Aplikace urcˇite´ho integra´lu V celé této kapitole uvažujme pouze spojité funkce, které mají případně spojité derivace.
Uzˇitı´ urcˇite´ho integra´lu v geometrii Obsah rovinne´ho obrazce Z definice Riemannova určitého integrálu vyplývá, že obsah základního obrazce Z = {[x, y] ∈ R2 ; x ∈ ha, bi, 0 ≤ y ≤ f (x)} určeného spojitou nezápornou funkcí f definovanou na konečném uzavřeném intervalu ha, bi je roven y
(1)
P =
Z
y = f (x)
b
Z
f (x) dx. a
a
O
b
x
Poznámka: Pokud je funkce f nekladná na intervalu ha, bi předcházejícím vzorcem určíme obsah oblasti se záporným znaménkem. Pokud funkce f střídá na intervalu znaménka, předcházejícím vzorcem určíme rozdíl součtu obsahů oblastí určených funkcí f ležících nad osou x a součtu obsahů ležících pod osou x. Pokud na intervalu ha, bi platí g(x) ≤ f (x), pak obsah oblasti ležící mezi grafy funkcí g a f je roven y
(2)
P =
Z
y = f (x)
b a
f (x) − g(x) dx a
O
y = g(x)
b
x
Je-li f spojitá funkce, která je dána parametricky rovnicemi x = ϕ(t),
y = ψ(t),
t ∈ hα, βi,
kde funkce ϕ má spojitou derivaci, plyne ze vzorce (1) pomocí substituce x = ϕ(t), když si uvědomíme ψ(t) = y = f (x) = f (ϕ(t)), že obsah základního obrazce Z je roven (3)
Z β 0 P = ψ(t)ϕ (t) dt . α 1
Z věty o substituci dále vyplývá, že obsah oblasti ohraničené parametricky zadanou křivkou nezávisí na parametrizaci křivky. Totéž platí pro všechny dále uvedené vzorce. Nechť % = %(ϕ), kde % je nezáporná spojitá funkce na intervalu hα, βi (β −α ≤ 2π), je rovnice křivky v polárních souřadnicích. Obsah křivočaré výseče K, což je oblast omezená polopřímkami ϕ = α, ϕ = β a křivkou s polární rovnicí %(ϕ), je roven x = %(ϕ) cos ϕ, y = %(ϕ) sin ϕ
y
1 P = 2
(4)
Z
K
β 2
β
% (ϕ) dϕ α
α x
O
Příklad: Určete obsah kruhu o poloměru r 2 2 2 Rovnice kružnice polokruž√ o polomětu r je x + y = r , explicitní vyjádření horní √ nice je f (x) = y = r 2 − x2 , x ∈ h−r, ri, dolní polokružnice je g(x) = y = − r 2 − x2 , podle vzorce (2) platí
P =
Z
=r
r −r
2
Z
Z π 2 x = r sin ϕ = 2r| cos ϕ|r cos ϕ dϕ = dx = r cos ϕ dϕ −π 2 π2 1 2 1 + cos 2ϕ dϕ = r ϕ + sin 2ϕ = πr 2 . 2 π x=−
p p r 2 − x2 − (− r 2 − x2 ) dx π 2
−π 2
2
Parametrické vyjádření kružnice je x = r cos t, y = r sin t, t ∈ h−π, πi, proto podle vzorce (3) platí Z P =
π −π
Z 2 r sin t r sin t dt = r
π −π
π 1 1 2 1 (1 − cos 2t) dt = r t − sin 2t = πr 2 . 2 2 2 x=−π
Polární rovnice kružnice je % = r, pro ϕ ∈ h0, 2πi, proto její obsah je roven 1 P = 2
Z
2π
r 2 dϕ = πr 2 . 0
Objem teˇlesa Nechť těleso leží mezi rovinami x = a a x = b a P (x) značí obsah řezu tělesa rovinou kolmou k ose x, která prochází bodem x. Pak objem tělesa je roven (5)
