Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Nejjednodušší aplikací určitého integrálu je výpočet obsahu rovinného obrazce. Začneme větou. Věta 1: Je-li funkce f spojitá a nezáporná na a ; b , je obsah rovinného obrazce vyznačeného b

na obrázku níže roven

 f ( x)dx . a

Pozn. V následujícím textu předpokládám znalost průběhu funkcí, derivací funkcí, integračních vzorců a metod a v neposlední řadě Newton-Leibnizovy formule pro výpočet určitého integrálu.

Příklad 1 Vypočítejte obsah množiny M ohraničené grafem funkce f a osou x. 3 f ( x)  ; x  0; 2 x 1 Řešení: Nejprve si danou množinu M nakreslím. Já totiž vždycky potřebuju vědět, co počítám.

f ( x) 

M b

 a

2

2

3 x 1

3 dx 2 f ( x )dx   dx  3  3 ln x  1  0  3 ln 3  3 ln 1  3 ln 3  0  3 ln 3 x 1 x 1 0 0

Příklad 2 Vypočítejte obsah množiny M ohraničené grafem funkce f a osou x.  f ( x )  sin x ; x   ;  2 Řešení: Nejprve opět obrázek.

M

Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že postačí vypočítat obsah části  množiny M dejme tomu od 0 do a pak ho vynásobit třemi. 2  2



 sin xdx   cos x 02   cos 0

   cos 0  0  1  1 2

Obsah množiny M je tedy roven 3.

Věta 2: Je-li funkce f spojitá a nekladná na a ; b , je obsah rovinného obrazce vyznačeného b

na obrázku níže roven –  f ( x)dx . a

Příklad 3 Vypočítejte obsah množiny M ohraničené grafem funkce f a osou x. f ( x)  x 2  1 ; x  0 ; 2 Řešení: Nejprve opět obrázek. Množina M se skládá ze dvou nepřekrývajících se částí, z nichž jedna leží pod osou x, druhá nad osou x. Snadno se lze přesvědčit, že integrál od 0 do 2 mi rozhodně nedá správný výsledek. 2

2

 x3  8 2 x  1 dx    x    2  0  0   3 3 0 3

 0



2

Obsah čtverce 01AV je roven 1, obsah obdélníku 12BC je roven 3. Z toho logicky vyplývá, že 2 obsah množiny M musí být větší nežli . 3

M

Správný postup: Nejdříve určím průsečík grafu funkce f s osou x, tj. položím x2 – 1 = 0. Řešením této rovnice je množina {–1; 1}. Mě ovšem zajímá pouze číslo z intervalu 0 ; 2 , tedy kořen 1.

 1 2  Nyní spočítám obsah části množiny M pod osou x    x  1 dx  , pak obsah části množiny  0  2   M nad osou x   x 2  1 dx  a oba tyto výsledky sečtu. 1 





1

 0 2

1

 x3  1  2 x  1 dx     x     1  (0  0)   3  3 3 0





2

2

 x3  8 1  8 6 1 3 4 x  1 dx    x    2    1      3  3 3 3 3 3 3 1 3

 1



2



Závěr: Obsah množiny M je roven 2.



Věta 3: Jsou-li funkce f, g spojité na a ; b a je-li f(x) ≤ g(x) pro všechna x  a ; b , je obsah b

rovinného obrazce vyznačeného na obrázku níže roven   g ( x )  f ( x ) dx . a

Pozn. Důkaz (dá-li se to tak nazvat) přímo plyne z předchozích vět. Obsah modrého obrazce je roven 2 + 3 + 4 + 5. b



b

f ( x)dx = 1 – 3 – 5 – 6

a

b

 g ( x)dx = 1 + 2 + 4 – 6 a

b

b

 g ( x)  f ( x) dx =  g ( x)dx –  f ( x)dx a

a

= 1 + 2 + 4 – 6 – (1 – 3 – 5 – 6) = 2 + 3 + 4 + 5.

a

Příklad 4 Vypočítejte obsah množiny M ohraničené křivkami, které jsou grafy daných funkcí. 1 x f ( x)  ; g ( x )    2 x 3 Řešení: Nejprve opět obrázek.

