 3. promˇenn´y
N´akladov´a cena bochn´ıku chleba Cena ˇcerstv´eho chleba Cena tvrd´eho chleba v pˇr´ıpadˇe b) Cena tvrd´eho chleba v pˇr´ıpadˇe c)
5 4
Hodnota ˇcerstv´eho chleba pro z´akazn´ıka Hodnota tvrd´eho chleba pro z´akazn´ıka
N vf vo
Poˇcet bochn´ık˚ u chleba, kter´y obchodn´ık objedn´av´a
Pavel Kocourek
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
Minim´aln´ı a maxim´aln´ı objedn´avka Pozn´ amka: N´aklady, v´ynosy a zisk jsou m´ınˇeny za 1 den. 2. Maxim´aln´ı objedn´avka N = Dp = 400 1. Minim´aln´ı objedn´avka N = Dh = 200 Kaˇzd´y den se prod´a Dh bochn´ık˚ u chleba a ˇz´adn´y nezbyde. V´ynos ˇcin´ı R = Dh pf
Kaˇzd´y den je dostatek ˇcerstv´eho chleba, proto se nevyplat´ı tvrd´y chl´eb nab´ızet. V hladov´y den se prod´a Dh bochn´ık˚ u a v syt´y den Dp bochn´ık˚ u.
N´aklady jsou E = Dh c
Pr˚ umˇern´y v´ynos ˇcin´ı R = Dh pf + α(Dp − Dh )pf
Zisk U = R − E je
N´aklady jsou E = Dp c
U1 = Dh (pf − c).
Pr˚ umˇern´y zisk je U2 = (Dh pf −Dp c)+α(Dp −Dh )pf .
Pavel Kocourek
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
3. Stˇredn´ı objedn´avka Dh < N < Dp a) Tvrd´y chl´eb se vyhazuje V hladov´y den se prod´a Dh bochn´ık˚ u a v syt´y den N bochn´ık˚ u. Pr˚ umˇern´y zisk je U3a = Dh pf − Nc + α(N − Dh )pf . b) Tvrd´y chl´eb se nab´ız´ı za po,b = 3.2 Kaˇzd´y z´akazn´ık preferuje ˇcerstv´y chl´eb pˇred tvrd´ym, protoˇze vo − po,b = 4 − 3.2 < 5 − 4 = vf − pf V hladov´y den se prod´a Dh bochn´ık˚ u. V syt´y den, kter´y n´asleduje po hladov´em dnu, se prod´a M = min{N − Dh , Dp − N} bochn´ık˚ u a v syt´y den n´asleduj´ıc´ım po syt´em dnu N bochn´ık˚ u. Pr˚ umˇern´y zisk je U3b = (Dh pf − Nc) + α[(N − Dh )pf + Mpo,b ] − α2 Mpo,b . Pavel Kocourek
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
3. Stˇredn´ı objedn´avka Dh < N < Dp b) Tvrd´y chl´eb se nab´ız´ı za po,b = 2.8 Kaˇzd´y z´akazn´ık preferuje tvrd´y chl´eb pˇred ˇcerstv´ym, protoˇze vo − po,c = 4 − 2.8 > 5 − 4 = vf − pf Stav z´asob tvrd´eho chleba z´avis´ı velikosti popt´avky v pˇredchoz´ıch dnech. Je nutno pouˇz´ıt stochastick´y model. Necht’ x je poˇcet bochn´ık˚ u tvrd´eho chleba na zaˇc´atku dne. Potom na konci dne z˚ ustane min{x + N − Dh , N} bochn´ık˚ u ˇcerstv´eho chleba pokud den byl hladov´y a max{x + N − Dp , 0} bochn´ık˚ u ˇcerstv´eho chleba pokud den byl syt´y.
Pavel Kocourek
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
3.c) Stochastick´y model Mnoˇzstv´ı tvrd´eho chleba na zaˇc´atku dne pop´ıˇseme stavem N k ∈ {0, . . . , K }. Stav k odpov´ıd´a sk = k K bochn´ık˚ um tvrd´eho chleba. N´ahodnou veliˇcinu ud´avaj´ıc´ı stav z´asob n-t´y den od zaˇc´atku prodeje oznaˇcme Xn . Stochastick´y proces {Xn , n ∈ N0 } tvor´ı Markov˚ uv ˇretˇezec. Matice pravdˇepodobnost´ı pˇrechodu je α 0 ··· 0 1 − α .. . 1−α . . α . P = α 1 − α α 1 − α .. .. . . α 0 ··· 0 1−α
Pavel Kocourek
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
3.c) Pr˚ umˇern´y zisk
Numericky nalezneme vektor stacion´arn´ıho rozdˇelen´ı π = {πk }K k=0 (tj. sloupcov´y vektor pro kter´y π T P = π T a kπk1 ). V´ynosy za den, jsou-li z´asoby tvrd´eho chleba ve stavu k, jsou Rk = α(sk po,c + min{N, Dp − sk }pf ) + (1 − α)(min{sk , Dh }po,c + max{Dh − sk , 0}pf ) Pr˚ umˇern´e v´ynosy potom jsou R=
PK
Pavel Kocourek
k=0 πk Rk .