V =
Z
b
P (x) dx. a
2
Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu funkce y = f (x), x ∈ ha, bi, kolem osy x je roven (6)
V =π
Z
b
f 2 (x) dx. a
Odvození vzorce spočívá v tom, že na elementu ∆i dělení intervalu ha, bi nahradíme těleso válcem s výškou ∆xi a poloměrem f (ξi ), kde ξi ∈ ∆i . Objem tohoto válce je roven πf 2 (ξi )∆xi , objem tělesa je roven součtu objemů těchto válců a limitním přechodem pro normu dělení konvergující k nule dostaneme požadovaný vzorec. Příklad: Určete objem koule o poloměru r. Tato koule vznikne rotací grafu polokružnice s rovnicí y = kolem osy x, proto její objem je dle vzorce (6) roven
√
r 2 − x2 , x ∈ h−r, ri,
r 1 3 2 4 2 r − x dx = π r x − x = π(2r 3 − r 3 ) = πr 3 . V =π 3 3 3 −r x=−r Z
r
2
2
De´lka krˇivky Nechť je v rovině dána jednoduchá křivka l parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ hα, βi. Nechť Xi , i = 1, 2, . . . , n, jsou body, které leží „za sebouÿ na této křivce, přičemž X0 je počátek a Xn konec křivky. Z názoru je patrné, že při dosti jemném dělení bude lomená čára X0 X1 . . . Xn dobře aproximovat křivku l, proto má smysl definice
Xn X0 X2
X1
Definice Nechť D je libovolné dělení intervalu hα, βi, D = α = t0 < t1 < . . . < tn = β, nechť Xi = ϕ(ti ), ψ(ti ) („tj. bod, ve kterém se ocitne křivka v čase tÿ), potom délkou křivky l rozumíme supremum délek lomených čar X0 X1 . . . Xn počítané přes všechna možná dělení D intervalu hα, βi. Délka elementu Xi−1 Xi lomené čáry je rovna ∆si =
p ∆x2 + ∆y 2 ,
kde ∆x = ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ), ∆y = ψ(ti ) − ψ(ti−1 ). 3
Podle věty o střední hodnotě existují taková čísla τi , ϑi ∈ ∆i , že ∆x = ϕ0 (τi )∆ti , ∆y = ψ 0 (ϑi )∆ti , tj. q ∆si = ϕ0 2 (τi ) + ψ 0 2 (ϑi ) ∆ti . Bude-li délka elementu ∆ti dostatečně malá, je ψ 0 (ϑi ) ≈ ψ 0 (τi ), protože podle předpokladu v úvodu je ψ 0 spojitá funkce (přesný odhad viz Brabec, Martan, Rozenský: q
Matematická analýza I), proto ∆si ≈ X0 X1 . . . Xn je rovna n X i=1
ϕ0 2 (τi ) + ψ 0 2 (τi )∆ti , a délka lomené čáry
n q X ∆si ≈ ϕ0 2 (τi ) + ψ 0 2 (τi )∆ti . i=1
Naq pravé straně rovnice se nachází integrální součet σ(f, D) příslušný funkci f (t) = = ϕ0 2 (t) + ψ 0 2 (t), dělení D a výběru bodů τi ∈ ∆i . Bude-li proto norma dělení D konvergovat k nule, bude pravá strana konvergovat k číslu (7)
s=
Z
β α
q ϕ0 2 (t) + ψ 0 2 (t) dt,
a levá strana k délce křivky. Obdobným způsobem určíme délku prostorové křivky zadané parametricky rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), z = ζ(t), t ∈ hα, βi jako (8)
s=
Z
β α
q ϕ0 2 (t) + ψ 0 2 (t) + ζ 0 2 (t) dt.
