Obsah 1 Mocninn´ eˇ rady 1.1 Definice a vlastnosti mocninn´ ych ˇrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Rozvoj funkce do mocninn´e ˇrady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Aplikace mocninn´ ych ˇrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1 1 5 10
Kapitola 1 Mocninn´ eˇ rady 1.1
Definice a vlastnosti mocninn´ ych ˇ rad
Definice 1.1.1. Necht’ (an )+∞ aln´a resp. komplexn´ı posloupnost a necht’ a je n=0 je re´ P+∞ re´aln´e resp. komplexn´ı ˇc´ıslo. Pak ˇradu n=0 an (x − a)n naz´ yv´ame mocninnou ˇ radou se stˇredem v bodˇe a. Mnoˇzinu vˇsech re´aln´ ych resp. komplexn´ıch ˇc´ısel x, pro kter´a mocninn´a ˇrada konverguje, naz´ yv´ame obor konvergence mocninn´e ˇrady, s(x) pak oznaˇcuje souˇcet mocninn´e ˇrady pro x z oboru konvergence. P n Posloupnosti (an )+∞ riˇrazujeme funkci s(x). Je-li sa (x) = +∞ n=0 a bodu a pˇ n=0 an (x − a) P+∞ ych a s0 (x) = n=0 an xn , pak sa (x) = s0 (x − a). Staˇc´ı tedy studovat vlastnosti mocninn´ ˇrad se stˇredem v bodˇe 0. Uved’me si nˇekolik pˇr´ıklad˚ u re´aln´ ych mocninn´ ych ˇrad. +∞ • (1)n=0
7→
P+∞
n=0
xn =
1 +∞ n! n=0
7→
P+∞
• (n!)+∞ n=0
7→
P+∞
•
1 n=0 n!
n=0
1 1−x
= s(x), obor konvergence je (−1, 1).
xn = ex = s(x), obor konvergence je R.
n! xn konverguje pouze pro x = 0.
P n Vˇ eta 1.1.2. Pro kaˇzdou mocninnou ˇradu +∞ e, n=0 an (x − a) existuje ρ ∈ R, ρ ≥ 0 takov´ ˇze P+∞ n i) pokud |x − a| < ρ, pak e; n=0 an (x − a) konverguje absolutnˇ P+∞ n ii) pokud |x − a| > ρ, pak n=0 an (x − a) diverguje. D˚ ukaz. Staˇc´ı ovˇeˇrit platnost dvou tvrzen´ı: 1. kdyˇz je posloupnost an (x0 − a)n omezen´a, pak pro kaˇzd´e x takov´e, ˇze |x − a| < P n |x0 − a|, ˇrada +∞ e, n=0 an (x − a) konverguje absolutnˇ 2. kdyˇz je posloupnost an (x0 − a)n neomezen´a, pak pro kaˇzd´e x takov´e, ˇze |x − a| ≥ P n |x0 − a|, ˇrada +∞ n=0 an (x − a) diverguje, 1
a pak poloˇzit o n n je omezen´a . ρ = sup |x0 − a| ; posloupnost an (x0 − a) Pˇredpokl´adejme, ˇze v nˇejak´em bodˇe x0 je posloupnost an (x0 − a)n omezen´a. Tedy existuje K > 0 takov´e, ˇze |an (x0 − a)n | ≤ K pro kaˇzd´e n ∈ N. Pak pro |x − a| < |x0 − a| dostaneme |an (x − a)n | = |an ||x − a|n = |an ||x0 − a|n
|x − a| n |x0 − a|
≤K
|x − a| n |x0 − a|
.
Posloupnost na prav´e stranˇe je geometrick´a s kladn´ ym kvocientem < 1, proto podle P+∞ n srovn´avac´ıho krit´eria ˇrada n=0 |an (x − a) | konverguje. Druh´e tvrzen´ı je zˇrejm´e, protoˇze neomezenost an (x0 − a)n implikuje neomezenost an (x − a)n pro |x − a| ≥ |x0 − a| a nen´ı tedy splnˇena ani nutn´a podm´ınka konvergence ˇrady. ˇ ıslo ρ z pˇredchoz´ı vˇety naz´ Definice 1.1.3. C´ yv´ame polomˇ er konvergence mocninn´e ˇrady. Vˇ eta 1.1.4. Polomˇer konvergence mocninn´e ˇrady ρ=
1 lim sup
P+∞
n=0
an (x − a)n je roven
p , n |an |
pˇriˇcemˇz klademe ρ = 0, kdyˇz limes superior je +∞, a ρ = +∞, kdyˇz limes superior je 0. D˚ ukaz.
