OLEH : Riana Ekawati (1205 100 014) Dosen Pembimbing :
Dra. Farida Agustini W, M.S
Salah satu bagian penting dari statistika inferensia adalah estimasi titik. Estimasi titik mendasari terbentuknya inferensi statistika seperti estimasi interval (selang kepercayaan) dan pengujian hipotesis. Oleh karena itu perlu dicari suatu estimator yang sesuai untuk parameter populasi yang memiliki distribusi tertentu. Ada beberapa metode yang digunakan untuk mendapatkan suatu estimasi titik yaitu metode Maximum Likelihood Estimators (MLE) dan Least Square Estimators (LSE). Pada percobaan life testing, pengamatan terurut muncul dengan sendirinya. Percobaan tersebut berhubungan dengan censored data untuk mengestimasi parameter yang termasuk dalam life distribution. Ada dua tipe dari censored data, yaitu censored data tipe I dan tipe II. Penghematan baik dalam waktu dan biaya akan terwujud dengan mengakhiri percobaan setelah pengamatan terurut r pertama telah terjadi, daripada menunggu semua n unit gagal terjadi, dimana
Proses seperti ini biasanya disebut censored data tipe II.
Modified Weibull Distribution diperkenalkan oleh Sarhan dan Zaindin (2008).
Modified
Weibull
Distribution
dapat
digunakan
untuk
menggambarkan beberapa model reliabilitas. Modified Weibull Distribution mempunyai tiga parameter
.
Dalam Tugas Akhir ini dikaji lebih lanjut mengenai estimasi ketiga parameter MWD (
) yang tidak diketahui. Untuk mengestimasi ketiga parameter
tersebut digunakan metode Maximum Likelihood Estimators dan Least Square Estimators. Estimator didapatkan berdasarkan censored data tipe II .
Rumusan Permasalahan Permasalahan dalam Tugas Akhir ini adalah: 1. Bagaimana memperoleh estimasi parameter Modified Weibull Distribution dengan menggunakan metode MLE untuk censored data tipe II. 2. Bagaimana memperoleh estimasi parameter Modified Weibull Distribution dengan menggunakan metode Least Square untuk censored data tipe II.
Batasan Masalah Dalam pembahasan, kajian permasalahan akan dibatasi oleh: 1. Variabel acak yang digunakan adalah Modified Weibull Distribution. 2. Tipe censored data yang dikaji adalah tipe II.
Tujuan Tujuan dari Tugas Akhir adalah: 1. Mengkaji estimasi parameter Modified Weibull Distribution dengan menggunakan metode MLE untuk censored data tipe II. 2. Mengkaji estimasi parameter Modified Weibull Distribution dengan menggunakan metode Least Square untuk censored data tipe II.
Manfaat Manfaat setelah diselesaikannya Tugas Akhir ini adalah diperolehnya estimasi parameter Modified Weibull Distribution untuk censored data tipe II, sehingga dapat diterapkan pada percobaan life testing serta dapat digunakan sebagai rujukan untuk kajian sejenisnya.
>> MODIFIED WEIBULL DISTRIBUTION Modified Weibull Distribution mempunyai 3 parameter. MWD melambangkan Modified Weibull Distribution dengan tiga parameter . CDF dari MWD (
) adalah
Dimana pdf dari MWD
adalah
Fungsi survival dari MWD
adalah
>> ORDER STATISTIK Jika X 1 , X 2 ,, X n adalah dari sampel acak berukuran n distribusi kontinu mempunyai pdf f ( x )positif dan a <, x < b misal variabel acak Y1 < Y2 < < Yn merupakan order statistik dari sampel acak tersebut. Misal X suatu variabel acak kontinu mempunyai pdf f ( x ) yang positive dan kontinu dengan a < x < b . Maka CDF diperoleh F (x ) = 0, x ≤ a, x
= ∫ f (w)dw, a < x < b, a
= 1, b ≤ x.
Pdf gabungan dari order statistik Y1 , Y2 , , Yn adalah
g ( y1 , y2 ,, yn ) = n! f ( y1 ) f ( y2 ) f ( yn ) untuk a < y1 < y2 < < yn < bdan nol untuk yang lain.
