KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN
Opfriscursus wiskunde 1 B HW avond en schakelprogramma avond 2015-2016 C. Biront J. Deprez T. Moons
DAG 1: Eerstegraadsfuncties
Eerstegraadsfuncties
Kostprijs van een taxirit bij taxibedrijf A? (1) • Vertrekgeld: 5 euro • Kmprijs: 2 euro Kostprijs rit van 7 km?
Kostprijs van een taxirit bij taxibedrijf A? (2) • Vertrekgeld: 5 euro • Kmprijs: 2 euro Kostprijs y van een rit van x km?
1
Benamingen • x (lengte rit) en y (prijs rit): • y hangt af van x:
• formule y = 5 + 2x:
Vorm van de vergelijking y = 5 + 2x
Kostprijs taxirit taxibedrijven B,C,..? • y = 4.50 + 2.10x; y = 5.20 + 1.90x; enz. … • Algemeen: y = vast vertrekgeld + kmprijs x y=q+mx y=mx+q EERSTEGRAADSFUNCTIE! (toepassingen: lineaire functie genoemd) Let op: m en q VAST (per bedrijf): parameters! x en y: VERANDERLIJKEN!
2
ANDERE SITUATIES waarbij ook nog eerstegraadsfuncties ontstaan? • Kostprijs y om auto van 20 000 euro aan te kopen en daarmee x km rijden als de kosten 0.8 euro per km bedragen? • Totale productiekosten TK om q eenheden te produceren als FK = 3 en de productiekost per eenheid 0.2 is?
Situaties waarbij functie GEEN EERSTEGRAADSFUNCTIE is? Crashen met de taxi aan 100 km/h is VEEL dodelijker dan bij 50 km/h omdat de energie E evenredig is met het KWADRAAT van de snelheid v. Voor taxi van 980 kg: E = 490v² d.i. NIET van de vorm y = mx + q en dus GEEN eerstegraadsfunctie!
Betekenis van de parameter q in de vergelijking • Taxibedrijf A: y = 2x + 5. Hier is q = 5: de vertrekprijs.
3
Betekenis m in de vergelijking • Taxibedrijf A: y = 2x + 5, m = 2: de kmprijs.
Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven (1) Eerste manier: Meest geconcentreerde vorm!
Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven (2) Tweede manier: Meest concrete vorm!
4
Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven (3) Derde manier: Meest visuele vorm!
Eerstegraadsfuncties: nauwkeuriger, wiskundiger, … (1) • Bij de prijsberekening voor taxibedrijf A ontstond een eerstegraadsfunctie, nl. y = 2x + 5. Maar wat is nu PRECIES die eerstegraadsfunctie?
Eerstegraadsfuncties: nauwkeuriger, wiskundiger, … (2)
5
Algemeen • Eerstegraadsfunctie f: “regel” die een getal x omzet in het getal f(x) (dikwijls als y genoteerd) zo dat f(x) = mx + q (en dus ook y = mx + q) waarbij m 0 (!!) • De grafiek is altijd een schuine (!!) rechte. • Betekenis parameter q: q = f(0) • Betekenis parameter m: f ( x) y m x x
Grafische betekenis parameter q • q in het voorbeeld van taxibedrijf A • Algemeen:
Grafische betekenis parameter m (1) • m in het voorbeeld van taxibedrijf A • als x met 1 eenheid toeneemt, neemt y met m eenheden toe
6
Grafische betekenis parameter m (2)
y
y
y
2
2
2
x -2
2
m< 0
2
-2
2
m> 0
m= 0 -2
x
x -2
-2
-2
Grafische betekenis parameter m (3) als x met x eenheden toeneemt, neemt y met mx eenheden toe
Grafische betekenis van de parameters m en q We zien deze betekenis duidelijk hier … http://www.home.zonnet.nl/lauwen37/applets/Rechte lijn/RechteLijn.html
7
Oefeningen • oefening 1 • oefening 2 (alleen aangeduide punten mogen gebruikt worden!)
Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (1) • Kapitaal van 10 000 euro volledig beleggen in bepaald aandeel en bepaalde obligatie aandeel: 80 euro per stuk obligatie: 250 euro per coupure • Hoeveel van elk zijn mogelijk met het gegeven kapitaal?
Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (2) • Er geldt: 80qA + 250qO = 10 000
8
Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (3) • Er geldt: 80qA + 250qO = 10 000 • We kunnen het verband, DE RELATIE, tussen qA en qO duidelijker, EXPLICIETER, uitdrukken:
Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (4) • Er geldt: 80qA + 250qO = 10 000 • We kunnen het verband, DE RELATIE, tussen qA en qO duidelijker, EXPLICIETER, ook als volgt uitdrukken:
Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (5) Verband, RELATIE, tussen qA en qO: • 80qA + 250qO = 10 000: IMPLICIETE vergelijking beide veranderlijken in één lid, vorm ax + by + c = 0 • qO = 40 0.32qA: EXPLICIETE vergelijking afhankelijke geïsoleerd in linkerlid, rechterlid alleen onafhankelijke veranderlijke, vorm y = mx + q • qA = 125 3.125qO: EXPLICIETE vergelijking afhankelijke geïsoleerd in linkerlid, rechterlid alleen onafhankelijke veranderlijke, vorm y = mx + q
9
Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (6) DE RELATIE tussen qA en qO komt in dit geval overeen met een EERSTEGRAADSFUNCTIE (twee keuzen!) en kan dus (op twee manieren!) grafisch voorgesteld worden door EEN DEEL VAN EEN RECHTE (LIJNSTUK): 50
qO
10
14 0
qA 20
14 0
qA
qO
20 10
50
Vergelijkingen van rechten (1) • De grafiek van een eerstegraadsfunctie f met vergelijking y = mx + q is EEN RECHTE. • Een vergelijking van de vorm ax + by + c = 0 met b 0 bepaalt een eerstegraadsfunctie en is dus ook de vergelijking van een rechte. (Om y te kunnen isoleren moet GEDEELD worden door b, daarom moet b 0!) • Elke vergelijking van de vorm ax + by + c = 0 WAARBIJ a EN b NIET TEZAMEN NUL ZIJN bepaalt een rechte! Zie oefening 5.
Vergelijkingen van rechten (2) Richtingscoëfficiënt van een rechte met twee gegeven punten:
10
Vergelijkingen van rechten (3) • rechte door een gegeven punt met een gegeven richtingscoëfficiënt: rechte door punt (x0, y0) met rico m heeft vergelijking
oefeningen 3 en 4
Oefeningen (1) • oefening 7 werkwijze: • oefening 8 (a) werkwijze:
Oefeningen (2) • oefening 9 (a), (b), (c), (i), (e), (d) • oefening 14 enz.
WISKUNDE LEREN = ZELF VEEL OEFENINGEN MAKEN, FOUTEN BEGRIJPEN EN DE OEFENINGEN CORRECT OPNIEUW MAKEN
11
Functie en relatie (1)
grootheid, veranderlijke = eigenschap van een (groep) object(en) die d.m.v. een getal kan weergegeven worden, verschillende exemplaren van het object geven verschillende getallen in de zuivere wiskunde: bv. x, y, z, … in toepassingen: toepasselijke symbolen, bv. TK voor totale kosten, q voor hoeveelheid, … Een functie beschrijft hoe een grootheid afhangt van één (of meerdere) andere groothede(n). standaardnotatie voor een functie van één (onafhankelijke) veranderlijke: y(x); y is de afhankelijke veranderlijke, x is de onafhankelijke veranderlijke (standaardnotatie voor functie van twee (onafhankelijke) veranderlijken: z(x,y); z is de afhankelijke veranderlijke, x en y (!) zijn de onafhankelijke veranderlijken) Vaak wordt aan de functie zelf een symbool toegekend: f, g, … Een relatie beschrijft een verband tussen twee (of meer) grootheden. Voorlopig beschouwen we de termen functie en relatie als synoniemen.
Eerstegraadsfuncties
expliciete vergelijking: y = mx + q, met m en q getallen (en m 0 (?)) impliciete vergelijking: ax + by + c = 0 met b 0 grafiek: rechte m = richtingscoëfficiënt = helling; q = Y-intercept meetkundige betekenis: teken van m bepaalt of rechte naar boven/onder/horizontaal loopt (of eerstegraadsfunctie stijgend/dalend/constant is) grootte van m bepaalt hoe steil de rechte is als x met 1 eenheid toeneemt, neemt y met m eenheden toe
m
y y1 y hoogteverschil 2 horizontale afstand x2 x1 x
q bepaalt hoogte van snijpunt rechte en verticale as
rechte door ( x0 , y0 ) met rico m heeft vergelijking y y0 m( x x0 )
evenwijdige rechten: gelijke rico’s onderling loodrechte rechten: product van de rico’s is –1
toenameformule: y m x
y is evenredig met x als en slechts als y = c x voor een vast getal c
Functie en relatie (2) Functies en relaties worden beschreven d.m.v. een vergelijking (formule), een grafiek of een verzameling koppels (tabel). expliciete vergelijking: drukt expliciet uit hoe y afhangt van x
van de vorm y f (x) (y zelf in linkerlid, uitdrukking met x alleen in rechterlid) impliciete vergelijking drukt een verband uit tussen x en y
van de vorm g ( x, y) 0 (x en y in hetzelfde lid) stijgende functie van één veranderlijke: als x toe/afneemt, neemt ook y toe/af; grafiek loopt omhoog dalende functie van één veranderlijke: als x toe/afneemt, neemt y af/toe; grafiek loopt omlaag
Opfriscursus wiskunde – dag 1 1. a. Stel de rechte met vergelijking y 2 x 1 voor op een figuur. Maak hiervoor gebruik van de betekenis van y-intercept en richtingscoëfficiënt. b. Welke y-waarde hoort er bij x 2 ? (Controleer je resultaat op de figuur.) c. Welke x-waarde hoort er bij y 2 ? (Controleer je resultaat op de figuur.) 2. Bepaal de vergelijking van de vorm y mx q voor elk van de rechten A, B, C, D, E en F uit de onderstaande figuur door gebruik te maken van de betekenis van m en q.
y
B
F
(3,9) (0,7)
(6,6)
(0,3)
A
C (2,0) x D
E
3. Bereken de vergelijking van de rechte die door het punt (2, 3) gaat en die evenwijdig loopt met de rechte door de punten (4,1) en (2, 2) . 4. Bereken de vergelijking van de rechte die door het punt (2, 3) gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking 2 x 3 y 6 0 . 5. Welke figuur wordt voorgesteld door de vergelijking a. 2 x 3 y 1 0 ? b.