M

xP 2

 g ( x)  f ( x)  dx , neboť pro všechna

Obsah množiny M určím ze vztahu S =

x  x P1 ; x P 2

xP1

platí f(x) ≤ g(x). Nejdříve je třeba určit meze xP1 a xP2. To půjde snadno, stačí dát obě funkce do rovnosti a vyřešit jednoduchou kvadratickou rovnici. 1 x  2 x 3

Vynásobím výrazem 3x za podmínky x ≠ 0 (což je však z obrázku zcela zřejmé).

2

3  x  6x x 2  6x  3  0

D  36  12  24 →

D  2 6 → x1, 2 

62 6  3 6 2 3 6

3 6

xP 2

 x2  1  x Tedy S =   g ( x)  f ( x)  dx =     2   dx =    2 x  ln x   3 x  6  3 6 xP1 3 6  2  3 6 2  3 6 =   2 3  6  ln 3  6     2 3  6  ln 3  6     6 6  

















2





92 6 6 3 6 =  6  2 6  ln 3  6   2 3  6  ln 3  6  6 6 15  2 6 15  2 6 =  6  2 6  ln 3  6   6  2 6  ln 3  6  6 6 6 6 3 6 =   2 6  ln 3  6   2 6  ln 3  6  2 6  ln  (zlomek usměrním) 3 3 3 6





 15  6 6  3 6 3 6 93 6 3 6 6    2 6  ln  2 6  ln   96 3 3 6 3 6   = 2 6  ln 5  2 6 = 2 6  ln





Pozn. Absolutní hodnotu jsem vypustil, protože její vnitřek je kladný.

Příklad 5 Vypočítejte obsah množiny M ohraničené osou y a křivkami, které jsou grafy daných funkcí. f ( x )  2 ; g ( x)  x Řešení: Množina M je vyznačena na obrázku na následující straně.

M

Nejprve spočítám mez integrace xP. 2  x → xP = 4 Postup 1: Pro všechna x  0; x P platí f  x   g  x  , proto obsah množiny M určím ze vztahu: xP

4

0

0

4

 2 x3  16 8 2  x dx =  2 x    8   ( 0  0)  3  3 3  0

  f ( x)  g ( x)  dx =  



Postup 2: 4

Vypočítám



x dx a odečtu to od osmi (obsah obdélníku na obrázku).

0

4

 2 x3  16 16 = 0 x dx    0 3 3  3  0 16 8 S = 8  3 3 4

Příklad 6 Vypočítejte obsah kruhu o poloměru r. Řešení: Střed kruhu umístím do počátku soustavy souřadnic. Hranice kruhu je kružnice o rovnici x 2  y 2  r 2 . Z tohoto vztahu nejprve vyjádřím neznámou y. y2  r 2  x2

y  r 2  x2 Ve výpočtu se omezím pouze na vybarvený čtvrtkruh, takže pryč s tou absolutní hodnotou.

f ( x)  r 2  x 2 ; x  0 ; r

r

S  4  r 2  x 2 dx

Integrál jsem rovnou vynásobil čtyřmi, abych dostal celý kruh.

0

Zavedu šikovnou substituci. Nezapomenu přitom upravit meze integrace. x  r sin t dx  r cos t  dt Meze: x=0 0 = r sin t 0 = sin t

x=r r = r sin t 1 = sin t  t 2

t=0  2

r

 2

4 r 2  x 2 dx  4  r 2  r 2 sin 2 t  r cos tdt  4r  r 2  r 2 sin 2 t cos tdt = 0

0

 2



0

 2







 2

= 4r  r 2 1  sin 2 t cos tdt = 4r 2  1  sin 2 t cos tdt = 4r 2  cos 2 t cos tdt  0