Diberikan variabel acak kontinu X mempunyai pdf f ( x )
dan CDF
F ( x ), jika a < yn < b maka pdf maksimum Order statistik Yn adalah
g n ( yn ) = n[F ( yn )]
n −1
dan nol untuk yang lain.
f ( yn )
, a< y
>> TIPE CENSORING Beberapa tipe censoring dalam analisa life testing, antara lain: 1. Censoring Tipe I Suatu sampel dikatakan censoring tipe I apabila eksperimen dihentikan setelah dicapai waktu tertentu . Misalkan 1, 2, …, n diamati dengan waktu pengamatan
, sehingga individu
komponen yang diuji dan komponen ke-i adalah
diamati jika
. Ada n
dan waktu censoring yang
ditentukan adalah T. Xi diasumsikan i.i.d dengan pdf
dan fungsi survival
. Diberikan nilai
Variabel
menunjukkan bahwa komponen gagal atau belum gagal.
2. Censoring Tipe II Suatu sampel dikatakan censoring tipe II apabila eksperimen dihentikan setelah kegagalan ke-r telah diperoleh. Misalkan
adalah
pengamatan terurut dari sampel ukuran ke-n dengan fungsi kepadatan probabilitas
dan fungsi survival
dan waktu censor L eksperimen
dikatakan telah selesai atau dihentikan jika kegagalan r telah dicapai Jumlahan dari pengamatan r ditetapkan sebelum mengumpulkan data.
.
>> MAKSIMUM LIKELIHOOD ESTIMATORS
Misalkan X variabel acak dengan fungsi probabilitas
,dimanaλ
merupakan himpunan parameter yang tidak diketahui dan saling independent maka pengkonstruksian fungsi likelihood dapat dinyatakan dengan L(λ ; X) = f ( x1 , λ ) f ( x2 , λ )... f ( xn , λ ) n
= ∏ f ( xi ; λ ) i =1
Setelah fungsi likelihood dikonstruksi, langkah selanjutnya adalah mencari nilai estimator yang memaksimumkan fungsi likelihood tersebut. Dalam hal ini, memaksimumkan fungsi likelihood dilakukan dengan menurunkan fungsi likelihood terhadap parameter. Kemudian persamaan hasil turunan tersebut disamadengankan dengan nol sehingga dapat diperoleh nilai estimator parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood tersebut.
>> LEAST SQUARE ESTIMATORS Suatu hubungan garis lurus dapat sangat berguna untuk menyatakan ketergantungan suatu peubah pada peubah lainnya. Diasumsikan hubungan kedua peubah tersebut adalah : dapat diduga nilai
dan
dengan
dan
. Jadi dapat dituliskan
Dalam metode Ordinary Least Square akan digunakan prosedur pendugaan dengan kuadrat terkecil. Misalkan dipunyai n pasangan amatan dan diasumsikan hubungan kedua peubah tersebut dinyatakan seperti pada persamaan (2.8) maka persamaan tersebut dapat ditulis
>> LEAST SQUARE ESTIMATORS Persamaan (2.10) juga dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut
Sehingga jumlah kuadrat semua simpangan dari garis yang sebenarnya adalah
>> LEAST SQUARE ESTIMATORS Sebagai nilai dugaan akan dipilih
.Nilai
dan
dengan cara mendefinisikan persamaan (2.12) terhadap menyamakan hasil pendiferensialan itu dengan nol
,ditentukan kemudian
>> LEAST SQUARE ESTIMATORS Penyelesaian untuk
berdasarkan persamaan (2.13) yaitu
Sedangkan untuk penyelesaian untuk
>> METODE NEWTON RAPHSON Metode Newton-Raphson adalah salah satu metode untuk mencari akar penyelesaian dari .
Diasumsikan bahwa taksiran sumbu x pada titik titik
mendekati akar p. Kurva
dan titik
. Didefinisikan
terletak pada kurva, dekat dengan
adalah titik perpotongan antara garis tangen kurva
dengan sumbu x. Gambar 2.1 menunjukkan bahwa disbanding
.
memotong
lebih dekat ke p
>> METODE NEWTON RAPHSON Hubungan antara dan gradien ) garis tangent, yaitu :
dapat dinyatakan sebagai kemiringan (
digabungkan sehingga diperoleh persamaan :
Proses pada persamaan di atas dapat dilakukan berulang – ulang untuk mendapatkan sebuah barisan yang konvergen ke akar persamaan , yaitu p. dengan i=1,2,… merupakan variasi dari metode Newton-Raphson.
