Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 1 (2015), hal 63 – 68.
OPTIMALISASI WAKTU PRODUKSI MIE INSTAN MENGGUNAKAN ANALISIS INPUT-OUTPUT SISTEM LINEAR MAKS-PLUS WAKTU INVARIAN Winda Fitri Winarti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani INTISARI Aljabar maks-plus adalah himpunan , dengan merupakan himpunan semua bilangan real, yang dilengkapi dua operasi biner, yaitu maksimal sebagai dan penjumlahan sebagai . Aljabar maks-plus digunakan untuk memodelkan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Penerapan aljabar maks-plus untuk memodelkan suatu permasalahan diantaranya pada penjadwalan, transportasi, manufakturing dan sistem antrian. Sistem Linear Maks-Plus Waktu Invarian (SLMI) merupakan Sistem Kejadian Diskret (SKD) yang dinyatakan dalam persamaan xk+1) = A xk) B uk) dan yk) = C xk). Dengan memanfaatkan aljabar maks-plus, pada penelitian ini akan dikaji input-output untuk mengoptimalkan waktu produksi Mie Instan di perusahaan PT.XX. Langkah awal penelitian ini adalah memodelkan sistem produksi ke dalam SLMI. Setelah model terbentuk, dilakukan analisis input-output sistem produksinya dengan kondisi awal dengan penyangga dalam keadaan kosong x )= ε dan barisan
T
input. Diketahui vektor input u u( 0 ) u( 1 ) u(k 1 ) dengan bilangan k pada SLMI SISO dengan kondisi awal kosong x) = ε , maka outputnya y = H u dengan H merupakan matriks keterobservasian. Hasil penelitian ini diperoleh output waktu penyelesaian produksi dalam satu hari yaitu selama 85512 detik atau 23 jam 45 menit 12 detik atau dalam satu hari perusahaan Mie Instan hanya bisa melakukan 26 kali produksi. Kata kunci: analisis input-output, optimal, SLMI SISO
PENDAHULUAN Dalam kehidupan sehari-hari terdapat beberapa permasalahan diberbagai bidang seperti sistem produksi perakitan, sistem jaringan komunikasi, sistem pemrosesan paralel dalam komputer, sistem jaringan kereta, dan sebagainya yang dapat dimodelkan secara matematis ke dalam sistem linear [1]. Salah satu permasalahan dalam pemodelan dan analisa suatu sistem produksi adalah waktu aktivitasnya yang belum diketahui. Hal ini dikarenakan sistem produksi masih pada tahap perancangan, data-data mengenai waktu aktivitas belum diketahui dengan pasti maupun distribusinya. Waktu aktivitas ini dapat diperkirakan berdasarkan hasil dari pengamatan maupun pendapat dari para ahli atau operator dari sistem produksi tersebut [2]. Pemodelan suatu sistem jaringan dengan pendekatan aljabar maks-plus dapat memberikan gambaran tentang sistem yang lebih kompleks. Aljabar maks-plus adalah himpunan , dengan merupakan himpunan semua bilangan real, yang dilengkapi dua operasi biner, yaitu maksimal sebagai dan penjumlahan sebagai . Himpunan dinotasikan dengan . Sehingga aljabar maks-plus dapat dinotasikan ke dalam bentuk himpunan [3]. Ide aljabar maks-plus ditemukan pertama kali pada tahun 1950-an, tetapi teorinya baru mulai berkembang pada tahun 1960-an dan telah digunakan untuk memodelkan dan menganalisis sistem secara aljabar pada beberapa masalah jaringan, seperti penjadwalan, sistem antrian, dan kombinatorik. Lebih jelasnya dapat dilihat pada [1], [3], [4] dan [5]. Penelitian aljabar maks-plus dalam sistem ini menggunakan Sistem Linear Maks-Plus Waktu Invarian (SLMI). SLMI ini digunakan untuk memodelkan dan menganalisis input-output sistem produksi. Adapun tujuan dari penelitian ini adalah mengoptimalkan waktu produksi Mie Instan di PT.XX dengan kondisi awal , dimana penyangga dalam keadaan kosong dan suatu barisan input yang