Z d˚ ukazu pˇredchoz´ı vˇety v´ıme, ˇze ρ = sup M , kde M = {|y| : (an y n ) je omezen´a}.
Pop´ıˇseme prvky mnoˇziny M . Zˇrejmˇe 0 ∈ M . Uvaˇzujme proto y 6= 0. Pro nenulov´e y plat´ı lim sup
p p n |an ||y|n = |y| lim sup n |an |.
p • Kdyˇz lim sup n |an ||y|n > 1, pak existuje ε > 0, ˇze pro nekoneˇcnˇe mnoho index˚ un je |an y n | > (1 + ε)n , a tedy posloupnost (an y n ) nen´ı omezen´a. M´ame tedy implikaci |y| lim sup
p n |an | > 1
=⇒
|y| ∈ /M.
p • Kdyˇz lim sup n |an ||y|n < 1, pak od jist´eho indexu poˇc´ınaje je |an y n | < 1, a tedy posloupnost (an y n ) je omezen´a. Plat´ı tedy |y| lim sup
p n |an | < 1
=⇒ 2
|y| ∈ M .
Z tˇechto dvou implikac´ı snadno uˇz odvod´ıme: jestliˇze lim sup
p n |an | = +∞, pak M = {0} a ρ = sup M = 0,
jestliˇze lim sup
p n |an | = 0, pak M = h0, +∞) a ρ = sup M = +∞,
p jestliˇze lim sup n |an | = L ∈ (0 + ∞), pak M = h0, 1/L) nebo M = h0, 1/Li. V obou pˇr´ıpadech je ρ = 1/L. Pozn´ amka. Z Cauchyova vzorce (viz Matematick´a anal´ yza I) plyne, ˇze kdyˇz existuje |an | lim |an+1 | , pak je tato limita rovna ρ.
n→∞
Pˇ r´ıklad 1.1.5. Zkoumejme obor konvergence komplexn´ı ˇrady vergence je 1 ρ= 1 = 1· lim sup √ nn
P+∞
n=1
xn . n
Polomˇer kon-
Pro x z vnitˇrku kruhu se stˇredem 0 a polomˇerem 1 ˇrada konverguje absolutnˇe, vnˇe kruhu ˇrada diverguje. Zb´ yv´a proto urˇcit, co se dˇeje na kruˇznici. Kaˇzd´e x z jednotkov´e kruˇznice m´a tvar x = cos φ + i sin φ, φ ∈ h0, 2π). Proto +∞ +∞ +∞ X X sin(nφ) xn X cos(nφ) = +i · n n n n=1 n=1 n=1
Z Dirichletova krit´eria v´ıme, ˇze pro φ 6= 0 obˇe ˇrady konverguj´ı. V bodˇe x = 1, tj. pro φ = 0 ˇrada diverguje. Obor konvergence zkouman´e mocninn´e ˇrady je kruh se stˇredem v bodˇe 0 a jednotkov´ ym polomˇerem vˇcetnˇe hraniˇcn´ı kruˇznice vyjma bodu 1.
Pozn´ amka. Protoˇze lim +∞ X n=0
n
an (x − a) ,
√ n n = 1, dostaneme ihned tvrzen´ı, ˇze mocninn´e ˇrady +∞ X
n
|an |(x − a) ,
n=0
+∞ X
nan (x − a)
n=1
n
a
+∞ X an n=1
n
(x − a)n
maj´ı stejn´ y polomˇer konvergence. Obory konvergence mohou vˇsak b´ yt r˚ uzn´e. Dokladem P+∞ xn P+∞ n toho jsou napˇr. ˇrady n=1 n a n=0 x . P n Vˇ eta 1.1.6. Necht’ +∞ aln´a mocninn´a ˇrada s kladn´ym polomˇerem konn=0 an (x − a) je re´ vergence ρ. Oznaˇcme jej´ı souˇcet s(x). Pak pro kaˇzd´e x ∈ (a − ρ, a + ρ) plat´ı 0
s (x) =
+∞ X
nan (x − a)n−1 .