(0 x) 3 y 1 0 ?
c.
2 x (0 y) 1 0 ?
d.
(0 x 0 y ) 1 0 ?
6. De hoeveelheid q die van een zeker product verkocht kan worden, hangt af van de prijs p die ervoor gevraagd wordt. Veronderstel dat het verband tussen beide grootheden gegeven wordt door q 24 0.8 p . Deze functie wordt de vraagfunctie genoemd. a. Maak een grafiek van deze vraagfunctie en lees de richtingscoëfficiënt van de grafiek af. Deze vraagfunctie is in eerste instantie bruikbaar om de waarde van q te bepalen als er een waarde voor p gegeven is. We kunnen deze formule echter ook gebruiken 'in de omgekeerde zin'. b. Veronderstel dat we willen dat er 16 eenheden van het product verkocht kunnen worden. Hoeveel moet de prijs dan bedragen? c. Veronderstel dat we willen dat er 20 eenheden van het product verkocht kunnen worden. Hoeveel moet de prijs dan bedragen? d. Als we de waarde van p moeten bepalen voor heel veel verschillende waarden van q, dan kunnen we de bovenstaande vergelijking beter in een andere vorm schrijven, namelijk de vorm waarbij p uigedrukt wordt in functie van q. Doe dit. 1
e. Controleer het antwoord op de vragen b. en c. met behulp van deze formule. De formule uit oefening d. kunnen we opvatten als de vergelijking van een functie die p uitdrukt in functie van q. Deze nieuwe functie wordt de inverse vraagfunctie genoemd. f. Maak een grafiek van deze inverse vraagfunctie en lees de richtingscoëfficiënt van de grafiek af. g. Welk verband bestaat er tussen de richtingscoëfficiënt van de grafieken van de vraagfunctie en de inverse vraagfunctie? 7. Ga door berekening na of de grafieken van de functies f : y x 3 , g : y 2 x 2 en h : y 3x 1 door één punt gaan. 8 x y 25 8. a. Bepaal x en y zó dat 11x 29 4 y
5 p 9q 8 b. Bepaal p en q zó dat 3q 1 13 p 4a 5b c. Bepaal a en b zó dat 3a 8b 2
9. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op:
b.
3x 2 x 9 ; 2 5 3x 7 ( x 9) ( x 30) ;
c.
x 22 x 2 4 ;
d.
( x 2) 2 ( x 2) 2 2 x 2 ;
e.
12x 1 13x 4 4x 7 ; 2 6 5
f.
3x 7 2 x 1 2 x 1 5 ; 7 3 3 7
g.
( x 1)(x 1) ( x 2) 2 ;
a.
x 2 x 3 4 x 3 x; 5 2 6 i. 2 x 3 3x 6 . Hoeveel kg koffie van 4.12 EUR per kg moet men mengen met 45 kg koffie van 3.02 EUR per kg om een mengsel te verkrijgen van 3.79 EUR per kg ? Een eerste autocaruitbater rekent voor een halve-dag-reis 200 EUR vast recht aan en daarbij 1.15 EUR per km. Een tweede autocaruitbater rekent 300 EUR vast recht aan en daarbij 0.95 EUR per km. Hoeveel km moet een halve-dag-reis bedragen opdat de tweede autocaruitbater goedkoper zou zijn dan de eerste? De opbrengst TO in EUR bij de verkoop van q exemplaren van een tijdschrift wordt gegeven door TO 2.5 q . De vaste productiekosten bedragen 1485 EUR. De variabele productiekosten (in EUR) zijn evenredig met q met evenredigheidsfactor 0.25. Zoek het break-even-point (d.w.z. de waarde van q waarbij er noch winst noch verlies gemaakt wordt). Bij een electriciteitsmaatschappij hebben de klanten de keuze tussen twee mogelijkheden: het normaal en het tweevoudig tarief. Bij het normaal tarief betaalt men een vaste jaarlijkse vergoeding van 66.98 EUR en bovendien 0.13 EUR per verbruikte kWh. Het tweevoudig tarief biedt een voordeligere prijs voor het gebruik tijdens de 9 'nachturen'. Bij dit tarief wordt een vaste jaarlijkse vergoeding van 99.93 EUR aangerekend en betaalt men 0.13 EUR per verbruikte kWh overdag en 0.06 EUR per verbruikte kWh 's nachts. Bepaal vanaf hoeveel nachtverbruik het tweevoudig tarief goedkoper wordt. Aloyslavië heeft een heel eenvoudig belastingsstelsel: op het gedeelte van het inkomen tot 750 000 ALF (ALF = Aloysische frank) betaalt men 20 % belastingen en op het gedeelte boven 750 000 ALF betaalt men 60% belastingen. Het inkomen, uitgedrukt in eenheden van 1 000 000 ALF, stellen we
h.
10. 11.
12.
13.
14.
2
voor door x. De belasting die betaald moet worden, eveneens in 1 000 000 ALF, stellen we voor door b. a. Geef een vergelijking voor de functie die het verband geeft tussen de belasting en het inkomen en maak een grafiek van deze functie. (Aanwijzing: maak een onderscheid naargelang het inkomen onder of boven 750 000 ALF ligt). b. Men overweegt een hervorming. Het voorstel bepaalt dat men 10% belastingen zou moeten betalen op het gedeelte van het inkomen tot 300 000 ALF en 40% op het gedeelte boven 300 000 ALF. Geef weer een vergelijking voor de functie die (in dit geval) het verband geeft tussen de belasting en het inkomen. Maak een grafiek van deze functie op de figuur uit vraag a. c. Bepaal, door gebruik te maken van de grafieken en door berekeningen te maken, voor welke inkomens het voorstel minder voordelig zou zijn.
Oplossingen 1. a. Omdat het y-intercept –1 is, weten we dat de rechte door het punt 0, 1 gaat. Omdat de richtingscoëfficiënt –2 bedraagt, weten we dat met een toename van één eenheid in de x-richting een toename van –2 eenheden in de y-richting correspondeert. Omdat het punt 0, 1 tot de rechte behoort, ligt dus ook het punt 1, 3 erop. De gevraagde rechte is dus de rechte door de punten 0, 1 en 1, 3 . b. –5 c. –1.5 2. 3. 4.
1 3 3 2 x 3 , B : y 2x 3 , C : y 3 , D : y x 3 , E : y x 7 , F : y x 7 2 2 2 3 1 8 y x 6 3 3 y x 2
A: y
1 1 5. a. (schuine) rechte door de punten 0, en , 0 ; 3 2 1 b. horizontale rechte door het punt 0, ; 3
1 c. verticale rechte door het punt , 0 ; 2 d. lege verzameling.
6. a. rechte door de punten 0, 24 en 30, 0 ; richtingscoëfficiënt is -0.8. b. 10 c. 5 d. p 1.25q 30 e. OK f.
rechte door de punten 0, 30 en 24, 0 ; richtingscoëfficiënt is –1.25.
g. de richtingscoëfficiënten zijn elkaars omgekeerde (d.w.z. richtingscoëfficiënt van de grafiek van de vraagfunctie 3
=
1 richtingscoëfficiënt van de grafiek van de inverse vraagfunctie
of nog: richtingscoëfficiënt van de grafiek van de inverse vraagfunctie =
1 .) richtingscoëfficiënt van de grafiek van de vraagfunctie
7. Neen. De grafieken van de functies f en g snijden elkaar in het punt met coördinaten 1, 4 . De grafiek van de functie h gaat niet door dit punt. 8. a. x 3 en y 1
c. d.
1 3 en q 4 4 10 8 a en b 17 17 8 x 13 32 x 3 x2 x is een willekeurig reëel getal
e.
x
b. c. 9. a. b.
f. g.
p
47 139 9 x 10 5 x 4
6 13 i. x 3 10. 105 kg 11. meer dan 500 km Om het resultaat grafisch te controleren tekenen we in dezelfde figuur de grafiek van de kostprijs K1 in EUR voor een halve-dag-reis van x km bij de eerste uitbater en de grafiek van de kostprijs K2 in EUR voor een halve-dag-reis van x km bij de tweede uitbater. De vergelijkingen van deze functies zijn K1 200 1.15 x respectievelijk K 2 300 0.95 x .
h.
x
1000
K
800 600
uitbater 2 uitbater
400
x
200 0
250
500
12. 660 exemplaren 4
750
13. Noem x het verbruik in kWh overdag en y het verbruik in kWh 's nachts. De kostprijs in EUR volgens het normale tarief is dan K n 66.98 0.13( x y) . De kostprijs in EUR volgens het tweevoudig tarief is dan K t 99.93 0.13x 0.06 y . We zoeken de waarden van y waarvoor K n K t . We vinden dat aan deze ongelijkheid voldaan is als en slechts als y 470.71... . We besluiten dat het tweevoudig tarief voordeliger is vanaf 470.71 kWh nachtverbruik. 14. a.
0.2 x b 0.6 x 0.3
als 0 x 0.75 als 0.75 x b
0,6 0,4 0,2 0 0
0,5
1
1,5
x
b.