63
W.F. WINARTI, N. KUSUMASTUTI DAN E. NOVIANI
64
dinotasikan dengan SLMI . Pada penelitian ini, dibatasi pada sistem linear maks-plus waktu invarian dengan satu input dan satu output (SLMI SISO) dengan menggunakan operasi matriks dalam aljabar maks-plus, matriks dalam sistem persamaannya merupakan matriks konstan, yaitu tidak tergantung pada parameter k sehingga sistemnya merupakan sistem waktu invarian dan sistem yang digunakan sistem yang memiliki kondisi awal atau input. ANALISIS INPUT-OUTPUT SLMI SISO Setiap titik dalam sistem produksi mempunyai aktivitas tertentu yang membutuhkan waktu, dimana aktivitas suatu titik hanya dapat dimulai bila semua titik telah menyelesaikan aktivitasnya dan mengirimkan hasilnya sepanjang ruas garis berarah yang menghubungkannya. Misalkan pada sistem produksi, memerlukan waktu untuk pemrosesan dari tempat pemrosesan pertama ke pemrosesan selanjutnya. Sehingga bentuk persamaan umum, yaitu [4]: (1) untuk , , dan Setiap titik mempunyai aktivitas tertentu. Aktivitas-aktivitas ini memerlukan waktu yang dinamakan waktu aktivitas. Jadi, ruas garis berarah yang bersesuaian dengan dapat ditafsirkan sebagai saluran output titik dan sebagai saluran input titik serta menganggap aktivitas sebagai kejadian, sehingga tafsirannya adalah [4]: i. : waktu saat awal titik menjadi aktif pada kejadian keii. : jumlah waktu aktivitas titik ke titik Sebuah sistem dikatakan waktu invarian jika respon terhadap suatu urutan input tertentu tidak tergantung pada waktu dan sistem yang operasinya dapat diprediksi secara tepat. Berikut ini diberikan definisi mengenai SLMI SISO dan SLMI Autonomous. Definisi 1 [1] Sistem linear maks-plus waktu invarian dengan satu input dan satu output (SLMI SISO) dapat dinyatakan dengan persamaan berikut: (2) untuk , dengan kondisi awal menyatakan suatu keadaan sistem, skalar menyatakan output sistem saat waktu ke- .
,
, , , vektor menyatakan input sistem, dan skalar
Secara khusus untuk SLMI SISO dengan kondisi awal Sistem Persamaan (2) diperoleh [5]:
diperoleh input-outputnya dari
k 1
(3)
i 0
dan k 1
(4)
i 0
untuk
.
Untuk SLMI SISO berdasarkan input dan kondisi awalnya diperoleh outputnya dalam akibat berikut. Akibat 2 [3] Diberikan suatu bilangan vektor input
atau SLMI
. Jika vektor output pada SLMI SISO dengan kondisi awal
dan , maka
Optimalisasi Waktu Produksi Mie Instan Menggunakan...
65
dengan [
]
Bukti: Jika diberikan kondisi awal Persamaan (3), misalkan
dan barisan input
dengan induksi matematik pada
11
i 0
Jadi, Persamaan (3) benar untuk Misalkan,
n 1
i 0
Jadi, Persamaan (3) benar untuk Akibatnya diperoleh Persamaan (4),
. k 1
i 0
untuk Diberikan
suatu
bilangan
. Jika didefinisikan maka dari Persamaan (4) diperoleh:
dan
ditulis dalam bentuk matriks: [
]
[
]
[
]
atau dengan [
]
Dari Akibat 2 berarti jika diketahui kondisi awal sistem, semua penyangga dalam keadaan kosong dan tidak ada unit pemrosesan yang memuat bahan mentah atau setengah jadi [1]. APLIKASI PADA PRODUKSI MIE INSTAN Sistem produksi Mie Instan ini terdiri dari 9 unit pemrosesan, yaitu
dan
.