Délka grafu funkce y = f (x), x ∈ ha, bi, (tj. délka křivky zadané explicitně rovnicí y = f (x)) je rovna (9)
s=
Z
b a
q 1 + f 0 2 (x) dx,
protože tato křivka má parametrizaci x = x, y = f (x), x ∈ ha, bi. Délka křivky, jejíž rovnice v polárních souřadnicích je % = %(ϕ), ϕ ∈ hα, βi, je rovna Z βq (10) s= %2 (ϕ) + %0 2 (ϕ) dϕ. α
Příklad: Určete délku kružnice o poloměru r Parametrické vyjádření kružnice je x = r cos t, y = r sin t, t ∈ h−π, πi, proto podle vzorce (7) platí s=
Z
π −π
Z p 2 2 (−r sin t) + (r cos t) dt = r 4
π
1 dt = 2πr. −π
Délka kružnice je součtem stejných délek √ horní a dolní půlkružnice, přitom explicitní rovnice horní půlkružnice je f (x) = r 2 − x2 , x ∈ h−r, ri, proto podle vzorce (9) platí s 2 Z r Z r −x 1 √ s=2 1+ √ dx = 2r dx = 2πr, r 2 − x2 r 2 − x2 −r −r
po substituci x = r sin ϕ. Polární rovnice kružnice je % = r, pro ϕ ∈ h0, 2πi, proto její délka je rovna podle vzorce (10) Z 2π p s= r 2 + 02 dϕ = 2πr. 0
Povrch rotacˇnı´ plochy Nechť plocha vznikne rotací grafu funkce y = f (x), x ∈ ha, bi, kolem osy x. Nahraďme na elementu ∆i povrch tělesa pláštěm komolého kužele s poloměry podstav f (xi−1 ), f (xi ). Povrch tohoto pláště je roven π(f (xi−1 ) + f (xi ))∆si , kde ∆si je délka hrany komolého kužele. Stejnými úvahami jako pro délku křivky zjistíme, že povrch rotačního tělesa je roven Z b q (11) S = 2π f (x) 1 + f 0 2 (x) dx a
Povrch rotační plochy vzniklé rotací křivky s parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ hα, βi je (12)
S = 2π
Z
β α
q ψ(t) ϕ0 2 (t) + ψ 0 2 (t) dt.
Příklad: Sami dokažte, že povrch koule je roven 4πr 2 .
Technicke´ krˇivky Uvedeme si příklady některých křivek, které se často vyskytují ve výpočtech pomocí Riemannova určitého integrálu. Kuželosečky v tomto přehledu neuvádíme. Řetězovku tvoří nepružná nit (řetěz) zavěšený ve dvou bodech je to graf funkce y
x y = a ch , a
kde a > 0,
−1 5
O
2
x
Kota´lnice Při kotálení křivky h (tzv. tvořící křivky nebo hybné polodie) bez skluzu po pevné křivce p (tzv. základní křivce nebo pevné polodii) opíše každý bod roviny křivku, kterou nazýváme kotálnice. Důležité jsou případy, kdy hybná polodie je kružnice a pevná polodie přímka nebo kružnice.
Cykloidy Jestliže se kružnice h o poloměru a kotálí po přímce p, pak každý (vnější, vnitřní) bod kružnice h (vzdálený o r od středu kružnice h) pevně spojený s touto kružnicí vytváří tzv. prostou (prodlouženou, zkrácenou) cykloidu. Prostá cykloida má parametrické rovnice x = a(t − sin t),
y = a(1 − cos t),
jednu větev dostaneme pro t ∈ h0, 2πi. Platí ds = 2a sin 2t dt. Prodloužená (zkrácená) cykloida má parametrické rovnice: x = at − r sin t,
Platí ds =
y = a − r cos t.
√ a2 + r 2 − 2ar cos t dt.
y
prodloužená cykloida prostá cykloida zkrácená cykloida x
O
Ventilek jízdního kola se pohybuje po zkrácené cykloidě, bod na obvodu pláště jízdního kola po prosté cykloidě.