n=1
3
D˚ ukaz. Zvolme pevnˇe bod x0 ∈ (a − ρ, a + ρ) a kladn´e ρ1 ∈ R, ρ1 < ρ tak, aby P 2 n−2 platilo x0 ∈ (a−ρ1 , a+ρ1 ). Podle pˇredchoz´ı pozn´amky ˇrada +∞ konverguje. n=2 |an |n ρ1 Oznaˇcme jej´ı souˇcet K. Pak pro libovoln´e x ∈ (a − ρ1 , a + ρ1 ) plat´ı s(x) − s(x0 ) =
+∞ X
+∞ n−1 X X an an (x − a)n − (x0 − a)n = (x − x0 ) (x − a)k (x0 − a)n−1−k . n=1
n=1
k=0
Proto +∞ n−1 +∞ X X s(x) − s(x ) X 0 (x − a)k (x0 − a)n−1−k − (x0 − a)n−1 an − n an (x0 − a)n−1 = x − x0 n=2 n=1 k=0 +∞ n−1 +∞ X X X n−1−k k k an = (x0 −a) (x − a) − (x0 − a) < |x−x0 | |an |n2 ρ1n−2 ≤ K|x−x0 | . | {z } n=2 n=2 k=1 (x−x0 )
Pk−1 i=0
(x−a)i (x0 −a)k−1−i
Z vˇety o limitˇe sevˇren´e funkce dostaneme po limitn´ım pˇrechodu x → x0 , ˇze +∞
s(x) − s(x0 ) X nan (x0 − a)n−1 . = lim x→x0 x − x0 n=1
Vlastnost, kterou jsme ted’ dok´azali, lze shrnout heslem ”Mocninnou ˇ radu lze uvnitˇ r oboru konvergence derivovat ˇ clen po ˇ clenu” a form´alnˇe zapsat +∞ X
n
an (x − a)
0
=
n=0
+∞ X
an (x − a)n
0
.
n=0
Protoˇze derivov´an´ım se nemˇen´ı polomˇer konvergence, lze mocninnou ˇradu s kladn´ ym polomˇerem konvergence derivovat nekoneˇcnˇekr´at, pˇriˇcemˇz (k)
s (x) =
+∞ X
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)an (x − a)n−k .
n=k
Speci´alnˇe s(k) (a) = k!ak . P+∞ n Vˇ eta 1.1.7. Necht’ a ˇrada s kladn´ym polomˇerem konvergence. n=0 an (x−a) je mocninn´ (n) Oznaˇcme s(x) jej´ı souˇcet. Pak pro kaˇzd´e n ∈ N ∪ {0} plat´ı an = s n!(a) . Pozn´ amky.
Uved’me dva d˚ usledky pˇredchoz´ı vˇety.
4
P P+∞ n n 1. Dvˇe r˚ uzn´e mocninn´e ˇrady +∞ ym polomˇerem n=0 an (x−a) a n=0 bn (x−a) s kladn´ konvergence nemohou m´ıt stejn´ y souˇcet. P P n 2. Polynom nk=0 ak (x−a)k je n-t´ ym Taylorov´ ym polynomem funkce +∞ n=0 an (x−a) za pˇredpokladu, ˇze tato mocninn´a ˇrada m´a polomˇer konvergence ρ > 0.
1.2
Rozvoj funkce do mocninn´ eˇ rady
Vyj´adˇren´ı re´aln´e funkce re´aln´e promˇenn´e jako ˇrady f (x) =
+∞ X
an (x − a)n
pro kaˇzd´e x ∈ J
n=0
naz´ yv´ame rozvojem funkce do mocninn´ eˇ rady se stˇredem v bodˇe a ∈ Df , kde ino terval J je takov´ y, ˇze a ∈ J a J ⊂ Df . Jako J uvaˇzujeme zpravidla nejvˇetˇs´ı interval s touto vlastnost´ı. Z pˇredchoz´ı vˇety v´ıme, ˇze nutnou podm´ınkou pro nalezen´ı rozvoje funkce do mocninn´e ˇrady se stˇredem v bodˇe a je existence f (n) (a) pro kaˇzd´e n ∈ N a ˇze jedin´ ym kandid´atem pro rozvoj funkce je mocninn´a ˇrada +∞ (n) X f (a) n=0
n!