W.F. WINARTI, N. KUSUMASTUTI DAN E. NOVIANI
66
Bahan baku dimasukkan ke dan , diproses dan dikirimkan ke untuk dicampurkan dan sampai ke untuk proses pembungkusan produk. Waktu pemrosesan untuk dan berturut-turut adalah dan satuan waktu (detik). Sistem produksi Mie Instan disajikan seperti pada Gambar 1. berikut ini 𝑢 𝑘
𝑡
𝑑
𝑃
𝑃 𝑃
𝑡
𝑡
𝑑
𝑑
𝑑
𝑑
𝑡
𝑃
𝑡
𝑃
𝑡
𝑑
𝑑
𝑃
𝑡
𝑃
𝑡
𝑃 𝑡
𝑡
𝑃
𝑑
𝑑
𝑡
𝑦 𝑘
Gambar 1. Sistem Produksi Mie Instan Keterangan: pengayakan tepung olahan bumbu mixing pengepresan dan pembentukan untaian mie pengukusan cutting dan pencetakkan penggorengan cooling pembungkusan Diasumsikan bahwa setiap unit pemrosesan mulai bekerja segera setelah bahan tersedia dan telah menyelesaikan pemrosesan produk sebelumnya, dengan: : waktu saat bahan baku tepung dan bumbu dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke: waktu saat unit pemrosesan ke- mulai bekerja untuk pemrosesan ke: waktu saat produk mie ke- yang diselesaikan meninggalkan sistem Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke, jika bahan mentah yang dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke- , maka bahan mentah ini tersedia pada input unit pemrosesan pada waktu . Akan tetapi hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke- . Karena waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu (detik), maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat . Menggunakan operasi aljabar maks-plus maka diperoleh: Dengan alasan yang sama untuk diselesaikan meninggalkan sistem, diperoleh:
dan
waktu saat pemrosesan ke-
yang
Optimalisasi Waktu Produksi Mie Instan Menggunakan...
untuk
67
dan kondisi awal dalam keadaan kosong
.
Berdasarkan Gambar 1 tentang sistem produksi Mie Instan diperoleh bentuk pemodelan SLMI SISO, ditulis ke dalam bentuk persamaan matriks aljabar maks-plus seperti berikut
3513 2908 2593 1363 206 180
ε ε ε ε ε ε
3723 3118 2803 1573 416 390
77
900
ε
ε ε
ε
600 1820 1215
900
2750 2145 1830
ε ε ε
ε ε ε ε
600
3380 2775 2460 1230
ε ε ε ε ε
73
ε ε ε ε ε ε ε
ε ε ε ε ε ε ε ε
3860 3255 2940 1710 553 527 214 322
0 15 920 1850 2480 2613 2823 2960
[ 4212 3607 3292 2062 905 879 566 674 300 ]
[ 3312 ]
[ ε ε ε ε ε ε ε ε 300 ]
untuk
[ x1 ( k ) x 2 ( k ) x9 ( k ) ]
dengan
.
Dari bentuk pemodelan persamaan matriks di atas, maka matriks didefinisikan sebagai waktu pemrosesan untuk unit pemrosesan produksi Mie Instan yang sedang berlangsung, matriks didefinisikan sebagai waktu transfer dari awal bahan baku dimasukkan ke sistem produksi sampai proses ke-i, matriks didefinisikan sebagai jumlah waktu proses akhir dan waktu transfer sebelum produk Mie Instan dapat diambil atau selesai dikerjakan dan matriks didefinisikan sebagai waktu keadaan sistem untuk tiap unit pemrosesan atau mesin saat bahan dimasukkan.
3513 2908 2593 1363 206 180
ε ε ε ε ε ε
3723 3118 2803 1573 416 390
77
900
ε
ε
600 1820 1215
ε ε
ε ε ε
900
2750 2145 1830
600
3380 2775 2460 1230
ε ε ε ε
ε ε ε ε ε
73
ε ε ε ε ε ε ε
ε ε ε ε ε ε ε ε
3860 3255 2940 1710 553 527 214 322
0 15 920 1850 2480
,
, dan
2613 2823 2960
[ 4212 3607 3292 2062 905 879 566 674 300 ]
[ 3312 ]
[ ε ε ε ε ε ε ε ε 300 ]
.