Untuk melakukan Tugas Akhir dengan judul “Kajian Estimasi Parameter Modified Weibull Distribution dengan Maximum Likelihood Estimators dan Least Square Estimators” diperlukan beberapa langkah, secara umum langkah-langkah yang harus dilakukan adalah: 1. Pengkajian Teori Penunjang 2. Pembahasan -
Mengkaji estimasi parameter Modified Weibull Distribution dengan menggunakan metode MLE untuk censored data tipe II.
-
Mengkaji estimasi parameter modified Weibull Distribution dengan menggunakan metode LSE untuk censored data tipe II.
3. Penarikan kesimpulan
Modified Weibull Distribution mempunyai 3 parameter yang tidak diketahui yaitu
. Untuk mendapatkan estimasi titik dari ketiga
parameter tersebut digunakan Maksimum Likelihood Estimators dan Least Square Estimators. Pada tugas akhir ini akan digunakan censored data tipe II. Diasumsikan n unit diambil dari suatu percobaan life testing. Waktu pengujian berakhir pada kegagalan ke r dan jumlah pengamatan r ditentukan sebelum data dikumpulkan. Diasumsikan r waktu kegagalan adalah
.
. x adalah informasi yang
didapatkan dari life testing. . Diasumsikan bahwa life time dari setiap item mengikuti
.
>> Estimasi Parameter Modified Weibull Distribution dengan MLE Suatu percobaan life testing dengan n unit diuji dan waktu gagal berturut-turut dicatat. Lifetime diasumsikan i.i.d dan merupakan variabel acak modified Weibull distribution dengan pdf:
dan mempunyai CDF
Untuk mendapatkan estimasi titik dari ketiga parameter yang tidak diketahui digunakan MLE. Fungsi likelihood dapat dinyatakan sebagai
>> Estimasi Parameter Modified Weibull Distribution dengan MLE Fungsi likelihood tersebut dapat diterapkan pada uncensored data, yaitu tipe data pada percobaan life testing dimana semua unit yang diuji telah gagal. Sedangkan untuk censored data fungsi likelihood tidak dapat diperoleh dengan
, karena terdapat data yang gagal
dan yang masih bertahan. Pada censored data tipe II, jumlahan dari pengamatan r ditetapkan sebelum mengumpulkan data. Andaikan mempunyai distribusi kontinu dengan pdf
adalah iid dan dan fungsi survival
dari hasil order statistik didapatkan pdf bersama dari adalah
>> Estimasi Parameter Modified Weibull Distribution dengan MLE Fungsi likelihood untuk tipe II censored data Modified Weibull Distribution diperoleh sebagai berikut
Logaritma natural dari fungsi likelihood adalah
>> Estimasi Parameter Modified Weibull Distribution dengan MLE Setelah fungsi likelihood dikonstruksi, langkah selanjutnya adalah mencari nilai estimator yang memaksimumkan fungsi likelihood tersebut. Dalam hal ini, memaksimumkan fungsi likelihood dilakukan dengan menurunkan logaritma natural dari fungsi likelihood terhadap parameter , kemudian persamaan hasil turunan tersebut disamadengankan nol.
>> Estimasi Parameter Modified Weibull Distribution dengan MLE Sehingga didapat persamaan nonlinear dari
Untuk mendapatkan estimator MLE parameter , persamaan nonlinear (4.6) – (4.8) diselesaikan menggunakan metode Newton-Raphson.
>> Estimasi Parameter Modified Weibull Distribution dengan MLE Metode Newton-Raphson mempunyai algoritma sebagai berikut : 1. Menentukan nilai pendekatan awal , yaitu - h adalah nilai koreksi untuk - k adalah nilai koreksi untuk - l adalah nilai koreksi untuk 2. Menentukan persamaan fungsi yang didapatkan dari persamaan (4.6) – (4.8) dan turunan masing – masing fungsi terhadap
>> Estimasi Parameter Modified Weibull Distribution dengan MLE 3. Substitusi penduga awal ke persamaan langkah 2 4. Subtitusikan nilai persamaan
dan
turunan pertama nya terhadap parameter ke rumus untuk mencari sebagai berikut :
>> Estimasi Parameter Modified Weibull Distribution dengan MLE
5. Selanjutnya subtitusikan nilai k, h dan lpada persamaan langkah 1 6. Ulangi langkah 3 sampai langkah 5 hingga diperoleh akar fungsi sampai kecermatan yang dapat diterima. Untuk menyelesaikan langkah 6 ini menggunakan program Matlab 7 sehingga didapat nilai estimasi
.