(x − a)n .
Tuto ˇradu naz´ yv´ame Taylorovou ˇ radou funkce f . Z Taylorova vzorce f (x) =
n X f (k) (a) k=0
k!
(x − a)k + Rn (x)
definuj´ıc´ıho zbytek Rn (x) plyne, ˇze f (x) =
+∞ (n) X f (a) n=0
n!
(x − a)n
⇐⇒
lim Rn (x) = 0 .
n→+∞
Ovˇeˇrov´an´ı podm´ınky lim Rn (x) = 0 nebylo vˇzdy jednoduch´e. Pom´ahal n´am k tomu Lagrange˚ uv a Cauchy˚ uv tvar zbytku. Moˇznost derivov´an´ı mocninn´e ˇrady n´am umoˇzn´ı z´ıskat snadnˇeji vyj´adˇren´ı funkce f pomoc´ı mocninn´e ˇrady. Pˇ r´ıklad 1.2.1. Naleznˇeme rozvoj funkce f (x) = arctg x do mocninn´e ˇrady se stˇredem v bodˇe 0. Protoˇze +∞
X 1 f (x) = arctg x = 2 = (−1)n x2n x + 1 n=0 0
0
5
pro kaˇzd´e x ∈ (−1, 1),
dostaneme 0
arctg x =
+∞ X (−1)n x2n+1
!0 pro kaˇzd´e x ∈ (−1, 1).
2n + 1
n=0
Kdyˇz dvˇe funkce maj´ı stejnou derivaci na intervalu, pak se tyto funkce liˇs´ı nanejv´ yˇs o konstantu. Existuje proto konstanta c takov´a, ˇze arctg x =
+∞ X (−1)n x2n+1 n=0
2n + 1
+ c pro kaˇzd´e x ∈ (−1, 1).
Kdyˇz dosad´ıme do prav´e a lev´e strany rovnosti x = 0, dostaneme c = 0. Ot´azkou z˚ ust´av´a, jak vypad´a maxim´aln´ı mnoˇzina tˇech x, pro kter´e plat´ı rovnost mezi mocninnou ˇradou a funkc´ı arctg x. Protoˇze polomˇer konvergence mocninn´e ˇrady se derivov´an´ım nemˇen´ı, je zˇrejm´e, ˇze pro x v absolutn´ı hodnotˇe vˇetˇs´ı neˇz 1 nem˚ uˇze rovnost platit. Zb´ yv´a tedy diskutovat body x = 1 a x = −1, ve kter´ ych ˇrada konverguje. Odpovˇed’ n´am poskytne n´asleduj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 1.2.2. (Abelova) Re´aln´a mocninn´a ˇrada je spojit´a v cel´em sv´em oboru konvergence. P n ı co D˚ ukaz. Uvaˇzujme re´alnou mocninnou ˇradu s(x) = +∞ n=0 an (x − a) . Je-li ρ = 0, nen´ dokazovat. Proto uvaˇzujme ρ > 0. Pro x takov´e, ˇze |x − a| < ρ, existuje koneˇcn´a derivace s0 (x), a tedy je funkce s spojit´a v x. Zb´ yv´a tedy diskutovat pˇr´ıpad ρ ∈ (0, +∞) a uk´azat +∞ X
an ρ
n
konverguje
⇒
n=0
lim
x→ρ−
+∞ X
n
an x =
+∞ X
an ρ n
n=0
n=0
a podobnˇe +∞ X
an (−ρ)
n
⇒
konverguje
lim
x→−ρ+
n=0
+∞ X n=0
n
an x =
+∞ X
an (−ρ)n .