0.1x b 0.4 x 0.09
als 0 x 0.3 als 0.3 x b
0,6 0,4 0,2
x
0 0
0,5
1
1,5
c. De grafieken snijden elkaar in twee punten. Het inkomen dat overeenkomt met het meest linkse snijpunt noemen we a en het inkomen dat overeenkomt met het meest rechtse snijpunt noemen we c. Voor de inkomens die gelegen zijn tussen a en c is de huidige berekening van de belasting voordeliger dan het voorstel. Het meest linkse snijpunt onstaat door het linkse deel van de eerste grafiek te snijden met het rechtse deel van de tweede grafiek. Om a te vinden moeten we dus de vergelijking 0.2 x 0.4 x 0.09 oplossen. Zo vinden we dat a 0.45 . Het meest rechtse snijpunt onstaat door het rechtse deel van de eerste grafiek te snijden met het rechtse deel van de tweede grafiek. Om c te vinden moeten we dus de vergelijking 0.6 x 0.3 0.4x 0.09 oplossen. Zo vinden we dat c 1.05 . We bsluiten dat het voorstel minder voordelig is dan het huidige systeem voor de inkomens gelegen (strikt) tussen 450 000 ALF en 1 050 000 ALF.
5
DAG 2: Tweedegraadsfuncties
23-6-2010
Tweedegraadsfuncties
Groepsuitstap (1) • • • •
Minimum 20 deelnemers Kosten gids: 122 euro Bij 20 deelnemers: 80 euro pp Voor elke extra persoon: voor iedereen (ook eerste 20) vermindering van telkens 2 euro per persoon extra Totale ontvangsten agentschap bij 6 personen extra?
Groepsuitstap (2) • • • •
Minimum 20 deelnemers Kosten gids: 122 euro Bij 20 deelnemers: 80 euro pp Voor elke extra persoon: voor iedereen (ook eerste 20) vermindering van telkens 2 euro per persoon extra
Totale ontvangsten y agentschap bij x personen extra?
1
23-6-2010
Drie manieren om die tweedegraadsfunctie weer te geven Vergelijking: Tabel:
Grafiek:
Maximale ontvangsten? In dit geval kan het b.v. via een tabel:
Kan BEREKEND worden: algemene studie tweedegraadsfuncties!
Ontvangsten gelijk aan 1872?
OPLOSSINGEN of WORTELS zoeken van een vergelijking van de vorm ax² + bx + c = 0 TWEEDEGRAADSVERGELIJKING.
2
23-6-2010
Tweedegraadsfuncties: definities • Functie f (“MACHINE”!) met een voorschrift van de vorm f(x) = ax² + bx + c waarbij a 0. Of: functie met expliciete vergelijking van de vorm y = ax² + bx + c waarbij a 0. • Discriminant: d = b² 4ac
Vergelijkingen van de tweede graad • Vergelijkingen die herleidbaar zijn tot de vorm ax² + bx + c = 0 met a 0. • Oplossingen:
Tweedegraadsfuncties: grafiek is PARABOOL teken van de discriminant bepaalt het aantal snijpunten met de horizontale as teken van de coëfficiënt van x 2 bepaalt de oriëntatie van de holle zijde
3
23-6-2010
Tweedegraadsfuncties: TOP van de parabool
Oefeningen • Oefening 1 (f1 en f5) • Oefening 2 (a) en (b) • Oefening 2 (c): ONGELIJKHEID!
Ongelijkheden van de tweede graad ongelijkheden die te herleiden zijn tot de vorm ax 2 bx c 0
4
23-6-2010
Oefeningen • Oefening 2 (e), (f) • Oefening 4 • Oefening 6
De stelling van PYTHAGORAS
In een RECHTHOEKIGE DRIEHOEK geldt:
Afstand tussen twee punten
5
23-6-2010
Vergelijking van een cirkel (1) Alle punten liggen op afstand 5 van m(3, 2) dus …
Vergelijking van een cirkel (2) Bijzonder geval: middelpunt is het punt (0, 0): Vergelijking cirkel C met middelpunt (0, 0) en straal r:
Vergelijking van een cirkel (3) Stelt de vergelijking x 2 y 2 4 x 6 y
51 0 4
een cirkel voor?
6
23-6-2010
Relatie versus functie (1) x² + y² = 25 stelt een cirkel voor met middelpunt (0, 0) en straal 5. 6
y
x -6
6
-6
Relatie versus functie (2) x² + y² = 25 stelt een cirkel voor met middelpunt (0, 0) en straal 5. EXPLICIETE vergelijking:
6
y
x -6
6
-6
Relatie versus functie (3) De woorden functie en relatie zijn geen synoniemen. Een functie is een speciale relatie, namelijk: een functie is een relatie waarbij de afhankelijke veranderlijke op een eenduidige manier van de onafhankelijke veranderlijke afhangt, d.w.z. dat met één waarde van de onafhankelijke nooit meer dan één waarde van de afhankelijke veranderlijke overeenstemt.
7
23-6-2010
Oefeningen • oefening 9 enz. WISKUNDE LEREN = ZELF VEEL OEFENINGEN MAKEN, FOUTEN BEGRIJPEN EN DE OEFENINGEN CORRECT OPNIEUW MAKEN
8
Tweedegraadsfuncties van één veranderlijke 2
(expliciete) vergelijking: y = ax + bx + c , met a, b en c getallen (a niet 0)
discriminant: d = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c
−b± d 2a
Vergelijkingen van de tweede graad vergelijkingen die te herleiden zijn tot de vorm ax 2 + bx + c = 0
−b 2a
als discriminant d > 0: twee oplossingen x1,2 = als discriminant d = 0: één oplossing x = als discriminant d < 0: geen oplossingen
Cirkel cirkel met de oorsprong o als middelpunt straal r heeft vergelijking
x2 +y2 =r2 cirkel met het punt m met coördinaten (x 0 , y 0 ) als middelpunt en het getal r als straal heeft vergelijking: ( x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 = r 2
Grafiek: parabool, 6 gevallen teken van de discriminant bepaalt het aantal snijpunten met de horizontale as teken van de coëfficiënt van x 2 bepaalt de oriëntatie van de holle zijde
Ongelijkheden van de tweede graad ongelijkheden die te herleiden zijn tot de vorm < > ax 2 + bx + c 0 ≤ ≥
... en bepaal de gemeenschappelijke punten met de X-as door de VERGELIJKING op te lossen
Relatie versus functie De woorden functie en relatie zijn geen synoniemen. Een functie is een speciale relatie, namelijk: een functie is een relatie waarbij de afhankelijke veranderlijke op een eenduidige manier van de onafhankelijke veranderlijke afhangt, d.w.z. dat met één waarde van de onafhankelijke nooit meer dan één waarde van de afhankelijke veranderlijke overeenstemt.
top van de parabool: x-coördinaat is −
de top geeft de minimale/maximale functiewaarde aan
Afstand
b 2a
afstand van het punt p met coördinaten (x , y ) tot
de oorsprong o :
d (p ,o ) = x 2 + y 2
afstand van het punt p1 met coördinaten (x 1 , y 1 )
tot het punt p 2 met coördinaten (x 2 , y 2 ) :
d ( p , o ) = ( x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2
Opfriscursus wiskunde – dag 2. 1. Hieronder vind je zes tweedegraadsfuncties van één veranderlijke. Schets de grafiek van elk van deze functies. f1 : y x 2 5 x 6 ;
f 2 : y x 2 4x 4
f 3 : y x 2 4x 6
f 4 : y x 2 5x 6 ;
f 5 : y x 2 4x 4 ;
f 6 : y x 2 4x 6 .
2. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op: a.
11x 2 2(19x 12) 0 ;
b.
x2
c. d.
4 x 2 3x 1 7 x 2 x 3 ; (6 3x)(2 9 x) 0 ;
e. f.
100 x 2 ; 3x( x 3) 5( x 3) .
17 1 x ; 6 2
3. Gegeven zijn de functies f : y 2 x 4 en g : y x 2 4 x 5 . a. Bereken de snijpunten van de grafieken van deze twee functies. b. Teken de grafiek van beide functies in één figuur en controleer hiermee het resultaat van je berekeningen. 4. Bepaal de getallen b en c in de vergelijking van de functie f : y x 2 bx c zo dat f haar minimale waarde 3 bereikt in 4. 5. De functie f : y 2 x 2 2 x p 1 heeft 0 als uiterste waarde. Bereken p. 6. Een handelaar verkoopt wijn aan 7.5 EUR per liter. Om grote bestellingen aan te moedigen, beslist de handelaar om een reductie toe te kennen voor bestellingen van meer dan 100 liter. Voor iedere liter boven de honderd wordt de prijs per liter voor de hele bestelling (dus niet alleen voor de extra liters) met 0.01 EUR verlaagd. a. Geef een functievoorschrift voor de totale ontvangsten TO (in EUR) van de handelaar bij een bestelling van x liter wijn. b. Maak een grafiek van de functie TO(x). c. Bij welke bestelde hoeveelheid x zijn de totale inkomsten TO van de wijnhandelaar maximaal? d. Welke bovengrens moet de handelaar opleggen aan de toegelaten grootte van een bestelling opdat zijn totale ontvangsten positief zouden blijven? 7. Een reisbureau organiseert een reis voor 40 personen tegen een prijs van 300 EUR per persoon. Om meer mensen te trekken, besluit men een reductie toe te staan: de prijs wordt voor elke deelnemer (dus niet alleen voor de nieuwe deelnemers) verlaagd met 5 EUR telkens als zich één persoon extra aanmeldt (bovenop de 40 die reeds ingeschreven zijn). a. Bij welk aantal deelnemers zijn de totale onvangsten van het reisbureau maximaal? b. Welke bovengrens moet het reisbureau opleggen aan het toegelaten aantal deelnemers opdat de totale ontvangsten positief zouden blijven? 8. Een firma van elektronische onderdelen verkoopt maandelijks 5000 stuks van een bepaald onderdeel tegen 15 EUR per stuk. Een marktonderzoek wijst uit dat de verkoop telkens met 500 stuks zal stijgen als de eenheidsprijs met 1 EUR verlaagd wordt. Welke eenheidsprijs moet de firma nemen om een maximale omzet te realiseren? 9. Bepaal de vergelijking van de rechte die door het middelpunt van de cirkel met vergelijking x 2 y 2 2 x 2 y 2 0 gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x 2 y 0 .