Epicykloidy a hypocykloidy Jestliže se kružnice h o poloměru a kotálí po vnějším resp. vnitřním obvodu kružnice p o poloměru A, pak každý (vnější, vnitřní) bod kružnice h (vzdálený o r od středu kružnice h) pevně spojený s touto kružnicí vytváří tzv. prostou (prodlouženou, zkrácenou) epicykloidu resp. hypocykloidu. Parametrické rovnice prosté epicykloidy a hypocykloidy x = (A ± a) cos t ∓ a cos
A±a t, a
y = (A ± a) sin t − a sin
A±a t. a
Asteroida, zvaná též astroida patří mezi kotálnice, asteroidu opisuje každý bod kružnice o poloměru a, která se bez smyku kotálí zevnitř po kružnici o poloměru 4a. Je to tedy prostá hypocykloida, kde A = 4a. Parametrické rovnice x = A cos3 t,
y = A sin3 t,
Platí ds = 3A sin t cos t dt. 6
t ∈ h0, 2πi.
y y
x
O
O
Kardioida
x
Asteroida
Kardioida patří mezi kotálnice; kardioidu opisuje každý bod kružnice o poloměru a, která se bez smyku kotálí vně po kružnici o poloměru a. Je to tedy prostá epicykloida, kde A = a. Rovnice v polární soustavě % = 2a(1 + cos ϕ),
ϕ ∈ h0, 2πi.
Platí ds = 4a cos ϕ2 dϕ. Evolventu kružnice řadíme mezi kotálnice (kde h je přímka a p je kružnice) i mezi spirály. Jako každá evolventa křivky vznikne tak, že počínaje počátečním bodem nanášíme na tečnu délku oblouku mezi počátečním bodem a bodem dotyku tečny s křivkou. (Evolventu kružnice tedy vytváří konec napjaté niti odmotávané z kruhové cívky.) Parametrické rovnice jsou x = a(t sin t + cos t),
y = a(sin t − t cos t).
Platí ds = at dt.
Spira´ly Archimédova spirála je spirála s konstantní šířkou jednotlivých závitů. Je vytvořena rovnoměrným pohybem bodu po průvodiči, který se rovnoměrně otáčí kolem pólu. Rovnice v polární soustavě je % = aϕ. p Platí ds = a 1 + ϕ2 dϕ. Logaritmická spirála. Rovnice v polární soustavě je % = aemϕ . 7
√ Vyskytuje se např. v kresbě ulit plžů. Platí ds = a 1 + m2 emϕ dϕ. Lemniskáta je množina bodů které mají od dvou daných pevných bodů stálý součin vzdáleností. Rovnice v implicitním tvaru je (x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 − y 2 ), v polární soustavě souřadnic je %2 = 2a2 cos 2ϕ. Délku nelze vyjádřit užitím elementárních funkcí. y
x
O
Bernoulliova leminiskáta Šroubovice je příkladem prostorové křivky. Šroubovice leží na válcové ploše x 2 + + y 2 = a2 , rozvinutím válcové plochy přejde každý závit šroubovice v úsečku. Parametrické rovnice: x = a cos t, y = a sin t, √ Platí ds = a2 + c2 dt.
z = ct,
jeden závit pro t ∈ h0, 2πi.
Uzˇitı´ urcˇite´ho integra´lu ve fyzice Hmotnost rovinne´ desky Mějme spojitou kladnou funkci f a uvažujme rovinnou desku tvaru základního obrazce x ∈ ha, bi. Nechť σ je plošná hustota materiálu. Je-li deska homogenní (σ = konst.), je hmotnost desky rovna (13)
m=σ
Z
b
f (x) dx a
Je-li hustota pouze funkcí proměnné x (σ = σ(x)), pak hmotnost desky je (14)
m=
Z
b
σ(x)f (x) dx a
Teˇzˇisˇteˇ rovinne´ desky 8
Předpokládejme, že deska tvaru základního obrazce určeného kladnou funkcí f na intervalu ha, bi má konstantní plošnou hustotu σ. Z fyziky je známo, že statické momenty Sx , Sy hmotného bodu v rovině o souřadnicích (x, y) a hmotnosti m vzhledem k osám x a y jsou definovány vztahy Sx = my,
Sx = my.