n=0
Dok´aˇzeme pouze prvn´ı z tˇechto implikac´ı, druh´a se dokazuje obdobnˇe. Zvolme libovoln´e kladn´e ε. Jelikoˇz plat´ı R3
+∞ X n=0
an ρn = lim
n→+∞
n X
ak ρ k
⇒
(∀ε > 0)(∃n0 )(∀p ∈ N)
0 +p nX n a ρ < ε n
n=n0 +1
k=0
nalezneme k ε pˇr´ısluˇsn´e n0 . Budeme odhadovat v´ yraz n0 +∞ +∞ +∞ X X x n X X an x n − an ρ n = an x n − an ρ n + an ρ n − 1 . ρ n=0 n=0 n=0 n=n +1 | 0 {z } H
6
Protoˇze polynom
Pn0
n=0
an xn je funkce spojit´a v kaˇzd´em bodˇe, a tedy i v bodˇe ρ, plat´ı
n0 X an (xn − ρn ) < ε . (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ R) |x − ρ| < δ ⇒ n=0
Abychom odhadli hodnotu H, uvaˇzujeme libovoln´e p ∈ N a pouˇzijeme Abelovu sumaci n0 +p−1
n0 +p
X
X
bn cn = Bn0 +p cn0 +p +
kde
Bn (cn − cn+1 ),
n=n0 +1
n=n0 +1
n X
bk , bn = an ρn , a cn =
x n
− 1. ρ k=n0 +1 P n k O v´ yrazu Bn pro n > n0 v´ıme, ˇze |Bn | = k=n0 +1 ak ρ < ε. Protoˇze n´as zaj´ım´a limita x → ρ− , uvaˇzujeme x < ρ. Pro takov´a x je posloupnost (cn ) klesaj´ıc´ı a |cn | < 1. Dostaneme Bn =
n0 +p−1 0 +p nX x n X n − 1 ≤ |Bn0 +p |.|cn0 +p | + |Bn |(cn − cn+1 ) < an ρ ρ n=n +1 n=n +1 0
0
n0 +p−1
≤ ε+ε
X
(cn − cn+1 ) = ε + ε(cn0 +1 − cn0 +p ) < 3ε .
n=n0 +1
Posledn´ı odhad plat´ı pro kaˇzd´e p ∈ N, proto i |H| ≤ 3ε. Celkovˇe m´ame +∞ +∞ X X n an ρn < 4ε . (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ R, ρ − δ < x < ρ) an x − n=0
To uˇz znamen´a lim
x→ρ−
+∞ X
an x n =
n=0
+∞ X
n=0
an ρ n ,
n=0
jak jsme chtˇeli dok´azat. Pokraˇ cov´ an´ı pˇ r´ıkladu 1.2.1 ninn´e ˇrady. Uˇz v´ıme, ˇze arctg x =
Nyn´ı m˚ uˇzeme dokonˇcit rozvoj funkce arctg x do moc-
+∞ X (−1)n x2n+1 n=0
2n + 1
pro x ∈ (−1, 1).
Jelikoˇz ˇrada napravo konverguje pro x = ±1 a funkce arctg x je spojit´a v bodech 1 a −1,
7
dostaneme z Abelovy vˇety +∞ X (−1)n arctg (1) = 2n + 1 n=0
a arctg (−1) =
+∞ X (−1)n+1 n=0
2n + 1
Tedy na z´avˇer arctg x =
+∞ X (−1)n x2n+1
pro x ∈ h−1, 1i.
2n + 1
n=0
Pˇ r´ıklad 1.2.3. Stejn´ ym zp˚ usobem odvod´ıme rozklad funkce ln(1 + x) do mocninn´e ˇrady. Vyuˇzijeme toho, ˇze
ln(1 + x)
0
+∞
=
X 1 = (−1)n xn pro kaˇzd´e x ∈ (−1, 1). 1 + x n=0
Proto plat´ı ln(1 + x) = c +
+∞ X (−1)n xn+1 n=0
n+1
pro x ∈ (−1, 1) .
Po dosazen´ı x = 0 dostaneme c = 0. Jelikoˇz ˇrada konverguje i pro x = 1 a funkce ln(1+x) je spojit´a v bodˇe x = 1, lze platnost rozvoje rozˇs´ıˇrit na interval J = (−1, 1i. V kapitole Taylor˚ uv vzorec jsme odvodili, ˇze α
(1 + x) =
+∞ X α n=0
n
xn
pro x ∈ (−1, 1).