1
Oplossingen 1. f4
f1 y
y
3
2
2
1
1
0
x x 0
0
1
2
3
4
5
-1 0
1
2
3
4
5
-1
-2
f5
f2
y
y 3
1
2
0
1
-1
x
0
1
2
3
4
5
x 0
-2 0
1
2
3
4
5
-1
-3
f6
f3
y
y 4
0
3
-1
0
2
-2
1 x
-3
5
-4
0 0
2. a. b.
1
2
x1 4, x2
3
4
6 ; 11
1 x1 , x2 3 ; 6
c. geen oplossingen; d. e.
2 x , 2 ; 9
x 10, 10 ;
2
x 1
2
3
4
5
f. 3. a.
5 x , 3 . 3
1, 2
b. y 8 g 4 x 0 -4
-2 -4
f
4.
b 8, c 19
5.
p
6. a.
0
3 2 als 0 x 100
7.5 x TO 2 0.01x 8.5 x
als x 100
b.
2000
TO
1500 1000 500
x
0 -500
0
200
400
600
800
1000
-1000
c. x 425, de totale ontvangsten van de handelaar zijn maximaal bij een bestelling van 425 liter. d. x 850 , bestellingen van 850 liter of meer zijn dus niet toegelaten. 7. a. De totale ontvangsten van het reisbureau zijn maximaal bij 50 deelnemers. b. Het aantal deelnemers moet kleiner zijn dan 100. 8. 12.5 EUR 9. y 2 x 1
3
Opfriscursus Wiskunde ( tweede week ) docent : Theo Moons bureel : T’Serclaes – gebouw, lokaal A.06 – 04 email :
[email protected]
Skype :
theomoonshub
Opfriscursus Wiskunde
Afgeleiden y y = f (x)
x
Hoe steil verloopt de grafiek van een functie ?
1
Helling bij een eerste - graadsfunctie Hoe steil verloopt de grafiek van de functie f (x) = 2 x – 1 ? 9
Y
∆y helling = ∆ x =
8
7
6
5
4
3
2
1
X −2
−1
0
1
2
3
4
5
−1
−2
Helling bij een eerste - graadsfunctie Hoe steil verloopt de grafiek van de functie f (x) = 2 x – 1 ? 9
Y
8
helling =
∆y ∆x
7
6
alsook
5
∆y ∆x =
4
3
Besluit : een maat voor helling is de van de rechte
2
1
X −2
−1
0
1
2
3
4
5
−1
−2
2
Herhaling : de rechte vergelijking :
y=mx+q
terminologie : m = de richtingscoëfficient ( kortweg rico ) q = de intercept
te onthouden : rechte
m=0
⇒ ⇒
m<0
⇒
rechte
m>0
rechte
3
Helling bij een tweede - graadsfunctie Hoe steil verloopt de grafiek van de functie f (x) = x 2 – 6 x + 8 ? 2-de graadsfunctie a=
⇒
⇒
de grafiek van f is een
een
de top ligt in xtop = en ytop = de nulpunten liggen in x1 =
en x2 =
Helling bij een tweede - graadsfunctie Hoe steil verloopt de grafiek van de functie f (x) = x 2 – 6 x + 8 ? de nulpunten liggen in x1 =
en x2 = Y
de top ligt in
4
3
2
1
X −1
0
1
2
3
4
5
6
−1
Besluit : ■ de helling verschilt van punt tot punt ■ de rico van de raaklijn in een punt = een maatgetal voor de helling in dat punt
4
Helling bij een willekeurige functie Definitie de helling van de grafiek van een functie f in het punt met eerste coördinaatgetal a
=
de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt met eerste coördinaatgetal a
=
de afgeleide van de functie f in het punt met eerste coördinaatgetal a
=
f ’(a)
Voorbeeld beschouw de derde-graadsfunctie f (x) = 0.5 x 3 – 0.5 x 2 – 3 x 4
Y
3
2
1
X −4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
programma : www.visumath.be
5
Oefening 1 Bepaal f ’(–1) , f ’(3) en f ’(5) voor de functie f waarvan de grafiek in onderstaande figuren is weergegeven.
(a)
oplossing f ’(–1) = f ’(3) = f ’(5) =
Oefening 1 Bepaal f ’(–1) , f ’(3) en f ’(5) voor de functie f waarvan de grafiek in onderstaande figuren is weergegeven.
(b)
oplossing f ’(–1) = f ’(3) = f ’(5) =
6
Oefening 1 Bepaal f ’(–1) , f ’(3) en f ’(5) voor de functie f waarvan de grafiek in onderstaande figuren is weergegeven.
(c)
oplossing f ’(–1) = f ’(3) = f ’(5) =
Belangrijke opmerking de raaklijn aan de grafiek verschilt van punt tot punt
⇒
de helling van de raaklijn verschil van punt tot punt
⇒
de afgeleide van een functie verschilt van punt tot punt
⇒
de afgeleiden f ’(x) vormen ook zelf een functie
Terminologie : de afgeleide functie
7
Berekenen van afgeleiden Stap 1 : de afgeleide functie (a) Als a een getal is, dan (a )’ = (b) Als f (x) = m x + q , dan f ’(x) = Merk op : ( m x + q )’ =
(c) Als f (x) = x r , dan f ’(x) =
voor elke r ∈ IR
(d) Algemeen : (a x r + b x s + c )’ = a ( x r )’ + b ( x s )’ + c (x 0)’ ( oefening 2 )
Berekenen van afgeleiden Stap 2 : de afgeleide in een punt voorbeeld de helling van de grafiek van de functie f (x) = 5 x 3 + 2 x + 8 in het punt met eerste coördinaatgetal 2
8
Oefening 3 Bereken telkens de afgeleide van de functie f in het punt a. (a) f (x) = x 4 in het punt a = 2 (b) f (x) = x 4 + 2 x 2 – 5 in het punt a = –1
Oefening 4 Beschouw de functie f (x) = x 3 . (a) Bepaal de helling van de grafiek in –1 , 0 en 10 door berekening. (b) Controleer het resultaat van de eerste twee berekeningen grafisch. (c) Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in het punt van de grafiek met eerste coördinaat –1.
Oefening 6 Beschouw de functie f (x) = – x 3 – 1.5 x 2 + 0.25 x . (a) Lees op de grafiek af voor welke waarden van x de helling gelijk is aan 0 , positief is, negatief is. (b) Controleer je antwoorden door berekening. (c) Teken de grafiek van de afgeleide functie. (d) In welke x- waarden is de afgeleide functie 0 ? Hoe kan je dit zien op de grafiek (i) van de afgeleide functie ? (ii) van de oorspronkelijke functie ?
9
Oefening 6 Beschouw de functie f (x) = – x 3 – 1.5 x 2 + 0.25 x . Y
De grafiek van deze functie is
5
- 3
- 2
- 1
1
2
X
- 5
Oefening 6 ( vervolg ) Beschouw de functie f (x) = – x 3 – 1.5 x 2 + 0.25 x . (e) In welke x- waarden is de afgeleide functie positief ? Hoe kan je dit zien op de grafiek (i) van de afgeleide functie ? (ii) van de oorspronkelijke functie ? (f) Probeer op de grafiek af te lezen in welk punt de helling het grootst is . (g) Bepaal dit punt door berekening .
10
Oefening 7 Beschouw de functie f (x) = ( x + 3 ) 2 – 4 . (a) Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek
in het punt van de grafiek met eerste coördinaat – 2. (b) In een ander punt van de grafiek staat de raaklijn loodrecht
op de raaklijn uit vraag (a). Bepaal dit punt door berekening. (c) Bepaal het snijpunt van de raaklijnen uit vragen (a) en (b).
Oefening 7 bis x2 Beschouw de functie f (x) = ( x + 3 ) 2 – 4 . 16
(a) Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek
in het punt van de grafiek met eerste coördinaat – 4. 2. (b) In een ander punt van de grafiek staat de raaklijn loodrecht
op de raaklijn uit vraag (a). Bepaal dit punt door berekening. (c) Bepaal het snijpunt van de raaklijnen uit vragen (a) en (b).
11
Notaties voor afgeleiden Voorbeeld :
f (x) = x 5
of
y = x5
dan wordt de afgeleide functie genoteerd als f ’(x) = (x 5 )’ =
alsook
dy d x5 d ( x5) = D ( x5) = = f ’(x) = dx dx dx lees : de afgeleide van y naar x
Merk op :
d dx
is het symbool voor “afleiden naar x ”
Oefening 9 Bereken
d x6 dx d t5 dt d q2 dq dx dx dq dp
als q = 120 – 0.08 p 2
d 3 t2 – 5 t + 1 dt
12
Afgeleiden in de economie Kostenfuncties Taxibedrijf :
vertrekprijs
5∈
kilometerprijs 2 ∈
vaste kost marginale kost
Als er x km gereden worden, dan zijn de totale kosten
∈
TK (x) =
Merk op : TK ’(x) =
= marginale kost
Te onthouden Als de totale kosten TK = f (q) , dan zijn de marginale kosten MK = TK ’(q) Formeel :
MK = TK ’(q) =
d TK dq
Oefening 5 In een bepaalde firma wordt bier geproduceerd. We stellen de dagelijks geproduceerde hoeveelheid ( in eenheden van 1000 liter ) voor door q. De totale dagelijkse productiekosten ( in eenheden van 100 EUR ) stellen we voor door TK. Ze worden gegeven door de functie TK = 2 q 3 – 24 q 2 + 102 q + 100 (a) Geef de vergelijking van de marginale kostenfunctie. (b) Maak de grafiek van de marginale kostenfunctie. (c) Op dit ogenblik bedraagt de productie 3500 liter per dag. Bereken de marginale kosten bij dit productieniveau. (d) Bij welke productie zijn de marginale kosten het laagst ?