SLMI dengan suatu barisan vektor keadaan sistem dan barisan output sistem, misalkan diberikan kondisi awal sistem kosong . Pada sistem produksi Mie Instan ini, membutuhkan waktu 900 detik dalam sekali proses dan waktu transfer dari input ke adalah 0 detik. membutuhkan waktu pemrosesan selama 600 detik dalam sekali proses dan waktu transfer dari input ke adalah 15 detik. Sehingga produksi pada dapat dimulai pada detik ke, yang berarti diberikan barisan input , , , ,
, , , ,
untuk setiap
,
,
, ,
,
, ,
, ,
, , ,
, , ,
satuan waktu (detik) , maka diperoleh barisan output seperti pada Tabel 1 berikut ini ,
,
,
W.F. WINARTI, N. KUSUMASTUTI DAN E. NOVIANI
68
Tabel 1. Perhitungan Waktu Keadaan dan Output SLMI K X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 Y
1 0 15 920 1850 2480 2613 2823 2960 3312 3612
2 900 915 1820 2750 3380 3513 3723 3860 4212 4512
3 2700 2715 3620 4550 5180 5313 5523 5660 6012 6312
4 6300 6315 7220 8150 8780 8913 9123 9260 9612 9912
5 13500 13515 14420 15350 15980 16113 16323 16460 16812 17112
............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ...............
21 67500 67515 68420 69350 69980 70113 70323 70460 70812 71112
22 68400 68415 69320 70250 70880 71013 71223 71360 71712 72012
23 70200 70215 71120 72050 72680 72813 73023 73160 73512 73812
24 73800 73815 74720 75650 76280 76413 76623 76760 77112 77412
25 81000 81015 81920 82850 83480 83613 83823 83960 84312 84612
26 81900 81915 82820 83750 84380 84513 84723 84860 85212 85512
27 83700 83715 84620 85550 86180 86313 86523 86660 87012 87312
Berdasarkan dari hasil perhitungan output SLMI pada Tabel 1 dengan waktu penyelesaian produksi dalam satu hari adalah 24 jam atau 86400 detik, dilihat pada baris ke-10 kolom ke-26 menunjukkan bahwa dalam satu hari perusahaan Mie Instan hanya bisa melakukan 26 kali produksi, yaitu selama 85512 detik atau 23 jam 45 menit 12 detik karena kondisi awal sistem semua penyangga dalam keadaan kosong dan tidak ada unit pemrosesan yang memuat bahan mentah atau produk setengah jadi. PENUTUP 1. Dari model sistem produksi dengan aljabar maks-plus, yaitu dan , untuk dapat didefinisikan bahwa sebagai waktu pemrosesan untuk unit pemrosesan produksi yang sedang berlangsung, sebagai waktu transfer dari awal bahan baku dimasukkan sampai proses ke-i dan sebagai jumlah waktu proses akhir dan waktu transfer sebelum produk dapat diambil atau selesai dikerjakan. 2. Jika vektor output dan vektor input dengan bilangan pada SLMI SISO dengan kondisi awal kosong , maka . 3. Masalah input-output SLMI pada produksi Mie Instan dengan kondisi awal serta barisan waktu saat bahan mentah dimasukkan ke sistem (input), menghasilkan output waktu penyelesaian produksi dalam satu hari yaitu selama 85512 detik atau 23 jam 45 menit 12 detik atau dalam satu hari perusahaan Mie Instan hanya bisa melakukan 26 kali produksi. DAFTAR PUSTAKA [1]. Rudhito A. Sistem Linear MaxPlus Waktu Invariant. Tesis tidak diterbitkan. Yogyakarta: Program Pascasarjana Universitas Gajah Mada; 2003. [2]. Rudhito A. Sistem Linear Max-Plus Interval Waktu Invariant. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ”Matematika dan Pendidikan Karakter dalam Pembelajaran” FMIPA. UNY. 2011; 01:104-113. [3]. De Schutter B, T. van den Boom. Max-Plus Algebra and Max-Plus Linear Discrete Event Systems: An Introduction. Proceedings of the 9th International Workshop on Discreete System (WODES’08). Sweden: Delf University of Technology. 2008; 09:36-42. [4]. Bacelli F, Cohen G, Olsder GJ, Quadrat JP. Synchronization and Linearity An Algebra for Discrete Event Systems. New York: John Wiley and Sons; 1992. [5]. De Schutter B. Max-Algebraic System Theory for Discrete Event Systems. Leuven: Departement of Electrical Enginering Khatolieke Universiteit Leuven; 1996. WINDA FITRI WINARTI NILAMSARI KUSUMASTUTI EVI NOVIANI
: FMIPA UNTAN, Pontianak,
[email protected] : FMIPA UNTAN, Pontianak,
[email protected] : FMIPA UNTAN, Pontianak,
[email protected]