K tomu jsme pouˇzili Cauchy˚ uv tvar zbytku a technicky n´aroˇcn´e odhady. Ted’ uk´aˇzeme, jak lze stejn´ y v´ ysledek elegantnˇe z´ıskat pomoc´ı metody neurˇ cit´ ych koeficient˚ u. Pˇ r´ıklad 1.2.4. Chceme rozvinout funkci f (x) = (1 + x)α do mocninn´e ˇrady. Protoˇze f 0 (x) = α(1 + x)α−1 , plat´ı (1 + x)f 0 (x) = αf (x) a Hledejme proto mocninnou ˇradu s(x) = takovou, aby platilo s(0) = 1 a (1 + x)s0 (x) = αs(x)
⇒
P+∞
n=0
f (0) = 1 .
an xn s kladn´ ym polomˇerem konvergence ρ
a0 = 1 a (1 + x)
+∞ X
nan xn−1 = α
n=1
To implikuje a1 +
+∞ X
n
(n + 1)an+1 + nan x = αa0 +
n=1
+∞ X n=1
8
α an x n .
+∞ X n=0
an x n .
Jelikoˇz dvˇe mocninn´e ˇrady maj´ı stejn´ y souˇcet pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze vˇsechny jejich koeficienty jsou stejn´e, dostaneme a1 = αa0 = α
a (n + 1)an+1 + nan = αan
pro kaˇzd´e n ∈ N, tj. an+1 =
α−n an . n+1
Tedy α−n+1 α−n+2 α−n+3 α−1 α an = . . ... . =: n n−1 n−2 2 1
α pro kaˇzd´e n ∈ N ∪ {0}. n
P+∞ α n an ˇ a polomˇer konvergence 1, protoˇze lim an+1 Rada s(x) = = 1. Zb´ yv´a n=0 n x m´ α vysvˇetlit, proˇc se s(x) = (1 + x) . Derivujme pro x ∈ (−1, 1) s(x) 0 s0 (x)(1 + x)α − s(x)α(1 + x)α−1 = . (1 + x)α (1 + x)2α Mocninnou ˇradu jsme konstruovali tak, aby ˇcitatel zlomku byl identicky roven nule. Tedy s(x) = konstanta pro x ∈ (−1, 1) . (1 + x)α Jelikoˇz jsme a0 volili tak, aby nav´ıc s(0) = 1 = 1α , je konstanta rovna 1. Proto s(x) =
+∞ X α n=0
n
xn = (1 + x)α
pro x ∈ (−1, 1) a libovoln´e α ∈ R .
Zb´ yv´a tedy urˇcit maxim´aln´ı mnoˇzinu tˇech x, pro kter´a pˇredchoz´ı vztah plat´ı. Mnoˇzina tˇechto x bude z´aviset na α. Pro α ∈ N ∪ {0} je funkce (1 + x)α polynomem. I ˇrada P+∞ α n a pouze koneˇcn´ y poˇcet nenulov´ ych ˇclen˚ u. Rovnaj´ı-li se dva polynomy v nen=0 n x m´ koneˇcnˇe mnoha hodnot´ach, rovnaj´ı se pak pro kaˇzd´e x ∈ R. Proto I. α ∈ N ∪ {0} :
α
(1 + x) =
+∞ X α
n
n=0
n
x =
α X α n=0
n
xn
pro x ∈ R .
P+∞ α P+∞ n a Pro α ∈ / N ∪ {0} je αn 6= 0 a o konvergenci ˇrad n=0 n (−1) n=0 rozhodnout pomoc´ı Gaussova resp. modifikovan´eho Gaussova krit´eria. Protoˇze
α n α n−1
=1−
α , n
dostaneme II. α > 1, α ∈ /N:
α
(1 + x) =
+∞ X α n=0
9
n
xn
pro x ∈ h−1, 1i ,
α n
lze
α
III. α ∈ (0, 1) :
(1 + x) =
+∞ X α n=0
α
IV. α < 0 :
(1 + x) =
n
+∞ X α n=0
1.3
xn
n
pro x ∈ (−1, 1i ,
xn
pro x ∈ (−1, 1) .