13
Afgeleiden in de economie Economische groei winkel heeft momenteel 500 klanten via reclame maandelijks 30 nieuwe klanten aantrekken Na t maanden zal de winkel dan N(t) =
klanten hebben
Merk op : N ’(t) =
= groeisnelheid
Te onthouden Als N = f (t) de evolutie van een populatie in de tijd voorstelt , dan is de snelheid waarmee de populatie verandert N ’(t) Formeel :
groeisnelheid = N ’(t) =
dN dt
Oefening 8 Het aantal inwoners van een zekere stad stellen we voor door N. De tijd ( gemeten in jaar, vanaf 1 januari 2000) stellen we voor door t . Veronderstel dat de evolutie van het aantal inwoners van deze stad beschreven wordt door de functie N( t ) = 40000 + 1000 t 2 (a) Maak een nauwkeurige tekening van de grafiek van deze functie. (b) Gebruik de figuur uit vraag (a) om een schatting te maken van de groeisnelheid op 1 januari 2007. (c) Bereken de exacte waarde van de groeisnelheid op 1 januari 2007. (d) Teken de grafiek van de functie die de groeisnelheid weergeeft . (e) Geef een andere notatie voor de groeisnelheid.
14
Opfriscursus Wiskunde
exponentiële functies en logaritmische functies
15
Machten van getallen Voorbeeld 1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van 3 % per jaar ■ over 1 jaar zal men beschikken over 1000 + ( 3 % van 1000 ) =
Merk op :
“+ 3 %” wordt wiskundig “
”
Machten van getallen Voorbeeld 1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van 3 % per jaar ■ over 1 jaar zal men beschikken over
euro
■ over 2 jaar zal men beschikken over 1030 + ( 3 % van 1030 ) =
Merk op :
“+ 3 %” wordt wiskundig “
”
16
Machten van getallen Voorbeeld 1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van 3 % per jaar ■ over 1 jaar zal men beschikken over
euro
■ over 2 jaar zal men beschikken over ■ over 3 jaar zal men beschikken over 1060.90 + ( 3 % van 1060.90 ) =
Merk op :
“+ 3 %” wordt wiskundig “
”
Machten van getallen Voorbeeld 1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van 3 % per jaar ■ over 1 jaar zal men beschikken over 1000 ( 1.03 ) 1 euro ■ over 2 jaar zal men beschikken over 1000 ( 1.03 ) 2 euro ■ over 3 jaar zal men beschikken over 1000 ( 1.03 ) 3 euro ■ over 10 jaar zal men beschikken over 1000 ( 1.03 ) ( 1.03 ) ( 1.03 ) . . . ( 1.03 )
Merk op :
“+ 3 %” wordt wiskundig “maal 1.03”
17
Machten van getallen Definitie Als a een positief reëel getal en n en eenmnatuurlijk natuurlijke getal getallen is, zijn, dan an = a a a . . . a en a0 = 1 n keer
1
a–n = an 1
n
an = √a
m
n
n
a n = √ am = √ a
en
m
Terminologie a r leest men als “de r- de macht van a” a heet het grondtal r
heet de exponent
Oefening 1 Schrijf zonder exponenten 1
5 –2
27 – –3
7 –1
15 0
3
3 – 2–
100 0.1
18
Rekenregels voor machten Voor alle grondtallen a > 0 en b > 0 en voor alle exponenten r en s geldt :
ar as = ar + s ar = ar – s as ar
s
ab
= ar s r
= ar br
MAAR . . . en
a b
en
≠ ar + br ( a – b )r ≠ ar – br ( a + b )r
r
ar br
=
!!!!! !!!!!
Oefening 5 Schrijf de volgende uitdrukkingen als één enkele macht van x 3
x 0.5
6
1
3
x2 √ x
x3 √ x 4
x 0.25
√ x3
Oefening 6 Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen x2
2 3
4 y3
x yz
2
x y
y xz
2
z xy
2
1 2
1 2
x – y
x
1 2
3 4
y
1 3
2
19
Logaritmen Voorbeeld Een persoon zet bij de roulette 1 euro in op zijn geluksnummer 13. Zolang dit nummer niet uitkomt verdubbelt hij de inzet . Op een bepaald ogenblik zien wij hem 1024 euro inzetten. Hoeveel keer is zijn geluksnummer dan reeds niet uitgekomen ?
Antwoord ■ de eerste inzet bedraagt 1 euro ■ 1 keer niet uitgekomen
de inzet wordt
euro
de inzet wordt
euro
■ 3 keer niet uitgekomen
⇒ ⇒ ⇒
de inzet wordt
euro
■ m keer niet uitgekomen
⇒
de inzet wordt
■ 2 keer niet uitgekomen
. . .
euro
Logaritmen Voorbeeld Een persoon zet bij de roulette 1 euro in op zijn geluksnummer 13. Zolang dit nummer niet uitkomt verdubbelt hij de inzet . Op een bepaald ogenblik zien wij hem 1024 euro inzetten. Hoeveel keer is zijn geluksnummer dan reeds niet uitgekomen ?
Antwoord er wordt dus gevraagd :
bepaal m zodat 2 m = 1024
welnu, 1024 =
⇒
m =
Besluit : nummer 13 is reeds
keer niet uitgekomen !
nieuwe bewerking : “de exponent plukken bij grondtal 2 ”
20
Logaritmen Definitie Als g en x positieve getallen zijn en g ≠ 1 , dan de logaritme van het getal x bij grondtal g
= de macht waartoe men g moet verheffen om x te vinden g log
Formeel :
x = m ⇔ gm = x
lees : de logaritme van x bij grondtal g is m of kortweg : de g – logaritme van x is m
Voorbeeld :
2 log
1024 =
want
Logaritmen Definitie Als g en x positieve getallen zijn en g ≠ 1 , dan de logaritme van het getal x bij grondtal g
= de macht waartoe men g moet verheffen om x te vinden
Formeel :
g log
x = m ⇔ gm = x
gevraagd :
g log
x = ??
praktisch : schrijf x = g ?? zeg x = gm dan
g log
Te onthouden !!!!!
x = m
21
Oefening 2 Bereken ( indien mogelijk ) uit het hoofd 2 log
8
5 log
1
2 log
1 3
√2 2 log
32
2 log
( –2 ) 1 3
2 log 1
2 log
0
2 log
2 log
√ 25
8
1
4
log 9
3 log
10
22
Bijzondere grondtallen ■ grondtal g = 10 dan spreekt men van de decimale of de Briggse logaritme Notatie :
10 log
= log
Voorbeeld : log 10000 =
10 log
=
10000 want
■ grondtal g = e = 2.71828 . . .
10000 =
het getal van Euler
dan spreekt men van de natuurlijke of de Neperiaanse log. Notatie :
e log
Voorbeeld : ln
= ln 1
e3
=
e log
1
e3
=
want
1
e3 =
Oefening 3 Bereken met behulp van een rekenmachine log 1000
ln 3
ln e
log 2
ln 0.25
log e
Oefening 4 Bereken uit het hoofd log 0.001
log 10 12
ln √ e
log 1 000 000
ln 1
ln
1 e
23
Rekenregels voor logaritmen Voor elk grondtal g > 0 en g ≠ 1 en voor alle positieve getallen a en b en voor elke exponent r geldt : g log
g log
g log
MAAR . . .
(a b) = a b
=
g log
g log
a +
a –
g log
g log
b
b
( a r ) = r ( g log a )
er is geen formule voor of voor
g log
g log
(x + y )
( x – y ) !!!!!
Eigenschap Voor elk grondtal g ∈ IR0 en g ≠ 1 +
geldt dat
g log
x =
ln x ln g
Bewijs noem
g log
d.w.z.
x=
x=m
en dus ln x = ln ( of nog
ln x =
zodat
ln x = ln g
of m.a.w.
g log
)
x =
24
Exponentiële vergelijkingen Voorbeeld Een kapitaal van 10 000 euro staat uit aan een samengestelde interest van 10 % per jaar . Hoe lang duurt het vooraleer het kapitaal verdubbeld is ? Antwoord ■ over 1 jaar zal men beschikken over 10 000 + ( 10 % van 10 000 ) = 10 000 + (0.10) 10 000 = 10 000 (1) + 10 000 (0.10) = 10 000 ( 1 + 0.10 ) = 10 000 (1.10 ) = 11 000 euro Herinner u :
“+ 10 % ” wordt wiskundig “ maal 1.10 ”
Exponentiële vergelijkingen Voorbeeld Een kapitaal van 10 000 euro staat uit aan een samengestelde interest van 10 % per jaar . Hoe lang duurt het vooraleer het kapitaal verdubbeld is ? Antwoord ■ over 1 jaar zal men beschikken over 10 000 ( 1.10 ) 1 euro ■ over 2 jaar zal men beschikken over 10 000 ( 1.10 ) 2 euro ■ over 3 jaar zal men beschikken over 10 000 ( 1.10 ) 3 euro
. . .
■ over m jaar zal men beschikken over 10 000 ( 1.10 ) m euro gevraagd : bepaal m zodat 10 000 ( 1.10 ) m =
25
Oefening 7 Los de volgende vergelijkingen op . Welke vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen ? 20 ( 1.03 ) t = 30 12 ( 0.97 ) x – 8 ( 1.01 ) x = 0 10 g 17 = 50 5 ( 1.005 ) 12 t – 6 = 3 ( 1.07 ) t + 2 15 e 3 t = 47
26
Oefening 8 (a) Hoe lang moet een bedrag van 10 000 euro belegd worden aan 5 % per jaar opdat het zou aangroeien tot 15 000 euro ? (b) Welk bedrag moet men beleggen aan 5 % per jaar opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot 15 000 euro ? (c) Aan welke rentevoet moet men een bedrag van 10 000 euro beleggen opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot 15 000 euro ? (d) Welke van de bovenstaande vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen ?