0

 2

 2

0

 2



1  cos 2t  1 2 = 4r  cos tdt  4r  dt  2r 2  1  cos 2t dt  2r 2 t  sin 2t  = 2  2 0 0 0 0 2

2

2

 1   1    = 2r 2   sin 2   0  sin 0    2r 2   0  0  0    r 2 2  2  2  2 2 Pozn. 1)

V příkladu jsem použil vzorec pro poloviční úhel cos

2)

Integrál  cos 2tdt jsem řešil pomocí substituce.

x 1  cos x  . 2 2

NEVLASTNÍ INTEGRÁL a) vlivem meze

b

 

b

f ( x)dx  lim

x  

 f ( x)dx  lim F ( x) x

b x

x  

x



 g ( x)dx  lim  g ( x)dx  lim G ( x) a

(pokud tato limita existuje)

x

x

a

x a

(pokud tato limita existuje)

Integrál konverguje, pokud limita existuje a je konečná. Integrál diverguje, pokud je limita rovna   . b) vlivem funkce

b

x

 f ( x)dx  lim  f ( x)dx  lim F ( x) a

x b 

b

a

x a

(pokud tato limita existuje)

b x

(pokud tato limita existuje)

x b 

b

 g ( x)dx  lim  g ( x)dx  lim F ( x) a

xa 

x

x a 

Integrál konverguje, pokud limita existuje a je konečná. Integrál diverguje, pokud je limita rovna   .

Příklad 7 Vypočítejte obsah množiny M ohraničené grafem funkce f, osou x a osou y. 1 f ( x)  2 x 1 Řešení: Začnu opět obrázkem. Jedná se o sudou funkci, její graf je osově souměrný podle osy y. Nezáleží tedy na tom, jestli si vyberu pravou nebo levou část. Já si vybral tu levou.

M 0

S

x



1 dx 1

(nevlastní integrál vlivem meze)

2

0

0

1 1 0 dx  lim arctgx  x  lim arctg 0  arctgx   0  lim arctgx   x 2  1 dx  xlim  2   x  1 x   x   x   x

   = 0      2 2 Příklad 8 Vypočítejte obsah množiny M ohraničené grafem funkce f a osou x. x5 f ( x)  2 ; x  0 ; 2 4x  x3 Řešení: Začnu opět obrázkem. 2

S  0

x5 dx 4x 2  x3

(nevlastní integrál vlivem funkce) 2

2

x5 x5 dx 0 4 x 2  x 3 dx  xlim 0  4 x 2  x 3 x

U zdlouhavějších výpočtů řeším integrál bez mezí a limit, aby se mi to tam nepletlo.

M

x5 x5 dx   2 dx 2 3 x x 4  x 

 4x

Tento neurčitý integrál vyřeším pomocí rozkladu na parciální zlomky.

x5 A B C A(4  x )  Bx4  x   Cx 2 4 A  Ax  4 Bx  Bx 2  Cx 2      x 2 4  x  x 2 x 4  x x 2 4  x  x 2 4  x 

Srovnám kvadratické, lineární a absolutní členy na obou stranách rovnice. x2: 0  B  C x1: 1   A  4B x0: 5  4A  A

5 9 9 , B ,C 4 16 16

x5

5 dx

 x 4  x  dx  4  x 2

2



9 dx 9 dx 5 9 9     ln x  ln 4  x  16 x 16 4  x 4 x 16 16 2

9 9 9 5 9 9  5   5 9  lim    ln x  ln 4  x   lim    ln 2  ln 2   ln x  ln 4  x   x 0  4 x 16 16 16 4 x 16 16  x x0  8 16  9  5 5 9 x  5 5  = lim     ln x  ln 4  x   lim     ln x0  x  0 8 4 x 16   8 4 x 16 4  x 5 9 0 5 9      ln           8 16 4 8 16 2

Integrál

x5 dx diverguje k + ∞. Obsah množiny M je nekonečně velký. 2  x3

 4x 0

   