Aplikace mocninn´ ych ˇ rad
1) Sˇ c´ıt´ an´ı nekoneˇ cn´ ych sum Urˇceme nekoneˇcn´ y souˇcet s=
+∞ X n=0
1 3n (2n
+ 1)
·
Odmocninov´ ym krit´eriem snadno zjist´ıme, ˇze se jedn´a o konvergentn´ı ˇradu. Definujme f (x) :=
+∞ X x2n+1 · 2n + 1 n=0
Protoˇze f 0 (x) =
+∞ X n=0
x2n =
0 1 1 1 1 = + = ln(1 + x) − ln(1 − x) , 1 − x2 2(1 + x) 2(1 − x) 2
dostaneme
1 ln(1 + x) − ln(1 − x) . f (x) = 2 Souˇcet s vyj´adˇr´ıme snadno pomoc´ı hodnoty funkce √ √ 1 √ 3+1 s = 3 f √ = 3 ln · 2 3 2)
Sˇ c´ıt´ an´ı koneˇ cn´ ych sum
Abychom seˇcetli n 2 X n k=0
k
,
uvaˇzujeme souˇcin dvou mocninn´ ych ˇrad a zobecnˇen´ y binomick´ y vzorec +∞ X α n=0
+∞ +∞ X X β n α+β n α β α+β x . x = (1 + x) (1 + x) = (1 + x) = x . n n n n=0 n=0 n
10
Pomoc´ı souˇcinov´e ˇrady dostaneme n +∞ +∞ X X X α β β n n · x . x = x k n − k n n n=0 n=0 k=0
+∞ X α n=0
n
Tedy plat´ı n X α β α+β = k n − k n k=0
pro kaˇzd´e n ∈ N, α, β ∈ R ·
Zvol´ıme-li n = α = β, dostaneme n 2 X n k=0
k
n X n n 2n = = k n−k n k=0
pro kaˇzd´e n ∈ N .
ˇ sen´ı rekurentn´ıch vztah˚ Reˇ u
3)
Chceme naj´ıt nezn´amou posloupnost (dn )n∈N vyhovuj´ıc´ı rekurentn´ımu vztahu1 n−1 X
d1 = 1 a dn =
dk dn−k pro n ≥ 2 .
k=1
Definujme funkci f (x) :=
+∞ X
dn xn .
n=1
Vyn´asoben´ım rekurentn´ıho vztahu hodnotou xn a sumac´ı pˇres n = 2, 3, 4, . . . dostaneme +∞ X n=2
n
dn x =
+∞ X
x
n=2
n
n−1 X
dk dn−k .
k=1
Prav´a strana pˇredstavuje souˇcinovou ˇradu. Proto m˚ uˇzeme ps´at f (x) − x = f (x).f (x) ˇ sen´ım t´eto kvadratick´e rovnice pro nezn´amou f (x) je Reˇ f1,2 (x) =
1±
1
√ 1 − 4x · 2
Tento rekurentn´ı vztah vznikne z u ´lohy urˇcit poˇcet vˇsech moˇzn´ ych uz´avorkov´an´ı souˇcinu n ˇc´ısel a1 .a2 . . . an . Poˇcet uz´ avorkov´ a n´ ı je oznaˇ c em d . Napˇ r . d = 5, protoˇ z e ˇctyˇri ˇc´ısla lze uz´avorkovat pˇeti 4 n zp˚ usoby: a1 . a2 .(a3 .a4 ) , a1 . (a2 .a3 ).a4 , (a1 .a2 ).a3 .a4 , a1 .(a2 .a3 ) .a4 , (a1 .a2 ).(a3 .a4 )
11
Jelikoˇz z defince funkce f plyne, ˇze f (0) = 0, vyhovuje n´am ˇreˇsen´ı f (x) =
1−
√ +∞ +∞ 1 1 X 1/2 1 X 1/2 1 − 4x n = − (−4x) = − (−4)n xn . 2 2 2 n=0 n 2 n=1 n
Rozvoj funkce do mocninn´e ˇrady je jednoznaˇcn´ y, proto porovn´an´ım koeficient˚ u u stejn´ ych mocnin dostaneme po mal´e u ´pravˇe 1 1/2 1 2n − 2 n dn = − (−4) = . 2 n n n−1 ˇ ısla (dn ) se naz´ C´ yvaj´ı Catalanova ˇc´ısla.2
2 Belgiˇcan E. Ch. Catalan (1814-1894) zkoumal, kolika zp˚ usoby lze pomoc´ı neprot´ınaj´ıc´ıch se uhˇ sen´ım je pr´avˇe ˇc´ıslo dn−1 . lopˇr´ıˇcek rozdˇelit pravideln´ y n-´ uhlen´ık na troj´ uheln´ıky. Reˇ
12