Oefening 9 Radium is een radioactieve stof . Dit betekent dat deze stof spontaan verandert in een andere stof en dat daarbij radioactieve straling vrijkomt . De hoeveelheid radium vermindert dus en deze afname kan goed gemodelleerd worden door de vergelijking t
A = A0
1 1620 2
waarbij A 0 de hoeveelheid radium voorstelt bij het begin, t de tijd die sindsdien verlopen is en A de hoeveelheid radium op dat tijdstip. (a) Na hoeveel tijd is er nog 10 % over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium ? (b) Na hoeveel tijd is er nog de helft over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium ?
27
Opfriscursus Wiskunde
rekenkundige en meetkundige rijen
28
Kapitaal op samengestelde interest Voorbeeld Een kapitaal van 10 000 euro staat uit aan een samengestelde interest van 2 % per jaar . men men K0 = 10 000 ) 0 = euro 10 000 ■ bij storting heeft beschikt over K 0 (=1.02 10 000
€
■ over 1 jaar geeft dit
K 1 = 10 000 ( 1.02 ) 1 = 10 200
€
■ over 2 jaar geeft dit
K 2 = 10 000 ( 1.02 ) 2 = 10 404
€
■ over 3 jaar geeft dit
K 3 = 10 000 ( 1.02 ) 3 = 10 612.08 €
■ over n jaar geeft dit
K n = 10 000 ( 1.02 ) n
. . .
. . .
Besluit : dit genereert een rij getallen
€
rij
10 000 , 10 200 , 10 404 , 10 612.08 , . . . , 10 000 ( 1.02 ) n , . . .
Meetkundige rij Definitie Een meetkundige rij met reden q is een rij getallen t0 , t1 , t2 , t3 , . . . , tn , tn +1 , . . . waarbij t0 t1 = t0 q t2 = t1 q t3 = t2 q . . . tn = tn –1 q Terminologie t n = t 0 q n noemt men de algemene term van de rij t0 noemt men de beginterm
29
Oefening 1 Een wagen kost bij aankoop 20 000 EUR . Elk jaar verliest de wagen 20 % van zijn waarde . Dit betekent dat de waarde van de wagen elk jaar met een factor 0.80 vermenigvuldigd wordt . De waarde van de wagen na n jaar stellen we voor door Wn . (a) Druk Wn uit in functie van n . (b) Welk soort rij vormen de getallen W1 , W2 , W3 , . . . ?
Oefening 4 Een blad papier heeft een dikte van 0.1 mm . We vouwen het blad achtereenvolgens verschillende keren dubbel . De dikte van het blad na n keer vouwen stellen we voor door dn . (a) Druk dn uit in functie van n . (b) Welk soort rij vormen de getallen d 1 , d 2 , d 3 , . . . ?
Oefening 5 De rij t 0 , t 1 , t 2 , . . . is een meetkundige rij met reden 3 . Wat kan je dan zeggen over de rij t 0 , t 2 , t 4 , . . . ?
30
Oefening 3 Het BBP ( Bruto Binnenland Product ) van een land neemt elk jaar met 2.5 % toe . Dit wil zeggen dat het BBP elk jaar vermenigvuldigd wordt met een factor 1.025 . In jaar 1 bedraagt het BBP 600 miljard EUR . Het BBP ( in eenheden van 1 miljard EUR ) in jaar n stellen we voor door Bn . (a) Druk Bn uit in functie van n . (b) Welk soort rij vormen de getallen B 1 , B 2 , B 3 , . . . ?
31
Kapitaal op enkelvoudige interest Voorbeeld Een lening van 10 000 euro staat open aan een enkelvoudige interest van 2 % per jaar . ■ bij afsluiting is men de bank 10 000 euro verschuldigd ■ over 1 jaar is men de bank K 1 = 10 000 + ( 2 % van 10 000 ) =
verschuldigd zolang men niets terugbetaald heeft .
Kapitaal op enkelvoudige interest Voorbeeld Een lening van 10 000 euro staat open aan een enkelvoudige interest van 2 % per jaar . ■ bij afsluiting is men de bank 10 000 euro verschuldigd ■ over 1 jaar geeft dit
K 1 = 10 000 + 200 = 10 200 €
■ over 2 jaar is men de bank K 2 = 10 200 + ( 2 % van 10 000 ) enkelvoudige interest
verschuldigd zolang men niets terugbetaald heeft .
32
Kapitaal op enkelvoudige interest Voorbeeld Een lening van 10 000 euro staat open aan een enkelvoudige interest van 2 % per jaar . ■ bij afsluiting is men de bank 10 000 euro verschuldigd ■ over 1 jaar geeft dit
K 1 = 10 000 + 200 = 10 200 €
■ over 2 jaar geeft dit
K 2 = 10 000 + 2 (200) = 10 400 €
■ over 3 jaar is men de bank K 3 = 10 400 + ( 2 % van 10 000 )
verschuldigd.
Kapitaal op enkelvoudige interest Voorbeeld Een lening van 10 000 euro staat open aan een enkelvoudige interest van 2 % per jaar . ■ bij afsluiting heeft is men de bank verschuldigd men K 0 = 10 10000 000 euro + 0 ( 200 ) = 10 000 € ■ over 1 jaar geeft dit
K 1 = 10 000 + 1 ( 200 10 200 200 = )10=200 € €
■ over 2 jaar geeft dit
K 2 = 10 000 + 2 ( 200 ) = 10 400 €
■ over 3 jaar geeft dit
K 3 = 10 000 + 3 ( 200 ) = 10 600 €
■ over n jaar geeft dit
K n = 10 000 + n ( 200 ) €
. . .
. . .
Besluit : dit genereert een rij getallen
rij
10 000 , 10 200 , 10 400 , 10 600 , . . . , 10 000 + n ( 200 ) , . . .
33
Rekenkundige rij Definitie Een rekenkundige rij met verschil v is een rij getallen t0 , t1 , t2 , t3 , . . . , tn , tn +1 , . . . waarbij t0 t1 = t0 + v t2 = t1 + v t3 = t2 + v . . . tn = tn –1 + v Terminologie t n = t 0 + n v noemt men de algemene term van de rij t0 noemt men de beginterm
34
Oefening 2 Een machine in een firma kost bij aankoop 20 000 EUR . Ze wordt afgeschreven over een periode van 40 jaar . Elk jaar wordt hetzelfde bedrag afgeschreven . De waarde van de machine na n jaar stellen we voor door Wn . (a) Druk Wn uit in functie van n . (b) Welk soort rij vormen de getallen W1 , W2 , W3 , . . . ?
Oefening 7 Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke maand eenzelfde bedrag betaald . Soms is het echter interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de maandelijkse betalingen een ( dalende ) rekenkundige rij vormen . Veronderstel dat de betalingen voor een zekere lening gespreid worden over 240 maanden . De eerste maand betaalt men 855 EUR . Elke maand daalt het te betalen bedrag met 2 EUR . (a) Bereken hoeveel men in de 61 ste maand moet betalen . (b) Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen .
35
Partieelsom van een rekenkundige rij Voorbeeld Om een lening af te betalen moet iemand aan het eind van elke maand een bedrag aan de bank storten . Deze maand is dit bedrag 1000 € en voor elke volgende maand wordt het bedrag verminderd met 20 € . Wat is het totaal bedrag dat die persoon na 2 jaar zal betaald hebben ?
Antwoord ■ deze maand is het bedrag
t 0 = 1000 €
■ volgende maand is het bedrag
t 1 = 1000 – 1 ( 20 )
= 980 €
■ over 2 maanden is het bedrag t 2 = 1000 – 2 ( 20 )
= 960 €
■ over 3 maanden is het bedrag t 3 = 1000 – 3 ( 20 )
= 940 €
. . .
■ over 23 maanden is het bedrag t 23 = 1000 – 23 ( 20 ) = 540 €
Te onthouden de som van n opeenvolgende termen in een rekenkundige rij wordt gegeven door de formule ( t1 + tn ) n 2
Sn = t 1 + t 2 + t 3 + . . . + t n – 1 + t n =
d.i.
de som van de eerste en de laatste term maal het aantal termen gedeeld door 2
Voorbeeld 1000 + 980 + 960 + . . . + 560 + 540
=
36
Oefening 7 Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke maand eenzelfde bedrag betaald . Soms is het echter interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de maandelijkse betalingen een ( dalende ) rekenkundige rij vormen . Veronderstel dat de betalingen voor een zekere lening gespreid worden over 240 maanden . De eerste maand betaalt men 855 EUR . Elke maand daalt het te betalen bedrag bedrag met 2 EUR . (a) Bereken hoeveel men in de 61 ste maand moet betalen . (b) Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen .
37
Partieelsom van een meetkundige rij Voorbeeld Een persoon beslist op zijn 20 ste verjaardag om aan pensioensparen te doen. Van zijn 20 ste tot en met zijn 65 ste verjaardag zal hij 1000 € storten op een rekening die 10 % samengestelde interest opbrengt . Welk bedrag zal er net na zijn 65 ste verjaardag op die rekening staan ?