>> Estimasi Parameter Modified Weibull Distribution dengan LSE Diberikan pengamatan lifetime
untuk censored sample tertentu
dari MWD Pendugaan
dengan metode LSE diawali dengan melinierkan
CDF dari MWD dengan transformasi logaritma natural pada persamaan
Sehingga didapat persamaan regresi linier
Nilai
adalah
, untuk
>> Estimasi Parameter Modified Weibull Distribution dengan LSE Untuk estimator Least Square dari parameter
didapatkan
dengan meminimumkan Sum Square Error (SSE) Sehingga didapat persamaan fungsi kuadrat terkecil sebagai berikut
Untuk mendapatkan estimator (4.10) diturunkan terhadap parameter tersebut disamadengankan nol.
persamaan fungsi kuadrat terkecil . Kemudian hasil turunan
>> Estimasi Parameter Modified Weibull Distribution dengan LSE Sehingga didapat persamaan
>> Estimasi Parameter Modified Weibull Distribution dengan LSE Dari persamaan (4.11) dan (4.12) maka didapatkan parameter dan
>> Estimasi Parameter Modified Weibull Distribution dengan LSE Substitusikan persamaan dan sehingga didapat persamaan nonlinear untuk
Nilai estimasi parameter Newton-Raphson.
diperoleh dengan pendekatan metode
>> Metode Newton-Raphson mempunyai algoritma sebagai berikut : 1. Menentukan nilai awal
, yaitu
2. Menghitung nilai estimasi parameter pada
dengan memasukkan
penduga awal ke persamaan 3. Menentukan persamaan fungsi
dan turunan pertama
.
4. Subtitusi persamaan fungsi dan turunan pertama ke metode NewtonRaphson pada persamaan (2.24) 5. Ulangi langkah 2 sampai langkah 4 hingga konvergen. Proses iterasi selesai apabila memenuhi kriteria kekonvergenan yaitu hingga dengan
, sehingga diperoleh akar fungsi. Untuk menyelesaikan
langkah 5 ini menggunakan program Matlab 7 sehingga didapat nilai estimasi
.
>> Nilai Estimator dengan Metode Maksimum Likelihood Nilai
Nilai
Nilai
Data bangkitan 1
0.7321
0.6622
1.0726
Data bangkitan 2
0.4229
0.9758
0.4928
Data bangkitan 3
0.3399
0.7699
0.5413
Nilai
Nilai
Nilai
Data bangkitan 1
1.0009
1.2110
0.9665
Data bangkitan 2
0.8331
0.9973
0.9498
Data bangkitan 3
0.8760
0.6779
0.8585
>> Nilai Estimator dengan LSE
Kesimpulan 1. Estimasi parameter Modified Weibull Distribution dengan menggunakan metode MLE untuk censored data tipe II diperoleh sebagai berikut : Estimator
tidak bisa diselesaikan secara analitis, sehingga
masih dalam bentuk persamaan nonlinear yaitu :
Nilai estimasi parameter metode Newton-Raphson
diperoleh dengan pendekatan
2. Estimasi parameter Modified Weibull Distribution dengan menggunakan metode Least Square untuk censored data tipe II diperoleh sebagai berikut : Estimator
tidak bisa diselesaikan secara analitis, sehingga
masih dalam bentuk persamaan nonlinear yaitu :
Nilai estimasi parameter metode Newton-Raphson.
diperoleh dengan pendekatan
Saran Untuk mendapatkan estimator yang efisien dapat digunakan metode Bayes untuk mengestimasi parameter Modified Weibull Distribution .
[1] Sarhan, A.M. and Zain-Din, M. 2009. “Parameter Estimation of the Modified Weibull Distribution”. Applied Mathematical Sciences. [2] Bain, L. J. dan Max E. 1991. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. 2nd edition. California: Duxbury Press. [3] Walpole, R.E. and Myers, R.H. 1972. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, edisi ke-4. ITB. Bandung. [4] Brandt, S. 1999. Data Analysis : statistical and computational methods for scientists and engineers. Third edition. New York: Springer. [5] Law, A.M. and Kelton, W.D.1991. Simulation Modeling & Analysis. Second edition. [6] Drapper, N.R. dan Smith, H. 1992. Analisis Regresi Terapan, edisi kedua. PT Gramedia Pustaka Utama. Jakarta. [7] Chapra, S.C. and Canale, R.P. 1991. Metode Numerik. Edisi kedua. Jakarta. Erlangga.