Statické momenty konečné soustavy hmotných bodů jsou rovny součtu statických momentů jednotlivých bodů vzhledem k odpovídajícím osám. Jako těžiště neboli hmotný střed soustavy hmotných bodů definujeme bod T o souřadnicích (ζ, η) a hmotnosti rovné hmotnosti soustavy, jehož statické momenty vzhledem k osám x a y jsou rovny statickým momentům celé soustavy vzhledem k těmto osám. Odtud plyne, Sy Sx ζ= , η= , m m kde Sx a Sy jsou statické momenty soustavy a m hmotnost soustavy. Nechť D je dělení intervalu ha, bi. Uvažujme element ∆i tohoto dělení a jemu příslušnou desku Zi tvaru základního obrazce. Označme ξi střed elementu ∆i , ξi = = xi−12+xi . Desku Zi můžeme přibližně nahradit obdélníkem o výšce f (ξi ) a šířce ∆xi . Těžiště tohoto obdélníka má souřadnice ξi , f (ξ2 i ) , a jeho hmotnost je σ∆xi f (ξi ). Jeho y y = f (x) Zi
a xi−1 ξi xi O statický moment vzhledem k ose x je tedy roven Sxi = σ∆xi f (ξi )
b
x
f (ξi ) 1 = σf 2 (ξi )∆xi . 2 2
Součet statických momentů všech desek Zi vzhledem k ose x je integrální součet funkce 1 2 2 σf (x), proto pro normu dělení D konvergující k nule konverguje k statickému momentu Sx celé desky, což je dále uvedený integrál 1 Sx = σ 2
Z
b
f 2 (x) dx. a
Podobně statický moment obdélníka vzhledem k ose y je roven Syi = σ∆xi f (ξi )ξi = σξi f (ξi )∆xi . Jako před chvílí zjistíme, že statický moment Sy celé desky je roven Sy = σ
Z
b
x f (x) dx. a
9
Proto souřadnice těžiště rovinné desky tvaru základního obrazce jsou rovny Rb a
(15)
x f (x) dx
ζ = Rb a
f (x) dx
η=
,
1 2
Rb
f 2 (x) dx a Rb f (x) dx a
Souřadnice těžiště desky ležící mezi grafy funkcí g(x) a f (x) pro x ∈ ha, bi jsou rovny (16)
Rb
x (f (x) − g(x)) dx
ζ = Ra b
(f (x) − g(x)) dx a
η=
,
1 2
Rb
f 2 (x) − g 2 (x) dx
a
Rb a
(f (x) − g(x)) dx
Podobně jako u vzorce (3) můžeme určit statické momenty a těžiště křivky zadané parametricky. (Proveďte)
Hmotnost krˇivky Rovinná homogenní daná parametricky rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ hα, βi, s konstantní délkovou hustotou σ má hmotnost (17)
m=σ
Z
β α
q ϕ0 2 (t) + ψ 0 2 (t) dt.
Teˇzˇisˇteˇ krˇivky Podobně jako v oddíle těžiště desky můžeme zjistit statické momenty křivky vzhledem k osám Sx = σ
Z
β α
q ψ(t) ϕ0 2 (t) + ψ 0 2 (t) dt,
Sy = σ
Z
β α
q ϕ(t) ϕ0 2 (t) + ψ 0 2 (t) dt.
Proto souřadnice těžiště křivky jsou rovny (18)
ζ=
Sy , m
η=
Sx . m
Jak vypadají předcházející vzorce pro křivku zadanou explicitně?
10