Antwoord ■ de storting op 20 ste verjaardag brengt 1000 ( 1.10 ) 45 € op ■ de storting op 21 ste verjaardag brengt 1000 ( 1.10 ) 44 € op ■ de storting op 22 ste verjaardag brengt 1000 ( 1.10 ) 43 € op
. . . ■ de storting op 64 ste verjaardag brengt 1000 ( 1.10 ) 1
€ op
■ de storting op 65 ste verjaardag brengt 1000
€ op
Algemeen Als q ≠ 1, dan 1 + q + q2 + q3 + . . . + qn–1 + qn =
1 – qn+1 1–q
Bewijs 1 + q + q2 + q3 + . . . + qn–1 + qn =
1 + q + q2 + q3 + . . . + qn–1 + qn
38
Te onthouden de som van de n+1 eerste termen van de meetkundige rij 1 , q , q2 , q3 , q4 , . . . , qn–1 , qn wordt gegeven door de formule Sn = 1 + q + q 2 + q 3 + . . . + q n – 1 + q n =
1 – qn+1 1–q
Voorbeeld 1000 ( 1 + 1.10 + 1.10 2 + 1.10 3 + . . . + 1.10 44 + 1.10 45 )
Oefening 6 Welke van de onderstaande sommen kan je berekenen m.b.v. de formule voor de partieelsommen van een rekenkundige of een meetkundige rij ? Bereken deze sommen m.b.v. de gepaste formule .
(a) 1 + 2 + 3 + . . . + 100 (b) de som van de eerste 20 termen van de rij 3 , 9 , 15 , 21 , . . . (c) de som van de eerste 10 termen van de rij 5 , 2.5 , 1.25 , . . . (d) 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + . . . + 0.5 6 (e) 1 – 0.5 + 0.25 – 0.125 + . . . + 0.5 6 (f) 1 + 1.1 + 1.11 + 1.111 + . . . + 1.111111111 (g) 1000 + 995 + 990 + . . . + 100 (h) 4 + 12 + 36 + . . . + 236 196
39
Opfriscursus wiskunde – dag 3 1. Bepaal f (1) , f (3) en f (5) voor de functie f waarvan de grafiek in onderstaande figuren is weergegeven. (In figuur 3 vind je eveneens twee raaklijnen aan de grafiek van f .)
Figuur 1
Figuur 2
2. Bereken de afgeleide functie c. x a. x5 d. 1 b. x2 e. 3x 4 2 x3
f.
x
g.
ax
Figuur 3
2x 5
2
2
bx c
(met a, b, c getallen)
3. Bereken telkens de afgeleide van de functie f in het punt a. a.
f ( x) x 4 , a 2
b.
f ( x) x4 2 x 2 5 , a 1
4. Gegeven is de functie f met vergelijking y x3 . a. Bepaal de helling van de grafiek in 1 , 0 en 10 door berekening. b. Controleer het resultaat van de eerste twee berekeningen grafisch (zie de grafiek hiernaast). c. Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in het punt van de grafiek met eerste coördinaat 1 . Y 4 3 2 1
1
1 1 2 3 4
1
X
5. In een bepaalde firma wordt bier geproduceerd. We stellen de dagelijks geproduceerde hoeveelheid (in eenheden van 1000 liter) voor door q. De totale dagelijkse productiekosten (in eenheden van 100 EUR stellen we voor door TK. De totale-kostenfunctie is de functie die de productiekosten uitdrukt in functie van de geproduceerde hoeveelheid en wordt gegeven door f : TK 2q 3 24q 2 102q 100.
Vaak wordt de marginale-kostenfunctie gedefinieerd als de afgeleide functie van de totalekostenfunctie. a. Geef de vergelijking van de marginale kostenfunctie. b. Maak de grafiek van de marginale kostenfunctie. c. Op dit ogenblik bedraagt de productie 3500 liter per dag. Bereken de marginale kosten bij dit productieniveau. d. Bij welke productie zijn de marginale kosten het laagst? 6. Gegeven is de functie f met vergelijking y x3 1.5x 2 0.25x . De grafiek van deze functie vind je hieronder. Y
5
3
2
1
1
2
X
5
a. Lees op de grafiek af voor welke waarden van x de helling gelijk is aan 0, positief is, negatief is. b. Controleer je antwoorden door berekening. c. Teken de grafiek van de afgeleide functie. d. In welke x - waarden is de afgeleide functie 0? Hoe kun je dit zien op de grafiek i. van de afgeleide functie? ii. van de oorspronkelijke functie e. In welke x - waarden is de afgeleide functie positief? Hoe kun je dit zien op de grafiek i. van de afgeleide functie? ii. van de oorspronkelijke functie f. *Probeer op de grafiek af te lezen in welk punt de helling het grootste is. g. *Bepaal dit punt door berekening. 7. Gegeven is de functie f met vergelijking y ( x 3)2 4 . a. Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in het punt van de grafiek met eerste coördinaat 2 . b. In een ander punt van de grafiek staat de raaklijn loodrecht op de raaklijn uit vraag a.. Bepaal dat punt door berekening. c. Bepaal het snijpunt van de raaklijnen uit vraag a. en b.. 2
8. Het aantal inwoners van een zekere stad stellen we voor door N. De tijd (gemeten in jaar, vanaf 1 januari 2000) stellen we voor door t. Veronderstel dat de evolutie van het aantal inwoners van deze stad beschreven wordt door de functie f : N 40 000 1000t 2 .
a. Maak een nauwkeurige tekening van de grafiek van deze functie. In deze context krijgt de afgeleide functie f de volgende betekenis: f (t ) is de snelheid waarmee het aantal inwoners van deze stad aangroeit op het tijdstip t. Daarom noemen we f (t ) de groeisnelheid op tijdstip t. b. Gebruik de figuur uit vraag a. om een schatting te maken van de groeisnelheid op tijdstip 7. c. Bereken de exacte waarde van de groeisnelheid op tijdstip 7. d. Teken de grafiek van de functie die de groeisnelheid weergeeft. e. Geef een andere notatie voor de groeisnelheid. 9. Bereken dq dx 6 dq 2 e. als q 120 0.08 p 2 a. c. dp dx dq b.
dt 5 dt
d.
dx dx
f.
d 3t 2 5t 1 dt
10. Gegeven is de vraagfunctie q 24 0.8 p . a. Teken 'de grafiek' van deze vraagfunctie.
dq en leg uit hoe we deze waarde kunnen aflezen uit 'de grafiek' uit dp oefening a..
b. Bereken
Oplossingen 1. In figuur 1, zijn alle raaklijnen horizontale rechten, de richtingscoëfficiënt van deze raaklijnen is dus 0. Bijgevolg geldt voor deze functie f dat f (1) f (3) f (5) 0 . In figuur 2 vallen alle raaklijnen samen met de rechte y x , de richtingscoëfficiënt van deze raaklijnen is dus 1. Bijgevolg geldt voor deze functie f dat f (1) f (3) f (5) 1. In figuur 3 gaat de raaklijn aan de grafiek van de functie f in het punt 1, 1 ook door het punt 1, 3 . De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de functie f in het punt 1, 1 is dus 1. Bijgevolg geldt dat f (1) 1. De raaklijn in het punt 3, 3 is horizontaal, De richtingscoëfficiënt van deze raaklijn is dus 0. Bijgevolg geldt voor deze functie f dat f (3) 0 . De raaklijn in het punt 5, 2.5 bevat (onder andere) de punten 0, 5 and 2, 4 . De richtingscoëfficiënt van deze raaklijn is dus 0.5 . Bijgevolg geldt voor deze functie f dat f (5) 0.5 2. a. 5x 4 b. 2x c. 1 3. a. 32
d. 0 e. f.
g.
12 x3 6 x2 2x 2
b. 3
8
2ax b
4. a. 3, 0, 300 5. a.
b. PM
c.
y 3x 2
f : MK 6q 2 48q 102
b. De grafiek is (het gedeelte van) een parabool (rechts van de verticale as) met opening naar boven die de horizontale as niet snijdt. De top is het punt met coördinaten (4, 6) . c.
f (3.5) 7.5 , d.w.z. 7.5 geldeenheden per eenheid productie of 750 EUR per 1000 liter
d. De marginale kosten zijn het laagst bij een productie die overeenstemt met de top van de parabool. Dit betekent bij q 4 , d.w.z. bij een productie van 4000 liter. 6. a. helling gelijk aan 0: voor x ongeveer gelijk aan 0 en aan 1 helling positief: voor x - waarden tussen deze twee x - waarden helling negatief: voor de andere x - waarden 1 3 1 3 1.077350 , x x2 0.077350 2 3 2 3 helling positief: voor x - waarden tussen x1 en x2
b. helling gelijk aan 0: x x1
helling negatief: voor de andere x - waarden c. PM 1 3 1 3 1.077350 , x x2 0.077350 2 3 2 3 i. x - coördinaat van de snijpunten van de grafiek met de X - as ii. x - coördinaat van de punten van de grafiek met een horizontale raaklijn e. voor x - waarden tussen x1 en x2
d.
x x1
i. gebied waar de grafiek boven de X - as ligt ii. gebied waar de raaklijnen aan de grafiek naar boven wijzen f. in het punt van de grafiek met eerste coördinaat ongeveer 0.5 g. (0.5, 0.375) 7. a.
y 2x 1
b.
(3.25, 3.9375)
c.
(2.625, 4.25)
8. a. De grafiek is (het gedeelte van) een parabool (rechts van de verticale as) met opening naar boven die de horizontale as niet snijdt. De top heeft coördinaten (0, 40 000) . Om een nauwkeurige tekening te krijgen, moet je nog een aantal punten van de grafiek berekenen en uitzetten. b. Teken de raaklijn aan de grafiek in het punt met eerste coördinaat 7 en bepaal grafisch de helling (let op de schaalverdeling op de verticale as!). Je resultaat moet bij benadering 14 000 (inwoners per jaar) bedragen. c. De groeisnelheid op tijdstip 7 is f (7) 14 000 (inwoners per jaar). d. De grafiek is een rechte door de oorsprong met helling 2000. dN e. dt 9. a.
6x5
b. c.
5t 4 2q
d. 1 e. 0.16 p f.