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
Porovn´an´ı pˇr´ıpad˚ u 1., 2., 3a U1 = Dh (pf − c) = 200 U2 = (Dh pf − Dp c) + α(Dp − Dh )pf = −400 + 800α U3a = Dh pf − Nc + α(N − Dh )pf (= −100 + 400α) Utility 400
200
Α 0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 U1
-200 U2 U3 a -400
Pavel Kocourek
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
Porovn´an´ı pˇr´ıpad˚ u 1., 2., 3a U1 = Dh (pf − c) = 200 U2 = (Dh pf − Dp c) + α(Dp − Dh )pf = −400 + 800α U3a = Dh pf − Nc + α(N − Dh )pf (= −100 + 400α) Utility 400
200
Α 0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 U1
-200 U2 U3 a -400
U3a =
Dp −N Dp −Dh U1
Pavel Kocourek
+
N−Dh Dp −Dh U2
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
Porovn´an´ı pˇr´ıpad˚ u 3a, 3b U3b = (Dh pf − Nc) + α[(N − Dh )pf + Mpo,b ] − α2 Mpo,b , kde M = min{N − Dh , Dp − N}. Konkr´etnˇe pro N = 300 U3b = −100 + 720α − 320α2 . Utility 400
200
Α 0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
U1 -200
U2 U3 a U3 b
-400
Pavel Kocourek
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
Porovn´an´ı pˇr´ıpad˚ u 3b, 3c
200
200
100
100 N 250
300
350
N
400
250
-100
Α= 0.2
300
350
400
350
400
Α= 0.4 -100 -200 -200
-300 -400
-300
-500
-400
200
260 240
100 220 N 250
Α= 0.6
300
350
400
Α= 0.8
200 180
-100
160 -200 140 N
-300
250
Pavel Kocourek
300
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
Kolik objednat v pˇr´ıpadˇe 3b)
Definujme pf + po,b − a1 = 2po,b
√
−pf + po,b − a2 = 2po,b
D1
√
D1 = (pf + po,b )2 − 4po,b c.
,
D2
,
D2 = (pf − po,b )2 + 4po,b c.
Potom obchodn´ıkovo optim´aln´ı rozhodnut´ı zavis´ı na hodnotˇe α: α ∈ (0, a1 ], minim´aln´ı objedn´avka N = Dh α ∈ (a1 , a2 ), stˇredn´ı objedn´avka N = 21 (Dh + Dp ) α ∈ [a2 , 1), maxim´aln´ı objedn´avka N = Dp
Pavel Kocourek
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
Z´avˇer Shrnut´ı Urˇcili jsme, k jak´ym zisk˚ um vedou jednotliv´e strategie. Zjistili jsme, ˇze ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u je nejv´yhodnˇejˇs´ı volit cenu proˇsl´eho zboˇz´ı tak, ˇze z´akazn´ık preferuje nov´e zboˇz´ı. Obchodn´ık se rozhoduje mezi minim´aln´ı, stˇredn´ı, nebo maxim´aln´ı objedn´avkou zboˇz´ı podle toho, s jakou pravdˇepodobnost´ı je popt´avka vysok´a, nebo n´ızk´a. Jak by bylo moˇzn´e matematick´y model vylepˇsit Zahrnout do zisku obchodn´ıka faktor povˇesti. Tj. spokojenost z´akazn´ıka vyn´asoben´a koeficientem. T´ım z´ısk´ame zjednoduˇsen´y model pouˇziteln´y pro oligopoln´ı prostˇred´ı. Uvaˇzovat popt´avku jako n´ahodnou veliˇcinu s nˇejak´ym spojit´ym rozdˇelen´ım (nam´ısto rozdˇelen´ı alternativn´ıho). Zohlednit fakt, ˇze kaˇzd´y z´akazn´ık si jinak cen´ı proˇsl´e zboˇz´ı. Pavel Kocourek
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
Dˇekuji v´am za pozornost...
Pouˇzit´a literatura P. W. Jones, P. Smith Stochastic procesis: An introduction. Hodder Arnold Fudenberg, Drew a Tirole, Jean. Game Theory. MIT Press, 1991.
Pavel Kocourek
Optimalizace prodeje proˇsl´ eho zboˇz´ı
