ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI MARSHALL-OLKIN COPULA DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD
oleh RIRIS LISTYA DAHYITA PUTRI M0111073
SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2016
i
ABSTRAK Riris Listya Dahyita Putri. 2016. ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI MARSHALL-OLKIN COPULA DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Pada umumnya fungsi distribusi bersama (fdb) dapat diperoleh melalui beberapa variabel random independen menggunakan perkalian antar distribusi marginalnya. Namun, berbeda dengan fdb yang terdiri atas variabel random dependen, fdb dengan variabel random dependen diperoleh menggunakan copula. Copula adalah fungsi yang digunakan untuk menghubungkan beberapa variabel random dependen menjadi fungsi distribusi bersama. Copula dibagi menjadi beberapa kelas salah satunya Marshall-Olkin copula (MOC). MOC didasarkan pada Marshall-Olkin Bivariate Exponential (MOBE) yang dapat digunakan untuk mengestimasi data nilai ekstrem. Terdapat beberapa metode untuk mengestimasi parameter salah satunya adalah metode maximum likelihood. Metode ini sering digunakan karena konsisten dan efisien. Tujuan penelitan ini adalah mengestimasi parameter distribusi Marshall-Olkin copula dengan metode maximum likelihood. Pada penelitian ini diperoleh estimasi parameter distribusi Marshall-Olkin copula dengan metode maximum likelihood yaitu θˆ = (1+exp(−ψ))−1 . Selanjutnya diberikan contoh penerapan pada data suhu dan kelembaban rata-rata kota Semarang dari Januari 2005 sampai dengan bulan Desember 2015. Diperoleh estimasi parameternya adalah θˆ = 0.4312. Kata kunci : estimasi parameter, Marshall-Olkin copula, maximum likelihood
iii
ABSTRACT Riris Listya Dahyita Putri. 2016. MARSHALL-OLKIN COPULA DISTRIBUTION PARAMETER ESTIMATION USING MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University. Generally, joint distribution function can be obtained through several independent random variables using a multiplication among the marginal distributions. However, joint distribution function with the dependent random variables is obtained by using copula. Copula function is used to connect multiple dependent random variables into a joint distribution function. Copula is divided into several classes, one of them is Marshall-Olkin copula (MOC). MOC is based on Marshall-Olkin Bivariate Exponential (MOBE) that can be used to estimate the parameters of extreme value. There are several methods to estimate the parameter, one of which is maximum likelihood. This method is usually used because of its consistency and efficiency. The purpose of this research is to estimate the parameter of Marshall-Olkin copula distribution using maximum likelihood method. The estimation of Marshall-Olkin copula distribution parameter using maximum likelihood method is θˆ = (1 + exp(−ψ))−1 . Furthermore, we give an example of the application on the data of temperature and humidity on average in Semarang from January 2005 until December 2015. We obtained the parameter’s estimation θˆ = 0.4312. Keywords : parameter estimation, Marshall-Olkin copula, maximum likelihood estimate
iv
PERSEMBAHAN
Karya ini dipersembahkan untuk kedua orang tua, kakak dan adik atas doa, semangat, dan kepercayaan yang diberikan.
v
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terimakasih penulis sampaikan kepada 1. Dr. Dewi Retno Sari Saputro, S.Si., M.Kom. sebagai Pembimbing I yang telah memberikan arahan dalam penentuan judul, diskusi materi distribusi nilai ekstrem, bimbingan, motivasi, arahan dalam hal penyusunan dan penulisan skripsi. 2. Dr. Hasih Pratiwi, S.Si, M.Si. sebagai Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, motivasi, arahan dalam hal penulisan skripsi dan penyusunan alur penulisan. 3. Teman-teman program studi Matematika angkatan 2012 dan atas doa, bantuan, dan semangat yang selalu diberikan. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat.
Surakarta, Oktober 2016
Penulis
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Extreme Value Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Metode Block Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Distribusi Marshall-Olkin . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.4
Fungsi Densitas Probabilitas Bersama dan Fungsi Likelihood
7
2.2.5
Metode Maximum Likelihood
. . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.6
Copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
vii
2.3
2.2.7
Distribusi Marshall-Olkin Copula . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.8
Uji Kesesuaian Distribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
III METODE PENELITIAN
12
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
13
4.1
Fungsi Densitas Marshall-Olkin Copula . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.2
Estimasi Parameter Distribusi Marshall-Olkin Copula . . . . . . .
13
4.3
Penerapan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.3.1
Sampling Nilai Ekstrem dengan Block Maxima
. . . . . .
20
4.3.2
Uji Kesesuaian Distribusi Nilai Ekstrem . . . . . . . . . .
21
4.3.3
Uji Dependensi Nilai Ekstrem . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.3.4
Estimasi Parameter dengan Metode Maximum Likelihood .
23
V PENUTUP
25
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
DAFTAR PUSTAKA
26
viii
DAFTAR GAMBAR
2.1
Contoh sampling dengan metode block maxima
. . . . . . . . . .
6
4.1
Plot data suhu udara (dalam 4 blok) pada tahun 2005 . . . . . . .
20
4.2
Plot data harian kelembaban udara (dalam 4 blok) pada tahun 2005 21
ix