6t 5
4
10. a. Wiskundigen tekenen de grafiek van deze functie als volgt:
Economisten tekenen de grafiek van deze functie als volgt:
q=24-0.8p
q=24-0.8p
q
p
30
30
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
p
0 0
5
10
15
20
25
q
0
30
0
5
10
15
20
25
30
b. In het geval van een eerstegraadsfunctie is de afgeleide van de functie in elk punt gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de rechte die bepaald wordt door de eerstegraadsfunctie. We kunnen dus gebruik maken van de meetkundige betekenis van de richtingscoëfficiënt. Om de meetkundige betekenis van
dq 0.8 duidelijk te kunnen illustreren bij beide dp
alternatieven, vergroten we hieronder uit elk van beide grafieken een (willekeurig) stukje. q=24-0.8p
q=24-0.8p p
q 16
18 17
15
-0,8
+1 1
16 +1
-0,8
14
15
p
q 14
13 11
12
13
10
14
5
11
12
13
y x2 5x 6
1
Y 4 3 2 1
1 2 3 4
y x3
1
X
3
2
1
Y
5
5
1
2
y x3 1.5x 2 0.25x
X
Opfriscursus wiskunde – dag 4 1. Schrijf zonder exponenten (eventueel wel met wortels) en bereken (uit het hoofd of met je rekenmachine) a.
52
b.
7 1 3 3 2
c. 2. Bereken (zo mogelijk) uit het hoofd a.
2
log8
d.
2
log1
b.
2
log32
e.
5
log1
c.
2
log
f.
2
log(2)
g.
2
log 0
1 8
3. Bereken met behulp van je rekenmachine a. log1000 b.
log 2
c. ln 3 4. Bereken uit het hoofd: a. log 0.001 b.
log1000 000
c.
log1012
d.
ln1
e.
ln e
1 3
d.
27
e.
150
f.
1000.1
h.
2
i.
2
3
k.
log 4 25
log10
1 log 3 2
j.
1 3 log 9
d. e.
ln 0.25 ln e
f.
ln
1 e
5. Schrijf de volgende uitdrukkingen als één enkele macht van x. a.
x
b.
x2 3 x
0.5
3
d.
x3 x 4
x3
6
1 0.25 x 6. Vereenvoudig:
c.
a.
x y
b.
2 x3
2 3
4
1 3 y2 x4 2
c.
d.
1 y3 2
x y z yz xz xy
1 1 x2 y2
2
2
7. Los de volgende vergelijkingen op en controleer de oplossing door ze in de vergelijking in te vullen. Welke van deze vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? a.
20 1.03t 30
b. 12 0.97 x 8 1.01x 0 c.
10 g17 50
d.
5 1.00512t 6 3 1.07t 2
1
e.
15e3t 47
8. Als een bedrag B0 belegd wordt op samengestelde intrest tegen een rente van p% per jaar, dan is dat t
p bedrag na t jaar aangegroeid tot B B0 1 . 100 a. Hoe lang moet een bedrag van € 10 000 belegd worden aan 5% per jaar opdat het zou aangroeien tot € 15 000? b. Welk bedrag moet men beleggen aan 5% per jaar opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot € 15 000? c. Aan welke rentevoet moet men een bedrag van € 10 000 beleggen opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot € 15 000? d. Welke van de bovenstaande vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? 9. Radium is een radioactieve stof. Dit betekent dat deze stof spontaan verandert in een andere stof en dat daarbij radioactieve straling vrijkomt. De hoeveelheid radium vermindert dus en deze afname kan goed gemodelleerd worden door de vergelijking t
1 1620 A A0 , 2
waarbij A0 de hoeveelheid radium voorstelt bij het begin, t de tijd die sindsdien verlopen is en A de hoeveelheid radium op dat tijdstip. a. Na hoeveel tijd is er nog 10% over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium? b. Na hoeveel tijd is er nog de helft over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium?
Oplossingen 1. a. b. c.
1 0.04 25 1 0.1428... 7 1 0.1924... 27
1 0.3333... 3 e. 1
d.
f. 2. a. b. c. d. e. f. g.
10
100 1.5848...
3 5 3 0 0 niet bepaald niet bepaald
2
h. i. j. k. 3. a. b. c. d. e. 4. a. b. c. d.
5 4 1 3 2 kan niet uit het hoofd uitgerekend worden 3 0.3010… 1.0986… 1.3862... 1 3 6 12 0
f.
1 2 1
5. a.
x1.5
e.
7
b.
x3
c.
x 1.5
d.
x 2.75
6. a.
x8 y12
b.
x 12 y 6
c.
1 x y2 z2
d.
x 2x 2 y 2 y
17
5
2
1
1
7. a. b. c.
t 13.7172... , exponentiële vergelijking x 10.0338... , exponentiële vergelijking g 1.0992... , geen exponentiële vergelijking
d. e. 8. a. b. c. d. 9. a. b.
t 44.2592... , exponentiële vergelijking t 0.3806... , exponentiële vergelijking 8.31 jaar € 9 208.70 4.14% alleen de eerste na 5381.52 jaar na 1620 (!) jaar
3
Extra uitleg en oefeningen i.v.m. machten en logaritmen C. Biront, J. Deprez, Wiskundige begrippen en methoden, deel 1B p. 54 e.v. §4.2.1 Machten p. 161 e.v. oef. 1 t.e.m. 12 p. 164 oef. 20 p. 166 oef. 27 t.e.m. 30 p. 167 oef. 36 a, b, c, d p. 168 oef. 38
4
Opfriscursus wiskunde – dag 5 1.
Een wagen kost bij aankoop 20 000 EUR. Elk jaar verliest de wagen 20% van zijn waarde. Dat betekent dat de waarde van de wagen elk jaar met een factor 0.8 vermenigvuldigd wordt. De waarde van de wagen na n jaar stellen we voor door Wn . a. Druk Wn uit in functie van n. b. Welk soort rij vormen de getallen W0 , W1 , W2 , …?
2.
Een machine in een firma kost bij aankoop 20 000 EUR. Ze wordt afgeschreven over een periode van 40 jaar. Elk jaar wordt een zelfde bedrag afgeschreven. De waarde van de machine na n jaar stellen we voor door Wn . a. Druk Wn uit in functie van n. b. Welk soort rij vormen de getallen W0 , W1 , W2 , …?
3.
Het BBP van een zeker land neemt elk jaar met 2.5% toe. Dit wil zeggen dat het BBP elk jaar vermenigvuldigd wordt met een factor 1.025. In jaar 1 bedraagt het BBP 600 miljard EUR. Het BBP (in eenheden van 1 miljard EUR) in jaar n stellen we voor door Bn . a. Druk Bn uit in functie van n. b. Welk soort rij vormen de getallen B1 , B2 , B3 , …?
4.
Een blad papier heeft een dikte van 0.1 mm. We vouwen het blad achtereenvolgens verschillende keren dubbel. De dikte van het blad na n keer vouwen stellen we voor door d n . a. Druk d n uit in functie van n. b. Welk soort rij vormen de getallen d 0 , d 1 , d 2 , …?
5. 6.
De rij t0 , t1 , t2 , … is een meetkundige rij met reden 3. Wat kan je dan zeggen over de rij t0 , t2 , t4 , …? Welke van de onderstaande sommen kan je berekenen m.b.v. de formule voor de partieelsom van een rekenkundige of meetkundige rij? Bereken deze sommen m.b.v. de gepaste formule. a. 1 2 3 ... 100 b. de som van de eerste 20 termen van de rij 3, 9, 15, 21, … c. de som van de eerste 10 termen van de rij 5, 2.5, 1.25, … d. 1 0.5 0.25 0.125 ... 0.56 e. 1 0.5 0.25 0.125 ... 0.56 f. 1 1.1 1.11 1.111 ... 1.111111111 g. 1000 995 990 ... 100 h. 4 12 36 ... 236196
7.
8. 9.
Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke maand eenzelfde bedrag betaald. Soms is het echter interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de maandelijkse betalingen een (dalende) rekenkundige rij vormen. Veronderstel dat de betalingen voor een zekere lening gespreid worden over 240 maanden. De eerste maand betaalt men 855 EUR. Elke maand daalt het te betalen bedrag met 2 EUR. a. Bereken hoeveel men in de 61ste maand moet betalen. b. Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen. Bereken 5! en 10!. Bij het invullen van een lottoformulier moeten 6 getallen aangeduid worden in een rooster met daarin de getallen 1, 2, 3, …, 42. In de combinatieleer toont men aan dat het aantal verschillende
mogelijkheden om een lottoformulier in te vullen, gegeven wordt door 42 genoteerd als en wordt het binomiaalgetal 42 over 6 genoemd.) 6
a. Toon aan dat je dit getal kunt vereenvoudigen tot
42! . Dit getal wordt ook 6!36!
42 41 40 39 38 37 . 6!
b. Bereken dit getal. 20 c. Bereken op dezelfde manier het binomiaalgetal . 4
Oplossingen 1.
a. Wn 20 000 0.8 n b. meetkundige rij
2.
a. Wn 20 000 500n b. rekenkundige rij
3.
a. Bn 600 1.025n1 (let op: 600 is de term met rangnummer 1) b. meetkundige rij
4. 5. 6.
7. 8. 9.
a. d n 0.1 2 n b. meetkundige rij Deze rij is ook een meetkundige rij en heeft reden 9. a. 5050 b. 1200 c. 9.990 234 375 d. 1.984 375 e. 0.671 875 a. 735 EUR 120, 3 628 800 a. PM b. 5 245 786
f. geen partieelsom van een rekenkundige of meetkundige rij g. 99 550 h. 354 292 b. 147 840 EUR c. 4845
Extra uitleg en oefeningen i.v.m. rekenkundige en meetkundige rijen C. Biront, J. Deprez, Wiskundige begrippen en methoden. Deel 1$, Plantyn p. 17 e.v. §2.2 p. 2 e.v. oef. t.e.m. C. Biront, J. Deprez, Wiskundige begrippen en methoden. Deel 1%3ODQW\Q
p. 8 e.v. §4.4.1 p. 1 e.v. §4.4.3 p. 1 oef. 40 t.e.m. 43
p. 1 oef. 52 t.e.m. 54
